42513

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

42513

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

• Número infinito

• Funciones de densidad de probabilidad

42513

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Ejercicios

Si una variable aleatoria tiene la densidad de probabilidad

f(x) =

Determine las probabilidades de que adopte un valor

• entre 1 y 3• Mayor que 0.5

≤>−

00

02 2

xpara

xparae x

42513

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Solución

152.0

2

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

=−=

=

=

−

−

−

∫

∫

x

x

x

e

dxe

dxe

Entre 1 y 3 Mayor que 0.5

36.0

2

5.0

2

5.0

2

=−=

=

∞−

∞−∫x

x

e

dxe

42513

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Determine la media y la varianza de la densidad de probabilidad dada, teniendo en cuenta:

∫

∫∞

∞−

∞

∞−

−=

=

dxxfx

dxxfx

).()(

).(.

22 µσ

µ

42513

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Solución

19.021

21

22

2

2

)(

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

=

+−=

+

−=

=

=

=

−

−

−

−

∞

∞−

∫

∫

∫

xe

xx

e

dxxe

dxxe

dxxxf

x

x

x

x

µ

µ

µ

µ

µ

[ ]2383.0

2)19.0()19.0(2

2)19.0(

)()(

2

3

1

2222

3

1

22

2

=

+−=

−=

−=

∫

∫

∫

−

−

∞

∞−

σ

σ

σ

µσ

dxexx

dxex

dxxfx

x

x

42513

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Ejercicio

Determine K de tal forma que la siguiente función pueda servir como densidad de probabilidad de una variable aleatoria

>

≤=

− 0

00)( 24 xKxe

xxf

x

42513

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Solución

8

18

11

.8

18

8

4

)(

0

0

4

0

4

0

4

2

2

=

=

=−

=−=

==

=

=

∞−

∞

∞−

∞−

∫

∫

∫

k

k

ek

udxek

xdxdu

xu

dxxek

dxkxexf

u

x

x

42513

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

DISTRIBUCIÓN NORMAL• Densidad de probabilidad normal o

distribución normal

42513

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Distribución Normal estándar

• Uso de tablas

)(1)(

)()()(

zFzF

aFbFbzap

−=−−=<<

42513

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Ejercicio

• Determine las probabilidades de que una variable aleatoria con la distribución normal estándar adopte un valor

1. Entre 0.87 y 1.28

2. Entre -0.34 y 0.62

3. Mayor que 0.85

4. Mayor que -0.65

42513

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Solución

• 1.

0919.08078.08997.0

)87.0()25.1(

)28.187.0(

=−=−=

<<

P

FFP

zP

2.

3635.0)6331.01(7324.0

))34.0(1()62.0(

))34.0(1()34(

=−−=−−=

−=−

P

FFP

FP

42513

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

• 3.

197.0

)83.0(1

=−=

P

FP

• 4.

742.0))65.0(1(1

)65.0(1

=−−=−−=FP

FP

42513

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Variable aleatoria estandarizada

−−

−=≤≤

−

σµ

σµ

σµ

aF

bFbxap

aF

)(

42513

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Ejercicios

• Si el monto de radiación cósmica a la que se expone una persona al volar en avión por Colombia es una variable aleatoria con distribución normal y µ =4.35 mrem y σ= 0.59 mrem, determine las probabilidades de que el monto de radiación cósmica a la que se expondrá una persona en un viaje así sea de– Entre 4.00 y 5.00 mrem– Al menos 5.50 mrem

42513

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Solución

−−

−

−−

−=≤≤

59.035.44

59.035.45

)(

FF

aF

bFbxap

σµ

σµa.

b.

−−

59.035.45.5

1 F

42513

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

• El monto real de café instantáneo que una máquina de relleno deposita en frascos de 4 onzas puede considerarse una variable aleatoria con una distribución normal con σ=0.04 onzas. Si solo 2% de los frascos contienen menos de 4 onzas ¿Cuál debería ser el relleno medio de esos frascos?

42513

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

En cierta ciudad el número de interrupciones del suministro eléctrico por mes es una variable aleatoria con µ= 11.6 y σ= 3.3. Si la distribución puede aproximarse cercanamente con una distribución normal ¿Cuál es la probabilidad de que haya al menos 8 interrupciones en un mes cualquiera? (Ver gráfico del tablero).

42513

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Solución

• x=8 => # de cortes de la luz

• Aproximamos la v.a discreta a una v.a continua

21±x

[ ]8925.0))24.1(1(1

3.36.115.7

1

5.8,5.7

=−−=

−−

=

FFF

x

42513

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

APROXIMACIÓN NORMAL A LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

En este caso la media y la varianza son iguales a la distribución binomial

−−

−=≤≤

−

σµ

σµ

σµ

aF

bFbxap

aF

)(

42513

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Ejercicio

• Si 20% de los chips de memoria RAM fabricados en cierta planta son defectuosos ¿Cuáles son las probabilidades de que en un lote de 100 aleatoriamente seleccionadas para su inspección – Cuando mas 15 sean defectuosos– Exactamente 15 sean defectuosos

42513

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Solución

• P=0.2• n=100• x=v.aleatoria discreta

• x=[14.5 - 15.5]

4)1(

20.

=−

==

−

pnp

pn

aF

σµ

σµ

21±x

42513

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

• a.

• b.

1314.0

)12.1(1)12.1(

4205.15

=−=−

=

−

FF

F

0461.0

)37.1(11314.0

4205.14

4205.15

=+−=

−−

−

F

FF