Transcript
  • 7/28/2019 Trabajo de Aplicacion Procesos Estocasticos

    1/26

    Trabajo de aplicacin de los Procesos de Poisson y Cadenas de Markov

    As ignatura: Proces os Es tocstico s.

    Docente: Lic. Luisa Medina

    Integrantes:

    - Crdova Colon ia Wilder.

    - De la Cruz Mozombite Jorg e E.

    - Meja Valcrc el G. Jorg e

    - Menacho Vargas David.

    -

    Rgel B arreto Edg ar R.

    TEMA: Apl icacin de los Procesos de Poisson y Cadenas de Markov.

    Huaraz - 2009

  • 7/28/2019 Trabajo de Aplicacion Procesos Estocasticos

    2/26

    Trabajo de aplicacin de los Procesos de Poisson y Cadenas de Markov

    PRESENTACINEl presente informe de investigacin para el curso de procesos estocsticos tiene como

    finalidad conocer ms sobre las aplicaciones de diversos temas como son Los procesos de

    Poisson, Tiempos de Espera y Llegada, y las Cadenas Markov.

  • 7/28/2019 Trabajo de Aplicacion Procesos Estocasticos

    3/26

    Trabajo de aplicacin de los Procesos de Poisson y Cadenas de Markov

    INTRODUCCIN

    La teora de los procesos estocsticos se centra en el estudio y modelizacin de

    sistemas que evolucionan a lo largo del tiempo, o del espacio, de acuerdo a unas leyes no

    determinsticas, esto es, de carcter aleatorio.

    De esta manera en el presente trabajo de investigacin se puede experimentar el

    comportamiento en el mercado de la venta de peridicos, capturara el flujo de los clientes

    que es principal factor para el estudio en el consumo de este producto, as como el tipo de

    peridico de su preferencia

    La primera idea bsica es identificar un proceso estocstico con una sucesin de

    v.a.* + Donde el subndice indica el instante de tiempo (o espacio)correspondiente, lo cual nos permita aplicar teoras en el estudio de este tema.

    En primer trmino tendremos la aplicacin de los Procesos de Poisson para

    determinas las probabilidades de llegadas de clientes al establecimiento comercial de

    venta de peridicos, Tiempos de Llega y Espera de los clientes que llegan a comprar dicho

    producto mencionado, as como tambin considerar las cadenas de Markov en el tipo de

    preferencia del peridico que se categoriz entre Noticiero y Deportivo.

    De este modo la probabilidades halladas de los sucesos puesto en estudio, nos

    permitir dar repuestas a las diferentes preguntas planteadas en nuestros objetivos de

    estudio; la cual en consecuencias nos habr permito aprender sobre dichas tcnicas

    planteadas anteriormente.

  • 7/28/2019 Trabajo de Aplicacion Procesos Estocasticos

    4/26

    Trabajo de aplicacin de los Procesos de Poisson y Cadenas de Markov

    I) PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

    Existe poca informacin especializada sobre el comportamiento los ciudadanos de

    Huaraz acerca del grado de preferencia del tipo de peridico entre diarios deportivos y

    noticieros y su celeridad de venta. Los procesos de Poisson y las cadenas de Markov son

    herramientas que nos permiten analizar y procesar en forma tcnica dicho

    comportamiento.

    Por tal razn planteamos el siguiente problema

    Cmo aplicar los procedimientos de tiempo entre llegadas, tiempo de espera y

    cadenas de Markov al trabajo de investigacin?

    II) OBJETIVOS

    2.1) OBJETIVO GENERAL

    Aplicar los procedimientos de tiempo entre llegadas, tiempo de espera y cadenas

    de Markov al trabajo de investigacin

    2.2) OBJETIVOS ESPECFICOS

    - Obtener informacin acerca de las preferencias del pblico con respecto al tipo de

    peridico que adquieren.

    - Encontrara las probabilidades de compra de los clientes que acuden a los puestos

    de venta de peridicos.

    - Aplicar las cadenas de Markov para encontrar probabilidades de preferencia

    acerca de cierto tipo de peridico.

    III) MARCO TERICO

    3.1) PROCESO DE POISSON

  • 7/28/2019 Trabajo de Aplicacion Procesos Estocasticos

    5/26

    Trabajo de aplicacin de los Procesos de Poisson y Cadenas de Markov

    En estadstica un Proceso de Poisson (tambin conocido como "Ley de los sucesos

    raros") es un proceso de sucesos independientes donde:

    1. El nmero de sucesos en dos intervalos independientes siempre es independiente.

    2. La probabilidad de que un suceso ocurra en un intervalo muy pequeo es

    proporcional a la longitud del intervalo.

    3. La probabilidad de que ms de un sucesos ocurra en un intervalo muy pequeo h

    es 0.

    Es un proceso de conteo *() +Un proceso de valores enteros *() +ser un proceso de Poisson, con

    nmeros medios de concurrencia o intensidad si cumple las siguientes hiptesis:*() + Tiene incrementos independientes y estacionariosPara instancias cualesquiera (s,t)/s

  • 7/28/2019 Trabajo de Aplicacion Procesos Estocasticos

    6/26

    Trabajo de aplicacin de los Procesos de Poisson y Cadenas de Markov

    ()= ()()(1)

    Con esperanza () = y varianza () = Los tiempos sucesivos entre llegadas es: t1 y t2 de los sucesos del tipo Poisson con

    intensidad son variables aleatorias, distribuidas idnticamente con 1/ y su funcinde probabilidad es:

    () = () Con esperanza () = y varianza () =

    3.3) CADENAS DE MARKOV

    Una cadena de Markov es una serie de eventos, en la cual la probabilidad de queocurra un evento depende del evento inmediato anterior. En efecto, las cadenas de este

    tipo tienen memoria. Recuerdan" el ltimo evento y esto condiciona las posibilidades de

    los eventos futuros. Esta dependencia del evento anterior distingue a las cadenas de

    Markov de las series de eventos independientes, como tirar una moneda al aire o un

    dado.

    En la figura se muestra el proceso para formular una cadena de Markov. El

    generador de Markov produce uno de n eventos posibles, Ej , donde j = 1, 2, . . . , n, a

    intervalos discretos de tiempo (que no tiene que ser iguales ). Las probabilidades de

    ocurrencia para cada uno de estos eventos dependen del estado del generador. Este

    estado se describe por el ltimo evento generado. En la figura, el ltimo evento generado

    fue Ej , de manera que el generador se encuentra en el estado Mj .

    La probabilidad de que Ek sea el siguiente evento generado es una probabilidad

    condicional: P ( Ek / Mj ). Esto se llama probabilidad de transicin del estado Mj al estado

    Ek. Para describir completamente una cadena de Markov es necesario saber el estado

    actual y todas las probabilidades de transicin.

  • 7/28/2019 Trabajo de Aplicacion Procesos Estocasticos

    7/26

    Trabajo de aplicacin de los Procesos de Poisson y Cadenas de Markov

    Probabilidades de transicin.

    Una forma de describir una cadena de Markov es con un diagrama de estados,

    como el que se muestra en la figura. En sta se ilustra un sistema de Markov con cuatro

    estados posibles: M1, M2 , M3 y M4 . La probabilidad condicional o de transicin de

    moverse de un estado a otro se indica en el diagrama

    Otro mtodo para exhibir las probabilidades de transicin es usar una matriz detransicin. . La matriz de transicin para el ejemplo del diagrama de estados se muestra en

    la tabla

    Otro mtodo para exhibir las probabilidades de transicin es usar una matriz de

    transicin.

    Para n = 0, 1, 2, ....

    El superndice n no se escribe cuando n = 1.

  • 7/28/2019 Trabajo de Aplicacion Procesos Estocasticos

    8/26

    Trabajo de aplicacin de los Procesos de Poisson y Cadenas de Markov

    IV) RECOPILACION DE DATOS

    Los datos recogidos para este trabajo fueron recopilados de 5 diferentes puestos de

    ventas de peridicos ubicados en la avenida Luzuriaga de la ciudad de Huaraz (ver

    mapa 1.1)

    Mapa 1.1. Croquis de la avenida Luzuriaga.

    Los datos se recogieron a travs de 5 encuestadores capacitados en el rea de la

    estadstica avanzada y de las ciencias del procesamiento de la informacin; se recogieron

    los das 2 y 3 de abril.

    El primer da se hizo una prueba previa de la encuesta realizada entre las horas 5:30 y 6:30

    PM, se observ y corrigi:

    - La hora en que se realizo no era la adecuada debido a que no haba muchos

    clientes y el clima no era idneo.

    - Se eligi adecuadamente las preguntas de la encuesta para analizarlas

    apropiadamente con los procesos de Markov.

    - Se determino que la hora idnea para realizar la encuesta fuera al medio da;

    adems, las preguntas fueron analizadas y rediseadas en el espacio mental de los

    especialistas en diseos de encuestas, que finalmente fueron plasmadas en la

    encuesta final.

    El segundo da (3 de abril):

  • 7/28/2019 Trabajo de Aplicacion Procesos Estocasticos

    9/26

    Trabajo de aplicacin de los Procesos de Poisson y Cadenas de Markov

    - Se realizo la capacitacin final de los encuestadores.

    - Se entrego el material adecuado a los encuestadores capacitados

    - Se eligieron los puntos de recoleccin de informacin, las cuales son las ms

    representativas.

    - Se distribuyo adecuadamente al encuestador en sus respectivos puntos de

    recoleccin de informacin.

    -

    La encuesta se inici entras las 12:20 a las 13.20 horas.

    - Concluida la encuesta, se reuni la informacin adquirida y se dio paso a su pre-

    anlisis.

    - En el pre-anlisis se determino la manera ms optima de analizar los datos con la

    teora brindada por la asignatura de Procesos Estocsticos.

    V) ANLISIS DE DATOS

    Para llegar a nuestros objetivos se realizaron los respectivos clculos utilizando los

    datos recolectados.

    A continuacin mostramos los datos recopilados en 5 diferentes puesto s de venta

    de peridico

    CUADRO N 01: LEGADA DE LOS CLIENTES EN EL PUESTO N 1

    N delCliente

    Hora

    N de

    observadores

    Tiempo

    entreLlegada

    N delCliente

    Hora

    N de

    observadores

    Tiempo

    entreLlegada

    1 12:21 1 0 15 12:50 2 00:01

    2 12:25 8 00:04 16 12:51 2 00:01

    3 12:26 5 00:01 17 12:52 2 00:01

    4 12:26 3 00:00 18 12:53 2 00:01

    5 12:26 1 00:00 19 12:54 1 00:01

    6 12:27 1 00:01 20 12:55 2 00:01

    7 12:28 2 00:01 21 13:01 5 00:06

    8 12:35 9 00:07 22 13:03 5 00:02

    9 12:35 2 00:00 23 13:07 5 00:04

    10 12:37 4 00:02 24 13:08 2 00:01

    11 12:38 3 00:01 25 13:11 3 00:03

    12 12:40 3 00:02 26 13:12 2 00:01

    13 12:44 6 00:04 27 13:14 3 00:02

    14 12:49 2 00:05 28 13:17 6 00:03

  • 7/28/2019 Trabajo de Aplicacion Procesos Estocasticos

    10/26

    Trabajo de aplicacin de los Procesos de Poisson y Cadenas de Markov

    CUADRO N 02: LEGADA DE LOS CLIENTES EN EL PUESTO N 2

    N delCliente

    HoraN de

    observadores

    Tiempoentre

    LlegadaN delCliente

    HoraN de

    observadores

    Tiempoentre

    Llegada

    1 12:25 5 0 17 12:48 7 00:02

    2 12:26 2 00:01 18 12:50 3 00:02

    3 12:29 9 00:03 19 12:51 2 00:01

    4 12:30 2 00:01 20 12:53 3 00:01

    5 12:31 1 00:01 21 12:55 5 00:02

    6 12:32 5 00:01 22 12:57 9 00:027 12:33 2 00:01 23 13:00 7 00:03

    8 12:34 4 00:01 24 13:02 4 00:02

    9 12:35 4 00:01 25 13:06 2 00:04

    10 12:37 3 00:02 26 13:09 8 00:03

    11 12:38 2 00:01 27 13:13 8 00:04

    12 12:39 4 00:01 28 13:15 3 00:02

    13 12:40 2 00:01 29 13:16 3 00:01

    14 12:43 6 00:03 30 13:17 3 00:01

    15 12:44 3 00:01 31 13:19 3 00:02

    16 12.46 7 00:02

    CUADRO N 03: LEGADA DE LOS CLIENTES EN EL PUESTO N 3

    N delCliente

    HoraN de

    observadoresTiempo entre

    Llegada

    1 12:20 4 0

    2 12:23 3 00:03

    3 12:25 3 00:02

    4 12:26 4 00:01

    5 12:36 2 00:10

    6 12:48 2 00:12

    7 12:48 2 00:00

    8 12:53 3 00:05

  • 7/28/2019 Trabajo de Aplicacion Procesos Estocasticos

    11/26

    Trabajo de aplicacin de los Procesos de Poisson y Cadenas de Markov

    9 13:00 3 00:07

    10 13:05 2 00:05

    11 13:07 2 00:02

    CUADRO N 04: LEGADA DE LOS CLIENTES EN EL PUESTO N 4

    N delCliente

    HoraN de

    observadores

    Tiempoentre

    Llegada

    1 12:20 3 0

    2 12:22 3 00:02

    3 12:25 2 00:03

    4 12:30 4 00:05

    5 12:31 3 00:01

    6 12:35 3 00:04

    7 12:45 2 00:10

    8 12:53 3 00:08

    9 12:58 4 00:03

    10 13:02 2 00:04

    11 13:06 2 00:04

    12 13:10 3 00:04

    13 13:13 4 00:03

    14 13:17 2 00:04

    CUADRO N 05: LEGADA DE LOS CLIENTES EN EL PUESTO N 5

    N delCliente

    HoraN de

    observadores

    Tiempoentre

    LlegadaN delCliente

    HoraN de

    observadores

    Tiempoentre

    Llegada

    1 12:24 10 0 17 12:49 6 00:01

    2 12:25 3 00:01 18 12:53 3 00:04

    3 12:26 2 00:01 19 12:53 7 00:00

    4 12:28 15 00:02 20 12:55 10 00:02

    5 12:32 7 00:04 21 13:00 9 00:05

    6 12:37 9 00:05 22 13:03 7 00:03

    7 12:38 6 00:01 23 13:06 20 00:03

    8 12:43 8 00:05 24 13:13 9 00:07

  • 7/28/2019 Trabajo de Aplicacion Procesos Estocasticos

    12/26

    Trabajo de aplicacin de los Procesos de Poisson y Cadenas de Markov

    9 12:46 1 00:03 25 13:17 1 00:04

    10 12:47 2 00:01 26 13:19 3 00:02

    11 12:48 1 00:01

    Resumen

    Se resume en del siguiente cuadro se tiene que las intensidades o nmero de clientes que

    llegan por minuto en los 5 establecimientos de peridicos:

    Las Intensidades individuales sern:

    1 2 3 4 50.467, 0.517, 0.183, 0.233, 0.35l l l l l = = = = =

    La intensidad general ser:

    1.75G

    l = Clientes por minuto. 7.2g Observadores por minuto.

    27%

    30%10%

    13%

    20%

    Proporcin de Clientes en los

    Establecimeintos de Peridicos

    1

    2

    3

    4

    5

  • 7/28/2019 Trabajo de Aplicacion Procesos Estocasticos

    13/26

    Trabajo de aplicacin de los Procesos de Poisson y Cadenas de Markov

    5.1) Proceso de Poisson

    Aplicacin de proceso de Poisson con los datos obtenidos en el estudio de los clientes que

    acuden al puesto de venta de peridicos.

    Planteamiento y anlisis para los datos obtenidos en los cuadros

    =2 =1

    ,(1) = 5- = ()(21)5 =2

    12 =5496

    ,(1) 3- = 1 ,(1) 3-= 1 ()(21)

    (21)1

    (21)2 =9999

    ,4 (1) 5- = ()(21)4 (21)

    5 =68

    Tiempo entre llegada

    Aplicacin del tiempo entre llegadas de los clientes que acuden al puesto de venta de

    peridicos.

    Planteamiento y anlisis de datos para el 1 puesto de venta

    De acuerdo a la informatcin recabada los clientes llegan con un suceso del tipo Poisson al puesto

    de venta de periodico con una intensidad de 135 clientes por hora

    queremos conocer la probabilidad de que el intervalo de tiempo entre llegadas sea:

    a) Supere los 3 minutos

    b) Sean inferior a 2 minutos

    c) Se encuentre entre 1 y 3 minutos

  • 7/28/2019 Trabajo de Aplicacion Procesos Estocasticos

    14/26

    Trabajo de aplicacin de los Procesos de Poisson y Cadenas de Markov

    = 2 , 3- = 1 , 3-

    = 1 2 =2478

    , 2- = 2 =9817

    ,1 3- = 2 =13253

    Planteamiento y anlisis para los datos obtenidos en los cuadros

    Sabemos que por la recopilacin de datos, los clientes llegan al puesto de peridico con un

    promedio de clientes por minuto. Se desea cual es la probabilidad de que el nmero de clientes

    que llegan en 10 min sean:

    a) Precisamente se apersonen 5 clientes

    b) Que acudan al centro de venta de peridicos de 3 a ms clientes.

    c) Lleguen entre 4 y 5 individuos.

    Procesos de clculos.

    1) Para el CUADRO N 012) Para el CUADRO N 023) Para el CUADRO N 03

    a) Solucin:

    i) Por los datos obtenidos nuestro seria igual a el total de clientes entreuna hora

    = =5 clientes por minuto = 1 minutos,(1) = 5- = (),(5)(1)-5 =175 la probabilidad de que se apersonen 5 clientes en 1 minutos es de un 175% b) Solucin:

    = 5 clientes por minuto = 1 minutos,(1) 3- = 1 ,(1) 3-= 1 (),(5)(1)-

    (),(5)(1)-1

    (),(5)(1)-2

    =875

  • 7/28/2019 Trabajo de Aplicacion Procesos Estocasticos

    15/26

    Trabajo de aplicacin de los Procesos de Poisson y Cadenas de Markov

    la probabilidad de que se apersonen 5 clientes en 1 minutos es de un 875% c) Solucin:

    = 5 clientes por minuto = 1 minutos

    ,4 (1) 5- = ,(1) = 4- ,(1) = 5- ,(1) = 6-= (),(5)(1)-4

    (),(5)(1)-5

    (),(5)(1)-6

    =496 la probabilidad de que se apersonen 5 clientes en 1 minutos es de un 496%

    4) Para el CUADRO N 045) Para el CUADRO N 05

    5.2) Tiempo entre llegada

    Aplicacin del tiempo entre llegadas de los clientes que acuden a los 5 puestos de venta de

    peridicos.

    a) Planteamiento y anlisis de datos para el 1 puesto de venta:

  • 7/28/2019 Trabajo de Aplicacion Procesos Estocasticos

    16/26

    Trabajo de aplicacin de los Procesos de Poisson y Cadenas de Markov

    Dado un 1 0.467,l = clientes por minuto.

    b) Planteamiento y anlisis de datos para el 2 puesto de venta:

    Dado un 2 0.517l = clientes por minuto.

    c) Planteamiento y anlisis de datos para el 3 puesto de venta:

  • 7/28/2019 Trabajo de Aplicacion Procesos Estocasticos

    17/26

    Trabajo de aplicacin de los Procesos de Poisson y Cadenas de Markov

    Con un 3 0.18l = clientes por minuto.

    d) Planteamiento y anlisis de datos para el 4 puesto de venta:

    Dado un 4 0.233l = clientes por minuto.

    e) Planteamiento y anlisis de datos para el 5 puesto de venta:

  • 7/28/2019 Trabajo de Aplicacion Procesos Estocasticos

    18/26

    Trabajo de aplicacin de los Procesos de Poisson y Cadenas de Markov

    Con un 5 0.35l = , clientes por minuto.

    De acuerdo a la informacin recabada los clientes llegan con un suceso del tipo Poisson al puesto

    de venta de peridico con una intensidad de clientes por hora.

    Queremos conocer la probabilidad de que el intervalo de tiempo entre llegadas sea:

    d) Supere los 3 minutos

    e) Sean inferior a 2 minutos

    f) Se encuentre entre 1 y 3 minutos

    Proceso de Clculos:

    i)Para el primer puesto de ventas de tendr :

    a) Se tendr:

    30.467

    0

    0.467 3

    0

    1.401 0

    P [t> 3]= 1-P [t 3]

    P [t > 3] 1 0.467.P [t > 3] 1 |

    P [t > 3]= 1-[- ]

    P [t > 3]= 1-[1-0.353]

    P [t > 3]= 0.353

    t

    t

    e dt

    e

    e e

    -

    -

    - -

    = - = -

    +

  • 7/28/2019 Trabajo de Aplicacion Procesos Estocasticos

    19/26

    Trabajo de aplicacin de los Procesos de Poisson y Cadenas de Markov

    b) Tendremos

    20.467

    0

    0.467 2

    00.934 0

    P[t< 2] 0.467.

    P[t< 2] |P [t< 2]= [- ]

    P [t< 2]= [1-0.393]

    P[t< 2]= 0.607

    t

    t

    e dt

    e

    e e

    -

    -

    - -

    =

    = +

    c)

    30.467

    1

    0.467 3

    1

    1.401 0.467

    P[1 t 3] 0.467.

    P[1 t 3] |

    P [1 t 3]= [- ]

    P[1 t 3]= [-0.246+ 0627.]

    P[1 t 3]= 0.381

    t

    t

    e dt

    e

    e e

    -

    -

    - -

    =

    =

    +

    ii) Para el Segundo puesto de ventas de tendr :

    a) Se tendr:

    30.517

    00.517 3

    0

    1.551 0

    P [t> 3]= 1-P [t 3]

    P [t > 3] 1 0.517.

    P [t > 3] 1 |

    P [t > 3]= 1-[- ]

    P [t > 3]= 1-[1-0.212]

    P [t > 3]= 0.212

    t

    t

    e dt

    e

    e e

    -

    -

    - -

    = -

    = -

    +

    b) Tendremos

  • 7/28/2019 Trabajo de Aplicacion Procesos Estocasticos

    20/26

    Trabajo de aplicacin de los Procesos de Poisson y Cadenas de Markov

    20.517

    0

    0.517 2

    0

    1.034 0

    P[t< 2] 0.517.

    P [t< 2] |

    P [t< 2]= [- ]

    P [t< 2]= [1-0.356]

    P[t< 2]= 0.644

    t

    t

    e dt

    e

    e e

    -

    -

    - -

    =

    =

    +

    c)

    30.517

    1

    0.517 3

    1

    1.551 0.517

    P[1 t 3] 0.517.

    P[1 t 3] |

    P [1 t 3]= [- ]

    P[1 t 3]= [-0.212+ 0.596.]

    P[1 t 3]= 0.384

    t

    t

    e dt

    e

    e e

    -

    -

    - -

    =

    =

    +

    iii) Para el Tercer puesto de ventas de tendr :

    a) Se tendr:

    30.183

    0

    0.183 30

    0.549 0

    P[t> 3]= 1-P[t 3]

    P [t > 3] 1 0.183.

    P [t> 3] 1 |

    P [t> 3]= 1-[- ]

    P [t> 3]= 1-[1-0.578]

    P[t> 3]= 0.578

    t

    t

    e dt

    e

    e e

    -

    -

    - -

    = -

    = - +

    b)

    20.183

    0

    0.183 20

    0.366 0

    P[t< 2] 0.183.

    P [t< 2] |

    P [t< 2]= [- ]

    P [t< 2]= [1-0.694]

    P[t< 2]= 0.306

    t

    t

    e dt

    e

    e e

    -

    -

    - -

    =

    = +

  • 7/28/2019 Trabajo de Aplicacion Procesos Estocasticos

    21/26

    Trabajo de aplicacin de los Procesos de Poisson y Cadenas de Markov

    c)

    30.183

    1

    0.183 3

    1

    0.549 0.183

    P[1 t 3] 0.183.

    P [1 t 3] |

    P [1 t 3]= [- ]

    P [1 t 3]= [-0.578+ 0.833.]P[1 t 3]= 0.255

    t

    t

    e dt

    e

    e e

    -

    -

    - -

    =

    =

    +

    iv) Para el Cuarto puesto de ventas de tendr:

    a) Se tendr:

    30.233

    00.233 3

    0

    0.699 0

    P [t> 3]= 1-P [t 3]

    P [t > 3] 1 0.233.

    P [t> 3] 1 |

    P [t> 3]= 1-[- ]

    P [t> 3]= 1-[1-0.497]

    P [t> 3]= 0.497

    t

    t

    e dt

    e

    e e

    -

    -

    - -

    = -

    = -

    +

    b)

    20.233

    0

    0.233 2

    0

    0.466 0

    P[t< 2] 0.233.

    P [t< 2] |

    P [t< 2]= [- ]

    P [t< 2]= [1-0.628]

    P [t< 2]= 0.372

    t

    t

    e dt

    e

    e e

    -

    -

    - -

    =

    =

    +

    c)

  • 7/28/2019 Trabajo de Aplicacion Procesos Estocasticos

    22/26

    Trabajo de aplicacin de los Procesos de Poisson y Cadenas de Markov

    30.233

    1

    0.233 3

    1

    0.699 0.233

    P[1 t 3] 0.233.

    P [1 t 3] |

    P [1 t 3]= [- ]

    P [1 t 3]= [-0.497+ 0.792.]

    P[1 t 3]= 0.295

    t

    t

    e dt

    e

    e e

    -

    -

    - -

    =

    =

    +

    v) Para el Quinto puesto de ventas de tendr :

    a) Se tendr:

    30.35

    0

    0.35 3

    0

    1.05 0

    P [t > 3]= 1-P [t 3]

    P [t > 3] 1 0.35.

    P [t > 3] 1 |

    P [t > 3]= 1-[- ]

    P [t > 3]= 1-[1-0.350]

    P [t > 3]= 0.350

    t

    t

    e dt

    e

    e e

    -

    -

    - -

    = -

    = -

    +

    b)

    20.35

    0

    0.35 2

    0

    0.7 0

    P [t < 2] 0.35.

    P [t < 2] |

    P [t < 2]= [- ]

    P [t < 2]= [1-0.497]

    P [t < 2]= 0.503

    t

    t

    e dt

    e

    e e

    -

    -

    - -

    =

    =

    +

    c)

  • 7/28/2019 Trabajo de Aplicacion Procesos Estocasticos

    23/26

    Trabajo de aplicacin de los Procesos de Poisson y Cadenas de Markov

    30.35

    1

    0.35 3

    1

    1.05 0.35

    P[1 t 3] 0.35.

    P[1 t 3] |

    P [1 t 3]= [- ]

    P[1 t 3]= [-0.350+ 0.705.]

    P[1 t 3]= 0.355

    t

    t

    e dt

    e

    e e

    -

    -

    - -

    =

    =

    +

    5.3) TIEMPO DE ESPERA

    Aplicacin del tiempo de espera de los clientes que acuden al puesto de venta de

    peridicos.

    Planteamiento y anlisis para los datos obtenidos en los cuadros

    Problema.- Segn los datos analizados el tiempo promedio entre llegadas de los

    clientes al puesto de venta de peridico es de por minuto entre los clientes que adquieren

    un peridico.

    Se necesita conocer cual es la probabilidad de que:

    Se tenga que esperar 3 minutos en la venta de un peridico a otro sea y que haya

    llegado 1 cliente a comprar un peridico.

    Procesos de clculos.

    1) Para el CUADRO N 012) Para el CUADRO N 023) Para el CUADRO N 03Solucin:

    = 5Clientes por minuto

    , 3- = 5(5)

    =

    4) Para el CUADRO N 045) Para el CUADRO N 05

  • 7/28/2019 Trabajo de Aplicacion Procesos Estocasticos

    24/26

    Trabajo de aplicacin de los Procesos de Poisson y Cadenas de Markov

    5.4) ESTIMACIN CONFIDENCIAL

    Aplicacin de la estimacin confidencial de los clientes que acuden al puesto de

    peridico

    Problema.- Queremos conocer la intensidad de clientes que acuden al puesto de

    peridicos. Realizaremos una estimacin confidencial del 99% si se sabe que el promedio

    de espera del total de datos recopilados es de 3 minutos para que alguno de los puestos

    tenga 1 clientes que le compre un peridico.

    Solucin:

    n = 3 minutosn= 1 cliente comprador

    = =33 Cliente por minuto1 = 9 9 = 1

    = =1

    = =16 [ ()() ()()] = 1 ,16176- =99%

    Podemos concluir que se encuentra en la regin de aceptacin, por lo queno se puede rechazar la afirmacin de decir que cada 3 minutos llegue un cliente a

    comparar un peridico con un intervalo de confianza del 99%

    6) CADENAS DE MARKOV

    El total de clientes que compran peridicos es de 89

    D: DEPORTIVO = 20

  • 7/28/2019 Trabajo de Aplicacion Procesos Estocasticos

    25/26

    Trabajo de aplicacin de los Procesos de Poisson y Cadenas de Markov

    N: NOTICIERO = 69

    D D = 0.65

    D N = 0.35

    N N = 0.17

    N D = 0.83

    La matriz es la siguiente:

    D N

    D 0.65 0.35

    N 0.17 0.83

    El diagrama de estados es la siguiente:

    N D

    Calculamos los valores de D N :

    D N = 0.65 0.35

    0.17 0.83D N

    0.65 0.17 ............(1)

    0.35 0.83 ............(2)

    1.............................(3)

    D D N

    N D N

    D N

    Desarrollando las ecuaciones tenemos los siguientes resultados:

    0.42 0.17

    0.40

    0.60

    D

    D

    N

  • 7/28/2019 Trabajo de Aplicacion Procesos Estocasticos

    26/26

    Trabajo de aplicacin de los Procesos de Poisson y Cadenas de Markov

    Significa que en el largo plazo, las personas preferirn 33% de diariosdeportivos contra 67% que elegirn diarios noticieros.

    CONCLUSIONES

    Se observo que existe mayor cantidad de demanda en las horas del medio da que

    horas de la tarde.

    Existe mayor cantidad de demanda en peridicos noticieros que en peridicos

    deportivos.

    Se observo que existe 7 observadores aproximadamente por minuto en cadapuesto de venta de peridicos, adems se tiene un promedio de 2 clientes por

    minuto que concretan la compra.

    Las probabilidades estables analizadas con los procesos de Markov, muestran

    mayor preferencia en el tiempo hacia los diarios noticieros.