Download pdf - Zbirka rešenih nalog iz Osnov elektrotehnike I · Ti čar, A. Orgulan, Zbirka rešenih nalog iz Osnov elektrotehnike I - 2 - 6. To čkasti nosilci elektrin Q1, Q2 in Q = 10-4 As

Tičar, A. Orgulan, Zbirka rešenih nalog iz Osnov elektrotehnike I

Zbirka rešenih nalog iz Osnov elektrotehnike I

Prof. dr. Igor Tičar

mag. Andrej Orgulan


A. Orgulan, Zbirka rešenih nalog iz Osnov elektrotehnike I

- 1 -

1. Elektrostatično polje

1.1. Coulombov zakon in električna poljska jakost

1. Dve mali telesi sta naelektreni z enako elektrino in oddaljeni 60 cm.

S kakšno elektrino sta naelektreni, če delujeta ena na drugo s silo

0,9 N?

2. Koliko mora biti mali nosilec elektrine Q = 5·10-6

As oddaljen od

drugega, ki je nabit z elektrino Q1= 8·10-6

As, da bo na Q1 delovala

sila F1= 1 N?

3. Izračunajte rezultantno silo na elektrino Q = 9·10-8

As, ki jo

povzročata elektrini Q1= 4·10-6

As in Q2= 6·10-6

As. Mali nosilci

elektrin ležijo v ravnini, kot je prikazano na sliki. (a = 9 cm)

4. S kakšno silo delujejo točkaste elektrine Q1 = -Q2 = Q3 = 18·10-6

As

na elektrino Q = 8·10-6

As. Elektrine so nameščene v zraku kot je

prikazano na sliki (a = 3 cm).

5. Točkasti nosilci elektrin Q1= -4·10-6

As, Q2= 3·10-6

As in Q3= Q1 so

nameščeni v ogliščih enakostraničnega trikotnika s stranico

a = 4 cm. Izračunajte električno poljsko jakost, ki jo elektrine

povzročajo na polovici zveznice med Q1 in Q3.

x

Q3

Q1

y

a a/2

Q2

T

x

Q

Q3

y

a

a

Q2

a a

a

Q1

x

Q

Q1

y

a

a Q2

r

Q Q


- 2 -

6. Točkasti nosilci elektrin Q1, Q2 in Q = 10-4

As so nameščeni v

zraku, kot kaže slika (a=1,5 cm, b= 2,6 cm). Določite elektrini Q1 in

Q2 tako, da bo na nosilec elektrine Q delovala sila 866 1 NyF = ⋅��

.

7. Izračunajte silo na nosilec elektrine Q = 10-6

As, ki je v

elektrostatičnem polju elektrin Q1 = 10-6

As in Q2. Kolika je

elektrina Q2, če deluje med Q2 in Q sila 22 1,8 1 NrF = − ⋅��

? Nosilci

elektrin so v zraku in nameščeni kot kaže slika

(a=1 cm).

8. Trije točkasti nosilci elektrine so nanizani na tanki vrvici tako, da

se lahko prosto premikajo (v smeri vrvice). Izračunajte kakšna

mora biti elektrina Q2 in razdalja b, da bodo vsi nosilci elektrin

mirovali, če sta dani elektrini Q1 = 2·10-6

As, Q3 = 8·10-6

As in

razdalja b = 8 cm.

9. Izračunajte električno poljsko jakost, ki jo v točki T povzročajo tri

točkaste elektrine Q1 = 10-6

As, Q2 = - 4·10-6

As in Q3 = 2·10-6

As,

razporejene kot kaže slika (a = 2 cm).

10. Izračunajte električno poljsko jakost, ki jo v točki T povzročajo tri

točkaste elektrine Q1 = 3·10-6

As, Q2 = - 6·10-6

As in Q3 = 10-6

As,

razporejene kot kaže slika (a = 6 cm).

11. Trije točkasti naboji povzročajo v točki T=(a,a) električno poljsko

jakost 4(16 1 20 1 ) 10x yVE

m= ⋅ − ⋅ ⋅

� ��

. Kolik je naboj Q3, če sta

Q1=18·10-8

As in Q2=-10·10-8

As (a=9 cm)

x Q3

Q1

y

a Q2

a

T

x

T

Q3

y

a

a

Q2

a

a

Q1

a

a

x

T

Q3

a

a

Q2

a a

a

Q1

a

a

y

Q1 Q3

b

Q2

a

x Q Q1

y

a

Q2

a

a

a

x

Q

Q1

y

a

Q2

b


- 3 -

12. Dva prema naboja se privlačita s silo 3 N/m. Eden od drugega sta

oddaljena za d = 4 cm. Kolika je vrednost Q2 na dolžini 18 cm, če

je znan premi naboj q1 = 6·10-6

As/m?

13. Izračunajte silo, ki jo dve premi elektrini q1= q2= 2·10-6

As/m

povzročata na točkasti naboj Q = 3·10-5

As, če so elektrine

nameščene tako kot je prikazano na sliki (a=5 cm, b= 2,9 cm).

14. Izračunajte silo na enoto dolžine, ki deluje na premo elektrino

q = 2·10-8

As/m, v elektrostatičnem polju, ki ga povzročata drugi

premi elektrini q1 = 5·10-6

As/m in q2 = 1·10-6

As/m. Naboji so

razporejeni kot je prikazano na sliki (a = 6 cm).

15. Naboji q1 =4·10-6

As/m, q2 in q3 =4·10-6

As/m so razporejeni, kot je

prikazano na sliki. V točki T = (a, 3a ⋅ ) povzročajo električno

poljsko jakost 5

7,79 10 1 V/myE = ⋅ ⋅��

. Kolika je prema elektrina q2?

(a = 4 cm)

16. Izračunajte električno poljsko jakost, ki jo v točki T=(–a, –a)

povzročajo tri preme elektrine q1= q2= q3= 6·10-7

As/m (a = 9 cm).

17. Določite lego (koordinate) preme elektrine q2 tako, da bo vrednost

električne poljske jakosti v točki T= (a, 3a ⋅ ) enaka nič, če so

elektrine q1= –5·10-6

As/m, q2= 3,17·10-6

As/m in q3= –5·10-6

As/m

razporejene kot kaže slika.

18. Določite električne poljske jakosti, ki jih v prostorih a, b in c

povzročata elektrini Q1 = 5·10-6

As in Q2 = –8·10-6

As nakopičeni

na dveh vzporednih ploščah s površino S = 20 cm2 in oddaljeni ena

od druge za d = 1 cm.

x

T

q1

y

a a q3

q2 3 a

x

q3

q1

y

a

a q2

T

x

T

q1

y

a a q3 q2

3 a

x

q

q1

y

a

a

a

q2

x

Q

q1

y

a

b

a q2

Q1 Q2

a b c

x

y


- 4 -

19. Izračunajte silo na točkasto elektrino Q =2·10-6

As, ki je v

elektrostatičnem polju dveh ravninskih elektrin σ1 = 4·10-6

As/m2 in

σ2 = –6·10-6

As/m2 razporejenih kot kaže slika.

20. V prostoru ležita dve vzporedni naelektreni ravnini. Na prvi s

površino A1= 2 m2 je nabrana elektrina Q1= 8·10

-6 As, na drugi s

površino A2=3 m2 je nabrana elektrina Q2= –6·10

-6 As. Določite silo

na enoto površine A2, če predpostavimo homogeno polje.

21. V prostoru ležita dve vzporedni naelektreni ravnini. Na prvi s

površino A1= 2 m2 je nabrana elektrina Q1= 16·10

-6 As, na drugi s

površino A2=3 m2 je nabrana elektrina Q2. Na površinsko enoto

ravnine A2 deluje sila 22 0,9 1 N mxF = ⋅

��

. Izračunajte velikost

elektrine Q2, če predpostavimo homogeno polje.

1.2. Električni potencial in napetost

22. Točkasta elektrina Q povzroča med dvema točkama na oddaljenosti r1= 2 cm in

r2= 5 cm potencialno razliko U= 1350 kV. Kolika je elektrina Q?

23. Točkasta elektrina Q= 5·10-6

As povzroča med dvema točkama na oddaljenosti

r1 in r2= 10 cm napetost U= 18 kV. Kolika je razdalja r1?

24. Osamljena prema elektrina q= 2·10-6

As/m visi prosto v zraku. Med dvema

točkama na razdalji r1= 4 cm in r2 od preme elektrine je napetost U= 33,1·103 V.

Kolika je razdalja r2 in kolike so električne poljske jakosti na razdaljah r1 in r2?

25. Premi naboj q = 2·10-6

As/m povzroča v točki T, ki je 3 m oddaljena od elektrine

električni potencial VT= 36·103 V. Določite oddaljenost do izhodišča potenciala.


As/m povzroča med točkama r1 = 2 m in r2 napetost

U = 59,3·103 V. Na kakšni oddaljenosti je R2?


As/m povzroča med točkama, ki sta oddaljeni od njega za

r1 in r2 = 8 cm, potencialno razliko U12 = 50,76 kV. Izračunajte oddaljenost r1.

Q1 Q2

x

y

S1 S2

Q1 Q2

x

y

S1 S2

σ1 σ2

x

y

Q


- 5 -

28. Kje je izhodišče potenciala, če povzroča prema elektrina q v točki

T(1/e, 0), električni potencial VT= 3,6·103 V (q = 2·10

-7 As/m)

29. Izračunajte potencial v točki T=(2a, a), ki ga povzročajo trije

točkasti naboji Q1 = – Q2 = Q3 = 6·10-6

As, če je izhodišče

potenciala v točki T0=(0, –a) in je sistem v vakuumu (a = 6 cm).

30. Izračunajte potencial v točki T=(a, 0), ki ga povzročajo trije točkasti

naboji Q1 = 2·10-6

As, Q2 = 4·10-6

As in Q3 = 8·10-6

As, če je

izhodišče potenciala v točki T0=(2a, a) in je sistem v vakuumu

(a = 8 cm).

31. Izračunajte potencial, ki ga v točki T=(0, 0) povzročajo točkasti

naboji Q1 = 5·10-6

As, Q2 = –4·10-6

As in Q3 = 60·10-6

As. Izhodišče

potenciala je v točki T0=(0, a), a = 6 cm.

32. Izračunajte napetost UBA med točkama B in A, ki jo povzročata dva

točkasta naboja Q1 = –4·10-8

As in Q2 = 6·10-8

As. Izhodišče

potenciala je v koordinatnem izhodišču, a = 5 cm.

33. Izračunajte napetost UAB med točkama A=(2a, a) in B=(a, 2a), ki

jo povzročata točkasti elektrini Q1= 2·10-6

As in Q2= 4·10-6

As

(a= 6 cm).

34. Izračunajte delo potrebno za prenos elektrine Q = 5·10-6

As iz točke

A = (2a, a) v točko B =(a; -a), v elektrostatičnem polju, ki ga

povzročata dve točkasti elektrini Q1 = 6·10-6

As in Q2 = -9·10-6

As

(a = 5 cm).

x q

y

1/e

T0 T

r0

x

y

a a

Q1

Q2

B

a

A

x

y

a a

Q1

Q2

B

A

a

a

a

x

y

a a

Q1 Q2

B A

a

x

Q2 y

a

a a

Q1 Q3

a

T

T0

a

x Q3

y

a

a a

Q1

Q2

a T

T0

x

Q3

y

a a

a

a

Q1

Q2

a

T

T0


- 6 -

35. Izračunajte delo pri premiku točkaste elektrine v točko A. Pred

premikom so elektrine nameščene v ogliščih enakostraničnega

trikotnika.

36. Izračunajte potencial, ki ga v točki T=(a, a) povzročajo tri preme

elektrine: q1= 5·10-6

As/m, q2= -4·10-6

As/m in q3= 6·10-6

As/m.

Izhodišče potenciala je v točki T1=(0, a). (a=4 cm)

37. Izračunajte potencial, ki ga v točki T= (2a, a) povzročajo preme

elektrine q1= 2·10-6

As/m, q2= 4·10-6

As/m in q3= 8·10-6

As/m.

Elektrine so razporejene kot je prikazano na sliki, izhodišče

potenciala je v točki T0= (a, 0) (a=10 cm).

38. Izračunajte potencial, ki ga v točki T= (0, 2a) povzročajo preme

elektrine q1= 4·10-6

As/m, q2= 5·10-6

As/m in q3= -6·10-6

As/m.

Elektrine so razporejene kot je prikazano na sliki, izhodišče

potenciala je v točki T0= (0, a) (a= 2 cm).

39. Izračunajte napetost UAB med točkama A=(-2a, a) in B=(-a, 2a), ki

jo povzročata premi elektrini q1= 2·10-6

As/m in q2= 4·10-6

As/m

(a =14,3 cm).

40. Izračunajte napetost UAB med točkama A=(a, a) in B=(2a, a), ki jo

povzročata premi elektrini q1= 9·10-7

As/m in q2= 3·10-7

As/m.

izhodišče potenciala je v koordinatnem izhodišču (a =3 cm).

x

y

a a

q2

B A

a

q1

x

y

a a

q2

B

A

a q1

V=0

a

x

y

a a

q2 q3

T

T0

a

q1

x

y

a a

q2 q3

T

T0

a

q1

a

x

y

a a

q1 q2

T T1

a

q3

x

y

a

Q1 Q2

A

a/2 a/2

Q3


- 7 -

41. Izračunajte napetost UBA med točkama B=(0, 2a) in A=(0, a), ki jo

povzročata premi elektrini q1= 2·10-6

As/m in q2= –6·10-6

As/m.

izhodišče potenciala je v koordinatnem izhodišču (a =6 cm).

42. Izračunajte napetost UAB med točkama A in B v homogenem

elektrostatičnem polju, ki ga povzroča neskončna ravninska

elektrina s površinsko gostoto σ = -5·10-6

As/m2 (a = 3 cm,

b = 12 cm in c = 4 cm).

43. Izračunajte napetost UAB med točkama A in B v homogenem

elektrostatičnem polju, ki ga povzroča neskončna ravninska

elektrina s površinsko gostoto σ = –17,7·10-10

As/m2 (a = 1 m).

44. Izračunajte potencial, ki ga v točki T povzroča valjna elektrina

q= 4·10-6

As/m. Elektrina leži pred neskončno veliko, ozemljeno

prevodno steno (a=8 cm).

45. Izračunajte potencial, ki ga v točki T povzroča valjna elektrina

q= –2·10-6

As/m. Elektrina leži pred neskončno veliko, ozemljeno

prevodno steno (a=4 cm)

46. Izračunajte silo, ki deluje na 12 cm dolgega tankega valja, ki je

naelektren z elektrino q= 4·10-6

As/m. Elektrina leži vzporedno z

neskončno veliko prevodno ozemljeno ravnino (a= 2 cm).

σ

a

a

A

2a

B

a

q

V=0

a

q

T

V=0

a

a

q T

a/2

V=0

σ

c a

A

b B

x

y

a a

q2

A

T0

a

q1

a

B


- 8 -

47. Izračunajte silo na valjno elektrino q1. Elektrini q1= 2·10-6

As/m in

q2= –3·10-6

As/m ležita pred neskončno veliko ravno ozemljeno

kovinsko steno (a= 18 cm)

48. Pred ozemljeno kovinsko steno ležita premi elektrini q1= 3·10-6

As/m in q2= 5·10-6

As/m, ki sta oddaljeni od stene za a= 1 cm, med

seboj pa za b= 9 cm. Izračunajte silo na elektrino q2.

49. Izračunajte električno poljsko jakost v točki T=(a, 0), ki jo

povzročata kovinski valj s polmerom R= 4 cm in prema elektrina q,

če vemo, da je kovinski valj na potencialu V= 2·103 V (a= 8 cm).

1.3. Elektrostatično polje v snovnih dielektrikih

50. V snovi z relativno dielektrično konstanto εr1= 6 poznamo električno

poljsko jakost E1= 5·105 V/m, ki vpada pod kotom 45° na stično

ploskev z dielektrikom z εr2= 5. Kolika je gostota električnega

pretoka D5 in pod kakšnim kotom α5 prehaja dielektrik z εr5= 3, po

prehodu polja skozi snovi z εr3= 3 in εr4= 8?

51. V snovi z relativno dielektrično konstanto εr1= 3 poznamo gostoto

električnega pretoka D1= 4·10-6

As/m2, ki vpada pod kotom α1 =30°

na stično ploskev z dielektrikom z εr2= 6. Kolika je električna

poljska jakost E5 in pod kakšnim kotom α5 prehaja dielektrik z

εr5= 6, po prehodu polja skozi snovi z εr3= 1 in εr4= 5?

52.

εr1

α1

1D�

εr2 εr3 εr4 εr5

α5

5E�

a

q1

q2

V=0

b

a

q1

V=0

x

y

a

q2

a

x

y

a

a

a

R

q

T

εr1

α1

1E�

εr2 εr3 εr4 εr5

α5

5D�


- 9 -

2. Rešitve nalog

2.1. Coulombov zakon in električna poljska jakost

1. Dvojico sil, ki nastopa med malima naelektrenima telesoma določa Coulombov zakon:

1 2

21r

Q QF k

r

⋅= ⋅ ⋅

��

,

kjer je:

9

0

1 Vm9 10

4 Ask

πε= = ⋅

Ker sta elektrini enako veliki in smer sile ni podana, lahko računamo s skalarji, elektrini sta lahko različnih

predznakov.

2 2 2 2

2 6

2 9

0,9 0,66 10 As

9 10

Q F r F rF k Q Q

k kr

−⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⇒ = ⇒ = = = ± ⋅

⋅

2. r = 0,6 m

3. Rezultantna sila na elektrino Q je vsota sil, ki ju povzročata

posamezni elektrini Q1 in Q2. Najprej določimo radijvektorje in

pripadajoče enotske smerne vektorje, kot je prikazano na sliki. Smer

radijvektorja je vedno od povzročitelja proti mestu, kjer opazujemo

dogajanje!

1

1r

1

11 1

y

y

ar

r a

⋅= = =

�

�

� �

2

2r

2

1 1 1 11 1 1 0,707 1 0,707 1

2 2 2

x y

x y x y

a ar

r a

− ⋅ + ⋅= = = − + = − ⋅ + ⋅

⋅

� �

�

� � � � �

Nato izračunamo obe sili:

( )

1

6 81

1 2 2120 1

4 10 9 101 1 0,4 1 N

4 4 8,854 10 0,09r y y

Q QF

rπε π

− −

−

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ = ⋅

⋅ ⋅ ⋅

� � ��

( )( ) ( )

2

6 82

2 2 212

0 2

6 10 9 101 0,7071 0,7071 0,21 1 0,21 1 N

4 4 8,854 10 2 0,09r x y x y

Q QF

rπε π

− −

−

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ − + = − ⋅ + ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

� � � � ��

In njuno vsoto:

( ) ( )1 2 0,4 1 0,21 1 0,21 1 0,21 1 0,61 1 Ny x y x yF F F= + = ⋅ + − ⋅ + ⋅ = − ⋅ + ⋅� � � � ��

x

Q

Q1

y

a

a Q2

1r1�

2r1�

1F�

2F�

F�


- 10 -

4. Podobno kot pri 3. nalogi najprej določimo razdalje,

radijvektorje in enotske smerne vektorje. Nato izračunamo

posamezne sile in jih seštejemo.

1 2 1xr a= ⋅�

�

2 2 1 2 1x yr a a= ⋅ + ⋅� �

�

3 3 1 1x yr a a= ⋅ + ⋅� �

�

1

1

1

2 11 1

2

xr x

ar

r a

⋅= = =

�

�

� �

( ) ( )2

2

2 22

2 1 2 1 2 1 2 1 1 11 1 1

2 2 2 22 2

x y x y

r x y

a a a ar

r aa a

⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅= = = = +

⋅+

� � � �

�

� � �

( ) ( )3

3

2 23

3 1 1 3 1 1 3 11 1 1

10 10 103

x y x y

r x y

a a a ar

r aa a

⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅= = = = +

⋅+

� � � �

�

� � �

( )

1

6 61

1 2 2120 1

18 10 8 101 1 359,5 1 N

4 4 8,854 10 2 0,03r x y

Q QF

rπε π

− −

−

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ = ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

� � ��

( )

( )

( )

2

6 6

22 2 2

120 2

18 10 8 10 2 21 1 1

2 24 4 8,854 10 2 2 0,03

1 1179,75 1 1 127,1 1 127,1 1 N

2 2

r x y

x y x y

Q QF

rπε π

− −

−

− ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ + =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= − ⋅ + = − ⋅ − ⋅

� � ��

� � � �

( )

( )

3

6 63

3 2 212

0 3

18 10 8 10 3 11 1 1

4 10 104 8,854 10 10 0,03

3 1143,8 1 1 136,4 1 45,5 1 N

10 10

r x y

x y x y

Q QF

rπε π

− −

−

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ + =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ + = ⋅ + ⋅

� � ��

� � � �

( )1 2 3 368,8 1 81,6 1 Nx yF F F F= + + = ⋅ − ⋅� ��

5. 1 2 3 2TE E E E E= + + =� � � � �

, saj se vpliva Q1 in Q3 odštejeta.

( )7 7 72

3 1 V2,25 10 1 2,25 10 1 1 1,951 1,1231 10

2 2 mT r x y x yE

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − + = − + ⋅

� � � � ��

6. V tem primeru poznamo rezultantno silo na elektrino Q in moramo iz

podane geometrije izračunati elektrini, ki to silo povzročata.

1 1 1 1,5 1 2,6 1x y x yr a b= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅� � � �

�

in 2 21 3cmr a b= + =

2 1 1,5 1y yr a= ⋅ = ⋅� �

�

Rezultatna sila na elektrino Q je vsota sil:

x

Q

Q3

y

a

a

Q2

a

a

Q1 11r

�

31r

�

21r

�

1F�

3F�

2F�

1r�

3r�

2r�

x

Q

Q1

y

a

Q2

b 1r

11r

�

21r

�

F�

1F�

2F�


- 11 -

1 2F F F= +� � �

( )1 21 2 2 2

0 1 0 2

1,5 2,61 1 1 0 1 866 1

3 34 4x y x x y

Q Q Q QF F F

r rπε πε

⋅ ⋅ = + = ⋅ + + ⋅ = ⋅ + ⋅

� � � � ��

Enačbo rešujemo posebej za x in posebej za y komponento:

2

60 1112

0 1

866 3 42,61 866 1 1 10 As

3 2,64y y

rQ QQ

Qr

πε

πε

−⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ = = ⋅

⋅

� �

( )1 2 1 2

2 2 2 20 1 0 2 1 2

1,5 1,51 1 0 1 0

3 34 4x x x

Q Q Q Q Q Q

r r r rπε πε

⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ + =

� � �

2

72 12 2

1

1,51,25 10 As

3

r QQ

r

−⋅ = − ⋅ = − ⋅

7. Iz dane sile lahko izračunamo Q2 in nato še silo zaradi Q1.

( )

2

2

2 2

22 2

0 2

22

0 72 0 22 6

14

1 1,8 4 0,01 5410 As

1 10 1

r

r

r r

Q QF

r

F rQ

Q

πε

πεπε −

−

⋅= ⋅

− ⋅ ⋅ ⋅⋅= = = −

⋅ ⋅

��

�

�

� �

1

11 2

0 1

1 10 1 N4

r x

Q QF

rπε

⋅= ⋅ = − ⋅

� ��

22

1 21,8 1 1,8 1 1 0,8 1 1,61 N

5 5r x y x yF

−= − ⋅ = − ⋅ − = ⋅ +

� � � � ��

¨

1 2 9,2 1 1,6 1 Nx yF F F= + = − ⋅ + ⋅� ��

8. Nosilci elektrin bodo mirovali, če bo vsota sil na vsakega izmed

njih enaka 0. Na vsak nosilec elektrine deluje dvojica sil.

Na prvi nosilec elektrine delujeta sili: 21 31 0F F+ =� �

,

na drugi nosilec elektrine delujeta sili: 12 32 0F F+ =� �

in na tretji nosilec elektrine delujeta sili: 23 13 0F F+ =� �

.

Izberemo si lahko dve enačbi in iz njih izračunamo elektrino Q2 in manjkajočo razdaljo.

Iz ravnovesne enačbe za elektrino Q2 lahko izračunamo:

x Q Q1

y

a

Q2

a

a

a

21r

�

11r

�

1r

1F�

2F�

Q1 Q3 b Q2 a

13F�

23F�

32F�

12F�

31F�

21F�


- 12 -

23 2 31 2 1 112 32 2 2 2 2

30 0

1 ( 1 ) 0 4cm4 4

r r

Q Q QQ Q Q QF F a b

Qa b a bπε πε

⋅⋅+ = ⋅ + ⋅ − = ⇒ = ⇒ = ⋅ =

� ��

Iz ene od preostalih enačb pa še elektrino Q2:

2 3 1 3 2 123 13 2 2 2 2

0 0

26 6

2 1 2

1 (1 ) 04 4 ( ) ( )

810 0,89 10 As

9( )

r r

Q Q Q Q Q QF F

b a b b a b

bQ Q

a b

πε πε

− −

⋅ ⋅ −+ = ⋅ + ⋅ = ⇒ = ⇒

+ +

= − ⋅ = ⋅ = ⋅+

� ��

9. 61

V( 0,71 1 2,13 1 ) 10

mx yE = − ⋅ − ⋅ ⋅� ��

62

V(5,76 1 3,84 1 ) 10

mx yE = ⋅ + ⋅ ⋅� ��

63

V( 2 1 1 1 ) 10

mx yE = − ⋅ − ⋅ ⋅� ��

61 2 3

V(3 1 0,7 1 ) 10

mT x yE E E E= + + = ⋅ + ⋅ ⋅

� ��

10. 61

V( 0,32 1 0,48 1 ) 10

mx yE = − ⋅ − ⋅ ⋅� ��

62

V(2,68 1 1,34 1 ) 10

mx yE = ⋅ + ⋅ ⋅� ��

63

V(0,08 1 0,24 1 ) 10

mx yE = ⋅ − ⋅ ⋅� ��

61 2 3

V(2,44 1 0,62 1 ) 10

mT x yE E E E= + + = ⋅ + ⋅ ⋅

� ��

11. V točki T podana električna poljska jakost TE�

je vsota električnih

poljskih jakosti zaradi posameznih točkastih elektrin:

1 2 3TE E E E= + +� � � �

Izračunamo lahko 1 2E in E� �

:

1

831

1 2 20 1 0

18 101 1 199,7 10

4 4r x

Q VEmr aπε πε

−⋅= ⋅ = ⋅ = ⋅

� ��

2

832

2 x y2 20 2 0

10 10 1 11 1 1 ( 39,2 1 39,2 1 ) 10

4 4 ( 2) 2 2r x y

Q VEmr aπε πε

−− ⋅ = ⋅ = ⋅ + = − ⋅ − ⋅ ⋅

⋅

� � � � ��

43 1 2 16 1 10T y

VE E E Em

= − − = − ⋅ ⋅��

2 8

3 3 4 14,5 10 AsoQ E aπ ε −= ⋅ ⋅ ⋅ = − ⋅

x Q3 a Q2

a

Q1

T

y

2E�

1E�

E�

3E�


- 13 -

12. 601 22

0 1

2 As1,11 10m2

F dq qF q

d q

πε

πε

−⋅ ⋅⋅= ⇒ = = ⋅

⋅

6 2 7

2 2 1,11 10 18 10 2 10 AsQ q l− − −

= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

13. Najprej izračunamo električno poljsko jakost, ki jo v točki kjer je nameščena točkasta elektrina

povzročata q1 in q2:

1

61

112 2 2 2 2 2

0 1

5 5

2 5 1 2,9 12 101

2 2 8,85 10 5 2,9 10 5 2,9

V3,45 10 (0,96 1 0,28 1 ) (3,32 1 0,96 1 ) 10m

x y

r

x y x y

qE

rπε π

−

− −

⋅ ⋅ + ⋅⋅ = = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ +

= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅

� �

��

� � � �

2

652

2 12 20 2

2 10 V1 1 12,4 10 1m2 2 8,85 10 2,9 10

r y y

qE

rπε π

−

− −

⋅= = ⋅ = ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

� � ��

51 2

V(3,32 1 13,36 1 ) 10mx yE E E= + = ⋅ + ⋅ ⋅

� ��

(9,95 1 40,1 1 ) Nx yF Q E= ⋅ = ⋅ + ⋅� ��

14. 3 3 31 2

N(6 1 12 1 ) 10 6 1 10 (12 1 12 1 ) 10mx y x x yF F F

− − −= + = ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅� � � � ��

15. Električna poljska jakost v točki T je enaka vsoti treh električnih

poljskih jakosti:

1 2 3 2 1 3T TE E E E E E E E= + + ⇒ = − −� � � � � � � �

Za izračun elektrine q2 moramo najprej izračunati E2.

2 1 3

5 5 5

5 5 5

7,79 10 1 (4,5 10 1 7,79 10 1 )

V( 4,5 10 1 7,79 10 1 ) 7,79 10 1m

T

y x y

x y y

E E E E= − − =

= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ −

− − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅

� � � �

� � �

� � �

Nato iz znane električne poljske jakosti izračunamo iskano elektrino:

62

As3 10m

q−= − ⋅

16. Električna poljska jakost v točki T je enaka vsoti treh električnih poljskih jakosti:

1 2 3

4 4 4 4

4 4

12 10 1 ( 6 10 1 6 10 1 ) ( 12 10 1 )

V18 10 1 18 10 1m

T

y x y x

x y

E E E E= + + =

= − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ =

= − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

� � � �

� � � �

� �

17. Elektrini q1 in q3 sta enako veliki in nameščeni simetrično glede na

točko T, torej bosta povzročali enako veliko električno poljsko jakost

E1= E3. Električno poljsko jakost 2E�

izračunamo iz znane električne

poljske jakosti v točki T:

x

T

q1

y

a a q3 q2

3 a

1E�

3E�

2E�

x

T

q1

y

a a q3

q2 3 a r1 r3

1E�

3E�

2E�


- 14 -

1 2 3 2 1 30TE E E E E E E= = + + ⇒ = − −� � � � � � �

( )

1 3 1 3

2

31 12

0 1 0 3 0 1

1 1

0 0

1 2

0 0 2

1 1 (1 1 )2 2 2

1 3 1 31 1 1 1 31

2 2 2 2 2 2 4

31 1

4 2

r r r r

x y x y y

y r

qq qE

r r r

q q

a a

q q

a r

πε πε πε

πε πε

πε πε

= − + = − + =

⋅ ⋅ ⋅

= − + − + = − ⋅ ⋅

⋅= − =

⋅ ⋅

� � � ��

� � � � �

� �

Najprej smo upoštevali enakost elektrin q1 in q3 in oddaljenosti r1 oz. r3. Dobljen rezultat nam daje,

glede na predznak elektrine q2, dve možnosti za njeno lego – nad in pod točko T. Ker je elektrina

pozitivna leži pod točko T, saj dobimo iz zadnjega izraza:

2

1 1r y=� �

in oddaljenost od točke T:

22

1

20,7321

3

a qr a

q

⋅= − = ⋅

⋅

Koordinati točke sta 2

( , )qT a a=

18. Upoštevati moramo, da elektrostatično polje spremeni predznak na

vsaki strani ravninske elektrine. Na prevodnih ploščah sta nabrani

ravninski elektrini:

6

3121 4

5 10 As2,5 10m20 10

Q

Aσ

−−

−

⋅= = = ⋅

⋅

6

3222 4

8 10 As4 10m20 10

Q

Aσ

−−

−

− ⋅= = = − ⋅

⋅

Silnice elektrostatičnega polja kažejo stran od pozitivne elektrine in k negativni elektrini, kar

upoštevamo pri grafični predstavitvi polja. Enotini smerni vektorji kažejo za vsak prostor in vsako

elektrino od povzročitelja proti mestu opazovanja. Za prostor a sta oba enotina smerna vektorja 1x−�

.

1

381

1 120

2,5 10 V1 ( 1 ) 1,4 10 1m2 2 8,85 10aa r x xE

σ

ε

−

−

⋅= = − = − ⋅ ⋅

⋅ ⋅

� � ��

2

382

2 120

4 10 V1 ( 1 ) 2,26 10 1m2 2 8,85 10aa r x xE

σ

ε

−

−

− ⋅= = − = ⋅ ⋅

⋅ ⋅

� � ��

8 8 81 2

V1,4 10 1 2,26 10 1 0,86 10 1ma a a x x xE E E= + = − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

� � ��

V prostoru b enotin smerni vektor zaradi prve elektrine spremeni predznak:

1

381

1 120

2,5 10 V1 (1 ) 1,4 10 1m2 2 8,85 10bb r x xE

σ

ε

−

−

⋅= = = ⋅ ⋅

⋅ ⋅

� � ��

82 2

V2,26 10 1mb a xE E= = ⋅ ⋅

��

σ1 σ2

a b c

x

y

1aE�

1bE�

2bE�

2cE�


- 15 -

8 8 81 2

V1,4 10 1 2,26 10 1 3,66 10 1mb b b x x xE E E= + = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

� � ��

V prostoru c spremeni predznak še enotin smerni vektor zaradi druge elektrine:

81 1

V1,4 10 1mc b xE E= = ⋅ ⋅

��

2

382

2 120

4 10 V1 (1 ) 2,26 10 1m2 2 8,85 10cc r x xE

σ

ε

−

−

− ⋅= = = − ⋅ ⋅

⋅ ⋅

� � ��

8 8 81 2

V1,4 10 1 2,26 10 1 0,86 10 1mc c c x x xE E E= + = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅

� � ��

19. 5 5 51 2

V2,26 10 1 3,39 10 1 1,13 10 1mx x xE E E= + = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅

� � ��

0,226 1 NxF Q E= ⋅ = − ⋅��

20. 6

6121

1

8 10 As4 10m2

Q

Aσ

−−⋅

= = = ⋅

6

6222

2

6 10 As2 10m3

Q

Aσ

−−− ⋅

= = = − ⋅

6 6

1 222 1 2

0 0

4 10 ( 2) 10 N1 1 0,45m2 2

r xF Eσ σ

σε ε

− −⋅ ⋅ ⋅ − ⋅= ⋅ = ⋅ = ⋅ = −

⋅ ⋅

� ��

21. 6

2 6 10 AsQ−

= ⋅

2.2. Električni potencial in napetost

Električna napetost je definirana kot delo, ki opravi električno polje pri premiku pozitivne elektrine 1 As med

dvema točkama:

2

12

1

2

12

1

¨ ¨A F dl QE dl Q E dl Q U

U E dl

= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

= ⋅

∫

∫

� � ��

��

22. Potencial zaradi točkaste (male krogelne) elektrine izračunamo po izrazu:

1

0 1 0

1 1

4

QV

r rπε

= −

V,

kjer je r1 razdalja od elektrine do točke kjer računamo potencial in r0 razdalja do izhodišča potenciala.

Napetost med dvema točkama v polju točkaste elektrine je enaka razliki potencialov oz.:


- 16 -

12

0 1 2

1 1

4

QU

r rπε

= −

V.

Iz izraza za napetost lahko izračunamo elektrino, ki to napetost povzroča:

3 12

612 0

2 21 2

4 1350 10 45 10 As

1 1 1 1

2 10 5 10

8,85 10UQ

r r

πε π −−

− −

⋅ ⋅ ⋅= = = ⋅

− −⋅ ⋅

⋅ ⋅

23. 12 012

0 1 2 1 2

41 1 1 1

4

UQU

r r r r Q

πε

πε

⋅= − ⇒ − =

12 0

1 2

1

41 10,5

2 m

U

r Q r

r

πε⋅= + =

=

24. Napetost med dvema točkama v polju preme elektrine je podana z izrazom:

212

0 1

ln2

rqU

rπε=

Od tod izračunamo r2:

12 0

12 02

1

2

0,922

1

2 1

2ln

2,5

2,5 10 cm

U

q

Ur

r q

re e

r

r r

πε

πε

⋅

⋅=

= = =

= ⋅ =

Izračunamo še električni poljski jakosti na teh razdaljah:

51

0 1

52

0 2

V9 10m2

V3,6 10m2

qE

r

qE

r

πε

πε

= = ⋅⋅

= = ⋅⋅

Izračunali smo samo velikost električne poljske jakosti, smer polja je radialna.

25. Iz enačbe za potencial, ki ga povzroča prema elektrina izrazimo oddaljenost do izhodišča potenciala:

0

0

12 30 0

6

100

ln2

2 2 8,85 10 36 10ln 1

2 10

8,15 cm

T

T

T

T

T

T

rqV

r

r V

r q

re r r e

r

πε

πε π −

−

=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =

⋅

= ⇒ = ⋅ =

26. Računajte po zgledu iz 24. naloge.

2 6 mr =


- 17 -

27. 1 5 cmr =

28. Iz izraza za potencial, ki ga na oddaljenosti r povzroča prema elektrina, izrazimo iskano veličino:

0

0

12 20 0

7

100

ln2

2 2 8,85 10 3,6 10ln 1

2 10

11 m

T

T

T

T

T

T

rqV

r

r V

r q

re r r e e

r e

πε

πε π −

−

=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =

⋅

= ⇒ = ⋅ = ⋅ =

29. Potencial v točki T izračunamo tako, da seštejemo potenciale, ki jih v tej točki povzročajo posamezne

elektrine. Pri tem moramo biti pozorni na to, da za vsako elektrino posebej upoštevamo ustrezno razdaljo do

točke T in do izhodišča potenciala, ki je v T0.

651

1 220 1 01 0

652

2 220 2 02 0

3

51 2 3

1 1 6 10 1 16,5 10 V

4 4 6 106 10 13

1 1 6 10 1 14,97 10 V

4 4 6 106 10 5

0 V

1,53 10 VT

QV

r r

QV

r r

V

V V V V

πε πε

πε πε

−

−−

−

−−

⋅= − = − = − ⋅

⋅⋅

− ⋅= − = − = ⋅

⋅⋅

=

= + + = − ⋅

30. Potencial v točki T izračunamo po zgledu iz prejšnje naloge:

5 5

T 1 2 3 0 0 4,97 10 4,97 10 VV V V V= + + = + + ⋅ = ⋅

31. Potencial v točki T izračunamo po zgledu iz prejšnje naloge:

5 5 5 5

1 2 3 2,2 10 3 10 4,75 10 9,95 10 VTV V V V= + + = ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅

32. Napetost med dvema točkama lahko izračunamo na dva

načina: kot razliko potencialov v obeh točkah ali kot vsoto dveh

delnih napetosti, ki ju povzroča vsaka elektrina.

( )

1 2

0 1 01 0 2 02

1 2

0 1 01 0 2 02

3 3 3

1 1 1 1

4 4

1 1 1 1

4 4

3,976 10 1,053 10 5,03 10 V

A

A A

B

B B

BA B A

Q QV

r r r r

Q QV

r r r r

U V V

πε πε

πε πε

= − + −

= − + −

= − = ⋅ − − ⋅ = ⋅

x

Q3

y

a a

r1

r02

Q1

Q2

a

T

T0 r01

r2

r3

r03

x

y

a

Q1 Q2

B A

a T0

rA1 rA2

r01 r02

Razdalje za določitev potenciala v

točki A

x

y

a

Q1 Q2

B A

a

T0

rA1 rB2 rA2

Razdalje za določitev napetosti

med točkama A in B za prvo in

drugo elektrino

rB1


- 18 -

1

2

1 2

31

0 1 1

32

0 2 2

3

1 11,87 10 V

4

1 13,16 10 V

4

5,03 10 V

BA

B A

BA

B A

BA BA BA

QU

r r

QU

r r

U U U

πε

πε

= − = ⋅

= − = ⋅

= + = ⋅

33. Napetost zaradi dveh elektrin lahko izračunamo kot razliko potencialov ali kot vsoto napetosti zaradi

posameznih elektrin.

1 2

1 2

0 1 1 0 2 2

6 63 3 3

0 0

1 1 1 1

4 4

2 10 1 1 4 10 1 162,08 10 331,37 10 269,3 10 V

4 2 42 5

AB AB AB

A B A B

Q QU U U

r r r r

a aa a

πε πε

πε πε

− −

= + = − + − =

⋅ ⋅ = − + − = − ⋅ + ⋅ = ⋅

34. Izračun dela pri prenosu elektrine v elektrostatičnem polju je tesno povezan z izračunom napetosti

med dvema točkama med katerima prenašamo elektrino:

ABA Q U= ⋅

1

2

1 2

51

0 1 1

52

0 2 2

3

6 3

1 11,178 10 V

4

1 11,767 10 V

4

294,5 10 V

5 10 294,5 10 1,47 J

AB

A B

AB

A B

AB AB AB

AB

QU

r r

QU

r r

U U U

A Q U

πε

πε

−

= − = ⋅

= − = ⋅

= + = ⋅

= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =

35. Najprej izračunamo napetost med točkama kjer je Q3 in A in nato še delo pri premiku elektrine Q3.

1

2

1 2

1 13

0 0

2 23

0 0

1 23 3 3

0

3 1 23 3

0

1 1

4 42

1 1

4 42

( )

4

( )J

4

A

A

A A A

A

Q QU

aa a

Q QU

aa a

Q QU U U

a

Q Q QA Q U

a

πε πε

πε πε

πε

πε

− = − =

⋅

− = − =

⋅

− += + =

⋅

− ⋅ += ⋅ =

⋅

36. Za vsako elektrino določimo razdalje od elektrine do točke, kjer računamo potencial in od elektrine do

izhodišča potenciala, izračunamo prispevke posameznih elektrin in jih seštejemo.

63011

1 12

0 1

5 10 0,04ln ln 31,16 10 V

2 2 8,85 10 0,04 2

rqV

rπε π

−

−

⋅= = = − ⋅

⋅ ⋅ ⋅


- 19 -

63022

2 12

0 2

4 10 0,04 2ln ln 24,93 10 V

2 2 8,85 10 0,04

rqV

rπε π

−

−

− ⋅ ⋅= = = − ⋅

⋅ ⋅

633 03

3 12

0 3

6 10 0,04ln ln 37, 4 10 V

2 2 8,85 10 0,04 2

q rV

rπε π

−

−

⋅= = = − ⋅

⋅ ⋅ ⋅

3 3 3 3

1 2 3 31,16 10 24,93 10 37, 4 10 93, 49 10 VV V V V= + + = − ⋅ − ⋅ − ⋅ = − ⋅

37. Nalogo izračunamo podobno kot prejšnjo:

01 02 3 031 21 2 3

0 1 0 2 0 3

6 6 6

0 0 0

3 3

ln ln ln2 2 2

2 10 5 4 10 8 10ln ln ln

2 2 25 5

0 57,89 10 0 57,89 10 V

r r q rq qV V V V

r r r

a a a

aa a

πε πε πε

πε πε πε

− − −

= + + = + + =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= + + =

⋅ ⋅

= − ⋅ + = − ⋅

38.

01 02 3 031 21 2 3

0 1 0 2 0 3

6 6 6

0 0 0

3 3 3 3

ln ln ln2 2 2

4 10 2 5 10 6 10 2ln ln ln

2 2 2 25 5

32,96 10 62,33 10 49, 43 10 45,86 10 V

r r q rq qV V V V

r r r

a a a

aa a

πε πε πε

πε πε πε

− − −

= + + = + + =

⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅= + + =

⋅ ⋅

= − ⋅ − ⋅ + ⋅ = − ⋅

39. Napetost med dvema točkama lahko računamo kot razliko

potencialov v obeh točkah ali kot vsoto napetosti, ki ju povzroča vsaka

elektrina zase (kot smo to že pokazali pri točkastih elektrinah).

01 021 2A

0 1A 0 2A

1

0

ln ln2 2

ln2

r rq qV

r r

q a

πε πε

πε

= + =

=2

a

⋅ 2

0

ln2

q a

πε+

5

2 a

⋅

6 6

0 0

3 3 3

2 10 4 10 5ln 2 ln

2 2 2

12, 47 10 8,03 10 V= 20,5 10 V

πε πε

− −⋅ ⋅= + =

= ⋅ + ⋅ ⋅

01 021 2B

0 1B 0 2

1

0

ln ln2 2

ln2

B

r rq qV

r r

q a

πε πε

πε

= + =

=2

a

⋅ 2

0

ln2

q a

πε+

5

a

⋅

6 6

0 0

3 3 3

2

2 10 4 10 5ln 2 ln

2 2 2

12,47 10 32,96 10 V= 45,43 10 V

πε πε

− −

⋅

⋅ ⋅= + =

= ⋅ + ⋅ ⋅

x

y

a 01r

a

q2

B

A

a q1

V=0 a

Določitev razdalj za izračun

potencialov

1Br

a 1Ar

a 02r

a

2Br

a


- 20 -

3 3 3

AB A B 20,5 10 45, 43 10 24,93 10 VU V V= − = ⋅ − ⋅ = − ⋅

1 1B 2 2BAB AB1 AB2

0 1A 0 2A

1

0

ln ln2 2

ln2

q r q rU U U

r r

q a

πε πε

πε

= + = + =

=a

2

0

ln2

q a

πε+

2

2 a

⋅ 3

3

0 24,93 10

24,93 10 V

= − ⋅

= − ⋅

40.

01 021 2 1A

0 1A 0 2A 0

ln ln ln2 2 2

r rq q q aV

r rπε πε πε= + =

a

2

0

ln25

q a

πε+

a

7 73 3

0 0

9 10 1 3 10ln ln1 13,02 10 0 V= 13,02 10 V

2 25πε πε

− −⋅ ⋅= + = − ⋅ + − ⋅

01 021 2 1B

0 1B 0 2B 0

ln ln ln2 2 2

r rq q q aV

r rπε πε πε= + =

a

2

0

ln210

q a

πε+

a

7 73 3 3

0 0

2

9 10 1 3 10 1ln ln 18,63 10 1,87 10 V= 20,5 10 V

2 210 2πε πε

− −⋅ ⋅= + = − ⋅ − ⋅ − ⋅

3 3 3

AB A B 13,02 10 ( 20,5 10 ) 7, 48 10 VU V V= − = − ⋅ − − ⋅ = ⋅

41.

1 1 2 2ABA BA1 BA2

0 1B 0 2B

1

0

ln ln2 2

ln2

Aq r q rU U U

r r

q a

πε πε

πε

= + = + =

=2 a

2

0

ln2

q a

πε+

5

2 a

⋅ 3 3 324,93 10 12,04 10 36,97 10 V= − ⋅ − ⋅ = − ⋅

42. Za izračun napetosti in potencialov v homogenem polju (ravninske

elektrine) je pomembna le pravokotna razdalja od elektrine do točke kjer računamo

potencial ali napetost. Napetost bi lahko izračunali tudi kot razliko potencialov,

vendar bi v tem primeru morali imeti podano izhodišče potenciala.

( ) ( )6

12

0

3

5 100,12 0,03

2 2 8,85 10

25,38 10 V

B

AB

A

U E dr b aσ

ε

−

−

− ⋅= ⋅ = − = − =

⋅ ⋅

= − ⋅

∫��

43. Nalogo rešujemo enako kot v prejšnjem primeru. Zaradi lastnosti skalarnega produkta dveh vektorjev,

moramo upoštevati, da je razdalja med točkama A in B usmerjena nasproti polju in zato negativna (kot je

180°).

( ) ( )10

12

0

17,7 102 2 1 200 V

2 2 8,85 10

B

AB

A

U E dr aσ

ε

−

−

− ⋅= ⋅ = − = − ⋅ =

⋅ ⋅∫��

σ

c a

A

b B

x

y

a

q2

B

A

a q1

V=0 a

Določitev razdalj za izračun

delnih napetosti

1Br

a 1Ar

a

2Br

a 2Ar

a


- 21 -

44. Probleme, ki zajemajo valjne elektrine pred neskončnimi prevodnimi

ozemljenimi površinami, rešujemo z metodo zrcaljenja. Pokažemo lahko

namreč, da je elektrostatično polje, ki ga povzročata dve raznoimenski valjni

elektrini enako kakor polje, ki ga povzroča ena elektrina pred takšno steno.

Namesto ozemljene prevodne površine računamo tako, da vse elektrine

prezrcalimo preko te površine in jim spremenimo predznak. Zatem rešujemo

naloge tako kot smo to počeli prej.

6

0 0

0 0 0

'' 4 10ln ln ln

2 2 ' 2T

r rq q aV

r rπε πε πε

−⋅= + =

0,5 a

6

0

4 10ln

2

a

πε

−− ⋅+

2,5 a

63

0

4 10 2,5ln 115,77 10 V

2 0,5πε

−

=

⋅= = ⋅

45. Tako kot v prejšnjem primeru, odstranimo iz problema ozemljeno ravnino in

prezrcalimo elektrino.

6

0 0

0 0 0

'' 2 10ln ln ln

2 2 ' 2T

r rq q aV

r rπε πε πε

−− ⋅= + =

a

6

0

2 10ln

2

a

πε

−⋅+

a

3 3

5

0 28,94 10 28,94 10 V

=

= − ⋅ = − ⋅

46. Namesto preme elektrine pred prevodno steno, rešujemo nalogo z

dvema vzporednima premima elektrinama, kjer je druga zrcalna slika prve

(q' = – q).

0

6 6

12

( ) 12

(4 10 0,12) ( 4 10 )1 0,863 1 N

2 8,85 10 2 0,02

r

x x

qF Q E q l

rπε

π

− −

−

−= ⋅ = ⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ ⋅ − ⋅= ⋅ = − ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

��

� �

47. Če so v problemih prisotne ravne ozemljene prevodne površine, na

elektrine delujejo dodatne sile. Njihov vpliv na elektrine lahko upoštevamo s

pomočjo metode zrcaljenja. Namesto dveh elektrin in ravne ozemljene

prevodne površine rešujemo problem štirih elektrin.

( )

11 12 12

1 1 1 2 1 211 12 12

0 11 0 12 0 12

6 6

12 2

6 6

12 2

6

( ) ( )1 1 1

2 2 2

2 10 ( 2) 101

2 8,85 10 18 10 2

2 10 ( 3) 10 2 11 1

2 8,85 10 18 10 5 5 5

2 10

r r r

y

x y

q q q q q qF F F F

r r rπε πε πε

π

π

′ ′

− −

− −

− −

− −

−

⋅ − ⋅ ⋅ −′ ′= + + = + +

′ ′⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ − ⋅= ⋅ +

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ − ⋅ − − + ⋅ − +

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅+

� � ��

�

� �

6

12 2

(3) 10 2 31 1

2 8,85 10 18 10 13 13 13x y

π

−

− −

⋅ − ⋅ −

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

� �

0, 2 1 0, 24 1 0,12 1 0,092 1 0,138 1 0,148 1 0,058 1 N/my x y x y x yF = − ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅� � � � � � ��

a

q T

a/2

V=0

a

q

a/2

q'=-q

a

V=0 T

a

q

T

V=0

a

a

q'

q1

x

y

a

q2

a

a

a

a

q'1

q'2

12F�

11F′�

12F′�

r'12

r12

a q a q'

x

y

F�


- 22 -

48. Problem rešujemo podobno kot v prejšnji nalogi. Lahko bi sešteli vse sile,

lahko pa najprej izračunamo električno poljsko jakost na mestu, kjer leži q2 in nato

izračunamo silo po splošni obliko Coulombovega zakona.

12 12 22

2

12 12 22

1 1 2

0 12 0 12 0 22

'

1 1 12 2 2

r r r

F q E

E E E E

q q qE

r r rπε πε πε′ ′

= ⋅

′= + +

′ ′= + +

′ ′

� �

� � � �

� � ��

( )

( )

6 6

12 2 12 2

6

12 2

5 5 5 5

5 5

3 10 3 10 2 91 1 1

2 8,85 10 9 10 2 8,85 10 85 10 85 85

1 101

2 8,85 10 2 10

5,995 10 1 1, 269 10 1 5,712 10 1 8,992 10 1

10, 261 10 1 0, 283 10

y x y

x

y x y x

x

Eπ π

π

− −

− − − −

−

− −

⋅ − ⋅ = − + ⋅ − ⋅ +

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

− ⋅+

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

= − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

� � ��

�

� � � �

� �

( )6 5 5

2

V1

m

1 10 10,261 10 1 0,283 10 1

N1,026 1 0,028 1

m

y

x y

x y

F q E −= ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

= − ⋅ − ⋅

� ��

� �

49. Tako kot ravnina, je tudi kovinski valj le ena izmed ekvipotencialnih ploskev,

ki jih dobimo v polju dveh raznoimenskih enako velikih premih elektrin. Tudi te

probleme rešujemo tako, da namesto valja upoštevamo le premo elektrino, vendar ta

ne leži v geometrijskem središču valja. Ekscentričnost e izračunamo iz razmerij

podobnih trikotnikov:

2 42

2

16 101 10 m

2 2 2 8 10

R e Re

a R a

−−

−

⋅= ⇒ = = = ⋅

⋅ ⋅

Ko smo določili lego elektrine q' = -q, lahko izračunamo njeno vrednost iz znanega

potenciala kovinskega valja. Cel valj je na enakem potencialu, zato si za izračun izberemo točko na y-osi.

0 01 2

0 0 0

3 1280

ln ln ln2 2 2 2 2

2 2 10 2 8,85 10 As8,02 10

0,04 0,01 mln ln

2 0,16 0,04

r rq q q R eV V V

a R R e a R

Vq

R e

a R

πε πε πε

πε π −−

− −= + = + =

− − −

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = − ⋅

− −

− −

Sedaj izračunamo električno poljsko jakost, ki jo v točki T povzročata obe elektrini:

a

q2

q1

b

q'2

q'1

x

y

12F�

22F ′�

12F ′�

x

y

a

a

a

q

T

e q'


- 23 -

0 0

6 6

2 2

0 0

3 3 3 3 3

1 12 2

8 10 8 10 8 151 1 1

2 8 10 2 17 10 17 17

V18 10 1 4 10 1 7, 45 10 1 14 10 1 7, 45 10 1

m

r r

x x y

x x y x y

q qE

r rπε πε

πε πε

′

− −

− −

′= +

′

− ⋅ ⋅ = + −

⋅ ⋅

= − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

� ��

� � �

� � � � �

2.3. Elektrostatično polje v snovnih dielektrikih

50. Pri izračunu prehoda elektrostatičnega polja skozi več zaporednih dielektrikov izkoriščamo spoznanje,

da se ohranjata tangencialna komponenta električne poljske jakosti in normalna komponenta gostote pretoka

električnega polja. Računali bi sicer lahko tudi s pomočjo lomnega zakona, vendar se pri zaporednih

prehodih izgubi preglednost.

5 5

n1 1 1

5 5

t1 1 1

t5 t1

2 Vcos 5 10 3,536 10

2 m

2 Vsin 5 10 3,536 10

2 m

E E

E E

E E

α

α

= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

=

5 6

n1 n1 0 r1 0 2

n5 n1

5 6

t5 t5 0 r5 0 2

2 2 6

5 n5 t5 2

t55

n5

As3,536 10 6 18,774 10

m

As3,536 10 3 9,387 10

m

As20,99 10

m

arctan 26,56

D E

D D

D E

D D D

D

D

ε ε ε

ε ε ε

α

−

−

−

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

=

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

= + = ⋅

= = °

51. Postopek reševanja je enak kot v prejšnjem primeru.

6

n1 1 1 2

6

t1 1 1 2

n5 n1

Ascos 3,464 10

m

Assin 2 10

m

D D

D D

D D

α

α

−

−

= ⋅ = ⋅

= ⋅ = ⋅

=

4n5n5

r5 0

4t1t4 t1

r1 0

2 2 4 t44 t4 n4 5

n4

V6,524 10

m

V7,533 10

m

V9,965 10 , arctan 49,1

m

DE

DE E

EE E E

E

ε ε

ε ε

α

= = ⋅⋅

= = = ⋅⋅

= + = ⋅ = = °

εr1

α1

1E�

εr2 εr3 εr4 εr5

α5

5D�

Et1

En1


- 24 -