109

CAPITOLUL IV

UNDE ELASTICE

IV. 1. Unde elastice

Producerea unei unde elastice se poate realiza numai dac exist dou elemente

principale si anume, sursa de oscilatii si mediul elastic de propagare.

Sursa de oscilatii poate fi constituit dintr-o varietate de sisteme fizice.

Ca surse de oscilatii putem considera:

- coardele vocale care genereaz sunetul vocii umane;

- interactiunea plcilor tectonice ale scoartei pmntului (originea undelor seismice);

- atractia Lunii si a Soarelui determin undele care se propag n oceanul planetar

(mareele);

- o coard elastic pus n stare de vibratie;

- instrumentele muzicale.

Mediul elastic de propagare a undelor elastice reprezint un mediu continuu format din

particule materiale (atomi, ioni, molecule), ntre care se exercit forte elastice. De regul, orice

form de agregare cunoscut: solid, lichid, gazoas sau plasm poate fi considerat ca mediu

elastic.

Din exemplificrile asupra celor dou elemente ale producerii undei elastice se observ

c ele sunt indispensabile si nu pot exista dect simultan.

De exemplu: dac exist sursa de oscilatii dar nu exist mediul elastic, nu apare unda

elastic; un clopotel situat sub un vas de sticl vidat nu produce sunet deoarece nu exist mediu

elastic (aerul).

Pe Lun nu pot fi transmise sunetele de la un cosmonaut la altul deoarece nu exist

atmosfer

ns poate exista si fenomenul invers, s fie mediu elastic dar fr surs de oscilatie:

- suprafata linistit a unui lac;

- ntr-o pdure iarna cnd exist o liniste absolut.

n concluzie unda elastic apare numai dac exist sursa de oscilatie (perturbatia) si

mediul elastic de propagare.

110

Sursa de oscilatii (perturbatii) transmite prin mediul elastic miscarea sa oscilatorie

particulelor materiale din jurul su si n contact direct cu el. Aceste particule transmit la rndul

lor miscarea oscilatorie particulelor nvecinate si astfel, din aproape n aproape, oscilatiile

provenite de la surs se propag prin mediul elastic sub form de unde elastice.

De aceea, undele elastice reprezint un proces fizic dup care perturbatia (sursa de

oscilatii) se propag ntr-un mediu elastic prin interactiune continu si din aproape n aproape a

particulelor materiale ale mediului elastic respectiv. Aceast propagare continu are loc cu o

vitez finit numit vitez de propagare a undelor elastice, iar localizarea n timp si spatiu se

refer la sursa de oscilatii.

Ceea ce se propag prin mediul elastic este miscare oscilatorie si nu particulele

materiale care efectueaz oscilatii locale, adic unda elastic transmite energie si impuls.

Se cunoaste faptul c starea de echilibru se realizeaz cnd valoarea energiei potentiale

este minim. O perturbatie a mediului elastic (surs de oscilatii) conduce la o crestere a

energiei potentiale si implicit la o stare de dezechilibru a sistemului. Propagarea oscilatiilor

prin mediul elastic sub form de unde elastice explic tendinta sistemului spre o valoare

minim a energiei potentiale, adic spre o nou stare de dezechilibru.

IV. 2. Clasificarea undelor elastice

Aceast clasificare consider att elemente proprii undei elastice dar si elemente

caracteristice mediului de propagare.

Se defineste front de und locul geometric al punctelor din mediul elastic intrate n

miscare oscilatorie n acelasi moment.

Se defineste suprafat de und locul geometric al punctelor care sunt la un moment dat

n aceeasi faz de oscilatie.

Definitiile arat c exist un singur front de und si o infinitate de suprafete de und.

ntr-un mediu elastic izotrop si omogen viteza de propagare a undelor elastice fiind

aceeasi n toate directiile, frontul si suprafetele de und devin sfere concentrice cu centrul n

sursa de oscilatie.

Considernd o directie de propagare n spatiu a undelor elastice care s treac prin

centrul sursei de oscilatie, ansamblul fenomenelor oscilatorii dup aceast directie constituie

raz de und.

Se defineste raz de und dreapta perpendicular pe suprafata de und ntr-un punct

dat, orientat de la surs spre exterior n sensul propagrii undei.

111

n medii neomogene si anizotrope forma initial a suprafetei de und nu se mentine

constant n timp si spatiu, se deformeaz datorit propagrii undei cu viteze diferite si pe

directii diferite prin mediul elastic.

n medii omogene si izotrope unde perturbatia se propag cu aceeasi vitez n toate

directiile frontul de und coincide cu suprafata de und. Forma suprafetelor de und depinde

att de propriettile mediului elastic ct si de geometria sursei de oscilatii.

Geometria sursei de oscilatii clasific undele elastice n unde plane si unde sferice.

Unde plane . Dac geometria sursei de oscilatie este plan atunci suprafetele

(fronturile) de und sunt plane si este definit tipul de und plan. Cnd perturbatia se propag

ntr-o singur directie, ntr-un mediu omogen si izotrop, la un moment dat, n orice plan

perpendicular pe directia de propagare fronturile de und sunt plane iar razele de und sunt

linii drepte, paralele, perpendiculare pe fronturile de und. Distanta dintre fronturile de und

consecutive este egal cu lungimea de und. (Fig. IV. 1)

Modelul matematic n 3D pentru unde plane are expresia:

( ) ( )tzKyKxKcoskAjAiA)t,z,y,x(y zyxzyx w-++++= (IV. 1) sau

( )( )tzKyKXKcosA)t,z(y

tzKyKXKcosA)t,x(y

zyxz

zyxx

w-++=

w-++= (IV. 2)

Vectorul de und are mrimea K si directia paralel la directia de propagare a undei.

Undele plane nu pot fi produse direct deoarece sursa de oscilatii ar trebui s fie plan si

infinit ceea ce nu se poate realiza.

De aceea, se consider c pot fi obtinute din unde sferice ntr-o zon deprtat n spatiu

fat de sursa de oscilatii, adic la distant suficient de deprtat de surs undele sferice devin

unde plane.

112

Unde sferice. Dac geometria sursei de oscilatie este punctiform sau sferic atunci

suprafetele (fronturile) de und sunt sfere concentrice iar undele poart denumirea de unde

sferice. n acest caz perturbatia se propag n toate directiile de la surs, razele de und sunt

drepte radiale care ies din sursa de oscilatie n toate directiile. (Fig. IV. 2)

Tipul de und sferic are ca model matematic n 3D expresia:

( )trKcosrA

)t,r(y r w-= (IV. 3)

unde:

r este distanta radial de la surs;

Kr este vector de und dup directia radial.

La o distant destul de mare de sursa de oscilatii, razele de und au valori mari, curbura

suprafetelor se micsoreaz, adic fronturile de und au o curbur mic si pot fi considerate ca

fronturi de und plan; undele sferice se transform n unde plane. Att undele plane ct si cele

sferice sunt de volum, adic perturbatia se propag n ntreg mediul elastic.

Moduri de propagare a undelor elastice

Modurile de propagare se definesc n functie de dou directii: directia de oscilatie a

particulelor materiale si directia de propagare a undelor elastice. n aceast consideratie,

distingem urmtoarele moduri de propagare:

- modul de propagare longitudinal (unde longitudinale);

- modul de propagare transversal (unde transversale);

- modul de propagare la suprafat (unde de suprafat);

- modul undelor de plac.

Modul de propagare longitudinal

Directia de oscilatie a particulelor materiale este paralel cu directia de propagare a

undelor. n Fig. IV. 3, este reprezentat schematic procesul de propagare a unei unde

113

longitudinale. La momentul initial (t=0) cnd perturbatia este absent toate particulele

mediului elastic ocup pozitii de echilibru egal deprtate ntre ele. O perturbatie cu viteza v

aplicat particulei din punctul O, dup un timp t=T/4, se va gsi la o distant egal cu

amplitudinea oscilatiei A. n acest moment viteza particulei este nul si sub actiunea fortelor

elastice dintre particule, acestea vor cpta o acceleratie ndreptat spre pozitia de echilibru. n

acelasi moment particula din O1, aflat n pozitia de echilibru va avea viteza v, iar dup un

timp t=T/2 particula din O va reveni n pozitia de echilibru cu viteza v ns de sens contrar. Tot

n acest timp T/2 particula din O1 va avea elongatia maxim A, iar particula din O2 aflat n

echilibru va avea viteza v. Dup un timp 3T/4 particula din O va avea elongatia maxim A,

particula din O1 va fi n pozitia de echilibru, particula din O2 va avea elongatia maxim A iar

particula din O3 va primi viteza v. Dup un timp egal cu o perioad t=T, particula din O va

ajunge din nou n pozitie de echilibru si procesul de propagare se repet.

Analiznd n fiecare moment pozitia particulelor se observ c acestea prezint cnd o

rarefiere cnd o comprimare, adic se poate afirma c undele longitudinale sunt constituite din

comprimri si dilatri succesive ale mediului elastic.

Deci, ceea ce se propag prin unde elastice este faza de oscilatie iar particulele

mediului oscileaz numai n jurul pozitiei lor de echilibru cu o elongatie maxim A. Undele

longitudinale se pot propaga prin solide, lichide sau gaze.

Modul de propagare transversal

Este modul n care directia de oscilatie a particulelor este perpendicular pe directia de

propagare a undelor. Figura IV. 4 reprezint schematic procesul de propagare a undei

transversale. Aparitia unei perturbatii de jos n sus, face ca la momentul t=0 particula din O s

capete o vitez v. Pentru momentele de timp urmtoare t=T/2, t=3T/4, t=T, procesul de

114

oscilatie si de propagare este acelasi ca la undele longitudinale numai c deplasarea (oscilatia)

particulelor are loc pe vertical de jos n sus sau de sus n jos, iar directia de propagare a

undelor este pe orizontal.

Modul de propagare transversal se propag numai n solide si nu n fluide, deoarece

fortele elastice dintre particule sunt foarte slabe iar perturbatia aprut ntr-un loc al mediului

se transmite prin mpingeri succesive.

Mai sugestiv, aceste moduri de propagare sunt reprezentate n Fig. IV. 5 a pentru unde

longitudinale si n Fig. IV. 5 b pentru unde transversale.

115

Undele longitudinale si transversale prin proprietatea lor de a se propaga prin ntreg

mediul elastic sunt definite ca unde de volum.

Unde de suprafat (unde Rayleigh) sunt undele care se propag la suprafata mediului

elastic fr a ptrunde n interiorul lui. Se admite c energia perturbatiei este concentrat pe o

adncime de numai o lungime de und de la suprafata mediului. Aceste unde dau o miscare

compus particulelor de la suprafata mediului constituit din unde longitudinale si unde

transversale. n acelasi moment, la aparitia perturbatiei particulele descriu si o traiectorie

eliptic, mai nti o elips dextrogir iar apoi levogir n raport cu direc eliptic, mai nti o

elips dextrogir iar apoi levogir n raport cu directia de propagare a undei elastice. Undele de

suprafat sunt unde bidimensionale si atenuarea lor este mult mai mic dect a undelor de

volum. (Fig. IV. 6)

Unde de plac (undeLamb) sunt unde care apar n plci n locul undelor transversale,

cnd grosimea plcii este comparabil cu lungimea de und a undelor elastice. Particulele

mediului descriu o miscare eliptic ntr-un plan perpendicular pe directia de propagare a

frontului de und si apar n plci sub forma a dou unde simetrice si asimetrice. Detectarea

undelor Lamb este dificil deoarece undele reflectate n plac cad nclinat pe suprafata

acesteia, deplasarea fiind functie de unghiul de incident si de frecvent.

Modurile de propagare descrise mai sus sunt cele mai frecvente moduri care apar n

examinarea nedistruciv a materialelor.

116

IV. 3. Caracteristicile undelor elastice

Spatiul (mediul elastic) din jurul sursei de oscilatii strbtut de unde elastice se numeste

cmp de unde, iar dac este vorba de unde sonore definim cmpul sonor sau cmp acustic. n

propagarea lor printr-un mediu elastic, undele elastice se caracterizeaz prin frecvent, vitez

de propagare si lungime de und.

Frecventa notat f, reprezint numrul de oscilatii pe secund. Unitatea de msur

este Hz (hertz) si prezint ca multipli: 1KHz=103Hz; 1 MHz=106Hz; 1GHz=109Hz.

n functie de frecvent undele elastice se clasific n:

- unde infrasonore (infrasunetele) avnd frecvente cuprinse ntre 0 si 20 Hz (0

117

Lungimea de und, notat l, reprezint distanta msurat pe raz ntre dou puncte

consecutive care prezint aceeasi faz de oscilatie. Aceast distant variaz cu frecventa si

cuviteza de propagare a undelor elastice prin material:fv

vT ==l

Existenta lungimii de und arat c unda elastic este periodic n timp, adic:

( )

-+w=

-w

vx

TtsinAvx

tsinA (IV. 4)

de unde

p-

-+w=

-w 2

vx

Ttvx

t

iar prin deschiderea parantezelor:

p-w-w+w=w-w 2vx

Ttvx

t

wp=p=w 2T2T (IV. 5)

si periodic n spatiu, adic:

l+-w=

-w

vx

tsinAvx

tsinA (IV. 6)

de unde

p+

l+-w=

-w 2

vx

tvx

t

cu

p+wl-w-w=w-w 2vv

xt

vx

t

adic:

vTfv

f2v2v2

2v

==pp=

wp=lp=wl (IV. 7)

unde v este viteza de propagare a undei elastice.

Numrul de und reprezint numrul de lungimi de und cuprins pe o distant de

2p , adic:

vvf2

vT22

Kw=p=p=

lp= (IV. 8)

118

Vectorial, numrul de und K (sau vectorul de und) se defineste prin relatia:

= nKK (IV. 9)

unde n - este vectorul unitate orientat n sensul propagrii undei elastice, normal pe suprafata

de und n punctul atins de und.

Faza undei elastice defineste argumentul (unghiul) functiei trigonometrice armonice

care descrie elongatia undei, de forma:

-w=f

vx

t)t,x( (IV. 10)

Dac n expresia sursei de oscilatie exist si faz initial constant j0, atunci expresia

fazei undei elastice este:

0vx

t)t,x( j+

-w=f (IV. 11)

dac propagarea undei se face dup directia OX.

Dac unda elastic se propag n sensul versorului n dus din punctul P (Fig. IV.7)

atunci un punct oarecare P )r(

cu vectorul de pozitie -r de pe aceeasi suprafat de

und va avea aceeasi faz si aceeasi elongatie la un moment dat cu cea din punctul P(x), adic:

)P()'P( f=f (IV. 12)

sau

-w=f=f

vx

t)t,x()t,r(

119

dar din figura IV. 7 se observ c:

-=a= nrcosrx (IV. 13)

si deci:

vTnr2

tv

nrt

vx

tt,r

- p-w=w-w=w-w=

f

sau

--w=

lp-w=

f rKtnr2tt,r (IV. 14)

unde

lp= n2K - vector de und.

n procesul de propagare a undelor plane, suprafetele de und sunt suprafete de faz

constant si deci:

ctrKt =-w--

sau dup axa OX, avem:

ctKxt =-w (IV. 15)

Se defineste viteza de faz ca fiind viteza de propagare a fazei cu relatia:

dtdx

vf = (IV. 16)

iar din conditia constantei fazei se obtine:

0Kdxdt =-w (IV. 17)

sau

vf

v

T2T2

Kdtdx

v ff ==l=

ppl=w== (IV. 18)

deci viteza de faz a unei unde plane monocromatice este egal cu viteza undei.

Din conditia invariantei fazei aplicat pentru un moment t+dt ntr-un punct x+dx,

obtinem:

120

( ) ( ) ( ) KdxKxdttdxxKdttdtt,dxx --w+w=+-+w=++f

iar dup aranjarea termenilor:

( ) ( ) KdxdtKxtdtt,dxx -w+-w=++f

sau

( ) ( ) ( ) ( )t,xdtdtt,xdtKvdtt,xdtt,dxx f f=w-w+f=-w+f=++f

deci:

( ) ( )t,xdtt,dxx f=++f (IV. 19)

care explic invarianta undei plane monocromatice.

IV. 4. Ecuatia diferential a undelor elastice

Considerm ecuatia undei plane de forma general:

-w=

-w=

f

---rnKtsinArKtsinAt,r (IV. 20)

care se propag ntr-un mediu elastic omogen si izotrop ntr-o directie oarecare.

Expresia --

rn este produs scalar avnd coordonatele

=++ rnznynxn zyx (IV. 21)

cu 1nnnn 2z2y

2x

2 =++= si

++= kzjyixr

Vom efectua derivatele partiale de ordinul 1 si 2 ale acestei functii

f

t,r n raport cu

vectorul -r si cu timpul t.

Vom obtine:

121

fw-=

-ww-=

f

-ww=

f

f-=

-w-=

f

-w-=

f

f-=

-w-=

f

-w-=

f

f-=

-w-=

f

-w-=

f

-

--

--

--

222

2

2z

22z

22

2

z

2y

22y

22

2

y

2x

22x

22

2

x

rnKtsinAt

rnKtcosAt

nKrnKtsinnAKz

rnKtcosAKnz

nKrnKtsinnAKy

rnKtcosAKny

nKrnKtsinnAKx

rnKtcosAKnx

Adunnd derivatele de ordinul doi pentru coordonate obtinem:

( ) f-=++f-=

f+

f+

f 22z

2y

2x

22

2

2

2

2

2KnnnK

zyx (IV. 22)

deoarece: 1nnn 2z2y

2x =++ .

Din derivata partial temporal functia f are relatia:

2

2

2 t

1

fw

-=f (IV. 23)

si introdus n expresia (IV. 19) se obtine:

0t

K

zyx 2

22

2

2

2

2

2

2=

f

w-

f+

f+

f (IV. 24)

dar cum v1K =

w, se obtine n final:

0tv

1

zyx 2

2

22

2

2

2

2

2=

f-

f+

f+

f (IV. 25)

122

care reprezint ecuatia diferential a undelor elastice dup coordonate.

Folosind operatorul lui Laplace D:

2

2

2

2

2

2

zyx

+

+

=D

se obtine:

0tv

12

2

2=

f-fD (IV. 26)

unde K

vw= este viteza de propagare a undei elastice.

IV. 6. Mrimi caracteristice undelor elastice

IV. 6. 1. Viteza undelor longitudinale ntr-un mediu elastic solid finit

S considerm o bar elastic (corp solid)omogen si izotrop caracterizat prin

modulul de elasticitate longitudinal (modulul lui Young) E, de densitate n absenta perturbatiei

(a undei elastice) r0 si de sectiune transversal S0 n aceleasi conditii.

Aplicnd legea lui Hooke:

00E

SF

l

lD= (IV. 27)

cu notatiile 0SF=s - ca fiind tensiunea elastic, iar

0llD=e - ca fiind deformarea, obtinem:

e=s E (IV. 28)

sau dup axa OX:

)t,x(x

E)t,x(

f=s (IV. 29)

unde f (x, t) este definit n expresia (IV. 17).

Se delimiteaz din volumul barei un element infinitezimal de mas dm si de volum dV,

considerate n stare perturbat datorit undei elastice n directia OX. n noua stare perturbat,

densitatea devine r, sectiunea transversal S, iar tensiunea elastic se modific cu ds. n acest

caz forta rezultant elementar care actioneaz asupra elementului infinitezimal considerat se

exprim astfel:

s= SddF

si n cazul unor perturbatii mici:

123

s= dSdF 0 (IV. 30)

Din principiul al II-lea al dinamicii:

dmt

admdF2

2

f== (IV. 31)

cu

dxSdVdm 000 r=r=

Considerm o comprimare a perturbatiei si atunci:

dxSt

dS 002

2

0 r

f=s

dxt

d2

2

0

fr=s

dar cum dxx

d s=s atunci:

2

2

0tx

fr=s

(IV. 32)

Din legea lui Hooke scris mai sus:

2

2

tE

x

f=s

(IV. 33)

si nlocuind, se obtine:

2

2

0

2

txE

fr=

f

sau

0tEx 2

20

2

2=

fr

-

f (IV. 34)

Comparnd aceast relatia cu ecuatia diferential a undelor elastice (IV. 23) obtinem

expresia vitezei undelor longitudinale ntr-un mediu elastic solid finit.

0f

Ev

r= (IV. 35)

Relatia arat c viteza de propagare a undelor longitudinale depinde numai de cei doi

parametri caracteristici mediului elastic solid si anume de modulul de elasticitate E si de

densitatea mediului.

124

IV. 6. 2. Energia undelor elastice

O und care se propag printr-un mediu elastic posed o energie care este

nmagazinat sub form de energie cinetic a particulelor mediului elastic (Wc) si de energie

potential a cmpului fortelor elastice (Wp).

Astfel, lucrul mecanic al fortelor elastice defineste energia potential:

==-=2

KydyKdyFWp

2

ye (IV. 36)

unde K constanta elastic a mediului, y deformatia absolut, iar Fe=-Ky forta elastic.

Se defineste densitatea de energie ca fiind energia total raportat la unitatea de volum

a mediului elastic n starea neperturbat.

000 VWp

Wp;VWc

Wc;VW

W ===

sau:

2

u

V2

uV

V2

um

VWc

Wc;2

umWc

20

0

200

0

20

0

20 r=

r==== (IV. 37)

si pentru densitatea de energie potential:

0

2

V2Wp

Wp;2

KyWp ==

Din legea lui Hooke

00

yEE

SF

ll

l =D=

sau

vuy

;SF

cuE0

==e=se=sl

unde u este viteza particulelor mediului, iar v viteza longitudinal de propagare a undelor

elastice.

tiind 20

0

0

EVESK

ll== iar 0y le= atunci 2

EV2

EV

2Ky

Wp2

0

20

2

0

02 e=

e==

l

ldar cum

0

2 Evr

= atunci:

125

2

u

v

u2

vWp

20

2

20

2 r=

r= (IV. 38)

Deci densitatea momentan de energie total este:

202

02

0 u2

u

2

uWpWcW r=

r+

r=+= (IV. 39)

dar ecuatia undei )Kxtsin(Ay -w= - dup directia de propagare si viteza

)Kxtcos(Ayu.

-ww= , deci densitatea de energie total este de forma:

)Kxt(cosAW 2220 -wwr= (IV. 40)

Densitatea medie de energie total se obtine prin integrarea pe o perioad a densittii

momentane, adic:

0222

2max0

220T

0

2220

T0

T0

2220

Af22

uT

Adt

2)Kxt(cos1

TA

dt)Kxt(cosT

Adt)t(W

T1

W

rp=r

=wr

=-w+wr

=-wwr==

-

(IV. 41)

adic densitatea medie a energiei totale este direct proportional cu ptratul frecventei (f2) si cu

ptratul amplitudinii (A2).

IV. 6. 3. Fluxul de energie al undei elastice

Fluxul de energie al undei elastice reprezint energia care traverseaz n directia

normal o suprafat dat n unitatea de timp, adic:

dtdW=F

sau dW=WdV=WdS dl=WdS v dt, deci:

=F SdvW (IV. 42)

IV. 6. 4. Intensitatea undei elastice

- reprezint energia care traverseaz n directie normal unitatea de suprafat n

unitatea de timp

WvdSd

dSdtdW

i =F==

126

sau

)Kxt(cosvAvui 22202

0 -wwr=r= (IV. 43)

care reprezint valoarea intensittii momentane a undei.

IV. 6. 5. Intensitatea medie a undei elastice

Intensitatea medie reprezint valoarea medie a intensittii momentane a undei, adic:

r=

wr=-w+

wr=

=-wwr=r==

T0

2max0

220

220

T0

T0

T0

2220

20

2vu

2vA

dt2

)Kxt(2cos1T

vA

dt)Kxt(cosvAT1

dtvuT1

dt)t(iT1

I

deci intensitatea medie este:

220

22max0 vAf2vu2

1I rp=r= (IV. 44)

IV. 7. Principiul lui Huygens

n propagarea undelor printr-un mediu elastic apar diferite fenomene care pot fi

explicate prin aplicarea unor anumite metode. n acest context, principiul lui Huygens ofer o

metod experimental pentru constructia suprafetelor de und si explicarea fenomenelor care

apar la suprafata de separatie dintre dou medii elastice diferite.

Demonstratie

Se consider o surs punctiform de oscilatii S (ca fiind surs primar (Fig. IV. 8)).

Aceast surs este cuprins n interiorul unei suprafete nchise .

Enunt

Undele care se propag n afara unei suprafete nchise care cuprinde n interiorul ei si

sursa S sunt identice ca efect cu undele care s-ar obtine prin suprimarea sursei primare S si

nlocuirea ei printr-o multitudine de surse secundare (elementare) uniform repartizate pe

suprafata .

127

Adic, se poate considera c toate punctele mediului elastic care se gsesc situate pe o

suprafat de und pot produce unde ca si sursa primar, devenind astfel surse secundare de

oscilatii (se admite c toate sursele secundare produc acelasi efect ca si sursa primar).

(Fig. IV. 9)

Constructia unei suprafete de und

- Unde sferice. S considerm o surs primar S care emite ntr-un mediu elastic

omogen si izotrop unde sferice. Punctele materiale ale mediului situate pe o suprafat de und

1, notate cu s1, s2, s3, . Pot fi considerate ca surse secundare care emit unde ale cror

suprafete de und sunt tot sfere concentrice ca si sursele secundare. Dup un anumit timp de la

producerea oscilatiilor de ctre aceste surse secundare, undele se vor gsi la aceeasi distant

fat de centrul secundar respectiv. Dac se cunosc toate aceste puncte se obtine o nfsurtoare

a unui numr infinit de aceste sfere; apare astfel o nou suprafat de und 2, sferic si

concentric cu 1. Deci principiul lui Huygens prezint o metod de constructie a suprafetelor

de und.

- Unde plane

n acest caz, suprafetele de und sunt suprafete plane. Sursa primar S trebuie s fie o

surs finit de generare a undelor plane (Fig. IV. 10). Suprafetele de und sunt plane paralele

ntre ele (12). La unde plane, razele de und sunt mereu perpendiculare la suprafata de

und.

128

IV. 7. 1. Aplicatii ale principiului lui Hugens

Difractia undelor.

Difractia undelor reprezint fenomenul fizic de ocolire aparent a unui obstacol de ctre

unda elastic. Este fenomenul de abatere a undelor de la propagarea lor rectilinie fie la

marginea obstacolelor fie la obstacolele care au practicate deschideri de tipul fantelor ale cror

dimensiuni sunt comparabile cu lungimea de und a undelor care se propag.

S considerm o surs de oscilatii S care emite unde sferice si s asezm n calea

acestor unde un obstacol, un ecran prevzut cu o fant (Fig. IV. 11).

129

Dac deschiderea fantei AB este suficient de mare (AB>>) se observ experimental c

undele se propag prin deschidere mentinndu-si n continuare caracterul de unde sferice cu

centrul n sursa S.

n ipoteza, unei propagri rectilinii a undelor, n spatele ecranului ar trebui s existe o

regiune de umbr, cu exceptia regiunii limitat de razele SA si SB. n realitate, datorit

caracterului de unde sferice si dup ecran al undelor, se observ c undele ptrund si n

regiunea umbrei geometrice ceea ce demonstreaz c undele ocolesc marginile fantei.

Dac ns deschiderea fantei AB

130

Dac timpul de propagare al undei pe distanta AA (tAA) este egal cu tBB (adic

tAA=tBB) rezult:

'AA'BB'AA'BB =

u=

u

dar prin proiectie

rsin'AB'AAsiisin'AB'BB ==

deci:

rsin'ABisin'AB =

si deci sini=sinr: sau

= ri (IV. 45)

Legile reflexiei

- raza incident, normal si raza reflectat sunt situate n acelasi plan

- unghiul de incident (i) si unghiul de reflexie (r) sunt egali (

- ri ).

n consideratia numerelor de und pentru cele dou raze avem:

rrii

2Krsi

2Ki

uw=

lp=

uw=

lp=

dar cum sunt n acelasi mediu I=r si deci

ri KK =

iar proiectiile lor pe suprafata de separatie:

rsinKr2

cosKK

isinKi2

cosKK

rr'rAB

ii'iAB

=

-p=

=

-p=

dar cum :sin i=sin r si KI=Kr rezult c si proiectiile lor sunt egale:

'rAB'iAB KK =

sau

= nKnK ri (IV. 46)

Refractia undelor

Refractia undelor reprezint fenomenul de schimbare a directiei de propagare a undelor

elastice la suprafata de separatie dintre dou medii elastice diferite. Pentru aceasta, s

considerm o suprafat de separatie XX dintre dou medii elastice diferite (1) si (2),

131

omogene si izotrope cu vitezele de propagare a undelor elastice v1 si respectiv v2 (v1>v2) (Fig.

IV. 13)

Undele plane reprezentate prin razele SA; SB; SC, cad pe suprafata de separatie XX n

punctele A, B, C sub un unghi de incident . Conform principiului lui Huygens, punctele

materiale A, B, C pot fi considerate ca surse secundare de oscilatii si care emit unde n mediul

(2), cu schimbarea directiei de propagare si cu viteza v2. Toate punctele materiale din cadrul

sistemului incident de unde plane S care sunt n concordant de faz cu punctul A se afl

situate pe suprafata plan de und AD din mediul (1). Identic, suprafata plan de und pe care

se afl punctul C este planul CD situat n ntregime n mediul (2). Deoarece, AD si CD sunt

suprafete de und ale aceluiasi sistem de unde S fiind doar situate geometric n medii diferite,

rezult c timpul necesar propagrii undelor de la D la C n mediul (1) este acelasi cu timpul

necesar propagrii undelor de la A la D n mediul (2), adic tDC=tAD.

Geometric, putem scrie:

'AD2DC1 tv'AD;tvDC ==-

si AC

'DA'rsinACDsin;

ACDC

isinCADsin ====

rezult c:

nv

v

'DADC

'DAAC

ACDC

'rsinisin

2

1 ====

deci:

132

ctnv

v

'rsinisin

2

1 === (IV. 47)

- raportul dintre sinusul unghiului de incident I si sinusul unghiului de refractie 'r

este un

numr constant pentru mediile date, egal cu raportul vitezelor de propagare a undelor n cele

dou medii sau cu indicele de refractie n.

Experimental, s-a constatat c planul razelor incidente nu se modific la trecerea undei

dintr-un mediu elastic n alt mediu elastic.

Legile refractiei undei

- raza incident, normal si raza refractat se afl n acelasi plan;

- raportul nv

v

'rsinisin

2

1 ==

Discutii

- dac v1>v2n>1; i>r razele refractate se apropie de normal;

- dac v1

133

AC2AC1AC2

AC1 KK1K

K==

adic K1sini=K2sinr

sau vectorial

= nKnK 21 (IV. 48)

care cuprinde ambele legi ale refractiei undelor.

IV. 8. Efectul Doppler

Efectul Doppler const n modificarea frecventei receptorului n raport cu frecventa

sursei cnd sursa si receptorul se gsesc n miscare relativ. Miscrile celor dou sisteme, sursa

S si receptorul R fiind efectuate n spatiu, exist dou componente ale vitezelor de propagare,

una longitudinal si una transversal pentru cele dou sisteme. n acustic, efectul Doppler este

obtinut numai de componentele longitudinale ale vitezelor de propagare sursa S si receptor R

deci este un efect Doppler longitudinal.

Demonstratie

Considerm c vectorii vitez sunt orientati unul spre cellalt. Notm u1 si u2 vitezele

sursei sonore S si a receptorului (observator) R; vs viteza de propagare a undei (viteza

sunetului) (Fig. IV. 14).

Presupunem c pozitia sursei sonore n momentul emiterii primului maxim al elongatiei

sunetului este n S iar pozitia receptorului n momentul receptiei primului maxim este n R.

Sursa sonor va emite urmtorul maxim dup un timp egal cu o perioad T; n acest

timp sursa se deplaseaz pe distanta SS pn n punctul S cu viteza u1. Receptorul va auzi al

doilea maxim ntr-o nou pozitie R deplasat cu viteza u2 si n perioada T nregistrat de

receptor.

134

Prima oscilatie (maxim) pleac din S la timpul t si ntlneste receptorul n R dup

timpul:

S1 v

SRtt += (IV. 49)

Urmtoarea oscilatie (urmtorul maxim) emis de sursa sonor dup o perioad T, adic la

timpul t+T, va pleca din S unde ajunge ntre timp sursa si va atinge receptorul n R la timpul:

S2 v

'R'STtt ++= (IV. 50)

La receptor (observator), perioada de receptie T este dat de:

SSS12 v

SR'R'ST

vSR

tv

'R'STttt'T

-+=--++=-=

Din grafic se observ:

( ) ( )TUTU'RR'SSSR'R'SR'R'SSSR'R'S 21 +-=+-=---= Deci

s

2

s

1v

Tuv

TuT'T --=

sau

2s

1s

s

1

s

2uvuv

T'Tvu

1Tvu

1'T--

=

-=

+ (IV. 51)

sau n functie de frecvente

1s

2s'a uv

uvff

-+

= (IV. 52)

unde f este frecventa de emisie, iar f frecventa de receptie. Dac cele dou sisteme sursa

sonor si receptorul se deprteaz, atunci:

1s

2s'a uv

uvff

+-

= (IV. 53)

deci n general:

1s

2s'a uv

uvff

m

= (IV. 54)

Discutii

- dac sursa sonor este fix (repaus) u1=0

135

f'fv

uvf'f

s

2s >+

=

- dac receptorul este fix (repaus) u2=0

f'fuv

vf'f

1s

s >-

=

- dac sursa este fix iar receptorul se departeaz:

f'fv

uvf'f

s

2s

136

Interferenta conduce la un fenomen stationar n timp si spatiu dac oscilatiile care se compun

au aceeasi frecvent si o diferenta de faz constant.

Sursele si undele elastice care prezint aceeasi frecvent si o diferent de faz constant

sunt numite surse (unde) coerente.

Se consider dou surse coerente s1 si s2 care produc unde elastice care se propag prin

spatiu si se ntlnesc n punctul P, la distantele x1 si x2 (Fig. IV. 15)

Fig. IV. 15

Elongatiile celor dou unde sunt de forma:

)Kxtsin(A)tx(y

)Kxtsin(A)tx(y

2222

1111

-w=-w=

cu vv

22K

w=pn=lp= numr de und

Dac elongatiile n punctul P sunt coliniare atunci elongatia rezultant este suma

componentelor adic:

21 yyy += (IV. 55)

y=A1sin(wt-Kx1)+A2sin (wt-Kx2)

y(x, t)=A sin (wt-Kx) (IV. 56)

unde

fD++= cosAA2AAA 2122

21

S1

S2

P

x1

x2

137

cu Df=f1-f2=wt-Kx1-wt+Kx2=K(x2-x1)=KDx

sau lDp=fD x2 unde Df - diferenta de faz si Dx diferenta de drum

n acest mod

lDp

++=x2

cosAA2AAA 2122

21

Determinarea valorii maxime

Dac n2cos1x2

cos p=+=lDp

Sau p=lDp

n2x2

atunci

l=D nx (IV. 57)

Deci amplitudinea rezultant este maxim dac diferenta de drum Dx este un multiplu

ntreg n de l. Astfel Amax=A1+A2

Determinarea valorii minime:

p+=-=lDp

)1n2cos(1x2

cos

sau

2)1n2(

x)1n2(x2 l+=Dp+=

lDp

(IV. 58)

si valoarea minim a amplitudinii este

21min AAA -=

IV.9 Caz particular - Unde stationare

Reprezint o suprapunere pe aceeasi directie a undei incidente cu unda reflectat

(indirect) de la un obstacol. Cele dou unde au amplitudini egale n consideratia unui mediu

elastic si a unui obstacol ideal. Unda reflectat sufer fenomenul de reflexie cu o faz

modificat si de sens invers unde incidente (directe)

Se consider o surs S, un obstacol O si undele incident (Fig.IV.16)

138

y1 = A0 sin (wt - kx ) (IV.59)

si reflectat de obstacolul O, y2 = A0 sin (wt + kx + f) iar rezultanta n punctul P este: y = y1 +y2 = A0 sin (wt - kx) + A0 sin (wt + kx + f) Folosim un artificiu de calcul, adic:

y A t kx t kx= + - +

+ +

+ +

0 2 2 2 2sin sinw

f fw

f f sau

y A t kx t kx t kx

t kx A t kx

= + +

- +

+

+ + +

+

+ +

= + +

0

0

2 2 2 2 2 2

2 22

2 2

sin cos cos sin sin cos

cos sin sin cos

wf f

wf f

wf f

wf f

wf f

sau ( )y x t A x t, ( ) sin= +w

f2

(IV. 60)

cu A x A kx( ) cos= +2 20

f

Amplitudinea undei stationare A(x) este constant n timp si de aceea se numeste und

stationar si trece prin valori extreme ,maxime si minime.

Valori maxime (Amax) cnd: cos coskx +

= + =

fp

21 n adic kx n+ =

fp

2 si

xnk k

= -p f

2 cu k =

2pl

si n - numr ntreg. Deci xn n

= -

= -plp

flp

l flp2 2 2 2 4

139

Distanta dintre dou maxime succesive ale amplitudinii undei stationare este:

Dx n n= + - - + =( )12 4 2 4 2l lf

pl lf

pl

((IV. 61)61)

Punctele n care amplitudinea undei stationare este maxim si n care particulele mediului se

afl n stare de oscilatie maxim se numesc ventre; distanta dintre dou ventre succesive este

egal cu l/2 iar diferenta de faz este de p radiani.

Valori minime (Amin)

Dac amplitudinea undei stationare este minim atunci cos kx + =

p2

0 sau

( )cos 2 12

n + =p

si ( )kx n+ = +f p2

2 12

sau

( )kx n= + -2 12 2p f

cu ( ) ( )

xk k

n=

+- =

+

-2 1

2 22 1

2 2 4p p f pl

pflp

sau

( )

xn

=+

-2 1

4 4l fl

p

Distanta dintre dou minime este:

( )( ) ( )Dx n n= + + - - + + =2 1 14 4

2 14 4 2

l flp

l flp

l (IV. 62)

Punctele n care amplitudinea undei stationare este minim se numesc noduri iar particulele

mediului se afl n repaus (nu oscileaz); distanta dintre dou noduri succesive este l/2 iar

diferenta de faz este p radiani.

Distanta dintre un ventru si un nod este:

Dx =lDf

p2

unde

( )Df = + - =2 12

22 2

n np p p

sau

140

Dx =

=lp

pl

2 2 4 (IV. 63)

Reprezentarea grafic a undelor incident si reflectat, cu ventre si noduri este ilustrat n

figura IV.17.

Discutii

n ventre, particulele mediului

oscileaz cu elongatia maxim ymax =

2A0 iar n noduri particulele sunt n

repaus permanent. ntre dou noduri

succesive particulele mediului

oscileaz n faz si n acelasi sens. La

trecerea printr-un nod oscilatia si

amplitudinea si schimb sensul iar

faza oscilatiei este de p radiani.

IV.10 Atenuarea undelor elastice

Atenuarea reprezint feno-menul de

miscare a intensittii si amplitudinii undei n

urma interactiei cu mediul elastic. La baza

acestui proces stau dou mecanisme

principale: mprstierea si absorbtia undelor

(sau energiei) care apar la interactiunea undei

cu mediul elastic.

Considerm o und plan care

se propag ntr-un mediu elastic omogen si

izotrop n directia axei Ox (Fig.IV.18). Fie A0 amplitudinea undei la intrarea n mediu la

punctul x = 0. La distanta x, amplitudinea este A(x) iar ntr-o grosime dx, amplitudinea este

dA , adic la distanta x + dx , amplitudinea este A+dA. Astfel variatia amplitudinii dA n

functie de grosimea dx este dat de relatia:

dA = - aA(x) dx (IV. 64)

unde a este coeficientul de atenuare al amplitudinii. Putem scrie :

141

dAA x

dx( )

= -a si integrnd , obtinem:

ln A(x) = -ax + C . Punnd conditiile la limit , x = 0 ln A(0) = C, iar n final se obtine

lnAA

x0

= -a sau

A A e x= -0a (IV.65)

amplitudinea scade exponential cu distanta. Se defineste grosimea de njumttire a unui mediu

elastic d1/2 ca fiind distanta pentru care amplitudinea scade la jumtate (A0/2), adic

A

A ed0

021

2=-a

si deci d 12

2 0 693= =

ln ,a a

(IV.66)

Intensitatea undei elastice este proportional cu A2 si n acest caz :

A x A x e x2 02 2( ) ( )= - a de unde intensitatea este:

I x I e x( ) = -02a (IV.67)

Coeficientul de atenuare a depinde de propriettile undei elastice prin care se propag unda.

IV.11 Dispersia undelor elastice

Dispersia este fenomenul prin care fiecrei frecvente de oscilatie i corespunde n

acelasi mediu elastic o vitez de propagare sau o lungime de und. Efectul dispersiei asupra

propagrii unei miscri oscilatorii ntr-un mediu elastic dispersiv poate fi demonstrat astfel: s

considerm dou sisteme de unde si din fiecare s lum cte o component sinusoidal de

amplitudini egale A si care s se propage de-a lungul aceleasi directii Ox. Fie l1 si v1 ,

lungimea de und si viteza de propagare a sistemului de unde al primei componente si l2 si v2

aceleasi mrimi pentru cea de-a doua component din cellalt sistem de unde. Considerm l2 >

l1 si v2 > v1 (Fig.IV.19)

142

n cazul propagrii dup Ox numai a primei componente (unda 1) atunci elongatiile

particulelor materiale de pe directia Ox sunt reprezentate n figur prin linia plin, iar n

cazul propagrii numai componentei o doua (unda2), elongatiile sunt reprezentate n figur

prin linia punctat.

La propagarea simultan a celor dou unde elongatiile particulelor materiale de pe

directia Ox vor fi date de sumele algebrice ale elongatiilor locale reprezentate de ambele

sinusoide la un moment dat t; apare o elongatie rezultant. Fenomenul se desfsoar ca si cum

de-alungul directiei Ox se propag un nou sistem de unde cu lungimi de und cuprinse ntre l1

si l2 si cu amplitudini care variaz periodic pentru acelasi loc, ntre 0 si 2A.

Ansamblul undelor cuprinse ntre dou puncte de amplitudine rezultant nul se

numeste grup de unde. Cmpul de unde se deplaseaz dup Ox n timp spre dreapta datorit

diferentei dintre cele dou viteze de propagare v1 si v2 ale undelor componente.Astfel putem

spune c grupul de unde se deplaseaz avnd o vitez proprie , constant si diferit de vitezele

undelor componente (v1,v2). Aceast vitez poart denumirea de vitez de grup vg iar vitezele

componentelor (v1,v2) se numesc viteze de faz deoarece ele caracterizeaz deplasarea

suprafetelor de und, adic a suprafetelor de faz egal. Determinarea relatiilor dintre viteza de

grup , viteza de faz si lungimea de und se face aplicnd metodele analitic sau grafic.

Metoda analitic

Considerm c grupul de unde este alctuit din dou unde elastice monocromaticce cu

pulsatiile w1 si w2 si numere de und k1 si k2, care se propag n sensul pozitiv al axei Ox. La

momentul t, fazele celor dou unde sunt:

143

f wf w

1 1 1

2 2 2

= -= -

t k x

t k x (IV.68)

Maximul amplitudinii rezultante este cnd f1 = f2 sau w1t - k1x = w2t - k2x . Dup un

timp dt, maximul amplitudinii rezultante se deplaseaz cu viteza de grup vg pe o distant mic

dx = vgdt iar n aceast nou pozitie a grupului de unde fazele celor dou unde sunt tot egale.

w1(t + dt) - k1(x + dx) = w2(t + dt) - k2(x + dx)

w1t + w1dt - k1x - k1dx = w2 t + w2 dt - k2 x - k2dx

sau (k2 - k1)dx = (w2 - w1)dt , dar cum vdxdt k k kg

= =--

=w w2 1

2 1

DwD

sau

vddkg

=w

(IV.69)

iar viteza de faz

vk

= =lwn de unde w = vk si deci

( )

vddk

d v kdk

kdvdk

vdkdt

v kdvdkg

= = = + = +w ,

fcnd un artificiu de calcul rezult:

v v kdvd

ddkg

= + l

l

de unde ( )ddk

ddk k

ddk

kk

l pp

p lp

= = = - = -

-2 22

21

2

2

rezult n final relatia dintre viteza de

grup vg si viteza de faz v:

v vdvd

vdvdg

= + -

= -

22

2pl l

lp

ll

, formula lui Rayleigh (IV.70)

Aceast formul este valabil si pentru grupuri formate din mai multe unde cu conditia ca

frecventele s difere n intervale mici n medii omogene si izotrope.

Mediu anizotrop

Se mentine conditia egalittii fazelor n spatiu si timp dar pozitia rr si numrul de und

rk sunt tridimensionale. Propagarea unui astfel de grup de unde se face cu amplitudinea

rezultant maxim si localizat ntr-un punct numit centrul grupului.

144

Expresia fazei f a unei unde elastice din grup la momentul t si punctul rr este:

f = wt -rk rr

iar n centrul grupului de unde , unde amplitudinea este maxim, fazele undelor coincid si

df = 0

w dt + t dw - rr drk -

rk d

rr = 0

dar t = ct si rr = ct atunci t dw - rr d

rk = 0 . La momentul imediat ulterior t + dt si pentru un

punct rr + d

rr al centrului de unde, avem:

(t + dt)dw - ( rr + d rr )drk = 0 sau t dw + dt dw - rr d

rk - d

rr d

rk = 0

cu dt dw - d rr drk = 0

Dar la definirea vitezei de grup vg am gsit c

vdxdt

drdtg

= =r

sau vd

dkg=

r

rw

cu drr = vgdt si d v dkg

r rw = de unde rezult

drv

v dk dr dkg

g

r r r r -

Deci pentru mediu anizotrop cu w = w(rk ) = w(kx , ky , kz) si v v i v j v kg gx gy gz= + +

r r r

rezult dk

dkk

dkk

dkx

xy

yz

zww

w

w

= + + si rr

v dk v dk v dk v dkg gx x gy y gz z= + +

Cum dw = vg drk atunci pe proiectie rezult:

w

w

wk

dkk

dkk

dk v dk v dk v dkx

xy

yz

z gx x gy y gz z+ + = + +

iar prin identificare se obtine:

vk k kgx x

gyy

gzz

= = =w

w

w

; ; ; v v sau

r

r rv gradg k k= = w w (IV.71)

dar cum gradk

ik

jk

kkx y z

rr r r

= + +

145

Caz particular - mediu izotrop

Directia este Ox : r rk k ix= si v kgx

=w

; rezult vddkg

=w

iar viteza de faz este

vk

=w

Metoda grafic

Se reprezint grafic v = f(l); se admite c aceast dependent este redat de o curb

monoton cresctoare (Fig.IV.20)

Tangenta la curb n punctul P intersecteaz

axa vitezei v(l) n punctul P. Figura arat c

ordonata punctului P este chiar viteza de grup

(vg) ca fiind o vitez constant, caracteristic

ntregului grup de unde elastice. Conform

figurii putem scrie:

( ) ( ) ( )v v PP v tg v dvdg

= - = - = -l l l a l ll

'

unde v(l) este viteza iar tgdvd

al

= . Deci

v vdvdg

= - ll

(IV.72)

se obtine si prin aceast metod grafic (formula lui Rayleigh) ntre viteza de grup (vg) si cea

de faz v(l).

Discutii

- Dispersie normal

Dac dvdl

> 0 atunci din formula lui Rayleigh, vg < v. Viteza de faz v creste ca si

cresterea lui l , adic undele lungi se propag mai repede dect cele scurte , avnd ca rezultat o

destrmare a grupului de unde, deoarece undele scurte rmn n urma celor lungi.

- Dispersia anormal

146

Dac dvdl

< 0 atunci vg > v si v vdvd

vg = + >l l. Viteza de faz scade cu cresterea lui

l (lungimea de und); undele scurte se propag mai repede dect cele lungi iar grupul se

destram .

- Mediu nedispersiv (absenta dispersiei)

Dac dvdl

= 0 atunci vg = v, grupul nu se destram , rmne constant n timp.

IV.12 Analiza Fourier a unei miscri periodice

Miscarea sinusoidal

descris n acest capitol, reprezint

un caz particular al miscrii

periodice sau oscilatorii. Tratarea

matematic a miscrii periodice se

bazeaz pe teorema lui Fourier

(1768 - 1830), dup care orice

functie periodic poate fi

descompus ntr-o serie de functii

armonice sinusoidale de amplitudini si faze diferite, ordonate n sensul cresterii frecventei

astfel nct frecventele armonicelor sunt multipli ntregi ai frecventei fundamentale.

Necesitatea practic a descompunerii unei functii periodice este elocvent la analiza

unui sunet compus unde trebuie s se cunoasc structura sa intern dup frecventa si

amplitudinea sunetelor pure componente.

Conform teoriei lui Fourier, o miscare periodic oarecare de perioad T este descris de

functia (Fig.IV.21)

x = f(t) (IV.73)

continu n intervalul t si t + T si care poate fi reprezentat printr-o serie cu termeni

trigonometrici de forma:

x = f(t) =A0 + (A1coswt + B1sin wt ) + (A2cos2wt + B2sin2wt) + + (Ancos nwt + Bnsin nwt )

(IV.74)

sau folosind reprezentarea restrns , se poate scrie:

147

( )x f t A n t B n tn nn

n

= = +=

=

( ) cos sinw w0

(IV.75)

O astfel de expresie este cunoscut sub denumirea de serie Fourier, unde frecventa w este

fundamental iar 2w , 3w, , nw sunt armonici. n expresia de mai sus se observ c intervin

o serie de constante (coeficienti) A0, A1, A2, , An si B1, B2, B3, , Bn , n care constanta A0

reprezint termenul de ordinul zero, iar numrul n reprezint ordinul miscrii oscilatorii

armonice (periodice) sau ordinul armonicei. Termenul de ordinul nti, A1coswt + B1sin wt,

are frecventa minim, f1, apoi urmeaz termenul de ordinul doi, A2cos2wt + B2sin2wt, care are

frecventa f2 = 2f1 , ca n final s obtinem termenul de ordinul n, Ancos nwt + Bnsin nwt cu

frecventa fn = nf1 = nw/2p .

Determinarea coeficientului A0

Pentru determinarea coeficientului A0 se multiplic ambele prti ale expresiei (IV.71) cu dt si

apoi se integreaz pe un interval egal cu o perioad T corespunztoare oscilatiei fundamentale.

Prin integrare toti termenii n sinus si cosinus se anuleaz, rmnnd numai coeficientul A0

(termenul constant). Astfel putem scrie:

xdt f t dt A dt A dt A TT T T T

0 00

00

00 = = = =( ) (IV.76)

de unde rezult c:

( )AT

f t dtT

x t dtT T

00 0

1 1= = ( ) (IV.77)

Fiind cunoscut expresia functiei periodice x = f(t), se poate determina coeficientul A0

Determinarea coeficientilor An

Se multiplic ambele prti ale expresiei (IV.72) cu termenul cos nwt si apoi se integreaz pe o

perioad T. Se otine:

x n t dt f t n t dt A n t n t d B n t n t dtT

n n

T

ncos ( )cos cos cos sin cosw w w w w w

0 01 = = +

=

0

T

0

T

Dar cum ntr-o perioad sin cosn t n t dtT

w w0

= 0, atunci termenul lui An se poate scrie sub

forma:

148

coscos2 1 2

2 2n t dt

n tdt

Tw

w

0

T

=+

= , deoarece

12

212

12

21

44 0

0

cos sin sinn t dtn

n Tn

nT

ww

ww

p = = = .

n final, rezult, pentru coeficientii An, expresia:

( )AT

x t dt f t dt cos nn = 2

cos n =2T

t dt0

T

w w (IV.78)

Determinarea coeficientilor Bn

Mersul calculului matematic este identic cu cel pentru determinarea coeficientilor An, numai c

aici se vor multiplica ambele prti ale expresiei (IV.72) cu termenul sin nwt, iar apoi se

integreaz pe o perioad T. Se obtine:

x sin n f tT

w w w w w wt dt n t dt = A n t sin n t dt + B sin n t dt sin n t dt0

T

n n

T

n=1 =

( )sin cos00

cum, cos sinn t n tdtT

w w =0

0 , iar sin sin sincos

n t n tdt n tdtn t

dtTT TT

w w ww

= =-

= 0

2

00

1 22 2

.

n acest caz, coeficientii Bn au expresia:

( )BT

f tno

T

= 2

sin n t dtw (IV.79)

Observatie

Pentru determinarea coeficientilor An si Bn sumarea are loc numai pe intervalul n = 1 la

deoarece indicile n = 0 a fost deja folosit pentru determinarea coeficientului A0.

Prin aceast modalitate s-au putut determina toti coeficientii A0, An, Bn ai seriei

Fourier, care reprezint o serie convergent. Dificulttile de calcul ale coeficientilor Fourier

149

depind de natura si complexitatea functiei f(t). Cum , seria Fourier, am artat c este o serie

convergent, coeficientii An si Bn devin tot mai mici cu cresterea frecventei. Aceast

convergent poate fi mai rapid si un numr redus de termeni poate aproxima convenabil de

bine functia f(t) sau poate fi mai lent si atunci sunt luati n considerare un numr mai mare de

termeni.

n acustic, se manifest o convergent rapid a functiilor sau sunetelor compuse iar

numrul de termeni ai dezvoltrii Fourier pentru sunete este limitat si de propriettile urechii

umane, n sensul c la un rang mai mare armonicele respective se situeaz sub pragul minim de

audibilitate.

Dac functia compus f(t) prezint anumite proprietti de simetrie, atunci unii

coeficienti ai seriei Fourier se anuleaz. Astfel dac functia f(t) este simetric n raport cu axa

Ox, atunci toti termenii n sinus sunt nuli deoarece:

sin nwt = - sin (-nwt)

iar dac functia este simetric n raport cu originea axelor de coordonate, atunci termenii n

cosinus sunt nuli, deoarece:

cos nwt = cos (-nwt)

Metoda Fourier este util nu numai pentru a analiza curbe periodice dar si pe cele

neperiodice. n acest caz, curba se ntinde de la - la + si putem presupune c, acest interval

acoper o perioad. Diferenta esential dintre acest caz si cel studiat mai nainte este c n loc

de a analiza curba sub forma unui spectru discret de frecvente w, 2w, 3w, . nw, va trebui s-o

analizm sub forma unui spectru continu de

frecvente. Amplitudinea corespunztoare fiecrei

frecvente este dat printr-o functie de w numit

transformata Fourier a curbei analizate.

Exemplu

Considerm o curb care este descris de

ecuatia x = A sin w0t ntr-un interval de timp t1 si t2

si nul n rest. (Fig.IV.22) . Ca aplicatie aceasta

corespunde unui corp care primeste un impuls si

ncepe s oscileze la t = t1 si se opreste din miscarea oscilatorie la t = t2 .

Pentru anularea curbei la t < t1 si la t > t2 trebuie s adugm alte frecvente astfel nct

seria Fourier rezultant s fie nul n afara intervalului de timp. Fizic un impuls limitat este

compus din mai multe frecvente cu toate c sursa de oscilatie are o singur frecvent bine

150

definit. Se arat c profilul amplitudinii considerat ca o functie de w ( sau transformat

Fourier ) care corespunde impulsului este dat de o functie de forma:

( )( )

( )f t A

tw

w w

w w=

-

-

14

1212

0

0

DDsin

unde Dt = t2 - t1 . Acest profil de amplitudine este artat n figura IV.23.

Pentru w = w0 rezult ( )f t Aw 0 14= D . Cum numrtorul fractiei dinte paranteze nu

este niciodat mai mare dect 1, cnd diferenta w - w0 creste n valoare absolut , valoarea

functiei f(w) descreste de o manier oscilatorie. Intervalul de valori w pentru care f(w) > 50%

din valoarea sa pentru w = w0 corespunde conditiei:

( )12 20 0

w wp p

w wp

- < < -

151

Aplicatie

Sunet sinusoidal pur sau n

general o und plan monocromatic

infinit n timp si spatiu care se exprim

matematic prin ecuatia x = Asin w0t iar

spectrul su este reprezentat printr-un

singur segment corespunztor frecventei

sunetului w0. (Fig.IV.24)

Pentru o portiune finit a undei

monocromatice limitat n timp si spatiu Dx , spectrul este reprezentat printr-o curb continu

centrat pe frecventa w0 a undei monocromatice infinite. (vezi figura IV.23)

152