V'pWW«°WF-

003069169

GRADJEVINSKI FAKULTETasisteat Gradjevinskog fakulteta Univerziteta u Beogradu

Mr ALEKSANDAR CVETANOVIĆ

DINAMIČKI MODUL KRUTOSTI ASFALT BETONA - DOKTORSKA DISERTACIJA -

BEOGRAD APRIL 1976. RUKOVODILAC TEZE

Prof. Zivorad Djukić

166б

131316

1920

2328

28

29

31

333539k l

kZ

k3k910110210k

103

11111k

117

S A D R Z A J

PREDG0V0RI. ODNOS VOZILA I PUTA1.1. Vibracije vozila1.2. Stihijne vibracijeII. KARAKTERISTIKE MATERIJALA11.1. Reološke osobine bitumena11.1.1. Predstavljanje bitumena mehanickim modelima11.1.2. Uticaj temperature na modul krutosti bitumena II.1.3* Graficko odredjivanje modula krutosti bitumena11.2. Reološke osobine asfaltnih mešavina11.3. Modul krutosti asfaltnih mešavina II.3.1» Definicija modula krutosti11.3.2. Istorijat proučavanja modula krutostiII. 3.3* Zavisnost modula krutosti od temperature

i trajanja opterećenjaIII. EKSPERIMENTALNO ODREDJIVANJE DINAMIČKOG

MODULA KRUTOSTIHII.l. Terensko ispitivanje modula krutosti111.2. Laboratorijsko odredjivanje modula krutosti111.2.1. Prikaz postupka ispitivanja modula krutosti111.2.2. Postupak ispitivanja111.2.3. Sračunavanje modula krutostiIV. PRIKAZ DOBIJENIH REZULTATA I NJIKOVA OBRADAV. RASPROSTIRANJE TEMPERATURE U ASFALTNIM K0L0V0ZIMA V.l. Toplotne osobine asfaltnih mešavinaV.2. Promene fizickih osobina materijalaV. 3 . Uticaj temperature na promenu modula krutosti asfalt­

nih slojeva u kolovoznoj konstrukcijiVI. PROJEKTOVANJE FLEKSIBILNIH K0L0V0ZNIH KONSTRUKCIJAVII. ZAKLJUČAKVIII. LITERATURA

P R E D G 0 V 0 E

Putevi spadaju u gradjevinske Objekte najviše izložene uticajima sre-> dine u kojoj se nalaze. Skoro da se svaki naredni kvadratni metar ko­

lovoza razlikuje od prethodnog. Zbog toga je tesko uspostaviti stroge kriterijume u pogledu kvaliteta kolovoza i njegove eposobnosti da u svim vremenskim situacijama odgovori svojoj nameni»

Kedjutira, da nas velika odstupanja ne bi dovela u zabludu, potrebno je upoznati sve paramétré koji utiču na ponasanje kolovoza i odredj- uju velicinu odstupanja pojedinih karakteristika vezanih za kvalitet puta u odredjenim uslovima. Da bi smo u ocenu o valjanosti odredjene kolovozne konstrukcije imali poverenja, moramo biti sigurni da se ona zasniva na eksperimentalnim rezultatima velikog obima, koji ukljucuju veci broj uzajamno povezanih parametara. Poßebno treba naglasiti da fleksibilni kolovozi ne spadaju u konstrukcije koje se mogu tačno pr- oračunati, kao što računamo konstrukcije od armiranog ili prednapreg- nutog betona, čelika i dr. Razne vrste tla i materijala, koji se na­laze u okviru jedne kolovozne konstrukcije ne mogu se lako razvrsta- ti u egzaktne kategorije, niti se može sa punom sigurnošću predvid'e- ti njihovo ponasanje.

Projektovanje kolovoznih konstrukcija za sada je još uvek empirijsko, zasnovano na stečenim iskustvima, jer kolovozne konstrukcije predsta-

> vljaju kompleksan fiziSki sistem koji je u matematičkom smislu za sa­da nemoguće tačno definisati. Zbog toga smo u našim proucavanjima pr- inudjeni da obavljaimo odredjenu selekciju parametara, trudeói se da eksperimentalnim rezultatima proverimo mogućnosti i područja primene zakona mehanike. îlajveci problem u ovim razmatranjima je svakako vi~ skoelastično ponasanje materijala, koji ulaze u sastav slojeva flek- sibilne kolovozne konstrukcije. Proračun napona i deformacija u vis-

*

koelastičnim sredinama kakav je asfalt sa praktične tačke gledišta, koliko je nama poznato, nije resen. Ulagana su velika materijalna sr- edstva i na ovom problemu se u svetu intenzivno radi poslednjih 20 godina, ali zbog velikog broja parametara koji utidu na ponašanje fleksibilnih kolovoznih konstrukcija ovaj problem numerički nije re­sen. Skoro svi dobijeni zakljucci se zasnivaju na rezultatima ekspe- rimentalnih istraživanja na terenu i laboratorijama.

II ovom radu je takodje pokušano da se na osnovu velikog broja dobije- nih eksperimentalnih rezultata izvedu zaključci koji bi naša saznanja o stanju napona i deformacija u fleksibilnim kolovoznim konstrukcija­ma proširili.

Iako tema rada glasi: "Dinamički modul krutosti asfalt betona", pro­blem je posmatran sire i u razraatranje su uključeni: odnos vozila i puta, karakteristike materijala, rasprostiranje temperature i osnov- ni principi projektovanja kolovoza.

U prvom delu rada je razmatran odnos vozila i puta, tj. oblik delova- nja vozila na kolovoznu konstrukciju, a samim tim i na dinamički mo­dul krutosti asfalt betona.

Kada se kaže, oblik delovanja vozila na kolovoznu konstrukciju, prv- enstveno se misli na brzinu kretanja vozila.i u zavisnosi od brzine na vibracije kolovozne konstrukcije.

Veličina frekvencije vibracija kolovozne konstrukcije se kreće ugla- vnom od 1 do 40 HZ, a u radu je obradjeno područje od 5 do 100 HZ. U praksi su vibracije stihijne prirode, medjutim zbog prakticne strane izvodjenja eksperimenata u radu su uzete harmonijske vibracije jed- nakog intenziteta. Ovako pojednostavljenje nema bitnog uticaja na do- bijene rezultate i potpuno zadovoljava prakticne potrebe.

Eksperimentalni rezultati su pokazali da promene u frekvenciji vib­racija od 10 HZ izazivaju promenu "dinamičkog modula krutosti" za oko 2%, što znači da se dinamički uticaj konvencionalnih brzina vo­zila može zanemariti»

*

- 3 -

Il drugom delu rada je dat istorijat proučavanja "modula krutosti" , sa posebnim osvrtom na reološko tumacenje uticaja osobina bitumena, temperature i frekvencije na "modul krutosti" asfaltnih mešavina. Ov- de odmah treba istaói da od bitumena koji ima ulogu veziva u asfalt betonu, zavis u najveóoj meri i ponašanje fleksibilne kolovozne kon- strukcije. Nijedan drugi parametar nije toliko značajan, a ni kompl- eksan sam po sebi. Da bi se suzio problem, svi su uzorci napravljeni od istog tipa bitumena (najčešće upotrebljenih kod nas), i pod istim usloviraa. Ovo poglavlje predatavija osnovu za treóe poglavlje, u ko­inè je data suština rada, eksperimentalno odredjivanje "dinamičkog mo­dula krutosti".

Koristeói originalnu aparaturu ì postupak, izvršeno je ispitivanje "dinamičkog modula krutosti" asfalt betona, pri temperaturama od -20°G do +50°C, frekvencijama od 5 do 100 HZ i šupljinama od 3-73 ? ^.53 i 6Л в% .

Izborom temperature, od -20°C do +50°C pri kojima su izvršena ispiti- vanja, obuhvaóeno je naše temperatu.rno područje i data osnova za ko- rišćenje rezultata bez ekstrapolacije u svim delovima naše zemlje.

Siroko frekventno područje od 5 do 100 HZ omogućava praéenje uticaja svih standardnih vozila na kolovoznu konstrukciju, pa i specijalnih sa složenim stajnim trapovima.Iz praktičnih. razloga pravljenja uzoraka bio je ograničen izbor sup- Ijina u asfaltnim uzorcima. Kedjutim, i ovako uzano podruSje omoguć- ava sagledavanje uticaja supljina na "dinamički modul krutosti" asf­alt betona.

Poseban problem prilikom izvodjenja eksperimenata na višim temperat­urama je bio brza pojava zamora uzoraka koji je otežavao očitavanje rezultata na mernim uredjajima.

U četvrtom poglavlju su svi dobijeni podaci statistički obradjeni i dobijene numeridke zakonitosti ponasanja "dinamidkog modula krutosti" u odnosu na teraperaturu, frekvenciju i supljine. Dobijeni rezultati statističke obrade pokazuju da linija regresije u odnosu na dobijene

4

- k »

eksperimentalne resultate preko koeficijenta korelacije pokazuju da je stvarna disperzija podataka minimalna. Svi eksperiraentalni resul­tati i linija regresije su nacrtani "ploterorrf' računara.

Rezultati iepitivanja ukazuju na veliki značaj uticaja temperature na ponašanje "modula krutosti", cije se vrednosti u opsegu tempera- ture od -20°G do +50°C, menjaju od 2000 do 200 000 kp/cm .

» Analizirajući uticaje temperature i frekvencije vidi se da temperat­ura utiSe na starle napona i deformacija u kolovoznoj konstrukciji, a pr-olaz vozila (frekvencija) na zamor materijala.

U petom poglavlju je obradjeno rasprostiranje temperature u asfalt- nim kolovozima i njen uticaj na resultate "đinamičkog modula krutos­ti" dobijenih u prethodnom poglavlju.

Termicka provodljivost i kapacitet zagrevanja asfaltnih materijala imaju posebnu ulogu pri analizì napona i deformacija. Unutrašnji te-

* rmički naponi u najvecoj meri zavìse od karakteristika materijala ko-ji ulaze u sastav slojeva kolovozne konstrukci je. TJ trenutku prekora- čenja napona na zatezanje koji dopušta dati materijal, dolasi do stv- aranja pukotina u kolovozu bez učešća saobraéaja.

Temperatura na povreinì kolovoza se» grubo uzevši, u toku dana menja po sinusoidalnom zakonu, a odatle proisilazi i odgovarajuéa varija- cija temperature kolovoza na različitim dubinama.

Velike temperatume oscilacije prilikom širenja temperature kroz ko- lovoznu konstrukciju koje se odigravaju prema Fourier-ovoj zakonito- sti dovode do formiranja termidkih napona sto je problem termovisko- elastičnosti i spregnute termoviskoelastičnosti. Preko preradjenih Duhamel-ovih jednačina koje su se prvobitno odnosile na elastičnu, a kasnije na viskoelastičnu sredinu moguće je dobiti termičke napo- ne. Takodje koristeći fotoelasticnost moguće je za termoviskoelasti- čnu izotropnu sredinu resiti problem termičkih napona. Medjutim, kada je u pitanju asfalt, koliko nam je poznato, još niko nije uspeo da numerički definise tačno rasprostiranje temperature i termičke na- pone koji tom prilikom nastaju i računom obuhvataju sve paramétré ko-

4

- 5 -

ji praktično utiču na ponašanje kolovoza. Zbog toga ee skoro svi ra- dovi(najviše ih je u SAD i Kanadi) zasnivaju na eksperimentalnim re- zultatima.

U ovom radu su jasno prikazani svi uticaji godisnjih promena tempera­ture na dinamički modul krutosti, što će bitno uticati na izmenu mno- gih dosadašnjih ehvatanja u ovoj oblasti.

U šestom poglavlju je data mogućnost primene dobijenih rezultata u već postojećim postupcima analize napona i đeformacija u fleksibil- nin kolovozima. Imajući u vidu da su ova istraživanja radjena sa na­sia materijalima i za naše uslove, dobijeni su podaci koji mogu sda­ziti kao polazna osnova za uvodjenje jednog taSnijeg postupka za di- menzionisanje fleksibilnih kolovoza.

U zaključcima je data analiza rezultata, njihovo tumačenje i predio- zi za dalji rad u ovoj oblasti.

i

6 -

I. ODNOS VOZILA I PUTA

Izmedju vise važnih. faktora koji utiču na projektovanje kolovoznih konstrukcija puteva i aerodroma, najbitniji sa tip vozila. saobraća- jno opterećenje i oblik delovanja vozila na konstrukciju. Prilikom razmatranja tipa vozila (uključujući i avion) najvažnije je razmot- riti faktore kao sto su konfiguracija stajnog trapa, velieina pneu- matika, opterećenje po tacku i pritisak u pneumatiku.

Kada se kaže, oblik delovanja vozila na konstrukciju, prvenstveno se misli na brzinu kretanja vozila,

Vozilo u stanju mirovanja izaziva vertikalne pritiske u kolovozu, za razliku od vozila u pokretu gde postoje i znatna horizontalna napre- zanja. Pored ovih statičkih naprezanja dolazi do pojave i dinamičkih sila, koje uglavnom zavise od karakteristika vozila, brzine vozila, spoljnih uticaja (krivina, vetar,...) i neravaina na zastoru.

1.1, Vibracije vozila

Najjednostavniji model vozila na kolovoznoj konstrukciji može se pri- kazati šematski kao na si. 1. Gde m predstavlja masu vozila, K konstantu opruge (pneumatike) i C koeficijenat prigušenja (pneuma­tici i amortizeri).

Diferencijalna jednačina kretanja ovakvog sistema sa jednim stepenom slobode glasi:

m x -v-cx +• K x d)

Amplituda oscilatornog kretanja vozila glasi:

/fcco)2+ (k - w o j2)1

- 7 -

a faznog uglaC CO

K — rrico2- (3)

SI. 1 - Šematski prikaz vozila

Medjutim, izvrsena merenja pokazuju da se vozila u potpunosti ne po- koravaju ovoj diferencijalnoj jednačini. Tako npr. avion DC-7 etvara najvece amplitude vibracija, a avion DC-8 najraanje. Za DC-8, najvece amplitude se kreću u granicarna •• 725 kp ( - 0 . 0 g) pri frekvencijama ispod 2,5 o/s. Pri niekim frekvencijama dolazi do pojave rezonancije vibriranja vozila i kolovozne konstrukcije (čija sopstvena frekvenc- ija se kreóe od 6 do 15 c/s ili vise) što može dovesti do razaranja kolovoza.

Kod automobila ovi odnosi su drugaciji. Ka osnovu ugradjenih mernih traka u fleksibilnu kolovoznu konstrukciju i izvršenih merenja od strane "KONIHKLIJKE/SHELL - LABORATORIUM, AMSTERDAM” nadjen jo odnos izmedju brzine vozila i frekvencije oscilovanja kolovozne konstruk­cije (si. 2).

c/s) = 0 A 5 V (KnT/fA.)E ?

i

- 8 -

SI. 2 - Dijagram promene frekvencije u zavisnosti od brzine vozila izmeren u asf&ltnom kolovozu na dubini od 12 cm.

1.2« Stihi.jne vibracije

Kod jednostavnijih analiza vibraeija vozila i kolovozne konstrukcije podrazumeva ee da Je kolovozna povreina potpuno glatka ì da nenia vi­braeija prouzrokovanih neravninama zastora. Medjutim, ako se zeli korektna analiza vibraeija kolovoza i vozila, mora se poói od činje- nice da je kolovozna površina neravna i kao takva glavni uzročnik vibracija vo'zila. Sa gledišta dinamiche analize, neravnine zastora su multifrekventne promenljive vibracije stihijnih talasnih dužina i amplituda.

U prouSavanju problema stihijnih vibracija, faza funkoije aile kojom vozilo deluje na kolovoz ima mali uticaj na konačni rezultat. Zbog toga se rezultat stihijnog dogadjaja predstavlja statistici. Na sl. 3-a apscisa predstavlja vreme putovanja; za odredjenu brzinu vreme može biti zavisno od predjenog rastojanja. Ordinata X predstavlja vertikalna odstupanja površine zastora od sredine.Srednje kvadratno odetupanje je

т

- 9 -/

Za harmonijsku silu

F = Fo sin 23Гсо^ (6)

srednji kvadrat sile je jednak jednoj poiovini kvadrata amplitude,

oj ' ' ru F0asin22 r c o tc lt = (7)

Za multifrekventnu funkciju, srednji kvadrat sile je zbir amplituda na svim frekvencijaraa» dignutih aa kvadrat i podeljenih sa 2:

a) Statički model

Ф(и) 4

b) Model multifrekventne funkcije SI, 3 - Predatavijanje nepravilnog dogadjaja

Ovo je značajan odnos koji služi za predatavijanje nepravilnih vib- racija sastavljenih od multifrekventnih harmonijakih sila. Pomoóu ukupne srednje kvadratne vrednosti, multifrekventna funkcija za sva- ki interval frekvencije može se izraziti kao

P- Cirri ----------- 'ЛСО- ОV Д co (9)

- 10

U sluöaju kada je interval frekvencije mali Д iaJ teži nuli, granična srednja kvadratna vrednost u frekventnora segmentu se definiše kao specificna spektralna snaga (PSD) , multifrekventne funkcije 0(CO).Za neprekidnu funkciju, sređaja kvadratna vrednost nepravilne funk­cije može se izraziti kao

Iz ove jednačine se aože videti da je ukupna površina koju obuhvata

što je prikazano na sl. a, a za prekidnu funkciju kao na sl. V-b.

( 10)o

Grafički, definicija PSD neprekidne funkcije se može predstaviti kao

a

OU

ф(4Ј) A a) Neprekidna funkcija

didb) Diskretna funkcijaSl. h - Ilustracija funkcija PSD

K

Korieteći ovaj postupak, neravnine na kolovoznom zaetoru se mogu prikazati funkcijom PSD sastavljenoj od multifrekventnih harroonijs- kih funkcija.

- 11 -

Ponašanje vozila na аегатаош zastoru je ustvari odredjeno zbirom vi- bracionih sila pri različitim opsezima frekvencija. Za diskretni si- stem, ponašanje vozila bi se mogio izraziti pomoču

( 11)

gde je Fa amplituda jedne partikularne frekvencije, a odgovaraju- ći faktor povećanja vibracije pri ovoj frekveaoiji« Za neprekidni si- stem, prethodna jednaöina bi dobi.fja oblik

__________ 1 _____________ cLco (12)

►

Ako se 0 (U)) veoma maio men ja, tj. može smatrati konstantnom, inte- gracijom prethodne jeđnačine dobija se

T £4/3 (13)

—2Ovo je kvadrat srednje vrednosti X ponašanja vozila, koji 6e u kas-— 12nijim analizama biti izražen preko DI , jednak PSD vrednosti funkei-

onalno zavisnoj od neravnina zastora 0(0) i pomnoženoj sa funkeijom prenosa ^ 7 7 y . U ovom slučaju funkeija prenosa je zavisna od eo- pstvene frekvencije vozila i koefieijenta prigušenja amortizera.

Zbog dinamickog delovanja neravnina zastora na vozilo izraženog pre­ko dinamičkog uvećanja DI, dolazi do reakeije i ponovnog delovanja funkeije sile na zastor. U ovom slučaju funkeija sile postaje

F(t) = + DI ) Fs\rt25Tcot (iA)

Zamenjujući ovaj izraz u jednačinu zst mectusobni od,no* voeiLa. i xastora,

-Rto2-= ~ S sirn 25Tcot;A c t^ m o : - K b i - k l | i l F a s i a 2 T ^ t U5>

12 -

Na ovaj naSin su uključene stihijne vibracije u izraz za medjusobno dinamičko delovanje vozila i zastora.

Ovo poglavlje je ukazalo na oblik vibracija koje se javljaju prili- kom kretanja vozila preko kolovozne konstrukcije. U zavisnosti od potreba našeg izucavanja mi se odlucujemo da posmatramo harmonijske prinudne vibracije sa otpornom silom ili stihijne vibracije.

Imajući u vidu prakticnu stranu izvodjenja eksperimenata, odlučili smo se na harmonijske vibracije, čija se frekvenòija kretala od 5 do 100 HZ. Ovakvim izborom frekvencija uspeli smo da obuhvatimo u najveóoj meri sve slučajeve koji se javljaju u praksi. Izvodjenje eksperimenata na nižira frekvencijama od 5 EZ zahteva dodatnu opremu, a samim tim i v e c e troškove.

►

- 13 -

II» KABAKTERISTIKE MATSRIJALA '

U y o d

Dimenzionisanje kolovoznih konstï'ukci ja predatavi ja sintezu analize delovanja opterećenja i ponašanja materijala koji ulaze u sastav ko- lovozne konstrukcije. Problem dimenzionisanja fleksibilnih, kolovoza postaje još eloženiji kada se ima u vidu da je asfalt viskoelastičan materijal čije osobine prvenstveno zavise od temperature i viskozi- teta bitumena.

Posmatrati izolovano satno jedan parametar, s obzirom na kompleksnost problema, gotovo da je nemoguće.

U okviru proucavanja karakteristika sfaltnog kolovoza "Dinamicki mo~ dui krutosti" nesumljivo predstavlja najvažniju osnovu za dalji pro- račua napona i deformacija u kolovozu.

Postoji veliki broj metoda ispitivanja karakteristika kolovoznih ma­terijala. Do 1950» godine ucinjeno je rnnogo na standardizaciji osno- vnih metoda ispitivanja (Marshall-0va, Hubbard-Field-ova, Hveem-ova- i Duriez-ova metoda), a od 1950* na nalaženju korelacije izmedju st- andardnih metoda ispitivanja i rezultata dobijenih eksperimentima na lieu mesta (AASHO i WASHO opiti).

ßazvojem teorijskih metoda projektovanja dolazi do potrebe uvodjenja dinamičkih ispitivanja.

U ovom radu akeenat je i dat na dinamička ispitivanja asfalt-betona sa posebnim osvrtom na paramétré koji definišu ponašanje modula kru­tosti pod ponovljenim opterećenjem.

II.1. Reoloske osobine bitumena

Pod pojmom asfaltne mešavine podraeumeva se kompozieija bitumena i agregata. U zavisnosti od njihovih karakteristika i medjusobnog od- nosa, odredjuje se i ponasanje asfaltnih mešavina. Zbog toga, reolo-

IA -

gi ja asfaltnih mešavina se može podeliti na dva delà: jedan koji tre- tira čist bitumen i drugi raešavinu bituraena i agregata.

Predmet proudavanja reologije bitumena je da pronadje odnose izraedju napona, deformacije, trajanja opterećenja i temperature.

Koristeći Kook-ov i Newton-ov zakon mogu se prikazati dve važne ово- bine bitumena:a) modul elastičnosti E;

E - f

b) viskozitet Ч/T

Lcl Г cLt

(16)

Modul elastičnosti E se odredjuje pri manjim deformacijama, a visko­zitet pri većim deformaci jama.

Viskozitet izražen preko napona zatezanja i dilatacije glasi:

l - 7 * ~_1___ . _ £2(1+ k) e

(l?)

gde je m - Poisson-ova konstanta.

Za bitumen m = 2, odakle siedi da je:

(18)

Van der Poel pri opisivanju otpornosti na deformacije viskoelastic- nih materijala u koje spada i bitumen, uzima odnos 6/(5 kao funk- ciju vremena trajanja optereéenja t i temperature T. Ovaj odnos G f / j e nazvao "STIFFNESS" (krutost) S. U principu veza izmedju mo­dula krutosti i vremena pri datoj temperaturi, za viskoelastican ma- terijal, predatavijena je krivom oblika - sl. 5.

Leva strana (horizontala) krive odgovara kratkotrajnom opterećenju, pri čemu su deformacije uglavnom elastične, a modul krutosti ideati-

can Young-ovom modula.

SI. 5 “ OdnoG modula krutosti i vremena kod viskoela- stičnih raaterijala pri konstantnoj temperaturi

Desna strana krive, koja pada pod uglom od ^5°i odgovara dugotrajnom optereóenju, pri čemu su deformacije uglavnom viskozno i proporcion- alne sa vremenom.

Za odredjivanje modula krutosti kao funkcije vremena priraenjuju se statička i dinamička ispitivanja.

Pri statičkoj metodi ispitivanja primenjuje se konstantno opteroće- nje, a deformacija se meri kao funkcija vremena (vrerae deformisanja vece od 1 see).

Kod dinamiSkih metoda ispitivanja napon se menja sinusoidalno sa vr­emenom

6*- 6^ \\rvdj"fc. (I9)

Amplituda dilatacije se takodje menja sinusoidalno, sa istiom frok- veneijom, ali sa razlikom u fasi u odnosu na napon

£ = 8- S \ r t - ‘6 ) ( 2 0 )

gde je U) - kružna frekvencijaf - razìika u fazi izmedju napona i deformacije.

- 16 -

Modul krutosti se izračunava pri razonantnoj frekvenciji u zavisnos- ti od dimenaija uzoraka. Dinamički metod ispitivanja se.primenjuje pri niskim temperaturama i kratkotrajnim opterećenjima (<C 1 sec).

Na sl. 6 su grafieki predatavijeni statički i dinamički modul kruto­sti za Maxwell~ov model.

MAXWELL-ov model

vreme relaksacije koeficijent visko- znosti po Trouton-u

Sl. 6 - Uporedjenje statičkog i dinamičkog modula krutosti (Haxwell-ov model)

II.1.1. Predatavijanje različitih tipova bitunena mehaničkim modolom

Mehanički model, kojira se može predstaviti roološko ponašanje bitu- mena pri kratkotrajnora vremenu opterećenja, sastoji se od kombinaci- je linearnog, paralelno vezanog viskoznog i ideaino elastičnog i ci­sto viskoznog.

Ovo je u stvari kombinacija 24axwell-ovog i Voigt elementa (sl. 7). Za ovaj model deformacija pri konstantnora naponu moze so izraziti:

£ - -I- t- 4 - + • f

gde je X r = vreme retardaci je.z z

(21)

- 17 -

<?r

SL. 7 JEDNOSTAVAN MODEL ZA IL USTR ACUII PO NA ŠA N JA BiTUMENA

Koristeći ovaj aòdel r&zličiti tipovi bitumena mogu se predstaviti proraenom vrednosti odredjenih parametara.

Za tip bitumena na si. 3V koji prakticno noma povratnu elasticnost, parametri i su skoro neznatni. Na alici se vidi da se reološ- ko ponašanje ovog tipa bitumena moae skoro kompletno prikazati sa

i Q_ (Maxwell-ov model).

Bitumeni elastičnog sol tipa (b na si. 8) koji pokazuju idoalnu po­vratnu elasticnost kao i viskozno tecenje, mogu se predstaviti dob- ro raodelom na si. 7

Reolosko ponašanje bitumena gel-tipa (c na si. 8), koji nisu podvr- gnuti velikim naponìma smicanja i deformaci^©, može se predstaviti modelom u kome je izostavljen viskozni element

Bitumen a b cpen/25°0 25 15 13PK,°C 66 67 120IP - 2 Л -0.2 +5.5asfaitoni% 3 20 3^

- 18 -

S kp/cm^

SI. 8 - Modul krutosti u funkeiji od vreraena trajanja opterećenja sa razlicite tipove bitumena

Imajući u vidu da ss bitumen, sastoji od velikog broja komponenata rasličitih hemijskih karakteristika, molekularne tessine i veličine, reološko ponasanje se tačni^e može predstaviti samo složenijim mo­delima.

SI. 10B u r g e r s- ov m odel

Sl. $Kelvinov model

- 19 -

II.1.2. Uticaj temperature aa "inodul krutosti" bitumena

Pri niskim temperaturama deformacije su pretežno elastičnev a na vi- sokim elastoplastične do plastiČne.Uticaj opterećenja jasno je prikazan na sl. 11.

temp. = o°c25°Cso°c

Sl. 11 - Uticaj temperature na odnos modulakrutosti i vreme tajanja opterećenja

Promenom temperature utice se na pomeranje log Б ~ log t krivih. Kr- ive koje su tile odredjene pri različitim vremenima trajanja raogu se dovesti do poklapanja pomeranjem duž ose (t) (sl. 12).

Za ograničeni pojas temperatura (ispod temperature PK) ovaj opšti princip so može aproksimativno izraziti jednačinora:

s = £ ( u I; (22)

gde je R - gasna konstanta F - aktivna energija i to - konstanta.

20 -

U principu, log 3 - log t krive za bitumen odredjene za različite temperature (ispod temperature PK) , imaju približno isti oblile.

123

VREME OP TERECEN JA = S -ld S e c .10 see. lOsec .

SI» 12 - Uticaj vremena na odnos modula krutosti i temperature

Pri višim temperaturama može biti odstupanja zbog promene reoloških osobina bitumena, Ka primer, kod gel-tipa bitumena, gel struktura se men ja pri visokim temperaturama u sol strukturu. Jasno je, da ovo utiče na odnos log S - log t, sprecavajuói poklapanje krivih odre- djenih za razìicite temperature.

Pri niskim temperaturama i kratkotrajnira optereóenjima svi bitumonise ponašaju ideaino olastìcno. Xrutost je tada identična Young-ovom

10 2modulu E sa vrednošću od 2,5 do 3 x 10 dina/cm , koji važi za sve bitumane (1 K/m^ = 10 dina/cm^ = 1.02 x 10 ^ kg/cm^).

II. 1.3. Grafičko odredjivanje "modula krutosti1* bitumena

Na osnovu eksperimentalnih podataka iz statičkih i dinamičkih ispi- tivanja Van der Poel (35) js projektovao nomogram (si. I3) koji om- oguóuje odredjivanje "modula krutosti" bitumena na osnovu podataka:

- 21 -

a) tacke razmekšavanja po prstenu i kuglici (PK),b) indeksa penetracije, ic) vremena opterećivanja.

Van der Poel-ov nomogram su malo modifikovali Heukelom. i Klomp (36) pri čemu se krutost odredjuje u kp/cm urnesto u K/m , a linija sa negativni indeks penetracije je na drugom mestu (sl. 1^). Nekoliko autora je istraživalo tačnost ovih nomografica, kao npre Pell i McCar thy koji su utvrdili dobro slaganje ovih resultata sa stvarno dobi- jenim u eksperimentima. Van der Poel je takodje dosao do zaključka da razlika u merenim vrednostima krutosti asfalta i dobijenih iz no mograma retko prelazi faktor 2, Posle ovog Van der Poel-ovog nomog­rafica iz 195 » godine, prešlo se je na statističku obradu podataka i traženje korelacionih zavicnosti izmedju komponenti koje odredju- ju vrednost modula krutosti. Drapor i Smith (36) daju npr’. sledeći matematički odnos za vrednosti krutosti od 10 do 10 kg/cm :

log10S = -1.35927 - 0.o6?^3(T) - O.9025I log(t) + 0.00038(T)2--0.00138 (T X log t) + 0.00661 (PI X T) (23)

gde je: T - temperatura ispitivanja minus PK, °Ct - vreme optereéenja, sec; i

PI - indeks penetracije.

IND

EX

P

EN

ET

RA

CI J

E

22

10*

20 - IP log pennaT I- log pen na T2

, p = TFTTp' =50 T 1 - T 2 -

1 N /m2 — io dyn/cm2 = 1.02 x IO“ 5 kgf/cm 2 =1 .45x10 4 lb/sq.in.

1 N s/m 2 » io p ,— F r e k v e n c i j a hz

IÒ5 IO4 IO3 io2 Г 3m ‘ Kj" 30*1' 2' 5' 10* 30' I h 2h 5h I0 h ltto y2 d 7d JOd I vw r 10y lOOyI ( I I I I I I I I I I I _ _ _ _ _ _ I. - ,.-i . ----- ,1 - ----,--L _ . _ ----,---L _ -nјм^ А м .1 -;.;,1р;..гуи.:.,:г11-111 1,1 ,?.i, J "лД-у^Л-^гт1

I 4 « » | t • < • J 4 4 fl I t 4 « « ( f 4 « fl 1 4 « , ; 1 « f l , , 4 t . | , f l f l « 1 4 «f l | I 4 , " | ' I

* K T 5 io * 4 K T * 10"* 10*1 1 )0 K>* 10* w 4 '0 10

Vreme opterecen|a sec.

V r .kv w*

SL. 23 Van der Poel-ov NOMOGRAM ZA 00 RE DJIVANJE MODULA KRUTOSTI BITUME NA

MODUL KRUTOSTI KP/CM 2

r- O

IZNAD T PK

100 50 0 10 20 3 0 40 50 60 70 60 90 100Lliilli il ll.lHI » 1 111 ninnili 11 1 I 1 J li J J .Li ] 1 i J J_11 i I J J i N 1.1 i I-U-1-1 I I L-l- T r K

ГЕМР. RAZLICITA 0D T PK °C

FREKVE, C/SV IS K 0 ZI Т Г Т

TOO 10 1 1 sec \ Г 1m ini i 1 » V i ! i j i ( M i i

1 h V In hU-л. i j l y i *, , ij r f r~f J , , *1 1 1 J 1 M /|

Q. 01 Û.1 1 10 100 1000 10 000 iooooo

VREM E OPTERECI VAII.JA

1 n#*r|f|j/iit e c .

S I.24 HEUKEL0M-OV I K L0M POV-ov DIJAGRAM ZA ODREDJIVAN JE MODULA KRUTOSTI BITUMERA

- 23 -

II.2. Reološke osobine asfaltaih mešavina

Reološko ponasanje aefaltnih mošavina u najvećoj mori zavioi od roo- loskog ponašanja bitumena i agregata. Kao i kod bitumena pri malim deformacijama i kratkom vremenu optarećenja, odnos izmedju deforma» cije i napona je linearan. Takodje se reološko ponašanje aafaltnih mešavina može potpuno predatavi!! preko odnoea &'/ E , tj. preko"modula krutosti'l koji je funkcija vremena opterećenja i temperatu­re.

A) UTICAJ KOLICIHSKOG UČEŠ0A MINERALNOG AGREGATA(1) Dinamička istraživanja pri kratkotrajnom

vremenu trajanja opterećenja .

Krutost asfaltnih mešavina zavisi od krutosti bitumena i zapremins- kog odnosa bitumena i agregata. Uticaj zapreminske konoentracije ag- regata na "modul krutosti" asfaltaih mešavina prikazan je na sl. 15*

Sl. 15 - Odnoa izmedju "modula krutosti" meeavine i zap- reminske koncentracije mineralnog agregata

Kod asfaltnih mešavina,’ priroda i veličina zrna mineralnog agregata nema utioaja na krutost mešavine. Uprkos promenama u velieini zrna

- 24 -

(fil-or, pesak,..,) ave tačke praktično leže na jednoj liniji. Samo pri visokoj koncentraciji agregata (oko 80% zapremine i vise) ima uticaj velieina zrna. U ovop el ' * krutost se može razlikovati zafaktor 2.

Za mešavine aa zapreminskom koncentracijom mineralnog agregata od oko = 25%, odnos krutosti i koncentracije može se izraziti Ei- lers-ovim i Van Dijck-ovim empiričkim obraecem:

Srn _ f , 'X.'l'òCv \ Sco V 1-1.12ÔCV 1 (24)

gde se "m" odnosi na mešavinu i "a" na bitumen«

Za vrlo niske koncentracije ova jednačina se menja u Einstein-ovu formulu:

= 1-t-2.SC* (25)

Pri viaokim koncentracijama, krutost mesavine je ograničena Young-12 2-ovim modulom za kamen, koji iznosi 2 х 10 dina/cm .

Heukelom i Klomp (36) daju sledeću jednačinu za proračun "modula krutosti" asfalt betona, na osnovu krutosti bitumena dobijene iz nomograma (sl. 14) :

Smix = Sexe L 1-0 + ( ~K )(-д.0С- с ^ 1 (26)

gde je: n a О .83 lOg10 /4xlQ^v s 'ao

2S . - "modul krutosti" asfalt-betonske mešavine,kp/cm mix 2S - "modul krutosti" bitumena, kp/cm ; iÖ.C

Cv - zaprerainska koncentracija agregata.

Zapreminska koncentracija agregata u mešavini definire se Imo:g _ zapremina sabijenog agregata V ~ zapremina (bituraena+agregata)

- 25 »

Ovaj izraz bi se mogao zameniti ekvivalentnom vrednoäcu, dobijenom na uzorcima is kolovoza ili napravljenim u laboratoriji.

gde je C

CVW

( -S )vw '

=3

X

11+CG.

(27)G

~0 =(procenat bitumena po tezini/lQO) x (y 0a

gde je: — tesina bitumenaW - tesina agre gat a ß - specifična tesina bitumena i G^ - specifica» tesina agregata.

Odnos S . (26) vasi za dobro sabijene mešavine sa oko 3% šupljina mixispunjenih vazduhom. Za mešavine ва šupljinama većim od 3%, Draat i Sommer (j8) su utvrdili korekciju za C^:

c; = ^ (28)

gde je: H = stvarne šupljine ispunjene vazduhora - O.0 3.

ÏÏticaj temperature na krutost asfaltne mešavine (u ovom elučaju pe ećane aaialtne meeavine) prikazan je na el. l6.

10f0c*0ÜJz><ПЛшX</)oo 10DC

Z)QOX

— _ _

\ \\ _______________

\

\

\ .................-

\

\

\1. 1 - —i4_____________1

40 -20 0 20 T EMPERATURA

Sl. l6 - Uticaj temperature na krutoot pri бО G/S

- 26 -

(2) Staticka istraživanja pri dugotrajnom vremenu trajanja ogterećenja

Koristeći rezultate triaksi jalnih. ispitivanja utvrdjeno je da konce- ntracija agregata iato kao i priroda agregata utiče na osobine asfa­ltnih mešavina, Postoji optimalna gradile a učešća količine bitumena i šupljina u asfaltnim mešavinama.

Početna otpornost u© puno zavisi od kompozicije mineralnog agrega­ta, posebno od filera ( zrna < 7^ ) i zraa agregata ( > 2mm).

Prema Nijboer-u T& kod peščanih asfalta opada sa faktorom 1.7» ea podizanjem temperature od 10°C.

B) YEZA IZKEDJU RE0L0ŠKIB 0S0BINA ASFALTNIH MEŠAVINA I KQMPQNENATA ASFALTHIH MES AV III A

Keološke osobine asfaltnih mešavina neposredno zavise od tipa upot- rebljenog bitumena.

Zavisnost modula krutosti asfaltnih raešavina od modula krutosti bit­umena pri istom vremenu trajanja optereóenja za različitu koncentra- ciju mineralnog agregata data je na ei. 17-

Za svaku koncentraciju mineralnog agregata krutost bitumena odredju- je krutost mešavine, sto je takodje elucaj kada se ista zavisnost postavi i u odnosu na temperatura (si. 18).

Staticka ispitivanja su pokazala da vrednosti početne otpornosti i viskoziteta ^пг asfaltnih mešavina takodje zavise od "modula kru­tosti" (viskoziteta) bitumena* Obe vrednosti se poveóavaju sa pove- ćanjem krutosti bitumena.

Vrednost ugla unutrašnjeg trenja mešavine malo je zavisna odkrutosti bitumena. Posebno treba istaói da cvrstoóa na lom asfalt­nih uzoraka prvenstveno zavisi od bitumena, a da mineralni agrégat ima mali uticaj.

- 27 -

No KONCEN. MIN. AGRE GATA

1 0 CIST BITUMEN2 30 MASTI KS3 50A 70 '~w/.4_5 61 PESCAMI ASF6 0.6 ASF. BETON

Sx. 17 - Odnos »modula krutosti" bitumena i mešavine aa raalicite ^concentracije agregata

SI. 13 "Modul krutosti" meeavine u funkeiji od temperature

"/. zap.

- 28 -

Na osnovu izloženih stavova iz reologije asfaltnih rnesavina i bitu- mena, može se zaključiti da od reoloëkog ponaëanja bitumena kao ve- ziva u asfaltnim mešavinama, zavisi i ponaëanje asfaltnih meëavina pa i cele asfaltne kolovozne konstrukcije. Od svih spoljasnjih fak- tora, temperatura je sigurno najbitnija, koja utice direktno na st­ante napona i deformacija u kolovoznim konstrukcijama. Pri tome se ne može zanemariti uticaj ostalih parametara (količina veziva, tip veziva, oblik agregata, količina agregata i njegov medjusobni odnos). Medjutim, uticaj promene ovih parametara na reološko ponaëanje asf­altnih mešavina u ođnosu na temperatura gotovo da je zanemarljiv.Zbog toga je u ovom radu akeenat i dat na proučavanje utioaja temp­erature na karakteristike modula krutosti asfalt betona.

II.3» Modul krutosti asfaltnih mešavina

II.3.1. Definicija modula krutosti

Polazeći od već iznetog shvatanja da je asfaltna meëavina viskoela- etično telo, i da njene mehaničke osobine pored velieine optereóo- nja zavise od perioda trajanja i temperature, primenjujemo radi la­kseg proučavanja sinusoidalni napon:

Dobijenu dilataciju £. pri istoj frekvenciji, ali različitoj fazi u odnosu na napoa prikazujemo odnosom:

Pod ovakvim uslovima, stanje napona i deformacija se prikazuju кош-

gde je E* realni deo kompleksnog modula, a E ’’ iraaginarni deo komp- leksnog modula.

(29)

(30)

pleksnim brojem E ,E +f r—* / • i—* //=• E +■ L E (3D

(32)

- 29 -

E" = # • sVn-tÒo (33)

E* je komponenta modula koja predatavija sačuvaau povratnu energiju, a E ’’ izgubljenu energiju na unutrašnjem trenju u materijalu.

Apsolutna vrednost kompleksnog modula je:

Odnos amplituda napona i dilatacije naziva se "modulom krutosti" i kao termin je veoma rasprostranjen u stručnoj literaturi.

II.3«2. Istorijat proučavanja tlmodula krutosti11

Iako su istraživanja uticaja osobina asfaltnih mešavina na napone i deformacije preduzeta jos pre 35 godina, nije dovoljno proučen ubi­ca j veličine, dužine trajanja opterećenja i temperature,

Mali broj ispitivanja je uradjen na utvrdjivanju uticaja količine bitumena, šupljina ispunjenih vazduhom i ostalih karakteristika as­faltnih mesavina.

Van der Poel (21) i (22) je iefinisao ponašanje viskoelastičnog ma- terijala u funkciji od vremena i temperature kao - STIFFNESS MODU­LUS - "modul krutosti" dat izrazom:

koji važi za bilo koju odredjenu kombinaciju vremena trajanja opte- rećenja i temperature T.

Monismith i Seed (23) su 1962. godine saopštili resultate opsežnih istraživanja "modula krutosti" u pojaeu od 100 kp/cm do 20 000 kp/cm za različite asfalt-betonske mešavine, opsege temperatura i dužine trajanja opteroćenja.

Finn (2*0 je pored pomenutih faktora, utvrdio niz novih koji utiČu

~ 30 -

na "modul krutosti" asfaltnih kolovoznih mesavina» Po njemu granulo- metri jski sastav ima mnogo veci uticaj od tipa bitumena (pri konsta- ntnoj količini bitumena) pri dužem vremenu trajanja opterećenja.

Pagen i Ku (25) upotrebljavaju opit tečenja, da bi ispitali uticaj tipa bitumena, granulometrijskog sastava i vrste agregata na "modul krutosti".

Heukelom i Klomp (26) su ispitivali vezi izmedju "modula krutosti" i modula krutosti bitumena. Oni smatraju da zbog koraplikovane geomet­ri je asfaltnih mesavina, odnos "modula krutosti" meeavine i bitume- na ne može biti tačno sračunat. Zbog toga su dali poluem-pirički obraaac koji inaiava odaos u zavieaoe« od koao-entracije agregata C .

S . /S . = (1 + (mxx bit,2.5 GV N \П) )i

gde jen = O .83 log, n ( k X IO5

1° S. ..bit)

(56)

(37)

Iz ovih jednačina i dijagrama datih od Van der Poel-a (2б) moguće je za različite temperature koje se upotrebljavaju u projektovanju, dobiti "modul krutosti" mešavine. U slučaju viših temperatura prep- oručuju Nijboer-ovu formulu, koja daje preko rezultata opita po Marshall-u vrednost krutosti mesavine:

J60 c ° , , /, , 2s , £ stabilnost (kp) /,o\k sec (kp/cm ) = 1.6 ^ 7 ,7 -/— ^ (3°)tee en je mm;

Nešto izmenjenim putem su krenuli Finn, Hicks, Kavi i Cayne (27) kada su dosli do zaključka da guatina mase, količina peščanih fra- keija agregata i penetraeija bitumena utiču na dinamički modul kru­tosti. Njihovi rezultati so baziraju na podacima dobijenim prilikom ispitivanja uzoraka kolovoza, a označavaju sledeće odnose:

- 31 -

log^ Kr(modul krutosti х IO’"''’) = -1.86 -0.016 (penetracija)++O.OV7 (gustina) +2.5б(%рвзка) (39)

Goetz (28) je proučavao promenu dinamičkog modula krutosti u zavis- nosti od temperature asfalt betona, koji sađrži različitu kolicinu i vrstu bitumena.

Utvrdio je vezu izmedju dinamickog mogula krutosti i kolicine bitu­mena. Pored togav pronašao je da penetracija bitumena malo utiče na modul krutosti.

Jimenez i GaJikway (29) su utvrdili da se dinamički modul krutosti odredjen deflektometrijskim opitom, poveóava linearno sa veóom gus­tinosi uzoraka.

Bazin i Saunier (30) su utvrdili da šupljine ispunjene vazduhom zua- tno utióu na vrednost '’modula krutosti”, tj. da sa poveóanjem šuplj- ina dolazi do opadanja modula» Ovaj odnos može biti linearan ako se posmatraju logaritamske vrednosti. Oni su takodje utvrdili zavisnost modula krutosti od tvrdoóe i temperaturne osetljivosti bitumena u mešavini. 1

1 na kraju treba istaói rad KcLeod-a (3I) koji predlaže sledeći iz- raz za sračunavanje modula krutosti:

Treba odmah. istaói da je ovaj obrazac 6lióan Nijboer-ovom i da nije prihvaóen od mnogih. autora.

II.3 .3. Zavisnost modula krutosti od temperature i trajanja optereóenja

Modul krutosti elastičnih materijala jednak je modulu elastiónosti E, koji je u ovom sluóaju, nazavisan od vremena optereóenja i temp­erature. Viskozni materijaìi se karakterišu preko njihovog viskozi- teta

Modul = kO stabilnost tecenje (**0)

vrednosti koja uglavnom zavisi od temperator« "■•orna defi-

- 52 -

nicìji viskoziteta, napon zom:

G"

dt _ Ј Г di 3

ko ji izaziva deformaciju dat je izra-

(*H)

Za konstantni парод a vremeau t, pocevši od £ s 0 pri t = ormacija je jednaka:

& = -6 4 :ч

Q, def-

(**2)

Stoga se modul krutosti može izračunati u zaVisnoßti od vremena i temperature u ovom slučaju kao:

5l(T)t/ (*t3)

što znači da je modul krutosti viskoznog materijala u osnovi inver­ano proporcionalan trajanju opterećenja.

Viskoelasticni materijali se ponašaju složeno, кш što je prikaza- no na si. 19«

SI. 19 - Modul krutosti razliSitih materijala u zavisnosti od vremena opterećivanja

Pri kratkom vremenu trajanja opterećenja (dinamičkora opterećonju)

- 33 -

oni se ponašaju elastično, a pri dugačkom skoro viskozno. Ovo se шо" že predstaviti i modelom sastavljenim od opruge (Б) i prigušenja (3 9 ), Ponašanje ovog modela u odnosu na opterećenje može se pri~ kazati preko diferencijalne jednačine:

с1б _ __ctt E cL-b X (Mf)

odakle se dobijaju siedaci izrazi za modul krutosti: a) statičko opterećenje; = const; £ = 0 pri t = 0;

S = 1 + t/Q

b) konstantan iznos deformacije; dc/dt = const; & = 0 pri t = 0

<^5)

(h6)

c) dinamičko poterećenje; (d sin Co t ; £ = £, sin (cot- £) ;

s = i ‘r7)

gde je: "O ' = 3 9? /S vreme rolaksacije sistema, ko je odgovara vro- menu pri kome se linije ^ i E seku na si. 19; 60 = 2 Ј/ f, gde jo f frekvencija dinamičkog opterećenja u c/s.

Sve tri jednačine pokazuju da S—> E kada t —> 0 ili co — .gom ekstemenom slučaju S —;>■ 3 n/ 1 kada je t ^ 0, dok S -jr- 3 7 da CüÜ'« 1,

U dru- 60 ka-

Prema tome, u ekstremnim slučajevima postoji odlična k o r e L a c ije

izmedju dinamičkih. i statičkih vrodnosti modula krutosti dobije-. nib. stavijajući da ja:

___

2.X3: (**8)

Razlike izmedju tri jeđnačine (a, b i c) vide se na si» 20 na rnestu gde je t =. -O' i OJô = 1. Za jednostavan model, gde je t = i cod' == a, modul krutosti pri konstantom opterećenju je 70% od dinamičkog inonula, a 90/o od montila pri konst ant nom iznosu. deiormacije«

- 7Л -

od vremena i frekvencije

- 35 -

III, EKSPERIMENTALNO ODREDJIVAKüE DINAHIÖKOG MODULA KRUTOSTI

U y o d

Najpravilniji način ispitivanja fleksibilnih kolovoznih konstrukci- ja sastoji se u izgradnji opitnih deonica sa kolovozaim konstrukci- jama različitih tipova» koje se podvrgavaju programiranom saobraóa- ju i kontroiisanora praóenju nastalih promena.

Jediai, ali veliki nedostatak, je koštanje ovakvih eksperimenata. Opiti ovakve vrste jeđiao su izvršeai u USA (opit WA3H0-1959 i AASHO-I957 do 196i), Obilje dobijeaih podataka predstavlja i danas polazau osnovu za biio koji ozbiljniji rad na izučavanju kolovozaih koastrukcija. Jedina primedba koja bi se mogia sbaviti je, da su is- pitivaaja realizovana aa jedaom odredjenom mestu, pri vremenskim us- lovima karakteristicnim za kliau odiasti Ottawe (država Illinois u USA). Zbog toga je uvek delikatno dobijeae rezultate ekstrapolirati bez prethodnih ispitivanja koja se odnose aa lokalhe uslovo.

Ukoliko se unapred dozvoli izvesao odstupaaje od stvarnosti tj. da se vrši opoaašaaje stavraog saobraóaja i kolovozne konstrulccije, rno- guće jo izvršiti tereaska i laboratorijska ispitivanja koja imaju aiz povoljnosti (mali troškovi, kratko vreme izvodjenja eksperimen­ata, promena velikog broja parametara uz minimum ulaganja, odlična korelacija sa stvarno izmerenim podacima aa terenu, itd.).

Ovde će biti izložea jedaa tereaski i laboratorijski aparat za din­amitico ispìtivaaje modula krutosti fleksibilnih kolovozaih konstru- kcija.

III.l. Terensko ispitivanje modula krutosti

Primena terenskih metoda ispitivanja modula krutosti datira od 1950. godine, kaàa su "Corps of Engineers at the Waterways Experiment Station" i "Shell Research Laboratory" u Amsterdamu konstruisali aparaturu sa teškim mehaaickim vibratorom za merenje vibracija u kolovoznoj konstrukciji. Preko par ekscentričnih doboša, ekscentri-

- зб -

tata r koji rotiraju kružnom brzinom CO stvara sa funkcija silekoja delude aa površinu zastora. Horisontalne ekscentrične eile su

.ibno poništena, tako da deluje samo vertikalna sila vibraci-je P d . Pod dejstvora ove sii© na površinu ideaino elastičnog ma-terijala, dolasi do pojave tri tipa talasa, To su a) P ~ primarnitalas, b) S - sakundarni talas i c) R - Rayleigh-ov talas, ü zavis-nosti od osobina materijala formiraju se ’orzine rasprostiranja tal-asa (V , V i V ). p s rKa si, 21 je prikazan odnos izmodju ’orzino talasa P i R proma S u funkciji od Poisson-ovom odnosa. Ka osnovu ove slike mogio bi se zaključiti: da je V nezavisna od Poisson-ovog odnosa sredine, dok je V.Q nasuprot mnogo zavisnija. Brzina je nezaatno zavisna od yb . Zbog toga prilikom rešavanja praktičnih. problema moze se uze- ti da je

V ir Vs rTeorijski vasi odnos

i "V" yoi = -ry— (Л9)v s

gde je 06 konstanta proporcionalnosti,

Na osnovu iznetih teorijskih razraatranja, modul krutosti materijala, odredjuje se iz sledecih jednacina:

Za S talase:

E = 2 (1 = 2 (1 +-;u) v / ( «./, )

Za P talase:f = и ^ ) а - 2 и - ) У р г ( Гт/9')

(1-P-)

Za R talase:g-= 2 (1

O

(50)

(51)

(52)

- 37

5

4

> \>

2Oc•OO

PS> R

00 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

SI. 21 - Uticaj Poisson-ovog odnosa na brzinu talasa

U ovim jednačinama, kao sto se vidi, aa osaovu izmerene vredaosti brzine talasa "V" odredjuje so raodul krutosti. Brzina rasprostira- nja talasa data je izrazom:

gdo je: L - duaiaa talasa, i f - frenvencija.

Na si. 22 je ilustrovana jedaaciaa 53* Brzina rasprootiranja tala­sa, nastalih. od vibrirajućog opteroćenja Pd9 frekvencije f, meri so preko električnog detektora, osciloskopa i fazometra. Talasna duži- na so normalno odredjuje iz izraeronog broja talasa n na odrodjenom rastojanju X. Na osnovu dijagrama sa osama n i х, a za različito frekvencije odrodjuje se talasna dužina i odgovarajuća brzina raa- prostiranja talasa. Sa povećanjem frokvencijo dolazi do opadanja talasno dužino. Znači za datu frekvenoiju, odredjuje so talasna du- žina, a na osnovu jednačine 53 se sracunava brzina talasa.

Za ideaino uniformnu elastiSnu sredinu,

V = L * f (53)

(5^> '

a mod-Za ovakav materijal brzina talasa je nezavisna od frekvoncije, ul se može sračunati preko jednačina i na osnovu rezultata jod­ae frekvencije. Medjutim, aa višeslojni sistem, ovaj ideaini slučaj se mora modifikovati. Najvažnija dopuna 30 što se uvode u razmatranjo H baiasi koji se raspros'ciru na dubini jeđnakoj LT . Pros* ' re- đnost modula krutosti S za odredjeni materijal dobija se na jednoj poiovini dubine Lr . Ako se f povećala, L r јб opala i izmerene oso- bine ođgovaraju bliže površini. Takodje, ako f opada, L r se poveća- va i đaje osobine materijala tipične za dubljo slojeve, Proma tome, kod višeslojnih konstrukcija visoko frekvencije se upotrebljavaju za ođredjivanje osibina na površini dok nisko frekvencije vibratora za osobine posteljice. Tacku osmatranja najpre đostižu primarni (longi- tudinalni baiasi), zatim sekundarni (bransverzaini) i na kraju Ray- leigh-ovi baiasi* Pk

/ \ i \ 1У Ш .

I; i iv.y-чX rasto|an|e

Pk л r\ Л! !

/ \ ; i c 1 \ 11 1 1 1

I 1 i \Y77777A ! ! i l l !

1 i l l ' / 1, !> 1 1 i !< ! ! ! 1 —

r v T i1 ' 1 \ I; \y \.>

X

лSI. 22 - Prikaz rasprostiranja talasa kroz idealnu elasticnu sx-odinu

- 39 -

11.2» Laboratorijsko odredjivan.le modula krutosti

Eezultati dobijeni laboratorijskim ispitivanjima u svakom elucaju ima- ju manju vrednost, nego oni dobijeni na lieu mesta. U stvari, najvééi problem prilikom laboratorijskih ispitivanja je da se nadje odgovara- juéi model koji co dovoljno 'cacao reprezentovali dogadjaje u stav.rno- sti.

Postoje modali koji u razmeri l:n potpuno verno px-edstavljaju stvarne2uslove i oni cija oprema zaprema 2 m .

Б obzirom na naso materijalne moguónosti mi smo u Laboratoriji za pu~ teve - Gradjevinskog fakulteta u Beogradu, konstruisali aparat za di­namicità ispitivanja asfalta, Po konstrukciji aparat je originalem (svi delovi aparata, osim osciloskopa, vibratora i fazometra, su ru- cne izrade), a po idejnom rešenju ima par uzora u najpoznatijim svot- skim istraživačkim centrica. Gvako konstruisan aparat omoguóava ispi- tivanje pojedinih. reoloških karakteristika asfalta, kao sto su: modul krutosti, komploksni modul elastičnosti, zamor ... i to u funkeiji od optereóenja, frokvencijo i temperature.

Konstruktivni detalji aparata prikazani su na si. 23, i 25.

SI. 23 - Aparat za dinamicko ispitivanje asfaltnih gredica

- ko -

SI» 2k

si. 25

Osnovni delovi aparata su:- osciloskop (za registrovanje amplituda sile i ugiba)~ merač faznog pomeranja (za aereaje fazne razlike izmedju trenutka

dejstva sile i nastalog pomeranja)- birač frekvencija sile (od 1 do 100 HZ sa intervalom od 1/2 HZ)- pojačivač signala (pojaSava signale sa rnernih traila)- termoregulator (omoguóava izbor temperature na kojoj óe se obavlja-

ti ispitivanja *, od -Зб°С do +100°C, sa intervalom od 1/10°C)- vibrator (proizvodi sinusoidalno optereéenje max jačine 25 kp)- merac sile (kopbinacija viso čeličnih prstena sa ugradjenim mernim

trakama za morente jačine silo ko j ora vibrator deluje na uzorak)- merač ugiba (konzola sa mernom trakom koja registrale ugib i regu-

lise najveói dosvoljeni ugib prilikom rezonancije da ne bi došlo do oštećenja aparature)

- držač uzoraka i prateóe oprarne (metalna konstrukcija postolja za jedan deo aparature)

- termoregulaciona komora (prepravljen frižider za duboko zamrzavanje sa ugradjenim grejačem i regulacionom sondom)

- merač vremena ispitivanja uzoraka (električni časovnik koji se aut- omatski uključuje prilikom ispitivanja i iskljucuje u trenutku ra- zaranja uzorka).

III.2.1. Prikaz postupka ispitivanja modula krutosti

Uvod

Pro početka ispitivanja trebalo je razrešiti niz na oko lakih proble­ma. Najznacajniji su svakako način spravljanja uzoraka i izbor repre- zontativnog uzorka. Postoje dva načina da so dodje do uzoraka - asla- Itnih gredica dimenzija 25 x 5 x 2 cm. Jedan je da se one seku iz ko- lovoza ili laboratorijski napravljenih ploca, a drugi da se prave u kalupima. Ovaj principijolno lak problem rešen je dosta naporno pra- vljenjem uzoraka u kalupima. Tom prilikom smo došli do zaključka da se jedino dinamičkim sabijanjem može postici 100'/ zbijenost po "Mar- ehalln-u (u odnosu na zbijenost standardnih Marshall-ovih cilindara).

Asfaltna mešavina se s&stojala od:- kamenog braëka 10%- peska 5%- kamene sitneži 0 - 2 ma 3 0%- kamene sitneži 2 - 5 am 2 5%- kamene sitneži 5 ** 8 mm 1 5%- кашепе sitaeži 8 -12 mm 15%

100%

- bitumen 50/55 8,75%

sa fizičko-mehaaičkim osobinama:- stabilnost po "Marshall"-u na 6o°G 1000 kp- tečenje po "Marshall"-u na б0°С 5»75 mm- zapreminska tesina po "Marshall"-

-ovim uzorcima 2.35 t/nr- supljine u asfaltnoj masi ^,11%- ëupljine u asfaltnira gredicama ^,53%od koje je napravljeno i ispitano 250 gredica (si. 26). Nakon viëe- nedeljnih proba isbor je pao na mineralnu meëavinu sastavljenu po Fulerovom principu za asfalt betone (si. 27).

Iako je sa peëcanim asfaltnim meëavinama mnogo lakëe raditi, odlučio sam se za asfalt-betonsku meëavinu zbog njene rasprostranjenosti u naëim uslovima, a i zbog povezivanja sa rezultatima ispitivanja mod­ula krutosti bituminiziranog ëljunka koji sam radio u magistarskom radu. Da bi se smanjila rasipanja rezultata u toku merenja modula krutosti, svi uzorci su bili identičnog sastava, dimensija i zapro- minske tesine.

III.2.2. Postupak ispitivanja

Pre pocetka ispitivanja bilo je neopiiodno izbaždariti eve merne ure- djaje. U suëtini bilo je moguée meriti samo električno velieine, tj. napon struje na mernim trakama koji je pojaSavan i registrovan na

- k J -

osciloskopu. Na osnovu ovib. vrednosti preko dijagrama (dobijenih u fasi baždarenja) ocitovane su vrednosti ail© i ugiba.

Pro početka ispitivanja uzoroi su temperirani u komori do postizanja konstantne temperaturo. Ovo vrsne se kretalo od 3°’ do бО’. Zatim su uzorci stavljeni na memo postoljo i uključivan vibrator koji je pr­eko rnemog prstena dolovao predvidjenom silom i njenoa frekvencijom na uzorak.

Različito temperature ispitivanja zahtovale su i različite debljine čeličaih. prstenova (zbog velikih razlika u veličini modula krutosti na različitim temperaturama). Preko konzole sa ugradjenim mernim tr- akama registrovan je ugib i zaustavljen aparat u trenutku rezonanci- je, kada je dolazilo do naglog skoka amplituda ugiba.

P RO

C. A

Z

- bA

F R A K C 1 JA P R O L A Z OS N 0 V N IH F R A K C I J A

OTVORI SITA 0. 0 9 0. 20 0. S3 2.00 5.00 8.00 1 2.5 0KAMENO BRAŠNC 79.8 9 8.8 100.0

--------- -

PE SAK S 7. 5 31. 0 100.0---- ------ ----------

0 - 2 8.5 19.7 4 7.3 81. 3 100.02 - 5 0.8 1.3 2.8 6.4 71.3 100.05 - 8 0.2 0.3 0. 5 0. S 5.4 83.4 1 00.08 - 12.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.6 1 8.0 95.0

FRA KCl JA UC E- P R O L A Z S A S T A V L JEN E M E Š A V I N EOTVORI SITA ŠCE 0.0 9 0.20 0.63 2.00 5.00 8.00 12.50KAMENO B. 10 8.0 9. 9 10.0 1Q0 1 0.0 10.0 1 0.0

PE SA K 5 1.3 4.8 5.0 5.0 5.0 ELO0 - 2 30 2.5 5.3 14.2 24.4 zp.o 30.0 30.02 - 5 25 0.2 0.3 0.6 t. G 13.0 25.0 2 5.05 - 8 15 0.1 0.8 12.5 1 5.0S -12.5 15 0.1 2.7 1 5.0

\ UKUPNO [i 00 10.7 17.4 29 e 41.1 G3.3 85.2 100.0

1 1 N ! J A P R O S E J AV A N J A

SI. 2? - Granulometrijski sastav minorala© mesavine

- ^5 -

ü trenutku rezonancije dolazilo je uvek do loraa uzorka. Na visokim temperaturama je zbog brze pojave rezonancije bio veliki problem re- gistrovanja svih. mernih veličina. Pojačivae signala sa mernih. traka zbog Bvoje znatne osetljivosti, tražio je uvek intervencije u toku ispitivanja, Na ekranu osciloskopa registrovane su velieine arnplitu- da sile i ugiba u Volta/cra, a kasnije pretvarane u kp i mm. Pored ovih vrednosti registrovao sam i fazai pomeraj, ali ga nisam koris- tio u daljem toku rada.

Ill,2.3» Sracunavanje modula krutoeti

Diferencijalna jednačina statiche krive ugiba elasticae gredice je

prismatione

EE)clx^ (55)

pri čerau q predstavlja intenzitet raspodeljenog opterecenja, a EJ krutost grede. Primenjujuéi D ’Alamberov princip, intenzitet q boe- nog optereéenja zamenjujemo inercijalnim silama po jedinici dazine grede, pa jednačina 55 postaje jednačina 56:

ri dÓY co 3 Vclx Џ e û t

pri čemu je masa po jedinici dužine grede.

(56)

U slucaju proste grede koja u toku vibracija dobija sinusoidalni oblik, može se za rešenje jednačine 56 uzeti izraz

^ i - s i ni T x ;

ù(57)

pri čemu i predstavlja broj polutalasa na koje je vibrirajuća gre- da izdeljena, a ЦЦ je funkcija vremena.

Uvodeći izraz 57 u jednacinu 56 dobija se jednačina

'в -h V i t i = 0 (5S)

- -

u којој je primenjena oznaka

^ _ л и : 4' P 1 PA CO (59)

Diferencijalna jednaSina 58 predatavija proato barmonijsko kretanje, čija je frenvencija

( 6 0 )

Kod prinvuinih vibracija grede pod q(x,t) raspodeljenom pobudjujućom silom, koristeći prethodni princip, koji dodajemo inercijalnim Bila­ma na đesnoj strani jednacine 56 dobijamo

EEoÇV

* d tz(61)

Nalazeći rešenje ove jednačine u obliku (57) i uvodeći ga natrag, dobijamo

'fci s,* + v ì v i s . a ^ = ( 6 2 )

Sada se poranože obe strane jednačine sa sind x/l)dx, pa izvrsi integrisanje po dužini 1 grede.

6^ 4-'Pi'€i= {2.Cx;t ) m - i i s c(Ä , (63)

Za slučaj kada umesto raspodeljene pobudjujuće 8iie q(x t) na gredu deluje stalno pulzirajuća sila Psinout, funkci^a ^ xacezava zasve vrednosti od x, izuzev za x = c (el, 28)1 Pa talco dobijamo

% Sin — c b x =. ~p. sin Git sin tXc5

( 6<0

- V? -

C___J Psimüt

ÿ i

.. 28

Ako ovo uneseHO u desnu strana jednačine (63) oaa postaje

+ 1 - S m Got - S i r i ,Co o U (65)

a zatim koristeci se jeanačinoia za numeričko integrisanje

x , = ^ + - k ( è + ^ ) л ( / р » х )vX<

' p o ' p c( 66 )

dobijamo opšte rešenje

V i =■ '?чЈ lJic t,

pt Go t ~ČT S'ncot-sin(pLti. - p < t ) c l t( 6?)

koje posle integraci^© postale

1/3 _ 2-%^ ■ - Ü£. _ sin, p i t \ (63)“ coC Sin spi У >?-С ог' )

Uvodoći ovaj izraz za ti а jodnacinu 57 aooija eo i~ti nacin ib— riranja gredo« Uzimajući i = - »2*3* co sumirajući odgovarajućenaSine vibriranja, dobija se potpuno rešenje za reagovanje gredo na pobudjujuću eilu Pein Ut, ko^e giasi

У 2јЈР_ y sin Mncih _^ 00 & - p? - co "C

_ _ 2 g p y ûj p m [lJlc/&)sm(u % J _____________ go 8 *|pi.______'pi — Co__________

sm, pit (6 9)

Prvi red, srazmeran sa sin Cj t, predstavlja prinudne vibracije kojo imaju istu frekveaciju G j / z X kao i pobudjujuća sila, Drugi red, srazmeran sa sin p_.t, predatavi ja alobodne vibraci je či je su frek- vencije date jednačinom 60. Zahvaljujuči prigušenju doći će do pos~ tupnog gušeaja ovih. vibracija, tako da će ostati samo prinudne vib- racije.

Za slučaj kada pobudjujuóa sila deluje na sredini grede (e=l/2), uz2 2 2uvodjenje oznake /р^ s a , ìz prvog reda jednačine 69» dobija se

У - Г ^1а(Ј|Ј6/0 _ s\q(5 -V&) , s\n (5-ii- /C) _ n i*- 4-a.2- У ~ а 2 5 А- а* J^rncoi (70)

Red brzo koavergira i zadovoljavajuéu aproksiraaciju za ugib, možerao da dobijemo uzimajuói samo prvi clan, Na ovaj nacia za ugib u sredr- ai aalazimo:

t y \ . = ape.5 = p t 5 (71)

Greška ove aproksimacije je oko 1,5%,

Stavljajući da je modul elastičnosti E jedank modulu krutosti Sm, dobijamo izraz za sračuaavanje modula krutosti asfaltnih gradica

~P-1 0 _ _ - v - t * (72)

gde je: P - amplituda sile ( kp)f - amplituda ugiba (cm)1 - razmak osloaaca (23 cm) h - visina gredice (2 cm) b - širina gredice (3 cm)

- 49 -

IV. PRIKAZ DOBIJENIH RSZULTATA I NJIHOVA OBRADA

U okviru proučavanja ponašanja modula krutosti asfalt-betona u zavi- snosti od temperature i frekvencije obavljena su ispitivanja na tern- peraturama -2Q°C, -10°C, 0°C, 1Q°G, 20°C, 30°C, 40°C, 50°G i frekve- ncijama 5 HZ, 10 HZ, 20-.HZ, 30 HZ, 40’HZ, 30 HZ, 60 HZ, 70 HZ, 80 HZ, 90 HZ i 100 HZ.

Uticaj šupljina na modul krutosti asfalt betona pri razlicitim tern-, peratux'ama ispitivanja je za supljine u asfaltaim gredicama od 3*73% 4,53%, 6,46% i temperaturama -10°C, O^C, 10°C, 20°G i 3Q°G,

Tabelarno sredjene vrednosti izvr^enih ispitivanja date su na si. 29 i J>0. U ovim tabelama su dati samo ispravni rézultati merenja.

S obzirom da merenja nisu iste tačnosti ali daju približnu vrednost za parametar koji ima najmanju srednju kvadratnu grešku, sracunate su aritmetičke sredine, srednje kvadratno odstupaaje, tesina i srod~ пја greška aritmetičke sredine za svaku grupu podataka - si. J>1.

Da bi se dobi^e jednačine modula krutosti u zavisnosti od temperatu­re, frenvencije i procenta šupljina, izvršena je statistička obrada podataka.

Prikaz postupka za obradu podataka

Eksperimentalno dobijeni podaci za modul krutosti u funkciji od tem­perature i frekvencije i temperature i procenta šupljina u asfaltnim gredicama, sredjeni su korišćenjera usluga Racunskih centara na Gra- djevinskom i Elektrotehničkom fakultetu.

Za odredjivanje aproksimativnih krivih korisóen je princip da zbìrkvadrata odstupanja izmedju eksperimentalnih vrednosti "Yi" i odgo-

a"varajućih vrednosti izabrane funkcionalne veze nYi bude najmanji,

Ya « a + b X (73)

- S O -

ëto znači da se koeficijenti odredjuju iz uslova da izraz:

Ž ( Y * - Y t j (7*0

bude minimalan, pri cemu su "YP' i HX.. " resultati od "N" merenja. Ovaj postupak odredjivanja seltene funkcije poznat 3© pod nasivom "regresiona analiza" i metod '’aajmanjih. kvadrata", Kao ocena dobro- te "fitovanja” uvedeni su pojmovi rezidijumska varijansa G, rezidi«* juffiska devijacija GG i rezidijumski varijacioni koeficijont GP.

Od niza isprobanih funkcija, kao naopogodnija za fi-.tovanje u ovom slučaju pokazala se:

Polazeći od izraza za rezidijumsku varijansu G diferenciranjem po parametrima, A, B i G, dobijeni su izrazi:

(75)

Gì 6) = УбГ

(76)

Veličine nYJr predstavljaju vrednosti modula krutosti na temperatu- rama X..i

f(x) = Ах3 + C (77)

(78)

(79)

(8 0)

- 51 -

D) g _'Ђ С (Öl)

Izjednačivanjem parcijalnih izvoda sa nulom, dobijaju se parametri A, Бј i C za koje rezidijumska varijansa ima minimalnu vrednoet.

A l x “ + c z x f = z Y i x t

2.BAZXi-UXi +cIXiBênJ£i =ZYiXi-€nJCie>AZXi +CW =2Y;

Odavde siedi da je:

A (b) = Z Y i ( X { - T ; i a i )

Z Xi. (Xi- X p x )(83)

c ( b ) - ^ [ Z Y u -N Z x ì B(x i - X 2 x l;t

s(8'0

S obzirom da je treća jednačina od prethodne tri transcodentna, potrebno je oformiti novu funkciju (B):

£(в) = A (&)listali +C(ß)zXiBeaXi-ZYiXi6tn.X (85)Iterativnim postupkom nadjena je nula funkcije V6 (B) = Û i za do~ bijenu vrednost B izračunate su vrednosti za A i G iz izraza А(В) i 0(B).

- 52

Na osnovu izloženog algoritma korišćenjem gotovog programa sredjeni su podaci i dobijeni dimagrami koji predstavljaju promenu modula krutosti asfait-betona u zavisnosti od frekvencije i temperature i promenu modula krutosti asfalt-betona u zavxsnosti od temperature i procenta supljina u asfaltnim gredicama.

Na kraju ovog poglavlja dat je i dijagram promene modula krutosti bituminiziranog šljunka u zavisnosti od temperature (iz magistar- skog rada autora). Ovim dijagramom je postignuta celina izučavanja modula krutosti fleksibilnih kolovoznih. konstrukcija i pružena шо- gucnost za interpolaciju i ekstrapolaciju rezultata.

SL

,29

Rez

ult

ati

i s p

111 v

a n

| a

mo

du

la

kru

tost

i u

za

vis

no

sti

od•

tem

pe

ratu

re

i fr

ek

ve

nci

|e

- 53 -

« * «

C i. 1 C ' 'Г . • ■> ■ ! ,i C ,r - r- • Tv. »f " i a f t , {'■ i r - 1

r~- i*~ e -j ■» »’s. Vf. *- ‘ I f ) ;t ar 'Г ' r-n r r- Ii "V Г 1Г'

r - ' r-"‘ r - . >

i ' \

* * Л 1

ooC ( ( '

i iJ Ii ! n (1 1 i l

< c < r ( {' r I ». , ,

\ I 1 I

54

' > J I M f

• * f't CM r'O ИЛ r>J G> -o•n J c ,

f r- 'С

NXOL D

MXoUD

* » * <• . * • • e b1 G ) Г r r- 1 ; A ‘M iCM * ‘ v f ' C u TV ( t t C V • • V « ,r c c .. C r *f n ■ r . u U J r U*

1 i Г V. 11 ' ' 4 1 ;

r "T~ • r i r - • f l

*. +-

• • « m * * * « **- » :> cm Cr ЈП i r f ; (.

*4 . «-» V > uM c .1 ) r- « or c -> »-« ГчЈ 7 c - * O ' :O ' *“ 1 •- * U i—* 0 ' c >• +

1">J -J , î СГ* J r)

r I r - • r » » i . t

f '. c;h

' ч o »/м ii- t

) vM :«'(Ì Л <

NXOr>

f «J r « f лЛ. V, f h c \ f

c ■ VJ*Г • ‘ 4> < ' C' , U

1 C J

NXOc o

Г u <M ) I I

• Г ' r— CM 'Г v f.( ' c o Cr j ^ < c CM h -f r V f ■ 1 r - 1

- J -JJ 1 n r t - o 'O f»"# f ' <■ j r» I . r I r r > f ' r

r J W I i ' - i ' л • f■ / r

»—< f * r-1U f r ï . I r - l

r* ■ fr - l r r 1

П ' : .Г f—4 < ■ X r - l v T f ' O r - ...'1 i Г ЧЈ r ^

! - < ’ J - V. " J I X' i - ' \ 4 , 1 , ' M C< M I f ( .;л .

a f - < J '• -1 ' i j U ; 1r r - « •— « r ' « -» r « « r

' . >1 ii' : i - ! j . ;v P v( vj : vi V* r - IC « « r - - 1 ( u 7 rI l . . vf. .<" f •■! (I f ) I o

I IJ ît

c. * c<* J I

I

55

NXOCO

NXoO

•vO j V 4 vO ) , } .—f y [y O C >Lf H : C î r~1 e r v f l i (\ï v(> o ve. vi- 0 , vC Ó f -( O O r 0 C : o 4 a c . c ; co o U ' r- « vuî - c o t t U v f O r - f vU •d C 0 r v . ■ f Г-' lO o , r- vT 4 >' I I '0 a - a , r - U • U 4 Ci -♦- I r- ! r - » •“ ’ »—* •---• r - » f— 1 f- •

vJ vO vC a - c / en O П 4 '.C . j , n CO en I-PvO t-n c > O vi O vJ o a i «—i r * en H ) Vi l r- «o en c c o r i . 0 r i 0v "'J J -J c . c > u -3»-4 c\; CI* 4 UO r - \ vf) O- f - 4 y - Г , t tTJ

f 1a ir- 1

r -f- 1

vr;r ~ i r - t

(7' <n T ) i . ,—t r - »

O \ 0 O h

-t o ( 1 C > > en T ) i) •1 > ' • ,1-< 4 vü o vO '0 r Qj n O i -t en -, 'Гr > r- j C ) c. Ci r ) ( - 4 O (7> O C ; C G> c ■Vl')o r- 0 en r- 1 c- c;.» vf) r -4 i , , -i tn r-a; o r Vi . 4 G U a- O U H C4* C ut~t r f «-i t- i f- 1 f -• r—r-« f-4 r- - r-4

r- a 4 V 'Г vC 4 e : a • vf. 'X. -3 7 -i en 'f.<} f—» o «- < CO 1-4 rH J O L rl <4 Г-» r Ц .J vOr-i J J 1 H i CM ■~0 i < i .1 '4 f J !U >n i J * ç* i O чП ' J U > i * i, . * » ♦o o> f. r- 4 f K o c 15s r - U » - ‘ ;.--4 r 4 O t-i «- J t- 1 ■ . ' < r » ,-» r-l

*o 4 V'С. C 4 C n- 4 J n C_ i : r- * r* euvO vO f vf r 1 vO ri O •£ vQ ly r . C Vf. r-J .f)r—1 'I' ( •1 c <-\J a j c vl O !—4 r—« C vj r « nen 1 o un r l t - r '0 CHu’> i ; n • f j nj ) j-r- * Г' r./ t U' r a r-4 n f" Il r i a.r J r r.» f Tr-4 r—f en Mt 4 r- 1 r * 4

• » « » «..J ' I c en -4" -4 ! O Vf vC c . чО - ! V C (<

1—1 r* 1 < vf r- « 'Г r- 1 r-- ‘ cr r- V a 1- ■ r r- • <1• • j (V C-J C f ■ J en f . • V/, O r 1 r 1 r r : ■ f- -cV O ü f H 1Г f. ' I J c , P C. u (■•, I -c c; a f ' «X c U, r - i c a rj 4 r - vL

J r - l n i H : 1 r i 4-1 r- 1

» - i vO vf* J l> r- • J u’ * 7 v i . *-f. T - , I l i' r • c U , 1 C .i '{ * l c r-« '1 . 1 . . • ! : . -

r - i HJ / • 1 C- »Ј ri i—! ( , C ^ • t 1 [ r- . 1 : : C ; i1X. er j 4 c CI i Ci v( f j Vf. f . ■f 1 ■- G f

o a r - 4 ( U Cl 57 r 1.Г «- U»- r ■ (\ r I

-

« * • « *C r c ( c C V f r c ( C c c e cr 1 t—' r - f n o 4 1 o r- r f 1 4 u

i t i \

CÜc

"El

Z5>i/i"Oo

inocСЛ>03N

Z>

enoZ>

ZL03

Z)"OoE

05C03>

C L<Л

03

ZDNeu

X

oHO___»C0

ooH0to­po

HOLO-T

LD

L D

f

a j c* r 1r l \ i ( < '

' ' 1 : .) CH i ' Г• ' < I .jeI • ' . I , « , I , I

Vl ' I

I i I . Iî I H (

» • B f * « * * # * * ,1 Г r f f U И ч ' I ■• U . 1 'H J :

-« . > i. ( - f ( •> I ! < - I -s f

56

SL 31 A r i t m e l i c k a s r e d m a , t e z m a , s r e d n , e k v a d r a t n o

d m UPzan ' es v U o r e d n J a g r e s k a a n , m e t , e k e s a - a m e z a svaKU g r u p u p o d a t a k a

C O ! t X !~ A;~ o

V V - -O ,t s n.l71w , !(r''' 1 Л" 1 . Ul ? C. - <, r: ''|r* M ' k V d :■’ • - ' ' ~ . 'V ' i i

VL

5 HZ

T l " I 1 . Л •

V J Л УГ". c ,• - 1

7 IП ' . Г :

. 1 e: 1 A /. 1 ] ~0 i ? ° A a ' : ■: . a g c , , o ; 7 f-

. ] 7 A - ; ; - r

r <■,

1 1 AГ /i

Q -> f i ■:> 1 A T i • - A

i ..

i. j = /• |§ ' Iл J ■

1 • '■ J r <' >7f r -) . ? 7 A ' A

( ' . 7 ' A ‘ / , - 7 -

= 1I A / J I

' 7 r , / -; ) Г' —

-J ' / ~

K '' ?,7 P \ A ■ 7 n r ;>; • ; - , - , -

 r -- , r ;• /, p I A ’1A

r ’ATI J¥?A = г ,J~' ' J л V- A. •;- =

T r ? I ,/- = . ■: -• /, - [ r. A ] 7- 7 ■ 7

1 1 A 7 <\ 7 '■

rT - 7

7

I t 1

C P rT

, I Л

’AT! ' 1A c r'T OST =

7 1 ,/■ =r •

: Л' =

• l a. -j л ’ t• ' 3 ■» ] T r _ ,.1 1. c. 1 ] >• 1 I . r -1 /

57

T 0 ; O V Л T ! 1> e - - :•> c .= 71 f l \J ’■ F r )Mf ) b T = , o . ira 1 м . c л (. 10 HZ

T '■ 7 1 ■• -• ' " ' . 1 7 ' : 1 ' , - r AП ,$;C = ^ r ' / f 7 ' - ,/.n SV'= 0 » M 7 '1 0 4

1 ' ) b T c 0 . 1 r 7 1 7 1 0 Г

7 1 . A s 0 . 1 1 3 o c - 1 1 r

l ì З Г = 0 , , ? < . 7 ' r i 1 Г

n s v = ~ . '1 . 3 U 1 V r *

. T r • ; r -> д r : i ~ Л - fi -, -,<1CL1Л \ 'F? C p . 7 * 1 •*; '• 1 0 /, r Л y-- T r 7 i : ■ /'. r. C *» fi Z, c : “ 7. A[\ r\ ■*O*3 1 f r '■ A P- 0 4

r 5V = »~\ «1

1 7 p 1 7 7 ] r r 4

t r ; .. Р П Д т 1V F, - ] ry ■J s 7 ■b 7 “ r.- j л y ‘7 ['MC S T — :) i 1i 1 A o r. . ♦i r • 0

T “ 7 1 , A = «) i /\ 7 A ■y Z r ,«- .40 S r ~ O * A k./* 7 i -•> r~

! \- Г bTl' y ri % Л *7

i 1 ■ r. p '> A

T r • Г-' ’ A T U A = ? J : i = 7S 1 E 0 J A V' >:3T = » •; f. 7 7 C. 7 1 P • p r.' - - 7 1 ; a = Л « 7 7 7 , ’ 7 : f c « r ■ л

' •. r r С' Л S i 0 <3 « ■; ... r Л7 '5 7 = # ] - a ;; i\ : л' A

A ~ ■ Л ." A T ; j r y = J r ■1 ~- 7

y. -j 7n f . J A • • oi' r: or И -, "! 3 0 a 5 Г 0 01 / 1 , A r- %j ' "> ' 7 r* /.

•) 5 / s H 'f L t ‘ ,,

" -V'*> r ’ « 1 /, / ; y. r ; /,

T ' P c ? A r 1 д = Л ' 1 7S J C г' 1 J i y : ~ ~i, r i ri T ” Л ». >'.]_• (, ’ ’

T “ ? 1 ; A S * ■. 1 ■' 7 '■ 1 з r - '■ A0 : :c = * 3 ‘ t\ i' ■{ * 6.; :..w = m 1 1 r . . 1 ■ • , r r-

*:• C . ' r 1 1 Л T! ! :■ A = § 0S'-, c > J A '"'"’ A M .-l o T e H " M l , , 7, 1 • l A

" - 7 : , л = i , 1 A r 7 3. A Г - " 1- s r = » 2 1 0 1 j - 7 Г '■7

0' s \ ' = * P ?.<> 1 ПА , f-

58

T r p i л T ! J [j /■ ~ - P

S IJ r 4 1 J A '-V O ST = r >■» 1 7 S 1 V 3 F f i r,T £ 7 I ' i r = ft 9,31 5 3 A AF-*~ fl P

0 s c = гЛ ? 7 C 1 U . 4 f" 0 A■ _ ‘ •' _ * 1 H r- 6 A. 3 ,■ r A A

T r ■ P 'D A T J P A s - 1 0 ■;s 7c; r’ r j a V П 1 G S T = ' t . : /■ 5 1 A 7 S '* r ' 6

T “ 7 I , Л s • ] /i A J • , r, t ;~ f A■ DS r = 0 . 6 DA л A. iS A /a r\ * E 9 A

T ~ ■t'r ’ / . T J ' J i = o '= 7S D î r D J A V r-j r n 1 j p s t = ft 1 A -, '/■ ^ - . r ■ !

i l l :л = ft - c ; a n: / r -г / S г = r . ■ ; 9 1 ( j 7 Г, r f pГ, r- .. -, = ' i a 3 3 ? . 1 J 7 ( ' ч

T r -РСЛ ' Л - ! Г . A = 1 0 ■ 7S 5 Г - . ■ ■ j A DK’ O S T 'a r\ ft ] 1 9 f 7 ' , S " л A

T *" ? 1 / = H 1 S '■ ] ? :: f“ - ' J

. D S r = Г\ * 2 - Ì Ì V - j !• f AD S ' / â 4 ;i ■ ■ 1 ; ( 7 , ■ f O

T'r ° 9 Д T U - i = 7 (• = yS D r n .IA 1 ~ . ■ p . ■' C; T - ■ «1 7 . 1 - » r

T r 7 ! , / . * • / 1 1 i r - , r /;D SC “ -i « 9 1 "i - i ■ ’ ' '-t

J ) S V = Л 1 ! M ..

T r P " ' AT 1 v = 'd P , r. 7S " г’ 1 A 7 D~ D V' i p r r e Л "j 2 c4 ! , Y r Г r:>

' r " 7 I , ’■ = /"Nfl A l —: ; 6- ГЧ ; Г - ■ЛB л 9; 9;- Г û

: SV a . 1 c, U U r . ;. r /

T t r 1 ■ .> д t j ■ - A ' i ' i - fC, J P r , t J л, ■ < i r : r> ■ c f — ! 1 . ? 7 9 ' n 7 1 " r -; 5

r ~ / i Л = fl ' <■. д 7 j' < r — L

■ : S Г = . 7 A ; v r; j C) /*1 ■ v: i , „ 1 1 V C i rft 1 1 .■ ■ 1 1

T ;; r ■-A ^ !, A 3 f-* «■■ , 1 a 7S ’ : • ; J Л w ,n ’ , M - •. 7 _ f f r: 7 ]. A • 1‘ " '' j

T " / i , / - h 'J V 7 1 r. 7 -! Г' « . 19!') J f - ft 1 A / (» ■ .. • 1 A

. T \ / ~ • r- S 7 1 A - 11- f) '7

2 0 HZ

59

T r .piJ Д V

A T 1 1 tx - - 9 r 700. j T - • ' 1 •“> 1 ;j i ' 7 ’ r . /;

r 7 i Л - «I 1 ■ 'V O . - Г;' ' ' /*' — ■ -J 1 . ~ , ° ’ ? ? r, j • Л»АI*i $ y ~ Г e 3 r ! r O ] F- r, /i

T r f '■■■> A Tl F? A “ -< 1 i : - /J Л '■!У~ГУ 0 -,Tr ' . is-. - " ■ f ' f

* " 7 I ! ,a r P . ] 1 , . ' m - , ],r-- U

0 S f = 0. 7 В У 1 ‘m , 'i r'. /1'-J 'â* ‘ a / : y 4

Ј ’ . Д ~ П V

V?P(3 Л-.Та M P , ?. -'■ / 1 . ,/' r: . •> V , ,л • .

r'Sf= . /». - .Л.Г r" O.V/~ . 1 1 • - i

Г10 '1 A 0 A ' ■ '4

- • J л T " i лS -'rr -. ! Л -' ’ - ' ' s T r: r\ r? ] 1 -5 ; - r r f-

T - 7 Г • A = гл •» r 1 •. F~ ''O0 S r = 0 . 9 q -;з r q *o ~ C{,fl ;// r . 1 '* Ci 01 A- /'(.

Л T . 1rv JA ■/; ■- 1c7 ~ ’'Ч- t , r

7 i • A » ■ 1 7 /, ï-• r” c~ — Г' . A A 5 i 7 r/ '; ■/ — . 1 ■ ' I- /j f'

T ( - t ) ~ - A T I j - ; r î ; ; ÎT 7

J A , , - , r ; V : j T = 4 Л ( ? A. t f ’"’i r“' r , t;;

1 : 7 I / = « â .'■ > ,T . U ■ ‘ ' /.• , J r rr H ; ' ] : L • ; r ' /i

; ’ - • 1 1 • 1 1 ( r, rJ ' 4T r Л T J r • A - n "t ' TA 7

, 1 A ' ■ / • r n : . , j T - • * i r .. - 7 f

r ~ Z I J = r <* рл ' \ ( j ; i ( г Л

■ U r = * > ■: i , ■- ■- f" Л« i 7 1

T : 1 ’ ' A T P r ) i

J 7 V. П г ' -/r ~ *»Л ') V ■ ■' FiT C 7 ] / = • 1 ' 1 L r. - -

ose = V 7 1 ' ' 7 t ; r' : 5 V= » % 7 7 1 e ■ A, Г Г: 7

30 H Z

- 6 0 -

T rr.■ Pr'? A T'JP/I - - ? 7C Г r\ I • j Д \'ГјГп‘| . : r - r A «1 P 3 -S , ■ 0 Г

T A 7 I ' Л a 1 * f . 1 7 7 л ? c - 9 f0 y , r r . » 1 r ja p3 3 - r 1-,o r , ' . / s 0 .W 7 7 C , P. J : H

T " P - ' S , T ij ?A = - 1 0 ' 7= 7R?DI' i, vr,c:D' o st = r " . ft 17 J ‘ 9 . 1 if r' f. T - 7 Î ; Д ~ II .?!'( A 3 Г “1 ' I / X.

J МГ = C B r . A a F r: 1 1- Г r l \

' , ,/ = « P 1 3 ; 0 1 7 r ' t \

T :T R F -’ A T ! : ^ Л = fl 1 . r (

P -'O' J / V v f h i - . . , ) S T = 0 , 1 C-A 1 A P A Г 1 AT " / î r 0 . Z M T ' - ' i s i É “ r A

D c , r = r \H ‘I 7 7 , ■ h i : F C ; U

> C \ / = f a i f *T f' I ( ’ h

T ' - ' •P F ? A Î U •!/ - 1 r. ;.e . 7° r U ' J i ' V ^ r 0 J 0 M T = n . 1 'J c 7 'г i ; f ' f ,

T - 7 I A - 0 . A ? C 1 ° 11 F - J / l

) SÇ.~ r . AO 1 1 { 3 -7 • U

■! ! l j \ ! - * 1 £VA J 7 . ; r f: f

T F ' p P 1A T ' 1: < л = 9 n - - 7

c? " Г' J A V -'’ F , ■ 5 T = « 1 M У Ci A A F Г' iî ,T F 7 I 1 : Л = c - 1 h r J 7 r - ;i a

• ; t ; Г - r \n

r 'À 9 4 /.j. ; l'i • ‘ ■ f'iГ ) Cl/ r a 1 1 1 7 - r /.*.

T - '' A ■ A; л Т' ' ■ A c 9, Г- . - -7•?-:m j a ' i - " "O : S T s 0 . 7 , 4 i1 M y n - c 1 > f j

■ ' î - / i 1A a a a 1 л -i 7 7 a i —, À0 MC = A'; A 1 i A 1 c 'Л-'f) S ' ' = ( :

m lMAÇp КГ ' A

T c •P a Q Л TU чЛ = Л r —- j

0 ~ r : l - J h \/ n Г 1 4 M • • f _ r « A 7 1 •! 1 7 :r -V f ;T F 7 I , Л = r, (i 71' 1 < 1 '■ - - C l ' j

' MC = f -, Л M Г Ј V 6 ; • ;> r ( л

u V - / = a 1 1 M Г. ' <1 • /*

T P ' ' Л T1 1 A':. = OO 1 = 7' D 1 J A V ' '""Da j j m T p « h 1 1 , ' ? ' !. ••' ■ 9 ■

■' r 7 i , Л a a 3 c p ; 1 7 _ ,, /) a ć = a A'-’ ’ 3 U ( , ■ r 9

M1 ;J 1 M 7 ■ ;

40 H Z

61

r r ! 10 S T = 0,. i . <:• r /и. 1 г ( tT C 7 I > , A - л . 91 v ] •! ■->A ’1 Г'

' 0 S C - 0 . 1 1 ; 1 1 ? r ■' '). S ' - = л . 1 >• 7 • Ì r- ° U

r rr A- ‘ ; ATI ! ? A - ■-§)■ . ‘7f ‘ 4 J A \/Г.Г-;Г ' ) 3 f = Г| m 1 7 ° i A A p r) f

т - ; i «, a r- ■ A 7 A 7 A 1 - r /t'Л ■* t-\ * '5 ! 1 - f ,? , P f •

’ ’ ' \ / ~ « ] 7 -5 (_ r ' r 1 i

T tr • I - 1' 1 Л TU -?ts = n - 7S i? -> ' j 'A V/f -f> . ;.ST = <• 1. e 1 A 7 0 П À

T F AJ ,/• r r h A 7 f, 1 r 3 rr - OA

0' -Л il a 7 f ? a a ] p Г A

' '1 J ' / = f » U a - 7 7 Г /' Д

T r F ■■■■;' T 1 .1 >A = 1. Г; \ 7 ■5 ■' r ' ' i J [:■ Vf * V j 0 5 T - . i A Г r /i 0 / Г ' 1 6

t - ; 1 , i . r ' i , A A A 1 T 1 <■’ t: —>'' 1 J r; = 4 ч 7 ' 'Г t r ' U: # - •* I e 0 r - , < V|v M

T rr P c ’j A-7U 5 /, s 9 / j - 1î, ' 4 ' • ' .1 A ' ■ ’ V F ï r : . 1 ? P 1 AA A A 7-,

1 r 7 I i - et a a 7 0 ; i. r -_ 1 '-41 i s r r , AA « J f i Ј7' -) ' j V s » Ì r ' ' 4

T " 7 ■' ° Л T 1 ! '■'/ ■-= T i"' ». "i : i - /V • PO ?ST-s ■ 4 : ■: 1 j r ; ‘3.

1 P 7 1 . , / . = M A "> ■ . - i t ■0 S O r <Л• ; 7 A a / ■ ‘' , ;P ■ ’

. 1 a 1 r, Л I ■ •• r. u

r i; \ f j : '• л r : ! 7л = AO ;= '/'•'i r o . J T = ђ A ' 2 ] /' ‘ ilt J p

T P 7 I , A ~ . Л 1 . r. >■■ Г =: a 7 f- r i ■ 4; ,\ /~ n 1 r r 1 A 7 r

T r , ’ Г f Л T ! A = (; л i — i

s ^ r r , j /> V- r 0 \ J $ T = « 0 1 7 ; P ,'4

T r 7 г . Л S o , 7 ' Г ■ ' 1 .• 9!■> t r -

1 1 r. y ff /f y r iD 0 7 = • 1 1 -7 r: 0 A •- r ->r

62

T cr ■ f ' ~ г;! Л Tl ! ЈЛ = - / 0 . i - 7s '■>P "*» \ J A V ■' F Г; • P 4 1 '• :, 1 A J "j r-' ' • p;

T r 7 I 1 A = 0 « 1 r A 7 7 -, p —Г /i, c r- - » 1 Г 3 7 7 ^Г- Л

0 r, V « A • Г 7» J■ ' / ■ r P‘ /t

T t:' A I ' : r~ ATi : --»A = - 1 r ‘ ; - 7s П c n r J A \ ! o r- n . ('; t* 1 J У ] A- J '1 F. C i j

T c Z I , = 0 « 1. b a 1 1 2 4 F'~ C: 6i s C ~ o %A f 1 ■ 3 7 A 3 E r

J S v = ri ft P f ] u o y V? P Ç U

T.~ T> r ' A T I ' Л = f ( r 7s 'J ! JA \/ OJ'OJ' ] ~ 0 % 1 7 1 A 7 7 r.’ ' f

T 7 I . Л f) «î 1 r' 1 ' '■ : pJ S C = Л * f r _ /. p r r Д') ■/./ = f'' - ? ■' o î 7 E r; r • Гх

T F P A T M - A r 1 0 -- !cJ

P r n :,i J A V .-■-y ' ) s T ~ 7 ft 1 1 AA 7 1 ; c s:‘ r (V1 5 7 î f) в 2 ?. 6 * 7 A %1 C“ .% lj.

• . ; « f) « A A 1 A • o r: r; /.p s v = 4 1 c / 7 ,

T F T- ;' A T !, J J л = ?Ü _ 73 ') C. fS K j J A \ / ", Г Г-, ' 1 g g T _ Г\ 4 1 ” 1 A 1 7 F ?*• A

'— 7 1 A = J 4 a 7 a 7 ? i p — i Лl S r = O 4 A " ' - 6 r‘* ‘ 6

4 1 r , 11 i c : ' Л

T c- 11r ' U T i J P . A e '37

3 ' ' J A w • 1 r v . : A l = ft p 7 î; • ; •

T r 7 I 1Л “ 4 7 <■-’ 1 a 3 ] '■ - ) ^-• c; a" — A 3 .ft ! f ' ' f J

i ; J / =• « 1 T J A r- 7 З Г r Л

T P . P; ■ д r i j ; - /, ~ / i 0 i = - 7s P X' r\ » J A N f : " rV .jl, ; J , T e ( \>* A 7 1 r 7 A P *- r ■ Г,

Г “ 7 1 . A = AA A f Г (■ ^ 3 J p ;** f . a1 ■ 7 r = A * 7 (" Г, (, 4 F i Л

7 3 ' / = * 1 7 ' I f , 'J i’ 1 ^ : ; /l

' J • A t : ' • л = r p;. ;c*') r r r v 1 1Л \/ - ~ t ; ; : i j r s n r% ' - J , 7 , ■ -, : ( F 1 i II

T 7 I . A ~ r * 7 V 3 6 1 J! 1 s C = P K 7 : ' 7 1 7 ;; r 1 ; 'J1 ) 3 1 / - 0 # 1 1 ? ' '> 7 : 1 J:

ì

60HZ

- 6 3 -

T F - A T J P i = 0 r) 4 r: ■S 9 '■ ■' . J •-* \ ' - - p ■■■ f >;■. - - J *> 1 J 7 ] L -, 1 K? -■ r

T F ? I : a = n « J i f, j A 1 r — r « -,m R 7 A 4 ' f ‘ 1 3 - F A

D J ' r i « ■% 0 ; 3 '*> i c ' A

T CT t■ ' P P ' . Л T I | i Г a . - ■] p M 7$ P ■■ r -1 i AW h ' t T f f $ MQ S T = Л * 1 c Л : ■ •- Л r.

r “ 7 1 /.; = ГЛ** 1 AÇ C '■* ', r - âA = Л i* 6 0 A 1 r: 7 F 3 4ti 3 1/ - Г' e 7 F T 3 r r. *7 CT Г* /*-

T r ■i*-' Г • Д т ' Ј Д - 0 fv r. V. 75 o “ n <•’ J Л 1 / -? Г J \! 1 ; f, T = • 1 t 7 .? F Г Г' fc '

T - 7 Î .A = p,P J 7 1 7 - 1 Г r « r L

T S r = 0 e A 1 C '* i u F (}4) S V = /*» 8 R 1 ;5 2 7 1 3 r 0 H

T r- ‘‘.‘D T '5 Д T J O д - '1 c.' 7S V F П M J A v o r p M j . 3 T = Г) * 1 t J 1 7 }. 7 r o f.

r ~ ; ; ,л = a « n 1 9 9 1 'j - '■ /.1J S r - Л ,

« /- 1 T 1 1 ? r f U

3 • ■' - ' л« 1 7 ^ !, 3 • r 1 /л

T :* p F p д T |_ j J д = p n p - 7c, o r , - v . J A ' V ’ T fp ! j T : ; j * 1 • 3 •* 7

r c; ? i , a « r- A 4 P ? 1 7 A 3 Р'— '4Г' s r = r< » i P 1 i p P rr r 4

r i / ~ p P 1 L U 1 1 ,’i r f ' F *

T ~ P A TU = ° 0 ,i m /C. 5 Г r y ■ i J A V - ' - n 0 3 T r r\ • ' r ( . ? f 9 t 3 r O 3

T - 7 I j л = r ) n 7 A 7 6 '■ J T (T ,- r,J S r - r\ ¥ p ' 7 ‘ 1 Ci , 'J r r /.V

3 V = r ) • 1 1 '6 i P ' : r r u

1 r: ,• M ! Л T J '- .A = u r f, c 7s г’ r JA w ? r- ■ ■ ' ; , t = n *1 A i p .. 9 . r t r

T P '7 i ; A “ *» H i a л 1 "■« ' 40 s c = h •i i -j 7 U !> r{ • ' U

F SV = ¥ 1 1 A 7 ' 7 p r ■" r.

•r r ' ' P r ? A l G. Л ‘■i - “7/e; 9 r p (V. J A ' r Р гч ; 3 T = p A ] 7 6 A A i F 0 4

T tr 7 I | A ~ n • J Л Л " 9 ^1■i p.“ 0 ?J s c = p 8 f» 1 ? 1 A f R P

:"} $ \ / = C 81 9 3 5 ü 1 (jP r 3

70 HZ

- 64 -

т с VPT'5 Л T IJ h A = - i o i= 7 'с R ; s J 4 VF r h 1 10 ; T u H « i p o u o i o f 0 7-

’ ~7. ï = A ]G G ,? 0 0 4J S f s 0 » 6 7 1 A 0 7 t- c- ri A0 S V = 0 %p 4 'д j j V , r 0 4

T F ■'D r R A T t j v A = - 1 0 1 != 7S R FO?1 ј л V # » O S T = 8 1 g ( ; л 5 5 p ' 6

■ T Ç 7 . I r> ft 3 a ? a ? A ■;■=•- 0 4D S r = Г) « 7 R ] 0 6 ] OF g 4D 5 v = f) ft Pf A 9 7 ( . 3 f 0 4

T P ' - ~ *"• h ' » ; 'j д ~ n i =. 7■=> ' J A V P tr 0 PC) S T = 0 » 1.9 1 2 8 , ;j “ O

T F 7 ï ■■ A 1 QH " r- ö 4 - 6 C- 0 4

O A “ O «r V 9 A 6 R j 4 F Г Ao s v = p ft 1 q 7 fj 3 « q ~ 0 4

T p ' P “ R / T J Л = 7S 7 F O F Ј / T O J O S T = o ft 1 6 6 0 7-" 3-- 0 c

| “Г 7 J ;.! Д = 0 • 6 4 0 ? - ' r —0 4, l r = 0 ft ° 'Ј ^ 0 4 3 V r 0 4

R S V - n « 1 7 4 9 7 1 6 r 0 4

t P r ° A T 1J: ? A = p n 7S P ~ 0 ’ J a V 's c o '• : o ~ r 1 4 4 1 g ç q - r r.

* F 7 I I . A r 0 в ? 6 <• o 6 0 4 F ~ G /.

o s r - o ft /t q 4 4 ■■, p 0 4

0 S ‘ ' - o ft ] ' Г / . S 4 F 0 4

T Г o F o A T H R Л = •3 /> 7C , ? C f V I f • 1 /':,r Of '10 5 T = 0 ft 0 0 9 0 9 1 5 F 0 6

T r 7 I . . л = 0 ft 2 7 9 J 7 7 H F - 0 4r . Л ft 5 6 ? 7 8 6 r. F 0 4

D SV = r- p л p Ci o -’ 7 r 0' 4

T r '• ' P - 2 A ' ■ 4 0 =' 7S P ,rDf J A v o t : ry, . j j T -- „ ï y p u a o rr П r.

T 7 I J Л = 0 ft 9 O r. ,T_ 0 ‘1D S r é o ft A 1 O V f - ■ Ao s v = O « 1 F 8 4 A '■>, p P o

T F ' ■■'PÎ* f A T V R A ~ r ■ ï ” 7' .••■‘ Р Г 41 ' ЈА V f...... ) ' ) S T ' ; f l ft 7'- 7 r Г A A

T ~ 7 I š Л= p ft 8 0 1 6 ï - ■-; 1 ' ~ ' 30 .6 0 = G ft 9 1 4 4 ' ;> 4 " ■ J .

0 . 3 8 3 1 9 С ? f !'?■

80 HZ

- 6 5 -

т г * ATU РЛ = ~ io N« 75 Г? - " ' ; j Л VPPri'rOST = n . 1 ° 0 1 0 1 - 0 6

Tjf 7 I f , Л = 0 . r,--'.-o o V p 7DSr = 0 . 1 1 7 0 1 1 1 c ü 70 SV = r\m/i л д ! j 7 fj 7 p P 4

т г: И-Г ' Li T IJ ÏA = - 1,0 - 7Р О £ Гј 1. . j Д W r ~ r>) (■ lO'l. ■ * 1 o ? r; 9 à r 9TC 7 J ;,i д ~ » 1 ° " 0 7 ? 7 Г ~ ■ 9 9P5r=* *»717 ' - ' i l - 11 /.Г) J ' / - 0 . ? c> 0 ; A 7 J • Г Г, i,

ТС‘.•prô Д л - n j = 7S'O CQf.i Ј'Д y o r o N 0 5 T= ' V. 9 1 r. p - • 0 6

T ~ 7 I ; л s * 9 r\ p Q 1 r 7p u P 4П5С = r>• • '<• R 1 A 7 i >3 r ^ 4Г) S'Æ 0 . 1 ° 1 f; ' h 0 r г' 4

Т " ' " c л 1 t. = 1 0 i ~S P c Or JA VF 7 7 '!■.).S T = ! • 17 0 2 r- 2 5 F c 0

T C 7 I A = n •*2 f 17 PI 7 7 - 04ГјС,(". Ü 4 5 1 7 6 0 '/p 0 4

1 = * 1 o f. 6 3 ч 7 ~ 0 4

'1 г i h Pv д TlJPЛ = ? P * — "7S'j r .'v ja V/P" p ^05T = r*tei V - 1 V ; ■ ~ r, /■

T r 7 l ,t = *7 4 A 1 Л '7 4 r - Г 4П 5 r = n » л ,m :)P7:2'" P 40 S V " A i 7 9 9 ( j r P 4

Т ~ ’ P P '3 Д 7 1 j ; •» A 2 ~ c * — ‘7s ГЈ r ri - J д \ ' ■ ~ r*i '■ f J C r - P . ] p p i p p 4 ::

T F7 1 ; Л = r . ??7 , 7 /- i;r- i p 9' r ^ = •»/. '■ V / i r ' > A’ ‘ S V ~ * i z' p t, p ■ , p • 4

т :• '. u - : /i T| i i /, s 4 f' _ ■/с т “ М' ] Д Ì ;; r = 1 * r,,r ! 2 ,. . rp v r h

T "7 1 1A - Л; 1 7 ; • U 7 r - ! ; - i1 i S Г * 7 c, P t Г ! ' r !'■ 4

L) ~ r - 1 f. /,

Т " 1 P~4 ATI ! л - Pj ' - 7S P r n:>'j;\ V ,J~ ry-jf). e r = »7 1 : r ’ • P 4

" - 7 I , A = P „ ■j £ u i 7 i r - r ]■osr = - U* 1 p i 7 7 ? 'ji > д i / _ 0 • P 7 P V lì i p r '0

9 OH Z

-66-

T F . - J 7 4 Д T U R / = - ? r ' i •- 7

J A V Г Г-, -s c T ~ n»

"■* Л Л 1 rj -, • V =• 0 ЛT : r 7 I P = . 7 1 7 p j 4 Г - С 0

r) 5 C = 0 . 4 r ? -5 ; G p p д~ V . / = r . 3 A K 4 4 1 Г 0 4

T C ‘ ! 0 С о д т < Ј | ? д = -- i o 1 ì ~ ■ 71 J A V ' Р З 1 0 T - 0 . J р f, 1 p 1 G P r A

~ t:".7 Ï i Л = « 1 •' л 7 ' C., y 6o s r = * 6 G J i P 1 3 F J A[i c.y = » 2 à 3 - ]. 7 J r ' A

'г er -,Ì g ^ a t i - a = n J “ 7■ 1 , J À V r' r-T) US T s Л 4 1 ° 7 1 9 4 • “ '

T " 7 I A = . / • a 3 7 3 G 7 r r - Л A' S C = ■ ' 9 4 S S .r 7 ч f j C A

o s | A Г' m 1 -7 i î s л - 0 A

T f - - p д т 1 i v ü = 1 0 , ■ - yJ a ' - / r ; r -o Gì') ST = Č, A 1 74 c ’ ~ '3 r

T r / Î , t, = 0 A 3 4 0 1 7 4 * ; » > P H'1 s r = • A 4 A '1 G S ;• 7 r : ■ à1 •' 3 7 - p % ] 4 4 4 44. 3 f 0 4

r r Р г : > Л ' З Р л - 7: j a ■ : P p 3 3 T = « 1 r, 4 p . f; r: Г* f .

T ~ 7 J Г' • 3 r, 7 i, r Г' AГ c f~ ~) У - 0 « 4 V ; G g r J : • Г A’ ) ‘3 y ~ л л 1 Л S ,, C: 4 1 r . î

*л T r ; л “ *5 f ■

V - :r 0 ' ' J s T = A 1 ' ’ " ' l'' f,T ~ 7 I , Л - (P « 1 '• - , 7 F <\ Г — p / 4

*. r* 1 / __fl

A У r 3; A ■;• i K -, , ■ r 0 6

° ' ' A t 1 1 Л a A y • - 7■ "■r y - t j - :t = Л 3 •• 1 3 7 7 1 “ c

T r 7 I ', л ~ Г ' * 4 4 1 o c, -,' 7 r-

A 'î 7 4 s ? ■' c7 0 4 A 1 4 î 1 : J 1 /:

r c " l o r o A Tl ' ' 1 : : ~ Г, Л , „ ,iA v ; p ; 0 ' ’ 0 .J T - , 7 r ;

T r 7 F : A r 0 • : j ■ , ■0 , s r = 0 . 1 ■' 1 7 4 ;Г) ' 7 / = . 3 - 4 7 , t •'

100 H Z

r o

- 6 7 -

SL. 32 AR I TM ETIČKA S R E Dl N A , T EZ I NA , S RE DNJ E KVADRATNO O D S T U P A N J E Г S R ED N J A GREŠKA A R I T METIČKE SRED1NE GRUPE UZORAKA 1 SPI TI VA N 1 H PRI ISTOJ FR EKVENC I JI 50 HZ 1 RAZLlClTIM 7.ŠUPLJINA U A SFA LT NI M GREDICAMA

T г ’ ' P r P Л T U i = - 1 0 = F . 3.73 7. S U P L Jl NAV P T 0 • : : s T = З . Е О Е О л т GG

- ~ - i \ ' = : . a 1 ' i & G U 7 F- FL (* ~ Г . Л 0 3 / 3 F F P SDSV = P . A 9 ° ?. c 3 3 r n a

PER ATJ *3 Â = r = r.\.o~ p c —O ‘ = P . 1 c 7 ? 3 r r ' ' A

t t 7 ï f . = P . 71 1 1 u C ' '■) AS r = p , ? A c 3 4•T *7 0 u;ò V ’.31 3 C !. ; a, r:r. • P A

T r P E P A T ’ J F A — 1 ') - EJA yr , S f - >.17' tJ

T =• 7 ï 9 A := . Р А У К А - '|ЛO-SG = 0 « A j c t 72 3" r U

79'- . G t F F r \ Л

j " r F Л, r 1.1!j A s

S P FO' >, J A V’ ’F Dl‘ 9 AT s T =• ; ; ; л n

1 /, л ] A ' - T i A ir ? F '“'IF'-'Ar/j

3 ç‘a] ’ 3 a l c ~ ' a

T " ' р т , д т ] Л r: U •••. a S

SPED'-JA w n ART- P . ] ' A?r,6?F • F " “ 7 ï i / û = ' . 7 ЗГ A"-" A

' 3 0 ' . V 1 ■. A] A ■-"".O- . 1 ' A

I 68

~ : f- F ^ A T t Ј ' ? л = — 'i n -\ “F ^ E ^ A J A V ^ E n ' ' ) ‘ј т = : . ; 7 3 1 o 5 ? " ( V

T Г 7 i / A a 0 . 1 3 3 y P 3 1 r - Г' ^( . 5 1 ' ä t 7 F ; • A

3 S v = •П . 2 ’ ? 1 « f ; ч “ Г 4

A.53% ŠUPLJINA

T r ' ■ -> A T '..1 R A s ' (> 5ЈЛ :> r = • • - 1 A A 7 1 6 ? ~ ■ 0 A

Т Г 7 1 j a - «'A •-I * ■ £ , Г; !> ^ f Г r _ , a~ r - C . 4 a 6 0 v; 1J. Q £* 0 4П S \ / = « 1 c. o 7 (. 9 ? r " 4

- j -P ATI.! 7/1 - 1 П , = t;J A . VR r Г) DST = . 1 4 (> 7 { 3 4 r ' 0T " 7 t A _ 3 . ? 1 ? ? - 3 1 r - - f- 4

. <- _ ' . • * • ' 7 5 ' - , v r r 47 SV = r'' . 7 1 ? 5 4 ■ Ç P :■ 4

T F P c '■■ л t i J A = ?'■' î * ‘ r' 1 j a \ / p r m - *. P T :: • 1 ? ? j V (■SM- f i /

î P 7 J i ; A “ ; . IA ] 7 ' ** i A3 ( - a . A ] r j > '■ A

) , 7 « 1 ' 7 ,, ' • ' ' '1

■f ' V/gfl 7" ■VJjA y'-7 ni y' T - • .''Il A 1

T 7 7 Ì , / = . A ? 1 — ' \ <

, r a . ■ ' ' '7 ' !

! < y. / - . ' / ■1 1 t ! 1; Г ' .

i

- 6 9 -

F 1 •• P '? Д T У ■ t

5° F П! j a v o c p i p = Гc

c:.

Г-*1 • = 51 A 7 1 3 3 A r 0 /•

T -7 I -, A = 0 * Л- 7 P 1 1 J - «- p FJ b r = » 774 2 S c 3> C 4

I)

o

C . ■ 7 S 3 7 b 2 F 0 4

TF- 'PF 7 A.“ : i ,J / = 0 i - pS P £ 0 P J A 11h

«* 1 7 4 3 7 7 AC n 6T F 7 I /1 . = 0 » r c ; 6 1 ß -3 c . -П A

o s r = 0 . 4 o a 7 5 r. 4 c 0 4o s v = ■ # P 4 i S 7 ? r П 4

т Р мр Ср д -pj p'A _

S r? FO • ' J A '/^“ ООО ü T =

T =• 7 T ч Л =

10 '1 — s0 . i 1 7 A ]_ 1 4 P - k

0.6FF7"’' - ;-,pn .770■ 171" o . 1 ? n 7 r. r,7 fr p /,

T c F P p ^ Л T ! 1 ï A - S P r rtr. JA. \/P"p . S ’ =

П s =) b V &

1 7 3 a i, • CT r, b

S : 6 ° : J F - C 4O ■'. .3 чЈ r. 7 i n

/, Oo b 0c r, /ft

T r ' ',.Ј C V /• j | j 7 ... ! a 41 ' : J A 4"J ” 1' ' ‘I - «i 1 A 7 1,

T r 7 1 i Д a 0 . >' ' f j j ' ur~ „ • 7 7 A V r : 'y- • /i

D::J/r. - \ r' 0 f. ? 1 P r ' Л

o SUPLJfNA

TEM

PER

ATU

RA

°C

RE

ZULT

ATI

M

EREN

JA

MO

DULA

K

RU

TOST

I K

P/C

M

INL O

<:z

гч**

0 © « « « «M3 cn 0 co m3 r -La I—1 lC\ in m M)0 CM O 0 0 00 r - OO o - m coM3 cm co f4- >4-t—A 1-H H

©0 m MD cn M3 00i—1 0 'П in in c--1CM rH O 0 0 t—I3 CO a» CM co O 'ta 4 " rH 0 r - 4 -r-H 1—1 rH *—1

e © © * ©0 4 - M3 cn cn r—9in 1—1 in in r-l cn1—1 CM 0 0 00 0cm I—1 0 r - 4 - coM3 in CM LO Г - 4 -1—1 1—1 rH

« Ф • * e ©M3 0 00 co M3 »—11—1 no 1—1 r-l «—1 CMCM (N CM CM CM coo r 0 CM 0 r-l M3Г - M3 cn rH 00 nf—1 r -1 H rH

© * « e © eM3 M) M3 1—5 M3 cn1—1 H Ф CD r—1 4 -cm CM cm CM CM <—1in 00 r-| M3 cn mco m 0 а з in(—1 H rH rH

O СЛ

'O cu

ooo

u+CD*

oCM+■X

oШГМ

9 « «cn M3 cn rH M3 4 " in co4 - 4 - r--1 ao 1—1 1—l 4 - CM IICM 00 CM CM in co »—1 M30 m 0 0 CM M3 0 r-H > -co in 4 - r-H 00 n cnt—1 rH V— 1 rH

® 9 « © © * © e **НГ0 4 - M3 rH 1—i M) 0 0 h -cn rH rH 0 M3 «—1 CO COc CM rH rH CM in cn n 0r-H cn 0 4 - ao CM M3 »—1Г - in cn 0 Г - m CM 3r~1 rH r-l rH ce

Vч—1 rH CM

< U.i 0 0 03 2 *3 H tu tu tu0 u r~ Ш 000 < 00 0 Г -

<2 1—1 CM ioO cn in co

UJ UJ M3 M3 ao> 3 M3 CM •0»—« c c c 00ce >—» CM cn M)

f— M3 0 t~~© » •—1 r—1r~0 0 0 0 0 0 0 0 < tu © « ■0

CM rH rH CM cn 4 in u 3 0 0 0s i *—1 «—1U LU II li II< < cu Vir u_0 UJLU c3

OMolucn4M3

O'M3

vCCMСПo

<rCO

OC<

<VCOX~>oINUJ<x

lu.- Ir~CMсм.- IrIP

II<3

<3>UJD<VIO33

Ci* -■«INLUCe

<irUJ3oocCL1—< otu4irCOoovOirfi

tutuoV

OC<>

Vio33

aX .UJce

LOO3ceV

ciHinoommO'iOO ' O № <0 № O IO

C l O ' CU «O .r-l C\j ÇJ- CM «-I CO 4 CT> СП U)f - m cm o r~- m cm«—1 H H H

ooX

<tr3<ccrÜJax:tu

0 0 0 0 0 0 0 0CM r - l r 4 IM ( t | 4 1ЛSi i

- 7 1 -

«-i -4" 00 to чО ШCM СП <И OO JO •-»O O N ( \ j 3v 1MO NiflCO rl iOЛ Л (4 H a) ifti— I H «— I ,— i

• esO Oco Oa * r~03 CMtM

NJZo

<

' t H CO 4 ® No o o c m c m o < - i c m c d^hifUA№(\liOt\J M3 сЛ СП O Г- Ш CM

O si 4

e n

* O

r ~

M >S j r-H

U

\

aV m

4c-H

t an r -

1— r -

t O r — J

O

з

e t «

\ C M 3

»-H

< t M

- J r — 1

Г Ј CO

Q r H

O

L

< m

~ > < tr—i

L U 0 4

OC oU J e n

2 L r H

*— *

h -

< •

♦— o

_ J < * ■

3 CO

a j e n

L U r —

t u «— 1

H IÛ J3 >Û n л f-•-« ■— > «—i <1* c m co aoO CM CM O H CM o 4 M3 M3 O СП f - CM

M> M3 M3 oO f‘-CÙ t—Л *—I 'O vî o

c a 4 *H Oìt a4 н (D en (t|

c - м з 4 м з m oI fu n 03 IA oo m O O N O (V N

« - • o c a i H e u

a i a» мз4 e n

c a

4 - O O M3 4 LTI M) I f l IA Œ H CM O tn O O O CM CD *—I i—Icm cm o o •h c a ta'O 4 O J O ' 4 C A

o H , H 4 O Ш U i

4- O 00 M) M3 M3 O CO r i 4 Ш oc H Oo o № t a m r - o e n

Uo

<Le t1 3

i—< rC tU JCl5U Jh-

» • • • • « « «0 0 0 0 0 0 0 0N H H CM (П s f Ш1 I

Oo

o

U

+c e

*

o

CM+•

X

o

IX%(NJ

UJUoocCl

tM rH e—I

Uo o O

> -U J4

UJiH

LUCO

*-•i ~LO

CM i—c CO OCM t n v£> 1—■O ' o m 3r - tM СЧЈ e tLT\ o en v c♦—* u n MJ

J—, A 4 O ' r - _ JUJ CD CM r - Г )C_}K~ H 4 OJ c3e t:

«o oo *o ov : H II IIo r H 0 0 < «< l u

zo o o <

en3 *—*

Ll .LU

3 L - i LU LU LU Z L J O -f-o U r - O ' ч£> < < LTo <c

<cr H00

e n3

mo o *—«

“ 5►—i • 3

C ) r - r - e t > ex1— < (

I lJ UJ MO 0 4 o < LU <L Q ”> ~3 e n m . n •V C i > LU»—« m o o 00 nO " •— esj o o n < < i—i

Ll_

c— v û OJ t n V V V LU

<ZLl

Ov«

*—1 *)

o«

L05 .

L0 L0 1—

o o o U = ) 3•—« ■—. - > —J 3* 3 l u II II II *—1 «—«<2 :

» -IU ,

< œ U û Ot—1

Q

c LU M KJ KJLU3

oV

l ue t

LU(X

LUex

4 4

4

4

r ~

• • • • • •C M 4 - 4 CD a o O

t a 4 O o o M > o » 4

W O ' O ' O ' m Ш H

f f l > 0 N ' O O ' O H tn ta «h ai ia taH H H

o o o o o o o c c m «h «-ï c m ta 4 ir

t I

• » « « • © * «Ml •4* vO O Ш sO 'O oM\ ‘-O m o r - m un mo CMo un o Ch »—» r -MDo un ao un 4 C0 cnГ- m rH CO m 04c-H r-f r-4 <—f

7 1 -

NXOCM

o m v û n n o ' û oh H H <a ia o a oN N N O O O H f f i

h I f l Л H 00 Ч ) (П

cm

**

U

<f*-H\Ocomt'-oo ' O N < t H CO 0 0 - 4 - 0 О О О О Ј О И Ч н а 'ûON'C'OfflNcn r- мз 3 h ® in m

Ooo*

« ® •<n o en o r-H 00 OJ S\ u*-H o 1—1 o -4- r~ en r - +CM o cm O' rg i—H en en Ш►—« o o t Ch en LH MD 4

i— 00 r- r-H O' MD en *UD Т-Ч r-H r-H r-Ho o1— CM3 +CK « • 9 « * * n © XiZ un MD<t en m M3 MD r-H

4 1—i rH r-H vO m 00 cm << en cm 04 04 O r-H CM en3 CM 1-П UH t—1 T-H (П -4" 43 00 c - in cm o M3 en îa rH r--i r-H i—fo os in

04< « e • ♦ • • • ©3 -M MD 3 -4- en M) r-H MDir MD m t—1 3 un un 00 un !!ÜJ CJ o CMr-H »—ir-H t—H <4ar o o o CM CM04 04 3 XLU 00 c- un cm O' MD m51 r-H »Н r-H r-H

*—4b~< « 9 • 9 # в • • *—11-- ' t en -4" - t 3 r-H r-H MD 1-3 rH MDrH r-H MD 03 MD un C03 cm CMOJ to iP m Г-Н r-H oINI 00 m H* a O' o 04 3 1—LU r~ M) M3 r-H 00 o en 3ce Hf P—1 *—î r-t ce

U

<CK3( -<ckLUÜLШ

0 o oCM r - 4

1 I

O O O O ГМ tn 4} 1Г

c33oo

ÜJ > I— I

CKx

<r Z *—* U < г oLU

bu

U<ZClLU3

7Z lu 3 #—1U

luluiOV

O h m O O Oloi lui lui r-t O ' I -CM O -O CM Г - CM O W H

0 0 H CMз o .n см un en T— MD CD cm evi cr­eo тН 'O

« o eo o oIl II II < CDU

cmolui00СМrHoof“Hoor-tinCM

«o

<toгe

CK<>

<Vto

3 3 *—*at—1CMluCK

o

lu3

ooooor-HoIT

«o

II<3wu<3

>luiCi

<Vtos33*—«Cl• — tfsllui(X

IUUoceCL

o

LUCMo'4oar­toIT\enenen

«o

lulüov

or<>

Vto?331— I

o-— I

Mlua

<ooh-.3orV

_l3co2

<a ,31-cCKLUCL

iul

-t-O-OOO-iMiniflMD en o -t o cm -o 3H f M A O N i n i M i C OMciChiMcieiH oo vO 3 H o-. iO CI

o o o o o o c - o o h гн гм en 3 tn ! i

73

« « * * e « • «СП lA iT . in O ' H o

A iA <—i o CO d - M3 iAAJ o A l o CM CO 0v M3o a» o M> iA СПr - lA en CO 04 M3 CMr - i r - i •—i i—4

NX

ML• • •

O A o<i r - i M3 O ML M3n *--1 CO «—i CO f—i O 00 AJA i M3 CO Ml- CO o AJ en

<CO 0 ' O ' iT i r i «—i en vJ-A - A <3' C\] 0 ' M3 en21 H «H H r- i

CM« • ♦ » * s « 6

MJ <o M3 co r - MJ M3 eniЛ A» r-i 1—1 en ta o CM* o o AJ en o o o ML

* O' r-i r - r - <1- CM oM3 M> A4 M3 en-X r-i «—i r-i 1—1

U\a .V « e *

n A 4 A M3 MD s \ o4^ ao r i <L m m 4 O'en AJ en en o CO C<i M3*—s CD M3 A- AJ o A- M3 4b- en r - en A3 o m3 n i

CO r*i r i r-i r-i r-ioi—3oc m « « • * ♦ # •X m3 <L 4 «—i r- i vO r-i en»—i Ш M3 QÛ 4 m 00 O'< CM AJ CM CvJ en o CM o-

O' m3 A- MJ m r-i A- 43 Ü Г- cA en o r - n ia r-i r—i •—t 1—I r io

< *3 M3 CO i—i vO o tA n i IA

2 ! r - i пл CO CO M3 en en A-i i j CM CM ML CM A AJ CM 00o r m Lf\ 0 ' m ( \ i o o 4UJ O' A - iA n i o 1— 42 r - i «—i H »—i r - i

*—«1 -< «1 * te « * e • *1-- r - i en mL CD en 4 CO-J f—1 ML CO »—i < t <L гЧ A -3 CM c CM CM rH m oo vûfv j »—i OO en r-i CG M3 LT. <LLU 00 MJ en O' M3 n ioc. ч—1 r i r - i r - i

uo

<teu3h<CKLUCJL5Ш

* * • * • • « #0 0 0 0 0 0 0 0AJ — I — < t\J AJ ML A1 I

ooor-l

U+CD**

oAJ+X

<

1

oIAAJ

il

<I—<ZUJUOOCa .

CM] i r 4 ,—Io o O

>-

h -COoI -3CKV

< lu-J Z2J *—*O UO <r2. Z

oU) Lu>K .CK —,X t—

Z< luiX ->—* —,U U<c —,i: ix.O LULD O3 V

O —I CMO O oü j ЦЈ UJ CD (A ML CM M3 CO W O h A - I4- tA O tA CD H 4X1 O O vi­c i —i O l A Mî 03 4 »Н чО

* a a,O O OIl II II< CO c»

ÜJ UJ UJen ML aoCO O' —JCM O lAГ4'- O' COH o AJ(M CD AJ4 O —1co A3 ACM A- O'en IA AJe « «

o O O

II II II< •

< 3 tuCO —» ÜJZ U O< < X

3t—« t—. «oc > CK< LU <> Ci >

< < —*X V VCO CO COX 2 23 3 33 3 3f- l *—1 t—*c Cl Ci•—I —« t—1IM AJ As]ÜJ UJ ÜJor oc oc

I— e ® ®CO AJ CO COO l A I— A-h - O C O r - l

3 —I O —iCD 00 A- caX H r l H

—î3no2

» « в * eA J C O C D O - 4 - A ! CO M3 O' O'4 H CO A NA- O O M3 r-cAJ O M3 COr i H

<oc3

<OCUJa> ;ÜJ

o o oAJ f—,

• * • • ®O O O O O —I CM A3 -4“ CA

TEMP

ERAT

URA

°C

REZU

LTAT

I ME

RENJ

A MO

DULA

KR

UT05

TI

KP/C

M **

2

NA

CO HZ

-74-

m • • «vßvßн04ÛЛOJcoCOO(MГЧЈCM'OßM>An- 'OAA1—1I—1l-Hr~i

A • « •Г--r- rHino ЛA4 o1-4 o rHvOr- rvj 4Û•3t>f-l

co

» 1* «a 4 rHvßrH4D1—1 i—4Mi—400 rHco V0Ama*CMco П1 o vßi—ico A4 inr~i LAco-o AAo COrH*—1 rHrHrH

» • AJJ vß00 r~i n- inor-IvßA•—èco co o ocoaoo CMtuf-l a vßvßco(Av£>vßaoГ"-4vßVÜLAAo vßco1—1HrH«—i«—1

• d Ao ■A4- 4>vßAo COinз 1—II—ia) coo 1—1ooco OvJf'4CMo Aa o AJcn1-1vßni ir»№novù ►1-1r- 4rH»H«—1ir rH

* » » « e Ш A *co A A A A r—i CO aoA A A a i CO CO co r -<o CM O CM CM CM CM AA CO A A r~- co AШ Г - A M- 1--i h- - trH 1—1 «—1 r l 1—1

• • «o 4 A vß4 •—1■OAmco COA CO00o CMA«—1ceCMCMAo r- A CMCMo f—4Ao r- vß4- rHA4ni»—1«—1rH«—1

o o »—1A4>o *—4 «Avßo 4 9—Éor; 4) COn-mCOrHCMAA4 r-lAACJvü‘ en4 o»LCCOn-ACMOГ ArHi—lrl •—trH

0 0 0 0 0 0 0 0c\j r~\ r -t ra tn 4 m1 I

ooof-i

*

u+OD**onj+K <1—< <

ÜJ! UoO XA ÛLСЧЈ" m rH rH

o o OIIÜJ LU ÜJV f-~ t—i Oo Л CO4 O' fc—1vO ni Г-O m oen o rH

И -Ч n- 4 CMh— r vß <tcf) CO en COO m in A1— * « «3 o o O(XV II « fiG i ni < «< Ш O O O < 3 LLг Iß ÜJ3 »—4 ÜJ ÜJ ÜJ U oo LU 4- o l'­ < <o < on m m 3 3г v0 00 CO 1— 1 i—i *o O' O ce ce > orÜJ ÜJ m r- co < LU <> 3 n n G > Ci >»—1 o r- m►—< ni t - n < < »—4m: 1— ni m, 45 V V VCM *-< vß IO L0 A< ü • • B 2:3 o o o • 3 3*—* n 3 3 3U u Il 11 II в-4 •—<< i—i < 03 U G G oU- 1—1 *- — i 1— 1o LU nj Г4 141ÜJ O U1 ÜJ ÜJ3 V a ce Qf

i— » » ot/> tn N lOO Г- f-* - <3- O 43 m (П ooce co r- mУ H H H

• ® * ® aO ' v O O O ! ' - vß 00 ?0 O ' 1П С ' чО vß \ß W f f l h r l N№ O f - 4. - I r~ i

3oo

«tce3I—<ocLUQ_SLu

e « « # « « * *o o o o o o o oN H «-1 Oli «П 4 in » I

TEM

PER

ATU

RA

°C

RE

ZULT

ATI

M

EREN

JA

MO

DULA

K

RU

TOS

TI

KP

/CM

-75 -

NXoo-<

(M**

•o en r - rH 4 3 en r -43 m ao A en 1—i 43 O 'o o rH C\J o CM o fM•4 o <i A - a - O ' CM tAco a - o o rH r~ M-rH 1—1 «—i 1—1 rH

* te te te te * • o(П 43 1--i 1—I o

4 3 LA LA i—4 43 en rH oo O ' o o O o 1—1 fMШ cm o " t Ch n—1 rH LAa~ r - o <r rH c eH »—1 rH rH rH

te43 en 4 O o - ■4" 4 - r—ico r i en 43 vO cn CO fMo CM o o o o CM •4-cvj H - o en r - CO O ' iAr - r - o 4 rH a - СП«—1 1—i f—» 1—1 rH

• • te te • • te •40 en ■4- rH 4 3 M) CO Oco (M e u en 1--1 r H r H 4 -r i o r i OJ CM CM CM O'a i o ш O ' r - vû -4- a iШ oo 43 xJ- CM oo 4 .H rH r-H rH 1—<

* * * te te • a «cn o o vO 43 a en

4 3 tA en rH vû 43 o1—t o o Ch o f—i o otn on c\i A4 m CA un 43> co c - un CM co M1—1 r H «—1 .H rH

* • • te • • ® «4 l 43 00 4 3 O00 r H f—1 CD ao en rH CO1—1 cm A4 i—1 rH r—i гм h-o lA O' en h- CÛ r - iAo vXJ 43 un Г4 co o-A4 «—I ¥--i rH rH

ooo

*

u+m**oCM+X<1

oСЛfM

II>-

r - 4Г «A 4 M) o >1- 00M

O ' 00 «—1 o IA rH 43 A - L000 vJ- (M rH rH CM CM 'O ovÛ 00 43 ao CM en en IAOÙ ( vC -4 CM 00 M" 3rH rH «—1 rH rH er.

VrH •H cm

< LU o o o_ J 2 9X luLU U Jo O en 43 a -o < r oo O- la3>_ 2 rH 43 o

O c e eul i J lu 4 3 43 rH> X O ' At—f a ) *--1 CMCtr 1—1 A - O enV i— 4 3 0 0 4

o o O o O o o o c z :Ü J

03 rH 4 3CM rH rH CM en M 1Г Z X o o O

»—« *—1U U 11 II U< f—« <1 er: U

luo luLU oX V

<

I—<c2UJuOocCL

CM rH r~lo O o

k— tÜJ LU LU 1—43 O 0343 A- oen O 04 1—o 4 f 43 Xf— eo 4 orO' rH A- V43 O A*00 Is- IA XA~ CM O' XfM IA m Ci« «r « oO O o

II 11 II< »

c *3 Lu03 f— l ÜJ2 U • O << < V ocX X X*— * »H • t -oc > OC << LU < oc> û > LU

Cl< < M XV V i / UJO) 03 03 t—X X XX X XX X Xt ~ 4 *— • *—«Cl C! C li—< *—* »— 1IM A4 MÜJ LU LUœ ÛC OC

4 0 N 4 - ~ } - ( \ ì h C f ' C O N r t H S J O O t ' ' О Н 1 П О ' Ch 00 O A 1 Л 0 4 Ј Ц Л 0 0 1 Л А - 0 Љ CO 4 r i CO ч)-rH rH 4— i f —i «H

• • • • • • вo o o o o o o cCM *h r - i C\J СП l ii i

TEMP

ERAT

URA

°C

REZU

LTAT

I ME

RENJ

A MO

DULA

KR

UTOS

TI

KP/C

M **

2

NA

60HZ

- 7 6 -

« • • « «o rH m cn min CM cn o oo o »—f rH cnun VÛ Г-CO r - NÛ in CMr-» rH r-f rH H

• «CM 3 CO CO O vO in in аз -4-

inO'сПin

co СП inm o coO' o I— 1rH O' noo r - vOrH •—I rH

<1-CO o IÛ r-rH o 00 CO oo CMO'04 СПcm O' ■£>Cl inin CMoorH rH

- t » n O f f l O f f l i n <? m .-c to .-c q o O O N O n O v f M Noo r - kq <j- <m a} >4 -H i—I 1—I «—f »—I

ooorH

3$C

И co in to ш m л ’Ј н о т с О Н Ш О ' СОСМСМСМГ^СМШМЗ иЛ.~1\0\01Л<3-СГ'1Л O' O' in CO O' -itrH rH rH rH rH

» • *rH Ш vO 4- cO 'O cnin CD in «—1 CO rH rHr - cm CM CM O' cm CM O'CO r - Г" QD cn СП rH inO' a j O' m CO сл COrH t—i rH 1—I rH

9 • * • • 9 • 9o vl- in CO O '

CO rH cn 1—IrH rH CM orH CM o CM CM CM rH oO o ao o O СП o -oo Ch r - VO cn o> cnCM rH iH »—1 rH

• • * * * • » 9'O ao <1- O IX\ o ocn «—1 o rH o 1 r~o CM oo in c o CM <oo cn rH IT, »—I o r - mO' CO r - in cn O'»H rH rH rH 1—1

o o o o o c o o<M «-I >-• CM CO 'З ' IfsI I

3+QC**

oCM+

«t" f—< <ZLUi U

o ocein CLCM

— CM rH !-11] o o o

UJ UJ LU>- Г" O' eucn r- vûrH со v0tl> co VQoo o cnm сз 00-1 co CM mH- O'. ■o cnCO o en m

ou- co

9in« •3 o o oor

V II II 11rH cm < •< UJ o o a < 3 ÜLz I CO f—* UJ3 »—i Ul UJ UJ z CJ oÛ u co H- r—1 <r < Vo < co r- r - 3 3V z cO O' m »—« r~r «G r - <—c r~ ce > ÜLLU U' ro o o < UJ <> 3 «H >j0 n > G >»—1 CM oor 1 o O' < < t—•1— oo O' o V V V«—1 M3 co C0 COc LU 9 « 3é ? ?■G 3 o o o 3 3 31—« *—i 3 3 3U II II II •H

< *—« < co CJ o G olu 1—1 ■—I «—1o Ü.I INI ГчЈ fv|LÜ O UJ UJ ÜJ3 V or ce (X

I—</) s t h - O O M O O O iO O O N W ^ H i f l r o(— О Г О Ш П Ј 4 4 ( М О3 O' 4 гм n >0 M M PIc r 00 «3 Г «П tM O' СП>/ rH H H rH <—I

3Go>r

<rce3(~<ceU lasUJ

0 0 0 0 0 0 0 0 CM «H h N P t 4 in1 I

temp

erat

ura

°c

rezu

ltat

i me

renj

a mo

dula

kru

tost

i kp

/cm

7 7 -

8» • 9 9 * 9 « 9O en СП 0 iH tO tO 4чО 00 1—1 co in «—l cmO' O' CM CM ?—1 O CMco CO 0 to in cm CO n00 r- LH cn O'r~f t—4 »—1 1—i rH

NJ 9 9 « 9 9 9 9 93 lA O O' 0 CO «—f O rH

0 П- СП 00 1—i Q0 O CMO 0 00 0 O' cm eg O ccIN O' CM n r~- MO O' inr- 00 Г—in ГП O' 4

<£ *-4 r~i rH rH H2

cm« 0un H in 0 rH 0 00 in

en 0 en 4 cn T—♦ *—{ 0* 0 0 0 0 0 CM cm Г -* in O ' rH O' in 4 r - i n

00 Р~ r - IA СП O'

ooo*

‘o > 0 0 0 0 v 0 r - i o x i 4 vO r i \л in ffl [V.

H H D ìN J O O O J t D tniTV^OOc^o^J-vO O ' O ' CO vO 4- o t p

OOvOlfllO<f<J-vOc0 f- u> r-i co .-i co cotn o o i N m f f l H O j j - LPOOttOcMotcnvQ O O' Г - vO 4 O ' !ЛN H H H r i

4 >C >Û CO vû ifl OrHrHrMGOin^r-t CMOJMOiNHHin СОШсПШсПСОтМ) O' O' 00 чО <1- O' ITIr~* >4 r l r-1 r-H

00 O 4 IP O' Г - 4 CO ^ lO « »0 « >0 rt N to O rlrl uim СП r-t CMP-P-CMOtO.-ivQO' co vo en O' m

0 o oCM r-l1 8O O O O oгЧ CM en 4 m

(3+oo**ocm+X

<JoinCM

II

>

t-t1—O)01 -3CXLX

«—t 1—1 rg< IL! 0 0 O_ J 2 !3 i—- lui LU UJQ 13 -J Г" vOO < r l C) O'

2 00 e- 1 Г"O vO ou r 1

LU UJ 4* ■4 vO> 3 O -П t—1•—« 4 M) a ;or r i < t rH egV !— ч- l 0 0

2 eg CM tn<c UJ • w «2 3 O 0 01—1 ►—<V.J LJ ii II И< ►-i < CD u

LuO luLU 03 V

CNJ r~1 1 p

ro

ce

na

ta

O O 0

UJ LU LUr—»1—1—1 O г~ u0in Г - LP Or - r - Г ' t-

0 LC\ P 3n - cn 4 orin 4 0 ' Veg H 40 0 4 М) 3■—1 M3 IP 3tn IP 4 O• « « O0 O 0

II II ii

<<3

•Lu

L0 §—1 LU2 VJ O << <r V or3 3 3n t-l n i—££ > ex <<C lu; < ex> 0 > LU

< < V- * a5 :V v : V Ul

L0 CO O) L—>: 5 J

3 3 33 3 3•—1 ►—» ►-Hc 0 e»—1 »—81 »—fIN IN CNUJ ÜJ LUCD Or a

Ш1МОн(т\(М(м^ r-l ui <\) in tn -4- O' H Р ~ ' 0 4 С П О ( М ' 0 С М Н М И О М ^ Ш ПO' to г-- «O m O' цлr~I 1—I <—I •—I r - i

0 0 0 0 0 0 0 0cm r i h (M m 4 t f i1 i

TEMP

ERAT

URA

°C

REZU

LTAT

I ME

RENJ

A MO

DULA

KR

UTOS

Tî

KP/C

M **

2

NA

80HZ

7 V

• * « # * « ao A- i r . cn CO >c 4m vO in LA O CM чОo m o O CM O O'»—i ir» r- 4* r~i c n coO' co r- vD <t o 4-rH «—» i—4 H c— 1

« • • m 9 • 9

o o < t Г - o o oм з v O M3 O 1—1 r-1 c n

o c o o r —i 0 0 CM oo - 4 i n CM 0 0 4 - r -

O ' CO r - NO c n a > "4 -rH rH r - t H rH

e 9 9 • 9 9 «o c n O r- v O rH v O4- i n I—l м з T-H c n rHo a> CM 1—1 CM o СГ'LA Q n Г~ CSI c o *—1 i n00 r- r- м з c n O n «4-rH rH rH 1—I rH

n M3 e n 4 c o r - M3M3 c o 4 1— 1 rH o rHrH ГМ e n CM CM CM CMc o < 4 l A c o Г - e n c nO ' O ' 0 0 v O 4 * o mrH тН rH H «H

mCO r - 4 0 0 v O Ш o4 M3 r - ' o rH M3tH rH CM rH e n oo i n r - O ' O ' CM t no O ' 0 0 S 3 • 4 o m(M rH i— ( rH rH 1— t

«o c n r- oo o o <)-M3 <4 m3 *—t en LA rHo rH O ' CM o o CMm o m o o LO r-o o CO n- LA o LACM CM «—f rH «—1 «—1

« • 9 9 a 9 «< 4 M3 t n œ O r - < 4* H m 4 - rH ' O 00 nOCM o rH CM c m rH«A o rH N O 4 C0 rH0 4 O ' CO n£ < r O IArH *— i *— I rH T - i

olaГ -m

»OCMo

OO•—tмз

o

4coco

oO '01

o

4

oCO

o

coor-

0 0 0 0 0 0 0 0<N Г * t-H CM CO 4 t f i1 I

o

o

o

*

u4C D«o

ГМ

4-X

<I

omCM

II>-

t—4

h—

m

oi—

UC K

V

. - t »— f CM

< L U o o O- J г 1o H—< l u l u U Jo U O ' n - O 'o < < M n - ms ; Z o c n m

o O ' a CML U L U - 4 r - M 3> e n n - a i*—-T «— i 0 i 4C K i— i 0 0 <1 O 'V 1 - o i - ! 4

z C M f\ ! Ш

< U . * « »

Z o O O.— ■

U L J II II II< 1-4 < o r L JZ l i

o a i

L U o“ 3

CM r H 1 pr

ocen

ata

o O oL U a i l u

I i

m i r - - o L 04 in <M o1 Л LC m ar - M 3 O ' o4 r - O ' CKm c o 1 - Vin 4 O JM3 tn , o uM 3 o o 3C D L O >n Û

a a a oO O o s :

II II II

<< a

l uL O ■— • L U4L. L J O << t < V CK

~ » Г )— . » m i —a > O C << U l < Cl

O > a i

< < 1— «a .U

V V V I UL 0 с л L 0 1 -5 5 l 5 :

O Г З~ > ~ >*—« f—T t - i

O C l o•— T . —t U '«ГМ г м ML U l u Ü Jo r o c CK

* e 9 9> 9 9 # <0

> o 4 i n ! f \ - t 4 ( 4 r -

ITV CM m CO o CO Г - M3O H O O ' 4 ( M M H m cm гч co o - , - i r - rn O ' O ' 110 lO n O tnH f- I 4—I H .—I 4—1

* R e -« • a « •o o o o o o o oW H r - 1 N < 4 4 I f i

« I

- 7 9 “

« « * » • 9 • »M3 <1 M3 ■4- M3 0 0 0m M> 0 <—<Ш vOLH CM0 0 O' r- O' 0 O' 4-r~ O' 00 0 0 COf—1M3o> CO0 0 4 O' m1-t 1—1’—11—I r—i

9 0 9 * « • e »NI vi­ 40 0 ai 0 cn 0 inX vo »-H 0 мз 4 - 0 <r 00 0 en O' O' 0 «—« 0 cnen cH cm O' 4 in r- cn V000 0 0 г- M3 4 - 0 in< rH rH г—1 r-t »—1Z

0 9 « • « 9 0 «CM -4- 0 0 0 0 0 cn in«—1 4 M3 cn M3 M3 0 00 0 0 0 0 0 0 4-Is- Г- O' cn rH O' 0 M3co CO Г- M3 4- O' in2 rH r—l r—4 rH rH

LJa« 9 ® 9 9 e « •N 00 4 M3 M3 M3 4- 04 l—l 0 rH CO 1—s rH 0rH C\J CM CM CM CM cn M3»—» O' m3 O' cn O' M3 00 M3l— O' O' CON 4- 0 incГ) fH rH r-I t—1 rH01—3or • • 9 9 9 « 9 9V cm 4- M3 0 4 0 N- 4~M3 M3 0 M33— t M3 rH 0< r—1in CM0 CMCOCMN-in CO M3 rH n- Г" M33 <—1 0 0 Г—'П 0 ina <\i CMrH rH rH »—10->< 9 9 93 4- -4 0 0 cn ml 4-~г *—1r-I r—1мз rH M3 rH rHLU cm CMCM0 CMcn CMM3or 0 O' O' Г- m n 0 M3LU 0 O' 00 Г- in 0 M3? 04 r-I rH 9—1 rH rH1—«h-

< « 9 9L- Г- co M3 0 M3 CD N_J 0 B—1 f—« c 00 rH 0 M33 *—l CMCM0 in <n rH inN| QC cn 4 0 00 CMin M3LU O' O' QO N 4- 0 inor rH rH rH1 rH rH r—1

Uo<or3(—<orLUa5LU

O O O O O O O OW h »~l CM to 4 “ ms t

OOO

LJ-t-ffl**OCM+X<

I

O1ПCM

U>-

(-03cl~0orЈГ

1-1 1—I CM< UJ 0 0 0X 13 l~1 U! UJ UJ0 LJ 00 4 tn0 < M3 4* CO21 z Г—0' cn

o N O' 00UJ Ll cm 0 0> 3 CMO' CM1—4 M3 cn cnor »—4 M3 cn n1— 4 CMCMz r- 1CMin

c 0 9 9 *31' 3 0 0 0f—4 *—*LJ LJ 11 II II<r < on u2 ItCi UJU.I 03 V

<3; I—<LULJOorOL

CM «—( r-l0 0 0

LU LU Ll I 1—•rH 4 CD 1/3CD CM CD 04 - 0 O' f—СЛ un 31—t CD en orCD O' CCI VO' 4 N-4 O' О' 3CD in un 34 M3 i r c9 9 * 00 0 c 2 .

II II II< •

< 3 I tLO »--1 I r 1z LJ O << <r V or3 3 3*—• *—ч 9 uor > or <<t U i 4 0 :2 0 > 111

a .< < » i 23M MÇ V LULD СЛ 03 t -2 z 23 3 33 3 3*-* *—• и-аQ 0 cl—1 ►4Г4 NJ N1UJ lu LUor e t or

® 9 * » ft « e I

N i n m o v O 'H L - i O ITi 4 - IM VO <*■ CM oc 4 0 ' 'П W Ш O ' O' r h4-inraHinO'(f O' O' 00 M3 -ф O unr- a , - î r i r-t r- 1 i— 1

» * * O « * » .0 0 0 0 0 0 0 cN H H M (4 sL 1Гi g

TEMP

ERAT

URA

°C

REZULTATI

MERE

NJA

MODU

LA K

RUTOSTI

KP/C

M ** 2

NA 100 H

ZH >o O O O if, 4 Ш '004)30)4301''

e # « « » ® *5 9

O' 0 0 O O'in rH vO3 0 СП CV rHstr-r-0 O' CO r-in Onm1—1t l(H1—1rH

9 9 »3- 43 -4 0 m 0 cn m00 1—i1—1in 0 'O r- »O'Osicm CD 0 0 O 3-r- r- O' 0 00 r-O0 oc 00 ■A inO'inrHt—1rHrHrH

® • • • # ® * ■P0 43 0 O CD 0 in 0CD CD 4 3 0 Si" n 43 а з 00 O 0 0 O O ' 0 4 3 00 r-1 1—1 GO CD in I4 -O ' O ' 00 43 s j- O inrHrHrH 1—1 <—1 »—1 *

« <* «in vO 4 J 4 - 4 3 - cn 43 K JO ' 0 0 «—1 rHrH rH 4 4 3 4-rHrHCM CM CM CM CM Si- CGm CM rH 0 O in r--1 f -3 0 O ' r~ in »—1 4 3cvcvrH Г—1 rH rH

0

CM4

3 - - 4 0 00 >-* 0 CO«I

cnX

vO 4 3 CD «—1 O \0 «—1 43 < ciH rH 0 (V rH GO CM m<m in 0 03 0 0 cv Г -rH 0 o-> Г - in r—f 4 3 2cv cv rHrHrH rH

0mCM« » « % • » «»

0 0 4 3 vO 0 4 3 .4 - NO cnrH 0 0 4--1 in r—1 »—1rH GO ucm «H CM 0 cm cm cv in0 0 cn 0 O in cn r~ > -rH 0 O ' uo vO rH 4 )CM cm rHrHrH rH

* * ♦ * * » * «o in -t o ic ф o m! I O ' I 00 rH »—I \£) rHO H 1Л H n j ( 4 ( c 1ПO v O r - ч Ј - c O', n -o o oo r-~ m r-. in<M «“ • Г-* '-- l »—I r - i

0 0 0 0 0 0 0 0CM H ni in 4" in1 I

f-co0l-3orv:

01 r—1cv< LU 0 0 03 2Г a3 1—1 UJ luUJCl VJ r~\ O'•-Q0 < 3 O'C*'s 2! 43 ori(V13 C 0 1—'Li. tn4'vO> 3 CM 3 cn•—* 4JrH000; *~4 CM3 cnV 1— CM PI 0

2: o-CMin< u 4 19 a*2’ 3 O O 0V—V p—»<3 <3 II It 11< »—V < COVJг: li.o Lu13 03 V

cm •—i 1 PR

CCEN

ATA

0 0 0

1 3 13 1 30 n- O'CM 0 1—1O' in 0'CO «—1 0r- V0 cmin OJ cmcm O'r- tn ■-1CM If» r3 VO II« 4> 1»0 O C3

II II II< ♦<r ~ 3 U-1Л *—1 IjLj2Г V J. 0< < V3VI ►—f •o-: > ce<t lil <> 0 >< < V VV V VUl l/) 10г: s.3 3 33 3 39— i +-AC 0 O»—1 >—1 »—cТЧЈ tN.' ГчЈU J U J U JC X a: Q:

I— « « «(/) 'O O ' oO »H 43 4I— 43 СП C43 O' r~ O'OC O' O' 00V! i—i r~ f i—i.33QO?

<* * 4 « 9W O' 4 N O'o »M 4 i \ mon O O Г- ON N o m 4C~ 4- i vOrH rH r—I

<O'3I—<orlljrx?ur

0 0 0 0 0 0 0 cw H rH CM CO s f Ш! a

TEM

PER

ATU

RA

°C

RE

ZULT

ATI

M

EREN

DA

MO

DULA

K

RU

TOS

TI

,< P

/ C M

**

2

NA

50HZ

( su

pine

3.73

% )

81

'O vO o co •-<*—i 1П O T—i oCM O O' O Oш <t -O m hco co go 4 o

чО CO t~c 4 1 Л ' t U ì co H

ffl m o N oiO 1Л 1Л H (M O' 00 40 4 O

u+co**

« * * e e'O in \0 4 4 ® <t uì m гн CM CM rM r-1 COevi o m tn N r-l O' t"- 4 O c m r -c i - i r~ i г н

•A r- co \o r~r-i vo 4 in oocm in T-H cm rgQ O' in Г- gj

CO Г~ 4 O N h h h «-H

* » - » » »r-l in Чј- 40 in^ O O m «—i CM ni C\J o CSIO Г- O 4 4 O co h 4 O cm * t ir-i M h

* • • * •0 O O O Or -Ч r i N ( f |1

oCM+X<

s

oinCM

H

<<UJuoora .

CM i— I t— 1o o o

»"■HIt-10o1—3OCV

»—1H CM< LU O O o3 z !3 »— i Il Uj LUO u O «—1 »Нo < O 4- П-2l z oD gj 4

o O' Г O'UJ LU O' 4 CM> 3 O' lO 4)»— 1 ЈП n r io: »— e en o *4vr t— r~- <M aj

Z r-i ni 4< LU « • 4z 3 o o or-«

3 tl il II< »— 1 < B cг IIo LUUi O3 V

ÜLJ UJ LU(П CM C\1»—4 o euOD 4- «—1r- 00 00o> en mn- m a.cn O enCO CCI en%0 t—1 00CM 1C' enm « «

o o o

II II II< «

< 3 Lu10 <—• UJZ KJ O< < V3 3*“-4 1—t MÛ1 > ou<c LU <> Ci >

<r < -1—(:v V VL0 L0 l nT ? JT3 3 33 3 3V—1 *•—1 *—«C) C • o1—1 »—« »—.ГМ ГМ N1UJ UJ LUa oc a

Η # ® fe e wIO 'ÛO O'I— O3 O'OC O'V f-t

3oo5

<O'3(-<etllja

UJ

» » * <> «o o o o oH ,- i V I COli

13

90

26

170

A3S

1A

25

73

10

95

59

TEMP

ERAT

URA

°C

REZU

LTAT

I Mc

RENJ

A MO

DULA

KR

UTOS

TI

KP/C

M **

2

NA 50 HZ

(superne 4.5

3%)

co 4" 'ù 4 ' r-1 • OШ ifi H oO' O O O O Q<M O O ' H HI >0 r) ooH I— I H I— < if

9 9 V Q 9 -4co 4 o 4 4 l jf-« CO \0 •£> CO -fN O O O O CQh vo m h ® $Is- O -4" < - * Г~- зфс

oCM4*

m * • m « X <O O MJ -O 4">Û ifi (П H lû < <O O O' O *-1 21CO CM (M tn ir\ ЦЈCQ r ^ in СЧ S ) 5 { >H H H r*H ò

O a :ta CLCM

» 9 9 9 9 CM r*H r-H>C O) ^ 4 4 - o o oH H CC OJ Ci uCM CM H i—1 »H lu ÜJ UI 1—lf\ O' CO r - CO >- 4 - rH r~ LOCQ чО UT\ (Лј CO oo m LTV orH <—1 H t—» O' 4 1—1 h-

o m L— Zim 4- o ceCM 'O чО9 9 9 9 9 4-1 m «n CO

<3- IT> 4 vo 4 4 - - t O'O0 O СП r-i O) CO CM 00 34 (M H и W O «—t -4 cr. o00 \0 CO CM CO h~ 41 oP~ NO 4 CM 00 Zi o o o ?»—t H r—k r- i 0Ć

V 11 fl KT~4 r~H CM < 9

< Ui o o o < 3 UZ ï co *—1 ÜJ

3 9—1 Ш U.: LU Z VJ o <o U rH c~H o <r <c V ceo < 'O m CO 3 3 3z Z co o vC *—1 »—I 9 1~

o tn n- O' a : > <r <Ui LL o 4- CM <t ÜJ < a> 3 O' <1 O' > Ci > II)»—i r~ O CM CL. ce *—1 4- ao n < < 9—9 >:V i— ш ■—1 O' M? V' V ÜJ

Z tr -i CM <5 C0 CO LO L -O o O O o < ÜJ 9 9 »«-H г-Л 04 CO Z 3 O o o 3 3 3i 1 1—> 3 3 3O VJ H il 11 #—» 9—« 1-1

< *—» < CO VJ o o oZ Ll 4 -1 »—1 »—«a U. r s î CM l\ iLU o ÜJ LU ÜJ3 v : ce ûr (X

• Cl № « «9

o o o o o9— » H C \ ç na

17

76

12

16

74

32

14

87

92

12

09

99

83

53

4

TEMP

ERAT

URA

°C

REZU

LTAT

I ME

RENJ

A MO

DULA

<RU

TOST

I KP

/CM

** 2

NA 5

0HZ (

suplpn

e 6.4

6 •/.)

8 3

© e 9 «vO vQ NO o CAco Ш in1ЛO ' O o o or —i r—f in O ' »—J4 co «—i oo inr-H 1—1 1—1

0 0 9 » 9CO 4 * CD •£) 4 -o »Л «—l r-Hr-H e CM o CN00 00 4 " K - С 'CO CM r-H 0 0 4 -H r-H r-H

00 r-H 4 - CM r-i4 *o 1—1 4 CDr*H O ' O ' co r-Hcm r - O ' co COm co >—$ O ' inгН r-H r-H

® « • 9 e4-H v0 CO vO»—1coin 4CM CM o »—11—1vOo o in inin 4 CM co nr-Hr-H r-i

9 « Ф 9 ©4 5 in co in co*—1 ac r-H o 4CN CM CD r-H o rГ - 4 04co r—i C/' mw—l »—1 r - i

o o o o o•4 h n i m3

oooT~i

*

u+Ш** NOCN-fX

<!

OLl\«Nli

>-

»—«1—IOo(—3aV

r-H r—i CO< lo o o o3 z 83 •—~c U J U i tuÛ u LO r-\ roo < «—i o inz z O ' CO 'Do 4 4^ 'OU J U J 4 r - r-H> 3 co oo a>1—1 0 0 O oe t 1—1 <M 00 r-HV ì~ 0 0 3 oz h cm «—1< U J • 9 «2 : 3 o o ol—1 »—1

<3 II II II< < CD <3z u_e U JLO o3

CN I- ' 1 PR

OCEN

ATA

O o oUJ uu UJf—1 vO orH 1—1 r—1Г - O ' oC0 O ' m40 oCO CO NJ00 1—1 4 "H 0Ü 1ГЛr - r-H O-I-J 4 CM

9 *> *»o O oII II II

< 9< 3 u_LO 1—1 UJz <3 o< < V3 3*—» *—1 9e t > e t< UJ <x> o >

< < 1—tV V VLO U) LOz z z3 3 33 3 3»—i «—1 »—1Q Cl Cl*■—« 5—1 *—!INI K J K JUJ UJ UJe t e t e t

I"— * « 4 9 0LOoI—3etV3ooz

<a3I -<etUJCLZUJi -

o o •* » ao o or-s ca m

1^60

77

13 5

991

11

75

20

8

99

74

5

28

38

CELL

' 'U

TOST

I KP

/CM

-84-

25 , XIOGGO

24 __

23

21

TEMPERATURA

SL, 33 MODUL KF‘(U TO STI U/ A V I S M O r / r i O D 'ГI M I T ИЛ П Ј Ш NA M i /

MOQJ

L KH

JTQ

STI

KP/C

M8 5 ~

SL, 3/. MODUL KRUTOSTI U ZAVISNOSTI OD TEMERATURE MA 10 HZ

- 8 6 -

25 xiocoo- -

24 __23

Ei

19AJ IBQl^ 17

IB

I--- 1I--SŒ?

15141312

il10

967B

4 __3__i : l

10 _-30

■K + '•\

-20 10 ; 1 iO JO 20t e i i v p e r aI j r a

10 40 50

SL. 38 MODUL KNUTOîiTI U 7 AVI Г,MOLTI OU Tl MPI HA TU M I NA 20H7

2524

23

22

21

20

19

IB17

IB

15

14

13

1211

109

8

7

G5

4

32

J.

0"3

-87-

X10000

10 20 30 40 .

TF-M A R A T U R Aöi,, no Monili IU II mio Tl 0 7 AVI ' I N OUT I ni) T Г, MOI lì Л'MI II I мл ,11)11/

MGQ

JL K

RJTO

STT

KP/C

M- 88-

25 X10CÇO

24__53..88__a i _ _

ru го-** 19__18. _17 __16__15 _14._13..15..11..10._9__8..7 __6__5._4._3..8..1

I I1 10 ,;>0

1Г М f IVA H

41..'J7 MOnui

++

- 89-

5 5 xioooo24__23 _22__El

43E

1O30 EO

— {—10 1-

0 JO fEO

TF. NITRATURA

.JO i'10 i!jo

SL. 38 MODUL K R U T OSTIU ZAVISnosT I Of) ТГ MPI HA r i d i r мл no II /

'23æ512019IB

17IB

15141312ii10

9B

?

B54

32

10-3

-90-

+

-H ------------------- h-20 -10 0

- - l ^---------------- iio 20 30

r j*-3-------I40 50

TEMPERATURA

SL, 39 MODUL KRUTOSri U ZA VI S MO Oïl OD FMPErWIJRK MA П0 II7

- 3 1 -

'!0

S L , 40 MODUL. K R UT OSTI U ZAV ISMOSTI OD T Г-М РГ МЛТ URI МЛ 70 I I /

- 9 2 -

2 5 , xiooco5453cc5150

H J

î 19

^ IB CL

17

1Б15

m 14

5

a

1315

11109B

7

B

•30

+i +

— — Ф+ ++ +

— 4- 50 — f- JO

г јз

I

\ î\4=

\

4 - O I10 50

Ф

\

10 '10 .0

SL. Д1 MODUL KRUTOSTI U ZAVISNOSTI OD T Г M Ptîfl ЛТ U R l: NA nu 117

'25242322

212019IB1716151413J.2il10

98

76

543210

- 9 3 -

XICODO

•н~------ 1------- 1......... i------ i - i'20 10 0 J.O 80 10

Tf.M "CRATIRA "I

■10

\

4-I50

SL, Д2 MODUL KRUTOST! U ZAVISNOSTI OD TEMPERATURE: НЛ П0 117

MOGU

L KR

JTO

STI

KP/C

M-

- 94-

' ' I I I0 JO i ’O 10 '10

T IM £R/\ TUVA °L

SL, /,3 MODUL K n u ï o a n U 7 AVI D NO DT I O n Ï K MI -4-H AT u r n MA 100 117

- 9 5 -

SL, 4A MODUL KRUTOSTI U Z AVI S NO'. T » ОП ГI’ M И11ЛГПИ1 I ’ M I H A 7 U Ć I T I Mr HEKVI 11(1 )Л MA

£5242322

21

20

191817IG1514

13

lì10

987G_5_4 _32 _

10.-3

- 9 6 -

X10000

Ф

frekvenci jg 50 HZ s upl |i ne 3 . 7 3 ° / 0

*

0 Ш 20

TEJvPERA'll JRA

SL.i.5 MODUL KRUTOSTI u ZAVI г, иЦзтI 0!) T F MPI I M I II U f

- 9 7 -

SL4G MO DUI, K F< U 7 O nr I IJ '/ Л VI Г, HOîj Tl Oli 7 I MC I П A 7 U II Г

25

2423

222120

19.

1617

16

15

1413.

1211

10

9

87

G

5

4

3

21C

- 98-

XIOOOO

++++

fro k vene i ja 50 I Г7 s u p 111 ne 6.4 6 n/o

»H-------------- -I-------------- f I I I0 10 20 • 30 4 0 50

TLN/PERAl I IRA n \

SL, 47 MODUL KR U T 05 T I U '/AVI fj NOfiTI 01) I I H lJf; RAT II HI

- 99 -

X 10 000

3.73 '/«

Л V»ri*/.

6. A 6"/.

1 I MCI CA I un A Ml!GL, /,Û MOU Ul. KHUIOSI ' I U / AVI • H | f » h 11 0|l f l 111 II A III

I PHOCI, 1ГГА fi U PL JIM A U KO! , /ЛН10Ц11

MO

DU

L

KR

U T

O S

T I

S k

p/c

m

-10 0 -

SL. 49 MODUL K R UT OSTI BIT. ŠLJUNKA PR I R A 7 I. I (“ I TI TlT EMP ERATU R AMA

-101- '

V. RASPHOSTIRANJS TEMPERATURE U ASFALTNIM KQLOVOZIMA

U V o d

Dejstvo temperature na asfaltile kolovozne konstrukcije moze biti od- lučujući faktor prilikom odredjivanja ponašanja kolovozne konstruk­cije. Puicotine u kolovozu x dezintegracija asfaltne mase cesto mogu □.astati kao isključiva posledica delovanja temperature. Koliki je značaj temperature na promenu modula krutosti asfaltnih mešavina mo­ze se videti iz obavljenih ispitivanja koja ukazuju da se u zavisno-2sti od temperature modul krutosti menja od 2000 kp/cra do 200 000 kp/cm . Teorijski gledano problem predvidjanja temperatura u kolovo- znim konstrukcijama je prilično kompleksan, jer zavisi od niza fak- tora. U prakticnim proučavanjima, faktori uticaja temperature bi ee mogli podeliti na spoljašnje i unutrašnje. Vremenski uslovi, kao sto su temperatura vazduha, sunčeva radijacija, vetak, padavine, is- parenja i kondenzacija, spadaju u spoljašnje faktore. Pod unutraSnje faktore svrstavaju se toploga Zemlje i termalne osobine, koje uklju- čuju termičko sprovodjenje, termički kapacitet i latentno zagrevanje nastalo stapanjem kolovoznih materijala i tla u jednu celinu. Geo- loške odlike terena takodje imaju značajan uticaj na unutrašnje fa­ktore. U dinamičkom pogledu unutrašnji faktori eu relativno konstan- tni u odnosu na stalno menjajuće spoljne faktore. Izmedju ovih spo- ljašnjih faktora, temperatura okoline, predstavlja najvažniji u ok~ viru proučavanja termičke ravnoteže kolovoza. Uticaj redijacije i temperature okoline na temperatum kolovoza prikazan je na sl. 50 i 51* Ovde se vidi da max temperatura kolovoza kasni za max tempe- raturom solarne radijacije. Promena temperature kolovoza je ciklič- na u toku dana, a amplitude temperatura kolovoza opadaju sa dubinom.

Kao i svi materijali koji su oseìljivi na promenu zapremine zbog de- jstva temperature, asfalti trpe zatezanja i pritiske u okviru kolo­vozne konstrukcije.

Termička sprovodljivost i kapacitet zagrevanja kolovoznih materija­la ima posebnu ulogu u ovom slucaju. Ovo znaci o «trasnji na-

1 0 2 -

termički naponi rezultat karakteristika materijala koji ulaze u sa- stav slojeva konstrulccije. U trenutku prekoračenja napona na zatez- anje koji dopušta dati materijal, dolazi do stvaranja pulcotina u kolovozu iako nema opterećenja od vozila. Ovakvi loraovi se javljaju češće kod betonskih nego kod asfaltnih kolovoza.

povr-f.ma * * *5cm --------- -

10 c m ---------

15cm ---------

20 cm ° o o

25cm х ■ X X

30cm ---------

vazduh — — — -

W 1 3 6 9 12 13 16 19 22 hD O B A DANA

SI. 50 - Temperatura asfalt-betona u januaru

Postoji veliki broj istraživačkih. radova koji su se bavili proučava- njem uticaja promene temperature vazduha na temperaturu kolovoza. Mora se odmah napomenuti da osim erapirijskib odnosa ne postole za sa da korektni analitički odnosi.

V.l. Toplotno osobine asfaltnih mešavina

Temperatura na povrsini kolovoza se, grubo uzevši, menja po sirnmo- idalnom zakonu, a odatle proizilazi i odgovarajuóà vàrijacija temp­erature kolovoza na razlictim dubinama (si. 50 i si. 51)»

- 1 0 3 -

SI, 51 - Ciklus promene temperature vazduha i površine kolovoza

Promena temperature se odvija prema Fourier-ovo3 zakonitoeti koja glasi:

Iftf = c r , Po'cLt.г K cP6

(86)

gde јег C •? epecificna toplota betona,^ - epecificna težina betona,K - termicka provodljivost kolovoza,•ђ' - temperatura na dubini Z, i t - vreme,

Ako je temperatura na površini pločo data izrazora

'O ' ù 'o s \ n 2 r j L (87)Г

resenje Fourier-ove jednacine ima oblik:

s\n [zYL. - X2^ (88)

- lO f -

pri čemu je X c rТ К (89)

Izraz za -X- upravlja prigušivanjem temperaturnih. promena i zavisi od perioda varijacija površinskih temperatura ploca, Ono óe za dne- vne varijacije temperature biti oko dvadeset puta vece nego za god- ienje varijacije, polazeói od toga da dnevne i sezonske varijacije predstavljaju fenomen dvostrukog ponavljanja.

Na osnovu analognih proučavanja kod asfalt betona, čija su merenda prikazana na si. 50 i 51« mesto maksimuma krivih lini ja Q = f(t,z) dobija se poništavanjea 1 t0 za vrednosti koje dobija-mo iz jednačine:

2 X bT - X 2 + (j2k -И) A- = 0 (90)

Odakle se dobija vrednost koeficijenta -A, poraoóu:

T A 2 r(91)

gde A't predstavlja pomeranje srednjeg vremena maksimuma dveju te~ mperatura krivih linija na dve udaljene dubine za Д Z .

Ißto tako se mogu uporediti i amplitude promene temperature na raz- licitim dubinama, jer ako ova amplituda vredi 2 ft na povreini, ona, neće vredeti vise od 2 -tX^e 1 na dubini z. Polazeói od si. 50, i pored toga sto promena površinske temperature nije sasvim sinu- soidalna, nalazi se da je koeficijent A oko 6 rad/m. Ova vrednost je bliska vrednosti za cement betone što pruža mogućnost da u prvoj aprokeimaciji uobičajeni aaterijali za puteve imaju veoma srodne te- rmičke osobine.

V.2. Promene fizičkih osobina materijala

Obavljena raerenja uticaja temperature na promenu čvrstoće betonskog kolovoza, pokazuju da u temperaturnom pojasu od 5°G do ^0°0, dolazi do opadanja relativne Svrstoóe na pritisak i savijanja za 1.25 do

0.80. Što znači da čvrstoća betona opada sa povišenjem temperature. Slično, ali i mnogo kompleksnije, dolazi do promena i kod asfaltnih kolovoza. U istom temperaturnom području stabilnost asfalt betona može opasti od 7000 kp pri 5°C n.a I3OO kp pri 40°C. Ovako velike promene su posledica promene elastičnih osobina bitumena. U istom temperaturnom području modul krutosti bi se promenio od I80 OuO kp/cm^ pri 5°C иа 6OOO kp/cm^ pri U0°C.

Uticaj temperature na fizičke osobine posteljice se znatno korapliku- je sbog dejstva vlage; pri istoj vlaznosti dolazi do opadanja cvrs- toóe u posteljici pri podizanju temperature.

Sledeća važna fizička osobina prouzrokovana promenom temperature je promena zapremine materijala. Za kolovozne raaterijale kao sto su beton, stabilizovani materijali i sabijena posteljica, koeficijent širenja se normalno kreée od 2 do 8 x 10 ^ om/(cm)(°G). U temperat­urnom području od -20°C do 70°G, terraičko širenje ovih materijala je linearna funkcija promene temperature.

Terraicko sirenje asfalt betona je prvenstveno zavisno od viskoznih osobina bitumena i fizičkih osobina agregata. Zbog slozenih medju- sobnih odnosa bitumena i agregata, ne postoji koeficijent sirenja za asfalt betone, kao za čelik i beton. U svetu je puno radjeno i radi se na definisanju termičkog ponašanja asfaltnih konstrukcija, ali neka veéa teorijska osnova, zbog nemoguónosti obuhvatanja svih parametara u proracun, nije nadjena.

V.3. Uticaj temperature na promenu modula krutosti asfaltnih slojeva u kolovoznoj konstrukciji

Da bi smo istakli uticaj temperature na modul krutosti asfaltnih slojeva, napravili smo model kolovozne konstrukcije u okviru kojeg smo na osnovu obavljenih merenja u inostranstvu ocitali temperature za odredjena godišnja doba i dubine slojeva (si. 53)* Za ovako odro- djene temperature u pojedinim slojevima na osnovu rezultata iz dok- torata i magistarskog rada, nacrtsini su dijagrami promene modula krutosti u zavisnosti od temperature (godišnjih doba) i frekvencije

- 106 -

si. 53, 5^, 55, 56 i 57.

Analiza prikazanih resultata pokazuje da u toku različitih, gođišnjih doba dolazi do znatnih razlika u pogledu vrednosti modula krutosti habajućeg i veznog sloja (asfalt betona) i nosećeg sloja (bitumini- zirani šljunak).

Pored niz zaključaka koji se odavde mogu izvući, svakako je najinte- resantniji ovaj da se pri đanašnjim važećim propisima za kvalitet pojedinih ssfaltnih mešavina, postižu bez obzira na godišnja doba, odnosno temperaturu u kolovozu» пајшапје vrednosti za modul krutos- ti u nosećem sloju. Kada bi ova razlika bila mala i kontinualna to bi bilo normalno i poželjno, medjutim ta je razlika velika ( S == 12 000 do 90 000 kp/cm ). Na ovaj način dolazi do velikog disko- ntinuiteta u nosivosti pojedinih slojeva i mogućnosti oštećenja ko- lovozne konstrukcije pod opterećenjem. Novi domaci propisi, uzimaju donekle ovo u obzir zahtevajući bolji kvalitet nosećih slojeva.

Na osnovu dijagrama datih u ovom radu u mogućnosti smo da prilikom odredjivanja dimenzija pojedinih slojeva asfaltne konstrukcije, od- redimo ponašanje ove konstrukcije u najkritičnijim vremenskim peri­od ima*

Pored iznetog zakljucka o nesrazmernoj raspodeli modula krutosti u toku svih godisnjih doba, poseban problem stvaraju ekstremne tempe­rature.

Leti dolazi do zagrevanja kolovozne povrsine (zbog njene crne boje) i do 70 - 80°C (50°G vice od max temperature vazduha), sto dovodi do niskih vrednosti modula krutosti, a samim tim i male otpornosti ko- lovoza na deformacije. Posledica ovakvog stanja su na pravcima uz- dužni kolotrazi, a na meetima naglih promena brzina (raskrsnice i usponi) poprečni talasì..Zittii, pri niskim temperaturama zbog termičkih napona zatezanja koji prekoračuju čvrstoću na zatezanje asfalt betona, dolazi do atvaranja prskotina na površini kolovoza. Poznavajuói termicko ponasanje asf­alt betona tj. promenu modula krutosti^frekvenciju opterećenja, in- tenzitet optereóenja i temperatura okoline, u stanju smo da predvi- dimo moguénost pojave pukotina.

107

OO

j;E -< O

« 3 O cc a.

N c j LD

lu m

Of*tnI' III

Oh -LU

MX

LO

XÊICO

OtitoenII«

H- 11 ii n

< > i*»ilI l i

^ U u _____ _ . _ X . ___ . . .

a i o 7 ш о д u j o j t UJ :> 0 Z

M

I II</lOKlI IOC i

I( J

I l-C*<

KlI

I

Kl1<Л

K »

- 108 -

: •*? ■

OCNl

E•4

SL. 53

E

EUOCN

- 1 0 9 -

EU<N»

£UO04

N£

o

ooen

A SE \ BETON '

ASF. T BETON T

oo

_ B I T.SL JUNAK

'°LO 2600

T A M PON *£

Q >-XIO

° Ob iLOCO *(N

H

oooc~-

TEMP. VAZDUHA -13°C BRZINA VOZILA 80 km/h FREKVENCIJA 35HZ

SL. 56

110-

—V£uvT- V£uUD

£U<N

£u

OrN

еч

O/- O

SL. 57

Ill -

VI. PROJEKTOVANJE FLEKSIBILNIH KOLOVOZNIH KONSTRUKCIJA

Projektovanje fleksibilnih kolovoznih konstrukcija razvija se veoraa dinamicno i kontinualno. Metode za proračun mogle bi se podeliti u tri grupe:

a) Iskustvene (empirijske) metode, koje se baziraju isključivo na ranije dobijenim rezultatima i na osnovu analogije predlažu nova rešenja.

b) Poluiskustvene metode, koje kombinuju rezultate izvesnih teorij- skih proučav&nja i ispitivanja izvršenih na terenu i laboratori- jaroa. Za sada su ovo najrasprostranjenije i najracionalnije met­ode.

c) Teorijeke metode, koje kolovoznu konstrukciju tretiraju kao sis- tem koji podleže zakonima mehanike neprekidnih sredina. Ove met­ode se ne koriste mnogo u praksi, ali aluže kao baza za preduze- ta istraživanja u ovoj oblasti. Onn se mogu ograniciti na elast- ično proučavaaje viseslojnih sistema, izloženih statičkim opter- eóenjima, ili uzete u obzir viskoelastična svojstva nekih sloje- va kolovoznih konstrukcija i dinamičko opterećenje.

Najranije razvijen matematički model kolovozne konstrukcije potiče od Hertz-a (1). On je joe l88*f. godine predložio matematički model analize elastičnih slojeva oslonjenih na tečnost. 1926, godine We- stergaard (2) je uprostio materaatički aparat i omogučio njegovu priraenu u praktičnom projektovanju. Pickett-Ray (3) su 1951* uveli u upotrebu uticajne dijagrame i na taj način još vise olakšali pri- menu Westergaard-ove metode. U medjuvremenu učinjen je veliki nap- redak u istraživačkom radu od strane Poi-tland Cement Association - USA (PCA) na odredjivanju fundarnentalnih osobina portlandcementnih betona. Mnogo dobrih betonskih kolovoza je sagradjeno i projektova- no, a Westergaard-ova teorija i uticajni dijagrami postali sinonim za matematički model kolovoza za vise decenija.

Prvo rešenje za opsti viseslojeni sistem je dao Burmister (**•). U

1 1 2 -

svojira radovima on je formulisao problem za aistem od n elasticnih slojeva i razvio resenje za dvoslojni i troslojni sistem. Pri tom je predpostavio, da normalno opterećenje deluje preko kružne povr- šine. Schiffman (7) je kasnxje proširio, Burmister-ov rad za uslo- ve asimetričnog opterećenja, uključujući napon smicanja na površi- ni,

Kompleksan matematički aparat nije dopuštao èira primenu ove dobre teorije. Tek ва pojavom tablica Jones-a (6) i grafički predatavije- nih vrednosti u trodimenzionalnim dijagramima Peattie (8) dolazi do aire primene u prakai Burmister-ove teorije.

Huang (9)» Moavenzadeh (lO) i Ashton (10) suweli visko-elastičan materijal u teorijsku analizu viaeslojnog aiatema. Moavenzadoh i Elliott (11) su proairili i^esenje sa viskoelastičnim materijalom za slučaj pokretnog opterećenja.

Huang (12) je u svojim analizama krenuo od osnovnih jednačina raz- vijenih za sistem elasticnih slojeva, s tim što je elastične kons­tante E i y'V izrazio preko modula klizanja G i modula stišljivoa- ti (bulk module) K*

Na kraju treba naglasiti da su 1971» godine napravljena dva glavna kompjuterska programa od strane California Research Corporation i Shell-ove laboratorije u Amsterdamu za sracunavanje napona i defo- rmacija u višeslojnim sisteraìma za problème dimenzionisanja kolovo- znih konstrukcija. Zadnju verziju Shell-ovog programa pod nazivom "BISAR" poseduje i Laboratorija za puteve Gradjevinskog fakulteta u Beogradu.

Dimenzionisanje fleksibilnih kolovoznih konstrukcija predstavlja sigurno najsloženiji problem u oblasti proraduna gradjevinskih konstrukcija, jer predstavlja sintezu vise fvmdamentalnih naucnih disciplina.

Definisanje karakteristika materijala tj. osvetljavanje ponaeanja modula krutosti asfait betona u funkciji od vremena i temperature predstavlja samo jednu kariku u lancu problema koji sačinjavaju ob-

- 113 -

last dimenzionisanja fleksibilnih kolovoznih konstrukcija.

Dimenzionisanje fleksibilnih kolovoznih konstrukcija sadrži: 1) roe- djusobni uticaj vozila i puta, 2) integraciju teorija i metoda koje se odnose na projektovanje krutih i fleksibilnih kolovoza i 3) uvo- djenje u razmatranje karakteristika materijala,, ekonomicnosti i kv~ aliteta konstrukcija u eksploataciji,

Na kraju treba naglasiti da se podaci dobijeni u ovom radu, koji se odnose na modul krutosti asfalt betona, prilikom inženjerskog pris- tupa resavanju problema, mogu uvrstiti u sve spomenute proracune umesto modula elastičnosti.

Jedna od najsavremeni jib. metoda za dimenzionisanje asfaltnih kolov­oznih konstrukcija, koju je dao "Asphalt Instituts - USA", uzima u obzir modul krutosti asfalt betona u zavisnosti od temperature. Ko- risteói pomenutu metodu i podatke za modul krutosti iz ovog rada, već smo iskoristili za dimenzionisanje PSS, rulnih staza i stajal- ki na jednom vojnom aerodromu.

- IIA -

VII, Z A K L J U Č C I

Svakodnevno povećanje saobraćaja stvara potrebu za konstantnim.pob- oljšanjem kvaliteta puteva. Asfaltai slojevi, čija je glavna osobi- na nepropustljivost i dobar kvalitet površine, dobijaju mnogo veći značaj kao nosilac opterećenja u kolovoznij konstrukciji.

Imajući u vidu ove činjenice pojavljuje se potreba za iznalaženjem korektnog postupka za dimeazioniranje fleksibilnih kolovoza, U ci- Iju ostvarenja ove aamere pređuzimaju se u svetu opsežna diaamička ispitivanja asfaltnih kolovoza.

Donedavno, projektovanje kolovoza se zasnivalo samo na iekustvima, uglavnom sistematski sakupljaaim u USA i drugim zemljama. Prvi re- zultati dali su osaovu za CBR metodu, a kasnije zahvaljujući opit- iraa WASHO i AASHO, dobijeno je niz metoda koje su prirodao bile og- raničene za odredjene klimatske uslove, specificane podloge i lokal- ni saobraćaj,

Ekstrapolacija rezultata opita na druge tipove konstrukcija, razli- čite klimatske uslove i drugi saobraćaj u principu je nemoguća, Zbog toga se moraju prikupiti podaci koji će važiti za lokalne uslove.

Skupa praktična ispitivanja su postala neophodna ako se zeli odgov- arajuća teorijska osnova i racionalna metoda projektovanja, koja će u krajnjem slučaju dati najekonomičnije rešenje diraenzija kolo- voznih konstrukcija.

Cinjenica je da asfalt beton nije ni elastičan ni viskozan već vis- koelastičan, tj. njegova krutost je funkcija temperature i vremena trajanja opterećenja. Postoje tri prilaza proučavanju viskoelastič- nih materijala: modeli, indirektna meronja i direktna merenja. Zad- nji prilaa je primenjen u ovom radu i većina. zaključaka proizilazi iz eksperimentalnog rada.

Ha osnovu objavljenih. dinamičkih ispitivanja gredica od asfalt bet­ona mogu se izvesti sledeći zaključci:

- 115 -

1. Da temperatura, frekvencija i šupljine igraju značajnu ulogu pri- likora odredjivanja vrednosti modula krutosti asfalt betona.

2. Da je temperatura jedan od najvažnijih óinilaca koji odredjujevrednost modula krutosti (u temperaturnom području od ~20°C do ^0°G

2. 2raodul krutosti se kreóe od 200 000 kp/cm do 1 500 kp/cm").

3» Da je zahvaljujući numeričkom definisanju ponasanja modula kruto­sti ù zovisnosti od temperature moguóe izvrëiti, za konkretne sluca- jeve interpolaciju i ekstrapolaciju resultata.

Konkretna primena dobijenih rezultata u ovom radu mogia bi se ostva- riti na više načina:a) Prilikom dimenzioniranja asfaltnih kolovoza uzeti u obzir dinam- ički modul krutosti umesto modula elastičnosti. Kod savremenih met- oda je moguóe direktno korisóenje rezultata.

b) Lornovi pri niskira temperaturama i otpornost na zamor asfaltnih kolovoznih konstrukcija u numeriókim postupcima direktno zavise od modula krutosti,

c) Dinamióki uticaj vozila odnosno vibracije kolovoza zahvaljujuói rezultatima u ovom radu mogu se direktno posmatrati (ovo se naroči- to odnosi na optereóene saobraóajnice).

d) Posledice lose zbijenosti asfaltnih slojeva mogu se analizirati i z dobijenih dijagraraa, a samim tira preduzeti i odgovarajuóe mere sanacije.

Podaci dobijeni ovim radom predatavijaju samo jednu kariku u lancu dofinisanja ponašanja kolovoznih konstrukcija. Ovo nije ni počotak ni kraj u izucavanju ove oblasti. Najveói problem je u tome sto je to kompleksna oblast koja zahteva saradnju kadrova raznorodnih ob­lasti. Drugi, ne mali, problem je složena elektronska oprerna i ve- likà materijalna sredstava koja traže velike serije ispitivanja.

Dalji put na ovom radu bi bio uporedjivanje laboratorijskih i tere- nekih rezultata. Utvrdjivanje pouzdanosti eksperimentalnih rezulta-

- 1 1 6 -

ta. Definisanje pored modula krutosti i drugih reoloških parametara. I na kraju, traženje numeričkog postupka sa rešavanje problema ves- anih za dimenzioairaaje fleksibilnih kolovoza.

- 117 -

Vili. L I T E R A T U R A

1. H.Herta, Uber das Gleichgewict Schv/immender Elastischer Platten,Ann. Physik Shera. , voi. 22, 188 +

2. H.M.S. Westergaard, Stresses in Concrete Pavements Computed byTheoretical Analysis, Proc. ERB, part 1, 1925; takodje stampano u Public Roads, voi. 7i No. 2, April 1926.

5 . G.Pickett and G.K. Ray, Influence Charts for Concrete Pavements, Trans.-ASCE, vol ll6, 1951*

l+. D.M.Burmister, The General Theory of Stresses and Displacements in Layered Soil System, I, II, III, J.Appl. Phys., voi. 16, No. 2, No. 3, No. 5, 19^5*

5. J.Boussinesq, "Application des Potentials", Paris, I885.6. A.Jones, Tables of Stresses in Three-loyer Elastic Systems, HRB

Bull., 3^2, 1962.7. R.L.Schiffraan, General Analysis of Stresses and Displacements in

Layered Elastic Systems, Proc.Int.Conf.Struct.Design Asp>halt Pavements, Ann Arbor, Eich., I962.

8. K.R.Peattie, Stresses and Strain Factors for Three-layer ElasticSystems, HRB Bull. 3^2, I962.

9. Ï.H.Huang, Stresses and Displacements in Viscoelastic LayeredSystem under, Circular Loaded Areas, Proc.Int.Conf, Struct. Design Asphalt Pavements, 2nd, Ann Arbor, Mich.,I967.

10. F.Moavenzadeh and J.E.Ashton, "Analysis of Stresses and Displa­cements in a Three-layer Viscoelastic System", Massa­chusetts Institute of Technology School of Engineering Research Report R67-31*

11. F.Moavenzadeh and J.F.Elliott, "Moving Load on a ViscoelasticLayered System", U.S.A D.T.F.H.A, Bureau of Public Roads (Conctract FH-11-6619).

12. V.H.Huang, Stresses and Displacements in Viscoelastic LayerdSystems under Circular Loaded Areas, iroc.Int.Conf• Struct. Design Asphalt Pavements, 2nd, Ann Arbor, Mich.,I967.

- 118 -■

13. V.T.Thomson, Vibration Theory and Applications, Prentice-Hall,Inc, 1985.

I k , V.Brčić, Dinamika konstrukcija, Beograd, 196;+.15. V.^arti, Dinamika konstrukcija, Beograd, 1973»16. D.Hartog, Vibracije u mašinstvu, Beograd, 1972.17. Timošenko Jang, Teorija konstrukcija, Beograd, I968.18. Timošenko Jang, Teorija oscilacija, Beograd, I966.19. A.R.Rzanicin, Teorija puženja materijala, Beograd, 197^*20. Ž.Befroa, Projektovanje i gradjenje kolovoznih konstrukcija21. T.R.3.Pavement Temperatures-An Annotated Bubliography, T.R.B.,

55/197^.22. G.Van der Poel, "Time and Temperature Effects on the Deformation

of Asphaltic Bitumens and Bitumen-Mineral Mixtures",S.P.E, Journal II-I955.

23. Q.Van der Poel, "A General System Describing the Visco-ElasticProperties of Bitumens and Its Relation to Routine Test Data", J.Appl.Chem. ^-195^«

2 k , Monismith i Seed, "Moderator*s-Summary Report of Papers Presented for Discussion at Session V", Conference, Ann Arboy, Michigan, Ì962.

25. Fred Finn, "Factors Involved in the Design of Asphaltic PavementSurfaces", HRB 39/1967*

26. C.A.Pagen i B.Ki, "Effect of Asphalt Viscosity on RheologicalProparties of Bituminous Concrete", HRR 10^/1965.

27. Heukelom i Klomp, "Road Design and Dynamic Loading", Proceedingsof the АЛРТ, 33/I96A.

28. Fin, Hicks, Kari i Coyne, "Design of Emulsijfied Asphalt TreatedBases", HRR 239/1968.

29. Goetz, "Sonic Testing of Bituminous Mixes", Proceedings AAPT,2V I 955.

30. Jimenez i Gallawey, "Behavior of Asphaltic Concrete Diaphragmsto Repetitive Loadings", Conference, Ann Arbor, Michi­gan, I962.

31. Bazin i Saunier, "Deformability, Fatigue and Healing Propertiesof Asphalt Mixes", Conference, Ann Arbor, Michigan, I967.

- 119

32. McLeod, "The Asphalt Institute’s Layer Equivalency Program", TheAsphalt institute, Maryland, 15/1967*

33. Acum i Fox, "Computation of L Stresses in a Three-Layer Systems",Geotechnique 293/51*

5k , Jones, "Tables of Stresses in Thre-Layer Elastic Systems", HRB, Washington, 3^2/62.

35. Peattie, "Stress and Strain Factors for Three-Layer Systems",HRB, Washington, 3^2/62.

36. Cheli Bitumen Review ^3/73»37. Chahin and McCullough, "Stiffness History of Asphalt Concrete

Surfaces in Roads", HRR, Washington if66/73»38. Pell and McCarthy, "Amplitude Effect of Stiffness of Bituminous

Mixes Cnder Dynamic Conditions", Rheologia Acta, Voi. 2, No. 2, I962.

39. Dratt and Sommer, "Ein Gerat Eur Bestimmung der Dynamischen.Ela-stizitattsmoduln von Asphalt. Strasse und Autobahn,35/1966.

kO. Danilo Mirkov, "Diplomski rad - Programski sistera za fitovanje eksperimentalnih podataka"

ifl. B.F.Kallas, "Asphalt Pavement Temperatures".kZ. H.F.Southgate, "Temperature Distributions in Asphalt Concrete

Pavements, TRB 5^9/1975*k j . The Structural Design of Flexible Pavements No 298F/68, CHELL

Company,k k . Heukelom i Foster, "Dynamic Testing of Pavements" Journal ASCE

2/I96O.if5. Yang, "Design of Functional Pavements".if6. Structural Design of Asphalt Concrete to Prevent Fatigue Craking.

HRB I W 73.if7. Flexible Pavement Design and Management. HRB 139/73»if8. Deacon, "Materials Characterization-Experimental Behavior", HRB

I26/7I.if9. Shook i Kallos, "Factor Influencing Dynamic Modulus of Asphalt

Concrete", Proc. ASCE.50. Sail and Labout, "Rheological Properties of Asphalts".

1 2 0 -

51. Quinn i Wyk, "A Method for Instructing Dynamic Vehicle Loadsinto Design of Highways", HRB Ao/1961,

52. Whittemore, "Measurement and Prediction of Dynamic Pavement Loa­ding by Heavy Highway Vehicles.

53« Bissala, "Asphalt Pavement Temperatures Related to Kuwait Clima­te", HSR kQk/72.