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8/10/2019 VLSI CIRCUIT PARTITIONING,PLACEMENT & ROUTING

1/8

P A R T I T I O N I N G - B A S E D S T A N D A R D - C E L L G L O B A L P L A C E M E N T

W I T H A N E X A C T O B J E C T I V E

D e n n i s J . - H . H u a n g

y

a n d A n d r e w B . K a h n g

y z

y

U C L A C o m p u t e r S c i e n c e D e p t . , L o s A n g e l e s , C A 9 0 0 9 5 - 1 5 9 6 U S A

z

C a d e n c e D e s i g n S y s t e m s , I n c . , S a n J o s e , C A 9 5 1 3 4 U S A

A B S T R A C T

W e p r e s e n t a n e w t o p - d o w n q u a d r i s e c t i o n - b a s e d g l o b a l

p l a c e r f o r s t a n d a r d - c e l l l a y o u t . T h e k e y c o n t r i b u t i o n i s

a n e w g e n e r a l g a i n u p d a t e s c h e m e f o r p a r t i t i o n i n g t h a t

c a n e x a c t l y c a p t u r e d e t a i l e d p l a c e m e n t o b j e c t i v e s o n a

p e r - n e t b a s i s . W e u s e t h i s g a i n u p d a t e s c h e m e , a l o n g

w i t h a n e c i e n t m u l t i l e v e l p a r t i t i o n e r , a s t h e b a s i s f o r a

n e w q u a d r i s e c t i o n - b a s e d p l a c e r c a l l e d Q U A D . E v e n t h o u g h

Q U A D i s a g l o b a l p l a c e r , i t c a n a c h i e v e s i g n i c a n t i m p r o v e -

m e n t s i n w i r e l e n g t h a n d c o n g e s t i o n d i s t r i b u t i o n o v e r G O R -

D I A N - L D O M I N O S D J 9 1 D J S 9 4 a l e a d i n g q u a d r a t i c

p l a c e r w i t h l i n e a r w i r e l e n g t h o b j e c t i v e a n d d e t a i l e d p l a c e -

m e n t i m p r o v e m e n t . Q U A D c a n b e e a s i l y e x t e n d e d t o

c a p t u r e v a r i o u s p r a c t i c a l c o n s i d e r a t i o n s ; o u r t i m i n g - d r i v e n

p l a c e m e n t c a n o b t a i n w i r e l e n g t h s a v i n g s a s w e l l a s s m a l l

c y c l e t i m e i m p r o v e m e n t s v e r s u s t h e S P E E D R E 9 5 .

1 . I N T R O D U C T I O N

I n t h e p h y s i c a l i m p l e m e n t a t i o n o f h i g h - p e r f o r m a n c e , c o m -

p l e x d e e p - s u b m i c r o n i n t e g r a t e d c i r c u i t s , m o d u l e p l a c e m e n t

i s a c r i t i c a l s t e p . G i v e n x e d d e c i s i o n s f r o m t h e u p s t r e a m

s t a g e s o f t h e c h i p d e s i g n o w n a m e l y , m i c r o a r c h i t e c t u r e

d e s i g n , c h i p t i m i n g , c h i p p l a n n i n g , l o g i c s y n t h e s i s a n d p h y s -

i c a l o o r p l a n n i n g i t i s p l a c e m e n t s o l u t i o n q u a l i t y t h a t i s

t h e m a j o r d e t e r m i n a n t o f w h e t h e r t i m i n g c o r r e c t n e s s a n d

r o u t i n g c o m p l e t i o n c a n b e a c h i e v e d . T h i s p a p e r d e s c r i b e s

a n e w p l a c e m e n t t o o l f o r t h e s t a n d a r d - c e l l m e t h o d o l o g y ;

w e a s s u m e a r o w - b a s e d l a y o u t w i t h u n i f o r m m o d u l e h e i g h t s

a n d v a r i a b l e m o d u l e w i d t h s , w i t h i n s t a n c e s i z e s o f u p t o

s e v e r a l t e n s o f t h o u s a n d s o f c e l l s b e i n g o f g r e a t e s t i n t e r -

e s t . F o r o v e r v i e w s o f s t a n d a r d - c e l l p l a c e m e n t , s e e , e . g . ,

L e n g a u e r L e n 9 0 o r S h a h o o k a r a n d M a z u m d e r S M 9 1 .

A V L S I c i r c u i t n e t l i s t c o n s i s t s o f a s e t o f m o d u l e s c e l l s

c o n n e c t e d b y s i g n a l n e t s . I n t h e c o r r e s p o n d i n g e d g e -

a n d v e r t e x - w e i g h t e d n e t l i s t h y p e r g r a p h N V E w i t h V =

T h i s w o r k w a s s u p p o r t e d b y a g r a n t f r o m C a d e n c e

D e s i g n S y s t e m s , w h e r e A B K i s c u r r e n t l y V i s i t i n g S c i e n -

t i s t o n s a b b a t i c a l l e a v e f r o m U C L A a b k @ c s . u c l a . e d u ,

a k @ c a d e n c e . c o m . D e n n i s J . - H . H u a n g i s c u r r e n t l y a t S y n o p -

s y s , I n c . d h u a n g @ s y n o p s y s . c o m .

f v

1

v

2

; : : : ; v

n

g a n d E = f e

1

e

2

; : : : ; e

m

g , t h e n v e r t i c e s c o r -

r e s p o n d t o n e t l i s t m o d u l e s c e l l s a n d t h e m h y p e r e d g e s

c o r r e s p o n d t o s i g n a l n e t s . E a c h h y p e r e d g e e 2 E i s a s u b -

s e t o f V c o n t a i n i n g o n e s o u r c e v e r t e x , w i t h t h e r e m a i n i n g

v e r t i c e s o f t h e h y p e r e d g e b e i n g s i n k s . T h e i n p u t t o a p l a c e r

i s a s s u m e d t o b e t h e n e t l i s t a n d c e l l l i b r a r y i n f o r m a t i o n .

D e n e t h e l o c a t i o n o f a c e l l a n d a l l i t s p i n s t o b e t h e

l o c a t i o n o f i t s c e n t e r . A p l a c e m e n t o f t h e n c e l l s i n V i s a n

a s s i g n m e n t o f c e l l s t o l o c a t i o n s i n t w o - d i m e n s i o n a l p l a n e .

T h e p l a c e m e n t i s l e g a l i f c e l l s a r e n o t o v e r l a p p e d a n d a r e

p l a c e d w i t h i n t h e p r e s c r i b e d r o w c o o r d i n a t e s . T h e p l a c e r

t y p i c a l l y s e e k s a l e g a l p l a c e m e n t o f V , s u c h t h a t l a y o u t

a r e a i s m i n i m i z e d w h i l e m a i n t a i n i n g a u t o - r o u t a b i l i t y a n d

s a t i s f y i n g t i m i n g a n d o t h e r p e r f o r m a n c e c o n s t r a i n t s . F o r

c e l l - b a s e d p l a c e m e n t , t h e r s t - o r d e r o b j e c t i v e i s t o p l a c e

c o n n e c t e d c e l l s c l o s e r t o g e t h e r t o r e d u c e b o t h w i r e l e n g t h

a n d l o w e r b o u n d s o n s i g n a l d e l a y . T h u s , m o s t p l a c e r s h a v e

a m i n i m u m - w i r e l e n g t h o b j e c t i v e : G i v e n a n e t l i s t N V E

n d a l e g a l p l a c e m e n t s u c h t h a t

P

e 2 E

c o s t e i s m i n i m i z e d ,

w h e r e c o s t e i s t h e r o u t i n g c o s t o f t h e n e t e

I t i s d i c u l t t o e s t i m a t e r o u t e d w i r e l e n g t h , a n d h e n c e

o n l y s i m p l e e s t i m a t e s a r e u s e d i n p r a c t i c e . L e t M S T e

d e n o t e t h e m i n i m u m s p a n n i n g t r e e M S T c o s t o v e r t h e l o -

c a t i o n s o f c e l l s b e l o n g i n g t o n e t e . A l s o , l e t H P e d e n o t e

t h e h a l f p e r i m e t e r o f t h e m i n i m u m e n c l o s i n g b o u n d i n g b o x

o f t h e l o c a t i o n s o f c e l l s b e l o n g i n g t o n e t e . I n p r a c t i c e , t o -

t a l M S T c o s t a n d t o t a l H P c o s t a r e t h e m o s t c o m m o n l y

u s e d w i r e l e n g t h e s t i m a t e s f o r w i r e l e n g t h d r i v e n p l a c e m e n t ;

a n y o t h e r p r a c t i c a l e s t i m a t e n e e d s t o h a v e s i m i l a r l y l o w

t i m e c o m p l e x i t y o f e v a l u a t i o n . F o l l o w i n g s e v e r a l p r e v i o u s

w o r k s , w e w i l l u s e t h e M S T e s t i m a t e f o r i l l u s t r a t i v e p u r -

p o s e s a n d t o e v a l u a t e t o t a l w i r e l e n g t h o f o u r p l a c e m e n t s ;

h o w e v e r , o u r p l a c e r h a n d l e s a r b i t r a r i l y c o m p l i c a t e d p e r - n e t

p l a c e m e n t o b j e c t i v e s .

2 . P A R T I T I O N I N G - B A S E D P L A C E M E N T

O u r p r o p o s e d p l a c e m e n t a p p r o a c h i s b a s e d o n t o p - d o w n

p a r t i t i o n i n g . I n t h i s s e c t i o n , w e r s t r e v i e w t h e t r a d i t i o n a l

K L - F M i t e r a t i v e p a r t i t i o n i n g a p p r o a c h , a l o n g w i t h i t s

g a i n u p d a t e s c h e m e . W e t h e n r e v i e w s e v e r a l p a r t i t i o n i n g -

b a s e d p l a c e m e n t t e c h n i q u e s i n t h e l i t e r a t u r e , c e n t e r i n g o n

t h e i s s u e o f t e r m i n a l p r o p a g a t i o n . W e w i l l o m i t d i s c u s s i o n

o f l o c a l - i m p r o v e m e n t t e c h n i q u e s e . g , s i m u l a t e d a n n e a l i n g

S S 9 3 S S 9 5 a n d D O M I N O D J S 9 4 .

2 . 1 . G a i n U p d a t e i n I t e r a t i v e P a r t i t i o n i n g

I t e r a t i v e i m p r o v e m e n t h e u r i s t i c s f o r n e t l i s t p a r t i t i o n i n g t y p -

i c a l l y s t a r t w i t h a n i n i t i a l s o l u t i o n a n d m a k e a s e r i e s o f

p a s s e s . E a c h p a s s i t e r a t i v e l y d e t e r m i n e s t h e m o v e o f o n e

o r m o r e c e l l s w h i c h a c h i e v e s t h e b e s t p o s s i b l e g a i n i n t h e

p a r t i t i o n i n g o b j e c t i v e . A f t e r a l l c e l l s h a v e b e e n m o v e d i n


2/8

a g i v e n p a s s , t h e b e s t s o l u t i o n s e e n d u r i n g t h e e n t i r e p a s s

i s s e l e c t e d ; t h e n e x t p a s s b e g i n s w i t h t h i s s e l e c t e d s o l u t i o n .

T h e p r o c e s s t e r m i n a t e s w h e n a l o c a l m i n i m u m i s r e a c h e d ,

i . e . , t h e c u r r e n t p a s s d o e s n o t i m p r o v e t h e o b j e c t i v e . C o m -

p u t i n g a n d u p d a t i n g g a i n d a t a i s t h e h e a r t o f t h e i t e r a t i v e

i m p r o v e m e n t a p p r o a c h .

T h e p r o t o t y p e i t e r a t i v e h e u r i s t i c i s t h a t o f K e r n i g h a n a n d

L i n K L K L 7 0 , w h i c h u s e s a p a i r - s w a p m o v e s t r u c t u r e .

D u r i n g e a c h p a s s , e v e r y c e l l i s m o v e d e x a c t l y o n c e b e t w e e n

t w o p a r t i t i o n s . A t t h e b e g i n n i n g o f t h e p a s s , a l l c e l l s a r e

u n l o c k e d " , i . e . , f r e e t o b e s w a p p e d . I t e r a t i v e l y , t h e p a i r

o f u n l o c k e d c e l l s w i t h h i g h e s t g a i n i s s w a p p e d . A f t e r t h e

s e l e c t e d c e l l s a r e s w a p p e d , t h e y b e c o m e l o c k e d " a n d t h e

a l g o r i t h m u p d a t e s b o t h t h e c o s t o f t h e n e w p a r t i t i o n a n d

t h e g a i n s o f t h e r e m a i n i n g u n l o c k e d c e l l s . A f t e r a l l c e l l s

a r e l o c k e d , t h e l o w e s t - c o s t p a r t i t i o n e n c o u n t e r e d o v e r t h e

e n t i r e p a s s i s r e s t o r e d a n d r e t u r n e d . F u r t h e r p a s s e s a r e

e x e c u t e d , e a c h u s i n g t h e r e s u l t f r o m t h e p r e v i o u s p a s s a s

i t s s t a r t i n g p o i n t , u n t i l n o i m p r o v e m e n t r e s u l t s . C o m p u t i n g

g a i n s i n t h e K L h e u r i s t i c i s e x p e n s i v e ; O n

2

s w a p s a r e

e v a l u a t e d b e f o r e e v e r y m o v e , r e s u l t i n g i n a c o m p l e x i t y p e r

p a s s o f O n

2

l o g n a s s u m i n g a s o r t e d l i s t o f c o s t s . T h e

m e t h o d o f F i d u c c i a a n d M a t t h e y s e s F M F M 8 2 r e d u c e s

t h e t i m e p e r p a s s t o l i n e a r i n t h e s i z e o f t h e n e t l i s t i . e . ,

O p , w h e r e p i s t h e t o t a l n u m b e r o f p i n s b y a d o p t i n g a

s i n g l e - c e l l m o v e s t r u c t u r e , a n d a g a i n b u c k e t d a t a s t r u c t u r e

t h a t a l l o w s c o n s t a n t - t i m e s e l e c t i o n o f t h e h i g h e s t - g a i n c e l l

a n d f a s t g a i n u p d a t e s a f t e r e a c h m o v e .

2 . 2 . M i n - C u t P l a c e m e n t

P l a c e m e n t b y r e c u r s i v e b i - p a r t i t i o n i n g i s b a s e d o n r e -

p e a t e d d i v i s i o n o f a g i v e n c i r c u i t i n t o s u b h y p e r g r a p h s t o

o p t i m i z e a g i v e n p a r t i t i o n i n g o b j e c t i v e . W i t h e a c h p a r t i -

t i o n i n g o f t h e c i r c u i t , t h e g i v e n l a y o u t a r e a i s p a r t i t i o n e d

i n e i t h e r t h e h o r i z o n t a l o r t h e v e r t i c a l d i r e c t i o n . E a c h s u b -

h y p e r g r a p h i s a s s i g n e d t o a p a r t i t i o n ; w h e n e a c h s u b h y -

p e r g r a p h h a s o n l y o n e c e l l , t h e n e a c h c e l l w i l l h a v e b e e n

m a p p e d t o a u n i q u e n o n - o v e r l a p p i n g p o s i t i o n o n t h e c h i p .

E a r l y a p p r o a c h e s w h i c h u s e a m i n - c u t p a r t i t i o n i n g o b j e c -

t i v e a r e d u e t o s u c h a u t h o r s a s B r e u e r B r e 7 6 B r e 7 7 o r

L a u t h e r L a u 7 9 . M o s t m o d e r n p a r t i t i o n i n g - b a s e d p l a c e r s

u s e s o m e f o r m o f K L - F M p a r t i t i o n i n g h e u r i s t i c , a l s o w i t h

t h e m i n i m u m n e t - c u t o b j e c t i v e . B e c a u s e t h e m i n i m u m n e t -

c u t i s a p o o r a b s t r a c t i o n o f t h e r e a l p l a c e m e n t c o s t f u n c t i o n

e . g . , o n l y i n s o m e l i m i t i n g s e n s e w i l l t o t a l c u t s c a p t u r e t o -

t a l M S T w i r e l e n g t h , v a r i o u s d e v i c e s h a v e b e e n u s e d t o

i m p r o v e m i n - c u t p l a c e m e n t ; t h e m o s t i m p o r t a n t o f t h e s e

a r e q u a d r i s e c t i o n a n d t e r m i n a l p r o p a g a t i o n

2 . 3 . Q u a d r i s e c t i o n

W h i l e m a n y p l a c e m e n t t o o l s h a v e r e l i e d o n t o p - d o w n m i n -

c u t b i p a r t i t i o n i n g , t h e m a i n d i s a d v a n t a g e o f s u c h a n a p -

p r o a c h i s t h a t i t c a n g r e e d i l y o b t a i n v e r y g o o d r e s u l t s i n

t h e r s t c u t , b u t t h e n b a d r e s u l t s i n s u c c e s s i v e c u t s . T h e

p l a c e m e n t p r o b l e m i s e s s e n t i a l l y t w o - d i m e n s i o n a l , i n t h a t

w e a s s i g n c e l l s t o l o c a t i o n s i n a p l a n a r l a y o u t . H o w e v e r ,

m i n - c u t b i s e c t i o n a d o p t s a o n e - d i m e n s i o n a l a p p r o a c h , p a r -

t i t i o n i n g t h e n e t l i s t a l o n g a s i n g l e c u t l i n e a t e a c h s t e p .

S u a r i s a n d K e d e m S K 8 7 b S K 8 7 a S K 8 8 S K 8 9 u s e

q u a d r i s e c t i o n t o d i v i d e t h e c h i p , y i e l d i n g a t r u l y t w o -

d i m e n s i o n a l p l a c e m e n t p r o c e d u r e a n d r e s u l t s t h a t a r e s u p e -

r i o r t o t h o s e o f t o p - d o w n b i p a r t i t i o n i n g p l a c e m e n t . T h e i r

q u a d r i s e c t i o n a l g o r i t h m u s e s a n e x t e n s i o n o f t h e F M h e u r i s -

t i c w h i c h a l s o r u n s i n l i n e a r t i m e p e r p a s s . S i n c e a c e l l i n o n e

q u a d r a n t c a n b e m o v e d t o a n y o f t h e o t h e r t h r e e q u a d r a n t s ,

t h e r e a r e 1 2 g a i n b u c k e t s , e a c h c o r r e s p o n d i n g t o a p a i r o f

q u a d r a n t s . A t e a c h s t e p , a c e l l w i t h h i g h e s t g a i n i s s e l e c t e d .

S u a r i s a n d K e d e m a l s o a p p l y a m o r e a c c u r a t e c o s t f u n c t i o n

w h i c h c o n s i d e r s d i e r e n t h o r i z o n t a l a n d v e r t i c a l w e i g h t s .

2 . 4 . T e r m i n a l P r o p a g a t i o n

W h e n p a r t i t i o n i n g a s u b - c i r c u i t i n t o s e v e r a l p a r t s , i t i s

n o t s u c i e n t t o c o n s i d e r o n l y t h e n e t l i s t i n d u c e d o v e r t h e

m o d u l e s i n t h e s u b c i r c u i t , i . e . , o n l y t h e i n t e r n a l n e t s . N e t s

c o n n e c t i n g t o e x t e r n a l I O p a d s o r o t h e r c e l l s i n a n o t h e r

h i g h e r - l e v e l p a r t i t i o n m u s t a l s o b e c o n s i d e r e d . D u n l o p

a n d K e r n i g h a n D K 8 5 p r o p o s e d t h e t e r m i n a l p r o p a g a t i o n

t e c h n i q u e w h i c h a d d s t o t h e c u r r e n t n e t l i s t d u m m y c e l l s

t h a t a r e x e d i n t h e a p p r o p r i a t e p a r t i t i o n s .

F o r q u a d r i s e c t i o n , t h e t e r m i n a l p r o p a g a t i o n t e c h n i q u e i s

s h o w n i n F i g u r e 1 . T h e g u r e s h o w s t h a t b l o c k B

2

i s a b o u t

t o b e p a r t i t i o n e d i n t o f B

2 0

B

2 1

B

2 2

B

2 3

g . C e l l s C i n B

0 2

a n d E i n B

3

a r e c o n n e c t e d t o c e l l s D a n d F i n B

2

. I t w o u l d

b e b e n e c i a l t o a s s i g n D t o B

2 0

a n d F t o e i t h e r B

2 1

o r B

2 3

T h e t e r m i n a l p r o p a g a t i o n i s d o n e b y i n s e r t i n g d u m m y c e l l s

x e d i n s p e c i c b l o c k s : i n t h i s e x a m p l e , d u m m y c e l l G i s

x e d i n b l o c k B

2 0

a n d d u m m y c e l l H i s a l l o w e d t o m o v e

o n l y b e t w e e n B

2 1

a n d B

2 3

B 02B1

B2 B3

B00 B 01

B 03C

D EF

standard cell

dummy cell

B 21

B 23B 22

B 20 G

H

F i g u r e 1 . T e r m i n a l p r o p a g a t i o n f o r q u a d r i s e c -

t i o n p l a c e m e n t .

3 . A G E N E R A L G A I N U P D A T E S C H E M E

F O R I T E R A T I V E P A R T I T I O N I N G

I n t h i s s e c t i o n , w e i n t r o d u c e a n e c i e n t , u n i e d a p p r o a c h

t o u p d a t i n g g a i n s f o r a r b i t r a r y o b j e c t i v e f u n c t i o n s d u r i n g

i t e r a t i v e m u l t i - w a y p a r t i t i o n i n g . T h i s t e c h n i q u e i s g e n e r a l ,

a n d c a n c a p t u r e p a r t i c u l a r p l a c e m e n t o b j e c t i v e s e x a c t l y f o r

i n d i v i d u a l n e t s ; i t i s e n a b l i n g t o t h e n e w t o p - d o w n p l a c e r

d e s c r i b e d i n t h e n e x t s e c t i o n .

G i v e n a k - w a y p a r t i t i o n i n g f P

0

P

1

; : : : ; P

k 1

g , d e n e t h e

c o n g u r a t i o n o f a g i v e n n e t t o b e t h e d i s t r i b u t i o n o f i t s c e l l s

i n t o t h e p a r t i t i o n s P

j

j = 0 1 ; : : : ; k , 1 . E a c h P

j

c o n t a i n s

e i t h e r z e r o o r a n o n z e r o n u m b e r o f c e l l s i n t h e n e t . F o r

e a c h n e t e , l e t c

j

e b e t h e n u m b e r o f c e l l s i n e t h a t a r e

d i s t r i b u t e d i n p a r t i t i o n P

j

, i . e . , c

j

e = f v v 2 e a n d v 2

P

j

g . W e c a n u s e a b i n a r y n u m b e r f

0

f

1

: : : f

k 1

t o r e p r e s e n t

e a c h c o n g u r a t i o n , w h e r e f

j

= 1 i f c

j

e 1 a n d f

j

= 0 i f

c

j

e = 0 . T h e r e a r e a t m o s t 2

k

, 1 d i e r e n t c o n g u r a t i o n s

f o r e a c h n e t i n a k - w a y p a r t i t i o n i n g . F i g u r e 2 s h o w s t h e 1 5

p o s s i b l e c o n g u r a t i o n s i n a 4 - w a y p a r t i t i o n i n g .

W e u s e c o n f

d

f

k 1

f

k 2

: : : f

0

=

P

k 1

j = 0

2

f

j

t o d e n o t e t h e

c o n g u r a t i o n i d o f a g i v e n n e t . I n o u r n e w g a i n u p d a t e

s c h e m e , e a c h n e t e h a s a n a s s o c i a t e d n e t v e c t o r V

e

w i t h


3/8

l e n g t h 2

k

, 1 . E a c h e n t r y o f t h e n e t v e c t o r V

e

d c o r r e s p o n d s

t o t h e n e t c o s t o f t h e c o n g u r a t i o n w i t h c o n g u r a t i o n i d

d . T h e n e t c o s t c a n b e s p e c i c t o a n u n d e r l y i n g o b j e c t i v e

f u n c t i o n , a s s h o w n b y t h e f o l l o w i n g e x a m p l e s .

00 01(1) 0010(2 ) 0100(4) 1000(8)

00 11(3) 0101(5 ) 1100(12) 1010(10)

1001(9) 0110(6 ) 1101(13) 1110(14)

1 01 1( 11 ) 0 11 1( 7) 1 11 1( 15 )

F i g u r e 2 . F i f t e e n c o n g u r a t i o n s f o r 4 - w a y p a r -

t i t i o n i n g . E a c h c o n g u r a t i o n i s r e p r e s e n t e d b y

a 4 - b i t b i n a r y n u m b e r a s s h o w n a t t h e b o t t o m .

T h e n u m b e r s i n p a r e n t h e s e s a r e t h e c o n g u r a -

t i o n i d s .

N e t - c u t C o s t : M i n i m i z e

P

e 2 E

c o s t e , w h e r e

c o s t e = 1 i f n e t e d i s t r i b u t e s c e l l s i n m o r e t h a n o n e

p a r t i t i o n ; c o s t e = 0 o t h e r w i s e .

A b s o r p t i o n C o s t S S 9 3 : M i n i m i z e

P

e 2 E

c o s t e

w h e r e c o s t e = k , 1 , i f n e t e d i s t r i b u t e s c e l l s i n e x -

a c t l y k p a r t i t i o n s .

Q u a d r a t i c C o s t : M i n i m i z e

P

e 2 E

c o s t e , w h e r e

c o s t e =

k k 1

2

, i f n e t e d i s t r i b u t e s c e l l s i n e x a c t l y

k p a r t i t i o n s .

S u m - o f - d e g r e e s C o s t : M i n i m i z e

P

e 2 E

c o s t e

w h e r e c o s t e = 0 , i f n e t e d i s t r i b u t e s c e l l s i n o n e p a r -

t i t i o n ; c o s t e = k , i f n e t e d i s t r i b u t e s c e l l s i n e x a c t l y

k p a r t i t i o n s .

M S T C o s t : T h i s i s a s p e c i a l o b j e c t i v e f o r 4 - w a y

p a r t i t i o n i n g . T h e h y p e r g r a p h i s p a r t i t i o n e d a m o n g

t h e u p p e r - r i g h t , u p p e r - l e f t , l o w e r - r i g h t a n d l o w e r - l e f t

q u a d r a n t s o f t h e l a y o u t . M i n i m i z e

P

e 2 E

c o s t e

w h e r e c o s t e i s t h e M S T r o u t i n g c o s t b a s e d o n t h e

c e l l d i s t r i b u t i o n o f a n e t e

A s n o t e d a b o v e , S a n c h i s S a n 8 9 d e v e l o p e d a m u l t i - w a y

g a i n c o m p u t a t i o n w i t h l o o k a h e a d f o r n e t - c u t c o s t ; s h e a l s o

d e v e l o p e d g a i n c o m p u t a t i o n s c h e m e s f o r a b s o r p t i o n c o s t

a n d q u a d r a t i c c o s t i n S a n 9 3 . H e r e , w e p r o p o s e t o u s e

t h e n e t v e c t o r c o n c e p t t o u n i f y t h e g a i n c o m p u t a t i o n f o r

v a r i o u s o b j e c t i v e s . E x a m p l e s o f n e t v e c t o r s w i t h d i e r e n t

v a l u e s c o r r e s p o n d i n g t o d i e r e n t o b j e c t i v e s a r e s h o w n i n T a -

b l e 1 f o r 4 - w a y p a r t i t i o n i n g . T h e m e t h o d c a n b e e x t e n d e d

t o a n y k - w a y p a r t i t i o n i n g a s l o n g a s k i s n o t t o o l a r g e .

A m o r e d e t a i l e d d i s c u s s i o n o f t h e g a i n c o m p u t a t i o n a n d

u p d a t e i s n o w i n o r d e r . W e w i l l c e n t e r o n t h e M S T c o s t o b -

e c t i v e a n d 4 - w a y p a r t i t i o n i n g T h i s i s b e c a u s e o u r p l a c e -

m e n t a p p r o a c h i s b a s e d o n r e c u r s i v e q u a d r i s e c t i o n . A l s o ,

s i n c e t h e M S T i s m o r e a c c u r a t e t h a n n e t - c u t a s a n e s t i -

m a t e o f r o u t i n g c o s t , o u r p l a c e r u s e s a n M S T c o s t o b j e c t i v e

i n s t e a d o f t h e t r a d i t i o n a l c u t - b a s e d o b j e c t i v e .

O b j e c t i v e f u n c t i o n N e t v e c t o r V

e

0 1 5

N e t - c u t c o s t 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 1 , 1 , 1 , 0 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1

A b s o r p t i o n c o s t 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 1 , 1 , 2 , 0 , 1 , 1 , 2 , 1 , 2 , 2 , 3

Q u a d r a t i c c o s t 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 1 , 1 , 3 , 0 , 1 , 1 , 3 , 1 , 3 , 3 , 6

S u m - o f - d e g r e e s c o s t 0 , 0 , 0 , 2 , 0 , 2 , 2 , 3 , 0 , 2 , 2 , 3 , 2 , 3 , 3 , 4

M S T c o s t 4 - w a y 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 1 , 2 , 2 , 0 , 2 , 1 , 2 , 1 , 2 , 2 , 3

T a b l e 1 . N e t v e c t o r e n t r i e s a c c o r d i n g t o v a r i o u s

o b j e c t i v e f u n c t i o n s f o r 4 - w a y p a r t i t i o n i n g .

W e r s t o b s e r v e t h a t t h e n e t v e c t o r g i v e n i n T a b l e 1

f o r t h e M S T c o s t o b j e c t i v e a s s u m e s u n i t w i r e c o s t i n b o t h

t h e h o r i z o n t a l a n d v e r t i c a l d i r e c t i o n s . I n o t h e r w o r d s , r e -

s o u r c e s , c o n g e s t i o n s a n d r o u t i n g c o s t s a r e e q u a l i n b o t h

d i r e c t i o n s . I n p r a c t i c e , h o r i z o n t a l a n d v e r t i c a l w i r e c o s t s

s h o u l d b e w e i g h t e d a c c o r d i n g t o t h e a v a i l a b l e r e s o u r c e , e . g . ,

a t h r e e - l a y e r H V H d e s i g n m i g h t b e r e l a t i v e l y r i c h e r i n h o r i -

z o n t a l r e s o u r c e s , w h i l e a f o u r - l a y e r H V H V d e s i g n m i g h t b e

r e l a t i v e l y r i c h e r i n v e r t i c a l r e s o u r c e s . L e t h a n d v r e s p e c -

t i v e l y b e t h e u n i t c o s t s o f h o r i z o n t a l a n d v e r t i c a l w i r i n g .

W e c a n e a s i l y c r e a t e a n e t v e c t o r t o c a p t u r e t h i s k i n d o f

o b j e c t i v e f u n c t i o n , a s s h o w n i n T a b l e 2 .

i V

e

i i V

e

i i V

e

i i V

e

i

0 0 1 0 2 0 3 h

4 0 5 v 6 h + v 7 h + v

8 0 9 h + v 1 0 v 1 1 h + v

1 2 h 1 3 h + v 1 4 h + v 1 5 h + 2 v

T a b l e 2 . N e t v e c t o r e n t r i e s f o r q u a d r i s e c t i o n

w i t h d i e r e n t h o r i z o n t a l a n d v e r t i c a l w e i g h t s

w i r e c o s t s .

W e n e x t o b s e r v e t h a t o u r p a r t i t i o n i n g a l g o r i t h m w i l l u s e

t h e s a m e F M g a i n b u c k e t d a t a s t r u c t u r e a s i n F M 8 2 . H o w -

e v e r , o u r g a i n c o m p u t a t i o n i s d i e r e n t f r o m t h a t o f p r e v i o u s

w o r k s . T h e r e a r e k k , 1 g a i n b u c k e t s f o r k - w a y p a r t i -

t i o n i n g . W e l e t

j

v d e n o t e t h e g a i n f o r m o v i n g c e l l v t o

p a r t i t i o n j . S u p p o s e c e l l a i s m o v e d f r o m p a r t i t i o n P

s

t o

p a r t i t i o n P

t

. F o r e a c h n e t e i n c i d e n t t o a , w e m u s t u p d a t e

t h e g a i n o f e a c h c e l l b 2 e b 6= a a s i t m o v e s f r o m i t s c u r -

r e n t p a r t i t i o n P

x

t o p a r t i t i o n P

y

, i . e . , b 2 P

x

a n d y 6= x T o

s e e h o w t h i s g a i n u p d a t e c a n b e a c c o m p l i s h e d i n c o n s t a n t

t i m e , c o n s i d e r t h e f o l l o w i n g f o u r c o n g u r a t i o n s :

1 c o n f

0

i s t h e o r i g i n a l c o n g u r a t i o n f o r n e t e i . e . , a 2 P

s

a n d b 2 P

x

2 c o n f

1

i s t h e c o n g u r a t i o n a f t e r a i s m o v e d t o P

t

i . e . ,

a 2 P

t

a n d b 2 P

x

3 c o n f

2

i s t h e c o n g u r a t i o n a f t e r b i s m o v e d t o P

y

b u t

b e f o r e a i s m o v e d i . e . , a 2 P

s

a n d b 2 P

y

; a n d

4 c o n f

3

i s t h e c o n g u r a t i o n a f t e r b i s m o v e d t o P

y

a n d

a f t e r a i s m o v e d i . e . , a 2 P

t

a n d b 2 P

y

T h e g a i n f o r m o v i n g c e l l b 2 P

x

t o P

y

b e f o r e a i s m o v e d i s

g a i n

a 2 P

s

b = V

e

c o n f

d

c o n f

0

, V

e

c o n f

d

c o n f

2

a n d t h i s s a m e g a i n a f t e r a i s m o v e d i s

g a i n

a 2 P

t

b = V

e

c o n f

d

c o n f

1

, V

e

c o n f

d

c o n f

3

T h e g a i n u p d a t e f o r m o v i n g c e l l b t o P

y

i s

y

b = g a i n

a 2 P

t

b , g a i n

a 2 P

s

b


4/8


5/8

d u c e t h e c o a r s e r n e t l i s t N

1

, t h e n a c l u s t e r i n g o f N

1

i n -

d u c e s N

2

, e t c . u n t i l t h e m o s t c o a r s e n e d n e t l i s t N

m

i s

c o n s t r u c t e d . D u r i n g t h e p a r t i t i o n i n g p h a s e , a 2 - w a y F M -

b a s e d p a r t i t i o n i n g a l g o r i t h m e . g . , L I F O F M H H K 9 5 o r

C L I P - F M D D 9 6 b D D 9 6 a i s a p p l i e d a t e a c h l e v e l o f t h e

n e t l i s t . W h e n a b i p a r t i t i o n i n g s o l u t i o n P

m

= f X

m

Y

m

g

i s f o u n d f o r N

m

, t h i s s o l u t i o n i s p r o j e c t e d u n c l u s t e r e d

i n t o P

m 1

= f X

m 1

Y

m 1

g , w h e r e i t s e r v e s a s t h e i n i t i a l

p a r t i t i o n i n g s o l u t i o n o f N

m 1

a n d i s r e n e d b y t h e F M -

b a s e d p a r t i t i o n e r . T h e u n c l u s t e r i n g a n d r e n e m e n t p r o c e -

d u r e c o n t i n u e s u n t i l t h e o r i g i n a l n e t l i s t N

0

i s p a r t i t i o n e d . A

s i m i l a r a p p r o a c h c a n b e a p p l i e d t o m u l t i - w a y p a r t i t i o n i n g .

M L i s e c i e n t a n u n t u n e d i m p l e m e n t a t i o n p e r f o r m s 4 - w a y

p a r t i t i o n i n g o f a 2 5 0 0 0 - c e l l d e s i g n i n 3 2 C P U s e c o n d s o n a

S U N U l t r a 1 1 4 0 M H z , a n d y i e l d s e x c e l l e n t r e s u l t s w h e n

c o m p a r e d a g a i n s t t h e b e s t k n o w n m e t h o d s f r o m t h e l i t e r a -

t u r e A l p 9 6 A H K 9 6 .

4 . 2 . N e t V e c t o r C o m p u t a t i o n

D u r i n g e a c h s t a g e o f q u a d r i s e c t i o n , o n l y t h e c e l l s l o c a t e d

i n t h e c u r r e n t p a r t i t i o n a r e m o v a b l e ; c e l l s o u t s i d e t h e c u r -

r e n t p a r t i t i o n a r e x e d . W e r s t c o m p u t e t h e c e n t e r c o -

o r d i n a t e s o f t h e f o u r q u a d r a n t s i n t h e c u r r e n t p a r t i t i o n .

F o r e a c h n e t e , w e c o m p u t e t h e n u m b e r o f p i n s l o c a t e d

i n t h e c u r r e n t p a r t i t i o n , a s w e l l a s a l l p o s s i b l e c o n g u r a -

t i o n s w i t h r e s p e c t t o t h e n e t e . N e x t , w e e v a l u a t e t h e u s e r -

s p e c i e d c o s t f u n c t i o n e . g . , M S T c o s t o r h a l f - p e r i m e t e r

f o r t h e n e t e a c c o r d i n g t o t h e p i n d i s t r i b u t i o n s o f a l l p o s -

s i b l e c o n g u r a t i o n s , a n d n o r m a l i z e t h e c o s t s s o t h a t t h e

l o w e s t c o s t i s z e r o t h i s r e d u c e s t h e i n d e x o f t h e h i g h e s t -

g a i n b u c k e t , i . e . , t h e m a x i m u m p o s s i b l e g a i n , a n d i m p r o v e s

r u n t i m e e c i e n c y . F i n a l l y , w e a s s i g n t h e n e t c o s t s t o t h e i r

c o r r e s p o n d i n g n e t v e c t o r e n t r i e s . F i g u r e 5 s h o w s a s n a p -

s h o t o f t h e t o p - d o w n q u a d r i s e c t i o n p r o c e s s , w i t h t h e n o r t h -

e a s t q u a d r a n t a s t h e c u r r e n t p a r t i t i o n . I n t h e g u r e , t h e

n o r t h w e s t q u a d r a n t h a s a l r e a d y b e e n q u a d r i s e c t e d a n d t h e

n o r t h e a s t q u a d r a n t w i l l b e p r o c e s s e d n e x t . C o n s i d e r a 5 -

p i n n e t w i t h t w o p i n s l o c a t e d i n t h e c u r r e n t p a r t i t i o n a n d

t h r e e p i n s x e d o u t s i d e t h e p a r t i t i o n , w i t h o n e o f t h e x e d

p i n s a n I O p a d . T h e r e a r e 1 0 d i e r e n t c o n g u r a t i o n s . F i g -

u r e 5 i l l u s t r a t e s t h e c o n g u r a t i o n i d , M S T c o s t a n d h a l f -

p e r i m e t e r c o s t f o r e a c h c o n g u r a t i o n . I f t h e M S T c o s t

f u n c t i o n i s s e l e c t e d , t h e n e t c o s t o r d e r e d b y t h e c o n g u r a -

t i o n i d i s , 5 7 6 7 6 9 , 8 7 8 , 8 , , , , a n d t h e

r e s u l t i n g n e t v e c t o r i s 0 0 2 1 2 1 4 0 3 2 3 0 3 0 0 0

W h e n t h i s q u a d r a n t i s p a r t i t i o n e d , t h e h y p e r g r a p h i n s t a n c e

c o n t a i n s a 2 - p i n n e t w h i c h h a s t h e a b o v e n e t v e c t o r . A g a i n ,

o u r a p p r o a c h d o e s n o t r e q u i r e t e r m i n a l p r o p a g a t i o n , a n d

e x a c t l y c a p t u r e s t h e p l a c e m e n t c o s t f u n c t i o n d u r i n g p a r t i -

t i o n i n g . F i g u r e 6 s h o w s t h e a l g o r i t h m t e m p l a t e f o r Q U A D .

4 . 3 . M e t a - H e u r i s t i c I m p r o v e m e n t s

W e c a n f u r t h e r i m p r o v e t h e p l a c e m e n t q u a l i t y b y t h e f o l -

l o w i n g t w o o p e r a t i o n s .

C y c l i n g : A t e a c h l e v e l o f q u a d r i s e c t i o n , w e m a y c y -

c l e t h e p a r t i t i o n i n g p r o c e s s . F i g u r e 7 a - d i l l u s t r a t e

t h e r s t i t e r a t i o n o f t h e s e c o n d l e v e l o f q u a d r i s e c t i o n ,

w h e r e B

0

B

1

B

2

a n d B

3

a r e p a r t i t i o n e d . A f t e r t h i s

r s t i t e r a t i o n , t h e c e l l s o f e a c h n e t h a v e b e e n d i s -

t r i b u t e d t o t h e c e n t e r s o f 1 6 b l o c k s . I n c y c l i n g , w e

b e g i n t h e n e x t i t e r a t i o n b y r e p a r t i t i o n i n g B

0

b a s e d o n

t h e n e w c e l l d i s t r i b u t i o n a s s h o w n i n F i g u r e 7 e . W h e n

e a c h i t e r a t i o n i s n i s h e d , w e c o m p u t e t h e p l a c e m e n t

c o s t b a s e d o n t h e n e w c e l l l o c a t i o n s . T h i s c y c l i n g p r o -

c e s s o f F i g u r e 7 e - h i s r e p e a t e d u n t i l n o f u r t h e r c o s t

i m p r o v e m e n t i s p o s s i b l e .

Q u a d r i s e c t i o n B a s e d P l a c e m e n t Q U A D

I n p u t : N e t l i s t N w i t h x e d I O l o c a t i o n s

O u t p u t : c e l l l o c a t i o n c e l l L o c

V a r i a b l e s :

Q = q u e u e s t o r i n g t h e s u b n e t l i s t s t o b e p a r t i t i o n e d

N ! n R o w s = n u m b e r o f r o w s t o b e p l a c e d i n n e t l i s t N

N ! n C e l l s = n u m b e r o f c e l l s i n n e t l i s t N

N ! c e n t e r = c e n t e r l o c a t i o n o f n e t l i s t N

n e w N = r e m o v e I O P a d N

Q . p u s h n e w N

w h i l e Q i s n o t e m p t y d o

c u r r N = Q . p o p ;

i f c u r r N ! n R o w s 1

c o m p u t e 4 W a y N e t V e c t o r c u r r N

P

0

P

1

P

2

P

3

= Q u a d r i s e c t i o n c u r r N

f o r e a c h i = 0 t o 3 d o

* c r e a t e a s u b n e t l i s t a c c o r d i n g t o P *

N = f o r m S u b N e t l i s t P ; c u r r N

f o r a l l c e l l 2 N d o

c e l l L o c c e l l = N ! c e n t e r

i f N ! n C e l l s 1

Q . p u s h N

e n d f o r

e l s e

c o m p u t e 2 W a y N e t V e c t o r c u r r N

P

0

P

1

= B i s e c t i o n c u r r N

f o r e a c h i = 0 t o 1 d o

* c r e a t e a s u b n e t l i s t a c c o r d i n g t o P *

N = f o r m S u b N e t l i s t P ; c u r r N

f o r a l l c e l l 2 N d o

c e l l L o c c e l l = N ! c e n t e r

i f N ! n C e l l s 1

Q . p u s h N

e n d f o r

e n d i f

e n d w h i l e

r e t u r n c e l l L o c

F i g u r e 6 . Q u a d r i s e c t i o n - b a s e d p l a c e m e n t a l g o -

r i t h m Q U A D t e m p l a t e .

O v e r l a p p i n g : W h i l e c y c l i n g t h e p a r t i t i o n i n g p r o c e -

d u r e a t e a c h l e v e l , a s e c o n d p e r f o r m a n c e i m p r o v e m e n t

i s p o s s i b l e b y p e r f o r m i n g t h e q u a d r i s e c t i o n o n o v e r -

l a p p e d r e g i o n s . F i g u r e 8 s h o w s n i n e o v e r l a p p e d r e g i o n s

t h a t a r e q u a d r i s e c t e d a t t h e s e c o n d l e v e l . I n g e n e r a l ,

t h e r e a r e 2

k

, 1

2

o v e r l a p p e d r e g i o n s a t t h e k

t h

q u a d r i -

s e c t i o n l e v e l .

5 . E X P E R I M E N T A L R E S U L T S

O u r e x p e r i m e n t s w e r e r u n o n a S u n U l t r a 1 1 4 0 M h z

w i t h 1 9 2 M B R A M , a n d a l l r u n t i m e s r e p o r t e d m m : s s a r e

f o r t h i s m a c h i n e . O u r v e r s i o n s o f t h e t e s t c a s e s w e r e i m -

p o r t e d i n P R O U D T K 9 1 o r t i m i n g P R O U D f o r m a t g e n e r -

a t e d b y c o l l e a g u e s a t T U M u n i c h h t t p : w w w . r e g e n t . e -

t e c h n i k . t u - m u e n c h e n . d e , a n d h a v e u p t o 2 5 0 0 0 c e l l s .

(a) (b)

B0 B1

IO pads (c) (d)

B2 B3

(e) (f)

B0 B1

(g) (h)

B2 B3

F i g u r e 7 . a d T h e r s t i t e r a t i o n o f t h e s e c -

o n d l e v e l o f q u a d r i s e c t i o n ; e h s u c c e s s i v e

i t e r a t i o n s o f t h e s e c o n d l e v e l o f q u a d r i s e c t i o n .


6/8

confid = 1

MSTCost= 5

HPCost = 5

confid = 2

MSTCost= 7

HPCost = 6

confid = 4

MSTCost= 7

HPCost = 5

confid = 8

MSTCost= 8

HPCost = 6

confid = 3

MSTCost= 6

HPCost = 6

confid = 6

MSTCost= 9

HPCost = 6

confid = 9

MSTCost= 7

HPCost = 6

confid = 10

MSTCost= 8

HPCost = 6

confid = 12

MSTCost= 8

HPCost = 6

confid = 5

MSTCost= 6

HPCost = 5

F i g u r e 5 . T e n c o n g u r a t i o n s f o r a n e t w i t h t w o

p i n s i n t h e c u r r e n t p a r t i t i o n .

(a) (b)

B0

(c)

(d) (e) (f)

(g) (h)

B2

(i)

B3

B1

F i g u r e 8 . a i N i n e o v e r l a p p e d r e g i o n s t h a t

a r e p a r t i t i o n e d i n t h e s e c o n d l e v e l o f q u a d r i -

s e c t i o n .

O u r r s t e x p e r i m e n t c o m p a r e s Q U A D w i t h o u t c y -

c l i n g o v e r l a p p i n g Q U A D w o C O , Q U A D w i t h o u t o v e r -

l a p p i n g Q U A D w o O a n d Q U A D . A l l t e s t c a s e s w e r e

p l a c e d w i t h 1 0 0 a r e a u t i l i z a t i o n . T h e r e s u l t s a r e s h o w n i n

T a b l e 3 . Q U A D w o C O a v e r a g e s 1 0 g r e a t e r w i r e l e n g t h

b u t c a n r e q u i r e a s l i t t l e a s 1 7 o f t h e r u n t i m e o f Q U A D

f o r l a r g e b e n c h m a r k s .

O u r s e c o n d e x p e r i m e n t c o m p a r e s o u r q u a d r i s e c t i o n r e -

s u l t s w i t h G O R D I A N - L S D J 9 1 a n d t h e p o s t - p r o c e s s i n g

d e t a i l e d p l a c e r D O M I N O D J A 9 4 o n 1 8 b e n c h m a r k s w i t h

1 0 0 a r e a u t i l i z a t i o n r e s u l t s f o r G O R D I A N - L D O M I N O

w e r e p r o v i d e d b y G u e n t e r S t e n z S t e 9 7 a t T U M u n i c h .

N o t e t h a t G O R D I A N - L i s a g l o b a l q u a d r a t i c p l a c e m e n t

t o o l , w h i l e D O M I N O i s a d e t a i l e d p l a c e r ; Q U A D s h o u l d b e

c o n s i d e r e d a s a g l o b a l p l a c e r . T h e M S T w i r e l e n g t h r e s u l t s

a r e s h o w n i n T a b l e 4 . Q U A D o u t p e r f o r m s G O R D I A N - L

o n 1 5 b e n c h m a r k s , a n d p e r f o r m s a b o u t 1 w o r s e o n t h r e e

b e n c h m a r k s . T h e a v e r a g e M S T w i r e l e n g t h i m p r o v e m e n t

o v e r G O R D I A N - L i s 4 8 . Q U A D a l s o p e r f o r m s s l i g h t l y

b e t t e r t h a n D O M I N O . T a b l e 5 c o m p a r e s Q U A D a g a i n s t

G O R D I A N - L D O M I N O o n t h e s a m e s e t o f b e n c h m a r k s u s -

i n g t h e h a l f - p e r i m e t e r H P o b j e c t i v e ; t h i s i s t h e m e a s u r e

u s e d b y t h e a u t h o r s o f G O R D I A N - L a n d D O M I N O . Q U A D

h a s a n a v e r a g e o f 4 4 i m p r o v e m e n t o v e r G O R D I A N - L , b u t

I m p r .

Q U A D w o C O Q w o O Q U A D v s . Q

C a s e M S T x 1 0 0 t i m e w o C O

p r i m 1 1 1 4 3 2 0 1 : 0 2 1 1 1 9 6 1 0 2 0 8 0 2 : 5 0 1 0 . 7

p r i m 2 4 8 6 7 4 0 6 : 3 1 4 5 7 3 6 4 4 4 7 8 2 3 : 5 0 8 . 6

i n d 2 4 2 0 2 9 9 3 3 : 5 2 3 9 5 4 3 4 3 8 0 1 9 4 1 4 4 : 3 0 9 . 5

i n d 3 1 0 7 0 9 2 7 4 8 : 1 2 1 0 4 2 3 6 6 9 7 0 0 6 8 1 6 8 : 4 6 9 . 4

f r a c t 4 1 0 0 0 : 0 5 4 0 2 3 8 0 0 0 : 0 8 7 . 3

C 1 9 0 8 1 9 6 3 0 0 : 2 1 1 9 2 5 1 8 3 0 0 1 : 4 6 6 . 8

C 5 3 1 5 6 8 8 7 0 0 : 5 8 6 4 2 1 6 1 8 5 0 7 : 0 2 1 0 . 2

C 6 2 8 8 1 0 2 8 5 0 3 : 0 5 9 0 0 4 8 3 1 2 2 6 : 1 7 1 9 . 2

s 1 4 2 3 2 4 5 6 0 0 : 2 7 2 3 8 4 2 2 6 5 0 2 : 5 7 7 . 8

s 1 4 8 8 2 6 8 4 0 0 : 3 6 2 5 3 9 2 4 7 0 0 2 : 2 7 8 . 0

s 5 3 7 8 8 8 0 7 0 1 : 2 6 8 6 4 0 8 2 0 8 1 2 : 1 3 6 . 2

s 9 2 3 4 1 5 2 2 9 0 2 : 4 1 1 4 7 8 2 1 3 8 4 8 1 9 : 5 7 9 . 1

s 1 3 2 0 7 3 0 7 3 3 0 4 : 2 3 2 9 2 3 6 2 8 1 6 1 2 0 : 0 7 8 . 4

s 1 5 8 5 0 3 6 4 7 8 0 5 : 3 2 3 5 0 0 2 3 3 6 2 5 3 0 : 5 4 7 . 8

s t r u c t 5 0 5 0 0 3 : 3 1 4 6 4 4 4 2 9 6 0 9 : 5 5 1 4 . 9

b i o m e d 3 8 7 9 2 1 3 : 3 1 3 6 0 7 4 3 3 7 8 7 6 4 : 3 5 1 2 . 9

a v q s 1 0 8 2 6 6 4 5 : 3 8 1 0 3 8 6 2 9 5 8 6 7 2 3 5 : 0 4 1 1 . 5

a v q l 1 1 4 4 0 8 5 3 : 5 0 1 1 0 1 9 7 1 0 1 9 3 0 3 1 5 : 5 0 1 0 . 9

I m p r . 9 . 9

T a b l e 3 . M S T c o s t c o m p a r i s o n o f Q U A D w o

C O , Q U A D w o O a n d Q U A D .

u s e s 1 2 m o r e w i r e l e n g t h t h a n D O M I N O .

W e h a v e a l s o c o m p a r e d 2 - D c o n g e s t i o n s a s m e a s u r e d b y

a s i m p l e s u p p l y a n d d e m a n d m o d e l , w h e r e s u p p l y " i s t h e

a v a i l a b l e h o r i z o n t a l a n d v e r t i c a l r o u t i n g t r a c k s a n d d e -

m a n d " i s t h e M S T r o u t i n g e d g e f o r t h e n e t . W e d i d t h i s

t o v e r i f y t h a t o u r w i r e l e n g t h i m p r o v e m e n t s d i d n o t c o m e

a t t h e c o s t o f r o u t i n g h o t s p o t s . F i g u r e 9 d e p i c t s t h e o v e r -

c o n g e s t e d a r e a s o f t h e a v q s m a l l p l a c e m e n t s g e n e r a t e d b y

Q U A D a n d D O M I N O ; o v e r c o n g e s t e d r e s o u r c e s a r e t h o s e f o r

w h i c h t h e s u m o f v e r t i c a l a n d h o r i z o n t a l d e m a n d s e x c e e d s

t h e s u m o f s u p p l i e s f o r s p a c e r e a s o n s , w e d i s p e n s e w i t h

t h e d e t a i l s o f t h e s e m e a s u r e m e n t s . T h e Q U A D p l a c e m e n t

h a s 0 8 o v e r c o n g e s t e d a r e a w h i l e t h e D O M I N O p l a c e m e n t

h a s 1 2 o v e r c o n g e s t e d a r e a . T h u s , a l t h o u g h Q U A D u s e s

1 m o r e w i r e l e n g t h f o r t h i s c a s e , i t h a s b e t t e r c o n g e s t i o n

d i s t r i b u t i o n t h a n D O M I N O .

6 . E X T E N S I O N S T O T I M I N G - D R I V E N

P L A C E M E N T

W e h a v e e x t e n d e d o u r b a s i c q u a d r i s e c t i o n - b a s e d g l o b a l

p l a c e m e n t e n g i n e i n a n u m b e r o f d i r e c t i o n s . O n e d i r e c -

t i o n o f i n t e r e s t i s t i m i n g - d r i v e n p l a c e m e n t , w h e r e s i m p l e

e x t e n s i o n s a l l o w t h e t o p - d o w n q u a d r i s e c t i o n t o b e d r i v e n

b y n e t c o s t v e c t o r s t h a t c a p t u r e b o t h t i m i n g a n d w i r e -

l e n g t h a s p e c t s o f t h e c i r c u i t l a y o u t . O u r t i m i n g - d r i v e n i m -


7/8

G O R D - L D O M I N O Q U A D I m p r . I m p r .

C a s e M S T x 1 0 0 G O R - L D O M I

p r i m 1 1 0 5 0 0 1 0 0 5 9 1 0 2 0 8 2 . 8 - 1 . 5

p r i m 2 4 5 9 9 4 4 3 7 0 5 4 4 4 7 8 3 . 3 - 1 . 8

i n d 2 4 3 6 3 0 0 4 1 7 2 6 4 3 8 0 1 9 4 1 2 . 9 8 . 9

i n d 3 1 1 2 1 0 0 0 1 0 4 8 6 7 3 9 7 0 0 6 8 1 3 . 5 7 . 5

f r a c t 4 0 0 3 8 3 3 8 0 5 . 0 0 . 8

C 1 9 0 8 1 8 5 8 1 7 6 7 1 8 3 0 1 . 5 - 3 . 6

C 5 3 1 5 6 2 2 0 5 9 2 2 6 1 8 5 0 . 6 - 4 . 4

C 6 2 8 8 8 7 9 4 8 3 3 9 8 3 1 2 5 . 5 0 . 3

s 1 4 2 3 2 3 3 4 2 2 0 8 2 2 6 5 3 . 0 - 2 . 6

s 1 4 8 8 2 6 8 0 2 5 5 8 2 4 7 0 7 . 8 3 . 4

s 5 3 7 8 8 6 0 9 8 1 8 2 8 2 0 8 4 . 7 - 0 . 3

s 9 2 3 4 1 4 8 4 8 1 4 0 2 3 1 3 8 4 8 6 . 7 1 . 3

s 1 3 2 0 7 3 1 2 8 4 2 9 9 9 5 2 8 1 6 1 9 . 9 6 . 1

s 1 5 8 5 0 3 7 0 2 0 3 5 5 9 1 3 3 6 2 5 9 . 2 5 . 5

s t r u c t 4 1 6 0 3 9 6 7 4 1 9 6 - 0 . 9 - 5 . 8

b i o m e d 3 4 6 7 7 3 3 7 1 2 3 3 7 8 7 2 . 6 - 0 . 2

a v q s 9 5 6 4 8 9 2 3 5 5 9 5 8 6 7 - 0 . 2 - 3 . 8

a v q l 1 0 0 6 5 0 9 7 8 2 5 1 0 1 9 3 0 - 1 . 3 - 4 . 2

I m p r . 4 . 8 0 . 3

T a b l e 4 . M S T c o s t c o m p a r i s o n o f G O R D I A N -

L , D O M I N O a n d Q U A D .

G O R D - L D O M I N O Q U A D I m p r . I m p r .

C a s e H P x 1 0 0 G O R - L D O M I

p r i m 1 9 1 7 1 8 9 0 0 8 9 7 2 2 . 2 - 0 . 8

p r i m 2 3 8 7 0 2 3 6 5 4 2 3 6 8 2 4 4 . 9 - 0 . 8

i n d 2 3 5 4 8 5 0 3 3 3 0 1 9 3 3 2 3 1 8 6 . 3 0 . 2

i n d 3 1 0 4 0 4 4 4 9 7 4 3 2 7 9 3 8 6 8 2 9 . 8 3 . 7

f r a c t 3 6 0 3 3 9 3 3 7 6 . 4 0 . 6

C 1 9 0 8 1 5 6 8 1 4 9 7 1 5 2 0 3 . 1 - 1 . 5

C 5 3 1 5 5 6 1 2 5 3 4 4 5 4 6 6 2 . 6 - 2 . 3

C 6 2 8 8 7 0 8 4 6 6 9 0 6 6 6 3 5 . 9 0 . 4

s 1 4 2 3 2 1 4 0 2 0 2 5 2 0 7 5 3 . 0 - 2 . 5

s 1 4 8 8 1 8 1 3 1 6 3 9 1 6 2 3 1 0 . 5 0 . 9

s 5 3 7 8 7 9 0 8 7 5 2 2 7 5 7 8 4 . 2 - 0 . 7

s 9 2 3 4 1 2 9 7 5 1 2 3 2 1 1 2 2 1 7 5 . 8 0 . 8

s 1 3 2 0 7 2 7 5 4 7 2 6 5 5 9 2 6 2 3 4 4 . 8 1 . 2

s 1 5 8 5 0 3 3 1 3 2 3 1 9 4 6 3 1 6 4 7 4 . 5 0 . 9

s t r u c t 3 8 1 6 3 4 9 9 3 7 8 0 0 . 9 - 8 . 0

b i o m e d 2 5 1 7 0 2 3 6 9 7 2 3 7 6 5 5 . 6 - 0 . 3

a v q s 6 2 8 2 4 5 9 0 7 5 6 2 8 9 0 - 0 . 2 - 6 . 4

a v q l 6 5 8 9 4 6 1 9 6 6 6 5 9 0 6 - 0 . 0 - 6 . 4

I m p r . 4 . 4 - 1 . 2

T a b l e 5 . H a l f p e r i m e t e r c o s t c o m p a r i s o n o f

G O R D I A N - L , D O M I N O a n d Q U A D .

p l e m e n t a t i o n s u p d a t e n e t c o s t v e c t o r s a c c o r d i n g t o v a r i o u s

s c h e m e s , e . g . , b a s e d o n t i m i n g a n a l y s i s t h a t i s i n t e r l e a v e d

w i t h t h e p a r t i t i o n i n g . T a b l e 6 s h o w s r e s u l t s c o m p a r i n g

o u r t i m i n g - d r i v e n p l a c e m e n t r e s u l t s w i t h t h o s e o f S P E E D

R E 9 5 . H e r e , D e l a y " a s o r t o f c y c l e t i m e " i s t h e m a x i -

m u m p a t h d e l a y b e t w e e n a n y p a i r o f s e q u e n t i a l l y a d j a c e n t

s t o r a g e e l e m e n t s i p - o p s . P a t h d e l a y s a r e c o m p u t e d u s -

i n g p i n p a r a s i t i c s a n d c e l l i n t r i n s i c d e l a y s f r o m t h e t i m i n g -

P R O U D l i b r a r y d a t a , a l o n g w i t h a c e n t r o i d - s t a r n e t m o d e l

a n d E l m o r e d e l a y f o r t h e i n t e r c o n n e c t . T h i s i s t h e s a m e d e -

l a y e v a l u a t i o n w i t h t h e s a m e i n t e r c o n n e c t p a r a s i t i c s u s e d

i n R E 9 5 , e x c e p t t h a t w e a p p l y f a c t o r s o f 1 2 i n t h e E l m o r e

d e l a y e x p r e s s i o n s t h a t w e r e n o t a p p l i e d i n R E 9 5 . W e s e e

t h a t t i m i n g - d r i v e n Q U A D T i m i n g - Q U A D " o u t p e r f o r m s

S P E E D b y a n a v e r a g e o f 3 i n t e r m s o f d e l a y w h i l e m a i n -

t a i n i n g a n a v e r a g e o f 4 7 l e s s M S T c o s t .

W e h a v e a l s o c o m p a r e d T i m i n g - Q U A D w i t h t h e T i m -

b e r W o l f s i m u l a t e d a n n e a l i n g b a s e d t i m i n g - d r i v e n p l a c e m e n t

p a c k a g e r e s u l t s o b t a i n e d f r o m S w a r t z S w a 9 6 o n t h e t h r e e

t e s t c a s e s f r a c t , s t r u c t a n d a v q s m a l l u s i n g t h e s a m e t e c h -

n o l o g y p a r a m e t e r s a s i n t h e p r e v i o u s e x p e r i m e n t . F o r e a c h

t e s t c a s e , T i m b e r W o l f u s e s d i e r e n t I O l o c a t i o n s , n u m b e r

o f r o w s a n d r o w l o c a t i o n s . T h u s , c o m p a r i s o n s w i t h T i m -

b e r W o l f i n v o l v e c o m p l e t e l y d i e r e n t Q U A D r e s u l t s f r o m

t h o s e o f T a b l e 6 . T h e T i m b e r W o l f c o m p a r i s o n w i t h T i m i n g -

Q U A D i s s h o w n i n T a b l e 7 ; t h e t w o p a c k a g e s s e e m v e r y

c o m p a r a b l e .

(a) QUAD (b) DOMINO

F i g u r e 9 . M a p o f a v q s m a l l p l a c e m e n t o v e r c o n -

g e s t i o n s w i t h r e s p e c t t o s u m o f h o r i z o n t a l a n d

v e r t i c a l d e m a n d s , f o r a Q U A D 0 8 o v e r -

c o n g e s t e d , a n d b D O M I N O 1 2 o v e r c o n -

g e s t e d .

T e s t T i m i n g - I m p r . v s .

C a s e M e a s u r e Q U A D S P E E D Q U A D S P E E D

f r a c t D e l a y 1 8 . 8 1 8 . 4 1 8 . 4 0

M S T x 1 0 0 3 8 0 4 3 3 4 4 2 - 2 . 1

C 1 9 0 8 D e l a y 1 9 . 8 1 9 . 9 1 8 . 4 7 . 9

M S T x 1 0 0 1 8 3 0 2 2 9 1 1 7 9 2 2 1 . 8

C 5 3 1 5 D e l a y 2 3 . 9 2 1 . 6 2 2 . 1 - 2 . 3

M S T x 1 0 0 6 1 8 5 6 7 6 3 6 4 5 4 4 . 6

C 6 2 8 8 D e l a y 6 4 . 5 6 1 . 4 6 1 . 6 - 0 . 3

M S T x 1 0 0 8 3 1 2 1 3 8 9 1 9 5 6 4 3 1 . 1

s 1 4 2 3 D e l a y 3 6 . 4 3 3 . 0 3 3 . 5 - 1 . 4

M S T x 1 0 0 2 2 6 5 2 9 0 7 3 1 1 4 - 7 . 1

s 1 4 8 8 D e l a y 9 . 5 1 1 . 9 9 . 2 2 2 . 3

M S T x 1 0 0 2 4 7 0 4 2 3 5 2 5 9 3 3 8 . 8

s t r u c t D e l a y 8 2 . 0 7 7 . 7 7 9 . 3 - 2 . 1

M S T x 1 0 0 4 2 9 6 5 5 2 1 5 2 4 4 5 . 0

b i o m e d D e l a y 3 0 . 7 2 9 . 7 2 9 . 3 1 . 4

M S T x 1 0 0 3 3 7 8 7 4 0 8 9 2 3 9 9 3 5 2 . 3

a v q s D e l a y 7 5 . 3 7 5 . 0 7 1 . 1 5 . 2

M S T x 1 0 0 9 5 8 6 7 9 8 0 9 4 1 0 2 4 3 5 - 4 . 4

a v q l D e l a y 9 3 . 3 7 6 . 7 7 6 . 9 - 0 . 3

M S T x 1 0 0 1 0 1 9 3 0 1 1 0 0 3 4 1 1 5 2 3 4 - 4 . 7

A v g . D e l a y 3 . 0

I m p r o v . M S T 4 . 7

T a b l e 6 . C o m p a r i s o n o f t i m i n g - d r i v e n Q U A D

a n d S P E E D .

R E F E R E N C E S

A H K 9 6 C . J . A l p e r t , L . W . H a g e n , a n d A . B . K a h n g . A

H y b r i d M u l t i l e v e l G e n e t i c A p p r o a c h f o r C i r c u i t

P a r t i t i o n i n g . " I n P r o c . A C M S I G D A P h y s i c a l

D e s i g n W o r k s h o p , p p . 1 0 0 1 0 5 , 1 9 9 6 .

A l p 9 6 C . J . A l p e r t . M u l t i - w a y G r a p h a n d H y p e r g r a p h

P a r t i t i o n i n g . P h D t h e s i s , U n i v e r s i t y o f C a l i f o r n i a ,

L o s A n g e l e s , 1 9 9 6 .

B C L 8 7 T . B u i , S . C h a u d h u r i , T . L e i g h t o n , a n d M . S i p s e r .

G r a p h B i s e c t i o n A l g o r i t h m s w i t h G o o d A v e r a g e

C a s e B e h a v i o r . " C o m b i n a t o r i c a 7 2 : 1 7 1 1 9 1 ,

1 9 8 7 .

B r e 7 6 M . A . B r e u e r . M i n - c u t P l a c e m e n t . " D e -

s i g n A u t o m a t i o n a n d F a u l t - T o l e r a n t C o m p u t i n g

1 4 : 3 4 3 3 6 2 , 1 9 7 6 .

B r e 7 7 M . A . B r e u e r . A C l a s s o f M i n - c u t P l a c e m e n t A l -

g o r i t h m f o r t h e P l a c e m e n t o f S t a n d a r d C e l l s . " I n

P r o c e e d i n g s o f t h e A C M I E E E D e s i g n A u t o m a -

t i o n C o n f e r e n c e , p p . 2 8 4 2 9 0 , 1 9 7 7 .

D D 9 6 a S . D u t t a n d W . D e n g . V L S I C i r c u i t P a r t i t i o n i n g

b y C l u s t e r - R e m o v a l U s i n g I t e r a t i v e I m p r o v e m e n t

T e c h n i q u e s . " I n P r o c e e d i n g s o f t h e I E E E A C M

I n t e r n a t i o n a l C o n f e r e n c e o n C o m p u t e r - A i d e d D e -

s i g n , p p . 1 9 4 2 0 0 , 1 9 9 6 .

D D 9 6 b S . D u t t a n d W . D e n g . V L S I C i r c u i t P a r t i t i o n i n g

b y C l u s t e r - R e m o v a l U s i n g I t e r a t i v e I m p r o v e m e n t


8/8

M a x I n t r i n s i c T i m i n g -

C a s e M e a s u r e P a t h D e l a y T W 7 . 0 Q U A D

f r a c t D e l a y 1 0 . 6 1 7 . 9 1 8 . 1

M S T x 1 0 0 3 4 9 3 4 7

s t r u c t D e l a y 4 0 . 0 7 8 . 8 7 9 . 3

M S T x 1 0 0 5 1 3 0 5 1 0 3

a v q s D e l a y 3 7 . 3 6 1 . 4 6 0 . 9

M S T x 1 0 0 4 6 7 6 3 4 7 1 5 3

T a b l e 7 . C o m p a r i s o n o f t i m i n g - d r i v e n Q U A D

a n d T i m b e r W o l f 7 . 0 .

T e c h n i q u e s . " I n P r o c . A C M S I G D A P h y s i c a l D e -

s i g n W o r k s h o p , p p . 9 2 9 9 , 1 9 9 6 . A l s o s e e c o r -

r e s p o n d i n g T e c h n i c a l R e p o r t , D e p t . o f E l e c t r i c a l

E n g i n e e r i n g , U . M i n n e s o t a .

D J A 9 4 K . D o l l , F . M . J o h a n n e s , a n d K . J . A n t r e i c h . I t -

e r a t i v e P l a c e m e n t I m p r o v e m e n t b y N e t w o r k F l o w

M e t h o d s . " I E E E T r a n s a c t i o n s o n C o m p u t e r -

A i d e d D e s i g n 1 3 : 1 1 8 9 1 2 0 0 , 1 9 9 4 .

D J S 9 4 K . D o l l , F . M . J o h a n n e s , a n d G . S i g l . I t e r a -

t i v e P l a c e m e n t I m p r o v e m e n t b y N e t w o r k F l o w

M e t h o d s . " I E E E T r a n s a c t i o n s o n C o m p u t e r -

A i d e d D e s i g n o f I n t e g r a t e d C i r c u i t s a n d S y s t e m s

1 3 1 0 : 1 1 8 9 1 1 9 9 , 1 9 9 4 .

D K 8 5 A . E . D u n l o p a n d B . W . K e r n i g h a n . A P r o c e -

d u r e f o r P l a c e m e n t o f S t a n d a r d C e l l V L S I C i r -

c u i t s . " I E E E T r a n s a c t i o n s o n C o m p u t e r - A i d e d

D e s i g n 4 1 : 9 2 9 8 , 1 9 8 5 .

F M 8 2 C . M . F i d u c c i a a n d R . M . M a t t h e y s e s . A L i n -

e a r T i m e H e u r i s t i c f o r I m p r o v i n g N e t w o r k P a r t i -

t i o n s . " I n P r o c e e d i n g s o f t h e A C M I E E E D e s i g n

A u t o m a t i o n C o n f e r e n c e , p p . 1 7 5 1 8 1 , 1 9 8 2 .

H H K 9 5 L . W . H a g e n , D . J . - H . H u a n g , a n d A . B . K a h n g .

O n I m p l e m e n t a t i o n C h o i c e s f o r I t e r a t i v e I m -

p r o v e m e n t P a r t i t i o n i n g A l g o r i t h m s . " I n P r o -

c e e d i n g s E u r o p e a n D e s i g n A u t o m a t i o n C o n f . , p p .

1 4 4 1 4 9 , 1 9 9 5 .

K L 7 0 B . W . K e r n i g h a n a n d S . L i n . A n E c i e n t

H e u r i s t i c P r o c e d u r e f o r P a r t i t i o n i n g G r a p h s . "

B e l l S y s t . T e c h . J . 4 9 2 : 2 9 1 3 0 7 , 1 9 7 0 .

K S J 9 1 J . M . K l e i n h a n s , G . S i g l , F . M . J o h a n n e s , a n d

K . J . A n t r e i c h . G O R D I A N : V L S I P l a c e m e n t b y

Q u a d r a t i c P r o g r a m m i n g a n d S l i c i n g O p t i m i z a -

t i o n . " I E E E T r a n s a c t i o n s o n C o m p u t e r - A i d e d

D e s i g n 1 0 3 : 3 5 6 3 6 5 , 1 9 9 1 .

L a u 7 9 U . L a u t h e r . A M i n - c u t P l a c e m e n t A l g o r i t h m f o r

G e n e r a l C e l l A s s e m b l i e s B a s e d o n a G r a p h R e p -

r e s e n t a t i o n . " I n P r o c e e d i n g s o f t h e 1 6 t h D e s i g n

A u t o m a t i o n C o n f e r e n c e , p p . 1 1 0 , 1 9 7 9 .

L e n 9 0 T . L e n g a u e r . C o m b i n a t o r i a l A l g o r i t h m s f o r I n t e -

g r a t e d C i r c u i t L a y o u t . W i l e y - T e u b n e r , 1 9 9 0 .

R E 9 5 B . M . R i e s s a n d G . G . E t t e l t . S P E E D : F a s t

a n d E c i e n t T i m i n g D r i v e n P l a c e m e n t . " I n P r o -

c e e d i n g s o f t h e I E E E I n t e r n a t i o n a l S y m p o s i u m

o n C i r c u i t s a n d S y s t e m s , p p . 3 7 7 3 8 0 , 1 9 9 5 .

S a n 8 9 L . A . S a n c h i s . M u l t i p l e - W a y N e t w o r k P a r -

t i t i o n i n g . " I E E E T r a n s a c t i o n s o n C o m p u t e r s

3 8 1 : 6 2 8 1 , 1 9 8 9 .

S a n 9 3 L . A . S a n c h i s . M u l t i p l e - W a y N e t w o r k P a r t i t i o n -

i n g w i t h D i e r e n t C o s t F u n c t i o n s . " I E E E T r a n s -

a c t i o n s o n C o m p u t e r s 4 2 2 2 : 1 5 0 0 1 5 0 4 , 1 9 9 3 .

S D J 9 1 G . S i g l , K . D o l l , a n d F . M . J o h a n n e s . A n -

a l y t i c a l P l a c e m e n t : A L i n e a r o r a Q u a d r a t i c

O b j e c t i v e F u n c t i o n ? " I n P r o c e e d i n g s o f t h e

A C M I E E E D e s i g n A u t o m a t i o n C o n f e r e n c e , p p .

4 2 7 4 3 2 , 1 9 9 1 .

S K 8 7 a P . R . S u a r i s a n d G . K e d e m . Q u a d r i s e c t i o n : A

N e w A p p r o a c h t o S t a n d a r d C e l l L a y o u t . " I n P r o -

c e e d i n g s o f t h e I E E E A C M I n t e r n a t i o n a l C o n -

f e r e n c e o n C o m p u t e r - A i d e d D e s i g n , p p . 4 7 4 4 7 7 ,

1 9 8 7 .

S K 8 7 b P . R . S u a r i s a n d G . K e d e m . S t a n d a r d C e l l P l a c e -

m e n t b y Q u a d r i s e c t i o n . " I n P r o c e e d i n g s I E E E

I n t l . C o n f . C o m p u t e r D e s i g n , p p . 6 1 2 6 1 5 , 1 9 8 7 .

S K 8 8 P . R . S u a r i s a n d G . K e d e m . A n A l g o r i t h m f o r

Q u a d r i s e c t i o n a n d I t s A p p l i c a t i o n t o S t a n d a r d

C e l l P l a c e m e n t . " I E E E T r a n s a c t i o n s o n C i r c u i t s

a n d S y s t e m s 3 5 3 : 2 9 4 3 0 3 , 1 9 8 8 .

S K 8 9 P . R . S u a r i s a n d G . K e d e m . A Q u a d r i s e c t i o n -

b a s e d C o m b i n e d P l a c e a n d R o u t e S c h e m e

f o r S t a n d a r d C e l l s . " I E E E T r a n s a c t i o n s o n

C o m p u t e r - A i d e d D e s i g n 8 3 : 2 3 4 2 4 4 , 1 9 8 9 .

S M 9 1 K . S h a h o o k a r a n d P . M a z u m d e r . V L S I C e l l

P l a c e m e n t T e c h n i q u e s . " C o m p u t i n g S u r v e y s

2 3 2 : 1 4 3 2 2 0 , 1 9 9 1 .

S S 9 3 W - J . S u n a n d C . S e c h e n . E c i e n t a n d E e c t i v e

P l a c e m e n t s f o r V e r y L a r g e C i r c u i t s . " I n P r o c e e d -

i n g s o f t h e I E E E A C M I n t e r n a t i o n a l C o n f e r e n c e

o n C o m p u t e r - A i d e d D e s i g n , p p . 1 7 0 1 7 7 , 1 9 9 3 .

S S 9 5 W . S w a r t z a n d C . S e c h e n . T i m i n g D r i v e n P l a c e -

m e n t f o r L a r g e S t a n d a r d C e l l C i r c u i t s . " I n P r o -

c e e d i n g s o f t h e A C M I E E E D e s i g n A u t o m a t i o n

C o n f e r e n c e , p p . 2 1 1 2 1 5 , 1 9 9 5 .

S t e 9 7 G . S t e n z . 1 9 9 7 . P e r s o n a l c o m m u n i c a t i o n .

S w a 9 6 W . S w a r t z , 1 9 9 6 . P e r s o n a l c o m m u n i c a t i o n .

T K 9 1 R . - S . T s a y a n d E . S . K u h . A U n i e d A p p r o a c h

t o P a r t i t i o n i n g a n d P l a c e m e n t . " I E E E T r a n s -

a c t i o n s o n C i r c u i t s a n d S y s t e m s 3 8 5 : 5 2 1 5 3 3 ,

1 9 9 1 .

T K H 8 8 R . - S . T s a y , E . S . K u h , a n d C . - P . H s u . P R O U D :

A S e a - o f - G a t e s P l a c e m e n t A l g o r i t h m . " I E E E D e -

s i g n & T e s t o f C o m p u t e r s 5 6 : 4 4 5 6 , 1 9 8 8 .