-
1
Skicirajte grafove sljedeih funkcija i krivulja:
1. 3 4
32
.2
xxf x e
x
Rjeenje:
3 4
3
2 0
3 4 3 4
3 3
3 4 3 4
3 3
3 4
3
: 2 0 \ 2 , 2 2, ;
2lim ;
2 0
2 2lim lim lim 1 ;
2 2
2 2lim lim lim 1 0 0 ;
2 2
2 2lim lim
2 2
f
x
x
x x
x x x
x x
x x x
x
x x
D x x
xe
x
x xe e
x x
x xe e
x x
x xk e
x x x
3 4 3 4 3 4
3 3 3
lim lim lim ;1
x x x
x x x
e e e
x x
4
3
20 0 , 2 2, ;
2
2 0;
0 ;
xf x x
x
f
f e
3 4 3 4 3 423 3 3
2 2
1 2 20, ;
2 2
x x x
f
x x e x e x ef x x D
x x
dakle, f je strogo rastua na skupu ;fD
22 2 2x x x
f x
3 423 2 2
x
e x x
3 4
3
42
x
e
x
3 42 3
33
2 40 0
22
, 2 0, .
x
x x x e x
xx
x
-
2
Graf funkcije 3 4
32
2
xxf x e
x
2750. 2 2 3 4.y x x
Rjeenje:
2 3 4;y x x
funkcije 2 3 4f x x x i 2 3 4g x x x su simetrine s obzirom na
os x pa
je dovoljno skicirati funkciju ;f x
21,2 1 2
2
3 9 16 3 53 4 0 1, 4;
2 2
: 3 4 0 , 1 4, ;f
x x x x x
D x x x
2lim 3 4 ;
xx x
-
3
2
2
2 22
2
2
3 4 3 4lim lim 1 1;
3 4 3 4lim 3 4 lim
1 3 4
lim
dx x
dx x
x
x xk
x x x
x x x x x xl x x x
x x x
x
23 4x x
2
2
43
3lim ;
23 43 4 1 1x
x
x x x
x x
2
2
2 22
2
2
3 4 3 4lim lim 1 1;
3 4 3 4lim 3 4 lim
1 3 4
lim
lx x
lx x
x
x xk
x x x
x x x x x xl x x x
x x x
x
23 4x x
2
2
43
3lim ;
23 43 4 1 1x
x
x x x
x x
0, \ 1, 4 ;
1 4 0;
ff x x D
f f
2
2
2 30, 4, ;
2 3 4
2 30, , 1 ;
2 3 4
xf x x
x x
xf x x
x x
dakle, f je strogo rastua na skupu 4, i strogo padajua na skupu
, 1 ;
min min1 4 0;f f ne postoji lijeva derivacija u toki 1:x
2
0 0 0 0
0 0
1 3 1 4 01 11 lim lim
1lim
t t
t
t tf t ff
t t
22 3t t 3 4t 2 2
0 0 0 0
20 0
2 5
5 0 2 5lim lim0 1
2 5lim ;
2 5
t t
t
t
t t t tt t
t
t t
-
4
ne postoji desna derivacija u toki 4 :x
2
0 0 0 0
0 0
4 3 4 4 04 44 lim lim
16lim
t t
t
t tf t ff
t t
28 12t t 3 4t 2 2
0 0 0 0
20 0
2 5
5 0 2 5lim lim0 1
2 5lim ;
2 5
t t
t
t
t t t tt t
t
t t
222
2
2 2 2
2
2 32 3 4 2 3
4 3 4 2 31 12 3 4
2 3 4 2 3 4 3 4
1 4
2
xx x x
x x xx xf xx x x x x x
x
12x 216 4x 12x
2 2 2 29 25
0, ;3 4 3 4 2 3 4 3 4
fx Dx x x x x x x x
Graf funkcije 2 3 4f x x x
-
5
Graf krivulje 2 2 3 4y x x
2774. 3
.3
xf x x
x
Rjeenje:
;3
: 0 ,0 3, ;3
f
xf x x x
x
xD x
x
0 0 0 0 0 0
3 0 3 0 3 0
lim lim lim 1 0 ;3 3 3
0 0;
lim lim lim 1 ;3 3 3
x x x
x x x
x x xx x x x x
x x x
f
x x xx x x x x
x x x
lim lim lim 1 ;3 3 3x x x
x x xx x x x x
x x x
-
6
lim lim lim 1 03 3 3
1 31 203lim lim
1 0
x x x
x x
x x xx x x x x
x x x
x xxxx
x
3 x
2 3
2
3 3 3lim ;
1 2 3 2x
x x
xx
1 1lim lim lim 1 2;
3 3 3
3lim 2 lim lim 1 ;
3 3 3 2
x x x
x x x
x x xk x x x x
x x x x x
x x xl x x x x x x
x x x
za svaki 3x je 13
x
x
pa je
0
1 0;3 3 3
x x xf x x x x x x
x x x
za svaki 0x je
0
1 0;3 3 3
x x xf x x x x x x
x x x
za svaki 3x je
3
13 2
x x x xf x
x x
3 x
2
2
2 3
3
x x
x
3 3x x
2
2 3 3x x x
2
2
3
1
92 9 21 1 0
3 32 3 3
33
93 3 92 2
xx x x
x xx x x
xx x x
x xx x
x
29x 381
4x x 29x 27 27 4,x x
to je nemogue jer je 4
2,4 3
a 4 3
29
42
pa ne vrijedi jednakost 3
;932
x x
x x
dakle, jednadba 0f x nema rjeenja za 3, ;x
-
7
kako je
94
4 24 1 2 0,4 3 4 3
f
onda je 0, 3, ;f x x
za svaki 0x je
3
13 2
x x x xf x
x x
3 x
2
3 3
3
x x
x
2
2 3x x
2
2 3 3x x x
1
9 99 2 2 21 1 1 0;
3 3 3 32 3 3
x xx x x x
x x x xx x x
91
1 1 11 521 1 1 01 3 1 3 2 8 16
f
pa je 0, ,0 ;f x x
dakle, 0, \ 0 ,ff x x D odnosno f je strogo padajua na skupu \ 0
;fD
min 0 0;f postoji (samo) lijeva derivacija u toki 0 :x
0 0 0 0 0 0
1 030
0 lim lim lim 1 1;3t t t
tt
tf t f tf
t t t
1 3
2
x xf x
x
3 x
2
9
23 33
x xx
x xx
3 x
2
2 2
9
2
3
9 33 3 32
3 32 3 2 3
x
x xxx x
x x xx x
3x
9
2
3 3
x
x x x
2
270, ;
4 3 3fx D
x x x
-
8
Graf funkcije 3
3
xf x x
x
2786. 1
.xf x e
Rjeenje:
: 0 \ 0 ,0 0, ;fD x x
1
0 0
1
0 0
1
lim 0 ;
lim ;
lim 1 ;
x
x
x
x
x
x
e
e
e
0, ;ff x x D
1
2
10, ;x ff x e x D
x
dakle, f je strogo padajua na skupu ;fD
1 1 1
3 4 4
2 1 2 1 10 2 1 0 ;
2x x x
xf x e e e x x
x x x
-
9
toka infleksije: 21
, ;2
e
Graf funkcije 1
xf x e
2788. .xf x xe Rjeenje:
;
lim ;
1lim 0 lim lim 0 ;
lim ;
f
x
x
x
x xx x x
x
x
D
xe
xxe
e e
k e
0 0;
0 0;
f x x
f
1 0 1 0 1;xf x x e x x
dakle, f je strogo rastua na skupu ,1 i strogo padajua na skupu
1, ;
1max 1 ;f e
-
10
2 0 2 0 2;xf x x e x x
toka infleksije: 22,2 ;e
Graf funkcije xf x xe
2806. 1
.xf x e x
Rjeenje:
1
0 0
1
0 0
\ 0 ;
lim 0;
lim ;
f
x
x
x
x
D
e x
e x
1
lim ;xx
e x
11
2
1
11
lim lim 1;1
lim
xx
x x
x
x
ee x xk
x
l e x
x1
lim 1;xx
e
-
11
1
2
11 0, ;x ff x e x D
x
dakle, f je strogo padajua na skupu ;fD
zbog toga vrijedi:
1) u intervalu ,0 nema nultoaka jer je 1
lim xx
e x
i
1
0 0lim 0;xx
e x
2) u intervalu 0, ima tono jednu nultoku jer je 1
0 0lim xx
e x
i
1
lim ;xx
e x
1 1
3 4 4
2 1 2 1 10 2 1 0 ;
2x x
xf x e e x x
x x x
toka infleksije: 21 1
, ;2 2
e
Graf funkcije 1
xf x e x
2809. ln .f x x x Rjeenje:
0, ;fD
-
12
0 0 0 0 0 0
1
lnlim ln 0 lim lim
1x x xx x
x x
x
2
1
x
0 0lim 0 ;
lim ln ;
lim
x
x
x
x
x x
xk
ln x
xlim ln ;x
x
0 ln 0 1;f x x x
nultoka: 1,0 ;
lnf x x x 1
x 1ln 1 0 ;x x e
dakle, f je strogo rastua na intervalu 1,e i strogo padajua na
intervalu 10, ;e
1 1min ;f e e
1
0, ;ff x x Dx
Graf funkcije lnf x x x
-
13
2810. 2ln .f x x x Rjeenje:
22
0 0 0 0 0 0
0, ;
2ln
lnlim ln 0 lim lim
1
f
x x x
D
x
x xx x
x
2
1
x
0 0
2
2 lim ln 0 ;
lim ln ;
lim
x
x
x
x x
x x
xk
2ln x
x2lim ln ;
xx
0 \ 1 ;ff x x D
nultoka: 1,0 ;
2lnf x x x 2ln x
x 2ln 2 ln 0 ln 2,0 ,1 ;x x x x e
dakle, f je strogo padajua na intervalu 2 ,1e i strogo rastua na
skupu 20, 1, ;e
2 2max
min
4 ;
1 0;
f e e
f
12 ln 2 2
ln 1 0 ln 1 0 ;x
f x x x x ex x x
toka infleksije: 1 1, ;e e
-
14
Graf funkcije 2lnf x x x
2814. 3
2
ln.
xf x
x
Rjeenje:
3
20 0
2
23
2
0, ;
lnlim ;
3lnln 3 ln
lim lim lim 0 ;2 2
1ln
lim lim 0 ;1
f
x
x x x
x x
D
x
x
xx xx
x x x
x xx
0 ln 0 1;f x x x
nultoka: 1,0 ;
23ln x
xf x
x2
2 x 3
4
ln x
x
2 3
233
3 2 ln ln0 3 2ln 0 1 0, \ 1 ;
x xx x x e
x
-
15
dakle, f je strogo rastua na skupu 3
20, \ 1e i strogo padajua na intervalu 3
2 , ;e
3
2max 3
27;
8f e
e
6ln x
xf x
26 ln x
x x
3 23 x 2 3
6
3ln 2lnx x
x
2
44
12 22
3 2 ln 5ln 2 ln0
12ln 5ln 2 ln 0 ln 0, 2, 1, , ;
2
x x x
x
x x x x x e e
toke infleksije: 1
224
1 81,0 , , , , ;
8e e
e e
21,2 1 2
5 25 16 5 3 12 5 2 0 , 2;
4 4 2t t t t t
Graf funkcije 3
2
ln xf x
x
-
16
2823. 22 ln .f x x x Rjeenje:
2 2\ 0 ,0 0, ;
2 ln 2 ln , ;
f
f
D
f x x x x x f x x D
dakle, zadana funkcija je parna pa je dovoljno ispitati tok na
intervalu 0, ;
na tom intervalu je 22 ln 2 2ln 2 1 ln ;f x x x x x x x
0 0 0 0 0 0
1
1 lnlim 2 1 ln 0 2 lim 2 lim
1x x xx x
x x
x
1
2 x
0 04 lim 0 ;
lim 2 1 ln ;
12 1 ln 1 ln 1
lim 2lim 2lim 4lim 0;1
2
x
x
x x x x
x
x
x x
x x x xkx x x
x
0 1 ln 0 ln 1 ;f x x x x e
nultoka: ,0 ;e
11 ln 2 1 ln
0 1 ln 0 ;x x x
f x x x exx x
dakle, f je strogo rastua na intervalu 10,e i strogo padajua na
intervalu 1, ;e
1max4
;f ee
1 1 ln
1 ln ln 12 0 ln 1 0 ;2 2
xx
x xx xf x x x ex x x x x
toka infleksije: ,0 ;e
-
17
Graf funkcije 22 lnf x x x na intervalu 0,
Graf funkcije 22 ln , ff x x x x D
