บทที่ 12กลศาสตร์ของไหล

กลศาสตร์ของไหลแบง่เป็น 2 ลกัษณะ คอืสถิตศาสตร์ของไหล เป็นการศกึษาของไหลที่อยูน่ิง่ ซึง่อยูใ่นสภาวะสมดลุ เป็นไปตามกฎข้อท่ี 1 ของนิวตนั พลศาสตร์ของไหล เป็นการศกึษาของไหลที่เคลือ่นท่ี

สถติศาสตร์ของไหล

ของไหล หมายถงึของเหลว และแก๊ส

ความหนาแน่น (Density)

ความหนาแนน่ของวตัถคุือ มวลตอ่หนึง่หนว่ยปริมาตร ความหนาแนน่มีหนว่ยเป็น kgm-3 แทนด้วยสญัลกัษณ์กรีก (อา่นวา่ rho,โร)

= V

m

gcm-3 gcm-3

2.7 10.5

8.6 7.8

8.9 13.6

19.3 0.81

0.92 0.90

7.8 1.26

11.3 1.00

21.4 1.03

ความหนาแน่นสัมพัทธ์ (เดมิเรียกวา่ความถ่วงจ าเพาะ) คือ ความหนาแนน่ของวสัดนุัน้เทียบกบัความหนาแนน่ของวสัดทุีใ่ช้เป็นมาตรฐาน วา่มีคา่เป็นก่ีเทา่ของความหนาแนน่ของวสัดุมาตรฐาน โดยทัว่ไปถ้าเป็นของแข็งหรือของเหลวเราจะให้น า้เป็นวสัดมุาตรฐาน แตถ้่าเป็นแก๊สนิยมใช้ออกซิเจนเป็นวสัดมุาตรฐาน

= นของน ้ำควำมหนำแน่นวสัดุควำมหนำแน่

ความดันในของไหล

ความดนัของของไหลสถิต จะเหน็วา่ความดนัท่ีกระท า ณ สว่นใด ๆ ของของเหลวมีคา่เทา่กนัทกุจดุ

p = A

F

หนว่ยมาตรฐานของความดนัคอื นิวตนัตอ่ตารางเมตร (Nm-2) เรียกอีกช่ือหนึง่วา่ ปาสคาล เขียนด้วยอกัษรยอ่ Pa

แรงดนัขึน้ = แรงดนัลงpA = (p + dp) A

pa - p = -g (y2 - y1)

p = pa + gh

ความดนัที่ระดบัความลกึเดียวกนัยอ่มเทา่กนั รูปร่างของภาชนะไมเ่ก่ียวข้องกบัความดนั

หลอดแก้วรูปตัวย ู

pB = pa + 1 gh1

B

p = pa + 2 gh2

1 h1 = 2 h2

ตัวอย่าง หลอดแก้วรูปตวัย ูมีพืน้ท่ีหน้าตดัสม ่าเสมอ ใสป่รอทท่ีมีความหนาแนน่ 13.6 103 kg. m-3 ต้องเติมน า้ลงในหลอดข้างหนึง่ให้สงูเทา่ใด จึงจะท าให้ระดบัปรอทในแขนอีกข้างหนึง่สงูขึน้จากเดิม 2.5 cm. ให้ความหนาแนน่ของน า้เทา่กบั 103 kg. m-3

หลักการค านวณ

y = 2 h

y = 33

233

.10

)105)(.106.13(

mkg

mmkg

= 0.68 m

= 68 cm.

มานอมิเตอร์ (open tube manometer

p - pa = g (y2 -y1) = gh

กฎของปาสคาล

A

F

A

f

เม่ือเพิ่มความดนั ณ ต าแหน่งใดๆ ในของเหลวที่อยู่น่ิงในภาชนะปิด ความดนัที่เพ่ิมขึน้จะถ่ายทอดไปยงัทุกๆจุดในของเหลวนัน้

ตัวอย่าง เคร่ืองอดัไฮดรอลกิเคร่ืองหนึง่ ก าหนดให้ลกูสบูเลก็มีเส้นผา่ศนูย์กลางยาว 1 cm

ออกแรงกดขนาด 50 N ท าให้ลกูสบูเลก็เคลือ่นท่ีลง 7 cm ถ้าลกูสบูใหญ่มีเส้นผา่ศนูย์กลาง 20

cm จงค านวณหา ก) แรงดนับนลกูสบูใหญ่ข) ความดนับนลกูสบูใหญ่ค) ถ้าต้องการให้ลกูสบูใหญ่เคลือ่นท่ีขึน้สงู 10 cm จะต้องออกแรงกดที่ลกูสบูเลก็ก่ีครัง้

) = F1 , p1 = A1

= F2 , p2 = A2

p1 = p2

1

1

A

F =

2

2

A

F

22

)10x2

1(

50

= 22

2

)10x2

20(

F

F2 = 50 (20)

2

= 2 104 N

.)

p2 =

2

2

A

F

= 22

4

)10x2

20(

x102

Nm-2

= 63.7 104 Nm-2

.) V V

A1h1 = A2 h2

h1 = 7 10-2 m

2

22

10x7x10x2

1 = 2

22

h10x20x2

1

h2 = 20x20

10x72

m

= 1.75 10-4 m

1 1.75 10-4 m =1.75 10

-2 cm

10 cm

= 2

101.75

10

= 0.571 103 = 571

แรงลอยตัว

หลกัของอาร์คิมดีิส ( Archimedes principle) ซึง่กลา่วไว้วา่ เมื่อสว่นใดสว่นหนึง่ของวตัถหุรือทัง้ก้อน จมในของเหลว จะมีแรงลอยตวั (buoyant force) กระท าตอ่วตัถนุัน้มีขนาดเทา่กบัน า้หนกัของของเหลวทีถ่กูแทนท่ีโดยวตัถนุัน้

F2 – F1 = g ( y2 – y1) A

= g h A

=

ตัวอย่าง ลกูลอยทรงกลมทีใ่ช้ในเคร่ืองสขุภณัฑ์ มีเส้นผา่นศนูย์กลาง 12 ซม. ขณะที่ลอยอยูมี่ปริมาตรสว่นท่ีจมน า้เพียงคร่ึงหนึง่ของทรงกลม จงหาน า้หนกัของลกูลอย ถ้ามีน า้ร่ัวเข้าไปภายใน น า้จะร่ัวเข้าไปเทา่ใดจงึจะท าให้ลกูลอยจมมดิน า้พอดี ให้ความหนาแนน่ของน า้เทา่กบั 103 kg.m-3

หลักการค านวณ (FB) =

= g V

= (103 kg.m

-3)( 9.8 m.s

-2)(0.5 (4/3) 0.06

3 m

3)

= 4.43 N

W = FB = 4.43 N ( 0.452 )

(W) + ( w) = ( FB )

W + w = g ( )

= (103 kg.m

-3)( 9.8 m.s

-2)( (4/3) 0.06

3 m

3)

= 8.86 N

w = 8.86 – W = 8.86 – 4.43 N

= 4.43 N

4.43

ความตึงผิวแรงตงึผิว หมายถึงแรงทีเ่กิดขึน้ท่ีผิวหน้าของของเหลว เป็นผลรวมของแรงยดึเหน่ียวระหวา่งโมเลกลุของของเหลวด้วยกนั หรือเป็นผลรวมของแรงยดึเหน่ียวระหวา่งโมเลกลุของของเหลวกบัโมเลกลุของภาชนะหรือของไหลชนิดอ่ืนท่ีมนัสมัผสั แรงตงึผิวจะอยูใ่นแนวขนานกบัผิวหน้าของของเหลวเสมอ แรงนีพ้ยายามท าให้พืน้ท่ีผิวของของเหลวมีขนาดน้อยที่สดุ

ทิศทางของแรงตงึผิวมีทิศขนานกบัผิวหน้าของของเหลว

แรงตงึผิว ( F ) แปรผนัตรงกบัความยาวของผิวหน้าของของเหลวที่แรงนัน้กระท าในแนวตัง้ฉาก

F L F = L =

r4

F

()

(10-3 -1

)

20 28.9

20 22.3

20 63.1

20 465

20 25

0 75.6

20 72.8

60 66.2

100 58.9

-193 15.7

-247 5.15

-269 0.12

20 26.8

20 32.0

ตัวอย่าง วงลวดเหลก็รูปวงกลม มีเส้นรอบวง 160 มม. หยอ่นให้แตะผิวของแอลกอฮอล์ ต้องออกแรงดงึเทา่กบั 7.72 10-3 นิวตนั ลวดจงึจะหลดุจากแอลกอฮอล์ได้ จงหาความตงึผิวของแอลกอฮอล์

F = r4

F

= m

N3

3

101602

1072.7

= 0.0241 N/ m

สภาพรูหลอดเล็กหรือสภาพคะปิลลารี (Capillary )

y = rg cos2

ตัวอย่าง หลอดเลก็ที่สง่น า้และอาหารภายในต้นไม้ มีรัศมี 0.02 mm ถ้า มมุสมัผสัของน า้กบัหลอดสง่น า้มีคา่เป็น 0 จงหาความสงูของน า้ซึง่จะถกูยกตวัสงูขึน้ โดยแรงตงึผิวเพียงแรงเดียว

y = gr

sos2

= )s)(9.8mmkgm)(1010(2

)m(2)(0.073N2335

1

= 0.74 m

74 cm

พลศาสตร์ของไหล

สมการความต่อเน่ือง (Continuity equation)

A1v1 = A2v2

สมการเบอร์นูลลี

p1 + gy1 +2

1 v12 = p2 + gy2 +

2

1 v22

น า้ประปาไหลผ่านทอ่ขนาดเส้นผ่านศนูย์กลาง 2 ซม. เข้าไปในบ้านชัน้ลา่ง ด้วยความดนัสมบรูณ์ 4105 ปาสคาล (ประมาณ 4 atm.) ความเร็วของน า้ 4 เมตร / วินาที ทอ่ถกูตอ่ขึน้ไปที่ห้องน า้ชัน้สองซึง่อยูส่งูจากชัน้ลา่ง 5 เมตร ท่อในห้องน า้มีเส้นผ่านศนูย์กลาง 1 ซม. จงหาความเร็วและความดนัของน า้ในห้องน า้

1 2 2 v2 2 v2 =

12

1v

A

A = )s.m4()cm5.0(

)cm0.1( 1

2

2 = 16 m/s

y1 = 0 y2 = 5 m p1 , v1 p2

p2 = )yy(g)vv(2

1p

12

2

1

2

21

= )m5)(s/m8.9)(m.kg10()s.m16s.m256)(m.kg10(2

1pa104

2332222335

= 2.3 105 Pa

2 3.5 105 Pa

ความหนืด

ความหนืด(viscosity) เป็นความเสยีดทานภายในของของไหล เกิดจากแรงระหวา่งโมเลกลุของของไหล

เม่ือปลอ่ยทรงกลม (อาจเป็นลกูเหลก็เลก็ ๆ) รัศมี r ให้เคลือ่นท่ีผา่นของไหลท่ีมีสมัประสทิธ์ิความหนืด และมี v เป็นความเร็วของทรงกลมสมัพทัธ์กบัของไหล แรงต้านการเคลือ่นที่ F

คือF = 6 rv

vT (terminal velocity)

+ - = 0

= = = 4

r3g

3

4 r

3g

6rvT + 3

4 r3 g -

3

4 r

3 g = 0

vT = )(9

gr22

ต อย่ ง12-12 2.0 mm = 7.9 10

3 kgm-3 = 1.3 10

3 kgm-3 = 0.833 Nsm-2

vT = )(9

gr22

vT = 33

2

223

mkg101.3)(7.9msN0.833

s9.8mm)10(2

9

2

= 6.9 10-2 ms-1