1

PROIECT DE ACTIVITATE DIDACTICĂ INSTRUCTIV—FORMATIV

Unitatea de învăţare : INDUCŢIA MATEMATICĂ

Aria curriculară : Matematică si Ştiinţe.

Tipul unităţii de învăţare : Dobândire de noi cunoştinţe.

Timpul de lucru : 4 ore.

Scopul temei: Dezvoltarea interesului pentru învăţarea inducţiei

matematice si aplicarea acesteia în contexte variate. Rezolvarea

problemelor variate cu ajutorul raţionamentului inducţiei

matematice.

Competenţe generale :

C1. Identificarea datelor si relaţiilor tipului de propoziţii matematice

si corelarea lor în contextul definiţiei.

C2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural,

contextual din enunţurile propoziţiilor matematice.

C3. Utilizarea algoritmilor si conceptelor din propoziţiile matematice

pentru caracterizarea locală sau globală a unei situaţii concrete.

C4. Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative

ale unei situaţii concrete deduse cu ajutorul raţionamentului

inducţiei matematice.

C5. Analiza si interpretarea caracteristicilor matematice ale unei

situaţii- problemă.

C6. Modelarea matematică a unor contexte problematice variate,

prin integrarea cunoştinţelor din diferite domenii.

2

Competenţe specifice:

C1. Diferenţierea problemelor în funcţie de numărul de soluţii

admise.

C2. Identificarea tipului de formulă de numărare adecvată unei

situaţii - problemă date.

C3. Utilizarea unor formule matematice în raţionamente de tip

inductiv.

C4. Exprimarea caracteristicilor unor probleme în scopul simplificării

modului de numărare .

C5. Interpretarea unor situaţii problemă cu conţinut practic cu

ajutorul raţionamentului inducţiei matematice.

C6. Alegerea strategiilor de rezolvare a unor situaţii practice în scopul

optimizării rezultatelor.

Obiective operaţionale (acele competenţe dobândite de către elevi la

sfâşitul lecţiei predate ):

O1- elevii vor fi capabili să identifice o situaţie problemă care poate fi

transpusă intr-un limbaj matematic adecvat;să înţeleagă formularea

unei propoziţii matematice (unui adevăr matematic) dependentă de

o variabilă n, număr natural 1,2,3,…,n,n+1,….

3

O2- să selecteze din mulţimea datelor culese, informaţii relevante

pentru rezolvarea de probleme;

O3 – să manifeste interes pentru folosirea tehnologiei informaţiei în

studiul matematicii;

O4 – să identifice corect propoziţia matematică dependent de un

număr natural oarecare n;

O5 - să realizeze valabilitatea unei propoziţii matematice de la

particular la general;

O6 – aplicaţie practică: să folosească corect toate ipotezele

propoziţiei matematice , până la un moment dat pentru a trece la

pasul următor;

Strategii de instruire didactică :

S1 - strategie deductivă prin descoperire semidirijată frontal

combinată cu activitatea de grup, pe baza unui conţinut structurat

pe parcurs ;

S2 - inductiv- analogică pe baza unor procedee de tip explicativ

investigative, semidirijate frontal si combinate cu activitatea de grup

prin metoda mozaicului;

S3 – strategie algoritmic –analogică , respectiv analogic - deductivă

pentru rezolvarea independentă şi individuală a itemilor propuşi

pentru evaluarea şi realizarea feed - backului printr -un test .

4

Forme de evaluare :

1) Observare sistematică – se realizează pe parcursul lecţiei prin

răspunsurile pe care le dau elevii la intrebări şi în rezolvarea

problemelor propuse, analizând volumul şi calitatea cunoştinţelor

însuşite, gândirea logică a elevilor şi posibilitatea de sinteză,

abilitatea aplicării cunoştinţelor în practică, expunerea logică a

ideilor, modul de participare al elevilor la lecţie.

2) Evaluare prin aplicarea unui test prin diverse forme de

activitate, evaluare formativă-fisă de muncă independentă,

lucrul pe grupe.

Momentul organizatoric este realizat prin verificarea prezenţei

elevilor şi condiţiilor optime de desfăşurare a lecţiilor.

În una din ore trebuie să fie necesară prezenţa unui retroproiector şi

a unui computer, sau prezenţa într-un laborator de informatică.

Anunţarea temei şi a obiectivelor este foarte importantă pentru

evenimentul captării atenţiei elevilor, şi anume profesorul subliniază

scriind pe tablă, ce se propune pentru această lecţie.

Pentru a capta atenţia elevilor se poate începe cu câteva sublinieri

din partea unor mari matematicieni pentru raţionamentul inducţiei

matematice. Spre exemplu matematicianul Miron Nicolescu spunea

că “ Principiul inducţiei complete constituie unul din cel mai puternic

raţionament de demonstraţie în matematică”.

Acest raţionament apare pentru prima dată la Pascal folosindu-l în

demonstrarea formulei combinărilor pe care-l descrie astfel:

5

“ Deşi această propoziţie conţine infinit de multe cazuri, voi da o

demonstraţie foarte scurtă care presupune două Leme. Prima Lemă

afirmă că pentru prima linie propoziţia este adevarată. Lema a doua

afirmă că dacă propoziţia se dovedeşte adevarată pentru o linie

oarecare atunci propoziţia este valabilă şi pentru linia următoare”.

Sigur putem spune că este o variantă apropiată de studiul inducţiei

de astăzi.

Scurt istoric. Prima demonstraţie prin inducţie matematică apare

pentru progresii aritmetice în cartea “al-Fakhri” scrisă de al Karaji în

jurul anului 1000 IH. Proprietăţi ale triunghiului lui Pascal sunt de

asemenea demonstrate aici.

Nici unul dintre matematicienii antichităţii nu au considerat principiul

inducţiei matematice ca de sine stătător.

Prima prezentare explicită apare în lucrarea Arithmeticorum libri duo

(1575) a lui Francesco Maurolico care demonstrează că suma

primelor n numere impare este n 2 . Formularea principiul inducţiei

matematice apare în lucrarea lui Pascal Traité du triangle

arithmétique (1665).

Apoi prin Fermat, Jacob Bernoulli principiul inducţiei este extins, folosit în demonstraţii. Secolul al XIX-lea aduce studiul sistematic al acestui principiu în logica matematică prin matematicienii George Boole, Charles Sanders Peirce, Giuseppe Peano şi Richard Dedekind.

6

Astăzi metoda inducţiei matematice este aplicată în cele mai variate probleme de matematică, devenind un instrument uzual si eficace.

Modalitatea de a obţine cunoştinţe ştiinţifice noi, din cele deja cunoscute o constituie raţionamentul inducţiei matematice.

Raţionamentul deductiv , adică raţionamentul demonstrativ al inducţiei face trecerea de la general la particular.

Rezultatele obţinute sunt certe însă au un caracter particular.

Raţionamentul inductiv (unul din raţionamentele plauzibile) are marea importanţă pentru faptul că ne conduce pe baza unor situaţii particulare cunoscute la concluzii generale, care ar putea însă să nu fie adevărate.

Principiul inducţiei matematice constă în a demonstra că o propoziţie P(n) este adevărată pentru orice număr natural n dacă se verifică condiţiile:

1) propoziţia este adevărată pentru n=n0. 2) Presupunând că propoziţia este adevărată pentru un n=k

oarecare se demonstrează că propoziţia este adevărată pentru n=k+1. Acesta fiind efectiv pasul de inducţie şi de altfel cel mai important. Pe scurt: scriem că P(k) P(k+1).

Astfel putem face afirmaţia că propoziţia este adevărată pentru orice număr natural n aplicând raţionamentul inducţiei matematice.

Aplicaţie:

Celebra Sumă a lui Gauss, care a făcut înconjurul lumii !!

7

Carl Friedrich Gauss(39 Aprilie 1777-23 Februarie 1855),

este considerat cel mai mare matematician, geniu, după Arhimede.

Cartea care a intemeiat teoria modernă a numerelor este:

” Disquitiones Arithmeticae” publicată în anul 1801. Suma Gauss este atribuită lui Gauss, copil fiind, acest rezultat matematic fiind cunoscut încă din antichitate în China prin numerele triunghiulare n(n+1):2. Acest număr este egal cu un număr de puncte format din triunghiuri echilaterale alegând pe laturile sale un număr de puncte care formează alte triunghiuri echilaterale.

P(n): 1+2+3+...+n =

, .

Conform raţionamentului suntem siguri că proprietatea poate fi adevarată dacă verificăm primul pas al inducţiei pentru n=1, anume

Dacă P(1) este adevărată: 1 =

, astfel 1=1.

Trecem la pasul de inducţie P(k) P(k+1).

Vom scrie pentru început cine este P(k), înlocuind n=k în propoziţia dată P(n) obţinem:

P(k): 1+2+3+...+k =

, pentru orice k .

Demonstrăm în continuare că pentru n=k+1 propoziţia este adevărată:

P(k+1): 1+2+3+...+k+(k+1)=

.

Conform presupunerii că P(k) este adevărată vom studia membrul

stâng din P(k+1) : 1+2+3+...+k+(k+1) =

+(k+1) =

.

8

Astfel am demonstrat că P(k+1) este adevărată. Conform metodei inducţiei matematice P(n) este adevărată pentru orice n .

Aplicaţie:

Pentru o mai bună inţelegere se lucrează cu elevii suma pătratelor

numerelor naturale.

P(n): 12+22+32+...+n2 =

, .

Verificare: P(1): 12=

1=

adevărat.

Presupunem că P(k): 12+22+32+...+k2 =

este adevărată.

Demonstrăm că P(k+1): 12+22+32+...+k2+(k+1)2 =

este adevărată.

Vom considera membrul stâng al propoziţiei P(k+1) si vom arăta că

12+22+32+...+k2+(k+1)2 =

+ (k+1)2 =

= (k+1)

=(k+1)

=

.

Astfel am demonstrat că si P(k+1) este adevărată. Conform metodei inducţiei matematice P(n) este adevărată pentru orice n .

Exerciţiu pentru elevi ar putea fi considerat exemplul sumei cuburilor a n numere naturale, şi anume

P(n): 13+23+33+...+n3 =

2 . Astfel ne asigurăm că

elevii au inţeles cu siguranţă raţionamentul inducţiei matematice.

OBSERVATIE

9

Subliniem faptul că nu este permis şi corect să formulăm

demonstraţia astfel: presupunem că pentru orice n

propoziţia P(n) este adevărată şi să arătăm că în această ipoteză este

de asemenea adevărată şi propoziţia P(n+1) pentru orice n ,

pentru că în acest caz presupunerea că oricare ar fi n , P(n) este

adevarată, este chiar concluzia.

Ca aplicaţii ale inducţiei matematice în aritmetică putem alege câteva

probleme de divizibilitate.

PROBLEMA 1.

Să se arate că numărul 2n +1 nu se divide cu 7 pentru orice n număr

natural.

PROBLEMA 2.

Determinaţi toate numerele naturale n care indeplinesc condiţia că

2n -1 se divide cu 7.

PROBLEMA 3.

Arătaţi că +13 se divide cu 15 dacă n este număr natural impar.

PROBLEMA 4.

Arătaţi ca 7n-1 este multiplu de 6 pentru orice n .

PROBLEMA 5.

Arătaţi ca 72n+1+1 este multiplu de 8 pentru orice n număr natural.

PROBLEMA 6.

10

Arătaţi că 4n+15n-1 este multiplu de 9 pentru orice n .

Soluţie:

Fie P(1): 4+15-1=18 multiplu de 9.

Presupunem că P(k): 4k+15k-1 este multiplu de 9.

Demonstrăm că P(k+1): 4k+1+15(k+1)-1 este multiplu de 9.

Fie 4k+1+15(k+1)-1 = 4·4k+15k+15-1 = 3·4k+4k+ 15k+15-1 =

=( 4k+15k-1)+3·4k+15 = =( 4k+15k-1)+3·(4k+5)

Demonstrăm că (4k+5)este multiplu de 3 aplicând tot raţionamentul

inducţiei matematice, si anume:

P(1): 4+5 = 9 adevărată, adică 9 este multiplu de 3.

Arătăm că P(k) P(k+1). Adică dacă P(k) este adevărată atunci si P(k+1): 4k+1+5 este multiplu de 3, ceea ce arată că P(k+1) este adevărată. Avem astfel 4·(4k+5) = 4k+1+20 = (4k+1+5)+15 care este multiplu de 3. Astfel am demonstrat că şi P(k+1) este adevărată. Conform metodei inducţiei matematice P(n) este adevărată pentru orice n .

PROBLEMA 7.

Arătaţi că 3n≥n3 pentru orice număr natural n≥3.

PROBLEMA 8.

Arătaţi că 2n≥n2 pentru orice număr natural n≥4.

PROBLEMA 9.

Arătaţi că 2n≥n4 pentru orice număr natural n≥16.

11

ATENTIE Nu orice inegalitate se poate demonstra prin inducţie

matematică datorită suficienţei:

Fie P(n):

.

Avem P(k):

adevărată şi studiem dacă

P(k+1):

este adevărată.

Adunând la P(k):

cu

rezultă că

+

ceea ce contrazice P(k+1).

Observăm că există situaţii în care ipoteza de inducţie nu poate fi

construită în aşa fel incât să poată fi folosită în demontraţii pentru

anumite inegalităţi.

INDUCŢIA TARE- VARIANTE ALE INDUCŢIEI

MATEMATICE

Inducţia tare, reprezintă o noţiune adesea folosită pentru a desemna

un raţionament echivalent inducţiei standard, în care ipoteza de

inducţie pentru o singură variabilă este inlocuită cu cea în care se

presupun adevarate mai multe astfel de propoziţii.

Astfel gândim că P(n0) este adevarată, verificând că această

propoziţie este adevărată pentru n=n0. Demonstrăm apoi că dacă

propoziţia este adevarată pentru orice număr natural m mai mic sau

12

egal cu n (n0≤m≤n). Atunci propoziţia este adevărat şi pentru n+1.

Rezultă că propoziţia este adevarata pentru orice n≥n0.

EXEMPLU 1

Fie relaţia an+1= 3an – 2an-1 ; a1= 3; a2=5

Demonstraţi că an= 1+2n,pentru orice n≥1.

SOLUŢIE Verificăm relaţiile pentru n=1: a1=1+2=3. a2= 1+22=5.

Presupunem că relaţia este adevărată pentru orice număr k≤n şi

demonstrăm că pentru k=n+1 este îndeplinită relaţia an+1= 1+2n+1;

Într-adevăr avem că an+1= 3an – 2an-1 = 3(1+2n)-2(1+2n-1)=

= 3+3·2n-2-2·2n-1=1+2n-1(3·2-2)=1+2n-1·4=1+2n+1. Q.E.D.

EXEMPLU 2

Pentru orice număr natural n avem Z .

SOLUŢIE Verificăm relaţiile pentru n=1:

P(1): Fie x1=2+ si x2=2- rezultă că x1+ x2 = 4 si x1· x2=-1 Z .

Astfel formez ecuaţia de gradul al doilea cu rădăcinile x1 şi x2

X2 - 4x-1 = 0. Înmulţind aceasta cu x1k-1 si cu x2

k-1 obţinem următoarele

relaţii: X1k+1 - 4x1

k - 1 = 0 ; X2k+1 - 4x2

k - 1 = 0 ;

Arătăm că P(k) P(k+1). Adică dacă P(k) este adevărată atunci şi

P(k+1) este adevărată.

13

Fie x1k+1 + x2

k+1 = 4·( x1k + x2

k)+2 dar cum am presupus că

x1k+1 + x2

k+1 Z rezultă că şi x1k+1 + x2

k+1 Z.

INDUCŢIA MATEMATICĂ ÎN GEOMETRIE

1. Problemă clasică (Probleme neelementare tratate

elementar, M.Yaglom, I.Yaglom): Planul este împărţit

într- un număr de regiuni prin n drepte. Să se arate că

regiunile pot fi colorate cu roşu şi negru astfel încât oricare

două regiuni învecinate (având un segment sau o

semidreaptă comună sunt colorate diferit.

Rationamentul de trecere la o dreapta suplimentară în care

de o parte a ei se schimbă culorile poate fi uşor înţeles de

către copii în inducţia de la 2 la 3, de la 4 la 5, chiar şi în cazul

general.

2. Problemă

Numărul maxim de regiuni în care planul poate fi împărţit prin n

drepte este egal cu

+1.

Pentru a demonstra această afirmaţie facem apel la metoda inducţiei

matematice, considerând ca propoziţie

P(n): „ n drepte împart planul în cel puţin

+1 ”.

Verificarea primei propoziţii constă în

P(1): pentru n=1 avem că o dreaptă împarte planul în

+1=2 regiuni.

14

Presupunem că proprietatea este adevărată pentru n=k, şi astfel

avem P(k): „ k drepte împart planul în

+1 regiuni”.

Adăugăm o dreaptă în plan,care să nu fie paralelă cu celelalte,

suficient de departe astfel încât să intersecteze toate cele k drepte.

Astfel avem încă k+1 regiuni.

Rezultă aşadar că avem în

+1 +(k+1) regiuni.

3. Problema

Să se demonstreze că un număr n de plane,care trec printr-un singur punct O, astfel incât

oricare trei dintre ele nu trec prin aceeaşi dreaptă, împart spaţiul în Rn = n(n-1)+2 regiuni.

Verificare

P(1): n=1, R1=1(1-1)+2=2 (orice plan împarte planul în 2 regiuni).

O

P

T

Q

15

Demonstratie

Presupunem că P(k) : Rk = k(k-1)+2 este adevărat şi demonstrăm

pentru n=k+1; adică arătăm că cele n+1 plane,care satisfac

condiţia din problemă împart spaţiul în Rk+1 = k(k+1)+ 2 regiuni.

- Notăm cu P planul al (n+1) –lea care trece prin O. Acesta va intersecta cele

n plane după n drepte care trec prin O,

- rezultă că planul P va fi impărţit după 2n regiuni,care reprezintă un unghi

din planul P cu vârful în O.

- primele n plane care trec prin O împart spaţiul în unghiuri poliedre.

Pe unele dintre acestea,planul P le împarte în două,iar faţa comună a celor 2

regiuni astfel formate,este regiunea din P,formată de cele 2 semidrepte

determinate de P cu feţele unghiului poliedru,deci cu unul dintre cele 2n

unghiuri formate, în planul Pnr. unghiurilor poliedre pe care le împarte în

două părţi P nu poate fi mai mare de 2n (relaţia 1)

-Fiecare din cele 2n regiuni ale lui P este faţă comună a două unghiuri

poliedre pe care le formează planul P atunci când împarte pe unele unghiuri

poliedre formate de primele n plane.

Deci nr.unghiurilor poliedre pe care planul P le împarte nu poate fi mai mic

de 2n (relaţia 2).

Din relaţiile 1 si 2 rezultă că numărul unghiurilor poliedre pe care le împarte

P este 2n

Deci:

2 2

1 ( 1) 2 2 2 2 2 ( 1) 2nR n n n n n n n n n n

16

Este adevarată Rn = n(n-1)+2 adev. n≥ 1, n N.

4. Problemă

Să se demonstreze că pentru orice număr natural n, n≥6 un pătrat

poate fi împărţit în n pătrate.

Soluţie: Se verifică ipoteza de inducţie pentru n=6,7,8, adică verificăm

dacă P(6), P(7), P(8) sunt adevărate.

Demonstrăm pasul de inducţie, adică implicaţia P(n) P(n+3).

Presupunând făcută împărţirea în n pătrate, unul dintre ele se

împarte în patru pătrate egale şi se obţin în acest fel n+3 pătrate.

Astfel implicaţia P(n) P(n+3) este adevărată şi conform

raţionamentului inducţiei matematice P(n) este adevărată pentru

orice număr natural n≥6.

INDUCTIA MATEMATICA ÎN GIMNAZIU

• Raţionamentul inductiv face necesară corelarea cercetării prin

inducţie cu raţionamente demonstrative care probează

valabilitatea rezultatului GHICIT prin inducţie matematică.

Miron Nicolescu scria : “ Principiul inducţiei complete

constituie unul din cele mai puternice mijloace de

demonstaţie în matematică “

17

• Pe de o parte putem obţine demonstraţii perfect corecte

pentru valori concrete ale lui n, iar pe de altă parte elevul

poate extrapola rezultatul şi demonstraţia în cazul general.

Pentru elevii din clasele V, VI un astfel de raţionament

deductiv, folosind pasul de inducţie matematică general este

greu de înţeles, dar putem folosi pentru demonstraţii situaţii

particulare de trecere de la pasul n la pasul n+1 pentru n

natural mic, adică pentru valori concrete ale lui n.

Aceste raţionamente sunt greu de explicat în situaţii algebrice

*identităţi, inegalităţi*,dar în anumite probleme de combinatorică

sau aritmetică pot fi inţelese în cazuri numerice

• Inducţia matematica poate fi simţită ca mod de demonstraţie

de copii, în special în formule de numărare şi probleme ce nu

necesită cunoştinţe algebrice.

• Experienţa arată că pasul de la 2 la 3, de la 3 la 4, … poate să- i

convingă pe copii că aceeaşi metodă funcţionează pentru orice

trecere şi că rezultatul devine astfel valabil.

• Numărul de permutări a unei mulţimi cu 2,3,4,5,…elemente.

• Numărul de aranjamente de câte 2,3,4,5 al unei mulţimi cu 6, 7

elemente.

• Numărul de combinări de câte 2,3,4,5 al unei mulţimi cu 6, 7

elemente.

18

Concluzii referitoare la aplicarea metodei

inducţiei matematice

OBSERVAŢII METODICE:

1.Trebuie imprimată convingerea că metoda inducţiei

matematice complete este o metodă puternică de

demonstraţie aplicabilă în toate domeniile matematicii.

2. O serie de probleme considerate cu un grad sporit de

dificultate, probleme de tip OIM, apreciate ca non-standard

sunt rezolvabile destul de uşor prin metoda inducţiei

matematice.

3. Este necesar că propoziţia matematică P(n) să fie clar

formulată, deoarece o serie de probleme fac posibilă alegerea

mai multor ipoteze de inducţie optând pentru cele în care

demonstraţia este mai simplă .

4. Există uneori tendinţa ca prima etapă de verificare să fie

neglijată, fiind foarte simplă. Trebuie ca elevii să fie deprinşi a

acorda aceeaşi importanţă ambelor etape, întrucât P(n0) se

pote dovedi falsă. Uneori etapa de verificare poate fi partea

dificilă a raţionamentului, sau cea importantă.

5. Inducţia există şi în alte ştiinţe, nu întotdeauna rezultatele

fiind adevărate. Astfel trebuie dat importantă egală ambelor

etape distincte: etapei de verificare şi etapei de demonstraţie

(pasul de inducţie).

6. Este necesar ca elevilor sa le fie prezentate probleme

matematice demonstrate prin raţionamentul inducţiei

matematice din cât mai multe ramuri ale matematicii şi cât mai

variate pentru a sesiza diversitatea aplicării raţionamentului şi

19

necesitatea reţinerii de către elevi şi a altor variante de

demonstrare ale metodei.

7. Se subliniază elevilor faptul că raţionamentul inducţiei

matematice este demostrabil în situaţia în care există o situaţie

logică care permite trecerea de la un pas la următorul, de la n la

n+1.

8. Există o serie de propoziţii matematice care depind de

numărul natural n, care nu pot fi demonstrate prin inducţie

matematică , de exemplu:

Problema dată la concursul tip OIM –

Calăraşi 2008

• Se dau numerele raţionale a_1, a_2,…, a_n

• Cu proprietatea că suma lor şi produsul a oricăror două este

număr întreg. Arătaţi că toate numerele sunt întregi.

• Comentariu : pentru n=2, este un exerciţiu de divizibilitate

abordabil pentru copiii din clasele V, VI. Trecerea de la două

numere la trei numere exemplifică cele afirmate în preambul.

• Putem considera două numere a=a_1,b=a_2+a_3. Acestea

verifică ipoteza pentru două numere. Din cazul respectiv rezultă

că a_1 si a_2 +a_3 sunt întregi. Plecând analog cu numerele

20

a_1+a_2 si a_3 rezultă că acestea sunt întregi. Este un exerciţiu

de rutină pentru copii să deducă de aici că toate cele trei

numere sunt întregi.

• Se poate continua cu acest raţionament inductiv pentru

n=4,5,6,…Răspunsul copiilor în astfel de situaţii a fost foarte

bun.

TEST (clasa a IX-a)

Subiectul Nr.1 (2 puncte)

Demonstraţi că suma 1+3+5+7+…+(2n-1) este un pătrat perfect pentru .

Subiectul Nr.2 (2 puncte)

Arataţi că un poligon convex cu n laturi are

diagonale, ,

Subiectul Nr. 3 (2 puncte)

Demonstraţi că pentru orice număr natural nenul n este adevărată

egalitatea: 1+5+52 +5

3+…+5

n

.

Subiectul Nr. 4 (2 puncte)

21

Arătaţi că numărul 5·23n-2 + 33n-1 este multiplu de 19, .