Glava 8

VIŠEDIMENZIONALNI KONTINUALNI SIGNALI

Višedimenzionani signali opisuju fizičke pojave koje zavise od dvije ili više nezavisnih varijabli. N-dimenzionalni signal je matematička funkcija N nezavisnih varijabli. Nezavisne varijable se zapisuju u obliku uređenih N -torki

( )1 2, , , Nt t t ili vektora [ ]1 2, , , T NNt t t= ∈t , gdje T označava operaciju

transponovanja. Shodno usvojenom stilu označavanja nezavisnih varijabli, N-dimenzionalni signal zapisujemo sa ( )1 2, , , Nx t t t ili ( )x t . N-dimenzionalni signal je kontinualan ako su sve njegove nezavisne varijable kontinualne. Ako su sve nezavisne varijeble diskretne i N-dimenzionalni signal je diskretan. Ukoliko su neke nezavisne varijable kontinualne a druge diskretne, kažemo da se radi o mješovitom N-dimenzionalnom signalu. Radi lakšeg pisanja u nastavku ćemo koristiti skraćenicu „ND“ za „N-dimenzionalni“.

GLAVA 8

282

U praksi su od posebnog značaja 2D i 3D signali. Slike su 2D signali koji opisuju promjenu svjetline u prostoru. Umjesto oznake ( )1 2,t t za nezavisne varijable češće se kod 2D signala koji opisuju prostornu zavisnot neke fizičke veličine koriste oznake ( )1 2,x x ili ( ),x y za nezavisne varijable, a sam signal

označava sa ( )1 2,f x x ili ( ),f x y . Kao primjere 3D signala možemo navesti 3D holografske slike i video signale. Za razliku od 3D slika koje su funkcije tri prostorne nezavisne varijable i najčešće označene sa ( ), ,f x y z , video signal je funkcija dvije prostorne i jedne vremenske nezavisne varijable, pa je pogodan način označavanja ( ), ,f x y t .

8.1 Osnovni višedimenzionalni signali

U analizi i obradi višedimenzionalnih signala značajnu ulogu imaju ND jedinični odskočni signal, ND pravougaoni impuls, ND Dirakov impuls, te ND eksponencijalni i sinusni signali. Posebnu klasu čine separabilni višedimenzionalni signali koji se formiraju u obliku proizvoda više 1D signala.

8.1.1 ND jedinični odskočni signal

ND jedinični odskočni signal se definiše sa:

( ) 1,0,

N

Nu +

−

∈= ∈

tt

t

, (8.1)

gdje je N+ skup vektora čije su sve komponente pozitivne, dok je N

− skup vektora čije su sve komponente negativne. Vrijednosti signala za vektore čija je bar jedna komponenta jednaka nuli nisu definisane.

2D jedinični odskočni signal je definisan sa:

i d

8

N

gd

priefin

8.1.

ND p

dje

ikaznisa

2

pra

je

zanane

N

avou

e

n nae.

ND

ugao

N+T

a S

D p

oni i

s

Slici

pra

imp

kup

Sl

i 8.

avo

puls

p v

lika

u

.1.V

oug

se

vekt

a 8.

(u x

Vrij

gao

def

p

tora

1

), y

edn

oni

fini

(p t

a č

2D

) =

nos

i im

še s

) =t

čije

D jed

1,0,

sti s

mp

sa:

1,0

su

din

x

x

sign

pul

,,t

t

u s

ničn

00

x

x

><

nala

ls

∈∈t

t

sve

ni od

00 y

∧∨

a z

N

NT

T

ko

V

dsk

y

y

><

a x

N

N+

−

,

omp

Više

kočn

00

><

x =

pon

edim

ni s

0 ∧

nent

men

sign

y∧ ≥

te

nzio

nal.

0≥

ogr

ona

i

rani

lni

x ≥

ičen

kon

0≥ ∧

ne

ntinu

y∧

tak

ualn

0=

ko

ni s

2

(8

0 ni

(8

da

siste

283

8.2)

isu

8.3)

je

emi

GLLAVA

28

it

og

čij

2D

Ox

de

A 8

84

<

gran

ja je

KD p

vaj0=

efin

,2

iT

niče

e ba

Kao ravo

p0∧

nisa

i =

ene

ar j

pouga

rav0 ≤ne.

1,2=

tak

edn

primaon

vougy ≥

2,

ko d

na k

mjei im

gaoY≥ ,

, N

da j

kom

er mpul

oni , x

,N T

e t

mpo

Nls d

p

imx X=

Slik

iT >

it >

one

ND defin

(p x

mpuX ∧

ka 8

0> ,

2iT>

enta

pnisa

),x y

uls 0∧ ≤

8.2

a

, i

a it

pravan s

)=

je y≤

2

1,=

0=

vousa:

1,

0,

prY≥

2D p

N−T

,2,

0 il

ugao

x

x

rikaY ,

pra

s

, N

li it

ono

x

x

<

>

azan0 ≤

avou

skup

,N

= ±

og

2

2

X

X

<

>

n nx≤ ≤

uga

p v

iT >

2iT±

im

∧

∨

na X≤

aon

vek

0>

ni

mp

y

y

<

>

SlicX ∧

ni im

ktora

. V

isu

puls

2

2

Y

Y

<

>

ci y =

mpu

a č

Vrije

def

a

.

8.20=

uls.

čije

edn

fini

po

2. Vi

e s

nost

isan

osm

Vrij0 ≤

u

ti si

ne.

matr

jednx≤ ≤

sve

ign

rajm

nosX≤

e k

ala

mo

sti X y∧

kom

za

k

sigy =

mpon

vek

kau

gnalY=

nen

kto

uzal

(8.

la ni

nte

ore

lni

.4)

za su

8

Nd

sa

2D

je

8.1.

ND ok

a os

∞

−∞ −

D D

e pr

3

Dije z

sob

∞

−∞

Dir

rika

N

irakza s

bino

∞

−∞

rako

azan

ND

kov isve

om

(tδ

ov im

n na

D D

impos

da

1 2,t t

mpu

a Sl

Dir

puls tale

je:

2 ,

uls d

−

lici

rak

je Ne vr

Nt

defi

∞ ∞

−∞ −∞

8.3

kov

NDrijed

)dt

finis

δ

(δ∞

∞

3.

v im

D sidno

1 2t dt

san

( ,xδ

( ,x y

Slik

mp

ignaosti

(δ

2

sa:

)y

)y d

ka 8

pul

al ki ve

( ) =t

Ndt

:

=

dxdy

8.3

ls

koji ekto

∞=

N =

,0,∞

y =

2D

zaora

,

0,

∞

0 0

0 0

+ +

− −

x

x

0 0

0 0

+ +

− −

D D

=tt j

=

≠

t

t

+

−

00

x

x

=≠

(δ+

−

Dir

0=

edn

0

0

=

≠

0

0

δ+

−

00

∧∨

,x y

rako

V

imnak

,

( 1tδ

y

y

=≠

)y d

ov i

Više

ma bk nu

2, ,t

00

=≠

,

dxdy

imp

edim

beskuli:

, t

,

y =

pul

men

kon

)Nt

1 ,

s.

nzio

načn

1dt d

ona

no

2dt

lni

vel

d

kon

liku

Ndt

ntinu

u vr

1=

ualn

rijed

.

ni s

2

dno

(8

(8

(8

(8

siste

285

ost,

8.5)

8.6)

8.7)

8.8)

emi

GLAVA 8

286

8.1.4 ND kompleksni eksponencijalni i sinusni signali

Kako bismo opisali ND kompleksne eksponencijalne signale, definišimo ND vektor kompleksnih učestanosti sa:

[ ]1 2, , , NNs s s= ∈s , (8.9)

gdje je , 1,2, ,i i is j i Nσ= + Ω = . Vektor ugaonih učestanosti je definisan sa:

[ ]1 2, , , NN= Ω Ω Ω ∈Ω . (8.10)

ND kompleksni eksponencijalni signal se definiše sa:

( )x Cα= stt , (8.11)

gdje su C i α u opštem slučaju kompleksne konstante. Za ,C α ∈ signal dat sa (8.11) postaje ND realni eksponencijalni signal. Primjer 2D realnog eksponencijalnog signala je dat sa:

( )

2 , 0 02 , 0 0

,2 , 0 02 , 0 0

x y

x y

x y

x y

x y

x yf x y

x y

x y

− −

− +

−

+

> ∧ > > ∧ <=

< ∧ > < ∧ <

, (8.12)

ND eksponencijalni signal:

( ) jx Ce= 0Ω tt (8.13)

je periodičan po svakoj nezavisnoj varijabli sa osnovnim periodom 00

2i

i

Tπ=

Ω.

Uz jC C e θ= (8.12) možemo zapisati u obliku:

( ) ( ) ( ) ( )cos sinjx C e C j Cθ θ θ+= = + + +0Ω t0 0t Ω t Ω t . (8.14)

Opšti oblik ND sinusnih signala je dat sa:

( ) ( )cosx C θ= +0t Ω t . (8.15)

Si2Dknp

ignD njizosm

nal dsin

zi kmat

dat nusnkortrat

sa nogrišćti ka

(8.g sieneao a

S

12)ignae napr

Slik

Sl

) prala.

numroks

ka 8

lika

rika N

merisim

8.4

a 8.

azanNapo

ičkemaci

2D

5

n jeome mije s

D e

Pri

e namenimetstva

eksp

imj

a Slimotodarni

pon

er 2

lici o d

de, ih k

nen

2D

8.4da ste

kon

ncija

sin

4, dsu sig

ntin

V

alni

nusn

dokpri

gnalnual

Više

i sig

nog

k je ilikole lnih

edim

gna

g si

na ompri

h sig

men

al (8

gna

Slim ge

kazgna

nzio

8.15

ala.

ici 8enezanala

ona

5).

8.5 erisae nkoj

lni

pranjana je p

kon

ikaza slslik

pred

ntinu

zanlikakamdsta

ualn

n pra uma avlj

ni s

2

rimu ov

treaju

siste

287

mjer voj eba u.

emi

GLAVA 8

288

8.1.5 Separabilni ND signali

Ako se višedimenzionalni signal može napisati u obliku proizvoda jednodimenzionalnih signala, takve višedimenzionalne signale nazivamo separabilnim signalima. U obradi višedimenzionalnih signala posebno su interesantni separabilni sinusni signali definisani sa:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 1 2 2, , , sin sin sinN N Nx t t t t t t= Ω Ω Ω . (8.16)

Realni i imaginarni dijelovi ND kompleksnih signala definisanih sa (8.13) sačinjeni su od separabilnih sinusnih signala. Pokazaćemo to na primjeru 2D signala:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ),

cos sin cos sin .

x y yxj x y j yj x

x x y y

f x y e e e

x j x y j y

Ω +Ω ΩΩ= = =

= Ω + Ω Ω + Ω (8.17)

Realni i imaginarni dijelovi ovog signala su dati sa:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )Re , cos cos sin sinx y x yf x y x y x y= Ω Ω − Ω Ω , (8.18)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )Im , sin cos cos sinx y x yf x y x y x y= Ω Ω + Ω Ω . (8.19)

Oblik 2D separabilnog sinusnog signala ( ) ( ) ( ), sin sinf x y x y= prikazan je na Slici 8.6.

Na sličan način se definiše separabilni sinc signal:

( ) ( ) ( ), sinc sincf x y x y= . (8.20)

Oblik 2D separabilnog sinc signala prikazan je na Slici 8.7.

Sl

S

lika

Slik

a 8.6

ka 8

6 S

8.7

Sep

Se

para

epa

abil

arab

lni

biln

2D

ni 2D

V

D sin

D s

Više

nus

sinc

edim

sni s

c sig

men

sign

gna

nzio

nal.

al.

ona

.

lni konntinuualnni s

2

siste

289

emi

GLAVA 8

290

8.2 Obrada višedimenzionalnih signala u vremenskom domenu

Višedimenzionalni kontinualni sistem transformiše višedimenzionalni kontinualni ulazni signal u višedimenzionalni kontinualni izlazni signal. Za ND sistem tu transformaciju zapisujemo sa:

( ) ( ) 1 2 1 2, , , ,N Ny t t t x t t t= T , (8.21)

ili kraće sa:

( ) ( ) y x=t tT , (8.22) odnosno:

( ) ( ) y x=t tT , (8.23)

Blok dijagram višedimenzionalnog kontinualnog sistema sa jednim ulazom i jednim izlazom prikazan je na Slici 8.8.

( )x t ( )y t T

Slika 8.8 Blok dijagram višedimenzionalnog kontinualnog sistema

sa jednim ulazom i jednim izlazom.

Višedimenzionalni sistem je linearan ako vrijedi da je:

( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 , ,ax bx a x b bx a b+ = + ∀ ∈t t t t T T T . (8.24)

Ako pomak ulaznog signala za vektor 0t uzrokuje samo pomak izlaznog signala za isti vektor, bez promjene oblika signala, kažemo da je višedimenzionalni sistem invarijantan na pomak. To formalno zapisujemo sa:

( ) ( ) ( ) ( )x y x y→ − → −0 0t t t t t t , (8.25)

a takve sisteme kratko zovemo LSI (Linear shift-invariant) sistemi.

Višedimenzionalni kontinualni sistemi

291

Višedimenzionalni sistemi se opisuju parcijalnim diferencijalnim jednačinama. Uz poznatu pobudu, odziv sistema je moguće odrediti njihovim rješavanjem.

Osim rješavanjem parcijalnih diferencijalnih jednačina, odziv LSI ND sistema sa impulsnim odzivom ( )1 2, , Nh t t t na pobudni signal ( )1 2, , Nx t t t se može odrediti koristeći višedimenzionalnu konvoluciju:

( )

( ) ( )

( ) ( )

1 2

1 2 1 1 2 2 1 2

1 2 1 1 2 2 1 2

, ,

, , , ,

, , , , .

N

N N N N

N N N N

y t t t

x h t t t d d d

h x t t t d d d

τ τ τ τ τ τ τ τ τ

τ τ τ τ τ τ τ τ τ

∞ ∞ ∞

−∞ −∞ −∞∞ ∞ ∞

−∞ −∞ −∞

=

= − − − =

= − − −

(8.26)

Kratko pišemo:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )y h x x h= ∗ = ∗t t t t t . (8.27)

Primjer konvolucije 2D signala prikazan je na Slici 8.9, pri čemu je rezultat konvolucije normalizovan po amplitudi.

8.3 Višedimenzionalni Furijeov red

Višedimenzionalni periodični signali mogu se razviti u višedimenzionalni Furijeov red, koji za ND signale ima oblik:

( )1 2

1 2

, , N

N

jk k k

k k k

x C e∞ ∞ ∞

=−∞ =−∞ =−∞

= 0kΩ tt , (8.28)

00

2i

iT

πΩ = , [ ]0 1 01 2 02 0, , , N Nk k k= Ω Ω ΩkΩ , sa koeficijentima:

( )01 02 0

1 201 02 0

1 ,N

j Nk N

N T T T

C x e dt dt dtT T T

−= ∈ 0kΩ tt k

. (8.29)

GLLAVA

29

Sl

8.

ZaFude

A 8

92

lika

.4

a anurijeefin

a 8.

V

nalieovu

niše

9

Viš

izu u tr

sa:

Pri

še

višransf:

imje

edi

šedisform

er k

me

imermac

X

(a

kon

en

enzciju.

(X Ω

)

nvo

nzi

zion N

) =Ω

oluc

on

nalnND

∞

−∞

=

cije

nal

nih di

∞

∞ −∞

2D

lna

neirek

∞

−∞

D sig

a F

perktna

(x∞

∞

gna

Fur

rioda i

( )et

(c)

ala:

rije

dičnin

je− Ω

)

(a,b

eo

nihnver

dtΩt

b) s

ova

sigrzn

1 2dt

sign

a tr

gnalna F

2

nali

ran

la kFur

Ndt

(

i; (c

ns

koririjeo

N ,

(b)

c) re

sfo

istimova

ezu

orm

moa tr

ultat

ma

o višran

t ko

cij

šedimsfo

onv

ja

imenorm

volu

nziomaci

(

ucij

onalija

(8.3

e.

lnu se

30)

Višedimenzionalni kontinualni sistemi

293

( )( )

( ) 1 21

2j

NNx X e d d d

π

∞ ∞ ∞

−∞ −∞ −∞

= Ω Ω Ω Ωtt Ω . (8.31)

ND Furijeova transformacija ima slične osobine kao 1D Furijeova transformacija. Njihovo razmatranje izlazi van okvira ove knjige. Naglasićemo samo da je prilikom odmjeravanja višedimenzionalnih sistema neophodno zadovoljiti Nikvistov kriterij tako da učestanost odmjeravanja signala po svakoj nezavisnoj varijabli it bude bar dva puta veća od odgovarajuće gornje granične učestanosti giΩ

spektra signalu. Ispunjenje ovog uslova garantuje idealnu

rekonstrukciju signala. Ako učestanost odmjeravanja označimo sa 2si

it

πΩ =Δ

,

pri čemu je itΔ korak odmjeravanja po nezavisnoj varijabli it , Nikvistov kriterij se može zapisati sa:

2si giΩ ≥ Ω . (8.32)

ND Furijeova transformacija omogućava obradu signala u ND frekvencijskom domenu. Označimo sa NDF ND Furijeovu transformaciju, a sa 1−NDF inverznu ND Furijeovu transformaciju. Neka je sistem za obradu ND signala sa impulsnim odzivom ( )h t pobuđen signalom ( )x t . Slično kao kod 1D signala, obrada ND signala u frekvencijskom domenu se provodi kroz sljedeći niz koraka:

( ) ( ) H h=Ω tNDF , (8.33)

( ) ( ) X x=Ω tNDF , (8.34)

( ) ( ) ( )Y H X=Ω Ω Ω , (8.35)

( ) ( ) 1y Y−=t ΩNDF . (8.36)

Frekvencijska karakteristika ND sistema se može izraziti kao:

( ) ( )( ) ( ) Y

H hX

= =Ω

Ω tΩ

NDF . (8.37)

Primjeri 2D neperiodičnih signala i njihovih amplitudnih spektara prikazani su na slikama 8.10-23.

GLLAVA

29

A 8

94

SSlika

Sl

a 8.

lika

.11

a 8.

A

10

Amp

2D

plit

D s

tudn

sign

ni s

nal

spe

pra

kta

avo

ar 2D

uga

D s

aon

sign

nog

nala

g ob

a sa

blika

a Sli

a.

ike 8.99.

SSlikaa 8.

Slik

.13

ka 8

A

8.12

Amp

2 2

plit

2D

tudn

D sig

ni s

gna

spe

al pi

kta

iram

ar 2D

V

mid

D s

Više

daln

sign

edim

nog

nala

men

g ob

a sa

nzio

blika

a Sli

ona

a.

ike

lni

8.1

kon

11.

ntinuualnni s

2

siste

295

emi

GLLAVA

29

A 8

96

Sllikaa 8.1

Sli

15

ika

A

8.1

Amp

14

plitu

2D

udn

D si

ni sp

ign

pek

nal v

ktar

valj

r 2D

kas

D si

stog

ign

g ob

nala

blik

sa

ka.

Slikke 8.13.

SSlikaa 8.

S

.17

Slika

A

a 8

Amp

.16

plit

2

tudn

2D

ni s

sign

spe

nal

kta

ku

ar 2D

V

upas

D s

Više

stog

sign

edim

g ob

nala

men

blik

a sa

nzio

ka.

a Sli

ona

ike

lni

8.1

kon

15.

ntinuualnni s

2

siste

297

emi

GLLAVA

29

A 8

98

SSlikka 88.19

Sli

9 A

ika

Am

8.1

mplit

18

tud

2D

dni

D G

spe

Gau

ekta

usov

ar 2

va f

2D

fun

Ga

nkci

auso

ija.

ovee fuunkccijee.

Sl

S

lika

Slika

a 8.2

a 8.

20

.21

2D

A

D s

Amp

ign

plit

nal f

tudn

form

ni s

mir

spe

ran

kta

od

ar 2D

V

d 2D

D s

Više

D G

sign

edim

Gau

nala

men

usov

a sa

nzio

vih

a Sli

ona

fun

ike

lni

nkc

8.1

kon

cija.

19.

ntinu

.

ualnni s

2

siste

299

emi

GLLAVA

30

A 8

00

Sllika

Slik

a 8.2

ka 8

23

8.22

A

2

Amp

2D

plitu

D sig

udn

gna

ni sp

al ek

pek

ksp

ktar

pon

r 2D

enc

D si

cijal

ign

lno

nala

og o

sa

obli

Slik

ika.

ke

8.21.

Višedimenzionalni kontinualni sistemi

301

8.5 Višedimenzionalna Laplasova transformacija

Za višedimenzionalne kontinualne signale definiše se direktna i inverzna višedimenzionalna Laplasova transformacija sa:

( ) ( ) 1 2 NX x e dt dt dt∞ ∞ ∞

−

−∞ −∞ −∞

= sts t , (8.38)

( )( )

( ) 1 21

2NN

x X e ds ds dsπ

∞ ∞ ∞

−∞ −∞ −∞

= stt s . (8.39)

Označimo sa NDL ND Laplasovu transformaciju, a sa 1−NDL inverznu ND Laplasovu transformaciju i posmatrajmo sistem za obradu ND signala sa impulsnim odzivom ( )h t na čiji ulaz je doveden signal ( )x t . Prelaskom u domen ND Laplasove transformacije, umjesto rješavanja parcijalnih diferencijalnih jednačina, traženje odziva ovog sistema se svodi na sljedeći niz koraka:

( ) ( ) H h=s tNDL , (8.40)

( ) ( ) X x=s tNDL , (8.41)

( ) ( ) ( )Y H X=s s s , (8.42)

( ) ( ) 1y Y−=t sNDL . (8.43)

Funkcija prenosa ND sistema se može izraziti kao:

( ) ( )( ) ( ) Y

H hX

= =s

s tsNDL . (8.43)