логарифмічна функція

02.05.2302.05.23 Новомар'ївка, 2007рНовомар'ївка, 2007р 11

ЛОГАРИФМІЧНЛОГАРИФМІЧНА А

ФУНКЦІЯ ФУНКЦІЯ


Цілі проектуЦілі проекту Познайомити Познайомити оточуючих з поняттям оточуючих з поняттям логарифма, його логарифма, його функцією, графіком та функцією, графіком та властивостями.властивостями.


Історична довідка.Історична довідка. Логарифм числа.Логарифм числа. Логарифмічна функція, її графік і Логарифмічна функція, її графік і

властивості. властивості. Логарифмічні рівняння та нерівності.Логарифмічні рівняння та нерівності.



Ідея створення логарифмівІдея створення логарифмів бере початок ще від Архімедабере початок ще від Архімеда (бл.287-212 р. до н. е.), але(бл.287-212 р. до н. е.), але перший крок до спрощення перший крок до спрощення обчислень зробив німецькийобчислень зробив німецький математик математик

Михаель Штіфель(1487-1567).Михаель Штіфель(1487-1567).


Термін Термін “логарифм”“логарифм” належить належить шотландському шотландському математику Джону математику Джону Неперу (1550-1617), Неперу (1550-1617), який у 1614 році який у 1614 році вперше опублікував вперше опублікував працю “Описання працю “Описання дивовижної таблиці дивовижної таблиці логарифмів”. логарифмів”.


Логарифми також вивчав Логарифми також вивчав швейцарський математик, астроном і швейцарський математик, астроном і механік Йост Бюргі (1552-1635). Свої механік Йост Бюргі (1552-1635). Свої таблиці він опублікував у 1620 році. таблиці він опублікував у 1620 році. Через чотири роки логарифмічні таблиці Через чотири роки логарифмічні таблиці надрукував Генрі Брігс( 1561-1631), а у надрукував Генрі Брігс( 1561-1631), а у 1629 їх доповнив А. Влокк.1629 їх доповнив А. Влокк.

Пізніше ці таблиці назвали таблицями Пізніше ці таблиці назвали таблицями звичайних логарифмів. звичайних логарифмів.


Корінь рівняння Корінь рівняння a a x ==NN , де , де a>a>0, 0, aa≠≠1, називають 1, називають логарифмом числа логарифмом числа NN за за основою основою aa..

Логарифмом числа Логарифмом числа N N за за основою основою

a (a>0 i aa (a>0 i a≠≠1)1)називається називається показник степеня показник степеня x x,, до якого до якого треба піднести треба піднести aa, щоб дістати , щоб дістати числочисло N N..


Логарифм числа Логарифм числа N N за основою а дорівнює х, за основою а дорівнює х, а записується це так:а записується це так:

log log a a NN= х= х Наприклад, з рівності Наприклад, з рівності 553 = 3 = 125 125 випливає, що випливає, що

log log 55125 = 3125 = 3

ПРИМІТКА :ПРИМІТКА : Вираз Вираз loglog a a N N, де , де a>0, aa>0, a≠≠00 має смисл має смисл

лише при лише при N>0 N>0..


Основна Основна логарифмічна логарифмічна

тотожністьтотожність aaxx = N = N x = log x = log a a NN a a loglog a a N N =N =N

55loglog55125125 = 125 = 125 10 10 lg1000lg1000 = 1000 = 1000 log 9log 9 = 9 = 9

31

31


Логарифм добутку двох додатних Логарифм добутку двох додатних множників дорівнює сумі їхмножників дорівнює сумі їх логарифмів,логарифмів, тобтотобто log a (N1N2) =log a N1+log a N2log a (N1N2) =log a N1+log a N2, де , де NN11>0>0, , NN22>0>0


Логарифм частки двох додатних Логарифм частки двох додатних чисел дорівнює різниці логарифмів чисел дорівнює різниці логарифмів діленого і дільника (дробу діленого і дільника (дробу чисельника і знаменника), тобточисельника і знаменника), тобто

Log Log aa N N11/N/N22=log =log aa N N11- log - log aa N N2 2 ,, де де NN11>0,>0, NN22 >0 >0


Логарифм степеня додатного Логарифм степеня додатного числа дорівнює показнику степеня, числа дорівнює показнику степеня, помноженому на логарифм основи помноженому на логарифм основи цього степеня, тобтоцього степеня, тобто Log a (Nm) =mLog a (Nm) =m log a N, mlog a N, m – будь- – будь-яке число,яке число, N>0 N>0


Логарифм кореня з додатного числа Логарифм кореня з додатного числа дорівнює логарифму підкореневого виразу, дорівнює логарифму підкореневого виразу, поділеному на показник кореня, тобтоподіленому на показник кореня, тобто Log Log aa = =

Застосовуючи теорему №3 маємо:Застосовуючи теорему №3 маємо: log log aa = log = log aa N N 1/k1/k = log = log aa N = N =

K NkaNlog

K N k1

kaNlog


Якщо логарифми двох додатних Якщо логарифми двох додатних чисел за тією самою основою рівні, чисел за тією самою основою рівні, то й самі числа рівні. І навпаки, якщо то й самі числа рівні. І навпаки, якщо два додатні числа рівні, то і їх два додатні числа рівні, то і їх логарифми за тією самою основою логарифми за тією самою основою рівні.рівні.


Логарифм одиниці дорівнює нулю.Логарифм одиниці дорівнює нулю. Це випливає з означення степеня з Це випливає з означення степеня з

нульовим показником.нульовим показником. Логарифм основи дорівнює Логарифм основи дорівнює

одиниці, тобто одиниці, тобто log log a a= 1 a= 1. Це випливає . Це випливає з того, щоз того, що a a11=a=a..


Прологарифмувати одночлен означає виразити його логарифм через логарифми додатних чисел, що входять до його складу.


Log b a = ablog1

Log a N = log a k N k

Log a n N = log a Nn1


це перетворення, за допомогою це перетворення, за допомогою якого за даним логарифмом числа якого за даним логарифмом числа визначають саме число.визначають саме число.


Log a N = Log b N log a b


ірраціональне число, наближене ірраціональне число, наближене значення якого значення якого ≈ ≈ 22,718,718


називають логарифми з основою е. називають логарифми з основою е.

Позначають їх Позначають їх ln xln x..Наприклад, Наприклад, ln e =1, ln e =1, ln 1= 0,ln 1= 0, ln 2 = 0,693,ln 2 = 0,693, ln 3 =1,098ln 3 =1,098



1)Область визначення логарифмічної 1)Область визначення логарифмічної функції – множина всіх додатних чисел.функції – множина всіх додатних чисел.

2)Область значень логарифмічної функції 2)Область значень логарифмічної функції – множина всіх дійсних чисел.– множина всіх дійсних чисел.

3)Логарифмічна функція на всій області3)Логарифмічна функція на всій області визначення визначення RR зростає, зростає, якщо аякщо а>1>1 і спадає, і спадає, якщо 0якщо 0<a<1<a<1..


ЛОГАРИФМІЧНИМИ НАЗИВАЮТЬ РІВНЯННЯ , ЯКІ МІСТЯТЬ НЕВІДОМУ ПІД ЗНАКОМ ЛОГАРИФМА.

НАПРИКЛАД,

Log ½ х = -3

Х = (1/2) -3

X = 8


Якщо а Якщо а >1>1, то логарифмічна функція , то логарифмічна функція зростає, тому більшому логарифму зростає, тому більшому логарифму відповідає більше значення виразу, що відповідає більше значення виразу, що стоїть під знаком логарифма.стоїть під знаком логарифма.

Якщо Якщо a< 1a< 1, то більшому логарифму , то більшому логарифму відповідає менше значення виразу, що відповідає менше значення виразу, що стоїть під знаком логарифма.стоїть під знаком логарифма.


Education

логарифмічна функція