TÌM TRỊ RIÊNG CỦA MA TRẬN BẰNG PHƯƠNG

PHÁP QR

Thực hiện: Nhóm 4

PHÂN TÍCH QR

Dùng pp Householder biến đổi ma trận đã cho về ma trận 3 đường chéo, đối xứng.

Dùng ma trận quay P để phân tích QR

Cho ma trận là ma trận 3 đường chéo, đối xứng:

Phương pháp QR được thực hiện bằng cách xác định một dãy các ma trận , ,… trong đó:1. với là ma trận trực giao, còn là ma

trận tam giác trên2. được định nghĩa:

Tương tự với và được định nghĩa:

Vì trực giao nên:

Ma trận cũng là ma trận đối xứng và có cùng trị riêng với ma trận . Và với cách định nghĩa và thì cũng là ma trận 3 đường chéo.

Vì vậy, cũng có cùng trị riêng với ma trận đã cho

ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN QUAY

Ma trận quay là 1 ma trận trực giao, nó chỉ khác so với ma trận đơn vị ở 4 phần tử:

Với mỗi ma trận quay ma trận sẽ khác ma trận A ở cột i và jma trận sẽ khác ma trận A ở hàng i và j Với mỗi , ta có thể chọn góc sao cho giá

trị

Và được tính như sau: Ví dụ: xét thì ta chọn ma trận quay có:

với:

Và có: thì sau khi thực hiện phép nhân, ta có:

2 12 22 2 2 2

2 1 2 1

sin ; cosb a

b a b a

(1) (1)2 2A P A

(1) 2 1 1 22 2 1 2 221 2 2 2 2

2 1 2 1

( sin ) (cos ) 0b a a b

A a bb a b a

(1)2

2 2 1 2

2 2 2 2 3

3 3

(1)2

cos sin 0 0

sin cos 0

0 0 1 0

* * *

0 * *

0 * *

P A

a b

b a b

b a

A

Tổng quát, ta có:

1 1 1

1 1 1( )

1 1 2

0 0

0

0

0

0 0

0

0

0 0

k k kik k k

k k k

n

n n

z q r

z q r

A x y

b a b

b

b a

Sau khi nhân với ma trận quay:1 1 1

( ) ( )1 1 1 1

2 2 3

0 0

0

0

0

0 0

0

0

0 0

k k ki ik k k k k

k k k

n

n n

z q r

z q r

A P A x y

b a b

b

b a

Dạng của ma trận quay

1

1 1

1

1 1

1

11 12 2 2 2

1 1

;

k

k k

k

k k

n k

k kk k

k k k k

I O O

c s

O OP

s c

O O I

b xs c

b x b x

Tiếp tục nhân tích trên lần lượt với ta thu được

1 1 1

( ) ( )

2

1

0 0

0

0

0 0

i in

n

n n

n

z q r

R Ar

z q

x

Còn ma trận trực giao được định nghĩa:

Vậy:

TÌM TRỊ RIÊNG BẰNG PP QR

Giả sử ma trận có các trị riêng ,… với … thì:

tốc độ hội tụ: phụ thuộc vào Mà tốc độ hội tụ xác định tốc độ hội tụ

vậy nên, nếu tỉ lệ gần bằng 1 thì sự hội tụ sẽ chậm.

QR tịnh tiến(“shifted QR algorithm”

“méthode QR avec translations”)

𝐴(𝑖)−𝑠𝐼=𝑄(𝑖)𝑅(𝑖)

Trong ma trận tốc độ hội tụ của phụ thuộc vào

ta có thể cải thiện tốc độ hội tụ bằng cách chọn s gần với nhưng không gần với

s được tính bằng cách: Tìm trị riêng ma trận 2x2:

Sau đó, chọn s là trị riêng gần với nhất

( ) ( )1

( ) ( )

i in ni in n

a b

b a

Với cách làm đó, hội tụ về 0 và hội tụ về

Vậy trị riêng của ma trận A đã cho:

Chương trình QRSYMT96 cũng sử dụng phương pháp QR cho ma trận 3 đường chéo đối xứng với cách như vậy.

CÁC BƯỚC TÌM TRỊ RIÊNG BẰNG PP QR

B1: Tìm s, từ ma trận đã cho, ta có ma trận .

B2: Sau khi có ma trận tính các giá trị cần thiết rồi suy ra ma trận quay

B3: Tính B4: Sau khi lặp lại quá trình 3 bước trên

đủ số lần, ta thực hiện tìm các trị riêng của ma trận đã cho

Xét ma trận vuông 3x3

VÍ DỤ: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP QR ĐỂ TÌM TRỊ RIÊNG CỦA MA TRẬN

CÁC CÔNG THỨC CẦN LƯU Ý

( ) ( ) ( )

( 1) ( ) ( )

(1) (1)2 2

(1) (1)3 3 2

(2) (1) (1) (1)3 2 2 3

i i i

i i i

t t

A Q R

A R Q

A P A

A P A

A R Q PP A P P

1 1 1

1 1 1( )

1 1 2

0 0

0

0

0

0 0

0

0

0 0

k k kik k k

k k k

n

n n

z q r

z q r

A x y

b a b

b

b a

Hàng thứ k

Cột thứ k

1

1 1

1

1 1

1

11 12 2 2 2

1 1

;

k

k k

k

k k

n k

k kk k

k k k k

I O O

c s

O OP

s c

O O I

b xs c

b x b x

Ma trận quay

VÍ DỤ

Cho ma trận

là ma trận 3 đường chéo, đối xứng

3 1 0

1 3 1

0 1 3

A

Ta tính s1 bằng cách tìm trị riêng ma trận vuông 2x2 tạo bởi dòng thứ 2, 3 và cột thứ 2, 3

Ma trận trên có 2 trị riêng là µ1=2 và µ2=4. Ta phải chọn s1 là 1 trong 2 trị riêng gần với giá trị a3=A33=3 (ở đây chọn 2 hay 4 đều được).

Chọn s1=µ1=2.

3 1

1 3

Ta có:

Sau khi có ta tìm ma trận quay P2

Từ dạng tổng quát của ta sẽ có dạng của là:

(1)1 1

3 1 0 1 0 0 1 1 0

1 3 1 2 0 1 0 1 1 1

0 1 3 0 0 1 0 1 1

A A s I

1 1

11 2 2 3 1 2

3 3

0

1; 1

0

x y

A b a b x b

b a

Từ công thức sk và ck

ta có Dạng của P2

11 12 2 2 2

1 1

;k kk k

k k k k

b xs c

b x b x

2 2

2

2s c

2 2

2 2 2

2 2 02 202 20 02 2

0 0 1 0 0 1

c s

P s c

Tìm được:

(1) (1)2 2

1 1 1

2 2

3 3

2 3

2 2 02 2 1 1 02 2 0 1 1 12 2

0 1 10 0 1

22 2 2

0 0 2 0

0 1 1 0

0; 1

A P A

z q r

x y

b a

x b

Tính được:

Dạng của P

Ta có thể tính nhưng không cần thiết

3 3 3

3 3

1 0 0 1 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

P c s

s c

3 30; 1s c

(1) (1)3 3 2A P A

Sau khi có P2 và P3, ta tìm ma trận A(2)

Nhận xét nếu và đủ nhỏ thì có thể dừng lại, để tính toán các trị riêng

(2) (1) (1) (1)3 2 1 2 3

22 02

2 212 2

20 02

t tA R Q PP A P P

Tiếp tục lặp lại các bước như trên Đầu tiên, ta tính s2 bằng cách tìm trị riêng

ma trận vuông 2x2 tạo bởi dòng thứ 2, 3 và cột thứ 2, 3 của ma trận A(2) vừa thu được

Trị riêng của ma trận trên là

Vậy nên ta chọn gần với a3=0

21 2

2 02

1 13

2 2

2

1 13

2 2s

Tính toán tương tự như trên 1 lần nữa ta sẽ thu được:

Vì thấy đã đủ nhỏ, ta bắt đầu tính các giá trị riêng:

(3)

2,6720277 0,37597448 0

0,37597448 1,4736080 0,030396964

0 0,030396964 0,047559530

A

(3)3 3 1 2 1,5864151a s s

Tiếp theo, từ ma trận A(3) ta bỏ đi hàng thứ 3 và cột thứ 3, rồi tính trị riêng của ma trận vừa thu được:

Hai trị riêng của ma trận trên là và .

Ta có 2 trị riêng còn lại của ma trận A đã cho là:

2,6720277 0,37597448

0,37597448 1,4736080

1 1 1 2 4,4141886s s

2 2 1 2 2,9993964s s