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U.C. Facultad de Ingeniería. Circuitos Eléctricos I C.E.A.N. 2010 Apuntes del Prof. Arturo Castillo. 21 APLICACIONES FUNDAMENTALES DE LAS LEYES DE KIRCHHOFF. REDES EQUIVALENTES : Se dice que dos redes son equivalentes en un par de terminales, si las relaciones voltaje-corriente para ambos son idénticas en estos terminales. Para que las redes A y B de las figuras sean equivalentes, es necesario encontrar las condiciones en que ia = ib, cuando Va = Vb. Redes equivalentes. ELEMENTOS CONECTADOS EN SERIE . Se dice que dos elementos cualesquiera están conectados en serie si se cumplen dos condiciones: 1.- Un terminal de cada elemento está conectado a un nodo común. 2.- Ningún otro elemento está conectado a dicho nodo. Cuando dos elementos están conectados en serie, la corriente de uno es siempre idéntica a la corriente del otro, según la Ley de Corriente de Kirchhoff (LCK), como se observa en la figura . Elementos conectados en serie. ELEMENTOS CONECTADOS EN PARALELO : Se dice que los elementos de una red están conectados en paralelo si se cumplen dos condiciones: 1- Se encuentran entre un par de nodos en común. 2- El voltaje es el mismo para cada uno de ellos, ver figura. Elementos conectados en paralelo. RESISTENCIA EQUIVALENTE DE LOS RESISTORES CONECTADOS EN SERIE : Se considera un circuito de n resistencias conectadas en serie a una fuente de voltaje independiente v( t ), como se muestra en la figura.Al aplicar la Ley de Voltaje de Kirchhoff a este circuito se obtiene la siguiente ecuación: Al sustituir los voltajes de las resistencias por su relación con la corriente a través de la ley de Ohm queda: dado que i( t ) es la corriente común a las resistencias en serie, se extrae factor común de la misma, quedando: Donde (R1 + R2 + R3 +...+ Rn) es la resistencia equivalente serie Rs: Resistencia equivalente. Rn 3 R 2 R 1 R v v v v t v + + + + = ... ) ( ) ( . ... ) ( . ) ( . ) ( . ) ( t i Rn t i 3 R t i 2 R t i 1 R t v = ) ( ). ... ( ) ( t i Rn 3 R 2 R 1 R t v = ) ( . ) ( t i Rs t v = Rn 3 R 2 R 1 R Rs = ... RED B Vb ib SISTEMA RED A Va ia SISTEMA 1 i 2 i 1 v 2 v 2 1 i i = ) t ( i ) t ( v Rn 1 R 2 R 3 R 3 R v 2 R v 1 R v Rn v Rs ) t ( i ) t ( v Rs v 1 v 2 v n v 1 i 2 i n i ) t ( v n 2 1 v ... v v ) t ( v = = = =

2. amplicaciones leyes de kirchhoff 2010

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U.C. Facultad de Ingeniería. Circuitos Eléctricos I C.E.A.N. 2010 Apuntes del Prof. Arturo Castillo. 21APLICACIONES FUNDAMENTALES DE LAS LEYES DE KIRCHHOF F.

REDES EQUIVALENTES : Se dice que dos redes son equivalentes en un par de terminales, si las relaciones voltaje-corriente para ambos son idénticas en estos terminales. Para que las redes A y B de las figuras sean equivalentes, es necesario encontrar las condiciones en que ia = ib, cuando Va = Vb.

Redes equivalentes.

ELEMENTOS CONECTADOS EN SERIE . Se dice que dos elementos cualesquiera están conectados en serie si se cumplen dos condiciones: 1.- Un terminal de cada elemento está conectado a un nodo común. 2.- Ningún otro elemento está conectado a dicho nodo. Cuando dos elementos están conectados en serie, la corriente de uno es siempre idéntica a la corriente del otro, según la Ley de Corriente de Kirchhoff (LCK), como se observa en la figura .

Elementos conectados en serie.

ELEMENTOS CONECTADOS EN PARALELO : Se dice que los elementos de una red están conectados en paralelo si se cumplen dos condiciones: 1- Se encuentran entre un par de nodos en común. 2- El voltaje es el mismo para cada uno de ellos, ver figura.

Elementos conectados en paralelo.

RESISTENCIA EQUIVALENTE DE LOS RESISTORES CONECTADO S EN SERIE: Se considera un circuito de n resistencias conectadas en serie a una fuente de voltaje independiente v( t ), como se muestra en la figura.Al aplicar la Ley de Voltaje de Kirchhoff a este circuito se obtiene la siguiente ecuación: Al sustituir los voltajes de las resistencias por su relación con la corriente a través de la ley de Ohm queda: dado que i( t ) es la corriente común a las resistencias en serie, se extrae factor

común de la misma, quedando:

Donde (R1 + R2 + R3 +...+ Rn) es la resistencia equivalente serie Rs:

Resistencia equivalente.

Rn3R2R1R vvvvtv ++++= ...)(

)(....)(.)(.)(.)( tiRnti3Rti2Rti1Rtv ++++=

)()....()( tiRn3R2R1Rtv ++++=

)(.)( tiRstv =

Rn3R2R1RRs ++++= ...

RED

BVb

ib

SISTEMARED

AVa

ia

SISTEMA

1i 2i

1v 2v

21 ii =

)t(i

)t(vRn

1R 2R3R 3Rv

2Rv1Rv

Rnv

Rs

)t(i

)t(v Rsv

1v 2v nv

1i 2i ni

)t(v

n21 v...vv)t(v ====

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U.C. Facultad de Ingeniería. Circuitos Eléctricos I C.E.A.N. 2010 Apuntes del Prof. Arturo Castillo. 22RESISTENCIA EQUIVALENTE DE LOS RESISTORES CONECTADO S EN PARALELO : En la figura 2.12.5 se muestra un circuito de un par de nodos que constan de la conexión de n resistencias en paralelo y una fuente de corriente independiente. Al aplicar la Ley de Corriente de Kirchhoff en un nodo, se tiene: Al sustituir los voltajes de las resistencias por su relación con la corriente a través de la ley de Ohm queda: dado que v( t ) es el voltaje en común a las resistencias en paralelo, se extrae como factor común a v(t):

Resistencia equivalente.

donde: es el inverso de la resistencia equivalente en paralelo: de tal forma que la resistencia equivalente en paralelo Rp es igual al inverso de la suma de los inversos de las resistencias: en el caso particular de dos resistencia en paralelo la ecuación queda: Otra forma de representar el cálculo de las resistencias en paralelo es a través de sus conductancias quedando las ecuaciones anteriores de la forma siguiente: al extraer como factor común v(t): y donde )...( Gn3G2G1G ++++ es la conductancia equivalente en paralelo Gp:

(Gp es el inverso de Rp) de igual modo la resistencia equivalente en paralelo se calcula como: también en el caso particular de dos resistencias en paralelo la ecuación queda:

GnGGGRp

++++=

. . .321

1

Rn2R1R iiiti +++= ...)(

2R1R

2R1R

2R

1

1R

11

Rp+

=+

=

)(....)(.)(.)(.)( tvGntv3Gtv2Gtv1Gti ++++=

)()....()( tvGn3G2G1Gti ++++=

)(.)( tvGpti =

Rp

1Gp =

2R1R

2R1R

2G1G

1Rp

+=

+=

)(...)( tvRn

1

3R

1

2R

1

1R

1ti

++++=

++++Rn

1

3R

1

2R

1

1R

1...

º)(

...)()()(

)(Rn

tv

3R

tv

2R

tv

1R

tvti ++++=

Rp

tvti

)()( =

++++=Rn

1

3R

1

2R

1

1R

1

Rp

1...

Rn

1

3R

1

2R

1

1R

11

Rp++++

=...

Gn3G2G1G

1Rp

++++=

...

)t(i )t(v

1R

1Ri 2Ri Rni

Rn2R

)t(iRpi

Rp

)t(v

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U.C. Facultad de Ingeniería. Circuitos Eléctricos I C.E.A.N. 2010 Apuntes del Prof. Arturo Castillo. 23DIVISOR DE VOLTAJE : La división de voltaje se usa para calcular el voltaje de uno de los varios resistores que se han unido en un arreglo en serie, en términos del voltaje del arreglo; para determinar la corriente del arreglo se aplica la ley de Ohm:

ahora se determina el voltaje en la resistencia R1: al sustituir la expresión calculada anteriormente:

y en forma general para cualquier resistor: o de otra manera: esta expresión indica que el voltaje en un resistor de un grupo en serie, es una porción del voltaje total y es directamente proporcional al valor de su resistencia entre la sumatoria de todas las resistencias en serie. Ejemplo. Divisor de voltaje con dos resistores en serie.

2R1RRs += )(tvRs

1Rv 1R = )(tv

2R1R

1Rv 1R +

=

Rs

tvti

)()( = )(tv

Rs

2Rv 2R = )(tv

2R1R

2Rv 2R +

=

DIVISOR DE CORRIENTE : La división de corriente se usa para calcular la corriente de una de las resistencias en término de la corriente que entra al nodo común a dos resistencias que están en paralelo.

Despejando v(t) de la expresión planteada anteriormente: donde: usando la ley de Ohm en R1: al igualar las expresiones del voltaje: se despeja iR1: donde al sustituir Rp: al cancelar R1 arriba y abajo de la expresión, se obtiene: La porción de corriente que circula por un resistor es proporcional a la otra resistencia que tiene en paralelo entre la suma de las dos resistencias en paralelo, donde éste es un caso particular de dos resistencias en paralelo como se muestra en la figura Ejemplo. Divisor de corriente para dos resistores en paralelo.

También la división de corriente puede aplicarse utilizando las conductancias: donde: donde: al aplicar la ley de Ohm en R1 se tiene: al igualar las expresiones: al despejar iR1: Para el caso de los resistores en paralelo: esta ecuación es análoga al divisor de voltaje resistivo.

Rs

tvti

)()( =

)(.)( ti1Rtv 1R =

)()( tvRs

RitvRi =

Rn3R2R1R

tvRitvRi ++++

=...

)(.)(

Rp

tvti

)()( = )(.)( tiRptv =

1Ri1Rtv .)( = )(.. tiRpi1R 1R =

)(ti1R

Rpi 1R =

)(ti2R1R

2R1R

1R

1i 1R +

=

)(ti2R1R

2Ri 1R +

=

)t(i.Rp)t(v =2R1R

2R1RRP

+= )(

)(

)(ti

2R1R1R

2R1Ri

1R

tvi 1R1R +

=⇒=

)(.)( tvGpti =

Gp

titv

)()( =

Gp

ti

1G

i 1R )(=Gp

ti1Gi 1R

)(.=

)()( tvRs

1Rtv 1R =

)t(i

)t(vRn

1R 2R3R 3Rv

2Rv1Rv

Rnv

)t(i

1R 1Rv

2Rv2R

)t(v

)t(i )t(v

1Ri 2Ri

2R1R)()( ti

2R1R

1Riti

2R1R

2Ri 2R1R +

=+

=

1G

itv 1R=)(

2G1GGp +=

2G1G

ti1Gi 1R +

= )(.

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U.C. Facultad de Ingeniería. Circuitos Eléctricos I C.E.A.N. 2010 Apuntes del Prof. Arturo Castillo. 24Para múltiples resistores en paralelo: Otra forma de cálculo cuando se necesita la corriente de un resistor y hay más de dos resistores en paralelo, es de la siguiente forma: se calcula una resistencia equivalente del resto de las resistencias de manera que solo queden dos resistencias en paralelo y pueda aplicarse el método, como se muestra en la figura.

Divisor de corriente para más de dos resistores en paralelo.

INDUCTORES CONECTADOS EN SERIE: Se considera n inductores descargados (es decir, la condición inicial de la corriente es cero) conectados en serie. En la figura se muestra un circuito con inductores conectados en serie y su equivalente. Si se aplica la Ley de Voltaje de Kirchhoff se tiene: Al aplicar la relación volt-ampere en los inductores se tiene: donde: La sumatoria de las inductancias en serie es la inductancia equivalente serie: Se tiene: Los inductores en serie se reducen exactamente igual que los resistores en serie.

Inductores conectados en serie.

INDUCTORES CONECTADOS EN PARALELO : Dado el esquema mostrado en la figura, se determina por la Ley de Corriente de Kirchhoff (LCK), el equivalente en paralelo de los inductores. Por la relación volt-ampere en cualquier inductor: pero en un inductor por la relación volt-ampere: al sustituir y al tener todos los inductores el mismo voltaje se obtiene: Si se extrae como factor común la integral del voltaje y se agrupan las condiciones iniciales, la ecuación queda:

Inductores conectados en paralelo.

Ln3L2L1L vvvvtv ++++= ...)(

dt

tdiLn

dt

tdi2L

dt

tdi1Ltv

)(...

)()()( +++=

Ln2L1LLs +++= ...

dt

tdiLstv

)()( =

∫∫∫ ++++++= t

t0Lnt

t02Lt

t01L000

dttvLn

1tidttv

2L

1tidttv

1L

1titi )()(..)()()()()(

∑∫=

+

+++=n

1j0Lj

t

ttidttv

Ln

1

2L

1

1L

1ti

0)()(...)(

Gn2G1G

ti1Gi 1R +++

=...

)(.

4R

1

3R

1

2R

11

Rp++

=)(tiRp1R

Rpi 1R +

=)t(i 1Ri

1R 2R 3R 4R Rp

)t(i 1Ri

1R

dt

tdiLn2L1Ltv

)()...()( +++=

Ln3L2L1L i...iii)t(i ++++=

Ln3L2L1L iiiiti ++++= ...)(

∫+= t

t Lj0LjLj0

dttvLj

1titi )()()(

v 1L v 2L

v 3L3L

2L1L)t(i

)t(v Ln

vLn

)t(i

)t(v Ls vLs

)t(i )t(v

i 1L

1L 2L Ln

iLni 2L

)t(i

iLp

)t(v

Lp

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U.C. Facultad de Ingeniería. Circuitos Eléctricos I C.E.A.N. 2010 Apuntes del Prof. Arturo Castillo. 25 resulta que se determina una inductancia equivalente paralelo como sigue: es decir: al sustituir en la ecuación:

donde se deduce que los inductores en paralelo se reducen exactamente igual que los resistores en paralelo (además de que la condición inicial se suma algebraicamente). CAPACITORES CONECTADOS EN SERIE: Para calcular un capacitor que sea equivalente a n capacitores en serie como aparece en la figura 2.12.10, se aplica la Ley de Voltaje de Kirchhoff (LVK). Al aplicar la Ley de Voltaje de Kirchhoff se tiene: y al aplicar la relación volt-ampere en capacitores, se tiene: se sustituye:

Si se extrae como factor común la integral de la corriente y se agrupan las condiciones iniciales, la ecuación queda:

Capacitores conectados en serie.

donde la capacitancia equivalente en serie es: en la ecuación: Los capacitores en serie se reducen como los resistores en paralelo (además que se toma una condición inicial como la suma algebraica de las condiciones iniciales de los capacitores). CAPACITORES CONECTADOS EN PARALELO : Al considerarse n capacitores en paralelo y al aplicar la Ley de Corriente de Kirchhoff, como se observa en la figura. Al aplicar la relación volt- ampere en los capacitores: donde se determina el capacitor equivalente en paralelo como: la ecuación queda: Los capacitores en paralelo se reducen como las resistencias en serie.

Capacitores conectados en paralelo.

Ln

1

2L

1

1L

1

Lp

1 +++= ...

∫+= t

t00

dttvLp

1titi )()()(

Cn2C1C vvvtv +++= ...)(

∫+= t

t Cj0CjCj0

dttiCj

1tvtv )()()(

Cn

1

2C

1

1C

1

Cs

1 +++= ...

Cn

1

2C

1

1C

11

Cs+++

=...

∫+= t

t00

dttiCs

1tvtv )()()(

Cn2C1C iiiti +++= ...)(

dt

tdvCn

dt

tdv2C

dt

tdv1Cti

)(...

)()()( +++=

dt

tdvCn2C1Cti

)()...()( +++=

∑∫=

+

+++=n

1j0Cj

t

ttvdtti

Cn

1

2C

1

1C

1tv

0)()(...)(

Ln

1

2L

1

1L

11

Lp+++

=...

∫t

t 0

dt)t(i

∫∫∫ ++++++= t

t0t

t02Ct

t01C000

dttiCn

1tvcndtti

2C

1tvdtti

1C

1tvtv )()(...)()()()()(

dt

tdvCpti

)()( =

Cn2C1CCp +++= ...

)t(i

)t(v

1Cv 2Cv

3Cv2C1C

Cn 3C

Cnv

t(v )

)t(i

Cs Csv

)t(i )t(v1Ci 2Ci Cni

Cn2C1C

t(v )

)t(i

Cp Cpv

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U.C. Facultad de Ingeniería. Circuitos Eléctricos I C.E.A.N. 2010 Apuntes del Prof. Arturo Castillo. 26TRANSFORMACIÓN ESTRELLA – DELTA : Cuando un circuito como el mostrado en la figura, se quiere reducir a un resistor equivalente R, se encuentra que en ninguna parte existen resistores en serie o en paralelo para sacar un equivalente, sino que se tienen conexiones cuya forma de configuración se llaman Estrella o Delta: Para resolver esto se reemplaza una parte de la red con un circuito equivalente, y esta conversión permite con facilidad, reducir la combinación de resistencia a una sola resistencia equivalente, esta conversión se llama, dependiendo de la conexión de los elementos del circuito, transformación Estrella - Delta o Delta - Estrella (Y-∆ , ∆ -Y). En las figuras se observa las configuraciones para la transformación Estrella-Delta, Delta-Estrella, donde los subíndices indican el nodo (o nodos) donde está conectada cada resistencia. Las ecuaciones que relacionan las resistencias Rab, Rac y Rbc (conexión ∆) con las resistencias Ra, Rb y Rc (conexión Y) se derivan de la siguiente forma: Para que entre las dos redes sean equivalentes cada par de terminales, es necesario que las resistencias equivalentes en los terminales correspondientes sean iguales (es decir, que la resistencia equivalente en los terminales a y b con c a circuito abierto debe ser la misma para ambas redes). Por consiguiente si se igualan las resistencias para cada conjunto correspondiente de terminales, se obtienen las siguientes ecuaciones: Resolviendo este conjunto de ecuaciones para obtener Ra, Rb y Rc (conexión Y) conociendo los elementos en conexión Delta, Rab, Rac y Rbc, se obtiene (transformación ∆ - Y):

Configuraciones Estrella-Delta en un grupo de resistores.

Configuraciones para la transformación Estrella-Delta, Delta-Estrella.

De manera similar, para obtener a Rab, Rac y Rbc (conexión ∆) conociendo los elementos en conexión Y, Ra, Rb y Rc, se obtiene (transformación Y - ∆): Estas ecuaciones son relaciones generales y se aplican a cualquier conjunto de resistores conectados en Estrella o en Delta. Para el caso balanceado donde Ra = Rb = Rc = RY y Rab = Rac = Rbc = R∆, las ecuaciones precedentes se reducen a:

3

RRY

∆= RY3R .=∆

bcacab

bcacabbaabeq RRR

RRRRRR

+++=+= ).(

_

abacbc

abacbccbbceq RRR

RRRRRR

+++

=+=).(

_

bcacac

bcabacacaceq RRR

RRRRRR

+++

=+=).(

_

bcacab

bcabb RRR

RRR

++=

.

bcacab

bcacc RRR

RRR

++=

.

c

cacbbaab R

RRRRRRR

... ++=

b

cacbbaac R

RRRRRRR

... ++=

a

cacbbabc R

RRRRRRR

... ++=

bcacab

abaca RRR

RRR

++=

.

1R 2R

NO EXISTE ELEMENTOS NI EN SERIE NI EN PARALELO

3R

4R 5R

a

b c

aR

bR cR

ELEMENTOS ENCONFIGURACIÓN

"Y"

a

b c

ELEMENTOS ENCONFIGURACIÓN

"∆"acRabR

bcR

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U.C. Facultad de Ingeniería. Circuitos Eléctricos I C.E.A.N. 2010 Apuntes del Prof. Arturo Castillo. 27TRANSFORMACIÓN DE FUENTES.

FUENTES EQUIVALENTES : Las fuentes de voltaje o fuentes de corriente admiten equivalentes entre si cuando se encuentran en paralelo o en serie. El objetivo de la equivalencia de fuentes en la red es prepararla para un análisis que sea simple y directo, simplificando el circuito donde se encuentran. Si se tienen dos fuentes de voltaje V1 y V2 como se muestran en la figura, conectadas en serie, con las polaridades de referencia indicadas, estas son equivalentes a una sola fuente de voltaje V1 + V2. De la misma manera, dos fuentes de corriente en paralelo, I1 e I2, son equivalentes a una sola fuente de corriente, I1+I2. En la figura se muestra esta transformación. Las anteriores conclusiones implican una suma algebraica, por lo que se debe tener cuidado con los sentidos y referencias de las fuentes. Dos fuentes de voltaje en paralelo no deben conectarse a menos que tengan voltajes idénticos y de la misma manera, las fuentes de corriente no se deben conectar en serie, a menos que sean idénticas. En la figuras se observa la transformación de fuentes de voltaje en paralelo y de fuentes de corriente en serie.

Transformación de fuentes de voltaje en serie.

Transformación de fuentes de corriente en paralelo.

Transformación de fuentes de voltaje en paralelo y de fuentes de corriente en serie. Dos casos particulares donde están involucradas la fuente de voltaje y la fuente de corriente es cuando se encuentra en paralelo una resistencia con una fuente de voltaje o una resistencia en serie con una fuente de corriente. En el primer caso, la corriente que pasa por el resistor está determinada solo por la fuente de voltaje y no por el resto de la red; en lo que respecta a los cálculos en el resto de la red, es posible hacer caso omiso de un resistor en paralelo con una fuente de voltaje cuando se desea calcular la corriente en otro elemento del circuito. Esta resistencia solo afectará la fuente de voltaje del circuito que tenga en paralelo. En la figura se muestra el caso donde hay una fuente de voltaje con un resistor en paralelo. En el segundo caso, donde el resistor está en serie con una fuente de corriente, el resistor no afecta en ninguna forma a la corriente de la fuente que llega al resto del circuito. En lo que respecta a los cálculos para el resto de la red, es posible omitir de la representación de la red a un resistor en serie con una fuente de corriente, en caso de que se necesite el voltaje de la fuente de corriente, entonces es necesario tomar en cuenta el voltaje de esa resistencia. En la figura 2.14.5 puede observarse este segundo caso.

Fuentes de voltaje con resistor en paralelo.

Fuentes de corriente con resistor en serie.

V1

V2

V1+V2

I1 I2 I1+I2

V1 V2 V1

FUENTE EQUIVALENTEVÁLIDOSOLO SIV1=V2

I1

I2

I1

FUENTE EQUIVALENTEVÁLIDOSOLO SII1=I2

R)t(v )t(v )t(v )t(v

R)t(i

)t(i

)t(i

)t(i

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U.C. Facultad de Ingeniería. Circuitos Eléctricos I C.E.A.N. 2010 Apuntes del Prof. Arturo Castillo. 28TRANSFORMACIÓN DE FUENTE DE VOLTAJE A FUENTE DE CORRIENTE : Para que pueda existir transformación de fuente de voltaje a fuente de corriente, tiene que haber una configuración específica, para que se mantenga el mismo voltaje y corriente entre los terminales donde se realiza la transformación. La configuración consiste en que debe de tener en serie un resistor, y al transformar la fuente, quedará una fuente de corriente con un resistor en paralelo. En el siguiente circuito por la Ley de Voltaje de Kirchhoff (LVK) se cumple la ecuación: )()(.)( tvti1Rtv 11 +=

al despejar i1( t ) se obtiene: al comparar con el circuito equivalente en la ecuación de nodo:

1R

tv )( representa EQI y 1R

tv1 )( representa la corriente por EQR por lo tanto

se cumple que:

Fuentes de voltaje con resistor en serie. Fuentes de corriente equivalente con resistor en paralelo.

En la figura se observa la transformación de fuente de voltaje a fuente de corriente. Se ha de notar que el resistor equivalente, aunque tenga el mismo nombre y valor de resistencia, no tiene ni el voltaje ni la corriente que el resistor original. También se transforman fuentes de voltajes controladas, siempre y cuando no se pierda la variable de control en el circuito donde se hace la transformación.

Transformación de fuente de voltaje a fuente de corriente. TRANSFORMACIÓN DE FUENTE DE CORRIENTE A FUENTE DE VOLTAJE : La transformación de fuente de corriente a fuente de voltaje se logra cuando la fuente tiene un resistor en paralelo, y al transformarla, queda una fuente de voltaje con un resistor en serie. En el siguiente circuito por la Ley de Corriente de Kirchhoff (LCK) se cumple la ecuación: al despejar a queda: que representa la ecuación de malla del circuito equivalente:

)(. ti1R representa EQv y )(. ti1R 1 la caída de voltaje en EQR por lo tanto se cumple que:

Fuentes de corriente con resistor en paralelo.

Fuentes de voltaje equivalente con resistor en serie. En la figura se observa la transformación de fuente de corriente a fuente de voltaje. Se ha de notar que el resistor equivalente, aunque se nombre igual y tenga el mismo valor de resistencia, no tiene ni el voltaje ni la corriente que tiene el resistor original. También se transforman fuentes de corrientes controladas, siempre y cuando no se pierda la variable de control en el circuito donde se hace la transformación.

Transformación de fuente de corriente a fuente de voltaje.

1R

tv

1R

tvti 1

1)()(

)( −=

EQ

1EQ1 R

tvIti

)()( −=

)(.)(.)( ti1Rti1Rtv 11 −=

)(.)( tiRVtv 1EQEQ1 −=

1RREQ =1R

tvI 1

EQ)(

=

)t(v1

R1 )t(v

1 )t(i

)t(v

1 )t(i

EQIEQR 1 )t(v

R1 )t(v

1 )t(i

)t(v

1 )t(i

1 )t(v1R1R)t(v

1 )t(i

1 )t(v1R)t(i

1 )t(v

1 )t(i

EQREQV

)(.)(

)()( ti1R

tvtiti 1

11 +=

)(. tiRV 11EQ =1RREQ =

1 )t(i

1 )t(v1R)t(i 1 )t(v

1 )t(i

1R)t(i.1R

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U.C. Facultad de Ingeniería. Circuitos Eléctricos I C.E.A.N. 2010 Apuntes del Prof. Arturo Castillo. 29SIMPLIFICACIÓN DE UN CIRCUITO : Como su nombre lo indica, es la obtención de un circuito equivalente o reducción de un circuito para facilitar el cálculo de una variable del circuito. La simplificación de un circuito hace uso de la transformación de fuentes y el cálculo resistencias equivalentes para obtener un circuito equivalente más simple. Se debe tener cuidado cuando existen fuentes controladas en que al simplificar el circuito, no se pierda la variable de control de la fuente controlada (o de la que quedará en la equivalente al transformarla).

Ejemplo: Determinar V0 simplificando el circuito aplicando la transformación de fuentes y cálculo de resistencias equivalentes.

La primera transformación que se realiza es la fuente de voltaje de V1 con R1 en serie, a una fuente de corriente en paralelo con una

resistencia equivalente R1:

Se determina una resistencia equivalente entre R1 y R2: Se transforma la IEQ1 a fuente de voltaje con resistencia en serie RP1:

Se determina una resistencia equivalente entre RP1 y R3:

mA4k3

V12

1R

VI 1

1EQ =Ω

==

Ω=Ω+Ω

ΩΩ== k2k6k3

k6k32R1RR 1P

.//

Ω=Ω+Ω=+= k4k2k23RRR 1P1S

V12

V1

1R k3 Ω 3R k2 Ω 4R k4 Ω

5R

k8 Ω 0VmA2

2I2R

k6 Ω

1R k3 Ω 3R k2 Ω 4R k4 Ω

2R

k6 ΩV12

V1

mA2

2I 5R

k8 Ω 0V

1Rk3 Ω

2R

k6 ΩI 1EQ

mA4mA2

2I 5R

k8 Ω 0V

3R k2 Ω 4R k4 Ω

I 1EQ

mA4R 1P

k2 Ω

3R k2 Ω 4R k4 Ω

0V5R

k8 ΩmA2

2I

3R k2 Ω

RP k2 ΩV 1EQ

V8

4R k4 Ω

mA2

2I 5R

k8 Ω 0V

Page 10: 2. amplicaciones leyes de kirchhoff 2010

U.C. Facultad de Ingeniería. Circuitos Eléctricos I C.E.A.N. 2010 Apuntes del Prof. Arturo Castillo. 30

Se transforma VEQ1 a una fuente de corriente con resistencia en paralelo RS1: Se tienen dos fuentes de corriente en paralelo, por lo que se determina un equivalente entre ellas:

Se transforma la fuente de corriente IEQ3 a

fuente de voltaje con resistencia en serie RS1:

Se tienen tres resistencias en serie a una fuente de voltaje,

por lo que se aplica un divisor de voltaje para determinar V0:

Se observa que la transformación de fuentes permite simplificar un circuito para determinar alguna variable específica que se requiera.

mA2k4

V8

R

VI

1S

1EQ2EQ =

Ω==

mA4mA2mA2III 22EQ3EQ =+=+=

V16mA4.k4I.RV 3EQ1S2EQ =Ω==

V8k8k4k4

V16.k8

5R4RR

V.5RV

1S

2EQ0 =

Ω+Ω+ΩΩ=

++=

4R k4 Ω

5R

k8 Ω 0VmA2

2IV 1EQ

V8

RS k4 Ω

4R k4 Ω

5R

k8 Ω 0VRS

k4 ΩI 2EQ

mA2 mA2

2I

4R k4 Ω

R 1S

k4 ΩI 3EQ

mA4

5Rk8 Ω 0V

R 1S k4 Ω 4R k4 Ω

V 2EQ

V16 0V5R

k8 Ω