BUNGA NOMINAL

dan

BUNGA EFEKTIFBUNGA EFEKTIF

Simon Patabang, ST., MT.

http://spatabang.blogspot.com

Pendahuluan

• Periode bunga atau periode pemajemukan yang telahdibahas diasumsikan dilakukan 1 kali dalam setahun.

• Namun dalam praktek bisnis nyata, banyak ditemukandimana pemajemukan terhadap pokok (principal)dilakukan lebih dari satu kali dalam setahun.dilakukan lebih dari satu kali dalam setahun.

Contoh :

Bunga tabungan (mis. Tahapan BCA, Taplus BNI, dsb.)dihitung secara harian, atau saldo tabungan dilakukanpemajemukan sebanyak 360 kali dalam setahun.

Dengan demikian periode pemajemukan

(compounding) sering kali tidak hanya dilakukan

dengan basis tahunan, melainkan dalam periode yang

lebih kecil dari tahunan, seperti :

1. Bunga per 6 bulan (Semiannualy Compounded )1. Bunga per 6 bulan (Semiannualy Compounded )

2. Bunga per 3 bulan (Quartely Compounded )

3. Bunga per bulan (Monthly Compounded )

4. Bunga per mingguan (Weekly Compunded )

5. Bunga Harian (Daily Compounded )

Suku Bunga Nominal (Nominal Rate)

Suku bunga nominal (r) merupakan perkalian tingkat sukubunga i per periode dengan jumlah pemajemukan sebanyakm kali dalam setahun.

Suku Bunga nominal dinyatakan :

r = i x m atau i = r/mr = i x m atau i = r/m

Contoh :

Jika suku bunga per 6 bulan (semiannualy) 6%, maka sukubunga nominal per tahunnya adalah r = 6% x 2 = 12%.

2. Suku Bunga Efektif (Effective Rate)

• Adalah suku bunga sesungguhnya dalam satu tahun

yang tepat dibayarkan terhadap sejumlah uang yang

kita simpan atau pinjam.

• Suku bunga efektif dinyatakan dengan persamaan

sbb :sbb :

Tabel Konversi Bunga Nominal menjadi Bunga Efektif

Makin sering jumlah pemajemukan dilakukan setiap

tahun, maka makin besar perbedaan antara bunga

efektif dan bunga nominal.

Contoh :

1. Sebuah Bank memberikan suku bunga sebesar 1,5% perbulan pada saldo tabungan nasabah. Berapakah sukubunga nominal dan efektif per tahunnya ?

Jawab

Diketahui : i= 1,5% /bln, m=12Diketahui : i= 1,5% /bln, m=12

Ditanyakan : r, ieff ?

• Suku Bunga Nominal r = 1,5% x 12 = 18% per tahun

• Suku Bunga Efektif i = (1+0,18/12)¹² - 1 = 19,56% per tahun

2. Sebuah koperasi memberikan pinjaman dengan

cara menambahkan 7% pada modal pinjaman.

Kemudian nasabah akan membayar pinjaman

sebesar 1/12 dari dari modal tersebut setiap akhir

bulan selama setahun. Jika nasabah meminjam Rp.

1 juta, maka Hitunglah :1 juta, maka Hitunglah :

a. Cicilan per bulan

b. Tingkat Suku bunga/bulan

c. Bunga nominal dan efektif per tahun

Penyelesaian :

Diketahui : P = 1 juta, n = 12

Ditanyakan : A , I, r, iff

a. P = P + Px7%

P = 1 juta + 1 juta x 0,07

P = Rp. 1.070.000P = Rp. 1.070.000

Aturan koperasi : A = P x 1/12

A = 1.070.000/12 = Rp. 89,167 / bln

Cicilan per bulan = Rp. 89,167

b. A = P (A/P,i%,n)

89,167 = 1.000.000 (A/P,i%,12)

(A/P,i%,12) = 0.0891667, Cari i di tabel?

Dari tabel tidak ditemukan nilai 0,0891667, maka kitamenggunakan pendekatan interpolasi linier denganpersamaan :

1 2 1y y y y− −=

Dari tabel diperoleh nilai terdekat yang ada di bawah dan diatas 0,0891667 (x). Maka kita dapatkan sbb :

untuk i1 = 1% (y1) � (A/P,1%,12) = 0,08885 (x1)

untuk i2 = 2% (y2) � (A/P, 2%,12) = 0,09456 (x2)

1 2 1

1 2 1x x x x=

− −

Konsep Interpolasi Linier

Interpolasi linier adalah metode pendekatan denganmenggunakan fungsi garis lurus untuk menentukan titik-titik yang terletak di antara 2 buah titik

Persamaan garis lurus antara 2 titik P1(x1,y1) dan

P2(x2,y2) yang melalui titik Q(x,y) adalah :

Sehingga diperoleh persamaan dari interpolasi linier :

1 2 1

1 2 1

y y y y

x x x x

− −=

− −

Sehingga diperoleh persamaan dari interpolasi linier :

Dengan pendekatan interpolasi linier, maka suku bunga

i dapat dihitung sbb :

2 11 1

2 1

( )y y

y x x yx x

−= − +

−

2 11 1

2 1

( )y y

y x x yx x

−= − +

−

diketahui : y1 = 1% x1 = 0,088849

y2 = 2% x2 = 0,09456 ,

Berapakah y = ? Jika x = 0,0891667

Jadi suku bunga per bulan adalah 1,0556%

0,02 0,01(0,0891667 0,088849) 0,01

0,088849 0,0

0,010556

9456y

y

−= − +

−

=

b. Jadi tingkat suku bunga nominal per tahun adalah

r = 12 x 1,0556 % = 12,6672 %/tahun

c. Tingkat suku bunga efektif per tahun adalah :

I eff = (1 + 1,0556 %)¹² - 1

Ieff = 0.203558 atau 20,36 % per tahun

3. Ibu Ani membeli sebuah Motor dengan harga Rp. 17juta. Namun dia membayar uang muka sebesar Rp. 7juta dan sisanya dicicil Rp. 550 ribu per bulan selama 2tahun. Berapa suku bunga nominal yang akan dikenakanterhadapnya ?

Penyelesaian :

Diketahui :

Pharga = Rp. 17 juta, Pmuka = Rp. 7 juta,

A=550 ribu/bln, n = 2 tahun = 24 bulan.

Ditanyakan : r ?

P = Pharga - Pmuka

P = 17 juta – 7 juta = Rp. 10 juta

P = A(P/A,i,n)

10 juta = 550 rb x (P/A,i,24)

(P/A,i,24) = 18.18182 (P/A,i,24) = 18.18182

Tidak ada di tabel, maka gunakan Interpolasi

Dari tabel diperoleh :

r1 = 2% -> (P/A,2%,24) = 18,914

r 2= 2,5 % -> (P/A,2,5%,24) = 17,885

dimana :

x1= 18,914 y1=0,02

X2 = 17,885 y2 = 0,025 x = 18,18182

Hasilnya diperoleh : r=0,023457 atau 2,345694% /bulan

Jadi :Jadi :

Suku bunga nominal = 12 x 2,345694%

= 28,15 %/ tahun

Suku bungan efektif = (1 + 0,2814/12)¹² - 1

= 32,08%/tahun

Latihan Soal

1. Pak Amir menginvestasikan uangnya sebesar $1.000 dengan

suku bunga majemuk 6% pada awal tahun 1977. Berapakah

hasil investasinya pada akhir 1987?

Penyelesaian :

Diketahui : P = $1.000, n= 10, i=6%

Ditanyakan : F = ?Ditanyakan : F = ?

F = P(F/P,i%,n)

F= 1000 (F/P,6%,10)

F = 1000 x 1.7908

F = $1.790,8

2. Berapakah dana yang harus diinvestasikan oleh Ibu Helen,

sekarang ini jika dia ingin mendapatkan dana sebesar 500

juta pada 6 tahun yang akan datang, apabila suku bunga yang

berlaku 6%.

Penyelesaian :

Diketahui : F = Rp. 500 juta, n =6, i = 6%

Ditanyakan P = ?Ditanyakan P = ?

P = F (P/F,i%,n)

P = 500.000.000 x (P/F,6%,6)

P = 500.000.000 x 0,705

P = Rp. 352.500.000

3. Herman usianya 20 tahun, seorang pegawai bengkel motor. Inginmenabung gajinya dengan tujuan untuk membuka usaha sendiripada usia 30 tahun. Jika pak Herman mampu menabung Rp. 2 jutatiap awal bulan dengan suku bunga 1% per bulan. Berapakahjumlah tabungan pak Herman pada usia ulang tahun ke-30?

Penyelesaian :

Diketahui : n = 30 – 20 = 10 tahun ,

A= Rp. 2 juta/bln atau Rp. 24 juta/tahun

i=1%/bln atau i= 12% per tahuni=1%/bln atau i= 12% per tahun

Ditanyakan : F = ?

F = A(F/A, i%,n)

F = A(F/A, 12%,10)

F = 24 juta x 17,549

F = Rp. 421.176 juta

4. Ibu Hamida ingin naik Haji pada 7 tahun yang akan datang.

Besarnya biaya Ongkos Naik Haji pada saat itu sebesar Rp. 50

juta. Berapakah besarnya dana yang harus ditabung oleh ibu

Hamida mulai sekarang ini dengan suku bunga yang berlaku

6%.

Penyelesaian :

Diketahui : n = 7 tahun, F = 50 juta, i= 6%Diketahui : n = 7 tahun, F = 50 juta, i= 6%

Ditanyakan : P = ?

P = F(P/F,i%,n)

P = F(P/F,8%,7)

P = 50 juta x 0,665

P = Rp. 53,2 Juta

5. Pak Budi menginvestasikan dananya sebesar Rp. 250 juta

dengan suku bunga 6% pada awal tahun 2000. Berapakah

besar jumlah dananya yang harus diambil setiap akhir tahun

selama 10 tahun, tanpa ada sisanya.?

Penyelesaian :

Diketahui : i=6%, P=250 juta, n=10 tahun

Ditanyakan : F= ?Ditanyakan : F= ?

F = P(F/P,i%,n)

F = P(F/P,6%,10)

F = 250 juta x 1,7908

F = Rp. 447.7 Juta

6. Andi ingin mendepositokan uangnya setiap 3 bulan,sehingga pada akhir tahun ke 10 ia memiliki uang Rp.10.000.000,- suku bunga tiap tahun adalah 6 %, berapayang harus ia depositokan tiap 3 bulan.

Pemyelesaian :

Diketahui : F = Rp. 10.000.000 , n = 10x4 =40, i = 6/4=1½ %Diketahui : F = Rp. 10.000.000 , n = 10x4 =40, i = 6/4=1½ %

A = F(A/F,i %, n) = 10.000.000 (A/F, 1 ½ ,40)

A = 10.000.000 x 0,01843 = Rp. 184.000

Jadi ANdi harus mendepositokan sebesar Rp. 184.000 tiap 3bulan.

7. Seorang tukang ojek membeli sepeda motor sehargaRp. 12.000.000,- dengan uang muka Rp. 1.240.000,- dansisanya diangsur selama 48 bulan dengan angsuransama. Jika suku bunga 1 % per bulan, hitung besarnyaangsuran tiap bulan.

Penyelesaian:

Diketahui : P = 12.000.000 – 1.240.000 = 11.760.000

N = 48 bulan, i = 1 % / bulanN = 48 bulan, i = 1 % / bulan

Ditanyakan : A = ?

A = P (A/P, i %, n) = 11.760.000 (A/P, i %, 48 )

A = 11.760.000 (0,0263)

A = Rp. 3.092,88

Jadi besar angsuran tiap bulan adalah Rp. 3.092,88

8. Berapa modal yang diinvestasikan sekarang dengan

suku bunga 5%, agar dapat disediakan Rp.

1.200.000 pada tahun ke 5, Rp. 1.200.000 pada

tahun ke 10, Rp. 1.200.000 pada tahun ke 15 dan

Rp.1.200.000 pada tahun ke 20?

Penyelesaian :

Diketahui :

n1 = 5, n2 = 10, n3 = 15, n4 = 20

F1 = 1.200.000 , F2 = 1.200.000

F3 = 1.200.000, F4 = 1.200.000, i = 0,05

Ditanyakan : P = ?

P1 = F1 (P/F, 5 %, 5) = 1.200.000 (0,7835) = 940.200P1 = F1 (P/F, 5 %, 5) = 1.200.000 (0,7835) = 940.200

P2 = F2 (P/F, 5 %, 10) = 1.200.000 (0,6139) = 736.700

P3 = F3 (P/F, 5 %, 15) = 1.200.000 (0,4810) = 572.200

P4 = F4 (P/F, 5 %, 20) = 1.200.000 (0,3769) = 452.300

Jadi modal yang harus diinvestasikan adalah:

P = P1 + P2 + P3 + P4 = Rp. 2.706.400

Cara langsung :

Karena F1 = F2 = F3 = F4 , maka

P = F (A/F, 5 %, 5) (P/A, 5%, 20)

P = 1.200.000 (0,18097) (12,462)P = 1.200.000 (0,18097) (12,462)

P = Rp. 2.706.300

9. Seseorang mendepositokan uangnya sekarang Rp.2.000.000, 2 tahun kemudian Rp.1.500.000, dan 4tahun kemudian Rp. 1.000.000, semua dengan sukubunga sama yaitu 8 %. Berapakah jumlah totaluangnya pada tahun ke 10.

Penyelesaian :Penyelesaian :

Diketahui : n1= 10, n2 = 8, n3 = 6, i=8%

P1 = 2.000.000 , P2 = 1.500.000, P3 = 1.000.000

Ditanyakan : F total = ?

Ftotal = F1 + F2 + F3

F = P1 (P/F, 8 %, 10) + P2 (P/F, 8 %, 8) + P3 (P/F, 8 %, 6)

F = 2.000.000 (2,1589) + 1.500.000 (1,8509) + F = 2.000.000 (2,1589) + 1.500.000 (1,8509) + 1.000.000 (1,5869)

F = 8.681.000

Jadi jumlah total uangnya pada akhir tahun ke 10 adalah Rp. 8.681.000,-

10. Seseorang meminjam uang dari bank Rp. 100.000.000,-dengan suku bunga 7%/tahun. Pinjaman tersebut harusdiangsur tiap 6 bulan selama 30 tahun dengan jumlahangsuran yang sama.

a. Berapakah besarnya angsuran tiap 6 bulan

b. Berapa pokok yang telah dibayarkan pada akhir tahun ke10 (tepat setelah angsuran ke 20 dibayar).

Diketahui : P = 100 juta, i=3,5 % , n=30x2 =60

Ditanyakan : Pbayar pada n=20Ditanyakan : Pbayar pada n=20

a. Cicilan per 6 bulan

A = P (A/P, i %, n)

A = 100.000.000 (A/P, 3 ½ %, 60)

A = 4.009.000

Cicilan per 6 bulan sebesar Rp. 4.009.000

Pokok yang belum di bayar pada akhir tahun ke-10 adalah P1 selama 40 kali.

P1 = 4.009.000 (P/A, 3 ½ %, 40) P1 = 4.009.000 (P/A, 3 ½ %, 40)

P1 = 85.612.200

Jadi pokok yang telah dibayar adalah :

Pbayar = P – P1

Pbayar = Rp. 100.000.000 - Rp. 85.612.200

Pbayar = Rp. 14.388.000

11. Ibu Maria akan menabung uangnya, namun ia ingin manarik uangtabungannya sebesar 5 juta setiap akhir tahun selama 7 tahun.Berapa besar jumlah uang yang harus ditabung oleh ibu Mariasetiap awal tahun selama 10 tahun jika suku bunga 11% per tahunagar keinginannya terpenuhi untuk 7 tahun berikutnya?

Penyelesaian :

Diketahui : n = 7, A= 5 juta, i=11%

Ditanyakan : A1=? Untuk n=10.

Misalkan :Misalkan :

A1 = jumlah uang yang ditabung selama 10 tahun

A = jumlah uang yang ditarik selama 7 tahun

Karena A diketahui selama n=7 dimulai pada awal tahunn=10, maka P pada n=10 dapat dihitung.

P10 = A (P/A, 11% , 7)

P10 = 5.000.000 (4,712) = Rp. 23,56 juta

P10 merupakan nilai yang akan datang pada akhir tahunke10 untuk pembayaran A1. Jadi P10=F10 diketahui, makaA1 dapat dihitung selama n=10.

A1 = F10 (A/F, 11% , 10)

A1 = 23,56 (A/F, 11%, 10)

A1 = 23,56 (0,0598)

A1 = Rp. 1,41 Juta

Jadi harus ditabung adalah sebesar Rp. 1,41 Juta tiap tahun

12. Pak Amir ingin naik Haji 5 tahun dari sekarang. Padasaat keberangkatan, pak Amir membutuhkan uang Rp.100 juta. Jika Pak Amir menabung sekarang sebesar Rp.80juta, berapakah suku bunga yang berlaku agar bisamendapatkan dana sebesar Rp. 100 juta pada saatberangkat naik haji?

Penyelesaian :Penyelesaian :

Diketahui : n=5 tahun, F=100 juta, P=80juta

Ditanyakan i = ?

F = P(F/P,i%,n)

100 = 80 (F/P, i%, 5)

(F/P, i%, 5) = 1,250 � Cari di tabel

Karena tidak ada di tabel, maka gunakan pendekataninterpolasi.

Untuk :

i= 0,045 � (F/P, i%, 5) = 1,2462

I =0,050 � (F/P, i%, 5) = 1,2763

Masukkan nilai ke dalam persamaan interpolasi linier.Masukkan nilai ke dalam persamaan interpolasi linier.

i = 0,0456 atau 4,56%

Agar Pak Amir bisa mendapatkan dana sebesar Rp. 100 jutapada saat berangkat naik haji dengan mulai menabungsekarang sebesar Rp. 80 juta, maka suku bunga yangberlaku adalah 4,56% per tahun.

13. Pak Budi melakukan investasi sekarang sebesar Rp. 50

juta dan mengharapkan penerimaan sebesar 7 juta

setiap tahun selama 15 tahun. Berapakah bunga yang

berlaku agar harapan dari investasi pak Budi terpenuhi?

Penyelesaian :

Diketahui : n=15, P= 50juta, A=7 juta,Diketahui : n=15, P= 50juta, A=7 juta,

Ditanyakan i=?

A = P(A/P,i%,n)

7 = 50 (A/P,i%,15) � (A/P,i%,n) = 7/50 = 0,1400

Cari nilai dari tabel (A/P,i%,15)

untuk :

i=11%� (A/P,i%,15) = 0,13907

i=12% � (A/P,i%,15) = 0,14682

Dengan interpolasi diperoleh :

i = 0,111 atau 11,1 % per tahun

Agar harapan investasi pak Budi dapat terpenuhi, maka

suku bunga yang berlaku pada saat itu adalah 11,1%

per tahun.

14. Berapakah besarnya dana yang harus diinvestasikansekarang dengan suku bunga 5% agar dapat memperolehdana sebesar $1200 pada akhir tahun ke-5, 10, 15, dan 20.

Penyelesaian :

Diketahui : i= 5%

n1=5 -> F1 = $1200 n3=15 -> F3 = $1200

n2=10 -> F2 = $1200 n4=20 -> F4 = $1200n2=10 -> F2 = $1200 n4=20 -> F4 = $1200

ΣP = P1 + P2 + P3 + P4

P1 = F1(P/F,5%,5) = 1200. (0,7835) = 940,2

P2 = F2(P/F,5%,10) = 1200. (0,6139) = 736,7

P3 = F3(P/F,5%,15) = 1200. (0,4810) = 577,2

P4 = F4(P/F,5%,20) = 1200. (0,3769) = 452,3

------------

$ 2.706,4

Cara II :Cara II :

Karena besarnya F semuanya sama dan intervalnya tetapyaitu 5 tahun, maka semua F diubah menjadi sebuah seriekivalen dari jumlah 5 tahun dan nilai sekarang dengan n20 tahun.

Atau P/F diubah menjadi A/F. P/A

P = F(A/F,5%,5). (P/A,5%,20)

P = 1200 (0,18097). (12,462)

P = 217,164. (12,462)

P = $ 2.706,30

Sekian