UNIDAD 1: LOS NÚMEROS REALES
1.1 La recta numérica.
1.2 Los números reales.
1.3 Propiedades de los números reales.
1.4 Intervalos y su representación
mediante desigualdades.
1.5 Resolución de desigualdades de primer grado con
una incógnita y de desigualdades
cuadráticas con una incógnita.
1.6 Valor absoluto y sus propiedades. 1.7 Resolución de
desigualdades que incluyan valor
absoluto.
1.1. LA RECTA NUMERICA
A. DEFINICIÓN:
Es un dibujo unidimensional de una línea en la que los
números enteros son mostrados como puntos especialmente marcados
que están separados uniformemente.
B. REPRESENTACIÓN:
Esta dividida en dos mitades simétricas.
Números negativos cero Números
positivos
C. APLICACIÓN:Todos los números pueden ordenarse en una recta numérica.
De esta manera, podemos determinar si un numer es mayor o menor que otro, dependiendo del lugar que ocupa en la recta numérica.
Para señalar el número de plantas de un edificio en el
ascensor.
Utilizamos números negativos para las plantas que están por debajo
de cero, es decir, para los sótanos o plantas subterráneas.
Los niveles por debajo del nivel del mar se pueden expresar por números
enteros negativos.
Para medir altitudes.
Se considera 0 el nivel del mar
los niveles por encima del mar se pueden expresar
por números enteros positivos
Para medir temperaturas.
1.2. LOS NÚMEROS REALES
A. DEFINICIÓN: Es la unión de los números racionales e irracionales.
B. CLASIFICACIÓN:
Números naturales (N): Es cualquiera de los números 0, 1, 2, 3... Que se pueden usar para contar elementos o cosas.
N= {0, 1, 2, 3,..}
Números enteros (Z): Cuando se necesita restar, se obtienen a partir de los naturales añadiendo los opuestos para la operación de suma.
Z= {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,..}
Cuando un numero se puede escribir en forma fracción. Los racionales se obtienen a partir de los enteros añadiendo los inversos para la multiplicación.
Números racionales (Q)(fraccionarios, o quebrados):
Q= {... 1/2, 5/3, 8/10, 238476/98745, 4.1515......}
2
No pueden representarse en forma fraccionaria. Se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales que no siguen ningún patrón repetitivo.
Números irracionales (I):
C. REPRESENTACIÓN:
De esta manera hemos completado la recta numérica, asociando a cada
punto de ella un número real.
D. APLICACIÓN:Los números reales pueden representar
cualquier medida tal como:
El precio de un producto
La altitud (positiva o negativa) de un lugar geográfico
La densidad de un átomo o la
distancia de la más lejana de las
galaxias.
Por ejemplo:
En economía
En informática
En matemática
s
En física En ingeniería
1.3. PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES
(PROPIEDAD DE ORDEN)
1.3.1. TRICOTOMÍAA. DEFINICIÓN:
Es una división en tres partes. Es una propiedad de vital importancia para la matemática.
Para dos números reales cualquiera, a y b, sólo se cumplirá una de las siguientes
afirmaciones:
A. DEFINICIÓN: 1.3.2. TRANSITIVIDAD
Relación binaria R sobre un conjunto A es transitiva cuando siempre un elemento se relaciona con otro y este último con un tercero.
Si a es mayor que b, y b es mayor que c, entonces, a es
mayor que c.
A. DEFINICIÓN: 1.3.3. DENSIDAD
Asimismo la recta numérica permite visualizar que dado dos números racionales siempre es posible encontrar otro comprendido entre los números dados. Esta propiedad es característica de los números racionales y se denomina Densidad.
Los números racionales e irracionales son densos en la recta real, ya que todo número tiene vecinos racionales e irracionales cercanos a él.
Ejemplo: √2=1,1.4,1.41,1.412…….
A. DEFINICION:
1.3.4 AXIOMA DEL SUPREMO
Todo conjunto no vacío y acotado superiormente posee un supremo.
1.4. INTERVALOS Y SU REPRESENTACIÓN MEDIANTE
DESIGUALDADES.
A. DEFINICIÓNDESIGUALDADES: Resolver una desigualdad es encontrar el conjunto de todos los números reales que hace que sea verdadera.
Nombre Símbolo Definición Representación grafica
Intervalo Abierto
(a,b)
Intervalo cerrados
[a,b]
Intervalos Semiabierto
s
(a,b]
[a,b)
IntervalosInfinitos
(a,∞)
[a,∞)
INTERVALOS ABIERTOSREPRESENTACIÓN
NOTACIÓN DEL CONJUNTO
NOTACIÓN DEL INTERVALO
(𝒂 ,𝒃)
𝒂<𝒙<𝒃
INTERVALOS CERRADOSREPRESENTACIÓN
NOTACIÓN DEL CONJUNTO
NOTACIÓN DEL INTERVALO
[𝒂 ,𝒃]
𝒂≤ 𝒙≤𝒃
Intervalos semiabiertos por la
izquierdaSon los abiertos por la
izquierda y cerrados por la derecha:
Intervalos semiabiertos por la
derechaSon los cerrados por la izquierda y abiertos por la
derecha:
(𝒂 ,𝒃)
¿ES CORRECTO ESCRIBIR?
INTERVALOS INFINITOS
REPRESENTACIÓN
por la izquierda abierto
por la derecha abierto
por la derecha cerrado
por la izquierda cerrado
REPASO
< menor que
> mayor que
≤ menor que o igual que
≥ mayor que o igual que
EJEMPLOS
5x
652 431 7
(5,∞)
EJEMPLOS
7x652 431 7
(-∞,7)
EJEMPLOS
-1-2-5 -3-4-6 0
2p
(-∞,-2]
EJEMPLOS
8x763 542 8
[8,∞)
1.5 RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES DE PRIMER
GRADO CON UNA INCOGNITA Y DESIGUALDADES CUADRATICAS
CON UNA INCOGNITA.
A. DEFINICIÓN DESIGUALDAD DE PRIMER GRADO.
Es todo enunciado abierto que tiene el signo > ó <, con una sola variable y con exponente 1.
ax + b > cax + b < c
w + 5 < 8w + 5 + (-5) < 8 + (-5)
w + 0 < 3
w < 3
w + 5 < 8
w + 0 < 3
w < 3
-5 -5
0 1 2 3-20 -15 -10 -5-25 4 5
3
B. DEFINICIÓN DESIGUALDAD CUADRATICA CON UNA
INCOGNITA.Una inecuación de segundo grado con una incógnita es cualquier desigualdad que,
directamente o mediante transformaciones de equivalencia, se pueden expresar de una de las
formas siguientes:
ax2+bx+c>0 ax2+bx+c<0ax2+bx+c ≥0ax2+bx+c ≤ 0
x²+ x-2 < 0
0 1 2 3-4 -3 -2 -1-5 4 5
(x-1)(x+2)< 0
(x-1)= 0
x<1
(x+2)=0
x< -2
Formula general
???
1.6. VALOR ABSOLUTO Y SUS PROPIEDADES
Valor absoluto de un número entero es el número natural que sigue al
signo. Se indica poniendo el número entero entre barras.
El valor absoluto está relacionado con las nociones de:
Matemáticos y físicos
Magnitud
Distancia
Formalmente, el valor absoluto o módulo de todo número
real está definido por:
Nota: Estos casos solamente los podrás utilizar si el valor de “b” es un numero natural positivo.
1.7. RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES QUE
INCLUYAN VALOR ABSOLUTO
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