Transcript
Page 1: Trandafir Matematici Pentru Economisti

��������������� ���� �����������������

� ��������� � �����������

����� ����� ��

������������������ ��������� ������ ��

���������������������������������������

Page 2: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�!�"���#����#��� ����������������� �$%%&�

������ ���������� ������������������ ����������� ����'��������������� ������������� �������� �����

����� ������������������

����������������������������� ����������������������������� ������ �������!��� "� ������� �����(��)��

����#�����������)���#���������#)������������)���*+�#��,�- �.� �#�#��/��)� ��� ��� �� � �)� "���#��� �#��� ���� ������� ������)�$%%&���0'�1�$�)2��3����4*��5��������6&7 6&� 80� %29 %����������(��)��������������#��)����������������������#)��#�������������)������������,�- )���*+�#�

�28 &:���%&2�7��28&�%&2�7��286�$�%&2�7��

����

��'���#����������5��* �;�#�(��53����� )�'����������(��3 �/��'����������3�<*�������=����)��;���;�����������-�; �

/��;��'���';�/������(��3�*�5�����

� ����������������� ����������������������������������������������������� ���������!�

��

��

����������/����=�����������:���*+�#����� ���'����:�>���*����� ���

�#�������'��:�%0�8$�$%%&1���*����'��:�$8����3��:�80?&%�8%%�

"���#����#��� �������������������#*�+���#*��3�/���������27)��#�#��/��)��������0�

�*�?��@:�%$8?999�$%�681�AAA�;'��#=��������� 3��*:��������B����#����3������3��������

Page 3: Trandafir Matematici Pentru Economisti

��#��$���������������������� ��"����"��>�">��� �.�����>��� �

������

�� ����������%��� �&������'�����������(�

��� ��������� � ������ ��

$�)#����*�+ ����������

������������������ ��������� ������ ��

������������������

"�� ���� �� �"���"�#�$%&��#$���� � �"C�)�$%%&�

Page 4: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�����������������

Page 5: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� /�

����

���������

���� ������AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA�� 33�� �3��������� �������� ������ ��AAAA�AAAAAAAAAAA�� 3,�

3�3����>��0�������"� ���#�������AAAAAAAAAAAAAAA���� 3,�3������>��0���������"� ���#�������AAAAAAAAAAAAAAA� 35�3�,���-� ���$�������#��AAAAAAAAAAAAAAAA�AAA� �*�3�<���-� ����"�#�������AAAAAAAAAAAAAAAAAAA� �+�3�/���-#��� ���#�������AAAAAAAAAAAAAAAAAAA��� �4�3�+����#����-��-����(��$�������-��-�����>���� ��"�����-#��� ���#�������AAAA ,��3�5����0��#����������0��- ��������AAAAAAAAAAAAA��� ,5�3�6�����"������"���� ��0��- ��������#�� ��0��������� �AAAAAA <3�� �

������������������� ��AAAAAAAAAAAAAAAAAAA� </���3��������"�����AAAAAAAAAAAAAAAAAA�AAA� </��������0��2�����# ���-��1#�0������-��2��0����#����� �AAAAA��� <5���,����#" ��#��-��1#�0������-��2��0����#����� �AAAAAAAAA�� <4���<��9������>�0-#�;������&�#$������"�"��-��2��0�#������>��������AAA��� /3���/��9������1�&������� ����#��AAAAAAAAAAAAA�AAA� /+���+����&"#�B�������>�>��0"#������>���� ������ �������2�#�� ��AAAA��� +����5���"�#�������B��-��2��0�����#����� �AAAAAAAAAAAA��� +5���6���-#��� ���B�������0���AAAAAAAAAAAAAAAAA� 5,���4��C��1#�0���������>-����AAAAAAAAAAAAAAAAA� 5+�� �

,��������� ������� �������� �AAAAAAAAAAAAA���� 6+�,�3��"�� ���$�������#��AAAAAAAAAAAAAAAAAA��� 6+�,������0������������AAAAAAAAAAAAAAAAA�AAA� 4*�,�,��������"������� "�� ��#���$�������#��AAAAAAAAA�AAA� 43�,�<��������"�������-�� ��# �AAAAAAAAAAAAAAAAA� 4��,�/������$����-�� ��#��AAAAAAAAAAAAAAAAAAA� 4,�,�+�������-�������������0�� �������$���#���-�� ��#��AAAAAAA��� 4<�,�5���� ���� ��1�#������� "�� ��#������0���0"#���$����1�#��AA�AAA� 4/�,�6������$����-�� ��#�����������>"-������AAAAAAAAAAAA� 44�,�4����0"#��#"����D#���AAAAAAAAAAAAAAA�AAA� 3**�,�3*��);���0�#�� "�� ��#������0���0"#���$����1�#��AAAAAAAA� 3*3�,�33��"�� ����0-#������AAAAAAAAAAAAAAAAAA��� 3*/�,�3���);���0������� ������� #�2�����AAAAAAAAAAAAA� 3*+�,�3,��"�� ����0�2�������0���0"#���$����1�#��AAAAAA�AAA� 3*6�,�3<��"�� ����0�2����B�������0���AAAAAAAAAA�AAA� 3*4�,�3/��)�"� ����� ���� ��#��AAAAAAAAAAAAAAAAA��� 33*�,�3+��)�"� ����� ���� ��#��������"���� ���$����1�#������-��������AAA��� 333�,�35��)�"� ����"�$����1�#��>�-���1�#��AAAAAAAAAAAAA�� 33��

Page 6: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�+�

,�36��)�"� ����0�2����AAAAAAAAAAAAAAAAAA�� 33��,�34��)�"� ������"���1�#��#����"� ����0�2����AAAAAAAAAA� 33,�,��*��)�"� ���#���������������"#�B��%��AAAAAAAAAA�AAA� 33<�,��3�����#���-#��� ���B�������0�������"� ��#����� ���� ��#��AAAA��� 33/�� �

<������������������ �������������� �������� AAAAAAA� 336�<�3���%0-�����$���0����!�C��1�1�#��������AAAAAA��AAAA 336�

<�3�3���%0-�����$���0�����AAAAAAA�AAAAAA��� 336�<�3����C��1�1�#������-��"���%0-� ���������$���0�����AAAA�� 3�<�<�3�,�� �� �%0-����-��1�1�#������AAAA��AAAAAAA� 3�4�<�3�<��)$���0���������-���������C��1�1�#����������� ����� �A� 3,3�

<���������1�#���#������������������>������"0�������"�� ��������-���� ���AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA� 3,+�<���3�������1�#���#����������>������A��AAAAAAAAA���� 3,5�<������9�0����#��"����$����1�#���#����������>�����AAAAA� 3<��<���,�������1�#���#�������������-�������""�A�AAAAAAA� 3<+�<���<��"�� ��������-���� ���AAAA��AAAAAAAAA��� 3<6�<���/��9�0����#��"����$����1�#�������-�������""�AAAAA��� 3/+�<���+��"�� ������������>��� �AAAAAAAA��AAAAA� 3+*�

<�,����-���� ���-��1�1�#�>������#�>����AAAAAAAAAAAA�� 3+5�<�,�3����-���� ��������-���>����������AAAAAAAAAAAA�� 3+5�

<�,�3�3�������0��-�����"#�� ����;-���0����#�����-������A� 3+5�<�,�3���������0��2�����# ����;-���0����#�����-������AA� 353�<�,�3�,����-���� ���C��>>������-���0���"�� AAAAA��� 35,�<�,�3�<����8�0��-�#���0��# �AAAAAAAAAAA�� 35/�<�,�3�/����8�0��1�#�������$������AAAAAAAAAA� 35+�

<�,������-���� ��������-�������""�����AAAA�AAAAAAA��� 355�<�,���3����-���� ���������>������"�� ��0 �AAAAAA��� 355�<�,��������2������0�# �AAAAAAAAAAAAA��� 363�<�,���,����-���� ���#�2���0�# �AAAAAAAAAA��� 366�<�,���<����-���� ����;-���� ��# ���2���$ �AAAAAA��� 366�<�,���/����-���� ��� �� �AAAAAAAAAAAAAA 364�

<�,���+����-���� �����"�����AAAAAAAAAAAA�� 343�<�<����>��0�����$����1�#���#��������AAAAAAAAAAAAA� 34��

<�<�3����>��0�������" �$����1�#���#������������AAA�AAAA�� 34,�<�<�������������>������"0�������#��>�>��0�#��������" �$����1�#��

�#�����������$����� ����� ��������������#� ����AAAA��� �**�<�/���������>�#�� ���AAAAAAAAAAAAAAAAAAA�� �*/�

<�/�3��E�����#�� �AAAAAAAAAAAAAAAAAA��� �*/�<�/�����#�� �������AAAAAAAAAA�AAAAAAAAA� �*/�<�/�,��"�� ��������-���� ������>�#�� �������AAAAAAAAA��� �*+�<�/�<����#������-�������>�#�� ����AAAAAAAAAAAAA�� �*5�� �� �� �

Page 7: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� 5�

<�+����������>��0� ��������AAAAAAAAAAAAAAAAA��� �33�<�+�3��)>��0� ������>�>�����!���������(���1>�#"���������!�

����-#�>���!���-#�>����AAAAAAAAAAAAAA �3��<�+����"�� �������>��0� ���� ���������9������$���>�0�#�� ���

0�;�0������AAAAAAAAAAAAAAAAAA� �3<�� �

/��������� ��������������������AAAAAAAAAAAAAA���� ��*�/�3��������"�������� ��� ���AAAAAAAAAAAAAA�AAA� ��*�/����9��������>�������"�"��2�� ��C��-���� ���#��2�� "��#���AAAAA� ��<�

/���3��9������������;�"��#����������AAAAAAAAAAA�� ��<�/������9����������"0"��#���AAAAAAAAAAAAAA��� ��/�/���,�������0���������"0"��#���8�0�#��������B��2�� "��� � �

����"����AAAAAAAAAAAAAAAAAAA��� ��6�/���<�������0���������"0"#"��8�0�#�������B��2�� ��"�����"����A� �,3�/���/����"0"������$�#�����B����"��2�� .��#2����0"#�����������

��##0���F�#�1��AAAAAAAAAAAAAAAA� �,,�/�,��#";�0�;�0�B�������� ����������>-����AAAAAAAA�AAA� �<3�� �

+��������� ��������������������A�AAAAAAAAAAA��� �/��+�3����1%����>�0-# �AAAAAAAAAAAAAAAA�AAA� �/��+������1%������0-"> �AAAAAAAAAAAAAAA�AAA� �/<�+�,���-��� �"������>��������� ���(�����"0���AAAAAAAAAA� �/5�+�<��C# ���(�#������ �������AAAAAAAAAAAAAAAAA� �+<�

+�<�3����"�� �����>������-�>����-����AAAAAAAAAAA� �+<�+�<������"�� �����>������������-����AAAAAAAAAAA�� �+5�+�<�,��C# ���(�#������ ��� �������AAAAAAAAAAAA�� �+6�

+�/��G0-�"0"�"���AAAAAAAAAAAAAAAAAAAA��� �+4�+�/�3���0����&�����"�"��B0-�"0"��-������"�� ���

���>������-�>����-����AAAAAAAAAAAAAA��� �5*�+�/����G0-�"0"�"����"���"�� �� ���������>�����!�-# ��1�#���

#��> %�(��"#���"#"�� -�>����-����AAAAAAAAAAA� �53�+�/�,��G0-�"0"�"����"���"�� �� ���������>�������"���1%�� �

-# ��� �#��B���-"�"#���"#"�� ������-����AAAAAAAA� �5<�+�/�<��G0-�"0"�"�����01"�>�1�#����>��2"� ���� �AAAAAA�� �55�+�/�/��G0-�"0"�"����"��0����>0������2�#��AAAAAAAA�� �56�� �

5��������� ���������������������������������������������������AAAAA�� �6*�5�3���>�2"� ������-��>��������AAAAAAAA���AA�AAAA���� �6*�

5�3�3��C��1�1�#����������$�� �(�����0�����AAAAAAAAA�� �6��5�3�����>�2"������"����>"0��B����&����>"-��$�� "����#��B0-#�������

���0��"#"������>�2"�����AAAAAAAAAAA�AA� �6/�5�3�,����"�� ��$��2����-�>����-�����0�������AAAAAAA���� �6+�5�3�<����"�� ��$��2����������-�����0�������AAAAAAAA�� �6+�5�3�/����"�� ��#�0������#�� � �����AAAAAAAAAAAA�� �65�5�3�+����"�� ��$��2�����0%�����AAAAAAAAAAAA��� �66�� �� �

Page 8: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�6�

5�����>�2"���������-��>�����AAAAAAAA���AA���AAAA�� �66�5�,���>�2"�������������>������AAAAAAAA���AA��AAAA�� �64�5�<���>�2"� ���0�;�������AAAAAAAA���AA����������AAAA�� �43�� �

6���� �������������������������������������A�����AAAAA� �4,�6�3��� �"���2�����#��AAAAAAAAAAAA����������AAAA� �4,�6����9���#�������0���>��������AAAAAAAAAAA�AAAA��� �4,�

6���3��9���#����>���������"�"��-���">��"�����������>���� !�-������ ����>���� �������-��$�&�������(�� � �#�-> ����>���� �4,�

6������9���#����>���������"�"��-���">��"�����������>���� !�-������ ����>���� �������-��$�&�������(���"�-�>�1�#�������#�->������>����AAAAAAAAAAAAAAAAA��� �4/�

6���,��9���#����>���������"�"��-���">��"�����������>���� !�-������ ����>���� �������-��$�&������!� � �#�-> ����>���!�#"%���B�����>��������(����>�"#������8�&� ���>�"����-���"� ���AAAAAAAAAAAAAAAAAAA� �44�

6���<��9���#����>���������0���0"#����-���">��AAAAAAA� ,**�6�,��9���#��-��1�1�#�>�������AAAAAAAAAAAAAAAA�� ,*��

6�,�3��9���#����>���������"�"��-���">��"����������#�������!��"�-��������B����&"#�>"�-#">"#"�����>���!��"��8�#�"��#��>"-#�0�������B����&"#�#�->������>����(���"���>�����>����H���2#�H�1�#�AAAAA�� ,*��

6�,�3�3����&"#���>�����AAAAAAAAAAAAAAA� ,*��6�,�3������&"#�������""�AAAAAAAAAAAAAA�� ,*/�

6�,����9���#����>���������"�"��-���">��"���������#�������!��"���>�����>�������(����>�����-���#�&����-����"�#�-> ����>������� ,*+�

6�,���3����&"#���>�����AAAAAAAAAAAAAAA� ,*5�6�,��������&"#�������""�AAAAAAAAAAAAAA� ,3*�� �

4��������� ������������ �������AAAAAAAA���AAAA�A��� ,3��4�3�����"��"������1�& �(�����������>����#��"�"��>�>��0�����(��-�����A��� ,3��4����9 >"������-�� ��0�� �#���>�>��0"#"������(��-��������#� ������

1�& AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA���� ,3,�4�,����2��-��1�1�#�>������#��>�>���#���(���#��>��$����#��������������AAA�� ,3/�4�<�����"��������"� ��#������>�����-����"�"�� ���0�������(��-�����B��

��2�0�>�� �������AAAAA���AA�����AAAAAAAAA��� ,3+�4�<�3����&"#� *�� �AAAAAAAAAAAAAAAA�A� ,35�4�<������&"#� *�� �AAAAAAAAAAAAAAAA�A� ,36�� �� �� �� �� �� �� �� �� �

Page 9: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� 4�

4�/��9���#������(��-��������AAAAAAAA���AA����AAAA���� ,34�4�/�3��9���#��"� �����#�0����� � � � ��� ::73:: ������ �AA� ,�*�

4�/����9���#��"� ���#�0����� � � � ��::73:: ������� �AA���� ,�,�

4�/�,��9��"#�����(��-������"�>�>����-��>>������!���0-����>��$����;-���� ��#!��"�>�>�� �����������!�-�-"#� ������ ���� �� � � ��� ::7:: ������� �AAAAAAAAAA�� ,�/�

4�/�<��9���#"#�����(��-������"�>�>����-��>>������!���0-����>��$�����;-���� ��#!��"���>�� ��!�-�-"#� ��� ���� �� � � ��������� :3:73:: � �AAAAAAAAA� ,�4�

4�/�/��9���#�����(��-������"�>�>����-��>>������!���0-����>��������;��- ����#!��"�>�>�� �����������!�-�-"#� ��� ���� �� � � ����������� ::7:: � �AAAAAAAA��� ,,��

� �������������AAAAAAAAAAAAAAAAAA� ,,/�

Page 10: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�3*

Page 11: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� ��

����������

��������������

� ���������� � ��������������� ������� ��� ����������� ������� � ����� ��������� ���� ��� ��� ����� ��� ��� ������ ���� �������� � � �� ���� �� ������ ��� ������� �� ������ ������� ��� ������������ �� ��������������� �

� ������� ������ ����� ��������������������� ����� ��������� � � ��� ��� � �������!� ��������� ��� ����" � ����� #�� �� ��� �� ����� #� ��������� ��� ������ � ��������� #� ��� ���� �"�"���� ��� � ��� ��������� � ��������� #� ��������� ��� ��� ���� ��� ��� #� ��������� ��� ����������� �������� �#� ��������� ������������������� ����#���������������������� ��� �������� ��� ������������������� ��������� �� �

$���� ������� ����������� ����������%��� �� �����$����� ��

&��� �������������������

Page 12: Trandafir Matematici Pentru Economisti

���

Page 13: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� 3,

�3���(����������(,�� �(��� �

3�3��"�������&������ �����������

���>�>��0���� �� ��"� ��� #��������"� �� ���"��>�"��� � � ���!!! �3 !�>��>�����

>"1� ��0�7�

��

��

����

��������

������

��

��

����

����

����

���

���

���

��33

�����3�3

33�3�333

�� 3�3�3���

"���� �� �(�� � ��"� � ���!!�!3� �(�� �� ���!!�!3� �>"������>���������#�!�

�� � �� �

�3

!� � ���!!�!3� � 3�3�����

>�"�>"1� ��0 �0�������# 7���� � � 3�3�,���

"���7�

�����

�����

����

���

���

���

�����

��

�3

����3

33�33

�����

�����

���

3

�����

�����

��

���

3

��

9�������� �� >�� �"0�(��� ��������� ������� ���!� 1� >�� �"0�(��� ��������������������� ���!�����I������������������������

��"��"#�>�>��0�#����"� �� ��"� ���(�� �� ���"��>�"���-��>"-"��������0�������"�"��>�>��0����$�#���� �"0������������������"��>�"��#���> �$��� ����>�0"#������������"� ��#��>�>��0"#"���

��>��0"#������"� ���-����"������>��2 >�(���"���>�0�����>�>��0�����"0���!�>�"�0���0"#����>�0�����>�>��0�!������> �$��� ����>�0"#������������"� ��#��>�>��0"#"��>���"0�(��� >�>��0� ��0-���1�#� "���� �����0����!� ��>-����$!� >�>��0� ��0-���1�#��������0������ G�� ��&"#� B�� ����� �"� �;�>� � ����� "�� >�>��0� ��� �"0���� �"� ����>� �-��-�������!�>�>��0"#�>��$���"0��>�>��0�����0-���1�#��

�������������-��.�������$�� ������� 3�3�3���������� ���������� � ����

� ���� ��� ���������� �� � � �������������������� �� �� ���� �J

!�����7�

�����

�����

�����

����

����

����

������

��

�3

�����3

333�33

J��

Page 14: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�3<

��� � ���� ���J

���2���2 !� � �"0 �"#� ���"��>�"��#��!� ��"���� >�>��0"#� 3�3�3����>���>�>��0�"���������0������

��� � ���� ���J

���2���2 !� ��"���� >�>��0"#� 3�3�3��� �>��� >�>��0���0-���1�#��������0������

��"��"#�>�>��0�#���>��-��������#�&��(��-����0�������#�0�� ����>"���>�$�� 9������#"��E�">>�!�-��#%�2 ��#���0�������"��>�"�������#���"��

9������#"��E�">>����>� �B������> ��0 ����#�0�������>"���>�$���#��>�>��0"#"��B����"��>�>��0���8�$�#���!������$���#�0����-���%����%�����$����1�# �������������"� ��#��>�>��0"#"���"��;��- ���"����>��2"�����"� ���B���������� ������"#�$����1�#���$�� ���2�#��"�"���������

��� � *33 �� !���"����$����1�#�� 3 �����-��0����"� ���-������$������ ������"#�3�

��� � >�� B0-���������>� ���"� ���-���� 33� ��)#�0���"#� 33� � >��$���"0��������C��0����"� ���$����$���7�

33

3

33

3,

33

3,�

33

3�3 ���

� �

� ������ � 3�3�<���

C����"����#�0�������"��>�"��� 3 �������"� ��#�� ����!!,!� !���"� ��� 3�3�<���>��

B�0"# �(���-���%����"� 3,3�3 ���!!! ���� �(��>��>�����������"� ��� � !��-���������"� ��� , �

(���0��������1 �����"� ��#�7���"� ����7�

���

����

�����

����

���

�����

����

�����

����

��

�333

3��3

33

3�

,�333

3,�,��3

33

3��� ���

��

���

��

��

���

��

��

� � � ���"� ���� 7�

���

����

�����

����

���

�����

����

�����

����

��

333

33

33

3

,333

3,,�3

33

3�� ���

�����

��

����

��

���

��

��

���

��

��������������1 �����>� �#�"��>�>��0���8�$�#�����"�>�>��0"#���� ��#�B����������"��>�"���

3 �>��� # ������B��-��0����"� ��!��"���� �������"�"��

Page 15: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� 3/

��������

��������

���

����

���

����

����

������

����

��

���

����

���

����

����

������

����

��

������

333

3

333

3�3

33

3��

�333

3�

�333

3���3

33

3���

33

3

33

3,

33

3,�

33

3�3

���

���

���

��

���

����

��

��

��

��

��

���

��

��

��

��

���

��

�� 3�3�/���

G�����-��"�0 �����!���� � � � ������� ������"#����"#� B����"� �������"�!�>��$��

�#�2�����>���-�$���(�!�-���������(��0���� !�>��$��"�0 ����#�0����������"��>�"���� � �������������"� ��#���"��;��- �����"� ��������"����$���$������ ������"#�"�"��

�#2����0"#�$��������"��-%� ��%����"�$�0�0���-"�����#�0�����"- �-������"#����0���>">��������$����1�# ����>��0"#� 3�3�/�����8�$�#�����"�>�>��0"#� 3�3�3���>��-�������#�"#��(��>�8�0������"��H"���"#�0����������-�"�28�"#"���

��� >���"� ��� ����� ��� �"�"���� ���"��>�"��#��� (�� ���0����� #�1���� ���>�>��0"#"��� ��#�"#"#� "�"�� >�>��0� ��8�$�#���� >�� �1 ��� �>� �#7� #����� B��%�� >��B0-�����-�����#�0���"#� *33 �� !� 33� �-�$��"#�>��B�������& ��)#�0����#����#������B��%�� >"��� &����� ��#�#�#��� �#�0����� ���� ��#�#�#��� #����� >�� ��#�"#��& � ��0%��� "�����-�"�28���������������2���# �>�20���"#����"��(���#��"#��#�0���"#"�������#�"#���(��-�$��"#���"#���� �������$�� ���2�#��"��� ���� ���������-���">"#���� ����� �#������-�� ���2���#�� -�$��"#"�� (�� -���">"#� ��� ����� �#��� ��� -�� ���#�#� � ���2���# !��� ���� �������>��B0-�����#��-�$����

��8�0������1 ���07�

33� � 3�� � � � ��3 � 3� �

�3� � ��� � � � ��� � �� �

� � � � � � � � � �3�� � ��� � � � ��� � �� �

3� 3��� � � � ��3� � 3�� �

* � ���� � � � ���� � ��� �� � � � � � � � � �* � ���� � � � ���� � ��� �

Page 16: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�3+

"���7�

33

33 �

�� �

� �� �-����"� �� !3� !�

33

3333

����� � � �

��� �-����"� � !3� !� �� !3� !�

33

3333

�����

��� �-����"� � !�� !�

33

33 �

�� �� ��

G��0���>�0�#��!�B�����-�#��"�0 ������>���1 ���>�>��0����8�$�#������"�>�>��0"#���� ��#��

G�����-���� �� ��>���1 ���7�

3� * � � � * �� �3

3!3��

��� � � � � �3

3���� � � �3

3��� �

* � 3� � � * �� �3

3!���

��� � � � � �3

����� � � �3

���� �

� � � � � � � � � � � � � � � �* � * � � � 3�

� �33!

��

���� � � � � �3��

��� � � �3���� �

��#" ���>�>��0"#"��>������(��7�� � � � � �

� � � � � ��

����

����

��

��

��

��

�����

���

���

����

��

���

���

33

33!

3

333

33!3

333

���

���

� �

��� � �� � � (�� ��� ��J

���2���2 !� >�>��0"#� �>��� ��0-���1�#��������0������

�/�����$�� �>����&�#$��>�>��0"#7�

3 � , <

3 � , <

3 � , <

� , < �

/ <

� 4 � �

� � � ��� � � � �� � � � �

���� �7��#�>����0������#"��E�">>�-��&����� �0���>">!��1 ���07����������

Page 17: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� 35

� � , � < � 3� � � �

3� 3� /� � 3� < �3� � � 4 � �� � � �3� �:, � � � �:3� � 3�

* � �:3� � 5� � �:, � , �

* � �:3 � 5 � �:,� � ,� �3� * � �:34 � <� � 3* �* � 3� 3< � ,� � +� �* � * � * � * � * �

���������� B�� "#��0"#� >�>��0� ������ �#�0����#�� ,,� !� ,<� !� ,� � >"��� �"#�!�

�#2����0"#��"�0���-�����������"�����>��0"#��>�����0-���1�#��������0��������������

�J

���2���2 �� �� � �����0�����"#�0�;�0����"#����>��-����� ��0���>������������

������"��>�"���-�����-�#��>"��� 3 �(�� � ��

��#" ���>�>��0"#"���>��7�

3 , <

� , <

,

<

343* <

�+ 3< ,

� � � ���� � � � �� ��

��

��

3����"�������&�������� �����������

���>�>��0���� ����"� ��� #��������"� �� ���"��>�"��� � ���!!! �3 � >��>�����>"1�

��0�7�

33 3 3� � 3 3

�3 3 �� � � �

3 3 � �

���

���

���

� �

� �

� � �� � �

� � � �

� � � �

� � � �

� � ��� � � ���� � � �

��

� 3���3���

"����>�0�"#�K� ����-��&��� �"�"#�����>�0��#��K� L�>�"��K� L����>��0"#��������"� ����������� ������%������"� ����"�>�0�"#�K� L��%��(��K� L�-����� ����">�#��"��>�>��0������> ���� �� ��"0���"�"#�����������>���>�0���-���� B�0"# �����"���� ����"� ����"� �3������-������1 �����(�����"�������>��"� ��#�7�

Page 18: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�36

��

��

����

��������

������

��

��

����

����

����

���

���

���

��33

�����3�3

33�3�333

�� 3�������

>�"��

��

��

����

��������

������

��

��

����

����

����

���

���

���

��33

�����3�3

33�3�333

�� 3���,���

��"��"#�>�>��0�#����������"� ��� 3�������>�"� 3���,���>�����"���#��>�"��"#�"�"��>�>��0���� ��"� ��� -���� ��"�����!� ��>-����$� >� �����!� #�� ������� ��"� ��� �� "���� ���"��>�"����";�#����!�-�&���$���"���#�����2�#�&���!�(����"0�7�

��

��

�����

����������

�������

��

��

�����

�����

�����

���

���

���

��33

������3�3

333�3�333

�� 3���<���

>�"��

��

��

�����

����������

�������

��

��

�����

�����

�����

���

���

���

��33

������3�3

333�3�333

�� 3���/���

"���� *� � �-����"� � !3� ��

��0� �"0�� >�#" ��� �� >�>��0"#"�� ��� ����"� ��� 3������!� ��>-����$� 3���,��!� "��>�>��0����$�#���������$��� �� �>�0"#��������������"� ��#��>�>��0"#"���

������ $� �� � �� ���� � � ������� �� ����� � 3���3��� � ���������� ����� ��� ������� ������ � 3���<������� 3���/���� ��� ������

�������� ���K� L����>�>��0"#��������"� ��� 3�������>���>�>"1� ��0 �0�������# �

�� � �(�� * ���>�#" ��������>�"��>�>��0������� �� �* ��

��>��0"#� ��� ����"� ��� >�� ����> ��0 � B�� >�>��0� ��� ��"� ��� 3���<��� >���>� >"1� ��0 �0�������# 7�

��� �� � >�"� ��� �� �

�"�� *�� !���"���� � �** ! � ��>���>�#" ���>�>��0"#"����� �

*** ��� ��� ��

Page 19: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� 34

K� L� ��� � �** ! � � >�#" ��� -����"� >�>��0"#� 3���<��� ��"���� ** �� � (��

��� �� ** � ��� "���� �1 ���0� �� �* � (�� ����� * � >�#" ��� �� >�>��0"#"�� ���

����"� �����/�����$�� �>����&�#$��>�>��0"#��������"� ��7�

���������

<,�

��

,�3

,�3

,�3

���� �����>��0"#��������"� ���>������> ��0 �B����"��>�>��0������"� ����

������������

<,�

��

,,�3

�,�3

3,�3

C����0�������#�0�� ������0-#�����1 ���07�

3 � � � , � 3� � �� � ,� � � �

� � 3� 3� � 3� * � * � � �

3� � � , � * � 3� * � 3�3� 3� � 3� * � * � 3� , �3� �:3 � �:3� � �:3 � * � * � 3�

* � �:, � �:5 � �:3� � 3� * � * �

* � �:,� � �:, � �:3� � * � 3� � �3� * � ,:/� � ,:� � ,:3� � * � 3�* � 3� ,:5 � ,:3� � ,:� � * � * �

* � * � / � 3� � 3� 3� � �

3� * � * � ,:3 � * � ,:3 � ,:/ �* � 3� * � 3/:� � /:3 � 3/:5� � 3/:3<� �* � * � 3� /:3� � /:3 � /:3 � /:� �

���#" �����>�>��0"#"�������"� ����>��7�

����

����

����

�����

���

*!!/

3

/

3

/

3

/

�3/

5

/

3

3/

3/

3</3

,3

,/

,�3

,�3,

,�3�

,33

���

���

���

��

Page 20: Trandafir Matematici Pentru Economisti

��*

G�����>���� !�>�#" �����>�>��0"#"���������"� ����>��7�

���

���

��

/

�3/

3</

,

,

3

�3�,��"�� ���0����������

���! ���0"# �0����$�� �����#�0�����(�� " �"�����-����>��#���� �����2"# � " ��>������-"#��"0���#������#�� � �>�"����-"#��"0���#�����0-#�;�� � ���C��0"# �0���! �>���� ���>����" ��-��� ��7�

3�� �-��� ��� ��� ��"����� K� L� ��� #�2�� ��� ��0-�&� ��� ������ !� ����� �>����& � ��� ����-����8������#�0����� � � !!� ��! �"���#�0����>"0 � !� �� ��

����-��� ��� ��� B�0"# ���� �"� >��#���� KML� ��� #�2����� ��0-�&� ��� �;���� !� ������>����& !� ��� ����-����8������#�0����� � � !" ���! �"���#�0���� !��� ��

��1��� ��$���� �����# � �! ������������� �#����� �������� �� � ��������������" ���� � � ��!! ������������� ��$�� � #�� % � 7�

3�3��� �� ��� ��������� � � !� �� ! .�

3����� � � � �&�&� ����� �������� � � !&� �� !! .�

3�,�� � � !�� !� � � !* � ������� ������� � !! �* � ���%�� ���'��

!! ���� ** ��

3�<�� � � !�� !� � � � � ������� ����!� !�� ����%�� ���'��

� � � � ! *������ �

� ���3�� � � !���!�� �������� � � "�!�� ! !� !� .�

����� � � �� ������ �������� � � "��� !� !� �! .�

��,�� � � � � �!��!�� �������� � � "�!�� ! !� !� .�

��<�� " ��3 �������� � � !�� �(�� "" �3 ����� ��7��

3�� )#�0����#��"�"��>-� �"�$�������#�! �>���"0�>��$����������� )#�0����#�����-"#"��" �>���"0�>��>��#�����

��1��� ���� � �� ! � �� ��� � #����� �� ����� ������� " �� (� #�������!#� � �� ������� �� ��� ��� ������ � #����� ���� !### � ����!!! �3 � ��� � ��

������ � "� ���� ���!!! �3 ����%�����'�7�

��#### ������� �����33 ��

Page 21: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� �3

��1��� ����(�� ������#����� � � " #�### ���!!! �3 �� ��! ��������������������

���������� ��� ��� #����� ���! ���� �� ��#������ !#� ����������� �������� �� �� � �� �#����� ���� �### ���!!! �3 ��

��1��� ���� (� � ���� �� #����� " #�### ���!!! �3 � � �� ! � �� ������� �������

��������������������� � ����� ������*�����33 ������� ��### � 3�,�3���

��&��� ������ ��� *����3 ������� � ��

�� � �� ������ ����� $� ��������������������������������������)�����2� ��� 3$4$3$�!����� � !### � ����!!! �3 � ���� � � �� �������� ��� �

���� ��� ����� ���#������ ����� ��������� �� �� � �� ���� ��� �� �������� ���K� L� ��� �### ���!!! �3 � $������� #������ ��-����� ��� ��"���� �;�>� � >��#�����

���� ���!!! �3 !��"��� ���"#�!��>� �#�B��%�7�

*�����33 ������� ��### ��

��� "*3 �� !���"����-"��0�>����7�

�� #�

�#

�#

�#

3,

3

,�

3

�3 �������� �

������������ �� �$�����"#� 3# �>��>������������01��� ���#����� �������#�# ��$��������

K� L� C��>"-"��0!� �$���"�#� ���"0����%��� $�������!� � � 3# � >�� >����� ��� ��

��01��� ��� ��� $�������� �### ���!!! ,� �� ��"���� �;�>� � >��#���� ���� ���!!! ,� � �"� �� ��

�"#���>� �#�B��%�7�

��#### ������� ���,,��3 �

>�"�

!��#### *���,,��3 �������� �

�����$��������� �### ���!!! �3 �>"���#��������-����� ���

��1��� ���� �� ! � ��� � #����� �� ����� ������ " �� (� � ���� �� #����� �!* $ ���������� �������� ��#����� �� ! ���� ����%������ ���+����� �

�� � �� #����� � � �� ��������� ) ��� ��� #����� ��� � � ��& ������ � � ���� ������� ��� ��

�����2� ��� 3$4$5� � �� ! � �� ��� � #����� �� ����� ������� " � � �" #����* ���!!! �3� � � ��& � ��� ��� � ! !� ����� �� �� #������ !#� � �� ��� � ��

����� �������� �� �� � �� �#����� �����&� �� �������� �7� C��>"-"��0� � � $�����"#� !#� � >�� -����� �;-��0�� B�� ��" �

0��"���B�� "�� ������$��������1�&��� * �(����"0�7�

�����# ������� �����33 �

�����# !��!�!� �����33 ��

Page 22: Trandafir Matematici Pentru Economisti

���

�� &%�����#����" ���#� ����1 ���07�� � � � � � ���! ��� !����!���!��� ���* ���333 �

���������1�&��� ���� ���!!! �3 !���� ��0��� ��� ���!�>"���#����������-����� �!������

�� �� >��#����� ��01��� ���� >"��� �"#��� ����7� 33 !�� !� �� !�� !� A!� �� !�� �� G��

���>���� !�"��$������>��>������������01��� ��#����� �"��� ����$��������1�&����� ��1��� ����,��% � �� �� ���� ���!!! �3 �� �����&��� � #�������� � !#� ���

��&�� * ������������������#�������� �! �����&�� * ������������ ������ � ��# ���� ���!!! �3 ��

��� ������������������ �� ������������>���0"# �0��7��

3

���� !�

� %� �� �� �� �� �� � � � � � � &� �� �� �� �� � '

� � � � ��

�-�������>���� ���>���-��� ��#�7�

�����

�����

��

�����

�����

�����

�����

��

���� �

����

��

33

3

3

��

(���

�����

�����

��

�����

�����

����

��

��

3

3

��

�����2� ���3$4$4$�� ��������#����� �� ��� 7�

�����

�����

*

*

3

3 �� !�

�����

�����

*

3

*

� �� !�A!�

�����

�����

3

*

*

��� �

%�����& ���& ���� ��� #����� ��� �� ���� � � ���������� �������0� ����G��>-� �"#� �� ��;�>� ����� �����������1�&��������2� ���3$4$6$�(�� ������ #����� � !### � ����!!! �3 � ���� #����� � � ��

��������� ��� ������ ���� �� #����� ��� ���� ���� �� ��� ��� #����� ���)!����� ���� � � �� �������� ��� ������ ���� �� #����� ��� ���� �� � � ����� ���#����� �����

Page 23: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� �,

�������� �7����$��������

���

���

��

��

#

3

33

3 � !����

���

��

��

#

�3

� � !�A!����

���

��

��

# �3

��

)��>"���#��������-����� ����� �(���"0������ ��;�>� �>��#���� ���� ���!!! �3 !��"�

�� ���"#�!��>� �#�B��%�7�

33 �3 3

3 �

3 �

*

���

*

� � ��

� � �

� � �

� � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �

� � � � �

���������>�����8�$�#�����"�>�>��0"#��0�2����"� �� ���"��>�"���(�� �� ���"� ��7�

�������

�������

*���

*���

��33

3��3333

�����

��

���

���

� �

��>��0"#��0�2�����0����>�#" ����� ���������>�#" ���1���# ���� �(���"0������ ��� ����2 � �"0 �"#� ���"��>�"��#���� ��� � �� ����2 !� >�>��0"#� �>��� "����

�����0����� (�� ��0���� ����� >�#" ��� 1���# � ����� ��� ���� � � � $�������� >"��� #����������-����� ����

9�������� � ��>���0��������$������#��7�

�����

�����

����

���

���

���

�����

��

�3

���3�

3�333

�������� ��3$4$7$�-���� ��#����� ��� �� ���� �������� �#����� 7�

���

���

��

��

#

3

33

3 � !����

���

��

��

#

�3

� � !�A!����

���

��

��

# �3

%�����& ���& ���� ��� ��� � ���� ��� ������ ���������� �� #����� ��������������

��������

Page 24: Trandafir Matematici Pentru Economisti

��<

�����2� ��� 3$4$8$� %�����1�������� ����&��������� ����� 0������ �����9����������2��'��

� �� �#�� �� � " #����� !���!! �3� �� � " #����* !���!! �3� ���� ��&�� �� �� ��

�� �

���

���

��

�#

#

# �3

!�

���

���

��

��

3

33

3 � !����

���

��

��

�3

� � !�A!����

���

��

��

� �3

!�

���

���

��

��

3

33

3 � !����

���

��

��

�3

� � !�A!����

���

��

��

� �3

��� ���� ���!!! �3 ������������#��$�����"#"�� # �B��1�&�� � !���"����

�����# ������� �����33�

>�"���� �# �

"���� � �.������ ���!!! �3 ��

��������� 1�&��� � � -��� �� �;-��0� �� #�� �%��"#� #��� ��� �� ��01��� ��� #����� � ���$��������1�&��� * !������

� � ���� (��(�(� �����33 !� 3! �� �

C����"����(���$�������B�#��"� ��B����01��� ���#����� ���$�����"#"��# !��1 ���07�� �

� �������

��

���

���#

(��(�(����(��(�(�����

������

��33

3�3�3333 �

>�"�� � � � ������� ��# (���(���(���(�� ��������� 3333333 ��

G�����>���� !�����������#�� � �.�!!!�! !���!! �3 ��#��$�����"#"�� # � B��1�&�� * �$��� �7�

(���(��!

(���(��!

�����

��

���

���

33

33333

� �

���

Page 25: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� �/

����> �0�������#!���#� �����$���7����! � �

"����

���

���

((

((�

���

����

3

333

��

� �>���"0�(��������������������������#��1�&�� � �#��1�&�� * ���� �����0� ���

3�� 9����������������������#����1�& �#���#����>���B�������"���0���������>��2"#�� ����� ��� �0����������������������#��1�&�� � �#��1�&�� * ��>���� !���"����0�����������

�����������#��1�&�� * �#��1�&�� � ��>��� 3�� ����� $�����"#� � � �3 �! !���! �

�# # # #� �� !� �### !���!! �3 � >"��� ����������#��

$�����"#"��� # �>���>�B��1�&��������� ��

�����

�����

��

�����

�����

�����

�����

�����

�����

3

*

*

���

*

3

*

*

*

3

�3�

3

���� �

###

#

#

#

!�

#/# �� �"���7�

�����

�����

3**

*3*

**3

�����

��

/ ��

����������#�� #"�� # � B�� 1�&�� " #����� !���!! �3� � >"��� � �.���� !���!! �3 !� ������

��� �# �>�"�

���

���

���

���

��

���

���

����

� ��

��

#

#

��

����

�3

3

3333

����������#��#"�� # �B��1�&�� * �$��� �� � ��!!�! !���!3 !������ !�� *# !����"����

��! �* �>�"� ��! � �* 3 ��

G�����>���� !�0����������������������#��1�&�� � �#��1�&�� * ��>����*� 3�� �� N��

����

Page 26: Trandafir Matematici Pentru Economisti

��+

�/������� ��� $�������� � � �.� *!3!33 � !� � �.� 3!�!3� �� !� � �.� <!�!3, � � (�� "��

$������ ,#�� ��;-��0���B����-�����"�1�&�� " #,�3 !! ���� � �-��������������#��3!� � �

(�� 3��� �>���;-��0������������#��$�����"#"�� # � B����-�����"�1�&�� " #,�3 !! ���* � !�

"���� � �.� ,!�!33 �� !� � �.� 3!3!3� � �(�� � �.� ,!�!3, � ��

���� ���9������#�� ��� �������� ��� #�� 1�&�� � !� ��>-����$� * � #�� 1�&�� ������� �>"��7�

���

���

� ��

<3*

��3

333

� �(�����

���

���

,3,

�3�

333

* ��

����������#��$�����"#"�� # �B����-�����"�1�&�� * �>"��!���� ��0��1>��$� �������0���>">!���#� ���� N�7���

���

���

��

���

���

���

���

� �

���

���

���

��

����

���

���

���

� �

���

���

���

���

���

!!! �

5:3*

5:,

5:3,

,

3

<3*

��3

333

5:,5:<5:3

5:<5:,5:+

5:35:35:�

,

3

<3*

��3

333

,3,

�3�

3333

,

3

�3�<��"�� ��������&�����

��1��� ���� � �� ! � ��� � #����� �� ����� ������ �� ������ " ��� ��� �� ��

7% ! !� )� !������ � � �! !% � �� >�"� � � � �! :% � �� ����������������

��������� ��� �%���7�3�� ��� !!! �3�3 ��� � � � !� �� !! �3 .�

��� �� !! � � � � !� �� ! .�

,�� �� !! ��� � � � !� �� ! !� � � "��� .�

<�� *! � �������� *� �� � �

��1��� ����(� ��� � #����� �� / ����� ������� " � �� ���� �+� ��% � � �������������������������� ��������������

�/������� ��� � >-� �"� $�������#� ! � �>��� �� ��0��>����#� -�>��� ���-"#� ���

>��#����" �(��-���">"#�>��#����� "�� ��� 7 � �% � )� � � ��>����� �����-���7�

�� ���� ���� ���! ��33 �

Page 27: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� �5

>���1>��$ ��"�"("��� �� �>��$��� �� ���#��-���"�-��-���� ������� ��� ������1��� ����-���+����� ����� � ���������������$�� #����� � /� �! ���

������#����� ���������� ������������������������$��� *! �� ��

��1��� ����� �� / � ��� � ���� � ��)(� � ���� / � �!���!! �3 � �� �������

������������� �� #����� ��� % ����� #������ � �>�������2���#�-�� �� �� ���#�# ��

$������������� *! �� �-����"������� � � � �� !3! � ��

�����2� ���3$6$3$�-��� ����� ����� � �� �� � ���� ��������������� " �� �� ��� �� � � ��& ��������� ���� �� ����� ������ �� �� ��������� �� ,����."�9��&���

���-#��� ���� #����1�& ������������>-� �"#"�� � / !� " #����* !���!! �3� � (��>��$���

���>��"��$�������7�

33!��33

3�3��

33

��� ��(��(�(��

(���

������� �����

���

��

���

���#����� �( � >�� $��� �����0���� -"�%��� ����� ��� ��� �������� ���� ���� $�������

���� !���!! �3 �> � �������2���#��

33

3��33� !

!*!

��

���� �(�� �

33

3,,33, !

!*!

��

���� �(�� �

��

�,,��, !

!*!

��

���� �(�� �

����1 ������

���

��

!

!�( ��

�/�������� �>�����>��"��>� ���1�& �����2���# ���>-� �"#"���"�#������� ,� ��

���� �7����$�����������

���

��

*

3

3

3� !����

���

��

3

*

3

�� !����

���

��

3

*

,� ��

���(��������$��������$%���0�������� � ��"� ,���2 �� � ��0��& ���1�& ���>-� �"#"��,� ��

��

Page 28: Trandafir Matematici Pentru Economisti

��6

���$������>��"��$�������7�

���

���

���

*

3

3

33 �� .�

� � � �� � � �

���

���

���

���

���

��

���

���

��

���

���

��

����

���

��(��

3

�:3

�:3

*

3

3

�3

3

*

3

*

3

3

*!3!3!*!3!3

*!3!3!3!*!3

3

*

3

3�3�����

.�

� � � �� � � �

� �

, ,3 3 ,� �,

* 3*!3!� ! 3!3!*

3 33!3!* � 3!3!*

� *

3 3 3: �*!3!� ! ! ! 3� �

3: �3 3 3 3

! ! 3 ! ! ! 3 3� � � �

* 3 3: � 3: ,3 /

3 3 3: � 3� ,

� * 3

� � �� � �� � � �

� � � �� � � �� � �� � � �� � � �� � � �

� � � �� �� �� � � �� � �� �� � � � � �� � � � �� � � � � �� � � �

� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � ��� � � � � �

: ,

3: ,

� �� �� �� �� �

��

��������� ,�3 !! ��� � ��0��& ���1�& �����2���# ���>-� �"#"�� ,� ����������>"���

�����$�������#����������-����� ��(������2���#�������%��������� ��1��� ����� ��! ���� �#����� ��������������" ���%��� �� 7% ! )� !�

����� � � � % � ��������������#�������� � !� !� ���� #�� % � 7�

3�� *� !� � � !�� .�

��� ����� !� � � !�� !� � � "��� .�

,�� �� ��� !� � � !� �� ! ��

�����0� ������0��"�"��$������-��"��>-� �"��"�#������>��-������� ����B��0���0"#��� �#"�������$�0� �#�>�����0���� ���� ��"��H"���"#�-���">"#"��>��#��7�

!� ��

Page 29: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� �4

��1��� ����(���� �#����� ���������+���% � ������ ��#���� ��� �������������������

�����2� ���3$6$5$�-��� ����� �#����� ��������� �� ���& ���������� $�� � ���& ��������� �����������% �� �� #������������� ���� �������

�����1�& �����2���# � " #����� !���!! �3� ����>��"�� �-����-������"#�E��00�

��80��������$�����>��"����1�& ��������0�� �����1�&�� � �-����B0- � ����� ��� �"��$������

#�����0��>�������1 ����1�&�7�

33 �

�� � !�

�� �

�� � !�A!�

�� �

�� � ��

�/�������� �>�������0������1�& ��������0�� ���>-� �"#"�� ,� ��0�&��#���7���0�-#�����"�1�&������2���# �

���

���

��

*

3

3

3� !����

���

���

3

�:3

�:3

�� !����

���

���

,:3

,:3

,:3

,� ��

� ��0����0�� �������$�����7��

����

����

����

���

���

*

�:3

�:3

*

3

3

333

33 �

�� !�

����

����

���

���

���

����

,:�

+:3

+:3

3

�:3

�:3

�,

33�

�� �

�� �

����

����

�����

���

����

,:3

,:3

,:3

,:3

,:3

,:3

,

333

,,

, ��

� �

��������� ,�3 !! ��� � ��0��& ���1�& ��������0�� ���>-� �"#"�� ,� ��

3�/�������� �����������

��1��� ����� ��! !�! � ���� ��� #����� �������������� ������������ " ��� � ���� �� � � ������� #� � � � ��� �� �� !!. �)7 � �� ������� ������ ��� ��������������������������� ��� ������ � # � ������ $��� #�� % � 7��

3�� � � � � � ��..�. ��� !� � � !� �� ! .�

��� � � � �.. ��� !� � � !�� !� � � "��� ��

Page 30: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�,*

��������3$7$3$����� �� �� !!. �)7 �������� �� �� � �� ��� � ���� ��� 7�

� � � � � ��..�. !���!�� !� � � !� �� ! !� � � "�!�� ! � N�� �������� ���K� L�. ��-#��� ���#����� ����0���#�"#���"��H"���"#�-��-���� �#�������� ��� ���

3!���$�#������� � � � � � � � � ��..�..�. !���!���!�� �

K� L��C��>"-"��0�� ���#� ���� � � � � � ��..�. !���!�� ��>���$��� ���� ��

��"��������>���$��� ���� �(��-����"�>��#����� "3�!�� �������������"���#���2�#�������

3���%��(��-����"�>��#��"#� "*�! �������������"���#���2�#���������������0� ���� �����0�� 3�,�3�� -����� �� �#�>�� � ��� �� ��� ��� -����"� �-#��� ���

#����� ���������� 3$7$5�� � �� ! !� ! � � ��� ��� #����� ��� ����� ������ ���� ��

������ � " .� " #����* !���!! �3� � � ��& � ��� ��� #����� ��� ! � � �

" #����* !���!! �3�� � � ��& � ��� ��� #����� ��� ! � !� ����� � �� � ��� �� �� � �� !!. �)7 �������� ������7�

� � �� ��. � �������� � � " #�� !���!�!3�� �

�������� �7���� !#� !� !!. �)7 ����-#��� ��!�� � �����#. !��!�!� �����33 !�

$�0���0��>����� ��-#��� ����>� �#��� ���� ��>���#����� ����� 3# !� �# �����$��������������������! ������>��-����;-��0��B�� "�� ������1�&��

* ��>� �#7�

�����# 3�3�3333 ��� ������� !�

�����# ����3�3� ��� ������� ��

��0���#�"#��� � � �

� � � � ���

����

��

����##

�33�333

�3�33333�3

���

������

!������!����������!�������!��

� � � � � �� � � �� � � ��3

�3�33333

�33�333�3

������

���

#.#.

����

��##.

����

���

!��������!�������

�!������!�����!���

����� �-#��%��� �����0�� 3�,�3�� �-#��� ��� . � �� ���� � 0��� >">� �>��� �� �-#��� ���#����� ��

C����"� ������ $������ � *�� � � ����������#�� >�#�� B�� 1�&�� * � >"����

� �*!���!*!3!*!���!*

*�(�������-������ ��� ���

� � ������ �������. ��������� �� *���*3*���* 333 �

Page 31: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� ,3

G�����>���� ��;�>� ����-#��� ���#����� ������$��� �� �� � �� ��. � �

��������3$7$4$���������������� ������������ ���������������-#��� ���#����� �� !!. �)7 !�! !�! � �>-� ���$�������#��-�>���"�����-� " !�" #���* !���!3� � �� 1�& � �� >-� �"#"�� $�������#� ! � (�� " #���* !���!3�� � �� 1�& � ��

>-� �"#"�� $�������#� ! � �� ��� � � "�� $������ ��������� ���� * � ��"���� � � �. � �>��� "��

$������ �#� >-� �"#"�� ! � � (�� -����� �� ��-��&������ B��0��� "���� B�� "�� ��� ��� $��������1�&��� *� 7�

� � � � ����. ������� �����33 �

9�������� ��0�� ���������������#��$������#��� � � � � � ���.�.�. ���!!! �3 �B��1�&��

*� � >�� $�� �"0���������� ������ � ������ ���� �������� . � ��� ������ ��� ��������� ��� ����" #** �! ��

� ������

�����

���

������

��

����

** .�

�����

��

�3

���3�

3�333

! �

�/������� � � >�� �����0���� 0������� �>����� � �-#��� ���� #��������� ,7. )� � !� � � � ��3��3�3 !!! . ����� �B����-�����"�-����8������1�&��

" #�3 !��* � !� ���

����

��

3

33� !� ��

����

���

,

3�� �

(��

" #,�3 !! ���* �� !����

���

��

3

3

3

3� !����

���

��

<

,

3

�� !����

���

���*

3

/

,� ��

���� �7��� � � � � � � ��!3!�33!3!333!33 ��������� .�. �

� � � � � � � ��!,!�,3!,!,3,!3� ���������� .�. �

����������#�� ���>���� ���� $������� B�� "�� ��� ��� 1�&�� *� � >"���� �6:3!6:4!<:3* � � (�� ��>-����$� � �6:5!6:3!, �� ����� 0�������� �>����� � -����8��� ���1�&���>���

� ����

���

����

6:56:3

6:36:4

,<:3*

! .� ** �

Page 32: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�,�

3�+��!�����������������0��������������������� �������������� �����������

��1��� ����� ��! ������ �#����� ��� �� � ���� ����������������������� �" �� � !!. )7 ����� �� �� � �� )(������� "�( �������������������������������� �� �� � �� �. ���� � �� ����� ���#���������� !#� ����%�����'�1�

� � ##. (� � 3�+�3���

������"#����"#� !#� ������$��� �� ���#� ��� 3�+�3���>���"0�(����������������-����"��-#��� ���#����� �. ��>������$�#�����-��-����( ��

3$8$3$� ������������� 0��������� ��� 0���������� �������� ������� �� ������ ���������

��� !!. �)7 ��-#��� ���#����� ��"�0���������-#��� ���� .� !��� ���� �B��3�,�,�!�

B��1�&�� " #���* !���!3� ����#� ��� 3�+�3���>��0���>����7�

� � *�(� ##. �>�"�

� � !�. #/� *�(� � 3�+�����"����

���

���

��

���

.

��

��

����

3

333

!����

���

��

3*

*3

����

�/ �(�����

���

��

�#

#

# �3

��

��#� ��� 3�+���������"���#��>�>��0"#7�� �

� �

� ���

��

�(����

���(������(�

*���

*���

*���

��33

����33�

3��3333

�����

��

��

#�#�#�

#�#�#�

#�#�#�

��� 3�+�,���

G�����>���� !�����������#��$�����"#"��-��-��"� # ����"#�>"���>�#" ��#��>�>��0"#"���0�2��� 3�+�,������#" ��#��>�>��0"#"���0�2��� 3�+�,����"�>"����������"#���"0������ ������0�����"#�>�>��0"#"���>����"#��

�����0�����"#�>�>��0"#"�� 3�+�,��7�

� �

(�

(�(�

�(

����

���

���

���

2

�����

��

�3

���3�

3�333

>���"0�(��������������������������>�������-#��� ����#�������. ��)�"� ���� � � *�(2 �

>���"0�(������� ���������������� ����-#��� ����. �������>��$��� �� ������0�7���������3$8$5$�� �� !!. )7 �� "�( ������#����������� ����� �� �

� � ����. ���� � ���� ��� ����� � � � ����� � �������� �� ����

Page 33: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� ,,

�����0� ��3�� C�#���0"#����������>����(���������"� ������������>��� ��"���-��������1�&���#��> ����� ��������� -��-���� �>���� �� �-#��� ���� #������� !!. )7 � -����"� $�#���#�� -��-����

�����0������ >�� �1 ��� B�#��"���� $�#���#�� -��-���� B�� >�>��0"#� 3�+�,��� (�� ��&�#$%���>�>��0"#�� ��#" ��#�� >�>��0"#"�� $��� �� ����������#�� $������#��� -��-���� �>���� ���-#��� ����. �B����-�����"�1�&��* ��

,�� ��� ���� $�#���� -��-���� ( � B�� ����>-"��� �� �� �������� ��� $������� -��-����� ��>��0"#��0�2��� 3�+�,����>�����0-���1�#��������0������� ��� � � *�(2 ��9"# �0���>�#" ��#��� ��0��& �"��>"1>-� �"!��"0����� ��� ���������������������������������������������������& � " # � �" ###.!##/ (���( !*O ��

<�� ���$������-��-��"� # �-����� ���>���������$������-��-��"�"����>��2"���$�#����-��-�����>����� ��-#��� ���� #������� . ���1>��$� ��� >����0��>����& �-��>"-"�%������-����"�# !� $������ -��-��"� �#� #"�� . � �;�>� � ��" � $�#���� -��-���� ���� !� � � ##. (� � (��

� � ##. !� !� !# *� �� ��"���� ## !�( � >�"� � � *�!�( # �� G�� ���>���� �

*�!�( !� !�( �(�������-��>"�������>��� �#> ���/�����7� � � >�� �����0���� $�#���#�� (�� $�������� -��-���� �>���� �� �-#��� ����

#������� � �7. )� � ��"� � � � ��3�3�3 �!�! ######. ��� ������ �7�9���������-#��� �����>���

���

����

��

3�

�3.� ��

C����"���"� ������������>��� ��$�07�

� � � ��

�(��(

+��(�+�(�

(��(

,

3*<3*

3�

�3

3�2 ��

���������-��-�����>���� ��$�#�����-��-���� 33 ��( ��"�����������#��B����-�����"�1�&��������� ���������>�>��0"#������"� ��7�

� �� �

����

+�

�(����(�

*��

*��

*3�

*�3

�3

�3

�33

�33

��

��

��

��!�

�"�>�#" ��� �3 �� �� !� �� �� �� ��

�"1>-� �"�$������#���-��-��"����#"�� 3( ��>��� � �3

! !/ # # � � �� � � � �� ��

���������-��-�����>���� ��$�#�����-��-���� ,� �( ��"�����������#��B����-�����"�1�&��������� ���������>�#" ��#��>�>��0"#"���

� �� �

�����

+�

�(����(�

*��

*��

*3�

*�3

�3

�3

��3

�3�

##

##

##

##�

�"�>�#" ����������0���� � 3## �� �3 !��"� 3�� ��

�"1>-� �"#�-��-��"� � ��

! !/ # # 3 3 3� � � �� �

Page 34: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�,<

��������3$8$4$� �� � �### !���!! �3 � ���� #����� ����� � ��� �� � � � ����

!!. )7 � ���� � #���� ��� ����� � �� ���� �(( !���!3 !� ����� � ���� � � ��

��������� ) �������� �������� �>�� ����-��>"-"�%���� �$����������� ����-����� �!������

���$��� ���7�

!��### *�����33 ������� � 3�+�<���

�"� *�� ��

��������� -��-���� ��� �-#��� ���� #������� . � $��� �� � � � 333 ##. (� !� A!�

� � ��� ##. (� ��

��#�"# 07��� � � � � �

!���

����

##

#.#.##.

*���

������

333

3333

�(���(��

����������� 3�+�/���

��� ����� 3�+�/���>� ��0� 3�+�<���B�0"# ����"� 3( �>���1 ���7��

� � !����� ##### *������ ��333333 �������(�(���(� �

>�"��� � � � !��� ## *��� 3��3� ��(�(���(�( �

�"0�$�#���#��-��-���� �(( !���!3 �>"�����>������!���� �$�������� �### !���!! ,� ���� ��

����-����� �� �0� �1 ���� *���� ����� � !� ����� ��� ��� ������&���� -��>"-"������

�"� ����&"#� �� �$��������-��-����>"���#����������-����� ����������� 3$8$6$� � �� ! � ��� � #����� �� �� � ���� ���� � !� !!. )7 � �

��� �� � � � �� � �((( !���!! �3 � #���� ����� � �� ���� ������ . � ����� � �� �

��& � * ��������! ����%�� ���'����� ������� �� ��� �� � � � ����. �� � � %��� � ������ ������������� ������� �� �� �����������#���� ������� )�

�������� �������� �-#��� ����#�������0��3�+�,��� ���$��������-��-�����>���� ��$�#���#��� -��-���� ��>������� �((( !���!! �3 � >"��� �### !���!! �3 � #������ ����-����� ���

��������� �### !���!! �3 � ��0��& ���1�& ���>-� �"#"��! �� ����"0 �"#�#����>���0�;�0�#��

9�������� �-#��� ���� #������� . !� � � ##. ( !� � � !3� � B�� ��-���� �"� -����8��� ��� 1�&��

" #**! ��>��7�

�����

�����

(

((

.�

�����

��

**

**

**

3

��

Page 35: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� ,/

�������� 3$8$7$� � �� ! � ��� � #����� �� �� � ���� ���� � !� !!. )7 � ���� �� �� � �� ������������ ����������� �� �7�

� � � � � � � � ���

��2 (�(��(�((�(�( �����

33 �

�"� ���� � ���� ����3 ������� � �� ���& � * ����� ��� #����� ���! ����%��

���'����� ������� �� ��� �� � � � ����. ���������������3������&��" #**! �� � � %��� � ������ ��� � ���� ��� � ���� ���� % �� �� ������ ������ ��

/( � ��������& ��� #���� ����� � ( � ���� ���� ��� � � + ��� ��� ��

���� �� � ������#���� ����� ������� #��� �

��������

��

.� ((((� !���!!���!!���!���2

3

33 �

*�&�� * � ���� %����� � � #����� ����� ���� �'�� ������ ��� ����� ��������& �������

�/������3����� , ,7. )� � ���� �-����

� � � �3 � 3 � , 3 � ,< ! , !. # # # # # # # # #� � � � � � � ��

� � >�� >�"���&�� ��� � �;�>� � �� 1�& � �� >-� �"#"�� $�������#� ,� � B�� ��-���� �"� �����0���������>����� ��-#��� ����#�������. �> ���1 � ��0 ����2���# ��

���� ���9������������> ��0 �����>��7�

���

���

��

��

33*

3,3

33<

.� ��

C�#���0"#����������>�����>��7�

� � � � � �(�(��(�

�(��(�

�( �,

33*

3,3

33<�2 !�

�������"� ������������>��� � � � � � *�, � �(�(� ����� ,�( �$�#�����-��-�������������

���0"#��-#������������ � � ��� ��"1# ��(�� ���( �$�#�����-��-������>����� �����������-��-�����>���� ��$�#�����-��-���� ,�( �>"���>�#" ��#��>�>��0"#"��

� �� �� �

3 � , 3 � , 3 ,

3 � , 3 , � ,

� , ,� ,

< , * *

, , * * �

� *3 , *

# # # # # # # #

# # # # # # #

# # ## #

� � � � � � � � �� �� � �� � � � + � � + � � � �� � �� � � �

����� � �3

! � ! !/ � � � �� � � �� � �� � ���� ��0��>�"��� �>��� 3�� G��

��� ��0�������"������0��3�+�/���"��;�>� ���1�& ���>-� �"#"��$�������#� ,� �B����-�����"������0���������>����� ��-#��� ����. �> ���1 � ��0 ����2���# ��

Page 36: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�,+

�/������5����� , ,7. )� � ����-#��� ��� #����� ���� ����0��������>����� � B����-�����"�1�&��������� ��>��7��

���

���

��

3,*

,3*

**<

.� �

� � >�� >�"���&�� ��� � �;�>� � �� 1�& � �� >-� �"#"�� $�������#� ,� � B�� ��-���� �"� �����0���������>����� ��-#��� ����#�������. �> ���1 � ��0 ����2���# ��

���� ���)�"� ������������>��� ��>����� ��>��7�

� � � � *�<

3,*

,3*

**<� �(�(���

(�(�

(���

��#���#��-��-����>"��� <�3 �(�( !� �, ��( ��

��������� -��-���� �>���� �� $�#����� <�3 �(�( � >"��� >�#" ��#�� >�>��0"#"�� �����"� ��7�

� �� �

� �

3 3 3

� , � , , �

� , �� ,

< < * * *

3 < , * , , *

, , *, 3 < *

# # #

# # # # # #

# # ## #

� � � � � �� �� � �� � � + � � � + � � � �� � �� � �

!�

����� � �< ! ! ! !/ # # � 3 3 � 3�� � � �� ��

��0��>�"���� >"1>-� �"#"�� -��-��"� <�(/ � �>��� ���� (�� !� 3�� �!� �%�� �>��� (��

�����"#����0"#��-#����������$�#�����-��-���� <�( ����������� -��-���� ����>-"�& ����� $�#����� -��-���� �, ��( � >"��� >�#" ��#��

>�>��0"#"���

� �� �

� �

3 3 3

� , � , � ,

� , ,� ,

< � * + * *

3 � , * , , *

, , *, 3 � *

# # #

# # # # # #

# # ## #

� � � � �� �� � �� � � + � � + � � � � �� � �� � � �

!�

����� � �" #0���##/ ������( !!!*� ���� ������0��>�"����>���3��

9�������� .� �>������> ��0 �B��

���

���

���

�**

*<*

**<

.� ��

B������1�& � " #,�3 !! ���* � !�"���� <�3 ! �(� /�� �(�� �, ��(� /� !��������;�0-#"7�

Page 37: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� ,5

" #,�3 !! ���* � !����

���

��

3

3� !����

���

���

3

3

3

�� !����

���

���,

,

*

,� ��

3�5��#������������$�#������ ��������

��1��� ��7� � �� ! � ��� � #����� �� ����� ������ � $ �� � ���� ���� � �� ���� �� �� 7% ! )� �������� �������������������������� ���'������� � # � ������ )�

� � � � � ��%%�% ��� !� � � !� �� ! .�

� � � �%% (�( !� � � !�� !� � ��� �� ��

�����0� ���� ����>� � �-#��� ��� ���(��& � ��� �"�� $������� � ! � �� !���!! �3 �>���>�B������1�& ���>-� �"#"��"�"���"0 �����#� � �% �� ��

��1��� ��� � �� ! � ��� � #����� �� ����� ������� � � �� � ���� ���� � � ���� �� �� 7% ! !� )� � ���� � %��� � � � �� ��� ���� � � �� �� ������ �����������������7�

� � � � � ���%��%���% !!! �3�3 ��� !� � � !� �� !! �3 !��

� � � � � ��3�3 !!! ��%��%����% ��� !� � � !�� �� �3 !! �

� � !� �� �� ��

���� ������� %����� � � ������%��� ���� � �� )

����>-� �"#�$�������#�! �(����1�& � " #���* !���!3� ����"����$�������� !� �! �>��

-���>����7�

���� ��� ���33 !�

������� ��� ���33 ��

�-#��� ��� 7% ! !� )� �>��>�����

� � � �

� � � �� �

��

������

� ��

�� �

����

����%�

������%�%

3 33 3

3333

!

���!���!

>�"�

� � � � ��

��

��

�% .

����

� ����

���

���

���

�� �

����

� 3

3

333

3 !���!! ��

�����0� ���� �� ��0 � 1�#����� � �>��� �����0���� � ��� � >�� �"���(��� 0�������� ��0��� � ��

Page 38: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�,6

�/�����7� ��� �� ��0 � 1�#����� � 7% � )� � � !�

� � �33�33 �! ����% ��� ����������� �(�� � �>"����;-��0� ��B��1�&��������� ������� �>���0�������� ��0��� 1�#����� � B�� 1�&�� ������� P� ����� �>���0�������� ��0���

1�#�������B��1�&�� " #�3 !��* � !� ���

����

��

<

,3� !� ��

����

��

+

/�� P�

���� �7�

� � � �

� �

����3��3�33�3333

3���3�3�3�333

3

���3

3�33�3

!

!!

��������

�����

��

���%

����

����

����

����

����

����

����

����

��

��

����>� � ��0 ��������� �� 0��"� ��0��1�#����� ���� 7�� � �33�33 �! ����% ��� ��

����1 ����0�������� ��0���B��1�&��������� �

���

����

��

�*�

33%� ��

��������$������� �(�� � �>���(��B��1�&�� " #�3 !��* � ���$��7��

���

����

�������

����

����

���

���

����

����

����

�+���

�3

�3

3

3

+<

/,

+<

/,

* �

���

����

�!�!!�!

����

����

�!!

���

����

����

����

�+!��

�3

�3

3

3

+<

/,

+<

/,

�*� ��

G�����>���� � ��0��1�#����� ���$���7�

� � � � 3 �3 � 3 �

3 �

3 3 3 � � 3 � �

, /3 3, / !< +!

< +� *

, 5 /

% �� �

� � � �� �

� � � � � � � �

�� �� �� � � �� �� � ��� �� �� � � � �

��

����1 ����0�������� ��0���1�#�������B��1�&�� * 7�

���

����

�����

�/3

5,%� ��

��1��� ��7� � %��� � � � �� �� ������� ���� ������� � �������� ��� ���� ��� %���� ���� � ���� �� � ���� � $ �� � ���� ���� � � ���� ���� �������������7�

.%% �� � �

Page 39: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� ,4

��1��� ��7�� ������ �#����� ���! ������������������ ���� ���� ����� � ��� ��� �� � 7� ! )� � ���� � �� � � ������ ��� � �� � ��� �� � � � � ��

� ���� � � 7% ! !� )� ����%�����'� � � � �%� !� !� � � !�� �������0� ���

� � � �

� �

����

���

���

���

���

�� �

����

�.

��

��

�%

3 3

3

3

333

3 !���!! ��

����

"���� � �0��������>�0����� !����� � � � �� � ��

�/�����7�3�� ��� � �7% � )� � � ��� ��0 �1�#����� �>�0����� �

� � 3����333 <�! �����% ���� ��������>���0�������� ��0���1�#������P�������>��� ��0��- ������ P����� ���

���

����

��

<3

3�� !�

� �>�0����� ���������� 3�33� �� �� ����0��- ������ ��>���

� � � � � �

� �

���3

�3

���33�

�3

333�3

3�3

<��<�

<��

<3

3�!!

%�

�������

����

����

����

����

����

����

����

���

��

��� ��� ,7� )� � ��� ��0 �- ������ �

� � �,

��,�,3

�3 ,� � ����� ��

� �>��>�����0�������� ��0���- ������������� ���

���

���

���

,�:33

�:33*

3*3

� !�

� �0�������>�0����� ���

Page 40: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�<*

��1��� ��7�4) �%��� � ���� � � 7� ! )� ������������������ ��� �� � ��� ���� ��

� ���� �� � �������� ����& � # )� ��� ����1

333 ��, !����3

3�33� ��

���, !�A!�

���

��

��

����

3

333

�, ��

��� �%��� � ���� � � 7� ! )� ���������������������� ��� � ��� ������+

����� # � *�, !� � !3� ���

,�� � %��� � ���� � 7� ! )� � ���� �������� ������ ��� � ��� ����

!���! ,3 ,, �������� ������� # � �� ��� !���<� !,, �������� ����& � # ��

<�� � %��� � ���� � ���� ������������ ������ ��� !���*!* ,3 �,�, � � �

!���*!* <� �,�, ��/�� � %��� � ���� � ������ ���� �� ���� ������ � �� � � ��� � � ���� ��

����� ����������� �� ������ ��������� ���/�������� �>��>��1�#��>� ����"��� ��0�#���- �������7�

� � �,

��,��3

�33 <�+6 � ����� !�

� � ���3

�3� << � ��� !�

� � ���3

�3, � � ���� !�

� � �,,�,3�3

�3< ��, � ����� ��

���� ����

���

���

��

��

33*

3<,

*,6

3� !� *63 ��, !� *�,� ��, !� *3/, ��, !� ����� � ��3 �

�>����� ��0 �- ������ �-�&���$��� ���� ��

���

����

��

��

<�

�3�� !� *33 ��, !� *� �, !� �>� �#� � � � �� � � �>��� �� ��0 �

- ������ �>�0�-�&���$��� ���� ��

���

����

�����

�3�:3

�:3�,� !� *�3 ���, !� *<:5� ��, !� ����� � ��, � �>��� ��

��0 �- ������ ���2���$��� ���� ��

���

���

���

��

333

3*�:,

3�:,3

<� !� *33 ��, !� *<:4� ���, !�

*<:3, ���, !��>� �-�� � � �� < ��>����� ��0 �- ������ ����� ���� ��

Page 41: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� <3

��1��� ����� �� 7� ! )� � %��� � ���� � ) -���+���& * ����� ��� �! %���� � ���� � � � ��� � %�� � ������ ��� ���� ��� %���� ���� � ���� ��� ������ �� � 7�

� � ����

�33 ��� �� �������� ���� �

����� ��� �� ���2 ���

3�6���&������������1������ �������������1��� �������� �

������5����

����� ��0 �- ������ � 7� ! )� !� � � �� .� !� � �0�������>�0����� ����� �

�� ��0�������0�������� � � >"������"#�!� ��"�����;�>� ���1�& � * � �� >-� �"#"��! � �>� �#�B��%�� ��0��- ������ �> �>������> ��0��B�� ��0 �������� 7�

� � �3��

3�3

3

���3

��

� �����,,

��,,

�,

� � !�

� ���� !���!3 ���-��&��� �����������#��$�����"#"�� �B��1�&�� * ��

������#���� ��������

����>� � 0���� � �����0�� � $�#���#�� -��-���� �"� �H"���"#� ��"� ���� ���������>��������(�� � 0�������� ��0���� ��� � ����>� � 0������� -����� �� ����> ��0�� � B������0����������2���# �QB���-#���(�������� ��#�������0���3�+�/�R!���"����>��-����������0������1�& �B�������>��-�����>����� ��0��������� ��

������6����

�����>� �0���� � ��0��& �- ������-�� ������%������ ������#�-" ���"�� *� � ��

�/������� 3�� � � >�� ����> ��0�� ��0�� - ������ � ,7� )� � !�

� � ,3�3,,

�� << � ���� �B������ ��0 �������� ��

���� ���9�������� ��0����>��7�

���

���

��

��

3*�

*3�

��*

� �

�"�0�������

*3 �, !� <3�

�*� ���, !� *

3*�

*3�

��*

, ���

��, ��

9������S���1���"�>��-������-#��������������$�0�0�������"#����

Page 42: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�<�

��0� B������� 0������ $������#��� -��-���� >������� ��"� ��� ���������>��� � ����0�������� � ��

� � � ��

�(��(

�(+��(�(�

(���(�

�(��(

,

,

*

*4

3*�

*3�

��*

,

3�2 !�

$�#����-��-������>���������"1>-� �"#�-��-��"��#�$�#�����-��-���� *3 �( �>���1 ��������>�>��0"#7�

� �� �

3 3 � , � , � 3

3 3 � 3 � , 3

3 , 33 3 ,

� � * � � * �

� 3 * � * �

� *� 3 *

�� � � � � � � �� �� � �� � � + � � + � � � � �� � � �� � � � � �

!�

�>� �#�� �

� �* ! � ! � !/ � � � ��� � � � � �� ��

C������"����#�"#�>�0�#���>���1 ����3

, �! ! !/ 3 3 3 3��� � � �� �

(��

� �, � ! � ! !/ � � � ��� � � � � �� ��

G�����>���� !�0�������� � �>��-�����>����������0����������2���# ��

���

���

���

,**

*,*

***

� �

���������"���#�� ��0��������� � � � �,

�� ,, ���� ��� ��

��&�� B�� ����� >��� �"�� ����> ��0����� >�� �1 ���� ���� ����� $������� ����� �-�� �����#��������>"1>-� ����#��$������#���-��-�����������;�0-#"7�

3 � ,

3 � �

� ! 3 ! �

� � 3

* � � �

� %� � � � � �� �� � � � � �� � � � � &� � � � � �� �� � � � � ��� � � � � � '

��

�/�������5��� �>��>������� ��0 �������� ��� ��0���- �������7�� � ,�,3�3

�,

��

�3 +6�6,� � ������ ��

���� �7�9�������� ��0����>��7�

���

���

��

6,<

,,3

<3�

� �

Page 43: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� <,

�"�0������7�

�3 �, !� /,3

3�� ��, !� /*, ��, ��

��"����

� � � � �3 � ,

3 � /

� / /*� � � � �� � � �

����������������>� � ��0 �- ������ �>��-����� �#�>��(��0������#"��E�">>��

� � - .

,��,

��,�

�,

��

�,�3

+6,<6�3

<��

3

������

�����

)#�0���"#� *�33 ��� �����$�� ��0��"��- �����-�� �����"���������� ���0�������

��� ���-�� 3 �Q ,3�3�3 6�� �� R��

C����"���>�"#����0���#���>����"� � ��0��"�"����"�- �����-�� �����"����0���������� ���-�� � ��

� � - .

- . �,

,��

,�3

,���

�,�3

3*/�

/

/

�<�

3

3*�

/<�

3

�/01

234 �����

�������

���������"1>���"���7�

��

��

��

���

,,

,��

,�33

/�

/

<�

�1 ���0� ��0��������� 7�

� � �,

��

�3 3*

/

3����� ��� ��

�����0� ��$� ��� � �� �� ��� ����� ��� *� � � "���� ��0�� - �������� � �� � >"���

�"#�!���"�����"�>��-������-#�����������0���� ����0���B��������G������>� �>��"� ���>��$�� ����B��%��������> ��0������� ��0�7�

��

��

��

� ��

��

��

��

� �

!!

��

��

Page 44: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�<<

�/�����$�� �>�����"� � ��0��- ������ � ,7� )� � �

� � ,3,��3 � � ��� �

#���� ��0 �������� ������ ���9�������� ��0����>���

���

���

*3�:3

3*�:3

�:3�:3*

��0� ��������> ��0������

�����

,,

�3�

�33

��

��

G�����>�������� ��!� ��0��- ������ ���$���7�� � � �� � � � � �

,�,3��

�3

,�3,�3�3�3

,

������

������������

����

��������

�"�0��������

���

���

���

*�:3�:,

�:33*

�:,*3

� �

9������!�-����0������S���1�!�>"��7��33 �, !� 3� ��, !� �, �, �

(���>� �#�� � �

,��

�3 �:3 &&&&� ��� ��

Page 45: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� </

��

�����,������(��� �

��3�������&������

G�� -��&���� �� >����� ��� ����$�� �� �����0���� (�� >����#�� ��0-#�;�� ����"�� #����&�#$�����"����-��1#�0������-��0�&������>� �#!�-��1#�0��������0���"#�-#��� �� ����-���"� ���!����-#��� �������� ��$�>�� ��#��!�-��1#�0����� ����>-���!�-��1#�0��������� ����������"��#��-��1#�0������-��0�&�����#��� ����>�#" ����-��0�����1"��������0�������9���#����� #��� 0���0���� � �� -��0�>� "��#�&����� �-����"#"�� 0���0����� "���&��� ����#2�1��� #����� � -����"� �����0������� >�#" ��#��� �-��0��� ��� �;�0-#"!� 0���#����� B��"��#��-��1#�0�������0����-����� �� �"� ��>� �#7����%����"� �� � �� !���!3� ����$�#�#��

#�� ����� ���1"��� > � >����> (����� � � ����$�� �� (�� -���� � ����� !���!3 � "�� ����1�����$�

��� � ����� �!� >�� ����� > � >�� �����0���� $�#���#�� $����1�#�#��� �� !� �� !���!3� �� �(��

B��%�� "�� ����1�����$�> ����$�#������0�;�0 � 0���0 ���� � � ����� !���!0��0�;: 3 � ��3�3���

�"������ ��#��� � *!���!3 ��� ��� !� �� ��* � ��3�����

�"0����(��������� ������� ���������� � "�� ��#�� � �(�� �� !� �� !���!3� ��>"��� "�� ����#��#������!�-��1#�0���>���

���-��2��0����#����� ����� ��%��$���;�0-#�7���/�������3����� � �� ���������� ������� � ����B����-�������� ���">����# ���>-"������0������#��-��0�� ��� !���!3 !����������

�1��� � -���">�#�� ��� !���!3 �� �������� ��� � ��� 0������� -��0 � �� � �� !���!3� �� >��

-���"�� ��� � "��� �� ���� -���">"#� �� � �� !���!3� �� ��� >�� �"0�>�� (�� ���������

������������"����B����-������������1"���> �-���"� � ��

� �� !���!3� ��"��� ������ �������

-���">� �� ����� �-�� "#�"�������������0�������-��0 � �� ��>��� �� � �� !���!3� �!�> �

>�� B����0��>� � "�� -#��� ��� ���>"0� #"���� �#�0������#��� -��0�� �>� �#� B��%�� -����"����#�&�����-���"� ����-#��� �����!��8�#�"��#�#��> � ���0���0���

��� �� � ����������� ����0������� -��0 � �� � "��#�&�� � B�� -����>"#� ��� -���"� ��!�

��� �� � ��-��&��� � ����������� ��� 0������� -��0 � ���� ��>"�>�� �� � "��#�&�� � -����"�

-���"������ ������ ��� ���-���">� �� !� ���� ����������� ����# ����� ��>"�>�� �� � ����>�� �

-����"�-���"� �������# � ��0�� �����-���">�#�� ��� !���!3 ��>���

����� ������ �����33 �� ��

Page 46: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�<+

��%���>��0����� �-�"#�� � #"���� B����-��������� ���1"���> �-���"� ���#�-" ���

�� �"��� ������ �������-���">� �� �

������ ������� ��� �����33 !� �� !���!3� ��

����!�0���#"#�0���0������#�-��1#�0����>���

���� ��� �

�3

!� �� !���!3� �� ��3�,���

*3 �� !� �� !���!3� � ��3�<���

� � �

��

��� ���

3

0�� � ��3�/���

����� ��#�� ��3�,�� >"��� ������� ����� �� �����!� ��3�<�� >"��� ���� ��� �����������������!����� � ��>������ ��� �������>�"���� ������������ ��

�/�������5������� � �� �������� ����� ������ ��� ��G������� ��#���;�0-#"#"��3!�����0������#��-��0�� ��� !���!3 ������>"���#�0���������

������ �#�� ��� !���!3 �>�� �1��� �-���">�#�� ��� !���!3 ������"��>�����>"0"��#��>-��� ����

*���� � (�� 1��� ����#�� "������� �� !� �� !���!3� �� �� �>��� >"0�� ���#�&�� � -����

$�#��� ������� "���� "��� �� ���� -���">"#� �� !� B�� "��� �� 1 ��(����� ��� ����� > � >��

�����0���������� �#�� �� !� ���� �������-���">� �� � ����� ���1"��� ���#�&�����>� �#� B��%��

1��� ���"#�> � ���0�;�0��9���#"#�0���0������#�-��1#�0����>��7�

���� ��� �

�3

!� �� !���!3� � ��3�+���

*��� !� �� !���!3� � ��3�5���

� � �

��

��� ���

3

0�; � ��3�6���

����� ��#�� ��3�+����&"#� ����� �-�"#�� ��"�-"��0����>"0������ ���������>"�> �0���

0"#�����%�����������������������>-"��0!������

��� ��

3

���-��&��� �B���> ��#������#���

���-������(���#����;�0-#�����-��1#�0�����-��2��0����#����� !�-�������#��$�0�������B������"#����>�"����-���#��

�������

Page 47: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� <5

�����#�����:������ �������������&�����:������������� �

��0��2�����# ���"����-��1#�0�����-��2��0����#����� ��>��7�

���� ��� �

�3

!� �� !���!3� � ����3���

���� ��� �

�3

!� ��� !���!3�� � ��������

���� ��� �

�3

!� ��� !���!3�� � ����,���

*3��� !� *

���� !�A!� *�

��� �

*3�

���� !� *

��

���� !�A!� *

�� � �

��#�#�#���$����1�#���"��"�>�0�"#�>-��� �����

����<���

� � �

��

��� ���

3

0��0�;: � ����/���

�� ��&�#$�� �� �>� �#� ��� -��1#�0 � B�>��0� � �� �����0���� $�#���#�� ����2���$�� �#��$����1�#�#��� �� � ����� >���> ��� ����� ��#�� ����3��!� �������!� ����,��� ����� �� �����0����

��$�#"��#�� �� � #�� ����� >�� ��> (��� � ��"0���� ����$�� ��� (�� ����� �-��0�&��& � "�� ���

�1�����$� � � >�"� "�� ������� ����� ����� -��1#�0 � ��� -��2��0���� #����� � -����� �� ��0"#�� � (�� 0�������#� ��� � ������

����"� ��#��>�>��0"#"�������>���� ����"����#�(��>��>� ����� ��������-����� ��"(���B���-#���� �B�0"# �����"� 3 �����"� ��#�� ����3���>�"� ���������

��� �;�0-#"!� ���%��� �"� � ���

������!���!3

!���!3

��� !� � ������ !���!3� !� � ����� !���!3� � (��

� ������ !���!3� �-��1#�0�������;�0-#"#�3�>��>����7�

� � ���

���

���

0��

* � ����+���

��0��>����������"����-��1#�0�����-��2��0����#����� ��>��7���� � � ����5���

*�� � ����6���� � ��� �0��0�;: � ����4���

������ -��1#�0 � ��� -��2��0���� #����� � -����� �� ��"> � #�� ��0�� >�������� (����"0�7�

����������"� ��#������>�>��0"#������>���� ���-��� ������> ��0����B���2�#�� ����"�%���>�"�>� &%��� �"- ���&����>��������$����1�#������2���$���"0����������� � ����>�"������� ��� ���G�����>�� �#�����0�������� � ����� � ���&"#� �0�������� 3� ��1 ��"� ����� � �

#�������>��"��� "2��� � �$���������#��� ��"��������#�0����#���"#���"��;��- ����#�0���"#"��

Page 48: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�<6

>��"���-��#����� � �������>��� 3� �-����"�����"� ��#�� � �>�"� 3 �-����"�����"� ��#�� � !�����

$�����"#� � ������ !���!3� ���$���� 3� ��1 ��"������ � �-������ "2������� � ���0-�������

����2���$�� ��� �� �� !���!3 � (�� ����� ��-��&��� � ����$�� �� ����$��� ���#�2� � � ��$����

� �*!���!*!!���!33 ���� � !��� "2%���#��� !� � ���0-��������"#���

�����1�#�#�� ����2���$����� �� !���!

3� � 0%�� ���#��(�!� ���� B�� #��"#� $����1�#�#���

��2���$������� !���!

3��$�0�������"�������$����1�#������2���$��-����>"1>���" ��#��

�� �� � � � �� ��� !���!3�� �

�����1�#�#������� !���!

3�� ����� �"� �"� >�0�"#� >-��� ����� >�� -��� B�#��"�� ����$� �"�

�� ���� ������" �$����1�#��-��>"-">������2���$��(����"0�7�

��� ��� � !� *��� !� *��� !� � �� ��� !���!3�� �

���>���0��� �� �������"��#�� ��0���;���> ���-��1#�0������-��2��0����#����� 7�

� � 33

3

33

0��0�;:

*

���

���

���

������>��� ��0��>����������/�����$�� �>����"� �#�� ��0��>��������-��1#�0�����-��2��0����#����� 7�

���

��

�������������

,,�,

<�,�

+��

5��,

5+/,�3

5+<,�3

+/,�3

/<,�3

������

������

�����

�����

*3 �� !� *� �� !� *, �� !� *5 �� �

<� !� /� !� +� � � ���>���� ������>�0��

� � 5/<,�3 ��,0�; ������� ���� �

C����"�;,�(��;5������>"�����2���$�� ���0�>"1>���" ��#��

,, �� � !� 5 5� �� !�

����$����1�#�#�� <� !� /� !� +� �������"��"���>���� ������>�0��>��$���B�#��"���"��

<<< ��� � !� /// ��� � !� +++ ��� � ���"����>���B�#��"����>�>��0"#������>���� �����$���7�

� � � �� � � �

� � � �� � � ��

��

��

�������

��������

,,�,

<�,�

+��

5��,

5++//,�3

5++<<,�3

++//,�3

//<<,�3

��������

��������

�������

�������

(���

Page 49: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� <4

� � � � 5//<<,�3 ��, ��������� �� �

C����"� ��0��>���������� "2 0�$����1�#�#�������� �6 !� �4 !� �3* �(���1 ���0�

� � � �� � � �

� � � �� � � ��

��

�����

��

�����

����

,,�,

<�,�

+��

5��,

3*5++//,�3

45++<<,�3

6++//,�3

//<<,�3

���������

���������

��������

�������

*3 �� !� *� �� !� *, �� !� *< �� !� *< �� !� */ �� !� */ �� !� *+ �� !�

*+ �� !� *5 �� !� *6 � � !� *4 �

� !� *3* � � �

� � 5//<<,�3 ��,0�; ��������� ��� �

���0�� ������ � � B�� ������ ����� � ��� �-��0�&����0�;�0"#� (��0���0"#� >�� -���B�#��"������-���!���"0�7�

� � � � � � � �� ����� � 0��0�; �

� � � � � � � �� ����� � 0�;0�� ��

��,��"��� ���������������&�����:������������� �

G��������"����$�0����>������-��1#�0��>�������� ������-��2��0����#����� ��C����"���0-���1�#�������>�>��0"#"�� ����5������>���� 0�� �

� ���� ���2���2 � �(��

�� ����2 ����������0-#�� � �� � ��

��1��� ��$� �������� ������ �� � ����������� �� ������� � �� ������� ���

� ������ !���!3� �������� ������� ������ ��������� � ����5���!�� ����6���

9"# �0��� >�#" ��#��� -�>�1�#�� �>��� �� >"10"# �0�� �� >-� �"#"�� $�������#�� ��0��>����#� �#� >�#" ��#��!� ��� -����� �� $�� !� ���"> � #�� "�� -"���!� �� ���� � ����

0 �2���� !� �� ���� � (�� ��0 �2���� � �(�� �"0� ��&"#� � ���� �;�0-#�#�� -�� ����� #�� $�0����#�&���

�����0��>����& �� �0"# �0���>�#" ��#���-�>�1�#���>�����0"# �0�����$�; ����1��� ��$������ � ������� � ���� �������� �� � �� ���� !� ���� ������ �� �

���� ������� ��� �� �� ��� � � � � �� ����� � � ���� �� � ������ ������ �

�� �� !���!3

!� � � �� !�� ��� � � ����� ���� ��� �� !���!

3!� � ����� ��

����� ��� ��� ��� �� ������� � !��������������� � �� � ������ �>�#" ������1�& ������;����� ���0-����������"#������>�������������� !�

B�� ��&� �������� ��� � ��� ���� 0��� -" ��� ��� � � ��0-������� ���"#��� ��� �>������������ ��

��1��� ����" ���� !� ���� ������� ������ � �� ������� � ������� ��� ��������� �� �� ��� ������ ����4���

Page 50: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�/*

�/�����$����-��2��0"#� ���

� �

���

+<�

<�

/,�3

<,�3

����

����� ��,�3���

*��� !� /!��!3�� � ��,�����

9��������3*<3�

*3�33

�� ��������2"#���

������"#��

� ���

���� <!*!3!

,

<!

,

�*3 � �>��� �� >�#" ��� -�>�1�# � ��������� >���> ����

����� ��#�� ��3�3��(�� ��3������

������"#� � ��� �!*!*!*!<� � � ��-��&��� � �� >�#" ��� ��� 1�& � ����2������ �

����������"0 �"#���0-������#������"#���>��� ����2� � �(��$�������� ���

����

��

33� �(��

���

����

�3

*/� �>"���#����������-����� ���

������"#��

� ���

���� *!*!�!*!

,

��, ��"��>����� >�#" ������1�& ���(�� �>����� >�#" ���

-�>�1�# ����������$�������� ��#��� �����0�������� � � ����>-"�& �������0-������#���

���"#�� 3

3

��

� �� � �� �

�(�� ���

����

�<

�,� �>"���#��������-����� ���

��0���� B�� ������"���� �%��$�� �����0��-��$���� >�#" ��#�� "�"�� -��2��0� #�������-����"���0��>�������#���>��-������>"#���Q3R!�Q�R!�Q,R������

�������� 5$4$3$� #�� � ��� ��� � ������ � �� � �� �� ��� � � � � �$��� ������ �!����� ��� ������� ��� ���� � �� ����� � ���� ��� ���� � �������� ��

�������� 5$4$5$� #�� � ��� ��� � ���� � �� � �� �� ��� � � � � �$��� ������ �!��� � ��� ���� � �� ����� � ���� ��� ���� � �������� ��

�-� �"#�$�������#� � ��0��>����#��#��"�"����>�#" ��#��� � �>���"0�(������ ������� ����!�����0"# �0���>�#" ��#���-�>�1�#�� ��0��& �"��>"1>-� �"�% ��#����>�"����)��-����� ��$�� !����"> �#��"��-"���!��� ���� �����0 �2���� �>�"��� ���� �(����0 �2���� ��(���"0�$����&"#��������;�0-#�#��-�������#��$�0�����

�������� 5$4$4$�&�� � � ���� ��� �$��� ������ ��% !�������� ���� � � ���� ������� � �� ���� ��

���� ��#�� �;-">�� -%� � ��"0� ��&"#� � � � -����"� ��&�#$����� "���� -��1#�0�� ���-��2��0����#����� ��>�������>���(��>" �������> �-"��0���>��-����B��0"# �0���>�#" ��#������1�& �-�����#���������-��0�&��& � "�� ����1�����$��G����&"#� B�������B��-��1#�0 ������$�����" � >�"� ����� $����1�#�� >�#" ��� -"���� �� �����0���� � -����0������ �#�0������� (�� ��"0��0������2�� �� �(��0�������#2�1��� ��G����#�#�#�����&"�������>-���������0-#�� ���0"# �0���

Page 51: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� /3

�"�"���� >�#" ��#��� ��� 1�& � ��� -��>"-"��� "�� $�#"0� 0���� ��� ��#�"#�� (�� �� >����� �����&�$����H�!����B����&"#�-��1#�0�#����"�>�#" ����� ���� ��

��0���� � ����� ��� � � � >-"�>"��� -����>�� (�� ����#"������ (�� ����� ����>�� � "��$�#"0� ��#���$� 0��� ��� ��#�"#�� �>��� ������ �������!� ����� -��0���� �����0�������>�#" �����-��0��-����������#����>�#" ������1�& ��"- �"���"0 �� �����������������

��<������&��������/�&����2��0��������������:���������������&��&�

���-��2��0"#�>����������� � � ��<�3��

*�� � ��<����� ���� � ��� �0�; � ��<�,���

�"����� ��#������-���2�� "#�3����� �$����������#��� ����0�������� � !����� ��� !���!!

�3�

��0��& � �� 1�& � B�� �� !� ��"�������� ��� !���!!

�3� >�� �"0�>�� �������� ������

����� ���� ��� �� ��� 9�������� � � -����� �� ��>��0-"> � B�� ��" � >"10������!� ' � ��0�� �����$��������

���� ��� !���!!�3

�(�� ( � ��0�� ��"���#�#�#�����#����!�����7�

('� T� � ��<�<���

(�����#�2�� �(' ��� !� �

� ��(' ��� !� � ��<�/���

���� ��0��>��������>��>�����

� � ���(' �(' �!T � ��<�+���

*�'� !� *�(� � ��<�5���

� � � �� ��('(' ����� !!0�; � � ��<�6��

�%�����#�"#�#�!���&"#� ��(�'� (' �� � ��<�4���

*�'� !� *�(� � ��<�3*���

� � (('' ����� ��0�; � ��<�33�����>�#" �����>�>��0"#"�� ��<�4���>���

(' (�'�'� 33 � � ��<�3����

�"%�������� *�(� !��1 ���0���>�#" ������1�& �-����"� ��<�4���(����"0��

�'� '3� � ��<�3,���

��� � *�'� �>-"��0�� �1�&������ ���' !���!!

�3� ��>���-��0�#���0�>�1�# ��

��� � $�����"#� �������� )))� !���!!�3

� � �� !���!3� �� ���� ���>��� ��0-������� B��

��-�����"�1�&�� ' ���������( ���� !���!!

�3� !���"����

Page 52: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�/�

�*�

���� )�� !� � �����* !���!! �3� !� +�� �

�"� � � *�+ O!���!3� ���>-"�%��������1�& �-��0�#���0�>�1�# �>��B����0�(�����1�#"#�>�0-#�;�B�������

�����07���� >�#" ��� �'� '

3� .�

1������( ���� !���!!

�3� .�

��� �

��*�

��''' ����� J �$�#������ "�� �����1�����$�����>-"�& ������>�#" �������

1�& .�

����

�������� )))�' !���!!�3

3 � � ����� ��-��&��� � ����������#�� $������#��� �� !�

�� ��3 � B�� 1�&�� ' .� ��� � ' � �>��� 1�&�� ������� !� ��) � >"��� ��� ����� ��� ����

>�>��0"#������>���� ������.���� >����#�"#��& �

�*�

���� )�� .�

�� >����#�"#��& ��� ���� �#����

� �

��

*�

*�)���� *�

����

��

*�

�����>� �#������1�#�>�0-#�;����� ������>"1� ��0�7��

� � � 3� � �� � � � �� � � � �� � 3��� � � � �� �

'� � ' � '� � 3� � �� � � � �� � � � �� � 3��� � � � �� �

3� � 3� � 3J� � 3� * � � � * � � � * � 3!3 ��) � � � �)3 �

�� � �� � �J� � * � 3� � � * � � � * � 3!� ��) � � � �)� �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� � �� � ��J � * � * � � � 3� � � * � 3! ���) � � � ��) �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� � �� � ��J � * � * � � � * � � � 3� 3! ���) � � � ��) �

�� �'� � 3� � �� � � � �� � � � �� � 3��� � � � �� �

�� �� � 3� �

�� �

� � �� ��

� � �� �

33 �� �� �� � � � �� �� �

����������G��������"����>���-#�� ���>�"#�����-��0�#�������#�>�#" ���� '� !�1�&���-��"�0 �����#�������0��-�������#��� 0� � ���0��>��� ����

Page 53: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� /,

������������������ 5$6$3$� &�� � *� �� �� � � ���� � �� +�� !� ��� ��� � �

�$��� ������ �� ������������!�� '�� �� � ��

�����������������5$6$5$�&�� �� ������������ � +�� �� ������ � *� �� �� ���� �

���� �� � � *���) !��$������ ���������������

�$�0�"�0 �����#����&"��7�3�� ��� ��� �� *� �� �� !� +�� !���"���� '� ��>���>�#" ����-��0 �(�� '�� �� � ��

��� ��� ��;�>� ���#�-" ������� ���� � *� �� �� !���"����>�#" ����"��>����-��0 ��G��

���>����&��;�>� �"�0 �����#��-�>�1�#�� �7���� ��� +�� ��(��B��%�� *� �� �� �(����� ��� �� *���) !� *�� !�-��1#�0���"�

�����-��0� ������1�� ��� +�� � �"� *� �� �� � (�� �;�>� � ��#�-" ���"�� *���) !� ��"���� >�#" ���

-����� ��B01"� � �� ����� ������ #�� -��0�� ����� ��� (�� >�� �����0�� � $�����"#� ����� ���� � B�� 1�& � (��

$�����"#��������>������1�& ��������#�� � ��#�$�����"#"����������� �B��1�& �����>����������

*0�; �� ������ ������ � ��<�3<���

����������#�� , ��#�$�����"#"���������>������1�& ��>����������

���

� �

��� *!J

0��J

����

�,

, )*�)

)

�� ��<�3/���

G�����>��0���$�����"#"�� ,� �B�����#��"#�$�����"#� �� �B��1�& ��

���>��1�#�(����#�0���"#�-�$��� �,) !�>������#�"#��& ��������#�0����#����1#�"#"��

>�0-#�;�(��>���1 ��������" �>�#" ������1�& ����� �����>� �>�#" ����"��>����-��0 �>��������#������� ���"�0 ������������&"#�����#� ��� ��������� ���>���1 ��������" �>�#" ������1�& �(�!�B��1�&�������0�#�����"� ������������!�B�� ���#��1 ���0�>�#" ����-��0 �>�"�������$��2�0�� ��"��$�0��-��0� ������

�����0� ��$����0����0���2"#�#�������#�"#7��� �#�0����#�����-��#�����-�$��"#"��>��B0-����#��-�$��.��� �#�0����#�� ��� -�� ��#����� -�$��"#"�� ��$��� �"#�� �"� �;��- ��� -�$��"#"�� � �����

��$����3.��� ��#�#�#����#�0�����>����#�"#��& ��"- �K���������������������L����������0�� �

$�#������ � "�"�� �����0�������������������"����-�����2���#��-�����-�# � �$�0�-�$��"#� (���#�0���"#���� ���1"��� ����#�"#��� ������#�#�#����#�0�����>��2 >�>��-��#����� (�� ��#����� -�$��"#"�� �����>������� �"� #����� (�� ��#����� �#�0���"#"�� �����#�"#������&"#���"#�>��B0-�����#��-�$����

����

Page 54: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�/<

�/�����$��� �>����&�#$��-��1#�0�����-��2��0����#����� �

� �

�����,

<+�<

/�3

<,�3

���

�����

*��� !� /!���!3�� �

� � /,�3 �<0�; ����� ��� �

"�� � ��< � + 3 *

3 3 * * 3�

!� ����2 �� �� ��������� ��

����

��

*

3<� � (��

���

����

��

3

*/� � ��0��& ���1�& �������1�#�#��1�&����>"��� <� �(�� /� ������ � �/!<�* ��

�#� �"�0���1�#"#�>�0-#�;��

�� � < � 3 � � � * � 3�

'� � ' � '� � 3� � �� � ,� � <� � /� �

* � <� � < � < � � � + � 3� * �

3� /� � , � 3� 3 � * � * � 3�

�� � , � 3� 3 � * � * � 3�

�� �� � , � * � � � * � * �

����� 0��� 0���� �� ���� � -�&���$ � �>��� ,33 � �� � (�� �$�0� *3 ��) � �����

>�#" ���-����� ��B01"� � �� ��G��1�& �$��������$�����"#� 3� ��C����"���$��������$��������>������1�& ���#�"# 0�

33

,!

<

<0��0��

3

����

� ��

���

� �

)

��

���������1�& ���>��$�����"#� <� ��C�$��"#��>���<����1�#"#�>�0-#�;���������� ���"�0 �������>��7�

�� � < � 3 � � � * � 3�

'� � ' � '� � 3� � �� � ,� � <� � /� �

< � 3� � 3� 3� �:3 � �:, � <:3 � * �

3� /� � � � * � �:, � , : � � <:3 � 3�

�� � + � < � �:3 � �:4 � <:, � 3�

�� �� � * � �:, � �:3, � <:, � * �

Page 55: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� //

9����$�0����� ���� � �� �� �-�&���$ ������B��1�& ����� �$�����"#� ,� �(����>��

$�����"#� /� ����������-����#�����#"�� ,� ��$�0���>��2"� ���������� �-�&���$ � �:, ��

-�$��"#��>��� �:, ����1#�"#�>�0-#�;�B������� ���"�0 �������>��7��

�� � < � 3 � � � * � 3�

'� � ' � '� � 3� � �� � ,� � <� � /� �

< � 3� � , � 3� 3 � * � * � 3�

� � ,� � ,:< � * � 3 � 3� +:3 � ,:� �

�� � ,:<< � < � + � � � ,:3 � ,:3+ �

�� �� � * � / � * � ,: � ,:3, �

��$�0� ��" � �� ���� �� �� �� � -�&���$�� ���� -�� ��#����#�� #��� �#�0����#�� �) �

����> ��0����>"�����2���$�������-��1#�0���"������-��0� �������/�����$�� �>����&�#$��-��1#�0�����-��2��0����#����� ��

��

����������

/,

,��

��

<,�3

+,�3

/,�3

����

����

����

*��� !� +!���!3�� �

� � +<,�3 �,0�; ������ ���� �

"�� � ��

**333,

3**��3

*3*33�

�� !� ,���2 �� ����������� /� !� +� !� <� �

��0��& ���1�& ����1#�"#�>�0-#�;��>���"�0 ���"#7��

�� � , � 3� 3 � � � * � 3�

'� � ' � '� � 3� � �� � ,� � <� � /� � +� �

* � /� � � � � � 3� 3� * � 3� * �

3� +� � , � 3 � � � � � * � * � 3�

� � <� � / � , � 3 � 3� 3� * � * �

�� � 3, � / � * � * � � � * � 3�

�� �� � � � 3� 3 � * � * � * �

Page 56: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�/+

�$�0� *�� � �� � ����� ���� � B�� 1�& � $�����"#� �� �� �����

�+

+

�,

�,

!3�

0��)

���

���

� �

� ����� ��>�� ���� 1�& � $�����"#� +� �� C�$��"#� �>��� �+� �) ��

��0 ���"#���1�#��>��7��

�� � , � 3� 3 � � � * � 3�

'� � ' � '� � 3� � �� � ,� � <� � /� � +� �

* � /� � �:3 � �:/ � * � � � * � 3� �:3 �

3� �� � �:, � �:3 � 3� 3 � * � * � �:3 �

� � <� � �:3, � �:/ � * � * � 3� * � �:3 �

�� � �:�4 � �:4 � 3� 3 � � � * � �:, �

�� �� � �:, � * � * � * � * � �:3 �

������ �� ���� �#�� �� �� � >"��� ��2���$�� >�"� �"#�� ������

�4���� � (�� �>���

���#�&��� -����"� $�#���#�� *3 �� !��

,� �� !� *, �� !�

3,< �� !�

3/ �� � (�� *+ �� ��

��#" ��� �-��0 � �>����

� ���

���� *!

3!

3,!*!

,!* � (�� �>��� ����2������ � �"0 �"#� ���

��0-�������-�&���$���#��$�����"#"��>�#" ��� � ��2�#��"��"0 �"#���>���� ��#�����

��/������&����2�������1�������

G�� -��1#�0�#�� >�"������ ��������� 0�������� >�>��0"#"�� ��� ��>���� ��� ��� �����$�������"�������������#� �"��"���1�& �"����� ���������"("��������0�������"����>�#" ������ ��#�� ��� 1�& �� ��� � ����>� � 1�& � "����� � �"� �;�>� !� ���"�2�0� #��0������ 1�&������� ����#�� -���� ������"������ $����1�#�#��� *;�

U � � -����"� �� �$��� �� 1�& � -��0�#���0�>�1�# �(��>����&�#$ �-��1#�0�����-��2��0����#����� ��

� � �*��� � �� �

*�� !� � � *��� �

� � � ������ ��0�; �

�"�� �"���"0 �����#���1������>������-�&���$� -����"� �0�� �>�����"2 � � ���� �������� >�#" ��� -�>�1�# � �� -��1#�0��� ��� ��#�� �>��� �� >�#" ��� -�>�1�# � ��

-��2��0"#"�� �;���>�-����"������$�#���#�� �"�"����$����1�#�#��� ���� ����#�� >"����"#�� (������-���� ������ >�#" ��� -�>�1�# � �� -��2��0"#"�� �;���>� B�� ����� ������ $����1�#�#������ ����#��>"����"#�!��>�����>�#" �����-��2��0"#"����� ��#��"- �B�# �"���������>������

Page 57: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� /5

�>�0�����>�#" ���>�����#�&��& �-����"� � � � ����0�� ������>� �#����-��1#�0 �>����&�#$ �-����0��������#�����" � �&�7�

�&����� G������>� � �& �>����&�#$ �-��1#�0���� � �*��� � �� �

*�� !� � � *��� �

� � � ���� �30�� ����> %�(���-"��0��$���"�0 �����#��>��"� ��7�3�� � � *0�� 3 �� � ����� ������ $����1�#�#�� ���� ����#�� >"��� �"#�� (�� ����� ��

$����1�# ����� ����# ��"��>���1�&�� � � ����>�#" ����-��0 ��G�����>����&���>-"��0� ��� �� >�#" ��� ��� 1�& � �� -��2��0"#"�� �;���>� ���� ����� -����B�# �"������ $����1�#�#��� ���� ����#�� >�� �1 ���� �� >�#" ��� ��� 1�& � ��-��2��0"#"����� ��#�(��>��������#�� �&����������

��� � � *0�� 3 �� �(����#�-" �����$����1�# ����� ����# ��>���1�&�� ��)�����1"����#�0���� ��>� �#7��� ��� � -�� #����� $����1�#��� ���� ����#�� �;�>� � �#�0����� ���"#��

�� ����2 �� �#�2�0� "�"#� ������� ���>���� ���-�� -�$��� (�� ���0�B�� �������� ���-����"������#�0��������1�& .�

�� ��� � -�� #����� $����1�#��� ���� ����#�� �"� �$�0� �#�0����� ���"#�� �� ���2 �!� �� $�0���2#�H�� >"-��0%����� ���� ��1�#�� ��� ������ #�� �&����������

,�� � � *0�� 3 �� �-��1#�0����� ��# ��"�����>�#" ������1�& ���&������ G������>� � �& �B����&"#�3��>���#�0�� �����"#��0"#���1�#�>�0-#�;���#����#��

$����1�#�#��� ���� ����#�� (�� >�� ������" � �#2����0"#� ������"�%��� ��� ����� ��� "�� �����1�����$� ��� � ��

�/�������� �>����&�#$��-��2��0"#�#������

��

���������

6

+�

<,�

<,3

<,�

,�3

���

���

���

*��� !� <3 �� � �

� � <,�3 ,60�; ����� ���� �

"�� � �

33*3

3�3*

*3,�

�� �

"� ��>-"��0� ��� �� 1�& � ������� � ����� $�0� �� "2�� >�>��0"#"�� ��� ��>���� ���$����1�#�� ���� ����#�� ��/ !� ��+ !� �5 � (�� $�0� ��&�#$�� -��1#�0��-����0������ ��#��� ��" �

�&���

Page 58: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�/6

���������&�#$ 0�-��2��0"#�#������

��

����

����

����

6

+�

<,�

5<,3

+<,�

/,�3

����

����

����

*��� !� <3 �� � !� *���� !� 5/ �� � �

� � ��� ���� 5+/30�� ��� �

�$�0���-��1#�0 ����0���0����1#�"��#��>�0-#�;�>"��7�

�� � * � * � * � * � 3� 3� 3�

'� � ' � '� � 3� � �� � ,� � <� � /� � +� � 5� �

3� /� � < � � � , � 3� * � 3� * � * �

3� +� � + � * � 3� � � 3� * � 3� * �

3� 5� � 6 � 3� * � 3� 3� * � * � 3�

�� � 36 � , � < � < � � � 3� 3� 3�

�� �� � , � < � < � � � * � * � * ��

�� � * � * � * � * � 3� 3� 3�

'� � ' � '� � 3� � �� � ,� � <� � /� � +� � 5� �

3� /� � 3� � ��

/� * �

3 � 3�

3 � * �

* � ,� � , � * ��

3� 3�

3� * �

3� * �

3� 5� � / � 3��

3 � * �

3� * �

3 � 3�

�� � + � , � � � * � * � 3� 3 � 3�

�� �� � , � � � * � * � * � � � * �����������

Page 59: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� /4

�� � * � * � * � * � 3� 3� 3�

'� � ' � '� � 3� � �� � ,� � <� � /� � +� � 5� �

* � 3� ��

3� 3�

<

/� * �

<

3 �

3�

<

3 � * �

* � ,� � , � * ��

3� 3�

3� * �

3� * �

3� 5� ��

4� * �

5

< � * �

,

<�

3 �

<

3 � 3�

�� ��

4� * �

5

< � * �

<

,�

3 �

<

3 � 3�

�� �� � * �5

<� * �

<

, �

,�

<

,� * �

�� � * � * � * � * � 3� 3� 3�

'� � ' � '� � 3� � �� � ,� � <� � /� � +� � 5� �

* � 3� � � � 3��

,� * � * �

,

3�

,

3 �

,

3�

* � ,� � * � * �/

,� 3� * �

,

3�

,

��

,

� �

* � <� � + � * �5

, � * � 3�

,

� �

,

3 �

,

<�

�� � * � * � * � * � * � * � * � * �

�� �� � * � * � * � * � 3� 3� 3�

��0��#�0���������1�& �������$����1�#�#������ ����#��(�� *3 ���� �������0�#�� �&��

"�0 �����������������

��#" 0� ��1�#"#� >�0-#�;� ��� "���� �0� � 0�>� ���� �"� �� � ��� ����� ��� "�� ����

�1�����$� � � (�� � � ��#����#�� $������#��� /� !� +� !� 5� �� �$�0� -����"� -��1#�0�� ���

0�;�0���1�#"#7������

Page 60: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�+*

�� � 3� 6 � 3� , �

'� � ' � '� � 3� � �� � ,� � <� �

3� 3� � � � 3� � : , � * � * �

3� ,� � * � * �/

, � 3� * �

, � <� � + � * �5

, � * � 3�

�� � �* � 3� 6 � 3� , �

�� �� � * � 3+ � * � 3��

�� � 3� 6 � 3� , �

'� � ' � '� � 3� � �� � ,� � <� �

6 � �� � , � , : � � 3� * � * �

3� ,� � * � * � * � 3� * �

, � <� � 3, � 5 : � � * � * � 3�

�� � +, � </ : � � 6 � 3� , �

�� �� � <, : ��

* � * � * �

0�; +,� � �(���>������#�&�� ����$�����"#� � �*!,!*!3,�

� � �(���>�����2������ ��

�/�����$�� �>����&�#$��-��2��0"#�#������

��

��������

<�

3

3

,�3

<�3

,�3

���

���

���

*��� !� <3 �� � �

� � <,�3 ,�0�; ����� ��� �

"�� � �

*�33

3*33

*333

�� �

G�� � ��$�0�"��$��������#��� �"������ � ��� *!3!*< � �������� "2 0�>�>��0"#"��

�����>���� ����"0�����" �$����1�#������ ����#�� ��/ !�#��-��0����"� ��!�(�� ��+ !�#��"#��0�!�

(����&�#$ 0�-��1#�0��-������#����" � �&���

Page 61: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� +3

���������&�#$ 0�-��2��0"#�#�����7�

��

����

������

<�

3

3

+,�3

<�3

/,�3

����

���

����

*��� !� <3 �� � !� */ ��� !� *+ ��� �

� � �� ��� +/30�� �� �

��$�0���1�#"#�>�0-#�;7��

�� � * � * � * � * � 3� 3�

'� � ' � '� � 3� � �� � ,� � <� � /� � +� �

3� /� � 3� 3 � 3� 3 � * � 3� * �

* � <� � 3� 3� 3 � * � 3� * � * �

3� +� � < � 3� 3� � � * � * � 3�

�� � / � * � � � , � * � 3� 3�

�� �� � * � � � , � * � * � * ��

�� � * � * � * � * � 3� 3�

'� � ' � '� � 3� � �� � ,� � <� � /� � +� �

* � ,� � 3� 3 � 3� 3� * � 3� * �

* � <� � 3� 3� 3 � * � 3� * � * �

3� +� � � � , � 3 � * � * � � � 3�

�� � � � , � 3 � * � * � � � 3�

�� �� � , � 3� * � * � � � * ���������������

Page 62: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�+�

�� � * � * � * � * � 3� 3�

'� � ' � '� � 3� � �� � ,� � <� � /� � +� �

* � ,� �,

/� * �

,

�� 3� * �

,

3�

,

3�

* � <� �,

3� * �

,

� � * � 3�

,

��

,

3 �

* � 3� �,

�� 3�

,

3 � * � * �

,

� �

,

3�

�� � * � * � * � * � * � * � * �

�� �� � * � * � * � * � 3� 3�

���������

�� � � � 3 � , � 3�

'� � ' � '� � 3� � �� � ,� � <� �

, � ,� � ,:/ � * � ,:� � 3� * �

3� <� � ,:3 � * � ,:� � * � 3�

� � 3� � ,:� � 3� ,:3 � * � * �

�� � ,:�* � � � ,:� � , � 3�

�� �� � * � ,:/ � * � * �

��&"#� � � �,

�*0�; �� �(���>������#�&������$�����"#�

� ���

����

,

3!

,

/!*!

,

�!�>�#" ���

����2������ ��

��+����2���;����������������&��������� ������ �������:���� ��

�0�$ &"��B��-���2�� "#���+�3��� �������-��2��0�#������-����� ����">�#�� ��0��>�������� -���� �� "2����� -����"� ���2�#�� �� ��� ��-"#� � �� >�"� >� ������ -����"����2�#�� �������-"#�� ����"����$����1�#�������� �����0-��>����������-��� �������-������������0��������-��&���%�������$�� �� ����$��-�������B����-����������"�#��� ���"��& �(��� �����B�� "�� ������� ����� �#��$�������>-"����1��� ������"#���C��1#�0���;���> �>����&�#$ �-����0������>�0-#�;�>�"���� �����������

������

Page 63: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� +,

�/�����$� � � >�� ��"� � #�� ��0�� >�������� (�� > � >�� ��&�#$�� -��1#�0�� ���-��2��0����#����� 7�

��

���������

5

3�,�

3*�

,�3

,�3

,�3

���

���

���

*��� !� ,3 �� � �

� � ,�3 ,�0�; ���� �� �

"�� � ���C��1#�0���;���> ��>��7�

��

������������

5

3�,�

3*�

+,�3

/,�3

<,�3

����

����

����

*��� !� +3 �� � �

� � +/<,�3 ***,�0�; ������� ����� �

�$�0�"�0 ���"#���1�#�>�0-#�;���

�� � � � 3� , � * � * � * �

'� � ' � '� � 3� � �� � ,� � <� � /� � +� �

* � <� � 3* � 3� 3� � � 3� * � * �

* � /� � 3� � � � 3� , � * � 3� * �

* � +� � 5 � 3� 3� 3� * � * � 3�

�� � * � * � * � * � * � * � * �

�� �� � � � 3� , � * � * � * ��

�� � � � 3� , � * � * � * �

'� � ' � '� � 3� � �� � ,� � <� � /� � +� �

* � <� � < � * � �:3 � �:3 � 3� �:3 � * �

� � 3� � + � 3� �:3 � �:, � * � �:3 � * �

* � +� � 3� * � �:3 � �:3 � * � �:3 � 3�

�� � 3� � � � 3� , � * � 3� * �

�� �� � * � * � + � * � 3 � * �

� �

�$�0� 3����� �-����"� � ��� *!*!+� ����#" ����>�����2������ ��

Page 64: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�+<

�/�����$�� �>����"� �#�� ��0��>��������(��> �>����&�#$��-��2��0"#�#�����7�

��

������

,,,

+�

4,

<,�3

<,�3

,�3

����

����

���

� ��+�3���

*3 �� !� *� �� !� *, �� !� <� ��"�����>�0��>-��� ����� ��+�����

� � <,�3 �,0�; ����� �� � ��+�,���"�� � �����0�>"1>���" ��#��

,, )� � !� *, �) !�

<<< ��� � ��"� *< �� !� *< �� ��C��2��0"#���$����

��

������

���

,,,,

+�

4,

<<,�3

<<,�3

,�3

��)��

��)��

)��

� ��+�3V���

*3 �� !� *� �� ! *, �) !� *< �� !� *< �� � ��+��V���

� � <<,�3 �,0�; ��)��� ���� � ��+�,V�����>���� ��#����� ���(������"� ��������#������"� �������"���� "2 0�$����1�#��������*/ �) �����B��"#��0��>� ��0�$����1�#�������� *+ �) ��>� �#�� �-��2��0"#���$����

��

�������

���

,,,,

+�

4,

+<<,�3

/<<,�3

,�3

)��)��

)��)��

)��

� ��+�3W���

*3 �� !� *� �� ! *, �) !� *< �� !� *< �� !�

*/ �) !� *+ �) ��

� � +/<<,�3 **�,0�; ))��)��� ������ � ��$�0�

+/<<,�3

5+/<,�3

3*,,3,3

*3333�3

****33,

))��)��

�������

� !� ,���2 �� �

"� �$�0� �� 1�& � ������� !� B�� � � $�����"#� � ��� *!3!*+ � � �>��� "�������

��0-#�� 0���1�& ��"��H"���"#�$����1�#�#������� ����#�� �)5 ��� "2���-��0�����"� ���(���)6 � �� "2��� "#��0��� ��"� ��� � ���� +���3 ��� C��1#�0�� >�� ��&�#$ � -����0������ ��#���

��" � �&�7�

Page 65: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� +/

��������$�0������&�#$���-��2��0"#�#�����7�

��

�����

�������

,,,,

+�

4,

6+<<,�3

/<<,�3

5,�3

))��)��

)��)��

))��

*3 �� !� *� �� ! *, �) !� *< �� !� *< �� !�

*/ �) !� *+ �) !� *5 ��) !� *6 ��) �

� � �))� �6530�� �� �

��1�#"#�>�0-#�;�$�� �7��

�� � * � * � * � * � * � * � * � 3� 3�

'� � ' � '� � 3� � �� � ,� � <� � /� � +� � 5� � 6� � 4� �

3� 6� � 4 � , � 3� 3� * � * � * � * � 3� * �

* � +� � + � 3� 3 � 3 � 3 � 3� 3� * � * � * �

3� 4� � , � 3� , � 3� , � , � * � 3 � * � 3�

�� � 3� � < � < � � � , � , � * � 3 � 3� 3�

�� �� � < � < � � � , � , � * � 3� * � * ��

�� � * � * � * � * � * � * � * � 3� 3�

'� � ' � '� � 3� � �� � ,� � <� � /� � +� � 5� � 6� � 4� �

3� 6� � 6 �6

,� * �

,

�� 3 � 3� * �

,

3� 3�

,

3 �

* � +� � 5 �,

<� * �

,

� � * � * � 3�

,

3 � * �

,

3�

* � �� � 3�,

3� 3�

,

3� 3� 3 � * �

,

3 � * �

,

3�

�� � 6 �,

6� * �

,

�� 3 � 3� * �

,

3� 3�

,

3 �

�� �� �,

6 � * �

,

� � 3� 3 � * �

,

�� * �

,

<�

�����

Page 66: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�++

�� � * � * � * � * � * � * � * � 3� 3�

'� � ' � '� � 3� � �� � ,� � <� � /� � +� � 5� � 6� � 4� �

* � 3� � , � 3� * �<

3�

6

, �

6

,� * �

6

3�

6

,�

6

3 �

* � +� � 6 � * � * � 3 ��

3�

3 � 3�

3 �

3 �

3�

* � �� � * � * � 3�<

3�

6

4�

6

4 � * �

6

, �

6

3 �

6

,�

�� � * � * � * � * � * � * � * � * � * � * �

�� �� � * � * � * � * � * � * � * � 3� 3�

�0��1 ��"��� � 30�� *� � �(������1�& ��0��#�0�����������$����1�#�#������ ����#���

����������#" 0� "#��0�� -����� �� ��1�#"#"�� >�0-#�;� � � "#��0�#�� ��" � ��#����� (�� �"�

��� ����� ��� �� ���� "�� ���� � ����0��$��7�

�� � , � � � 3� 3 � 3� * � * �

'� � ' � '� � 3� � �� � ,� � <� � /� � +� � 5� �

, � 3� � , � 3� * �<

3�

6

, �

,

6� * �

6

3�

* � +� � 6 � * � * � 3 ��

3�

3 � 3�

3 �

� � �� � * � * � 3�<

3�

6

4�

6

4 � * �

6

, �

�� � 4 � , � � �<

/�

6

4�

4

6 � * �

6

, �

�� �� � * � * �<

3 �

6

35 �

3

6� * �

6

,�

Page 67: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� +5

�� � , � � � 3� 3� � 3� * � * �

�� � � � �� � 3� � �� � ,� � <� � /� � +� � 5� �

3� /� � 6 �,

6� * �

,

�� 3� � 3� * �

,

3�

* � +� � 3� �,

<� * �

,

�� � * � * � 3�

,� �

� � �� � 4 � , � 3� 3� * � * � * � * �

�� � �+ �,

�+� � �

,

6� 3� � 3� * �

,

3�

�� �� � � /� � * �,

/� � * � * � * �

,

3� �

�+��� �(���>������#�&������ � �*!4!*!6

� � ����#" ����>�����2������ ��

��5�������������;�����:�������������� �

C��1#�0�� �"�#�� ��� B�� -��2��0����� #����� � -��&��� � "�� ������>� ���>�1��� ����-"���� ��� $������ 0���0����� �%�� (�� �����0���� G�� -���2�� �#�� ����������� �0� �"���-���&����� �� ����2 �-%� �#��0������1�&������� ����#�!�� 0%�%������"(����>���� ���

� � �������"�$��0��� ������>�� �B���1��������-��1#�0����"�#���C����"� ��0����� "�"�� -��2��0� �"�#� ���1"��� > � ���0� >��0�� ��� "�0 �����#��

��2"#�7�3�� ��� ����$����1�#������2���$�� ��-�&���$�������-��2��0"#�-��0�#�B������>-"����B��

-��2��0"#��"�#�������"� ���� � � �.���� "����$����1�#�� � �>�0��>-��� ���������-��2��0"#�-��0�#�B������>-"����B���"�#�

����"� ��.�,�� ��� ����� ��� "�� �����1�����$�����-��1#�0��-��0�# �>"����-"(������0���#���#�1����

����>�>��0"#������>���� ����#�-��1#�0����"�#�.�<�� ���0����� #�1���� ��� ��>���� ��#��� ���� -��1#�0�� -��0�# � >"��� �-"(��� ��� ����� �#���

"�� �����1�����$�����-��1#�0���"�# .�/�� ��� ������>���� ������ ��0��� � � �>�"� � ������-��2��0"#�-��0�#�B������>-"����B��

��#��"�#���$����1�# �����2���$ � ��-�&���$ �>�"����������.�+�� 0�������� ��� ����� �#��� ���� >�>��0"#� ��� ��>���� ��� ���� -��2��0"#� �"�#� �>���

����>-"> �0����������� ����� �#�������-��2��0"#�-��0�#�����#�&%������� ��#��$�������#���$�0�"�0 �����#�� ��0�����-��2��0���"�#�7���� �-��2��0"#�-��0�#��>��7�

��� � � ��5�3���*�� � ��5������ �� �

� � ��� �0�; � ��5�,�����

Page 68: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�+6

��"����-��2��0"#��"�#�$�� �7���� � � ��5�<���

*�� � ��5�/���� �� �� � ��� �0�� � ��5�+���

G��-��1#�0�� � �� �-"��0����"�0 �����#�������-��� ����#�0����#��7��

�� �� �-����� ��$�����"#�-�� "��#���"��������#��1"�"��#��� ��&"#�����������> ("������

����$�� �#��!��� $�����"#�� �'������������-���">�� >�"���>-���1�#"#����0�������-��0��.��� �� � '� ��>�"#� ��� ���� ����$�� �� >�"� 1��� ���"#� ���#�&��� ���� ��> ("������

����$�� ���.��� $�#����������# ���1"�"��#���������� �� �> � ���0�;�0 ��

C"��0������-�����-��1#�0���"�# � � �� ��>� �#7�

�� �� �> ���-��&�������$�#"#�#�������>����> (��� �����$�� �#�� ���0��"#"�������0���

��>-����$.��� �� �'������������-���">�� >�"���>-���1�#"#����0�������-��0��.�

�� �� �'���>�"#� ��� ��������$�� �� >�"�1��� ���"#����#�&���������> ("����������$�� ���

��>-����$��.��� > � >�� �����0���� ��$�#"#� ��� ���� ����$�� �� �� � �(�� B��%�� > � ��� B���-#������ >�"�

��- (����������#�� �� �������>�"#�����#��#�����$�� �#�����> ("�����> � ���0���0��

��� �-��2��0"#�-��0�#� � �� ��>�������>"1� ��0��>�������7�

��� � � ��5�5���*�� � ��5�6���� �� �

� � ��� �0�; � ��5�4����"�#"#�$�� �7�

��� � � ��5�3*���� ���������� ��5�33���� �� �� � ��� �0�� � ��5�3����

����1>��$���� ��"�#"#��"����� ��0��>���������G������"-#"��#�����-��1#�0���"�#���;�>� ���>��%�> ��������-����� ���>�#" ��#���

#������0����B��������"�����%��$����&"#����� � ���0��>��� ����(���� 5$<$3�� ��� � � � ��� � � �� ������ ���� ��� �������� � ��� ������ ���

�������� � � � ��� � !������� ���������

���� � ��C����"�"���"-#"����-��2��0��#��������"�#�������0������;�>��� �����>�2"� ����

"�0 �����#��-�>�1�#�� �7����

Page 69: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� +4

�������� 5$<$5$� %&�� �/����� '��� ��� � � ����� ��� �������� �� ����� ��������������� ���������� ����7���� ����� ����� ��������� ������������ ����������.�1�� � ������������������ ��������� ���� ������������ ����������.���� ������������������������ ���������� ����

��������5$<$4$� %1��&������� ���&����� ��'��� ���� ����������������������� ����3*��� ��5�3���!� �� �� ��� ������ � ��� ������� � � ��� ��� ���� ������������� � ��� ��� � � ��� ����������� ������ � � � � ���� ��� �� ���� � � ������ ������ ������������� ������� �� ������������������� � �� ����� �!�� �������

���� � � ��5�3,���C��1�&�������0����"�#�� ���>��-��������(��"�0 ���"#���&"#���7���������5$<$6$��� ���� �������������������� ����������� � � � ��� � ��� �� ���

������ ����������� �������� ������������� � ����� �� �������������7�� � *�� ���� �

� � *�� ���� � ��5�3<���

������#� ��#�� ��5�3<����&"#� �"�0 �����#�7��� ��� �>�#" ����-��0 � � � � ����-��1#�0���-��0�#�� �"�#���>���> ������>���� ��� � �

�� ��3 �� � !� � ��3 �� ���� >�>��0"#� ��5�3��� ��>-����$� ��5�<���� �"�

���2�#������ >����� !� ��"���� ��0-������� �" � �� �� �� >�#" ���� -��2��0"#"�� �"�#�

-��0�#���>����"# ���� ��� � ��0-������� *�� !� � ��3 � *�" .� �� ��3 �� �� >�#" ���� �-��0�� ��

-��2��0"#"�� -��0�#� �"�#�!� ��"���� >�#" ��� �-��0 � � � � �� �� �"�#"#"�� -��0�#��>���> �����"��2�#��������>���� ��� � � � ����#"�� ��5�<��� ��>-�;��$� ��5�3�����

��� -����� ��0��>���� -�� 1�&�� ��&"#����#��� ����������� � � �� >�#" ��� -�>�1�# � ���"�#����>��7�

3�� ��� � � ��5�3/���

"���� 3���� ���-��&��� �-���">"#��������$�����"#� �� � ��0��������� ����� ���1�&����(�� ��$��>�� 0�������� ��� 1�& � ���� "#��0"#� ��1#�"� >�0-#�;� ����� �-���� -�� ��#����#������>-"�& ������$������#���"�����������-��0"#���1#�"��������� �� � ��5�3/����>����8����>�#" ����-��0 ����� �-�������$����1�#�#��1�&�����#����1�#"#"��>�0-#�;��-��0�#��-���(��$����1�#�������� �����0-��>����!�����;�0-#"� *#� !���"���� *�#" ��

�/�����$�� �>����&�#$��-��2��0"#�#������

3 �

3 �

� ,

, < 5

� �

� �

��� �

*3 �� !� *� �� �

� � �3 /,0�� ��� � ���

Page 70: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�5*

�"�#"#�> "��>���

��

��

/<�

,,

�3

�3

""

""�

*3 �" !� *� �" �

� � �3 5,0�; ""� � ���1�#"#� >�0-#�;� �#� �"�#"#"�� ��">� #�� ��0�� >�������� -���� �� "2�����

$����1�#�#��������� ," �(�� <" ��>���

�� � , � 5 � * � * �

�� � � � �� � 3� � �� � ,� � <� �

* � ,� � , � 3� , � 3� * �

* � <� � / � � � < � * � 3�

�� � * � * � * � * � * �

�� �� � � , � 5 � * � * ��

�� � , � 5 � * � * �

�� � � � �� � 3� � �� � ,� � <� �

5 � �� � 3�,

3� 3�

,

3� * �

* � <� � 3��

,� * �

,

<� � 3�

�� � 5 �,

5� 5 �

,

5� * �

�� �� � �,

�� * �

,

5� � * �

�� � , � 5 � * � * �

�� � � � �� � 3� � �� � ,� � <� �

5 � �� ��

3� * � 3� 3�

3� �

, � 3� ��

,� 3� * � �� �

,�

�� � 6 � , � 5 � 3� 3�

�� �� � � * � * � 3� � 3� �

Page 71: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� 53

��#" ����-��0 ��>��� 6��� �-����"� ���

����

3!

,� ��

��#" ����-��0 ���-��0�#��� �"�#���"�#�����>��� 6��� �(��>������(���-��"#��0��#�����

�� ��1�#"#"�� >�0-#�;!� #"%��� �"� >�0�� >�8�01��� $�#���#�� ��� -�� "#��0�#�� ��" � ��#�����

����>-"�& ������$������#���"������!������ � �� 3!3� ���/�����$��� �>����&�#$��-��2��0"#�#�����7�

��

���

�������

+

36<

�*<,

3�

3

�3

�3

�3

��

��

��

*3 �� !� *� �� �

� � �30�� ��� � ��"�#"#�> "��>���

��

����3+<,

3,

,�3

<,�3

"""

""""�

*3 �" !� *� �" �

� � <,�3 +36�*3�0�; """"� ��� �

�� "2%��� #�� -��0�� ����"� ��� $����1�#�� ������ */ �" � ���� #�� �� ��"�� *+ �" �

�1 ���0�"��-��2��0�>���������#�� �"����1�#�>�0-#�;��>����

�� � 3� � �* � 36� � +� � * � * �

�� � � � �� � 3� � �� � ,� � <� � /� � +� �

* � /� � 3� 3� , � 3� 3� � 3� * �

* � +� � 3� , � < � <� � * � * � 3�

�� � * � * � * � * � * � * � * �

�� �� � � 3� � �* � 36� � +� � * � * �����������

Page 72: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�5�

�� � 3� � �* � 36� � +� � * � * �

�� � � � �� � 3� � �� � ,� � <� � /� � +� �

* � /� �<

3�

<

/� � * � < � 3� � 3�

<

,� �

�* � �� �<

3�

<

,� 3� 3� � * � * �

<

3�

�� � / � 3/ � �* � �*� � * � * � / �

�� �� � � ,� � * � � � +� � * � /� ��

�� � 3� � �* � 36� � +� � * � * �

�� � � � �� � 3� � �� � ,� � <� � /� � +� �

36� � ,� �3+

3�

3+

/� � * � 3�

3

<� �

<

3�

3+

,� �

�* � �� �3+

/�

3+

5� 3� * �

3

<� �

<

3�

3+

3�

�� �6

<3�

6

33/� �* � 36� �

6

3� �

3�

6

,5�

�� �� � �6

4� � * � * �

6

<5� �

3� �

6

,5� �

�0� �1 ��"��6

<3��� �� C�� "#��0�� #����� �$�0� ��0-������#�� �"� >�0��

>�8�01��� �#�� -��1#�0��� -��0�#�� (�� ��"0�� -����"��

33 �� !�

6

,5� �� � (�� �1 ���0�

6

<3��� ��

C����"� �#��� 0������ ��� ��&�#$���� �� -����8��� ��� -��2��0�� �"�#�� >�� -��������>"#���#������"������>-����#������0�� ����� �#��1�1#��2�� ����

���������

Page 73: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� 5,

��6�������� ���;�����������

�/������3$����-��1#�0�����#��>������-���"� ���7�

C���">��C���#�� ��-����"�0�������-��0 ��� �#�>�� �X�

9�������-��0��

3� � �� � ,� ���>-���1�#�

0�������-��0��

��>�"���"��� �������8�&� ���0�������

-��0���

3$ � 3� , � , � +** � *,!* � */!* �

�$ � , � < � 3� 3*** � */!* � *�!* �

�G���> ���"�������

��-���#���>-���1�#�-����"���8�&� �����������

0�������-��0��3/* �

� 6 � 36 � 5 � �

���>�"������-���"� ���

� , � 5 � 3� ��������7�

��� ���-#������-���"� ����"�B���> �������#��0�;�0��B������� ��#��"��#�& ����0������#���-��0����>-���1�#�.�

1�� ��� -#��� ��� -���"� ��� ����>-"�& ���� "���� ������ �� ����#�� 0���0�� ��� 0�������-��0��� 0�>���� �#�>���.�

��� ��� -#��� ��� -���"� ��� ��� �#�>���� �� 0������#��� -��0�� ��>-���1�#�� -����"� �����-���#�&���������# �-����"�0������#���� �#�>����> � ���0���0 .�

��� ���-#������-���"� ���B������� ��#��B�������0�������-��0 �>���"0- � !�-���"� �������# � �&�� ��>��������#�-" ���6* �1"� ��-���">��(��1��� ���"#�����#�0�;�0��

%��� ������ ��� 3� !� �� !� ,� � ������ �#�� �1�����������>"0"#� ���0������� -��0�� -�� "�������� ���

-���">� �>��� ��� <3, � .� 5<, � .� <3, � � ���� ��>�"��#�� ���0������� -��0 ����>"0�� � -�� "�������� ��� -���">� >"��� 36!**/!*,*,!*3 ��� � -����"� -��0"#�

-���">� (�� ���#�2� -����"� ��#�#�#��� ��" 7� �4!**/!*<*,!*, ��� � (�� ��>-����$�

3/!**/!*3*,!*, ��� ���$�0������&�#$���-��1#�0�����-��2��0����#����� ��

��

��

3***<,

+**,,

,�3

,�3

���

���� ��6�3���

*3 �� !� *� �� !� *, �� � ��6�����

� � ,�3 53660�; ���� � � ��6�,�����1�#"#�>�0-#�;��>��� �"- ������"��0�-��2��0"#�#�� ��0��>��������7���

Page 74: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�5<

�� � 6 � 36 � 5 � * � * �

�� � � � �� � 3� � �� � ,� � <� � /� �

* � <� � +** � 3� , � , � 3� * �

* � /� � 3*** � , � < � 3� * � 3�

�� � * � * � * � * � * � * �

�� �� � � 6 � 36 � 5 � * � * ��

�� � 6 � 36 � 5 � * � * �

�� � � � �� � 3� � �� � ,� � <� � /� �

36 � �� � �** �,

3� 3� 3�

,

3� * �

* � /� � �** �/

,� * � ,� �

,

<� � 3�

�� � ,+** � + � 36 � 36 � + � * �

�� �� � � � � * � 33� � +� � * ��

�� � 6 � 36 � 5 � * � * �

�� � � � �� � 3� � �� � ,� � <� � /� �

36 � �� � 3+* � * � 3�6

/�

/

,�

/

3� �

6 � 3� � 3�* � 3� * �3

/� �

/

<� �

/

,�

�� � ,5�* � 6 � 36 �3,+

/�

/

���

/

+�

�� �� � � * � * �43

/� �

/

��� �

/

+� �

�C����"� 3�*3 �� !� 3+*� �� !� *, �� � �1 ���0� ,5�*��� �� �����1�#�#�� ���

��0-��>���� ������">�!� <� � (�� /� !� >"��� �2�#�� �"� &���� ����� ��� ��� ��0 � �-�"#� � �

0�������-��0 ���>-���1�# �>�����>"0 �����2��#����� ������� ��������>���"��-#������-���"� ����"���>������#����-���"� ���0���0�

�$�0������&�#$���-��1#�0�����-��2��0����#����� �� � ,�33 5,0�� ���� � � ��6�,V���

B������� ��#�� ��6�3��!� ��6������

Page 75: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� 5/

C����"�"��-#������-���"� ����"�"��1��� ���"�����#�0�;�0�B�����#��(������� ��!�>��$����&�#$��-��1#�0�����-��2��0����#����� �

� � � � � � � � ,�3� 35536,60�; ���� ���� � ��6�,W����"���>���� ��#��� ��6�3��!� ��6�����1�� ��%���>��0�������������������0�������-��0�����>"0�� �

,�3 <5< ���� � �

B�>��0� �� ��"�>������>"0����� �� 3+**3 �

������$�0������&�#$���-��1#�0�����-��2��0����#����� �� � ,�3 <5<0�; ���� � �

>�"�� � � �,�33 <5<3+**0�� ���� �� �

��6�,WV��

�"����#��(����>���� ��� ��6�3��!� ��6�������� ��� � ��0��-# ��(��!� B������� ��� �� ��0���� -���"� ��!� -���#�� �#�� -����"�0�������

-��0 � ��� ����� ��>-"��� B�� $�#����� ��� /**�!*3****/!*+** ��� !� �"- ����#�&����� -#��"#"�� ��0��� �� >�� ��>���"��� -���#�� �#�� -����"� 0������#�� -��0�����>"0�����C���#�� �#��-����"�0�������-��0 ����>"0�� �-����"�-���">"#� 3� �>"���

33!**�!*,*/!*3 ��� !� ���#�2� -����"� ��#�#�#��� ��" 7�

�,!**�!*<*!*, ��� .� *6!**�!*3*<!*, ��� ����0��������������-��0���

��$�#�������� ,�3 *6!*�,!*33!* ��� ���$�0���������0�����

� � ,�3, *6!*�,!*33!*0�; ���� � � ��6�,������"���>���� ��#�� ��6�3��!� ��6�������� ���$����&�#$��-��2��0"#�#������

� � � � � � � � ,�3< 35536,60�; ���� ���� � ��6�<���

�"���>���� ��#�� �

��

��

6

3/*3<!*�4!*36!*

,�3

,�3

���

����

��6�/���

*��� !� ,!�!3�� � ��6�+���

�/������� 5� %�� ������� � &�� ��0���� ��'�� �� B����-�������� ��>-"��� ��� 33�"��� ��1 ��(���������������1"���> ���$�>���>� ���-�����B������$�� �#�� 3� !� �� !� ,� �B��

��������-���G��-��0�����- �B(��-��-"���> ���$�>���>� �B������$�� �#�� 3� !� �� ��"�0���

0"#����� � �"�1��G�����-����������$�>��(���0�;�0� < �"�1��B�� � �(�� ,� ��G��"#��0�����- �

��$�>��(�����#�-" ��� / �"�1��B����#�����������$�� ������� ����#���1 ��"���-������$�>�� ���>"��7� B�� 3� ���� X5 .� B�� �� ���� X/ .� B�� ,� ���� X< ���%�� ���1"���> � ��$�>���>� � B��

����#�B�� �����������$�������>� �#�B��%��1��� ���"#�> � ���0�;�0����

Page 76: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�5+

%��� �����$�0�-��2��0"#�#�����7�

��

���

/

<

,�3

,3

�3

���

��

��

*!! ,�3 ���� �

� � ,�3 *<!**/!**5!*0�; ���� � �

�"���� �� ��>���>"0����$�>��� �B��"�1��B������$������� �� ��

����"#��0��-���������1#�"#"��>�0-#�;��

�� � *5!* � */!* � *<!* � * � * � * �

�� � � � �� � 3� � �� � ,� � <� � /� � +� �

*5!* � 3� � 3� 3� * � * � 3� 3� 3� �

*<!* � ,� � , � * � * � 3� 3� � * � 3�

*/!* � �� � 3� * � 3� * � * � 3� � 3�

�� � �<!* � *5!* � */!* � *<!* � *,!* � *�!* � *�!* �

�� �� � � * � * � * � *,!*� � *�!*� � *�!*� �

���&"#� � X�<��� �-����"� 33 �� !� 3� �� !� ,, �� ���"0��� 0�> �����$�>��� ��>���

��� 5 �"�1��

��4�����������&������������

C��1#�0�#�� ��� ����>-���� >"��� �� ��0 � -�����"#�� � �� -��1#�0�#��� ���-��2��0���� #����� � -����"� ����� 0������ >�0-#�;� -����� �� ���-��� � ����� ��#���-�����"#���!� �$%��� ��� ��&"#���� "�� -������"� ��� ��&�#$���� B�� -�����-�"� �������� ��#"��"��#�&��� B�� ��&"#� 2�����#�� C��0�#�� ��&"#����� �"� �>�� �1 ��"��� ��� Y���8���U!�F������$����(��F��-0��>�(��"#��������������&�2��G��-������ ����>�0�����-��1#�0 �-����� �� B��%#��� !� ��� �;�0-#"!� >"1� ��0��"�0 �����7�"����"0���-���">� >�� � # � B�������� �#�� ���� !���!! �3 � B�� -"����#�� ���� !���!! �3 � �"0���� (�� >"�>��� )#� ���1"���

����>-������ B��-"����#�� ��� !���!! �3 ��"0������>���� ��!� B�������� �#�� ��� !���!! �3 !�

"�0 ����� 0���0�&����� �8�#�"��#�#��� ��� ����>-���!� �"��>�%��� -�� "��#�� "������� �������>-���� ��� ����#��>"�>�� � �� ������>���� ��� � ��

����

Page 77: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� 55

��0"#�����0���0���� ���-��1#�0����>����

��� �� ��

�3

!� �� !���!3� � ��4�3���

��� �� ��

�3

!� � !���!3� � ��4�����

*���� !� �� !���!3� !� � !���!3� � ��4�,���

� � ��� �

��

����� ���

3 3

0�� � ��4�<���

*��� !� �� !���!3� �

*��� !� � !���!3� �

*���� !� � !���!3� !� �� !���!3� �

����

��

�� ��

33

��4�/���

�"�����0�������-���� ��� ������� �#������>-����������#��>"�>�� � �� ���������>���� ��� � ��

��#� ��#�� ��4�3���>"����0-">����� �-�"#�� �����#"#�����>-���������#�� �������>"�> �> ��"���- (��>� �������������;�>���� !������ ��#�� ��4������0-"��>���> ������������������� ��4�/����-������"��#��B�������;�"#����������#�-��1#�0�����

C���� ����> ��0 ��� �#�0������� ���>�� ��-� ��� -��1#�0 � -����� �� ��">� #�� ��0����8�#�1��� �

��� �� ��

�3

!� �� !���!3� � ��4�3V���

��� �� ��

�3

!� � !���!3� � ��4��V���

*���� !� �� !���!3� !� � !���!3� � ��4�,V���

� � ��� �

��

����� ���

3 3

0�� � ��4�<V���

*��� !� �� !���!3� �

*��� !� � !���!3� �

*���� !� � !���!3� !� �� !���!3� �

����

��

�� ��

33

��4�/V���

Page 78: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�56

"#��0�� �2�#������ ��4�/Z�� >�� -����� ���#�&�� -���� ������"������ "���� ��>���� ��� ����$��� �����> ���� �����>������>"�-#">"#����-���">��;�>�����-����>�01#"#�>"�>�#����

����#��-��1#�0���>��-��&��� �>"1� ��0��"�"����1�#7��

� 3� � �� � � � �� � � � � � ��>-���1�#�

3� � 33� � 3�� � � � ��3 � � � �3 � 3� �

�� � �3� � ��� � � � ��� � � � �� � �� �

� � � � � � � � � � � � � � � �

�� � 3�� � ��� � � � ��� � � � � � � �� �

� � � � � � � � � � � � � � � �

�� � 3�� � ��� � � � ��� � � � � � � �� �

���>��� 3� � �� � � � �� � � � � � �

������2� ��� 5$=$3$� &����� ������ � ��� �� ���� ���� ����� �� �� ���� ���

���������� �����������

��� ��

�� � !� ����

��

��

�� ���

33

��

���� ��� ��7��

��� ��

�� � �>���> �����>���� ��#�� ��4�3V���(�� ��4��V���

��

��

��� ��

��� ��� ���

��� 333

!� �� !���!3� �

��

��

���

��� ��

��� ��� ���

��� 333

!� � !���!3� �

(������� ��#���������2���$������ ��4�,V����G��2�����#� ����>� � >�#" ����"��>����-��0 !����� ��%��� >��0����� �-�"#� � �"��

-��2��0� #������ >�"� �"� ���� >�#" ��� -�>�1�#�!� >�"� ��0���� >�#" ��� -�>�1�#�� �"� �-��0��� �����>�"�����>�#" ����-��0 � ���� �(�� ��%���>��0�����-��-�&� ������������ ���&"#� �� �������-��1#�0 ��������>-������0������>�#" ����-��0 � ���� ����������

� ����� ��� !0��� �

(�������>��"� ����-��0"#"���� �����>���;�#"���������2� ��� 5$=$5$� '� ���� �������� � � �� �������� ����� ������ ������ �� �����

��4�3Z�!� ��4��Z������ 3� � ����&"#� �� ���>�#" ��� ���#�&�1�# ����1�& � B������-��1#�0 ���� ����>-����������#�

0"#�� 3� � � ��0-������� ���"#�.� ��� �>��� ����������� � ��� � ���� �;����3� � � ��0-������� ���"#�� (�� ��������� � ��� � ���� 0��� -" ��� ��� 3� � �

��0-����������"#�����

Page 79: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� 54

��0��0�������# ���-��1#�0����������>-���� � �( ��>��7�

� �( �

� � ���

���

���

0��

* �

"���� � ��>���0����������������� � � � � � !�

)))

��

������

3>>

>3>

>>3

� �

"���� 3 ��>���$�����"#�#����� � �3!���!3!3 ��"� ���0-������!� > �$�����"#��"#� � �*!���!*!* �

�"� � ��0-������!� ) � 0�������� "������� ��� ������ !� � � $�����"#� ��#��� � ���

��0-������� � ������ !���!!!!���!! �3�3 .� � � $�����"#� ��#��� � ��� ��0-�������

� �� ������ !���!!!���!!���!! �333�33 ��

C����"� ��&�#$����� -��1#�0�#��� ��� ����>-���� ��� (�� B�� ��&"#� -��1#�0�#���2�����#�����-��2��0����#����� !��#2����0"#������&�#$����������" ����-�7���� � #�����"����>�#" ������ ��#�����#�&�1�#�����1�& .�1�� B01"� � �����>�#" ������� ��#��-%� �#���1 �������>�#" �����-��0���

��0� ��� B�� ������"���� ��" � -�������� ��� �1 ������ �� "���� >�#" ��� ��� ��#�����#�&�1�#�����1�& ��

�3��$���������� ����� ��������� ����� ���*������������� �#�� ��>-���1�#�� ��� !���!3 � (�� ������#�� ����>-"�& ������ �� !���!3 � >��

��>-"��-�� #��"��#��"�"�� ��1�#� ������#"#�#������ ��������"#� ��1�#"#"�� >�� ��&��$ �-����"����"��>�"��#�� ��� � �� !���!3� .� � !���!3� ����������1"��������0�������

�� � � � � �

3� �

� � � � � ��� �

� � � � � � ��� � � � � �

�� �

� � � � � � � �� � � � � �

�� �

3� � �� � � � �� � � � � � � �

Page 80: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�6*

��0-������#��1�&���� ��� ��#��>�#" ����>�������0�� �-���%��!�B���-%����"� 33� �

(����"0�7�����#�2�� � �3333 !0�� ��� � �(��$��� �����>����������1�&���� �����$��� ���2�#���"�

&����� ������ $����1�#�#�� ��� -�� �����(�� #����� >�"� ��#��� �� �"� 33� � ��� ��0�"�0 �����#���>��"� ��7���� ��� � 33 �� � !���"���� 333 �� � �(�� *3 ��� !� � !���!,!�� �.�

1�� ��� � 33 �� � !���"���� 333 �� � �(�� *3 ��� !� �� !���!,!�� �.�

��� ��� � 33 �� � !� ��"���� 3333 ��� �� � (�� #�� �#�2���� *3� �� � >�"� *�3 �� !� ������

��#�#�#��� ��0-������� ��� -�� #����� 3� (�� ��#����� 3� ����� ���>�������� ��1�&���!�����!��"#���

�����0������ >�� 0��� �� � (�� $�#���#�� #"�� 3� � >�"� 3� � B�#��"���"�>�� �"�

3333 ��� ��� �(�� 3333 ��� ��� ��G��-�>"#�"�0 ����-������"#�>����-�� �-����"���#"#�#��� 0�>������0-#������(��

>�����0�� ��"- � 3�� � �-�(�!�B�� �������-�>���0-#��%�����#����� >��"� ������>�"�����#��� � >��"� ���1��>�"���#�����(������#��� � >��"� �������

��� ��2"# � ��0-������#�� 1�&���� �"� >�� ����� B�� ��1�#� ��� >�� 8�("���& � � >" ����>-����$ ��

��/������5$=$3$+ +/3 �� !� 3/� �� !� �*, �� !� <*3 �� !� ,/� �� !� 3/, �� !�

3*< �� ���

� 3� � �� � ,� � <� � �

3� < �3� �

, �<* �

� ��/ � �

+/ !� �/ �

3� � ��� � �

, �3* �

� �/ �

3/ !� / �

, � < �,� �

� �3�

3* �, �

3* ��* �

� <* � ,/ !�3* � 3/ !�3* � 3* � 3**�� ��

�������� � � <*!0�� 33333 ��� ���� !� �0� 8�("���� ��#"#�#�� ����>-"�& ������

$����1�#�#��� ��1�&���� -����"� �3� !� ,3� ��� ��� ����#�"#��& � 3� � �����

��$���� �/<*+/3 ����� ��

��������� � � �/!0�� 3�33� ����� ���� � (�� 8�("� 0� ��#"#�#�� ����>-"�& ������

$����1�#�#��� ��1�&���� -����"� 3,� !� 3<� ��� ��� ����#�"#��& � �� � �����

��$���� 3*�/,/� ����� ��

Page 81: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� 63

���������� � � 3*!0�� ����� ����� ���� � (�� 8�("� 0� ��#"#�� ����>-"�& ������ #"��

,�� ���������"#������#�"# 0� �� ��������$���� /3*3/� ����� ��

�������!� � � /!0�� �,��, ����� ���� !� 8�("� 0� ��#"#�� #"�� �,� � ����� �� �"#� (��

����#�"# 0� ,� !� 3*/3/, ����� ��

������!� � � 3*!0�� ,,,,, ����� ���� �(���>����$������� � 3*,< �� ��

��%���>��0�������>�"��#������"���B����# "��#�����>">��#����#"#�#����$�0�-����"�� �$�#������

�/*3*,3*3/�3*,�/�<*, �������� ��

�0��1 ��"���� >�#" ������1�& �����2������ � <*33 �� !� �/3� �� !� 3*�� �� !�

/�, �� !� 3*�, �� !� 3*,< �� !� *,�,3�<�33<3, ������ ������ �

����$����������������� �����C����"� �����0������� >�#" ���� ��� 1�& � >�� ��"� B�� ���>�������� ��>�"��#�� ����� ���

����� �������������#�2��������0-������#���B�� �������-�>��G��-��0"#�-�>�>�������0�� ���0-������� #,� �-����"������ ��#, �� 0��� �(��>�����

� �,##, ��� !0��� � �"� ��#�� ����� �#�������$�� ��� #�� 0������ ���2���#���� ��� ��-�� �

-������"#�"�0 �������>�"��#��0���0��-����"���#"#�#������0-#��������/������5$=$5$���#" 0�����#�������;�0-#"#���4�3��

�������� C�� -��0�� #����� �� ��1#�"#"�� ��#�0���0��� ��>�� �>��� 33, �� � ����� #" 0�

� � 3/!0�� ,,33, ��� ���� .� >�� 8�("���& � ��>�"#� ��� ��#"#�� ����

��#�����#"�� ,� �(��>������#�"#��& � 3� ��������$���� /*3/+/3 ����� V�

� 3� � �� � ,� � <� � �

< �3� � , �

3/ �� �

,/ �3�

3/ � �+/ !� /* !�3/ �

, � � � � ��� � 3�

3/ � � � �3/ �

< � 3�,� � , �

3* � � �, �

3* ��* �

� <* !� �/ � ,/ � 3/ � 3* � ��

��������� � "� 0� 30�� �3 �� ���� !� � � 3/!0�� �3��3 ��� ���� � (�� 8�("� 0�

��#"#�#��#���������������#�"# 0� 3� !��������$���� �/3/<*3 ����� ��

���������� 3�0�� ���� � � ����� � � ,/!0�� ��33� ���� ���� �� Y�("� 0� ��#�����

#"�� �� �(���$�0� 3/,/33 ������ �� ��

Page 82: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�6�

�������!� � �,<,3330�� ������ ��� !� � � 3/!0�� 33333 ������ ���� � (�� 3�� � ��$����

3*3/33 ������ �� ��)>����$��������"0�� � 3*3, �� �(�� 3*,< �� ��

�$�0� �3/�� � -����"� 3/33 �� !� ,/3� �� 3/3, �� !� 3/�3 �� !� 3*,3 �� !�

3*,< �� !� *,,,��<�,��3< ������ ������ ��

9������ ��>�"��#��0���0�� � � B�� 2�����#� �� >�#" ��� ��� ��# � ��� 1�& �0��� 1"� ����%��0���������2���#��!����#�&%�����$�#��������8�#�"��#�#����������>-����0���0�� �����>�� #"��"� �>��� "��#� ��������� �"0 �"#� ����� ��#��� ����>���� -����"� ����2������-��0"#"��$�� ��0���0����

C����"������0�������>�#" �����-��0����"����-��1#�0���������>-����>��"��#�&��& ��#2����0"#� 1�&��� -�� ���-������ 0������� >�0-#�;� #�� ����� ��#�� -�����"#���� �#��-��1#�0����������>-�����

�,�������� ��������� ������������� ���� $����1�#�� #�� � B�� ����>-"���� B�� � � "�� $������ ��#��� �

� ��� � ��0��>����#� #�� ��

��� ���>-"��0������1�& � � � ��0�� ����� 3�� � �$������!�$�������� #�� �>"���

#����������-����� ���������$��������1�&���>��>�����B������>� �1�& �

�����

#���#��� ��� �

��4�+���

�"� ��#�� ��2�#���"� 3� !� * �>�"�3��

C��1#�0����� ����>-���� �>��� "�� -��2��0� #������ ���0���0!� ����� �� >�#" ��� �>����-��0 ���� ��� �� *�� ���� �� !����� �

*�� ����� ��� !� �� !���!3� !� � !���!3� � ��4�5���

�$%��� ����� >"0�� �#2�1��� � �� ��>�"#"�� ��� � �"� �� -����� ���� ��>�"��#�� �>�������

��0-������#���1�&�����#��>�#" �������� ������ ��#�� ��4�5����"�>"��� B���-#�����!�>�#" ���-����� �� B01"� � �� � -���� 0��� ������� 1�&��� ������"�%��� "�� $������ ��1�&��� ��� � (��

��"0��-�����#��-����"�������� ���� �� *�� ���� �� ��>���0���0 ������>� �0��� ������>��

���� ����1"������0-��������������$�#��������"# � � �� � ����0 ��0�� >��$�������0����-��$��%��� "�� ����>-���� �#� #"�� � B�� ���#"#� ��0-������#��� #�� � ����>-"�& ������

��� ����� �#��� ���"#�� ���� ��4�+��� >� &%��� (�� ��"�%��� >"���>�$� ����>� � $�#����� ������0-������#�� 1�&���� �(�� �#� B��%�� >"0�� ����# � > � � 0%� � ��$������ !� ��"�� >�#" ���� 0%�%�����>�#" ���-�>�1�# � �"���0-������� *� ���

C������"#�>����-�� �-%� �#��$��� ���������>�"#"������-��0�#�������9�����>0"#������#�"#�B#�$�0��;-#������-���;�0-#"#�"�0 ���7���#" 0� �;�0-#"#� ��4�3��� �$%��� ��>�"��#�� B�>���>�� B�� ��# "#� ���� ����-��� �#�

��� ����� >" ��(�� ���0�>��0����� �-�"#�� �-����0���������2���#����0������0�����

Page 83: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� 6,

-����"� "�� ��� �1�����$� $�#������ �/*�� !� ����� -����0� �"� >�#" ��� ��� 1�& ������0���� �#�� ��4�3���

3� <, �<* �

� ��/ � +/ �

3� ��

, �3* �

� �/ � 3/ �

, � < ��

3�3* �

, �3* �

�* �

<* � ,/ � 3/ � 3* � ��C����"�$��� ��������-��0�#�� ���>�#" �����>����0� ��� ������#"#��#�1����"�����#"�

����� B���-�� (�� >�� ���0�� � B�� ��#"#�� ��>-����$ � (�� �#�� � ���� ���"��� >"��� B�� 0����1#�2�����"� ��#"#�� ����>-"�& ������ ��0-������#��� 1�&�������0� �#� �"�� "�� ��1#�"��H"� ����B�������$�0�������B����#"#�#������>-"�& ������#"�� ��� �$�#���#�� ������ �� ��� �

�2�#�� �"� >"0�� ��>�"��#��� �"� >�0�� �#������� ����� �-��� B�� ���#"#� � ���! � B���-%��� �"�

���� ��

�$�07��*�,�33����,3,3, ���������� ���� �

3�,�3,<3����,,,,<3<3< �������������� ������ �

,,�,3333����3�3 ����������� ���� �

(�����#�2� *,3 �� !� ,,� �� !� ��< �� !� �<� �� ���

, � � �

�3�

* �< �

3�, � �3�

,� � �� �

� ��3� , �, �

* �< �

� � ��

����0���0�� ��� ���� ���2���$ ��>��� ,�3 ��� ������$�0�������"��� B��1�& �

$�����"#� �3� ��

G�����#"#�����>-"�& ������#"#��� � �3!� �-"��0�B����#"#�� � �3!� �$�#������ �����#��

��#�#�#��� ��0-������� 1�&���� �� "2 0� (�� >� ��0� � -%� � #�� ��8�#�1������ >"0�������#��(����"0�7�

�� ��

�� �

3*

�/<*

Page 84: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�6<

����0���0����$�#�������#"�� ��(��B��%����������#�#�#���$�#����> � �������2���$���>��� 3*� ��

�������1#�"#�-��1#�0���$�� �7��

3� <, �,* �

� �,/ � +/ �

, � � �3�3* �

� �/ � � �

3/ �

, � < � 3�3* �

, �3* �

�* �

<* � ,/ � 3/ � 3* � ���"��>�#" �����-��1#�0����������>-�����>���

��*,3*33*�/33*�,/,,*3 �������� ���#" ����"��>����-��0 �����������-#��%�����>�"#�����-��0�#�������$�07�

�� � 3� � * �� � � �� �, � / � � �

�33, ��� !� *3< �� !� ��� �� !� ��< ��� !� ,,3 �� !� /,� �� ���$�0� ��< ��� ������

>�#" ��� �"� �>��� �-��0 �� ��-��%��� �� ����0���"#!� ��� � -"��0� � B�� � >" �� � �<!� ��$�0����#"#�

�� ��� � �

3*3*

/

�"� /� ����#" ���-��1#�0���$�� ���

� 3� � <, �,* �

� �,/ � � � � �

+/ �

� , � � �3�3* � � � � �

� �/ �

3/ �

� , � � < �� � � �

3�3/ �

, �/ �

�* �

<* � ,/ � 3/ � 3* � ��

�"� �3*� �� ����

Page 85: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� 6/

��>�"#�����-��0�#���������� 7��

� � 3� � �� , � � � �< � < � � �

������� $�#���#�� *�� �� � ����� ��#� ��� �� � �>��� �-��0 � -����"� ,*33 �� !�

,/3� �� !� 3*�3 �� !� /�< �� !� 3/,, �� !� /,< �� ���������#�#�#���$�#���� ������"#���

Page 86: Trandafir Matematici Pentru Economisti

���

��

����(�����������(�* ���������� �

�����#��� ���0����������

��� ���� � � � ���� �� ��� ��� �������� � ��� ����� �� � �������� � �� �

� �� � �� ������ �� � � ���� � ������ ������� �������� ���� ����� ������ � � �� � �� ������� ����������� ����������� ���������

��� � �� �� �� ������� ������ � � �� ��� � ������ � � � ��������

�� � � �� �� ��

������� ����� ��� � ����� ������� ��

��� ����� ��� ������ ������� �������������������������� � ��������� ����� ���������� ����� ����� ����� ����� ���������

� �� � � � � �������� ��� � ��� �

� �� � � � � �������� �� � ��� �

� �� � � ����� � � ��� ����� �� ��� ���� ������������� ��� � �� � �� ������ � ����� ��������� ������ ��������� �� ������� �� ������� �� � �� ��� ���� � ������ � ���� ��� ���

�� ���������� � � � � �������� �� � � ��� �

� � � ����� � � ��� �

�� � � ����� ������� ���� � ����� ������� ������ ��

� � � � � � � � � ��

���

��� �����������

�� �

��� �

��

��� ����

� ����������� � ����

�����������

���

������

�� ������ ���

������� ������ �� � � �� �� � � ������� ����� ��� �� �� � �� � �� �����

������ ���� ��� ��� � � �� � � �� �� � ��

� � � �� ������ � � ��� �

��

Page 87: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� ��

�������� 4$3$3$� ��� ����� ����� ��� � �� ���� � � � � ����� ������� ���

� ����� ������� ���� � ����� ������� �� �����

� � � �� ������ �� � �� �� � � � �� ������ �� � �

���� � � � � �� ����� ���������� �������������������� ���� � �

��1��� ��$� ��� � � � �� � �� � ����� � ������ � � � � �� ��� � � ��� � ������ ������ ��

�������� 4$3$5$� ��� � � � �� � �� � ����� � ������ � � � � ��� �� �� � � �

����� ����� �� ! � � ������ ��!�� � � �� � ������������� ��� ��

��������4$3$4$���� ��� � ����� ������� ������� ������ �� � ������ ��� � �

��� ����� ��� ������ ������ ���������

������ ������������������� ������������"������������������ ����� ������������� ��� ����� �� � � �� !� � ��� �� �� ��� � �������� ������ � � ��� ��� ���

�� ������ � � �� � �� ��

��1��� ���� � "�� ������� ���� � ����� ����� � ��� ���� � � �� ������ !� �� � � �

����������������� � ���" � ���� � �# �� �� $������ �������� � ���# � ���� !� �# �� �� $� ������ ��!������ ��� ����� �#� �� �� !�� �� ������ � � "�� � ����

��� ����

� ������ !����

� �#��� � � ��� � � %��� !�� � ����� � � ��� �� �� �� � ! $��

&���'� �������� ���������������� ���� (������������� ����������������� ��� �������� ��������� �����)�� �'������ �������������������*�� ������+�� ��

�����2� ��� 4$3$6$� � � �����

�� !��� � � � � ��� �� �� � � � ������ ������ ����

!��$ � �� ��$ � �� !��$ �� ����� � � ��� $ � ��

�����2� ��� 4$3$7$� � � �����

�� !��� � � � � ��� �� �� � � � ������ ������ �� ��

!�� �� ����� � �� �� �� � � !��� �� ������ ��!��� ���� ��� �� ��� !�� � ���� � �� ��

� ����� !�� �� ����� � � ��� ��� ��

�����2� ��� 4$3$8$� � � �����

�� !��� � � � � ��� �� �� � � � ������ ������ �� ��

!�� �� ����� � �� ����� � ���# � � ��� !� � ## ������������ � $� ������ ��!�� ����� �����

�#� �� ���� !�� ������� � � � ��� ��� ��

Page 88: Trandafir Matematici Pentru Economisti

���

�����2� ���4$3$<$� � � �����

�� !��� �� � ������ ��� � ������������������� � ���

" � ���� � ������� ����� �� !�� ��#� ���������" $� ������ ��!������� ����� ��� ��

!�� ���� ��� !�� ������� � � � "�� � ��

�� � � ������ ���� ������ ��� � ��� � �� ������ ��� �� ���� ��� ��� ��� �

# �� � �����*�� �� ����$� ���� � (������� � �� �� ��� ��� �� �� �

�� ��� �� ��

���� � ��� ��

���� �����)���� ���� � ��� ����� ��������������������' �����������

� ��

� ��

���� �������� �

� �

��

��

,����� ������ �� ��� ��� ��� ��� � �����+���� � ���� � �� ������� �� )�� �� ����

� �!! � �� ��� ����

� ������

������

!

!��

��

������� �� ������������������� ���� � � %��� � ���� � �����������������#����

�������$� ���� !� ������� ����� !� ������ ��� �'�����'� �������-������������� �����������

� � ������

���

��

����

!

!�� � ������ ��� � �������������� !�� ������� ����� ��

� � !��� �� ������ ��!�� ���� ��� �� ��� � � � �!! �� ���� � ���� � � ��

� ����� !�� ���� � ����� !�� �� ����� � � ��� ���� � ��

����������������������� ���� � � �� � � �� � ����������������� ���� �% � ��

)���.����� ������ ���������� ���� % �� ��� ���� ����������� ��� ��� �������������*�� ������+�� ��

/���� ���� ���� ��������������� ���� � �)���� ���� �������������+��� �����

% �� �� � ������ ��� �� ���� �� � �� %�� � �� �� �� ����� � � ��� � � �� ���

�����' �� ����

%�

��

� ��� ��

�� � � ��� ����� � �"�� �� ���� �� ��� � ���

%�

����� � �"�� � ��� ���� ��� � ������� ����

�*������� �)� ��"�� � � ���%�

����� ������'��� ���� ���� ��"�� � � ���

����� ��

Page 89: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� �0

������� �������� � % ����������� ������ ����� � � ��������� � ������� ������ ������ �� � ���

%�

����� ��������������������� ���� � ��� ������� ����

��� �"������ )�� �'��� ����� ��� ��� � ���� � � ��� ��� � �����+���� ������� �� �

� �� �������������� � ���� � ����������� ����

� �

� ���������

������

�!

!��

������'� �� �� �����

���� ������� ��� ���� � � %��� � � ��� � � ����� �������� ���� ���������� �� �������� ���� � ����� ���� ���� !� ���� !� ���������� ���������������� ������ ���� �����

�������*�� ������+�� � � �� ����� � ��

� � � �� ����������

��

����������

!!

! ���

� ��

1����� �������� ���� ���������� &�� 1��� ��� ������� ���� ��� ���� � ���� ��� ���������� ��� �������� ��� � �����2 � ��� ������� 1��� ����� 0���������� ��� �������� ���������� ���������$� &���� �������� ���������� ��� ���'��������� � ������ ���������� ���$� ( � � � � ���

���

� !��� �� ����� � � ���

���

� !��� ��

�$� � � �����

�� !��� � � � � ��� �� �� � � � � �� � !���

!��

����

��� ��� � � � � ��� �� ��

� � �� � � !���!

���

�����

��

2$� ( � � � � � !���!

����

�� ����� ����� � �� ����� � ��� # � � ��� !� �� ������ ��!��

� � ! �� ����� ��� ����� !�� ����� �# � ��

-$� ��� � � � � �������� � �� !� � !�� ��� � ������ �������� � ���# � ���� !� �� ������

��!�� ���� ��� �� ��� �#�� ������ �� !�� � �� !�� �� �� �����

� � � � ������ ���� ��

�$� �������������� � �� � �� ���� �� � � � ��� � � � � !���!

��

����

����� � ������ ���

������� ���� � ��� �� ����� � ��� # � � ��� !� �� ������ ��!�� � � � ������ �� �

������������ !�� ����� �# � �� ����� � � �����

�� !��� ��

�$� ( � � � �� � �� � ��� � �� � �� � � ������� �� !� �� ����� ��� �����

� � �� � �� �� �� � ������ � �� !� �����

� � � �� � � � � ��������������� !!!������������

��� �

� � � �� � � � � ����

������

����

�����������

������ !!!��������� ��

Page 90: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�0!

�$� ( � � � �� � �� � ��� � �� �� � � ����� � �� !� �� ����� ��� � �

� �� �� �� � �������� � �� !� �����

� � � � � � � ����

������

��� ���

���������

������ !!!��������� ��

���� ����� ��������� � � ��� � �����������

� � � ��������� !!��������

��� ��

�����2� ��� 4$3$?$� ���� ��� � � � � �� � � �� � � ��� � �� ����� ��� � � � �� ��������������� ����� ���� � ������ ������ ��� ��%����� � � ���

���

� !��� �� � ������ ��

� � � � � ����

��� �� !��� �� �� ��������� ������ � � �

� )���� �� ������ �� ��

�����(��������������

���� � ������ ������ �� ������ ����� ������ ���� � ������+����� � � �� � � �� � ��

���� � ��� � ��� ��� �� ����� �+ ���� ��� ��� �� ������ � ��� �� ��*�� � �����+�� � ������������� ����������� �����

� � � �� � � �

� � � ����

������

������

������

������

������

������

��

����

���

��

������ ������������ ������������ �������� ����������*�� ������+�� �� � � ��

� ����

� �������� ������������ ����

� �

�� � � � ���� �� �� ��� � �������� ��� ��� ����� � �� �� � ������ � � �� � � � � � �� � �� ��

3��������� ���� �� ����������� �� �������������� ��������� ��� ������+�����������������������

�� �������� ������������

� ��� ��* *�

��� ����������� ����� *� ��

, ��� � ����� � ���� ��� ��� �� ���� ������� ��� ��������� ��� � �����+���������������� �� ���� *� ���������� ��������������������� ���� �������� ���)�������� ��

�����������+���������%����, ��� ������ ����������� �� ����������������������� ���������������+�����, ���������������������������� ������ ���� � ��

��� �"������ ������ ��� ����� ��� ��� � �����+���� � ���� � � �� ��� ��������

������� �������� � ��������

�������!! ��

� ��� � ��������

�������!! ��

�� ��� ���� � � ����� ����

Page 91: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� 0�

��������� ��� ���� � ���� � � %��� � � ��� � � ����� � ���� ��� ���� ���� !� � ��� !� ��3�* ���������������������������������������������� �����

�����2� ���4$5$3$�( � ������ ������ ���� ���� ���'����������� ������������������ ��� �� ����������� ����� ������������������� ����

�������������������1��� ������0����������

������ ��� �������� ��� ��� ������ ������ ��� �� ��*�� � �����+�� � �� �"������ ������������ ����� ���������

��1��� ��$����� ��� � � � � �� � � �� � � ��� �� ����� �� �! �� ��� � � � �

����� ������ � �� !� � � � � ������ ������ ����� � ��� " � � ��� � �!�� � ����� � ��

����� � ���# � ���� !� � ������ ��!������ ��� ����� �#� �� �� ����� � � "�� � ��

/�� �����������'� ������������� ���� (������������� �������� ���������2� ���4$4$3$���� � � � ������������ � �������� !� �� � ������ ��� � �

���������������� !���� ��� �� ��� � �� ������� � � � �!����

�� ��� ��

�����2� ���4$4$5$���� � � � ������������ � �� !� �� � ������ ��� � �������

�������� �� !�� ������� ����� �� � � !��� �� ������ ��!������ ��� ����� ��� ���

� ����� !�� �� ����� � � � � ��� !���� ��

�����2� ���4$4$4$���� � � � ������������ � �� !� �� � ������ ��� � �������

�������� �� !�� ������� �������� � ���# � ���� !� ��## ������������ � $� ������ ��!��

���� ��� ����� #�� �� ��� � ���� � � � � ��� !���� ��

�����2� ���4$4$6$���� � � � ������������ � �������� !� �� � ������ ��� � �

����������������� � ���" � ���� � �!�� ������ ����� �� !�� � #� ��������������

" $� ������ ��!������ ��� ����� ��� ��� ��� !�� �� � ���� � � "�� � ��

�����2� ���4$4$7$���� � � � ������������ � �������� !� �� � ������ ��� � �

� � � � !��� !!

���

������

��

+�������� ���� � � � ������������ ������� ����� � �� � ������������ � ��

���� ������������ � ��&������ ������� ������������ �������� ����������� ����� �������������� �%��

�����+���������������� ������� �������� ���������( � � ��� � � � � ����� ������ � �� ������ !� � #� � ��� � $� ����� ��� � �

� ��� ������������ � �� !� �#������������� � $��

Page 92: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�0�

�����2� ��� 4$4$8$� ��� � � ������� � � � � �� � � �� � � ����� ������ �����

���'�� ����� �� �! � � � � ��� �� �� � � � ���� ��� ���� ������������� � ��� �� ���

� �� ����� ��� � � � �� ������������� �� !� ��&���'� �����'��� ��������*���� ����

� � � � � � � � � � � ��

������

������� ������������

�!!! �

��� %�������"������������ ��� �������� ��� �� � ����� ��

��2������������������� ��� �

��1��� ����������� � � � � �� � � �� � ���� � �� ������ ��� ������������

� �� +�� �������� � ��� ��� ��� ��� � #��� �� ����� � � �� ,�� $�� � � ������� � ��� ������������ ��� ��� � ������� � ��� �� ��� �

� �� � � )��� ������� ��� �� ������������� ��� �� ( � � ��� � � � � � � � � � �����

������ � �� ������ � � � �� ��� ����� � � ��� � � � � ����� ������ � #� � � �$� ��

� �������� ��� ,�� � �� � �������� � �� ������ ��� ��

,� ���� � ��� ��� � ����� ������ � ���� ������ � �� ���� )�� ������ �� �� � )��

�� ���� �� )����� � �� ������ ��� �� ��� �� !�� � �"�� � ��� ��� �� � � !��� �

������)� %����� ���������� �� �� � � �� � ����� �� � � ������ � � � � ��� ���� ��� ��

��� �� � � � ��� ���� �������� � � � ������������������������ ������ ��

�� ���� ��� � ����� ������ �)���� ���� � �� ������ ��� �������������

����� ������ �)��� ����� ��)�������� ������+���������+�������������������+����� ��������������� ��� �)�������� �� %����������+�� ��

�����0� ������ ���� ��� � ����� ������ �)���.����� ��)�������� ����� ���������+�� � )�� ������ ��� ��'��� � � ��� ���� ������ � )�� � ��� �� �� )�� ������ ������+���������+��������

����������

Page 93: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� 0�

��-������0������� �����

���� � � �� ��� ��� ���� � ��� ��� ������+����� ������� � ������� ���� �� � � � ���� �!! � �� ������ ��������������� � ��

��1��� ������� � � � � ��� �������� � �!! � �� ������ � �� � � � � ��� �������

� �� ,�� � � �� � ������ ���������������� � � �

!

!!!

!

�����

��

�������� �

��

&���� ����������������������� ��� � ��� ������� � � ���� � � �� � �!! � �� �������

���� � �

� � � � � �!!!!

!! ��

���(�

������ �� �

!!

�� ��

,�� � ����������������� �

���

!! !! ��

������� � � ������������ ��� ��� �)�������� �� � ��� � ��� ��������������� �

�� ��� � )�� ������ �� � � )�� ��� ���� �� �� � � %�� �� �� ��� � ��� �'� ��� ���

��

��

!�

!� �������� ���� � � � �

����

��!

!�

�� ����������������������� ��� ������� � �

�� � ��,����*������������� ��

��

!�

!� ��-�� ���

��

�(� �� !!

��� $�

&�� �� ����������� �� � ��� �� ����' � ������%����� � � ���������������%��� ���� ��� ��� ��� �� ��*�� � �����+�� � � �� ��������� �� ��� � )�� ������ �� � � �� �+ ���� ������%����� � � ���������������%��� ��������� ������ � ��

�����2� ��� 4$7$3$� ( � � ����� � � � � � � � �� � � #���������� �� � $� ����� � ��

� �!! � �� �� ����� � � ����� ������ � �� !� � #���������� !� $� �� � ����� �� � �����#���������� � $��

(������� ������� ��� � � � �!� ���� �� ��������*�� ������+�� �����������+�� �

)�� !� ���� �� ������ ��

�����2� ���4$7$5$����� � �!! � �� �������� ��������� �� ��� � ��( � ������ �����

� � � ��� �� � � ��� �� � � ����� � ��� �� ����� � ��� # � � ��� � �!! � �� �� ����� ������ ������

����� � � #�� �� ������ ����� �� " �������� ����� !� ���� � �������� ��# ��������

����� !� ���� � � ������ ��!��

� � � � � �� � � �� �!!!!! ���� �������������� �� �#���"��� ��

��

Page 94: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�02

(������� ����������*������� ����+������ � � #�� �� ��������� ������"��,��� ��

� � � � � � � � � � � ������������������� ����� !!!!!! ������ �

��������' � � � � ����� ��� �� � � #�� �� ���� � � � ����� �!�$ �� � � #�� ��! ����� ��������

����*�� ������+�� �� ����$ �����������+�������� � � ����� � ����� �� � � � ����� � �!��$� ��

,�� %����������� ������������������������� ����$ ������ ��� � � � � �� �!! ���� �"������ �� �� �"�! �

� � � � � �� �!! ���� �#$��$�$ �� �� �#�! ��

��� �� � � � � �� �!! ��� ���������� � �"��� �

� � � � � �� �!!!!! ��� ���������� � �#��� �

,��� �������������������� �������� � � � � �� � � �� �!!!!! ���� �������������� �� �#���"��� ��

�����0� ��$�, ��� ��*����������������������� ����& �� ������������� �������� �� �� ,�����

�����2� ���4$7$4$����� � �!! � �� �������� ��������� �� ��� � ��( � ���� � � � �

������ ����� ��� � � � ���� �������� ���'�� ����� � ���# � � ��� � �!! � �� �� ����� � �

����������� � �� � �!! � �� �# ��� ������� �� �,���� �� ,������$��

��������4$7$6$�( � � �� � ���� �� � ������ ����������� � ��� ���� � �!! � �� ��������

�������� �� � �!! � �� �� �������� � � � ������������ � �� � �!! � �� ��

(������� ������ � �� � ���� �� � ����� ��������)�� � �!! � �� ��"�� ����� �� �����

# ������� � �!! � �� ��� ����� ������� �������� �*�������

�������� 4$7$7$� ( � � ����� ����� � � � ��� �� � � ��� �� � � ����� � ��� � � ��� ����

��������� ������ ��������� �������� � � � ������������ ���� � ��

��������������������������� ���&���0���������� �����

��������� �� ��� � )�� ������ �� �����+���� �� � ���� � ����� ��� ��� ���� � � ��� ��

����� ��� # �������� ��� �� �������$� ������� �� � ��% � �� �����+����� �� �� ��� �'���

��� ������ ��� ���� ��� � ������ ������� �� ����� ��� ������ � ���� �� ������ �����'� �� )��

�� ���� ��� ���� ���� ����������� �� �������� � � � ��� � ��� ��� �� �����' ���� �����

���� �� ����������� ���� �� ������ �� � %��� ����� �� �� ����� � �%�� �� (��+� �� ��� ��

���� �������������������������������������������

Page 95: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� 0-

&������������������������ � �� �� ������ ��� ���� ��� �� ����� � ����������"����� �������� �� ���� ��� ������ ��� � ���� ���� 4���� ���� ��� �������� ������� ����������� ���������� ����.� ������.�,,'(��� �/� &�� &%0� 5�

.� ������+ ��/���

��

&0

&%0�

&��� �� !�% �� !�� �� !�& �

.� ������%�����/� ��� &00&%� &����� �� !�% �� !� �&� ����� �&��� 5�

.� ������.�+�/� � � '�'�'� &����

&0%� ��

����� 0 �����'��� ��������� ������������"�#��������$�� & �����'��� ������������� ��������� �#�������������$�� % �������� ����� �������������� ��"���������������� ����������������� ����#�������$5�� ��& ��� ��' ����������� ��"�����������

&������� ���"�� � ��� �� ��������������������� �������������� ������� ���)�������� ��0 ���� & ��

�������1���� ������������1��� ������&������������0���������

���� � ������ ��������� ������+����������� �������� ���� �� � � ���� � �, � ������ ������������������ � ��

��1��� ����+�������� � ��� � � � ������������ �� �� � �������� � �, � �� � �

����� ��� ��������� ��� ���� ( ��������� ��� � ����) �������� ���� � �������� � ��

� �, � ������ � �� �����������

� � � � !����� �)�)��

, ��,�

��

������ ��!�� ������������� � � ��� �� �

� � � � � � � � � � � � � ������ ,� ���,� �, ���� ���)��(���� ��

�� � � ���������� ������ (� ������� � � ������������ ��+�� ��� � ��� ������������ ��+�� �)����� ���� ������ � ��

����������� � � � � � ���� ,� ��� ����'�' ���� ���*��������������������

����� � � � � � � � � �')��(���� ��,� �, ���� ��� �

���� � � !���� �'��

��,�

���

��

Page 96: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�0�

(���� 4$<$3$� ( � � ��� � � � ����) � ������� � ��� � � ��� ����� � ! � �� � �, � ��

����� ����� � �� � ��� ��� �) � ��� �) � ��������� ��� � � � ������ ��!�� � ����� � ! � ��

� �, � ����� � � �� � � �� �,��� ����� �)��)�') ��� �� �� � � ��� �� ��

���������( � � ��� ����� �) � ��� �) ������������� � �� � ����� � ! � ��������

� �, � �� ����� ����� � �� ��� ��� � ����) � �� ����� � ! � �� � �, � � � ��� � � ����������� ��� �� ���������� ��

��������� ��� ���� ����'��� ���������������2� ��� 4$<$5$� ��� ��� � � ���� ������� ��+�� � )�� �� ���� � �, � � �� � ���

�������� ��"�� ���� �������������� ����( ������� ���� ��� �) ���� �) ������������� �� ��������)�� � �, � ���������)��� ����� ���

� � � � !����� �)�)��

, �� ��

,�

��� ����� �

������)� %����������� �� � � ��� �� �

� � � � � � � � � �� � � �� �,�� ���,� �, ���� �)��)��(���� ���� �� ��, ��� ��*�������������� ����

� � � � � �� �� � � �� �� �,��� ���, ���� �)�(��)��� ���� �� ��

�����2� ���4$<$4$�( � ���� � � � ������������� � ,�� � �� � �, � �� ������ � ���

����� ���� � � ��� �� � �, � ���� � � �� , � � � �� � � (�� , � � � ��

6*������������������ ������������ ��+���� ����� �������� ���������� � � � � �� � � �� � � �')�������� ��,�, � �, �, ���� �� ����� �

(������� ������ �)���� � � � � � � � � �')��(���� ��,� �, ���� ��� �

�� ������ � ,� � ������ ��

� � � � � � � � �,� �, �,�� �)���� ��� ��

&������ � ������� ��

� � � � � � �

�,�

�, �,��

�)��

��

���

��

���� � � � �,� �

�,� �� )�

�) � ��� � � � � !����� �)�)

�, ,�

��� �� ��

� � � ��

��

� �, �,��

����� ����� � � � �� , � � � ��

������������*������������' � � � (�� , � � � ��

Page 97: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� 0�

�������� 4$<$6$�( � � � � ����� ������� � ,�� � ��� � �� ����� � � ��� ����� ���

� � � ��� �� � ���� �� � ���� � ��

�����2� ���4$<$7$�( � � � ������������� � ,�� � �������� � �, � �� ������ ������������ � �� �����������

(������� ����1� ��������������������������*���� ���� � � � � � � � � �')��(���� ��,� �, ���� ��� �

��� ������� ! � )�� � �, � �� �� �� � � � �� � !����� ����

, ����,�

�� ��� �����

� � � �, ����

,�

������ �

��

����� � � ����� ������ �)�� � �, � ��

�������� 4$<$8$�( � � � � ����� ������� � ,�� � ��� � �� ����� � � ����� ������ ����

��� � ��/�������� ��� � ���'� ��� ���� � � �"���� �� ����� ��������� �� ����� ���

������������� ����� ��� ��� ���� ���� ��� �� ����� #���� ��� ��� �����$� ������������� ��+������������

&���'� ������ ������� � ���� ������ ���������������� ��+��������������2� ���4$<$<$�( � � � � �������� ���� � � ��� �� � ���� �� � � ���'������� � ���

# � � ��� � �, � � ��� � � � ������ ����� ��� � � � ��� ���� �������� �� � �, � �� �����

��� � � � ������������� � ,�� � �� � �, � ��)������� �������� ����������� ��� � � ���/�����$�����

� �� � � �

� �*+

*,

-

��

!�

!�

!

���

� ��

��

��

����

����� ��

� ��� � �� ���� �������������� ��+�� �)�����*�����&������ � � � �!�!� ��� �

� � � � � �

� � � �

� � � ���

��

��

��

��

!!�

��

!!!!

���!�!�

����

��

�����

��

���

����

��

��

��������

7��%���

� ���

�� ����

������

���) ��

���� ��

Page 98: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�0�

� � ��

��

�� ���� ��

������ ��

���) �

��� !��� ��

!

!��

��

���

���� �� � � !����

!

!�)

��

���

���

,������ ��� ��� � � ���� ������� ��+�� � )�� ���*����� 8�'��� � )�� ���� �����

� � !!�! ���� ���� � � !!�! ���� ��

� � �� �� ��������������� �����)���� ����� � � � �!�!� �� ��

� �������

� �

�����

����

������ �

���

��� �

� �������

� �

�����

����

������ �

���

��� ��

, ���� ��������� �� ����� ��� ��� ����� � )�� ���*���� ��� �� ��%����������� ��� ����

�������� )�� ���*����� ������ �� ��� �������

���

�� �� ���

��

� �

�� �� ��� ���

����� �)�����*��������� � � �� ��� ��� ���� � ������� � �� �� � � � ��� ������� ��+�� � )�� � � �, �� ��

4���) ������������ ! �)�� � �, � ���������"�������� � � � � �� � � �� �,�, � �, �, ���� �� �����.� ���� �

��1��� ��$���� � ������ �� �� ,����� �� � � �� � � �� �,�, � �, ���, �� �� ������ ���� �

���������������� �������� � � �� � �, � ��

���� ��� ����� � �� �� �� � �� �� ��������� � � ��� �� � �� � � ��� �$ � ��

���� �� � � �� /�� ��� �� � � !� /�� ��� � ��� � � !� /$� ��� �� � � �� /$� ��� � �� ��

� �� � ���� /� �� ���� � �� � ����� /$ �� ��

7��%��� � �� ���� �,� �� �����������

� � � � � ��������������� �� ��� ���� �

���

����

����

�������� �� !!

�!!

����� ��

&����������� ������ � ������+����� � ������ ������ �� �������� ����������

� !

!�

��

����

���

Page 99: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� 00

����� ��� ������������ �������� ���� � � ��� ��� �� ������ ��

���������0������� �����&����&������������

���� � ������ ������� �������� ��� �� � � ������������ ���� ����� �� � ����

�� � ���������������� � ���� ��������������� ������� � ��,��� ���"�� ���� ������������������� ����������������99��

� ��

��

���

��� ��� !

!��

��

���!!

!!

������ �

� ����

��

��� ���� !!

!��

��

���!!

!!

�������

� ����

��

��� ���� !!

!���

����

�!!

!!

�������

� ��

��

���

��� ��� !

!���

����

�!!

!!

������ �

��� ����� ��� �� ���� ��� �� ������� ������������"��������������99��

:���� ������ � � � ������+���� � ������ ������ �� ����������� �� ������������ �����

����������������*���� �� �� �*� ������� � ��

6��� ����� ��������������������������� ���� "�9@���2$� ( � � ��� � � � � ��� ����� ��� � � � ��� ������ ���

����������� ��� �� ���� ��� �� � ���'������� � ���# � ��������� � � �, �� ����� � � ��� �� ����

��� �� ������������� �� � �, � �� ����� � � � �, �, � ���� �� ����� ��

���������� ����A���:$��� � ��� ��� � � ���� ��������� �� ����� ��� �������� )��%��

�� � ���� �� � �)���.���� �� �����# ������� � �, � ������ � �� � ���� �� � ������������ ��+����)��

� �, � �� ���� �� ����������� �� ����� ��"��� ��� �������� ���� )�� �� � � ��� �� � � �"�� � ���

� � � �, �, � ���� �� ����� $�

��1��� ��$� ���� � � �� ��� ��� �� � � ��� �� � � �� ,���� ������� � ��� ��

�� ���� �� � � � ��� � �, � � �� ����� ��������� ��� � �� +�� ����� � � � � �����

������ �� �� ���� � ���� �������� � �, � �� � ��� �������� ��������������� ��� � ���

��� � ������ � ���'������� � ���# � ���� � �, � ��������������� � ,���� �� � �, � ��

������� ����������������� �)���� ���� � �, � ������������������*���������

� � � �� � � �, ����

���

, �����

� ��� ���

����

�!!

�!!

� �

Page 100: Trandafir Matematici Pentru Economisti

��!!

������"�������� � ����� ���'������������������������' ��� ���*����+�������������7�;�������������)���� ������������ �� � �, � � ��

������� ���������������� � ������������ ������� ������+�����������

� � � � ����

�����������

$$

$

������

���

����

�!!

������ ��

��� �������� �

�/��������� � � �� �� ���'��������� ���������������� � � ������ � � ,� ����� ��� � ������� � ��

�� ��+�� ���� ,� �

� �� ��� �� ,� �

�� � ���� �

� �� �� � � ,� ����� � � �� �� ,� �

� ,�� ��� ��

,� �

��,� ���� �

� �� �� � � ,� ����� �,� �� �� �� � � ,� �$$�$�$��

� �, � ��� � ���� ��

� � �

�����

$

$$�,� �$$�$�

� �����, .��!

��� � � �� �� ���'�� ������� ����� ��� �������� 99� �� ��� �������������������������

� � � �� ����������� ����� ���� ��+�� �����

� ������� ��� ��������� ��� �

��������� ��������� ��

������������������ ���� �

� ��� �������

����� ��

��� ��

��0��#�������������B����

���� ��� � � �� � � ��� � � �, �� �� � � ������� � � � ������� ����������� ���������������� � ����������������� �������"����������������������������+�������)�������� �� �������������' ��

:�� ������ �� � � ��� �� ������������ �������������

� � � � � �� � � �

� � � � � �� �

� � � �� � � � ����<��

<��

�<��

��

��

! !

��������������

��������

���� � �

��

,��,� �� ��

,�� ��, �

,� �, �.�

��1

����

��

$

$$�$�$���$

��

���

Page 101: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� �!�

:���������� � ���1� � ��� ����

� � � � � � � � � �

� � � � � �

� � � � � �, �,��

���

, �,��

��

, �,��

��

, ���1

�<�

����<��

�<��

��

01

234

5�

!!

��!!

��01

234

5�

!!

��!!

�01

234

5�

!!

��!!

��

&��������� � ���1� � ����������������������������������������� � ��� ����

��� ���� � �)���� ���� � �, � ��

&��������� ������ �� � � ��� �� ������������������1�=��������������� � �� � � � � ���)��1��� �� ��� �� �

���� �����+ ����������������������� ������'���� ����)�������1�=����� � � � � ���1�����) �� ��� �� ��

�����0� ��$��� ���� ��� � ������������ ��+�� ���� ��� �����)���.���� �� �����

# ������� � �, � ����������� ���� �� � � #�� �� ���"�� ������ �� � � #�#"� ���������

�*������� ������������� ���� � �, � � ���� ���� � ���� ������ �

� � � � � � � � � �#"01

234

5�

!!

��!!

��

�<�

��

�,��

���

��)�

� ��

6��� ���� �� � � �

� � !������

��

��)�, ��

��

���!���/��������1��� ������&������������0���������

��1��� ��$�"������� � � �, �� ������������������������������#����������

��������� ����$� �� ��� ���� ��� � � �� � � � � � ����� � �� ����� � ��� # � � ���

� �, � � ������ ��!�� ������ ������ � � �#�� ��� � � � ���� � � � �, ���� �� � �

#���������� � � � �, ���� �� � $��%��������������������������������������#����$� ������ �����

>�������� � �, � � ������ ����)���.����� �������"���#�����$��� �������������

��������#�������$������������ �����>�������������

� ���������������� ����� � �������2� ��� 4$3>$3$�( � � ��� � � � � ��� ����� ��� � � � ��� ���'�� ����� ���

������� � ��

�, �� �� ����� ����� ����� � � � ��� ��� ��� � � �� ����� ������

� � !� �� , � � �� � �� !�� ,� � ��

Page 102: Trandafir Matematici Pentru Economisti

��!�

(������� ���� ����.���� ��� ��� ��� �� ��� � � � � ������ �� � � ������� � ��

� �� �,� � � � , �� � �� �����������+�� �)���� ���� ������ � � � �, � � � �� ��� �����

,� � � ���� ��� �� �� ��� �"����� ��� ��� ����� �� ��� ������� ��������� ���� ��������

����� � � !� �� � ����� � � � !� �� , � � ��3������������ � � � � !� �� , � � �#*�������'����

������������������������������� ��������� ������+���$����1��� ��$� "�� ����� � � �, �� � ��� ������� ������ ��� ����� �� ��� ���� � �

� � � ��� � � � � ����� ������� � ,�� � �� � �, � � ��� � � � ������� � � � � � ����� �� � �� �����������

� � � � � � !��� ����� ��, ���, �, �� �� ��

���� � � !� �, �� ��� ������������ � � � � � !�� ���� , �, � �� ��,������� � �, � �

���� ��� �� �� �� ������ # ���� $� ��� ��� ���� � �� %��� ��� ��� ���� ������� ��+�� � )��

�� ���� � �, � ��������������������� ����������)��� ����� ��������2� ���4$3>$5$�2����������������������� ������������������ ����� � � ��

� ��� ��� � � � � ����� ������� � ,�� � ����� ����� �� ��� �� �� ��� ����� )������� � ������� ��� � � ��

(������� ���� ����.���� ��� ������� ���'� ���� ��� � � !� �� , � � � ���

� � !� �� , � � ���� �� � �, � ���������� ���� ������������ �����

�/������� ���� ��� �� � �� � � ��� ����� �� �� � � ���� � �� �� ��

� � ���� � �� ��� �� � � � �!�!!!�! �� �� ���� ��

��� ��� ���� ������� ��+�� � )�� ���*����� ������ �� ����������� �� ����� ���� ����������� �� � �!�! ���������� ���� ������������ ��������� � �!�! ���������� ������"������

����.���� �� ������ �� ����� ��� ������ � �!�� � ��� �� �"�� 2� ��

� � � �!�!!!� � ���� ��� �� ���� ������ �� ����� ��� ������ � ���! �� ��� �� �"�� 2� ��

� � � �!�!!�! � ���� ���� ��������)� %���)�� � �!�! ���� ������������ ����������� ����"��� �� ���� ���� ��� ������ � ��� ������ ��� �� ��*�� � �����+�� �� %��� �� ������' ����������9�� � � (��+�����������#�� �����������"����$��

&�� ������� �������������� ���� � � ������������� �������"������������������� ������������������� � ��

������������� �������� �� ?���� ��� ��� ���� � � ���� �� ����� � + � �� ����

� �� ������� � ����� �� ��������)���� �����������������*������� ����� �� �������

� � � �� � � �� �,�, � �, �, �� �� ������� ��� ��

Page 103: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� �!�

�� � � �, � � ���� �� �� �� ������ # � � � � !�� ���� , �, � �� $�� ������ ���*����

� �, �� �� ������������ �������� �2� ����� �� ��'���� �� � � � ���� ������� ��+�� � �� �� ��� ���� �� (� � � �� �� �����

�� ��������������� � �������������� ����� � ���� ��������������

� �� �+

,-

����

!�

!�

���

���

���

4������ ���� ������"������� ��������� ���� ���������'��� � ��� ���������"����� �� ��� �� ��� � ������� ��� ����� ��������� ������� �� #���� ��� ������ ��� �������������������� �������"����$��

4����� ��� ��� ����������*�� ������+�� ��������������� �������� ������� ������"����������' �������������������������)��� ����� ������������������� ����������� ����� �� ������� ������ �� ��� ��� �"����� #���� ��� ��� ���� ������ �� ����� ����"����$�������+��� ��� ��*������������������� ���������������������

������ �4$3>$4$�( � � � �, � ��������������� ��� �� �� ��� ���� � ����� � �

� � �������� ���� � � ������������������������� ���'������� � ���# � ���� � �, � �� �����

�$� ( � � � � � � � �� � !��� ��� �������� , �, �, � ����

�� � ����� � �, � � ����� �� ����� ���

���������� �� ����� ���� � ���� ���/�

.� � � � � � !�� ��� , ��

��� � �, � ���������������������3�

.� � � � � � !�� ��� , ��

��� � �, � ����������������� �����

�$� ( � � � � � � � �� � !��� ��� �������� , �, �, � ����

��� ����� � �, � ������������������

������� ����� ���� � ��

(������� ��������.���� �� � �, � ������� ���� ������������� �� � � !� �� , � � ����

� � !� �� , � � �� ������ �� � � ���� ��������� �� ����� ��� �������� ���� �������� �� ��

�� �� ����� # � �� ���� � �, � �� ����� ���� �������� ���� 1�=���� ��� �������� ���� ������� � #�� �� ��

� � � � � �� � � �� �

� �� � � �� �� � � �� �

� � � � � ��

��

��

��

���

������

����

����

�� ���)�

��������������

��������

,� ���

,�, �,� �, � �, �

,�, � �, �, ����

����

��

��� � � !���� �)��

��,�

����

Page 104: Trandafir Matematici Pentru Economisti

��!2

��%�������� � � � � � !�� ���� , �, � �� ������� %��� � �, � � �)�����+�����%�*�

� � � �

� �� � � �� �� � � �� � � �

� � � � � � � �001

2

334

5)���

����

�'������

����

�'�

���

����

�'������

����

�'���'

�')��������������

��

��,�

, �,� �

, � �

, �

��,�, �,� �, � �, �

, ����

����

����

������

�������

��

���

��

���� � � !���� �)��

��,�

������ ���� ���� ��� ���� �����

���

����

�'� ,�

����+ ����

� � � � � � � � � �001

2

334

5�����

����

��������

����

������

��

��� �

�� , �,� �

, �,� �

, �,�

, ������������

��� �

��� ������ � ��������,� �

��� ����� ���� ��� �� �������� �'���� � ��� ��*���� � %���

� � �� ,� � �� )�� ���� ����������� ����� ��� ������� �����' � � �"����� ����

���+���� ���� ����' � ���� ������� )�� �� �� ������ ���� � �, � � ������ %���

�� ����������� � � !��� ���������%

���� ��� �� ���� ������� ���� �� � ��� ��������

��������������*������99����+ ������ �������� �'������$� � � � � !�� �� , ���� �� ��� � � � ������� ��� ������ �� ��� )�� � �, � � �� �

� �� � � � � � !��� ��� �������� , �, �, �

���� �� � � !�� ��� , ��

��

�$� � � � � !�� �� , ���� �� ��� � � � ������� ��� ��"��� �� ��� )�� � �, � � �� �

� �� � � � � � !��� ��� �������� , �, �, �

���� �� � � !�� ��� , ��

��

�$� �� � � � �� � � � � � !��� ��� �������� , �, �, �

���� �� � � � �, ���� �� � � ��� ����' �

���� ������� )�� �� �� ������ �� ������ � �, � �� �� ���� � �� , � �������.��

�� ������

2$� �� � � �� � � � � � !��� ��� �������� , �, �, �

���� ��������"������ � � � �, ���� �� � �

��������������������������������� �������������������������������/������� ���� � � 2�� ����� �� �� � � ���� � �� �� �� � � �2� ���� � �� ��

!�� �� ������� ���� �������

� � �!�!� ����

� �� � � !!�!� ����

� �� � � !!�! ������ ��

� �� � � � � � !��� ��� ���������% , �, �, �

���� ��

Page 105: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� �!-

���� � � � � !!�!� �� ���� ���� ���������� � ���� � ���� �� � �!�! ���������� ������������

�� � � � ��� ����� �� � � ������ � �!�! � ��� ���� �� �� ��� �"������ ������ ��

������ � � !�! � �� ��� ��� � !�� ���� � � !�! � �� ��� ���� � !�� ��

���� � �� � � �� � �� � �� ������� � ���� ��� �� �� ��� ������ #��"��$�

�� ����� � � � � � ��� � �#��� ���� � � � � ��� � $��

�� � � � ���������� ���� ���������� �� � � !�� ��� �� �� ������� �

&�� ���� ������� �������� � � ������������ ��+�� �)�� ������ � � � !� �� �������+ ����������'������������������������������� ������

������ �4$3>$6$����� �������� ��� �� ����� � ��+ ����������� ���� � �

� � �������� ���� � � ������������������������� ���'������� � ���# � ���� ��

�$� ( � ����� �� �� ��� � �

�������

*�*�*����

��

������������� �� ����� �������������

��� ������� ��� ���� �� ����� ��� � ���� � � ��� ������ �� � ��� !�� � � �

!�� ��4�� ( � ����� �� �� ��� � � ��������������� �� ����� ����������������������� ��

��� �����

������#��� ��������������

���� � �� ��� � � !� ���� � �� ��� � � �� � � ���

� �� ��% � � � � � �� � 6 � �� �� :� ��� ��� �� %�� � �� �������� ��� ��� #)��

������ �� � $���� �� ���� � � !� ���� ������ ����� % ���� � � �� � !� /���� �������

%�� ��6 �� ��� � � !� ���� ������ ������+ ���� ���� �� )�� �'��� �� ����� ���*������

!��� ��� �� �� )�� ������ ���� ���������+�� ��&����� ������� ��*�� � ��� ��� �� )��

�'��� ������ +�� ������ !�� �� � ��� ������ �� � � ��� ����� ����� ���� ������

��� �������� ���� % � ��)�� �'���� �� ���� � � !� � ��� ����� ��, ��� �� �� ����

)�������� �� � ������������������������� �������� ����� � ��7�! ������"�����

� �� �*+

*,-

�7��

��

�!

�� �

����� �������+������)����� ! ����7 ������ � � !������� ����� � � ����� �� �� � �� �� � �� � ������ ������� ��

� �� %� �� � ���������� ���)�������� �� � ���� ������ �� �������� ������

Page 106: Trandafir Matematici Pentru Economisti

��!�

% �� �� � � �� � !����������� �� /�� ������ � ������ ��� �� �� �� � � %�� � ������� � �����

� ����� ������� ������������+�� ����� ������ ������ ��

�� � �"�� � �� ��*�� � ��� ��� � �� %� �� � � ���� � ������ �� � �� ���� � !� ���� �� ���������� ��� ����� ���� ��� ������������ �� ���� � ��� ��� � � ����

������� ����� ������� �� ��� � � !� ���� ��8�'���%���� �� ��� � � !� ���� �)��������

�� � �#�"�� ��%��.�$����+ ������� ����"�� �� � � ���� � ����� ����� ��������� �� �@������� � �� ������ �� ���� � ��� ��� �������� ���������

#��� ������������$��

��������4$33$3$����� �%� � �� ��� 5� 5 � � ���

%� �! ���

5� �! ���� ��� � �

�� � � )5%� �8� ��( � ���$� � � !� !! ���� 5�

�$� � � ��� ����� �������

� � �� ����� � �� �� � � �������� ��� �� ����� � ��� #" 8 � � ���

� �!! � �� 5�

�$� � � !� !! �� ���� ��

%�������$� ����� �������� � ��� !" � ���� !� ����������� � ��� !# � ���� !� ��������� ������ �

� ���� � �� !!� #"� � � ������ � � � � !! ��� � � ��� � �� � !� /���� � ������

!"�� 5�

+$� ��� � � � � �������� ���� � � ������ �� �� �����

������������� !" �������������� ���

� ��� �� �� �� �����

�����

��

�� �

���� �� !"�� 5�

$� � � � � � �������� ���� � � ������������� $ ������������ #" 8 �� ����� � � ���

����� ���� � � ������������� $ ������������ !" ��

���� ��� ��� ��� ��� � �����+���� � � !� ���� �� �� � �� ������� ��' � ������� ��

�+ ���� !���� ������ �� �� �� � ���� ���� ����� � ��� ���%��� ����� �� � �� �+ ����

!�����

��

� ����� ��

��

��

��� ��

�������/���������&� �������%��:���'�

���� � � � ������� ������� � �� ��� ��� ���� � ������� � �� �� ��� ���� �� � � � ����% � ����� ��� � �����)�� % � �����"���������������� % ��� ������ ������� � ����

% �����)�� �����"������+��������

Page 107: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� �!�

��� ����������"���#�����$������������ % ��� ��"�� ����� �� �����# ������� �������)� %�� � � � � ��� � ����� ���� � � � � ��� � ����������� ���� �� %#� �� ��

6"�������� ��� ���� � � ��������� ��� �+��� ����� �% � � �� ���� � ������������ ������#������$��

���� � � � ����� $������ �� �$ � � ��� ��� ������ ���� ������ � ��� ����� % � ������� �������� �������������������� ������

� � !������ ��� ��� �� $� ������� � #������$�

,������� � �� $�����% � �������! ���� ��

��� � ��� �'� �"�������� ��� ���� � � ��������� ��� % � �� ���� � ������������ ������������������#������$��

, ����� ���� � � ���� � � �����+���� ��� ������ � ���� ��*���� )����� ���� ���� ���� $ ����� ����������������#������$������ ���������������������"��������*�����

������ � 4$35$3$����� � �� ��� ��� � ��������� #������$�� + � ��������� � ���� ����� � ��� �� � � � ����� $������ � ������ ���� � � ������������ ���'������� � ���# �

���� ����� ����� ���� ��� � � *� � � ��� �������� �� ���� $ ��( � � ��������

����� ��� ������� �� ��� ���� � � ����� ��� �� ��� �������� #������$�� ����� ����� � $ �

������ $�� ������ �#������������������� �������$� ������ ��!��

� � � �

� � � � � �*+

*,

-

����

��!

!�

!!

!���

�������!

��

� � �

�*�

��

� �

$

$

� *

��

* � #������$�

:�� �� ��� ��� � �� ������� � �� ��������� #������$� �� �������� ������

��� ����� ���� ����� ��� ��� ���� � �� :�� �� �� �� ��� �"����� ���� ������ ���� ����� ���� ������ ���� ��������� ��� ������������� ��� ��

������&��������������/�����������:���$��$� ��� ������' � ��� ��� ��"����� � #�@�� �����$�

� � � � � � � �������������� $$$� ���� �������������� ���� � �� ���� ��� ���

$�� ������ ������������� ���

�$� ��� ������' � ������� ����� $� � � � �� ��*+

*,-

����

�������

!���

!���

��

��

$

����

���

��� ��

$� � � �� ��� ���� $� ���� ����������� �� � ��� �� ��� � ��� ����� � ����� �����

���������� ��� ���� ��#�� ������$���$� �� � $� ���� ����������� �� � ���� �� ��� ��� �� � ����� ������ ���� �� �� ����

� ���� ������ ������� ���� ������ ���� ������������ ���� � ��&������� �� ����� �� ������� ���� ������� ������ �+ ������ �� ��� � ��� �� �����

�"����� ���� �������

Page 108: Trandafir Matematici Pentru Economisti

��!�

>��� ���� ���� ������ ������ ���� ������ � ����������� ����������� ������� ���������� ���������"����� ���� �������

���� �� ���� �� ������ �� �� �� � � !� �� �� $� ������� � ��� $ � ������� $�� ������ �

������ �� ��������� ����������#������$��&���������������� � ������������� ������"����� ���� ����������������

#������$�������������������������� ��� � � � ��� ���� ���������� �� � ��������� �����

� ���� ������ � ���������� ��������#������$�� # � � !� ��� � ���� � � � � ����� � ��� ��

� � � � � � � �� � � � � � � � � $�� �� ���� �� ��� ������� �������� ������� ���

� � � �� � � � ��

&�� ���� ������� %����������#������$������� ���� ������������ � ��� ���� ��

����������������� ����������������9���������' �)�� ��&�������� ���������� ��� � ��� ���������������� ����� ��������)���.���� �� ����������� ���� ��������� ����������������1�=�������������������

� � � � � � � � ���

��

��

��

��

)'��')����� ������� � ��� *�*��� �

����� � � !��� �)�

� �

�� � ��

��'�

��� �

����� ��� ��� �� �� �� ������� ��

�� � ��� ������ ������ � � � *�*���

*�

���� � �����

� ����' � )�� @����� ���� �

� ���������������� ����' �� ������������� ���� ������������� ������"����� ���� �������

������#��� ������:����&������������0���������

��� ��� � ����� ������ � �� �������� ���� � ��� *������ $ � )�� ������ ��

�����+������ �� �� �� ������� ��� ���������� � ����� ������������ ��� ����� ���

� � � ��$

� ��������� ���������� �� � � #������$�

�����������������$�2���� ��������� �� ���� ������ � �� ������ ��$����� �������� ��� ����� � #������$�

�/�����$����� � � �� ������ �� �

�$� � � � �� � � � � � � �������������������� �� ���� ����� ��

+$� � � � � � ���������������� �� ���� � ��������� ��

Page 109: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� �!0

���2��#��� ������:����;�����������

���� � ����� �� ������ ������*�� ����*������)��%��������� ������+������

�$� ��� ����������� �� ��+���� ���������������� ���

����

�$��

��

�����

��

���

�� ������� �

���$ �������� ����������*�� ������+�� ��

�$� ������������� �������

!!����

��

!!�������� ������

����

�$� 1�����������6��������� ��

���

� �!!

�!!

��

����� %�� �������� ���� 6����� �� ���� ��������� � )�� �'��� *�������� �� ����������������������������� ������� ���

������ �� � � � ������� �� � ���������� � ������ �� � ������

�� �

��� ��

��

���

��������

� �� ��� � ���

������

��

����

��

���

��� �� � ������ �� ���

���

��

� �� � ���� ��� ���

������������

1������������ ���

� ������ � ���

����

�$���

����

��

��

���

��� �� ��

����������� ��� ������� ���

�����

��

�� �)�������� �� � �����

���

�������

��

������

��

���

!!

���

�������

��

�����

!!

��

��

��

��

���

���

��

��

����� ���

�����

������������������� �����������*�� ������+�� � �

��

����

��� )�������� ��

����

1��������� ���

�������

��

���

!!

���

������

!!

��

��

���

���

���� �����%����

!!�� %�����

��

!!�������� ���

���������������������

6������������� �'��� %������ ���������� ����������� ���� 6 ��������*�� ����*����)��%��)�������� ���� �����������+����� �%%% ������ �� ��&������������������� ������

��� ��� ������ ���� �$� ��� �$� ������� ��� � ��� �'� ���� ��� ����'��� ��� � ���� � �� �������� ������� � ��� � �������� �� �������� �� �� ��� �� � ������ �������� ������� � ����'����������� � � � �� ������ �� ������� ������ ��� ������� ���*����� ��� ��� ������ �����

Page 110: Trandafir Matematici Pentru Economisti

���!

, ���� ���� �'��� A������������ �������� ��� �� B�� %��� ������ ����� ������������� �������� ��� ��� ���� �� ���� ���� ����������� ��� ��� ���� ��� ���� �� �� ������ ����

�� � �"�� � ���� �� ������ % � ��� 5 �� ��� ��������� �������� ��� �� �� ����� ������ ����������*��� ���������� ������� ��������*���������� ��� ���������2� ������������ ��4��+�������� ���� ������������������ 2, ����+ ������������������������ �������������������������������������' �)�������������� ������ �������� ������� ������ �� ��� ���� ������ ��� �� ��' � ���� ��� �� ���� 2 � ������ ���' � ��+���� )���� ���)�� �������*��������������������

���-������ ���&�1���� �����

����� ������ ��+����� � ����� �� ���� �� ���� � ��� ��'�������� ����� � �� ������������ �� ���������� �������������� �������� ����� � �� ���������� ������ ���� ���* �)����������������+�� ����������� � � ������� ����� ��� �� ���� � ���� ��������� ��� ��������������� � ���������� � ����� ������ ��� ��

���� � � �� ��� ��� ������� � �� ��� �������� ( �� ���� ���� �� �� ������� ������� ������ �)��� ������������

��1��� ����2���� ���������� �� �� � !������� �� ������ � #���-��$�

�������������� ��������� ��� ����������� � ���

���� � �� � ,� �� ������ ���������+�� ���� � �����)����� ���� ������������������

� �, � ������� ��������� 7� �������, ��������� 7� ��+�������� ���� � �� ��������� ��� ��� ����������� � ���#���-��$��� � � ��������

���� � �������� � � �#���-��$����� � � � ��� � ��� ������, ������������� �������� ��� �����

� �, � �� �� ��� �

� � � � � � � �� � !������� ����� ����� � ��

�� � )�� ������� ��� ���������� �2� � �� ����'��� � *���� � ��� ��� � �� ���+ ������ ��+ ����� �� ��� � ��� �� ������ ������� ��������� ���� �� ����#���-��$��

��� ������ �'����� )�� �� ��� ��� ������ � ��� �� � �� * � � ��� ��� ��� ������

� � !� ���7 � ���������� ���� ��� ���� ���� �� � �����'%������ � �� ���� ��+������ ������������ ������� � ��+������*������

�� � ��� ��� � �� �� ���� � )�� ������ ��� � �� ���� ������� ����� #���-��$��)����������� ���� ��� ��� ������ ������ �� ����� ����� ���� � �� ���

� �� � !������� �� ������ ��� � ��� � ����� ������ ��������������+�������� �� � � �� ��������� ��� �� ������ � #���-��$�

����� �� �� ( �9 �� � � ���� �� ��� ��� ��� ��� � �����+����� ������� � �� ��������

( �� �� ������� ������ ��� ������ � )�� � ��� ��������� 6 �� ��� �� �������� ���� � �� ���

Page 111: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� ���

������� ��� � ��� �������� � �� ���� ���� ��� �� ���� � ���� ���� ���� � �� � ��� #���-��$������� � �� ������ � ��� ���"�� �����)�������� �� � ��������� �� ����� ��

!� ����� ���� �������� ������ � �� ��� ������� ��� � ��� �������� � �� ��� ������#���-��$�� ��� � )�� ������������� ��� ���� � �� ����� ���� ����� �� ���� ����������������� ����� � � !! ��� � �� � � �

!! ��� �� �� �� � � � � �!!

� �� � �� ��� �� ������ �� �� � ����� � �� � � � (� �� � 9 � ���������� �� ��������

��� ����� ��������� � ���� �� %��� ��� ��� � � ����� �� �������� ���� ����

������ ��� �� �� �� � �� � (���� � �� ��������� �� �"�� � �� ��� � ��� ��� �� � �� ����������� ����� #���-��$�� ���� ����� �� ���� ����� ���� 4�� (=� #��'��� � ��+����� ����4�� (=$�)��� ����� ���

��1��� ����8������� �������� � � ��� ����������� � ���#���-��$���� � ����������� ��� � ������� ������� ���� � � ���� ��� �������� ��� ��� � � ����� ���� ���� ������ �� ��

�������� ���� �� � �������� �������� *������ ��� ������ ��������� ������,��� � ����. ��������������������������������� ( ��

���������� ���&�1���� ���������������� ���0�����������&����&�����

, ���������� �� ���� ������� �� ��������+�������������� �������������������)��%��������� ����������� �*������ �

� ���� �� ���� � �������

� � #������$�

�� � � ������ ����������� ����'����������������� � �, � ������� ��������� 7� ������, ��������� 7� ��

��� �� ��� � ����� � �� ��� �� ��'��� � � �� ��� � (������� � � ������� �

� �� ������

� � ! �� ��� ������� ���*������ �����

� �:���

� ����

��!

! ��

��� � ��� � ���� ���� !�� � �� ���� �� ��� ��� ������ � ��� ��� ��������� ���� � ��

�� �� �"�� � ��� ��� ����� � � � �!��� ��� � ���� ���� ��� ��� *������ � �� � �� ����

�����������

�/�����$����� �� �� � �� � ��7� �!� �������'��� �� �� ������

�� �� �� ��������

��� ���*������ �!

! �� ��

�� �� �� �� !! �� ��������� !

!

����� �� �� !

!����� �� ��

Page 112: Trandafir Matematici Pentru Economisti

����

1��+���� �+������ � � �� ��� � ���� �� �� ���� ��� ��� ������ � � !��� ��

��� ����� !�� � �� �� � � !! ��� ������������������ ��� ����������+ ��������������

����������6����������������� �����*�������

���������� ������0��������������������

, ����� �� ����������������� �� �����

� �� � #������$�

��� ��� � �������������� ������ ��������������� � �, � ���� � �� � �������� ��

������ � ��� ������� � ��� '���� �� ��� ��������� � ���� �� 6 �� ��� #������$� ������ �����

���� � � � � !�� �������� ��

�� � � �������������� ������ ���� � ����7 ���������� ������ ���� � ����� ���*������ � �� � �� ���� #������$� ���� ��� � �+� ������ ���� �� � ��� ���� ���� � � � .�7�� �� ��������. ������� ������ ���+����� ��

���������� ������:����

������ �� ������������

� ��������

�� � #������$�

����� � � ���� �� ��� ��� ���*�� � ��� *������ '����� ��� � ����� �� ���� ���� � � ��������� �� � �� ��� ���� ��� ��� � �� ������ )� %�� � ������ � � ���� ��� ��������� ���

������ ��������� ���� � �����

&��%����

��

� �� �� �+ ���� � � ���

������

��

����

��

��

���� ��� � ��� ����� ��'��� � �

� �� ���������� ��� �#������$��������������

���

�����

��

����

� #������$�

&���� (��+����� ��� ��� �����

� � ��� �� � �� �����%��� �� �+ ����

���

�����

�� ������ ��� �� ���#������$����������� �)�� � ����

� ��� ��� �� ���

�������+��������+�����

Page 113: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� ���

&�����%��� � ��� ��� � � ������ � ��� � � ! �� �� ���%��� ��

� � � �: ���

� �� ��� ���*������ � �� � �� ���� #������$� ���� ����

� ���� �����

���

��

�+ ���� ���������*���������+��� �����+����������+��������������� ������������ �

���� ���+���� �� �*�� � ��� ��� � ������ �� �� �+ ���� ����������� ��� ������� .��

��������� ��� ������� !�� ��

���0������ �����&���������������� ������:����

������� ��������� �� ������������

���

����

������

���

��,� �,� �

�����

�� #���0��$�

����� � � � � � , � , �� � ��� ����� ���������

�� � !��� ,

, � � � �� ��� �� ���� �� ��� �� � �� ��� �� �����+���� ��������������������

����.���� ��� ���� ���

��

��

�,,

�� ��� ����� ��'��� � ��� �� ��� ,, �� �� ��

� �,� ��,� ������ � ��� � %��� (��+����� ��� ��� ��� ,� � �� �� ��� �����

,�� ��� �� �����+ ����� �� ���

���

���

����

����

��� �

��

���

���,�

��

���

,

��

����

,��

��

���

����

���

���� � ����

�� ��

�� � ! �� ,

, �� � ������� ��� � �� ���

+,-

���������!

!

��,�

�,� �� ���� �� ��� ���

��� � � �!! � �� ��� %��� (��+�������������+�� ���������� ���+,-

����

��

���

!

! ����������

+,-

��

���

��������� �� ���#���0��$���������

� � � �� � � � ��

����

��������

�����

��,��

��,�� �

���

!!

!! ��

Page 114: Trandafir Matematici Pentru Economisti

���2

)� � !!! ��� �,� � � ��� !!! ������ ��,� �� �� �� ��� �������

���

���

����

�,�

, ��

���

����� ���� �� ������*�� ������� ���� ��� � ��������*�� �

���*������'����)�������+��������� � ���� ��

���!������ �����������&����&�����;�����

������*������ ���� ������ �� �������� � � � � � !���� �.��5��% � #���!��$�

&�����%��� ���� ����� % �� 5 �� . � ���������������� ����������������������� �, � � ��� � � � ! �% � )�� ��� �� �� �� ��� � ����� ��������� �� )������ ���� � ��% � ���� �� ���#���!��$��������

� � � ��9��8� ��� � #���!��$�

����� � � � �� ��%�5

�8 � ���� � � � �� ��%�.

�9 �� ��

6 �� ���� � !��� ��8� � #���!��$�

����������� �� ��������� �� � ����+������������������� �� ��������� ����*�� �������0� ����:��*��������� � �� ���� #���!��$� �� ����� � ��� �+�� �� �����������

� �9 � ��������+�����%�*����� �� ����#���!��$��

6 �� ���#���!��$�������� �� ��� �������+��������+������ ������������'����� ������

� ���8����

�� � � ��� � ����8�

���� �� 9���*�%��� ��� ���� ���+��� �����

� �:��� ���8�� ����� � ��� � �:�� ���8�� ��� �� 7��%��� ��

�;�

��� ��� ���

*������ ������ �:�

� ���8��� �� #���!�2$�

&������ � �� ��� #���!��$�� �� ��� � �� ��� ��� ��� ������ #���!�2$�� ����� � � ���� �������� ������ ������ � ��, ��� ������ ����� ��� �� ��+����������������������� ���� ����������

�����%���)��#���!�2$�����+ ����

� � � � � � � � � �:��:����� ���8���8

�����8��� ����)��� �����)��#���!��$����'��� �

� � � � � � � � � � � � � � � � � ��9��8�������8�����8���8���8�:�:��:�

�����

�������� � � � �:����8

��9����

��������

Page 115: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� ��-

� � � � � �������9��

���8��

��

��� :� : �

������ ���*������ ���� �� ����#���!��$������ � � � � �

���

���

���

��� :�:� :

�����9���

���8���8

� ��

��� �+��� � � ��� ��� *������ � �� � �� ���� �����*���� ���� �*�� � �� ��� ���*������ � �� � �� ���� ���*����� ��� ���� �� ����* � �� ��� ��� ���� ���� � �� � �� ���������*�����, ��� ���� ������+ ������������ ���*������ ������� !� �� ��

���� ��� ���� ���� � �� � �� ���� �����*���� ����� ��� )��� ��� � �� ��� ���� ����������.���� ��� ��������� ��� �� ������ ������� ���� � �� ���� �� ����#���!��$��

� %��� (��+����� ��� ��� ��� ��� �� � �� � �� ��� �����*�� � #���!��$� �������

98�8�����

��

������ �

� �� � )� � ��%��� ����� � 98�����

�� �� ��� � �%���

!�� 8�����

���� �� � �������� ���*������ ���� �� �������*�����

������������������ ���;����������������� ������&�1���� �����

��� � � �������� ��� ����������� ��4������ �� �'��� %��� ���������� � �������.��������������� 6 �������������� ��� ���������� ������������������������ �������������� ��� ����������� �� �%�* � � ����� ���� �� ����� ������������� ���� �"�� ��� ����� �� ������� �� ���� ������ ��� ������ ��� �� ��� �"������ �� ������ ����������� ������ �� ���� ��� �� � � ������������ ������� ���������� �� ����� � ���.� ����� ���������*���� ��������������%�' ��� �������)��������� ��

, ��� � ���������� �� ���� ������ �� ��� ����� ��� ����� � )�� ��+�������������� ������� � ��� ���������������� 6 �)������ ��������# ����������������������� ���������� ��� � � ���������� ��� ����� 6 �� ���� � �� �� � )�� ���� �� ������,��� �� 6 ���������� �������� ���� � ���� � �� ������������ �� �����

� ����� �� ��4������ �� ������+������������������ � �� � ���������+������������ � � �����

������ ������� �'������� &������ ��� �� � ������� !� �� ��� ��� ������ ������� !� ��

������� � ��������� �������� � ������� ��� �� ���� �� ������'%������������ � �����

��������� � ����� � � � � ������� �! � �� ���� � � � ������� �!� �� ��

��� ��� (������������������� ������������������������� 6 ��)���.����� ����"��� ���������� �������� ������'%������������ ���������� � �� �����'�� ������ �����������������

� ����� � �

&������� ��� � ��� ������������������� ������ �������������� ����� ������������ � ��� ��� ������� � � ����� � �� ������� ���� �������� ������� ��������

Page 116: Trandafir Matematici Pentru Economisti

����

���*���� ������' �������� �������� ����������'������� ������������������ ����)�������� ������� ���������� ��������+������ ������������������� ���������� �����

���� � � �� �������� ��� ��� ��� �����+�� � � �� >�������� ������ ����� ������

>�����������*���� ������ ���� � �)���� ���� � ����� � ��� � ����� ����������������������� ���� )�� �� ���� � �� >���'�� ����� ���� ��������� �� ��� ���� )�� �� ���� � � ����

� �� �

�����

���

��� ���� ����� ������� )�� �� ���� � � ���� � �

� ���

�����

�� � ��� �� �����' �

� ���

������� � �� ����� ��� ���

� �� �

� ���

�����

���

����� ��

���������� ������������������������� ���'��� ����� ����������+��������� �� � ����� ������� ����� ��*�� �� ������� � ���� � � ���� ������� �� ��� �

����

�� �� !� �� ���* �� �� ��� ���*���

+�� �������� ����

��

��� �� ����������� �� ���������� ��� ������������

)��%�� �� �����+���� �������� �� �+ �����

���

���� �� 9���*�%��� ��'��� �

,�� ������ �� � ������� !�, ���� �,� ��� ���� ���� �� � � �,��� ���� ��

�� � .��� �������� ������� !� �� ��������� ��������� � !� �� ���� �� ������� �������� ������������ ��&������� ���������'��� ���+���������4�� (=��������������%��� ���� ��� � � !! ��� � ����� � !! �,� �� ����'��� �

� �

��

�����

���

����

���

!! ��

��� 4���� ���� ��*��� ������� �� � ����'�� ������� � ��� ����� ��� ���� ������ �� ��� �

����

����

��� !� ��

+�� ���� ���� ����

����

�� ��'��� � ��

���

�� �� 9���*�%��� ������

, �� ���� ��� �� ����� , � ���� �� ������ � ��+����� � ��� �� �'���� �� ��� �����

� � �,���� ��� ������

Page 117: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� ���

�� � �� ���� ��*��� ������� ���� ������ � ���� ��� � � !! ��� � �� ��� �����

!

! ��

�, �� ������*����������

� � ���

����

��

�� !!

����� ��

��� 4���� ���� ��*��� (������������ ��� ���� ��� � ���� � � �� ������ ���� ���������

�����������*�� � ��������������*���� ��

+�� ����������

��

� �� � ����'��� ����

��

� � ��������*�%���� ��� ������ �� ��

����� !� ������� �� � � ���� � �� ��

9���%��� ���� ��� � �!! ��� � � �� ��'��� � !! �� � � ��

!

!

� �� �� ��� ��*��� ����

���������� ����

� �!

!

��

���� �� �� ��

��� �+��� � � ��������� ��� ���� ��� ���� ������ � �� � �� ������ �

� �!

!

���

� �� �� �# ������ $��

2�� ��� ����� � ����� ������� ����� ��*�� �� ������� )�� ��� ��� ��� �� � ���� ������

� �,� ����

�� ������� ����, ����� ���������4��������� ��� ���*���� ������C�

+�� ���� ,� ����

��

��� � ��� ���,�

��� �

� �� 9���*�%��� �����

�,��� ������ ��� ������� !� � ���� ,���

���� ����������

� � ,� ������ ��� ��

9���%��� ���� ��� � � !! ��� � �� ��'��� � !!

! ���� ,� ������ ��

,�

���

!

!!� ����

��*��� ��������������

� � � ���,

���

���� �

���

����

��� !

!! ��

Page 118: Trandafir Matematici Pentru Economisti

336�

����<��������������(�� �(�� ��"����"��� ���������� �

<�3�������&���0��������$���������������

<�3�3���"�����������������

�������-��1�1�#�� �#���>�"���& �#�2�#���"- �������$�#"��& � ���0���#���#�����������0�����%��$���;�0-#����� ���0�����#���������

3�� ��#�0���>�0-#"��;�0-#"��>�����������;-���0���"#���������>� �B����"��������"�&��"#� "���"1��"�(�>�� � ���"0�����������#��3�#��+�!���&"#���"#��;-���0���"#"�� �������������� ����� ��� ����&���#���-��������-��%����;-���0���"#����"���"0 ��������!��"�-"��0�-��$����������$�� ���� ����� ��� ����&���B�� ���������"�����!��������������>�����-��������0"# �� ������� B��%0-# ����� �0-"#>"#� ��� ��#� ���� &��"#"�!� -�&� ��� #"�� B��0�0���"#���"�� ���!�-�����"#���� �#�� � ���-�������������������

��� ����$����� ���"��& �"���"0 ��������������&1��"�����2"#����B�������" ����(�����0-"#����&1����"��>������>����!����-��&��� �0����$���� ������#��"��&1���#���#�"#!������������ �"���� �������B��%0-# ����� ����� ��#��0������#�2�����������

,�� "�>��-�����(�����������������$�� ��-������"#���� ��1"�"��� #�� �1��������"�"����"0���-���">��

G�����>����;-���0����!������ ��#���>�� ��#���#���;-���0���"#"��� 0%����>�8�01��������������>���$���� ��� �"� #���������� �"���� ������� >��"�����!� ����� �� #"�� ��& � ��&"#���"#��;-���0���"#"�������0"#���"������ ������#�������������$���B�� ���0���#��>�"������B��$�0�>�#�� �����-����������>�$��(��$�0���2#�H���� #"�� �� ������#���>��"�����������>� �0���� ���"&"�# �B��>�"��"#� ���0���#��� �&���!�0��������(��B���-#��� �����8����!������0�����

G��>�"��"#����>���� ���0���!��$�����!��;�>� ����� ���� ����-�����-�"�B�����0�����#������� -��0��� > � ���0� ����� ��� �������� �>�� ��#�� ����� �����0�� � ��������"#� -�����-�#� �#� ���0��"#"�� (�� 0�����#�� ����� ��� >��0�� ��� �������� >��"������ �� � ���� �� #"�� � >��0��� �>� � -���� ������ >�"� -���"�1� ���� G��%0-#����!� ��0-#�;������!�0"#���"������ ��"&�#�������� �����$��� ����"�� #��0������ >-����#�� ��� >�"������ �� ���0���#��� �#�������!�0�������#�1����������������-��1�1�#�� �#����

�-#�������0���0�������#��>�"������� ���0���#����#��������>��1�&��& �-�� �-�"#�� �-������-����������0���0"#���������"�"���;-���0���!�B������� ���-���������������!� ���$�� ����#���$ ����-��� ����"�"����&"#������"0��� ��-���"#���������"0 �"#��;-���0����#���B��������-���� ��&"#���"#� (�� �"0 �"#� �"�"���� �;-���0����#��� � ���"����� �>��� �-��;�0���$� �����(�!��>��#%���B��H"�"#�"�"���"0 �����>��������� ����>��#"��"�>��B��%0-# !�"�"���$���0��������B��-"��0� �>����� "�� �"0 �!� -��1�1�#������� >��� ��2 �"��� ����>��� ������� >��"��"� � >��"��"���"�"�� �%0-� ��� �$���0������ (�� �"0 �� �>��� �� �� #������� B�� 0���0���� � �� -��1#�0�������> ��"#"����#�� ���B�������������C��1#�0�����$��������B���"0 ����>��"��"����"�"���%0-�����$���0�������$����#������ ������ "�� ����"0���� �-������>� �>��"��"� !������> � �����0 >"� ���-�>�1�#�� �#���������#�&�������$���0����#�������#�&�����"�"���$���0���� �����-��1�1�# !�����>� � "�� ���-���� ����"0���������� � ����������������-��1�1�#�� �#���>��-������-#����

Page 119: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� 334

�"0������#��� ���0���������-��&��� �����"0�� �>��1�#�������� ���$�� �#�����#���$��B��H"�"#�-��1�1�#�� ��� ���0���� �0�2���� ��� 0�> ��� ����>��� �>��� 1�&�� #�2 �"���� ��������-��1�1�#�� �#����"�#"0������# !��"�-�����������������&�#�#���

����!� �� ��� ��� (���� � �� � �� -��1�1�#�� ��� ���1"��� > � �� #����!� B�� -��0"#� �%��!���0-�����������# ��� ���0��"#"���� �"��#��(��������#��-��1�1�#�>������"�>"������� ����������#�"#!� ��� 0���#�� �#�� "���� >� ��� (�� ���������>����� �1�����$� �����0������ �#�� �;�>��� ��� (����$������� ���>������ C��1�1�#������� �"� �>��� �;-��>��� 2���"#"�� >"1�����$� ��� B��������� ���0"#"�� B�� -���"������ �$���0���"#"�!� ��� ���������&����� #�2 �"���� �1�����$� �;�>������ B���������� ���(���$���0���!�B�������"& �(��� �����

C��1�1�#�������"�"���$���0��������>��>���%�����0-��%����>�01#"#��������� ���� 0%�����>�8�01��!� ������ 0��� ������ �� ���>���� ����� ��� ��� 2%��� �"- � >���� 0��� �������-��1�1�#�� ���(�������0��� �������#�2���>����>������� ���0��"#"�����>��-����������>����#�2��>����>������>�����&"#���"#�"�"��-����>�B���#"�2�������1>������&�����������#�2��>����>��� ��>������������&�� � -�� ��� �� -����� ��� �����>��� �� ��#���$ !� $����1�#������� ���� ��0-���������� �����#����1�����!�������� �� ������"�-"��0�-��$�����B��0���"��$�����0-��������"�"���1�����>��2"#��!�����-������#� �-����!� �-�"#�� �B������0"# �0��0������� ���0��������#��������>��� �>��1�# !������-��-��"�&�>��>����;-��0�� ����#�2���>����>��� ��

�����>�����-������ �>���� �� �0����"�>��0 �#���%0-"�������$���0����� �����!� �#�>����(���%0-"�������$���0������� �����!�-���%����;-����� �#��������0���"#� �&�����(���#���8��������"�#��!�B��2�����#!�#���%0-"�������$���0������� �������

G�� ������� -��1�1�#�� �#��� �;-���0����#�� >�"������ >"��� ������������ ��������� (�� ����������#�&������"�"���>� �#�����;-���0����>��$���"0���� ����&"#���"#�"����-��1���>���"�������������

�/������� G�� ��"������� �"� &��"#!� 0"# �0��� ���#�& ��#��� -�>�1�#�� $�� ��� �+!/!<!,!�!3�� ���%��$���$���0����� � �/!,!3�� � �� ��&"#���� �0-��.� � �<!,!�!3�� � ��

��&"#���� �� ������ #"�� /.� � �+!<!��� � �� ��&"#���� -���� ��� � #�� �� ��"������ �-���� � �� �"�

�"0 �"#�, !�>"������#�&�����$���0����#�� � �(��� ����%��� -���� � � 0"# �0��� �"�"���� ��&"#����#��� -�>�1�#�� �#�� "�"�� �;-���0����������������

(�� -���� � ��� �0"# �0��� �"�"���� - � �#��� #"�� � !� �$���0����#�� �#�������� >"��� �#�0��������

�#��#"�� � ��� ��G��0"# �0��� � � �� �$���0����#��� �>������� "�"�� �;-���0���� >�� -��� ������"��� �����

�-��� �������>-"�& �������-��� ��#���#�2����K>�"L!�K(�L!�K���L����� ����! ��

��� K � �>�"�� L��>����$���0���"#������>�����#�&��& ���� �(���"0������ �>�����#�&��& ���#�-" ���"�"#���������$���0����#�� � �>�"� � �����>���$���0����>�������& �-���� ��� �(��>��$���"0�������������$���0����#��� � �(��� .�

1�� K � � (�� � L� �>��� �$���0���"#� ����� >�� ���#�&��& � ��� � (�� �"0��� ��� � >����������������#�&��& � �01�#�� �$���0����� � � (�� � !� �"0��� �������� ��� ���>���� �$���0����� (��������-���� ��� .�

��� K���� � L!��>����$���0���"#������>�����#�&��& ���� �(���"0������ ��"�>�����#�&��& �� �����>���$���0����B#�$�0��"0���������#"�� � �(��>�������& � �� ���

Page 120: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�3�*

��� � ��� �"���$���0����B�����( 0�0"# �0������-��1��-���������>�����#�&��& !���"�����-��� ��#�� ������� �$���0����� ��$��� #�� �-��� ��#�� ��>-����$�� ������� 0"# �0�#�� ��� -��1������>-"�& �����!� ����� ��� H">�� �� � ���� ��#�� ��!� 1�� (�� ���� ��&"#����#�� �-��� ��#��� �"��$���0�����>"��������$���0��������(�����;-���0���"#"����>-����$��

��� � ����� !������ � �(�� � ��"�>��-������#�&��>�0"#���!�>-"��0�� � � �(�� � �>"����$���0������������� �����

G�� 0"# �0��� � � �� �$���0����#��� �>������� "�"�� ��"0��� �;-���0���!� �;�>� � ��" ��$���0����� �"� �� >�0�� ��� ��� ���>�1�� � (�� ��"0�� �$���0����#�� ������ � (��

������ �� C��0"#� ���>� � B�� -���"������ �$���0���"#"�� � � >�"� B�� -���"������

�$���0���"#"�� �� �������������#��!��$�����!�B�������"��!�-����"�0���!����>���$���0�����"���-���������$���0���"#� � !�B��>��>"#�� � �� ���� �� ��� !� � � ������$���0�������� 0"# �0��� � �� )>��� ���"��#� > � �"0�0� �$���0���"#� � !� ������������ �������)$���0���"#�� ����>� �B��-���"�������$���0���"#"�� � �(��B��-���"�������$���0���"#"��

�� � ����� ��� �"� -����� �$��� #��� �������� �� ���>�� �$���0���� >�� $�� �"0�� ��������������� �����

����$���0����#�� ����! ���-"��0�� ��$���0���"#� � ������� ��$���0���"#� � �

(��>����0� ��� !���� ���"�����%���>�����#�&��& � � �>�����#�&��& �B��0�������>���� ����� � �$�0� >�0"#���� ��� � (�� �� � !� ��"���� �$���0����#�� � � (�� � � >"���

������������ (�� ��� 0� �� � � ����>��� ��$���� #�� �2�#������� 0"# �0�#��� ��� -��1�� ���������>-"����$���0����#������

�0-#��� ��� ������� �$���0����� �>��� �� ��#� ��� ��� ��������� -�� ��# � B�� 0"# �0����$���0����#���(������>-"������#� ����������#"&�"��������#2�1��#�����#���

��1��� ���� ��� �$���0���� ��� � �>��� ������ ��� � �;�>� � ��" � �$���0���������! !� �� � !� �� � � �>� �#� ��� ��� �� �� G�� ��&� �������� �$���0���"#� �>���

���������������0��� �#2�1���� ���#�� �� �$���0����#��� >�� �"0�>�� �$���0����� �#�0������� �#��

�%0-"#"�� �������� �!��$���0���"#�>�2"���>���� ������$���0���"#��0-�>�1�#�� ����� � 0"# �0��� � � ��� ���� "�� �"0 �� ����� ��� �$���0����� �#�0������!�� ������� !���!! �3 !���"����"���$���0�����>�����-�������#"�� � �(�������$����� ����(���#�

"���"0 �� ����� �� � ������$���0������#�0��������G�����>����&�0"# �0����$���0����#���� � �>����8���� � ��� !� B��2�����#� B�> ��$�0� � ����� � (�� � � >��1"�"� ����-��-���� ��

���#��2���"��#��#"�� � ��� �����#�&�� "�"�� �"0 �� 0���� ��� �;-���0����� �#�������� �� ����">� #�� ����#"&���

"�0 �����7��/��� ����� �� ����������� ������� ��� �������� �������� � ������

���������1��� ����������� ����� � ����������� ������� ��� �������� �� ������

�"������������������ �� ����������� ��������������� �%0-"#� ��� �$���0����� $�� �� �� 0"# �0�� � � � B�&�>���� � �"� "�� ���-� ���

�$���0������ �(��>��$�������-����� ���! ��

Page 121: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� 3�3

��1��� ���� �� �� ���� ������� ��� ����������� �� ����� � �� � � ���������� �� �� ��� ������� �� ������� �������� � �� �� �� ����� �� �������� ����� ���! ��

�����0� ������� �� �%0-��>�����������B���������0 >"�����"0�0�>-� �"�0 >"��1�#��

�/����� 3�� ��"�� ���� ���� �* ����1�#���"0�����������#��3�#�� �* ������;���2����1�# �(��B���� ���0�

�"0 �"#���������7���� � �>��>������$���0���"#�>�2"���1�� ����$���0����#�7� � ���K��&"#���"#��>���-��L.� � ���K��&"#���"#��>���0"#��-#"����/L�

(�� � � �� K��&"#���"#� �>��� �� -"����� �� #"�� �L�� � � >�� >����� �$���0����#�� ��� !�

��� !� �� ��� �>���������0-#��� ��#����������$���0������������$���0�����>"�������0-���1�#�P�

� ���������� � ��*!34!36!35!3+!3/!3<!3,!3�!33!3*!4!6!5!+!/!<!,!�!3�� ��

1�� ��� ���K��&"#���"#��>���-���>�"�0"#��-#"����/L.� ��� ���K��&"#���"#��>���0"#��-#"�

���3*L.� �� ���K��&"#���"#��>����0-��L.� �� � �(�� ���� � ��

��� G���;-����� ����"�� �����"�&��"#�> �>��>������%0-"#�����$���0��������(����;-����� ���(��> �>����#�"#�&���"0 �"#�����$���0����������%0-��

� ��������$�0�

�� � � � � � � � �� ����� !!!!!!!!!!!!!!!! � !� ! !! �

"���� � ! !!!! � ��"� $�#���� ����-�������� ��� #�� 3� #�� + !� ���� B�� ����"#� "���� 2�"-�� �� ���������� >"��� �� ��� ��� ��" � 2�"-�� �"� ���#�(�� �"0 �� ��� ������� �� �� � ��#� -" ��� -������"��������������������-���� �� ���K�-��� ��� � ����"��"0 �"#� L!�-���� � �!! ���K�-��� ��� � ����"�

�"0 �"#� �>�"��� � ����"��"0 �"#� ! L!������� � �� � �!! ��! ������

)$���0����#���� �>"���B���"0 ����� 3+� !�� �!! �B���"0 ����� �

+� !�� � ! !! �B���"0 ��

��� ,+� �����������B���%0-��$�0� +/

+<+

,+

�+

3+ �33 ������� ����� ��$���0�����

,�� ��"�� ���� ���� < �1�#���#1�� <,�3 !!! ���� �(�� � �1�#����2��� �3!�� ������;���2�>�0"#����

��" �1�#����������7���� � �>��-����&�&��-��1�#���;-����� ���1�� ������>���� ��$���0����#�7� 3� �'��1 �����������" �1�#����2��!� �� �'��1 �������

����" �1�#���#1�!� ,� �'��1 �����������#�-" �����"����1�#����2��!� <� �'��1 �������

"����>��2"���1�#���#1�!� /� �'��1 �������"����>��2"���1�#����2��!� +� �'��1 �������

����" �1�#��$��&���� �>��-����&�&���������������#��>"����#�������!��#�0�������>�"���0-">�.�

-����8�� ��� �$���0����� ��0-���1�#�� (�� ����0-���1�#�.� -����8�� ��� �$���0������2�#�.��0-#��� ��#����������$���0������

Page 122: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�3��

� ��������� ��%���>�01�#���-���� � ��3!�� ��;���2�����1�#�#��� 3� �(�� �� ������-��1�#���;-����� ���

>"��� � ��3!�� !� � �,3!�� !� � �<3!�� !� � �,� !�� !� � �<� !�� !� � �<, !�� !� � �33!�� !� � ��3!�� !�

� �3� !�� !� � ��� !�� !� � �3, !�� !� � ��, !�� !� � �3< !�� !� � ��< !�� !� � ��3!�� ��

"0 �"#�-��1�#����>��� 3/�+ �� ��

1�� )$���0����#�� /<,�3 !!!! ����� �>"����#���������

)$���0���"#� +� ��>����0-�>�1�#!��#��"��>���������#�0�����!��������0-">��

)$���0���"#� 3� � �>��� �#�0�����!� �#� >�� ���#�&��& � -�������� >��2"� � -��1 !�

� ��3!�� ���$�0� � �� ��33 !��� � ��

)$���0����#�� /<,� !!! ���� �>"����$���0�������0-">���

�$�0� /< �� � �������������#�&�����#"�� <� �����2���"- �>�������#�&�����#"�� /� �(��

����-���������1>��$ �����>���(�������2�#�������0"# �0�#������-��1��� � � � � � � � � � � � � � � �� ��<3<�,3,��3��333< !!!!!!!!!!!!!!! ����������������� � !�

� � � � � � � � � � � � � � � �� �<�,���3�<3,3�333/ !!!!!!!!!!!!!!! ����������������� � ��

����>�0����!��$�0�� � � � � � � � � � � �� �<,<�,�<3,3�3� !!!!!!!!!!! ������������� � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��3�<3<�,3,��3��333, !!!!!!!!!!!!!!!!! ������������������� � ��

�"�����0-���1�#��-����8�#�� � �/, ! �� .� � �,3! �� ��

���-������#�&��>�0"#���� � �/< ! �� ��

�"��� ����0-���1�#�� -����8�#�7� � �,� ! �� .� � ��3! �� .� � �<3! �� !� � �,3! �� !�

� �<� ! �� !� � �/� ! �� ��

)$���0����#�� 3� � (�� <� .� 3� � (�� /� .� �� � (�� <� .� �� � (�� ,� .� �� � (�� /� � >"���

�����������$�0��0-#��� ��#�7� /< �� � !� </ �� � .� ,< �� � .� ,/ �� � ��

��0�����%��$��-��-���� ���#���$���0����#����#�0������7� )3��� "�� ��� ��� ������� �������� �� ��� ��� ������� ��������� #�� ��

�� � !������� ��� ����� �� � ��C��>"-"�%��� ��� �(�� �� � ���&"#� �� ��$���0���"#� ��� �� ��>����� ��������

� �(������ !������ ��� �� ����������>����0-�>�1�#���������� � ��>����#�0������� )���� ���� � ������� � ��$���� �� �� �������� ��� !� ��� � � $�

�������� ���� � �� ����� �� �������� ��� !� ��� ���� �� � ��C��>"-"�%��� � � �;�>� � ��� � �"� ��� � (�� �� � � ��&"#� � �� � �� ����

� � � � � ��� �������� ����� �� !� ��%��� >��0�� � � ��� �� !� ���������

�� � !���&"#� 7�� � ������ ��� ��

Page 123: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� 3�,

��%��� ���� �� !��$�0� �� � ����������B����&����������0��$���

� � � � �������� ������� ������������ �� ��

G����#� ��� ��� �� ��$�0� �� � !� �� � !����������>����1>"��!���������� � ��>���"���$���0�����#�0�������

G��0������#�2�>����0��>����& 7� ),��� ���� � ������� � ��$���� �� �� ������� ��� � $� �������������

�� ������ ���� ������� � � ��� ����� ����� ��� �� �� )<��� #�� �������� ��������� ������� ���� �����������

����$���0����#���#�0������� 3� �(�� �� ��"� �3 �� � ��C��>"-"��0� ���3 �� � ��

)$���0���"#� �� � �>��� �#�0�����!� ����� ��� ��0� �"� � �,% � �33 ��� �� �����#�2!� �� �

������#�0�������$�0�� �3� ��� �� ���������>�����#� �����&"#� � �3 �� � !����������"�>��

-����!������ ���3 �� � ��

)/��� &���'� ������ $�� �� �������� ������ ���� ������� ����� ��� ! ���� �� ������� �������� � !� ��� �

��0��>��� ����>����0����� � ��%���>��0����� � ��% �� )+��� (��� ������� ����'� ������ $�� �� �������� �� ����� ���� ��� $��

��� � �� � ������� �� �������� �������������� ��� �"���$���0������0-">�� ��%���>��0����� � �/% ��;�>� �"���$���0����

�#�0������ 3� ��"� �� �3 ���� 0� 33 ��� �� !������� 33 ��� �� ��

��� � 3� ��>����$���0�����#�0�����!�-��0��-�������-��-�&� �����>�����0��>���� ��

��� � 3� ��>����$���0������0-">!��;�>� �"���$���0�����#�0������ 3� �� � ���� 0�

�3� ��� �� !������ ��3 ��� �� �(������� ��3 ���� ��� ��

��� � �� ��>����$���0�����#�0�����!�����-��0�������"���>��0-"���������� � �� ��>����$���0������0-">�������" 0�-������"#���#2�1��� ����� ���� !��"- �"���"0 �� ��������-�(���1 ���0�

���� ��� ����3� � <�3�3���

"���� � � !���!�!3� ��>"����$���0������#�0��������

� �-��>"-"��0�� ���>��0-"������ ��3���"��>���"��� ������� �

� ������� ����� ������ ������ �3�3 � <�3�����"���!�>-����;�0-#"7�

��� ��3 � �� !���!�!3� �� <�3�,����$�07�

� � � ��������� ���� �������� ������ �33�33 !�

���"���� ��%���>��0����� � �<% �(�������#� ��� ��,����&"#� � ��3� !����������>����1>"��������������&"#� 7�

)5��� &���'� ������ $�� �� ��������� ��������� ���� ���� �������� ������� ����������� �����������

Page 124: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�3�<

�<�3����!� � ���������������"����������������������

� ����>���� 0���"�� �) ��������� ���� � �1�#�!������������� ��#1��(�� � � ���2��� 1�#���� �� ��"0���-�����"#�����������;���2��#�� B��%0-#������1�# ���$�0� � ��$���0������#�0�������� ��� � � �$���0���"#� K1�#�� �;���> � > � ��� �#1 L�� ���>�� �$���0���� >�� -��������#�&��-���� �-��1�!� � � ��

��1��� ����*� ������ �� � ��������� ������������� � � �������� ����� �� ��� �������� $�������� ����� � �� � � �� ��� �������� ���� ������� #���

� ��

�+ � �� <�3�<���

����>��� �>��� �� ��� ��� �#�>�� � �� -��1�1�#�� ���� )�� >�� -����� �#�>�� �"0��� B���;-���0������"��$���0������#�0��������2�#�-�>�1�#���

� ����>���� 0���"0���"�� ��������� ���� � �1�#�������������� 3� �1�#������"#������ 3� .� �� �

1�#������"#������ �� .����.� �� �1�#�!�����"#������ �� ���>� �#� ����� ���� ����3 ����#�#���� �� �

B������#���"0���-�����"#����������;���2����1�# �����"�� ��G�����>����&��;���� ���"����1�#���>����$���0�����#�0�������C��1�1�#��������;���2�����"����1�#������"#����� �� �$�� ����� ������ ��� ���

�#�>�� � �� -��1�1�#�� ��!���

+ �� !� ����� �$���0���� �$���1�#� �>��� �;���� ��� "���� 1�#�� ���

�"#����� �� ��

��� �$���0���� ��������� �#� �%0-"#"�� �>��� �-��� ��� "����� ���� 1�#�� �$%��� �"#������

���� ��� !���!!�3

!������� � !�-����"������

� ��

����+ ���� ���

����

�3 ��

����������&"#� �� 7�3�� -��1�1�#������� ��� �"�� �$���0���� �>��� �� "�� ��� ��� ���>�� �$���0���!� �$%��� $�#����

-�&���$�.�

��� -��1�1�#��������$���0���"#"��>�2"��� ��>���3.� � � 3����3 �

�����

����

+ � .�

,�� ��� � �3 ��� �� ��"� ���3 �� � !���"���� � � � � � ��3 �+�+�+ �� .�

<�� �$���0����#���#�0�������>"����2�#�-��1�1�#�� �"�-��1�1�#�������3

���

����1>��$ �� ��;-���0���"#��;���� ������������"�� �-����� �������-�������"��H"���"#�����" � �%0-"��� ��� �$���0����.� �%0-"#� ���>������� 0��� >">!� -����"� ����� �$���0�����#�0������ �>��� �;���� ��� "���� 1�#�!� (�� "�� �#�� �%0-� � �� ����! !� -����"� ����� �$���0����

�#�0������ �>��� �;���� ��� "���� 1�#�� ��� �"#����� �� � �� !���!�!3� ��� "�� ��� � ��+ � �����

��-��&��� �-��1�1�#�������"�"���$���0������������������ �����-��-���� �#��3!���(��,������"�$��� �� !� B�� 2�����#!� -��-��������� <!� ��������� �$���0����#�� �#�0������� ���� � � �"� �"�

Page 125: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� 3�/

-��1�1�#�� �� �2�#�!� ���%�� -����"� � ���� ��� ����3 �� G�� ���>�� ��&� �"� >�� 0��� �-#�� �

�� ��� ����#�>�� ���-��1�1�#�� ����� ����>���� 0���"�� ��"� 5 �1�#���"0�����������#��3�#�� 5 ������;���2��#��B��%0-#����

��1�# ����%����"� � !� 5!���!3� !���$���0���"#���������>� �B���;���2�����1�#����"��"0 �"#�

!� �$%��� B�� $������ � � 1�#�#�� �� �� � B����� �#�� �"0��� -���� �"0 �"#� B�>���>!� ��&"#� � � ��$���0����#�� � �>"����2�#�-�>�1�#�!�����!�B��0��� ���>���� "�� ������-��1�1�#�������� ���� �

-��0"# �0��� � � 53 ��� �>���> ��������� ��� � � ��+ � !�"����53

�� ��

)$���0���"#� ! �� � !� ! � �� �>��� "�� �$���0���� ��� ��" � ���� 0��� -��1�1�#�

���%�� ������� ���� �$���0����#�� � !� ����� -��#"�2����� "�� ���� + � #�� �$���0����#��

! �� � � ���1"��� �� ���� � ��� � �5�

�! +�+ � !� ! � �!� ���������

� � � � � �!! �+�+��+ ��� ��

G��2�����#!�

5���

3

��+

��� !� 5���3 3 ���� ��

(��� � � 3��+ !�"����� ��>����$���0���"#�>�2"���

����!�B����&"#�"�"���%0-� ���������$���0������ ���! !���-��1�1�#������-�����>���%0-���$�0��� �����>� �#7�

��1��� ����*� ������ �� � ���������� � !�� ����� �� 7+ � � � ����� ����$��� �� ������� ����7� 3�� � � *��+ ������� ���� ��� .�

��� � � 3��+ .�

,�� � � � � � ��3�3 �+�+��+ ��� ������� ����� ���3! �� ���� ���3 �� � ��C��-��������� ,�� >�� �;������ -���� ���"��� � #�� ������ �"0 �� ����� ��� �$���0�����

����0-���1�#����" ��%�����" ������!���� � ��! �� � !� ! � !� �! !���!3! � !�������

� ���

� !

"##$

% �

�+�+

33

��

�/������� G������ -"�2 � >�� 2 >�>�� �** � 1�#���� ��� #���� ������� ����� "�� 1�#��� �%(��2 ����������������� ***�/** � #��!� / � 1�#���� �%(��2 ������ �� ***�3** � #��� ������!� 3* � 1�#���� �%(��2 ������ ����

***�/* �#��� �������(�� �* �1�#�����%(��2 �������� ***�/ �#��� ������������$���"0- � �"��1�#����������>���-��1�1�#�����������"0- � ���"#�> ��%(��2����#�-" ��� ***�/* �#���P�

��0� ���>������ "�0 �����#�� �$���0����7� � � �� �"0- � ���"#� �%(��2 � ��#� -" ���***�/* � #��.� 3� � '� �"0- � ���"#� �%(��2 � ***�/* � #��.� �� � '� �"0- � ���"#� �%(��2 �

***�3** �#��.� ,� �'��"0- � ���"#��%(��2 � ***�/** �#����

Page 126: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�3�+

�$�0��$������ ,�3 ���� ��� ��"� ��! �� � !� ! � !� ,!�!3! �! ��������

� � � � � � � � *6!*�**3

�**/

�**3*

,�3 ������� �+�+�+�+ ��

��1��� ����,� �"�������� � ������������� �� ��� $�� �� ���������� ���! �

��������� �� � ����������� + !�������� �+!!�� ������ ��2"#�� ��� ��"����� �� -��1�1�#�� �#��� ���"��0� � � -����"� �� �"���(���

-��1�1�#�� �#�� �"�"�����$���0����#��� ��� � �>��� >" ������� > ��"���(��0�-��1�1�#�� �#���$���0����#��� �#�0������� � .� � ��3 !� ����� �#� �"��>�� 0"# �0��� ���� �

� ������ !���!3 !� ��������� ��� � ��� 0� � �� � �+ �� .� � ��3 !� (�� ��� �

� ��� �� ���3

!���"����

� �3 3 3

��� ��� ��� + � + + + � �� � � �� � � � � � �� � �

����!� "�� �%0-� ����� ��� -��1�1�#������ �>��� ��0-#��� ���������&��� ��� �"0���#��

����2���$�� ���� !���!! �3 ��"� 33

��

� ��

��� � ��� �� ���3 !���"���� � ��

�+ � �"���� ���-��&��� ��"0 �"#�����$���0�����

�#�0������� ����� ���� � B�� ��0-"������ �$���0���"#"�� � � �$���0����� �#�0������� �$���1�#���$���0���"#"�� � �������H"�2���>� �#�#���� ��� ����#�>�� ���-��1�1�#�� ����

������ ��� ���-��1�1�#�� �����&"#� �"�0 �����#��-��-���� �7� C3��� +����� ����� ��� !� � � � ��+�+ ��3� ��

���� ������ !� ������ �(�������;��0�#�� ���(�� ,����&"#� ��0����������>� �-��-���������

�/�����������-�������8�&� �����������"&�� � ���1"���-">� B�� "�� �"�������-��� �$��"�0 �����#��>��"� ��7���� ��1"� �>�������� "�� ������.�1�� "��"(�������2#�H.���� ���1"���B�#��"�����%��$��-��>�.���� >���0-"�������$�&���2�����# ��

G��-��0"#���&��-����"#�������" �> � "�� ����&��� G����&"#� 1�� ��2#�H"#��"���& � 3* �0��"��!�B����&"#� ���-��>�#��>��B�#��"��>��B�������� !�������$�&���2�����# �>�� ����B��3* ������C��1�1�#�� �#����#���-���"����-��>"��� /!* .� 3!* .� 3/!* .� �/!* ��

� �>�������0����-��1�1�#�����������-����"#�> � ���B��0 >"� �> � "�� ����&���"- ���#�-" �����" ��������#����>��#������ ������� ���>���� 0� "�0 �����#�� �$���0����7� � � �� �-����"#� �>��� 2���� ��� "�� ��������"- � � ����.� 3� ����-����"#�-����� "�� ������0�����.� �� ����-����"#�����>�� �"����2#�H.� ,� �

���>�������>���> �B�#��"�0��%��$��-��>���

Page 127: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� 3�5

�$�0��$������� ,�3 ���� ��� �������

� � � � � � � � 5/!*3/!*3!*/!*,�3 ������� �+�+�+�+ �

>�"�� � � � 5/!*�/!*33 � ����� �+�+ V�

C���� ���� � � *��+ ��

����>�����&"#� ��0���������� � �3+ !������1>��$� ��� ���� �(���;��0�� ����

C,��� +����� ����� ��� ����� � � 3* �� �+ ���

�;��0�� 3�� ��� >-"��� � � � � *��+ �� ���� 3�� (�� -��-��������� � �3+ � ��&"#� �

� � 3��+ ��

C<��� +����� ����� ���3! �� ���� �3 �� � ����� � � � ��3 �+�+ � ��

�$�0� � ��3�3� ���� ��� � "���� � � ���

3�3 ��� �� !� ����� ���� ,�� ��&"#� �

� � � � � ��3�3� ��+�+�+ ��� ������ � � *�

3� ���+ � ����"���� � � � �3� �+�+ � ��

C/��� +����� ����� ���3! �� ������ � � � � � ��3�3� ��+�+��+ ���� ��

���� � � � �3�3�� ����� ���� !� � � � � ��� 3�3� ���� �� � (�� � �;��0�� ,����&"#� �-��-�����������"� �� �� C+��� #�� � �3 �� � !� ���3! �� !������� � � � � � �3�3� �+�+��+ ��� ��

����>� � -��-�������� ��&"#� � ���� -��-��������� � �/+ C/�� ��������� B�� ���>�� ��&�

33� ��� �� ��

C5��� � � � � � � � ��3�3�3 ��+�+�+��+ �� ��� !������� �� $� ���3! �� ��

������#� ��#��� � �� ��3�3�3 ������ ��� �� !� � �� � ��� �3�3 ���� �� !�����

�;��0�� ,�� (�� -��-��������� � �++ � �-#���� � -����"� � ��3� ��� �� � ��&"#� � -��-�����������"� �� ��

����������&"#� ��0�����7� C6��� � � � � � ��3�3 �+�+��+ ��� !������� �� $� ���3! �� ��

C4��� #�� � � � ���� �� 3 !�������

� � � �

� � � �

3 33

3

3 3

��� 3

� �

! ! �

��

! ! �

+ � + � + � �

+ � � � + �

� � � ��

� � � � �

% "� � �#

$ !% "

� � � � # $ !

� �

����>� � ��#� ��� >�� ��0��>����& � -���� ���"� ��� (�� ��%��� >��0�� ��� -��-���������� �5+ ��

C3*��� "� ����������� � � ���� �� 3 ���� � � *��� 33 �����+ �� !������7�

� � � � � � � �3 � 3 , 3 � 3 33

��� ����

� �

+ � + � + � � + � � � + � � � ��

% "� #

$ !� � � �

Page 128: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�3�6

��0"#�� >�� ��0��>����& � -���� ���"� ���� C��1�1�#�� �#�� ���� 0�01�"#� ���� �;�>� ��������������

3�3�333 ��������� ������� �� ���� �� ����� �

��&"#� �� � � � � � � �3�3�333 ���������* �+��+��+��+ �� ����� �� ����� �

����#">��������-��-���� �#��� � �4+ �(�� � �3*+ �> ����>���� 0�"�0 �����#��-��1#�0�7��/������.����������������&�� �����C54D��G������"�� �>"���� �1�#���"0�����������

#�� 3� #�� � �� );���2�0� -�� �%��� �%��� �� 1�# � � � �� �� ��-"��� B�� "�� �� )>��� -�>�1�#� ��� B���;���� ���������2� �> ��;���2�0�1�#���"0������ ��"� P���-"��0�B�����>����&�� ��$�0������������ ��� �������

��� � �-��1�1�#������!���� �%��� � ��;���� ���> ��-�� ���#�-" �������������� ��

��� ���� 0�-���� � ��$���0���"#���� B���;-���0���"#�������2� !� � ��3 �> ��-�� ���

��������� !��$�0� � ����+� �� ���3� .�"���� � � � ���

��+

3[

[3�

�� !����������>"���

-�>�1�#�� [� ���&"��� ��#�� � �1�#��>��-����;���2��B�� � �0��"����� �������(�� � �[3�� ���&"��� �$���1�#�!����������1�#���"0������ ��"��"0 �"#� ����1"����;���> ��;����B���;���� ���������2� !�������"0�����#�� 3�� �1�#��� 0�>��>��-���-��0"�������"0�B������#���

���#�2�

� � � �� �33

[[�

��

��

����

��+ ! � !� �! ���3 !�

� � � �� �� ��3

3[

[,��

��

�����

����+ ! �� !� � ! ����3 ������

G����#� ������� � �4+ � ����������0����>��!�#���%��"#�> "!���>"0 �������0�����2�#��(��

��"0�� �� ����0���!�"���� ��>����"0 �"#�������#����"- ������>��>"0��& ���$�0������

� � � �� � � �[

33���

�33

333 3,�

��

����

���

��� �

��

������

���

��� �

>�"�

� �[

33���

[,3

[�3

3 3

�� �������� ��

�1>��$ 0�� ����%���-����- �-��1�1�#��������$���0���"#"���������!���"����

� �[

33���

[,3

[�3

3 3

��- ��������� !�

����-����"� &�� ��1 ���0��

-3

� ��

Page 129: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� 3�4

�/����������#������3** �-���">���>���>"-">�"�"��������#������#����������"#��>�����>-��>���� �>��2 >�(�����#�-" ���"����1"��#�� / �-��>��������#����#��B��%0-#�����@������� �#��"#���� ���� X< �-��>���� ����!�> �>�������0����-��1�1�#����������#��"#�> � �����>-��>��� �������

��%����"� � ��$���0���"#�K#��"#����1"�����>-��>L�$�0���#�"#�� � ���+ ����%���

�"� � ��$���0���"#�K-��>�� �������#�� ��>���1"� L� /3 �� !�(�� ��%���>��0����� �-�"#�

� ��$���0����#�� � ��"�>"�������-�������!��$�0�

� � � �� � � � � � � �

4+4�

454,

464<

444/

3**4+

���

���

<,�3/�3,3�3

/3�

��

��

�����+���+��+�+

��+�+

����

��

!�

���� � � � ��3 �+�+ �� ���

<�3�,�� �� �"�������� � ��������

��#���-���������"�0 ��0� B���� ������� �� �%0-"#"�����-��1�1�#����������>-"�����;��0���������������-��1�1�#�� �#������ ��������F�#0�2���$�Q33R�B��34,,��

��1��� ���� "�� � ���! � ��� �� ��� �� ��������� ,� �� � ������� ��

����� � ���! !�� $��� � ����� ����� + !���$�� �� � ���� 7�

3�� � � 3��+ !�

��� � ���

� !

"##$

%

.

. �+�+ !� ������ ���� $��� �� ���� �� ��������

� � ���.� !���������� ��� ���� ��� ��

�1>��$ 0�� �-��1�1�#��������>�����0 >"� �-����"������ � � 3��' ��

�����"�� �� ��%0-����-��1�1�#�����!�$�� ��"�� �� ��%0-�����$���0������� ���! !�

B�&�>������"���-��1�1�#�����.��#�>��$��������"�� �+!!�� ��C��-���� �#��-��1�1�#�� ����0�������-����"�"���%0-� ��������-��1�1�#������>���;�����(��

#�� �� � �%0-"��#�� ��� -��1�1�#������� G�� -#">!� ��� � � �+!!�� � �>��� "�� �� � �%0-� ���-��1�1�#�������$�0�"�0 �����#��-��-���� �7� C33��� +����� ���� �� �� ��������� � � N� �

��

� ��

� ������ ����� �� �� ��3 �

�����������!�����

� �N

#�0 � ���

+ � + ��&

% "� # #

$ !�

Page 130: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�3,*

� ������ ���� �� �� ��������� � � N� ��

�� �

�� ������ ����� �� �� (�3 �

����������!�����

� �N

#�0 � ���

+ � + ��&

% "� # #

$ !�

��

C����"� ��0��>��� ��� -��0��� ��#� ��� $�0� �� ��� � � ��� �N

��

� ��

!� ��"����

� � *#�0 �&� �

��+ ��

G�� ���$ �!� ���� � �&

����

�� ��� 3 � �$�0� � � � �

&

����

�� ��+�+ 3 ��

C����"� *�� !� >����� �>��� ���$��2��� !� ��>�"#� >������ ����� ���$��2���� � ���� &�����C"��0�>�����

� � *#�0 3 ��&

��&�

���+ �

������ � *#�0 �

&� ��

�+ ��

�� 0�N

� ��

��

!� ��� �� �� �� @��"#� � � N� ��

��� �>��� ��>�������� (��

N�

��

� ��

!������ � � *#�0 �&� �

��+ ��

����

� � � � � � � �N

� � � �

+ � + � + � + � + ��

% "� � � � # #

$ !�

!�

�����

� � !

"##$

%�

�&� N

#�0,�

���

�+�+ ��

C����"���0��>��� �����#��#�#�����#� ���>������ �� �����>����>�����8�$�#��� ��"�-��0�!���0��>��� ���-���������# > 0�-��>��0����������#����

C3���� � � � � ��

��

��

��

�+�+�+�+&�&�&�&�

��� !"#

$% #�0#�0#�0#�0 � ������ ���� �� �

� � N� ��

�� �

��

�"����� ���&

���

*���� �� !�� � N� �

���

��>����>��������(��

� � � ���

��

��

��

�+�+�+�+&�&�&�&�

��� !"#

$% #�0#�0#�0#�0 !�

Page 131: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� 3,3

��������� � � � ���� �+�+ �� �-����"������� ��� ��

���#�2� � ���

��

�+�+&�&�

� #�0#�0 ������ � � � ���

��

�+�+&�&�

� #�0#�0 ��

����������&"#� ���������>���� ��0����� 7�� C3,��� %������������� &�� ������������� ���0�� ��� � �� ���������� ��'$� #�� � �����

� � N� ��

�� �

�� ����� �* ����������

!"#

$% �

&�&� ��

��

�� #�0#�0 !� ������

� ���

��

�+�+&�&�

� #�0#�0 ��

C3<��� � �NN

� �

��

+ � + ���

% "�# #

$ !��

��

�$�0�

� � � ���

&��

&��

�� !

"##$

%�

!

"##$

%

N33N

#�0#�0,�

�,�

� �+�+�+�+ ��

�$�0��2�#�������"0������ ��$���0����#��>"���0"�"�#���>H"�������

<�3�<��#�������������������������!� � ������������ ���� �

� � ���>���� 0� �;-���0���"#� ����� ���>� � B�� ��"������� �� ��" � 0���&�!� (�� ����$���0����#�7� � ���> ��1 ���0�>��0��-��-��0��0���� �(��� ���> ��-�� �>��0��-��0����������"���

G�� ���>�� ��&� -��1�1�#������� �$���0���"#"�� � � �"� ��-����� ��� ���#�&������$���0���"#"��� !�������$���0���"#� � ��>�������-�����������$���0���"#�� ��

� ����>���� 0���"�� ��������� ���� < �1�#���#1�� (�� , �1�#����2������" �-��>������;���2� ��������%�����1�# �����"�� ������$���0����#�7� 3� ���-��0��-��>��� ����;���>���1�# �

�#1 �(�� �� � ������"��-��>��� ����;���>���1�# ��#1 ��C��1�1�#��������$���0���"#"�� 3� � B��

�1>�� �� �� ��0� ��#��� �>"-��� #"�� �� � �>���5<

�� ��� � �$���0���"#� 3� � >��� ���#�&��!�

-��1�1�#������� �$���0���"#"�� �� � �>��� ����3

� ��� "���� ����#"&��� � � �$���0���"#� �� �

��-���������$���0���"#� 3� ��

��1��� ���� %���������� � !� � � ��� ������ �� ������������ � �+!!�� � �����

�+ ������������ ��� � � � � � ��+�+��+ �� �� <�3�/���

��� -����� �� ��� �"� "("��� � � � ��� � �$���0����#�� � ����! � >"���

�+ ����-�������!� ��"���� -����8�#�� ��� �$���0����� � !� �� .� � !� �� .� �� !� �� � >"����+ ����-���������

Page 132: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�3,�

������ ���� ���� �� 2 ����� ���2� >�0"#���� �>"-��� "���� ���� �%��� "�� ��� ��������C��1�1�#�� �#�������0�������� ������>"��� 6!* �-����"�-��0"#��� 2 ����(�� +!* �-����"��#����#����� 2 ������ �>�������0����-��1�1�#���������� �����> � �������> ������#�-" ���"���� 2 ������ �������

����$���0����#�� � ����� 2 ���"#��"��"0 �"#� � �!3� ����0���(��� �������$�0�

� � � � � � � � 4�!*+!*6!*+!*6!*�3�3�3 ������� ��+�+�+��+ �� ��

��1��� ����%���������� � � ���� �� 3 ������ �+ ������������� ��"��� ���

������ / � ��� � / ����� ���3 �3 �����

// �+�+�+��+ �������33

��� �� <�3�+���

��� � � � ��$���0����#��>"��� �+ ����-��������B������#�������#����

�����0� ���� ��� � � � �$���0����� >"��� ����-�������� ��" � �%��� ��" !� �"� >"���������- ���� ����-�������� B�� ����#������� #�������>�� #"��"�>��$���������;�0-#"#�"�0 ����������������#"����������(������

������>���� �"����������"��0�2����"� � �#����#������B���#1!���2�"!���("�(����-�����B����#�� ����� �"#�����) ���" 0��;-���0���"#� ��"�� ���� ���>�"�����-��� >��2"� ���� ��� ���� 0��"� � ��$���0���"#������������"#�> �>���(�&��-�� � ���"��"0 �"#� !� <!,!�!3� ��

)$���0����#�� � � >"��� �$���0����� �#�0������� �#�� �%0-"#"�� �>������ �;-���0���"#"��

��>���>��

�$�0� � �<3

��+ � <!,!�!3� ������ ���� 0� �3 ��� �� !� ,3 ��� �� !�

<3 ��� �� ��$�0� � � � � � ��3

��� �+�+�+ !����������-����"� ��������"#�����

>"���-���"���&"���-�>�1�#��(����" ���&"��� �$���1�#��'� � ���"��"#��������>-����$ �(�� � ���"��������"#���#���

��� �>�0����!� � � � � � �<3

��� ��+��+��+ ��� !� �����

�$���0����#�� � !� � !� � � >"��� �+ ����-�������� ��" � �%��� ��" �� �$�0� B�> �

� � � �<3

3 �� �+���+ �� !� � � � � � � 3

6+ � + � + � � � ��� "���!� ��&"#� � � �

�$���0����#�� ��� !! ��"�>"��� �+ ����-��������B������#�������#����

��1��� ����*���� � ����������� � � N� ��

�� �

������� �+ ����������������

���� �� � $�� �� �������� �� ����� �� ���� �+ ������������������� ��������-����� >�� ��0-"������� ����� �#�0����� �� � ���� ��1�#������ �"��������

"�� ������� � � �� �� �"��� ���� ��0-"#� B����"�� �����$�#� ��� ��0-������ �>��� �2�# � �"� 4!* .�

6/!* �(�� 5/!* ����

Page 133: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� 3,,

C��0"#��#�0�����>�������>-��>�1�#�-����"� "�� ���������-����"#"�!��� ��������"�"���������#�#�#��� ��" � �#�0����� ���� ��� �-����"#� > � "�� ����&�� �"� "�� �����0���� �� �����!� ������ �������� >�0"#��� � �� �#�0����#��� ���� (�� ����� ���� �0-�>�1�# � "�� �������� �-����"#"���)#�0����#�� >�� �� �����& � ����-������� "�"#� ��� �#�"#�� ��� ����� -��1�1�#������� ��� �-����"#� > � "�� ����&��������0-"#�B����"�������$�#������0-������� �������

����$���0����#�� � ����#�0���"#� � ,!�!3� �� "�� �����& � � ��� �� �"���(�� � ���

�-����"#� "�� �����& ��8�����"�"�������0������ ��������$�0�� � � � � ��

,�3,��3,�3 ���������� ��������� �

�>� �#�

� � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � �

6++!*�/!*6/!*4!*5/!*3/!*4!*5/!*6/!*4!*

�,�3,

��3,�3

�,�3,

��3,�3

��������

����

�+�+�+�+�+�+�+�+�+

���+���+���+�+ ������

��

� G���;�0-#"#��"�"�����0�$ &"��� ���&"#���"#��;-���0���"#"�����������>���#�2��� 3� �

�� #"�� ��& ������ ��#���;-���0���"#"�����������>���#�2��� �� � �;�� 2%�������"�� ���1�# ��#1 �-��0��-��>��� !�$���� 0%���B��"�� �-����"��;���� ������$�� ��� ���"�� ����-��>���������"���"0���, �1�#���#1��(��, ���2�����

�����-��1�1�#������� �$���0���"#"�� �� � $����& � B�� "�� ������ ���#�&����� #"�� 3� � B��

>��>"#�� �����>� �-��1�1�#�������>����3

���� �>������#�&��� 3� �>�"�,�

���� ��"�>������#�&���

3� �� )>��� ����� ���"��#� > � �"0�0� -��1�1�#������� �$���0���"#"�� �� � ����� ����� � ���

�$���0���"#� 3� �(��> ������ 0�-���� � �3� ��+ �>�"� � ��3�+� ��

��1��� ���� "�� � �+!!�� � ��� �� ��� �� ����������� � ����! � ���

� � *��+ ��,� �� � ����������������������� � ���� ���� ��������������� � !���������

� �� � � �+ � �

+ � �+ �

��

� <�3�5���

�� 0�(�� � � � ��+��+ �� ��

���-#��"#�� � ��+!!�� ��>���"�� �� ��� �� ��������������� � � �+!!�� ��>���"���� ��� �� ������������� ���$��� �� ��"�"("��� ��;��0�#�������� ��� ���-��1�1�#�� �����

���#�2� -"��0��� ���� -��1�1�#������� �$���0���"#"�� � � ����� ����� � ���

�$���0���"#� � !� � � � �� ��+

��+��+

�� !�"���� � � *��+ ��

��

Page 134: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�3,<

������#����" ���#� ��� ��%���>��0�����-��-��������������0"����$�������������>�� ������&"#� �

� � � � � � � ���+�+��+�+ � �� <�3�6���

���� ��5����&"#� �� !�B����&"#�����" ��$���0���������-�������� � � � ��+��+ � ���

��1��� ����,� ��������������������������� � $��� ��� ��� �� ���� �� ��������� � � ���.� ���� ��! �� � ������� ����� ! � !� .! �! ��� ��

�.� ��

#����������������� �����������"�� � � ���.� �"��>�>��0���0-#�������$���0�����

�"� � � *��+ !� .� ��+������ ��� !�����

� � � � � ��

�.

��+�+�+ �� <�3�4���

C����"� ��0��>��� ��� > � �1>��$ 0� � � -����"� ������� .� � �$�0�

� � � � � � ��+�+��+ �� !����"����B�>"0%����"- � ��1 ���0�

� � � � � ���

�.

.

��+��+�+ � �

����

� � � � � ��+�+��+��+.

.

��� !

"##$

% !

"##$

%�

�� ��� ��

�/�������������-������������#�(����-�>"��������B���;-#������7������-��$������#��"&����

3) !�������-��$������#��"&���� �) !�������" ����#��"&���� ,) ���-�����#��>"���>"-">��"����

-��1�� ��� $��� ������� ��#�� ����� -��$��� ��� #�� -��0�� "&�� � ����� -��1�� ��� $��� ������ �"�-��1�1�#������� 4!* !���#�������-��$������#��"&���� �) ��"�-��1�1�#������� 5/!* !�������#�������

-��$������#��"&���� ,) ��"�-��1�1�#������� 6/!* ������#�2��#��B��%0-#����"���-������������>���

-��1�1�#�����������-����"#�> ������ �-��1�����$��� �����P�� �������

���0� "�0 �����#�� �-���&�7� � � �� �-����"#� �#�>� -��$���� ��� #�� "&���� ) !�

,!�!3� �� �$�0� � �3*,

3 ��+ !� � ��3

� ��+ !� � �/3

, ��+ �� ��� � ��� 0� -���� � �

�$���0���"#� K�-����"#� �#�>� ������ -��1�� ��� $��� �����L!� �$�0� � � 4!*3 ���+ !�

� � 5/!*� ���+ !� � � 6/!*, ���+ �(��

� � � � � ��**3+,,

3

���

��+�+�+ ��

�����

Page 135: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� 3,/

#������� ���� ��B��� %���� �������� �����2����'�� ��� "�� >�>��0� ��0-#��� ����$���0����� � � ���.� ��C��1�1�#�� �#�����>�����$���0����� �-���&���>"�������� B�������

���� ���"�����"�"���;-���0�����);-���0���"#�� ���"������#�&��& �"���#���$���0���� � ��� ��� � 0��"0����#�&������$���0���"#"�� � � >�8�01 �-��1�1�#�� �#�� �-���&�#�������1"���> ������0�� 0� ����� -��1�1�#�� �#�� � ���+ � -����"� ������� �-���& � � !� .� �� �$�0�

� � � �� ��+

��+��+

�� !� ���� � � � � � � ��+�+��+ �� � (�� ��%��� >��0�� ��� ��4��

��&"#� �

� � � � � �� �

.!!!

��+�+

��+�+��+ �� <�3�3*���

�/����� 3�� G������� ��#���;�0-#"#"�����������>���#�2��#��B��%0-#����"���-�����(��>�����>��� �� ��#�

������-��1�����$��� �������������>���-��1�1�#�����������#�> �-��$�� ����#��-��0��"&�� P�� ������

�$�0�

� � � � � �� �

� ,

3

333

!!! ��+�+

��+�+��+ �

"���� �$���0����#�� � � (�� � !� ,!�!3� � >"��� ������� ��� #�� �;�0-#"#� ���������� �>� �#�

� �3+,/<

3 ���+ ��

��� Q<�R� ��� ���>���� � ��" � #��"��� ��� -���">�� ������� ����� "�� #��� ���� ������ -��>�#��

����>-"�& �����!������#����#���#�������<3

�����-��>����1"�"��������#�2��#��B��%0-#����"��

#���(��>���;���2�������#���-��> ����>����%��"�>��� ��>���1"� �������������"���-��>��B��#���(��>���;���2���������#�(��#�����-��> ��������>���-��1�1�#����������-��>���;���> �> � ���"����1"�P�

� ��������� � ��$���0���"#�K����"��-��> ��;���> ��>�����1"�L!����� 3� !� �� ��$���0����#��

������;���2������>� �-��> �����-��0"#���>-����$��#����#���#������0"#��-��1�1�#�� �������#������ �

� � � � � � � � � ���33 ��+�+��+�+�+ �� �

�$�0� � � *� ���+ !� � �<3

3 ���+ ��

���� ��0"#�� #"����D�>�$�0���#�"#�� � �3�+ ���� 0��"� 3� !� �� ��$���0����#�����

-��0���;���� ���> �>�� �� �����-��0"#!���>-����$��#����#���#��!����� � ��$���0���"#�K-��>��

Page 136: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�3,+

�;���> � �>��� 1"� L�� ��"���� � � � ��3

�3 �� �+�+ !� � �<,

3 ���+ !� � � 3� ���+ � (��

� � � �5,

33 �� ��+�+ !������ � ��6,

<3

5,

���+ ��

���:������������������$����� �+!!�� �"���%0-����-��1�1�#������(�� � � ���.� ���

0"# �0����#�0"#���"0 ��1�# �����$���0��������� � ���.

� !���"���7�

� ���

�� !

"##$

%

.

. �+�+ �3 �� <�3�33���

G��-�����"#���

� � � �333

��� !

"##$

% ��

��+�+�

�� <�3�33V���

��0��>��� ����>����0����� ���� �>����0�

!

"##$

%��

!

"

##

$

% !

"##$

%��

!

"##$

%

��� .

.

. �+�+�+ �

33 �

(���-#�� 0�-��-��������� � �3<+ ��G��-�����"#���

� � � �� � � � � �333333 3

3

�������� !

"##$

% �� ��

��+�+�+�+�

��

�<����!������������������$������������������������$�#��� ���&��������� ���

�������������� �"��#�� "���0����#���#����������-��1�1�#�� �#����>������������$����1�# �

�#���������)$���0����#��"�"���%0-����-��1�1�#�������"�>"��!�-�����-��#!�0 ��0��B��B� �#�>"#�����1"���

���>�����B��(���� �#�����"��#��>�"�B����8��� .��#��>����>���"�B�> ��"��H"���"#�"����0 ��0���$%���$�#�������#��(������!� B��2�����#!�>"�����&"#���"#�"����0 >"� ������C�����-�#"#�0������#����"�#���>�>��0���& ��� �� ��#�"#"�� -��1�1�#�� �#��� ���>� � B�� �� ������� $����1�#�#��� �#�������!� ����� ��0 ��0�#���-����������#��-��&��� ��;-���0���"#��������>�"�������#����>�������> �#������-����&���

��� � B� �#�2�0� -���� $����1�# � �#�������� �� "�� ��� ���# � �� ���� � -�� 0"# �0����$���0����#��� �#�0������� �>������� �;-���0���"#"�� ���>������� $�0� -"���� �#">���� -�����;�0-#����-����-����"��������-��1�1�#�� �#����"0�>�����������#��"���$���0����#����$����1�# ��#��������(����"0�7�

�/�������� ����>���� 0�"���;-���0������������������&"#�����$���0���"#� � �� G��#��"#��$���0���"#� � �-"��0����>������$����1�#���#�������� ) ���������$�#������3���� �>���

���#�&��� � �(�� * ���� �>������#�&��� �� ���0��� �������$����1�# ��#��������1���"�##��� ��"���" �$�#���� $����1�# ����������������$���0���"#"�� � ��-������#� ���

Page 137: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� 3,5

� �*+,

��

����)

�-����"

-����"

*

3

���

G�� -������ � �>��� ���0"#��� ����0��� ��0��� ��� B�� #��"#� �$���0����#��� > � "��#�& 0�$����1�#�#���#�������������������������#��>"����>��������

����>� �>�8�0 �-����� ���;���> �B��>��>"#�� �-"��0����>������"���;-���0������������������&"#����"��>�>��0���0-#�������$���0����� � � �� ��3 ����� ����$���0�> �����1"�0�

$�#������ !� � � B����&"#� B�������>��� ���#�&����$���0���"#� !� !� �! ��3 !��0��� �������

$����1�# ��#��������1����"##��� ��"�� �$�#���!�) !�-������#� ��� � � !� ���) ���� � !��� !�

�! ��3 ���

<���3��$���� ���������������������

��� � �+!!�� � "�� �� �%0-����-��1�1�#������ (�� � � ���.� � "�� >�>��0���0-#���

�����>�"��"0 ��1�#������$���0��������>��0"#��"0������������������������ � � �+� � !� .� !�

>���"0�(��������� � �� �� �"������������ � �����������1��� ����,� ����� �� ����������������� � $��� � ) ���$�� �� �� ��

����������� ���������� ��� ��� ����� ����� ��� �3�� ) �� ������� � !� .� .�

��� � �� � ����)� � !� .� ��

( ������ ��������� ������ ������ ����� . � ���� $�� �� ������ ����� �� ��������������� �

��8�0�����$����1�#���#��������) �>�������& �-����

.

� !

"##$

%) 7 !� 3�

�.� �� <���3���

��1#�"#� <���3���>���"0�(��������� � ���>�"�������� ���$����1�#����#��������) ��"0 �"#�-���">�#����� �����������"��#����;�0����!��"0 �"#������ �� �"���������-���

B��������"0�� �-������ ���� "�� ���������"�"����>-�&���$!����������"#�"�"���$���0���� � �>"���$����1�#���#����������>�������

�-�"#�� � 3��.

� ����>"2����& � ������� �����>� � >"0 �>�� ��-����&��& � B����"��

��"0���0��� B����� ���>��� $�#���� � !� ����� ���� -"���� ��� $������ -��1�1�#�>���� �� $����1�# �

�#���������>�����0-#��������0���� ���� �>��� ����>� �#������-���� ������0�>��1�#�����>� �#����#�2�������-���� ����

�������� ��0�#�� ��#��0��� >�0-#�� B�� �����-"��0� ��-��&��������>� �#���� #�2���>��� ��0��>�8�0���� � <���3���>�"�>"1� ��0��"�"����1�#�����

Page 138: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�3,6

� � 3� � �� � � �� � � �

�� �

� � 3� � �� � � �� � � �

�� �

��� �#� � ��0 � �>��� ���� 2�� �� !� #"%���-�� �;�� �1>��>�#��� $�#���#�� � � ���� -�� �;��

��������#���-��1�1�#�� �#������>-"�& �������C"��0��1 ����"��������>���-"�����-�#�2��"#������-���� ��7�

��2"���<���3��

>�"����2��0��B��1�������

��2"���<������

��/����������#������-��>���>���>"-">�"�"��������#������#������B��0��"#�"�0 ���7�>��

�;���2��-���%����%�����-��> ������>����������& ���� �-����� ����0�> �>�"��"�������������& �/ �-��>������ �-��>�������;���� ���������2� <!,!�!3� ��"�����>-"���!�#��"#�>����>-��2���� � >�� >����� ��1#�"#� ��� ��-���� ��� �#� $����1�#��� �#�������� ����� ��-��&��� � �"0 �"#� ��� -��>�����������!���� �-��1�1�#������������-��> �#"�� �#��B��%0-#��������#���> � �����0�> ��>��� 6/!* ��

� �>�����>�&��-�#�2��"#������-���� �������>-"�& ������ ������������1�#���#��������) �-�����#"��$�#���#�7�

��� 3������ �-��0��-��> ��>�����1"�!������ � � 3/!*3 ��)+ .�

1�� ������� �-��0��-��> ��;���> ���1"� !���������"����1"���%��� � � 3/!*6/!*� ��)+ .�

��� ,������ �-��0�#����" �-��>��>"���1"���(������������1"��(�� � � � � 3/!*6/!*, � ��)+ .�

Page 139: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� 3,4

��� <� �� -��0�#�� ����� -��>�� >"��� 1"��!� ���� �� -����� ��1"�� -����"� �����

� � � � 3/!*6/!*< , ��)+ .�

��� /���-��0�#��-���"�-��>��>"���1"��!� � � � �<6/!*/ ��)+ �������

� � � � � �� , <

3 � , < /7

*!3/ *!3�5/ *!6/ *!3/ *!6/ *!3/ *!6/�

% "# # $ !

C�#�2��"#������-���� ����>�����#����� �2"���<���,��

��2"���<���,�

���� � ) � �>��� �� $����1�# � �#�������� ��>���� � ����� -����� #"�� $�#���#�� �� ������ � �

!����!3� ��-"��0� ����> �������>-"�� �"��>�>��0���0-#�������$���0����� � � !����!3�� ��(��

�#�B��%�� � �� � �� ��)�� �� ��%���>��0����� �-�"#�� �$�#���#�� � �>"����� �����!���&"#� �

� � ��! �� � � ! � ��(�� ��&

�3� !������ � � 3

33

�� !

"##$

% &

&

�+�+ ��

����-������� �>���� ��� �0���>">����1��� ����"��) ���- ���� ������� ��������� ��$��� ����

� � ����) �������� ���� !� !����!3�� ��

� � 0��- �������� ��� � !����!3� �� <�������

� ��� ���� �� �$�� ��� ����� ������� �� ��������� *���� � ��������� ����������

) ���- ����� ������������� ��� ������ ����� ���� �����

� � � � � �� � + � � + � + ��� �� <���,���

�"��#����"$�����>�>��0�#����0-#����� ��� �(��� �� �>"�������-���������

��� ) �(�� - ���" �$����1�#���#���������� ������-���� <�������(�� $ ��� "�� ������# ����

��" � $����1�#�� ���#��������1�#�� �#�������� � �-)�. !$ � ��� $�#���#�� � ��� 0�$� !� � (��

�>����� ���� ����>�>��0"#���0-#�������$���0����� � � � �� ��� 0�� ��-��)�� ! ��

Page 140: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�3<*

�$�0�� �� � � � � �� �

� �

��-��)���.�0��$

� 0�+�+!

! �� <���<���

��� �) �(��- �>"�������-�������!��$�0�

� � � �� � � �� � � �� ��� 0+�+0�+ ��-��)���-��) ! ��

�"����� ��#�� � �� ��� �+� ��)� !�� � �� � 0+- ��-� ���&"#� �

� �� �� �

���.�0��$

�-��+!

�� <���/���

C����"� � � 0�0�$ ��! ��$�0�

� �� � ��

���.�0��

�-��+ �� <���+���

��� !�B��-�����"#���) �(��- ��"�-���#"�����%��$�#����B����2������2���$�!��$�0�

� �� �*

! !!

+ � -� � ��

� � � <���5���

��>���1" ���#"�� -�)�. �>���"0�(�������������#"��. �(��- ���-����;�0-#"� ���$����1�#�#���#��������>�0-#��

!

"##$

%)

��

��

3

37 !� !

"##$

%-

--

00

3

37 �

�����1�#���#�������� -�) �������1#�"#������>���1" ���

!

"##$

% ����-�)

�!

�!

����

0�0�0�0�

3�33

�3337 �

"����

� � � �� � � �� � � � !!! 0�+0�+� ��-���)�����-��)� � �

�"�

33 3

�� �

!!� ��

��� �) �(��- �>"�������-�������� !! -�� � ��

�����1�#���#��������)- �������1#�"#������>���1" ���

!

"##$

%)-

�!

�!

����

0�0�0�0�

3�33

�3337 �

�"�

� � � �� � � �� � � � !!! 0�+0�+� ��-���)����-�)� � �

�-��� ��#�����>"0 �(��-���">�>���;�����#���������"0 �� ��������$����1�#���#�����������&"#� �����7�

C"������"����$����1�#���#��������������1#�"#������>���1" ���

Page 141: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� 3<3

!

"##$

%)

��

��

3

37 �

��������� � �� � � �� �

��+�+ ���)���) ��

��$��>��"����$����1�#���#���������"�$�#�������"#��������1#�"#������>���1" ���

!

"

###

$

%)�

����

3

33

337 ��

��� �$����1�#���#�������� - ���0������$��> !���"������ ���0��%�"#� 3�)-�-)

�(������

��1#�"#������>���1" ���

!

"

###

$

%

-)

�!

!

���0�

0�

0�

33

3

3

7 ��

�� ���>���� � � � -����� �� �����-����� � ��� �� $����1�# � �#�������� �� ���� � -�� ������0"# �0������$���0������#�0������!�������1#�"#���������>���1" ��������-����� ����$����1�# �

�#��������$�� �� !

"##$

%3

7�

� ������$�0�-"���� ����������"����-��� ����"�$����1�#���#��������(��

���>��������/����������� ���"� ��� *��� ��0�� !�B���������� ����� ��� ��� !! �>�������0�� �

-������"�������"�"��&����� �>�������0����-��1�1�#��������������-����>� �#��1 ��"� �> ������ �-����-"���"#��������������� � �3!3� ��

� �������);-���0���"#"����������0��������"�"����� �������B�����( 0�$����1�#���#��������) ������������$�#�����"0 �"#����-"������- �"�!������

!

"

##

$

%)

+3

+3

+3

+3

+3

+3

+/<,�37 �

��� ,�3 !! ))) � $����1�#�#�� �#�������� ����>-"�& ������ �����0�� ���� ��� ����� �#���

��� !! �����>���$����1�#���#��������>"�������-�������������-���������-����-"���"#� � �3!3� �

�%��� *,�3 �)�)�)� �� ����� ���1"��� > � �����0�� 0�

� � � �,�3,�3 * )�)�)��)�)�)� ++ ��

��%���>��0����� �-�"#�� �$����1�#�#���#��������>"�������-��������-"��0�>�����

� � � � � �� �

� � � �

�)�)�)�

��)�)�)��)�)�)�

+

3,�3

+

33,�,�3 *

+ +

++ ��

Page 142: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�3<�

�$�0� � �+3

3 ��) + !� +!���!3� �(��

� � � �+,�

+

3,� �)�)��)�)

+ +

�����-��1�1�#����������>"0��-"����#�����1 ��"���#����"�����������" �&��"���> � ���0���0�� ����%�� + �� ��%��� >��0�� ��� �-�"#� � � ��1#�"#� ��� ��>���1" ��� �� $����1�#��� �#�������� �������-��&��� �>"0��-"����#����1 ��"����>���

!

"

##

$

%

����������� +3

+�

+,

+<

+/

++

+/

+<

+,

+�

+3

3�333*465+/<,��

�$�0�

� �,+3/+

3,� ��)�)

+ �

�����

� �5�/

,�3 �)�)�)+ ��

�<������%������������������ ����������������������

9�0����#��"����$����1�#���#����������>������>"���$�#���#����-������#��0��� ���$����"��#�&����B���-#��� ����

��1��� ���� "�� ) � � ������ ��������� ������ ���� � �������� � � ��

�������� ��� � !� .� ��#�� ������.

�� ����� ������� ���������� � �������

� � �

�).

��� � <���6���

�� ������ �������������������� �����������������������) ��

��� � ) � �>��� �� $����1�# � �#�������� >�0-# � ����� ��� $�#���#�� ��� !���!3 � �"�

-��1�1�#�� �#�� ��� !���!3 !���"����$�#������0�����$�� ��

� � �

�)�

���

3

�� <���6V���

��0����B��������"�����%��$��-��-���� ���#��$�#���#���0������ C3��� #�� �) ���- ����� ��� ������� ��������� ������� ��$��� ���� <�������� ��� �

� �)� ��� � �-� ����� � ����� ���� �������� ���� � �-�)� ��

� � � � � �-�)�-�) ��� �� <���4���

Page 143: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� 3<,

��%��� -���� !� � �$���0���"#� � � � �� � 0� ��-��)� ! !� � �!� � ��0��& � "�� >�>��0�

��0-#��� ��� �$���0����� (�� !

! �� � !� !

! �� � � ��� "���� � � � �!

! �+�+ � !�

� � � �!

! �+�+ � ������

� � � � � � � � � �

� � � � � � � �� � � �

! ! ! ! ! ! ! !

! ! ! ! ! ! ! !

� � 0 + � � + � 0 + �

� + � 0 + � � + � 0 + �

� �

� �

� �

� � � � � �

� � � � �

� �

C�������"��� !�>���1 ���7� C���� "�� ) � � !���!3� �� � � ������� ��������� ���������#�� � � � � ) � ���� �

������ !

"#$

%)

3

����� ��

� ���

)� !

"#$

%)

��

33

�� <���3*���

C,��� "�� ) �� ������ ��������� ������ � � � �������� ��#�� � � �)� � ���� �

������ � �)�� ����� ��

� � � �)�) ���� �� <���33���C��-�����������&"#� ��0������������ ��� ���(����"0��

� � � � � �)���) ����������

��

C��-���� �#�� C���(�� C,������"��#�7� C<��� "�� ) � � !���!3� �� � �������� ��������� ������� �� � !� � ������������#�� �

� � � ) !� � !���!3� ������ � ����� !

"#$

%)

��

3

����� ��

� ���

)� !

"#$

%)

����

33

�� <���3����

C/��� �������� ��� � ������� ���������� � � -�)�) � ����� ��� ��- �>���"0�(���

� ������������ ��������������) ��

��������� � �)� � �>��� �� ���>���� !� $�#������ 0����� �� "���� ���>������ �>��� ���������>���� !������

� �� � � � � � *�)�)�)�) ���� ����

Page 144: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�3<<

C+��� ���:�������������"�9@��2��"��) ���- ���� ������� ��������� ������� ������

���� ���� � ��)� ��� � ��-� ��������

� � � � � ��� -)�)- ��� �� <���3,���

C����"���0��>��� ���$�0����>������$����1�#���#�������� � ��/-�)�./ �"���� / �

�>���"��-���0���"����#���$�0�� � � � � � � ���� � -/�)-/�)�./ ���� ��

���� *�./ !������ � � *�./� �-����"�������/ ����#������������&"#� �

� � � � � � *� ��� �-/�)-/�) ��� !� �0 �� !����"���� <���3,���� C5��� #�� � ) � �� - � ���� ��� ������� ��������� ������� ������������ � ��� �

� �)� ��� � �-� ����� � ������ � �)-� ����� ��

� � � � � �-)�)- ��� �� <���3<���

��%���-���� � � � � !! 0�� ��-��)�� ! !��$�0�

� � � ��)- !

!! �+0�� ��

����) �(��- �>%�������-�������!������

� � � � � � !!! -�0+�+�+ ��-�)� �

(��

� � � � � �-)� !

"##$

% !

"#$

%�)- ��-0���

!!!

��

�/�����������-������>��� ��0������� / ��#�0����������>��-����� ���������-�������"�"#� ��� �#�"#�� "0���� 0� �#�0����#�� ��� #�� 3� #�� / � (�� ��� � �3�!*,!* ��� � �

-��1�1�#������� > � >�� �� ����&�� �#�0���"#� �"� �"0 �"#� !� /!���!3� �� � � >�� ��#�"#�&��$�#������0��������"0 �"#"������� �� �"����� ���������� ) �$����1�#���#���������>����� ��#�0���"#"���"��"0 �"#� ���������$�#����-��

3�>�"�* ��"- ��"0��#�0���"#�>���� �����& �>�"��"!�

� � � � !"

##$

%����

)3�!*5!*3�!*,!*

*37

!� /!���!3� ��

�����1�#���#�������������� ��"0 �"#"������� �� �"����>��� /<,�3 )�)�)�)�)�) !�

������ � � � � � � � � � � �/<,�3 )�)�)�)�)�) ������ ��

�$�0� � � � �3�!*,!* ���) � ����"����

� � � �1 2 /!,3�!*,!*/

3

����) �

� ��

Page 145: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� 3</

��1��� ����"�� ) �� ������ ���������� ������ �� � ��� �� � �������� #��

���� �������� ��� � ������� ���������� �) !� ����� ������ ������� ��� ��

������ ������������� � ��� ������� ����������) �� �� ������

� � � � �)�)3

�� ��� �� <���3/���

�������� ��� � ������� �����������) ��� ������ ������� ������������

� ��� ������� ��������� ) � �� ������ �

� � �)�)4

� ��� �� <���3+���

��1��� ���� "� � ������ ��������� ������ ) �� ������� �� ������� � � ��

������� ��������� ������� � ���) ��� ������ ����������������������� � �� ���) �� �� ������

� � � �� �)�)3�)' ��� �� <���35���

������� ������� �� ������ �� � ������� ��������� �������� ) � �� ������

��������� ��� ������� � �� ������ ���� � �)�# ����� �� !�����

� � � �)'���) ���# �� <���36���

,� ���� � � � �)'���) �# ��� ������ � ������������� ������ � �� ) ��

��0����B��������"�����%��$��-��-���� ���#����>-��>����(���#���1�������0�����- ��������� C3��� ��� ��� ����������

� � � � � �1 2��� )�)�) ��# �� <���34���

G�������$ �!� ��%���>��0������� ��� ���

� � � �1 2 � � � �1 2� � � �1 2 � �1 2 � � � �1 2�����

����

)�)�)�)�)�

�)�))�)�)�)�)

�����

�����#�

C���� #�� � �� �)�' ��� � � � ����������!������ � � � �)�- #�# ��

�$�0�� � � � ���� �)�- !�

� � � � � � ���� � ������� �)�)�- �

���"���� � � � �)�- ��� #�# ��

G��-�����"#��!�-����"� *�� ��$�0� � � � �)�) ��� #��# ��

C,��� "�� � � � ��) 3 !� � �������� ��������� �������� ��� ���� ��� ���������������

��� !���!3 !�� �������������"����

� ���

)� !

"#$

%)

#��#

3

��

3

� �� <����*���

��%���>��0����� <���34����$�0�

Page 146: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�3<+

� �

� � � � � �

� � � �

��

3 33

� �

3 3

�� � �

3 3

� ��

� �

/ / /

� �

/ / /

/ / /

� � � �# �

� � � � � �

� � � � � � �

� � � �

� ��

� � � �

� � � �

� �

� ��

� � �

� � �

% " 5 6% " % "% " � � �# 7 8# # # # $ ! $ !$ ! 9 :$ !

% " 5 6� � � �# 7 8

$ ! 9 :

5 6� � � �9 :

���� � � � � � � / / ��� ))�)) !������

� � � �� ���

)�)� !

"#$

%)

����#

3

���

3

� �

���"���� <����*���� C<��� ���:����������������;��0$�"��) �� ������ ���������� ������

� � � � � ��

;)

�;�)��)�#

�+ �� <����3���

������ ����� *�; ������>� � ���2�#������ -����� �� -"> � >"1� �� ��0 � ������ ��>� �#�>�� � B�� �-#��� ��� (��

��"0�!�#"%��� � �)�; �# !� <����3���>��>�����

� � � �� ��

3�

�#�+ �)�)�) �� <����3V���

����;�0-#"!���� �#" 0� ,�� !����� <����3V������"��0�

� � � �� �43

, �)�)�) #�+ !�

���� � -��1�1�#������� ��� �� $�#����� �� "���� $����1�#�� �#�������� > � ��> � ���� �����$�#"#�

� � � � � � � �� �)�))�) #�#� ,!, !� �>��� 0��� 0�� � ���%��43

!� ����� 0�H��������� $�#���#���

$����1�#����#��������>��$���2�"-��B��H"�"#�$�#�����0�����-��"�������$�#����#"�2�0�� � �)#+ ��

����>����>�����2"#����#��� �, ���

<���,��$���� ����������������������������

���� �+!!�� �"�� �� ��%0-����-��1�1�#�������

��1��� ���� *� ������ ����� �� � �������� � $��� �� 7� � �� � ��$�� �� �� �� ����������� ��������� �� ����� ������!����$�� ����� ����� �� �� �� $����

� �� ���� ��)�� ����� � �� � !������� ����� ��� ��

��0����B��������"�����%��$��-��-���� ���#��$����1�#�#����#���������

Page 147: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� 3<5

C3��� "��) �� ������ ��������� � � � �������� � ������ ��) !� )� !� ) !� �) !�)3

��"�

*�) ����� ������� �����������

G�������$ �� "�� ��#�� ��) �(�� )� �>"���$����1�#���#�����������������

� �� � � �� ����� ���)�����)� !�

� �� �� �

� �<<*

<<+

,

��=>?

*+,

��)�

��=>?

*+,

��)�

���)�*-����"

*-����"

��

��

�� ��

����>�0����!�

� � � �� � � �� � �����)���)����)� ��� � !�

� � � � ����)����)� ��� !�

� �

� �

� � � �

� � � � � �

3

* -����" *

3* -����" *

3 -����" ** *

��

��

�� �

� � �

� � � � � �

� � � � � � � � �

, ?< <� �+ >< <* =

,< � �<< , ?<� � � �+ + >

* =<< % ", ? �< � � �+ ># < * =$ !*

� �

��

C���� "��) ���- ���� ������� ���������� ������

� � � �� � ���-��)� !� � � � �� � ��)-��)� !� � � � �� � ��)-��)� ��

C,��� #�� � ) ���- ����� ��� ������� ���������� ������ -�) !� -�) !� )- !�-)

����

*�- !� � �-)!>"- ��� � �-)!�� ����� �� ������� ������� ��������������� C�����&"#� �

� � � �� � � � � �� � ����-��)����-��)� �� ��

�-�"#�� � -�) ��>���$����1�# ��#����������&"#� ����� � �-��)�-�) �(����#� ������������ ��

���

Page 148: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�3<6

�1>��$ 0�� �

� � � ���

<3

-�)�-�)�)- !�-

)�-) 3

!�

� � � �-�)�-�)�-)�3

!>"- !� � � � �-�)�-�)�-)�3

!�� ��

���� �-�"#� � � � �-)!>"- � (�� � �-)!�� � >"��� $����1�#�� �#�������� ��&"#� � � � -������

-�&���$ � �) �(��-��������2���$ � �) ���"����$����1�#���#�������� ) �>"���$����1�#���#�������!�

�������� � �*!>"- )�)� !� � �*!�� )�)� ��

�������� 6$5$3�� #�� � ) � ���� � ������ ��������� �������� � ���� �� ��

����� ����� � N� ��

����� ������� ��������� ����� ���������� ���� �������� � ����) ��

#������� ����� 0�

� � � � � �� �<*

<+,

��)

���)���

��)�

����

-����"

�!���!�!3!��

3-����"

�3

-����"� !����!3�� ����"���� �) �>"���$����1�#���#��������>�0-#�!�����2���$���

��� � � � &��) ��$�0� � � � ��� �3

��)��) ������ � � � ��)��)&� �

�#�0 ��

��� � � � &��) !� ��"���� -����"� ������ N��� � �$�0� � � �� ��) � �����

� � � ��)��)&� �

�#�0 ��

��� � ) ��"��>�������2���$ !��$�0� �� )�)�) ��"� �) �(�� �) �$����1�#���#������������2���$��(�������0���>�������>�0��������$ ��� ��

��������6$5$5��#�� � � � N� ��

������� �� �� �� ������� ���������� ������

N>"- ��

���

!�

N�� ��

���

!� ��

)&�

#�0 ��� ��

)&�

#�0 ����� �� ������� ������� �����������

��1��� ������0�>-"��� � �$����1�#�#�� �#�������� �)) !���!3 � >"��� ����-����������� �

-����"�������>�>��0�#�����#�� ��� !���!3 ��$�0�

� � � � � ����� �+�+��+ �)�)��)�) ���!���! 3333 ��

�<���<������ ������������� ���

��1��� ����*� ������ ��� ������������� �� � ������� ����������) !�$��� ��

� � � �� �� ��+�" ��)�� � <��������

��$�� ������ ���� ��� ������ ����>� � �� ��� ��� ��&"#� � � � ������ $����1�# � �#�������� -����� �� ��� � -����

�����0���"#� "�� ����>�#�������-���� ����

Page 149: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� 3<4

��� � ) ��>�����$����1�# ��#����������>���� ��"� � ��� �+� �)� !� .�� !���"��������

<����������&"#� �� �

����

���" � <����,���

(��>���"0�(������ ������������� ���������������������&"#� �� �B�����>����&�" ��>����� "�� ���B��>��� !����� ����$�#�������>������-�������$�#�#�������0���������-"����#��� � � .� ���

�/����� 3�� ���$����1�#���#��������

!

"##$

%)

*/!*3/!*�*!*</!*3/!*

<,�3*7 ��

��2"���<���<�

��� ��0��"� <����,�����&"#� �

� �

* -����" *

*!3/ -����" * 3

*�3/ *!</ -����" 3 �

*�3/ *!</ *!�* -����" � ,

*�3/ *!</ *!�* *!3/ -����" , <

3!** -����" <

�" �

�,< � �<< � � �

� + � � � �<< � � � � �<

�*

E�� ��"#�����>�����#����� �2"���<���<��

Page 150: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�3/*

��� G����&"#�"����$����1�#�� !

"##$

%) �

-��

7 � �"� �$�#���!���� ��$���0����#�� !� � >��

���#�&��& ��"�-��1�1�#������� !� !� ! ��3 !����� �� � �!+� ! ��)� !� "�� ������

��-���� �������>-"�& �������>���

� �

3

3 �

3 � 3

* -����" *

-����" * 3

-����" 3 �

���������������������������������������������������������������������

-����" � 3���

-����" 33

� �

� � �" �

� � � �

� �

�,< � �<< � � �<� +<< � � � �� � �<

� �<*

��������6$5$4��"��� � �� ������ � � ��� ������� ��������� ��� �� ������� ������� 7�3�� #�� � �3 �� � !������� � � � ��3 �"�" � !� 3 �!� � �� ��

��� � � � ��"�" �� * ������� ����� ��� ��

,�� � � *#�0 ��&�

�"�

��

<�� � � 3#�0 ��&�

�"�

��

#������� ��3�� ��� �3 �� � � ��" � �"0���� ���#��� �� 0� � �� �33

��� ��)�� !�

� �� ������ ��)�� �� �$�0�

�3 �� �� � !� �����

� � � ���33 �"�+�+�" �� ��� ��

��� ��� ��� ���$�#����� �; �(�� ��� �������3 ���� ���� �"��(������>� ��������"0����

���#�� ���$��2���� � ���� � �� ���>���� 0� �$���0����#��3�

� !� � �� ��� ��)�� !�

� �� �3���)��� ��� ��� !� !����!3�� �� �$�0� ����33��� ���� �� ��

)$���0����#������0�01�"#�����>"�������0-���1�#����" ��%�����" �-�������>��"� ��!��>� �#�� �

� � � � � � ����33���� �+�+�+�+ � � <����<���

����� � � � ��"�+ � !� � �33�"�+ � � !�

� � � �� �� � � �� �� � � � � ������ �"�"�+�+�+ ����)����)�� �� 33 !� !����!3�� ��

��#� ��� <����<���>��>������ � � � � � � �1 2 � � � �1 2 ����,3�3 ������ �"�"�"�"�"�" � <����/���

����� � � � ���

�"�"&�

� #�0 !�"����

Page 151: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� 3/3

� � � � � � � �1 2 � � � �1 233�3 ��� ������� ��� �"�"�"�"�"�" �

>�"� � � � �*�� �"�" ��

,�� ��� (��"#� ��� �"0���� ���#�� �������3 ���� ���� � ���$��2���� #�� &� � (�� ���

�$���0����#��3�

� � (�� � �� �3���)��� ��� ��� !� !����!3�� � )$���0����#�� �� �

>"�������0-���1�#����" ��%�����" �(��&

�3

3�

�� �� ������ � �&

�3

3�

�� �+�+ �>�"�

� � � � � �1 2 � � � �1 2 � � � �1 2 � � �

��

*

�"�"�"�"�"�"�" ������ 3,��33 �������� � �

���� � � � ��

*�"&�

� #�03 ��

���� � � � ��� �"�"* �� 3 ������ � � � � � ���

�"�"�"&�

�� #�033 �� ��%���>��0�����

�-�"#�� �(��"#�� � N� ��

�� �������#�� &� !���&"#� � � � � � *#�0 �&��&�

"�" ��

��

<�� ��� (��"#� ���>� ���� � � N� ��

�� � ��� �"0���� ���#�� ����� ������ #�� &� � (�� ��� �$���0����#��

� �� �&��)��� !� � � 3�# �� � �� � !� � �� �3\���)��� ��� ��# !�

!����!3�� ��$�0�&

��*!

!# �(�� ��! ## � !� ! � !������ � � � �&

��*!

!#++ �

>�"�� � � � � �1 2 � � � �1 2 ������3 33�3 ������� � �� �"�"�"�"�" �

���"������&"#� � � � � �&���&�

"�" ��#�03 ��

����-��������>���������0���>���"�0 ������7���������6$5$6��(��� $��� ��" ������� � ���������� ������ ������ �� ������ �

�� � � *�&�" !� � � 3�&�" ����� $��� � �� ������ � � ��� ������� ��������� ��$�� �� �� ��� �� ����������� ��������� �����

��������6$5$7��"�� ) �� ������ ��������� � � �� $��� � �� ������ � ����� " ��

"��� ���� ���� ����� ����� ��� �� � ���� ��� ����� ���3�� � � � � � ��"�"��+ ���)� .�

��� � � � � � � � ��+�"�"��+ �)����)� .�

,�� � � � � � � � � � ��+�+�"�"��+ �)��)����)� .�

<�� � � � � � � � ��+�"�"��+ �)����)� ��

#������� ��� ��� �$���0����#�� � �� ��� ��)�� .� � �� ��� ��)�� .�

� �� ��� ��)�� .� � �� ��# ��)�� ��

��

Page 152: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�3/�

��&"#� �� ��� !� ��� �� !� #�� �� �(��

� � � ���+��+ �)���� !�

� �� � � � � � � ��+�+�+���+ ������ !�

� � � � � � � � � �#+�+�+��#�+ ������� !�

� �� � � � � � � �#+�+�+�#�+ ������ ��

��%���>��0��� � � � � ��"�+ � !� � � � ��"�+ � ���&"#� ���#��-���"��2�#�� ���

�����0� �������� � � � � � ��"�"�+ ����) * !���&"#� �� �-"��0�>������2�#�� �#�� ��� <��(��>"1� ��0���V�� � � � � � �*����)� �"�"��+ .�

,V�� � � � � � �** �����)� �"�"��+ .�

<V�� � � � � � ��"�"��+ ����)� * ���/�����

3�� ������>���� � "�� ���" ��� ���� �-������#� ��#��

� �<*

<+

,

���

��

3-����"

3*-����"

*-����"

3

*�

���" !�

� ����>�������������7���� � �>�������0�������>������� ��(��B��%��" �> � ��� "�� ��������-���� ����1�� � �>����#�"#�&�� � �/!*,/!* �)�+ ��

� ��������� "�� ��� " ��>���������" �B��������-"����#���;������#���"��;��- ���-"���"#"�� 3�� ��

��%���>��0������� ��� ��� "�� ���������-���� ������1"������" �> � ���������" �#��>�%�2��B�� ������ -"���� ��� � (�� � � 3* �� �" !� ����� B�� 3�� � ���1"��� > � �$�0�

� � � � 33*3* ���� "" !� ��� "���� ��&"#� � 3* �� � �� ��� � ����0� ��� " � > � ���

������" �B�� 3�� !���"���� 3�� ���1�� �$�0� � � � � � ��"�"��+ ���)� ����"����

� � � � � � 3�5/!*,/!*/!*/!*,/!* ����)� ""+ ��

��� � �>�������0�������>�����#�� � �(��� ��>� �#�B��%�� � � ����" ����2�� !� ��� �

> � ����� "�� ��������-���� ����� �>�����#�"#�&�� � �3* �)�+ ��

� ����������� � � 3#�0 ��&�

�"�

�(�� � � *#�0 ��&�

�"�

���&"#� �

� � 3�

����2#�0 �@

����&�

������

!�

� � *�

����2#�0 �@

����&�

������

!�

Page 153: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� 3/,

���>����%��"�>�� �����0��������

����2�

@��

@� � �� ��� �1 ����

�3

�� !�@

�3

� � (��

� � � � � �<3

**33* �����)� ""+ ��

��1��� ����"�� ) �� ������ ��������� � � �� $��� � �� ������ � ����� " ��#��

���� � $��� � ���� $ ���$�� � �������� ���� ���� ������

� � � �A&�

��

���$�" !� <����+���

������" ��� ������ ��� ������������� ���� ����������� � ���) �� ������ ����� �� �

��������� � ����� ������ � "��� � $ � �� ������ ���������� ��� �� � ��������

������� ���!��� �������� � ����$ ��� ������ ���������� � ����������������� ������ �" ����������>���������-��1�1�#������ $ !���"����

� � � � � � � � � ��

���+�

�"��"�"�$

�� BB��)�

�B

�B����

�B�B **#�0#�0 ��

��&"#� ���������� �� � � ����$����+ ���)� � <����5���

���>����������-��1�1�#����������"�0 �����#��-��-���� ���3�� � � *��$ ������� ����� ��� .�

��� � � 3�A�&

&�

���$ .�

,�� C����"������� �� � ����#������#�����#� ��� � � � �A��)��

���$��+ ��

�/����� 3�� ������>���� � "�� ���

� �<*

<+

,

@�@��

��

���$

-����"

*-����"

*-����"

*

>��

*

����������� � � >�� �����0���� ���>������ ���# � � !� �>� �#� ��� $ � > � ��� ���>������� ���

-��1�1�#��������"����$����1�#���#���������1�� � �>�������0���� "�� ��������-���� �������>-"�& �������

��� � �>����#�"#�&�� !"

#$% @

�)�<

*+ ��

Page 154: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�3/<

� ��������� ����-��-���� �#�����>�� ������-��1�1�#���������"��0�

� � 3�>��*

��� AA@�&

&�

��������$ �

� ���"�����3

�� ��

1�� ���" � "�� ��������-���� �������>-"�& ��������$�0� � � � �A&�

��

���$�" ��

C����"� *�� !� � � *��$ ������ � � *��" ��

C����"�* � �� � ��$�0�

� � � � � � � ��������$���$�"��

��>3�3

>���3

**

*

����� AAA&�

��

C����"� � �� ��$�0�

� � � � � � � � 3>���3

**

*

����� AAAA@

@

@

&�

������$���$���$�"�

��

�����

� � � �

-����" **

33 ��> -����" *

�3 -����"

" � � �

�,<<� � � �+<< �*

��

���<

��>��

�3

<*

<

*

���

!"

#$% @

�)� A@

���+ ��

E�� ��"#� "�� ���� $ � �>��� ��#� ���� �2"��� <���/�!� ���� �#� "�� ���� " � �>��� ��#� ��������� �2"���<���+��

�����8�("��� ����� �2"���<���/����-��&��� �-��1�1�#����������"� �#��-"���"#����

��

�2"���<���/�� �2"���<���+��

Page 155: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� 3//

��� ���) ���$����1�# ��#����������� ���� "�� ��������-���� ��� ������� �������� ���>���

� �<*

<+

,

���

��

3-����"

3*-����"

*-����"

3

*

��" �

� �>����#�"#�&�����>������������-���� �����$����1�#����#��������)

�-3

#� ��

� ������

� � � ��� �+�+�+�+ ��)�� !

"##$

%�

)�

!

"##$

%�

)��- 3

33#� �

���"����

� �*+,

��

��

�- *-����"

*-����"

3

*

��"

��

(��

� �*+,

��

��- *-����"

*-����"*

��$

���

,�� Q<R� C��1�1�#������� ��� �"- � � � ���� ��� "�� ������� �� #�0- � �#�������� � > � ��> � ���� "�� �"��� B�� �����$�#"#� � ����� �! � �>��� �2�# � �"� ��*3!* !� ����-������� ��� � �� ��

#�0- ���#"����� ,* ������� �>����#�"#�&��-��1�1�#�������������> ���> ����� "�� �"���B��"�0 �����#��3* ������

� ����������) �$����1�#���#��������������;-��0 ��"�������� "�� ���������"����# 0-��B������

(�� ��� � � �$���0���"#� K#�0-�� #"����& � �"�0��� -" ��� ��� � � ���L!� ���� � � �$���0���"#�

K#�0-����>������ "�� �"���B�������$�#"#� � ����� �! L��C�����-���& � � � ����+ *3!*� ��

�$�0�� � � � � � � ��"�+�+�+ ���)���)� 33 !�

� � � � � ����$����+�+ ���)�� !�

"�����0�������-���� $ ����>����������-��1�1�#��������#"��) ����������� �� � !�

� � � �� �

� �� �

� �� � ���"���$

�+�+

�+��+

��+ *3!*3

��

����

��

��&"#� �

� � � �1 2 � � 8:

679

5���� A

���$�"�$*

3*3!*3*3!* ��

��

Page 156: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�3/+

����$%��� B�� �01��� 0�01��� B�� ��-���� �"� � � >�� �1 ���� ��"� ��� �� ���� ��# �

� � **3!* �� �$���$

��"�>�#" ��� � � � ��$ *3!*� !� *�� !� ����>���� ������

� � ��� ���$ � 3**3*

*3!*

*

��� AA&

�&

��&"#� � *3!*� !����� � � ���$ *3!**3!* �� !� *�� ��C��1�1�#����������"� �$�� ��

� �� �

3!*,!*

<!*,!*

,*

*

*3!*

,*

*

*3!*3*

*

*3!*

3

3

*3!*,*

<*,* ��

��

��

���

��

��

)��)�

A

AA�

���

���

������

++

+�

��

��

�<���/��%������������������ �������������������

��� � �+!!�� � "�� �� �%0-� ��� -��1�1�#������ (�� ) � �� $����1�# � �#�������� �� � ����

"�� ��������-���� ����>���" ����� $ ����>������������-���� �����$����1�#����#��������) ��

��1��� ����*� ������ �������������������� ��������������) ���������

� � � � � �AA�&

&�

�&

&�

��) ����$���"� �� <����6���

��1��� ���� *� ������ ������ ��� ������ � !� ��� !� �� ������� ��������� ��������) !���������

� � � � � � � �A A�&

&�

�&

&�

��)3�) ���$���"�� ���� !� <����4���

�� �������

� � � � � � � �AA�&

&�

�&

&�

��)4�) ���$���"����

�� � <���,*���

�� ������ ������� ������������ � ��� ������� ��������� ) ��G�� ���#�(�� 0��� B�� ����� >��"� �� ����� 0�0���"#� �������� ��� �����"#� � !� ��>-��>��!�

�1�������0����� - ������ � B�� ��&"#� $����1�#�#��� �#�������� ��>�����!� >�� �� ���>�� (�� -����"�$����1�#���#�������������-�������""��C��-���� �#��$�#�����0�����(���#����>-��>���������-����"�$����1�#���#�������������-���>�����>��0�� ���-����"�$����1�#���#�������������-�������""��

G���-#��� ���>��B��%#��>��(��"�0 �����#�����������>����7������

Page 157: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� 3/5

��1��� ����*� ����� ����������� �� !�� �������% !���������

� �� �)'

)'�

,�

,�� !�

� �� �

<��

,%� �� �

� � !�

<���,3���

��� ������� ��������� ���� ���/�����$��� ) ��$����1�# ��#�������������-�������""��"����>����������-��1�1�#�����

� � ���$ ���3

� ��� � � � >�� ��#�"#�&�� $�#������ 0����!� ��>-��>��!� ��� ������"#� ���

�>�0������(���;��>"#� � ��������$�0�

� � *�3

�3

�3

*

*

����) AAA�&

&�

�&

&�

� ������������� ��� !�

� � ��3

*

��� ���) AA�&

��&

&�

� ������# ���� ��

������"&��>�0���������-���� �����������&"#� � *��� ��

� � �<�3

�*

<< ��)' A

�&� ���� � !�

����� ,�% ����1��� ����*� ������ ���������������� � ��������� � ��� ������� ����������

) !������� �� ������� � ��� ������� ���������� ��) !� �� ������� ����������

�����������

��) ��� ����� �������� ����������������� � ��������� � ��

�/������� Q<R� ��� �� "�� ��� ��� ��-���� ��� " � �"� ����$���� B�� ������ -"����#�� ���������"������(���>� �#����-����"� �����> ��;�>��� 3�� ��(��B��%�� � � *#�0 �

�&�

���" !�

� �1 2 *3#�0 ���&�

���" ��� �>��������� �

� � � ��

�� � 33

3�'

�� !�

"���� � 3�' ��>���0�0���"#���������"#� 3� ���������B��� !�����

� � � � � �1 2 � � � �A A�&

&�

������

���"�����"���� 3 ��

Page 158: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�3/6

� ��������$�0�

� � � � � �1 2 � � � �

� � � � � � � �A

A

&�

&�

�& �&��

��

��

��

���

���

��

� �

���"��

�"��

���"��

�"��

��

33

33

3

33

33

��

��%���>��0���������� ��#��-��1#�0�����&"#� �

� � � � � � � ��

���"��

�� �

3

3

33

33

�&

&�

� '�

����

� A ��

��1��� ��$� ��&����� "���� $����1�#�� �#�������� ) � ���� �� ��� �� � ���� � �)' ��

������ ����

� � � ��� �+�+ �)���)�3

� <���,����

����

� ��3

���" �(�� � ��3

* ����" �� <���,,���

������ ��� �����&"#� �"�0 �����#��-��-���� �7�1� #�� � ) � ���� � ������ ��������� ��� � � � �) � (�� � � ��)# !���������� ���

����������

������ �� <���,<���

���2�#�������#"����1%(�$����� �

�3

� ����) + ��

��%���>��0������� ��� ���0�������!���&"#� �

�� ������ � � ��

��� ���#�� �) ���- ����� ��� ������� ��������� ����������� ���� �� ������ $��� �

�� ������ ��" ���/ ����� �� �� � ���� ��������� ����� �� ��� ������ ���

� � � �;�-�)�;��) +�+ ��3

!� <���,/���

� � � � !"

#$% ;

�-�)�;�-�)�;��)�

��3

++�+ � � <���,+���

������ ����� *�; !���� �� ������ ������� ����������) ��

����

Page 159: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� 3/4

�����1�#�#�� �#�������� ����� ����-�������� (�� �"� �����(�� "�� ��� ��� ��-���� ��� �$�0�� � � � ���-'�)' �(��

� � � � � �� � � �� � � �

! *

*

� � � �

� �

+ � � + � �+

+ � + �

� � � � � �� � �

� � �

� � � � � � � � � � �� �

� � � � ��

���� <���,/����&"#� � � ��3

* ���- ��+ !������

� � � �;��)�;�-�) ��++�3

��

C����"���0��>��� ���#"�� <���,+��!�-��0�����2�#��������&"#� ����� <���,/���(���� ��� ���0���������C����"����2�#�����������"���1>��$ 0�� �

� � � � � �

� �

��

++

+ +

+

� � � � �� � �

� �� � � �

�� �

� � � � � �� �

% " % "� � � � � � �# # $ ! $ !% "� � �# $ !

���� �� ��� ��� 0�������� ��&"#� � � � B�� ��&"#� "���� $����1�#�� �#�������� ) � ��� ��-�������""!�0��������>���"���������0���� �����2�#�������

� � � ��3

�� AA�&

&� �

���$���$ ��

���� -"���� ��� $������ 2��0�����!� 0������� �>��� �1>��>�� -"���"#"�� -���� ����� ������-���#�#�� #���;�� (0 !� ����� B0-����� B����" �- � ���2�#������� #�0���� �����"�1�������"� ���

� ��$0 � �(���;��(� ��

�/������ ���) ���$����1�# ��#����������� �������>���������-��1�1�#�������>���

� �

<<*

<<+

,

@��

@��

�*-����"

�>�"*-����"

>��

*

��

��$ ��

� �>�������0����0�������#"��) ��

� ���������� �) ��>��������-�������""!���"���� � ��3

���" !����"����

����

����� ��>3��>>���3

**

����A �

������3

��> ��� ����&"#� �,@

��� � �2"���<���5����

Page 160: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�3+*

��2"���<���5��

���:��������� �������-�0$�"�� ) �� ������ ��������� ����� � � �� �������

��� ���� $�� � +����� ����� 3�/ �����

� �� �/

�)/�)3

�+ �� <���,5���

�� 0� � �)� � �(���$�0�

� � � � � � � � � �1 2"��"���"���"���"

/�/�/���� AAAA�&

/

�&

/

/�&

3**

!�

���"���� � �/

�/�)�3

3 + ��

��1��� ��� %��� 9� !� � ��� ������� ��������� ���� �������� ������� ��������� ��� � ������� ���

<���+������� ����������������� ��

�$%���B��$������� ���>��"0���"#����#��������>�"��"� "���&������ "�� ��������-���� ����>��� ��>�"#� ��� �� ���#!� >��� �0-">� ������"������ "���� ���� 0 ��0�� ����� > � ���������&�&��$����1�#���#���������

��� � �+!!�� � "�� �� �%0-� ��� -��1�1�#�����!� ) � �� $����1�# � �#�������� �� � ����

"�� ��������-���� ����>���" ����1��� ���� *� ������ ��� ��� ������������� � �� ����� ����� ��������� ) � ����� ��

7� �� � ���$�� �� ���� ��

� � � � � �A�&

&�

)) ��C ��"���� ��� �� <���,6���

��� � ) � �>��� ��� ��-� ��>����� (�� ��� $�#���#�� � � . � � !� N. � � � �"� -��1�1�#�� �#��

� � . � � !���"���� <���,6�����$����

� � �

) �C.

�� ��� �� <���,4���

Page 161: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� 3+3

��� �) ��>��������-�������""��"����>������������-���� ��� $ !���"���� <���,6����$����

� � � �A�&

&�) �C ���$�� �� �� <���,6V���

��� ��"��;�>� �-�����#������� "&���$�0������ � ��C ��

��������� 3���� !� "�� ������������>��� ��;�>� �-����"�������$����1�# ��#��������(��

�>��������0���� �B��0���"������� "�� ��������-���� �����/������

3�� ��� � ) � �>��� �� $����1�# � �#�������� C��>>��� �$�0�

!

"

###

$

%//) /�/�/�

��

��

��

[[3

3!*7 �������1�#���>��������-���>����!������

� � � �3** [

�/&

/&

�/

��C ��

�� ��

���� �� <���<*���

��� ��� � ) � �>��� �� $����1�# � �"� ��-���� ��� "�� ��0 !� �$�0�

� �<*

<+

,

��

��

����

����

��

�$-����"

>�"-����"

3

*��"�� ������������>��� �$�� ��

� � � �

���

��

�����

���$��

����

����

��

��

��C AA�&

&�

3

3

� <���<3���

,�� ��� � ) ��>�����$����1�# ��#�����������0�# ��"� � � � ��� ��/�/

�$ ��

@� !� ��� !�

"�� ��� ���������>��� � $�� �� � � � �A�&

&�

��

@�C ����

/� ��/�� ��

�� ��%��� >��0�� � �

A�&

&�

��@ ��� ��!��1 ���0�

� ��

�<

3�

/��

���

�C � <���<����

��0����B��������"�����%��$��-��-���� ���#�� "�� �������������>����7� 3�� � � 3* �C �

�$�0��$������ � � � � 3* ��C A�&

&�

��" ��

Page 162: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�3+�

��� +����� ����� � �� !� � � 3�C � ��

�����0� � � � � � � 3���C AA�&

&�

�&

&�

��"��"�� �� �

,�� � � � ��� C��C !������� ����� � �� ��

� � � � � � � � � ��� �� ��� � �" � � �" � � �" � � �& �& �&

�& �& �&

� � � � �A A A ��

<�� C ����� ��$�� ������ ���� ��

�$�0� �3�3 ����� ���� ��� !�

� � � � � � � �

� � � �

� � � �AA

AA

AA

��

��

�&

&�

�&

&�

���

�����

���C�C

����

��

����

��

����

����

��"��"���

��"����"��

��"���"���

��3

�3�3

�3�3

��%���>��0��� � ��3�3 ���� �������� ���� ��

���� *�; � ��1�����!� $�0� #"�� -�� � � �(�� B��%�� � ��;

�A���

��" � ��� B���� � ���

��3

;�� �� !��$�0� � � � � ;�C�C ��3 �� ����������>���� ���&"#� ���������� �-��"�������$�#�

>" ����������0�������H"�"#����2����!�C ��"�>��-�������"#���

/�� #�� � �� �)�- !� !� ��� !������� � � � ����� ��)- C�C ��

�$�0� � � � �� � � �� � � ���������� ���������)

)�)- C���C ��

+�� "��� � ����������� � ��� ��� $��� �� ������� ��������� ����������� ���� ���� �� �������� $��� ��� ������������ ��������� ����� ����������C����"� ��� ��$�0�

� � � �

� � � ���

���������� 0����

�3

�3�3�3�3

))

)))))�))�)

CC�����C

C����"� ��� �-����� 0�-�������"� ����>"-���#"��� ��� 5�� "�� """ !! �3 $��� �� ������ � � CCC !! �3 $��� ��� ������������

��������� ������ #�� �3 """ D� �������� �3CC�C �� ����������

Page 163: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� 3+,

��� �3 """ D� �(�� � � � � ���� �

� � ���� �33 ��� �(��"#������$�&�"����#�������$�#"#"��

1 2��! ��(��B��%�� � � � �� � *#�0 3 ���&�

�!

�!

��� ��C����"������� � ��$�0�

� �� �

� � � �

� �� � � � � �

33

3 3 3 �3

#�0

#�0 !

� �� �� � �!��! !�

!�

� � � 0� ! � � �0

! !�!

� " � " �� �" �

� " � 0 " � 0 � �" 0

��&�

% "�& �# # $ !

��&��&

5 6� � �9 :

5 6� � � �9 :

A

A�

���"�������"��0�

� � � � � �A AA�&

&�

� !

"##$

%� 0�"���"���"� �0

0�

0�

���

���3 ��

����%���#��#�0�� �-����"� �&�� !� �&�� ��$�0�

� � � � � � !

"##$

% !

"##$

%� AAA

�&

&�

�&

&�

�&

&�

0�"���"���"� �0�����3 !�

���� � �3 CC�C ��

����-���!���� � �3 CC�C �������#�����0���>">���&"#� �� � �3 CC ��>��� "�� ���

���������>��� � �� #"�� �3 "" D !� ��� "���� �3 """ D� � "�� ��� ��� ��-���� ��� �>��� "���������0���� ���

����������&"#� !���������>���� ��0����� !�� �"��-���">���� "�� ������������>�����

�>����� "�� ������������>��� !��C ��>����� "�� ������������>��� ��

��������6$5$8$� ��� ) � �� $����1�# � �#��������-����"� ����� �;�>� � � �)4� !� ��"����

"�� ������������>��� � )C ��>������� ���������$�1�# �(�� � �� � � �)3�C) * !� � ��3 ��

#������� ��� ��� � ����$ 0� ��0�#� ��� � ���� � � �� "�� ��� ���������>��� !��1 ���0�

� �� � � �A�&

&�) �C ��"��� �� �� <���<,���

����

� � � � � �)4�� AA�&

&�

�&

&�

�� ��"���"�� !�

���������2��#������0�01�"#������;�>� �-����"� � ��3 �(���������#� ��� <���<,�������>��>�� �%�������� *�� �>���1 ����

� �� � � � � �)3��C A�&

&�)

��"�* ��

Page 164: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�3+<

��/������

3�� � �>�������0���� "�� ������������>��� ���$����1�#����#��������) ������"�0��& �#�2��������-���� ���1���0���# �(��> �>����#�"#�&��-��0�#����" �0�0������

� ������� ��>���1" ��� #"�� ) � B������ >��2"� � -��1 � �>��� !

"##$

%)

-�

*37 !� �����

� � -��� � ��C) ����� � ���0� � � �;���� ��� ����-�������!� �$�0� � � $����1�#�� �#��������

����-�������� � � � ��) 3 � ��� ��-"#� ) � (�� �

)�-�

3

!� �����

� � � � � � � ���

�-����� ��CC�C ))- ���

3� (�� � � � � 3�

- ��C���� -������ !� ��� "����

� � ���C- * �(�� � � ��� �- ��

���#�2� � � � ���-��

��

C���)3 - ��

��

*��

��� ���$����1�#�#���#������������-�������� 3) �(�� �) ��#��� �������>�� �������-���� ���>"���

� �1 2

1 2<*

<+

,

��

�E�) 3!3-����"

3!3-����"

�3

*

3 �

�$ !�

� �

1 2

1 2

1 2<<<

*

<<<

+

,

��

��

��)

�!*-����"

*!�-����"

�!�-����"

<�

<�

*

��$ ��

� �>�������0���� "�� ������������>��� ���$����1�#����#�������� �3 )�)�- ��

� ���������� ��0�-��-���� ��� +���$�0� � � � � � �����3 ))- CC�C !�"����

� � � ���

���

������$����

���� >����

3 3

333

��

���C�

�&

&�)) AA �

(��

� � � � � � � ��

������������$�� ������

����>3

�<3

�<3 �

*

*

���

�������C AAA

�&

&�)) !�

����� � � � ���

���>3>���

���

��C- ��

Page 165: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� 3+/

,�� � � >�� �����0���� "�� ��� ���������>��� � (�� 0�0����#�� "���� $����1�#�� �#�������� ) �

���0�# � � ��!�, ��

� ��������$�0� � �� �

��

3 �

��

@��

��$ !������

� �� �

A&�

&�

��

@��C ����

���

��

3��

�"�>�8�01��������$����1�# � ����

� ��

� ��1 ���0�

� � �

��

��

3 ��

�&

&�

��

�@

�C A�

���

������� !�

��������� @�A�&

&�

��

����

��

�$�0� � � � � ��

��

����C��

��

*

��

�* � ����� � � � �) �� ���#�2� �1 ���0�

� � ��� ���) � !� � � �,

, � ���) � !� � � �� ��)# ������

��1��� ����( $��� � �� ������ �� " � ���� ��������� ��� ������� ��� " � ��

�������� ���� �� ������������ ���� ����� ���� � � �

�** ��� �"�"

��

�0� $ &"�� � � ��� � ����� "�� ��� ��� ��-���� ��� �� "���� $����1�#�� �#�������� -"��0����>��"�� "�� ���>�����������>��� ����&"#���"#�����-�����>���������7�

#�������&����0���������"� ������� ����������) �� � �� $��� � �� ������ �

�����" �� $��� � ����������� �C ��#�� � 3� ��� �� � �3 �� � ������ ������ �� ����������

� ���" !�������

� � � � � �A�

��

&�C

�@

���

����

����

���

�"�"�3

�� �3

#�0 �� <���<<���

���� �� <���<<������ ��� ������ ����� 3� !� �� � �3 �� � �!���� �" ����� �������� ��C����"���0��>��� ���$�&��Q4R������ ��0"#�������$��>�"���>�����"����"�"("��� 7��������� &�� �����������"��� � �� ������ � ���� �������� �� �� ��� ��

$��� � �� ����������� ��G�� �-���&�� � � ) � ���� ���>������ ��� ��-���� ��� ���� ��0"#�� ��� ��$��>�"��� ��&"#� �

"�0 �����#�����>���� �7��

Page 166: Trandafir Matematici Pentru Economisti

3++�

3�� ��� ���� ��� � ����� � � & � �� � ����!�� $��������� # �� ���������!� � !�$��# � �� ��� � � �� ���

� � � ���

�����

��

��#��'

�'���

��'

#�3

�3

#�0#�0 � <���</���

��� ���������� � �!����� �� #��� ��(� ��� ���� �� ������ ������ � � � �� �!����� ��� ���!�� � � � !� ������� ���� �� �

� ����� � ��� ����� ���� �& � �� �!������������ "� ������ �!� � !� �� ������� ��

� � � ���

��

� ��

��� #� ��#

�3

�� <���<+���

�/������3�� Q<R� � � >�� �����0���� "�� ��� ��� ��-���� ��� ����>-"�& ������ "�� ���� ���������>�����

� � �

��

��

� ��� ���������0"#�������$��>�"���>��>�����

� � � � � �

��

��

��

��

��

��

��

���

��

��

��

*

>��3

��>3�3>��

�3

3�33

�3

*

�� ��#

�� ��

�#��

��#

�� ��

�����

&#&

��

���#��#

����$%��� B�� ��-���� �"� # � (�� ����2�%��� -���� - � �� �1 ���0�

� � ��

��

��

�� �� �#�

##&

>��3

� (�� ���#�2� � � ��

��

��

���� �� �#�#&

>��3

� ��� "����

��&"#� ���"� ����� ���� ��# � � � � �#&##& ���� ��

����2�%����$�0� � � �

�#

� #&�

� !����"����

� � 3�

��� �#&# �

���

���

�����

Page 167: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� 3+5

��%���>��0��� � ���

��

���

�# #

!����� � � *��& ���&"#� � *3 � !���������

� � 3�& ���&"#� ��

3� !������

� � ���

# �

�� #& �

3��

��� � � >�� �����0���� ���>������� ��� ��-���� ��� �� $����1�#��� �#�������� �� � ���� "�� ���

���������>��� ��>��� � � � � �� ��� ��������$�0���� ��0����>���� ������

� �

� � ��

����

��

��

���

��

��

��

��

��

���

**

*

*

��>3

�3

�3

�3

�#�� ��

�� �� �� #�

���#��#�

��#���#���#�

����2�%���-����- � ���1 ���0� � � � ��33

##�

� !� #�� ��

�<�,�������� ��������������������������

�<�,�3��&������ ������������������

G�� 0"#��� �-#��� ��� -�������� �#�� �������� -��1�1�#�� �#��� B��%#��0� ��&"��� B�� ����� "���;-���0����>�"�0���0"#����;-���0��������#��2��>����-�� ����"���"0 ��������!� ������������#���"�%���#�����#�&�����>�"�#�������#�&�����"�"����"0����$���0�������������������>��& ��>����"0 �"#�������#�& ����#���$���0���"#"�� B������>���������;-���0������);-���0����#��-��� ��� ���"����B�����#��(������� ���>�"�B������� ����� ��������

<�,�3�3�������0��-�����"#�� ����;-���0����#�����-�������� ����>���� 0�"�0 �������-��1#�0 7� �� � ������ ��� � �� �� ���� ���� ������

�� � ��� ����!�!������ �� ������ ����� ������ ��� ��� � �� � ��) � � � ���� ���!�!������ ������ ���� � �� �������� ����� ������

��� % ��$���0���"#�K��" �������#������� ��"�������2� ����L�(�� ��� �% � ,!�!3� ��

�$���0����#��K ��"#� � �������>� ����L��G�����>�������� ��� % �>��>�����

� � � � � �,��3,

��3

�,�3 %%%%%%%%%% �������� �

��#�� ����� � $�������� >"��� ����0-���1�#�!� ���� �$���0����#�� ����� #�� ��0-"�� >"�������-�����������&"#� �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �,��3,

��3

�,�3 %�%�%�%�%�%�%�%�%�%� �

Page 168: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�3+6

���"���� � � � ��, 3� % � � � ��

��� ��0����� � ���#�2 � >�� ��&�#$ � "�0 ������� -��1#�0 �0��� 2�����# 7� � ���� � � #� ��� �� ��� � �� �� " $� �� ��� ��� � �� � ��� �� % � � ���� � ����� �����!�!������ �� � � �� �� � � ���� �� �� ���!�!������ �� �* �3 �� ) � � � ����

���!�!������ ���$�� � �� � #� ��� �� � ��� ���� % � � � ���� � #���� � ��������� �+ ��$���0���"#�K % �>�����#�&��& ��;������� � �����B����#�� � ��;-���0����L�(��

�% ��$���0����#�7�K % �>������#�&��� B���;-���0���"#�������2� � L!� �� !���!�!3 ����������

$������ � ��� ���#�&���� �� #"�� �+ � >�� ��0-"������� � � �-��� ��� �� �$���0���"#"�� % � (�� ����

�� � ������#�& ����#��#"�� % � ����� �� � ����#�& ����#��#"�� �% �!������

� �� �

� ������

���

����

%%%%

%%%%%

%%%%%+

��������

��������

�������

������������

������

������

3��

3

���3�

�3

��3�3

��

� <�,�3���

"0 �"#� ��� 0������� B�� ����� -"��0� �#�2�� ���� ��#�� � � �;-���0����!� � �

�;-���0����� B�� ����� >�� ���#�&��& � % � �>��� ��� �� ������ $�������#�� >"��� ����0-���1�#�!�

�;-���0����#��>"�������-�������!������� � ��� ���� ��

�����

00! -���-

���

������� **�+� �� �

���������

��� *��� �! �� <�,�����

C��1�1�#�� �#�� ��� ! ��"� ��0�����0���#���������&$�#������1���0"#"�� � ��*� ��

��������>� ���"& ��%0-"#�����$���0�������������>� �>�8�0 �-��1�1�#�&����"- ���2"#�� <�,�����>���"0�(����"��� �������� �>����#���� ��$���0����#���#�0��������#���%0-"#"���>������ �;-���0���"#"�� -��� �� ���>�������� ��� �#�0����� �#�� -���">"#"�� �����&����

����� ���� �������>� �>�8�0 �-��1�1�#�>��� ��� �>���������� �B��0������>�1������S������"##�!����

������>��0����"0�(���(�������������'���������� � ��#�"# 0� $�#������ 0����� (�� ��>-��>��� "���� $����1�#�� �#�������� ��-����&�� �

1���0���#���$�0�

� � �

���

,

,�,,� *�,�-

3

C����"�����#�"#������>� �>"0 �$�0�-#�������#���2�#�������

� � �

��

,

,�,,,�

� *���*��*

-�������������$ 0�B����-�����"� � !�

� � �

��� �

,

,�,,,�

� *��,�*����3

33�� N��

Page 169: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� 3+4

��������-����"� 3� � ��%���>��0��� � 3 *� ��1 ���0�

3

�, , � ,�

,

,� � * ���

� ��

��&"#� �� � ��- � �� <�,�,���

C����"� �� ��#�"#�� ��>-��>��� $�� ���1"�� > � ��#�"# 0� 0�0���"#� ��� �����"#� ���� ��$����1�#����#��������� !�

� � �

���

,

,�,,� *��,-

3

�� ��

���� N��-����B�0"# �����"� � ��1 ���0�

� � �

�� �

,

,�,,,�

� *��,�*�����3

3�

�2�#���������������$�� �B����-�����"� � ����� �

� � � � � � �

���� ��

,

,�,,,�

�� *���,*������*����3

3���3 3 �

��������-����"� 3� �(�� 3 *� ��1 ���0�

� � � � �� 3 �����- �� ����&"#� �

� � � � � �� � ��*--� ���� ��� �� <�,�<���

9����"���� ��-���� ��� �>���$�#������$����1�#��� �#������������0��� ������� ��9���� B����&"#�#�2���1���0��#���>�����$�#�����B�����2 ��"-���> �B����� *�� � �(���� * ��

����;�0-#"�-����"� 4� �(�� <!*� ��$�0���" �$�#����0���#��, �(�� < ����/�����

3�� ����-����������"� �� ��2�# �1�;��& � 3� ��"���!�-��1�1�#������������������������� > �

�%(��2�����"�� ��>����3

��� �>����#�"#�&��$�#������0����!���>-��>���(���1�������0�����

- ������ ���$����1�#����#���������������-��&��� ��"0 �"#�����"�����%(��2�������"�"#�����-����������

� ������� �����1�#�� �#�������� � � ���� ��-���� ��� 1���0��# � � �3�

3� �3���

���� ,�,� !�

3�!���!3, ���$�0� � � +�- !� � � ,� �� !� � � ,�� ��

��� ��"�� � ��� ���� ,* �1�#�� �#1�� (�� 3* �1�#����2������� ��� �** ���� �;���� ��� ����"�� �-"�%����"- � ��������;���� ���1�#��B��-���B��"�� ������������0��2������ ������ �-����"�-��1�1�#������� ��� �"0 �"#� ��� �-��� ��� �� 1�#��� �#1�� B�� ��#�� �** � ��� �;���� ��� > � ����"-���>�B�����3** �(��3�* ��

� ���������� ���� 0�-���� � �$����1�#���#���������������-��&��� ��"0 �"#�����-��� ����#��

1�#��� �#1�!� � � ���� ��-���� ��� 1���0��# �� �$�0� -��1�1�#������� ��� � � � � B������ �;���� ��� > �

Page 170: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�35*

�1 ���0� �� 1�# � �#1 �<,

� !� �����<3

* �� � � 3/*�- !� � � � /!,5� �� �� ��� �-#�� �

���2�#�������#"����1B(�$!�(��>���1 ����

� � � � +�/!*3**

/!,533*3**3�*3** � !��!�! �� ��

,�� ��� ������#"#� ��� ��#������ �>��� ������#��� "�� #��� ��� -��>��� C��1�1�#������� ��� #"%��� #��B��%0-#������-��> �����#���> � ����� ��� ��>��� **/!* ���"���������#����3** �-��>������#��!������>"���#"����-���%���(����-">�� �������B��-���B��#����"- ������ �>��������#�� ����������

��� C��1�1�#����������B�������#��3** �-��>��������#����> ��$�0���#�0"#��-���"�-��>���� ������

1�� ��#�0���-��1�1�#��"0 �����-��>��1"����� ���������

��� � � � ���

<

*

3**3**

<

*!3** 44/!***/!*

,

,,,

,, ��� �

1�� � � � �44!***/!***/!*3** �� �

<�� ���2�"-���� <* ��#�$���"���& �"���"�>����, ����0�>�����������0��������"�"���;�0���#������� #��>��-"��� ��� �"����%����� B����1��������0������� ��� �"�� ���0�>��"��@��0�� � / ��#�$�� �"��>�� B�� B����2�0�� 0������� -����� !� 3* � �#�$�� �"��>�� X4* � ���� 0�������-����� �B�� ����������0�>��"!�33��#�$���"��>���%��� X6* �����0������!� 5 ��#�$�� X+* !�/ ��#�$���%��� X/* �(�������#�$���"��"��>����0�������0�������-����� ������;�0���"���#�$�� >-"����1����#��-��0�#����" �B����1 ���(�� �#>�#�����������������>���-��1�1�#�����������#� > � ���"�"#���������#�$���������"��>�7� B�����2��0������!� X4* !� X6* !� X+* !�

X/* !� X* �����B�����2��0��������� ������� ��� �$���0����#�� �3% ������ �#�$�� �"��>�� B�����2�� 0������.� 3*� �% � �#�$��

�"��>�� X4* �����0������.� 33, �% ��#�$���"��>�� 6* �����0������.� 5< �% ��#�$���"��>��

X+* .� // �% ��#�$���"��>���%��� X/* �����0�������(�� �+ �% ��#�$���"��"��>����0�������

0������� -����� �� �$�0� � �/3

3 %� !� � �<3

� %� !� � �<*33

, %� !� � �<*5

< %� !�

� �63

/ %� !� � ��*3

+ %� ��

��� �$���0���"#� �. � "�� �#�$� � >-"����1���� #����" � B����1 ��� (�� �#>� #�� �� �������

�$�0� � � *3 %.� !� � �3*3

3*4

��,� �

��

��� �%.� !� � �

3*�

3*6

��,, �

��

��� �%.� !�

� �3*<

3*+

��,< �

��

��� �%.� !�� � �

3*/

3*/

��,/ �

��

��� �%.� !� � � *+ %.� ��

��0����B��������"������" �������#��0����"��>�"���2�����#�& ����#��>�8�0���1���0���#���

Page 171: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� 353

�<�,�3��������0��2�����# ����;-���0����#�����-�����

�C��>"-"��0� � � >�� ��� � � �;-���0����� ����-�������!� B�� ������� ���� �#�� "��

�$���0���� % �>��-��������#�&���"�-��1�1�#������� �� !� �� !���!�!3 �(���"�>�����#�&��& ��"�

-��1�1�#������� �� �* �3 �� � � >�� �����0���� -��1�1�#������� ��� B�� ��#�� � � �;-���0�����

�$���0���"#� % �> �>��-���"� ��;�������� �������"����� ��#�� �"���#��>�8�0��1���0���# ��$�0� <�,�3��!����"����

������������ ��***�*��***���� ������������������ 3�33,�33�3! ��� ��

����>� �-��1�1�#�������>����2�# ��"�>"0���"�"����-���">�#���-�>�1�#��B������� � ����� ����� ����!��"���������� ��� �!�����* ���� �� � ����!��"���������� ��� ���

�1>��$%���� �� ���"%���-���">"#���� �1����0�� � ��� *�� !� �� !���!�!3 �>��

�1 ����

� � � �"

��

���� *���

3

� <�,�/���

"���� � � �>��� "�� -���0���"� ��������� (�� ��"���� ��� ! � �>��� ��� ������"#� #"�� �� � ���� ���>��

-���">������>� � "�� ���>���"0�(������ ������������������ � ���� ���� ��� ! ���$�0�

� � �"

���

��� ��*��

*!

3

� <�,�+���

�"� 3*

! �

���� ��

)>����$������� ������0��-�����"#�� ����;-���0����#�����-��������&"#� ����������0��2�����# �-����"� ��� � ���3 �(�� *** � ���3 ��G�����>����&� "�� ���2�����������

��$���� � � � ��� *��� � �>�"�

� � �

��

������

� �*��*��*

!�

���"���� ��0"#�� <�,������G�� "��#�� �;-���0����� -�������� >�� ����� -��1�1�#������� ��� ���#�&���� ��

�$���0���"#"�� % ������#�-" ��� � �����B����#�� � ��;-���0��������%����"� �� ����>��

�$���0�����$�0� ���� +++� ��� ���3 !����"����

� � ������� ����� !!3! ��� �

>�"�

� � �

�,�,� ��� ! �� <�,�5���

��8�0��-��1�1�#�>��� ���>���> �>���"0�(��������������!������

Page 172: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�35�

�/�����3�� ��� "�� ����"�>� ���0���0���� !� , � ������� �� -��0�>�� �%��� "�� -#��� ����� ��� ���� � �

,#� ��1�#�����"�-��1#�0������#2�1� �(��2��0���������#�������-#��"������ �����>-����$��%��� ,!�!3 �>"1����������#2�1� ��������;�0��� �!����������������� ���;���2� ��������%���"�� 1�#��� ���� -#���� );���2����� �%��"�>�� #�� B��%0-#���!� > � >�� � #�� -��1�1�#�������"�0 �����#����$���0����7�

��� ������������ ��> � ����;�0��� ��#��2��0�������1�� ����"�����������> ��"� ����;�0�����#��2��0���������� ��#�-" ���"�����������> � ����;�0�����#���#2�1� �� ��9�!����-��H"�� ��� !�345*��

� �����������-#�� �>�8�0��#"��C��>>�����$�0�

� �

� � � � � �� �� �

,

, � �,

3 3 � � , ,

3+ 33 36 + �� 36 3 � ,

� � �� � � �� � � � � �

� � � � � � � � ��

� � � �� �� �� � � �� �� �� �� �� �

� � � � � � � ��

��� ���0��"#�#�1�������-�#���0"#� � ��,� �$�� ��� �� �� �

,,!*

,�3�

����

��� ��

1�� ��� ������"#�#"�� ,� ����� � ��,� ��>��� ,,!,

+�

� ��

��� ,!*3 �� � ��

��� Q33R� ��� �-����� >�� ��0-"��� ���� / � �#�0����7� ��1�#������� -��1�1�#������� ��� "�� ������� � � �� �� �"��� B����"�� �����$�#� ��� ��0-�� �#�0����#��� �>��7� 4!*3 � .�

4/!*� � .� 6!*, � .� 6/!*< � .� 43!*/ � ����� � ����� "�"#� ���� �#�0����� �"�

�>���B��-�� !�-��1�1�#���������� "�� ����������-����"#"�� � ��� �� �"����>����2�# ��"�3.���� �"�"#�������#���������#�0������>��� B��-�� !�����>� �-��1�1�#�������>��� 5!* !� ������� � ��" � �#�0����� >"��� B�� -�� !� �-����"#� �"� -����� "�� ������ � � >�� �����0����-��1�1�#�����������-����"#�> �-��� �� ���"��0"����-����"�������>�����>�������

� ����������0�"�0 �����#�� �-���&�� �3% �����"���#�0�����"��>���B��-�� .� ��% "��

�#�0�����>���B��-�� ��C��1�1�#�� �#��#���$��� �� � � /!*3 �%� .�� � � /!3� �%� ���"0�

� � � �� �� �� �� �����+<!*/,*!*

43!**4!*6/!*3/!*6!*�!*4/!**/!*4!*3!*/

�#�����

���"���� � � /,*!*3 %� !� � � ,+<!*� %� ��

��%����"� % ��$���0���"#�K�-����"#�� ���"��& �0"����-����"�������>�����>�����L� ��0"#��-��1�1�#�� �������#������ � � � 56<!*5!*,+<!*3/,*!* ��%� ������

Page 173: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� 35,

<�,�3�,���-���� ���C��>>������-���0���"�$��� � -��>"-"��0� � � B�� ��-���� ��� 1���0���# � <�,����� #" 0� $�� � ���>������� � �

�����0�� 0�B�����>����&�$�#���#��-��1�1�#�� �#���-����"� ��� ���1 ���0�

� � � � $��

����

$

���

����

��� $�

$�

��

,�,�,���

�,,�,

,��,

� [3

[3���3

#�0#�0 ! ��

��%��� �,�

, �� �#�0��

!��$�0�

$�$

,�

,

, [� <�,�6���

(�� 3[**

$

$$��

$��

��

, �

,

,

,, !� ����� -��1�1�#�� �#�� �� ������ -���� <�,�6��� >"���

���0�����"������-���� ������1��� ���� � ����� �� � � ������ ���� ���!�!���� �� � <�,�6��� � ��� ��

������� ���!�����������������$ "���������!����� ����� �

��

��

�$$$� $�$�$�$� ��

��

,

,,

[[�[3

�3*7 � �

� ��� �� ����� �� ����������!������� ���#�"# 0�$�#������0�����(����>-��>���$����1�#����#��������� ���$�0�

� � � � $�$�$

$$

� $$��

�$�

$� �� ,

,

,-,

,

,

,

3

3

* [3[�

������ � $�- �� <�,�4��

� ����>�0����!�

� � � �

� �

� �

� � �

* *

3 *

�� �

[ [

3[ [

� [

, ,

, ,

, ,

, ,

,

,

- , , , , , ,

, , , , ,

,

� �

� �

� ��

� �

�� � � �

� �� �

� �� �

���

� �

� �

������ � $��� �� <�,�3*���

9�����>�����$�#�����B�����2 ��"-���> �B����� 3�� �(��� ��

Page 174: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�35<

���� ������� ��#�� 0��� �0-�������� -��-���� �� �� ��-���� ���� C��>>��� �>��� ������ � �$�#������0�����(����>-��>���$����1�#����#�������� � �>"����2�#���G��-������ ���� �0�����(����>-��>��� ��#�"#�� � -�� 1�&�� ����#��� �1>��$���� >"��� �2�#�� >�"� ������ �-��-����!� -"��0����>������� ���-���� ����������� ���$����1�#���>�"�������>��������-�C��>>����

��-���� ��� C��>>��� �>��� ���"0�� � ������ ������������� ����!� ������� � -��-���� ���>�#�� ��� �� �-��;�0���� ��-���� ��� 1���0��# � �%����"0 �"#� �;-���0����#��� � � �>��� ������0��������-��1�1�#�����������-��� ������$���0���"#"�����>��������>��� ������0�� ��

�/���������0�(�� � �1��� � "�� �"0 ��0���� ��� -��>�� ������� ����� "��#�� >"����� ��������� ����1>��$� ���-�� 3**� �����(����������� <*� �-��>�!� ��������#�>��#��B��%0-#������1 ���0�"�0 ��������>���1" �����-��>�#����� ����7�

����-��>���� �����

�# �

����(������� �� �

* � �6 �3� <* �� � �3�, � 5 �< � , �/ � 3�

-�>���+ � * �����#� 3** �

� �%��� �-���&�� � � -��-�� ��� -��>�#��� �� ����� � 0%��� ���>���� !� �"0 �"#� . � �#�

-��>�#��� �� ����� B�� ������� �(������� �>��� �� $����1�# � �#�������� 1���0��# � ��� -���0���"�

<*� �(�� � �$�#��������"��>�"� ��9��������>�#�� ����>��� �!33**3�*

#�# �

��

�(��

-"��0��>��0�� *,!*<*�!3

�#

� ��

G�� ���>�� �;�0-#"� -"��0� �-��;�0�� #�2��� 1���0��# � �"� #�2��� C��>>��!� -��-�� ���-��>�#����� ����� �����>" ����������0�� ������ ����$"#� ��� �"���(��������>��� <*� ��

��0-��� ��� B����� ���$�� �#�� �1>��$���� (�� -��1�1�#�� �#�� �H">����� -���� #�2���1���0��# �(��C��>>�����&"#� �������1�#"#7�

���������

Page 175: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� 35/

"0 ��-��>���� �����

���$�� ������1>��$� ���

C��1�1�#������#�2��

1���0��# �

C��1�1�#������#�2��

C��>>���* � �6!* � �4/5!* � ,*3�!* �

3� <*!* � ,+/6!* � ,+3<!* �

� � �3!* � ��*+!* � �3+4!* �

, � *5!* � *6+<!* � *6+5!* �

< � *,!* � *�<5!* � *�+*!* �

/ � *3!* � **//!* � **+�!* �

+ � * � **3*!* � **3�!* �

5 � * � ***3!* � ***�!* �

��-�>���6 � * � ***�!* � ***�!* �

����#� 3� ****!3 � ****!3 ��

<�,�3�<����8�0��-�#���0��# ��

�� "�� � ��� ���� 1�#�� ��� �"#���#�� ���� !���!! �3 � B�� -��-�� ��� �"��>�"��.� �����

�"���(��0� -��1�1�#������� �� � ��� �-��� ��� B������ �;���� ��!� �� "���� 1�#�� ��� �"#������ �� !�

�� !���!�!3 ����� ��� � ��;���� ������%�����1�# !��"������ ������#�� ��������;���� ���"����> �

��1 ������(����0-�&� ������� %% ��$���0���"#����B���;���� ��#��� ���"����> ��-�� � �% �1�#��

����"#������ �� !� �� !���!3 �!������ � ��%%% !���!3 ��C��1�1�#����������>�"���$���0�����>���

� � ��

����

%� %%%% %%% ���

[[���[[ �

�3

3�3

�� <�,�33���

����>� �-��1�1�#������>��0��������& ��"� � ���� %% !���!. 3 ��

);-���0���"#� ��>���>� B0-��"� � �"� �%0-"#� ��� �$���0����� �>�����!� -��1�1�#�&����"- ���2"#�� <�,�33���>���"0�(�������� ��������� ���%0-"#�-��1�1�#�&�����������>� �>�8�0 �>���"0�(����"�������������

�/������ Q�,R� ��� 0"������� -���"��� �"� -��1�1�#�� �#�� 4!* .� *5!* � (�� *,!* ���>-����$���-��> �1"� !���-��> ��"�"���� ������0����1�#�(��"����1"���9"������"#���-���">������-��>���������>���-��1�1�#����������B�������#�������-��>��> � �����#�-" �����-��> �1"� �(����#�-" ���"����1"�P�� �������C����"���#�"#��������>����-��1�1�#�� ���-#�� 0�>�8�0��-�#���0��# �(����"0��

� � � � � �

� � � �

� � � � *6++5!**,!**5!*4!*[�[*[3

[,

*,!**5!*4!*[3[*[�

[,*,!**5!*4!*

[3[3[3[,

�!*!3.,3!*!�.,3!3!3.,

�*

*�

���

������

����

Page 176: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�35+

<�,�3�/����8�0��1�#�������$�������

������>���� ���"�� ��"�"�0 �������>��"��"� 7� 3� �1�#������"#������ 3� .� �� �1�#�����

�"#������ �� .� ���.� �� �1�#������"#������ �� ����� ��� � ��;���� ��� � �����-"���1�#���;���> �

B��-��� B�� "�� � �;-����� �� �>��� ��8�$�#��� � �"� �;���2����� �� � � 1�#�� ������ ��� ��� %% �

�$���0���"#� �#������K�-��� ������;���� ,% !� �, !���!3 ��1�#������"#������ ,� � B��2�"-"#�

��#��� � �1�#���;���>��"���� � ��%%% !���!3 !� ,, �&%&* !� ��

,, %�

3

���$�0�"���%0-�

����$���0�����-�������B#�$�0�-��1�1�#�&���"- ��� ��� ����#�>�� ���-��1�1�#�� ����"0 �"#� ��&"��#��� �2�#� -�>�1�#�� ��� ���#�&���� �� �$���0���"#"�� %% � �>��� ���� ���

���� ���3� ������ -�>�1�#�� �#�� ��� �;���� ��� �� � � 1�#�� ���� ����#"#� ��� 1�#�� � #���� B�� "�� ���

"0 �"#���&"��#��� �$���1�#�����#�& ����#"�� %% ��>���������� ����� ��� %%% ����

�33

�������

� � � � �

���

�����

� �

�����%�

%%%

% %%���3

��

33

3

���!���!. �� <�,�3����

);-���0���"#� ��>���>� B0-��"� � �"� �%0-"#� ��� �$���0����� �>�����!� -��1�1�#�&����"- ���2"#����� !�>���"0�(�������� �������������� >�"������� ����������������

�/�����3�� ��"�� ���� ���� ,* �1�#�������������� 3* �1�#���#1�!� 6 ���2��!� 5 ���(���(�� / �$��&������

�;���2� / �1�#������"�� � � ��� ��-"���1�#���;���> � B��-������������-��1�1�#����������B�������#��/ �1�#���;���>��> ��$�07�

��� �����1�#���#1�!���1�# ���(���(��"���$������1�� ��1�# ��#1 !���" ���2���(����" ���(����

� �����������-#�� �>�8�0��1�#�������$��������$�0�

��� � � /,*

3/

35

*6

,3*3!3!*!,./

�����

� .�1�� � � /,*

*/

�5

�6

33**!�!�!3./

�����

� ��

��� C����"� ������#"#� ��� ��#������ �#� "�"�� #��� ��� � � -��>�� >�� �;���2� ������ � � � -��>�� �� ! ���@������� �B��#����$�0� � �-��>����1"��(�� ! �-��>��1"��� �!� ��> �>��>����� ��1#�"#� ��� ��>���1" ��� �� $����1�#��� �#�������� ����� ��-��&��� � �"0 �"#� ��� -��>����1"�� ������� ��#�� � � �;���>��� � � >�� ��#�"#�&�� $�#������ 0����� (�� ��>-��>��� ���>����$����1�#���

� ������������1�#���#��������� �-�����#"��$�#���#�� �!���!3!* ��"�-��1�1�#�� �#��

� � ��

,�!

,�

���

,��

� !� �, !���!3!* ������

���

���

�� �

��

,�!

,�

���,

7 !� �, !���!3!* ��

Page 177: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� 355

�$�0�

� � ��

���

� ��

,

,�!

,��

,

,�!

,��

����

�,��

-3

33

3

3!�

����

33

33

3

*

33

3

33

��

��

���

��� �� �

��

!�

,

,�!

,�

,

,�!

,� ������ �

(��

� � ���

��

�- ��

�� ���33 �� <�,�3,���

�� 0���

� !��!

* ������ � � ��- � ��

����>�0����!� � � � �� � � ������ --- 3� !�����

� �� �� � � �

� � � � ��

��

��

33

333

��

��

���

��

����� ��

��

�!�

,

,��

,�

,

,�!

,��

������

������,,-� �

���"����

� � � � � � � �� ���������

��

���

���

�- ���

��

�� 333

33� ��

��>-��>���$�� ��

� �33�

��

��

���

����*

���

���!

� �� <�,�3<���

�<�,����&������ ������������������

G����#�����"�0��& ����$�0��� ����#����-���� ��#��"����0��>����#�������-�������""�����' (�!!)� �"�� �* �%0-����-��1�1�#�����!� �0"# �0���$����1�#�#����#��������

�� ������-�� � � (�� �0"# �0��� "�� ��#������ ��-���� ������0�-��>"-"���� �-����"�������

�& ��;�>� �$����1�#���#�������� �� ���� ���� "�� ��������-���� ����>��� & ���

<�,���3����-���� ���������>������"�� ��0 ��G��0"#���-��1#�0��>�� B��%#��>��$����1�#���#��������������"���#��� ����$�#���� >"���

B����"����"0��������$�#�(���>� �#�� �������$�#���#��>"�����8�-��1�1�#�� �"������(�����>���������-��1�1�#��������

����;�0-#"!�#���%�� ������"�"���1������"���1�#�� ����-����&���(������>-"�%������2��"� �� 0��� 0���� ��� "�� 2��0!� ��&"#���"#� �%�� ������ ���� � � � 2��"������ �1����"#"�� �>���

�"-���> � B����� , � (�� 3, � 2��0����-"��0�� �2��"�������1����"#"�� �>����3

, � 2��0���

Page 178: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�356

��0���0� � � �������� ��0�> � � � �>��� �� $����1�# � �#�������� ��-����&�� � �"� �� ���>������

"�� ��0 �B�������$�#"#� ���

����

�3

!�3

��

��1��� ���� ) ��� �� ��� ��� ��� ������� ��� ����� � � �!�! !� ���� �� � � ����� � �� � �� ������ � ���!�!������ �� �

� � � �

� �+,

+-

.

/

��

!�#

!�#�!#�

!-����"

!-����"

*

3�� <�,�3/���

"�� ������ ��-���� ���"�� ��0 �$�� ����� ����������"-���> � B�����2�� ��"#��"�1���� �#�/ �(���;���# ������>��� # �#��>�%�2��#"�� # �������

� �

-����"*

-����"

3 -����"

# �

# �& # � # !

! �

! #

!.+ �+ & !- �++ &,

� <�,�3+���

����2�� ��"#�����>�����#����� �2"���<�,�3��

��2"���<�,�3��

��1��� ���� 0����!��� �� ����� � � � � ��� �� ����� � � � �!�! � ��� ��

� ����� � ������� � �� �!�! ��

������"&��>�0�������#�2���"�� ��0�!�0�������#"��� ��>����2�# ��"��

!� ���$�0�

� ��

3 �!#�#

�!-

!

�� � !�

� � � �3��

3 ��� �!

�#!�

#�!

�!

��

��

���

��

� � ��

Page 179: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� 354

������"&��>�0������!���� ������"#�����>�0�������>����"#��

� � � �� �33 33

��

� ,�!�!

�##�!

-,,!

,, !�

� � � �6*�

3 <<

<

�!�#

!�#

�!

!

��

��

���

��

�0 � !�

�����;��>"#�$�� ��� �� � �!3,�

< ���0�0

��

� � ��#�"# 0� ��"0� -��1�1�#������� � �1!�!%� !� "���� $����1�#�� �#�������� � �

�>��� ��-����&�� � "�� ��0� B�� � �!�! � (�� � � � �!�!! 21% �� ���� -"���� ��� $������ 2��0����������>� �-��1�1�#�������>����2�# ��"������8�("��� ����� �2"���<�,����)>����$������� �

� ��!

��%�1

1!�!% � <�,�35���

���� �-��1�1�#����������"� ��>����2�# ��"���-���"#��������#"�2�0�#����#�����" ������$�#���

��2"���<�,����

��������/������

3�� ���0 >��� ����0���"#�"�"�������(��>���1 �����$��>����&"#����������>"��������-����������$�#�����#��"����$����1�#���#��������� ��� �>�������0������-���� �������������"#"��(������� �

� ���������-���� ���"�� ��0 �B�������$�#"#�� �!�! ����#"�2�0��3��� ��������$�0�

� �,-.

#&&!

� !#�#

!#�#�

!-����"

-����"

*

3��

�������������"#"��<

���) ���&"#� �

��

)� ������-����"� !� !!* !�

Page 180: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�36*

� �

++++

,

++++

-

.

!�

�!&

�!

���

����

��

#!

!#�

�#

##&#&)

��

<-����"

<<-����"

<-����"

3

*

� �

��� ��� � � � (�� 3 � >"��� ��" � $����1�#�� �#�������� ����-�������� ��-����&���� "�� ��0� B��

� �3!* ��� �>�������0�������>������������-���� �����$����1�#����#��������3�

4 ��

� ��������

� � � � � �� �,

-.

/�

3� 3!*-����"

3!*-����"

*

3

#

##�#� !�

� � � � � � � � � �3 3 3

�* * *

3� # � � � � �# �� �� �# �� �� � ��

#� � � � � � � � �

���"����

� �

++,

++-

.

#

&!4

3-����"

3*-����"

�3

�3

� #

#

#

#� ��

,�� ��� � ��� !���!3 � >"��� � � $����1�#�� ����-�������� "�� ��0�� -�� � �3!* � > � >�� ������ � �

$����1�#���#�������� � � �

�4�

,,�

3

��������>������������-���� ���

� �� � � � � �

++,

++-

.

!

&&&&

!

�4

#�

�,#,

#

#1�

#� ,��

-����"

3*-����"

*-����"

*

[33

*

! !�

"����

� � � � � � � � 3333! 3���3 ��� ���� �,

�,�

��

,� ,#�#�##1 �

� ���������0��� �����-�������"��� ��>"-���#"��� ��C����"� � � �3� ��4 !�

� �� � � � � � � ����

��4 �

#

#

�����#���#�#�3

� �

�����

Page 181: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� 363

� �� � � �++,

++-

.

#&&!&

!

��4

�-����"

�3-����"

3*-����"

*-����"

*

3�

*

#

#

#

#

##

##� �

C����"� � ��4 �>���1>��$ �� � � �#�4 ��>����"# �B��� ����>�20���"#"�� � ��!* !�����-��

���>��>�20����

� �� � � �� ���

�44 #

#

�� ����#�3

3 ��

�<�,��������2������0�# �

���2��������-���� ������0�# ��>�����#�2��#�0�� �B��%#��� � ���$����B���-#��� ���-������������ -����� �� ��� � � >"0�� "�"�� �"0 �� >" ������� ��� 0���� ��� $����1�#�� �#��������

����-��������"�0%�����#�2����������!�-����"�>" ����������-" ������>���� ��!�������� ������#�2�����0�# ��

��1��� ����) ��� �� ��� ������������� �������� ����� ����� � ��!. *�5 � ����� ��� � ����� � � ����� ����� ������ �� ���!�!������ �

� �� �

���

3!. *

��

�**

�#

�#� � <�,�36���

� ���� �* �������������� "����� ������������������ �����

E�� ��"#����>�� ��� � ��!. *�#� ��>�����#����� �2"���<�,�,��

��2"���<�,�,��

�"�� ��������-���� ����>���

� � � �� �

����

*

��

�� �***5

# ��#

�� ������#��

��

3!.!. � <�,�34���

Page 182: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�36�

���0�>�8�01��������$����1�# � ���

*�

�(��>���1 ����

� � ���

���

*�

5�

*5 �*�

��

�3!*.

3!. �

� �#�� �#

�#�

� <�,��*���

����2��#�� <�,��*��� �"� -����� �� �;-��0�� � -���� "�� ��� �#�0������!� ���� -����� ����#�"#�� ��"��H"���"#� "�� ��#���>-����#���C����"��>� �#���� "�� ��!���>�B��%#�����B��-������ !��>��"� B����0��� ��1�#��� ���� <�,��*��� >�� $���� � � �>��� >" ������� > � �"���(��0� $�#���#���"0������ �#�� "�� ���� � �3!*.�5 � -����"� �� ���"��� $�#���#�� �"0������ �#�� "�� ����

� ��!. *�5 � ������0������

� � ���

�5

# �

�� # �

N

3��

�����1�#�� �#�������� � � >�� �"0�(��� ����� � � ��!*�� � ��� � ���� "�� ��� ���

��-���� ��� � ��!. *�5 � ��C����"�� �$�0���#�"#�����������>����#���"0�������>�� ��#�7�$�#������0����!���>-��>���(��0�0����#������������

C����"�

� � � �� �

���

��

*

���

�� �**� �## �#�##�-

�#��

3!. !�

�%���>�8�01��������$����1�# � ��#

*�

�!�>���1 ����

� � ����

��

��

��

��

��

�*

*�

� �� �

��� �� ��- ��� ��� ��

3��

����1>��$ �"(���� �-��0�� ����2��� � �>����"# !� ���� �����������"���>��� ����2��#����)"#���C��>>���

� ���

��

��

*

��� �� �� �� ��

��&"#� �� � �- � !� <�,��3���

�����-���0���"#�� ��>������0���$�#������0�������#"��� ������>�0����!�

� � � �� �

��

��

*

��

��*

� �# �#��#��

��

3��

Page 183: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� 36,

(��"������(��>�8�01�������$����1�# � ��#

*�

�!�>���1 ����

� � �

���

��

�*

�*

� ���

��

��

��

��

� �� � �� �� ��� �����

� ��

���"����� � �� *�� �� <�,������

��0"#�� <�,�36���������� �� ������"#������>-��>��� � ��>��������"#����>�0�������#���-���� ����� ��� � �# � � B(�� >�8�01 � >�0�"#!� �;-��>��� <�,�36��� � 0%��� ��>�8�01�� ����� � � �B(��>�8�01 �$�#�����!��"�1��������>������>����-#�>��& ������#"�2"#��;��� �# ;� � ���(��>�8�01�� ��0�� �2"���<�,�<�������� � ����������&��& �-�&� �����-���� ����-���;���# ��C���0���"#�* ����������&��& � ��0���"�1���������>����������������0�;�0 ����"�1����>�����$��>�-��-�� ����# ��"� * ��C����"� *� �(�� ,�3 *#*#* � �2"���<�,�/��������� �

��0���"�1���������>�������G�� 0"#��� �-#��� ��� -����"� ���������&����� ��>-��>���� #�2��� ���0�#�� >�� "��#�&��& �

0 >"������-����&���������>���0 ��0���

3

*2 � <�,��,���

��2"���<�,�<��

�9�0���"#������������������ , �$�� ��

� � � � � �� ��

�� �

3. !

# �, ,

,

,

, �

# � � # � �# # �

�� �� �

�� � �

�� ��

��

��

� �

� �

��

Page 184: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�36<

����2�%���-����- � ����$�0�

� ��

��

��

��

��

��

��

���

�*�

���

� ��

�*

0

�� �,

�� �,

�,

,

�,��

,

,

��

���3

�3

�3

�3�

���"����� � �

�3 �0*�0 ,, , �� <�,��<����

��2"���<�,�/��

���� ����>� � ��0"# � ��� ���"��� ��1 ���0� �� *0 !� <

< ,*0 !� ++ 3/*0 !�

A!� � � ,, , *�0 [[3 !�"����>���������-���� � �[[3�, �-���">"#��"�"�����"0���#����0-�������

#��3�#�� 3�, ��

�>�0�������>��� *,,

*0

�% !������;��>"#� *,<< �

*0

��

� � ��#�"# 0� B�� ������"���� -��1�1�#������� � � � � � ��&!&!�� �!�& � "����

� �#& ��>�����-���� ���#"��� �� ��%���>��0����� <�,�34����&"#� � �2"���<�,�+��

� � ���

���

*�

5����

���

*�

5!�&���!

!�� NN �� <�,��/���

�����

Page 185: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� 36/

����;�0-#"!��$�0�� � � � � � ,<3!*/***!*6<3,!**3 NN �65�5*!�& ��� �

� � � � � � 3,+!*3�� NN 65�5*!�&* ��� �

� � � � � � *3�!*�,,� NN 65�5*!�&* ��� �

� � � � � � **3!*,<<, NN 65�5*!�&* ��� �

"����$�#���#��#"�� � ��N5 �>"��������B����1�#"#����������;���

��2"���<�,�+��

��

����1>��$ �� �>"0����#��������$�#���7� ,<3!* .� 3,+!* .� *3�!* � �"���-����&������

*** :3 ���>����-��;�0���$��2�# ��"� /!* ������������� �� �-����"���-���� ������0�# ���

"���� $����1�#�� �#�������!� ��>-��>��� >�� #�0����& � #�� �����$�#"#� *7 ,� � ����� ���

-��0���� ��!� �� �� ����� � � (�� �* !� > � >�� -��� � ������� �����$�#"#� B�� ����� $����1�#���#�������� ��� ������ $�#���#�� -�>�1�#�� �"� �� -��1�1�#������ 0���� >�"� -������� ��� ������$�#���#��-�>�1�#�������>� �0���� �����>��0� ���>���"0�(���B��>����>��� �K#�2�����#��������>�20�L� $�&��(��-���2�� "#�<���������

G�� �-#��� ��!� ��-���� ��#�� 1���0��# � (�� C��>>��� >�� �>�0�#��& � "���� ��-���� ������0�#�� � �3!*� ���� �-����"� ��-���� ���1���0���# � /* � � (�� 36 �� � (�� >�� ������

$����1�# ��#��������$����1�#�����0�� ���*

���� /!*!��>�0-���������0�# � � �3!*� !�����

-����"� ��-���� ��� C��>>��!� ��� � 36 $ !� $����1�#�� �#�������� ����� B�� ���>�� ��&�

$$�� /!*

��

������

Page 186: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�36+

�/������3�� ���"�����#����>�� �1��� �1�#���"�"�����0���"���� 6!* ��0���� ����#����� �1���� ���

��"��� ������� �����0���"#"�� ��-����&�� ��"- ��� #�2�����0�# � *� � �"��$�0�������>�>��0�������(�� **3!** ��0�����������#�>"�������������1"�"���������1�#�#��

����� ����� -������"�� ���#� ��� ���0���"� ��� 546!* � �0� (�� ��#�� ����� �"� -��� ������

-������"�� ���#�������0���"���� 6*�!* ��0��� � >�������0����-��1�1�#������������1�# �#"�� �#��B��%0-#����> � ����� "&�� ��

� ������� ��� �$���0���"#� �% � 1�#�� �>��� �� "&�� ����"���� �3 %%% � � "���� 3% �

�>����$���0���"#��������>-"������&"#"���%������0���"#� 546!*!� !����� �% �-����"�

6*�!*#� ����0���#�"#��

� � � � � �**�!*6*�!*546!*� !�!! ������%� �

"���� 6!*�� ��>������0���"#����0�#���$�0�

� � � �� N N*!**�� 3 � � 3 � *!455� 3 *!4/<

*!**3� %

� � 5 � 5 � 6 � � 6� �

� �!�

������ � *<+!*4/<!*3 �6%� ��

��� /** �����-�����������-"#� % �(��3*** �����-�����������-"#� + ��"������(����>���� ���>"��� B�� >��$���"�� )#�� ���1"��� ��-������ �"- � �;-#������� �"� -��1�1�#�� �#�� ,!* �

��>-����$� <!* ����������> �>�������0���7���� -��1�1�#������� ��� �"0 �"#� ��� �-������ ��� ���1"��� ��-������ > � ��� �"-���>�

B����� �/* �(�� ,/* ��1�� �"0 �"#� ��� ��-��� ��� � !� ��� ���1"��� � ���"���� B�� ���#���� -����"� ���

-��1�1�#������� � ����"0 �"#"������-������B����-��� ���> � ��� 4*!* ��� ����������� ��� �$���0���"#� �% �-����"#� ���1"��� ��-������ "0 �"#� ��� �-��� ��� ��

�$���0���"#"�� % ��>�����$����1�# ��#����������-����&�� ����0�#��"�� � //*<!*3***,!*/** ���- �

� � ,</+!*<!*3***5!*,!*/**� ������ �

� � � � � �

3,</

/*�

/*,**,/*�/*,/*�/*

N ����

���5

!��!�!6&�& ���

1�� � � ���

��� �

5!�,</

,**4*!* N �

�� �� ���� ��1�#�� �$�0� � � 4*!*�5!3N 65 � �����

�5!3,</

,**

��!����"������&"#� � ,�,6� ��

Page 187: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� 365

- ������"����$����1�#���#����������-����&�� ����0�#!��>����"0 �"#��2�#��"�H"0 ���������#"�2�0���"�"�������$�#����-���;���1>��>�#���>�0������B����-�����"�-"���"#� � �(��������>��� 1�&�� �2"���� ��� ����� �2�# � �"� H"0 ����� ���� �����0 �2���� � ��� �;�� �# � (�� �"�1�������-���� ��� �2"���<�,�5����

��2"���<�,�5��

���� �� ��>�����$����1�# ��#����������-����&�� ����0�#!������� ��� �����&"#� �� �

� ��3

!�� -�� � <�,��+���

����!� ���� <�,��,��� ��%��� >��0�� ��� >�0������ ��0���"#"�� B�� ��-���� �"� �����"#� �����>-��>�����&"#� �

� ��3

3� N ����

���*

5!��

--�� � <�,��5���

���"����

5/!*N ���

���*

5 -�

����������1�#����&"#� �

+5<!**

-�>�"� * +5<!* - �� <�,��6���

����!��"��>�%���* !�-"��0������0�����0������$�#������0������������ � -����"� ���������&����� ��>-��>���� "��#�& 0� 0������!� ���>������� ���

-��1�1�#����������-���� �������0�#��>��>�����

� �� ��

�!.�#

-

�#��

8�

�8

* � <�,��4���

"���� �8* - ��

���

Page 188: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�366

<�,���,����-���� ���#�2���0�# ���-"��0� � � $����1�#�� �#�������� � � "�0��& � �� ��-���� ��� #�2���0�# � ��� �

���>�������>�����-��1�1�#�������>���

� �� �

��

�#�

3 *

��

�*

�#

#

#� !� *# # � <�,�,*���

�"� � �(�� �* �$�#������0����!���>-����$���>-��>���#�2����0"#"��#"�� � ��

��� � ���>���� 0� $����1�#�� �#�������� � ����*

3 #�3

!� ��� �>��� ��-����&�� �

� �3!*� ���$�0�

� � � �� �

���

*

���

�*�

*

��

�#�

* �

3�# �###�-

�#

��

��� �>�� ����>�8�01��������$����1�# � ��#

*�#�

���&"#� �

� � �

�*

��

- !� <�,�,3���

� � � �� � � � ���

����

� �**�

��� �3

���

*

�� �

�##�-#� �� <�,�,����

�0-����� �����>������-���� ������>� �B��"�0 �����#�7�3�� ��� � *# !� � � *#� !� ����� ��� �>��� ���$���1�#� B�� ��&"#� $����1�#��� �#��������

��0-.���-���� ������0�# ��"���������>� �-��-������������ ��� � ��� !���!3 � >"��� $����1�#�� �#�������� #�2���0�#�� ����-�������!� -���">"#�

��� ���3 � �>��� �� $����1�# � �#�������� #�2���0�# �� G�������$ �!� ��� � � �>���

#�2���0�# !���"������� � �>������0�# �(�����>����&"#�������"�2������-��-�����������������$��������$����1�#�#����#������������-���������

<�,���<����-���� ����;-���� ��# ���2���$ �

���1��� ���� )��� � � �����!��� �� ����� � � � ��� �� � ������� ���

������ ��� �������� ��� �� � ������ �� ���!�!������ 7�� � # #� $�$ !� *#$ !� �!& #* �� <�,�,,���

�$�0�

� �,-.

&#�

$�

*-����"

*-����"

*

3

#

# #&

#

��

Page 189: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� 364

�/����� Q/R����>������� ��� ��-���� ��� �� $�� ��� "���� # 0-�� ������"�� �-����� ���

������ �"� + � # 0-�� �>��� � $�$ !� *#� !� ���� B�� ���� (��,3

$ �� � � >�� �����0����

-��1�1�#����������B��0���-" ������ + ������������#�0- �> ��"�0��� ���>�8�01�� ���� ������� ��� �#�� 0����� �#�� # 0-�#��� >"��� ���>�������� �$���0����� ����-���������C��1�1�#����������$�� ��0�������"����# 0-��> � ���0���0������� + ������>���

*��<!*+

+

$ $��

$�� �� � � ��

����-��1�1�#�������� "��� �$�� �� � �++ *��<!* �� ��

<�,���/����-���� ���9����� ���� !���!! �3 !� � � $����1�#�� �#�������� ���0�#�!� ���0���!� ����-��������

� �3!*�� �� ����"0��- �����#������>����$����1�#���#���������>�����$����1�# ��#��������

����� ���

��3

� ��� ����9 �

����>� �$����1�# ��#���������������>������������-���� ���

� ��

� �

3

��

#�

�� # # �

��� �:� �� �

!� � ��� !*# �� <�,�,<���

�-"��0�� �����>� ����>�����������-���� ����� ���(���������� ��� �9 ���� � ���������� �� ������!� B� �#�2%��� -���� ����>��� �"0 �"#� $����1�#�#��� ����-�������� �� � ����

$���� ����"�>" �� ����������>���� ���� ���

���:�

�� ��

��>��������>���� ��#��> �����(��0����� �

B��%�� � � 3*

��

�##� ��

���0����0� � � � � ��

��:*

3 �# #� #� � �>��� "�� ��� 2�0�� �� #"�� )"#��!� �"� � � "��

-���0���"�-�&���$����"�1�����>�� ������ ��-���� ����"��>���>�0����� � �2"���<�,�6��������� ������> �

��$�� �>�0����� ���� ��"0 �"#�2����#������#�1������� � ����(��� -�>��� ,* ���

Page 190: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�34*

��2"���<�,�6��

���#������0�������"����$����1�#���#��������� ���-����&�� � �9 ��>��� � � �- � ��G�������$ ��

� ��

� �

*�

3

��

#�

�- # # �#�

��

�� �� �:� �� �

� ��

���0�>�8�01��������$����1�# ��

�#� �(���$�0�

� � �

*

� � ��

� �

��

� �

- � �� �� �

��

� �:� �� �

� � � �: :� � � �� � � �

� �

���#�2�>������ �� ���>-��>����>���� � �� �� � �� <�,�,/���

��0������-��-�����������>�1������"��# �B��>����>�����0���0���� �(����"0�7���� ���� !���!! �3 �"��(������$����1�#������-�������������-���#"�� �������$�#���#��

���� !���!! �3 ��"�-��1�1�#�� �#�� ���� !���!! �3 � * �� !� 33

��� ������ ���� 0��"�

�% � �� !���!3 ���"0 �"#�����%��������� �>�� #"�� �$�#������ �� � ��

�� %�

3

�!���"����

$����1�#��

� � � � � ��

��

����

����

���� �

���

3

�33 ���

�%

�%

�%� <�,�,+���

Page 191: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� 343

"�0��& �����-���� ��� �9 ��"� 3�� �2��������#�1��������

��-���� ��� �9 � ��-����� �"0��� ��� -���0���"#� � � �"0 �"#� 2����#��� ���

#�1��������� ��1�#"#� ���� ���; � ��� � � -����"� ������� $�#����� �� #"�� ,*&� !� $�#���#��

-��1�1�#�� �#������> ��$�0�-����"� �9 ���$�#�����0���0�� ����%��"���"0 ������ �*9 !�

� � �9

��

���

���:

9!9

�*

*

3�

�*

��

3�# #

��� #

� � <�,�,5���

(���������-��&��� ��������8�("��� ����� �2"���<�,�4��

��2"���<�,�4��

��/�������C����"� 5� !�

� � � � 3*!*4*!*36,!�36,!� �� � 9�!9 �� !�

>�"� � � 4/!*3!3<� 9� ���

<�,���+����-���� �����"�������� ���� !���!! �3 � $����1�#�� �#�������� ���0�#�� � �*!*� !� ����-���������

�����1�#��

���

3

3�

<�,�,6���

"���� � ��>�����$����1�# ��#�������� � �*!*� !�����-������ ����(��"#� � � ��� &&� 3 !��>�����

$����1�# ��#��������������" ��"����>������������-���� ���

� ��

3�

3

�3

3

���

����

���

���:

���

���

:

�#

�#� !� � ����� !# � <�,�,4���

����>��� �>��� ���>������� ������� ���� �������!� �"- � ->�"����0"#"��0���0�������"#"��]��E�>>���!���� 3� �� ������������ ��������

�"�1���������� ������>�������>�� ���>����������� �2"���<�,�3*��

Page 192: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�34�

��2"���<�,�3*��

�)�� �>��� �>�0 � ������ �"� �"�1�� ���>�� ��� ���0�#�!� ���� �� ���� �� ��� � ��� �

��-���� ���$����1�#�����"�����������>-��� "�� �����-#���� � ��5 ��"�� ��������-���� �����"������>���

� � � �#

& # � � ����

� �� <�,�<*���

�1>��$ 0�� ����>������� <�,�,4����"���-�������� �* ����������>��� ������"��#�B���-#��� ���-����������

<�<��"�������&��0��������������������

��� ��� !���!3 !� � � $����1�#�� �#�������� �� ������ -�� �* �%0-"#� ��� -��1�1�#������

' (�!!)� ��

��1��� ���� )��� ���� � ���� !���!3 � � ��� �� ����� �� � ���������������������������

�� ���������� ������������������ � �������������/������

3�� C"���"#�����;-#�&����#�"�"���1"&�#����>��� ��>��������0�����-������"����>�01#"���������$����1�#���#���������

��� ������!���>�01#"#����� �����2������-"����#������������2� �����B��-#��!�-����� �����>����������"��>�>��0���� �� �$����1�#���#���������

G��2�����#�-"��0������-�����$����1�#�#���#�������� �� ��0��>����#�����-"������#��������B����"��>-� �"��"�#�������"�� ���0��>�"����C��#%�2 �����>� ��0�2����>��"��#�&��& �-����"������-��������2��0����� ���"�"��>�>��0����� �$����1�#���#��������"��$�������#������B��>-� �"#��"�#�������"�� ���0��>�"���������

Page 193: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� 34,

<�<�3��������������� ������ ��������������

��� � �3�4 ! ���$����1�# ��#���������"� � ���0��>�"����

��1��� ���� &��� ��� � � � � � �' (� �/#�/#& !;3!;�; !! � ��� � � �!# / �� � �

��� �� ���� ������������� ���������� ��������������4 ��

�����-���%���>�>��0"#� � �3�! ����"��-"�����#�����!� "�� ��������-���� ��� � �/#& ! ��"��>���

�#���$�����%��-��1�1�#����������-"���"#��#������ � �3�! �> �>��2 >��>� �B��- ����"#��� ������"�$%� "#�B��

-"���"#�� �/#! ����� �2"���<�<�3����%����"� � �#&� �(�� � �/&3 � "�� ��#�������-���� ����#��$����1�#�#���

�#�������� � �(��3 !�B�������(�������-������� � �#&� ���-��&��� �-�>�1�#����������-"���"#��#������> �>��

� #��B��>�0�-#��"#�#�0������������-���-���#�# ��"��/ ����������-����-"���"#�����1>��> � # !�#������-���

���-���!������ � �/&3 ���-��&��� �-��1�1�#����������-"���"#��#������> �>��2 >��>� �B��>�0�-#��"#�

>��"���>"1�����-���-���#�# ��"��# !����������-����-"���"#����������� � / ��

��2"���<�<�3��

���0� ��� �%��$�� -��-���� �� ���#�2�� ��#��� ����� -����"� "�� ��#�� ��� ��-���� ���

"����0��>����#�7�3�� & ��>�������>���>� ������B����-�����"� ���������2"0���.���� & ��>���������" �#��>�%�2��B����-�����"� ���������2"0���.�,�� � � � � � � *!!! �������� &#&#& .�

<�� � � � �#&#& ��! .� � � � �/&/& 3� ! .�

/�� � � 3! ��& ��

G��������"����$�0������>�01�#��� � � �23�! ��$���0���"#�K-"���"#��#������ � �3�! �

>��2 >�(���B����0���"#� � L��C��1�1�#����������>�"���$���0����>���;-��0 �>�0-#"���� � � ��>���"�����-�"�28���#��� �"��#��"���>"���-���#�#���"��;�#�����������������������-�"�28�"#�� � ��� $%� "��� � ���% ! .� � ��!+ ! .� � ��!� ! .� � ���� ! �� G�� ���>�� ��&� �$���0���"#�

� � �23�! ��>�����8�$�#�����"�' ( ' (��!� !3&!�& � !������

� �� � � � � � � � � ���&�!&��&�!&�� !!!!! ��23� � <�<�3���

Page 194: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�34<

���� � �;�>� � �� "�� ��� ���# � � � �� ���� � (�� ����2��1�# � -�� �� � �(�� B��%��

� � � �� ��� ��

# /

�������/#& !! !� ��"���� � � >�� �"0�(��� ����������� ��� �� � ��������

������� ������$����1�#����#���������"�����0��>�"���4 ��

��� 3�! ���" �$����1�#���#�������������-�������""�(�� � �3�! ������-���������"��-"����

�#������B��-#������� <� ����-�"�28�"#����#��"��� #< �(�� /< !��$�0�

� �� � � � � �� � � �

! ! !

! !

� & # # / / & # # /

& # / / & # /

� � <2 < < � < �

� <

���

�$�0�

� �� � � ��

*

*

! !#�0#

/

� & # /

# / # /

� � <

< �< �

2 =

< < = =

���

�� 0�����>� �����$�� �-���� � �/#� ! �

� � � �/#/#&

/#�==

=

!!

� <�<�����

��� ��������0������>����������-��1�1�#��������$����1�#����#��������4 ���$�0�

� �� � � ���23��

�#�//#��� !! �� <�<�,���

���>������������-���� �����#"��4 ��>�������2���$ !�����

� � 3! � ��

��

��

�#�//#� ��

�/������3�� ���$����1�#���#�������� � �3�4 ! ��"�� !�3 �$����1�#���#������������-�������!���� ����

���>���������-��1�1�#�������>���

� � � �� ���� 333

!/#

/#��

!�� � �!# / �� ��

� �>�������0������� "�� ��������-���� �������>-"�& �������1�� � �� ��� 23�! !�"����� ��>���- ����"#����>��"���-��>�20����#��� �3!* �(��� �3!* ��

Page 195: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� 34/

� ������

���

� � � �� ����

��� �

���

��� �

��� ������� ��

�3

����23

�3

����23

333

333

!������

/#

���

���

������

/#&/## /

!�

1�� � �� � � �� � 3+3

333

!3

*

3

*���

�23� � � ��

������ �

��� �"-�� � �������-���� �����"�"��>�>��0����$����1�#���#�������� � �3�! ��>���"����������"#���

���-�!��"�1�&��"������������& � � �(���"������"#�B�����2�����>�>��0"#"������������������ �>�������0����

��� ���>����������-��1�1�#��������>�>��0"#"�.�1�� C��1�1�#����������"��-"�����#������> �>��2 >��>� �B����������"#�"�"������������& �

� !� �� ! � �2"���<�<������

��2"���<�<����

�� ��������� );-��>������>�� ������-��1�1�#������B����������"#�����"#"�� � �� !����%����"�' �B� # �0���

���"#"�� �2"���<�<�,��!��>��� � � ��! /#��'

/#� � ��

�#�2�0�-�� ' ��(��B��%��$�#"0"#����"#"��> � ����2�#��"�"�������!� �

,�

'�

!������

� � ��,

,! /#�

�/#� �

� ��

����

Page 196: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�34+

��2"���<�<�,��

1�� � �� � � ���23��

�#�//#��� !! ������%���B�������������-�#����

,-.

>>

��>

>��

�/

�#!� * � �& & !� * � �& & �

>���1 ����

� �� � � � � �

,�

*,

*

*,

�,

+,!

���

�����

��

���

�>��

23� �� ��

��

��

������

�������

����

��

,�� ��� >�>��0"#� ��� $����1�#�� �#�������� � �3�! � �� � �"�� ���>������ ��� -��1�1�#������ �>���

� �/#� ! �(�� ��� 3���3 �(�� 3��� ��� �>�������0�������>����������-��1�1�#������

��#"�� 3� �(�� �� ��

� ��������$�0� �;����$�#�������#"�� � �(��$�0����>��"��B��-#��"#� #�/ ��"�1�������"� ���

�#/ � 8�-��1�#�� ����� ���� ��� �>�0-����� �;�#�� ��� ������������� ��0���"#� � � �>��� ��#�8�("�������� �2"���<�<�<��

"�� ��������-���� �����#"�� 3� �>��>�����

� � � � � � � �� �� ����

����

� *

*

3!!!

#

#

��

�#�//#��#�//#��#�//#��& ��

����$%�������>� ��;-��>���B����-�����"� � ��1 ���0�

� � ���

��� �

��

����

��

���

*

*

3!

3!

3�#

#�

#�#

�##�

#�#

�� �� <�<�<���

Page 197: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� 345

��2"���<�<�<��

�C����"������0����������>�� ������-��1�1�#��������#"�� �� �$�0����>��B��-#��"#� #�/ �

����-��������"� ��� �/# � �2"���<�<�/������0���"#� � ��>�����#�8�("�����

��2"���<�<�/��

��$�0�

� � � � � �

� �� �

� ����

��

��

��

���

���

����

�#�//#�

�#�//#��#�//#��&

#�

#�

!

!!�

� <�<�/���

����$%��� ����>� � �;-��>��� B�� ��-���� �"� � � ����� �2"���& � #�� #�0���� >"-������ � ������2��#�������"����1 ���0�

� � � ���

��� � �##�#�#� !�

�� <�<�+���

Page 198: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�346

������"&��>�0�������>"0��� 3� �����>� � ��0"# �>��-�����>�����

� � � ��

!� # � � / / �/�

��

�� � <�<�5���

G�� �-#��� ��� -�������� ��&"#� B�� ����� � � (�� 3 � >"��� ����-�������� �>��� �������0-��������

���� �(��3 ���" �$����1�#���#������������-���������"����>�� �#�����-��1�1�#������

� �#�� �(�� � �#�3 ���$�0� � � � � � �/�#�/#� 3� �! ��

� ������0�� 0����>����������-��1�1�#��������$����1�#����#�������� 3�4� �G�����>����&� <�<�+���(�� <�<�5���>��>���"�

� � � � � ���

��3�4 � �##��#���

�!� <�<�6���

� � � � � ���

��3�4 � �//�/����

��� <�<�6V���

C����"���>�0��������0-"��������#�����" �#�2�����-��1�1�#������"��#�& 0����� ���>�01�#�� ��

3�4 ? ����

"����? ��>���>�01�#"#������0-"����� ���$�#" ������/������

3�� ��� $����1�#�#�� �#�������� � � (�� 3 � ����-�������!� �"� ���>�� �#�� ��� -��1�1�#������

"�� ��0��B��� �!�! ��

� � � �� �

� �+,

+-

.

/

3� !�#

!�#

�!

#�#�!-����"

!-����"

3

*��

� �>�������0�������>������������-���� �����$����1�#����#�������� 3�4 ��� ��������$�0�

� � � � � � � ��� ��

� 33�4

!

!

�##���!

�##��#���3

(��

� � � ����

�33 �

��

!�

!

�����##�� !� !�� �� && ��

��� � �!� !� !���"���� !�� !� �(��

� � � � � ��!��

��������������

!�

��

!� ��

����

3�

3

�3

���

��

Page 199: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� 344

��� � �!� #� !���"���� !�� #� �(��

� � � � � ��!�!

��������������

!

!

!�

��

!� ��

����

3�

3

�3

���

��&"#� �

� � � �

� �++++

,

++++

-

.

#

&!

&!

&

����

4

�1&-����"

�-����"

�-����"

�-����"

*

*

!�!�

!���

��

�!

�!

�!

��

�� ��

����>� ����>���������-��1�1�#������>���"0�(������������������� �������������������� ���$����1�#�#���#��������� �(��3 �����-�������!��"����>�� �#�����-��1�1�#������

� � � �,-.

#

&

�3�*-����"

*-����"*

#

#

#�#�

#��

� �>��������� � 3�43 �(��3�

4� �>"�������-���������

� ��������$�0�

� � � � � � � �

� �

3 �

33 3 3

* *

! !

3 33

# / �#

�/

�� ��� �� � #

# / � ��

#�

& � � � � � � � � � ����

� �#�/ �# �

� �� � !.+

- !+,

� �� � � �� � � �� �

! !

� �� � � � � � � �� � � �

��

� � �

!�

� � � � � �

� � � � ��

���

� ����

�/#

���

���� ��������#&

���

���

!3�4

��

� ���

333*

* *3

!�

� � � � � ��

����� ��������#&

��

�/

# � ���

� ���

!

3�4 3*�

��

��&"#� �� � � � � � � ��&�&��&�3

! 44 ��

��

Page 200: Trandafir Matematici Pentru Economisti

��**

<�<����������������������������������������������� ������ ��������������������� ������������������� ���

����$����1�#���#���������"���" ���0��>�"��� � �3�4 ! ��

��1��� ����0������ � ��,�, - 3�% ! ���������� ����������� �, ! "��������������

� �3�! �� ��0� �"0� ������� �������� &�� ��&���� �, ! �#� >�>��0"#"�� � �3�! � �"0 �"#�

� �� � � �� ��,�, --- 3�3���0 ! ��

�$�0�

� �� ��

��

��

% �#�//#�/# �,�, !! !� <�<�4���

� �� � � �� � � �� ��

��

��

3���0 �#�//#�-/-# �,�, !! � <�<�3*���

��0"#�������B����&"#�$����1�#�#����#����������>��������$���

��%� 3

�3�3

,��, �/#! !� <�<�33���

� �� � � �� ��� 3���0� 3

�3�

3,

��, �-/-#! �� <�<�3����

�$�0�� � � ��3�% -- *3

*!3 �

� � � �33�% -- 3*3!* ��

�����#��0-�������B���������>�>��0�#������$����1�#���#��������B#�������$����� �����1��� �������������� ������������ ������!�� ����� ����� �� ����3 �

������ ��� � � �� � � �� �� �3�3����3� ---!��$ �� <�<�3,���

) ���"%�����#�"#"#�(�� ��%���>��0�����-��-���� �#��$�#�����0�������&"#� �� � � � � � � �3���33� ---!��$ �� <�<�3<V���

��$����� �� �>��� �� ���������>��� � �� >�>��0"#"�� ����� ��>����!� -�� #%�2 � ��>-��>��!�#�2 �"�����������#���������� ��"�"("��� �� ���� �� �(��3 �>"�������-�������!���$����� ��#����>����"# �������� $�&��<�<�3,����

C����"����������&����� #�2 �"�����������$����1�#�#���#�������� � � (�� 3 �$�0�"��#�&����� ������"#��������#� ����

��1��� ����) ��� �� ����������������� ����������� ��������������� � ���� 3 ����������

� �� � � �3�

3�3� ��

�!��$

! �� <�<�3/���

)>����$������� ���� �� �(��3 �>"�������-�������!� *! 3�� ��

Page 201: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� �*3

��" �$����1�#���#��������>"���������������� � *! 3�� ��

��&"#� � � � ��" � $����1�#�� �#�������� ����-�������� >"��� ������#����� ����-��������>����� ��0� ����"��>������$ ��� ��

�/������� ��� ' (<,�3 !!! ;;;;� � "���� �; !� <!,!�!3� � >"��� -"����� ����

-#����������������7� � �3!*3; .� � ��!*�; .� � �,!*,; .� � �3!<<; ���� ���0�-��� �$����1�#�#��

�#��������

���

����

�<,�3

<*7

�����

(��

���

����

3,�<3

�37

����

,�

"���� � ��� �� ; !� 3<

3

��

�� ���$�0� � � <<�- � �(�� � � 3 � , <�- � � ,� �� ���

C����"�$����1�#���#���������3 !�

���

����

�3**

<6<*7

<,�3 ����

,!�

�#�2�0�-��, ��(��B��%�� � � � � � � *3���3 --- ������

� � *�<< <,�3<< � �,����� !�

���"������&"#� �

,

�,

,

�3 <�3�

���

��,

��� �

������ �(��3 �>"���������#������ ��� � 0�� ��"�>"�������-����������$�0�

� � � � 333!* ��� ;3� !�

� � ,�3* ���� � !�

� � <33 ��� 3 ��

�#�2%����"0���#�� �� ��(��B��%�� *#�� !� <!,!�!3� !� 3<

3

��

�� �(���

� �� �3 3 < 3 � ,� � � � � �@ �

��&"#� �� �� � � � � �3*3!* 3��@3� ��� !�

������� �(��3 ��"�>"�������-���������

Page 202: Trandafir Matematici Pentru Economisti

��*�

C��-���� ���#����� ������"#"���������#� ��7�3�� &� � � � � � *� �� � @ !�������� *! 3�� ���� ���������� �����!�� � � ��3 ����

� ��� ��� ���0��>��� ����>����0����� !� ��%���>��0������� ��� ��#��������

��� � �������� ��� �����!�� �� ����� �� �� 3�! &3�� ��

�-#��%������2�#�������#"����8=���&��$�0�� �� � � �� �� �

� �� � � �� � � � � �3�3�3���&

&3�3����

��----

---

���

���"������&"#� �-��-�����������"� �� ��,�� ��� � 3�

! 3�� !�������$��� � ��3 #��� �� � �� � ������ ��

��� !� !�� ���1�������(��

� � � �� � � �� �� �� � � � � � *!��$�

!����

33��

3�3���

�!�!��

-!-�-!����

�" 0������ � �3� 3� ��� ! !� � �� �! �(�� ���0�>��0��� � 3�! 3�� ���1 ���0�

� � � �� � � � � �� �� � *� 3�3����3� -�-�- ������

� � � �� � � � � �� � *3�3����3� -�-� �

��1��� ���� ) ��� �� ������� ��� ��������� ���� ����� ������ ��������� � � ��� 3 ��� �� � �

� �� � � � � �

� �33�

3����

�� !��$�

-/�

-#!� <�<�3+���

� �� � � � � �

� ����

3�33�

�� !��$�

-#�

-/�� <�<�35���

���>��� ���-��� ����� -���� -"���"#� � � � �� �3� -- ! � (�� �"� �"0����>�� �-#��� ��� B��>����>�����0���0���� ��

�/������

3�� ������>���� �$����1�#�#���#����������

��

���

�3

�3

337 �(��

��

��

��3

,3

,�

�37 ����������> �>��

��#�"#�&����� � ��!3 3��� .� � �3!3 �3�� .� � ��!3 3�� !���� ��

� � $�3�� 3!3� ��

1�� ��� ������"#��������#� ���B�� "�� ������$ ����� ��#���#��#"��$ �-����"������� �(��3 �>"�������-���������

Page 203: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� �*,

� ��������� �$�0��

� � � � � �33!3�!3 ���3��3�� ��� !�

� � � � � �33!33!3 �3�3���3� ��� !�

� � � � � �33!3�!3 ��3�3� ��� �

��� "���� � � $�3���3

�!3� !� � � $��3�,�

3!3� � (��

� �+3

�!3 �$3� !������

�� �

� � 3� � 3� � ��/� 3 �

3� � $ � $�,�

�,�

� � $��3

�+3

�$ �,3

� ��#� � ��3

��3

� 3�

��

� �

�++3

��3

�,�

!!

�$���

��� �$�

��

��� $���

��

��� $��$

��3 � 33�

/�3� 3#�/#-

��

�$ � ���1"����>� �#��#�>�B��%��������-��1�1�#�� �#��> � ����"-���>��B�����* �(��3������

3* &$& !� 3,�

* &$�& !� 3�3

* &$�& !� 3+3

* &�$& !�

���"�����3

+3

&$& ����������0-#�� �

� � 3&�3- ��

1��� � � � � �

� � � �3�3���3

3� ��---

� ! ��

�$�0�� � *�- !� � � *3- !� � � 3� �� !� � � �� 3� !�

��

Page 204: Trandafir Matematici Pentru Economisti

��*<

������

�+!

�$3�� ��

����������3

+3

&$& ���&"#� �

3�3

! &3�� ��

��� C����"�,3

$ !�� �(��3 �>"�������-���������

��� Q/R�������>���� �$����1�#���#�������� � �3�! ��"���>���1" ���������1�#"#�"�0 ����

,# �

,/ �3� � � , � < � / � � �,/� 3 �

3�3�3

��<3

� * ��<3

�,*3

�/3

� ��<3

��<3

��<3

��<3

�,*3

�/3

, �3�3

��<3

��<3

� * �,*3

�/3

< �3�3

� * ��<3

��<3

�,*3

�/3

/ ��<3

��<3

��<3

��<3

�,*3

�/3

� �,#� � �,3

�+3

�+3

�+3

�+3

� 3�

� �>�������0�������-��#�������2��>����� ������

� � � �,6

+3+/

3

�� �,

,, #�#- !�

� � � ��

33/

3

,/3/

,,, /�/- !�

� � <4!3�� !� � � <3!33� !� *+!*! 3�� ��

����-��������2��>�����#"��� ��>"-���#"��3 ��>��� <�<�3+���(��B����&"#���>��"�

� �++!�5!3/, �� #/ ��

����-��������2��>�����#"���3 ��>"-���#"��� �$�� ��

� ��+!�*/+!*, �� #/ ��

Page 205: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� �*/

<�/�������������� ������

<�/�3��(�������� ��������>�����0���0���� �>�� "���0�����& ��"��H"���"#� ��������-��1�1�#�� �#��!��$%���

��� �1����� >�>��0���&����!� -��#"������� (�� "��#�&����� ����#��� >����>����� ��� �1>��$� ���� B��$������� >�"������� -�� ��#�� ���"���$ � �� ���0���#��� �#�������� ��� 0�> �� ��"���������������� ��� ������� 0���#����� 0���0���� � �� "���� ���0���� �#�������� ��� 0�> � (�� ���0���#�� B�>�(�� �>��� ���������&�� � ��� �-��� ��� �����-�"#"�� "���0����#� ��� >�#�� ��!������-�������>� �#��1�&��B����2"#"����� ���"��#�>����>������0���0������������������>����>��� �-����(������#������������������"0�� �(������� ��� ��0�� ������#�0�����>�"�����$�&�������>���� ���� ��& �-������$��>������1"����C����"�>�"��"#�"����-�-"#� ���B��>����>�����0���0���� �>��"��#�&��& ��� ������$�#������-���� $�#������0����!���>-��>��!�0�0������������������-�������-�-"#� �����>-����$ ��

G��-������ �>��-������;�0�����"0���"���"0 ��#�0���������#�0���������-�-"#� ��!�>-��%���� ��� ��0� ���-��0�� �-������>� ���#���>���B��0 >"� �> ����>-"� !��"�>" ������ �-����&��!� ����� ��� ����0� > � �"���(��0���>-��� B�����2�� -�-"#� ��������� �� ���0�#� > � ���B����1 07����-"��0�>-"�����>-�����-�-"#� ������������-"��0��;�0�����"0���"���"0 ��#�0���������#�0����P�����>� �-��1#�0 �>� �#�����2�������������>�#�� �����

�<�/��������� ���

����"���;-���0�����#������� �"���B�����( 0�$����1�#���#�������� ���������>������ � ����� �

��-�� 0��;-���0���"#����� �����B��0�������-��������1 ���0�"��(������$�#��������1>��$� ����#��$����1�#����#��������� �������� �## !���!3 ��

��1��� ���� -�� �� � ��������� � �!� ��� � �� �����!�� � �� ����� � � � ��4��

���� ��� � ����� � � & !�� ��� �� ����� ���������� � ������� ������������� ��������������� � ����� �����������������������!�� ��� �������� ��� � ����� � �& ��

�����-�"#� ��� >�#�� ��� >�� -����� �;������ B�� ��&"#� $����1�#�#��� �#������������ ��0��>����#���G�����>����&!� �������0�01�"�����-�-"#� ����;�0���� �$�� �����������&���

��� � ��"0���!������������(������$�#�����1>��$������"����$����1�#���#�������� � ���0��>����#��-����� �������-�����������>�#�� �����������-�-"#� ��� �� ��0��>����# ��

��#�� ���-����� ���"�B����������>�"� � �B���������.�B��-��0"#���&��#�0���"#��;���>����� -�-"#� ��� �>��� ��������">� #�� #��� B������� ��� �#�2����� �#�0���"#"�� "�0 ���!� ���� B�� �#����#�����&��#�0����#���#�>���"�>��0�����������"��B��-�-"#� ���2�����# ��

��� � $�#"0"#� -�-"#� ���� 2�����#�� �>��� >" ������� ��� 0���!� ���� $�#"0"#� >�#�� ����>" ������� ���0��!� ���>�1������������ ��#����" � ��-"��� ��� >�#�� ��� �>��� ������0�� !� ���� B���-#��� ���-����������>�#�� ��� � �B�����������>������>������ ����>�#�� ����"�B�����������

��0� >-"��� � � �� >�#�� ��� �>��� ������������� � ��� � ������ $�#���#�� ��� >�#�� ���

�## !���!3 ��"������(��-��1�1�#�����������������B����0-���� ������

���

Page 206: Trandafir Matematici Pentru Economisti

��*+

<�/�,������ ������������� ����������� ���������$����1�# ��#�������� � ��"� "�� ��������-���� ��� & ��� �-��>"-"��0�� ��$�0���

>�#�� ��� �## !���!3 !����$�#"0�� �� ���"�� ��>"-���#"��� ��

��1��� ������� � #� � ��-��&��� ��"0 �"#��1>��$� ��#��� B����������- �"����$�#�������

���������>������ � �0���0�� ����%�� # �$�0��"0��1��� ���&��������� ���&������� ��!� "�� ����� ���� �-������#� ���

� ���

#& #� N �� <�/�3���

�/������� ��� � ���"��& � �� >�#�� ��� ��� $�#"0� 3**� � �>"-��� "���� $����1�#��

�#�������� � � ����� ��� "���&��& � $�#���#�� 3!� / !� 4 !� 3� � �"� ���$�� �#�� ,!*3**,*

!�

3/!*3**3/

!� 3!*3**

3* !�(�� </!*

3**</

��

"�� ��������-���� ���$�� ��

� �N3**

* -����" 3

*!, -����" 3 /

*!</ -����" / 4

*!// -����" 4 3�

3 -����" 3�

#

#

& # #

#

#

!.+ & !++ & !-+ & !+

+,

��

��2 �"���������� "�� ��������-���� ����������� �(�� "�� ��������-���� ������>�#�� ����>������ ����"�0 ������������0 ���#"�������E#�$��U�!��������� "���&��& �(��H">�� ��������������� ���"��#�& ����0�������>�#�� �����

������ �6$7$3$���� �������� � � � � ��� �� ��� ��

� � � �#&#&� �#

� ��!!��

N>"- � <�/�����

���� �� $����!�!������ � �� � �����"��#����"$����!�-����"� ��� � ���$�� ����#���$ ����$���0���"#"�� � �' (#!;�; �

���� � � �#&�N � ���$��2�� B�� -��1�1�#������ � ���� -��1�1�#������� ���>�"�� �$���0���� ���� �

� �#& ����C����"� � � >" ������� ��� 0���� "�� ��� ��� ��-���� ��� ��� >�#�� ��� ��� � � �� �0�2����

>" ����������-����> ���>-��� "�� ��������-���� ����������� ��������

Page 207: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� �*5

<�/�<��$�������������������� ����� � �;�0�� 0� >�#�� ��� >"1� "�0 ���"#� �>-���7� � ���" 0� �� >�#�� ��� ��� $�#"0� � �

�>"-���"����$����1�#���#����������������� "�� ��������-���� ��� & !������� ���" 0�� ���-�� ����#��"�"����"0����;-���0����� �"���B���>������(�� �$����1�#���#�������� � �����>��(������ � ���-�� ��� ��0��& �"���;-���0������0-">��� �������#��$����1�#�#���#������������-��������

�## !���!3 � "���� �# � ����>-"���� ��#��� ��� �� �� �� ��-�� ��� �� �;-���0���"#"�����#���#�� ���

>�#�� ��� �## !���!3 � ����"�� #�� ��$����1�# � �#�������� �� ��0��>����# !� � ��## !���!3 !� "����

�# !� �� &&3 � >"��� $����1�#�� �#�������� ����-�������� �$%��� ������� �����(�� "�� ��� ���

��-���� ������#���#��$����1�#�#��� �## !���!3 ��1>��$����B������>�#�� ��!� ��0��& ���$�#��������

�1>��$� �����$����1�#����#�������� �� ��0��>����#�� � ��## !���!3 ��

��� � $�#���#�� ��� >�#�� ��� >"��� �����-"��� ��� $����1�#�� �#�������!� ������ "�� ��� ������>��� $�#���� '� ������ "�� ��� ��� >�#�� ��� '� �>��� �� $����1�# � �#�������� �� � ���� "�� ��� �����-���� ����>���"���������0���� ���� "�� ��������-���� ��� & ���$����1�#����#��������� ��������2�������>�#�� ����

��0����B��������"�����%��$�� "�� ������>�#�� �����

��������&������� ����"0�0��������������� ������������� � �$����1�#���#��������

%�

��� #

� 3

3�� <�/�,���

G��-�����"#��!����������������������� ����>���

%�

��#�

#3

3

3�� <�/�<���

%����������������������� ������������� � ��>���

� ��

�0�

��� ##

� 3

3�� <�/�/���

��&"#� ��������������������������� ���

� ��

��

�� ##

��

3

�� 3�� <�/�+���

���-�����$��� �����"�"("��� ��;�>��� ����#� ����� � � � ���

[�3

��

3 0�

00% �� ���� #��

#� !� N�� � <�/�5���

�"����$�� ������ 3* 0 ��

���

Page 208: Trandafir Matematici Pentru Economisti

��*6

����������&"#� �

� �� �

� � � ���������������������������������������������������������

,+<

�,

*

<3

�3�3,<<

,��3,,

��

��

3

%�%%%%�%0

%%%�%0

�%0

0

#�

� <�/�6���

G�� -������ !� ��#�"#"#� 0�0����#��� ��� >�#�� ��� >�� ���� "������ -����"� �1>��$� ���2�"-���!�������$�#���#��������"�������$�#�B�#��"���"�>���"�0�H#��"#������$�#"#"�������>� �#������#�"#��>���� ��������������!���������� ��#����">��0�0����#������������1�"��� �0� �-����"����1 ����0�0����#������������H">����!�>"����"��>�"���>"1��"0�#���������� ��#��#"���8�--����

�����������������������������������������<*5

�3

3�

<��<<

,,

��

��

0��0�0

0�0

�0�0

� <�/�6V���

"����� ��>���0 ��0��������$�#�#������2�"-�����

������ �6$7$5����� � ����� �� � �� ��� �� � ���� � ������� ����� �* !�������

� ���� � � � � �� ������ �� �� �� ������� ������

�*��

� ������� � ���$�0�

� � � � �#-�

#-�

#-�

��

��

���

� ��

333

33!�

� � � �

� ��

�#-�

�#-�

�#�

-�#-

��

��

3

33

3

3

33

*�

���

��

���

����

� �

���

��

���

����

� �

���

���

��

��&"#� � ��� ����� (�� ���� ���2�#������� #"�� ��1B(�$� � � # � ���$��2�� B�� -��1�1�#��������� ����� ��

�������

Page 209: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� �*4

9�0����#����������� � �#,0 ��#��0���������>�#�� ���$��� ��

� � � � � �

� � �,

3

,

,

3�

,,

3

3

��#-

�#-�

�#-#

��

��

0�

���

����

� �

���

���0

� � � � � �

� � � �

<<

<<3

�< �

< <3 3

� �� < �

� ,

3

3 +

, ,

��

� � 3� � 3 �

- # � - # �# �

- # � - # � # �� �

� �

� � �

& ! &

� �� � � � � �� � �� �� �

� � � � � � �

� � �

� � � � ���

���

00�0 <,

,�//

33*�

��

�#-# �

G��2�����#�

� � � ����

���

��0

0 3�

3[�[�

,,,

,

, ��

�,,

# !�

� � � �� � �

��

���

00�

����

0

�� 3,

��

33�

3[��,

[3�,,

,

,, ��

�,,

# ��

<�/�4���

�/�����3�� � �>��������� ���� � � ��>�����$����1�# ��#�����������0�# � � ��!*�� !���"������-���� ���

0���������>�#�� ��� # ��>�������>�0��������0�# ��� ����������� ��"0 �"#�-��1�#���(�� # �0��������>�#�� �����$�0�

� � � � "

���

����

���

���

� ��

,

,#�

��

,,#�

��

#��# - - -�

3

3 ��

�� 0���

� !� ����� � � "

��

,

,��## -�

3

�� ��� #�� #�2��� ���0�# � (��0� � �

������

,��# -*

� !� ����� � � �

��������

# �*

�� � >�"� � � �

����

# � �

��*�

� ������>����>���

"�� ��� ���������>��� � �� "���� ��-���� ��� ���0�#�� ���

����

� *�

���

! � ����� "�� ��� ��� ��-���� ���

����>-"�& �������>������0�# ��

Page 210: Trandafir Matematici Pentru Economisti

��3*

��� ���� ���$����1�# ��#���������"�����-���� ��������������-���0���"�$ ��� �>�������0������-���� ���0���������>�#�� ����

� ���������0�"��#�&������0������ "�� �������������>�������$�0�

� � � � �

���

����

��

,

,#�

��

#��# - -�

3

>�"� �"� ���� �����

� !� � � � � ���

,

��## -� � �

3

!� ��� "���� ��$������ #�� $����1�#�� � !�

� � ��

��

# � � ���0��1 ��"�� "�� ������������>��� �����-���� ��������'/!������ # ��>�����

$����1�# ��#����������-����&�� �����'/��

������ �6$7$4��-�� �� � � ����� �� �����!�� ���

# �

���

� ����� �� ��� �� �

� ����� � ������� �4�� ��� ���� ������� � ���$�0�

� � � � � �

�� �

� [ 3

� � � [�

,

, ,,

, , , , ,

� - # � � # ,# �- �

, �

�� ��

� �� �� �� �� � �� �� � �� � �� � �� �� � �� �� �

� �

� 3

3�

,� 33 ,

�� 3 �� �

� 3 3

�� , �

,

,

,, ,,

# � � ,- # �

���

��

� ��

�� ��

� �� �� �� � � � �� �� � � �� �� � ��� �� � �� �� �

��

������ �6$7$6$�0����� �� �� ������ ������� ������� � � � � � ������ � !�

�% !������ �� ����� �% �����

���

� %�%��

� ������� � ���$�0�

� � � � �

��

��� #-

�#

�-- %�

���

�% ��

33

33!�

� � � � � �

�#-

#-�

-�

���

��

��

��

�����

��

3

3�

��

3

3

%�%%�

���

����

� �

���

�%�%�%%

��

Page 211: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� �33

��&"#� ���������� � �% ����$��2��B��-��1�1�#������� ���� �% �������� �6$7$7���$�0���#� ���

� � ���

���00�

�- ��

3�� <�/�3*���

���� ������� � ������

� � ������33 ��� �� ���

���

��

�� ##�##�### ��

��&"#� �����

��3

3 �%%�%0 �� ������ #�#� �����2�#�������#"����8=��&����� �

� � � � � �����

���

� -#-#- �� %&% �

���� � � � ������� ���

- ��� %%�

% ��� 33

!� � � ���

��� �

��#-

3� ������� � ����#- �% ��>�����#�

0"#����������"#�#"��3��

!� �� &&3 ��

C��>"-"��0� *� ����������"���>��%�2��2�����#���������������� �0 ��>�����$�������

#����>�8�01���������2��������&"#� � ,, 0% !� �, &&3 !������ � � ���

���00�

�- ��

3��

���#�2�>��-�������0��>����� �

� � ���

���

0000�0�00 ��

�3

�3

��� 3�

��

���

� ������� � <�/�33���

�<�+��������������� ����

�� ����>���� 0�� ��$�0���>�#�� �����������-�-"#� ������ ���� ���� "�� ��������-���� ����

�������� � ���� �� ��0 �0���0���� � �"��>�"� !� B�� ����� ���� � ��"0� �� -���0����� �"� $�#�������"��>�"����);�>� ��� �� ����������� "�� ������ >�#�� ��� >����>�����������-��� ��-��-">������>��0� ���-����"�-���0���������"��>�" �!��������1"����#�>�����#����������"�����0���1"� ��-��;�0������-���0����#����

����;�0-#"!�> �-��>"-"��0�� �>�"������"�� ���0����H"�2�0�#������#"&���� �

��-���� ���#"���>������0�# � � ��!*�� !������ � �� �

��

3 *

��

�*

�#

#� ��

C����"� �-#��� ��� -�������� ���1"��� > � �����0�� 0� $�#���#�� �"0������ �#�� ��#��� ����-���0������ �(��* ��

Page 212: Trandafir Matematici Pentru Economisti

��3�

� ����� �� #������ ������5� ���� � ��� $� ��� ���� ����� � ����� ���� ������� �� ���� � �� �� � � � ����� � �� ������� ��

��� � �"���(��0� $�#���#�� �"0������ �#�� -���0����#��� �$�0� �� #�2�� ��� ��-���� �������� ��� ������� ����#�2�������-���� �����>-��� ���� �����>-"����"����#�2�������-���� ������"��>�"����

�����0�������$�#���#��� -���0����#��� "���� ��-���� ��� >-��� ������ >�� ���� �"� �H"���"#�"����>�#�� ������$�#"0�� ����������"���#��$�#���#�� �## !���!3 �#�2�������$����1�#��>�"���� ��

G����#�����"�0��& ����$�0���"-�������-���� ���>-��� �������������-�������"��>��2"��-���0���"������� "�� ��������-���� ����������� ���� ����"��>��2"��-���0���"����"��>�"��> ��

��>�#�� ������$�#"0� � �������#����$����������������������>��0� ��� N3> ��#� �>�#�� ������$�#"0�

� ����� ��>��0� ��� N�> ��������-��%���-������"#��1 ���0��>��0� ��#�� NN

3 !���! �>> ��

���>��0� ��� N> ���#"��> �-����� ��-��$�� ������$����1�# ��#���������"�$�#���#��-�>�1�#��NN

3 !���! �>> ���

<�+�3��#����� �������������)������������ �����������)�������������)�����������

���� > � "��-���0���"� �#� ��#����$�� ��� 2�����#�� 0����!� ��>-��>��!�0����� ������� (��

� ��## !���!3N> ��� "�� ������>�#�� ����

��1��� ���� ��� � � ��## !���!3N> � ���� �� $� ���!�!������ � �� ����� ���� > !�

���� �� N> � �� ������� ������������ ����> ����1��� ������� �

� �� � >> �##- !���!3N !� � �� � *!���!#�0 3

N� >�� �

�##� !� <�+�3���

���� �� � � ��## !���!3N> � �� ������� �������� ������ ������> ��

��� �� �� � � �3!���!3

N �##- � >> !� � �� � *!���!#�0 3N� >

�� ��

##� � <�+�����

���� �� � ��## !���!3N> � �� ������� ���� ���� ������ ������ �������> ��

�������� 6$8$3$� -�� �� � � � � � � ���� ����� �� �!����� ��� �� �� ��� �� ���� �� ��� ��

� ������� � ���$�0�

� � � ���

%��

���

�%

��

��

��� #-

�#

�--

33

33�

G�������0��<�/�<���0��� ����� � � ��

� ���

��� %�%

% !������

� � *#�0 � %�� �

�� ��

Page 213: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� �3,

��������6$8$5$����� ����� � � � � �� � ����� � ������� �� � �������� ����� �� ��� ��

� ������� � �� ���� #�2��� �"0���#��� 0���� ��&"#� � � � �

��#� 3

�3� ���$��2�� B��

-��1�1�#������ � ���� 0�0���"#� ��������� ��� �����"#� ���!� ����� �3

�3%A�A�

��

��#�

� (��

3%A�A�# !��>� �#�� �

� � ��3�

3

3

� 33*%�%A�A�� ��

��

��

�� ##

�##

���

��� ���� � �"� "("��� � � � � ��

��

�� ##

��

3

��

33J � �>��� �� �>��0� ��� ���>�>���� !�

�1>�#"�������� �-����"���>-��>����������� ���/������� ��� �� >�8�0 � ��� ��-� �����"##�� �"� ��" � >� ���� G�� � � �1>��$� ���

����-���������$���0���"#� % ��-�����"�-��1�1�#������� � ���� % ����!� �&%&* ��� �>��

�>��0�&�� � �(�� �� ��"��H"���"#�#"��% ��

� ������� ���� �� 0� ��� ��%

� �>��� �� �>��0� ��� �� #"�� � �� �$�0� ��

- ���

��� %

!�

��*

�� �

��

��� %� !������

�%

��>������>��0� ����1>�#"�������� ���#"�� � ��

��� �>�0����!� �$�0�33

����

���

%

��

��

- !�� ��

33 �

��

���

%

��*�

� !� �����

��

�A�A%

3!�����

3%

���"��>������>��0� ����1>�#"�������� ���#"�� � !��>����"0�����

�>��0� ��������� ��

����������%

��>������>��0� ����1>�#"�������� �-����"� � ��>������"��#�> �B����� 0�> �

�>��0 0� -�� �� � -���� �

�%

�� �$�0���*

��

- ���

����

� % ��

� (��

���

�����

����

� %�

,

�� 3<

��

�*�

�� !������ �

�%

��>������>��0� ��������� �-����"� �� ��C����"���

�����0�������>��0� ����1>�#"�������� ��1>��$ 0�� �

��

��

���*

��

- �

���

����

� % ���

� 3!�

Page 214: Trandafir Matematici Pentru Economisti

��3<

��

�- �

��

��� %

�!������ �

��

� 3�

��

��-

���

����

� %�

%�>�"�

���

3�

��-

��

���

����

� %�

%�

!��

���"���� � ��

3�

��- ��

����

��%�%

!� � � ���

�����

����

��%�%

��

�*�

���

3<3

��

!������ � �3�

�%�%

����>���

���>��0� ����1>�#"�������� ���#"�� �� ��

�� �>��0� ��� �1>�#"�� ������ � -����"� �* � �>��� �

3�

���

� "���� �� � �>�����>-��>������

>�#�� ������1��� ����� ����� � � N> � �� ���������� ��� � � *N >- ��6������������� �

������� ����������� ��

G���;�0-#"#�����������0�$ &"��� ���%

��>������>��0� ����1>�#"�������� ���#"�� � ��� �

�����0�#���>��0�������>-��>���� � ���� !� � � �����$����1�#���#��������1����"##��� ������ ���

$�#���#�� 3� (�� *� �"� -��1�1�#�� �#�� � � (�� �* � 3 �� ��>-��>��� ��� >�#�� ��� �>���

� ��

��

�� ##

��

3

�� 3���$�0�

� � � � � � � ������ ���� 33

��

��

���- !�

����� �� ��>������>��0� �����-#�>�� ����0�#"������>��0� �������>-��>���� � ���� !���>-��>������>�#�� ���0��� ���� �

� ��

��

�� ##

��

��

�3

���

333J � <�+�,���

-����"������ � � � �� ��J ��- ��

�<�+�������� ������������ �������������%��������������� ����������

���� 0"#��� ���� �� �>��0� ��� ����-#�>�� � �"� ��� � � ���� 0��� 1"� � �-��;�0���� ��

-���0���"#"������>��0������#���#��-�>�1�#���#���>��0� ����#"�� > �-��� ��0"#��B0-� (������B��

H"�"#�$�#�����0����� ��� � � �N� >� � �>���0����!� �����>��0� �����#�"#�� ������>�#�� ������ �

-����� �� B���- ���� � ���$�#������0����� �� #"�� N> !� ����� >�� ������ ������� �#�2%��� N> � ����>��0� ���-����"�> ��

��� � N> ��>������>��0� ����1>�#"�������� �-����"�-���0���"#� *#> �(�� � � �!>N- !���"�������2�#�������#"����1B(�$�

Page 215: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� �3/

� ��

�N

B>

!B >�>�

� �

� � "�� �������"� -����"� �#�2����� �>��0� ��#��� (�� ��"0�!� �� � � �� � ����� � ��� �� ���� ��������� ��

��� � �>!#� � �� �0�#��� ������>�� �� ���-��1�1�#������ �#��"���� ��-���� ��� >-��� ������

������"�!��"�> �-���0���"#����#����"��>�"�����0���0����������"������� "�� ��#��� � �>!#� �

(���;�>��� ������$���#������>���� "�� ���B����-�����"�> �-%� �#��������#������>������#�"#�#����

�������� 6$8$4� %��.������'�� ��� � � ��## !���!3N> � �� � ����� � �!�����

��� �� ������ �������> !��������

� �� �� �

���

����

� ��

���

>=>=

>�3

N�

!#�

3!���

#��-

##� � �� <�+�<���

������� ��� ������ ���������� #��� ��������� � , !�� � ���� � � � ����> !����$��4�"������ �����

� � � � >�>>=

>=�

� ##,#�

!���!!#�

3N

3

��

C����"���0��>��� ���$�&��Q35R�-�<,6����1��� ����� ����� � �!�������� �� � ��## !���!3

N> ������� �������> �� ��� ��

������� ��� �� ���� ��������� ����� � N> ��>����� "�� �������>��0� ����1>�#"�������� !���-���"#�

� �� �

� �N�

N

!#�

3

>

���

����

� ��

���

>=>=

>�

#��-

� �

<�+�/���

>���"0�(����1����� ������> ��

����1>��$ �� � � � 3* N &>& � ����� � � � 3N >� !��>��0� ����>���� ������ ��

�/����������������>����� � ����#�0����#���"����-�-"#� �����������-���� ������0�# �

� ��!*�� � �"� � � �"��>�"�� (�� * � ���"��>�"��� ���>���� 0� ��� �>��0� ��� �� ���>�"��

-���0���"� � ��

��

>�

,, �#

� 3

N

�3

!� "���� $����1�#�#�� �#�������� �# !� �� &&3 !� >"���

����-��������(���"������(����-���� ������� ��� �>�������0����� ����� ��#"�� N> ��� ��������$�0�

� �� �

�*�

�*�� �

��

*

�� �

3 ��

�# �#�-�#

!�

Page 216: Trandafir Matematici Pentru Economisti

��3+

� � � � *�

�*��

��

> �

���

3

3

N�

,, �#-

�- !�

� � �N�

��*

��>

�� !�

����� N> � �>��� �� �>��0� ��� �1>�#"�� ������ � �� #"�� * �� ) ����� �� >�� �>���

65+!*�

3

�� �

6��

*

��

*

� !������ N> ��"��>�����#�0���� ��������>��0������

��������6$8$6$���� ����� �� ���� �� �� ����� ������� > ����� ��� ������ �������

� ������� � �� ��� � N3> � (�� N

�> � � ��" � �>��0� ��� � �������� �#�� #"�� > !� ��"����

� � � �N�

N3 >> -- !� � � � �N

��N

3� >> �� �����>���� 0��>��0� ��� � � � � N

�N3

N 3 >�>> ,, ���$�0�

� � � � � � � � � � >>�>>�>> ,,-,,-- 33 N�

N3

N !�

����� N> ��>������>��0� ����1>�#"�������� ���#"��> ��

� � � �� � � � � � � � � � � �N

���N

��N

3N3

��

�NNN�

33� >�>>�>

>�>>

����,�,�,

--��

����� �

� � � �N�

N3

N�

N3

N�!N

3 >>>�>�>�>

>> ��

-� �

��� � 3N�!N

3!

>>� !� ��"���� � � � �N

3�N� >!> �� !� ����� N

3> � �"� �>��� >" ������ �� ��&"#� �

3N�!N

3

>>� !� �������� � � � �N

��N

3� >> �� ��$�0� � � *N

�N3 >�>- !������ N

�N3 >> ��-���-��

-�>����������� ��-���� ��� ��� ��-� ������""� � �>!#� � "���� > � -����� #"�� ������ $�#����� ������"��

�����$�#� � ����#���#�����>�#�� ��� �## !���!3 ��1 ��"���B��"�0���� � ��;���� ��� ����-��������

����-�-"#� ���>"���$����1�#���#������������-���������"������(�����>���������-��1�1�#������� �>!#� �� ������� >�#�� ��� � ��## !���!3 � �� ���>���� 0���� "��-"���� B�� >-� �"#� ��� >�#�� ���

�� ��0��>����#� �� !�����-��1�1�#��������#�0����� ���$�����"#"�� � ��## !���!3 ��>���

� � � � � � ���� �#�##�#��#�###� ���!���!���.!���! 3333 >>> �� <�+�+���

��1��� ����&��� ��� 7 �� �� �� � �� ��� �� ��� ���������������������

��1��� ��������� ��� � ��## !���!^3> �� ��� �� ������ ���������������������� � > �

�� �������� ��#��� �������� ��� � ����������� ���

Page 217: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� �35

��&"#� �� � > ��>�����>�#" �������"� ����� � � �

*!#�.!���!#�

3

3 >=

>=

>=>= �

�� #�##��� <�+�5���

)�"� ��� <�+�5���>���"0�(������� �������������������$���������6$8$7$����� ����� � ���� �� � ����� ������� > � �� � ����� � �

� ����������� ��#�� ��� ������� � ����� �> ��>������>��0� ���� ������ !���"�������2�#������� <�+�<�����$����

�2�#������ (�� ������ �

>�>>=

>=�

^!#�

3

,#��

� !� ����� > � �>��� �� >�#" ��� �� ��"� ���� ���

$���>�0�#���������0���� B�� ������"���� �%��$�� �;�0-#�� -��$����-��1#�0�� �>��0� ���� -����"� "��#��

�0�#��������-���� ����"��>�"�����/�����

3�� &������ ����������'����������0�$ &"��� ��%

��>������>��0� ����1>�#"�������� �-����"�

-��1�1�#������� � ��� ��� � 0�� �����>���(�����>��0� ���� ������ ��

� ����������������0��<�+�,��>��(����� �-����"��������>��0� ����1>�#"�������� � N> ��$�0����2�#�������

� �� ��

���

����

�=

= >

��

� ����

3

�N�

#�

3!�

"���� � � ��� 3 !� � � ��� � 3� ��

� �� � �*�

��

�����

��

� 3

3

33

3#���

3

����

����

�=

=�

!�

����� � ���*

� >N� ��9���0"#��>�������>�-����"��%

��

��� ���#�(�� ��&"#���� >�� �H"�2�� �-#��%��� 0������ $���>�0�#�� ��� 0�;�0��� ����

� �*

#�

%��

%

%== %�%

*�

�*� �

�>���1 �����

�%

��

��� &������ �������� ��"����>����������-��1�1�#������ � �� �

��

3! *

��

�*

�#

�#� ��

��� )>��0�����0������� ��������$�0�

� ��*

*

�*

�*

3#�

��!#�

#�#

��#� ��

Page 218: Trandafir Matematici Pentru Economisti

��36

���������0��<�+�,����&"#� �� � � � �

>�

��� #

�##

33

N 3!���! ��>����� "�� �������>��0� ���

� ������ ���#"��� ����������

� � � ��*

*

�*

�*

3#�

��!#�

#��#

��#� �

(�� �#�

-�

�� ��

���

� �3

3!�

�#

��

��

3

� 3 *�

���

� �

�� ��&"#� � � � N> � �>��� �� �>��0� ��� �1>�#"��

������ ��"�� ������$���>�0�#�������>���

� �� �

� ���

3

3

3.!���! *

��

�*

���#

��

� �##� �

���� ���� ��"� ��� $���>�0�#�� ��� 0�;�0�� *#� � � ��&"#� � � � *3

��

�� �# � >�"�

��#�

�3

3��

1�� )>��0�����-���0���"#"��* �� �����$�"�� ������$���>�0�#�������>���

� �� �

� ���

3

3

3.!���! *

��

�**

���#

��

� ##� �

(��

� ��

�*

���*��

�� �#���

3

��3

�#�#�#� ��

)�"� ��� $���>�0�#�� ��� 0�;�0�!� *#�

*=

= �!� ����"��� #�� >�#" ���

� ��

�*�

�� �#

� 3

�3��

,�� &������ ���!����.��>��0�����-���0���"#"�� $ ����� � �.[

,

� , ,

��� � !� !���3!*, �

-��1�&��"����>�#�� �����-���������$�#"0�� ��

Page 219: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� �34

� ��������$�0�

� �"

$�

�$

$ �

��

��#

��

# ##�

3

3

3

[.!���! ��

������"� ���$���>�0�#�� ���0�;�0���1 ���0� �

$�

��#� 3

3��

� ��� � 0�� � � � �

>�

��� #

�##

33

N 3!���! ��>������>��0� ���� ������ �-����"� $ �� G����

���$ �� � � $>N- !� � ��

�$

>N� ��

9���0"#���>-��>����-����"� "�� �������>��0� ����1>�#"�����������>���

� � � ��

$���

���

$=$=�

,

,�,�

�*

!!#�

3!�

����

� � � �$

$

���

��� �$

$���

���

$=$= ��

$�

�, ,

�,�,�

��

,

,�

, *

*

[3!

!#��

����!�0���0"#���>-��>�����>����$

��

��

Page 220: Trandafir Matematici Pentru Economisti

���*

��

/���(���������������,�#��(��

/�3�������&�����$���1��� ���

C��0�� �� ������ #�� ������� 2�� "��#��� �� �>�� �"� � B�� 35,+� ��� � ���� )"#��� � B��#"��������"0�� 7����!� ��������������78����! ���� G��36<5�F���8� ����1��������������� �#�#����#��������-����0������2�� "��#����

G��34/+�����(��"#U��>����"��-#������������2�� "��#���B���� �#�#���������>-������>� �#!� �"- � ����>� � -������ � ������� 2�� "��#��� �� �>�� "��#�&�� � -����"� ��&�#$�����"���� -��1#�0�� �"� ��������� �����0��!� -����"� -����������� �� �#�#��� �#�������!� �������#�&���!����2�&��>�"����� �#�#��������8��� ������#�"#!�����B��0������ ��

��1��� ��$������� 9 � �� �� � �' � ������ � ��� !.9 ���� 7� . � �� �� ���� �� ����� ����� ��� ������"������ ������������.����� � � ��

.#� �� ��� �� �"�!� � � �� ���!��� �� ����� .. F !���� �� �� � �'����

������� � � �3� ## ! !� !� 3# # .� !� 3!� �� !� 3!3 �� !� � 3� ������ ������

C����"�"������ � � ��3� ## ! �$%� "#� �# �>���"0�(������������������ ��� � ���� �!�

����$%� "#� 3# ����������������� � ������� �����

E�� "#�9 ���0��������-��&�������2��0����� �B��-#��!��1 ��"� ��>� �#7��� $%� "��#��>��-#�>��& �B��-#���B��-�&� �����>������������������� ����������� � � ��3� ## ! �>����-��&��� �-��������#��������"��(�����#�����;���0�� ��(��

-�������>��� # �>��>"#����#�� �# �#�� 3# ��

�/�����7����2�� "#� � ��� !.9 �������� � �/<,�3 !!!! #####. � �����

� � � � � � � � � � � � � �� �/<3<<,�,<�,3�3 !!!!!!!!!!!!! ##############�� ��

�"���-��&��������2��0����� 7�

��2"���/�3�3��

����1>��$ �� � � �-����� ���� ���� �������-#��� ���0"#��$�� � � �7 . � .� � �

���� !� � �#� ��>���0"# �0����"�"�������"��#��� ���#���#������#�������"����������� ��#�-�� # ��

Page 221: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� ��3

�>� �#!� 2�� "#� ���� �;�0-#"#� ��� 0��� >">� -����� �� >���>� ���� �/<,�3 !!!! #####. � !� � � � �,�3 ! ### �� !� � � � �<� ## �� !� � � � �<�, ! ### �� !�

� � � �/3< ! ### �� !� � � ��� /# �

��� � � ��� ## �� !����"#� � � ���� ## ! �>���"0�(��� ��� ��

��� �2�� "#� 9 ���� �������"#� � �3� ## ! �$�0�>-"���� �$%� "��#�� �# �(�� 3# �>"���

����������B��9 �(���0%���" �>"��������������"����"#� � �3� ## ! ��

��1��� ��$������ ���� � ��� $���� �4����� ������������� �� ������ � ������� ������ ��� �� ������

��1��� ���������� �� ��������� ����� �� ������������ ��� ����1��� ��$�������� �� ��������� ��� �� �� � � ��� ��������� ����

�4������1��� ��$� �� ���� � � ���� ��� ������� ���� �4������ �������� �

��� �� ��������������1��� ��$� � ��� ��� ��� ��� ��� ������ �� ���� � ��� �� ��������

�� ���������C����"� �;�0-#"#� 2�� "#"�� ���� �2"��� /�3�3!� "�� ��"0� �#�0������ -����� ��

� �/<�33 !!!7 ####� !�#"�2�0�����"0"#"�� 3� ��>���,��

G����"��2�� � 9 !�>���"0�(������������-����8�����$%� "��� 1 23� ## ! ����$%� "���

-����"�������$�0�-��-���������� � � � ��3� ## ! �>�"�� � � ���3 ## ! .�0"�8��#��"�"��2�� �

��-��&������2��0������>��-��&��� ������(���>�20��������������������1��� ����) ��� �� ��� ������ ��� � � � � � � �� �3<,�3 !!���!!!! �� �� ######� �

�� ������ ��� � � ������ ��� � ��� � � �3! ��� ## !� � �,� ! �� �� ## � �� � #�� �����

����� � �������� � �!����!3 �� �� ����1��� ������ ��� ��� ��5�� � � � �4������ � ��� �� ��� � ���������"

�������� ��� ��5��� � � ���'��� � ��� �� ����� ���������"0 �"#����0"�8�������� ��0��& �"��#�� �>���"0�(��������������� �������/�����G��2�� "#����� �2"���/�3����"�0 �����#��(��"�����������>"���#�� "��7�

� � � � � �� �,<<��33 !!!!7 ######� !� � � � �� �<��3� !!!7 ####� !�

� � � � � �� �<��,,3, !!!!!7 ######� !� � � � � � �� ��,,<<3< !!!!!7 ######� �

��1��� ����) ���� � ������ �� ������� $��� ������ ��� �4������� ��� #��� � ��� ������� ��� � � � � �6����������������� �� ��������

������� ��� �� ������������ $��� ������ ��� �4������� ��� #��� � ��� ����������

Page 222: Trandafir Matematici Pentru Economisti

����

��2"���/�3����

��/�����E�� "#�

��2"���/�3�,���

��>�������;!�����2�� "#�

��2"���/�3�,1�

��"��>�������;��

��1��� ��$�(����� ���� �4�� # � � ��� �� � �#� � �� � �� ���� ��� ��� �

��� ����� �� ��� # ��(��������������������4�� # �� ��� �� ��� � �#� � ��� ��

Page 223: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� ��,

��� ������ ���� ������ � � ��#/! ���� ./ � ��(��������������������4�� # �

� ��� �� �� � �#� � ��� �� ��� ���� ��� � ����� � � ��/#! ���� ./ � ��

�/������� G�� 2�� "#� ���� �2"��� /�3�3�� � � �� �� #� � �;�>�%��� ��" � �����

� ��3 ! ## !� � ��, ! ## � �"� ��>���� ��� �# � (�� � � 3� �� #� � -����"� � � � � � �<� ## �� �������

� � ,� �#� ��

��1��� ��$�) ��� �� �� ���� � ������ !.9 ����������� � ��� !.9 �������

�! ��������9 ������������� ����������4���������� ����� � 9� � � �! �� ���� 9 � ���� �������� � �������� �4����� �� � �������

��� �������� �� ���� �� �������� � ��!������9� � �� ���������������� ��� �� �� �4������ . � ��

)�!�������9� �� ��� �� �������� ��������9 ���� � �! �� ���������9 !��4���� � ����4�����"��������������� ������ ����� �������

�/���������2�� "#�

��2"���/�3�<���

G���2"����/�3�<1���>���-��&������>"12�� "#�9� �2�������������"��#��� �/,�3 !!! #### !�

���"���/�3�<1��

����B���2"���/�3�<����>���-��&������2�� "#�-�� ��#�9 �� � � �����#�� � �,� ! ## �(�� � �/, ! ## ��

Page 224: Trandafir Matematici Pentru Economisti

���<

��2"���/�3�<���

���1��� ��$� �� ���� ��� ���� �� ������ ��� ������ ��� �4����� ����

����� �� ��

/��������������������������:��1$��������� ������:��1�������

G��-��1#�0�#�����-��� ����&�#$�����"��H"���"#�2�� "��#����-�����"0����0������������� ����� ��0� ����>"-�������#��!���"0"��#���>�"��#�����#�0�����#�2�������2�� "����

/���3�%��������������������������

��� "�� 2�� � � ��� !.9 � �"� � ��###. !���!! �3� �� �>����0� ���>�"�� 2�� � ��

0�������- ������ �� !��#��� �"���#�0�����>"��� � ��3��3��!3! �

� ��

� �� ��

-����" !3

* -����" !

� 3

�3

3

# #�

# #

, ��<� +E�<*

9�������� � �-���� ��"0�#��������������������!�����������������������������>�"�������������������� �-����"�2�� "#�9 �

��2"���/���3��

��

Page 225: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� ��/

�/�����$�C����"�2�� "#����� �2"���/���3��>����0�0������������;�"��#�����������

!

"

######

$

%

**3**

3***3

*3***

*33**

3**3*

� �

�����0� ���3�� "0 �"#������ ���3����-��#����� �# ���-��&��� ��"0 �"#��������;�"������������#��

#"�� �# !� ���� �"0 �"#� ��� �� ��� 3� ��� -�� ��#����� 3# � ��-��&��� � �"0 �"#�

����;�"��#��� �������� �"� 3# �� ��� �;�0-#"!� ��� � ���"��#�� 2�� "#"�� ��� 0��� >">�

��-��&��� � / �1 ���!���������#������>-"�& ��������-��&��� ���#� ��#�������#�1�����������1������!���"������ ��#�����3����-��#����� �# ����-"������-��&�����-�>�1�#�� �#��

#�� ����� 1����� � � ���� -#�>�0����!� ���� �� ��#�� ��� 3� ��� -�� ��#����� 3# � ��� -"����

��-��&�����-�>�1�#�� �#�����#�������1����� 3 ����-"���� ����B0-�"0"�"������� ��� ���" �2�� "����"������(��0�������������;�"��#����������� (�������(��0"# �0��

���$%� "���!���"������#����" �2�� "������������,�� E���"#� �;������� �#� $%� "#"�� �# � >�� �1 ���� ��"�%��� �#�0����#�� ��� -�� #����� � � ��

0�������� � !� ����2���"#� ����������#����#"��(��$%� �>���1 ������"�%����#�0����#�����-����#����� � ���0��������� 7�

� � �

� ��

3�3� �#�

3

!� � � �

� ��

,,�� �#�

3

��

�/������C����"�2�� "#������2"���/���3�!��$�0� � � 3, �� #� �(�� � � �, �� #� ��

/������%������������������

����0�������� ����;�"��#��� �������!� -���� ��"0���� �-��� ��� >�� -����� ��0�������� �

�3��3���3! �

� � �"0�� ���������� ���������� >�"���������� ����������� ������ B��

�������� ��;�>� ���"0����#�� �# �#�� 3# �

*+,

�*

3�3� �

��� ��"��;�>� ���"0����#�� �# �#�� 3# �

��1��� ��$� � ��� � � � ����� � � � ��#� � � �4������� .#� � � $� �������

� ��� !.9 � �� ��� ����� ���� �4���������� � ���� �3��� ���� �# !�����

��� ����� ���� � � �� � �K3L�� � ������K � L���������� �� � �����

Page 226: Trandafir Matematici Pentru Economisti

���+

�����0� ���3�� 9�������� � � �� ��"0"��#��� 2�� "#"�� 9 � -����� ������� �1>�� �� >�"� -��&�� ��

����"���#���B��2�� "#�9 ��>� �#7��

�� ��� � *���� !� � � �� !3�0 !���"����2�� "#�9 ��"���������"���.�

�� ��� ��;�>� �"��������� � !� �� !3� �-����"������ 3���� !���"�����;�>� �B��2�� "#�

9 �"������"���������������$%� �-�� �# ��

��� ��� � � � *��#� !���"��������$%� "#� �# ��"�>���H"�2����� �����(��>���"0�(����������

������ ����,�� ��� � 0�������� � � ���� ������ �#�0����#�� �2�#�� �"� 3!� ��"���� 2�� "#� �>��� �����

������ ��� � ��#� -" ��� "�� �#�0���� �>��� �2�#� �"� * � B�� � !� 2�� "#� �"� �>��� ���������;��

C����"� �#�1������� "�"�� �#2����0� ��� �����0������ �� 0�������� ��"0"��#���������"��0����-��� �������$�� �-��0"# �0��� ��0�� ������#�0����#�� * �(��3!��"0�� ��-��� �������������� ���� ��"���2"#�#��"�0 �����7�

� � * � 3�* � * � 3�3� * � 3�

�>� �#��#2����0"#���������0�������#�0����������"0"��#���"�"��2�� !�-����������#��0������������;�"��#����������!��>��7�

3�� C����"� ���>��"����� #������ K � L� ���� 0�������� � � 3!� �� �� "�0 ��0� �#�0����#��

�2�#���"�K3L����-��#�����K � L�����0��������� 7��

��� �

3

3

3

��

G

4

3

�!� ��"����

3

3

3

��

G

4

3

��

��� �#�>���� ��"������ 1��#��� !� >�� ��"� � #����#�� 3 !� 4 !� G � ����0�������� � � #�� #�����

K � L.����#��$�#����K3L��- �"���>�������B��#�����K � L���0�������� � .� ��� , !� � !����!� � �-�&� ��#����"-����������>�������$�#����B������"#�#�������

,�� ��"� 0� 1��#�����#����#�� , !� � !����!� � ����� � �#��#�����K � L�����%������#��$�#�������K3L��- �"���B��#�����K � L���0�������� � !�������"%���-����>"#�-%� �#���-��� ���"���������>��"� ��#�7�

��� >�"��������#�0����#�� �3� � 3!3 �� ����$����2�#���"�K3L��

1�� �"�0����-���������"���#�0�����2�#��"�K3L!���&�B�������#��"��#��� 0�>��#�1����>����0-#����& ��"�&���"���(��>��������#��#�����K 3�� L!�-����"������>����-�� �-������"#��

���

Page 227: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� ��5

�/�����$�C����"�2�� "#������2"���/���3���"�0������������;�"��#������������ ��>����� !������0�� 0�0����������"0"��#��� � ��3�����>��"�0�#�����3���0�������� � �-����������#��#�����3���0��������� ���1>��$ 0�� �

33� �� �(�� 33/ �� !���>�"#��#�0����#��� ������2�#���"�&�����

��"������"� 0�1��#����#�����3������ ��"�#����#�� � �(�� / ��#��0��������� �

� � 3333*7

**3**

*33**

3**3*

7

7

7

�3

__________________________

/

3

��1>��$ 0�� �#����� ��

3# ��� �� ����#3�-�����#�0���"#�2�������-��-�&� ��#�� � � 3�3, �� �

(�� � � 3�3< �� �������0�#��-�>"#�,������#2����0�(����"� 0�1��#����#����� � ��

3� ��"�#����#�� , �

(�� < ������ ��� �

� � 333337

3***3

*3***

3**3*

7

7

7

,3

__________________________

<

,

�3

�1>��$ 0�� �>����1 ��"����#������"��������#�0����#���2�#���"�3!�����!�#�����3���0�������� � �$�� ��� � � 3333373

�� �

���C����"� #����� � ���0�������� � ��1>��$ 0�� � 3�, �� !� 3�< �� !� ��>�"#��#�0����#���

������2�#���"�&�������"� 0�1��#����#����� � ������ ��"�#����#�� , �(�� < ��

� � 333*37

3***3

*3***

*33**

7

7

7

��

__________________________

<

,

��1>��$ 0�� �#����� � ��

�� ��� �� ����#����� � �-�����#�0����#��2�����������-�&� ��#��

3� ���3 � �(��� 3� ��

�/ � ����"� 0�1��#���� ���# ��"�#����#��3�(�� / ��

Page 228: Trandafir Matematici Pentru Economisti

���6

� �

� � 333337

**3**

3**3*

333*3

7

7

7

,�

__________________________

/

3

��

�0��1 ��"���������#�0����#���2�#���"�3!������ � � 333337��� �

��0�#���-����"�#����#��,!�<!�/�(���1 ���0�0�������� � �

!

"

######

$

%

33333

33333

33333

33333

33333

� �

�����0� ���3�� E�� "#� 9 � ���� ����"���!� � ��� �;�>� � � � �>� �#� B��%�� 3���� � �;�0-#"� 3�� �� ���

9���0"#�� ������$�#���#������0�������� � �>"����2�#���"� 3!������2�� "#��>��� ���������;��

��� C"����#���������2�����#��$%� "��#��� � � /��#� !� /!3�� ��

,�� �#2����0"#�-��&�����������������������0��������0����������"0"��#����>�����>�"#����#����B�����-��$�(����-#�������-����#�"#����!��$%�����0-#�;������� � ���� !������>���"��#�B���-#��� ���� ���"����0��"�#�-��2�� "��������0��>�"������">���

/���,�*�������������������������������������������� � ���������

��� �2�� "#� 9 ��"���������"���!�$�0�>�����0�������� � �����"0"��#���2�� "#"�!������%��� B�� -���#�1�#� $%� "��#�� 2�� "#"�� B�� �������� ��>���>� ������ �� -"����#��� �������2����'��>� �#� ������$�#���#�����K3L�����0�������$����- �������>"-������2���#���-�����-�#���

����������� ��� � B�� 2�� "#� 9 � �;�>� � "�� ��"0� ��� #�� �# � #�� 3# !� ��"���� � � � ��3 #�#� � !�

���������������$%� �����>����� 3# �-����� ������>�(������ �# !�-������"����"0��1 ��"��

B������"#��-��� ����������������.��� ��� � ��� 0��� �� -�>�1�#� ��� 3��3� � �"� 3� � !� ��"���� � � � �3� #�#� � � ����� ���

��� ��0�������H ����#����#���(����#����#����"�0����>���-�>�1�#�����>�� -������"� >�� �"0�(��� K���������������L.� 0�������� � � >�� $�� �"0��

K�� ��������������� ��������L��

Page 229: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� ��4

)>����$������� ���� ���������� ��### !���!! �3 ���$B� "��#���2�� "#"������"�����#��

��0������������2"#���&�� ���"���� � � � � � ��#�#�#� ��� ����3 ��

����>� � ��0 �����-��-���������� � ��������#�0�����2�#��"�K3L����-�� �������#�������0����������"0"#"������>-"����"�"����"0� ��0���������"��>��2"�������

G�������$ �!�-��>"-"��0�� !�-��#�����$%� "#"�� �# ����>��� 0�� 7�

*+,

���

��

�3

3,�

�3

�, 3!33

*�

� �-��>"-"��0�� ��;�>� �"����"0����#�� �# �#�� 3# � ��0�������0���0"#�������!�

����;�0-#"���"0"#� � � � �� �3,,� #### !!! ����"�����$�07�

� � � �3,,3

�,#�#�

��H

��

3

3!�

����� ,# � �>��� B�������� #"�� 3# � (�� ����� $�#������ 3��,� � ��� �� ��������� � #"�� �3� !� -��

#�����$%� "#"�� �# !����������0�-��>"-">�� ��"�>��B��%0-# ��

�/���������0�������� � �����"0"��#���"�"��2�� �

� �3 � , < 3

3

,

<

* 3 * 3 �

* * * 3 3

3 3 * 3 ,

* * * * *

# # # # � #

#

#�

#

#

% "# # �# # $ !

C����"��������2"#���&��0�������� � ���� �#�>�0������#� ��#��� � � � � � � �<�3, #�#�#�#� ��� !�

$�0� >����� $%� "��#�� B�� �������� � �<�3, !!! #### � B�� #��� ��� �������� � �<,�3 !!! #### ��

�$�07�

3 � , <

3

�3

,

<

* 3 3 3

* * 3 3

* * * 3

* * * *

# # # ##

#�

#

#

% "# # �# # $ !

������>���0�������������2"#���&�� �����"0"��#�������>��� ���>����� ��� -��0��� �#�1������� �#2����0"#"�� ��� �����0������ ��

��"0"��#���8�0�#��������B��2�� "��#�� � �����"���!��>� �#7���

Page 230: Trandafir Matematici Pentru Economisti

��,*

�������� 7$5$3� %A$� �+�'$� �� ���� � � ������� " ��� �� � K� L� �4�����"��� �� ������'����������"��� ���������� �� � �

� � � ��

3

3

��

��#�

�� ��

� ������� � ��� � ��###� !���!! �3� ���"0"#�8�0�#�������B��9 !���"���7�

�� ��� � 3� � ����� 3# ��"�>��-���������2��$%� "#� �# !����������B����&���������B�� 9 �

����;�>�������"���.�

�� ���� $%� "#� �# � 3!3 �� �� �� >�� -��� ����2�� $%� "��#�� ��� ### !���!! �3 �� � �����

� � ��#� � �� .�

�� ����$%� "#� �# ��"�>��-���������2�������"��$%� ��

G������#��$�07�

� � � � � � � �

����

��

����#�

3 3 �

3�

����-���!� -��>"-"��0� � � � � � ��

��

��

��#�

3 �

3!� ��"���� B�� 0�������� � � >��

2 >�>��� �

3�����#�0��������K3L��

�����2"#���&%��� >"-������ ����>� � 0������!� ���>��� �#�0����� $��� ��"-�� ������#��"��#����>-���1�#��������>"-������2���#��.�B�� ���#���"0"#�8�0�#�������B�>"(���>����������>"���>�"����$%� "��#�������>-"�& ������0�������������2"#���&�� �>"-�������

�����0� ����G����"��2�� � � �����"���!��;�>� ���#�0"#��"����"0�8�0�#����������� ���� �;�>�����" ���"0"���8�0�#�������� � �3

:� � (�� � ��:� !� ��"���� B����#����" �

��"0"�������;�>�����#�-" �����" �$%� "��� �# !� 3# ��(�&����B�����������$��> !������������

����> ��-�� �"������"���B����� �# �(�� 3# ��

�#2����0"#���������0����������"0"#"��8�0�#��������#�����+�

��� >����� 0�������� � ��3��3��!3! �

� � �� ��"0"��#���� ��� � �;�>� � "�� ������� K � L�

-����"� ����� 3���� !� ��"���� 2�� "#� ���� ����"���� (�� �#2����0"#� `��8��� �"� >�� -�����

�-#�����#�����,�

G����&��������!���� �B��0��������;�>� �� �

3�����#�0��������K3L�2�� "#���0����

��"0�8�0�#�������(��>��������#��)��-��,!�������� ��"0 �"#�����#�0�����K3L��>���0���

0������%��� �

3����2�� "#��"�������"0�8�0�#��������

Page 231: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� �,3

#�����-��������� $%� "��#��� B�� ����"#� ��"0"#"�� 8�0�#������� �>��� ��� � ��� ��������

��>���>� ��������-"����#����������2������/������� ������0�� 0���"0"#�8�0�#�������-����"�0����������"0"��#��������;�0-#"#�

-����������9���������"���� �����������$�#����� 3�-�����2���# !������2�� "#� #�� �����0���������>����>����� ��"���� ��������"�����

�$�0� � � �3 �#� .� � � 33 �#� .� � � ,, �#� .� � � *< �#� �(���>� �#� � � +<

3

���

�#� !�

����-����"� <�� ���&"#� �� �

+�

3�

�����

����!�>��-������-#���������0��#"���8��!�B��9 ��;�>� �"����"0�8�0�#������!��������>����>��� � �<�3, !!!7 ####�: ��

/���<�*��������������������������������������������������

�#2����0"#���������0��������0����������"0"��#�������"�����������-����>�������!�B�� >��>"#� � � -��&�� ��"���� $�#���� ��� K3L� B��0�������� ��"0"��#��� �"�� � �� ��0� ����>"-���$%� "��#������������>����0-"����"0"��#������>-"�& �����!�1���B� �#�>�� �������>"-����"0 �"#"�������"0"���B�����$%� "��#�����������>-"������#���$�#�������K3L���

���"���;�0-#"�����#2����0���-�1�#�> �� >-"�� ����>������&�������!�-��&��� 0��#2����0"#� "���0����#���������#"����F�" 0���� 34+,���"0����#�KB�0"# �����#�����L��

������"��0� ��� -"���� ��� -#�����!� ��0������� � �3- !� ����� B�� #��"#� $�#���#��� ���K3L� "��#�&���� B�� 0�������� �1�(�"�� � �� ����#��!� "��#�&��& � B�>"(�� ���"#� ��>-����$!���-��&������-����$%� "��#�������B#���0-"��� � � � �� �

�3��3�-!3!

33

�� !�"����

��� ��;�>� ��������#�� �# �#�� 3# �� �

*+,

�*

3 3��3

##� �

B����>��

C���� >"-��0����� -��0��� #������ B�� 0�������� � �3- � >�� �1 ���� �� 0������� � �3J- �

�"0�� �K��������� �������� ���L�������0-"��0������#�� � �3- �(�� � �3J- �-�����-��� ���

���K����� ��������� L�� � � � �3 3- 2 -� ��G�0"# �����#���� ���0������#���>�� ���� ��0�#����(�� B�0"# ���������" �0������!�

� �B�>"0����(�� � �B�0"# ����� ����$ � ��%��������� 7��� -���">"#�#���������" ���0-�������-������-�����#����#�"#��>����"#���� ���#�-" ���

"��������#���>����"# ���� -���">"#�#���������" ���0-�������-������-������>����"#���� ��"�$%� ���0"����� ��&"#���"#���0-"���������>� �B��>��������B��������"������$%� "��#�����0-�������

�#��>�01�#"��#���-������-������

Page 232: Trandafir Matematici Pentru Economisti

��,�

C���� �� ��� ��� -���">"#"�� #����� �$�0� � � � � � �� 3 3- - 2 -� � !��� � � � � �, � 3- - 2 -� � !�A��#2����0"#� ������" � -%� � #�� �1 �������0�������� � �3�- � !�

���������B����"��2�� ��"� � �$%� "���"����"0�8�0�#����������� 3�� �������

G�� 0�������� � �3��- � ����0!� ��� ��0� 0��"#"�� ��� >������� ��� 0��� >">� ��������"0"��#��8�0�#���������#��2�� "#"���

��� ��������#�0����#��#"�� � �3��- �>"���&���"��� � � >��3�- �!�2�� "#��"���0������"0�8�0�#��������

�����0� ����C������"#��>����-#���1�#�-����"���������-����2�� ���������� �"�>�"� � � ����"���!� ���� -����"� 2�� "��#�� � � ����"���� >�� ����0��� � �#2����0"#� #"���8��!�B���"�%�� -����"� 2�� "��� ��� ��0��>�"���0���!� �#2����0"#� B�0"# ����� #������ �>��� 2����� ����>�2"����

�/������� � � >�� �����0���� ��"0"��#�� 8�0�#�������� -����"� 2�� "#� ��������� �2"���/���3��

� ������ 7��"0� (��0� � !� 2�� "#� ���� ����"���!� $�0� �#�>�� 0������ B�0"# ����� #�������

9������#�� � �3- �(�� � �3-� �$��� �7�

� �

!

"

######

$

%

****

***

****

***

***

,/

/<3<

<,

<�,�

/3�3

3

##

####

##

####

####

- �

� �

!

"

######

$

%

****

***

****

***

***

J

,

/3

<

<,

/�

3

#

##

#

##

##

- �

� �

!

"

########

$

%

=>?

*+,

****

**

***

**

***

<,/

/3<,/<�3<

/<,3<,

/<�<,�3<�

<�3,/3

,�3

###

#########

######

#########

######

###

- �

Page 233: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� �,,

� �

!

"

##########

$

%

=>?

*+,

=>?

*+,

=>?

*+,

****

****

***

**

***

3<,/

,/3<

,�3<

/3<,�3<,

/<,�

/3<�,/<�3<,�

/<�3<,/3

<,�3

,

########

################

############

########

####

- �

� �

!

"

######

$

%

****

*****

*****

*,**

***

�3<,/

/3<,�/3<�

/<,�3,/<�3

<

#####

##########

##########

- �

��

G��2�� "#������;�>� �/���"0"���8�0�#���������G�� ��&"#� B�� ����� �;�>� � 0��� 0"#��� ��"0"��� 8�0�#�������� -��&��� � ������>� (��

�� �"�������K��#�0���1"�L���"0�8�0�#�������������������"���#�������������"0"����-��0��B����"��2�� ��

/���/�*���������������������.�������/�����������'������.0��� �

��� � ��� !.9 � "�� 2�� !� $�0� ������"��� �� "�� ��� 7� � � � � ��� �>����& � ��� �"����������� ���$�#��������# ��

�� 0� � �3��3 ##�� !� � (�� � ��.9� !!�� � 2�� "#� $�#"���� G�� ��&"��#�� ���#��

$�#"�����-�������-��&����7���>��� �����������" �-"����� #���#�� ��.���0-��>�"���>�"���B�������� ����������>-���������

C����"� "�� ��"0�,��� ###� !���!!

�3� � B�� 2�� "#� 9 � $�0� �"0�� K������ �

��������L!�>"0��$�#���#�������#�����0-������!����� 7�

� � �

��

�3

33

,

''�'�

��� �

���0� > � �����0�� 0� ��"0"#� K � L� ��� #�� "�� $%� � ��������� �# � #�� $%� "#� �# !�

-����"������$�#������#"�� � ��� �> � ���0���0 ��C����"� ����>��� ������"��0� K��������� ������ � �� �������� ������L!�� �

�3��3�0!3! �

� !���� ����

Page 234: Trandafir Matematici Pentru Economisti

��,<

� �� �<

*

<+

,

�E�

���

&

3�

3��3�3

##3�

##

3�

��

!!-����"

!-����"

-����"*

(�� ��� 0� �"� � �,�� � $�#������0���0 � �� ��"0"#"�� � � ��� #�� �# � #�� �# � B�� 2�� "#� ���!�

���>������� B��0"# �0�����"0"��#��������#�0"#�� , �����!��"� �� �$�#������0���0 ���

��"0"#"�����#�� �# �#�� �# !����>������ �B��0"# �0����"�"������"0"��#��� ���� ���������

�"0 �"#�����������0-����������#2����0"#� ��� ���>��"���� �� $������#��� � � ���� !3� � >�� 1�&��& � -�� "�0 �����#��

-��-�&� ��7������2� ���7$5$5$�� �������� N, �� ��� ��

� � � �� �,3�3

�3

,� ��� ��

!3

3 0�� �

� ������� � �)>��� �$������ � � "�� ��"0� ��� ��#�0"#�� 3�, � ����� �"� ��>���� ��� �# � >�� -�����

�1 ����������"����"0������#�0"#�� , �������"���>���� ��� �# !�-������ "2�����"�"������

#��B���-"�"#�> "������7�

� � � � � �� �,3�3

�3,

,��3

�3

,� ������ ��

=>?

*+, ��

��

!3!3

3 0��0��0�� �

�����2� ���7$5$4$���� ��;�>� � N, �� �-����"������ � � � �3�� ,�

,� �� !�-����"�������

�� !3� !���"���7�

��� � � � ���

,� �� � !� �� !3�0 !� 3��0 ,� �

1�� �,� �� � !� �� !�0 ��

� ������� � ���� ��0��>�� 0�-�������"� ����"- � � ��C����"� 3�� ,� �-��-����������>������$ ��� �

��� ��0���"� "#"���C��>"-"�%���-��-������������$ ��� �-����"���$�#����� '� � ��$�07�

� � � � � � � �3 3

3! 3!0�� 0��' ' , ,

� �3 � �3 � �3 � 3 �

� � � � � �� �

� �� � � � � �

1�� ��&"#� � B�� 0��� �$�����!� -����"� � � -���� �� "2����� ��� ����� ���� �"� �1 ���0���"0"������$�#�����0���0�� ��1������������������������������������������>��7�

#�����+���� ���>���� � 2�� "#� $�#"��� � ��.9� !!�� !� � ��###. !���!! �3� � >��

���>��"��(���0���������>���> ���$�#���#�������#��� � ��3��3�0!3! �

� ��

��

Page 235: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� �,/

#�����,�������"2 �0��������0 !�#����#��>"-#�0������� � �� �3

�� !� � �� ���� !�A!���>� �#7�

��� #����� � �� �3�� �����������"�����>-">����#������ � ���0��������0 !� � ��

�33��!3�

.�

1�� -��>"-"�%��� ��0-#���� � #����� � �� � ��,

�� !3� � >�� ��0-#����& � #����� � �� � ��,

�� !33

�� �

��� ��0�-��-�&� ����3����� >��������" ��-#������� �&��� 1��-%� �#���1 �����������" �#����� � �� �,

�� �(�� � �� �3�,�� �

���������#�����-�

��������0�� ���2��>�$���"0"#��0���0����#�� �# �#�� �# ��>� �#7�

�� >����"� �#�����K � L�����0 ��"�#����� � �� �3�,�� �"�0 ����"�>����&"#���"#�0���0����>��

-����� �1 ����� � � -��>"-"��0� � � � � � �33 �� �� ,��3

,� ��� !� ��"���� -��0"#� ���� ����

��"0"#�0���0����#�� �# �#�� �# ��>������"#� � �3� ## ! .�

�� >�� ���"2 � #����� K 3 L� ���� 0 � �"� � �� �3�,�� � �� ��%��� $�#����� 0���0 !� � #�� � ���

�;�0-#"�-����#�����K , L!���"�����#����#�������$�� �� � �,3 ## ! � (���0�����#��0"#�

>"���>��������0�����$�� �� �# ��

1������������������������������������������>���#�����+�

������>��"��(���0��������0 ���$�#���#�������#����>� �#7�

� �� �<

*

<+

,

�E�

���

&�

3�

3��3�3

##3�

##

3�

��

!!-����"

!-����"

-����"*

#�����,���0�#����"����-���������#2����0"#���������!�����#��-�>"#��1��#����� � �� � ��

,�� !3

3�

� �

>����0-#����& �-���� � � � �� �,3�3

�3

,� ��� ��

!3

3 0�; �

#�����-������0���������"0"#"��0�;�0�>�������0�� �#�� �#����#�����-��,���������� ����0� -��&����� ��" � �;�0-#�� ��� �����0������ �� ��"0"#"�� 0���0!� ��>-����$�

0�;�0��"��H"���"#��#2����0"#"����##0���F�#�1����/������� �%� "��#�� 5�3 !���!! ### � ��-��&��� � B����-�������!� ���� -�� ����� �>���

0����� ��"������;��"� ����������#"#"��B��-"���"#� 3# ��"- �� ���"�����#"��B��-"���"#�

�# � B��"�������������0-�����>-"�& �������� �>�������0������0-"#�0���0����������#!�

������� 3# �(�� 5# ���

Page 236: Trandafir Matematici Pentru Economisti

��,+

��2"���/������

� ������ 7�#�����+�

���>��"�0�0��������0 ���$�#���#�������#��7��

� 3# � �# � ,# � <# � /# � +# � 5# �

3# � * � � � + � 33� & � & � & �

�# � & � * � < � , � 4 � & � & �

,# � & � & � * � 3� & � 33� & �

<# � & � & � & � * � & � & � 4 �

/# � & � & � & � + � * � 3< � 34 �

+# � & � & � & � < � & � * � 3, �

5# � & � & � & � & � & � & � * �� � � � � � � �� �� �3�� � & � & � & � 4 � 34 � 3, � * �� �� ���� � �* � 3� � 3* � 4 � 3/ � 3, � * �� �� �,�� � 3< � 3� � 3* � 4 � 3/ � 3, � * �� �� �<�� � 3< � 3� � 3* � 4 � 3/ � 3, � * �

�#�����,���� �� "2 0� � �3

�� �#��0��������0 !�������>�������>-"> ���#������ � ��33�!35 �

.�

1�� ��0-#�� 0�0��������0 ��"�#����#�� � ���� !� � �,

�� !� � �<�� �(������� ��

� � � �� �,3�3

3

,� ��� ��

5!3

3 0�� �

Page 237: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� �,5

�(����� -����"� #����� � ���� !� -��0"#� �#�0���� � ��

3� � >�� �����0�� � ��"�%���

�#�0����#�� #������ 3� �� 0�������� 0 � �"� ��#�� �#�� #������ � �3�� !� ���� 0��� 0�� � �����

�#�0���"#�� "������ � � �� �

� � �**!3,!34!433!+!�!*0��

0�� 35!3

�3

�&�&�&���&�&&�

����

,33

3���

� � � �� �� � 3�*!3,!344!,4!<!*!0��

0�� �5!3

��

��&&����&�&&�&

����

,33

3���

� � � �� �� � 3**!333,!34!34!*!!0��

0�� ,5!3

�,

�&��&���&&�&&�&

����

,33

3���

� � � �� �� � 4*!3,33!34!*4!!!0��

0�� <5!3

�<

��&�&��&�&&�&&�&

����

,33

3���

� � � �� �� � 3/*34!3,3<!*34!+4!!!0��

0�� /5!3

�/

�����&�&&�&&�&

����

,33

3���

� � � �� �� � 3,*3,!*3,!34!<4!!!0��

0�� +5!3

�+

���&��&�&&�&&�&

����

,33

3���

� � � �� �� � ***!3,!34!4!!!0��

0�� 55!3

�5

���&�&&�&�&&�&&�&

����

,33

3���

C����"�#����� � �,�� �$�0��$��� � � � �� ��

5!3

, 0�� 3�33

� ��� ���

7�

� � � � 3<*!3,!3/!334!+3*!�3�!*�*0��,3 �&�&�&������� �� � � � 3�*!3,!3/4!,4!<3*!*3�!�*0��,� ��&&�����&��� �� � � � 3**!333,!3/!34!*3*!3�!�*0��,, �&��&���&�&��� �� � � � 44*!3,!3/!*4!3*!3�!�*0��,< ���&&��&�&�&��� �

� � � � 3/34*!3<3,!*3/!+4!3*!3�!�*0��,/ �����&�&�&��� �� � � � 3,3,*!*3,!3/!<4!3*!3�!�*0��,+ ���&��&�&�&��� �� � � � ***!3,!3/!4!3*!3�!�*0��,5 ��&�&�&�&�&�&��� �

C����"�#����� � �<�� �$�0��$��� � � � �� �,

5!3

< 0�� 3�33

� ��� ���

7�

� � � � 3<*!3,!3/!334!+3*!�3�!*3<0��<3 �&�&�&������� �� � � � 3�*!3,!43/!,4!<3*!�3�!3<0��<� ��&&�����&��� �

Page 238: Trandafir Matematici Pentru Economisti

��,6

� � � � 3**!333,!3/!34!*3*!3�!3<0��<, ��&�&���&�&��� �� � � � 44*!3,!3/!*4!3*!3�!3<0��<< ��&�&��&�&�&��� �

� � � � 3/34*!3<3,!*3/!+4!3*!3�!3<0��</ �����&�&�&��� �� � � � 3,3,*!*3,!3/!<4!3*!3�!3<0��<+ ���&��&�&�&��� �� � � � ***!3,!3/!4!3*!3�!3<0��<5 ��&�&�&�&�&�&��� �

�1>��$ 0�� �#����#�� � �,�� �(�� � �<

�� ��������!������ ��#��>���-��>���

)#�0����#��#"�� � �<�� ���-��&��� �$�#������0���0 ��� ��� ������"0�������H"�2��

B�� 5# ��

#�����-������"� �#�����3�����0 ��"� � �<

�� �"�0 ����"�>����&"#���"#�0���0!�������>���3< !�

-��0"#�����$�� �� � ��3 ! ## ��

��� ��"� � #����� � � ���� 0 � �"� � �<�� !� ��&"#���"#� ����� 3� !� �#� ���#��� ���� $�� ��

� �<� ! ## ��

��� ��"� � #����� < � ���� 0 � �"� � �<�� !� ��&"#���"#� 0���0� ����� 4 !� ���"#�

����>-"�& ����$�� �� � �5< ! ## ��

�������"0"#�0���0����#�� 3# �#�� 5# �$�� �� � �3 � < 57 ! ! !� # # # # ��"� � � 35��� ��

�/������� ��� ���>���� � 2�� "#� ���� �2"��� /���,�� � � >�� �����0���� $�#������0�;�0 �����"0"#"�����#�� 3# �#�� +# ��

��2"���/���,��

�� ������ �� �-#�� 0� �#2����0"#� ��##0���F�#�1��� ��#�"#�#�� $��� ��

>�>��0���&����B����1�#"#�"�0 ��������

Page 239: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� �,4

0 � 3# � �# � ,# � <# � /# � +# �

3# � * � / � 6 � 36 � &� � &� �

�# � &� � * � + � 3* � 3� � �3�

,# � &� � &� � * � 4 � 33� �, �

<# � &� � &� � &� � * � 6 � 3+ �

/# � &� � &� � &� � &� � * � 4 �

+# � &� � &� � &� � &� � &� � * �� � � � � � �� �3�� � &� � �3 � �, � 3+ � 4 � * �� ���� � ,< � �4 � �/ � 35 � 4 � * �� �,�� � ,/ � ,3� �+ � 35 � 4 � * �� �<�� � ,+ � ,� � �+ � 35 � 4 � * �� �/�� � ,5 � ,� � �+ � 35 � 4 � * �� �+�� � ,5 � ,� � �+ � 35 � 4 � * �

�� � � � ,<*!4!3+36!�,6!�3/!*0�;�3 ���&��&����&��� �� � � �� � �4*�3!43�!3+3*!�,+!�3*!0�;�� ������&��&��� �

� � � � � �� � �/*�,!433!3+4!�,*!�3!0�;�, �����&��&��&���

� � � �� � 35*3+!46!3+*!�,*!�3!0�;�< �������&&��&���

� � � �� � 44*!4*!3+!�,!�3!0�;�/ �����&��&��&&��&��� �

� � � �� � ***!4!3+!�,!�3!0�;�+ ����&��&��&��&&��&���

� � � � ,/*!4!3536!�/6!/�4!*,<0�;,3 ���&��&������ �� � � � ,3*�3!43�!353*!�/+!�4*!,<0�;,� �������&��� �� � � � �+*�,!433!354!�/*!�4!,<0�;,, �������&�&��� �� � � � 35*3+!46!35*!�/!�4!,<0�;,< ������&��&�&��� �� � � � 4*4!4*!35!�/!�4!,<0�;,/ �����&��&��&�&��� �

� � � � ***!4!35!�/!�4!,<0�;,+ ����&��&��&��&�&��� �

� � � � ,+*!4!3536!�+6!/,3!*,/0�;<3 ���&��&������ �� � � � ,�*�3!43�!353*!�++!,3*!,/0�;<� �������&��� �� � � � �+*�,!433!354!�+*!,3!,/0�;<, �������&�&��� �� � � � 35*3+!46!35*!�+!,3!,/0�;<< ������&��&�&��� �

Page 240: Trandafir Matematici Pentru Economisti

��<*

� � � � 4*4!4*!35!�+!,3!,/0�;</ �����&��&��&�&��� �� � � � ***!4*!35!�+!,3!,/0�;</ �����&��&��&�&��� �

� � � � ,5*!4!3536!�+6!/,�!*,+0�;/3 ���&��&������ �� � � � ,�*�3!43�!353*!�++!,�*!,+0�;/� �������&��� �� � � � �+*�,!433!354!�+*!,�!,+0�;/, �������&�&��� �� � � � 35*3+!46!35*!�+!,�!,+0�;/< ������&��&�&��� �� � � � 4*4!4*!35!�+!,�!,+0�;// �����&��&��&�&��� �

� � � � ***!4!35!�+!,�!,+0�;/+ ����&��&��&��&�&��� �

� � � � ,5*!4!3536!�+6!/,�!*,50�;+3 ���&��&������ �� � � � ,�*�3!43�!353*!�++!,�*!,50�;+� �������&��� �� � � � �+*�,!433!354!�+*!,�!,50�;+, �������&�&��� �� � � � 35*3+!46!35*!�+!,�!,50�;+< ������&��&�&��� �� � � � 4*4!4*!35!�+!,�!,50�;+/ �����&��&��&�&��� �

� � � � ***!4!35!�+!,�!,50�;++ ����&��&��&��&�&��� �

������ ��#�� >�� �-��>�� ����!� � ��� �0� �1 ��"�� #����#�� � � � �+/

�� �� � �� �"�2�0���0�;�0 � ��

��"0"#"�����#�� 3# �#�� +# ��>��� ,5 ��

#�����-������0�� 0�>"���>�"��������#���B����"0"#�0�;�0��>� �#��1 ��"���

3�� ��"� 0� #����� � �+�� � �"� #����� 3� ���� 0 !� $�#������ 0�;�0 � �1 ��"� � �>��� ,5 �

����>-"�& ����������"#� � ��3 ! ## ��

��� ��"� 0�#����� � �+�� ��"�#����� � �����0 !�$�#������0�;�0 ��1 ��"� ��>��� ,� !����"#�

$�� �� � �,� ! ## ��

,�� ��"� 0�#����� � �+�� ��"�#���� , �����0 !�$�#������0�;�0 ��1 ��"� �$�� �� �+ !����"#�

$�� �� � �<, ! ## ��

<�� ��"� 0� #����� � �+�� � �"� #����� < � ���� 0 !� $�#������ 0�;�0 � 35 !� ���"#�

����>-"�& ���� � �/< ! ## ��

/�� ��"� 0� #����� � �+�� � �"� #����� / � ���� 0 !� $�#������ 0�;�0 � $�� �� 4 !� ���� ���"#�

� �+/ ! ## ��

��"0"#�����>-"�& ����$�� �!������ � �+/<,�3 !!!!!7 ######� ��"� � � ,5��� ��

��� ������0�> ������0�� 0���"0"#�0���0����#�� 3# �#�� +# �-����� 0����#�2��

)��-�#��3�(����>"���>�>��0���&����B����1�#"#����0���H�>7�

Page 241: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� �<3

0 � 3# � �# � ,# � <# � /# � +# �

3# � * � / � 6 � 36 � & � & �

�# � & � * � + � 3* � 3� � �3�

,# � & � & � * � 4 � 33� �, �

<# � & � & � & � * � 6 � 3+ �

/# � & � & � & � & � * � 4 �

+# � & � & � & � & � & � * �� � � � � � �� �3�� � & � �3 � �, � 3+ � 4 � * �� ���� � �+ � �3 � �* � 3+ � 4 � * �� �,�� � �+ � �3 � �* � 3+ � 4 � * �

������ ��#��>���-��>�!�� ����0��1 ��"�� � � � ��,

�� �� � ��

#�����-������0�� 0�>"���>�"������"0"#"��0���0����#��;3�#��;+��

3�� ��"� 0�#����� � �,�� ��"�#�����3!�$�#������0���0 ��>��� �+ !����"#�$�� �� � ��3 ! ## �(��

>���1 �� �-����#�����#"�� �# ��

��� ��"� 0�#����� ,�� ��"�#����� � !�$�#������0���0 ��>��� �3!����"#�����>-"�& ����$��

�� � �+� ! ## �(��>���1 ����-����#�����#"�� +# ��

����!���"0"#�0���0�$�� �� � �+�3 !!7 ###� ��

/�,��#��/���/���;���.���� ���&������������

��1��� ��$��� ���� ��� ���� ������� � ��.9 !!�� � � � ������� " � ��� �� �� ����������������� $�� ���� �� ��� ���� � ����� �� �

3�� ��� � � ��###. !���!! �3� !�������� �� !3�0 ��� �� � � ���� ## ! ��

��� #��� ���4������� .# �3 �$���� ������ ���������"����������� � ���

,�� #��� �������4�� �# ������� ��� � ���������"������������ ��� � ���

<�� 9 � �� ��� #�� #��� �������� ��� 3# ���� �# ��

/�� )5�� ���������� � � 7� � � � ����� �$��4�� � � *��� �� �������� ���� ��� .�

��� ���� � ��� �� ��� �� ������������ � �����

Page 242: Trandafir Matematici Pentru Economisti

��<�

��1��� ����&������� ���!��� �� � .; � !�� ��� �� � ����� � �������; ���� �� �� ��� �

� � � � ���E����� ;#;###; 3�3� !! �

� � � � ��E������ ;#;###; 3�3� !! ��

�������� �� � �� �� � � �

���

� ��;3#�#�3�;�

!

� �� ������������� �������� � �;�� ��

��1��� ����� ���� � � 7� �� �� � ��� �� ���� ��� �� ����� ��� ���������

� ��.9 !!�� ���� $�� ���� �� ��� ���� � ����� ��7�3�� ���� ������� �����������������7�

� � ��0 3� ## ! !��� �� � ��3

�## 3� �C� !* ��

,�� ���� ����������������

.#� �0 !��� �� � �� �

� ���

!"#

$%

���

�C�C

'#3#

''3

3#,#

,3, ####

!

3

!

3

!! �

�����0� ��� 3�� ����� ��� ��� � ��0 � � � -����"� ������ $%� � # � �"� 3## � � (��

�## � !�>"0�� #";"��#������-������#����������� �B�� # ��>����2�# ��"�>"0�� #";"��#���

-������#���������>����� # �������0� ���5��"�� ���C ��"��>���"��� ��

��1��� ��������� � � ��3� ## ! �> ��� �� �����������"��� $���������� C �

�� ���� �� �� � � �33� �## �C ! ��

��� -"��� -��1#�0�� �����0�� ���� "�� ���� C � �>� �#� B��%�� >"0�� #";"��#��� -��

����#��������� �B�� �# �> � ���0�;�0 !��(���"0������ ��� ������������������

���� !�������� ������ #";"��#�� 7� �� �� �-�>�1�#�� B�� �� ��"�� � ��.9 !!�� �

>��"�0 ��(���> �>�������0���� #";"#� C �-����"������

� �� �

� �� �

���

���

C�C�

�#'#

'�'

�#'#

'�' ####

!

3

!

3

!!^ ��

�����2� ��� 7$4$3$� ��� � ��.9 !!�� �� � � � ��������� ��4�� ������ 3# !�

� ����� ��� �# ���� 7� �� �� ������#��� ��� $�� ����9 !�������7�

� �� �

� ���

!"#

$%

���

�C�C

�#3#

3�3

�##

�� ####

!

3

!3

33 !! �

/�,�3���

Page 243: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� �<,

� ������� � � ��#� ��� /�,�3��� �;-��0 � �-�"#� � � #";"#� ����� ��>�� ���� 3# �

�H"�2��B�� �# ���$�0� � � � � *3 ���� ���## �(��>�����"���� 7�

� �� � � �

� �� � � �

� �� � � �

� �� � � �

�����

� ������

C�C�

�88:

6

779

5C�C

�#�##�

�#�#3#�3

.3# �#�#3#�3

3#3#�#3�

####

####

!3

3��!

!!

!!

!!�

����������0��>����& �� ��0� ������#������

� �� � � �

� �� � � �

3!! 3

! !3 � �# # ## # #� � �3 �

# # # #

� ��� ��

I � � �

>���"0�(��������������� ��� #";"#"�� 7� �� �� ���

�����2� ��� 7$4$5$�&� � � ��.9 !!�� � � � � � ��������� �� �� .; � � ���!��� �� �������� � �� ��� � ��������� 3# �����9 ��� �� 3# ;E .�

�� � ����� ����� ��� �# ����9 ��� �� ;#� � ��

%������ �������� ���# 7� �� �� ��� ��

� �� � � �

� �� � � �

� �� �;�####;3#�#

3�;3#�#

3��

������

��C�C�I !!

!! � /�,�����

� ������� � ��$�07�

� �� � � �

� �� � � �

� �� � � �

� �� � � �

� �� � � �

� �� � � �

� �� � � �

� �� � � �

� �� �

! !

! !

! !

O ! !

3

!3

! !

! !

! !

! !

!

� 3 � 3

# # ; # # ;� 3 � 3

� , , 3# ; # # # # # #, � , , 3, ,

� , , 3# ; # # # # # #, � , , 3, ,

� , , 3# . ; # # # # # #, � , , 3, ,

3

# # 3

# # # #

# # # #

# # # #

# # # #

# #

� �

� �

� �

� �

� �� �

� �� � �

� �� � �

� �� � �

� �

5 67 8� � �7 89 :5 67 8� � �7 89 :

5 67 8� � �7 89 :

� �3#�

� I

����������0��>����& ��2�#������!�� ��7�

Page 244: Trandafir Matematici Pentru Economisti

��<<

� �� � � �

� �� � � �

� �� � � �

� �� � � �

� �� �

! !

!

!

! !

!

!

� 3 � 3

# # ; # # ;� 3 � 3

� 3

# # ;� 3

� 3

# # ;� 3

# # # #

# #

� # # � ;

� �

� �� �

��

��

� � �I

� �

� �

G��������"����$�0����>������� � ��������-���� �#�� >"����"0���� �� ����#�� >�"�B���"�%���"0 �"#�����#����������>��� ����!��8�����"0�������"��#���

C�� 1�&�� ���>����� ��#��� -���������� >�� ���"��� "�0 ���"#� �#2����0�����������������F)���� -����"� �����0������� #";"#"�� 0�;�0� B������ �� ��� �������>-������������� ��� ���>��"��(��� "�� #";� ��� ��#� *C !� ����� $��� �� � ����� ��#�� ���

���>��$����B�� �������$%� �(�����0 �2������-�� ����������!�����;�0-#"��8���� #";"#� �$%��� ��0-������� �"#�� -�� ������� ���� �#� �� �#��!�

� � � �* ! *! !� 3 � 3# # # #� � 0 �� ��

��������� �#�>���� �-��� ��#�� ��� 0������� ��� $��� �� -��&������� 0��� H�>!� >����������& ���� � #";"#���� ��#� *C ��>���0�;�0.��-��� �"��#�����0�������

���>��"�B��"�0 �����#�7���� >��0���8��& �>"�>���� �#��� 3# ��"�>�0�"#�K� L.�

1�� $%� "��#�� � �3## 3��� � $��� �� 0������� �"� K 3#� L� ��� � ���"#�

� �3## !3 ��>�����>��"���.�

��� ��� �$%� "#� 3# ��>�����H��0������(����� �-����"�"��$%� � � �3, ## ��� �

���"#� � �,3 ## ! ��>�����>��"���!���"����0��� 0�$%� "#� ,# �-����K 3#� L.�

��� ��� � $%� "#� 3# � �>��� ��H�� 0������ (�� ��� � -����"� "�� $%� �

� �3, ## ��� � ���"#� � �3, ## � ���� #";"#� ���"#!�0��� 0�$%� "#� ,# �

-����K 3#� L�.�

G��"�0�����0�� �����-��� �������0������!�-"��0�B��%#���"�0 �����#��>��"� ��7�3�� ��� � ��>���� ��� �# � �� �� �#��� �"� >��� 0�����!� ��"���� #";"#� �>��� 0�;�0� (��

�#2����0"#�>�����0�� ����� ��� � ��>���� ��� �# � >��� -"�"��0����!� ��"���� #";"#� �"� �>���0�;�0� (�� -����� ��

0 >"�����>� �#7���� >���#�2��"����"0����#�� 3# �#�� �# .�

1�� -������#����"0"#"��0�������"�K� L� #";"#�>��0�H����& ��"������������� ���� #";� ����;�0-#"� 3� �.�

Page 245: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� �</

��� -�� ����#�� ��"0"#"�� 0������ �"� K�a� #";"#� >�� 0��(����& � �"� �����(��������������� .�

��� #";"#�����#�����0��������"�>��>�8�01 .���� >����$����#��C�>"#�����

�#2����0"#�����"���"0 �� ��������-�(�!����� #";"#�0�;�0�>������2���%����"�0���-����� ��0����� ���>���� ��� �# ����� �#����

�����0� ���� 9 ��0��� #";"#"�� >�� -����� ���� �"� 0��� 0"#�� ���%�� �� "������!��$��%��"�>���>� �#�-����0"#����-��� ������0������!��>� �#7�>�����>���� �"����"0�0 � ��0��� ���� ��"0"��� 0������� �"� KbL� >�"� K�a� ��� "��(��� 3# � �"� �# !� "(��� ��� 2 >���

"�0 ����� $%� "��#�� 0������� B�� >��>"#� ��� #�� �# � � ���� 3# �� �� 0� �0 � 0"# �0���

����#��� � �/#! �"���� / ��>���0�������"�KbL�(�� �0 �0"# �0�������#��� � �/#! �"���� / ��>���0�������"��K�a����#�"# 0�

� � � �� ����0�

C�� ��

0��3 �

� ��0�

C� ��

0��� �

(�� � ��3 !0�� � ���1>��$ 0�� � *� �(���>����"0 ��B����2��

9 ��0��"� �-�� ����������� ��0� �(��0��(�� 0��"� �-�� ����������� ��0� !��1 ��%���#����(����"�� #";�0 �����"� ��

�����-�� ����-������"���"� #";"#��1 ��"�����#������ #";"#"��0�;�0�>��2 >�(������#�&%������ ���"� �-����>�-��������"���#�������$%� "��#���0������������#����0�������(�� ��-��������� ���>���� � ���"��� ��-��&��� � #";"#� 0�;�0!� >�"� ��"�%��� #";"��#������#����������������������#"�� �# ��

�/������������ ��"��

��2"���/�,�3��

��%� "#� 3# � �>��� >"�>�� �� �#��!� $%� "#� /# � �>��� ��>���� ��� (�� >�� $��� �� �

"�0 �����#�7�� � ����

3# !� � � � � � � � �� �<3,3�33 !!!!! ####### ��� �

Page 246: Trandafir Matematici Pentru Economisti

��<+

� � � � � �� �/</�/ !!! ##### ��� !� � � ����/# �

C����"� �� ��"�� ���� �2"� � $��0� > � �����0�� 0� #";"#� 0�;�0�� ���>���� 0�

#";"#���� ��#� � � � �* ! *! !� 3 � 3# # # #� � 0 �� ��

!�����,�3���1>��$ 0�-����-������"#����0����H��0�-"�"��0�������>���� ��� /# ����� �#����

��"���� #";"#��"��>���0�;�0�(��-����� ��0 ������#�2�0�"����"0����#�� 3# �#�� /# �

� �/�33 !!7 ###� �

#";"#�>��0�H����& ��"�������������� � � �� � � � �*6!*�0��0�� ����C��

�����

0�.�

���"#� � ��3 ! ## �>��$��>��"�����

#";"#�$���$���$�#������ ��*3 ��C�C ��

��2"���/�,����

��0� -"�"�� 0����� ��>���� ��� /# � �� �� �#��!� #";"#� �"� �>��� 0�;�0� (�� -����� ��

0 ����������"0"#� � �/<3� !!7 ###� !�0 ��0� #";"#��"� ,� � ���"#� � �<3 ! ## ;3!�;<��

>��$��>��"�����"#� #";�$���$���$�#������ /,3� ��C�C ��

Page 247: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� �<5

��2"���/�,�,��

�C������-�������-������"#"�����0����H��0�-"�"��0�����������"���>���� ��!������

#";"#��"��>���0�;�0�������"0"#� � �/<,3, !!!7 ####� !�

� � � �� � � � �,/!*<�*/0��0�� �����C�� ��

���0�

�"������������ �� �$�0�0 ��� #";"#�(�� 5��, ��C�C �

���"���/�,�<���

��>���� ��� �� �>�� 0����� !� �#�2�0� ��"0"#� � �/�,3< !!!7 ####� !�

� � ,�6!*/!�/0�� ����� ��#";"#�$�� ��0 �����"������������ ,� �(���1 ���0�

3*,,< ��C�C ��

�/������C����"��� ����>-����� B�� + � #���#�� ��-���">�#�� >�#���� ��0 �-������-���-����"�

$�������#�� ���� �� ��"�� ��� 0��� H�>!� (������ � � �"0���#�� ���� � ���� -������&�#�����-��&��� ���-���� �#������#��!������"0���#��������������!�$�#���#��"�"�� #";���� ��#�����"�>��"���& ������"�����!�>������(���2 >����� #";"#"��0�;�0��������>-����

Page 248: Trandafir Matematici Pentru Economisti

��<6

��2"���/�,�/��

���&�#$���� $��� �� 0� ��� � #";� ��� ��#� ���>���"��� "�� #";� ���#�&�1�#� ���� �

7� �� �� � B���-#���(�������� ������0 �2�������� #";"#"������������� � � ��3� ## ! �

�$�0� � � �33� �## �C� !* !� � �+!���!�!3! �3� ���1 ���07�

� � ,�!* 3��3 ���C� �## !� � � 6/!* 3,,3 ���C� �## �

� � 5�!* 3<<3 ���C� �## !� � � <3!* �++� ���C� �## �

� � /3!* ,��, ���C� �## !� � � /�!* ,<<, ���C� �## �

� � +�!* ,//, ���C� �## !� � � 3*/!* <++< ���C� �## �

� � ,3!* /<</ ���C� �## !� � � /,!* /++/ ���C� �## ��

C����"������ ���������>��$���� .#� �0 �

� �� �

� �� �

���

���

C�C+

!

3

+

!

!!

'#3#

''3

3#,#

,3, #### �

�$�0��

�%� "��� #";���������� �B��$%� "#� �# � #";��������>��B��$%� "#� �# �

�# � , � , �

,# � / � / �

<# � / � / �

+# � < � < �

Page 249: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� �<4

�����1>��$ �� �(��C��-�&� ���/�,�3���>���$��� ���� !����� �

� � � � 4!!/

�+

<

�3 �C�C

�� 33

�� #### �

����� #";"#���� ��#��>��� 4* �C ��

�����0�#��C�>"#���������#2����0"#�����"#U��>���3�� ��>���� ��� +# � �� -"�"�� ��0����� ���#�2�0���"0"#� � �+/,33 !!!7 ####� � -����"�

����� � � �,/!�+!/60�� ����� � (�� 33�43 ���C �� ���"#� � �+/ ! ## � >���

>��"�����

��2"���/�,�+��

���� ��>���� ��� +# � �� -"�"�� �� 0����� �� �#�2�0� ��"0"#� � �+<3� !!7 ###� .�

� � //3*!�50�� ���� .� 3+/33� ���C �� ����#�� � �<3 ! ## !� � �+< ! ## � >���

>��"�����

Page 250: Trandafir Matematici Pentru Economisti

��/*

��2"���/�,�5��

�,�� ��>���� ��� +# � �� -"�"�� �� 0����� �� �#�2�0� ��"0"#� � �+�3, !!7 ###� .�

� � 33<!�,0�� ���� .� 3533+, ���C �����"#� � ��3 ! ## �>���>��"�����

��2"���/�,�6��

�<�� ��>���� ��� +# � �� -"�"�� �� 0����� �� �#�2�0� ��"0"#� � �+�,3< !!!7 ####� .�

� � 3�<!3/!560�� ����� .� 36335< ���C �����"#� � �,3 ! ## �>���>��"�����

Page 251: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� �/3

��2"���/�,�4��

��1>��$ 0� � � ��>���� ��� �"� >��� 0��� -"�"�� 0������ ����� #";"#� �>��� 0�;�0�

36�C ���

Page 252: Trandafir Matematici Pentru Economisti

��/�

��

+���(��������������������#�������

+�3�������&������� �

� �"�������1�& ���0���0�����#��� �����������>�����1%�������1%���� �>��� >"0�� ��� 1���� ����� >�� -# ��(��� ��� � ���� ��1����� ��������"#"��

-����"�"��B0-�"0"��1 ��>�����1%����"����� � �>��� >"0����� � �����"�������0������ �-�� ��0-����"�� ��� (��

�>��� ����� � � �� ��1%���� ��� � ��� 3** � ��� "��� �� 0�������� -�� ��0-� ��� "�� ��� >���"0�(���-������!������� � ���

����� �� 3**! ��C����"� � �"��� ��0�������� "�0���-����0-����"�����>���1 ����

��1%����3**

����� �� ��

C����"�� �"�0��-����0-���� � �������1%���!��"0�� �� "��������� ��>���

3**

������� �� � +�3�3���

����1>��$ �� ���1%�����>����������-��-�� ����# ��"�>"0����-"> !��"�-������"#�>�"���1%����"����� �(���"��"������

��� ���"#��>���B0- � ���B�� � �- � ���2�#��(�� �� ��>���"���"0 ������>� �#����- � ��

-����"������>����#�"#��& ���1%���!���"���� /�3�3�����$�����

���

���� �� ��

3**���

��� �;�0-#"� ��� � ��� !� ��"���� ��1%���� -����"� �� � >�0�>���!� �>���

�**����

� � .���� � <�� !���"������1%����-����"� <� ����0�>�����>���<**

<���� � �(����� �

3��� !���"����3�**

3����� � ��

������0� ����G�� ���� ����"#���0�����#����� ,+* �&�#��(�� �������#"� ����� ,* ����

&�#������ � *� ��>���>"0����-"> ���� ��#�-��-�������� � ��"���1%�� �"����� � � !���"����

>"0�� ���# �>�"�$�#������ ���# ��>���� ������������ ������ 3**** � +�3�����

�������

Page 253: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� �/,

������ ����� ����������� ����������� >"0�#�� ���� !���!! �3 � -#�>���� �"� ���#�(�� -������� � � -�� �"����#��

���� !���!! �3 �� �"0�� ��1%�&�#��� ��">�� ��� ��#�� � � >"0�� -�� ��#�� � � �"����� �� $�0�

B�#��"���"���1%������"> ������>"0 � � �-����-������ � � ����"����

3**3**���

3**3**��33 ������������ �� ���� ��

��� �>���"���(��� � ���"�����"����� � �$�� ��

������� ������

�����33 � +�3�,���

>��$���"0�������� ����� ����� � ����� ���� ����3 !���"�����"����� � �$�� ��

��

���

�������

������

����

���

�3

��33 � +�3�<���

>��$���"0�������� �������������� ����� �>�������0����>����� ��"����>"0����� ***��/ �"�0�������-���"���

����1%�� ��2�# ��"�>"0����1%�&�#���-���">����� /**�, �"�0��-����0-���� 5� �&�#�.�/**�< �"�0��-����0-����3*/ �&�#�.� ***�+ �"�0��-����0-����3�< �&�#��(�� ***�/ �#���-��

��0-����3/* �&�#����1>��$ 0�� �

***�34***�/***�+/**�</**�,***��/ ����� !���"����>����� ����0"� ��>���

<!665***��/

3/****�/3�<***�+3*//**�<5�/**�,�

"�"�"�"�� �&�#���

C������"#� 0���"� ��� ��-"����� � � -����"� ����� >"0�#�� ���� !���!! �3 � >"���

-#�>���� -�� -�������#�� ���� !���!! �3 � �"� -�������� ���� !���!! �3 � �>� �#� B��%�� > � �$�0�

�����(����1%�� �����# �$�� ���1 ��"�������2�#�������

3**���

3**3**3**���

3**3**��33���333 ����� ������������������

������� �

���"����

��

���

������

����������

������

����

���

��33

���333 � +�3�/���

Page 254: Trandafir Matematici Pentru Economisti

��/<

+���������&�������� �

�� >"0 � ��� 1���� �>��� -#�>�� � �"� ��1%�� � ��0-"> � ��� !� #�� > %�(��"#� -��0���-�������!� ��1%���� >�0-# � �� ���>���� -�������� �>��� �� "2�� � #�� >"0 � -����"� ��-���"��� #�� �%��"#� ��� ��1%�� � B�� -�������� "�0 ������� ��� *� � >"0 � ��� ��# .� � �

-������"#.�3**

�� � � ��1%���� "����� .� � � �"����� ��� -#�>�0���� �� >"0��� *� !� �"0 ��

B����2�(�� �� �>"0�� ���# ��"- � � �-�������!���"����

������ �"0��-#�>�� �#��

B���-"�"#���"#"����1%����-���"> �B��

��0-"#���"#"���"0���1 ��"� �#��> %�(��"#���"#"��

3� *� � ��* � � ������� ���� 3***3 �

� � � ���� �� 3*3 � � ������ �� 3*3 � � ��*33� 3 ������ ���� �

� � � � � � � �� � � � 3

* 3 �� �� ��� � � � ����� �

�3

*3 3 �� � � ����� ������ ���� 3*33 �

���� � �� ��3 �$�� ��"�� ��������� �"��� ������2 >���B����1�#�� ����������-����"�

!���,!�!3�� �-����"��� ������-����������"����>"0�� ���# �$�� ��

� � ��� ����� ** 3 ��� �� +���3���

��1%������0-"> �$�� ��-����"� � �B����2�

� �3**** ��� ��� �������� � +�������

�"0����� ��# ���-"> �$�� ��

� ��

��� ��

�� ��

"�3

3* � +���,���

"���� ��

�3

3��>������������������������

�����������������������>���

� ��

��� ��

�� ��

�3

3* ��

����������������������>���

� �* *3� �

�� � � � �� � � ��

��

3

3� �>��� ������ ��� ���"�#�&���� �� �� 3 � �>��� ������ ��� �"��� �������

�������� � �(�� �>��2 >�>��B����1�#�� ����������-����"��� ������-��������(���� �����#��-��������B����2���

��

Page 255: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� �//

C������"#� �� 3**� �>��-������1 �������� +���3���

� �*

3�

�� �� �� � +���<���

��0-"#�>��-������1 �������� +���,���-���������-�#����������� ���

3�� ��� >"0 � ���1"��� > � ��-"��0� �&�� ��� > � B���> 0� -�>��� , � ���!� >"0�� ��������***�3* �#���(������� ���1%����"����� ��>������ X/!� P�

���� +���,���

� �* ,

3 33*�*** 4�6/!4

3!*�/3� �� �

�� � �

��#����

��� �"����-�������>"0����� </*�, �#�����-"> ���0-����6 �������$���� </!/,�< �#��P����� +���<���

� � /<,,36!3,</*

</!/,�<3

*

�����

�� ��

��

G����1�#��$�0�<6*�6!3 � X**!< �

/<,,3!3 � X<,!< �

//�4+!3 � X/*!< �

������"�-������� X<,!< ��

��� ��"��������-#�>�0������>"0��� *� � � ���"��>���"���"0 ��B����2!�����>������

��0���

�� �� ��$�0���" �>�#" ����

��� ��� ����� ���� �-����(������#�� ��0�� +���3���-����"�-������B�����2 ���� � ��������#������ ���# � �1 ��"� � -����"� -#�>����� >"0��� ��� ��# � *� � $�� ��

� ��� ��� �� 3* ������>� �>"0 � �� �B����0-"#� ��� �"�����

�����"#"�!��"���1%�� �

"����� � � !� $�� ��"��� �� ��1%�� � >�0-# � � �����

��� �� �� 3* �� ��"����

� � � �������� ��

�����

33 ** !������

� �* 3 3�

� �

� � � � �

��

� �� � � �� �� �

�� +���/���

+���/�����-��&��� �>�#" ����� ����# ������#�"#���>"0��� ���#���%���>��-#�>��& ���

>"0 � *� �-�����"��� ��

�� �� �B����2�0������1%�� ���0-"> ��

Page 256: Trandafir Matematici Pentru Economisti

��/+

1�� C����"���� ����������� �-����"�>"0�� *� �-#�>�� �-����-������ ��

�� �� ��

����1>��$ �� �3�#�"�-#�>����"�-���������"�#� � ���$����#��> %�(��"#���"#"�� � ���3 �

(�� 3� #�"� -#�>��� �"� -������"#� ��� >"1-������ � �� � ��$���� #�� > %�(��"#� ��"#"��

� �����3 ��C�������#�� � �(�� �� ���$�����8�$�#�������� �$�#���#�� ���#��#��> %�(��"#�

��"#"�� >"��� �2�#�!� ���� � � ����� ��� 33 � >�"� � � � ��� �� ��� 333

����� �;�0-#"!�

-����"� >"1-������ � ���0�>����# !� � �<<33 �� ��� �� ����� -�� �"������

�� �� �

>"0����� ��# �-#�>�� � *� �B����2�0������1%�� ���0-"> �$����$����

� � � � � � � ��

��

�� ������� ������ 3333 ** !�

�����

� � � ���

� ������ ����� �

�33 ** !� +���+���

+���+�����-��&��� �>�#" �����0�����# ������#�"#���>"0��� ���#���%���>��-#�>��& ���

>"0 � *� �-�����"��� ��

�� �� �B����2�0������1%�� ���0-"> ��

�/������� � � >�� ��#�"#�&�� $�#������ ���# � �� >"0��� ��� ***�3* � "��� ��0�������� -#�>���� ��0-� ��� 6 � ���� (�� / � #"��� �"� -������� ��"�#� X/ �� ����� /�� .�

*/!*�� ���� � ����� ���� ��

6 6/6

3�

/3*�*** 3!*/ 3 *!*/ 3*�*** 3!*/ 3!*�*6,,

3�

3/*6�!,/ "�0�

��

� �� " " � � " " �� �� �

��

�� � ����������� ��/

/ 6 3�63� 3*�*** 3!*/ 3!*/ 3*�*** 3!<55<// 3!*�*/,5

3/*55!45 "�0�

�� � " " � " " �

��

�����0� ���3�� ��#����" �>�#" ����"�>"���������������� ��#" ��� ��0�����# � �>��� 0��� ��>� "��#�&�� � ��������� �����"#� �"��� ������

�� ��3 ��>���B����1�#�� ������������%��-����"�-"�����B����2�!��%��(�� ��� ��������,�� ��#���#�� ���#�� �#�� "���� >"0�� *� � ��-">�� B�� ��2�0���� ��1%�� � >�0-# � >�"� B��

��2�0������1%�� ���0-"> ��� �� �B�� "�� �������"����� � ��

*� �-#�>�� �-�����"��� ���� � �����B����2�0������1%�� �>�0-# ���$����

� ������ �� 3* � +���5���

Page 257: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� �/5

"�� ���#����� !�B����2�0������1%�� ���0-"> ���$����

� ��� ��� �� 3* � +���6���

"�� ����;-���� ��# ��"�1�&��>"-��"����� ����� � � � �>��� 3� ��!� ��"���� � ���� "�� 33*3 � B�� ��2�0� ��� ��1%�� � >�0-# � �"�

+���5���(�� � �3*3 3 ��� �� �B����2�0������1%�� ���0-"> � +���6����

��� � 3* � !�����;�0-#"��

3�� !���"�����"�� +���5��!� �

��

��� �� ���

�3

3*

3 �(��

-���� +���6��!� � ��3

*

3 3 ��� �� �>�"!�-�������������#��- ����! � ���� �� 3�*

3 �����$����

� ������%���#��- ����� ���

����

����

<3

��*

3

���� !����"����

3

3 �� � ���

��� � 3�� !���"���� � ������� �� * �(��

� � � ��

�� ��

�������� ��

��

��� �

����� ���

333 �

** ��

E�� �����#����" ���1%�&���$�#"��& ��>� �#�

��2"���+���3��

�+�,������� �����&�������$���� ������&��������

�� �-��� �"������� >������>������������>��� !� B��2�����#!�� ���#�����0�����#�!�������"0- � �B����������>����� ���"0����-�#� ���"�>��-"#�������1 ��������1%�� ��� ��-�#� �>���"0- � �#��"��0�0���������"�-�� "#�>�"�>"0���*������>����>����$�#"�� � �"� -������"#� ��� �0�>�"��� �c3**�� (�� �>��� >������ � �"- � 0�0���"#� >�"��"�����# ����#������ ���# �#��>����� ���-�#� ��!���$�� �7�

� �* 3 ! "� ��� � �� � # # � ����>�"������ � �* 3 ! "� ��� � �#� � # � � +�,�3���

��

Page 258: Trandafir Matematici Pentru Economisti

��/6

"���7��� ����0��������������� ���-�#� ��!��� �*���-�� �����"0- ����!��� �������1%����"����� ���"�# ��

� ��� �#��"��0�0�������� 3# # !����� �#�� 3� � # # �-%� �#��>����� !�-�#� ��-����� ��$%��"� �"����1 ������0�����#�!���"����-�#� ��$���$�����0�������1���� �>�"������

� �3 * 33 ! "� ��� � �� � # # � �>�"������ � � 33 * 33 ! "� ��� � �

#� � # � � +�,�����

"���7�F3���$�#������#"���*�#��0�0���"#� 3# ����#������>������ ���-�#� ��� $�#���������"�# �#��0�0���"#�$%�& �������>������

#��0�0���"#� 3 �# � # >�������& ��"�������0��"0���������� ���� ���������$�#��������0���# ���(��$�#������>������ �

��!������������ � �� � +�,�,���

� ��������!� >����"#� � ���1"��� > � ��-��&����� ��1%���� -�� -�������� -%� � #��>����� � ����>-"�& ������ $�#����� >�������� >�"� �� >"0��� -�� ����� �� -��0�(����� �� ���"#�-�#� ����$�#"�� ��"�-������"#�����0�>�"����#�-�#� ���>�"��"��#��-��������

���� +�,�,����1 ���0��� � �� � � +�,�<���

(���� � �� � +�,�/���

�>� �#�-"��0� ����"�0 �����#���1>��$� ��7�3�� >����"#��>�����������(�����"� ����(����1%���.���� ���>�1������������>�����(����1%�� ��>���� ���1%����>�����"2 �#����-���#!�����

>����"#�>��>�����������-���#���"���������������� �����!�����������$�� ����1%������� �������-��-���������!�

�"���1%����"����� ������� � ��� � +�,�+���

�>� �#��1 ���0��"�"("��� �"�0 �����#����#� ��7�

3� ��

���

��(�� � �3�� � ��� � � +�,�5���

����

3**

33**

�� �

�����

��

�>�"�3���

�����

��

!�

+�,�6���

"���7��� 3**� �� �-����������>����� -������"#����>�����-����� ���2�#�>�"��� ��������

-������"#�����0�>�"����#�-�#� ����c3**��.��� ����1%����"����� ����>����.��� ���"�����>���� ���� 0 >"��� �B��������

Page 259: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� �/4

� G��-������ !������>���0���(��>����2#�H��& !��>� �#��3 3��� � � �

������#� ��� +�,�6�����$������ ���� � +�,�4���

� ������>���������-��;�0��& �>����"#��� ����#�>���"0�(���>�������0�����#��� "������� ������� ���������E� ������ ����� $�� �� ��1%���� ��� � ��� $�#��������0���# ����-��-���������!��"���1%����"����� ���

��� ���� � +�,�3*���(��

� �3�� � ��� !� +�,�33�������

3

�����

�� +�,�3����

�����0� ���3�� ��� ��� !� ���� � "��#�&����� >����"#"�� >�0-#"� �� ����#!� ���$����

�� �� ���"#"�� -�#� ��!� ���� "��#�&����� >����"#"�� >�0-#"� ��0�����#� ���$����1 ���.�

��� �����"#�>�0-#"���0�����#��"�>���-#�� �-��-�������������0-�0��������� +�,�3*���(�� +�,�6����1 ���0�

� �3��� ��� ��� � � +�,�3,���>�"�

3������

���

� � +�,�3<���

"������� ������� �>��� ��#� B�� ����� ��#�"#�#�#�� >�� ��� B�� ��2�0� ��� ��1%�� ���0-"> �� ��� � � ��1%���� >�� �-#�� � �>"-��� $�#����� 0�� �"� ��1%���� "����� � �!� -��-�������� �� B�� ��2�0� ��� ��1%�� � ��0-"> �� >�� �1 ���� �������� ������� �� �����!�������

������ >����� ��� �-��;�0��& � >����"#� ��0-">� �� ����#� >�� �"0�(��� ����������������������!������

��� ��c3�"�0��(���c3���!���"�������� +�,�6����$�0�

3�

����

��

!� +�,�3/���

��1��� ��7���������������������������������������

3�

��

��

!� +�,�3+���

����3� � !� +�,�3+Z���

����! 33

��

���������������� ���������������������������

���

Page 260: Trandafir Matematici Pentru Economisti

��+*

G����2�0������1%�� ���0-"> �$�0��$����

� �3��� � �� � � +�,�35���

(���-#��%����� ��� ���>����"#"����0-">��� ����#��1 ���0������������������ ������

� �3 3����� � �$ %� � & '( ) � +�,�36���

>�"�

� � � �3 3 3� ���� � � �

$ %� � � & '( )�� +�,�34���

���� +�,�35���2 >�0�

� �3�

����

��

��� �

@������� �

� � � �� 33 3 ���

�� � �

� �� �

� � � � � �

(��$�0���2#�H�� ���0��������2����0���0����>�"��2�#��"����� B�� �-���&��� ���1%����"����� ����>��!��B��2�����#!�0�� �-��-�� �� �������� ��$�0��$���B�� +�,�34���

333 3

������ �

�� ��$ %� �& '� �( )

� �

(�� �"0� ������ >����� ��� �-��;�0��& � >����"#� ��0-">� �� ����#� >�� �"0�(��� ����������������������!����!���"�������� +�,�34���2 >�0�� ���������������������������>���

���� � ��� � +�,��*���"����

3� ��

���

���� +�,��3���

(��� �3�� � ��� � !� +�,������

�1>��$� ���3�� ��� ��� ���� .�

������ ��d3������"���7 � �3 3�

� �� ��� ���� � * �

,����� ��c3������"���7 � �3 3�

� �� ��� ���� � � * � �

<����� ��e3������"���7 � �3 3�

� �� ��� ���� � � * � �

��/�������

� ��� ����� ��� *3�*���**<� �� �>�� �"0- ��� � �� -�#� � B�� $�#����� �������������3�*�***�"�0�!��$%���>����� ��3*�#"���0����%�&�"!��"�-������"#���"�#����3*X��������$��>�� 0���$�� -�>�>��"#� -�#� ��� �� -��&��� � #�� >�������� � �"� ,� #"��� B������� ���>����� ���������7�

Page 261: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� �+3

��� $�#��������0���# ���-�#� ���#��>����� .�1�� $�#������ ���# ���-�#� ���#��0�0���"#�>���� ���.���� $�#������ >������ � �� -�#� ��!� �-#��%��� � ��%�� >����"#� >�0-#"� �� ����#!� �%�� (��

>����"#�>�0-#"���0�����#!��"�-�������#��f3c3*X!�f�c3*X����� � �����*c3�*�***�"�0��

3*X *!3� �� * � �

3*3* #"��c3�

# � ����

355 #"��c3�

# � ����

, 33� <

� � � ����

���� � �� 3� � �� � # * �

3*3�*�*** 3 *!3 3,*�***3�

� � � � �"�0��

�1�� � �3 * 33� � �� � # * ��

353�*�*** 3 *!3 3�5�***3�

� � � � �"�0��

���G����&"#�>����"#"��>�0-#"��� ����#�

3� ��

��� *

�3�� 3 36X *!*6� �� * � �

����������������������� 3,*�*** 3�5�</*33 *!*6<

�� � ��

"�0��

���������������������������� � �3*X *!3� �� * � �

������������������������ 3,*�*** 3�+�6,*33 *!3<

�� � ��

"�0��

G����&"#�>����"#"��>�0-#"���0�����#�� �3�� � ��� * 3�� 3 36X *!*6� �� * � �

����������������������������� 33,*�*** 3 *!*6 3�5�<**<

�� � � "�0��

��������������������������������� � �3*X *!3� �� * � ��

����������������������������� 33,*�*** 3 *!3 3�+�5/*<

�� � � �"�0��

��

Page 262: Trandafir Matematici Pentru Economisti

��+�

�����������C����"� 3 6X� � ��$�0���#� ����3d�

�!����������>�������0�>�1�#!�� ������B�>�0���� � -�>�>��"#� -�#� ��� $�� -��0�� -���� $%�&����� ���>����� �� >"0 �0���0���� ���%��$�#������-�#� ���#�������$%�& ������

�/���������� ����� ��� 3*�*3��**<� >�� ��"��� -����"� >�������� �� -�#� � ��� $�#�����

��0���# ��c3/�***� "�0�!� �� � ���� >����� � �>��� -�� ,3�*,��**<�� ��� �"� B�� $������"�0 �����#������� ����#��1 �������0�����#�7��

+, -����������>�����3�X.�+, ��0�>�����������-��������0�>�"����*!+X.�+, ��0�>����-��� ����3�!/�"�0.�+, ��; �-����0�>���� �;�3+!6X.�+, >�����"2 ���" �&�#������ ����1��� ��

��������$�#������>������ ��-#��%���"��>�����>�0-#"���0�����#���

�� � ����� �4 ,3 6�� � � � � &�#��

0��� ���� 6� � 6<� � � � &�#���c3**�!���c*!3��

6<3/�*** *!3�,+*

��� ���� �� " " �

<34!4��� � "�0��

���0�>�����������-����� *!+ 6<3/�*** �*!4 "�0�3** ,+*

� " " � �

� ���0�>����-��� ���c3�!/"�0��

� ��; �-����0�>���� �;c 3+!6 3�!/ �!3"�0�3**

" � �

� �,���%���F ����"��������( ��c�����b���0�>�����������-�����b���0�>�����������-�����b���; �-����0�>���� �;�c�<//!<"�0������������&���������������������������&�1������>�������-����

f 6<�E��c3/�***3** ,+*" " * fc3,!*<X�

��#������>������ � �E���� �� * ������������������������������ 3/�*** <//!< 3<�/<<!+�� � � "�0����� f3� �������� ����� &�� �����!� f3c3**�3!� ���� f�� �������� �1����0� %���� &����0�����'�&�������!�f�c3**����$�0���#� ��#�7��E�������; �-����0�>���� �;�c����3�.��E�������; �-����0�>���� �;�c�������.���

Page 263: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� �+,

��"���7�+, -������"#����#����>������E�������; �-����0�>���� �;c</,!,"�0�.����3��c�</,!,*f3c3�!46X�+, -�������� ����$� >�"������$����������>������E�������; �-����0�>���� �;�c�</,!,"�0�.��������c�</,!,* �f��c�3,!,5X���/��������� -�#� � ���� $�#������ ��� �0�>��� ��� 3**�***� "�0�� (�� �>��� >������ � -�>����������

/����!��"�-������"#����6X����� �>���������>�� �����"�-������"#�f3c6X�>�"�f�c3*X!�B����2�0����>�������0-">!�>������7�

��� $�#��������0���# .�1�� �%��$��-��0��1��� �����"#��"���������B����������>����� P��

�� � ����

� �*c3**�***�"�0��6X *!*6� �� * � �/# � ����

������� �3c*!*6���������������c*!3�

� � �* 3� � �#� � *�c3<4,�!6�"�0��

� � � 33 * 3� � �

#� � *�3c3**�*** 3b*!*6�,�

� ������������������������������3c3�/45!3�"�0��� ��������0-">��� ����#�

�� �3

��

���

��

� �

� �

3<+�4,�!6 3�/�453!�"�0�3 *!*6

3<+�4,�!6 3�3�<,�"�0�3 *!3

� � �� ��* � � �� ��

��������0-">���0�����#�

�3

� ����

��

3<+�4,�!6 3�+�+++�� "�0�3 *!*6 �

3<+�4,�!6 3���<<< "�0�3 *!3 �

� � �� � "�* � � �

� "��

�����

Page 264: Trandafir Matematici Pentru Economisti

��+<

+�<���� ������������%�����'�

C���� -# �� �(�#������ B� �#�2�0� >"0�#�� ��� 1���� -# ����� #�� �����$�#�� ��� ��0-��2�#��������$�#"#������0-����>�-�� �-#��������" �>"0��>���"0�(���-������ �(��-����� ����"#!�>�0�>��"#!����0�>��"#!�#"����

����� -# �#�� �(�#������ >�� $��� �"0�7� ����� �!� ��� � >�� -# ��>�� ��"�#!������������� �!� ��� � >�� -# ��>�� >�0�>����#!� ������������� �!� ��� � >�� -# ��>�����0�>����#�(����������� �!���� �>��-# ��>��#"�����

G�� "�� ������>��-"#�"�0 ���!�-# �#���(�#������-��� �7��� ���-#�>�0����>�"���� �"��� �����!���� �>��"�0 ��(������>���"�����"����>"0�.��� ��� �0����&���� >�"� ��� ��01"�>���!� ��� � >��-"#� �>��� ��� �� ��01"�>�!� ���"���� ��

���������G�� "�� ���0�0���"#��%���>�� ������>���-# ���$�07�

�� -# ���(�#������#��B���-"�"#�-��������������>��$����"0���� ���������������������/��� -# ���(�#������#��> %�(��"#�-���������(�������>��$����"0���� �����������������������

C# �#���(�#������0���-��� �7��� ��0-�����!���� ��"0 �"#����-# ���>��� ����!��� -��-��"�!���� ��"0 �"#�-# �#����>�����#�0������� $��2���!���� �-#����>��$�� ������%����0-��%��-��>������>���B��$�� ��

C# �#�� �(�#������ -��� �� ���>������ >�"� $����1�#�� �"- � �"0� >"0�#�� ��-">��-��������>"������>������>�"��"��

C# �#���(�#������-��� ���0�������>�"��0%������"- ��"0�-��0��-#�� ��>����0����� �>�"��0%��� ��"- �"���"0 ������������$�������������"�#��

+�<�3��1���� ����������������������

C#�����(�#���� � ������� #�� > %�(��"#� ��� �"�� ��� B�� >"0 ����>���� � >���"0�(������������������������������������� �$�#��������"�� ������>�����.� � ��"0 �"#�������.� � ���1%����"����� ���"�# .� �� �>"0�� ���# ���"�"��(��������"�� ��#��0�0���"#�

� � 0�0���"#�-# ���"#��0�����"�� ����

��� �>����0-"�������>"0��$�#���#��� ���#���� ��� �"����"�� ��#��0�0���"#�� ���

�"0��� ���-"> �#��> %�(��"#�-��0"#"�������$�����"- � � �����>"0�� � � 33 � ��� .�

>"0�� � � ��-"> � #�� > %�(��"#� ��#"�� ��� �#� ���#��� ��� ��$���� � � �3 � ��� !� (�� �(��0�����-��������"����

Page 265: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� �+/

� � � � � �� � � � � �� �� �

� ��

��

��

���

����

��������

���

��

��

333

33

33

33���33

3���33�3

�3

��

��

���������

���������

!�

�����

� ���

���

33 �� ��

��� � 3�� � (�� $�#������ ��"�� ��� -�>����-���� �>��� ��� 3� #�"!� ��"���� $�#������ ���# ���(��"#"�������"�� ��-�>����-�����>��7�

� � � ��

����

��

33���33 3

������� � +�<�3���

��#�"#�� �B����1�#�� ����������(��

�� ��� � � +�<�����

�/������� ����� �>��� $�#������ ���# � �� "�"�� (��� ��� 3� � ��"�� �� -�>����-���� ��***�5 �"�0��#��0�0���"#�-# ���"#��0�����"�� ���C������"#��>��� X/!/ ��

"�0�5**�33<*//!*

3*//!3***�5

3 3�

��

���

� �

��� >"0 � � � ���1"��� ��-"> � B��0�0���"#� ��� � � -����"� ��� �"- � � � ���� > �

��$�� �� ��

�$�0� � � �� �� ��3 !� ��� "����

� ����

��

3!� ����� ��� � -�>��� � � ���� >��

-# ��(���>"0��� �����>�����8�$�#��& ��"�-#����>"0���� ���

��

3�B��0�0���"#����

� �����������>"0�� � �>���"0�(����������������� ���-# ���� �� ���"�� �-�>���"��

�"0 �� � ������������ � �>"0�����"�# ���(��"#"�������"�� ��#��0�0���"#�>�0� ������������"#"��

���� ��"���-������ �B��������-��0���-# ���

� � � �� �� �

� �� �

� �� �

� 3

3 3���

3 33 3 3 3

3 3 3 33 3

3 3 3

��

� �

� �

�� � � � � �� � �

� �� ��

� � �� �

�� � � � � " �

� �� � �

� � �� " " � "

� � �

!�

�����

� �

3��

Page 266: Trandafir Matematici Pentru Economisti

��++

��� � 3�� �(��$�#��������"�� �#���-�>����-�����>������3�#�"!���"����$�#���������"�# ���(��"#"�������"�� ��-������-������>���

��

3� +�<�,���

������>�����#�"#�� �B����1�#"#� ���������(��

�� �� � � +�<�<���

G�����$�#���������"�# � � ���(��"#"�������"�� ��-�>����-�����(��$�#������ ���# �

�� ���(��"#"�������"�� ��-������-������;�>� ���#� ���

� �����

� �

"�3

3� +�<�/���

������ ���� ��� >"0 � "��� � ��-"> � �0������ -����� > � B�#��"��>� � -#���� �� 3� ���"�� ��-�>����-������3�/* �"�0�� ������!��"�-������"#� X/ P�

3�

3�

33

3 3!*/3�/* 3�/* 4!++,, 3�*54!35 "�0�*!*/

� �

� � " � " � �

��#������ ���"�# � �� "�"�� (��� ��� ��"�� �� ���>������ -�>����-���!� -��-��"�!�

�0��������>�������� � -� !� �>���� �

���

�333

��

�-

- !� ������� � ������>��� � !��$�0�

-- � �� ��

C����"�$�#���������"�# ���"�"��(��������"�� �����>������-�>����-���!���0-�����!��0%����� -��>"-"��0� � � -��0�� -#�� � >�� ���� �"- � � � ���!� -�>����-��!� ���� � #��0�0���"#� 3�� !���0-���� �� �������$�0�

� � � � � � � � � �

� �� � � �

� � � �� � � �

3 � 3 3

3 3

3 3��� 3 ���

33 3 3 3 3

3 3 3 3

3 3 3 3

� � � � � �� �

� � � �

� �

� � � � �� � � � �

� �� ��� � �

� � �

$ %� � � � � � � � �& '

�� � � � �& '( )

� �� " � "

� � ��

�����

3 � ��

� �

� �

>�"�

���

� ��� � ��

��#������ ���# � �� "�"�� (��� ��� ��"�� �� ���>������ -�>����-���!� ��0-�����!��0%����!����� �-��0��-#�� �>�� �����"- � � ����!�-�>����-��!����� �#��0�0���"#� 3�� !�����"#��0��-#�� �#��0�0���"#� � !���0-���� �� ������>���

Page 267: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� �+5

� � � � � � � �3 � 3 33 3 ��� 3

� �� � � �

� �

�� � � � � � � � �

� � � � � � � � � " �

�����

� � � �� �� � ��

�G����� $�#������ ���"�# � � � � �� (��"#"�� ��� ��"�� �� ���>������ -�>����-���!�

��0-�����!��0%������"- � � �����(��$�#������ ���# �����>-"�& �������;�>� ���#� ���

3 3� � � �� � �

� � � �

� � � �

� �

� � � �

+�<����1���� ����������������������

��"�� �#�� ������-���� >�� ��� #�� B���-"�"#� ��"#"�!� ���� � #�� 0�0����#��3!���!�!3!* � �� �"0�� ���# � �>��� �$�#"�� � #�� "�� ��� �"- �"#��0��-#�� � �� $�0������

��� ���

� � � � � � � � � � � �

� � � �

� 33 3 ��� 3 3 3 3 ��� 3

3 3 33

� ���

� �

� � � � � � � � � ��

� �� � ��

� �

$ %� � � � � � � � � � � � � � �( )

� � � �

��

C����"� 3�� �$�#������ ���# ���"�"��(��������"�� ��������-�������3�"�0���>���

� � � ����

��

�� �

�� 3

33��

��"������

�� ��� � ��

��#������ ���"�# � �� "�"�� (��� ��� ��"�� �� ���>�����!� ������-���!� �0������!���0-������ �>��� >"0�� ����>�� � B��0�0���"#� ��� ��#� -����"� �� -"���� -# ��� #�� �������>����� �>"0�� �; �� ��

Page 268: Trandafir Matematici Pentru Economisti

��+6

� � � � � �

� � � �

� 3 �

3 3��� 3 ���

3 3 33 3 3

3 33

�� ��

� � � �

� � �� � �

�� �

$ %� � � � � � � � �& '

� � �� � �& '( )

�� �

��

��%��� � � � ���

���

��

���

333 !��$�0�

��

�� �� � ��

��#������ ���"�# � �� "�"�� (��� ��� ��"�� �� ���>�����!� ������-���!� -��-��"�!�

�0��������>�����

��

�-3

!��"� -- � �� ��

��#������ ���"�# � �� "�"�� (��� ��� ��"�� �� ������-���� ���>�����!� ��0-�����!��0%������>���

� � � � � � � �� � � �

33 3 3

3 3���

3 3 3 3

� �

� � �� � � �� � � �

�� � � � � �

�� � � �

� �

�� � � � � " �

� � � ��

+�<�,��!� �������������� ������

��� �"0�(��� ���� � ������� � ��� ���� � ������� !� -#���� �(�#���� � B�� �����

�������"�# �� ��>���B0- � �� �B�� � �- � ���2�#�� ��������"� �

��

�� ������>��-# ��>�� ���

#��> %�(��"#�-��������� ���#��B���-"�"#�-������������� �-#�����(�#���� ��>���#�0���� �#�� � ����!���"����-#���� ��� ����� ���� � ������

-�����$�� ��B���"0 ����� �� ����#������ ���# ���"�"�� (������-# ���(�#������ ��0-������ �0������!� ��� �������

��� � �����-�������>��7�

3 3 3 3 33 ��� 3

� �� �� �

��� � ��

� �

� �� �� � � � � �

� ��� � � � � � ��

� � � �� � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � " �� � � �

� � � ��

����(��0�� ��

�� �

��

��� ��� 33 �(�������

� ��

��� �

���

�� "�

�33

���

Page 269: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� �+4

>�"�

��

�� �

���� � �

������ ���������� >"0 ����1����$����>-"�����-��>��� ��������-"��� ��0-�����3/ ������%��� �** �"�0��#��> %�(��"#� ��� ����#"����"�-������� X/ P�

<**���**3� �"�� �"�0��#��> %�(��"#�"�"�����(��

"�0�4,!4+<�/�*��!3/56!�3<**��3�

*/!*

*/!*

3*/!3<**��

3/3�3/ �""�"

�� �

��#������ ���"�# � �� -# �#��� �(�#������ -�>����-���!� ��0-�����!� �0������!� ��� ���������� � �����-������>���

� � ���

�� �

���

���

� ��

"�3

3�

C# �#�� �(�#������ -��-��"�� -�>����-���� �0������!� ��� ������� ��� � � ���� -�� ���>"�����������

���

��

���

����

� �"�� --3

��

C# �#���(�#��������0-������-������-�����0%����!� ��� ���������� � �����-�����>����#�"#��& �-����

� �3 3� �

�� � � �

� �

� � �� � � �

� � �

� � " � ��

+�/��G�����������

��� �"0�(��� ��������� �� �-��� ��� �������� � -���� ����� "�� -�������� 3! � ����$��"�#�>�"�2�"-����-#�>��& ���>"0 ����1���!�-����-������ ������0-!�B����"0��������� ��!� "�"�� �#�� -�������� �! � ����$��"�#� >�"� 2�"-����� C�������"#� 3! � >�� �"0�(���

������������ �! �>���"0�(����� �����

�-��� �"���� -���� ����� �! � ��>���"��� #"�� 3! � >"0�� ��� ����� �� 1��� ������ >���"0�(������ �������>�"����������������������������

��� B0-�"0"�� ����� �"� >�� 0��� B��-���& � >�� �"0�(��� ���������������� ���� ����

�"0�#�� ��01"�>���� ��"�#� ����� �"� ��#"#� ��� �� �0����&�� ���-���� >"0��B0-�"0"��� �>���"0�>��������������������

Page 270: Trandafir Matematici Pentru Economisti

��5*

+�/�3��1���������������������������������� �����������������������

��� *" � >"0�� B0-�"0"��� � #�� 0�0���"#� ��� ��#.� ��� !���!3 � ��"�� �#�� ������

>"���>�$��� C��0�� ��"������ ����� -# ��� � #�� > %�(��"#� -��0"#"�� ��.� � � �"����� B�� ���� ����01"�> ���.� 3!���! �# # � �0����>0����#�� >"���>�$�� ��� ��"��� B�� -��0�!� �� ��"�!� (�� ��

� �����"�����.� � ���1%����"����� ���B0-�"0"�"#"����"����>��������>��-�����B����0����1�#"#7��9�0�����0����& ��� ��1%���� ��"�� �� �"0��� 0�> ����-#�� �

* � �� �� �� *" �

3� 3# � �"� *3 � � 333 �#� �� � 3*3 #"" � �

� � �# � �"� 3� � � ��� �#� �� � �3� #"" � �

� � � � � � � � � �� �

�# � �"� �� 3� � ��� �#� �� � ��� #"" � 3 �

� � � � � � � � � �� � �# � �"� �� 3� � ��� �#� �� � *3 �� ��� #"" �

������0� ���

3�� ��1�#"#��>���$�#�1�#�-����"�������#�2������"�� �#���-����"�������"�>��� ��0"#���B�� ���������-���& ��

��� ��������� �������"- �������> �>����01"�>�&��>"0��B0-�"0"��� �����>�� *��" !�

���������0-#�� � �� #" �3 ����"������#�"# 0�"#��0����"������

�##�"#�#� ������� ������ 3 � +�/�3������"����

� ��#� �� �� 3 �� +�/���������� "#��0�� ��"������ �>��� �2�# � �"� "#��0"#� �0����>0���� #�� ����� >�� ���"2 �

��1%��������>-"�& ����������#� ��� B����� >"0�� B0-�"0"��� � *" � (�� �0����>0����� >�� �1 ���� >"0%���

0�01�"��"�0�01�"�"#��0����#��� !�� ���� ###"""""" ���������� ���������! �333*3* !�

� ��� ###"" ���� ����3* �

@������ *��" ���&"#� �

�###" ���� ����3* �� +�/�,����"0��B0-�"0"��� ��>����2�# ��"�>"0���0����>0����#���

��

Page 271: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� �53

�� � ���$���������� ��%���������������������#�"#��& �

� �3 3 3 3 3 3� � � � � � � � � � � � �� � # " � # " � # # � " " # # �#� � � � � � � � � �

��������!�������1�#� ��� �#"" � 3 !������

� ��##�� ���� �� �� 333 �� +�/�<���

��#� ��� ����$�� � -����"� ������ #�2�� �� ��"�� �#���� ��� ��>���2� "�0 �����#��>��"� ����

+�/����2������������������� ��3����4���������)��� �� ���������"��������������3���������4�

�"0� ���� � ���� ����3 !� �0-#�� � *3 �� �� �� � (�� �#�>���� +�/�<���

��&"#� �

� ��## �� ��� 33 �>�"� � ��� �## ��� 333 � +�/�/���

��� ���"�� �#��>"������>�������0����>0����#��>"���>�$�� ��0��& ���-��2��>���2��0����� ����>� �������"��� ��� ��3 �

�"0�

� � � � 3333�3* 3���3��� ���������� �

� �#�#####" !�

�0-#�� �

� �� � 33

333* �

��

��

#"�

�����

� ���

#"� 33

3*

�� � +�/�+���

>�"�

� � 33*3

��

��

�"# � +�/�5���

C����"� ��#�"#"#� ��"�� ��� -#�� 0� ��� #�� +�/����!� � ��#� �� �� 3 � �>� �#� � �

��

#� ��

3!����"����

� ��33 �

�#

� ��

!�A!������

Page 272: Trandafir Matematici Pentru Economisti

��5�

� � � �

� �� � � �

* 3 � 3

3

��� ���33 3

33

3 3 33 3��� 3

33 3 3 33 33 3

� � �

� �

� � �" # # #

�� �

� �� � ��� � � ��

� �

� � � � � � � � ��� �

� � � �� �� � � � � " � "� �� � � �� � �

� �

��

�>� �#�

� ���

�"��

�33

* � +�/�6���

>�"�

� � ��

�"� �

�33

* � +�/�4���

��#�"#"#���1%�&���B������>� �>��"� �����$���7�

����� #����#�

#����#�

#����#�

�.���

�.����.���

��������������������������������������������������������

33333

��#�"#%���� �� � � � � �

�������������������������������������������������������������������������������

333

3

33�

3�,,�

3333��3

��#�#�###��

�##�###��

������

����

!�

�� ���� �#��>"���>�$���#����1%�&�#���"�0��& ���-��2��>���2��0����� ����>� �������"�-��0"#����0��� �#3 �(���� ��� ��3 ��

��1�#"#�����0����&������"����>"0��-������"�� �����>������-�>����-����$�� �7��

�����

�"0��������� �

#��B���-"�"#�-���������

��1%�����0���

��>�0��"#�

��"��������"0��������� �#��> %�(��"#�-���������

3� *" � �"� *3 � � 3# � 33 #�� �� � 3*3 #"" � �

� � 3" � �"� 3� � � �# � �� #�� �� � �3� #"" � �

� � � � � � � � � � � �3� � ��" � �"� �� �3 � � 3�# � 33 �� �� #�� � 3�3 � ��� #"" �

� � 3�" � �"� �� 3� � �# � �� #�� �� � *��" �

Page 273: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� �5,

������ �������B0-�"0"����� ***�3* �g�"�0��& ��� ����01"�>���B�� < �����-��������� ��"�� ������>������-�>����-�����"� X/ ��������>�����1#�"#�����0����&���P�

�� � ����g/***/!****�3**3 �"�� �"� ��

��"����������>���� �� !����� /�<�+���$�� ��

� �3�!�6�*

*/!33

*/!****�3*

33 <* �

��

� ��

�"� �

C��0"#��0����>0���!����� +�/�5����>���

� �3�!�,�*

3*/!3

*/!****�3*

33 <*3 �

��

���

�"# �

>�"�3�!�,�*/**3�!�6�*33 ��� ��# �

�0����>0����7�� �� �� � 6,!�+6/*/!34�!�//53

4�!�//5*/!33,!�<,+3

3,!�<,+*/!33�!�,�*3

,<

�,

3�

�"����"����"���

�##

�##

�##

�"0�#��� 0�>�����-#�� �#��> %�(��"#���"#"��>"��7�

*

6,!�+6/4�!�//55/!/�<,

5/!/�<,3,!�<,+66!5+54

66!5+543�!�,�****�3*

<

,�,

�3�

3*3

������

���

"

#""

#""

#""

��1%�&�#��$��� �7�

�4!3,<*/!*6,!�+6/

�*!�+�*/!*5/!/�<,

44!,6,*/!*66!5+54

/***/!****�3*

,<

�,

3�

*3

�"���"���"���"��

�"�

�"�

�"�

�"�

��1�#"#�����0����&�����>�����

���� �0����>0����� ��1%�&�� ��"�� ���"0��� 0�> ����-#�� ��

#��> %�(��"#���"#"��3� 3�!�,�* � /** � 3�!�6�* � 66!5+54 �

� � 3,!�<,+ � 44!,6, � 3�!�6�* � 5/!/�<, �

, � 4�!�//5 � �*!�+� � 3�!�6�* � 6,!�+6/ �

< � 65!�+6/ � �4!3,< � 3�!�6�* � * ���

Page 274: Trandafir Matematici Pentru Economisti

��5<

�1>��$ 0�� 7��***�3*J*<!**4�3*<,�3 ���� #### �

<6!3�6*<,�3 ���� ���� �

���

���<

3

<

3

<

3

<6!33�6*�

��

��

� ��# ��

�"0����01"�>�� ��"- �-#������ � �����"�� ���>��� �� ��

� � � � 3333�3 3���3��� ���������� �

�� �#�#####� �

����!�� �

��

#��

333

�� ������� +�/�5���-"��0�>������h3�(����&"#� �

� �� �

��

�"�

��

33

33*

�"

�� �

���"����

� �� � 33

33*

��

��

��

�"� � +�/�3*���

�"0��� 0�> ����-#�� ��"- �-#������-���"�� ����>��7�

� �� �

� � � �� � 33

3333

33

33****

����

���

���

��

���

��"

�""�"" �

���"����

� � � �� � 33

33*

���

��

��

��

��"" � +�/�33���

+�/�,��2������������������� ��3����4�������������� "�� ��� ��� �����������������������������3���������4�

���>�0��������������"#"��>��-# ��(�����1%����-����"�-��0"#����(�������>"0�����# �-# ��� ��"��>��� *" ���� �"" ** ��

C����"� ����������������"�0 ����!���1%����>����#�"#��& ��>"-���>"0���� 0�>�����-# ����(��>��-# ��(�������� ��"��0����>0���"#��

��1�#"#�-����"�B0-�"0"�"����"���"�� ��-# �����#��B���-"�"#���"#"���>��7����������

Page 275: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� �5/

������0����>�0����#��

��1%�&�� ��"�� ���"0��� 0�> ����-#�� �#��

> %�(��"#���"#"��

* � �� �"� ** � � �� �"" ** �

3� 3# � �"� 33 � � 333 �"#� �� � 3*3 #"" � �

� � �# � �"� �� � � ��� �"#� �� � �3� #"" � �

� � � � � � � � � �� �

�# � �"� �� � � ��� �"#� �� � ��� #"" � 3 �

� � � � � � � � � �� � �# � �"� �� � � ��� �"#� �� � *3 �� ��� #"" �

���� � *��" !���"���� �� #� � ����#�"#%����� ���� ������" ���"�� ��>"���>�$��

� � � �3 33

3 3 3 3

� � � �� �

� � � � � � �

# " � # " �� �

# " # � # " � # � #

� ��

� � �

� � �

� � � !�

��� � ��"�� �#�� >"��� ���>�����!� ���� � ���� � ���� ����3 � ��&"#� �

� � *33 �� �� #�# �(����"����

� ���

��

#

##

��

333

3 � +�/�3����

�"0��� ����$�B0-�"0"��� ��>����2�# ��>����"�>"0���0����>0����#��!���"����

� � � � 33

�33

3�3*3

���33

��� ��

������

���

#

#

#####" �

�����3

33*

��

#"�

!�"���� � ��>����� ���>�������

�3

3�>�"�

� �� � �

�#"

� "

�3

3

333* � +�/�3,���

>�"��

� �� � � ��

��

��"#

�333

3*3 � +�/�3<���

������ �������B0-�"0"����� ***�<* �"�0���>�����01"�>�1�#��"�����������-������"�� �����>�������"���1%�� �-# ��1�# �#��B���-"�"#���"#"���"�-���������� X/ ��������>�����1#�"#�����0����&���P�

�����

Page 276: Trandafir Matematici Pentru Economisti

��5+

�� � ���������#�"#��& 7��

� �

66<34/!*

6,44

3

6,444/!*

5454

3

54544/!*

5/6*

3

5/6*4/!*

5�*3

3

5�*3��+�34�!*4/!*

55,56!**/!****�<*

4/!*34/!*

4/!**/!****�<*

</

,<

�,

3�

/

/

3

��

��

��

��

�""

�""

##

##

##

##

#

�"0�#��� 0�>�����-#�� �>"��7�

*66<366<3

66<36,44�<*�35

�<*�355454�34��/

�34��/5/6*544�,�

544�,�5�*3***�<*

/</

<,<

,�,

�3�

3*3

���������������

#""

#""

#""

#""

#""

��1%�&�#��>"��7�

<<�*/!*66<3

6+�*/!*�<*�35

3�+3*/!*�34��/

3+<**/!*544�,�

<<

,,

��

33

�"���"���"���"��

�"�

�"�

�"�

�"�

���-�����$��� ����� ���"��������>������>���� �66<3<<,,��33/ ���������� �#�#�#�##� �

��1#�"#�����0����&�����>��7��

����� �0����>0���� ��1%�&�� ��"�� ���"0��� 0�> ����-#�� �

#��> %�(��"#���"#"��* � �� �*** � �� ***�,6 �3� 5�*3 � 3+<* � 66<3� 544�,� �� � 5/6* � 3�+3� 66<3� �34��/ �, � 5454 � 6+� � 66<3� �<*�35 �< � 6,44 � <<� � 66<3� 66<3�/ � 66<3� �� 66<3� * �

Page 277: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� �55

+�/�<��2�������������� ���� ����������� ���� �

��� ��-��>��� �������� �"��B0-�"0"�"#� *" �-# ��(�����"�#���1%�&�#���>"-���>"0���

B0-�"0"����� *" �"�0%������>"0��B0-�"0"��� �> � ���-# ��� ��"- � � ���������� �

�"���1%����"#��0"#"��������1%�&�#��>"�����#�"#�����"���1%�� �"����� � � ��3� 3*3 ��"� �� �

� � �*� ��"� �� �

� � � �� � *** "�"�"� �� ���� �

���>��0��������01"�>������"�"��B0-�"0"���>���"��#�&������ �>"0�� *" ��"��>���

������0������1�� ��� �-��>�����>�"� B����-����������������-��0��� B0-�"0"�"#���"� �> �(������&��

>"0�� *" �-������-"�����-���������#����1��� �-��1�&����1%�&�#���"������� 3� !� #��

> %�(��"#���#��� � ����!���"����-��>"-"��0�� ���"�� �#��� / �>"������>������-��0�� �������-"> �#��> %�(��"#�-��0"#"��������"�������� / �>��$���1 �������7�

3� �"�� *3 �/� �

� � �"�� *� �/� �

� � � �� � �"��� *�/� �

���>��0��������01"�>�����>����"��>�"��>"1����"0��������>�>��0��0�������������-��>�����>�"�B����-���������������� �"��B0-�"0"�"#�-# ��(�����%��>"0��

B0-�"0"��� ��%��(����1%�&�#���"- � � �������"0�����"�0��& �> � �����01"�>�� ��"- �

� ������>��!�� � ��� �"# �� 3* ��

C����"�-��2 ���������>����>"0�!�-��>�����$��-#�>��#��> %�(��"#� ��� �"�����#����1��� �����"���������>��������� ��0� ��0"#���

� �� �

� � � �* * 33 3 3 3 3 3

�� � �

� � �� " " � #

� � �

/ / // /� � � �

/ / / � � � �

������ ������-��>��� � B0-�"0"� � >"0����� ***�3* �g�-�������"�0��& �> �����01"�>�&��-�>��� / �����B0-��"� ��"���1%������#�"#�� ��"�-���������� X< ��C����"������>���"������>� �>"0 �-��>�������-"���#��> %�(��"#� ��� �"�������>"0 ����1�����"�-���������� X/ ��������>���>"0��-�����������-"��P�

�� � ���

� �� �

/* /

*!*/3 3*�*** 3!*/

3!*/ 33 3

3*�*** 3!�5+ *!36/ �,+*!+

�" ��

//� � � " �/

/�

� " " �

���> %�(��"#��� / ���������-">�>"0����� 6*,�33 �g�

Page 278: Trandafir Matematici Pentru Economisti

��56

+�/�/��2��������������������������������

��� � #### � ���� ����3 ������2�#������� �##" ��� ���3* ���&"#� �

"# *� � +�/�3/���

��"�� �#�������$��� �� � � ��##�� ���� �� �� 333 �����"��#��

� � ��

"�

"

"�� ��

***3 3 ���� �

(�������

#���

"�� �� ���

*3 � +�/�3+���

��1#�"#�����0����&������"�"��B0-�"0"���"��0����>0������2�#���>��7��

������0����>0����#�� ��1%�&�� ��"�� ���"0��� 0�> ����-#�� �#��> %�(��"#�

��"#"��

3� # � �"� *3 � � 33 �#� �� � #"" � *3 �

� � # � �"� 3� � � �� �#� �� � #"" � 3� �

� � � � � � � � � �� � # � �"� �� 3� � �� �#� �� � #"" �� � 3 �

� � � � � � � � � �� � # � �"� �� 3� � �� �#� �� � *��" �

������� ������-��>��� ���B0-�"0"����>"0����� ***��/ �g�-�������"�0��& �> ���

��01"�>�&��B�� < ������"�-������"#���� X/ �-������"�� ��-������-�����"��0����>0������2�#���������>�����1#�"#�����0����&���P�

�� � ���� ***��/* �" �(�� <�� !����"����

+�/*<

***��/* ����

"# �

(���1 ���0�

*

+�/*

/**�3�

5/*�36

<

�,

3�

*3

�������

"

#""

#""

#""

Page 279: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� �54

<�/

+�/

65/

3�/*

,<

�,

3�

*3

��������

�"�

�"�

�"�

�"�

++5/

+65/

53�/

5/**

<<

,,

��

33

������������

�#�

�#�

�#�

�#�

��1#�"#�����0����&����$�� �7��

����� �0����&���� ��1%���� ��"��������"0��� 0�> ����-#�� �

#��> %�(��"#���"#"��3� +�/* � 3�/* � 5/** � 365/* �� � +�/* � 65/ � 53�/ � 3�/** �, � +�/* � +�/ � +65/ � +�/* �< � +�/* � <�/ � ++5/ � * �

������ ,"# � ��

Page 280: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�6*�

�5���(���������������������������(��

�����#��������-��� ��#��� ����������(�������0�#���-��1�&��� �����>�� �����#�"#��

��� �>�2"� ��� �"� �H"���"#� �������� -��1�1�#�� �#��� (�� �#�� >����>������ 0���0������ >"���>�0�� ������ -���� ���0��"#� ��� ���"������� ����� ������ -��1#�0�#�� -">�� ��� -���������-��� ��#�������>�2"� ������-��>�����>��>�"���& �-����K0���0���������"����#�L��

��#"#� �>�2"� ��#��� B0-����$�� -�����#�#��� ����� �0���� � $�� �� >�"� ��-������������0"�� �����0���#����>���1�����"��>�"���G��"�0����#�0�� �#���"��#��-��������-��� �����-������ ��0-��>�����������"�� �����"0��� ��������>�2"������

���"#� ��� �>�2"����� >�� �����& � -���� $ �> 0����#�� -��>����#��� �&���� >�"�H"������� ����������������B����2���&� ���>-����#������>�2"� ����

�>�2"� ��#�!����� ��������� �>"����1#�2�������>�"� ��"#����$�!�>��B0-����B�7��� �>�2"� ������-��>����!��� �>�2"� ������1"�"����

�>�2"� ��#��>"����1#�2���������� �>�� ���-��1�&��"���� #�2�� (�� >"��� ��"#����$����� ��-���-��1�&��"����B� �#�2����B�����- � ���

��������"#�>�"�#�2�������>�2"�����-��$��������� �������>�2"�����>�"��1#�2� ���-����>��-����"���#����" �- � ���

����� ����������� -����� �� �� ���� � ��� �� 0���� � ��� ������� �� ���"#"�� ����>�2"�����-����-��0������>�2"����!�B��$���������0-��> ����-�������#���-��$�����������#�0�� ��(�������������

G���-��� ��#������>�2"�����>�����>�1�>�7���#�2 �"� �H"����� !�"��������0�� �(��"�����8��� ��

��2 �"���H"����� �-��$�(��� ��0��B���������"���(������>�2"� ��#�!��$%���#��1�& �#�2�#��(�����������#������>�2"������;�>�������

��2 �"��� �����0�� � �� ���>���� �-��� ��� -��$�(��� ���-������� ��$��#��������0���������>�� ����-����-��0������>�2"������

��8����� �>�2"� ��#��� "�0 ��(��� ��� �-��� ��� ��� �>�2"����� > � ��� �� �-��� �����8���1�# !����� �> ��;�>���"����8�#�1�"� ���������B������1#�2� ��#����#�����" �- � ���

�5�3�����:�� ���&�����������

����-"#� �>�2"� ��#��� ��� -��>����� �>��� > � � ���� ��0���#��� 2���� ��� 0������#��

����� > ��� -"� � #�� �� -�>�� ��� ���>���� �#�� ��"0����� �$���0����� ��7� >� ��������-���� ������0"�� !�-���������-�� ��# �>�"�����# �����-���� ������0"�� !�����>"#��)$���0��������>���������& ����������#���>�"��#������"&��(��B01��� ��� ������ ��0������>�2"�����-����$����1�����$"#"���>�2"� ����(������� ��#�������>�2"������

�>�2"���"#�-# ��(�����;�#������>�2"�������%����0-��%���>���B��$�� �>�"�-%� �#���;-������� ���0��"#"�� ��� �>�2"������ �>�2"�����"#� -# ��(��� >"0�� �>�2"��� � #�� �$�������������"#"���

��;�#��-# ���������>�2"���� ��>���" ��������>�2"�����-����"�>"0�#���>�2"����� >���"0�>��-��0������>�2"������C��0�#������>�2"�����>"���"�������� �>"���-# ���������� �-����"� ���� ��0-"#� �>�2"� ���� >�"�-��������� ��� � >�� -# ��>�� ��"�#!� ���0�>����#!� #"���������

Page 281: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� �63

C��0�#����� ��#�"#��& � �"� �H"���"#� "���� ��"� ��� >��1�#�� � ��8���1�#� -����"� ��#����" �- � ���C��0������>�2"�����>�������0�� � ��%���>��0����%�����-�>�1�#�� �#�����-#�� ��� #������� �����>�2"���!��%��(����� �-�"#�� � ���"��#�����>���"��������>�2"������ �������0-�������>-���1�#�!��#��>��� # � B������"��"#������0���(�� B����"��"��$�����-������� �>�2"�����"#� B#� �#�>�(��� B�� �$������ �>�2"�� �#��!� 0��(��%��� ����>-"�& ����-��0�����-#�� ��

C����"�����-��� ���> � �����8���1�# !�B��0�0���"#�B���-������>�2"� ���!�$�#������0����� �� >"0�#��� -# ����� ��� �>�2"������ ���1"��� > � ��� �2�# � �"� $�#������ 0����� ��>"0�#���-# ���������>�2"�����

�������� ����������� �������������� ��� � � �>��� �� �>�2"����� ��� $�� ���0-"> � ���� �>�2"� ��#�� -�� ��#�� � !���!! �3 � ���� �!!! !���!! �3 � >"��� -��0�#��

����>-"�& ������ �>�2"� ��#��� -�� ��#�!� ��"���� $�#������ -��0��� ����#�� -����"��>�2"���������$�� � ��>���

�!!!! ���� ����3 ��

��������� ���� ��� & � $�#������ ���"�# � �� >"0�#��� -�� ����� ��>���" ��� ����>�2"����� #�� $�� B���>�� -����"� �>�2"������ � (�� '& � $�#������ ���"�# � �� >"0�#���

-�� ��#�� ��� "�0��& � > � ��� B���>���� -����"� �>�2"� ��#�� -�� ��#�� � !� �� !���!�!3� ��

�"0�#��>��$���-# ������ ��>�2"���"#��>���B��$�� ��C��0�#�� ��� �>�2"����� >"��� $�#���#�� 0����� �#�� $����1�#�#��� �#�������� & !�

��>-����$� �& �(�� � �&(! � !� � ��� &(! � �

�"0� �&&&& ���� ����3 !���"����0������>���

� � � � � � � ��&(&(&(&( ���� ����3 �

>�"� �!!!! ���� ����3 ��

�>�2"� ��#�� ��� -��>����� >�� B0-���� B�� �>�2"� ��� ��� $�� � (�� �>�2"� ��� �������������

1����� ����� ��� ��� � >"��� �����0������ ���� �1>��$� ��� >����>����� �>"-��� "���� ������������ #"�� ��& �$�� ���

C������� �������� ���� 0��� �0-����� �� B�� ��#�"#"#� �>�2"� ��#��� ��� $�� � �>���0����#������� ����$�&�#��!� ����� �>��� >�"���� � B�� "�� ��� ��7� $%�>� !� -�� �>��!� >�;!���2�"��!�2���������$�#�&� �����������>��>�"��"��#�0����#�� ������ - ����"�� "���0����(���� � �������� ��"���&$�#��������������-��1�1�#�� ���

�����>�������0����#�� ��� "�"�� 2�"-� ��� ����$�&�� ��� �����(�� $%�>� !� � ��� $%�>����>��� �����"#��"����� #"�� �-����0����� !�B�� "�� ������>�;�(���$���"�#�-������2��������-�� �>���>��>�"���� ��"��H"���"#�"������� ����� ���"0�����������-���� ��"0�#����� "�� ��� 1��0�������� ���>���� >"��7� -��1�1�#������� ��� $�� � (�� ���0�����!� "�� ��� ���>"-��$�� "����(��$�� ��0�����������

Page 282: Trandafir Matematici Pentru Economisti

��6�

5�3�3��!� � ��������������� ��������������

��� �� -�-"#� ��� ���� ����$�&�� ��� �����(�� $%�>� � ) � ���!� ����� � )( �� ��� �

�$���0���"#������-��>��� ����� )( �> � ���B��$�� ��#��B0-#�������$%�>������� 3�) ������

��"���� �� � ��������� ��� ��� � �>��� -��1�1�#������� �$���0���"#"�� !� ������� � � �3! ��� ))� !�) ��

��� � � �>��� �$���0���"#� �-">� �$���0���"#"�� �!� ���� � �$���0���"#� ��� ��-��>��� ����$%�>��� ) � �������� )( � > � �"�0��� ��� B��$�� � #�� B0-#�������$%�>�������

3�) ����!���"������ � ������������������$�� �� � � � �3! ��� ))� !�) ��

G�� 2�����#� � �*)� ! � �>��� -��1�1�#������� ��� �� -��>��� � ��� $%�>��� ) � > � ��� B��

$�� �#��B0-#�������$%�>���� * ����"���� � � � � 3!! �� *)�*)� ����� � � � �>��� �� $%�>� � �"-���> � B����� ) � ���� (�� * � ���!� ��"����

� � � � � �*���)�*)� !!! �� �>�"�

� � � � � � � �**�))�))�*)� !3����!33!! �������� ��>� �#�� �

� � 33���! ��� *)) ���*)� � 5�3�3���

��� � �)* �� �$�0������ � � )���))� ��! �(�� � � )���))� ��! ����>�2"��

33��� ���� �))))� ���� � 5�3��������� �������������� �����$�� ��$�#������0��������"0 �"#"�����-��>����������

�H"�2�> �B0-#����>� �$%�>������ ) ����!������ � )� ��"0 �"#����-��>�����������H"�2�

> �B0-#����>� �$%�>������ ) ������>�����$����1�# ��#����������>���� ���� ��0��

���

����

��

���

�&

��

3*

3*7 �

"���� �� ��>����"0 �"#����-��>��������$%�>��� � ��������>�2"�� *��� !� �� !���!�!3� �(��

33

��

��

��� ��

����������� ������$�&������$%�>������ � ������"������(��-��1�1�#����������� ��B��$�� �#��B0-#�������$%�>������� ) ����!���"����$����1�#���#�������� & �"�0��& ���#�2��1���0���# ��"�

� �� � � �� � �����

��� )��)���� �� !! �

-����"������ � � ��&( � !������

� � � � )� �)���&( ��� ! �� 5�3�,������

Page 283: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� �6,

C��1�1�#������� ��� $�� � >�� -����� �����0���� B�� "�� ��� ��� "�� ��� ���>"-��$�� "�����>� �#�

� ��

)

��

)�� �! � 5�3�<���

��� � *)� �� !� ��"���� � � � � � �*)�)��*�� !!! � � �>� �#� � �

� � � �� � )

*

��

)��*��

*)� ���!!

! !������

� �)

*

�*)� �! � 5�3�/���

G��-�����"#��!���� � �)* �� !���"����

� �)

�)

��

�))� ���! � 5�3�+���

(������ � � � �)

*)

��*)�*)�

���� !3! ���&"#� �

� �)

�))

���

�))� ���! �� 5�3�5���

��0�#���

� �)

)) �

�))�� 33! ���� !�

� � � �)

))

)��

))�)� 33! ����� !�

5�3�6���

"���� ))) ��� �� �3 ���-��&��� ��"0 �"#�-��>����#����������������B����� ) �(�� 3�) �

�����

�"0� *�)� !� 3�)� !���&"#� � 3* 3 �� �

)

)

��

�>�"� ��) �� �3* ��

G������#"&��!� "�� ������>"-��$�� "�����>�����>���>� ������B����-�����"�$%�>������� � ) ����(�������������!���"���� )� �������#��&�����

$�� �� ������ �>��� $�#������ 0����� �� �"0 �"#"�� ��� ���� -�� ����� ���� > ��� 0����� ��>� � �� -��>��� � B�� $%�>��� ��� ) !� ����� � )" �� "0 �"#� ��� ���� -�� ����� B�� 0���

�� ��(��� �� -��>��� � B�� $%�>� � ��� ) � ���� �>��� �� $����1�# � �#�������� ��>���� � & ����������� ����>�#�� >"��� ��>���1"���� "�� ��0� B�� ��0-"#� ��"#"�� $�0� #"�� 0�H#��"#���"#"�!���"����

��

��

� ��

� ��

��

)��)) ���

�&3:�:3

�3

�3

3�3

7 �

Page 284: Trandafir Matematici Pentru Economisti

��6<

)�� �3: � ��>���-��1�1�#������������-��>��� �B��$%�>� ���� ) �����> �������&��#����$%�>� �

�"-���> �B����� �) � �(�� 3�� �) �������>� �#�

� � ))��)) "��

��&( ���

���� � ����

3����

�,

�3

3:�:3 !�

�����

��� ��

��

)

� )

�)�)) �

���"

3**

*

3

�3�

!� 5�3�4���

"���� >��� ���>������� $�� �� #�0���� !� ��0���� �"� �>��� ��0"������� �%�>��� #�0�� � >������>�������3** ���������

��&$�#�%���>����� 5�3�4����1 ���0�

� � � �

3 3 � 3

3 3 3 3

3** 3**

3 3

3 3 33 ��� ���

� � �

3 3��� ��� ��� ���

3

� �

) ) � ) ) � ) �)

) ) )

) ) ) ) � ) � ) ) �) )

) )

) � ) �) � �

) ) )

� � � � � �" �

� � �

� � � � � � �� �

� ��

� � �

� � � � � �

� � � � � � �

� �

� �� �

� � �� � � �� � � � � � � �� � � �� � � �

� � � � � � � � � � � �

� � � �

�2#�H%����3

�>���1 ����$�� ��0�����

)

)

��)

) �

�"

��

3**

3 � 5�3�3*��

������ ���>��� "�� ��� ����� �0�$ &"�� � � >��$�>�� #��0 >"������ �"������ $�� ��� (���"0�����������>��0���$� "�� ���1��0����������$����H"��� #�� B����0�������� ��1�#�����0����#������ B�� "�� ������$%�>���(���"- �>�;!������ ���>����#�!�0������#������!� ��1�#�������$��� ��$��� ������������""�-����"����1 ����-��0������>�2"������%��0�����������

��1�#�#�����0����#�������"-�����"�0 �����#����#����7���#�����$%�>���.���#�����$�#���#��� "�� ������� >"-��$�� "���� )� !� ���� ��"0 �"#� ����$�&�#�������2�"-"#� ��� ��#�

����� >"-��$�� "��>�� -%� � #�� $%�>��� ��� ) � ���.� ��#����� �� ���� �#��� 3��� ))) ��� !�

���� ��"0 �"#� ����$�&�#���������"��������� B����� ) � (�� 3�) � ��������������� )� � �����

���"�B��$�� �#��$%�>������ ) ����.���#�����)

)) �

�� � ������

�����

Page 285: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� �6/

5�3����1�������������������������������������� �������������������������������������������

���� � �� -��>��� � ��� ) � ���� ����������& � �� �>�2"����� B�� $�#����� ��� 3� "�0�!�

"�0%����������>� �>"0 �> ���>��-# ���>� ���� ��>���B��$�� �-�>��� � ����!��>�2"���"#�$�� ���1"��> �-# ���>� ���>"0 �-����"�����>� ��>�2"�����������>���$�#������0�������$����1�#���

���

����

)�)�

��

�&

*7 !�

�����

� �)

�)�)�

��

���&(! ���� ��

����>� � $�#����� 0����!� ������� )� + !� �"0�� � ��� � ������ � ��"��� � >�"�

���������������������������>��0���-�����>�����

))

�)�)

)

)

)

�)�)� ��

����

��

�+ ��

� ��� ��

"0 �"#� ))) ��� � � �>��� �"0 �� ��� ��0"�� ��� -����"� ������ $%�>��#�� (��

-�������#��"&"�#�!��;�>�%���B����0������1�#�����"����#�!�(��

)

�))� �

�+ �� �� 5�3�33���

C��0��"��� �-����"���>"0 �B��$�#�������� � �"��� ��0��������$�� ��

)

�))� �

��+�! ���� �� 5�3�3����

��� � �) � ��>���>"0��-# ��� �"����-��>��������$%�>��� ) !���� ��>���B��$�� �#��

B0-#�������$%�>������� �) � ����!���"����$�#���������"�# ���>"0���#��$%�>������ ) ������>���

�))��) + ��� ��

������ ������-��>��� ���� <* �������� ����������& ����>�2"����� B��$�#��������***�/* �"��� ��0��������-# ��1�# � B����&����>"-��$�� "���� #�� B0-#�������$%�>�������

+* � ����� ����� �>��� -��0�� "��� � -�� ����� ���1"��� > � �� -# ���>� � -����"� ����>� ��>�2"����!�-������"#� ����� X/ P��� � ����C��0���>���

+*

<*

,66/!5/*�*** /*�*** 3+�33/

3�*/,) �

)

� �! �

� ��� � � � �

���

Page 286: Trandafir Matematici Pentru Economisti

��6+

5�3�,��1���� �������������������������������C��0�� "��� � -�� ����� ���1"��� > � �� -# ���>� � "�� �>�2"���� ��� ) � ���!� -����"� ��

-��0���%���3�"�0��#��> %�(��"#� ��� �"����!�-������ ��"�����$�� ��!���$�0������ )� ��

���������0����0-"���������������#�������>���$�� ��

3 � 3** 3 � 3**3 3**

������ ���) ) ) )

) ) ) )) ) ) )

� � � � � �� + +

� � � �� � � �

� � �� � � � � � � � �

��0������"���#���"0 �������0"�� ��� 3**3 ��� ���� ))) ���� � ����"����

)

)) �

�� 3�� ��

��� � >"0�� �>�2"��� � ��"�#� �>��� B�� $�#����� ��� � � "��� �� 0�������!� ��"����-��0��"��� �$�� ��

)

)) �

����! 3��� �� 5�3�3,���

������ ���������$�� ��-��0��"��� �-����������1"���> ���-# ���>� �"���>�2"����B��$%�>� � ��� <* � ���!� B�� 0�0���"#� �������� ���� �>�2"� ���!� -����"� �� -��0�� ���� ��>�"#�$�� ��!�#��> %�(��"#� ��� �"����!��%��� ***�, �"�0�!�-������"#� ����� X/ P��� � ����C��0����� ��0� ��0"#��� 5�3�3,����>���

<3

<*

36336+,�*** ,�*** </�*45!�

3�*/,

�!

�� � � � � ��

�5�3�<��1���� ������������������������������

�C��0��"��� �-����������1"���> ���-# ���>� ���-��>��� �B��$%�>� ���� ) ������>� �#�

��� #�� B���-"�"#� ��� �"�����> �-��0��>� ���������3�"�0��-������ ��"�����$�� ���>�#�!�

����� � )� !�$�� ��

)

)

))

)

)

)))))) �

���

��

��

+++� ��������� ��

3**33**3* ������ ��

����1>��$ �� � )) �� ��3 ��

��� �>"0���>�2"��� ��>��� � �"�0�!���"����-��0��"��� �$�� ��

)

)) �

����! ��� ��

������ ����������>���-��0��"��� �-����������1"���> ���-# ���>� ���-��>��� �B��$%�>� ���� +* ����������-��0�(�����-��>���$��2�� ���"�# ���� ***�+ �"�0��������-����"�-���������� X/!, P���

Page 287: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� �65

�� � ����C��0��"��� ��>���

+*

+*

6*6/,*!53+�*** +�*** +�*** +4�436!+

+4,6�!63)

�! �

�� � � � � � � ��

�5�3�/��1���� �������������� � �����

���"�� �#��#�0������#�� � �����-��� ��-�>����-���� � )� �>�"�������-���� � )� ��C��0��

"��� �-����������1"���> ���-# ���>� ���-��>��� �B��$%�>� ���� ) ����!�-����"���B���>����0-���� � ����!�#��> %�(��"#� ��� �"�����3�"�0���>���

3 3 33 ��� ���) ) � ) ) �

� ) ) � )) ) )

� � � �� + +

� � �� � � � ��

� � � � � � � ��

��� �>"0���>�2"��� ��>������ � �"�0��-��0��"��� �$�� ��

3 3) ) �� )

)

� �! � � �

�� � ��

� � � �� 5�3�3<���

��0�#��!�-��0��"��� �-����������1"���> ���-# ���>� �"���>�2"����B��$%�>� ���� ) �����-����"���-��0���%���3�"�0��#��B���-"�"#� ��� �"����!���0-���� � ����!���� ��>���B��

$�� ��>���)

�)))� �

��� ��

� ����� �>"0��B���>�� �#��B���-"�"#� ��� �"������>��� � !�

��"����-��0��"��� �$�� ��

) ) �� )

)

� �! � � �

���

� � � �� 5�3�3/���

�1>��$ 0�� � 33� ) � )� ��� � ��

������ ���� � � >�� �����0���� -��0�� "��� � -�� ����� ���1"��� > � �� -# ���>� � ��-��>��� �B��$%�>� ���� +* ����!�B��0�0���"#��������� �����>�2"� ����-����"���B���>��#��> %�(��"#� ��� �"�� ��!� -%� � #�� B0-#������� $%�>���� ��� 5/ � ���!� >"0�� ��� ***�/ � "�0�!�-������"#� �������� X/ �������"�B���>�����#��B���-"�"#� ��� �"����P��� � �������� 5�3�3<���

+3 5+

+*

,�*��36!5,/*** /*** <64��/,!/

,66/!5

� �!

�� � � �"�0��

���� 5�3�3/���

C�c�/***� +* 5/

+*

,3�+64!6/*** /*** <*555

,66/!5

� �!

�� � � � �"�0��

������

Page 288: Trandafir Matematici Pentru Economisti

��66

5�3�+��1���� ������������"������C��0�� "��� � -�� ����� ���1"��� > � �� -# ���>� � "�� �>�2"���� B�� $%�>� � ��� ) � ����

-����"� �� -��0��3�"�0�� #�� > %�(��"#� ��� �"�� ��!� �"- � ��������� �� � � ���� ��� � �>��� B��$�� ��

���������0����0-"���������������#����$�0�

)

�)

))

�))))�)� �

���

��

++� 33**33**3 ������ ����

�� ������� ��

��� �>"0���>�2"��� ��>������ � �"�0�!�-��0��"��� �$�� ��

)

�))� �

����! 3����� �� 5�3�3+���

C����"���"�� ��$��2�����0%�����������-����"� � ����!�-��0��"��� �$�� ��

)

�)

))

�))))�)� �

���

��

++� ��� ������� 3**

3** ������ ��

��� �>"0���>�2"��� ��>������ � �"�0�!�-��0��"��� �$�� ��

)

�))� �

����! ���� �� 5�3�35���

������ ����������>���-��0��"��� �-�������"�0��& �> ���-# ���>� �"������$���B��$%�>� � ��� /* � ���!� B�� 0�0���"#� �������� ���� �>�2"� ���!� -����"� �� B���>�� �"- �B0-#�������$%�>������� +* ����!� ������>�"#�$�� ����%��� ***�/ �"�0��#��> %�(��"#� ��� �"����!�-������"#� �������� X/ P�����#��B���-"�"#� ��� �"����P��� � �������� 5�3�3+���

+3

/*

,6/+4!6/�*** /�*** �5��/*

5*5*!�

�!

�� � � � � �"�0��

���� 5�3�35���

<**��+�!5*5*3!,5,<*

***�/***�//*

+* �������

! �"�0��

�5�������:�������&���������

���#���#�� ���"�#�� �#�� ��"�� �#��� $��2���� >�"������ -%� � ��"0� -��0��� > � >��

>��1�#��>� �-��0�#��"�����-����"��>�2"���������-��>��������>�2"� ��#�����-��>������1"���> �>�������0����-��0��"��� �-����������1"���> �

�� -# ���>� � "�� �>�2"���� �� ��� � -����"� ������"��� -����"� �� -��0�� #�� 0�0���"#��������� ���� �>�2"� ���� �� -��>��� $��2�� � ��"�# � ��� � � "��� �� 0��������� C��>���

$��2�� ���"�# �-�>����-�� ������ 0� )! �(������������-�� � )! ���$�0�

Page 289: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� �64

)

))) �

����! ��� !�

)

))) �

����! 3���� ��

��� ��>�2"���"#�����(�����-��>���#"��� ���� 3�� �"�0��-��0��"��� �$�� ��

� � � �3� 3�3� 3�

333� 3�

�<)

) ))

�! � � �

� �� � � � � �� �

� �!�

� � � �3� 3� 33� 3�

333� 3�

�<)

) ))

�! � � �

��� �

� � � � � �� �� �

��

��%��� �"� � �3�� )! � -��0�#�� -# ����� ��� �>�2"���� ��0-� ��� � � ���� #�� > %�(��"#�

��� ����#"���(���"� 3�� �-��>��#��#"�����$��2����-�������"�0��& �> �#��-��0��>� ��"- �

� ������1 ���0���#� ���

� � � �� �

� �

3�3� 3�

3� 3�3� 3� � )

� ) � )

� )

�! � �

�� � � � !�

���"����

� �

� � � �3� 3

3�3 3

�< 33

�< 33) � ) �

� )) ) � ) ) �

� �! �

� � � �� � �

� � � �

��

� � ��� 5���3���

������ ���� ����� �>��� -��0�� -�� ����� "�0��& � > � �� -# ���>� � �� -��>��� � B��$%�>� � ��� <* � ���� #�� > %�(��"#� ��� ���� #"��� -%� � #�� B0-#������� $%�>���� ��� +* � ����-����"� �� -"���� B���>�� #�� > %�(��"#� ��� ���� #"��� �� -��>��� $��2�� � ��� /** � "�0�!�-������"#� �������� X/ P��� � �����$�0� /**3� �� !� <*�) !� �*�� ������ 5���3���

� �� � � �

� � � �

+3 +*3�3� <*

<3 +3 <* +*

�< 33/**

�< 33

�< ,6/+4!6 33 ,66/!5/** 3�/!3<

�< 36363+ ,6/+4!6 33 3�*/, ,66/!5

� �! � � � �

�� �

� � �

� � �� �

� � �

�5�,�����:�������&��&�����

���� �>�2"� ��#���������>� ���1"��� > � >�������0���� >"0��-�� �����"�0��& � > ���

-# ���>� �"������$���B��$%�>� ���� ) ����!�-����"����#�������0�� ���>�#��B����-�������������>�2"�����> �-# ���>� �"�0�(�#�������"0�� ���� ���� ���� �;�� �-������������"#�����>�2"������

Page 290: Trandafir Matematici Pentru Economisti

��4*

C��0��"��� �-����"��>�2"�������������>��>��������>"0��-�������"�0��& �> ���-# ���>� ��>�2"���"#�B����-�������������>�2"����!�#��0�0���"#��������� �����>�2"� ���!��� ��� � -����"� ������"���� �"0�� -�� ����� �� $�� -# ��� B����-��������� "�0�(�#��� #��0�0���"#�����>"#"��>���"0�(���>"0 ��>�2"��� ��

��� )( � $�#������ 0����� ���"�# � �� "�"�� #�"� -# ���� #�� ����� ����>"#"�� "����

-��>�����B��$%�>� ���� ) ����!����� �$�#������0��������"�# ����>�2"� �����������>�������>���$�#������0�������$����1�#���

���

���

��� ������

��

��

��

)

�)�)

)

))

)

))

���

���

���

&

3�33

3

33

3

7 �

�"�

� �

� �

3 33** 3**3 3� �

* *

3�3**

3

*

)) )� �) � ) � ) � ) �

) )� �) )

) �)

) � ) �)

� )

� � � � ( ( &

� �

� �

� �� �� � � � � �

� �

� ��

� � �

� �� � � � �

��

��� $��� ������"��� �"0���� ��� ��0"�� ��� � � �

3

3

���)

))) ��� �� ��"����

3**3 ��� ���� ))) ���� � �(��

)

)) �

�( � �� 5�,�3���

��� � >���������� ��� �>�2"����� "�0��& � > � -# ���>� � B�� 0�0���"#� ����>"#"��>"0����� � �"��� ��0�������!���"����-��0��"��� �$�� ��

)

)) �

��(�! ��� �� 5�,�����

������ ���� ����� �� -��0�� "��� � -�� ����� ���1"��� > � �� -# ���>� � �� -��>��� � B��$%�>� ���� /* ����!�-����"����B��0�0���"#�����>"#"�!�"�0�(���> �-��0��>� � ***�<* �"�0���"�-���������� X/ P��� � ���

+**�3,�!5*5*

�<3+***�<****�<*

/*

/* ������(

! ��

�1����� ��������������������������"�����

���� ��>�2"�������������>�>�� ����-��"�����0���#�0������������ � !�B���-%������

#�������B��8���������������"#"������>�2"����!���"����$�#���������"�# ���"����"�0�������>��-# ��(����>�2"���"#"��B��$%�>� ���� ) ����!�#��B��8��������>�2"� ���!��%�������>"#���>"�$�����B�����"�>"#����>���������>���

Page 291: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� �43

)

�))

)

�))))� �

���

���( ���� �

����

� 33 ����� 5�,�,���

��� � �>�2"������ �"� B���-�� �0������ > � "�� ����&�!� ��� �"- � � � ���!� ���� � ���>�2"������������>��0%��� !�>"0��>��-# ��(����"0������ ��>�2"���"#��������& ��"- ������������ � ��������#��B��8��������>�2"� �����

��#���������"�# ���"����"�0�������>��-# ��(������ ��>�2"���"#� B��$%�>������ ) ����� #��������������� �����>�2"� ����0������"- ��;-����������0��"#"������0%��������� ������>���

3**���) � ) �� )

) )

� � �(

� �� �� �

� � �� 5�,�<���

G������>�2"�������������>�-������ �$�� �� )( �(���>�2"� ��#���������>�#�0������(��

�0%������;�>� ���#� ���

) � ) � )( ( (� � ��

������ ����������>���-��0��"��� �-����������1"���> ���-# ���>� ���-��>��� ���� /* ����!�-����"����B��0�0���"#�����>"#"��"�0�(���> �-��0��>� � ***�<* �"�0�!���� �����>"#�����#���-%� �#��B0-#�������$%�>������� +* ������"�-������"#� X/�� P�������� �����>"#�

>"�$�����"- �+* �������P���#" �������� 5�,�,���

/* +*

/*

�<3+ 36+,<*�*** <*�*** �3,6!+

5*5*!�� )

� �(

� �� � � �"�0��

���� 5�,�<���

+*

/*

36+,<*�*** <*�*** 3*�/<*

5*5*!�� )

�(

�� � � ��

�5�<�����:�� �����/���

����>����>�2"� ��!�"��#�&������#�0������>��!�-��>"-"��B�����#�(����0-��>�2"������

"����>"0��-�����0��� �;�(�����>�2"������������>�B������"#����#"��(�����0������� � �"����� �>�2"� ���� �>��� ��� � � ���!� B����-��������� ��� �>�2"����� -# ��(���

�>�2"���"#"�!���� ��>���B��$�� �#���;-����������>�"�����0��!�>"0���>�2"��� !�������� ��� �������� B�������� ���>�"�� ���0��!� -# ��(��� #�� ����� ����>"#"�� "�0�(�#��� �;� �� -������������!�>"0���>�2"��� ��

C����"� ����>��!� $�#������ ���"�# � #�� ������������� �>�2"� ���� >�� >��1�#�(�����"�%��� >������#�� B����-��������� -����"� �>�2"�������������>� (�� �>�2"������ >"0��� #�����0��!���"����

)

�)

)

�)))�)� �

����

�(! �� ��

��� ��

��

Page 292: Trandafir Matematici Pentru Economisti

��4�

��� �>"0���>�2"��� ��>��� � �"�0!���"����-��0��"��� ��>���

)

�)�))

����

�! �� ��� �� 5�,�/���

������ ����������>���-��0��"��� �-����������1"���> ���-# ���>� �"���>�2"����B��$%�>� ���� /* ����!�B��0�0���"#��������� �����>�2"� ���!�-����"���B���>����� ��>���B��$�� �#��$%�>������ +* �����>"0����� ***�<* �"�0��������� �����������-%� �#�� +* �����>"0����� ***�<* �"�0��> � ���B���>�� ����"�0�(��#��0�0���"#�����>"#"�� -������"#��>��� X/ �P��� � �������� 5�,�/���

/* +* +*

/*

�<3+ 36+, ,66/!5<*�*** <*�*** �/�33�

5*5*!�

� � �!

� � � �� � � �

Page 293: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� �4,

�6������(������������������,�"�������"�����(��

��

6�3��� �����:���������

��1��� ���� ���� ��� � $� � � � � � �� � !����� ��� ���� � ������ �4�� ���������������$����� ���� ������ � ��

�/�����7�>���"������0 � "��!����0�������-��0�!����-��>�����>�8�01������C����"��� ���>���"�� >���"��� �$�07� �8�#�"��#�� ��� �-��$�&������� >�"� -���"� ��!� �8�#�"��#�� ���>����H!�-��������-����"���-���������0 � "��#���(���#��#���

������ 2�>��"��� ��� >���� -��>"-"��� ���� ��� B�� >���� �������� (�� ��(���� ���� >���� ��������������0��������������������1"�"������-����� �������0���>� �(���"��>�"� �>�"��#���������"�����-���� ���>����>�����"��>�"� �>�"����"��>�"� ��

G�� ����$������� ��� 0���2�0���� �� >���"#"�� �����$��� "�0 �����#�� �#�0����7������������1"�"��!���$�#"#�>���"#"�!�$�#"0"#���0��&���������-��$�&������!�-��������������-��$�&������!���>�"������>������!����-���#�&���!����#��>��������0��&����

C�#������ �����0�� ������0�� �����&��#�� ��� >�� ��"� B�� ��2���&����� (���� � �� � ��>���"��#��!��$%���#��1�& �"���������"�����-��0!����>��� ���������1�������>�"#�2#�1�#�0���0��

��1��� ����) ��� �� ������ ����� �� ���������� � ����� � �������������� ������ ������������������

)#�0����#��"����-�#�������-��0��>"��7���$�#"#��-��0��#�>���"#"�!�$�#"0"#��-��0��#�"������0��&��������-��$�&������!�-���������-��0 �������-��$�&������!��"0 �"#��-��0�������-��$�&��� ��!���>�"#�����#�0���0� 2�>��"�����-��0 ���

G�� 2�>��"���� (���� � �� � �� >���"��#��� "�� ��#� �0-������� B#� �"� 0���#�#�������0����0���0������ �� ��$�#"��#��� >���"��#��� (�� �� 0�0����#��� B�� ����� >�� �������-��$�&�������!��"��H"���"#�� �����-"��0�>��1�#��-�#�������-��0����"- ����"���#��!�0���#�#��-��� �������0���>���>�"��#����������

6������&����&�������������

6���3��%�������������������������������������������� )������� �������� ��������������������� � ����� ��������

�������>���� �� �>��>���8��& �"��>��2"��-���">��#�� �"�����>"0��>����� "�� ���

#����� � ��� ��0-!� �������� -���">"#"�� �>��� 1 E� -�� �� -������ � ��� ��0-� � !�

���-��$�&�������>���"#"��>�� ���� ��>�������"�#�� �����$�#����� ��0-��2�#���"� � �(�� B�������� ���2�#�� * ���

@������ ��>�"#� "������ ��� >������� B�� "�������� ��� ��0-� �� E� ��>�"#� ��� #��>���� ��

��0��&���������-��$�&������� 3� !���-��&���%�������#"#��8�#�"��#�#���#�2��������-��� ������ ���-��$�&�����������"���-�������� * !� (�� � ��"�>����0���� #�-> ���� >���!� >�������2�>��"�����-��0 � ��>�"#�����#�0���0���

Page 294: Trandafir Matematici Pentru Economisti

��4<

���>� �#����2�>��"���>��-��&��� ����B�� �2"���6���3��

��2"���6���3��

����0� > � >����0� "�� ��� �1�����$� ��0���#"#"�� ��� �"-������ ������ �8�#�"��#�#��

#�2�������2�>��"����>���"#"���

�1>��$ 0� � � -����"� ������� -������ � � � >�� ��� �8�#�"��#�#�� � �*����3

3 � !�

���������B��>����>�����>���� �� �>��� # ������������0�������*

��C�������#�� ������2�#�!�

�$�0��"0 �"#��-��$�&��� ��#���

�*1

��

�� � 6���3���

��>� �#!� "�� ����1�����$�K��>������#L�$�� ���1 ��"� �-����B�0"# ������8�#�"��#�#�������>-"�& ������"����-���������"��"0 �"#�-�������#��� � �

� � �*���*� � ���

� ��

�3

3 �� 6�������

G�#��"����B����#� ��� 6���������#� ��� 6���3���$�0��1 ����

� � ��*1�*

*� ����33

3 �� 6���,���

��#"0"#� �-��0� �#� "���� ��0��&�� ��� ���-��$�&������� * � >�� �1 ���� -"�%���

����� ������0���0�-����"� "�� ��� � �*� !�����$���#�����>���� "�� ���>"���

� � ��1�*

*� ���� �33

3� �

� � 3,

�1�

**� � �

6���<���

���&�#$ 0� � � *� *� �(���1 ���0�

Page 295: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� �4/

��1�

*�

� 3�^ � 6���/���

(���"0� � � *^ � *� !���"�����;���0"#��>���"��0���0�� �������>��������������0����>�����>���� ��"0���$�#���#��-�&���$���#��#"�� * ���

G�#��"���� 6���/���B�� 6���3����1 ���0��"0 �"#��-��0�������-��$�&��� ����%��(��-���������-��0 ��

3�^^

�1�

*1

� ���� !� 6���+���

�1��

�� 3�

^^ �

��

� �� 6���5���

G�#��"����� 6���/���B�� 6���,����1 ���0�2�>��"�����-��0 � � �*� �

� � ���1*�� 3�^^ ��� �� 6���6���

�/������� �������� -����"� "�� ��"0��� �-����� �#�������>���� �>��� ��� ***�5** �1"� ��-�������-��$�&��������"�"����-�&����"����>��-���">�>�� ����B�������� ���2�#�!�#�� �����$�#����� ��0-��2�#�!� ����-���">�#��>"���>���>���"�"�����0����>���������>�����@������ � � -����"� �� >����� B�� ��-�&��� "�� >��2"�� �-����� ��0-� ��� "�� ��� >�� -# ��>����������/* � "�0�!� ��>�"#� ��� #��>���� �#� ��0��&��� �>��� 3/* � "�0�� (�� � � �"� >�� ����-� � #�->��-���">"#"������>���!�> �>�������0����$�#"0"#��-��0��#�"������0��&�!��"0 �"#��-��0�����-��$�&��� ��!�-���������-��0 �������-��$�&��� ���(��2�>��"�����-��0 ��� ������� ***�5**�1 � 1"� �!� 3�� � ��!� /*��� � "�0�!� 3/*3 �� � "�0��

� 5**�*** 3/*^ �*<4

3 /**

� �� �

�� 1"� �!� ,<�

�*<4***�5**

^ ��� � �-��$�&��� ��!�

3^ 3,<�

� � � �&��(��� /!<+4�3*�3/*/*3***�5**�^ ������� �"�0��

�6������%�������������������������������������������� )������� �

������� ��������������������������� ��������������������������0���0�����-���&�#������0���#"#�6���3�!��"����>�1������ �>����0����#�-> ����

>����-���#�&�� � �"�"�� ��>�� "������ ���-���#�&���� �� � -���#�&�����-����"� #�->��"�"��

-���">�B��"�������������0-���C�����������>���� ������0-�� ��� �>��B0- � �� �B����" �>"1-�������!�-��������

3� �B�������>���"#�>���> �����������!�-������ �B�������>��$��-# ���-����"�>���"#�0���"�

��

���>�"#�"���������>����H� �� �(��-�������� �� �B�������>���"#��"�0���>���> �����������!�

Page 296: Trandafir Matematici Pentru Economisti

��4+

-������ � B�� ����� >�� $�� -# ��� -����"� #�->�� 0������

�* �� ��>�"#� "������ ����������

-���#�&���� �� ��

9���#"#�>��-��&��� �2�� ���B�� �2"���6������

��2"���6������

����0� > � �����0�� 0� ��>�"#� 2#�1�#� � ��*� ! �� G������ -������ � � � >�� $��� ����

�8�#�"��#�#��

�� ���*

���

� �33 ���

�� � 6���4���

��>�"#�2#�1�#�$�� ��

� � ����*

���

��*� �� ���

� �

��� �33 ��! � 6���3*���

G����#� ��� 6���3*���������"��0���#� ��� 6���3���(���1 ���0�

� ��

���*

���

�*1

��*� ��

���

��� �33 ��

! �� 6���33���

�����>�0 ���������"�28�"��#������-�"�28���� ��0����B�� �2"���6����!������>�"��0���#!���&"#� �

*�

��

�3 !�*

�*�� �

�� �� 6���3����

���� 6���3����(��� 6���33�����$�0�

� � � � �� ��**

��*

�*1

�*� ��3 ��

! ��

��

�� �� 6���3,���

����

Page 297: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� �45

���0�> ������0�� 0�0���0"#� "�� �����1�����$����&�#$ 0�>�>��0"#�� �

� ����

���

��

��

*!

*!

��*�

*�*�

� 6���3<���

���"������&"#� �

� �

���

���

��

��

��

��

��

��

��

�*

�*�

*�

��**

��*

1�*

���

��3� ��

3

� 6���3/���

����-��0����#� �����>�>��0"#"�� 6���3/�����&"#� �

�3� ��

��

�1�

*�

��

��

�� � 6���3+���

��������"����#� �����>�>��0"#"�� 6���3/�����&"#� �

*��

��

��

�� � 6���35���

������"�%��� � 6���35��� B�� 6���3+��� �1 ���0�$�#�������-��0 �-����"�$�#"0"#���0��&��� * !�

� 3�^ � �

� �

� �1�*

� �

�� � � 6���36���

�� 0�

��

��

��� �� 6���36V���

�"0������������������������"�����>� ����� �����#� ��� 6���36��!���>-����$� 6���35���$�����$����

��

��

3�^ 3

��1�

* !� 6���34���

���

�����

1�*� 3�^^ �� 6����*���

� ��*� ! �����0���0"#� � ��*� ^!^ ��"0���������������� �-����"�� �

� �� �

��

��

��

��

*^!^

*^!^

*�*�

�*

Page 298: Trandafir Matematici Pentru Economisti

��46

�1 ���0� -�������� �-��0 � -���"0� (�� �"0 �"#� �-��0� ��� �-��$�&��� ��� ������#� ��#��� 6���3����(�� 6���34���

��

��3�^

^��1

*1

� � � 6����3���

(����>-����$��

��

��

�3�

^^ 3

�1��

�� �� 6��������

E�>��"���� �-��0 � >�� �1 ���� B�#��"���� B�� 6���3,��� -�� * � (�� � � �"� $�#���#��

�-��0�� * �(�� � ����� 6���34���(�� 6����*��!����� �

���� ��1� �^ �� 6����,���

�1>��$� ���� ��� � ���� � ���� 6���36V�� ��&"#� � � � 3�� � (�� �H"�2�0� #��

0���#"#� 6���3��������-�������"����&�-�����"#����#�0���#"#"�� 6���������/������������-���>���������>��"#�#"�����>������3*** �U2����&�8 �����>�"#����

>����H�-����"�3�U2�����&�8 ���>������ � �"�0��-��&�!���>�"#����#��>�����#���0��&����>������ ,**�3 � "�0�!� ���� B�� ��&� ��� #�-> � ��� >���� >�� �-#�� � �� -���#�&���� �"� ,* � "�0�:&��-����"�3�U2����&�8 ��#�-> ��� �>�������0����$�#"0"#��-��0��#�"������0��&�!�>���"#��-��0!��"0 �"#��-��0�����-��$�&��� ��!�-���������-��0 !�(������� ��-��$�&��������>�� ����B�������� ���2�#�!�#�������$�#�������0-��2�#���

)��� � �� ***�3�1 !� ,*�� !� ,**�33 �� !� ,*��� !� ���� ���>� �#�,�,*

�� ���$�0�

3� � 3�*** 3�,**^ �3<!44

,*,* �

,��

1�*

� �� �

� � �� �

����>�0����!� ^ ^ �*3!/+� * �� � � !� ^ <!+/^1

�*

� � !� ^ +! </^

��

� � ����&"#� �

3

,*^ � � 3�*** ,* 3�,** � 3��*4�!,6/,��� 1 � � �� � � � � � � � ��

����������

Page 299: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� �44

6���,��%�������������������������������������������� )������� �������� �����������������)� � ����� �������)���"����������������������������������� ��������������� ���

����>���� 0�2�>��"����"�"��>����������������� 1 !���"�"��>��2"��-���">!�-��"��

�����$�#������0-�� �����-��$�&��������>���"#"��>�� ������>�������"�#�������$�#���2�#���"�� �(��B�������� ���2�#���"� * !�-�� "#�"����������"0- ������#�-���">"#"��>�"���>�"#�

"������ ��� -���"� ��� �>��� �� !� ��>�"#� �;� �#� ��0��&��� �>��� !� !� ���� ��>�"#� "������ ���

>����H� �� �>��-��>"-"���-��-�� ����#��"��8�#�"��#�#�� �"���-����"��-��$�&���������"�

��"����������-���">!���� ������"#����-��-�� ����#������ ������ �������-���&����&"#� �� ����>��0���#��>�����$������ ���0���#"#"�� 6���3���B�������

��>�"#����#��>�����>���

!� �*�� ��3 !� 6����<���������>�"#�"���������>����H�

���

����

*�

�� !�� �� 6����/���

�#�>�0����#�(���������"�����-��0����(��#��0���#"#�3�B���������>�"#����#��>���!� "�� ����1�����$� 6���������$���!��"- �B�#��"�����#"�� 3� �(�� �� ��"��;-��>��#�� 6����<���

(�� 6����/���

� � � � ���

������� !�!� �

*�

*�*�

*1

*�3

��

���>����>�����

� � !��! �1�*��*1

*� ��������3

�3

�� 6����+���

��������� �������-��0�-����"� "�� ����1�����$��$�0�

� � �! ��*1

*� ����� �3

� ��

��&�#$%�����"� ��� � � *� *� �$�0�2 >��-����"���0������-��0 �

!

�1�

*��

��

^ !� 6����5���

�"� � � *^ � *� ��������

Page 300: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�,**

���� 6���3���(�� 6����5�����&"#� �

!

��1

*1

��^

^��

�� �

(����>-����$�

!

1��

��

��

��

��

^^ �

6����6���

���� 6����+���(�� 6����5����1 ���0�2�>��"�����-��0 �

� � !�!� �1���1*�� ���������3

�^^ �� 6����4���

�/������� ��� 0�2�&��� ��� -���">�� �#���������� ���� �� ������� ���0�>����# � ���***�3** � ��0-������� �#���������� ��� ���#�(�� ��-�� C����"� ������� ��0��� � >��

�8�#�"��>�� ***�3* � "�0�� ���� ��>�"#� ��� ��8�&� ��� �>��� ��� �** � "�0�� -����"� �������-���">����� ������"#����-��-�� ����#������B�������>�"#�"���������>����H�(����>�"#�"���������#��>�����>��� X� ��@������� ��"�>����0����#�-> ����>���!�> �>�������0����-�#�������-��0 �������-��$�&��������)��� � ������"��>�� ***�3**�1 !� 4*�� !� �**��� !� ***�3*�!� � (�� �����"#����

-��-�� ����#�������>������>��� ���� *�!*�� ���#�>�0���#� ��� 6����5����$�0�

� 3**�*** 3*�***^ �,/5!*�

*!*� 4* �***

� �� �

� ���

C���������-��0 ����-��$�&��������>���

� 4* 3*�***^ �!3�*!*� 3**�*** �**

�� �

� �� �

!�

�����"0 �"#�������-��$�&��� ��� ^ <�^1

�*

� � ������1 ������>�"#�0���0�

� � 3^ ^ � *!*� 4* �** 3*�*** 3**�*** �** *!*� 4* 3*�***�

��*33�+6,!�6

� � * � � � � � � � � � � � ��

��

6���<��%����������������������������������G�� ��#��0���0"#��� ��&"��!� B�� -������ !� >�� ��� >���"��� ���0���0"#��� -���">���

��0����>��"����$������ ���0���#"#"��3�-����"���&"#���0���0"#����-���">���

� ��� >���8��& � , � -���">�� �� !� ,� !3� � �#� � ���� ���>"0� �>��� ���� ��� "�� ���

#������� ��� ��0-!� �������� -���">"#"�� �� � �>��� �1 � -����"� �� -������ � ��� ��0-� � !�

���-��$�&��� ��#���>�� �����>�������"�#�������$�#�������0-� �� �B�������� ���2�#���"� �* !�

Page 301: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� ,*3

��>�"��#�� "������� ��� >������� >"��� ���

� !� � ��>�"��#�� ��� #��>�����

�3 !� ,� !3� � (�� �"� >��

��0����#�-> ����>����-����"������"��-���">��� ������#� ��� 6��������1 ���0���>�"#�2#�1�#����>����H�-����"�-���">"#� �� ��>���

� ������

��� �*�1

**� ���

�33

3 !� 6���,*���

���� "�� ����1�����$�-����"�-���">�#��>�������$�� ��

� � � ���

�,

���, *�***�

3�3 !���!! �� 6���,3���

"�� ��#�� � ��� *� !� ,� !3� � >"��� ����-�������!� 0���0"#� >"0��� #��� ���� #��� ��

��� ��"�0���0"#� ��� �"�����������#�����0��$���"�0 �����#����#� ���� �

� ����

���

��

��

*

*!���!! �3

��

,

**�

****�

!� ,� !���!�!3� � 6���,����

��%��� ����� ��� ��#� ��#�� 6���,���� (�� ��� ��#� ��#�� 6���/��!� 6���+��� (�� 6���5���2 >�0�-����"�-���">�#�� �� �"�0 �����#��$�#����

��

��� �

�1*

�� 3�

^ !� 6���,,���

���� �

�1�

3�^

�� !�

���

�� �1

�� 3�^ �� !�

����-����"�2�>��"�����-��0 �

��

�,

����

3

^^ !� 6���,<���

"���� � � 1��*�������� 3�^^ ��� ��

�/������������2���&��& �-����-������ ���� ,** �&�#�� �����0�����#�!� #������ �� ���!� >���"#� -���">�#��� �� !� &�8 �!� "#��� B�� ������ �#�� /3 �1 � ����!� �� �1 �

����!� 3, �1 � ��� !� ��>�"��#�� ��� #��>���� �� ��0��&��� ����� ***�<*33�� � #��!�

***�3,�3 �� �#�����>-����$� ***�3/

,3�� �#���������>�"��#�����>����H�>"��� /**

3��� �

#��:��&�!� 6**���� �#��:��&�!� <**

,��� �#��:��&����������$�#���#���#�0����#����-��0���#��

����$�� ������0���2�0�����#�>���"#"���

Page 302: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�,*�

)��� � �� ��� �1 ���� 3 /!3+* � !� �^ *! <+* � !� ,^ *!/* � �� C����"� �"0 �"#�

�-��$�&��� ��#��� �$�0� 3*3 �� !� 36^� �� � (� ,^, �� �� C����"� 2�>��"��#�� �-��0�� -��

-���">� �1 ���0� 3^ �<</*+� � !� 4�!53,�333^

� �� � (�� ***�+*^, �� !� ��� "����

,

3

^ ^ <3+�3,!4���

� ��

� �� ��

�6�,����&�����������������

�6�,�3��%����������������������������������������������)����

������������������������������������)��������������������������������������������������������������������5������5� ���

���� >���8��& � "�� >��2"�� -���">!� >���"#� ���>���"��� #�� "�� ��"0��� 0�0���� >��

�����& ��"� � !���� ������������>���$����1�#���#�������� . !��"���-���� ��� � �����

�#�

#. 7 !�

!����!3!*�# � -����"� ������� ��>���� !� (�� � �����

�#�

#. 7 !� � ��� !*# � -����"� �������

������" ��);������"#����>���!��%��� �# � �>��-���#�&��& ��"���-��������"����� � 3� .�#�->��

��� >���!� �%��� �# � � >�� -���#�&��& � �"� �8�#�"��#�� >"-#�0���������� ���-��$�&�������

�� !������8�#�"��#�#�����>����H�>"��� ������0����B����-�����"� 3� �(�� �� �(��>��-�����2#�H���� C��&��� 0�>�-�����0���#"#�-����"���&"#���>�����(��-����"���&"#�������""��

�6�,�3�3����&"#���>�����

��� 0� �"� � � $����1�#�� �#�������� �;������� ��� >���!� ��� ���� ��-���� ���

� �����

� �#�

#�� 7 !� �# !���!�!3!*� �(����� 0��"� �2 �$����1�#���#��������#�-> ����>�����������

��-���� ��� � �����

� �#�

�#2� 7 !� !����!3 ��� ��# ��

9����#����#�����" �$����1�#���#��������$��� ��

� � � � � ���

���

#� #�#�-

*

(����>-����$�

� � � � � ���

��

��3�#

� #��#2- ��

Page 303: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� ,*,

�-#��%��� -���#�& ��#�� 3� � (�� �� � ��#��� ��" � 0����� � ��- � (�� � ��2- !�

�����0�� 0� "�� ��� �1�����$!� ��� ��-��&��� � �8�#�"��#�#�� 0����� ����#�� #�2���� ���0���2�0���"#�>���"#"�!�

� � � � � � � � � ����

���

����3

�*

3�#

#

#��#�#�#���� �� 6�,�3���

���0�> ������0�� 0�>���"#��-��0� � !�-�������#�$�0��1 ����-"�%�������� ������0���0�-����"� "�� ��� � ��� �� � ��� � ������� "�� �����>���� !�0���0"#����$�� �� � �-����"������

� � � � � �3^^3^ � �� ������ �� 6�,�����

����!�-����"��#������0����-�� � �$�0���&�#$��>�>��0"#�� � � �� � � ��

��

������

*3

*3

����

������ 6�,�,���

���� 6�,�3�����$�0�

� � � � � � � � � �

� � � � � � � �

� � � � � � � � � � � �

3

3 �* �

3 �* 3

3

3 3 � �* * 3 3

3 3 3

3 3

# # �

# # �

� �

# # # � # �

� � � � # � # � # � � #

� � # � # � # � � #

� � # � # � � # � # � � # � � #

� �

� � �

� � �

� � �

� � � � � �

� � � � � � � �

� � � � � � �

� � � � � �

� �

� �

� � � �

�� 0� � � � ���

��

#

#��&*

�(��������"�%���B���;-��>���#"�� � �3��� ��1 ���0�

� � � � � � � � ��33 ��&������ ����� �� 6�,�<�����0�#��!����� 6�,�3����1 ���0�

� � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � �� �

3

3 �*

3 3

3 3 � �* *

3 � 3 �*

3 3 3

3 3 3

# # �

� �

# # # � # �

# # �

� � � � # � # � # � � #

� � # � # � � # � # � � # � � #

� � # � # � # � � # � & � � & �

� �

� �

� � � �

� � � �

� �

� � � � � � � �

� � � � � � �

� � � � � � � � �

� �

� � � �

� �

>�"��� � � � � � � � ��3 33 ��&������ ������ �� 6�,�/���

G�#��"����B�� 6�,�,�����#� ��#�� 6�,�<���(�� 6�,�/����$�0�� � � � � � � �� � � � � � � ��

��

�������������

*3

*3

��3

��3

��&������

��&�������

Page 304: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�,*<

���"����

� � � ��&��

��&

� �

�3

�3 �� 6�,�+���

��>� �#!�>���"#��-��0� � ��>��������$�#�������#"�� � ����>���> ������#� ��� 6�,�+���(��

$�0�������"��3

����

�� ������������������������

�����0� ���3�� ������#� ��� 6�,�+���(������ �-�"#�� � � ��& ��>�������>���>� ��������&"#� �� ��;�>� �

� �"�������� ��� � � � � ��&�& ^3^ �� � !� ��"���� � � � ����� ^3^ �� !� ����� 0���0"#� ���� #���

-����"���" �$�#���� � �(�� 3^ �� ��,�� ��� � � � � ��&�& ^3^ ���� !� ��"���� � � � ����� ^3^ �� !� ����� 0���0"#� ���� #���

-����"���$�#���� 3^ �� �(�� � ���/�������������#�����"���������$�������"���"0 �����-��>�����"����"0�����-��

���������"0 �"#����-��>����� ���1"��>�� >������� (������� ���� ��;�>� �"��>"�-#">����-��>�� �;�>� � -�������� B�� $�#����� ��� ***�3/ � "�0�!� (�� ��� � �"� >�� ��8�&� �����& �>" �������!� -��>�#�� #�-> � >��$���-���"��� �"�"��-�� ���� ��>��0��� �������� �"� ***�3* �"�0����������#��>����>������1 ���0�"�0 �����������������-��>���

C��>��B�#��"���� � �# � 3� � � , � < � / �

"0 �"#����0�(�����"� � �# �-��>��B�#��"���� 3* � �* � ,* � �/ � 3/ ��

@������� !���>�"#����>����H��>�����2#�H�1�#�B����-�����"���#�#�#�����>�"���>�������>���"#��-��0�(��2�>��"�����-��0 ��

)��� � �� ***�3/3 �� !� ***�3*� �� !������ <!*�3

� ��

����

���

��2���& 0���#�"#�#���>� �#��

# �-��>��B�#��"���� ���$�� ���1>�#"��� �� � � � � �#.�#� �� � � ��& �

3� 3*� *!3*� *!3*��� �*� *!�*� *!,*�,� ,*� *!,*� *!+*�<� �/� *!�/� *!6/�/� 3/� *!3/� 3!**�

�1>��$ 0� � � � � � �,+!*<!*� && �� !� ����� >���"#� �-��0� �>��� ,* �� �

-��>�����>�8�01�-��0�(�� �B������� ��#��"�"����>��0���0�

� � � � � � � � � �

� � � �

, /

3 <

3/�*** , 3*�*** ,,

3/�*** � *!3 3 *!� 3*�*** 3 *!�/ � *!3/ 33�/**# #

# � # # � #�� �

� � � � �

� � � � � � � � �

� ��

Page 305: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� ,*/

6�,�3������&"#�������""��

�� 0��"� � �$����1�#���#�������������������������"���-���� ��� � �����

� �#�

#�� 7 !�

� !�# !*� !� �"�0����� � � � � � �" ���

� �##�#�-*

� (�� �2 � $����1�#�� �#�������� ���� ����

�����"���-���� ��� � �����

� �#�

�#2� 7 !� � ��� !�# !��"�0����� � � � � � �"

���

� �##��#2- ��

�>� �#!� "�� ����1�����$!���$�#�����0��������8�#�"��#�#�������#�!��>���

� � � � � � � � � �""�

�����

�##��#��##�#���� �

*

3 �� 6�,�5���

C"��0������ ������0���0�-����"� "�� ��� � ��� !��1 ���0�

� � � � � �""�

�� �

�##���##��#� �

*

3 � 6�,�6���

(����� 0�

� � � �"��

�##��&*

�� 6�,�4���

��&�#$ 0���"� ���� � *� �� � 6�,�3*���

������#� ��#�� 6�,�6��!� 6�,�4��!� 6�,�3*����1 ���0�� � � �� � *3�3 ��� �&��&� �

(��������$�0�

� ��3

���

�&�

� �� 6�,�33���

�>� �#!�>�#" ����-��0 � � ��>���>�#" �����"� ���� � � ���& !�"���� � ����������(��>�0�� ��� ������B����&"#���>������

�1>��$ 0�� ��;���0"#�"���� � ��& ��>�������>���>� ��������>���"��0���0!�� ���

� � *^ � �� ���/������� ���� ����#�� >����>����� >�� (���� � � �������� B�� ����� -����"� "�� ��"0���

-���">��>�����$����1�# ��#��������������" ��"����>����������-��1�1�#������

� � � � � !

� !��

��

#

���

,!*-����"

,!*-����"

*

3�3�3

#

###� �

Page 306: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�,*+

G���-���&��B�������-���������-����"������ ����-���">��>������3,* �"�0�!�����B����&"#�#�->������-���">�>�� ����8�#�"��#��>"-#�0���������� ,/* �"�0�!�> �>����2���&�&��2�>��"�����-��0 ��

)��� � ���$�0� 3,*3 �� !� ,/*� �� � �>� �#�� �<6,/

�� ��C����"���2 >�� ) !� ��&�#$ 0�

��"� ��� � � ���& !�"����

� � � � � � � � � ���##�##�##��&��

������� "" �

*

��

** 3�3

3�3

3�3�3

��

���� ��"� ��� � �<6,/

3�3 � �� �� � �1 ���0�

�/

^ �� � >��2"��� >�#" ��� ���$���1�# !�

� ��� � !�6*!,

6� � � # �� C����"� ��#�"#"#� 2�>��"���� �-��0�� B�#��"�0� B�� ��0"#��

6�,�5���(���1 ���0�

� � � �/

,�

/*�

/ 3 / 3 /3,* � 3 ,/* � 3 �<<!/,

� 3� � 3� �� # # �# # # �#� � � � � �� � � � � � � � � � � � �" " �

�6�,����%���������������������������������������������)����

���������������������������������������������� ������������ . � �� $����1�# � �#�������� ��� ��-��&��� � �������� #�� "�� 0�0���� ���!�������������

�"� ��-���� ��� � �����

�#�

#. 7 !� !����!3!*�# � -����"� ������� ��>���� � (�� � ����

�#�

#. 7 !�

� ��� !*# � -����"� ������� ������" !� ��>�"#� "������ ��� >����H� �>��� �� !� ��>�"#� "�����������

��� -���#�&���� -����"� #�-> � ��� >���� �>��� �� !� ���� ��$�#"#� >���"#"�� #�� "�� 0�0�����������

�����>��� � ��G��2�>��"�������>�"��>����-����-������ �� �>��-����$����" �>��"� ���(����"0��

3�� �������� �"� ��- (�(��� >���"#!� ����� �� >���> �"� � B�� ���� � -�������� � !� ���� ��# � � $�&�� �2"���6�,�3���

��� �������� �>��� 0��� 0���� ���%�� >���"#� �# � !� -�� -�������� 3� � �������� �>���

>���> �"� !�B��-�������� �� ����������"��>���>���> �"� � -�����������-��"�����(��

��� �� �3 � $�&�� �2"���6�,����

Page 307: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� ,*5

� ��2"���6�,�3�� �2"���6�,����

���0�>�"����>�-�������&"#�����������>������(����&"#���������������"���

�6�,���3����&"#���>�����

�C����"� >��"� ��� ���� �2"��� 6�,�3�� >�� �1>��$ � � � >���"#� 0���"� -����"� ���������������

>�� -# ��(��� ��>�"#� "������ �� � �>��� � ���

���

� �

#

#�#

�* �

�� C����"� >��"� ��� ��>���> � B�����

�2"��� 6�,���� >���"#� 0���"� $�� �� � ���

�� 3 ��#

#��

� -����"� ����� >�� $��� ���� �8�#�"��#��

"������� ��� >����H� �� � -�� -�������� 3� � (�� �� #�-> � 0����� ��� >���� -��"���� 0������

� ���

��

3 ��#

#��#

�-���#�&�� ��"�"����>��"���������-���#�&���� �� !�-��-�������� �� ��

��0������0���� "�� ����1�����$!������-��&��� ��8�#�"��#�#��0���������#��-����"�-����������

� � � � � �

� ��

���

��

���

��

�����

� ��

3�

33

*

��

�#�

�#�

#��

#��#

��

#��

��#�#

�����

� 6�,�3����

G�� �2"���6�,����>�� ��0��& ����"�28�"������-�"�28�����>�0�����(��$�0��$���

#�

��

�3 �(��#

�#�� �

�� !����"����

�#�

� �3 �(�� �#

�#�

��� �� 6�,�3,���

G�#��"�0���#� ��� 6�,�3,���B���;-��>���#"�� � ���� �(���1 ���0�

� � � � � � � � � ���

* 3 3

3

� � �

� � � �# # � # �

� # # �# �� � � � � � # � � � #

# #

� �

� � � � �

$ %�� �� � � �& ' � �& '( )

� � � � 6�,�3<���

Page 308: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�,*6

�� 0��"� � ��� ��8�#�"��#�#������#��0�����B��"�������������0-�(����#� ��� 6�,�3<�����$����

� � � ������� � �� 6�,�3/���

����"#��-��0� � �>��$���1 ������������� ������0���0�-����"� "�� ��� � ��� ����������� ������0���0�-����"� "�� �����>�����!�

� � � � � �3^^3^ � �� ������ !�

��&"#� �� �$�#�������-��0 � � �>���1 �������>�#" �����>�>��0"#"���������"� ���� � � �� � � ��

��

������

*3

*3

����

����� 6�,�3+���

��#�"# 0� � �3��� ��"��H"���"#���#� ���� 6�,�3<���(���$�0�

� � � � � � � �

� � � �

�3

* �

33 3

� �

33�

� �# # �

�# �

� � ##� � � � � # �

#

# �� � #

#

� �

� � �

� �

�� �� � � � � � � �

� ��

� �

�� 6�,�35���

��>����0�>"0�#������-����������"�����2�#�� �����1 ���0�

� � � � � �

� � � � � ���

����

��

���

����

� ��

�����

� ���

��

� ��

3

**

3

*

3

*

3

*

3�

3�

��3

#

#

#

#

#

#����

#�#

#�#�#

�#�#

� 6�,�36���

� � � � � �33

3� ��

�� ���

��

�� ���

##�

##�

�#�#

� 6�,�34���

� � � � � � � �

� � � � � � � �

� � � � � � � � � ����

���

��

��

��

��

��

��

��

��

��

����

���

��

���

���

333

333

3

3��

33

�#�#�#

�#�#�#

�#�#

##�

�#�#�#�#

##�

#�#

�##�

#�#

#�#�#

#�#�#

� 6�,��*���

G�#��"�0���#� ��#�� 6�,�36��!� 6�,�34��!� 6�,��*��B�� 6�,�35����1 ���0�

� � � � � � � � � ��

�#

#�� �

##�

�#������� �')

%&(

$���

� ������ ��

��� 3* �3

3 �

>�"�� � � � � � � � ��� ��2������ �����3 !� 6�,��3���

��

Page 309: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� ,*4

"����

� � � � � ����

������

� ���

3* �3

�#

# ##�

�#��2 �� 6�,������

���#�2!�$�0�2 >��� � � � � � � � ��� ��2������ ������� 33 �� 6�,��,���

G�#��"�0���#� ��#�� 6�,��*���(�� 6�,��,���B�� 6�,�3+����$�0�� � � �� � � ���

���

�����

���

*3

*

���

���

��2��

��2��!�

���"�����1 ���0�� �� � � ��2�2 � �3 � 6�,��<���

�"���

��

��� ��

��#�������-��0 ��� >���"#"�� � � >���1 ���� ��� >�#" ��� �� ����"� ���� 6�,��<�������-������� ���"(���� � � � *^ � �� �(������� � !�>�#" ������2�#�� ��� 6�,��<����>���-"�������

0���0��E�>��"�����-��0 �>���1 ������#�"#%���-�� � ��� ^ ���/���������������#�� >����>����� >���"���(���� ������������-��>�����>�8�01���

"�"�����#�����"��� -����-������ ���� < �> -� 0%����>��-��&��� ��>� �#7��������� # � �"0 �����-��>�����>�8�01�� 3� �� ,� <� /�

-��1�1�#������� � �#� � *!*/� *!,� *!<� *!�� *!*/��

���(����� �>����0����8�#�"��#�����>����H�-��&����� ***�3 �"�0��(��#�->�����-��>������ >���� ��"����� -�������� ��� ***�5 �"�0�:&�� -����"� ��-��> � #�-> � > � >�� �����0����>���"#��-��0��

)��� � �� ***�5��� �(�� ***�3��� !������ 65/!****�3***�5

***�5�

��� ��

��2���& 0�����#���>� �#7��

� � # � � �#� � � ���

/

�#

#� �� �##�

�� ��

/

�# ##�

�� ��

����

� �

/

��3

# ##�

� � � ��2 �

3� 3� *!*/� *!*/� *!*/� *!,<,� *!/3</� *!/+</��� �� *!,� *!,/� *!3/*� *!34,� *!<6�/� *!6,�/�,� ,� *!<� *!5/� *!3,,� *!*+� *!�3*� *!4+�<� <� *!�� *!4/� *!*/� *!*3� *!*</� *!44/�/� /� *!*/� 3� *!*3� *!***� *� 3�

��1>��$ 0�� � � � � �,4+!*65/!*�6,�/!* 22 � �� � !���&"#� � ,^ �� ��

��

Page 310: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�,3*

6�,��������&"#�������""����&�#$%��� ��#�"#�#�� >�0�#��� ��� (�� B�� ��&"#� ��>����!� $�0� >����� "�� ��������

�1�����$�'��8�#�"��#������#��0������>� �#7�

� � � � � � � � � ��

*

3 3� � �

� � �

� �

� # # �#� � � � � # �# � � �# � � # �#

# #

� � �� �� � � � � �" " " �� 6�,��/���

����"#��-��0� � �>���1 ������������� �������-��0�-����"� "�� ��� � ��� ��"�� ���

� ��� �B(������2��0���0"#�B��-"���"#� � �-����"������ � � ���2 !�"������

����

�� �(��

� � � � � �"�

���

�###�

��&�2 !����� � � � �"��

�##��&*

���>� �#�

� � � � � � � �"""�� �

��� �

� �##�#

�#��#

##�

���##����*

��

��&�#$ 0���"� ��� � � *� �� �(���1 ���0�

� � � ���

� ��

��#

##�

��&�

�� "�

�>�"� � � ���2 �� 6�,��+���

��#" �����"� ���� � � ���2 ������ 0��"� � �(��-����"�� � � � *� �� !����>����>���-"�������0���0��

�/������� �������� "�"�� -���">� �>��� �� $����1�# � �#�������� . � ����� ������-���� ���

� � � !

� !��

��

#

��

<!*-����"

<!*-����"

*6

#

##

#� ��

��>�"#� >��� ���� "�"�� -���">� �>��� 3** � "�0�!� #�->�� ���>�"�� -���">� >��-���#�&��& ��"�"����>��"������>"-#�0������������-��$�&���������� /**�3 �"�0��������>���>���"#��-��0�(��2�>��"�����-��0 !����>����%�����>�"#����>����H���2#�H�1�#�)��� � ����#"0"#��-��0�>�������0�� ���&�#$%�����"� ��� 6�,��/���"������

� �3+6

*

��#

#�&

�� " ���� � � !<!*�� �(��� �

6<3

6

< ��#

##

�###�

��

���� ""

��

�����

Page 311: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� ,33

�"0� /**�3��� !� 3**��� !�3+3/

3**/**�3/**�3

��

�� �� ��&�#$ 0� ��"� ���

6�,��+��!�3+3/

6<

3+

��

��

��

!� ��� "���� ,^ �� !� >��2"��� � � ��� � ���$���1�# !�

���#�#� !� /�� !��"��-�� ������0���"#"������� ��� ����� "�� ������������C����"� �� �����0���� ��>�"#�0���0!� B�#��"�0� � � �"� ,� B�� ��0"#�� 6�,��/��� ���

��$����

� � � ��, < <

* , ,

,3 3 3, 3** , 4 3** 3�/**� 6 � 6 � 6

�**

## # # #� �# �# �## #

�� �� � � � � � � � � � � �

" " " �

Page 312: Trandafir Matematici Pentru Economisti

����

�����(���������������� ���� ���

������� ��� ������������������ ��� ���������� �� ������������� ��� � �

� ���� ���� �� � ��� �� �� ���� ���� �� ������������������� � � ����� �� �� �� ���� � � �� ��������� ��� ����������� ��� �� ��� ������ ������ ���� ����� ���� ������� ��������� ���� ��� � �� ��� ����� ����������� ������������������ ��� ��� ��� ������� �� ��������� ���� � ��� �� �� ��! ��� ��� ����� � ������� �� ���� ����� �� ���� � � ��� ���� � ��������� � � � � � �������� ��� � � ������� ����������� � ��� � ������ �� ���������� �������������"��� ��

#�� � � ���� �� � ��� � � � ��� � � � � � ��� ���� � ���� �� ��� $������ %��&'(��� � ����� ��������� ������ �� ���� ���� ���� ����� ����� � ���� ��

) ���� ��� �� �� %� ���� �� ���� � � ��� ���� � ���� � ���� ������(� �� � �� ������� ������ ������ ������� �� ��� � � �� ���� ���� ��

*�� � � � � � ��� ���� � �+��� � ������� �������� �� ��� � ������ ��� � � � ������� ���� ������������ ��������� ������������ ����� ��������

,��� ��� ���������� � � � � �� ��� ������ � �� ��� ������ ���� ���� ��������"���������&����2 ���������������������������������&������������

�����+������ ��� ���� ���� ����� ����� ���� � �� ���� �����-���� � ���� �� ��� �� �

� �� ������� � ��� ��������� ������� ������ ������. �� �� �� �������� �� ���������������� ���� �� �� �� ��/�� � �� ����������� �� �� ����������������������������� ���� ���� ��

! �-���� ������� �� ��� ���� � ����� ����� ������ ����� ������������� ���

����� $�� ���� � �� ��� � ���� ���� �� .��� �� ��� ���� ��� ��� ���� � � ��� ���� �� � ��� � ������� �� ����� � & �� �� ��� ����� � � ��� � � � ��� � ��� ��� �� �������� ��� ������

�� ������ ��� ���������� �� � � � ������ � � ��� ���� ��� ���� ��� � ��� ��� �%������������(������������ �������

�� ��� ��� ��� ��������� � �� ��� � � � ��� ���� ���� %� ����� ������ ��� ���������� ���(��� ������� �� � � ��� �� ����� ����� �����������������,����������� , ���������� ����� �� �� �� ��� �������� �� �� ����� ���� � ������ ��� �� �����

!�������� �� ��������� � ���� �� ���������� � ��� ����� � & ���, ������"������� � ����� � � � � ��� � � �� � � � � ���� � �� ����� ��� � ����� ����� � ��� ����� � & ���, �������"����� ���� ������� � ���� ������������ �� �� �� ��������� � ��� � � ��� � ���� �������� ���� �� ��������� ��� ���� �� ����������������� ��� ����� � � ��� ���� � �� ��� � � � � � �� � ���� �� � ��� ����� � ��� ���� ��.� ��������� ��� ��� ��� ����� �-�

Page 313: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� ���

�0������������.�� ��� ���� ���� �

�1�� ��� ��� ��� ����� �� ����� � � � ��� ��� � � � � � � �� � �� � �� �� � � �����

� �� ������+������� �� ��� ������ ���������� �������������2 ������ �������� ������� �� �� �� � �� �3�����������)��������������4�

%����0506(������� �� ��� ��������� ����� ������ ��� �����3������������)��������������4�%1506(��!�������� �� �� � �� ���� � � ���� ���� ������ ����� ��� � ��������� �� ��������� �� �������� ��� �� �� ��� ���� ��� � ���� ���� �������� ��� ����

!�� � ��� ���� ��� ���� � � � �� � �� ��� ���� ��� ���� � �� � ��� �� � ����� ���� ���������� ���� ��� � ����� ���� ���� -���� ������������ ����� �������������� ���� ����� ������� ��� ������� ��7�� ������� ��� ��������� ���� �8������� ����������������������� ��������� ��� �-���� ������� ��� ��������������� ��� ����������� ����� ������������� ������ ����� ����� ����� ������� ����� ����� ����������� ��7�� ������� ����� ��� ����� ����� ��

������� �����������1����� ����������������&�����������$�

��� ���&����2 ������+������� � �� ���� ���� �� ������� ������ �������������������-�

��� � � �� ���� ����� ���� ��� ������� �� ���� ��������� ��%� ����� ���������������(8�

��� � � �� ���� ����� ���� �� �� ���8���� � ���� � �� ����������� ����������� ����� ���� ���� �� �� �� � ��� � � ���� ����

��� ����� � ��,����������������� �� 8�

7�� � ��� � �� ���� ����� ���� �� �� �� � ��������� ����� ���� ���� ������� ������ ����� � �� �������� ��� ����� ���������� ��

� � ���

�� �����

����

����

��&

��&- �

����� �� ���� � � %��� ����� ��� � � ��� � ��� ��� �� ��� ������ ��� � (� �� ��

� � �

��

������

&

��

Page 314: Trandafir Matematici Pentru Economisti

���7

2���� ��� ��� ����� ����� ���� � � �

�&�

����� �� �� ���� �� �� ��

9�� � ��� � � �� � �� ����� � �� ����� � � � � �� ��� � ��� ���� � � ��� � ��� ����� � �

��� ���� ������� ����� � ���� �� �� �� ��� �����

� � ��

� �

��� ���

��

� ����

���� ��

��

�&

�&- ��

���� ��� � ��� � ���� ����� ���� ���� �� �� ���� ���������� �� �

� � � � �

��

�� ���

�� ���

���� ������� ��

# ����� ��� �� ��� � � � ��

� �� �

� � � � ��

� �

� � ����� ���� �� ���� �� �� ��

:�� � ���� �� �� ��� ���� ����� ���� �� ������� �� ���������� ��� � ��

� � ��

����

� ���

��� �

�&

�&- ��

���� ���

� � �

����

��� ������

&

��

� ��� ��� � �� � �� �� � � � � � ������� �� �� �� � � ;�� � �� ���� � ����� � � ���

� ���� �� �� ��� ���� ����� ���� ���� �� �� ������� ����� � ��

<�� � �� ����! � ������������ �������� ������� ���������� �������� ����� � �� �

� ������� �� ���� � ��!���

� �� � � �� � �

�������

������!���!

�� ��

'�� �� ��������� ���� ���� ���� ����������� ���� ��

��� �� ��������� ���� ���� ���� ����� ���� ������� ���

�����0� ���� �� � �� �� � � ���� � � � �� � � ������ �� �������� �� ��� ��

� � ����� �� ������ ��� ���� ��������� ���������

Page 315: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� ��9

�����(�:�����������������������������������������0���������0 � & ���������� ����� �� �� �� ��� ���� ����� ���� ����� ��������� ��

� ����������+������ ��� ���� ���� ��,� ��� ����� ��� ���� ������� � & ��������� ���� � ���� � -��(� #��������� ��������� ���� ���������� ������� �� ��������� ������� ��� �

� �� ��+��������������� ������(� #��������� ��������� ���� �����+����� ��������� ����� ����� � ��� �� ��

� � ����� � �� �� � ������ ���� � ��� ����� �� �� �������� ����� � ��� �� � ����� � �� � � �- �� ����� �

� � &��&

��

-

���� �

&��&

��

-

� %������(�

��� �� � �� ������ �� ���� ������� ������� �������������������(� #��������� ���������� ������� ����� � ��� �� �� �� ���������� ���������� �

�� �����;���� ��� ����� ��������� ���� ��� �� ����� ��%������(��. ����� �� ������� �� ������ � �� �-������2� ��� =$4$3��"����.� �� � �������� & � ��� ��������� � ��� �� � ��� ���� ��

���������������������������$���/��������������%������������������� ���!����������� �� ���������� �� ��� ��� �� ������ � � ���� � ���& �� &�� � � � �� � ���� � �

����� �� � ��� � ��� � � � � ��

� ���

�! ����

=�� &�� �� ��� �� # ����� ��� � %����� �� � �

���(� �� �� � ��� ���� � � ���� ��

!�

� =� ��

���� ������ � ��� � � �� �� �� ������ ������� ������� � �������� ��� ��� ����(�� �� ��� ���� ����� ���� ���� ����� ��������� ��� ������

������ � � ��(���(���(������� �� �������� ������� ����� �� �� ������ �� ����� �� � � ���� ������ ��� �� � � �� ������ ������� ��� ���� � � � ��� � � ���� ��� ��� � � � �� ��� � ����+��� ���� � �� �� � �� ����� � �������� �� !�� � � � �� ��� �� ������ ������� ������� � �������� ����(�� ���� ����� ����� ���� ���� �� �� ��������� ��� ������

�����2� ��� =$4$5��"����.� �� � �������� , �� ��� ��������� � ����� � ������� ��� �������������������������������� ����)����� �� ��

��������� ����. ������ � ������� ���� ������ ����������� ����������������� � � � � ��� � ��� � �� ������ �� ���������� �� ��� ������ , � ���� � � � � ��� ������� �� ������� �� �������������� ��� � &�� ��

>�� ����� � ��!& ����������� �������������� � �� ����� ����������� ��� ��

� � � � ���!�,! ����� & ��� ���� � � � ���,! ����� � ��

Page 316: Trandafir Matematici Pentru Economisti

���:

���� ��� ���� �� � � � ���� � �� ����� � , � �� �� � � ���0 ����� � �� ��� �

����� � , � � � � ���� � ;��� � �� �� ��� � ����� �� � � � ���� �� � � � ���0�� ������ ���� ��

� � � ��

���� ���

�� �

&&

���������,( ��

��

��� ������� � �� ������� ��� ���� � ��� � ����� ���� ��� � �� � �� ��������� ������ ���� �������������� ��� ������

�����0� �������������� ��� ��� �� ����������� ���� �� ������� ��� � �� ���� ���� � ;��� � �� ���� ��� ������� ������� ���� �� ������� ��� �

�� �� �������� ������ ���� �� ����������� ��� �����%� ����������(��

�/�������!����� � � ������� ����� ������ � ���� � � ��� ��� ����� ��� ������������ � ������� ����� ���� ���� ����� �� ��� ������������ ���� �� �� ������� �� ��� �� � �& � � ���� ��. � � �� � ��� � �� ������� ������� ���� � ��������� ��� ������������� �������� � ����� �� ����� ��������� ������ � ����0��������������� �� ���������������� ����� ���� ������� ��������

�� :���9

:&�&&

���� �� 5�� ������ � ��� ���� � ��� � ����� ���� ��� � �� ��

:�&��

���2��� � � � �

=��

��!�

��

�� �� ��� ���� �

� � � �&��: � ���&

��: �� &�&9

&=! � �� � ��

� � � ��

���7����&����������� ������&������������������1����������������

&�����������;����:������ �������0 ���� ����� ���� ���� ���������� ������� �� � ���������� �& �+++ ������ �� �+ �����

���� ����� ����� ��������� ������ � ��� ��� �� � ��� � ���� ������ ��� � � ��� ��

�+ � �� ���������� � � ��!� � � � ���� � � � � ��� � � � ������ � �� #� ����� �� � �

���� � � � ��!� ��������� � �� ���������� ���� ������� ������ ���� �

� � �&

� �

��� �! �� %��7���(�

1����� ����� &�� ��� ����� ��� ���� ;�� ����������� ������� ���� ��� ������ ����� � �� �� �

� ����

��

�&� ����

&� ����

&

�&

�!� �� %��7���(�

Page 317: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� ��<

�,���� ��� ������� ��� � ��� �� ������� ����� � ����� ���������� ����� ��!� ���������� ���� ��� ����� ����� ������ ������ � ����� ����������� �����

������� ���� �� ������� ������ ����������"��������������� ���� � � !� �! �

����

. ��� �������������� ���� ���� � -���� #��������� ��� � �� � � �� � ��� ���� �� �+ � ��� ���� �� ���+ � ��� �� ������� � ����

����� � ������ � ��� �� � �� � � �-� �� � �� ��� ����� � �� � ����� ��� ��� ���

#��������� �� � � �� ��� � �� ��� �� ���� � ��� ��� �� �� ����������������������� �" #-� ���� ��

��� #��������� �� � � �� � � � ��� ���� �� �+ � ��� ���� �� ���+ � ��� �� ������ � � ����

� ��� �� � �� � � �-� �� � �� �� ��� ����� � �� � � ��� %�� � �(��

#��������� ��� ������� �������� �� � �� � � �" #-� ���� ��

��� #��������� ��� ��� � � �������� �� �+ �����+������ � ��+ � ����� ��+ � ���� � �� ��

��� � �� � � �- ������ ������������+����� ����������� ��������� �� ��� ������������� ���� ���������� �� ��

���7���������� &�� �

�2����� ������������ ��� ������� ����� ���� ���� �� ���� ;�� ����������� �

��� ��� ����� � � �� � ��! �& � ����� ����� � � ���� � � ����� � ��� ��� ����� � ��.��� � ��� �� �������-��(� ��� ;�� ����������� ������� ����� � ��������� �� ����������� ������ ������

� ��� �� ���(� ������ ����� � �� ;�� �������� ������ ��

.��� � ��(����(�� �� ��� � �� �� � ��������� ���� ������������ ���� �� �� ��� � �� �� ���� ��"�������� �� � �- ����������� ��� ���� � &� ��

���������� �� � ��! �& �����

� � � �� � � � � ��!�!�! ���&&& �� �������� �� %��7���(�

? ���������� ���������������� � � ��!& �� ��

� � � � � � � � � ��!�!�!�!�! ��

����&&&& ���������� �

��� � ������ ����� � �������� �� � � � � � � ��!�!

�!�!

��&&

&&

&�� �����

���

� %��7�7�(�

������ � � � � ��!�!�! ��&&& ������ ��

��

Page 318: Trandafir Matematici Pentru Economisti

���'

��7���������� &�� ��

2����� �� ���������� �� ��� ��� ��� ���� � � ��� ���� � � � ;�� � � � ��� � ������ ����� � � �� � ��!� � �� ����� ����� � � ��� ���� � � ���� � ����� � ���

��� ����� � -��(� 1����� ����� � � ;�� � � ���� ������� ��������� �� ����������� �������� �� �

���������� ������ ������ � ��� �� ��

�(� 1����� ����� � � ;�� � ��� ���� ������� ����� �� �������� ��������� �� ����������� ������ ������ � ��� �� ��

�(� 1����� ����� � � ;�� � ��� ���� ������� ������ �� �������� �������� �� ����������� ������ ������ � ��� �� ��

�(� 1����� ����� � � ;�� � � ���� ������� ������ �� �������� ����� �� �������� ������ ������ � ��� �� ��

$ �� ������ ��� ;���� � ���� ������� ����� ���� ���� ������� ����� � � �� �� ��� �� ���� ���������� �� �� ���������� ���� ��� � �� ����� �� � �� ��� � �� �� ��� � �� �� ��#��������� ��� ���� � � ��!� � �����

� � � �� �� � � �� �� � � � � � �

���

���

���

�!�!

�!�!�!

������

�������

�������

�����������

���

����

)� � �� � ��!� ����� ���������������� � ����� ���� � �������� ����� � ��

� � � � � � � � � � � ��!�!�!

�!�!�������

��

����

&�� �����

�����������

��

? ������� ��� � � � � � � � � ��!�!�!�! �������� ���� ���� ��������� �� %��7�9�(�

? �� � � %��7�7�(� �� %��7�9�(� ���� �� � ��� ���� ��� ���� � � ���� �� � � � �� ��� �������� � �%��7���(���%��7���(��

�� ��� ��� �� �� �� � ������ ��� � ��� ��� ������ ������ ����� �������� � �� ��!� ����� ����� ��������� � � � &�� �!� ��� ��������� � � � �� ��! � �������������� �

��������&�� ��.�� ����� � �

� ����

$������������

���� �&

&

����

��&&

����

��

�������

�� %��7�:�(�

2��� ��%�(�� � �

�&

� �

���� �� %��7�<�(�

.�� ����%��7�:�(� �� ����������������� � �� �������������� ����������������������� ��� ������ ,��� ��� �� ��� ��� �� ��� ���� ��� � ��� � �������� ��� � � ��������� �� � � ���

Page 319: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� ���

!������� ��� ������ �����%��7�:�(��� � ��

&�

&� ��

��

� � %��7�'�(�

������������� ��� ��%��7���(�� ����� ��� ��� � ��� � &�����&& �������� ��� �

� ���� �� ���� �

&�&

�&� ��

����

� ��

�� � ���������� ���� � � �� �

&��

��&� ���

�����

�� ���

���� �

� ��

!�� ��� ��%��7���(������ �����%��7�:�(����� �� ����� � �� ��� � &���� �������� ���� ������� ��� ��

� ���� �

��

��� �

��� �

��

��

���

� ��

��

��

�� ���� �� %��7���(�

� � ����������%��7���(�� ���� ���� ����� ���� ��������� � ��

��

��

� ��

�� �� ��

� ���� �� ���� �� ����� �

&���

�&� ���

�����

��

�� ���

���� �

! ������� � ������ ;�� ������������������� ����������� �� � &� -�

%�

�� �

��

� �

�� ��

�& �� %��7��&�(�

!�� ���������%��7��&�(����� �� ��%��7�<�(��� � ���

� �

�& �

��

� �

����

���

�� %�

� �

�� �� %��7����(�

���9����&����&������������

�,����� � ������� ����� � �� ���� ���� ��������� � �� ������ ��6����� �

� �������� ����� ���� ���� ��������������� �� �!��@ �����������9������ ������� ������������ ������������������ �-�

� � � �����.� AA-AA ��

,�����������( ��������� ������ �%����� ��� (����� ���� ��#�������

Page 320: Trandafir Matematici Pentru Economisti

���&

! � ; ������ ��� ���� � � � ��AA-AA �0'0-�(( � � ��� � ��� ��� �� �������� ������ � �� � ��� ������ � �� � � ��� � � � � ���� �� � � � ������ � � �� �� � �� �3������������������� ��4���� ������;��� ��� � ������� ������� ��� ����������+�������� ����� ���

��9����%�������������������� � � � ��� AA-�AA 0'0-(( ��

�� ������ �� �� �� �� ��%�������� �� ���� �������� (������������������� ���� �� �� �� ��

.� �������� ����� ��� ��� ����� �-�

�0�������9����

/�� � ���� ����� ��������� ���� ���� �#������ ������ ���� � ����� � ���� ����� ����� ������� �� ���� ��. �� ������ ��� �� ����� ����� ������� ��

���� �� �& �� ��)������ �� ���������� �� �� � �������������� �� ������������� �

��� ���� ������������� �� �� ������ �� ����� ����� � � � � � � � ��� ����� �������� � � ������� %��7��&�(� � �����

�������� � � �� �������� �� � &� �� ��

&���

� ���

���

� �� %��9���(�

>�� �� �����

�' � ����� ��� ��������� ���� ������������ ��� ������ �� �� � ��

&�� �� '� ����������

? �� ��%��7����(�� ������� ����� �� ���

�& �

��

��

�'��

�� �� %��9���(�

# �������������� � �� ������������ � �� ���� � �� �� ��� ������ �� &�' ��

� �� ���� �� �� �� ����� ����� �� �(' �%����� ��������������� ��� �� �� ������� �� �� ���� ����� ���� (��

!�� � �$' ������������ ������� ��� ����� ������������ ������������ �������� ���� ��

��� ������ �(' � ����� � � � ��� ������ � � %��� � �� �� ��9���(� �� ��'��

��� � �

��� �'���&� �� %��9���(�

Page 321: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� ���

����� ��� �� � � ����� ���� � ������ ����� ���� ������>�� ����� ��� � ���� ������� ��%���B���� (� �� �

� � � � �

��

''�'�'�'���

�&

���

�� ����� � %��9�7�(�

����

� �� �

� ��

��

� � � ��� ���

� ���� ���

� �

��

��

��

� �� �

� � ��

� � �� � � �

���

� � � � � � �

� � � � � � � � �� �� �

���� ��� �� ��%��9�7�(�� � �

'�'

��

� �� %��9�9�(�

>�� ���� � � ��� � ��� ����� � � � �� � ���� � ���� ����� ����� � &� �� ��� � ��

���

�� && �

�&-

���� ���������

� � '�'����� ��� &��� �� %��9�:�(�

0������� �������� �� ��� �� �� �� � �� � � ��� ���� � ��� � � ��� � � �

��� ��� �� �� �� �� �%��������� ���� ���� (�����

'�'�

'������ ��� �

� ��

'�'

��

�� ����� � ������

��

�� � %��9�<�(�

)������ ���� ���� ���� ����� ���� �������� �� �� �� ������ �������������� �

��� ����� ���� ���� �� ���� ��� ������������ ����� ���� � � ���� �� ��������� ��� �����

'�'

��

��

��

�� �

�� �� %��9�'�(�

���������� ���� ���� ����� ���� ������� ����� ���� ���� � �� �

'��

��

���

����

�� �� �� %��9���(�

�����

Page 322: Trandafir Matematici Pentru Economisti

����

�#��������� �������� ������� ����� �� �� � ��������� ����������� �������� �� ������� �� ���������� �� � ������

� � � � � �� �

� � � � � � ����

��

��

��

������

�����

���

���

��

��

'�'�

''���'�'�''��

��'�''��''���� ���

��

��

������!

� ��� � ��'�� ���! �� %��9��&�(�

! ��� � ���� ������������������� ������������ �� ���� �� � ��������������� ���������� ) ��

� � � �)����'�)� ��! � �� %��9����(�

�/�������1���� ��� �� ��� � � ���� � ��� �� �� ����� ��� ��� ���� � � ��& �� � ����� ��� ��2�� ���� � �� ����� � � � �� � ����� ��������(� . � � � ��� � � ����� �� � � � ���� � �� ��������� ����� � � ����� �� ����� � �� ���

� ���� ��#��������(� . �� ���� �� ���� ���������� �� �� �������� � �� � ;��� � �� ���(� . �� ���� ����������� ����������� ����� ���� ���� �� ���� ;�� �������� � ����

��������� ���������(� . �� ���� ����������� ��� ������� ��� � ;�� ����� � ������������� �������� (� )������ ���� ���� ���� �������� � ������� �� �� �� ������������ ���� �

��� ���� �������� ������� ��� ���� ���� ���� � ����#���� ���� ������� �� �������� � ���� ������� � ������/���� ��� ������ ���� ����� � �� �� ��������� ��� �� � ���A������ ��� �� � ���A������� ���� �

���

('����

��

�(� ��� � � � ���A����� � ��� � ���� �� �������� ��� ��� ��� ��� � �� ����� ��� ����� � 3��� ���� � � ��� � ���� � ��� ��� �� � � ����� �� � � ���4� �� �

��

��

=��

�� �� ��������&�� ��

�(� ������ � � � �� � �� � �� � ���� � ;��� � �� � ��� ����� ����� ��� �

� � ���A������ � ����

($

��

&� ����

&� ����

&

� �

��)�

��* ��� ������� � � � �� � �� �

������� ����� � �& �� ���� ��

�(� &

��

�� �� � � ��

Page 323: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� ���

�(� �7'�&��

��

&�

� ����

���'� �� ��

(���

��

��

��

��

��

��'�

'�

���� ����� ��

��

���

���

��

��'�

��

��� �������

���9����%������������������ � � � ��AA-�AA �0'0-(( �

��� ������ �� �� � �� � � ���� ��� � �� �� � � ���� ��� �� ����� � �� � � ����� � �

��� ���� � �� � ������ �� �� � �� �������� �� ���� � ��� � � ��� �� � �� ��� ����� � ���� ���� � � � ���� ����� � �� ����� ��� � ��� �� 6�� � ����� � ��� � ��� �� � �������� ���� �� �3���4�� ��� �� ���� ������� �������� � � �� �� ��������� �������

0����� � � ��� ��� ���� �� � � ��� ��� �� ������� �� ����� ����� � � � �� � �� �� ��� ������� ������ �� ��� � ��� � � � ��� ��� ��������� � ��� �� � ������ ��� ��

� �'�

'��'��'���

� �

������

&&&

��

�� ��� �

� ���� � �& ��

�'�'�

� �� ��

6�� � �� � �� � ����� �� ��� ��� �� ��� �� � � � ��� � ���� �� �(' �� �����

�������� ���������� ������ ����� �$' ��#�� �� �� ��� ��� ����� � � ��� ���� � ���� � � � ���� �� � �� ��� ��� �� �� �

����������� ���� ������;��� ���� �������� �� ��� �������� ���� � ������������ �������2�������� �� ���������������� ������ �� �� ����� � �� ���� ������� ��� ���� ������

�!��� �� ��%��9���(�� ���� �

*�

*�

�'�'�

'� �

��

��� �

� ����

� ����

&

��

� �� %��9����(�

>�� ����� ���� ���� ������� �� �� ������ �� � �

� �& � � �

��� �

� � � �� �

� � � �� � � �

� �� �� � �� ��

� �� �

�� �

� � � �

��� � � �

� � ��

Page 324: Trandafir Matematici Pentru Economisti

���7

# ����� �� �������� ������ ��� �� �

�'�

���

� �� ��� � ��� � �� �� ��� � �� ��

� ����� ��'�

'��'

� �

� �

&

��

� ��� ���� ������� ��� �

� �� ��

��

'�'�'��

�'�

� ���

� ��� ��

���� ��

� �� �� ��

����

'�'�'�'��'

� �

�� ��� �� %��9����(�

>�� ����� ���� ���� ���������� ���� ���� �����

� � �

���

��

�� '

'�'�'

�'�'�

'���

��

��

&� �

����

���

��

��� ����� ��

.���� �

�'�

��

�� � � � ������ �� � ��� �� ����� ��� ���� �� ����� � � ��� ���� � � � �

� �� ��� �������� � �

� �� �� ��

��

����

'�'�'��'�'

� �

��

��� �� %��9��7�(�

)������ ��� � � ��� ���� � �� �� � ��� � ��� �����

�� �

��

�� �� ��� &� ��� �� ��

��� ���� �������� �� � �

� �� �� ��

����

'�'��'��'�'

� �

��

��� �� %��9��9�(�

���������� ���� ���� ���� ������� ����

���

�� �� ������

� �� �� ��

����

'�'��'�'��

� �

��

��� �� %��9��:�(�

�/�����������+�������� ������ ���� ������������ ��#��������������� � �& ������ � � �� �� #����� �� �� � �9 � ������� )����� � � ��� ���� � �� �� � ����� �� � ;��� � ������� ���� ��: �� ��� ���(� 2�� � �� ����������� ����������� �� ������� �� C�2�� � �� ����������� ��� �

� � ��� ���������� ����������� C��(� 2�� � �� �������� ���� ���� ���� ���� ������������ �� � � �� ������� �C�����

Page 325: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� ��9

�� � ���2������������� � �� ������� �� ������� ���� � � � ��AA-�AA �0'0-(( ����

��� � �9�� ���� � ���������� � � � ��������� ������ �&�� �����A�� �� �:�� �

����A�� ��� ���� �� �9�����

�' ��

�(� #��������� ����������� �� ������� �� � �� �

� �& �:�9 �

� ���9 �&�&&<�

� ���9 ��

�� �

� �� � �

� ���

#��������� ����� ���� � ������ �� � � ������� � �� � �&7:�&&�9

�9 �'� �� ��

� �� ���������� �� � � � � ��� � ��� ���� �� �� �� ��<�97�&�&7:�&�� �9 ���� � ��

�(� ������� ���� ���� ���� ������� ������

� �� � � �� � � �

9<�&�9����9����:

�9���9�9����9��:

�9�9

���

������� ��

���9����%�����������������������������������)�����������������

������ ���)��������� �����������)������ ���������� �� � � ��� AA-AA 0'0-�(( �

�,����� ����� �� ���� ������� ���� � � �� ������� ���������� ��� ���� ������

�� ��������� ����� �� �� �� ������� ��������� ���� �#������� �� � �� ��������� �� �� � ;��� � ���� ��� �� � � �� ��� ����� � � ��� ���� � ��� � ����� � ��� � �� � � � � ��� � ������� �����������

#����� �������� ��������� � � �� ����� ������� ���� ����� ��������� ����� ���� ��������� ����� ���� ���� � �� ������������ �������� ��

# ����� ��������� �������� ���� ������ � �� ����� ��� ����� � � ���� �� ���� ���� � � ���� � � ��� � � � ���� � ��� ������ ��� ����� �� ������ � � %��7����(� ��%��9���(������� �

���� �� �& �� �� %��9��<�(�

���� ����� �� ��������� ������ ������-�

�(� �������� ���� � ������� ����� �� ���� ������� �������� ����� � � �� �������� ���� � ����� ����������� � � ��� ����� � � � �� ��� �� ��� ��� � � ���������� �

� ����� ������������ ���� 8��(� ����� �� $ � ���� � ��� � � ��� ������ ������ ����� � �� ��� �� ������ �� � �� ��

�� ������ ��

Page 326: Trandafir Matematici Pentru Economisti

���:

���

$(�

��

����������

��������

��

��� %��9��'�(�

���������� �� � �%��9��'�(��%��9��<�(����� �� ��%��7��&�(�����'�

�' ����������� �

� ��������� ���� ������ ��

�(� !�� � �� (�� �� && =�

������

��

�� �

� '�������

�� ��

�(� !�� � �� $ �� � � &&

��

=����������

���

���� ��

��

� �

'�

�������������

������

? ���� �

**�

**�

$

(�

'

'

� ��������

��������

���

���

��

=

=

&

&

� %��9����(�

����

&=�

��

'� �� �� (�� �

��

�� �� '�� �� �$� ��

%��9��&�(�

��� �

��'

���

�' � %��9����(�

� ������� �� ������������������������������������# �������� � �������� �� ���

�� ���������� �� �� � ����� �� �������������� � �(' � � �� ������ �('

���

����� �

��� � �(' ������ �������� �������������� ����������� �� ��������� ���� ����� ������������������������������� ������� ���� � ���

2��� �&

� �

���� � �� ����� ����� � � ������ �������� ���� �� � ��� � ��

� � �== &&

&

�''

�'

��

� ��

����

��

��

�����

� � �==

&& ���

�'

'�

' �

��

� ��

����

��� ��

Page 327: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� ��<

�� ����� ����� � � � �'�

�' �

��

��

���� � �� �� � �� ����� � � � �� ��� � ��� �� ��

�(' ���� � ��

� �'�'

�'

� �==

��

&

&

��

� ��

� ��%��9����(�

,����� ��� ����� � �� �� �� �� ��� ���� ����� ���� ���������� ���� ���� �

��������� ��������� �� ���� ��

���

���� �� �

���& ���

��&-

���� ������ �

����������� ����� ���� ���� ���������� ���� ���� �����

� � � � � �

� �� ��&

�&

�&

�=������

=

=

'�'

�'

��'�'�'

�''

���� �

��

��

��

��

��

��

������

��

��

���

����

� ����� ����� ����� �

� �� ��

���

��

���������'�

����

�'�

''

��'�'�''

��'�'���

��

� ��

� � &��=�

��

� '�'

�'

� �� %��9����(�

. ����� ��������������� ���� ������� ���� ���� ����� ���� ���� �� ������

� � � �� � ������ ���� �� ���� �� � '��� �� � � ��� � ��� ����� ��� � � ��� � ���

��� ����� ���� ���� � �� �

� � � �'�

'��'

����

&�

=��

�����

�� �� %��9��7�(�

)������ ���� ���� ���� ����� ���� �����������

� � &��=�

���

��

�� '�

'�

'�

�'�

�� �� %��9��9�(�

���������� ���� ���� ���� ����� ���� ������� �� �� �

� � ���

��

'�'

�'�

'��

��� �

�=���

&� ����

�� �� %��9��:�(�

Page 328: Trandafir Matematici Pentru Economisti

���'

�����0� ����!�� �� ��� ����� �� ������� ����� ���� ���� ����� ;����� �������� ���� ���������� ���������� �� �������� ���� ���� � �� ����������� ������������ ������� �� � ���� �������� &��� �� ����� �� � ���� ��

� �

& &

& &

� �� ���� � � ���� �= =� �

� ���� � ����= =

� �

�� �� �

� �

� � � �� �� ��

� �� � � � � �� � �

� �

� � � �

� �� ( � (* *

* *� �� �* *� � � �* *� �

#�� ������ �� �&

� �

��� ����� � ��

� � �=�

=��

&& ��

�''�'

��

��

����

��� �

����

� �'�

'�'�''

��

� ��

=�

=� ���

��

��

���

����

���������� ��

'�'�

'�'� ���

� �

�=�

=�

���

&

& ���

��

� ��

# ������� ��������� � ��������� �� � ��� �� � ��� ������������� � �� �� ��

�� ���� �������������� � �� �� ��� � �� ����� �� ��

*�

*�

��

(�

'

'�

���

��

���

��

� ����

�� �����

� �

�� ������ � � � ����� ��������� �

��

�����

&

�� � � �

���

���� ���� ��

���

���

��� �����

&

��

�/�������1������ � �� ���"�������������� ���������� �� ��� � ��. ��� �� ����� ������� ����� �� ��������� ������� � �� ���& ������ ��� ��� ������������ �� �� ������������ �� �� � �& �� �� ���� ��. �� �� � ��� ���� ����� ���� ������ ����� ���� ��� �� ���� ������ � ���������� ���� ���� �������� ��

Page 329: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� ���

�� � ���� 7�� �� ��&�� ��7&�

9��&��

�������

��� ��� ���� � 7&�� ��� ����

�' ��

� �� &�'�&��

=7=

�7�

&& ���

�'�

�'

�'

��

� �

�� ��

��

7��

��

� � ( �� ��� � � ������+

����� ��� ���� �

&9����= &� �

'�'

�'

� ��

��

� �� ��'��� �� &&9<�&��

��

�� �

�� ��� ��

2 � ���������� �� ��� � ������������ �������� ������������ ��� ����� ����� �

����� ��� � ��������� ��� ����� �:&�� �� � �� � ������������� � �� �� �� �

�:&��� ��

�����0� ���� !�� � ��� ���� ����� ����� � � ��� ��� ��� �� � � ��� �-� '&�� �

����� �� � � �� �� ������ �+��� �� � � ��' �� ���(�' �� �9�&& �� �� ������� ��

��'��� �� &&'�&��� �� ��� �������� �� � � � �� � �� ��� ����� ��� ��� �� ������ �

� ������������� �� � D�9 �� ����� ����� ������ ��� � ��������� ��� ����� �� �

'&�� �� ���������� � �� �� �� � ��&��� ��

���9�7��%�������������������������������������)���������

�������������� ���)�������� ��)������ ������� �� � � ���0'0-(( A�A-�AA � �

�*�� � � ���� ���� ������ ������������ ��������� � ���� �� ��������� ��� �

��� �� ����� � ����� ��� ��� ����� �� ���� ��� ��*�� ���� � � �� � �� � ���+���������� �� ��� � ������������ .�� ���� �� � � � %���(� ����� ��� �� � ��� ������ ������ ������ � �� ��� � ���� �� �� � �� � �� ��� �� � � � � ��� � �� *���� � � � ����� � ���� ��� ���� ������� ���� �� ��� ��� ��� � ������ ��� � �� � � � �������� � �������� ������ ��� ���������� ����� ����� � ;�� ����������� �����%��� (������������� ���� ��� ��������� �� ���� ���� � ;��� � �� ��������� ������ ��

! ��� � � ;�� � �� ����� � ��� �� ����� ����� �� � ��� � ��� �� � ��� ���� � �

��� ������� ��� ������������������ ���� �� ����� ��,���� � ����������� ����� ��� ������� ������ ������ ����������� �����

����� ������� ����� �+ �� ���� ��� ������� ��������� ������������� ��� ���� � � ���� �� ��� � � � � � �� � ���� �� �� � ��� ����� ��� �� �� ��� ���� ��� ���� ��� ����� ��� ���������� � �� ������������ ����� ����� ��� ��� ����������� ��������

� � ����� +���+� ��

� �� � ����� ��� �� � ���& �� �� �� 2�� ��� � ���� �� ����� �������� �� �

������ ���� ������� ����� ���� �� ��� ������� ��� �� � ��

Page 330: Trandafir Matematici Pentru Economisti

���&

�������� �� ��� ���� ����� �� ��%��9����(��,���� ��

� � � � � � � �& &

� ��� �� ��� �

���

� � � �� � � � � � �

� � � �� � � �

� � � � � � � � � � � � �� � � � �

���� ��� �� ����� �� ��������� ��

&� � ���� '� �� %��9��<�(�

E����� � �&

� �

��� ��� � �� �

&& �'

��� � ��� ���� �

'� �

���

&

&

���

%��9��'�(�

>�� ����� ���� ���� ������� ��� ������� �� ����� ��

� � � � ����

��������

��

��

��

�� ������������

&&&&

� ���� �

� � ��

����

��

�� ������

&&

�� %��9����(�

�������������� ;�� ����� ��� ���� ������ � �������� � �&

� �

��� ��,����� � �

� � �

'����

��� � ����

&& �

����� � � � � �� � ������ �������� �

��� ������ �� �

��������

� �&�

&&

� ��

��� ���

��� �

'��'��

� ��

� �� �

�� ��

&&� �

�� �� ��� ��

� �&��

��� �'

�� �� %��9��&�(�

>�� ����� ���� ���� ���������� �� �� � �� �

&� ��� �� �� %��9����(�

������ ����� ���� ���� ���������� ���� ���� � �� �

� �&��

����� �� �''�

���� �� %��9����(�

Page 331: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� ���

)������ ���� ���� ���� ����� ���� ������� �� �

���

��

'�

���

�� �

��

&��

��

�� �� %��9����(�

���������� ���� ���� ���� ������� ������

���

�'

���

��

���

���

&��

�� �� �� %��9��7�(�

!��%��9��&�(��� � �� � �&� ��� ���

�� ��� �� � � � �&� ��� ����� ��������

� ���

�� �� ��� ��

�/������� ��� ; ���������� ���� ����� ������ ��� ��� ����� ��� ������ ����� �������� � ��� ������� � �������� �� �� : ����������� ��� ����� ���� �������� ����� � �������� �� � ���� �� ����������� ������E����� � ��� ' ��� ������ �� �� � �� �� � ��� � ���� �� �������� � ��� ��� � ����A �� ��� ���������� � ��� � ������ �����+������� ;��� � ������� ����9 ����� ��. �� �� � ��� -��(� � ������� �������� ���� ��������8��(� ���������� ����� � ����������� �� �� � �� 8��(� � � ���� ������� ������� ���� �������� � ���

�(� # ������� � ������� � �� ��� ������� ��� ��� ����� ;�� ���������������� ���� �� �����������&�����"�������� �� �%��9��<�(������� ��

��� ������A �� 7�� �����A ����

�' �� &���&& �� ��

�(� ������������ � ����� �� ��%��9��&�(��� � ��

�'�&&���&��

��:� ���

��� � ��

�(� !��� �� ��%��9����(�� ��

� � &��7&���&�

���

�: ����� �

������ �� ��%��9����(��� � ��

� � &�:��&���&�

����

�: ��

����� ��

Page 332: Trandafir Matematici Pentru Economisti

����

)������ ���� ���� ���� �������������������� �� � <9�&��� ��� �����������

� ���� ���� ���� ������� �� &&������ ��� ��

���9�9��%�����������������������������������)�����������������

����� ����)��������� �����������)������ ������� �� � � ����0'0-�(( AA-AA � �

��� ������ ���� � �� �� ����� ���������������� �� �� �� �� �������� �� � � �

��� �� �� �� �� ��� ��$� ���� �� ( ����� �������� ;������� ���� ���2�� �� ��� ��� ���� ��� ����� ������ �� ��� ���� � �� � ��� � ����� ����� �� �

� �� � ��������� ����� ������ ��������� ������ ��� � ������ ��� �� ���� ������� ����� ��� �������� � � ����� ��� ��

2 � ����� ����� ����� �� �� � � �� ��� � ��� �� ��� ��� ����

� � � ��� AA-AA 0'0-�(( ���� ��� ������� �

���

��(�

��

�����

��

�� � ����

�� ������

���%��7��&�(��������� �� ��� �� ����� � ������ ����� � ��

�(� ��� � �� (�� ��������

� � � �� �� � � � &&&& =�����

��������

��

����� ��

��� '���

���

����

���������� ��

�(� ��� � ��� �� ��������

� � � �� �� � � �" #� � � � &&&

��

==���������������

���

���

���

����� �

��

��

���

���

��

� '���

����������������

� ��

������

���� ������� ����

*�

*�

��

(�

'

'�

����

��

���

���

���

��

���

� � ����

�� ����

= &

&

�� %��9��9�(�

����� ����� � � ������� � � �&

� �

��� �� �� � �� ����� �� �������� � &� ��

� ��

�= &

&&

����

�'�'�

��

��

���

���

��

���

��

���

�� ��

� ���� �

Page 333: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� ���

&

&& =

��

����

�'�'�

���

��

��� ��

�� � %��9��:�(�

����� ���� �������

�'

�'��

����������� �� �� ��������� ��

��

&& =

����

�'�'�

��

���

��

���

��

�� �� %��9��<�(�

��� ;�� ����� ��� �� ������������� � � �� �� ������ �

*�

*�

��

(�

'

'�

���

��

���

���

��

��

���

� � ����

�� ����

= &

&

�� %��9��'�(�

����� � ���� � � ��� ���� � �� � � ��

�� �

���

��

��

�� � �� � � ��

�� �� ���� �

��� ����� ���� �� �� �� ��� � �� ����� �� ��

� �*�

*�

��

(�

'�

'��

��

���

��

���

��

���

��

� ����

�� ������ ��

2����� ����� ���� ������ ������� �� ��������� ����� �� �� �

��

�����

&

��

� � ��

���

���� ����

�� �� ��� �� ���

�� �

��

�� ���

����

�� �� ��

+)��� ��� ����+�� ����� � � � � � � ������ � ����� ' ������ � � ������� ���������� � �� � � � 7 � � ���� ��� ��� � �� ��� ����� ��� ���� � � � � � �� �� E���� � ��������� ���� ��� ������� �������� �� �������� � ;��� � �� ��������� �����

��

�� �����A�� ���� ��������� ����� ���� ����� ������� � �� � ��� �� � : ��� ��

� �� �� � ��� -��(� ���������� ����� ��������� ������� ������ ����� ���� ���� �� � � �� � ��� � � �

�������(� ��� ����� ���� ������� � �� �� ���� ��� ���������� �������� �� �� ����� ���(� ������� ���� ���� ���������������� ���� ���� ������� ���

Page 334: Trandafir Matematici Pentru Economisti

���7

�� � ���� !�� ��� � � ����� � � � ��� �� � � 7�� � ��� �� '�� � ��������

�� �

����� � � �� �� :��

��� � � ��� �

:�

�� � ����� � � �� �� ���� �� � �7�

���

�' � ��

�:�

���

�'�

��

�(� ����������������%��9��<�(����� ��

�:<�&�:�

=77

7�

�'

7'

7�

&'& ��

��

���

����

���

�� �

��

�� �� �

�� �7:�&7�

&

��'� ��

��� ��� �

�(� � � &&<�&7'

�7

��� ���

�� ��� �� ����'

&

�� ��

���� ��� �������� �� ��� ��

�(� �7��

��

�� �

�� �� ���� ��� 9&�7��

��

��� �� �� ��� ��

Page 335: Trandafir Matematici Pentru Economisti

� ,,/

��

���(��,�#�������Q3R� ����#� )�!� )�� � � ���!�!����<� � ��� ��!� � � � ��� ������������ �����<��*� ���

��������#��������9�������C�#��0�!�34+4!�)���5�Q�R� �#�>�8U�!� ]�!� 0��� ���� � =! � ��� ���� � �� ��� !� ���� ,�� ��)���� ��"�>�8���

���#�2�����]�>>�����#��!�34//��Q,R� � ��"!� ��!� ���>�8�!� ��!� ���� � ��� ������ ������� $� ������ �� ����� ��)!�

�"�"��(��!�346+��Q<R� �����##�!��C�!�������<���������������� �� �� ����� ������� ����!�!����<���

�������>���9��C������i!�34,/!�/!�,�/*��Q/R� ��"�"!�E�!���01���!�E�!�� �������!�!���� ���� �� ������������� ����� ��)���"���

��8��� !��"�"��(��!�34+���Q+R� ��"�"!�E�!�����"!���!�� �"�"!���!���� � � � ���!� � � � �������!�!���� �����

)���"�����8��� !��"�"��(��!�34+5��Q5R� ��"�"!� E�!� ����"!� ��!� ���!� � � ��������� ��� ����� �� )���"��� �������� � (��

C���2�2�� !��"�"��(��!�34+6��Q6R� ���0i�!�Y�!�-��' �������� �'�����������������C��������!�34<+��Q4R� E0"�0��!� ��)�����!� ��� � �� � ���� � ��� ���!�!������ � / � ����������

��� ��������)�������#�9�����������!�345/��Q3*R� ��>� �>�"!�9�!�9�8��!�E8�!�� �������!�!���� ������������������� ����� ��)���"���

��8��� !��"�"��(��!�34++��Q33R� F����##!�9�E�!�9����� C���C�!�9 �� ������ ���!�!����/�� �8��#�>� E��22��� ��0-��

��0��������!�34+,��Q3�R� F�#�0�2���$!� ���!� � � ��������� ������� �� ��� � �� �� ������!����� ��

E�����#�������Y�#���Y"����34,,!�<!�6,��Q3,R� ��$D!�C�!����!�!����/�' ��/���������!��=�`��U!�34+*��Q3<R� ������!���!������� �����!���������������$�� �������!�!���� ������)���"��������!�

�#"H��-���!�345<��Q3/R� ��j$�!�9��8�#!����!�!����/�' ��/����������>����������!��=�`��U!�345*��Q3+R� 9�8��!�E�!�%����������� � ����� � ��� �� �����!�� ������������ ��� � �� �� ��

�"##�9��8���������"0�������,5�3!�,5�'�6�� 34,,�!�,5!���35'56� 34,+���Q35R� 9�8��!� E�!� ��>���"!� ��!� -�� ������ ������� $� ��������� �� )���"��� �����0����

��C���!��"�"��(��!�34+���Q36R� 9�8��!�E�!���"�"!�E�!�����"���!�� �������!�!���� ���� �� ��������� ��� ����� ��

)���"����������� �(��C���2�2�� !��"�"��(��!�3456��Q34R� �����>�"!� ��!� ���!�!���� � �� ���� � �� ����� �� )���"��� @���� � �� � (��

)����#�-���� !��"�"��(��!�3455��Q�*R� �����>�"!� ��!� 9�8��!� E�!� 2 � �� � ��������� ��� ����� �� )���"��� ��8��� !�

�"�"��(��!�34/6���

Page 336: Trandafir Matematici Pentru Economisti

�,,+

Q�3R� �����>�"!� ��!� 9�8��!� E�!� (���!� �������� ���!�!���� ���� �� ������ ���� )���"��������0����������!��"�"��(��!�34/+��

Q��R� C�-�>�"!����(���!�-�� ������������� $� ������ ��)���"����������� �(��C���2�2�� !��"�"��(��!�3445��

Q�,R� �i�D�!���!����' �' ��/����� ������������������9���0�����!����������������"0���"�2�����#!�34/,!�<��

Q�<R� �����#k!�����!�>! ����,�� ������' -���������!� E�3�/����������������������,/5�Y��0���!�C���>!�34,3��

Q�/R� �B01���!� E�� (���!� � ���� ���!�!���� ������ )���"��� �������� � (�� C���2�2�� !��"�"��(��!�34+5��

Q�+R� ������ ��!���!���� � � � ���!� � ��� ������� ��������� ��!�������������)���"�����8��� !�3455��

Q�5R� �������!���!�������� ����!�!����<���C���>!�34+,��Q�6R� �##��!� ��E���!� %����� ��� ����� � ���� ����������� )���"��� @���� � �� !�

�"�"��(��!�345���Q�4R� �"��!� ��!� %����� ��� ����� !� -������ ��� )���"��� "��� ���� ���4��� �

-4�� "�"�"��(��!�3444��Q,*R� �"��!���!������� ��!���!�%����� ��� ����� 5��� � � � ���!� � ��)���"���

"��� �������4���� -4�� !��"�"��(��!�3445��Q,3R� �"��!� ��!� � � �� � ��� !� � ���� ����������� )���"��� "��� ����

���4���� -4�� !��"�"��(��!�3444��Q,�R� F�" 0��!� ��!� - ��� �� ��� � �� � �� � ��� �� �� ����� !� $�#�� �� (�� ����

)���"���@���� � �� !��"�"��(��!�34+5��Q,,R� 9�8��!�E8�!�@�� ��>�"!���!���������� ��� ����� ��)���"����������� � (��

C���2�2�� !��"�"��(��!�345,��Q,<R� 9�8 �# !��!�C�-�>�"!���!�-�� �������� ���� ������� $� ������ ��)���"���

�������� �(��C���2�2�� !��"�"��(��!�3456��Q,/R� �-��>�"!�E8�!�-�� ������� ���� �����������)���"���"��� �������4����

-4�� !��"�"��(��!�344+��Q,+R� C"����"!���!�-�� ��������������� ��� �����$����� ����)���"���)����0�� !�

344+��Q,5R� C�-�>�"!� C� (�� ��#�1�������!� -�� ������ ������� $� ������ !� $�#�� �� (�� ����

)���"����������� �(��C���2�2�� !�����!��"�"��(��!�344+����