Download pdf - Wyk ad 7 Teoria eksperymentutheta.edu.pl/wp-content/uploads/2017/02/W7SZ.pdf · 2017. 5. 17. · Wykład 7 Teoria eksperymentu Magdalena Frąszczak Wrocław, 19.04.2017r Magdalena

Wykład 7Teoria eksperymentu

Magdalena Frąszczak

Wrocław, 19.04.2017r

Magdalena Frąszczak Wykład 7 Teoria eksperymentu

Układ niekompletnych bloków losowych

Zrównoważone niekompletne bloki: Gdy wszystkie porównaniawyników są jednakowo ważne należy tak wybrać kombinacjeczynników pojawiających się w blokach, aby każda para czynnikówpojawiała się razem taką samą ilość razy.Taki układ zrównoważonych niekompletnych bloków otrzymamygdy:a - czynnnikówk - ilość czynników w każdym z bloków (k < a)(

ak

)- liczba sposobów, na które możemy wybrać czynniki do

bloku



Analiza statystyczna

a - poziomów badanego czynnika

b - bloków

każdy blok zawiera k poziomów czynnika

każdy poziom czynnika ma r replikacji - pojawia się r razy

N = ar = bk - całkowita liczba obserwacji

każda para czynnika pojawia się w tym samym bloku

λ =r(k − 1)a− 1

gdy a = b - układ symetryczny



Model statystyczny

yij = µ+ τi + βj + �ij

τi - efekt i-tego poziomu czynnikaβj - efekt j - tego bloku�ij ∼ N(0, σ2) - iid. - błąd losowy.

Całkowitą zmienność można zapisać:

SST = SSczynnik dopasowany + SSB + SSE =a∑

i=1

b∑j=1

y2ij −y2..N



Model statystyczny

Uwaga

Suma kwadratów dla czynników jest dostosowana tak abyodseparować wpływ czynników od wpływu bloków. Taka poprawkajest konieczna ponieważ każdy poziom czynnika jestreprezentowany w różnych zbiorach r bloków.Bez wzięcia pod uwagę poprawki sumy y1., y2., . . . , ya. podlegająwpływom różnic między blokami.

SSB =∑b

j=1y2.jk −

y2..N

SScz dop =k∑a

i=1Q2i

λa

Qi = yi . − 1k∑b

j=1 nijyij , i = 1, 2, . . . , a

nij =

{1 czynnik i występuje w j− tym bloku0 poza tym

Qi - dopasowana całókowita suma dla i-tego poziomu czynnikaMagdalena Frąszczak Wykład 7 Teoria eksperymentu


źródło suma stopnie średnizmienności kwadratów swobody kwadrat Fczynnik

dopasowanyk∑a

i=1Q2i

λa a− 1SSczdopa−1

MSczdopMSE

do bloków

bloki∑b

j=1y2.jk −

y2..N b − 1

błąd dopełnienie N − a− b + 1 SSEN−a−b+1

całkowita∑a

i

∑bj y2ij −

y2..N N − 1


Przykład 7.1

Inżynier chemik uważa, że czas reakcji pewnego procesuchemicznego jest funkcją użytego katalizatora. W użyciu są czterykatalizatory. Eksperyment polega na wybraniu próbek substancjibiorących udział w reakcji i przeprowadzeniu oddzielnych procesówprzy użyciu każdego z katalizatorów pomiaru czasu reakcji. Inżyniertraktuje próbki pochodzące od różnych producentów jako bloki.Niestety każda próbka pochodząca od jednego producentawystarcza na przeprowadzenie trzech kataliz. Chemik postanawiaskorzystać z układu zrównoważonych niekompletnych bloków.

producent materiałukatalizator 1 2 3 4 yi .

1 73 74 − 71 2182 − 75 67 72 2143 73 75 68 − 2164 75 − 72 75 222y.j 221 224 207 218 y.. = 870Magdalena Frąszczak Wykład 7 Teoria eksperymentu

Przykład 7.1 - cd

a = 4; b = 4; k = 3; r = 3; λ = 2; N = 12SST =

∑4i

∑4j y2ij −

y2..N = 63.156−

870212 = 81

SSB =∑4

j=1y2.j3 −

y2..12 = 55

Q1 = 218− 13(221 + 224 + 218) = −93

Q2 = 214− 13(207 + 224 + 218) = −73

Q3 = 216− 13(221 + 207 + 224) = −43

Q4 = 222− 13(221 + 207 + 218) =203

SScz dop =3∑4

i=1Q2i

2·4 = 22.75SSE = SST − SSB − SScz dop = 81− 22.75− 55 = 3.25


Przykład 7.1 - cd

źródło suma stopnie średnizmienności kwadratów swobody kwadrat Fkatalizator 22.75 3 7.58 11.66producent 55 3 -błąd 3.25 5 0.65całkowita 81 11

F0 = 11.66 > 5.41 = F0.05(3, 5) - odrzucamy H0

Katalizatory użyte w reakcjach mają istotny wpływ na czasprzebiegu reakcji.


Estymacja parametrów metodą najmniejszych kwadratów

Równania normalne w układzie zrównoważonych niekompletnychbloków mają postać:µ : Nµ̂+ r

∑ai=1 τ̂i + k

∑bj=1 β̂j = y..

τi : r µ̂+ r ˆτi=1 +∑b

j=1 nij + β̂j = yi ., i = 1, 2, . . . , a

βj : kµ̂+∑a

i=1 nij τ̂i + kβ̂j = y.j , j = 1, 2, . . . , a

Przy założeniu, że∑τ̂i −

∑β̂j dostajemy µ̂ = y..

Następnie korzystając z równania na {βj} aby wyeliminować efektybloków z równania na {τi} otrzymujemy:(?)rk τ̂i − r τ̂i −

∑bj=1

∑ap=1;p 6=i nijnpj τ̂p = kyi . −

∑bj=1 nijy.j



Równania normalne w układzie zrównoważonych niekompletnychbloków mają postać:µ : Nµ̂+ r

∑ai=1 τ̂i + k

∑bj=1 β̂j = y..

τi : r µ̂+ r ˆτi=1 +∑b

j=1 nij + β̂j = yi ., i = 1, 2, . . . , a

βj : kµ̂+∑a

i=1 nij τ̂i + kβ̂j = y.j , j = 1, 2, . . . , aPrzy założeniu, że

∑τ̂i −

∑β̂j dostajemy µ̂ = y..

Następnie korzystając z równania na {βj} aby wyeliminować efektybloków z równania na {τi} otrzymujemy:(?)rk τ̂i − r τ̂i −

∑bj=1

∑ap=1;p 6=i nijnpj τ̂p = kyi . −

∑bj=1 nijy.j



Zauważmy, że prawa strona tego równania jest równa kQi , gdzie:Qi = yi . − 1k

∑bj=1 nijy.j - i - ta dopasowana suma.

Ponieważ:∑b

j=1 nijnpj = λ, gdy p 6= ioraz n2pj = npj (ponieważ npj = 0 ∨ 1)Zatem możemy (?) zapisać w postaci:r(k − 1)τ̂i − λ

∑ap=1;p 6=i τ̂p = kQi ; i = 1, 2, . . . , a

Dalej:∑ai=1 τ̂i = 0⇒

∑ap=1;p 6=i τ̂p = −τ̂i

co z warunkiem:λ = r(k−1)a−1daje λaτ̂i = kQi ; i = 1, 2, . . . , aZatem estymator NK ma postać:

τ̂i =kQiλa

, i = 1, 2, . . . , a


Przykład 7.1 - cd

Q1 = −93, Q2 = −

73, Q3 = −

43, Q4 =

203,

τ̂1 =3·(−9/3)2·4 = −

98 τ̂3 == −

48

τ̂2 =3·(−7/3)2·4 = −

78 τ̂3 == −

208


Yates (1940) zauważył, że jeśli efekty pochodzące od przynależeniado bloku są nieskorelowanymi zmiennymi losowymi o średniej zero iwariancji σ2β, to możemy otrzymać dodatkową informację na tematbadanego czynnika


Analiza międzyblokowaRozpatrzmy sumy w blokach y.j jako b obserwacji.Modelem dla tych obserwacji jest

y.j = kµ+a∑

i=1

nijτi + (kβj +a∑

i=1

�ij)

Międzyblokowymi estymatorami parametrów µ i τi są estymatorywyznaczomen MNK otrzymane przez minimalizację funkcji:

L =b∑

j=1

(y.j − kµ−

a∑i=1

nijτi

)2

co prowadzi do równań: µ : Nµ̃+ r∑a

i=1 τ̃i = y..τi : kr µ̃+ r τ̃i + λ

∑ap=1 τ̃p =

∑bj=1 nijy.j , i = 1, 2, . . . , a.

Rozwiązując twe równania dostajemy estymatory międzyblokoweparametrów µ̃ i τ̃i .


Biorąc pod uwagę warunek

a∑i=1

τ̃i = 0

możemy przedstawić rozwiązanie równania (?) w postaci:

µ̃ = ȳ..

τ̃i =

∑bj=1

nijy.j−kr ȳ..r−λ i = 1, 2, . . . , a


Uwaga

Można pokazać, że estymatory międzyblokwe {τ̃i} i estymatorywewnątrzblokowe {τ̂i} są nieskorelowane.

Można połączyć estymatory międzyblokwe {τ̃i} i estymatorywewnątrzblokowe {τ̂i} aby otrzymać jeden nieobciążony estymatoro minimalnej wariancji parametru τi


Uwaga

Można pokazać, że τ̃i i τ̂i są estymatorami nieobciążonymi oraz, że:

Var(τ̂i ) =k(a−1)λa2

σ2

Var(τ̃i ) =k(a−1)a(r−λ) (σ

2 + kσ2β)


Rozpatrzmy liniową kombinację:

τ∗i = α1τ̂i + α2τ̃i

jako estymator τi

Estymator postaci τ∗i będzie miał minimalną wariancję i będzienieobciążony gdy

α1 =u1

u1 + u2α2 =

u2u1 + u2

gdzie:

u1 =1

Var(τ̂i )u2 =

1Var(τ̃i )


Rozpatrzmy liniową kombinację:

τ∗i = α1τ̂i + α2τ̃i

jako estymator τiEstymator postaci τ∗i będzie miał minimalną wariancję i będzienieobciążony gdy

α1 =u1

u1 + u2α2 =

u2u1 + u2

gdzie:

u1 =1

Var(τ̂i )u2 =

1Var(τ̃i )


Z wcześniejszych wzorów otrzymujemy, że:

τ∗i =τ̂i

k(a−1)a(r−λ) (σ

2 + kσ2β) + τ̃ik(a−1)λa2

σ2

(r − λ)σ2 + λa(σ2 + kσ2β), i = 1, 2, . . . , a

co sprowadza się do:

τ∗i =kQi (σ

2 + kσ2β) + (∑b

j=1 nijy.j − kr ȳ..)σ2

(r − λ)σ2 + λa(σ2 + kσ2β), i = 1, 2, . . . , a

Niestety problemem jest nieznajomość σ2 i σ2β.Postępujemy standardowo - zastępujemy nieznane waretościparametrów ich estymatorami



τ∗i =τ̂i


2 + kσ2β) + τ̃ik(a−1)λa2

σ2

(r − λ)σ2 + λa(σ2 + kσ2β), i = 1, 2, . . . , a


τ∗i =kQi (σ

2 + kσ2β) + (∑b


(r − λ)σ2 + λa(σ2 + kσ2β), i = 1, 2, . . . , a

Niestety problemem jest nieznajomość σ2 i σ2β.

Postępujemy standardowo - zastępujemy nieznane waretościparametrów ich estymatorami



τ∗i =τ̂i


2 + kσ2β) + τ̃ik(a−1)λa2

σ2

(r − λ)σ2 + λa(σ2 + kσ2β), i = 1, 2, . . . , a


τ∗i =kQi (σ

2 + kσ2β) + (∑b


(r − λ)σ2 + λa(σ2 + kσ2β), i = 1, 2, . . . , a

Niestety problemem jest nieznajomość σ2 i σ2β.Postępujemy standardowo - zastępujemy nieznane waretościparametrów ich estymatorami


Bierzemy:σ̂2 = MSE

Następnie korzystając z:

MSBloki =1

b − 1

k∑ai=1Q2iλa

+b∑

j=1

y2.jk−

a∑i=1

y2i .r

można pokazać, że

E [MSB ] = σ2 +

a(r − 1)b − 1

σ2β


Bierzemy:σ̂2 = MSENastępnie korzystając z:

MSBloki =1

b − 1

k∑ai=1Q2iλa

+b∑

j=1

y2.jk−

a∑i=1

y2i .r

można pokazać, że

E [MSB ] = σ2 +

a(r − 1)b − 1

σ2β


Zatem jeśli MSBloki > MSE :

σ̂2β =[MSBloki −MSE ](b − 1)

a(r − 1)

jeśli MSBloki ¬ MSE , wówczas σ̂2β = 0

Stąd

τ∗i =

kQi (σ̂

2+kσ̂2β)+(∑b

j=1nijy.j−kr ȳ..)σ̂2

(r−λ)σ̂2+λa(σ̂2+kσ̂2β

), σ̂2β > 0

yi.− 1a y..r , σ̂

2β = 0


Zatem jeśli MSBloki > MSE :

σ̂2β =[MSBloki −MSE ](b − 1)

a(r − 1)

jeśli MSBloki ¬ MSE , wówczas σ̂2β = 0Stąd

τ∗i =

kQi (σ̂

2+kσ̂2β)+(∑b

j=1nijy.j−kr ȳ..)σ̂2

(r−λ)σ̂2+λa(σ̂2+kσ̂2β

), σ̂2β > 0

yi.− 1a y..r , σ̂

2β = 0


Przykład 7.1 - cd

Wyznaczymy estymatory parametów modelu:σ̂2 = MSE = 0.65

MSBloki = 22.03, a zatem MSBloki ¬ MSE , czyli estymator σ2β jestpostaci:σ̂2β =

(22.03−0.65)·34(3−1) = 8.02

Estymatory dla parametórw τi .

est.wewnątrzblokowy est.międzyblokowy est.kombinowanyτ1 −1.12 10.5 −1.09τ2 −0.88 −3.5 −0.88τ3 −0.5 −0.5 −0.5τ4 2.5 −6.5 2.47


Przykład 7.1 - cd

Wyznaczymy estymatory parametów modelu:σ̂2 = MSE = 0.65MSBloki = 22.03, a zatem MSBloki ¬ MSE , czyli estymator σ2β jestpostaci:σ̂2β =

(22.03−0.65)·34(3−1) = 8.02

Estymatory dla parametórw τi .

est.wewnątrzblokowy est.międzyblokowy est.kombinowanyτ1 −1.12 10.5 −1.09τ2 −0.88 −3.5 −0.88τ3 −0.5 −0.5 −0.5τ4 2.5 −6.5 2.47


Częściowo zrównoważone niekompletne bloki

Przykład 7.2

Mamy 8 - poziomów badanego czynnika, a każdy blok możezawierać 3 poziomy.

Aby λ ∈ Z musimy mieć minimum r = 21 replikacji. Wówczasukład będzie miał 56 bloków, co z praktycznego punktu widzeniamoże być zbyt dużą wartością.



Przykład 7.2


Aby λ ∈ Z musimy mieć minimum r = 21 replikacji.

Wówczasukład będzie miał 56 bloków, co z praktycznego punktu widzeniamoże być zbyt dużą wartością.



Przykład 7.2


Aby λ ∈ Z musimy mieć minimum r = 21 replikacji. Wówczasukład będzie miał 56 bloków, co z praktycznego punktu widzeniamoże być zbyt dużą wartością.



Uwaga

W celu redukcji bloków niezbędnych do utworzenia układuniekompletnych bloków można odejść od założenia całkowitegozrównoważenia na korzyść częściowego zrównoważenia, w którymniektóre pary występują razem λ1 razy, niektóre λ2 razy, . . . , apozostałe λm razy.

Pary występujące razem λi razy nazywamy i - stowarzyszonymi.Mówimy, że układ ma m stowarzyszonych klas.



Uwaga

W celu redukcji bloków niezbędnych do utworzenia układuniekompletnych bloków można odejść od założenia całkowitegozrównoważenia na korzyść częściowego zrównoważenia, w którymniektóre pary występują razem λ1 razy, niektóre λ2 razy, . . . , apozostałe λm razy.Pary występujące razem λi razy nazywamy i - stowarzyszonymi.Mówimy, że układ ma m stowarzyszonych klas.


Przykład 7.3 (częściowo zrównoważonego układuniekompletnych bloków)

1 2 3 4 5 61 x x x2 x x x3 x x x4 x x x5 x x x6 x x x

blok kombinacje poz. bad. czynnika1 1 2 32 3 4 53 2 5 64 1 2 45 3 4 66 1 5 6

Układ ma dwi klasy stowarzyszeniaPozimy czynnika występujące λ1 = 2 razy: 1 i 2, 3 i 4,5 i 6, 5 i 6Pozimy czynnika występujące λ2 = 1 razy: 4 i 5, 2 i 6, 1 i 3, itd.


Analiza częściowo zrównoważonych niekompletnych bloków z dwoma klasami stowarzyszenia

1 a - poziomów czynnika, b - bloków, r - replikacji, k - poz.czynnika w bloku

2 pary poz. czynnika, które są i - stowarzyszone występująrazem w λi , i = 1, 2 blokach

3 Każdy poziom czynnika ma dokładnie ni - stowarzyszonychLiczba ni jest niezależna od wyboru czynnik

4 Jeżeli dwa poziomy czynnika są i - stowarzyszone, to liczbapoziomów czynnika, które z jednym z tych poziomów są jstowarzyszone, a z drugim k - stowarzyszone wynosi pijk

Wygodznie jest pisać pijk jako macierz 2x2, gdzie pijk jest

elementem jk-tym macierzy i


Przykład 7.3 - cd

W przykładzie mamy:a = 6; b = 6, k = 3, r = 3, λ1 = 2, λ2 = 1, n1 = 1, n2 = 4

{p1jk

}=

[0 00 4

] {p2jk

}=

[0 11 2

]


Przykład 7.3 - cd

Jak wyznaczono pijk?

Weźmy parę 1 i 2: dla 1 1-wszym stowarzyszeniem jest: 22-gim stowarzyszeniem jest: 3, 4, 5, 6

dla 2 1-wszym stowarzyszeniem jest: 12-gim stowarzyszeniem jest: 3, 4, 5, 6

Konstruujemy tabelkę:czynnik 2 (2)

czynnika 1 (1) 1-wcze stow 2-gie stow1-wsze stow. - -2-gie stow. - 3, 4, 5, 6


Przykład 7.3 - cd

Jak wyznaczono pijk?

Weźmy parę 4 i 5: dla 4 1-wszym stowarzyszeniem jest: 32-gim stowarzyszeniem jest: 5, 2, 1, 6

dla 2 1-wszym stowarzyszeniem jest: 62-gim stowarzyszeniem jest: 1, 2, 3, 4

Konstruujemy tabelkę:czynnik 2 (5)

czynnika 1 (4) 1-wcze stow 2-gie stow1-wsze stow. - 32-gie stow. 6 1, 2


Model statystyczny dla układu częściowo zrównoważonychniekompletnych bloków z dwaoma stowarzyszonymi klasami

yij = µ+ τi + βj + �ij , �ij ∼ N(0, σ2) iid

Obliczamy dopasowaną sumę dla i - tego poziomu czynnika:

Qi = yi .−1k

b∑j=1

nijy.j , nij =

{1, i − ty poz występuje w j − tym bloku0, poza tym


Definiujemy: S1(Qi ) =∑

s Qs , s i i są 1-stowarzyszone.

∆ =1k2

[(rk − r + λ1)(rk − r + λ2) + (λ1 − λ2)

(r(k − 1)(p112 − p212) + λ2p112 − λ1p212

)]c1 =

1k∆

[λ1(rk − r + λ2) + (λ1 − λ2)(λ2p112 − λ1p212)

]c2 =

1k∆

[λ2(rk − r + λ1) + (λ1 − λ2)(λ2p112 − λ1p212)

]


Estymatorem wpływu i-tego poziomu czynnika jest

τ̂i =1

r(k − 1)[(k − c2)Qi + (c1 − c2)S1(Qi )]

dopasowana suma kwadratów czynnika jest równa:

SSczdop =a∑

i=1

τ̂iQi


Przebieg analizy wariancji

źródło suma stopnie średnizmienności kwadratów swobody kwadrat F

czynnik dopasowany∑a

i=1 τ̂iQi a− 1SSczdopa−1

MSczdopMSE

bloki∑b

j=1y2.jk −

y2..bk b − 1

błąd dopełnienie ak − b − a + 1 SSEN−a−b+1

całkowita∑a

i

∑bj y2ij −

y2..bk bk − 1


Można pokazać, że wariancja τ̂u − τ̂v jest postaci:

Var(τ̂u − τ̂v ) =2(k − ci )σ2

r(k − 1),

gdzie u i v są i- stowarzyszone (i = 1, 2)


Kwadrat Youdena (niekompletny kwadrat łaciński)

Kwadrat Youdena to kwadrat łaciński z brakującą conajmniej jednąkolumną lub wierszem lub przekątną) ale niekoniecznie kwadratłaciński z brakującą kolumną to kwadrat Youdena.W ogólności usuwanie kolumn z kwadratu łacińskiego możezakłócić jego równowagę.Kwadrat Youdena jest układem symetrycznych zrównoważonychniekompletnych bloków z wierszami odpowiadającymi blokom.

Przykładowy kwadrat:

kolumnywiersze 1 2 3 4

1 A B C D2 B C D E3 C D E A4 D E A B5 E A B C


Model matematyczny

yijh = µ+ αi + τj + βh + �ijh, �ijh ∼ N(0, σ2) iid

µ - średniaαi - efekt i - tego blokuτj - efekt j - tego poziomu czynnikaβh - efekt h - tego położenia.

Analiza wygląda jak w przypadku układu zrównoważonychniekompletnych bloków z tą różnicą, że należy jeszcze obliczyćsumę kwadratów dla położeń.


Przykład 7.4

Inżynier przemysłowy bada pięć poziomów oświetlenia ze względu nawystępowanie wad montażu. Ponieważ czas jest czynnikiem w tymeksperymencie decyduje się na przeprowadzenie doświadczenia w pięciu blokachreprezentujących dni tygodnia. Ponadto dział, w którym przeprowadza sięeksperyment posiada cztery stacje badawcze i stacje te stanowią potencjalneźródło zmienności. Inżynier decyduje sie przeprowadzić eksperyment zgodnie zukładem kwadratu Youdena z 5-cioma wierszami (dni/bloki) 4-romakolumnami (stanowisko pracy) i 5 poziomami czynnika (poziom oświetlenia).Dane przedstawiają się następująco:

dzień stanowisko badawcze(blok) 1 2 3 4 yi..1 A = 3 B = 1 C = −2 D = 0 22 B = 0 C = 0 D = −1 E = 7 63 C = −1 D = 0 E = 5 A = 3 74 D = −1 E = 6 A = 4 B = 0 95 E = 5 A = 2 B = 1 C = −1 7y..h 6 9 7 9 y... = 31

y.1. = 12 (A)y.2. = 2 (B)y.3. = −4 (C)y.4. = −2 (D)y.5. = 23 (E)


Przykład 7.4 - cd

Rozważamy to jako problem układu zrównoważonychniekompletnych bloków.a = b = 5, r = k = 4, λ = 3.

SST =∑i

∑j

∑h

y2ijh −y2...N

= 183− 312

20= 134.95

Sumy dopasowane dla czynników: Q1 = 12− 14(2 + 7 + 9 + 7) =234

Q2 = 2− 14(2 + 6 + 9 + 7) = −164

Q3 = −4− 14(2 + 7 + 7 + 7) = −384

Q4 = −2− 14(2 + 6 + 7 + 9) = −324

Q5 = 24− 14(6 + 7 + 9 + 7) =634


Przykłąd 7.4 - cd

SScz dop =k∑a

i=1Q2i

λa=

4((234

)2+(−164

)2+(−384

)2+(−324

)2+(634

)2)3 · 5

= 120.37

SSdni =b∑

i=1

y2i ..k− y

2...

N= 6.70

SSstanowisko =k∑

h=1

y2..hb− y

2...

N= 1.35

SSE = SST − SScz dop − SSdni − SSstanowisko = 6.53


Przykład 7.4 - cd

bloki/efekty dla dni mogą być obliczane jak dopasowane sumy:

Q ′1 = 2− 14 (12 + 2− 4− 2) = 0Q ′2 = 6− 14 (2− 3− 2 + 23) =

54

Q ′3 = 7− 14 (12− 4− 2 + 23) = −14

Q ′4 = 9− 14 (12 + 2− 2 + 23) =14

Q ′5 = 7− 14 (12 + 2− 4 + 23) = −54

SSdni(dop) =r∑b

j=1Q′2j

λb=

4 ·(

0 +(54

)2+(−14)2

+(14

)2+(−54)2)

3 · 5= 0.87


Przykład 7.4 - cd

źródło suma stopnie średnizmienności kwadratów swobody kwadrat Fpoziom ośw. (dop) 120.37 4 30.09 36.87dni (niedop) 6.7 4 -dni (dop) (0.87) (4) 0.22stanowisko pracy 1.35 3 0.45błąd 6.53 8 0.82całkowita 134.95 19

F0 = 36.87 > 3.83 = F0.95(4, 8), zatem odrzucamy hipotezęzerową, jest istotny wpływ oświetlenia.


Polecane literatura:

S. Czaja, T. Poskrobko et.al Wyzwania współczesnejekonomii, 2012, Warszawa

D.C. Montgomery Design and Analysis of Experiments, 1991

P.I. Good, Resampling Methods. A Practical Guide to DataAnalysis, 2005

E.L. Lehmann,Teoria estymacji punktowej, PWN Warszawa1991
