Universidade Federal da Paraıba
Centro de Ciencias Exatas e da Natureza
Coordenacao dos Cursos de Pos-Graduacao em Fısica
Tese de Doutorado
Defeitos Globais em Teoria de Campos e Aplicacoes
Roberto Menezes da Silva
Joao Pessoa
- 2007 -
Universidade Federal da Paraıba
Centro de Ciencias Exatas e da Natureza
Coordenacao dos Cursos de Pos-Graduacao em Fısica
Tese de Doutorado
Defeitos Globais em Teoria de Campos e Aplicacoes
Roberto Menezes da Silva
Tese realizada sob a orientacao do Prof.
Dr. Dionisio Bazeia, apresentada ao
Departamento de Fısica em comple-
mentacao aos requisitos para obtencao
do tıtulo de doutor em Fısica
Joao Pessoa
- 2007 -
A meus pais Rosa e Mariano
A minha esposa Eli
A meu filho Caio
Resumo
Neste trabalho investigamos modelos de campos escalares e
aplicacoes. Iniciamos com uma revisao de solucoes topologicas
e nao topologicas e algumas de suas caracterısticas mais impor-
tantes. A partir daı, introduzimos e investigamos novos modelos
de campos escalares, entre eles, generalizacoes do modelo seno-
Gordon e de outros, que admitem defeitos no plano, no espaco,
solucoes estaticas tipo dois-kinks e defeitos que violam a sime-
tria de Lorentz. Utilizamos o formalismo de primeira ordem para
a investigacao de modelos na cosmologia moderna. Tambem es-
tudamos redes de paredes de domınio que podem aparecer em
transicoes de fase no universo primordial, no contexto de energia
escura.
Abstract
In this work, we investigate scalar fields models and aplications.
We begin with a revision of topological and non topological so-
lutions and some of their most important caracteristics. We in-
troduce and investigate new models of scalar fields, for example,
generalizations of the sine-Gordon model and of others models,
which admit defects in the plane and space, two-kink static so-
lutions and defects that violate Lorentz symmetry. We use the
first order formalism for the investigation of models of interest in
modern cosmology. We also study domain walls networks which
can appear in fase transitions in the primordial universe, within
the dark energy context.
Agradecimentos
Nessas poucas linhas quero agradecer ao meu orientador, Prof. Dionisio
Bazeia, pelo cuidado apresentado durante o curso de todo esse trabalho de
tese. E mais de que isso, pelo apoio e o incentivo dados nos momentos
de mais precisao. Aos Professores Laercio Losano e Clovis Wotzasek pelos
conselhos que sempre me foram uteis. Aos Professores Jose Roberto Soares do
Nascimento e Rubens Freire Ribeiro com quem trabalhei durante o mestrado
e parte do doutorado. Aos professores Claudio Benedito Furtado, Fernando
Morais, Carlos Pires e Paulo Sergio por estarem sempre dispostos em atenter
minhas duvidas por mais basicas que fossem. A Seu Mariano, a quem
tenho todo o respeito, por todas as conversas interminaveis nos intervalos
do trabalho. Agradeco tambem aos professores Pedro Pina Avelino e Carlos
Martins da Universidade do Porto com quem colaborei no perıodo de um ano,
no estagio de dourado sanduıche la realizado.
Nao posso deixar de agradecer aos meus colegas de curso que me fizeram
crescer pessoal e profissionalmente: Tiago Homero, Lincoln Ribeiro, Antonio
Inacio (Drac), Adalto Gomes, Ewerton (Sal), Josinaldo Menezes, Victor
Afonso, Carlos Alberto, Eduardo Passos, Joana Oliveira, Jamilton Rodrigues,
Jean Spinelly, Alex Silva (Pastor), Mauro Santos, Josevi, Caio, Knut, e a
todos os outros.
Agradeco toda minha famılia, principalmente a meus pais e a minha esposa
que torceram muito para que esse projeto de vida fosse realizado. Tambem
sou grato a Maria da Penha, minha segunda mae, o que devo a ela nao posso
pagar. E a todos meus amigos, agradeco.
Finalmente agradeco a CAPES pela concessao das bolsas de estudo que me
proporcionaram a realizacao deste trabalho.
‘‘I was observing the motion of a boat which was rapidly
drawn along a narrow channel by a pair of horses, when the
boat suddenly stopped - not so the mass of water in the
channel which it had put in motion; it accumulated round
the prow of the vessel in a state of violent agitation,
then suddenly leaving it behind, rolled forward with great
velocity, assuming the form of a large solitary elevation,
a rounded, smooth and well-defined heap of water, which
continued its course along the channel apparently without
change of form or diminution of speed. I followed it on
horseback, and overtook it still rolling on at a rate of
some eight or nine miles an hour, preserving its original
figure some thirty feet long and a foot to a foot and a
half in height. Its height gradually diminished, and after
a chase of one or two miles I lost it in the windings of
the channel. Such, in the month of August 1834, was my
first chance interview with that singular and beautiful
phenomenon which I have called the Wave of Translation’’
John Scott Russell - 1844
Lista de Publicacoes
Esse trabalho de tese e baseado nos seguintes artigos:
• “New global defect structures,” D. Bazeia, J. Menezes and R. Menezes, Phys. Rev.
Lett. 91, 241601 (2003).
• “Regular and periodic tachyon kinks,” D. Bazeia, R. Menezes and J. G. Ramos,
Mod. Phys. Lett. A 20, 467 (2005).
• “Defect structures in sine-Gordon-like models,” D. Bazeia, L. Losano and
R. Menezes, Physica D 208, 236 (2005).
• “Defect structures in Lorentz and CPT violating scenarios,” D. Bazeia and
R. Menezes, Phys. Rev. D 73, 065015 (2006).
• “Global Defects in Field Theory with Applications to Condensed Matter,” D. Bazeia,
J. Menezes and R. Menezes, Mod. Phys. Lett. B 19, 801 (2005).
• “First-order formalism and dark energy,” D. Bazeia, C. B. Gomes, L. Losano and
R. Menezes, Phys. Lett. B 633, 415 (2006).
• “Frustrated expectations: Defect networks and dark energy,” P. Pina Avelino,
C. J. A. Martins, J. Menezes, R. Menezes and J. C. R. Oliveira, Phys. Rev. D
73, 123519 (2006).
• “Defect junctions and domain wall dynamics,” P. P. Avelino, C. J. A. Martins,
J. Menezes, R. Menezes and J. C. R. Oliveira, Phys. Rev. D 73, 123520 (2006).
• “Scaling of cosmological domain wall networks with junctions,” P. P. Avelino,
C. J. A. Martins, J. Menezes, R. Menezes and J. C. R. Oliveira, arXiv:astro-
ph/0612444.
• “Scaling of cosmological domain wall networks with junctions,” P. P. Avelino,
C. J. A. Martins, J. Menezes, R. Menezes and J. C. R. Oliveira, arXiv:astro-
ph/0612444.
• “Generalized Global Defect Solutions,” D. Bazeia, L. Losano, R. Menezes and J. C.
R. Oliveira, arXiv:astro-th/0702052.
Conteudo
1 Introducao 11
2 Defeitos em Teorias de Campos Escalares 17
2.1 Defeitos em Modelos com um Campo Escalar Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.1 Kinks e Lumps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.2 Solucao de Onda Viajante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.3 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.4 Metodo da Deformacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2 Defeitos em Modelos com N Campos Escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.1 Metodo de Bolgomol’nyi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.2 Estabilidade Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3 Defeitos em Dimensao Espacial Arbitraria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3 Novas Classes de Potenciais 44
3.1 Modelo p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2 Modelo de Lump Generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3 Modelo Seno-Gordon Generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3.1 Seno-Gordon Duplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3.2 Generalizacao para Dois Campos Escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3.3 Comentarios Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4 Defeitos em Acoes Modificadas 61
4.1 Defeitos Globais para Modelos Explicitamente Dependentes da Posicao . . . . . . . . . 61
4.1.1 Corrente Topologica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.1.2 Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.1.3 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
8
4.1.4 Comentarios Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.2 Defeitos em Cenarios com Violacao de Lorentz e CPT . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.2.1 Quebra da Simetria por um Parametro Tensorial !µ! . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2.2 Quebra da Simetria por um Parametro Vetorial !µ . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.3 Defeitos Taquionicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.3.1 Kinks Taquionicos Regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.3.2 Solucoes Periodicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.4 Dinamica Generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.4.1 Estabilidade Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5 Campos Escalares e Energia Escura I - Quintessencia e Dinamica Taquionica 96
5.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.1.1 O Modelo Cosmologico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.1.2 Quintessencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.1.3 Dinamica Taquionica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.1.4 Dinamica Generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.2 Formalismo de Primeira Ordem para Curvatura Nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.2.1 Quintessencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.2.2 Dinamica Taquionica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.2.3 Modelos com N Campos Escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.3 Formalismo de Primeira Ordem para Curvatura Nao Nula . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.3.1 Exemplos para Curvatura Nao Nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6 Campos Escalares e Energia Escura II - Redes de Paredes de Domınio 111
6.1 Defeitos em Campos Escalares em 2 e 3 Dimensoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.2 Analise Numerica de Redes de Paredes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.3 Modelos com Dois Campos Escalares Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.4 Modelos com Tres Campos Escalares Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6.4.1 O Modelo BBL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.4.2 O Modelo de Kubotani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.4.3 Relacionando os modelos BBL e Kubotani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6.5 Propriedades de uma Rede de Paredes de Domınio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.6 O Modelo Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
9
7 Comentarios, Conclusoes e Perspectivas 138
A Generalidades 144
A.1 Expressoes Diferenciais e Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
A.2 Formulas da Gravitacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
A.3 O Tensor Levi-Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
A.4 Potencial Quantico de Poschl-Teller Modificado sem Reflexao . . . . . . . . . . . . . . 146
A.5 Encontrando Solucoes Numericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
A.6 Aproximacoes Analıticas do Modelo Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
10
Capıtulo 1
Introducao
‘‘One half of the world cannot understand the pleasures of the other’’
Jane Austen
Em uma grande mesa redonda esta disposto um prato de sopa para cada pessoa sentada e ha uma
colher em cada lado, uma a direita e outra a esquerda. Portanto o numero de colheres e o mesmo que
o de pratos. Para que qualquer convidado para o jantar possa tomar a sopa, e preciso que se escolha
uma das duas colheres. Como nao ha uma regra pre-estabelecida, a primeira pessoa da mesa que
pegar a colher tem duas opcoes igualmente provaveis, a colher da esquerda ou a da direita. Uma vez
escolhida uma das colheres, e quebrada toda a simetria do sistema, pois para que todos os convidados
possam ter uma colher ao seu lado, todos tem que pegar a colher do mesmo lado que o primeiro
pegou. Portanto, ha duas possibilidades em que todos terao colheres para sopa. E ambas tem igual
probabilidade de acontecer. Mas, uma vez escolhendo uma, a simetria esta quebrada.
Em nosso cotidiano muitas vezes esbarramos em situacoes como esta onde somos obrigados a que-
brar alguma especie de simetria. Por vezes temos que decidir entre duas opcoes que para nos sao igual-
mente satisfatorias. Na natureza, e muito comum encontrarmos sistemas com essas caracterısticas.
Por exemplo, uma cadeia polimerica de poliacetileno, que se comporta de maneira unidimensional,
tem dois estados fundamentais degenerados. Essa degenerescencia esta relacionada com a instabili-
dade de Peirels[1, 2]. Existem dois padroes distintos para eletrons se ligarem a atomos de carbono
11
para formar a cadeia de poliacetileno com mınima energia - veja as ilustracoes A e B da figura 1.1(b).
As configuracoes trans sao termodinamicamente estaveis. Cada cırculo preto representa um elemento
(CH)x. As ligacoes duplas e simples sao ilustradas, por linhas duplas e simples, respectivamente. A
estrutura do tipo A pode ser levada a B por trocas dos tipos de ligacoes, contudo essa troca despende
um gasto energetico, o que torna A e B estaveis.
Voltando a ilustracao da mesa redonda, supomos que um convidado pegue a colher do seu lado
direito e o do lado oposto da mesa pegue a do lado esquerdo. Se as pessoas dos seus lados seguirem
esses convidados, em algum momento, alguem nao tera nenhuma colher para pegar e outrem ficara
com duas colheres ao seu dispor - veja a ilustracao da figura 1.1(a). Para resolver este problema o
convidado que tem duas colheres da uma delas para o que nao tem nenhuma, jogando ou indo ate
ele, outra maneira e o que tem duas da uma das colheres a seu vizinho, este por sua vez passa para o
proximo e assim sucessivamente, ate chegar ao convidado sem colher. Agora, todos da mesa ficarao
com as colheres do lado esquerdo ou do lado direito, que e a uma das duas situacoes ideais. Conflitos
como estes tambem sao comum na natureza. Redes de poliacetileno podem apresentar falhas em suas
estrutura que denominamos de defeitos do mesmo tipo do exemplo da mesa redonda. Veja a ilustracao
C da figura 1.1(b). Ha duas ligacoes simples para um (CH)x. A energia da configuracao C e maior
do que as de A e B, apesar disso por razoes topologicas, ela nao decai em uma das duas. Este defeito
pode se mover para um dos lados da cadeia, percorrendo todo o polımero ou se aniquilando com um
defeito de caracterıstica oposta (com duas ligacoes duplas), assim como no exemplo da mesa, que a
situacao com duas colheres percorre a mesa ate encontrar a situacao sem colher.
Nos exemplos vistos acima, a transicao de um estado de energia mınima para outro se faz de
maneira discreta. Contudo e mais comum em sistemas fısicos que a passagem se realize de maneira
suave, pois tem graus de liberdades contınuos. Veja por exemplo na figura 1.1(c), se assumirmos
que a regiao de cor uniforme ilustra um estado de mınima energia, a transicao entre as cores pode
se realizar discretamente, ou por um degrade contınuo, como vemos na passagem do preto para o
cinza (on-line:amarelo) - veja na figura 1.1(c) a ilustracao de paredes com diversas espessuras. Isso
acontece em sistemas ferromagneticos onde domınios magneticos sao formados para minimizar a soma
das energias magnetostaticas, de troca, de anisotropia e de Zeeman. Em cada domınio os vetores de
magnetizacao estao alinhados em um mesma direcao do espaco. Estes domınios tem tamanho finito e
entre eles formam-se areas de transicoes denominadas paredes de domınio magneticas. A energia de
troca e mais baixa quando a mudanca de um domınio para outro se da com muitos spins. O termo
parede de domınio foi introduzido em 1907 por P. Weiss[3]. Uma parede que separa dois domınios
onde os vetores formam 180!, o angulo muda de maneira contınua de um domınio para o outro - veja
12
(a) Ilustracao de uma possıvel
escolha de colheres no exem-
plo da mesa redonda. Ha dois
“defeitos”: com duas colheres
e sem colher.
(b) Ilustracao de disposicoes de cadeias de po-
liacetileno. Note que A e B sao os perfis de
mınima energia degenerados e C e o perfil de
um defeito de duas ligacoes simples em um
(CH)x.
(c) Transicao contınua de esta-
dos de energia mınima simboliza-
dos pelas cores amarelo e preta.
A transicao de cima e discreta,
enquanto nas outras se da de
maneira contınua com espessuras
diferentes.
Figura 1.1: Tres ilustracoes sobre defeitos.
a figura 1.2. Ha dois principais tipos de estruturas de spin dentro de paredes de domınio: paredes
de Bloch e paredes de Neel. Nas do primeiro tipo, o vetor de magnetizacao gira fora do plano dos
domınios. Enquanto no segundo tipo, a rotacao do spin e no proprio plano.
Na verdade, a simetria discreta de um sistema nao e uma condicao necessaria para a existencia
de paredes de domınio. E preciso apenas que haja dois estados de mesma energia e que estes sejam
desconectados. Novamente observamos o exemplo da mesa. O convidado pode ter dois tipos diferentes
de colheres a sua escolha. Nao e preciso que elas sejam iguais, o que importa e que uma dessas colheres
nao se sobressaia nessa escolha e nao que sejam iguais. Caso contrario todos escolheriam as colheres
do mesmo lado e nao haveria defeito. Recentemente, alguns modelos sem simetria discreta (mas com
vacuos desconectados) foram estudados[4] e solucoes do tipo paredes foram encontradas.
O estudo de solucoes de energia localizada foi iniciado em 1845, quando J. Scott Russel[5] apre-
sentou a conjectura de que uma propagacao isolada de um pulso de agua em canais estreitos fosse
causada pelas propriedades do meio. Cinquenta anos depois[6], Korteweg e de Vries mostraram que a
estabilidade do pulso devia-se a combinacao de efeitos nao lineares e dispersivos. A equacao de KdV
e dada por "u/"t + "3u/"x3 + u "u/"x = 0, onde u e a altura de agua levantada. As solucoes tem
velocidades constantes que dependem da amplitude. Algumas das aplicacoes desta equacao sao os
estudo de ondas na atmosfera, ondas ıon-acusticas em um plasma e ondas de pressao em misturas de
lıquido e gases[7]. Ha outras modificacoes dessa equacao como a mKdV, a de Schrodinger nao linear,
13
Figura 1.2: Perfil de um material ferromagnetico contendo uma parede de domınio cujos spins giram
180! No lado esquerdo, e mostrado uma estrutura de parede hipotetica e o spin e trocado discretamente
em apenas uma distancia atomica. Na direita, temos uma parede de espessura N.a, onde a e a distancia
interatomica e N e o numero de atomos da parede (Em materiais reais, N esta no intervalo 40 a 104).
a de Burgers, entre outras. Em 1965, Zabusky e Kruskal[8] introduziram a palavra soliton para carac-
terizar concentracoes de energia em movimento que nao se dispersavam e que preservavam sua forma
apos a colisao com outra de mesma propriedade. E por causa dessas caracterısticas, solitons apresen-
tam uma boa estrutura matematica para a descricao de uma partıcula classica. As configuracoes que
investigaremos nessa tese, em geral, nao preservam a forma depois de colisoes, portanto estritamente
nao poderemos chama-las de solitons, apesar de, as vezes, por extensao, elas sejam tambem assim
chamadas.
Existem defeitos associados a quebras de simetrias contınuas. Eles sao formados na transicao
de domınios mais sofisticados. Estes defeitos sao, por exemplo, cordas e monopolos que quebram
simetrias U(1) e SU(2), respectivamente. Por, em tres dimensoes, cordas sao objetos unidimensionais
e carregados. Foram primeiramente investigados por Nielsen e Olesen[9], que introduziram um modelo
de campo escalar complexo acoplado ao campo de Maxwell sendo uma extensao relativıstica do modelo
de Ginzburg-Landau[10, 11]. Monopolos sao configuracoes puntiformes introduzidas por ´t Hooft[12]
e Polyakov[13]. Tem carga magnetica, e as vezes tambem eletrica, e sao obtidos em modelos onde um
isovetor #a de tres componentes e acoplado ao campo nao abeliano de Yang-Mills.
Em 1976, Kibble[14] indicou que estruturas de domınio poderiam ser formadas em uma quebra
espontanea de simetria no universo primordial. Essas quebras de simetrias acarretariam transicoes
de fases que formariam os defeitos. Os domınios surgiriam quando a temperatura do universo se
14
reduzisse abaixo de uma temperatura crıtica Tc, da mesma maneira que os domınios magneticos sao
formados em temperaturas um pouco abaixo da de Curie[15]. Kibble mostrou que a formacao de
paredes de domınio, cordas ou monopolos depende dos grupos de homotopia da variedade M do
conjunto de vacuos degenerados. Paredes podem ser formadas se $0 e nao trivial, isto e, se os vacuos
nao forem conectados, como ja vimos. A formacao de cordas e monopolos requer $1(M) e $2(M) nao
triviais, respectivamente - ver o capıtulo 4 de [16] como revisao. Desde os anos setenta, implicacoes
cosmologicas de uma possıvel existencia desses defeitos tem sido amplamente estudados[17]. Em
especial, redes de paredes de domınio foram consideradas perigosas cosmologicamente, pois por suas
caracterısticas tenderiam a dominar a energia do universo[18] e ate 1998, nao havia nenhuma razao
fısica para isso. Por essa razao foram poucos estudadas em comparacao com os outros defeitos[19].
Geralmente, modelos que suportam solucoes localizadas em teoria de campos relativıstica tem
campos escalares que interagem de maneira nao linear. Esta especie de campo e muito utilizada por
sua simplicidade e serve para descrever diversas possibilidades presentes na natureza. Por exemplo,
paredes de domınio magneticas podem ser modeladas no limite do contınuo do modelo de Ising,
por um simples modelo de teoria de um campo escalar real que representa a elongacao angular dos
spins. Campos escalares surgem naturalmente em fısica de partıculas e campos. O campo escalar de
Higgs, por exemplo, e muito importante do modelo padrao, pois ao adquirir valor esperado nao nulo,
possibilita a geracao de massa para as partıculas elementares.
Recentemente, modelos com campos escalares estao sendo investigados como candidatos a energia
escura[20], componente do universo necessaria para sua expansao acelerada[22, 23]. Ha uma grande
variedade de modelos com um ou mais campos escalares, cada um com suas caracterısticas especıficas.
Citamos a quintessencia, o fantom, o quintom, a hessencia, a k-essencia, o condensado taquionico,
o dilaton e o condensado de fantasmas, entre outros - veja a referencia [20]. Em todos esses casos
o campo escalar se comporta como um fluido isotropico e homogeneo, logo apenas tem dinamica
temporal. Outra possibilidade de aplicacoes de campos escalares para a energia escura e atraves de
redes de paredes de domınio. Se essas redes fossem formadas em uma epoca mais recente e chegassem
a congelar em coordenadas comoveis, sua energia poderia dominar o universo e faze-lo acelerar, como
e observado.
Em dimensoes extras, o nosso universo tridimensional pode ser interpretado como uma parede de
domınio imersa em um bulk de dimensao superior[24], essa parede pode ter estrutura interna se for
obtida de um modelo de gravidade acoplado a campos escalares reais[25, 26, 27]. Portanto, tambem
neste cenario, campos escalares tambem foram amplamente estudados nos ultimos anos.
15
Nesta tese, investigamos diversos aspectos de sistemas de campos escalares reais em teoria de
campos, enfatizando os defeitos do tipo parede de domınio. Introduzimos novos modelos e fazemos
aplicacao em cosmologia. No capıtulo 2, fazemos uma introducao aos defeitos topologicos e nao
topologicos unidimensionais, observando suas caracterısticas principais como energia, pressao e carga
topologica. Investigamos a estabilidade linear, destacando as solucoes BPS. Finalmente, estudamos
as condicoes necessarias para a existencia de defeitos com energia finita em mais dimensoes.
No capıtulo 3, investigamos novas classes de potenciais: o modelo p que suporta solucoes do
tipo dois-kinks; um modelo #4 com solucoes nao topologicas generalizadas; e extensoes do modelo
seno-Gordon. No capıtulo 4, estudamos modelos com acoes modificadas por razoes fısicas diversas.
Introduzimos modelos com dependencia explıcita da posicao e outro com quebra explıcita da simetria
de Lorentz e CPT. Tambem fazemos modificacoes na dinamica taquionica com o objetivo de encontrar
solucoes topologicas regulares.
Nos capıtulos 5 e 6, abordamos a funcao de modelos de campos escalares para a compreensao da
aceleracao do universo. No capıtulo 5, estudamos o formalismo de primeira ordem para os campos da
quintessencia e da dinamica taquionica, em geometrias plana, esferica e hiperbolica. No capıtulo 6,
investigamos a possibilidade de paredes de domınio possam contribuir para a energia escura. Discuti-
mos o conceito de frustracao e introduziremos um modelo que mais propıcio a formar redes de paredes
de domınio que frustrem.
No capıtulo 7, fazemos comentarios, conclusoes, perspectivas e consideracoes finais sobre o presente
trabalho de tese. No apendice, selecionamos algumas expressoes importantes, utilizada durante o
trabalho. Tambem falamos brevemente do potencial quantico de Poschl-Teller modificado. Tambem,
apresentamos os passos para a resolucao numerica para equacoes que suportam kinks e lumps. Por
fim, estimamos de maneira analıticas as caracterısticas de paredes de domınio no modelo ideal com
N = 3. Com excecao da secao 4.3, em toda a tese utilizaremos a assinatura g = (1,!1, . . . ,!1).
16
Capıtulo 2
Defeitos em Teorias de Campos
Escalares
Muitos sistemas fısicos tridimensionais se comportam de maneira planar e unidimensional. Os
mais simples defeitos podem ser modelados por teorias em uma dimensao espacial. Neste capıtulo
investigamos defeitos topologicos e nao topologicos em modelos de campos escalares reais em 1 + 1
dimensoes. Na secao 2.1, estudamos modelos com apenas um campo escalar real, observando os
tipos de solucoes localizadas estaticas e de onda viajante. Tambem vemos o metodo da deformacao,
um procedimento muito util na busca de novos potenciais. Na secao 2.2, ampliamos o estudo para
modelos com mais campos escalares que admitem conjuntos de vacuos mais sofisticados, vemos o
metodo de Bolgomol’nyi para solucoes topologicas BPS e concluımos investigando a estabilidade linear
das solucoes topologicas e nao topologicas. Na secao 2.3, apresentamos as condicoes necessarias para
estabilidade de solucoes de energia finita em uma dimensao arbitraria, atraves dos argumentos de
Derrick e Hobart.
2.1 Defeitos em Modelos com um Campo Escalar Real
O modelo mais simples em D dimensoes espaciais que admite solucoes localizadas e o de um unico
campo escalar real #(%x, t) no espaco de Minkowski. A acao e dada por
S =
!
dt
!
dDx
"1
2"µ#"µ# ! V (#)
#
, (2.1)
17
onde V (#) e uma funcao arbitraria que determina a maneira com que o campo auto interage1. O
campo tem dimensao de massa elevada a (D ! 1)/2.
A variacao desta acao com respeito ao campo # origina a equacao de movimento
"2#
"t2!"2# +
"V
"#= 0, (2.2)
que e uma equacao diferencial parcial de segunda ordem. Como estamos interessados em encontrar
solucoes localizadas, o potencial e escolhido de maneira que esta equacao tambem seja nao linear.
O tensor energia-momento associado a solucao da equacao de movimento (2.2) e
!µ! = "µ#"!# ! &µ!
"1
2""#""# ! V (#)
#
. (2.3)
Devido a preservacao da simetria de Lorentz esse tensor e simetrico !µ! = !!µ. Em qualquer ponto
do espaco-tempo, podemos ter a densidade de energia de uma certa confinguracao #(%x, t)
'(%x, t) = !00 =
1
2
""#
"t
#2
+1
2("#)2 + V (#), (2.4)
onde cada termo representa contribuicoes cinetica, gradiente e potencial do modelo
'C(%x, t) =1
2
""#
"t
#2
, 'G(%x, t) =1
2("#)2 , 'P (%x, t) = V (#), (2.5)
com ' = 'C + 'G + 'P . O tensor de densidade de estresse e !ij = ("#/"xi) ("#/"xj). Se i = j, temos
a pressao
pi(%x, t) = !ii =1
2
""#
"t
#2
+
""#
"xi
#2
!1
2("#)2 ! V (#). (2.6)
Os ındices i nao se somam. Efetuando esse somatorio, definimos a pressao media
p(%x, t) #1
D
$
i
pi =1
2
""#
"t
#2
+
"1
D!
1
2
#
("#)2 ! V (#), (2.7)
onde D e o numero de dimensoes espaciais.
A densidade de fluxo de energia !0i, atraves da superfıcie xi, tem o mesmo valor da densidade de
momento !i0,
!0i = !i0 = !"#
"t
"#
"xi. (2.8)
Usando a equacao de movimento (2.2), o tensor energia-momento e conservado
"µ!µ! = 0. (2.9)
1Utilizamos o sistema natural de unidades, com ! = c = 1.
18
A expressao acima e um conjunto de D + 1 equacoes de continuidade do tipo "'/"t + %" ·%j = 0, onde
' e a densidade de carga e %j e a densidade de corrente. Em tres dimensoes, essa equacao mostra que
em um volume V delimitado por uma superfıcie fechada S, a variacao temporal da carga Q =%
d3x'
e dada pordQ
dt= !
!
Vd3x %" ·%j $
dQ
dt= !
!
Sd2x%n ·%j, (2.10)
onde %n e o vetor normal a superfıcie em cada ponto de S. Quando fazemos a integracao em todo
o espaco, essa carga e conservada. A equacao (2.9) mostra a conservacao da energia (( = 0) e do
momento (( = i). Da conservacao do momento, podemos definir
dF i = !!ijnj , (2.11)
que relaciona a densidade de forca com o tensor densidade de estresse.
A solucao mais trivial da equacao de movimento (2.2) e a do campo # constante. Esses valores
devem ser escolhidos de modo que a derivada do potencial seja nula
"V
"#= 0 $ #i = ci. (2.12)
Ha tres classes dessas solucoes, as que maximizam, as que minimizam o potencial e os pontos de
inflexao. Elas tem significado fısico diferentes, como veremos na secao 2.2.2.
Uma classe especial de solucoes da equacao (2.2), e a daquelas que sao independentes do tempo,
que chamaremos de estaticas. A equacao se reduz a
"2# ="V
"#(2.13)
Para solucoes dependentes apenas de uma das coordenadas # = #(x), a equacao (2.13) se escreve
na formad2#
dx2=
dV
d#, (2.14)
que e uma equacao ordinaria nao linear de segunda ordem. Para esse caso, a densidade de energia e
a pressao sao os unicos termos nao nulos do tensor energia momento
'(x) =1
2
"d#
dx
#2
+ V (#), (2.15a)
p =1
2
"d#
dx
#2
! V (#). (2.15b)
O estudo das solucoes estaticas unidimensionais pode ser comparado fazendo analogia a mecanica
classica de um ponto material de massa unitaria em uma trajetoria reta. Se fizermos as identificacoes
19
x $ t, # $ x e invertermos o potencial V (#) $ !U(x), a equacao de movimento (2.14) se escreve
d2x
dt2= !
dU
dx, (2.16)
enquanto a densidade de energia e a pressao (2.15) tornam-se a lagrangeana e energia do movimento
da partıcula, respectivamente,
L(t) =1
2
"dx
dt
#2
! U(x), (2.17a)
E =1
2
"dx
dt
#2
+ U(x). (2.17b)
Para o problema mecanico dado pela densidade de lagrangeana (2.17a) a energia da partıcula na
trajetoria unidimensional e conservada durante a evolucao temporal, o que nos sugere que a pressao
seja constante. Isso pode ser visto pela equacao da conservacao do tensor energia-momento (2.9),
para ( = 1, encontramos que a pressao p e constante para solucoes estaticas unidimensionais, pois
"x!xx = 0. Esse vınculo permite reescrever a equacao de segunda ordem em uma de primeira, tendo
a pressao constante como parametro de integracao
1
2
"d#
dx
#2
= V (#) + p. (2.18)
Derivando essa equacao chega-se a equacao de movimento (2.14). Como o termo do lado esquerdo
nao e negativo, os valores possıveis da pressao dependem da forma explıcita do potencial V (#), isto e,
o campo apenas tomara valores onde a densidade de energia potencial tenha valores que obedecam a
relacao V (#) % !p. Por exemplo, para o simples potencial constante V (#) = V0, a pressao e restrita
a p % !V0, e as solucoes sao
#(x) = ±&
V0 + p (x ! x0). (2.19)
A constante x0 e o ponto onde a solucao se anula. A densidade de energia nesse caso e constante,
' = 2V0 + p.
Consideramos agora um potencial generico com o perfil mostrado na figura 2.1. Se desenharmos
uma linha horizontal correspondente a !p, onde p e um dado valor da densidade de pressao que
pode ser escolhido, imediatamente encontramos possıveis regioes de “movimento” do campo #. Nesse
exemplo, a solucao vive no intervalo AB, ou no lado direito de C.
O conjunto de pontos que satisfazem V (#) = !p indica os limites do movimento. Podemos chama-
los de pontos de retorno por analogia a mecanica classica. Nesses pontos a velocidade d#/dx se anula.
O que forca esse retorno e a aceleracao contraria d2#/dx2 devido a variacao do potencial dV/d#. O
20
-pBA C
V( )!
!" !# !$
Figura 2.1: Grafico de um potencial generico para o campo #. Os valores de campo abaixo da linha
horizontal !p sao os valores proibidos para o campo
caso mais interessante e a situacao onde o ponto de retorno tambem e um ponto crıtico de mınimo
ou de inflexao. Aqui, quanto mais proximo deste ponto, nao so a velocidade vai se reduzindo, como
tambem o valor da aceleracao contraria dV/d#, isso impede que a velocidade se anule para algum valor
finito do campo e ocorra o retorno, o que leva a um caso assintotico onde o campo # tende a assumir o
valor do ponto crıtico no limite x $ !& ou x $ &. No proximo capıtulo, vemos um modelo em que
temos um ponto crıtico com aceleracao nula, a solucao nao tem valores assintoticos para esse ponto.
Isto e explicado devido ao valor divergente da segunda derivada do potencial neste ponto.
2.1.1 Kinks e Lumps
Em modelos com apenas um campo escalar, ha duas classes de solucoes assintoticas: as topologicas
e as nao topologicas. As solucoes nao topologicas tem limites assintoticos iguais tanto para x $ !&,
quanto para x $ &, #(x $ !&) = #(x $ +&) = #0. Elas em geral tem a forma de um sino, por
isso sao comumente chamadas de lumps (que significa protuberancia). Solucoes como estas existem
em potenciais como o da figura 2.2 nos trechos #1 ! #2 e #3 ! #4. No trecho #1 ! #2(#3 ! #4), o lump
tem valores assintoticos em #2(#3) e mınimo (maximo) no ponto de retorno #1(#4).
Por outro lado, as solucoes topologicas tem limites assintoticos diferentes, #(x $ !&) = #a e
#(x $ &) = #b, com #a '= #b. Elas em geral sao chamadas de kinks. No mesmo potencial que suporta
lumps da figura 2.2, ha duas configuracoes do tipo kink (kink #k e antikink #k), no trecho #2 ! #3.
Para x $ !&, a solucao tende ao valor assintotico #2(#3) e para x $ &, #3(#2). Chamamos os
setores que suportam kinks de setores topologicos. Como a teoria (2.1) e invariante por paridade, em
21
um mesmo setor topologico existem duas solucoes tipo kink com os valores assintoticos invertidos que
chamaremos de kink (k) e seu antikink (k), #k(x) = !#k. Nao tem sentido falar de antilump, pois o
antilump e o proprio lump. No capıtulo 4, estudamos teorias que tem simetria de paridade violada,
quebrando o cenario defeito-antidefeito.
-p
V( )!
!" !#!$ !%
Figura 2.2: Perfil de um potencial que suporta solucoes tipo kink (no trecho #2 ! #3) e lumps (nos
trechos #1 ! #2 e #3 ! #4) para uma dada pressao p. Contudo essas configuracoes tem pressao nao
nula, logo tem energia que diverge, o que fisicamente nao e aceitavel.
Para kinks e lumps, a densidade de energia gradiente, 'G = 1/2(d#/dx)2, e localizada proximo a
um ponto do espaco. Usando (2.18), vemos que a densidade potencial assume valor igual a !p nos
pontos do espaco onde a energia gradiente se anula. Entao a densidade de energia total ' = 'G + 'P
nao e localizada, por causa do plato de valor !p. A solucao tem energia finita E =%
dx' apenas para
pressao nula, p = 0. Concluımos que qualquer solucao tipo kink ou lump estatica unidimensional com
pressao nao nula nao e fisicamente aceitavel. Veja por exemplo na figura 2.3, os dois potenciais tem as
mesmas caracterısticas e suportam solucoes do tipo kink. Identicos, pois tem as mesmas equacoes de
movimento. No primeiro caso, a solucao tipo kink tem pressao negativa, logo a energia e divergente.
No segundo caso, a solucao tipo kink tem pressao nula, logo a energia e finita, tornando a solucao
fisicamente aceitavel. Logo para evitar esse problema escolhemos potenciais em que as solucoes tenha
valores assintoticos para os zeros desses potenciais, V (#(x $ &)) = 0, como na figura 2.3(b).
O caso de pressao nula e especial pois nele se da a equiparticao das densidades de energias gradiente
e potencial, 'G = 'P = '/2. Em termos da energia escrevemos
EG = EP =E
2, (2.20)
onde EG e EP sao as porcoes gradiente e potencial da energia. Como mostramos na secao 2.2.2, a
condicao de pressao nula e um pre-requisito para a estabilidade de solucoes de energia finita.
22
!
-a a
V( )!
(a) Potencial que suporta solucao
tipo kink com pressao negativa e en-
ergia divergente.
(b) Potencial que suporta solucao
tipo kink com pressao nula e ener-
gia finita.
Figura 2.3: Exemplo de potenciais que suportam solucoes tipo kink de perfis identicos, mas com
valores de pressao diferentes.
Devido a monoticidade das solucoes do tipo kink, para a pressao nula, a equacao (2.18) pode ser
dividida em duasd#
dx=&
2V (#) oud#
dx= !
&
2V (#), (2.21)
uma para o kink e outra para o antikink. Essas equacoes sao resolvidas levando a
x ! x0 = ±!
d#&
2 V (#)= ±F (#), (2.22)
onde x0 e uma constante de integracao que identifica o centro do kink. Finalmente a funcao F deve
ser inversıvel, de modo que podemos escrever
#(x) = ±F"1(x ! x0). (2.23)
A solucao para o sinal positivo (negativo) e monoticamente crescente (decrescente). Para termos
solucoes analıticas explıcitas, e preciso que (2V (#))"1/2 tenha integral analıtica e que esta seja in-
versıvel.
Ja para configuracoes do tipo lump, ao assumimos a condicao de pressao nula, a equacao (2.18)
torna-se (d#/dx)2 = V (#). Ao contrario das configuracoes do tipo kink, nao podemos escrever na
forma (2.21), pois lumps nao sao monotonicos. No entanto, podemos escrever
d#
dx=&
2V (#) ed#
dx= !
&
2V (#). (2.24)
Usamos a primeira equacao de (2.21) para encontrar o lump na regiao onde a velocidade d#/dx e
positiva e a outra equacao quando d#/dx e negativo. Apesar de o potencial ter valores negativos, na
23
regiao permitida de valores de # para o lump (regiao onde o lump “vive”), ele e sempre positivo ou
nulo. Essas equacoes podem ser resolvidas, levando a
x ! x0 =
'
((((()
(((((*
!d#
&
2 V (#)= F (#),
d#
dx> 0 ;
!!
d#&
2 V (#)= !F (#),
d#
dx< 0
(2.25)
Sendo F (#) uma funcao inversıvel para cada trecho de x, podemos encontrar o lump como
#(x) =
'
((()
(((*
F"1(x ! x0),d#
dx> 0 ;
F"1(x0 ! x),d#
dx< 0.
(2.26)
Para lumps, F"1 e sempre par em x ! x0. Com isso, a expressao reduz-se a
#(x) = F"1(x ! x0). (2.27)
Esses passos podem ser melhor entendidos para exemplos especıficos, como veremos na subsecao 2.1.3.
Definimos agora um objeto que denominamos de corrente topologica
jµ = )µ!"!#, (2.28)
onde )µ! e o tensor de Levi-Civita em 1+1 dimensoes definido no Apendice A. Da maneira como e
construıda, a corrente topologica e automaticamente conservada, "µjµ = 0. Essa conservacao nao se
origina de nenhuma quantidade conservada da acao (2.1). Se integrarmos a densidade de carga em
todo espaco, temos
dQT
dt= !
! #
"#dx
"jx
"x= jx(x $ &) ! jx(x $ !&) = 0. (2.29)
Logo a carga e conservada e e dada por
QT =
! #
"#dx j0 =
! #
"#dx
"#
"x= #(x $ &) ! #(x $ !&). (2.30)
Para solucoes estaticas, temos jx = j1 = 0 e j0 = d#/dx. A carga topologica caracteriza o tipo da
solucao: ela e nula para lump, mas nao e para kinks. Kink e antikink tem cargas opostas QTk= !QTak
.
Uma forma mais geral de definir a corrente topologica e jµ = )µ!"!g(#) = (dg/d#)jµ, onde g(#) e
uma funcao bijetora do campo. A carga topologica generalizada e Q = g(#(x $ &))! g(#(x $ &)),
que e muito util em modelos onde a carga topologica usual (2.28) e divergente.
24
Uma outra quantidade conservada e a energia que para solucoes estaticas escrevemos E =%
dxj20 =
%#"#(d#/dx)2dx. Contudo nao podemos dar uma carater topologico a essa quantidade, pois ela nao
distingue a topologia das solucoes. Kink e antikink tem a mesma energia. E ate mesmo solucoes tipo
lump (que nao sao topologicas) tem essa quantidade conservada nao nula.
2.1.2 Solucao de Onda Viajante
Uma classe de solucoes localizadas com dependencia temporal e a das solucoes de onda viajante.
Para a equacao de movimento em 1 + 1 dimensoes
"2#
"t2!
"2#
"x2+
"V
"#= 0, (2.31)
vamos supor solucoes de onda viajante do tipo
#(x, t) = #e(u), (2.32)
com u = *(x ! vt), onde * = (1 ! v2)"1/2 e o fator de contracao de Lorentz e v e um valor constante
da velocidade. As derivadas parciais se transformam como
"#
"t=
d#
du
"u
"t=
d#
duv* , (2.33a)
"#
"z=
d#
du
"u
"z=
d#
du* . (2.33b)
A equacao (2.31) torna-sed2#
du2=
"V
"#. (2.34)
Logo, se existir um campo #e(x) que resolva a equacao (2.14), existira uma solucao de onda viajante
para a equacao acima escrita por
#(x, t) = #e(*(x ! vt)). (2.35)
A solucao de onda viajante tem a forma da solucao estatica, se desloca com velocidade constante v
abaixo da velocidade da luz (v2 < 1) e tem espessura + = +0/*, onde +0 e a espessura da solucao
estatica.
Para esse tipo de solucao, integramos a equacao de movimento para encontrar o seguinte teorema
virial1
2
"d#
du
#2
= V. (2.36)
25
Com isso podemos relacionar a energia da solucao da onda viajante com a da solucao estatica
E = *E0. (2.37)
Vemos entao que a solucao de onda viajante se comporta como uma partıcula relativıstica classica.
2.1.3 Exemplos
Potencial #4
O potencial #4 e muito utilizado em teoria de campos. Ele e dado por
V (#) =,
2(#2 ! a2)2, (2.38)
onde , e a sao parametros positivos com dimensoes [L]D"3 e [L]1!D
2 , respectivamente. Esse potencial
tem simetria discreta Z2, pela reflexao # $ !#. Seu perfil e mostrado na figura 2.4(a).
A equacao de movimento para solucoes estaticas e
d2#
dx2= 2,#(#2 ! a2). (2.39)
Os pontos crıticos sao as solucoes homogeneas #"a = !a e #a = a que sao pontos de mınimos e o
#0 = 0, que e o ponto de maximo. De (2.18), obtemos
1
2
"d#
dx
#2
=,
2(#2 ! a2)2 + p. (2.40)
Para ver com mais detalhe o comportamento do campo em relacao a pressao, desenhamos na figura
2.4(b), o perfil de d#/dx em relacao a # para dados valores de p. Para valores positivos da pressao,
a solucao diverge, para p negativos, as solucoes sao periodicas e, como esperado, apenas para p =
0, temos a solucao localizada do tipo kink. Escolhemos uma das equacoes de (2.21) e escrevemos
d#/dx = ±(
,(#2 ! a2). Seguindo (2.22), obtemos
x ! x0 = ±!
d#(,(#2 ! a2)
= ±1
a(
,arctanh
"#
a
#
. (2.41)
Essa funcao F (#) e inversıvel, seguimos para o passo seguinte obtendo a forma analıtica das solucoes
kink e antikink
#(x) = ± a tanh+
a(
,(x ! x0),
, (2.42)
26
onde x0 e o centro do kink que e onde esta localizada sua energia. Isso pode ser visto pela densidade
de energia
'(x) = , a4sech4+
a(
,(x ! x0),
, (2.43)
o maximo de ' e em x0 com valor ,a4. Definimos a espessura do kink por
+ = (a(
,)"1. (2.44)
A energia da solucao e
E =
! #
"#'(x) dx =
4a3(
,
3. (2.45)
A espessura e a energia ficam fixadas unicamente com a escolha de , e a, que podem ser encontradas
por
, =4
3
1
E+3e a =
-
3 E+
4. (2.46)
Entao o kink do modelo #4 e caracterizado pela energia e espessura, ou pelos parametros , e a.
(a) Perfil do potencial. O ponto de
maximo !0 = 0 tem valor V (0) =
"a4
.
(b) Perfil do espaco de configuracao
para dados valores de pressao. A
linha mais grossa corresponde a
solucao assintotica.
(c) Perfis do kink (linha solida) e da
densidade de energia (linha trace-
jada) para x0 = 0.
Figura 2.4: Perfis do potencial, espaco de configuracao, solucao tipo kink e densidade de energia para
o modelo #4 (2.38).
Potencial #3
Um modelo que suporta solucao do tipo lump e o #3. O potencial e dado por
V (#) = 2,#2
"
1 !#
a
#
, (2.47)
27
onde , e a sao parametros positivos. O perfil do potencial e mostrado na figura 2.5(a). A equacao de
movimento para solucoes estaticas e
d2#
dx2= 2,#
"
2 !3#
a
#
, (2.48)
que tem duas solucoes homogeneas #0 = 0 e #max = 2a/3 que sao os pontos de mınimo e maximo
loca, respectivamente. De (2.18), obtemos
1
2
"d#
dx
#2
= 2,#2
"
1 !#
a
#
+ p. (2.49)
Como no caso #4, vemos o comportamento de d#/dx em termo de # para dados valores da pressao, ob-
servando a figura 2.5(b). Resolvemos a solucao de tipo lump usando a equacao d#/dx = 2#&
, (1 ! #/a)
e d#/dx = !2#&
, (1 ! #/a). Seguindo, escrevemos (2.25)
x ! x0 =
'
((((((()
(((((((*
!d#
2#&
, (1 ! #/a)=
1(,
arcsech
.-
#
a
/
,d#
dx> 0 ;
!!
d#
2#&
, (1 ! #/a)= !
1(,
arcsech
.-
#
a
/
,d#
dx< 0.
(2.50)
Como essa funcao e inversıvel, escrevemos
#(x) =
'
((()
(((*
a sech2((
, (x ! x0)),d#
dx> 0 ;
a sech2((
, (x0 ! x)),d#
dx< 0.
(2.51)
A funcao sech e par, podemos escrever o lump simplesmente por
#(x) = a sech2((
, (x ! x0)). (2.52)
A densidade de energia e dada por
'(x) = 4, a2sech4+(
,(x ! x0),
tanh2+(
,(x ! x0),
. (2.53)
A energia esta localizada em dois picos simetricos ao ponto x0, que localizam nos pontos x±max =
x0 ± (1/a(
,) arctanh0(
3/31
, com valor maximo 16a2/27. A distancia entre esses dois picos e
d = (2/a(
,) arctanh+(
3/3,
, (2.54)
28
Integrando a densidade em todo o espaco, obtemos
E =
! #
"#'(x) dx =
16a2(
,
15(2.55)
A distancia entre os picos e a energia total ficam fixadas unicamente com a escolha de , e a, que
podem ser encontradas por
, =4
d2arctanh2
+(3/3,
e a =1
4
.
15Ed
2 arctanh0(
3/31
/ 12
. (2.56)
entao o lump do modelo #3 e caracterizado pela energia e a distancia entre os picos de energia ou
pelos parametros , e a.
(a) Perfil do potencial. O ponto
de maximo !max = 2a/3 tem
valor V (0) = 8a2/27.
(b) Perfil do espaco de configuracao
para dados valores de pressao. A
linha mais grossa corresponde a
solucao assintotica.
(c) Perfis do lump (linha solida) e
da densidade de energia (linha trace-
jada) para x0 = 0
Figura 2.5: Perfis do potencial, espaco de configuracao, solucao tipo lump e densidade de energia para
o modelo #3 (2.47).
2.1.4 Metodo da Deformacao
Recentemente, devido a sistemas fısicos com caracterısticas especıficas, e feito um esforco em elab-
orar novos modelos de campos escalares que modelem esses sistemas. Contudo, devido a dificuldade de
encontrar potenciais que tenham kinks ou lumps com uma forma analıtica conhecida, somos obrigados
a fazer analise numerica das solucoes de tais modelos2. O procedimento conhecido como o metodo da
deformacao[29], serve como uma alternativa na busca de potenciais com solucoes analıticas.
2No apendice A, sao mostrados os passos para se obter solucoes numericas utilizando o Maple V
29
Seja f(#) uma funcao generica do campo # denominada funcao deformadora. Introduzimos um
novo potencial dependente dessa funcao
V (#) =V (f(#))"
df(#)
d#
#2 . (2.57)
Denominamos V (#) de potencial deformado. Dependendo da forma explıcita de f(#), esse potencial
deformado tambem admite solucoes localizadas de energia finita. A solucao deformada e encontrada
simplesmente utilizando a funcao inversa f"1,
#(x) = f"1(#(x)). (2.58)
Podemos escrever deste modo, pois satisfaz a equacao de primeira ordem
1
2
.
d#
dx
/2
=V (f(#))"
df#)
d#
#2 (2.59)
A funcao deformadora deve ser bijetora nos domınios das solucoes. A densidade de energia da solucao
deformada pode ser expressa em termos da solucao original
'(x) =
.
d#
dx
/2
=
"df"1
d#
#2"d#
dx
#2
=
"d#
dx
#2
"df
d#
#2 . (2.60)
Como ilustracao deste metodo, consideramos o potencial #3 (2.47) como o potencial deformado do
modelo #4 (2.38), a funcao deformadora (para todos os parametros das teorias iguais a unidade)
e f(#) = ±(
1 ! #, de modo que as solucoes se relacionam por # = 1 ! #2. Obtemos o potencial
deformado
V (#) =
1
2
0
1 ! f(#)212
"df(#)
d#
#2 =
1
2
+
1 ! (&
1 ! #)2,2
"1
2
1(1 ! #
#2 = 2#2(1 ! #). (2.61)
Utilizando esse metodo, encontramos solucoes para extensoes do modelo seno-Gordon, o que sera visto
na secao (3.3). Um estudo mais detalhado do metodo de deformacao pode ser visto na tese de Carlos
Alberto de Almeida[30] e em artigo recente[31].
2.2 Defeitos em Modelos com N Campos Escalares
30
Na secao anterior estudamos modelos com um unico campos escalar e encontramos solucoes
topologicas e nao topologicas. Muitas vezes e preciso incluir mais campos para se ter solucoes mais
complexas que modelem de maneira mais realıstica alguns sistemas fısicos. Generalizamos a acao (2.1)
dada por
S =
!
dt
!
dx
2
1
2
""#a
"t
#2
!1
2
""#a
"x
#2
! V (#1, . . . , #N )
3
(2.62)
onde V e uma funcao nao linear dos campos 3. As equacoes de movimento para configuracoes estaticas
#a = #a(x), com a = 1, 2, . . . , N, sao dadas por
d#2a
dx2=
"V
"#a(2.63)
que sao N equacoes diferenciais ordinarias nao lineares de segunda ordem acopladas. Novamente
poderemos fazer analogia a mecanica classica. A coordenada x e identificado com o tempo x $ t e os
N campos #a sao identificados como as coordenadas do espaco N -dimensional, #a $ xa.
Alguns conceitos vistos na secao anterior sao preservados, e outros devem ser estendidos. As
solucoes estaticas de N componentes e de energia finita ainda podem ser divididas em topologicas e
nao topologicas. Na figura 2.6 ilustramos o espaco de configuracoes bidimensional para um sistema de
dois campos, # e -. Os pontos A, B e C sao os mınimos do potencial V (#, -). As orbitas representam
as solucoes -(#). As orbitas AB, AC e CB representam solucoes topologicas, enquanto a orbita
fechada BB representa uma solucao nao topologica. A orbita que circunda o ponto D representa
uma solucao oscilatoria com energia divergente. Ha uma infinidade de orbitas do tipo AB (na figura
estao ilustradas tres). Em geral, essas orbitas representam solucoes com energias distintas. E nesse
caso ha a instabilidade de solucoes com energia superior que decairao em outras de menor energia.
Isso pode influenciar na estabilidade das solucoes. As topologicas nao sao necessariamente estaveis.
Investigamos isso com mais detalhes na secao 2.2.2.
Tambem temos que estender a definicao de corrente topologica para a de um isovetor no espaco
dos campo dado por
jµa = )µ!"!#a, (2.64)
que leva a isocarga conservada dQa/dt = 0, com intensidade Q2 = Q21 + . . . + Q2
N . A solucao sera
topologica quando Q nao for nulo. Alem disso, defeito e antidefeito tem cargas opostas Qak = !Qa
ak.
3Assumimos o somatorio de Einstein para ındices repetidos. No caso de quadrados com apenas um ındice, consider-
amos o somatorio, p2a = papa.
31
Figura 2.6: Ilustracao de uma possıvel distribuicao de vacuos no espaco de configuracoes # e -.
2.2.1 Metodo de Bolgomol’nyi
Um metodo muito interessante, implementado por Bolgomol’nyi[32] e generalizado em [33], consiste
em reduzir as equacoes de movimento de segunda ordem em equacoes de primeira ordem atraves da
minimizacao da energia de um dado setor topologico do modelo. Como vimos na secao 2.1, para
um sistema com apenas um campo escalar, a equacao de movimento (2.14) se reduz a de primeira
ordem (2.18), atraves da conservacao do tensor energia-momento. Contudo para sistemas com mais
campos escalares com uma acao dada por (2.62) isso nao e tao simples. Para entender o que acontece,
multiplicamos cada equacao (2.63) por d#a/dx, somando-as e resolvendo a integracao obtemos
1
2
"d#a
dx
#2
= V (#1, . . . , #N ) + p, (2.65)
que e a generalizacao direta de (2.65). Entretanto, ao contrario do caso de um campo, esta equacao
nao traz consigo toda a informacao da dinamica do sistema, por isso nao e uma substituta de (2.63).
Sendo assim, vamos trata-la como um vınculo que chamaremos de vınculo da pressao. O vınculo da
pressao nula e muito importante pois como ja vimos apenas solucoes de pressao nula tem energia
finita em todo o espaco. O metodo de Bolgomol’nyi leva a equacoes de primeira ordem, para alguns
potenciais especıficos, que substituem (2.63) em alguns setores da teoria.
A energia relacionada a acao (2.62) e para solucoes estaticas e dada por
E =
!
dx
2
1
2
""#a
"x
#2
+ V (#1, , . . . , #N )
3
. (2.66)
32
Para uma dada funcao W (#a), fazemos a seguinte organizacao dos termos
E =1
2
!
dx
""#a
"x)
"W
"#a
#2
+
!
dx
2
V !1
2
""W
"#a
#23
±!
dxdW
dx. (2.67)
Se escolhermos que o potencial tenha a forma especıfica
V (#1, . . . , #N ) =1
2
""W
"#a
#2
(2.68)
e calcularmos a integracao total, obtemos
E =1
2
!
dx
""#a
"x)
"W
"#a
#2
+ EB, (2.69)
onde
EB = |"W | = |W (#a(x $ &)) ! W (#a(x $ !&))| (2.70)
e a chamada energia de Bolgomol’nyi. EB depende apenas da diferenca de W nos valores assintoticos
dos campos, portanto independe da forma explıcita de #a(x). Isso nos leva a conclusao que EB e o
menor valor que a energia pode ter para um dado setor topologico. E esse mınimo de energia apenas
ocorre quando as solucoes da equacao de movimento (2.63) resolvem tambem as seguintes equacoes
de primeira ordem"#a
"x= ±
"W
"#a(2.71)
de modo que a energia dessas solucoes e EB = |"W |. Uma grande vantagem desse metodo e se temos
a funcao W (#1, . . . , #N ) e conhecemos o setor topologico, e possıvel ter a energia da solucao sem
encontrar explicitamente a solucao.
Os setores topologicos onde "W '= 0 sao chamados de setores BPS e suas solucoes de solucoes
BPS; caso contrario, com "W = 0, sao chamados de setores nao BPS com solucoes nao BPS. Para
modelos com um campo, todas os setores e solucoes topologicas sao tambem BPS. As configuracoes
BPS sao mınimos de energia do setor BPS e portanto e esperado que sejam estaveis. Por outro lado,
nao ha garantia que as configuracoes dos setores nao BPS sejam estaveis. A estabilidade desse tipo
de solucao sera investigada na proxima secao.
Modelo de campos escalares com o potencial (2.68) pode ser visto como o setor bosonico de uma
teoria supersimetrica [34]. Em supersimetria a funcao W e chamada de superpotencial4.
4Um estudo detalhado de sistemas de campos escalares pode ser visto na tese de Dionisio Bazeia[35].
33
O modelo BNRT
Um modelo com dois campos escalares bem conhecido foi introduzido em [36, 37] e investigado
com mais detalhes em [38, 39, 40]. A funcao superpotencial W e dada por
W (#, -) = # !1
3#3 ! r#-2, (2.72)
o parametro real e positivo r controla a maneira com que os campos interagem. O potencial e
encontrado pela expressao
V (#, -) =1
2
""W
"#
#2
+1
2
""W
"-
#2
. (2.73)
Substituindo (2.72), temos
V (#, -) =1
2
0
1 ! #2 ! r-212
+1
2(2r#-)2 . (2.74)
Este potencial tem simetria Z2 * Z2, pois e invariante sobre as reflexoes de cada um dos campos. O
par de equacoes de movimento para solucoes estaticas e
d2#
dx2= 2#
4
r(r + 2r)-2 ! 1 + #25
, (2.75a)
d2-
dx2= 2r-
4
(1 + 2r)#2 ! 1 + r-25
. (2.75b)
Da maneira que foi construıdo, o potencial tem mınimos absolutos que sao os pontos crıticos da funcao
superpotencial. Neste modelo especıfico, o potencial tem quatro mınimos dados por
vh± = (±1, 0) , vv± =+
0,±&
1/r,
. (2.76)
Para r positivo, eles estao dispostos simetricamente nos eixos # e -, como mostrado na figura 2.7.
Existem seis setores topologicos distintos, destes cinco sao BPS e as configuracoes sao solucoes das
equacoes de primeira ordem
d#
dx= ±(1 ! #2 ! r-2), (2.77a)
d-
dx= )2r-#. (2.77b)
E bom reforcar que a grande vantagem de termos uma teoria com um potencial escrito na especıfica
forma (2.74) e que podemos obter a energia das solucoes BPS sem mesmo conhecer a solucao explıcita.
A energia dos setores entre os mınimos diagonais e 2/3, enquanto entre os mınimos horizontais e 4/3.
As equacoes (2.77) podem ser integradas pelo fator integrante f(-) = -"1" 1r , resultando na orbita
#2 =r
2r ! 1-2 + C-
1r + 1, (2.78)
34
onde C e uma parametro de integracao que determina a orbita que conecta os mınimos de um dado
setor BPS. A orbita desacopla a equacao (2.77b), logo podemos encontrar todas as solucoes BPS.
Infelizmente, para um dado r, nem sempre e possıvel encontrar solucoes analıticas para um valor de
C arbitrario. Em [39], Izquierdo e colaboradores encontraram solucoes gerais para alguns valores de
r. Aqui, vamos explicitar duas orbitas especıficas conectando os mınimos horizontais: a linha reta
horizontal (C $ &) e a elipse (C = 0).
Figura 2.7: Perfil dos quatro mınimos do potencial do modelo BNRT, representados por cırculos. As
setas indicam como os mınimos estao conectados para x variando de !& ate &. As linhas tracejadas
se referem as orbitas elıpticas que conectam os mınimos vh± = (±1, 0) para C = 0, na equacao (2.78).
As solucoes da orbita linha reta (tipo um campo) sao
#(x) = ± tanh(x) e -(x) = 0, (2.79a)
enquanto as quatro solucoes para a orbita elıptica (tipo dois campos) sao
#(x) = ± tanh(2rx), e -(x) = ±-
1 ! 2 r
rsech(2rx), (2.79b)
com 0 < r < 1/2. Essas solucoes podem ser aplicadas em sistemas que descrevem interfaces quirais
[41, 42], para modelar polarizacoes lineares e elıpticas. As solucoes tipo dois campos podem ser usadas
para descrever estruturas internas. No centro do kink # (x = 0), o campo - e maximo.
Modelos com dois ou mais campos sao tambem usados para descrever estruturas em cadeias de
35
polımeros unidimensionais. Trabalhos neste contexto tem utilizado o modelo BNRT para descrever
defeitos topologicos em cristais ferroeletricos[43, 44] e no polietileno[45, 46].
2.2.2 Estabilidade Linear
Toda configuracao fısica tem a tendencia natural de ir para um estado de mınima energia. A
estabilidade das solucoes estaticas esta diretamente ligada a possibilidade desta decair para um estado
de menor energia, ou para o proprio vacuo. A estabilidade de uma solucao deve ser investigada nao
apenas por aspecto energetico, como tambem por aspecto topologico. Solucoes topologicas tendem
a manter a topologia mesmo apos perturbacoes. Contudo, nem toda solucao topologica e estavel
pois algumas solucoes multicomponentes podem decair em duas solucoes de energia inferior ainda
preservando as condicoes assintoticas.
Para verificar isso explicitamente, introduzimos um sistema de N campos escalares reais em D
dimensoes espaciais, cuja acao e dada por
S =
!
dt
!
dDx
61
2"µ#a"
µ#a ! V (#1, . . . , #N )
7
. (2.80)
As N equacoes de movimento sao dadas por
"µ"µ#a +"V
"#a= 0. (2.81)
Para estudar a estabilidade linear das solucoes sob pequenas perturbacoes, assumimos #a = #a + &a,
onde #a e alguma solucao nao perturbada da equacao (2.81) e &a a perturbacao da solucao #a. A acao
perturbada ate segunda ordem, apos uma integracao por partes, e
S = S0 +
!
dt
!
dDx8 +
"µ"µ#a +"V
"#a
,
9 :; <
nulo
&a +1
2"µ&a"
µ&a !"2V
"#a"#b&a&b
=
, (2.82)
onde S0 e uma constante que carrega os termos da solucao #a e em nada interfere na evolucao de &a,
que e regido pela equacao
"µ"µ&a + Uab(t, %x)&b = 0 (2.83)
com
Uab(t, %x) ="2V
"#a"#b
>>>>#a=#a
, (2.84)
onde Uab(t, %x) e a chamada matrix hessiana, simetrica por construcao. Temos um sistema de equacoes
diferenciais parciais lineares hiperbolicas com coeficientes dependentes da posicao e do tempo.
36
Quando consideramos configuracoes estaticas #a = #a(x), a funcao U e independente do tempo,
Uab(%x, t) $ Uab(%x). Neste caso, atraves de separacao de variaveis, podemos escrever a perturbacao
como o somatorio de modos de Fourrier
&a(t, %x) =$
$
&$a (%x) cos(.t), (2.85)
o somatorio e feito em todos os possıveis valores de ., que sao determinados pela forma explıcita de
U(%x). A equacao (2.83) para cada modo e reescrita como
!"2&$a + Uab(%x)&$
b = .2&$a . (2.86)
Este conjunto de equacoes tem a mesma forma da equacao de Schrodinger para uma funcao de onda
de N componentes. Identificamos o operador hamiltoniano
Hab = !"2+ab + Uab(%x). (2.87)
Temos entao um problema de autovalores, Hab&$b = .2&$
a , equivalente a um problema em D dimensoes
de mecanica quantica de uma funcao de onda de N componentes submetida a um potencial quantico
matricial Uab.
Estas equacoes tem N *D modos zeros (modos que nao contribuem para a energia da solucao #a).
Destes, D sao os modos referentes as translacoes, pois a teoria (2.80), e invariante sob essa simetria.
Podemos escrever, para pequenos valores de x0,
#a(%x + %x0) = #a(%x) +
""#a(%x + %x0)
"x0i|x0=0
#
x0i, (2.88)
onde a indica uma dos N perturbacoes dos campos, e i uma das D dimensoes espaciais. As coordenadas
xi sao as D coordenadas retangulares. Escrevemos o modo
&$ai(x) =
"#a(%x + %x0)
"x0i
>>>>x0=0
="#a(%x)
"xi. (2.89)
Da acao (2.82), encontramos a energia para uma perturbacao estatica
E =1
2
!
dDx8
("&$a )2 + Uab &$
a &$b
=
=1
2
!
dDx &$a
0
!"2&$a + Uab &$
b
1
. (2.90)
Na passagem para o terceiro termo foi feita uma integracao por partes. Substituindo um dos modos
zeros (2.89), temos
E =1
2
!
dDx
""#a
"xl
#6
!"2
""#a
"xl
#
+ Uab
""#b
"xl
#7
=1
2
!
dDx
""#a
"xl
#8
!"
"xl
+
"2#a !"V (#)
"#a9 :; <
nulo
,=
= 0, (2.91)
37
Da primeira para a segunda linha, levamos em conta que em coordenadas cartesianas e valida a
relacao de comutacao, ["2, "/"xi] = 0. Como a contribuicao da perturbacao da energia e nula, (2.89)
sao os D modos zeros da teoria (2.80). Uma teoria de D campos escalares nao precisa ter a forma
padrao (2.80) para que tenha esses D modos zeros. Qualquer teoria com uma lagrangeana generica
L = L(#a, "µ#a) tem modos zeros dados por (2.89). Contudo, e muito importante salientar que nem
sempre esse modo zero e normalizavel. Por exemplo, para uma densidade de lagrangeana do tipo
L = !V (#)(1 ! "µ#"µ#)a, com a '= 1/2, introduzida em [47], a solucao # e uma e linha reta, logo
o modo zero e constante e por isso nao normalizavel. Para essa teoria o primeiro modo e um modo
positivo.
Os outros (N ! 1)*D modos sao encontrados da derivacao das outras (N ! 1)*D constantes de
integracao das solucoes das equacoes (2.81).
Em uma dimensao a equacao tipo Schrodinger e reescrita como
!d2&$
a
dx2+ Uab(x)&$
b = .2&$a . (2.92)
Como vimos anteriormente, diferente do caso de um campo escalar, a estabilidade de solucoes
topologicas nao esta assegurada. Isso pode ser explicado porque em um mesmo setor topologico, as
solucoes adquirem diversos valores de energia. Logo, as de maior energia decairao nas de menor.
Por exemplo, na figura 2.6, se a orbita AB superior tiver energia inferior as outras duas, elas terao
a tendencia em decair para ela. Outra maneira de uma configuracao topologica ser instavel e o
decaimento para um outro valor assintotico intermediario. Por exemplo, na figura 2.6, as orbitas AB
podem decair para duas orbitas AC e CB se a soma dessas duas energias for menor que a energia
original.
Em setores BPS, todas as solucoes tem a mesma energia, e isto e um indıcio de serem estaveis.
Vamos estudar a estabilidade de solucoes topologicas BPS que sao encontrar para potenciais do tipo
(2.68), derivados de uma funcao superpotencial W . A matrix hessiana Uab pode ser escrita da seguinte
forma
Uab(x) =
""2W
"#a"#c
#""2W
"#c"#b
#
+
""3W
"#a"#b"#c
#""W
"#c
#
. (2.93)
Para solucoes BPS que obedecam o conjunto de equacoes (2.71), podemos reescrever (2.92) como
"d
dx+ab +
"2W
"#a"#b
#"
!d
dx+bc +
"2W
"#b"#c
#
&$c = .2&$
a . (2.94)
Definimos os operadores diferenciais de primeira ordem,
Sab = !d
dx+ab +
"2W
"#a"#b. (2.95)
38
Lembrando que (d/dx)† = !d/dx escrevemos o seu hermitiano conjugado
S†ab =
d
dx+ab +
"2W
"#a"#b. (2.96)
Desta maneira, podemos reescrever (2.94) de uma forma compacta
Hab&$b = S†
abSbc&$c = .2&$
a . (2.97)
Multiplicando (2.97) a direita por &$"†a , obtemos
&$"†d S†
dbSbc&$c = .2&$"†
a &$a , (2.98a)
(Sbd&$"
d )†Sbc&$c = .2&$"†
a &$a . (2.98b)
Se definimos |na >= &$a , a funcao de onda normalizada para um dado .n. E assumindo que os estados
sao ortogonais,< na|mb >= 0, para n '= m, escrevemos a equacao acima como
.2n = < na|S†
baSbc|nc >, (2.99a)
.2n =
! #
"#dx |/a(x)|2, (2.99b)
onde /a = Sac|nc > . Concluımos entao que .2 % 0, logo nao existe modo negativo. O que significa que
as solucoes BPS sao estaveis sob pequenas perturbacoes dos campos, pois os modos menos energeticos
sao os modo zeros &0a com .0 = 0.
Exemplos
Vamos analisar os modelos com apenas um campo escalar #4 (2.38) e #3 (2.47), que suportam
configuracoes de kinks e lumps, respectivamente. Em modelos de um campo, a matriz hessiana Uab(x)
e simplesmente uma funcao escalar e a equacao de autovalores correspondente e uma equacao de
Schrodinger para uma funcao de onda escalar
!d2&
dx+ U(x)& = .2& (2.100)
O potencial #4 tem derivada segunda dada por
d2V
d#2= 2,
0
3#2 ! a21
. (2.101)
Para os pontos de maximo # = 0, U = !2,a2, logo esse ponto e instavel por apresentar modos
taquionicos, .2 < 0. Os pontos de mınimo sao estaveis visto que U = 4,a2.
39
Substituindo a solucao (2.42), encontramos o potencial quantico
U(x) = 2,a2+
2 ! 3 sech2(a(
, x),
, (2.102)
O potencial #3 tem derivada segunda dada por
d2V
d#2= 4,
"
1 !3#
a
#
. (2.103)
Substituindo (2.52), encontramos o potencial quantico
U(x) = 4,+
1 ! 3 sech2((
, x),
(2.104)
Ambos os potenciais estao incluıdos na classe do potencial de Poschl-Teller modificado sem estados
contınuos de reflexao, dado pela expressao U(x) = A ! B sech2(x), como podemos ver no apendice
A. O potencial (2.102) com os parametros , = a = 1, tem os parametros de Poschl-Teller dados por
A = 4 e B = 6. O espectro de energia dos estados ligados e portanto
)n = n(4 ! n) (2.105)
com n = 0, 1. Os valores deles sao )0 = 0 e )1 = 3. O modo zero e o modo de menor energia, portanto
o modelo #4 e estavel sob pequenas perturbacoes do campos.
Com a = , = 1 para o potencial #3, os parametros do potencial de Poschl-Teller e A = 4 e B = 12.
O espectro de energia e dada por
)n = (n ! 1)(5 ! n) (2.106)
com n = 0, 1, 2. Os valores deles sao )0 = !1, )1 = 0 e )2 = 3 O modo zero nao e o modo de menor
energia, portanto o modelo #3 nao e estavel sob pequenas perturbacoes.
Isso ja essa esperado, pois sabemos que para modelos com apenas um campo escalar real, a
estabilidade esta segurada por aspectos topologicos. Tambem vemos que o modo zero e a derivada da
solucao &0 = d#/dx. Para o kink, a derivada nao cruza o eixo x, mostrando ser o modo mais baixo.
Para o lump, a derivada cruza o eixo x, denunciando sua instabilidade.
2.3 Defeitos em Dimensao Espacial Arbitraria
Uma possıvel existencia de solucoes estaticas estaveis e de energia finita de teorias de campos
escalares em 3 dimensoes dadas por acoes do tipo (2.82) foi categoricamente descartada por Hobart
[51] e Derrick [52], no comeco dos anos sessenta. Atraves de argumentos bastante simples, ele provaram
que toda solucao dessa especie tem a tendencia a colapsar.
40
Teorema de Derrick
A energia associada a acao (2.82) e
E =
!
dDx
61
2("#a)
2 + V (#1, . . . , #N )
7
. (2.107)
exigimos que o potencial seja nao nulo no domınio da solucao, V (#1(x), . . . , #N (x)) % 0. Definimos
uma funcao E%, escrita como
E% =
!
dDx
61
2
+
"#%a
,2+ V (#%
1 , . . . , #%N )
7
(2.108)
onde #%a(%x) = #a(,%x) e a solucao contraıda (, > 1) ou dilatada (, < 1). Entao E% e a energia da
solucao reescalada. E obvio que E%|!=1= E. Esse tratamento e valido para , proximo a unidade.
Para escrevermos E% em termos de #, fazemos a seguinte modificacao %y = ,%x.
E% =
!dDy
,D
61
2,2 ("#a)
2 + V (#1, . . . , #N )
7
(2.109)
= ,2"DEG + ,"DEP (2.110)
onde EG e EP sao as porcoes gradiente e potencial da energia. E% deve ser minimizada para , = 1,
logo escrevemos"E%
",
>>>>%=1
= (2 ! D)EG ! DEP = 0 (2.111)
como EG e EP nao sao negativos, a identidade acima so pode ser obedecida em uma dimensao
(D = 1) ou em duas, neste ultimo caso apenas se EP for nula. Em uma dimensao, a expressao reduz a
equiparticao da energia EG = EP , que como ja vimos na secao (2.1) e uma condicao de pressao nula.
Para constatar que E% e mınimo, precisamos encontrar a segunda derivada de E%
"2E%
",2
>>>>%=1
= (2 ! D)(1 ! D)EG + D(1 + D)EP = 2(2 ! D)EG. (2.112)
Em D = 1, a expressao acima reduz-se a &E!&% |%=1 = E confirmando que para esse caso E, a solucao e
estavel sob contracoes e dilatacoes. A equacao (2.110) em D = 1 se escreve como E% = (E/2)(,+1/,),
esta funcao e vista na figura 2.8(a). Tambem mostramos nas figuras 2.8(b) e 2.8(c) o comportamento
qualitativo de E% = EG + Ep/,2 (D = 2) e E% = EG/, + Ep/,3 (D = 3).
Para verificar com mais detalhes esses resultados, repetimos esse metodo para uma densidade
de lagrangeana generica do tipo L = L(#a, "µ#a). Do tensor energia-momento, a energia e para
configuracoes estaticas, e
E = !!
dDxL(#a,"#a). (2.113)
41
1
E
&
(a) D = 1. Note que " = 1 e um
mınimo de energia.
1
E
&
EG
(b) D = 2. A solucao colapsa.
1
E
&
(c) D = 3. A solucao colapsa.
Figura 2.8: Perfil da energia de uma configuracao fısica em termos do parametro de deformacao ,. O
procedimento de Derrick e valido apenas para , proximo a unidade.
Definimos novamente E% e repetimos a modificacao x $ ,x, para obter
E% = !!
dDx ,"DL(#a, ,"#a). (2.114)
Exigimos novamente que a primeira derivada desta funcao em , = 1 seja nula para garantir a estabil-
idade por dilatacao
"E%
",
>>>>%=1
= !!
dDx
""L
"("#a)"#a ! DL
#
= !!
dDx$
i
!ii = !D p = 0, (2.115)
onde p e a pressao media da configuracao. Vemos entao que para qualquer teoria dada por L =
L(#a, "µ#a), a solucao sera estavel por reescala das coordenadas apenas se a pressao media for nula.
O argumento de Hobart
O trabalho de Hobart [51] e muito parecido com o de Derrick, foi feito exclusivamente no espaco
tridimensional para solucoes de um campo escalar com simetria esferica. Vamos manter a dependencia
radial, mas vamos generalizar para um numero de campos e dimensoes arbitrarias. Substituımos a
seguinte perturbacao
&a ="#a
"r(2.116)
na energia relacionada (2.90), de maneira que
E =1
2
!
dDx
""#a
"r
#6
!"2
""#a
"r
#
+ Uab
""#b
"r
#7
=1
2
!
dDx
""#a
"r
#8
!"
"r
+
"2#a !"V (#)
"#a9 :; <
nulo
,=
!1
2
!
dDx
""#a
"r
#6
"2,"
"r
7
#a (2.117)
42
Ao contrario de coordenadas cartesianas, o comutador acima nao e nulo, em D dimensoes para con-
figuracoes dependentes de r. Usamos o laplaceano em (A.4), de modo que
6
"2,"
"r
7
=
61
rD"1
d
dr
"
rD"1 d
dr
#
,d
dr
7
=D ! 1
r2
d
dr. (2.118)
Logo encontramos
E = !1
2
!
dDx
""#a
"r
#2
, (2.119a)
E = !"
D ! 1
2
#
#D
!
dr rD"3
""#a
"r
#2
, (2.119b)
onde #D e o fator da integracao angular dado em (A.6). A contribuicao para a energia da perturbacao
(2.116) e negativa, para D % 2, portanto a solucao e instavel sob essa perturbacao.
E importante notar que ambos argumentos sao do tipo no-go, que so provam a instabilidade das
solucoes de energia finita em D % 2.
43
Capıtulo 3
Novas Classes de Potenciais
Neste capıtulo investigamos novas classes de potenciais de campos escalares reais que foram in-
troduzidos durante o programa de doutorado. Na secao 3.1, introduzimos o modelo dependente de
um parametro ımpar denominado modelo p, a sua equacao de movimento possui solucoes estaticas do
tipo dois-kinks que sao caracterizados por terem densidade de energia localizada em dois pontos do
espaco. Na sequencia, introduzimos um modelo #4 que admite solucoes nao topologicas do tipo lump
que formam um plato bastante largo controlado por um parametro positivo. Por fim, investigamos
diversas generalizacoes do modelo de seno-Gordon para um e dois campos escalares reais.
3.1 Modelo p
Seja o seguinte modelo, introduzido em [53],
V (#) =,
2
"#
#0
#22"
#
#0
# 1p
!"
#
#0
#" 1p
32
, (3.1)
onde , e #0 tem dimensao de massa elevado a D e a (D ! 1)/2, respectivamente. Para facilitar a
interpretacao dos resultados, fazemos redefinicoes de modo que temos todas as variaveis do modelo
adimensionais. Fazendo V $ ,V, # $ #0# e x $ #0
(,x, obtemos o potencial
V (#) =1
2#2+
#1p ! #" 1
p
,2, (3.2)
onde p e um parametro inteiro ımpar. O caso especial p = 1 nos da o modelo #4 (2.38) com , = a = 1.
44
Este potencial e obtido do superpotencial
W (#) =#
1p+2
2 + 1p
!#" 1
p+2
2 ! 1p
. (3.3)
O potencial p pode ser obtido por uma deformacao do potencial #4 (2.38), para , = a = 1, atraves
da funcao deformadora f(#) = tanh(p arctanh(#1p )),
V (#) =12
0
1 ! f(#)212
"df(#)
d#
#2 =12
0
1 ! tanh(p arctanh(#1/p))212
.0
1 ! tanh(p arctanh(#1/p))21
#1/p"1
1 ! #2/p
/2 =1
2#2+
#1p ! #" 1
p
,2. (3.4)
Para p = 1, o maximo do potencial e o ponto # = 0. Para p '= 1, os dois maximos simetricos sao
#max = ±((p ! 1)/(p + 1))p/2. Os mınimos do potencial sao # + (!1, 1) para p = 1 e # + (!1, 0, 1)
para p '= 1. O mınimo # = 0 tem segunda derivada do potencial divergente
d2V
d#2
>>>>#=0
$ &. (3.5)
Por causa disso, esse ponto nao e um bom estado fundamental perturbativo. Consequentemente, pode
nao haver solucao tipo kink que tenha valor assintotico para esse mınimo. Portanto, o setor topologico
pode conectar dois mınimos nao consecutivos, # = !1 e # = +1. Podemos ver isso explicitamente
observando as solucoes deste modelo
#(x) = ± tanh
"x
p
#p
. (3.6)
E o primeiro potencial na literatura com esta caracterıstica. Escolhemos x = 0 como o ponto onde a
solucao cruza o mınimo # = 0, para p '= 1. Nesse caso, temos solucoes tipo dois-kinks, como vemos
na figura 3.1(b). Vemos que as solucoes para p = 3, 5, . . . conectam os mınimos !1 e +1, passando
por # = 0 com derivada nula. Essa e uma solucao do tipo dois-kinks autentica, pois ela e composta
por dois kinks com derivadas nulas nos seus extremos. Esses dois kinks estao separados por uma
distancia proporcional a p, o parametro que especifica o potencial. Ao contrario da solucao tipo kink
onde o centro esta localizado em um ponto do espaco, para uma solucao tipo dois-kinks, o centro
esta localizado em dois pontos do espaco (centro dos dois kinks). Tambem vemos isso observando a
densidade de energia que e dada por
' = sech
"x
p
#4
tanh
"x
p
#2p"2
. (3.7)
45
A energia esta localizada em dois pontos do espaco. O perfil da densidade de energia e mostrado na
figura 3.1(c). Note que a funcao se anula no centro do defeito e tem dois pontos de maximos simetricos
x± = ±p arcsech
-
2
p + 1, (3.8)
mostrando que a solucao dois-kinks possui estrutura interna. E interessante notar que comportamento
desse tipo foi encontrado recentemente em sistemas magneticos [54] quando vinculamos a geometria
de certo material (Fe20Ni80 de tamanho tıpico de 2nm) de uma maneira especıfica.
Esse perfil de energia e muito parecido com o de um lump, a diferenca e que aquela solucao nao e
topologica e instavel. As solucoes (3.7) sao topologicas com a estabilidade assegurada. As configuracoes
tipo dois-kinks foram estudadas por Christ e Lee na referencia [55] no contexto de modelos de sacolas
unidimensionais em teoria de hadrons. Os dois kinks modelam um par de quarks. O modelo escolhido
pelos autores nao representa rigorosamente dois kinks. A densidade de energia nao se anula entre um
kink e outro. No modelo p, o valor de '(0) e nulo, para p '= 1.
1
!
V( )!
-1
(a) Perfil do potencial. O setor
topologico conecta os mınimos nao
consecutivos !1 e 1.
(b) Perfil da solucao tipo dois-kinks.
O valor da inclinacao em ! = 0 e
nula.
'( )x
(c) Perfil da densidade de energia.
A energia esta localizada em dois
pontos do espaco, simetricos
Figura 3.1: Potencial, solucao tipo dois-kinks e densidade de energia para o modelo p. As curvas
solida e tracejada correspondem a p = 3 e p = 5, respectivamente.
O valor da energia para um p arbitrario e
Ep =4p
4p2 ! 1. (3.9)
Para p '= 1, a segunda derivada do potencial e 4/p2 nos mınimos ±1. Os maximos tem segunda
derivada !2/p2 ((p ! 1)/(p + 1))p/2. E para o mınimo central # = 0 e divergente, como ja vimos. Para
verificar com detalhes as excitacoes da solucao dois-kinks, encontramos o potencial quantico (2.84)
U(x) =
"
1 +1
p
#"
1 +2
p
#
tanh2
"x
p
#
+
"
1 !1
p
#"
1 !2
p
#
tanh"2
"x
p
#
! 2. (3.10)
46
O modo zero e
&0 = ±cp sech2
"x
p
#
tanhp"1
"x
p
#
, (3.11)
onde cp e a constante de normalizacao dada por cp =&
(4p2 ! 1)/(4p). Para p '= 1, o potencial
quantico e divergnte para # = 0. Por causa disso, o espectro contınuo tem reflexao total. Isso e o
contrario do comportamento do modelo #4, onde o potencial quantico nao tem reflexao.
Esse modelo foi recentemente aplicado por D. Bazeia, C. Furtado e A. R. Gomes [56] no contexto de
branas. Ele foi utilizado para encontrar branas espessas com estrutura externa. Sua grande virtude
e que simplifica muito o modelo considerado por A. Campos [57] que acoplou um campo escalar
complexo com a gravidade em temperatura finita.
3.2 Modelo de Lump Generalizado
Uma solucao do tipo kink, como ja foi visto, pode conectar dois pontos de mınimo. Se um desses
pontos, ao inves de ter valor nulo assumir valor negativo - veja a figura 3.2(a) - nao havera solucao
tipo kink, pois o ponto de retorno da solucao nao mais sera esse mınimo. O que se obtem agora e
uma solucao do tipo lump. Quanto menor for esse desnıvel mais largo sera lump, formando assim um
plato em certa regiao do espaco. Para isso introduziremos um modelo com essas caracterısticas dado
pelo seguinte potencial
V (#) = 2#2 (# ! #0 tanh(a)) (# ! #0 coth(a)) , (3.12)
onde #0 e um parametro positivo com a mesma dimensao do campo e a e um parametro real adimen-
sional. Escolhemos #0 = 1. Fixamos a a valores positivos, pois a transformacao a $ !a apenas reflete
o potencial no eixo #. O perfil do potencial e mostrado na figura 3.2(a)
Esse potencial pode ser encontrado pela deformacao da teoria #3 (3.20) com a funcao deformadora
f(#) =sech2(a)#
tanh(a)(1 ! tanh(a)#). (3.13)
No limite a $ &,
lima$#
tanh(a) = lima$#
coth(a) = 1. (3.14)
Logo, o modelo se reduz ao ,#4 que suporta apenas solucoes localizadas do tipo kink. Depois da
redefinicao # = (- + 1)/2, vemos claramente
V (-) =1
8
0
-2 ! 112
. (3.15)
47
A equacao de movimento para as solucao estatica e dado por
d2#
dx2= 4
4
2#2 ! 3 coth(2a)# + 15
#. (3.16)
Esta equacao tem 3 solucoes constantes
#0 = 0, (3.17a)
#max =3 coth(2a) !
?
9 coth2(2a) ! 8
4, (3.17b)
#min =3 coth(2a) +
?
9 coth2(2a) ! 8
4. (3.17c)
O primeiro ponto e um mınimo fixo, com valor de potencial nulo e concavidade positiva 2. Os dois
outros dependem do parametro a e no limite a $ &, #max e #min tendem a 1/2 e a 1, respectivamente.
O valor do potencial do ponto de maximo #max e positivo para qualquer valor de a. O valor do potencial
para o ponto de mınimo #min e sempre negativo e vai assintoticamente para o zero. Isso significa que
o potencial obrigatoriamente corta o zero entre o ponto de maximo e de mınimo. Logo, sempre exitira
uma solucao nao topologica, tipo lump, que sai do mınimo em e volta para ele, ao ter passado pelo
segundo zero do potencial #back = tanh(a).
A solucao lump centrada em x = 0 e
#(x) =1
2[tanh(x + a) ! tanh(x ! a)] , (3.18)
que e basicamente a subtracao de dois kinks centrados em !a e +a ou a soma centrado em !a e um
antikink centrado em +a. O maximo do lump e #back em x = 0, com #(0) = tanh(a). Quanto maior
for o valor do parametro a, mais esse maximo se aproxima da unidade. Reescrevemos a solucao com
a seguinte expressao
# =b sech(x)2
1 ! b2 tanh(x)2, (3.19)
onde b = tanh(a). Para a muito pequeno, a solucao se reduz a # = a sech(x)2, que e a solucao do
modelo #3 (2.47), com , = 1,
V (#) = 2#2
"
1 !#
a
#
. (3.20)
Continuando, vemos do perfil dos graficos que quanto maior for o valor de a maior sera a largura
do plato da solucao. A densidade de energia estara localizada em dois pontos !a e +a e dependendo
do valor de a temos dois morros desconectados. A expressao da densidade e
' =1
4
4
tanh2(x + a) ! tanh2(x ! a)52
(3.21)
48
1
!
V( )!
(a) Perfil do potencial para tres val-
ores de a. De baixo para cima
a = 0.75, a = 1, a = 5. Note que
para o valor a = 5, o valor do se-
gundo ponto de mınimo e negativo.
So sera nulo no limite a " #.
1
-10 10
(b) Perfil das solucoes tipo lump
para o parametro a assumindo os
valores 0.75, 1 e 5, respectivamente
para as curvas cheia, tracejada, e
ponto-tracejada.
1
-15 15
(c) Perfil das solucoes tipo lump
para o parametro a assumindo os
valores a = 4, a = 6, a = 8, a = 10 e
a = 12, do lump mais estreito para
o mais largo.
Figura 3.2: Potencial e solucao para o modelo (3.12).
e a energia
E = 2
"! #
"#dy
1
4sech(y)4
#
! 2
"! #
"#dy
1
4sech(y ! a)2sech(y + a)2
#
. (3.22)
A primeira integral independe de a e e igual a soma das energias do par kink-antikink calculadas
isoladamente. O segundo termo e dependente de a e e sempre menor que a primeira integral, tendo
este valor com a = 0, e se tornando pequeno para a grande. Calculando as integrais, temos
E =2
3! 4cossech2(2a)
62a ! 1
2+ ae"2acossech(2a)
7
. (3.23)
Para a = 0, a energia se anula. Para a muito grande, a energia adquire o valor assintotico 2/3 que e
a energia de cada kink.
Agora investigamos a estabilidade linear da solucao. Para isso, encontramos a segunda derivada
do potencial"2V
"#2= 4(6#2 ! 6 coth(2a)# + 1). (3.24)
Substituindo o valor da solucao, obtemos o potencial (2.84) da equacao de Schordinger,
U(x) =4b2sech(x)2
4
9 sech(x)2 ! 5 + 4 sech(x)2 b25
! 12sech(x)2 + 4
(1 ! b2 tanh(x)2)2. (3.25)
O modo translacional e dada por
&0 =1
2
4
tanh2(x + a) ! tanh2(x ! a)5
. (3.26)
49
Essa solucao e a subtracao de dois modos zeros do modelos #4. O modo zero no modelo #4 e o modo
de energia mais baixa. Contudo esse modo zero (3.26) cruza o zero no ponto x = 0 e portanto temos
um modo negativo de menor energia. O lump entao e instavel, como esperavamos. Se entendermos o
lump como um par kink-antikink, poderemos interpretar esta instabilidade devido a forca de atracao
entre eles. Quanto menor a distancia entre eles menor a energia da configuracao, logo ha um forca
+F = !+E+x. Essa forca e pequena para uma separacao muito grande e cresce quando esses kinks se
aproximam.
Para a pequeno, o modo negativo e facil de ser encontrado. Como foi visto em [58], .2 = !5
com o modo &"1(x) =&
15/16 sech3(x). No limite a $ & a solucao se torna # = 1, e nao ha modo
negativo. Entao estimamos que para um valor arbitrario de a, o autovalor negativo estara no intervalo
.2 + (!5, 0).
1
a
2/3
E
(a) Energia do lump largo em
funcao do parametro a. A energia
vai para o valor 2/3 quando os dois
kinks com energia 1/3 estao separa-
dos por uma grande distancia.
4
x
-15 -15
U(x)
(b) Potencial quantico (3.25) para a,
0.5, 1.5 e 5, respectivamente para
as linhas cheia, tracejada e ponto-
tracejada.
Figura 3.3: Energia do lump largo e seu potencial quantico.
3.3 Modelo Seno-Gordon Generalizado
A teoria de seno-Gordon foi introduzida por Rubistein[60], como uma extensao relativıstica da equacao
de KdV possuindo solucoes estaticas tipo kink e solucoes dependentes do tempo do tipo multisolitons.
Este modelo foi investigado em diversos contextos como por exemplo nas referencias [61, 62, 63], onde
foram investigados configuracoes tipo kink no 3He superfluido e em certas cadeias de polımeros.
O potencial do modelo seno-Gordon e
V =1
2,2 cos2(v#), (3.27)
50
onde v e , sao parametros reais. O potencial tem um numero infinito de mınimos # = k $/v, onde k
e um numero inteiro. Consequentemente, ha um numero infinito de setores topologicos. As solucoes
kink e antikink sao dadas por
#(x) = ±1
varcsin
4
tanh(,vx)5
+ k$. (3.28)
A energia de cada solucao e dada por E = 2|,/v|.
3.3.1 Seno-Gordon Duplo
Construımos uma outra classe de modelos com infinitos mınimos, onde os setores topologicos
nao sao todos equivalentes. Um exemplo interessante e o seno-Gordon duplo definido pelo seguinte
potencial,
V =,2
202v2
4
cos2(v#) ! 02 sin2(v#)52
(3.29)
onde v, 0 e , sao parametros reais. Este modelo tem duas classes distintas de setores topologicos.
Podemos obter este potencial usando o procedimento de deformacao visto na secao 2.1.4. Do modelo
#4, aplicando a funcao deformadora f1(#) = 0 tan(v#) ou f2(#) = 1" tan(v# ! $/2), encontramos o
potencial (3.29). O uso do metodo da deformacao, visto no capıtulo anterior,leva as seguintes solucoes
#1(x) = ±1
varctan
"1
0tanh(,x)
#
+n$
v, (3.30a)
#2(x) = )1
varctan (0 tanh(,x)) +
(2n + 1)$
2v, (3.30b)
respectivamente para a funcao f1 e f2. Estas solucoes representam kinks grandes e pequenos. A
novidade aqui e que encontramos essas solucoes, usando o procedimento de deformacao. Na figura
3.4, mostramos o comportamento do potencial (3.29) em termos do parametro 0. Vemos os setores
topologicos correspondentes as solucoes #1(x) e #2(x).
O potencial (3.29) nao muda o comportamento de maneira qualitativa quando , e v variam, para
0 = 1. Entao, concentramos nossa atencao apenas no parametro 0. Escrevemos o potencial na forma
Vr(#) =1
r + 1
4
4 r cos(#) + cos(2#)5
, (3.31)
onde r e um parametro real e positivo. Este potencial tem periodicidade 2$, e por simplicidade vamos
considerar o intervalo !2$ < # < 2$. O valor r = 1 distingue duas regioes: i) a regiao r + (0, 1) onde
o potencial tem quatro mınimos, ii) a regiao r % 1, onde o potencial contem dois mınimos.
51
!
V( )!
!1
!2
!2
(a) Potencial para # = 1 (linha
tracejada), # = 1.5 (linha ponto-
tracejada), e # = 2 (linha cheia).
!
V( )!
!1
!2
!2
(b) Para # = 1 (linha pontilhada),
# = 0.75 (linha ponto-tracejada), e
# = 0.50 (linha cheia).
Figura 3.4: Perfil do potencial para o modelo de seno-Gordon duplo para , = v = 1.
Para r + (0, 1) o sistema suporta dois tipos de configuracoes do tipo kink (os kinks grande e
pequeno). Os limites r $ 0 e r $ & leva ao modelo de seno-Gordon, com perıodos $ e 2$, respecti-
vamente.
Reescrevemos o potencial (3.31) na forma
Vr(#) =2
1 + r[cos(#) + r ]2, (3.32)
onde omitimos uma constante dependente de r sem importancia. Este potencial e um caso particular
do potencial (3.29), com 0 =&
(1 ! r)/(1 + r), v = 1/2, e , =(
1 ! r.
Para r no intervalo r + (0, 1), os quatro mınimos do potencial sao, para !2$ < # < 2$, # =
±$ ± 0(r), onde 0(r) = arccos(r). Para r % 1 os mınimos sao # = ±$, no intervalo !2$ < # < 2$.
Uma observacao mais detalhada mostra que para 0 < r < 1 os maximos locais ±$ e os mınimos
±$ ± 0(r) degeneram no mınimo ±$ para r = 1, e permanecem la para r > 1. Entao, o parametro r
induz uma transicao no comportamento do modelo de seno-Gordon duplo.
A escolha r = 1 e um valor crıtico. Para r + (0, 1) este modelo suporta mınimos que nao aparecem
para r % 1. O perfil do potencial e mostrado na figura 3.5(a) para r = 1/3, 2/3 e 1. E interessante ver
que o modelo mapeia solitons em sistemas uniaxiais [71]. O modelo mapeia as fases antiferromagnetica,
cantada e ferromagnetica fraca. Em particular, na fase cantada existem dois diferentes tipos de paredes
de domınio conectando mınimos entre duas diferentes barreiras, da mesma maneira que vimos no
modelo acima.
Para ter uma visao melhor do modelo de seno-Gordon duplo, examinamos o parametro de ordem
#(r), que e dado por ±$ ± 0(r) para 0 < r , 1, que vai para ±$ quando r % 1. Tambem, obtemos
52
intensidade da concavidade dos mınimos, que e a massa (ao quadrado) associada ao vacuo da teoria
m2(r) = 4 ! 4r, para 0 < r , 1,
m2(r) = 4(r ! 1)/(r + 1), para r % 1,
(3.33)
A massa m(r) se anula no limite r $ 1. Este resultado indica que r modela uma transicao de fase
de segunda ordem, uma transicao onde o sistema vai de um caso com duas fases diferentes para um
outro com apenas uma fase, ilustramos isso nas figuras 3.5(b) e 3.5(c).
V( )!
!
(a) Perfil do potencial. As curvas
ponto-trecejada, pontilhada e cheia
para r = 1/3 , r = 2/3 e r = 1 ,
respectivamente.
4
1 r
!(r)
(b) Perfil dos mınimos !(r) em
funcao parametro r. Ha transicao
de fase para r = 1.
4
1 r
m (r)2
(c) Perfil da massa m2(r) em
funcao do parametro r. Ela vai a
zero em r = 1.
Figura 3.5: Perfil do potencial para o modelo de seno-Gordon duplo e o perfil dos valores dos mınimos
do potencial e da massa em funcao de r.
Vamos primeiro considerar o regime 0 < r , 1. A energia das solucoes que conectam os mınimos
!$ + 0(r) e $ ! 0(r) (kink grande) e
Eg = 4(
1 ! r + 4r$ ! 0(r)(
1 + r. (3.34)
A energia das solucoes que conectam os mınimos $ ! 0(r) e $ + 0(r) (kink pequeno) e
Ep = 4(
1 ! r ! 4r0(r)(1 + r
. (3.35)
As energias se relacionam por Eg = Ep + 4$r/(
1 + r, e o limite r $ 1 faz Eg $ 2(
2$ e Ep $ 0,
como esperado. As solucoes associadas a esses setores sao
#g(x) = ±2 arctan
2-
1 + r
1 ! rtanh
0(1 ! r x
1
3
, (3.36a)
#s(x) = ±$ ! 2 arctan
2-
1 ! r
1 + rtanh
0(1 ! r x
1
3
. (3.36b)
53
O caso r > 1 e diferente. Os mınimos agora estao em ±$ e o modelo e similar ao modelo de seno-
Gordon padrao. Contudo nao conseguimos encontrar uma solucao analıtica neste caso embora seja
possıvel resolver numericamente.
3.3.2 Generalizacao para Dois Campos Escalares
Estendemos a ideia do modelo de seno-Gordon onde o potencial tem um numero infinito de
mınimos, construindo um potencial de dois campos. Com base na referencia [64], escolhemos um
potencial derivado de um superpotencial, pois modelos desse tipo suportam solucoes BPS. Assim
temos equacoes de primeira ordem que facilitam a resolucao do problema. A funcao superpotencial e
dada por
W (#, -) = &4
r# + sen(#) cos(p -)5
, (3.37)
onde p, r e & sao parametros reais e positivos. O potencial associado a este superpotencial e dado por
V (#, -) =1
2
""W
"#
#2
+1
2
""W
"-
#2
, (3.38)
logo
V (#, -) =1
2&2@4
r + cos(#) cos(p -)52
+ p2sen2(#)sen2(p -)A
. (3.39)
O caso p = 1 leva a modelos com campos escalares simples com uma rotacao de $/2 no plano (#, -),
por isso investigaremos apenas o caso p '= 1. As equacoes de movimento desta teoria sao
d2#
dx2=
1
2&2 sen(#)
4
p2 cos(#) sin2(p -) ! p2 cos(-)[r + cos(p #) cos(-)]5
, (3.40a)
d2-
dx2=
1
2&2 p sen(p -)
4
p2 cos(p -) sin2(#) ! cos(#)[r + cos(#) cos(p -)]5
. (3.40b)
Consideramos tres fases distintas: r = 0, 0 < r < 1 e r % 1. A fase 1 e a fase 3 descrevem dois modelos
de seno-Gordon acoplados. A fase 2 descreve dois modelos de seno-Gordon duplos acoplados.
Fase 1
A primeira fase corresponde a r = 0. Neste caso, o potencial pode ser reescrito para esse caso
V (#, -) =1
2&24
cos(#)2 cos(p -)2 + p2sen2(#)sen2(p -)5
. (3.41)
54
Os mınimos deste potencial sao
vn,m =
"2n + 1
2$ , m
$
p
#
e wn,m =
"
n $ ,2m + 1
2
$
p
#
, (3.42)
onde m e n sao inteiros. Esses mınimos estao distribuıdos no espaco dos campos como vemos na
figura 3.6(a). Os mınimos v sao representados por cırculos e os w por losangos. Existem tres tipos
de setores topologicos BPS: i) setores horizontais que conectam os mınimos circulares, com energia
de Bolgomol’nyi EB = 2&; ii) setores verticais que conectam os mınimos circulares, com EB = 2&;
iii) setores diagonais conectando mınimos circulares a losangico, com EB = &. Os setores topologicos
entre os mınimos losangicos nao sao BPS.
φ
pχ
-π 2π-2π
-π
-2π
2π
π
π
(a) Distribuicao dos mınimos para
a fase 1. Os mınimos v sao rep-
resentados por cırculos e os w por
losangos.
φ
pχ
−π 2π−2π
−π
−2π
2π
π
π
(b) Distribuicao dos mınimos para
a fase 2. Os mınimos v sao rep-
resentados por cırculos e os w por
losangos.
φ
pχ
−2π 4π−4π
−2π
−4π
4π
2π
2π
(c) Distribuicao dos mınimos para
a fase 3. Note que os pontos estao
dispostos de 0 a 4$, ao contrario dos
outros.
Figura 3.6: Perfil da distribuicao dos mınimos no espaco dos campos, para as tres fases do modelo
(3.39).
Os setores BPS tem solucoes das seguintes equacoes de primeira ordem
d#
dx= & cos(#) cos(p -), (3.43a)
d-
dx= !& p sen(#)sen(p -). (3.43b)
Desse sistema de equacoes, podemos escrever
d-
d#= !p tan(#) tan(p-). (3.44)
Essa equacao pode ser integrada apos encontrarmos o fator integrante sin"'(p -) , com 1 = 1 + 1/p2,
e isto determina todas as orbitas que conectam os setores topologicos atraves da famılia de curvas
cos(#) =C
psen'"1(p -), (3.45)
55
onde C e uma constante de integracao real que rotula cada orbita. Na figura 3.7, estao desenhadas
algumas orbitas da famılia (3.45). O valor crıtico e C = p. Para 0 , C < p, as orbitas conectam
os mınimos circulares horizontalmente. A orbita de valor crıtico C = p conecta os mınimos diagonal-
mente. E para p < C , &, os mınimos horizontais circulares sao conectados. Usando a curva (3.45),
as equacoes BPS (3.43) desacoplam e podem ser reescritas como
d#
dx= & cos(#)
4
1 ! D2! cos2!(#)5 1
2 , (3.46a)
d-
dx= !& p sin(p -)
4
1 ! E2/! sen2/!(p -)5 1
2 (3.46b)
onde D = 1/Cp, E = C2/p2, e ( = p2. De maneira geral, nao podemos obter solucoes analıticas para
as equacoes (3.46). Por essa razao, mostramos na figura 3.8 o resultado numerico das solucoes para
cada tipo de orbita. Estudamos as solucoes em ordem crescente de C.c
C
cc0 0
pχ
φ
Figura 3.7: Orbitas para fase 1 do modelo (3.39) dadas por: 0 , C < p (linha ponto-tracejada), C = p
(linha cheia), e p < C , & (linha tracejada).
Primeiro para C = 0, as orbitas sao linhas retas verticais na figura 3.7. Temos a solucao constante
# = (2k +1)$/2. O potencial efetivo para o campo - e V = 1/2&2 p2 sen2(p -). O conjunto de solucoes
topologicas e
#(x) = (2k + 1)$
2, (3.47a)
-(x) = ±1
parccos(± tanh(& p2x)) + k
$
p, (3.47b)
onde k e um inteiro. Na figura 3.8, mostramos os perfis das solucoes numericas para 0 , C < p,
C = p, e p < C < &. No ultimo caso C $ &, temos as orbitas retas horizontais, com solucoes dadas
por
-(x) = k$
p, (3.48a)
#(x) = ±arcsen(tanh(& x)) + k$. (3.48b)
56
!(x)
x
*(x)
+,p
(a) Solucoes numericas para 0 $
C < p.
φ(x)
x
χ(x)π/2p
π/2
(b) Solucoes numericas para C = p.
φ(x)
χ(x)
x
- /π 2
π/2
(c) Solucoes numericas para p <
C < #.
Figura 3.8: Perfis de algumas solucoes numericas da fase 1 do modelo (3.39).
Fase 2
O conjunto de mınimos para a segunda fase e mais complexo e e dado por
vn,m =
"
±(1 + (!1)m)(
2 ! 0
p+ 2n$, m
$
p
#
e wn,m =
"
n $ , ±(1 + (!1)n)(
2 ! 0
p+ 2m
$
p
#
,
(3.49)
com 0 = arccos(r). Os parametros m e n sao inteiros. Os mınimos estao distribuıdos no espaco
dos campos na figura 3.6(b). E novamente, os mınimos v sao representados por cırculos e os w por
losangos.
A estrutura dos setores topologicos agora e mais complicada do que na primeira fase: i e ii) Existem
dois tipos de setores entre os vacuos circulares horizontais consecutivos com energias de Bogomol’nyi
diferentes EB = 2&|0r ! sen(0)| e EB = 2&|($ ! 0)r + sen(0)|; iii) Existe um setor entre mınimos
circulares nao horizontais com EB = &$; iv e v) Existem dois tipos de setores entre um mınimos circular
e um losangico, o menor tem energia EB = &|0r! sen(0)|, e o outro EB = &|($!0)r + sen(0)|. Esses
setores tem solucoes das seguintes equacoes de primeira ordem
d#
dx= &
4
r + cos(#) cos(p -)5
, (3.50a)
d-
dx= !& p sin(#) sin(p -). (3.50b)
Esse sistema tem o mesmo fator integrante do da primeira fase. Logo a equacao das orbitas que
conectam os mınimos dos setores topologicos e
cos(#) = F (-) =1
psin'"1(p -)
6
C + r
!
sin"'(p -) d-
7
, (3.51)
57
onde C e um constante de integracao real. Ao contrario da primeira fase, nem sempre e possıvel
encontrar para qualquer p a famılia de orbita em termos de funcoes analıticas conhecidas.
Para qualquer p, sempre teremos dois valores crıticos para C, que nao podem ser encontrados
analiticamente. Por exemplo, para p = 1/2 e r = 1/2, os valores crıticos sao C1 - !2,734 e C2 - 2,734.
Na figura 3.6, e mostrado o perfil das orbitas (3.51). As orbitas com !& , C < C1 e C2 < C , &
mapeiam as solucoes dos setores i e ii. Os valores crıticos C = C2 e C = C3 mapeaim os setores iv e
v, respectivamente. Finalmente, as orbitas C1 < C < C2 mapeaim as do setor do tipo iii.
Figura 3.9: Perfil das orbitas para a fase 3: !& < C < C1 (linha ponto-tracejada), C = C1 (linha
cheia entre a linha ponto-tracejada e a linha pontilhada), C1 < C < C2 (linha pontilhada), C = C2
(linha cheia entre a linha pontilhada e tracejada) C2 < C < & (linha tracejada).
Usando a curva (3.51), a equacao BPS (3.50b) e desacoplada e podemos reescrever, para C finito,
na formad-
dx= !& p sen(p -)
4
1 ! F 2(-)5 1
2 . (3.52)
Nao podemos obter solucoes explıcitas para p e r arbitrarios. Aqui estudaremos solucoes para o
campos - constante para C $ !& e C $ &. Para p- = k$, a equacao BPS para (3.50a) e
d#
dx= & [r ± cos(#)] . (3.53)
Essa equacao pode ser derivada dos potenciais efetivos
V± =1
2&2 [r ± cos(#)]2 . (3.54)
Esse potenciais podem ser obtidos do modelo de seno-Gordo duplo (3.29) comparando os parametros
, = &/2(
1 ! r2, v = 1/2, e 0 =&
(1 ! r)/(1 + r) ou&
(1 + r)/(1 ! r), para V+ ou V", respectiva-
58
mente. Para o potencial V+ as solucoes sao
#(x) = (2n + 1)$ ± 2 arctan
2-
1 ! r
1 + rtanh
+&
2
&
1 ! r2 x,3
, -(x) = 2n$
p(3.55a)
e
#(x) = 2n$ ± 2 arctan
2-
1 + r
1 ! rtanh
+&
2
&
1 ! r2 x,3
, -(x) = 2n$
p. (3.55b)
E para V", temos
#(x) = 2n$ ± 2 arctan
2-
1 ! r
1 + rtanh
+&
2
&
1 ! r2 x,3
, -(x) = (2n + 1)$
p(3.56a)
e
#(x) = (2n + 1)$ ± 2 arctan
2-
1 + r
1 ! rtanh
+&
2
&
1 ! r2 x,3
, -(x) = (2n + 1)$
p. (3.56b)
Fase 3
A terceira fase com r % 1 tem um conjunto de mınimos nos pontos
un,m =
"
2n $ , (2m + 1)$
p
#
e vn,m =
"
(2n + 1)$ , 2m$
p
#
. (3.57)
Na figura 3.6(c), mostramos esses mınimos no plano dos campos (#, p -). Aqui, as equacoes de
primeira ordem sao (3.50). Entao as orbitas sao descritas por (3.51). Ha dois tipos de setores BPS: i)
O primeiro conecta pares de mınimos adjacentes horizontais com energia de Bolgomol’nyi , EB = 2$&r;
ii) conecta os mınimos adjacentes diagonais com energia EB = $&r.
Nao podemos encontrar solucoes gerais para qualquer orbita. Para o caso especifico C = &, temos
a orbita reta que conecta dois mınimos horizontais adjacentes, cujas solucoes sao
#(x) = k$ ± 2 arctan
2B
r + (!1)k
r ! (!1)ktanh
+&
2
&
r2 ! 1 x,3
, -(x) = k$
p. (3.58)
Particularmente, para r = 1 as solucoes tomam a forma
#(x) = ±2 arctan (&x) + k$, -(x) = 2n$
p(3.59a)
ou
#(x) = ±2 arccot (&x) + k$, -(x) = (2n + 1)$
p. (3.59b)
59
3.3.3 Comentarios Gerais
Na subsecao anterior, investigamos apenas as solucoes BPS do potencial de seno-Gordon com dois
campos acoplados, fazendo uso das equacoes de primeira ordem (3.50).
Tambem poderıamos ter encontrados as solucoes nao BPS do conjunto de equacoes (3.40), contudo
nao faremos isso aqui. Algumas dessas solucoes foram encontradas por na referencia [64]. As equacoes
de movimento (3.40) para r = 0 podem ser escritas da seguinte maneira
d2#
dx2=
1
2&281
2(1 ! p2)sen(2#) !
1
2(1 + p2)sen(2#) cos(2p -)
=
(3.60a)
d2-
dx2=
1
2&281
2(1 ! p2)sen(2p -) !
1
2(1 + p2)sen(2p -) cos(2 #)
=
(3.60b)
Estas equacoes sao muito parecidas com as do modelo de rotores que descreve estados abertos na
molecula do Acido Desoxirribonucleico (DNA) em [65, 66],
"1 ! D2
C0
#d2u
d/2=
1
l2sin(u) +
2
d2sen
"1
2u
#
cos
"1
2v
#
"1 ! D2
C0
#d2v
d/2=
Q
l2sin(v) +
2
d2sen
"1
2v
#
cos
"1
2u
#
com u = 2 + 2% e v = 2!2%, onde D, C0, l, Q e d sao constantes fısicas, e 2 e 2% descreve angulos de
dois rotores acoplados que determinam varios nıveis de ressonancia do modelo. Entao podemos usar
o potencial (3.41) como alternativa ao modelo do DNA.
Uma outra aplicacao do modelo de seno-Gordon com dois campos acoplados e no contexto de
cosmologia em modelo de desvalorizacao do valor da constante cosmologica [67, 68]. Neste modelo o
valor pequeno da constante cosmologica e causado atraves de um mecanismo dinamico de um modelo
seno-Gordon com um campo. A generalizacao para dois campo poderia ser dada por um modelo
similar ao que acabamos de investigar.
60
Capıtulo 4
Defeitos em Acoes Modificadas
Neste capıtulo, investigamos modelos em teoria de campos cujas densidades de lagrangeana se
diferem da acao padrao estudada no capıtulo 2. As modificacoes sao motivadas por razoes fısicas
explicitadas em cada um dos casos. Na secao 4.1, investigamos uma teoria que depende explicitamente
da posicao %x, de modo a admitir solucoes D-dimensionais estaveis. Na secao 4.2, estudamos a teoria
(2.62), incluindo termos com violacao explicita da simetria de Lorentz. Observamos que essas teorias
ainda preservam a propriedade de suportar solucoes localizadas. Na secao 4.3, fazemos modificacoes
na acao de uma teoria taquionica com a finalidade de encontrar solucoes com energia localizada,
regularizando os defeitos singulares introduzidos por Sen[88]. Finalmente na secao 4.4, estudamos
modelos generalizadas, com lagrangeana L(#, X), onde X = (1/2)"µ#"µ#. Investigamos as solucoes
estaticas e sua estabilidade de maneira formal.
4.1 Defeitos Globais para Modelos Explicitamente Dependentes da
Posicao
Na secao 2.3, utilizando os argumentos de Derrick e Hobart, vimos que para que uma teoria
em D dimensoes dada pela densidade de lagrangeana L(#a, "µ#a) seja estavel, e preciso que a soma
das pressoes em todas as direcoes seja nula. Esta exigencia e impossıvel para um objeto extenso
derivado de uma teoria de campos com apenas campos escalares. Existem diversas maneiras de evadir
essa exigencia. Aqui, com base na referencia [53], acrescentamos termos a densidade de lagrangeana
61
padrao que dependem explicitamente das coordenadas espaciais. De modo geral escrevemos
L = L(#a, "µ#a, %x). (4.1)
Refazemos o procedimento de Derrick feito na secao 2.3. A energia de uma configuracao estatica e
dada por
E = !!
dDxL(#a,"#a, %x). (4.2)
Definimos novamente o funcional E% e repetimos a modificacao %x $ ,"1%x para obter
E% = !!
dDx ,"DL(#a, ,"#a, ,"1%x). (4.3)
A condicao de minimizacao para , = 1 nos leva a
"L"("#a)
"#a ! DL!"L"xi
xi = 0, (4.4)
que pode ser reescrito na forma, utilizando a equacao (2.115)
p =1
D
!
dDx"L"xi
xi. (4.5)
A pressao media nao precisa ser nula, por causa da dependencia explıcita na posicao da densidade de
lagrangeana. E isso abre a possibilidade de encontrarmos solucoes topologicas localizadas e estaveis
(aneis e bolhas que nao colapsam, em duas e tres dimensoes, respectivamente). Escolhemos que a
dependencia da posicao seja apenas no termo potencial da densidade de lagrangeana do modelo, de
modo que ela tenha a seguinte forma
L =1
2"µ#a"
µ#a ! f(%x)V (#1, . . . , #a), (4.6)
onde f(%x) e uma funcao arbitraria. Para esse caso, a condicao de minimizacao (4.1) resulta em
(2 ! D)1
2("#a)
2 = V
"
Df +"f
"xixi
#
. (4.7)
Agora impomos a condicao de equiparticao das densidades de energias cinetica e potencial, 1/2("#a)2 =
f(%x)V, que nos leva ao seguinte vınculo para a funcao f(%x)
(2 ! D)f = Df +"f
"xixi $ 2(1 ! D)f =
"f
"xixi. (4.8)
Estamos interessados em encontrar solucoes com simetria radial (aneis circulares no plano e bolhas
esfericas no espaco). Para este caso, a condicao acima impoe que a funcao tenha a seguinte forma
f(r) =1
r2(D"1), (4.9)
62
onde uma constante de integracao e absorvida no potencial. Para o plano (D = 2), a condicao de
estabilidade se anula identicamente. Isso significa que as solucoes bidimensionais sao invariantes por
escala. Se repetimos o procedimento de Hobart feito na secao 2.3, para esse modelo, vemos que a
energia da perturbacao e nula. Logo ela e um modo zero.
Para qualquer dimensao, a densidade de lagrangeana (4.6) e reescrita como
L =1
2"µ#a"
µ#a !1
r2(D"1)V (#). (4.10)
Para essa acao, as equacoes de movimento para as solucoes estaticas em coordenadas hiperesfericas (a
expressao do laplaceano esta no apendice A) sao
1
rD"1
d
dr
"
rD"1 d#
dr
#
=1
r2(D"1)
"V
"#a. (4.11)
A condicao de equiparticao das densidades de energias impoe que a solucao desta equacao tenha
pressao nula na direcao radial. A energia relacionada e
E = #D
! #
0dr rD"1
2
1
2
"d#a
dr
#2
+1
r2(D"1)V (#1, . . . , #a)
3
, (4.12)
onde #D e o fator angular definido em (A.6). Podemos reescreve-la como
E = #D|"W | + #D
! #
0dr rD"1
2
1
2
"d#a
dr)
1
rD"1W#a
#2
+1
r2(D"1)
"
V (#1, . . . , #a) !1
2W 2
#a
#3
,
(4.13)
onde "W = W (#(r $ &)) ! W (#(r $ 0)). Se o potencial for derivado de um superpotencial com a
forma (2.68), a energia e simplesmente
E = EB = #D|"W |, (4.14)
quando as solucoes das equacoes de movimento (4.11) satisfizerem as seguintes equacoes de primeira
ordemd#a
dr= ±
1
rD"1W#a . (4.15)
Podemos reescrever as equacoes de movimento como
d2#a
dy2=
"V
"#a. (4.16)
Se fizermos uma transformacao de variaveis de modo que dy = r1"Ddr, isso leva a
y =
'
((()
(((*
ln(r) D = 2
!1
(D ! 2)rD"2D '= 2.
(4.17)
63
As equacoes (4.16) tem a mesma forma das equacoes (2.63) para solucoes estaticas em D = 1. Entao,
reduzimos o problema para um problema unidimensional onde as equacoes de movimento sao muito
mais simples de se resolver.
O mapeamento das coordenadas para D = 2 leva a [0,&) $ (!&,&). Uma solucao unidimen-
sional do tipo kink ou lump tem valores assintoticos em x $ ±&. Essa configuracao mapeada no
plano tem os pontos assintoticos em r $ & e em r = 0. Para outras dimensoes D % 3, o mapeamento
das coordenadas e diferente [0,&) $ (!&, 0]. Portanto o problema unidimensional que temos que
resolver e diferente da situacao padrao, pois aqui a coordenada y nao pode assumir valores em toda
a linha real, sendo excluıdo o trecho positivo. Por essa razao, para D % 3, temos que tratar modelos
com solucoes unidimensionais bem especıficas, como veremos.
4.1.1 Corrente Topologica
Na secao 2.1, introduzimos a corrente topologica como o rotacional covariante do campo (ou uma
funcao dele), jµ = )µ!"µ# (jµ = )µ!"µg(#)). Por definicao, ela e conservada "µjµ = 0.
A extensao desde objeto matematico para qualquer dimensao depende de maneira crucial do tensor
Levi-Civita. Este tensor completamente antissimetrico tem o numero de ındice vinculado a dimensao
do espaco-tempo. O seu ordem e D + 1. Portanto a corrente topologica e um tensor e nao um vetor,
definido por
Jµ1...µD= )µ1...µD+1
"µD+1#. (4.18)
Por ser antissimetrica, a corrente tem D+1 componentes independentes. Da maneira que e construıda,
tambem e conservada
"µ1Jµ1...µD = 0. (4.19)
Em duas dimensoes, a corrente topologica e um tensor de ordem dois
Jµ! = )µ!)")#. (4.20)
Sua conservacao leva a
%" · %J = 0 e" %J
"t+ %"* F = 0, (4.21)
onde %J = (J01, J02) e F = J12.1 A primeira equacao mostra que o vetor %J e puramente rotacional, o
que podemos ver por sua definicao
%J = !%"* #. (4.22)
1Em duas dimensoes espaciais, os operadores divergente de um vetor e rotacional de um vetor e um escalar sao
definidos como (%% · %f)i = (&fi)/(&xi), %%& %f = 'ij(&fj)/(&xj) e (%%& %!)i = 'ij(&!)/(&xj), respectivamente.
64
A segunda equacao mostra que a corrente e conservada para # estatico ja que
F ="#
"t, (4.23)
para solucoes com simetria radial # = #(r), a corrente %J nao tem componentes radiais. Podemos
ver na figura 4.1 a ilustracao de %J para duas solucoes. %J caracteriza o defeito e o antidefeito, tendo
direcoes opostas.
Figura 4.1: Ilustracao da corrente topologica %J sobre o maximo da densidade de energia para as con-
figuracoes defeito e antidefeito com simetria radial no plano. %J tem direcoes opostos, o que diferencia
os dois tipos de solucoes.
4.1.2 Estabilidade
Para verificar se a solucao e estavel sobre perturbacoes radiais, devemos considerar flutuacoes do
tipo
#a(r, t) = #a(r) +$
k
&ka(r) cos(wk t). (4.24)
Podemos escrever da equacao de movimento na forma de uma equacao de N componentes do tipo
Schrodinger em coordenadas radiais
!"2&a +
"W#a#cW#c#b
r2D"2±
1
rD"1
dW#c#b
dr
#
&b = .2&a, (4.25)
tendo essa equacao a forma Hab&kb = .2&k
a , onde Hab e a hamiltoniana. Se o potencial for derivado de
um superpotencial dado por (2.68), podemos escrever Hab como
Hab =1
r2D"2
"
!rD"1+acd
dr) W#a#c
#"
rD"1+cbd
dr) W#c#b
#
. (4.26)
65
Podemos provar, de maneira similar ao que foi feito na secao 2.2.2, que essa hamiltoniana e nao
negativa e o estado ligado de menor energia e o modo zero que obedece a seguinte relacao
rD"1 d&0a
dr= ±W#a#b
&0b . (4.27)
O modo zero e portanto
&0a(r) = cW#a , (4.28)
relacionado a transformacao rD"1d/dr.
4.1.3 Exemplos
Nesta secao investigamos modelos no plano e no espaco. Por simplicidade, estudamos potenciais
com apenas um campo escalar.
I - D = 2
As solucoes invariantes por escala bidimensionais sao aneis com raio e espessura especıficos. Pode-
mos escolher o potencial #4 (2.38) como ilustracao. Fazendo a transformacao de variaveis (4.17),
chegamos a solucao
#(r) = ± a tanh+
a(
, ln(r/r0),
= ±a
.
r2a&
% ! r2a&
%0
r2a&
% + r2a&
%0
/
, (4.29)
onde r0 e o raio do anel. A densidade de energia que determina a espessura do anel e
'(r) = , a4sech4+
a(
, ln(r/r0),
=16,a4(rr0)
4a&
%
(r2a&
% + r2a&
%0 )4
, (4.30)
que tem valor maximo ,a4 no raio do anel. A energia e
E = 2$
! #
0dr '(r) =
8$a3(
,
3. (4.31)
O perfil do defeito e da densidade de energia sao mostrados na figura 4.2(a).
Vemos agora outro modelo descrito pelo potencial seno-Gordon
V (#) =1
2
1
r2sen2(#). (4.32)
66
(a) Solucao tipo anel !(r) e a densi-
dade de energia ((r) para o modelo !4.
(b) Solucao tipo anel !(r) para o
modelo de seno-Gordon.
(c) Solucao tipo bolha !(r) e den-
sidade de energia para o modelo p
em D = 3, com p = 3.
Figura 4.2: Perfil das solucoes #4 e seno-Gordon, para D = 2 e do modelo p, para D = 3.
A equacao de movimento e escrita como
rd
dr
"
rd#
dr
#
= sen(#) cos(#) $d2#
dy2= sen(#) cos(#). (4.33)
As equacoes de primeira ordem saod#
dy= ±sen(#). (4.34)
As solucoes tem a forma
#(y) = ±2 arctan(e±y) $ #(r) = ±2 arctan(r±1). (4.35)
O perfil dessa solucao esta mostrado na figura 4.2(b). Esta solucao reproduz defeitos topologicos
em sistemas magneticos[69, 70]. Funcoes com a mesma forma sao mostradas em trabalhos mais
recentes[71], na forma de estruturas de vortices em cristais com simetrias Cnv.
Potenciais que suportam solucoes nao topologicas tambem podem ser considerados. Por exemplo,
o potencial
V (#) =1
2# ! #2 +
1
2#3 (4.36)
tem a solucao unidimensional e #(x) = tanh2(y ! y0). No plano a solucao e
#(r) =
"r ! r0
r + r0
#2
. (4.37)
O grafico da solucao e mostrado na figura 4.3, junto com a densidade de energia.
Ainda no plano, com base na referencia [72], podemos investigar um modelo descrito por um campo
escalar complexo 2
"22 =1
r2
"V
"2, (4.38)
67
Figura 4.3: Solucao nao topologica e sua densidade de energia, representada pelas curvas cheia e
tracejada, respectivamente.
onde barra indica a conjugacao complexa. Supomos que a configuracao de campos tem a forma
2(r, 3) = #(r)eim*, para m = 1, 2, 3, ... Neste caso, temos
rd
dr
"
rd#
dr
#
=dVeff
d#, (4.39)
onde Veff e um potencial efetivo
Veff (#) = V (#) +1
2m2#2. (4.40)
Note que m2 contribue com um termo de massa. Escolhemos que o potencial seja
V (22) =1
2(22)3 ! A(22)2 (4.41)
e obtemos
Veff (#) =1
2#6 ! A#4 +
1
2m2#2, (4.42)
onde A e um parametro real. Este e um potencial #6. Se escolhermos A inteiro, ha um valor crıtico
inteiro mc = A. Para esse valor, ha solucoes topologicas do tipo anel dadas por
#±±(r) = ±
A(1 + r±2A
. (4.43)
Para m = 0, nao ha solucoes. Para 0 < m < mc temos solucoes nao topologicas com a forma
#(r) =±a
B
c
2(rr0)&
2m
+
r2&
2m ! r2&
2m0
,
+ 1
, (4.44)
onde
a =
?
A !&
A2 ! m2 e c =2(
A2 ! m2
A +(
A2 ! m2, (4.45)
68
Figura 4.4: Perfil do potencial #6 da equacao (4.42) com A = 2 e m = 2, 1 e 0, para as linhas cheia,
tracejada e ponto-tracejada, respectivamente. O detalhe mostra o comportamento para # pequeno.
para m = 1, . . . , A ! 1. Na figura 4.4, e mostrado o perfil do potencial para A = 2 e para m = 0, 1, 2.
O detalhe mostra como o potencial se comporta para # pequeno. Nao ha solucoes do tipo lump para
m = 0 ou 2, mas ha para m = 1, que sao
#(r) = ±(
2
2
(3 ! 1
B
2(
3 ! 3
(rr0)&
2
+
r2&
2 ! r2&
20
,
+ 1
. (4.46)
II - D % 3
Como ja vimos, para D % 3, o mapeamento das variaveis e y $ r e (!&, 0] $ [0,!&). Portanto
usamos um modelo bem especıfico. Escolhemos entao, o potencial p, introduzido na secao 3.1. Para
p '= 1, esse modelo tem solucoes do tipo dois-kinks. Se tomamos o centro da solucao em x = 0,
um kink esta no eixo positivo e o outro no eixo negativo. Em x = 0, onde os kinks se conectam a
inclinacao e nula. Entao escolhemos apenas um desses kinks para fazer o mapeamento com a solucao
tridimensional. Utilizando (3.2), encontramos a solucao
#(y) = ± tanhp
"y
p
#
$ #(r) = ) tanh p
61
p
"r2"D
D ! 2
#7
. (4.47)
Na figura 4.2(c) e mostrado a solucao e a densidade de energia para p = 3 e D = 3. A energia para
uma solucao com um dado p e
E(p)D =
2 #D p
4p2 ! 1. (4.48)
69
4.1.4 Comentarios Gerais
A densidade de lagrangeana (4.10) pode ser interpretada como uma teoria efetiva de um modelo
mais fundamental. Podemos, por exemplo, considerar o modelo com dois campos escrito por
L(#, -) =1
2"µ#"µ# +
g(#)
2"µ-"µ- + e- +(r). (4.49)
O campo # se acopla com o - atraves de uma funcao g(#) do tipo permissividade. E o campo - esta
acoplado com uma carga externa localizada em um ponto do espaco. As equacoes de movimento sao
"µ"µ# +1
2
dg(#)
d#"µ-"µ- = 0, (4.50a)
"µ(g(#)"µ-) + e +(r) = 0. (4.50b)
Para solucoes estaticas #(%r) e -(%r), as equacoes se tornam
"2# = !1
2
dg(#)
d#%"- · %"-, (4.51a)
%" · (g(#)%"-) = e +(r). (4.51b)
Em coordenadas hiperesfericas, para solucoes do tipo # = #(r) e - = -(r), utilizando a expressao
(A.5), a equacao (4.51b) pode ser resolvida como
d
dr
"
g(#)rD"1 d-
dr
#
= e +(r), (4.52)
que apos uma integracao e reescrito como
d-
dr= !
1
rD"1
e
g(#). (4.53)
Desta maneira podemos desacoplar da equacao (4.51a), resultando em
"2# =1
r2(D"1)
"
"#
"e2
2g(#)
#
. (4.54)
Se compararmos com (4.11), chegamos a relacao
V (#) =e2
2g(#). (4.55)
Uma vez encontrado #(r), podemos encontrar - atraves de uma integracao
-(r) =
!
dr2
e
1
rD"1V (#(r)). (4.56)
70
(a) Densidade de energia da solucao
topologica.
(b) Densidade de energia da solucao nao
topologica.
Figura 4.5: Perfil da distribuicao da densidade de energia das solucoes topologicas e nao topologicas
em duas dimensoes. O cor branca representa o valor maximo da densidade de energia.
Podemos construir outra teoria trocando o campo escalar - pelo potencial eletromagnetico Aµ. A
densidade de lagrangeana tem a seguinte forma
L(#, Aµ) =1
2"µ#"µ# !
g(#)
4Fµ!F
µ! ! eAµJµ, (4.57)
onde Jµ = (+(r), 0, . . . , 0). As equacoes de Maxwell sao
"µ (g(#)Fµ!) = eJ! . (4.58)
A lei de Coulomb para campo eletrico radial nos leva a
E =1
rD"1
e
g(#). (4.59)
Novamente ao comparar a equacao do campo escalar # com (4.11), obtemos novamente a relacao
(4.55). Note que se e for nulo, o potencial se anula.
Podemos interpretar que a carga polariza o vacuo que apresenta uma topologia nao trivial de modo
a suportar solucoes topologicas que conectam vacuos discretos do potencial. A intensidade do campo
eletrico tem o valor que depende da solucao #(r),
E =1
erD"1
"d#
dr
#2
. (4.60)
A densidade de carga do vacuo polarizado, 'p = %" · %E, e dada por
'p =2
erD"2 d#
dr
"
(D ! 1)d#
dr+ r
d2#
dr2
#
. (4.61)
71
Para o modelo #4 (2.38) (escolhemos a = 1 e , = 1), os valores da componente radial do campo
eletrico e da densidade de carga polarizada para uma carga positiva de valor unitario sao
E =8r3
(r2 + 1)4e 'p = !
64 r2(r2 ! 1)
(r2 + 1)5. (4.62)
O perfil destas duas grandezas e mostrado na figura 4.6. Dentro do anel, e polarizada uma carga
positiva de intensidade 2$, a densidade de carga se anula no centro do anel. Fora do anel, e polarizada
uma carga negativa de mesma intensidade. E claro que a carga polarizada total e nula. O campo
eletrico e maximo no centro do defeito. A forca eletrica resultante da polarizacao e %F = q %E. Esta forca
e que mantem o defeito estavel, pois se contrapoe a tendencia natural que defeitos tem ao colapso.
Uma possıvel extensao que podemos fazer e a escolha de um conjunto cargas. E claro que isso
impede a escolha de coordenadas hiperesfericas, contudo algumas simetrias podem levar a equacoes
simplificadas em outros sistemas de coordenadas. Por exemplo, se tomarmos duas cargas de mesma
intensidade, as equacoes sao simplificadas com o uso do sistema de coordenadas bicilındricas.
(a) Componente radial do campo
eletrico (curva cheia) e a solucao
topologica !(r) (curva tracejada).
(b) Densidade de carga polarizada
(curva cheia) e a solucao topologica
!(r) (curva tracejada).
Figura 4.6: Perfil da solucao para o potencial #4, a componente radial do campo eletrico e a densidade
de carga polarizada.
4.2 Defeitos em Cenarios com Violacao de Lorentz e CPT
A preservacao da simetria de Lorentz sempre foi tratada como um axioma na construcao de teo-
rias de fısica de partıculas. O modelo padrao, suas extensoes supersimetricas e modelos de grande
unificacoes sao tambem construıdos seguindo este princıpio. Do mesmo modo, outras teorias fora
do modelo padrao seguem essa mesma ideia, como por exemplo, modelos de formacao de paredes de
domınio e outros defeitos topologicos em transicao de fase no universo primordial[14].
72
Extensoes do modelo padrao com termos com violacao de Lorentz tem sido recentemente investigados[73,
74, 75], baseados em resultados de teorias de cordas [76, 77, 78].
Com base na referencia [80], estudamos dois modelos simples que apresentam quebra explıcita
da simetria de Lorentz. O primeiro, com uma parametro tensorial e o segundo por uma parametro
vetorial.
4.2.1 Quebra da Simetria por um Parametro Tensorial !µ! .
O modelo mais simples com termos que parecem violar explicitamente a simetria de Lorentz, em
1 + 1 dimensoes, e dado por
S =
!
dt
!
dx
61
2"µ#"µ# +
1
2!µ!"µ#"!# ! V (#)
7
, (4.63)
onde V (#) e um potencial escolhido apropriadamente. O parametro tensorial adimensional e constante
e pode ser escrito como
!µ! =
C
D4 0
0 4
E
F , (4.64)
onde 0 e 4 sao parametros reais. Por simplicidade, escolhemos 4 = 0 para facilitar a interpretacao
dos resultados.
A equacao de movimento e
"2#
"t2!
"2#
"x2+ 20
"2#
"t"x+
dV
d#= 0. (4.65)
Esta equacao viola a simetria de paridade (P) e de inversao temporal (T), porem conserva a combinacao
das duas (PT). Como o campo escalar real nao tem carga, a simetria CPT tambem e conservada.
Para solucoes estaticas, obtemos"2#
"x2=
dV
d#. (4.66)
Esta tem a mesma forma da equacao (2.14), obtida para o caso padrao. Entao solucoes estaticas
nao violam as simetria de Lorentz. Contudo, para campos que dependem do tempo, pode haver a
violacao da simetria de Lorentz. Por exemplo, para solucoes tipo onda viajante o termo dependente
do parametro 0 nao desaparece da equacao, logo a simetria de Lorentz sera violada.
Como foi visto na subsecao 2.1.2, uma solucao de onda viajante e escrita de modo que #(x, t) =
#(u), com u = *(x!vt), onde * = 1/(
1 ! v2 e o fator de contracao da solucao. Aqui, u tem a mesma
73
forma *(x ! vt), contudo o parametro * tem dependencia do parametro 0, devido a forma de (4.65).
Com essa escolha, esta equacao (4.65) se torna
"2#
"u2=
dV
d#. (4.67)
Para o parametro de contracao da solucao dado por
*" =1(
1 ! v2 + 20v. (4.68)
Se existir uma solucao estatica que resolva (4.66), existira uma solucao do tipo onda viajante com a
forma
#(x, t) = #(*"(x ! vt)). (4.69)
A onda viajante tem a forma da solucao estatica, se desloca com velocidade constante v e tem
espessura + = +0/*", onde +0 e espessura da solucao estatica. A velocidade da configuracao e restrita ao
intervalo v + (!(
1 + 02+0,(
1 + 02+0). Se 0 for muito pequeno, podemos escrever v + (!1+0, 1+
0), que desloca em 0 no intervalo de velocidade padrao. E claro que no limite 0 $ 0, a situacao sem
violacao de Lorentz e restaurada, onde * = *(v, 0) = 1/(
1 ! v2, com v + (!1, 1). Portanto a solucao
localizada do tipo lump ou kink se desloca no vacuo com uma espessura especıfica dependendo do
sentido do deslocamento. Este fenomeno e conhecido como birrefringencia do vacuo. Esta propriedade
e comum em cristais anisotropicos que transmitem luz com velocidades de propagacao dependentes
da direcao.
Vamos agora considerar o modelo (4.63) sem o potencial V (#). Esse caso foi analisado em [158],
no contexto de bosons quirais . A excitacao sem massa e escrita como
#(x, t) = A cos(. t ! k x). (4.70)
Substituindo em (4.65), encontramos a seguinte relacao de dispersao
.2 ! k2 ! 20.k = 0. (4.71)
Isso implica que a velocidade das excitacoes, v = "./"k, e
v± = ±&
1 + 02 + 0 (4.72)
e que mostra claramente o fenomeno de birrefringencia. Para potencias nao nulos, as solucoes nao
homogeneas terao massa de repouso, logo, como ja vimos, suas velocidades de propagacao estao
restritas ao intervalo v +]v+, v"[.
74
Calculamos o tensor energia-momento !µ! associado a (4.63). As quatro componentes sao a
densidade de energia ' = !00, o fluxo de energia !10, a densidade de momento !01, e a pressao !11,
que sao dados por
!00 =1
2
""#
"t
#2
+1
2
""#
"x
#2
+ V, (4.73a)
!01 = !"#
"x
""#
"t+ 0
"#
"x
#
, (4.73b)
!10 = !"#
"t
""#
"x! 0
"#
"t
#
, (4.73c)
!11 =1
2
""#
"t
#2
+1
2
""#
"x
#2
! V. (4.73d)
Utilizando as equacoes de movimento, chegamos a "µ!µ! = 0. Por causa da violacao de Lorentz, este
tensor nao e simetrico, !01 '= !10.
Como para uma solucao de onda viajante e valido o teorema virial
1
2
"d#
du
#2
= V, (4.74)
escrevemos a energia dessa solucao como
Ev
E0= *" (1 + 0v), (4.75)
onde E0 representa a sua massa de repouso. Tambem calculamos a razao de energia entre configuracoes
com velocidades opostas, de modo que
Ev
E"v=
1 + 0v
1 ! 0v
-
1 ! v2 ! 20v
1 ! v2 + 20v. (4.76)
Vemos claramente a diferenca de energia entre as solucoes com a velocidade de mesma intensidade e
de sentidos opostos, novamente mostrando um efeito da violacao da simetria de Lorentz. Notamos
que Ev < E"v para 0v > 0. E claro que para v = 0 ou 0 = 0, Ev = E"v.
E importante ressaltar que a violacao de Lorentz da teoria (4.63) pode ser retirada por uma
redefinicao nas coordenadas, xµ = $µ!x! , onde $ e escolhido de maneira que
$+µ ($" µ + !µ!$"
!) = &"+ . (4.77)
Contudo, mesmo sabendo disso, fizemos toda a analise das solucoes que apresentam violacao de
Lorentz, pois em um cenario mais realista onde o campo # esta acoplado com outros campos, como
campos de calibre ou o de materia fermionica, nao e possıvel, como uma redefinicao das coordenadas
75
e/ou dos campos, eliminar os termos de violacao de Lorentz. Desta maneira, o modelo (4.63) e o
modelo mais simples em que a violacao explıcita de Lorentz e apresentada, como por exemplo, atraves
do fenomeno da birrefringencia do vacuo para a onda vianjante.
As solucoes estaticas nao apresentam violacao de Lorentz, contudo, qualquer perturbacao sob elas
apresentara explitamente a dependencia no parametro de Lorentz. Portanto, a estabilidade linear
dessas solucoes nao sera direta e por isso deve ser investigada.
O modelo (4.63) pode ser estendido para sistemas com o numero N de campos arbitrario. E
tambem nesse caso, as solucoes violarao a simetria de Lorentz, e manterao a simetria CPT.
4.2.2 Quebra da Simetria por um Parametro Vetorial !µ
No espaco de Minkowski e impossıvel construir uma teoria com um unico campo escalar que tenha
um termo que quebre a simetria de Lorentz atraves de um vetor constante !µ e mantenha a linearidade
nesse termo. A escolha !µ#"µ# e uma derivada total. Portanto, e necessario a inclusao de pelo mais
de um campo. Tomemos o modelo com dois campos escalares, em 1 + 1 dimensoes
S =
!
dt
!
dx
61
2"µ#"µ# +
1
2"µ-"µ- + !µ#"µ- ! V (#, -)
7
. (4.78)
A presenca do vetor kµ = (a, b), onde a e b sao parametros reais, leva a violacao de Lorentz e CPT
[74, 75]. Este modelo suporta solucoes localizadas se o potencial for escolhido de maneira conviniente.
Agora nao e possıvel redefinir as coordenadas para eliminar o termo que depende de kµ. Redefinicao
nos campos tambem falham nessa tentativa por causa da nao linearidade da teoria, trazida no potencial
V (#, -).
As equacoes de movimento sao
"µ"µ# ! !µ"µ- +"V
"#= 0, (4.79a)
"µ"µ- + !µ"µ# +"V
"-= 0. (4.79b)
Ao contrario do caso !µ = 0, nas equacoes ha termos de primeira ordem na derivada que introduz
mais dificuldades para encontrarmos solucoes analıticas. Por exemplo, a forma dessas equacoes pode
impedir que apenas um dos campos possa ser ter valor constante. Se assumirmos - = -0, a equacao
(4.79a) torna-se uma equacao de apenas um campo, mas havera um vınculo de primeira ordem da
equacao (4.79b)
kµ"µ# +"V
"-
>>>,=,0
= 0 (4.80)
76
e talvez nao haja solucoes de (4.79a) que satisfaca esse vınculo. No caso contrario, se escolhermos
# = #0, encontramos o vınculo
!kµ"µ- +"V
"#
>>>#=#0
= 0. (4.81)
O tensor energia momento !µ! e escrito em seus quatro componentes,
!00 =1
2
""#
"t
#2
+1
2
""#
"x
#2
+1
2
""-
"t
#2
+1
2
""-
"x
#2
! b#"-
"x+ V, (4.82a)
!10 = !"#
"t
"#
"x!
"-
"t
"-
"x+ b#
"-
"t, (4.82b)
!01 = !"#
"t
"#
"x!
"-
"t
"-
"x! a#
"-
"x, (4.82c)
!11 =1
2
""#
"t
#2
+1
2
""#
"x
#2
+1
2
""-
"t
#2
+1
2
""-
"x
#2
+ a #"-
"t! V. (4.82d)
O tensor energia momento e conservado, "µ!µ! = 0, fazendo uso das equacoes de movimento e e
assimetrico !01 '= !10. E impossıvel modificar o tensor energia momento adicionando termos de
superfıcie para torna-lo simetrico e conservado. Isso mostra que a teoria nao e invariante de Lorentz.
Para campos estaticos, as equacoes de movimento (4.79) tornam-se
d2#
dx2+ b
d-
dx=
"V
"#, (4.83a)
d2-
dx2! b
d#
dx=
"V
"-. (4.83b)
Como essas equacoes nao dependem do parametro a, se escolhermos a componente espacial b igual a
zero, as solucoes estaticas nao quebram as simetrias de Lorentz e CPT.
Para o caso b '= 0, essas equacoes violam nao so o a simetria de Lorentz, como tambem a de CPT.
Elas nao mantem a transformacao de paridade P e sao invariante sob T e C. Essa ausencia de simetria
de paridade quebra o cenario kink . antikink (#k = !#ak), que aparece normalmente em modelos
que preservam a paridade - ver capıtulo 2.
A presenca do parametro b nas equacoes de movimento e a densidade de energia altera o cenario
padrao. Por exemplo, o metodo de Bogomol’nyi deve ser modificado para encontrarmos solucoes
que minimizam a energia em certo setor topologico. Consideramos uma nova classe de modelos cujo
potencial tem a seguinte forma
V (#, -) =1
2
""W
"#+ s1-
#2
+1
2
""W
"-+ s2#
#2
, (4.84)
onde W = W (#, -) e uma funcao bem comportada de dois campos e s1 e s2 sao constantes reais que
obedecem
s2 ! s1 = b. (4.85)
77
Este potencial e uma extensao do potencial construıdo na secao (2.2.1) que pode ser restaurada no
limite b $ 0. Essa alteracao muda a maneira como os campos interagem e faz com que o potencial
dependa explicitamente de b.
Escrevemos a densidade de energia (4.82a) da seguinte forma
' = 300 =dW
dx+
1
2
"d#
dx!
"W
"#!s1-
#2
+1
2
"d-
dx!
"W
"-!s2#
#2
. (4.86)
A energia e minimizada para o valor Eij = "Wij , com "Wij = Wi ! Wj , para Wi = W (#i, -i), e
vi = (#i, -i) e um dos mınimos do potencial, obedecendo V (#i, -i) = 0. Esse valor mınimo de energia
sao para configuracoes de campo que obedecem as equacoes de primeira ordem
d#
dx=
"W
"#+ s1-, (4.87a)
d-
dx=
"W
"-+ s2#, (4.87b)
com as condicoes de contorno: o par (#, -) vai para (#i, -i) quando x $ &, e para (#j , -j) com
x $ !&. Este e o estado fundamental de Bogomol’nyi que vimos em 2.2.1, agora estendido para essa
nova classe de modelos que violam as simetrias de Lorentz e CPT. Para s1 = s2 = 0, este sistema se
reduz a (2.75).
Podemos ver que as solucoes das equacoes de primeira ordem resolvem as equacoes de movimento
(4.83). Tambem, da condicao de pressao nula, necessaria para a estabilidade, temos
1
2#%2 +
1
2-%2 = V, (4.88)
que mostra que as porcoes gradiente e potencial da energia contribuem igualmente para a energia
total. A densidade de energia tem um novo termo, !b#"-/"x, que nao e positivo definido, por isso
nao assegura a positividade da energia mınima EB do setor topologico. A energia apenas pode ser
escrita na forma (4.86) se considerarmos o potencial da forma especıfica (4.84), com s2 ! s1 = b.
Se quisermos que uma das solucoes tenha valores contantes, a outra tem que satisfazer o vınculo
(4.80) ou (4.81). Para o primeiro caso, com - = -0
#% =1
bV, $ #%% =
1
b2(V,#V,) , (4.89)
que nos leva a relacao
V,#V, = b2 V#. (4.90a)
Para o segundo caso, com # = #0, chega-se a
V,#V# = !b2 V,. (4.90b)
78
Essas equacoes podem ou nao coincidir com as equacoes de primeira ordem encontradas pela minimi-
nazacao de Bogomol’nyi (4.87). Se isso acontecer, elas sao estaveis, para a = 0, como mostramos na
proxima secao.
Estabilidade
A assimetria que surge por causa de b '= 0 poderia contribuir para desestabilizar as solucoes que
apresentam quebra explıcita das simetrias de Lorentz e CPT. Por outro lado, vemos que as solucoes
topologicas, que resolvem as equacoes de primeira ordem, tem energia que minimiza o setor topologico
BPS. Mas como vimos na secao 2.2.2, ser um mınimo de energia, nao assegura a estabilidade da
solucao topologica. No caso kµ = 0, todas as solucao BPS sao estavel. E queremos ver se isso tambem
e verdade para o caso com quebra de Lorentz e CPT.
Seguindo o procedimento da secao 2.2.2, fazemos flutuacoes sobre as solucoes # e -,
#(x, t) = #(x) + &(x, t) e -(x, t) = -(x) + /(x, t). (4.91)
substituindo em (4.83) e desprezamos os termos acima de primeira ordem para obter
"2&
"t2!
"2&
"x2! a
"/
"t! b
"/
"x+
"2V
"#2& +
"2V
"#"-/ = 0, (4.92a)
"2/
"t2!
"2/
"x2+ a
"&
"t+ b
"&
"x+
"2V
"-"#& +
"2V
"-2/ = 0. (4.92b)
Essas equacoes podem ser reescritos na forma compacta
"µ"µ% ! i12!µ"µ% + U% = 0, (4.93)
onde
U(x) =
C
DV## V#,
V#, V,,
E
F e %(x, t) =
C
D&(x, t)
/(x, t)
E
F . (4.94)
U(x) e matriz hessiana para as solucoes estaticas #(x) e -(x) e % e o conjunto das flutuacoes lineares.
Se a componente a de kµ e nula, a equacao admite a seguinte solucao
%(x, t) =$
n
%n(x) cos(.nt). (4.95)
Assim obtemos a equacao do tipo Schrodinger, H%n(x) = .2n%n(x), onde %n(x) e uma funcao de
onda de duas componentes para uma dado autovalor .n e o Hamiltoniano e escrito como
H = !d2
dx2! ib12
d
dx+ U, (4.96)
79
onde 12 e uma matrix de Pauli.
Se usarmos V (#, -) escrito na forma (4.84), podemos fatorizar o hamiltonina H = S†S, onde S e
um operador de primeira ordem
S = !d
dx+ u, (4.97)
com
u(x, t) =
C
DW## W#, + s1
W,# + s2 W,,
E
F . (4.98)
Esta matrix nao e hermitiana, u '= u† e e facil ver que U = u†u + du/dx. Este resultado mostra
que, para a = 0, H e nao negativo, e entao os autovalores correspondentes devem sempre obdecer
w2n % 0, isto e, as pequenas perturbacoes nao devem crescer exponencialmente no tempo, o que estende
o resultado da secao 2.2.2 para esse modelo, e mostra que solucoes das equacoes de primeira ordem
sao linearmente estaveis.
Agora, investigamos com mais detalhe a equacao (4.93) para entender o caso a '= 0. O termo de
primeira ordem pode ser eliminado, se fizemos uma redefinicao apropriada da funcao de onda %n(x).
Escrevemos entao
%n(x) = R%n, (4.99)
onde R e uma matrix de rotacao
R =
C
Dcos 3(x, t) sin 3(x, t)
! sin 3(x, t) cos 3(x, t)
E
F . (4.100)
A funcao 3 e dependente das coordenadas e deve ser escolhida de maneira a eliminar o termo de
primeira ordem. Substituindo em (4.93) e multiplicando a direita pela inversa R"1, obtemos
!%n + i12(2"µ3 ! kµ)"µ%n + (i12!3)%n + "µ3(kµ ! "µ3)%n + R"1UR%n = 0. (4.101)
Entao, se escolhemos 3 = (1/2)kµxµ, a equacao acima se reduz a
"µ"µ%n + Ueff %n = 0, (4.102)
onde Ueff e o potencial efetivo dado por
Ueff = R"1UR +1
4kµkµ. (4.103)
Este potencial efetivo depende tanto de x quanto de t, mesmo para configuracoes estaticas por causa
de R. Logo, nao e possıvel separar as varaveis, para o caso geral, onde a '= 0.
80
Para solucoes constantes, a matriz hessiana U tem todos os coeficientes constantes. O potencial
efetivo Ueff ainda depende das coordenadas, mas de uma maneira bem particular, pois kµxµ = at!bx.
Para esse caso, se kµ nao for do tipo luz, podemos redefinir as coordenadas
X = ax ! bt, T = at ! bx. (4.104)
Reecrevemos (4.102) em termos delas, de modo que
(a2 ! b2)
""2%n
"T 2!
"2%n
"X2
#
+ Ueff (X)%n = 0. (4.105)
Escolhemos
%n(T, X) =$
n
cos(.nT )%n(X), (4.106)
para escrever novamente na forma de uma equacao de Schrodinger
!"2%n
"X2+
Ueff (X)
a2 ! b2%n = .2
n%n. (4.107)
Agora, observamos novamente o caso a = 0. O potencial efetivo (4.103) depende apenas da posicao,
Ueff = Ueff (x). De novo podemos assumir % como (4.95). Entao H%n = .2%n, onde
H = !d2
dx2+ Ueff . (4.108)
Esse novo operador hamiltoniano pode ser entendido como uma rotacao do antigo
H = R"1HR. (4.109)
Como H = S†S, escrevemos H = R"1S†RR"1SR = S†S, onde e tambem uma rotacao
S = R"1SR = !d
dx+ R"1
"
u +ib
212
#
R. (4.110)
Esse novo operador de primeira ordem S, diferentemente do caso anterior e hermitiano, S† = S.
Um estudo aprofundado da estabilidade de potenciais especıficos foi iniciado durante o doutorado,
porem ainda nao foi concluıdo. Alguns resultados estao sendo analisados para uma futura pub-
licacao[81].
Exemplo
81
Agora, vamos procurar solucoes explıcitas para modelos com potenciais dados por (4.84). Por
simplicidade (e sem perda de generalidade), escolhemos s1 = 0 e s2 = b, tomamos como exemplo a
funcao superpotencial W (#, -) do modelo BNRT[36, 37] investigado na secao 2.2.1
W (#, -) = # !1
3#3 ! r#-2, (4.111)
onde r e um parametro real. Utilizando (4.84), obtemos
V (#, -) =1
2(1 ! #2 ! r-2)2 +
1
2(2r#- ! b#)2 . (4.112)
Esse modelo suporta certos mınimos, dependendo dos valores de r e b. Considerando-os positivos e
0 < b2/2r < 1, escrevemos os mınimos do potencial
vh± = (±Q, b/2r) , vv± =+
0,±&
1/r,
, (4.113)
onde Q =&
1 ! b2/4r. Existem quatro mınimos, dois alinhados horizontalmente e dois verticalmente
no espaco de confuguracao # ! -, o que e indicado pelo ındice subescrito. O limite b $ 0 implica
Q $ 1 e leva aos mınimos vh± para (±1, 0), sobre o eixo #, como esperado[36, 37].
A teoria suporta cinco setores topologicos, para solucoes que resolvem as equacoes de primeira
ordem. Um setor tem energia t1 = (4/3)Q3 e outros quatro tem tensoes degeneradas no valor t2 =
(2/3)Q3. Como sabemos, na ausencia da violacao da simetria de Lorentz e CPT, a situacao padrao
tem configuracoes BPS e anti-BPS, que conectam os mınimos em ambos sentidos. Contudo, a violacao
de paridade quebra essa simetria, excluindo essa possibilidade. O setor topologico BPS tera apenas
solucao de energia mınima em uma unica direcao. A solucao no sentido contrario, se ela existe, tem
energia superior e sua estabilidade nao esta assegurada.
Por exemplo, neste modelo, no setor mais energetico ha apenas um tipo de solucao topologica
conectando vh" $ vh+. Nos outros setores, ha solucoes conectando vh" $ vv+, vv+ $ vh+, vh" $ vv"
e vv" $ vh+. Na figura 4.7, ilustramos como as orbitas se apresentam conectando os mınimos do
potencial.
O modelo deve admitir outro setor, conectando os mınimos vv±. Este setor nao tem solucoes que
obedecem as equacoes de primeira ordem (4.87). A orbita linha reta que poderia ser solucao nao BPS
nao existe com b '= 0.
As equacoes de primeira ordem sao
d#
dx= 1 ! #2 ! r-2, (4.114a)
d-
dx= b# ! 2r-#. (4.114b)
82
Estas equacoes admitem fator integrante
f(-) =1
"
- !b
2r
#1+ 1r
. (4.115)
Entao, definindo - = - ! b/2r, escrevemos as orbitas para r '= 1/2 e r '= 1,
#2 =r
2r ! 1-2 +
b
r ! 1- + C-
1r + Q2, (4.116)
onde C e uma constante de integracao. O limite b $ 0 leva ao resultado encontrado em [39].
2
-2
Figura 4.7: Os quatro mınimos para o modelo BNRT modificado para r = 1/4 and b = 1/3. As setas
indicam como os mınimos estao conectados para x variando de !& ate &. A quebra de paridade
proibe setas no sentido inverso. As linhas tracejada e pontilhada se refere as orbitas que conectam os
mınimos vh± = (±Q, s) para C = 0, na equacao (4.116).
Os casos especıficos r = 1 e r = 1/2 precisam de uma atencao particular pois tem orbitas dadas,
respectivamente, por
#2 = -2 +b
r- ln - + C- + Q2, (4.117a)
#2 = C-2 + -2 ln - !b
r- + Q2. (4.117b)
Mesmo desacoplando, nao podemos resolver as equacoes de primeira ordem analiticamente para r
e C arbitrarios. Por esta razao, usamos valores especıficos de C. No limite C $ &, temos a solucao
83
linha reta que liga vh+ a vh" com - = b/2r. Este limite reduz as equacoes de primeira ordem (4.114)
a simples equacaod#
dx= Q2 ! #2, (4.118)
que tem como solucao
#(x) = Q tanh(Qx), (4.119)
escolhemos x = 0 como o centro da solucao. A densidade de energia correspondente e ) = Q4 sech4(Qx).
Uma segunda escolha e C = 0. Essa escolha leva as solucoes
#±(x) =Q sinh(2rQx)
±B + cosh(2rQx), (4.120a)
-±(x) =b
2r±
A
±B + cosh(2rQx), (4.120b)
onde usamos A = (1 ! r)Q2K e B = bK/4, com
K =
B
1 ! 2r
r(1 ! 2r + r2Q2), (4.121)
para 0 < r < 1/2.
O limite b $ 0 leva as solucoes (4.120) para as solucoes particulares do modelo BNRT (2.79b)
encontradas em [36, 37],
#0(x) = tanh(2rx), (4.122a)
-0±(x) = ±
-
1 ! 2 r
rsech(2rx). (4.122b)
Essas solucoes sao encontradas pela orbitas elıpticas
#2 +r
1 ! 2r-2 = 1, (4.123)
com 0 < r < 1/2. Essas orbitas sao exatamente as orbitas obtidas em (2.78) no limite b $ 0 para o
valor C = 0.
A densidade de energia das solucoes (4.120) e escrita como
' =
""#
"x
#2
+
""-
"x
#2
! b#"-
"x, (4.124)
substituindo temos
'± =4r2Q4
8
1+B2 ± cosh(2rQx)+
2B + bA2rQ2 sinh2(2rQx)
,
++
A2
Q2 + bAB2rQ2 + B2
,
sinh2(2rQx)=
[B ± cosh(2rQx)]4.(4.125)
84
(a) Perfil da solucao da obita infe-
rior.
(b) Perfil da solucao da orbita supe-
rior.
!" #x
(c) Perfil da densidade de energia.
As curvas pontilhada e tracejada
referem-se as orbitas inferior e supe-
rior, respectivamente.
Figura 4.8: Perfis das solucoes e densidades de energia para as orbitas da figura 4.7.
As orbitas e solucoes para C = 0 sao mostrados nas figuras 4.7, 4.8(a) e 4.8(b). Na figura 4.8(c),
mostramos o perfil das correspondentes densidades de energias. Estas figuras sao mostradas para
r = 1/4 e b = 1/3.Ha regioes de densidade de energia negativa, como esta mostrado na figura 4.8(c).
O valor escolhido b = 1/3 nao e pequeno. Como b mede como o modelo se desvia da situacao
padrao, ele deveria ser muito pequeno. Porem usamos esse valor para realcar os efeitos que a quebra
das simetrias de Lorentz e CPT devem induzir nas estruturas de defeitos que aparecem no modelo em
consideracao. Mais do que isso, esse presente estudo deve ter alguma aplicacao em materia condensada
[45, 46, 48, 49]. Neste caso, essas quebras de simetrias deveriam ter outra interpretacao. Em artigo
recente [83], sao estudadas solucoes muito similiares as apresentadas aqui. Tambem podemos modelar
teorias com violacao de Lorentz em cenarios de materia condensada com materiais que selecionam
naturalmente direcoes preferencias no espaco, que podem ser descritas como a versao contınua do
modelo de Dzyaloshinkii-Moriya [84, 85].
Recentemente, na referencia [86], foi feita uma extensao do modelo visto nesta secao. Os autores
inserem contribuicoes nao lineares dos tipo fµ(#, -)"µ- + gµ(#, -)"µ#. Outras solucoes sao encon-
tradas para o superpotencial BNRT. Essas modifcacoes sao mais difıceis de serem motivadas por vias
ortodoxas, porem sempre a qualquer momento nesses tipos de teorias podemos invocar o argumento
da nao linearidade do campo que possa modelar um sistema fısico com essas caracterısticas.
4.3 Defeitos Taquionicos
A acao efetiva que descreve a dinamica de um campo taquionica para uma D-brana nao BPS em
85
uma teoria de cordas do tipo IIA ou IIB e escrita como2
S = !!
dp+1x V (T )(!detA, (4.126)
com
Aµ! = &µ! + "µT"!T + "µY I"!YI + "µA! ! "!Aµ, (4.127)
onde Aµ e Y I sao os campos de gauge e escalares transversos, respectivamente, com (p + 1) , I , 9
e T e o campo real taquionico. A funcao V (T ) e o potencial taquionico que e simetrico por reflexao e
com um maximo em T = 0 e mınimos assintoticos em |T | $ &, onde zera. A tensao desta D!p-brana
e V (0). A tensao da corda fundamental e escolhida igual (2$)"1.
Uma solucao tipo kink numa teoria de campo taquionica que descreve uma D ! (p ! 1)-brana
estavel[91], interpola os vacuos T = ±& e passa por T = 0. Para encontrar uma solucao tipo kink,
analisaremos a teoria com apenas o campo taquonico,
S = !!
dp+1x V (T )&
1 + &µ!"µT"!T . (4.128)
O tensor energia momento associado a acao acima e escrito como
Tµ! = !V (T )
.
gµ!
&
1 + "µT"µT !"µT"!T
&
1 + "µT"µT
/
. (4.129)
Assumindo que o campo depende apenas de uma das coordenadas, denominada de x, reescrevemos
Tµ! em componentes
Txx = !V (T )
?
1 +0
dTdx
12, Tx+ = 0, T"+ = !V (T )
B
1 +
"dT
dx
#2
&"+ , (4.130)
onde 0 e 4 sao as outras coordenadas, incluindo o tempo. De acordo com que estudamos no capıtulo
2, obsevamos diretamente da conservacao do tensor energia momento "Txx/"x = 0, que Txx tem o
mesmo valor para todo x. No caso assintotico T = ±&, o potencial se anula, anulando o valor de
Txx. Para que nos outros valores de x isso se mantenha, obrigatoriamente devemos ter T = ±& ou
dT/dx = ±&. Logo vemos que a solucao kink e singular e com o seguinte perfil
T =
'
(()
((*
)&, para x < 0
0, para x = 0
±&, para x > 0
. (4.131)
2Aqui, usamos a assinatura ) = diag(!1, 1, ..., 1).
86
Verifica-se que essa solucao satisfaz a equacao de movimento
d
dx
C
DV (T )dT
dx?
1 +0
dTdx
12
E
F =dV
dT
B
1 +
"dT
dx
#2
(4.132)
Para essa solucao Txx se anula indicando que nao existe pressao na direcao transversal ao kink, uma
condicao necessaria para a estabilidade. As outras compontentes do tensor energia momento sao
T"+ = !&"+ +(x)
! #
#dyV (y). (4.133)
De onde calculamos o valor da tensao da D ! (p ! 1)-brana
Tp"1 =
! #
#dy V (y). (4.134)
Com a finalidade de regularizar a solucao encontrada acima, com base na referencia [92], modifi-
camos a acao (4.128), reescrevendo de uma nova forma
S = !!
dp+1x V (T )
"&
1 + &µ!"µT"!T !1(
1 + r2F 2
#
, (4.135)
onde r e um parametro positvo e F = F (T, &µ!"µT"!T ). Para um F que se comporta apropriadamente,
o limite r $ & leva-nos a acao anterior (4.128) e leva ao problema investigado por Sen em [93]. Para
outro F escolhido apropriadamente e r >> 1 chegamos a recente investigacao em [94], que modifica
a acao (4.128) com adicao de um termo que depende das derivadas do campo taquionico. Em [94], o
termo incluıdo na acao e controlado por um parametro muito pequeno e admite um estudo pertubativo
que de uma maneira muito interessante permite levar a uma solucao tipo kink regular que resulta o
kink singular de [93] no limite apropriado.
Aqui, na modificacao que introduzimos em (4.135), vamos considerar funcoes que dependem apenas
do campo taquionico, isto e, F = F (T ). Assumimos que essa funcao seja nao negativa. Alem disso,
supomos que F (T ) seja limitada a algum intervalo finito, aqui escolhemos 0 , F (T ) , 1.
Usamos o modelo modificado para examinar a energia correspondente a configuracao estatica
E =
!
dpx V (T )
"?
1 + ("T )2 !1(
1 + r2F 2
#
. (4.136)
Para investigar a estabilidade das solucoes estaticas, utilizamos o teorema de Derrick [52] investigado
no capıtulo 2 (veja em [94] uma aplicacao em taquions), visto na secao (2.3). Definimos T (%r) $
T %(%r) = T (,%r) para obter a condicao de estabilidade da pressao media nula para uma possıvel solucao
T (%r)p + (p ! 1) ("T )2?
1 + ("T )2=
p(1 + r2F 2
. (4.137)
87
O caso onde a solucao apenas depende de uma das dimensoes, # = #(x), e especial. A expressao acima
se reduz a "dT
dx
#2
= r2F 2(T ), (4.138)
e, como as solucoes do tipo kink sao monoticamente crescente ou decrescente, reescrevemos
dT
dx= ±rF (T ). (4.139)
A equacao acima (4.139) reproduz as equacoes diferenciais de primeira ordem que se apresentam
no setor bosonico de uma teoria de campos supersimetrica descrita por um supercampo quiral (veja,
por exemplo o artigo [87]).
A equacao de movimento que segue da acao modificada e
1&
1 + "µT"µT
"dV
dT! V "µ"µT + V
"µT"!T"µ"!T
1 + "µT"µT
#
=1(
1 + r2F 2
"dV
dT!
r2FV
1 + r2F 2
dF
dT
#
. (4.140)
No caso p = 1, o campo estatico obedece
"dT
dx
#"1 d
dx
C
GGGGD
VB
1 +
"dT
dx
#2!
V(1 + r2F 2
E
HHHHF
= 0. (4.141)
Esta equacao e resolvida para dT/dx $ ±&, que sao as solucoes de (4.139) no limite r $ &, que
leva ao caso investigado por Sen em [93], resultando em solucoes estaveis mas singulares (4.131). As
outras solucoes obedecem a seguinte equacao
"dT
dx
#2
=1
"V0
V+
1(1 + r2F 2
#2 ! 1, (4.142)
onde V0 e uma constante real tal que
0 ,1(
1 + r2F 2+
V0
V, 1. (4.143)
O caso V0 = 0 reproduz (4.139), levando a conclusao que as solucoes sao estaveis para a constante
V0 = 0 e identificamos esse constante com a pressao.
O modelo (4.135), no caso p = 1, tem solucoes estaticas estaveis unidimensionais com energia
E = r2!
dxV (T )F 2(T )&
1 + r2F 2(T ). (4.144)
88
No caso r $ & temos, como ja foi visto anteriormente
ES =
! #
"#dT V (T ), (4.145)
onde requeremos que o potencial taquionico seja integravel. Outro caso e dado por r = 0. Solucoes
estaveis deveriam satisfazer dT/dx = 0, que faz o campo taquionico constante. A energia associada a
essa configuracao constante se anula. A energia (4.144) e nao negativa, e para solucoes estaveis variam
no intervalo 0 , E , ES , para funcoes F (T ) que se comportam apropriadamente.
No modelo modificado, para o caso p = 1 solucoes taquionicas estaveis obedecem as equacoes
dT/dx = ±rF (T ), entao essas solucoes independem do potencial taquionico. Contudo, o potencial
taquionico tem a importante funcao de controlar a energia da solucao taquionica. Este fato nos ajuda
a entender como os taquions singulares (4.131) sao estaveis solucoes de energia finita.
No modelo modificado (4.135), do tensor energia momento Tµ! associado encontramos a seguinte
densidade de energia
' = V (T )
C
D
B
1 +
"dT
dx
#2
!1(
1 + r2F 2
E
F (4.146)
e a densidade de pressao ao longo da direcao nao trivial x (p = T11)
p = !V
B
1 +
"dT
dx
#2+
V(1 + r2F 2
. (4.147)
A pressao e constante, visto que dT11/dx = 0, como vemos em (4.141). E alem disso, vemos que T11 =
!V0, onde V0 e a constante que introduzimos para escrever (4.142). Entao, o caso V0 = 0 corresponde
situacao sem pressao, com as configuracoes de energia finita estaveis que obedecem dT/dx = ±rF.
E como a constante de integracao V0 deve obedecer ao vınculo (4.143), podemos tambem ter duas
outras distintas possibilidades: uma para V0 positivo, representando o caso de pressao negativa, e o
outro para V0 negativo, representando o caso de pressao positiva. Mostramos abaixo que no caso V0
nao nulo, devemos compactificar a reta real para obter solucoes de energia finita e com isso obtemos
kinks taquionicos periodicos. Entao, no modelo modificado encontramos kinks taquionicos regulares
e estaveis quando a pressao se anula. E tambem, encontramos redes kink-antikink periodicas com
pressao negativa (V0 positivo). A expressao para a pressao (4.147) no limite r $ &, equivale a pressao
referente ao caso padrao (4.130). E para esse caso, so ha a regiao para pressao nula e negativa[95, 47].
4.3.1 Kinks Taquionicos Regulares
89
Primeiramente investigamos o caso com V0 = 0, que corresponde a pressao nula. Como falamos
anteriormente, neste caso, para funcoes F (T ) escolhidas apropriadamente, temos kinks taquionicos
de perfil regular. A energia depende do potencial taquionico, V (T ). Entao escolhemos o poten-
cial taquionico de modo que (4.134) seja igual a unidade, Tp"1 = 1. Neste caso, a energia das
configuracoes taquionicas e restrita ao intervalo 0 < E < 1. Escolhemos VI(T ) = exp(!$T 2),
VIIa(T ) = (1/2)sech2(T ), VIIb(T ) = (1/$)sech(T ), e VIII(T ) = (1/$)/(1 + T 2) que identificamos
como modelos do tipo I, II, e III, todos levando a perfis de energia unitaria. Estudamos estes modelos
para ter um melhor entendimento do papel do potencial na acao taquionica modificada que propomos
em (4.135). Modelos especıficos envolvendo as escolhas F (T ) = 1 e F (T ) = sech(T ) serao investigados
abaixo.
Modelos Tipo I
Para o potencial VI(T ) = exp(!$T 2), consideramos o caso F (T ) = 1, que implica em dT/dx = ±r,
cuja solucao e dada por
T±(x) = ±rx, (4.148)
que leva a kinks singulares (4.131) no limite r $ &. Este caso reproduz as solucoes da referencia [94].
A energia correspondente a estas solucoes tem a forma
EI(r) =r2
(1 + r2
! #
"#dx V (T ). (4.149)
Entao, para V (T ) = exp(!$T 2) e para T± = ±rx temos
EI(r) =r(
1 + r2. (4.150)
Deste resultado, vemos que EI(r = 0) = 0. No limite r $ 0, temos configuracoes taquionicas con-
stantes. Nosso modelo tem energia nula para configuracoes taquionicas constantes triviais com r = 0,
e energia unitaria para o kink singular (4.131) no limite r $ &. As solucoes tipo kink estaveis
T±(x) = ±rx sao parametrizadas por r, e tem energia dada por (4.150), que e bem definida em todo
intervalo 0 , r , 1. Na figura 4.9, mostramos EI(r) em todo o intervalo r + [0,&).
Analisamos tambem o caso F (T ) = sech(T ). As equacoes de primeira ordem sao
dT
dx= ±r sech(T ). (4.151)
Esta equacao foi resolvida em [96]. As solucoes sao
T (x) = ± arcsinh(r x). (4.152)
90
Figura 4.9: Perfil da energia em funcao do parametro real r. A linha cheia grossa corresponde a F (T ) =
1, para todos os modelos. As linhas tracejada, tracejada-pontilhada e pontilhada correspondem a
F (T ) = sech(T ) para os modelos tipo I, tipo IIa, e tipo IIb, respectivamente. A linha fina cheia
corresponde ao modelo tipo III, para F (T ) = sech(T ).
Podemos tambem observar que o kink singular (4.131) e agora muito naturalmente restaurado no
limite r $ &. A energia dos kinks regulares pode ser escrita como
EI(r) = r
! #
"#dx
e"(arcsinh2(x)
(1 + x2)
-
1 +r2
1 + x2
, (4.153)
que depende do parametro r. A energia anula-se para r = 0, e converge para a unidade no limite
r $ &. Na figura 4.9, a densidade de energia para r + [0,&) e mostrada. A forma de EI(r) e
muito parecida a de EI(r), indicando que a escolha da funcao F (T ) nao determina qualitativamente
o comportamento da energia.
Modelos Tipo II
Primeiramente, consideramos os modelos do tipo IIa. Se escolhermos a funcao F (T ) = 1, a
investigacao e similar ao caso da mesma funcao para o modelo tipo I. As solucoes tipo kink e energia
sao as mesmas. Entao, passamos para o proximo caso: F (T ) = sech(T ). As solucoes sao dadas por
(4.152) e a energia muda para
EIIa(r) =r
2
! #
"#dx
1
(1 + x2)21
-
1 +r2
1 + x2
, (4.154)
91
que zera para r = 0, e converge para a unidade no limite r $ &. Nao podemos encontrar uma
forma analıtica para a integral, por isso mostramos na figura 4.9 o perfil da energia EIIa(r) em todo
intervalo r + [0,&). Notamos novamente que EIIa(r) e muito parecida a EI(r), sugerindo que a escolha
especıfica do potencial taquionico nao determina qualitativamente o comportamento da energia
Tambem vamos considerar modelos tipo IIb, com o potencial (1/$)sech(T ). Para F (T ) = 1 en-
contramos os mesmos resultados para os casos anteriores. Para F (T ) = sech(T ), a investigacao e
ligeiramente modificada com a energia mundando para
EIIb(r) =r
$
! #
"#dx
1
(1 + x2)3/2
1-
1 +r2
1 + x2
. (4.155)
Na figura 4.9, tambem mostramos o perfil de EIIb como uma funcao de r. Vemos que ele e muito
similar a EIIa, mostrando que para os potenciais taquionicos da forma sech(T ) e sech2(T ) obtemos
resultados muito similares.
Modelo Tipo III
Consideramos o modelo tipo III, onde o potencial taquionico e VIII(T ) = (1/$)/(1+T 2) e a funcao
F (T ) e sech(T ). Os kinks tem a mesma forma (4.152), mas a energia muda para
EIII(r) =r
$
! #
"#dx
[1 + arcsinh2(x)]"1
(1 + x2)
-
1 +r2
1 + x2
, (4.156)
que novamente zera para r = 0, e converge para a unidade para r $ &. Contudo, a convergencia
e muito lenta, por causa da forma especıfica do potencial taquionico para este caso. Na figura 4.9,
mostramos o perfil de EIII em funcao de r. Seu comportamento e similar aos outros, embora mais
lento.
4.3.2 Solucoes Periodicas
Consideramos agora solucoes para V0 '= 0. Como ja vimos, neste caso nao ha solucao estavel.
Contudo, podemos compactificar a linha real para investigar solucoes de energia finita estaticas e
periodicas. Seguimos as referencias [95, 47], onde os autores estudaram esse tipo de solucoes no
modelo (4.126).
92
Escolhemos o caso V (T ) = VIIa(T ) = (1/2)sech2(T ), e o caso F (T ) = 1. Obtemos a equacao de
primeira ordem"
dTp
dx
#2
=1
"1(
1 + r2+ 2V0 cosh2(T )
#2 ! 1. (4.157)
A constante V0 e agora restrita ao intervalo que depende do parametro r. Um caso especıfico e r = 0,
e agora temos !1/2 , V0 , 0, com o campo taquionico vinculado ao intervalo !T0 , T , T0, com
T0 = arccosh&
!1/2V0. Este caso corresponde ao intervalo de pressao positiva.
Para r = 0, definimos a funcao
G(T ) =1
[1 + 2V0 cosh2(T )]2! 1. (4.158)
Essa funcao diverge nos pontos ±T0 e entao as solucoes periodicas deveriam terminar com derivada di-
vergente. Este comportamento nao e admissıvel. Concluımos, portanto que nao ha solucoes periodicas
de energia finita para V0 < 0, no caso de pressao positiva. Vemos que usando a densidade de energia
para escrever, para F (T ) = 1, e para r = 0 : T00(x) = !V0/(1 + V0/V ). Tomamos V = VIIa para ter
T00(x) = !V0
1 + 2V0 cosh2(T ). (4.159)
A constante V0 deve obedecer !1/2 , V0 , 0, e a energia diverge para os valores ±arccosh&
!1/2V0.
Desta maneira, notamos que a energia se anula no limite V0 $ 0, por causa da escolha F (T ) = 1 que
nos da kinks taquionicos que obedecem dT/dx = ±r, e para r = 0 temos solucoes taquionicas triviais
com energia nula.
Observando agora o caso r $ &, que da 0 , 2V0 cosh2(T ) , 1. Existem solucoes para 0 , V0 ,
1/2, com !arccosh(&
1/2V0) , T , arccosh(&
1/2V0). Este caso corresponde a pressao negativa, e
as solucoes sao similares aos kinks periodicos encontrados em [95, 47].
Outra maneira de regularizar kinks singulares e localizando a gravidade no centro do kink, isso
esta sendo investigado na referencia[97].
4.4 Dinamica Generalizada
O modelo taquionico pode ser visto como uma modificacao do modelo usual estudado no capıtulo
2. Podemos considerar outras modificacoes e procurar por solucoes estaticas com energia localizada.
Nesta secao, com base na referencia [98], estudamos algumas caracterısticas para a teoria geral dada
93
pela seguinte acao
S =
!
d2x L(#, X) (4.160)
onde X = (1/2)"µ#"µ#. A funcao de # e X, L(#, X), representa a densidade de lagrangeana. Supomos
que ela nao depende explicitamente das coordenadas do espaco-tempo para preservar a invariancia da
simetria de Poincare. A equacao de movimento e dada por
"µ
""L"X
"µ#
#
="L"#
. (4.161)
Podemos expandir esta equacao para obter
"2L"X"#
"µ#"µ# +"2L"X2
"µ#""#"µ""# +"L"X
!# ="L"#
. (4.162)
Para configuracoes estaticas, # = #(x), essas equacoes se tornam
"
2"2L"X2
sXs +
"L"Xs
#d2#
dx2= 2
"2L"Xs"#
Xs !"L"#
. (4.163)
Integramos esta equacao (4.163) na coordenada x, resultando em
Ls ! 2"L"Xs
Xs = C, (4.164)
onde C e uma constante de integracao, que identificamos com a pressao da solucao. Como investigamos
no capıtulo 2, solucoes estaticas estaveis tem necessariamente pressao nula. Portanto encontramos a
equacao de primeira ordem associada a de movimento
Ls ! 2"L"Xs
Xs = 0, (4.165)
que obviamente so depende do campo # e de sua primeira derivada d#/dx.
4.4.1 Estabilidade Linear
Introduzimos flutuacoes no campo escalar da forma #(x, t) = #(x)+&(x, t). A acao resultante com
contribuicoes quadraticas em & e dada por
S(2) =1
2
!
d2x
I"L"X
"µ&"µ& +"2L"X2
("µ#"µ&)2 +
6"2L"#2
! "µ
""2L
"X"#"µ#
#7
&2
J
. (4.166)
A equacao de movimento para & e dada por
"µ
""L"X
"µ& +"2L"X2
"µ#""#""&
#
=
6"2L"#2
! "µ
""L"X
"µ#
#7
&. (4.167)
94
Para configuracoes estaticas, # = #(x), escrevemos
"L"Xs
"2&
"t2!
"
"x
6"
2"2L"X2
sXs +
"L"Xs
#"&
"x
7
=
6"2L"#2
+"
"x
""L"Xs
"&
"x
#7
&. (4.168)
Supomos que &(t, x) = &(x) cos(.t), para obter
!d
dx
6"
2"2L"X2
sXs +
"L"Xs
#d&
dx
7
=
6"2L"#2
+d
dx
""2L
"Xs"#
d&
dx
#
+ .2 "L"Xs
7
&. (4.169)
Essa equacao pode ser escrita na forma compacta
!d
dx
6
a(x)d&
dx
7
= b(x)&, (4.170)
onde
a(x) = 2"2L"X2
sXs +
"L"Xs
, (4.171a)
b(x) ="2L"#2
+d
dx
""2L
"Xs"#
d&
dx
#
+ .2 "L"Xs
(4.171b)
sao funcoes da posicao. Para a(x) constante, essa equacao tem a forma da equacao de Schrodinger.
Caso contrario, ha termos de primeira ordem. Logo, precisamos introduzir novas variaveis
dx = A dz e & =u
-
"L"Xs
A
(4.172)
com
A2 #2
"2L"X2
sXs +
"L"Xs
"L"Xs
. (4.173)
Isso permite escrever esta equacao na forma de uma equacao de Schrodinger
!d2u
dz2+ U(z)u = .2u (4.174)
onde
U(z)=
"
A"L"Xs
#" 12 d2
dz2
"
A"L"Xs
# 12
!1
""L"Xs
#
6"2L"#2
+1
A
d
dz
""2L
"Xs"#
1
A
d#
dz
#7
(4.175)
e o potencial quantico efetivo que pode ser resolvido, encontrando seus correspondentes autovalores e
autoestados.
Na referencia [98], investigamos os casos particulares L(#, X) = V (#)F (X) e L = F (X) ! V (#),
para escolhas especıficas de funcoes.
95
Capıtulo 5
Campos Escalares e Energia Escura I -
Quintessencia e Dinamica Taquionica
‘‘Sometimes I get tired of the waiting
Sometimes I get tired of being in here
Is this the way it has always been?
Could it ever have been different?’’
A New Machine (part I) - David Gilmour
Em 1929, as observacoes do astronomo E. P. Hubble[99] constataram que o universo nao era
estatico, expandia. Os dados que Hubble catalogou mostravam que, quanto mais distante estava a
galaxia observada, maior era a sua velocidade aparente, seguindo a relacao z + 1 = a(t0)/a(t), onde z
e o parametro de red-shift, a(t) e o fator de escala e t0 e a idade do universo. A notıcia de um universo
em expansao teve muita oposicao na epoca pois acreditava-se na ideia de um universo eterno e estatico.
Com isso, naturalmente abriu-se espaco para uma cosmologia moderna, com novas teorias como a do
Big Bang, onde o universo emerge de uma singularidade extremamente densa e a do Big Crunch, o
equivalente ao Big Bang para um universo em contracao depois que ele parasse de se expandir devido
a desaceleracao causada pela acao gravitacional.
96
A ideia da desaceleracao do universo foi descartada em 1998. Dois grupos de observacao de Su-
pernovas do tipo Ia (Sn Ia) [22, 23] anunciaram atraves de resultados de analises de distancias de
luminosidade que o universo se expande de forma acelerada. E isso indica que o universo e recen-
temente dominado por um componente de energia denominada energia escura com comportamento
muito parecido ao da constante cosmologica. Esse resultado e confirmado pela analise da radiacao
cosmica de fundo (CMB)[100]. Determinacoes do parametro de densidade cosmologico indicam a
contribuicao desta energia #EE - 0, 8 ± 0, 1. Uma simples explicacao para a energia escura poderia
ser dada pela constante cosmologica [101], que foi introduzida pela primeira vez por Einstein[102] e
mais recentemente utilizada para acordar resultados observacionais com o universo plano[103]. Mas
infelizmente, o valor observado da densidade de energia $ / (3 * 10"3eV )4 / 10"10(eV )4 esta em
desacordo com os valores esperados pela fısica de partıculas $ / (1028eV )4 / 10122(eV )4. Portanto
novos esforcos sao feitos atualmente para encontrar alternativas para a energia escura.
Neste capıtulo introduzimos o formalismo de primeira ordem para modelos cosmologicos, cuja
a energia escura e regida por modelos de campos escalares reais homogeneas em geometrias esferica,
plana e hiperbolica. O formalismo de primeira ordem relaciona de maneira direta e simples o parametro
de Hubble com uma funcao do campos H = W (#). Na secao 5.1, fazemos uma breve introducao dos
modelos cosmologicos para um universo em expansao. Na secao 5.2, introduzimos e aplicamos nossa
metodologia de primeira ordem ao modelo da quintessencia e da materia taquionica, para o caso
plano. Tambem estendemos para uma densidade de lagrangeana generalizada, obtendo resultados
gerais. Alem de exemplos ja existente na literatura, introduzimos novos modelos. Na secao 5.3,
estendemos o formalismo para a geometria esferica e hiperbolica.
5.1 Preliminares
A acao geral para N campos escalares como fonte de materia na teoria de Einstein-Hilbert e dada
por
S =
!
d4x&
|g|"
!1
16$GR + L(#a, "µ#a)
#
. (5.1)
Para uma teoria padrao estudada no capıtulo 2, podemos escrever essa acao como
S =
!
d4x&
|g|"
!1
16$GR +
1
2"µ#a"
µ#a ! V (#1, . . . , #N )
#
. (5.2)
As equacoes de Einstein sao dadas por
Gµ! = 8$GTµ! , (5.3)
97
onde, Gµ! definido em (A.10), e o tensor de Einstein que e uma funcao da metrica gµ! e de suas duas
primeiras derivadas. A metrica gµ! representa a geometria do espaco tempo. O tensor Tµ! e o tensor
energia momento dado por
Tµ! = "µ#a"!#a ! gµ!
"1
2""#a"
"#a ! V (#1, . . . , #N )
#
. (5.4)
As equacoes para os campos escalares sao
1&
|g|"µ
+&
|g|"µ#a
,
+"V
"#a= 0, (5.5)
ou simplesmente
!# +"V
"#a= 0. (5.6)
Aqui ! e a generalizacao do operador d’Alembertiano para uma geometria arbitraria, definido em
(A.11). Com o uso das equacoes de movimento e facil ver que o tensor energia momento e conservado
"µTµ! = 0 (5.7)
para satisfazer a identidade de Bianchi.
5.1.1 O Modelo Cosmologico
O princıpio cosmologico afirma que o universo e isotropico e homogeneo a largas escalas. Este
princıpio leva-nos a metrica FRW (Friedmann-Robertson-Walker) cujo elemento de linha no espaco
tridimensional com curvatura constante e
ds2 = dt2 ! a2(t)
"dr2
1 ! kr2+ r2
0
d32 + sin(3)d221#
, (5.8)
e a(t) e o fator de escala que determina como o universo se expande. As coordenadas comoveis sao r,
3 e 2. E a constante k e 1, 0, ou !1, para a geometria esferica, plana ou hiperbolica, respectivamente.
O postulado de Weyl que considera que o universo em larga escala seja um fluido perfeito, leva
ao seguinte tensor energia momento Tµ! = (' + p)UµU! + p gµ! , onde Uµ e a quadri-velocidade do
fluido. Explicitamente escrevemos Tµ! = diag(',!p,!p,!p), onde ' e p representam a densidade de
energia e a pressao total de todas as componentes do universo, incluindo a energia escura, materia e
a radiacao. Definimos a equacao de estado
. =p
'. (5.9)
98
Usamos as equacoes de Einstein Gµ! = 8$GTµ! , para obter
H2 =8$G
3' !
k
a2, (5.10a)
H = !4$G(' + p) +k
a2, (5.10b)
onde ponto refere-se a derivada temporal. A funcao
H =a
a(5.11)
representa o parametro de Hubble. Podemos escrever as equacoes acima em termos do fator de escala
"a
a
#2
=8$G
3' !
k
a2, (5.12a)
a
a= !
4$ G
3(' + 3p). (5.12b)
Para que o universo esteja acelerado, e preciso que ' + 3p < 0, que resulta no vınculo para a equacao
de estado w < !1/3. Da equacao (5.10a), definimos o parametro densidade de materia adimensional
#(t) #'(t)
'c(t)= 1 +
k
(Ha)2, (5.13)
onde 'c = 3H2/(8$G) e a densidade crıtica. A distribuicao de materia determina a geometria do
universo,
# > 1 ou k = +1 $ universo fechado
# = 1 ou k = 0 $ universo plano
# < 1 ou k = !1 $ universo aberto
(5.14)
Recentes observacoes mostram que atualmente o universo e muito proximo da geometria plana # -
1[100]. Este e o resultado que espera-se que seja obtido naturalmente apos o processo de inflacao do
universo primordial[104].
Definimos a aceleracao cosmica que e escrita como
q =aa
a2= 1 +
H
H2. (5.15)
Se k = 0, podemos relacionar q com a equacao de estado por q = !(1/2)(1 + 3w).
A dinamica do campo escalar e o tensor energia-momento dependem da forma explıcita de L(#, "µ#).
Aqui investigaremos especificamente o modelo da quintessencia e da dinamica taquionica1.
1Mais detalhes do modelo cosmologico podem ser visto na dissertacao de Clelio Gomes[105].
99
5.1.2 Quintessencia
O modelo de campo escalar para quintessencia e a generalizacao direta de uma lagrangeana para
uma partıcula nao-relativıstica submetida a um dado potencial. A densidade de lagrangeana e
L =1
2"µ#"µ# ! V (#). (5.16)
A energia, a pressao e a equacao de estado sao dadas por
p =1
2#2 ! V
' =1
2#2 + V
K
(((L
(((M
w =p
'=
1 ! (2V/#2)
1 + (2V/#2). (5.17)
Os valores possıveis para w estao limitados entre !1 e +1. A expansao acelerada ocorre para #2 < V.
A equacao para o campo # do modelo (5.16) e
# + 3H# +dV
d#= 0. (5.18)
As equacoes de Einstein (5.10) para ' e p dados por (5.17) sao
H2 =8$G
3
"1
2#2 + V
#
!k
a2, (5.19a)
H = !4$G #2 +k
a2. (5.19b)
Podemos escrever o potencial em termo de H, H e #
V = #2 +3
8$G(H2 + H) (5.20)
que elimina o termo que depende explicitamente de k.
5.1.3 Dinamica Taquionica
A densidade de lagrangeana para um condensado taquionico em uma D3-brana e dada por
L = !V (#)&
det(gab + "a#"b#), (5.21)
onde V (#) e o potencial taquionico. A energia, a pressao e a equacao de estado sao dados por
p = !V?
1 ! #2
' =V
?
1 ! #2
K
(((((L
(((((M
w =p
'= !1 + #2. (5.22)
100
Os valores possıveis de w estao limitados entre !1 e 0. A expansao acelerada ocorre para #2 < 2/3. A
equacao de movimento do campo # para o modelo (5.21) e
# + (1 ! #2)
"
3H# +1
V
dV
d#
#
= 0. (5.23)
As equacoes de Einstein para p e ' dados por (5.22) se escrevem
H2 =8$G
3
V?
1 ! #2!
k
a2, (5.24a)
H = !4$GV #2
?
1 ! #2+
k
a2. (5.24b)
Podemos escrever o potencial em termo de H, H e #
V =3
8$G
?
1 ! #2
1 !3
2#2
(H2 + H), (5.25)
que elimina o termo que depende explicitamente de k.
5.1.4 Dinamica Generalizada
Recentemente surgiram diversas teorias com a dinamica generalizada para um melhor ajuste dos
parametros observacionais como por exemplo modelos de k-essencia, condensado de fantasmas, fantom,
quintom, entre outros [20]. Tomamos entao a lagrangeana generalizada dada por
L = L(#, X), (5.26)
onde X = (1/2)"µ#"µ#. A energia, a pressao e a equacao de estado sao dadas por
p = L
' = 2X"L"X
! L
K
(((L
(((M
w =p
'=
"
2X
L"L"X
! 1
#"1
. (5.27)
A expansao acelerada ocorre para "(LX)/"X < 0, para solucoes #(t), X = (1/2)#2. A equacao de
movimento para a variacao da acao com respeito a # e
d
dt
""L"X
d#
dt
#
+ 3H"L"X
d#
dt= L#. (5.28)
101
Multiplicando por d#/dt, obtemos
d
dt
"
2X"L"X
! L#
+ 6H"L"X
X = 0, (5.29)
que e a equacao da conservacao da densidade de energia. As equacoes de Einstein para p e ' dados
por (5.27) se escrevem
H2 =8$G
3
"
2X"L"X
! L#
!k
a2, (5.30a)
H = !4$G
"
2X"L"X
#
+k
a2. (5.30b)
A equacao
H + H2 = !8$G
3
" (XL)
"X(5.31)
independe explicitamente de k.
5.2 Formalismo de Primeira Ordem para Curvatura Nula
O formalismo de primeira ordem consiste em reduzir a ordem derivativa das equacoes de movi-
mento. Para isso, com base na referencia [106], supomos que o parametro de Hubble seja uma funcao
do campo #
H = W (#). (5.32)
Da equacao (5.30b), com k = 0, chegamos a relacao2
#"L"X
= !dW
d#. (5.33a)
Isto permite reescrever a equacao (5.29) apos uma integracao como
2X"L"X
! L!3
2W 2 = 0. (5.33b)
Essa equacao e de primeira ordem, pois so depende de # e #. Obrigatoriamente uma constante de
integracao tem que ser tomada como nula quando comparamos a equacao acima com a equacao (5.30a).
Portanto, as duas equacoes dependem tanto do campo quanto de sua derivada. Uma possibilidade
trivial de resolucao dessa equacao e encontrarmos # e ¯# constantes. Isso vincula dW/d#|# = 0 e
(L ! (3/2)W 2)|# = 0. A segunda maneira de resolver esse sistema e forcar que ambas as equacoes
sejam identicas, isso leva a um vınculo na densidade de lagrangeana6
2X"L"X
! L!3
2W 2
7 >>>>#LX+ dW
d"=0
= 0. (5.34)
2Por simplicidade, a partir desta secao vamos escolher 4$G = 1.
102
5.2.1 Quintessencia
Para a densidade de lagrangeana (5.16), a relacao (5.33a) e dada por
# = !dW
d#, (5.35)
e a condicao de vınculo na densidade de lagrangeana (5.34) impoe que o potencial seja escrito como
V =3
2W 2 !
1
2
"dW
d#
#2
. (5.36)
Para esse potencial a equacao (5.18) e satisfeita. Isso significa que se pudermos escrever o potencial
na forma da equacao (5.36), as solucoes da equacao # = !dW/d# satisfazem o conjunto de equacoes
(5.18) e (5.19). Ao resolver esta equacao de primeira ordem, diretamente obtemos o parametro de
Hubble H, pois H = H(#(t)).
O potencial (5.36) lembra muito o potencial de supergravidade, onde a supersimetria impoe re-
stricoes similares [108, 26, 109]. Contudo, nossos calculos a priori nao conexao com supergravidade
que requer manipulacoes mais sofisticadas.
Na maneira tradicional, como tanto o fator de escala quanto o campo escalar dependem do tempo,
a = a(t) e # = #(t), temos H = H(t). Da equacao (5.30a), precisamos ver o potencial como uma
funcao do tempo. Contudo, da equacao de movimento para o campo escalar vemos que V = V (#);
entao, para fazer esses dois pontos de vistas equivalentes, precisamos ver o parametro de Hubble
como uma funcao do campo escalar. Esse e o ponto chave, e fazemos de uma maneira muito eficiente
introduzindo uma nova funcao, W = W (#), de onde podemos entender que o parametro de Hubble
depende do tempo atraves da funcao W (#(t)).
O potencial nao depende do sinal de funcao W (#) e a mudanca W $ !W nas equacoes acima leva
a outra possibilidade: H = !W e # = dW/d#. Uma busca cuidadosa na literatura sobre o assunto
levou-nos ao trabalho de Kallosh e Linde [110], em que eles apontam possibilidades parecidas, contudo
olhando de um outro ponto de vista, de uma perspectiva de teorias de branas supersimetricas.
Reescrevemos a energia, a pressao e a equacao de estado
p =
"dW
d#
#2
!3
2W 2
' =3
2W 2
K
((((L
((((M
w = !1 +2
3
"d lnW
d#
#2
. (5.37)
A aceleracao pode tambem ser expressa em termos de #, de modo que
q = 1 !"
d lnW
d#
#2
. (5.38)
103
Escolhemos um conjunto de funcoes W (#) para exemplificar o formalismo de primeira ordem.
Como primeiro exemplo, escolhemos a funcao W (#) = A#n, onde A e n sao parametros reais. De
(5.36), obtemos o potencial
V =1
2A2#2n
"
3 !n2
#2
#
. (5.39)
De (5.35), encontramos a solucao do campo escalar
#(t) = (n(n ! 2)A t )1
2!n . (5.40)
Para n '= 2, escolhemos a constante de integracao t0 = 0. Para o caso especial n = 2, com o potencial
V (#) = (A2/2)(3#2 ! 4)#2 (que apresenta quebra espontanea de simetria), a solucao e
#(t) = #0e"2At, (5.41)
onde mantemos a constante de integracao #0. O parametro de Hubble para n '= 2 e
H(t) = A2
2!n (n(n ! 2) t)n
2!n . (5.42)
O caso n = 2 leva ao parametro de Hubble
H(t) = A#20e
"4At. (5.43)
O caso n = 1 e interessante, pois o potencial V = 12A2
0
3#2 ! 11
reproduz um dos potenciais negativos
investigados em [111]. O campo e #(t) = A(t0 ! t) e o parametro de Hubble e H(t) = !A2(t0 ! t).
O proximo exemplo e dado por W (#) = Ae"B#, onde A e B sao parametros reais. O potencial
(5.36) e portanto
V =1
2A2(3 ! B2)e"2B#. (5.44)
O campo da quintessencia e dado por #(t) = (1/B) ln(!AB2t) e o parametro de Hubble H(t) =
1/(B2t) e a aceleracao q = !1+1/B2. O caso B2 = 3 leva ao o potencial nulo que origina H = (3t)"1.
Escolhemos agora a funcao W (#) = A + arctan(senh(B#)), onde A e B sao parametros reais. O
potencial e escrito como
V =3
2(A + arctan(senh(B#))2 !
1
2B2sech2(B#). (5.45)
Ilustramos o potencial para alguns valores de A, e B na figura 5.1. Fixamos os valores de B = 1 e
escolhemos tres situacoes para o parametro A; i) A = 0, obtemos um potencial simetrico com valores
negativos; ii) A + (0, $/2), obtemos potenciais assimetricos parecidos ao caso requerido na evolucao
104
cıclica [111, 112, 113]; iii) A = $/2, onde temos o potencial tipo kink que leva assintoticamente a um
universo estatico.
O campo e escalar # e dado por
#(t) = !1
Barcsenh(B (t ! t0)) (5.46)
e a funcao de Hubble e dada por
H(t) = A ! arctan(B (t ! t0)). (5.47)
Para t $ &, temos como valor assintotico H = A ! $/2; assim, com o valor A = $/2, a expansao
tende a um universo estatico. E para t = t0, H(t0) = A.
(a) Potencial (5.45). (b) Parametro de Hubble (5.47).
Figura 5.1: O perfil do potencial (5.45) e do parametro de Hubble (5.47) para B = 1, e A = 0, $/4, e
$/2, para as curvas cheia, tracejada e traco-pontilhada, respectivamente.
5.2.2 Dinamica Taquionica
Para a densidade de lagrangeana (5.21), LX = !V (#)/(
1 ! 2X. As equacoes (5.33b) e (5.34) sao
escritas como
#V (#)?
1 ! #2= !
dW
d#, (5.48a)
V (#)?
1 ! #2=
3
2W 2. (5.48b)
105
Dessas duas equacoes chegamos a
# = !2
3
1
W 2
dW
d#, (5.49a)
V (#) =3
2
B
W 4 !4
9
"dW
d#
#2
. (5.49b)
Consideramos o exemplo W = (2B)/(3#), onde B e um parametro positivo. Obtemos o potencial
taquionico
V (#) =B(
B2 ! 1
#2, (5.50)
que requer B > 1. A equacao para o campo simplesmente se escreve por # = 1/B, que resulta em
#(t) =1
B(t ! t0). (5.51)
Portanto o parametro de Hubble e
H(t) =2B2
3(t ! t0). (5.52)
Podemos escolher que a equacao (5.49a) seja escrita na forma # = !df/d#. Isso leva a funcao W
a seguinte forma
W (#) = !2
3f(#). (5.53)
O potencial taquionico e reescrito como
V (#) =2
3f(#)2
B
1 !"
df
d#
#2
. (5.54)
Tomemos por exemplo a funcao f(#) = (1/3)#3 ! # ! A, cuja solucao para o campo taquionico e
#(t) = tanh(t ! t0). O potencial e escrito como
V (#) = 6
?
1 ! (1 ! #2)2
(3# ! #3 + A)2(5.55)
onde A e um parametro arbitrario. O potencial restringe o campo escalar ao intervalo [!1, 1]. A
solucao de (5.35) esta nesse intervalo #(t) = tanh(t ! t0) e o parametro de Hubble e
H(t) =2
3 tanh(t ! t0) ! tanh3(t ! t0) + A. (5.56)
Para t $ !&, tem valor assintotico H = !2/(2!A). Para t $ &, tem valor assintotico H = 2/(2+A).
E em t = t0, H(t0) = 2/A, sendo divergente para A = 0. Na figura 5.2 e mostrado o perfil do potencial
e do parametro de Hubble.
106
(a) Potencial taquionico (5.55). (b) Parametro de Hubble (5.56).
Em todos os casos, H tem compor-
tamento assintotico para 2/(2+A).
Para A = 0, H e divergente em
t = t0.
Figura 5.2: As curvas cheia, tracejada e ponto-tracejada, representa o parametro A igual a 0, 0,5 e 3,
respectivamente.
Um segundo exemplo e a funcao f(#) = A ! sin(#). O potencial e dado por
V (#) =2 cos(#)
3(A ! sin(#))2. (5.57)
Para A2 < 1, esse potencial tem divergencias. O campo taquionico e #(t) = arcsin(tanh(t ! t0)) e o
parametro de Hubble e
H(t) =2
3
1
A ! tanh(t ! t0). (5.58)
Para t $ !&, tem valor assintotico H = !2/(3(A + 1)). Para t $ &, tem valor assintotico H =
!2/(3(A ! 1)). E em t = t0, H(t0) = !2/(3A), sendo divergente para A = 0.
Um terceiro exemplo e a funcao f(#) = A ! arctan(sinh(#)). O potencial taquionico e dado por
V (#) =2 tanh(#)
3 (A ! arctan(sinh(#)))2. (5.59)
Para A2 < 1, esse potencial tem divergencias. O campo e #(t) = arcsenh(t ! t0) e o parametro de
Hubble e
H(t) = !2
3
1
A ! arctan(t ! t0). (5.60)
Finalmente, introduzimos a seguinte funcao f(#) = ln(cosh(#)) + A, com A e um parametro positivo.
O potencial e
V (#) =6 sech(#)
(ln(cosh(#)) + A)2, (5.61)
107
cuja solucao e dada por #(t) = arctanh0
(1 + e2t)"1/21
e parametro de Hubble dado por
H(t) = !2
3
1
ln((
e"2x + 1) + A. (5.62)
Em t $ !&, H tem valor assintotico nulo. Para t $ &, H tende a H $ !2/(3A).
5.2.3 Modelos com N Campos Escalares
Podemos estender nossa metodologia para modelos de dois ou mais campos escalares reais. Por
simplicidade, escolhemos a dinamica padrao dada por (5.2). A energia, a pressao e a equacao de estado
sao dadas por
p =1
2#2
a ! V
' =1
2#2
a + V
K
(((L
(((M
w =p
'=
1 ! (2V/#2a)
1 + (2V/#2a)
. (5.63)
As equacoes de movimento para os campos sao
#a + 3H#a +"V
"#a= 0. (5.64)
Seguindo o procedimento do formalismo de primeira ordem sugerimos H = W (#) e as equacoes de
primeira ordem
#a = !"W
"#a. (5.65)
Isso leva ao potencial
V (#1, . . . , #N ) =3
2W 2 !
1
2W 2
#1! . . . !
1
2W 2
#N. (5.66)
As equacoes de primeira ordem tambem resolvem as de movimento. O parametro de aceleracao e
q = !1 + (1/W 2)("W/"#a)2.
Se considerarmos a funcao W aditiva
W (#1 . . . , #N ) = W1(#1) + . . . + WN (#N ), (5.67)
obtemos o potencial
V (#1, . . . #N ) =$
a
Va(#a) + 3$
a,b
Wa(#a)Wb(#b), com a '= b (5.68)
onde
V1(#1) =3
2W 2 !
1
2W 2
#1(5.69)
108
e assim sucessivamente. Os termos de soma mostram a interacao entre os campos. O parametros de
Hubble e aditivo
H = H1(#1(t)) + . . . + H2(#N (t)). (5.70)
Modelos deste tipo foram investigados na referencia [106] e recentemente em [115].
5.3 Formalismo de Primeira Ordem para Curvatura Nao Nula
A metodologia acima e inspirada em trabalhos recentes, em que a grande maioria assume o espaco
tempo plano (k = 0), devido aos recentes resultados experimentais que evidenciam que a curvatura do
universo e muito pequeno # - 1 e pode ser desprezada. Contudo, para investigar todo o cenario ple-
namente, observamos a possibilidade da manutencao desse formalismo para o caso em que escolhemos
k arbitrario. Este caso e mais difıcil de implementar e por isso por simplicidade tomamos a teoria da
quintessencia para introduzirmos o nosso formalismo.
A escolha H = W (#) nao e suficiente para resolver o problema agora. No entanto, se insistimos
com essa escolha, o procedimento requer a presenca de um vınculo. Impomos que
# = k0Z !dW
d#, (5.71)
onde Z = Z(#) e a princıpio uma funcao arbitraria e 0 e uma constante. Note que (5.71) e parecida
com (5.35), valida no caso k = 0, mas agora o potencial e modificado para a seguinte forma
V =3
2(H2 + H) + #2, (5.72a)
V =3
2W 2 +
"
k0Z !dW
d#
#"
k0Z +1
2
dW
d#
#
. (5.72b)
A equacao de movimento do campo # para o potencial acima, leva ao vınculo para a funcao Z(#)
d2W
d#2Z +
dW
d#
dZ
d#! 2k0Z
dZ
d#! 2WZ = 0. (5.73)
Podemos escrever W (#) e Z(#) arbitrariamente. Isso restringe o nosso estudo, mas algumas possibil-
idades podem ser abordadas.
Podemos escrever Z(#) = (df/d#)/W, onde f(#) e uma funcao de #. Substituindo depois de uma
integracao em #
WdW
d#
df
d#! k0
"df
d#
#2
! 2f(#)
"dW
d#
#2
= 0. (5.74)
uma constante de integracao foi tomada como nula para satisfazer as equacoes de movimento.
109
5.3.1 Exemplos para Curvatura Nao Nula
O caso com k '= 0 e mais complicado. Vemos do vınculo (5.73) que a escolha de Z depende
diretamente da forma de W . Para Z = 1, obtemos
d2W
d#2= 2W, (5.75)
e entao
W = Ae&
2# + Be"&
2#. (5.76)
Outra possibilidade e escolhermos Z = dW/d#, que leva a relacao
(1 ! k0)d2W
d#2= W, (5.77)
que mostra que W e periodico ou nao, dependendo do sinal de 1 ! k0, pois
W = AeC# + Be"C#, (5.78)
onde C = ±1/(
1 ! k0.
O parametro de desaceleracao e
q = !1 + (1 ! k0)
"1
W
dW
d#
#2
, (5.79)
que pode ser menor ou maior que !1, para 1 ! k0 negativo ou positivo, respectivamente.
Para B = 0, temos
V = (1 ! k0)A2 e2C# (5.80)
e H = 1/t. Aqui o parametro de aceleracao e nulo.
Tambem consideramos W = A sin(#/(
k0 ! 1) para A constante e k0 ! 1 positivo. Neste caso
temos
V =3
2A2 + A2(k0 ! 1) cos2
"#(
k0 ! 1
#
(5.81)
e H=A tanh(At). A evolucao e acelerado, com q,!1.
Recentemente o formalismo de primeira ordem foi estendido [116] para a dinamica taquionica com
vınculo semelhante ao encontrado no presente trabalho. Tambem foi feita a extensao para o caso plano
na presenca de materia nao relativıstica[117].
110
Capıtulo 6
Campos Escalares e Energia Escura II -
Redes de Paredes de Domınio
‘‘Entre mil n~aos e dois mil sins,
ha alguns talvezes e um ou dois porques...
Entre meus olhos e os seus,
turva bruma e porens, o quem vem la?’’
Em fısica de partıculas, redes de defeitos devem ser formadas em transicoes de fase no universo
primordial [14]. O tipo de defeito formado em uma transicao depende especificamente dos detalhes de
cada quebra de simetria [17], com as correspondentes consequencias cosmologicas.
A dinamica desses defeitos esta associada a criterios energeticos e topologicos inerentes a cada
modelo. Dependendo da estrutura topologica do modelo que controla a formacao das paredes de
domınio, ha diferentes maneiras desses defeitos interagirem. Certos tipos de paredes de domınios ao
se interceptarem rasgam-se levando a instabilidade local da rede. Para modelos com uma estrutura
topologica mais complexa, e possıvel a formacao de juncoes entre as paredes, podendo muitas vezes
evitar ou diminuir a velocidade dos colapsos dos domınios, estabilizando a rede - veja a figura 6.1 como
ilustracao. Portanto, juncoes interferem no comportamento de toda a rede de paredes de domınio,
por este motivo devem ser investigadas. Em particular, precisamos entender o comportamento dos
varios tipos de juncoes, o seu papel na evolucao e consequencias cosmologicas. Esses modelos (tanto
111
de paredes quando de cordas) sao pouco estudados [119, 123, 124, 125, 126, 127, 128] por causa da
dificuldade tecnica em faze-lo e tambem por causa da pouca motivacao fısica para isso. Recentemente
[140, 141, 142], alguns trabalhos mostram que modelos de redes de supercordas cosmicas deveriam ter
a topologia que permitisse a formacao juncoes.
Um recente motivo para se estudar esse tipo de redes de paredes de domınio e a possibilidade de
que elas contribuam para a energia escura. Se elas sao ou nao sao candidatos viaveis para explicar a
aceleracao do universo, depende das caracterısticas das dinamicas envolvidas nos modelos.
Na referencia [21], foi introduzido o conceito de frustracao. A frustracao de uma rede de defeitos
consiste na possibilidade de ela parar em coordenadas comoveis devido as juncoes. A rede frustrada
apenas estica de maneira conforme devido a expansao do universo. Como a densidade superficial 1
permanece constante, a energia da rede cresce com a expansao. Neste limite, redes de cordas cosmicas
tem a equacao de estado com . = !1/3, o que seria difıcil ajustar com resultados observacionais, visto
que as mais recentes observacoes apontam wEE < !(1+#0m/#0
EE) /< 1/2. E e conhecido que nenhuma
rede de cordas cosmicas chegara a esse limite [139]. Por outro lado, para redes de paredes de domınio
no mesmo limite, espera-se que . = !2/3 + v2, que faz delas candidatas muito mais promissoras,
desde que tenha a velocidade RMS v muito pequena.
Tambem e importante mencionar que paredes de domınio sao cosmologicamente perigosas e por-
tanto existem limites muito restritivos para os valores de suas caracterısticas, como a densidade su-
perficial e a espessura. Isto foi originalmente discutido em [18] e depois estendido de varias maneiras
nas referencias[129, 130, 131]. Contudo, deve-se enfatizar que esses limites nao sao derivados de es-
tudos detalhados de dinamicas de paredes de domiınio, sao apenas baseados em estimativas simples
que estas dinamicas deveriam ter. Nessas estimativas e sempre assumido implicitamente ou explicita-
mente que ha uma parede de domınio por volume de Hubble, coisa que nao acontece para o caso de
redes frustradas, visto que o tamanho tıpico das paredes e bem menor que o comprimento de Hub-
ble. Ha tambem analises mais detalhadas mas puramente fenomenologicas para esse tipo de modelos
[132, 133, 134]. A nıvel qualitativo eles trazem indicacoes que as faixas permitidas para os parametros
do modelo[18], mas novamente falham em suposicoes incorretas para redes de paredes de domınio.
Da mesma maneira, nao ha um estudo das condicoes necessarias para que redes de paredes sejam
frustradas. Em duas referencias foram feitas simulacoes bidimensionais [119, 124], com resultados
distintos. De um lado, os autores de [119] encontram que sempre em modelos nao triviais (modelos
ZN ), processos de aniquilacao podem ser razoavelmente eficientes, entao as redes de paredes nao
apresentam tendencia de frustracao. Por outro lado[124], para um suficiente numero de campos no
modelo e uma especıfica escolha das condicoes iniciais, encontram algumas pistas de possıvel formacao
112
de redes hexagonais, contudo a pequena quantidade de simulacoes deixa os resultados sem conclusao
precisa. O fato de que as velocidades das redes serem altas tambem enche de duvidas a interpretacao
destes resultados. Em outro contexto, em um estudo com dimensoes compactas [135], os autores nao
encontram frustracao.
Por fim, existem algumas recentes tentativas de construir (a mao) redes de paredes de domınio e de
estudamos a estabilidade [136, 137, 138]. Tais estudos chegam a resultados sugestivos e interessantes
mas falham em conectar com a chave do assunto: como as redes poderao imergir de condicoes iniciais
realısticas de paredes de domınio que sao formadas por transicoes de fase.
Neste capıtulo, investigamos varios aspectos de solucoes do tipo parede de domınio. Na secao 6.1,
estudamos o comportamento de paredes de domınio no espaco de Minkowski e em uma geometria
FRW plana. Na secao 6.2, fazemos alteracoes nas equacoes de movimento com o objetivo de manter
a espessura constante em coordenadas comoveis e introduzimos o metodo de diferencas finitas para
as simulacoes. Mostramos a simulacao para o modelo #4, onde as paredes nao formam juncoes. Na
secao 6.3, investigamos um modelo de dois campos escalares acoplados para entender os criterios
energeticos e topologicos para a formacao de juncoes entre as paredes. Na secao 6.4, estendemos o
estudo para modelos com tres campos escalares reais, especificamente os modelos BBL e Kubotani e
finalmente relacionamos os dois. Na secao 6.5, atraves de argumentos geometricos e energeticos simples
discutimos as condicoes necessarias para que redes de paredes entrem em frustracao. Na ultima secao,
introduzimos um modelo que chamamos de modelo ideal, que e o modelo mais propıcio a frustracao.
(a) Interseccao de duas paredes de
domınio cuja topologia nao permite a
formacao de juncoes. Ha duas possibil-
idades. Em ambos os casos ha a insta-
bilidade local da rede.
(b) Interseccao de duas paredes de
domınio cuja topologia permite a
formacao de juncoes triplas. Ha duas
possibilidades. Na primeira, ha o co-
lapso de uma parede fechada. Na se-
gunda, sao formadas quatro juncoes
triplas.
Figura 6.1: Ilustracao da interseccao de duas paredes de domınio.
113
6.1 Defeitos em Campos Escalares em 2 e 3 Dimensoes
No capıtulo 2, mostramos pelos argumentos de Derrick e Hobart que no espaco de Minkowski, toda
configuracao estatica de energia finita de um modelo de campos escalares em dimensoes maiores que 1
tende a colapsar. Uma configuracao de energia finita no plano e uma linha fechada e no espaco e uma
bolha. A densidade superficial (linear para o caso bidimensional) desses objetos e constante. Portanto,
ao reduzir seu volume (area), sua energia e reduzida, resultando no colapso. A energia dissipada e
transformada em radiacao de materia. Para investigar o colapso de uma (D ! 1)-brana com simetria
esferica e raio r0, tomamos o limite de espessura fina + 0 r0. A massa desse objeto e m = 1A, onde
A e seu (D ! 1)-volume que depende do raio r, A / rD"1. Isso nos leva a m(r) / 1 rD"1. A energia
desse objeto e E = * m, com * = (1 ! r2)"1/2 e conservada. Logo temos
r2 = 1 !1
*0
"r
r0
#2(D"1)
, (6.1)
onde *0 = (1 ! r20)
"1/2 depende da velocidade inicial do defeito. Supondo que o defeito esteja inicial-
mente estatico, r0 = 0, podemos escrever
dr
dt= !
B
1 !"
r
r0
#2(D"1)
. (6.2)
Essa equacao diferencial deve ser resolvida para a condicao inicial r(0) = r0. Para D = 2, ela e
resolvida analiticamente com a seguinte solucao
r(t) = r0 cos
"t
r0
#
. (6.3)
Para as outras dimensoes, ao integrar a equacao diferencial acima, encontramos uma funcao hiper-
geometrica que nao e inversıvel. Apesar disso conseguimos encontrar analiticamente o tempo em que
a brana colapsa em funcao da dimensao espacial
tc = r0(
$
&
"2D ! 1
2D ! 2
#
&
"D
2D ! 2
# . (6.4)
O tempo do colapso e diretamente proporcional a r0 e e tanto menor quanto maior for a dimensao.
Por exemplo, tc e 1,57, 1,30, 1,22, 1,16, respectivamente, para D = 2, 3, 4 e 5. Note que esse resultado
e aproximado, visto que para valores pequenos de raio, a relacao de parede fina + 0 r0 nao e mais
valida para um caso realıstico. Nas referencias [143, 144], Widrow investigou o caso tridimensional de
114
paredes esfericas finas considerando flutuacoes na paredes; tambem, e feita a simulacao numerica de
um colapso de uma parede regida nos modelos #4 e seno-Gordon.
Agora, investigamos as caracterısticas de uma parede de domınio plana e infinita. Para cada ponto
do espaco, e determinado o valor das componentes do tensor energia-momento. Devido a simetria
planar dessa superfıcie, Tµ! e invariante sobre um boost em qualquer direcao da parede. Supondo que
a parede esta disposta sobre o plano x ! y, considere um boost dado por
t% = *(t + vx), x% = *(x + vt), y% = y e z% = z. (6.5)
Para essa mudanca de coordenadas, Tµ! deve se transformar por
Tµ"!"
= $µ"
"$!"
+T"+ , (6.6)
onde $µ! obedece a relacao dxµ"
= $µ"
! dx! . Portanto, as componentes deste tensor sao
$00 = *, $0
1 = $10 = *v, $1
1 = *. (6.7)
As outras componentes sao nulas. Vamos calcular algumas componentes de Tµ"!"
em termos do anterior
T 0"2" = *T 02 + *vT 12, (6.8a)
T 1"2" = *T 12 + *vT 02, (6.8b)
T 0"3" = *T 03 + *vT 23, (6.8c)
T 1"3" = *T 13 + *vT 03, (6.8d)
T 0"1" = *2vT 00 + 2*2(v2 + 1)T 01 + *2vT 11, (6.8e)
T 0"0" = *2T 00 + 2*2vT 01 + *v2T 11, (6.8f)
T 1"1" = *2v2T 00 + 2*2vT 01 + *2T 11. (6.8g)
A simetria da parede de domınio nos leva a identificar Tµ"!"
= Tµ! . De (6.8a) e (6.8b), chegamos a
T 02 = T 12 = 0. De (6.8c) e (6.8d), concluimos que T 03 = T 13 = 0. Pela simetria da parede temos
T 01 = T 02 = 0 e T 23 = T 13 = 0, e de (6.8e), obtemos T 11 = !T 00 que pode ser verificado nas ultimas
duas equacoes. Novamente por simetria T 22 = T 11 = !T 00. O tensor energia momento e determinado
basicamente por duas componentes que sao T 00 e T 33.
O valor de T 33 e nulo visto que a parede e a imersao tridimensional de um kink. Poderıamos
utilizar o teorema de Derrick na direcao transversal a parede para uma area infinitesimal dA = 1dxdy,
e verificar que a condicao de pressao nula e necessaria para a estabilidade. Portanto o tensor energia
momento no espaco de Minkowski de uma parede plana infinita transversal ao eixo z e
Tµ! = (',!',!', 0), (6.9)
115
o que mostra que a tensao da parede de domınio nas duas direcoes tangenciais tem intensidade igual
a densidade superficial. E por esse motivo que paredes curvas colapsam.
Uma rede de paredes de domınios planas e sem juncoes tem densidade de energia superficial
constante relacionada com o fator de escalar por
' =M
V1
1L2
L3=
1
L1
1
a(t)(6.10)
onde L e o escala de comprimento das paredes. Sendo assim, utilizamos a equacao de estado
d'
dt+ 3H.' = 0 (6.11)
para encontrar . = !2/3. Esse resultado esta de acordo com a expressao (6.9).
Paredes de domınio sao obtidas em sistemas de campos escalares dados pela acao padrao (5.2), e
as equacoes de movimento sao dadas por (5.6). Usando a metrica de Friedmann-Robertson-Walker
com curvatura nula (k = 0), essas equacoes de movimento se reduzem a
"2#a
"t2+ 3H
"#a
"t!"2#a +
"V
"#a= 0, (6.12)
onde o operador laplaceano e dado em coordenadas fısicas. Podemos tambem escolher modificacoes
na acao padrao, cuja acao mais geral em termos do campo e de sua primeira derivada e dada por
S =
!
dt
!
d3x(!gL(#a, Xa), (6.13)
onde Xa = (1/2)"µ#a"µ#a, e uma maneira de escrever termos de derivada de maneira covariante de
modo que as solucoes respeitem a simetria de Lorentz. As equacoes de movimento para a variacao da
acao com respeito a #a sao(!g "µ
0(!gLX"µ#a
1
= L#a , (6.14)
onde LX = "L/"X e L#a = "L/"#a. Utilizamos novamente a metrica de FRW, essas equacoes sao
reescritas comod
dt
"
LXd#a
dt
#
+ 3HLXd#a
dt!
"
"xi
"
LX"#a
"xi
#
= L#a . (6.15)
Para parede estatica, podemos escrever
!"
"z
"
LX"#a
"z
#
= L#a . (6.16)
A solucao da equacao acima e de parede plana e infinita e pode ser escrita como # = #(z), assumindo
que ela esteja disposta no plano x! y. Novamente fazemos transformacao de Lorentz so que agora na
direcao z. Da mesma maneira que foi feito na secao (2.1.2) para a solucao de onda viajante, escolhemos
116
a solucao #a(u) = #a(*(x!vt)). O fator * leva em conta a contracao de Lorentz. As derivadas parciais
se transformam como
"#a
"t=
d#a
du
"u
"t=
d#a
duv* , (6.17a)
"#a
"z=
d#a
du
"u
"z=
d#a
du* , (6.17b)
"2#a
"z2=
d#2a
du2*2 , (6.17c)
"2#a
"t2=
d#2a
du2v2*2 +
d#a
du
d(v*)
dt. (6.17d)
Notando que para esse caso X = !(1/2)(d#a/du)2, podemos escrever
!d
du
"
LXd#a
du
#
+d#a
duLX
6d(v*)
dt+ 3H(v*)
7
= L#a . (6.18)
Para preservar a covariancia da equacao de movimento, temos que exigir
d(v*)
dt+ 3H(v*) = 0. (6.19)
Essa equacao tem a seguinte solucao
*v 11
a(t)3. (6.20)
Para uma partıcula teste, a relacao e *v 1 a(t)"1. A diferenca no expoente no caso de uma parede
de domınio ocorre porque a expansao a faz esticar, aumentando sua massa proporcionalmente a a(t)2
e logo na velocidade tem que ser descontadas essas potencias para preservar o momento.
Integrando as equacoes de movimento, obtemos"
d#a
du
#2
= 2V , (6.21)
e portanto mostramos, usando (6.17a), a relacao
v2*2 =1
2V
""#a
"t
#2
. (6.22)
6.2 Analise Numerica de Redes de Paredes
Com a finalidade de fazer simulacoes apropriadas de redes de paredes de domınio regidas por (6.12),
definimos a coordenada de tempo conforme d& = a(t)"1dt. Passando para coordenadas comoveis,
obtemos"2#a
"&2+ 2
"d ln a
d ln &
#1
&
"#a
"&!"2#a + a2 "V
"#a= 0. (6.23)
117
Agora, o laplaceano e escrito em coordenadas comoveis. Se a(t) segue uma lei de potencia a(t) 1 tp,
o termo d ln a/d ln & = p/(1 ! p) e constante.
Simulamos redes de paredes de domınio dentro de uma caixa quadrada (simulacoes bidimensionais)
e de uma caixa cubica (simulacoes tridimensionais). Utilizamos condicoes de contorno periodicas,
portanto evitaremos efeitos de contorno. E claro que nossos resultados devem representar um sistema
grande e por isso a caixa nao pode ser tao pequena. Fizemos simulacoes bidimensionais do tamanho
de 2562 ate 40962 e simulacoes tridimensionais de ate 5123, para ate vinte campos. Estes valores sao
limitados apenas por questoes de memoria computacional. Contudo, sao simulacoes muitos grandes.
Podemos, por exemplo, fazer comparacao com as simulacoes da referencia [118]; os autores fizeram,
em 1989, simulacoes em caixas de 10242 e 2003, para apenas um campo.
Devido ao termo a(t)2 multiplicando a derivada do potencial em (6.23), a espessura das paredes
decrescera com a(t)"1. Com isso, a perda da resolucao e inevitavel em algum momento da simulacao.
Como o tamanho das caixas das simulacoes e grande, mas nem tanto, em muito pouco tempo isso
acontece.
Somos entao forcados a modificar (6.23) de modo a tornar a espessura comovel constante. Contudo,
nao podemos modificar a dinamica da parede. Fazemos a seguinte modificacao
"2#a
"&2+ 0
"d ln a
d ln &
#1
&
"#a
"&!"2#a + a+ "V
"#a= 0. (6.24)
onde 4 e 0 sao constantes. Se escolhemos 4 = 0, a espessura comovel e constante. Queremos que a lei
de conservacao do momento seja conservada. Fazemos o procedimento semelhante ao feito na secao
anterior para encontrar a relacao
*v 11
a(t)""#2
. (6.25)
Para 0 = 4 = 2, o expoente continua sendo !3, apesar de termos mudado para coordenadas e tempo
conformes. Para a escolha de espessura constante, a escolha de parametros e 4 = 0, 0 = 3. As equacoes
usadas em nossas simulacoes sao
"2#a
"&2+ 3
"d ln a
d ln &
#1
&
"#a
"&!"2#a +
"V
"#a= 0. (6.26)
Foram feitos varios testes sobre a alteracao da dinamica das paredes de domınio em [118]. Os autores
fizeram simulacoes no intervalo 2 < 0 < 4 e encontraram resultados identicos. O unico efeito que
obtinham era um zoom para dentro ou para fora dependendo do valor de 0.
As simulacoes foram feitas pelo metodo de diferencas finitas[120] e usando o algoritmo de Runge-
Kutta. O passo e dado por
+ =3
2
"&
&
"d ln a
d ln &
#
, (6.27)
118
onde "& e o tamanho do passo temporal. O laplaceano e definido como
("2#a)ni,j,k = (#a)
ni+1,j,k+(#a)
ni"1,j,k+(#a)
ni,j+1,k+(#a)
ni,j"1,k+(#a)
ni,j,k+1+(#a)
ni,j,k"1!6(#a)
ni,j,k, (6.28)
onde n e o numero do passo temporal e i, j e k sao as coordenadas da grade discreta que representam
x, y e z. As equacoes dos campos discretizadas sao
""#a
"&
#n+ 12
i,j,k
=1
1 + +
2
(1 ! +)
""#a
"&
#n" 12
i,j,k
+ "&
.
("2#a)ni,j,k !
""V
"#a
#n
i,j,k
/3
(6.29a)
(#a)n+1i,j,k = (#a)
ni,j,k + "&
""#a
"&
#n+ 12
i,j,k
(6.29b)
Fizemos as simulacoes utilizando a linguagem de programacao C. Muitas delas foram feitas em codigo
paralelizado e otimizado para o sistema de memoria compartilhada do COSMOS[121]. Os valores
iniciais dados aos campos pertencem ao conjunto finito dos vacuos do potencial e sao escolhidos de
maneira aleatoria. Escolhemos que em todos os pontos a velocidade "#a/"& seja nula. Portanto em
todos os pontos da grade, a unica contribuicao inicial da energia e gradiente. Uma regiao da grade e
caracterizada como parede quando o potencial para dado ponto obedece V (#a) > 0Vmax, onde Vmax e
o maximo valor de potencial que a parede tem e 0 e um parametro ajustavel que pode ser flutuante,
ou nao. Em nossas simulacoes, usamos 0,2 < 0 < 0,6. Mas os nossos resultados pouco dependem da
escolha de 0, pois as paredes tem uma boa resolucao.
Na figura 6.2, mostramos o perfil de uma simulacao de uma rede de paredes de domınio de condicoes
aleatorias. Da esquerda para a direita, o tamanho do horizonte e aproximadamente 1/7, 1/6, 1/5,
1/4, 1/3 e 1/2 do tamanho da caixa, respectivamente. Os domınios sao representados pelas cores azul
e vermelha. Toda a rede tende a se desmanchar. Nao ha formacao de juncoes devido a topologia dos
vacuos da teoria, que nao permite.
Figura 6.2: A evolucao na era da materia de rede de paredes de domınios para o modelo #4. Cada
cor representa um domınio. Da esquerda para a direita, o tamanho do horizonte e aproximadamente
1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 1/3 e 1/2 do tamanho da caixa, respectivamente.
119
6.3 Modelos com Dois Campos Escalares Reais
Os modelos de campos escalares reais cujas paredes de domınio formam juncoes ao se interceptarem
sao obrigatoriamente compostos por no mınimo dois campos. Existe uma grande quantidade de
modelos com essa caracterıstica. Neste trabalho de tese, investigamos detalhadamente o modelo
introduzido por Bazeia, Brito e Losano na referencia [148], que foi denominado por nos em [147] de
modelo BBL. A proposta original e de criar um mecanismo dinamico com argumentos que sugerem de
uma maneira natural a existencia de um mundo tridimensional. Aqui nao tomamos essa motivacao
e escolhemos esta teoria simplesmente por ser um modelo bastante simples por ilustrar diferentes
possibilidades de formacao de redes de paredes de domınio. O modelo e dado pela seguinte densidade
de lagrangeana
L =1
2"µ#1"
µ#1 +1
2"µ#2"
µ#2 ! V (#1, #2), (6.30)
onde #1 e #2 sao campos escalares reais. O potencial tem a forma
V (#1, #2) =1
2
"
r !#2
1
r
#2
+1
2
"
r !#2
2
r
#2
+)
4
0
#41 + #4
2 ! 6#21#
22 + 9
1
, (6.31)
onde r e ) sao parametros reais. Se ) = 0, os campos desacoplam, tornando a teoria apenas so-
breposicao de dois modelos #4 (2.38), que nao formam juncoes. No trabalho original, esse parametro
tem valor muito pequeno pois e tratado como uma perturbacao linear. Aqui nao fazemos essa re-
stricao, escolhemos apenas !2 < )r2 < 1, simplesmente para manter a estrutura de vacuos. O
potencial nesse intervalo tem nove pontos crıticos. O ponto central, #1 = #2 = 0, e maximo local que
independente dos parametros e tem valor V (0, 0) = r2 + 9)/4. Quatro pontos crıticos,
#2i =
r2
1 + )r2/2e #j '=i = 0 (6.32)
existem se )r2 > !2. Sao pontos de sela para !1/2 < )r2 < 1 e mınimos para !2 < )r2 < !1/2. Os
outros quatro pontos crıticos sao
#21 = #2
2 =r2
1 ! )r2, (6.33)
e existem se )r2 < 1. Sao pontos de sela para !2 < )r2 < !1/2 e mınimos para !1/2 < )r2 < 1.
Portanto, esse potencial tem simetria Z4 para todos os valores de )r2. Se )r2 < !1/2, esses mınimos
estao dispostos sobre os eixos no plano dos campos #1 ! #2. Se )r2 > !1/2, eles estao alinhados
nos vertices de um quadrado centrado na origem e com lados perpendiculares aos eixos. Na parte
superior da figura 6.4, ilustramos a distribuicao de mınimos do potencial em termos de )r2. Observa-
se claramente a simetria Z4.
120
Dependendo do valor de ), o modelo BBL permite a formacao de juncoes triplas ou quadruplas.
Ha dois tipos de setores topologicos, os que conectam os vacuos mais proximos (chamamos de setores
l) e os que conectam os vacuos opostos (setores d). O que determina o tipo da juncao formada pelas
paredes e a razao entre as tensoes das paredes do tipo l e d. Em [148], os autores escolheram, sem
perda de generalidade, r =&
3/2 e fizeram o tratamento para ) muito pequeno. Nesse caso, a razao
pode ser encontrada analiticamente e e dada por
1d
1l=
2 + 3)
1 + 21)/8, (6.34)
onde 1d e 1l, representam as tensoes das paredes d e l, respectivamente1. Se a parede diagonal
tem tensao menor (maior) que duas vezes a tensao de uma parede diagonal, a formacao de juncoes
triplas (quadruplas) e favorecida por razao energetica, veja a figura 6.3. As juncoes triplas serao
favorecidas para ) positivo, e as quadruplas para ) negativo. Aqui, o tipo de juncao formada depende
exclusivamente de criterios energeticos e nao topologicos.
Figura 6.3: Dependendo se a tensao da parede mais grossa e menor (maior) que duas vezes a tensao
da parede mais fina a formacao de juncoes triplas (quadruplas) sera favorecida por razao energetica.
E claro que este argumento energetico e valido nao so para ) muito pequeno. Analisamos a relacao
entre as tensoes para todo o intervalo de )r2. Encontramos dois valores de fronteira, onde 1d = 21l.
Alem do valor )r2 = 0, tambem ha o ponto )r2 = !1. Essa analise leva-nos a esperar que para
!1 < )r2 < 0, as juncoes quadruplas sejam favorecidas, caso contrario, para )r2 > 0 e )r2 < !1, as
triplas e que sao favorecidas. Todas essas possibilidades estao ilustradas da parte de baixo da figura
6.4. E claro que o valor de )r2 vai ter influencia em outros aspectos das redes de paredes, como por
exemplo, a velocidade em que juncoes quadruplas bifurcam em triplas, ou vice-versa. Em suma, ha
quatro regimes distintos do modelo controlado por )r2, como vemos na figura 6.4. Denominaremos
em ordem decrescente como fase 1 (0 < )r2 < 1), fase 2 (!1 < )r2 < !1/2), fase 3 (!1/2 < )r2 < 0)
e fase 4 (!2 < )r2 < !1).
Essas expectativas podem ser confirmadas numericamente. Apresentamos aqui algumas simulacoes
1A maneira como este calculo perturbativo e feito pode ser vista na tese de Carlos Alberto de Almeida[31].
121
Figura 6.4: Perfil dos tipos de juncoes (parte inferior) e a configuracao dos mınimos (parte superior),
em funcao da combinacao dos parametros )r2 no modelo BBL para dois campos[148]. Da direita para a
esquerda, denominamos cada um dos quatro trechos por fase 1 (0 < )r2 < 1), fase 2 (!1/2 < )r2 < 0),
fase 3 (!1 < )r2 < !1/2) e fase 4 (!2 < )r2 < !1).
bidimensionais numa caixa quadrada 2562 (utilizamos como ja foi mencionado condicoes de contorno
periodicas). Esse tamanho e relativamente pequeno para o padrao de hoje, contudo ele e mais do que
suficientes para confirmar nossa analise. Para facilitar a comparacao com [148], tomamos r =&
3/2.
Neste caso, no regime de parametro !1/3 < ) < 2/3, os vacuos sao (±(2/3 ! ))"1/2,±(2/3 ! ))"1/2),
enquanto que para !4/3 < ) < !1/3 eles sao (0,±(2/3 + )/2)"1/2) e (±(2/3 + )/2)"1/2, 0).
Fizemos simulacoes na era da materia onde a(t) / (t! t0)23 , que leva a ln a/ ln & = 2. Os perfis das
simulacoes de cada fase sao ilustrados nas figuras 6.5 a 6.8. A figura 6.5 mostra a evolucao da rede
de paredes de domınio na fase 1. Escolhemos ) = 0,2. Apenas juncoes triplas sobrevivem por serem
energeticamente mais favoraveis. Qualquer juncao quadruplas que vier a ser formada sera instavel e
decaira rapidamente. Para a fase 2, tomamos ) = !0,2. Neste caso, apenas as juncoes quadruplas
sobrevivem, tambem por motivos energeticos, como vemos na figura 6.6. Na figura 6.7, mostramos o
comportamento para ) = !0,4, que representa a fase 3. Apesar de o potencial ter mınimos diferentes
dos da fase anterior, tambem sao formadas juncoes quadruplas - veja a figura 6.4. Qualquer outro
valor de parametro no intervalo !2/3 < ) < !1/2, tem comportamento similar. Finalmente na figura
6.8, para mostrar o comportamento da fase 4, fizemos a simulacao fixando ) = !0,8. Para esse caso
apenas juncoes triplas sao formadas, como na fase 1. Todas as simulacoes foram feitas para tamanhos
de caixas identicos. O tamanho do horizonte e aproximadamente 1/16, 1/8, 1/4 e 1/2 do tamanho da
caixa, respectivamente, da direita para a esquerda2.
E importante enfatizar que os casos )r2 = 0 e )r2 = !1 nao representam fases especiais entre
as fases 1 e 2 e as fases 3 e 4, respectivamente. Para essas duas escolhas os campos se desacoplam
2Ilustracoes com maior reslucao podem ser encontradas na referencia[147]
122
Figura 6.5: Fase 1. A evolucao na era da materia de rede de paredes de domınio do modelo BBL para
a escolha de parametros r =&
3/2 e ) = 0,2. A simulacao comeca com condicoes iniciais aleatorias
para os campos. Os valores assumidos estao dentro do dentro de um quadrado no plano dos campos,
cujos vertices sao os vacuos (±&
15/7,±&
15/7). Sobrevivem apenas juncoes triplas. Da esquerda
para a direita, o tamanho do horizonte e aproximadamente 1/16, 1/8, 1/4 e 1/2 do tamanho da caixa,
respectivamente.
Figura 6.6: Fase 2. O mesmo da figura 6.5, exceto que agora ) = !0,2. Os valores assumidos estao
dentro de um quadrado no plano dos campos, cujos vertices sao os vacuos (±&
15/13,±&
15/13).
Neste caso so existem apenas juncoes quadruplas na rede.
completamente. Consequentemente, as simulacoes irao apenas mostrar superposicoes de dois campos
simples que nao interagem. E facil ver isso para )r2 = 0. Para o caso )r2 = !1, podemos verificar isto
definindo um novo par de campos escalares 21 e 22
21 =1(2
(#1 + #2) e 22 =1(2
(#1 ! #2) . (6.35)
Escrevendo o potencial em termos desses novos campos, vemos que nao ha acoplamento entre eles
para )r2 = !1.
123
Figura 6.7: Fase 3. O mesmo da figura 6.5, exceto que agora ) = !0,4. Os valores assumidos
estao dentro de um quadrado no plano dos campos, cujos vertices sao os vacuos (±&
15/7, 0) and
(0,±&
15/7). Neste caso so existem apenas juncoes quadruplas na rede.
Figura 6.8: Fase 4. O mesmo da figura 6.5, exceto que agora ) = !0,8. Os valores assumidos estao
dentro de um quadrado no plano dos campos, cujos vertices sao os vacuos (±&
15/4, 0) e (0,±&
15/4).
Neste caso so existem apenas juncoes triplas na rede.
6.4 Modelos com Tres Campos Escalares Reais
Nesta secao investigamos modelos com tres campos e modelos desse tipo tem um conjunto de
setores topologico mais complexo, e e mais realıstico para paredes no espaco tridimensional. Aqui,
continuamos investigando simulacoes bidimensionais de maneira similar ao estudado na secao anterior.
Consideramos o modelo BBL[148] com tres campos, e tambem discutimos o modelo de Kubotani
O(3)[124]. Estes modelos sao bastantes parecidos, mas nao sao identicos.
124
6.4.1 O Modelo BBL
O modelo BBL com tres campos tem o potencial dado por
V (#1, #2, #3) =1
2
"
r !#2
1
r
#2
+1
2
"
r !#2
2
r
#2
+1
2
"
r !#2
3
r
#2
!3)
2
0
#21#
22 + #2
2#23 + #2
3#21
1
. (6.36)
onde, de novo, r e ) sao dois parametros reais. Como no caso de dois campos, ha duas configuracoes
de mınimos. Neste caso, para !2/5 < )r2 < 1/2, os mınimos sao da forma
#21 = #2
2 = #23 =
r2
1 ! 2)r2, (6.37)
enquanto que para !1 < )r2 < !2/5, eles sao da forma
#2i =
r2
1 + )r2, #2
j '=i = 0 . (6.38)
com i = 1, 2, 3. No primeiro caso, ha oito mınimos localizados nos vertices de um cubo no espaco
dos campos (#1, #2, #3). No segundo caso, ha seis mınimos que estao localizados nos vertices de um
octaedro dispostos sobre os eixos, isto e, no centro das faces de um cubo.
Para o primeiro conjunto de mınimos ha vinte e oito setores topologicos e tres diferentes tipos de
paredes: i) as que conectam os mınimos que formam uma aresta do cubo (setor l); ii) as que conectam
os mınimos que formam a diagonal externa do cubo (setor de); iii) as que conectam os mınimos que
formam a diagonal interna do cubo (setor di). No segundo caso, ha quinze setores topologicos e dois
tipos de paredes: i) as que conectam os mınimos que formam uma aresta do octaedro (setor l); ii) as
que conectam os mınimos internamente (setor i). Existem vinte setores l e tres i.
Novamente, a escolha do parametro ) determina que tipo de juncao e favorecida. Para a con-
figuracao cubica de mınimos, as configuracoes terao juncoes quadruplas se a tensao das paredes do
tipo di for maior que o triplo da tensao das paredes do tipo l (1di> 31l) e se a parede do tipo de tiver
mais que o dobro da tensao das paredes do tipo l (1de > 21l). Esta condicao e verificada apenas no
intervalo !2/5 < )r2 < 0. Por outro lado, para 0 < )r2 < 1/2, apenas juncoes triplas sobrevivem. Ha
dois tipos de juncoes triplas.
Para a configuracao octaedrica de mınimos, as redes de paredes de domınio terao tanto juncoes
triplas quanto quadruplas. Os dois tipos de juncoes coexistem por razao topologicas e nao energeticas.
O caso ) = 0 de novo nao e interessante por desacoplar os campos.
Um estudo numerico pode ser feito na mesma linha que foi feito para o caso de dois campos, aqui
dividindo o modelo em tres fases, como pode ser visto na figura 6.9.
125
Figura 6.9: Perfil do tipo de juncoes (parte inferior) e a configuracao dos mınimos (parte superior),
em funcao do parametro )r2 no modelo BBL para tres campos[148].
6.4.2 O Modelo de Kubotani
O modelo de Kubotani [124] pode ser entendido como uma perturbacao de um modelo de N
campos com a simetria O(N). Apos a perturbacao, o potencial adquire mınimos isolados, condicao
necessaria para formacao de paredes de domınio. Este modelo foi estudado recentemente em [137].
Aqui, estudamos com detalhes o modelo com tres campos, que e interessante para comparar com o
modelo BBL. Para um N generico o potencial de Kubotani e dado por
V (#1, . . . , #N ) = ,
.N$
i=1
#2i ! &2
/2
+ /N$
i=1
0
#2i ! 52
12; (6.39)
os parametros do modelo devem ser escolhidos de modo que / + , > 0 e / + N, > 0. O caso , = 0,
e / > 0 e o limite de desacoplamento. Nesse caso, nao ha juncoes reais das paredes de domınio,
apenas sobreposicoes delas. As diferentes paredes de domınio simplesmente passam uma pela outra
sem interacao. Este caso e importante para testes numericos. A escolha de parametros / = 0, , > 0 e
o caso nao perturbado da teoria com simetria contınua O(N), portanto nao forma paredes.
No caso geral, os mınimos sao da forma
#2i =
,&2 + /52
N, + /, i = 1, . . . , N , (6.40)
se / e positivo, ou
#2i =
,&2 + /52
, + /, #2
j '=i = 0 , (6.41)
se / e negativo. No primeiro caso, os mınimos estao dispostos nos vertices de um hiper-cubo N
dimensional, enquanto que no segundo, os mınimos estao dispostos no centro das faces dos hipercubos
126
ja mencionados. Para N = 3, a estrutura de mınimos e a mesma da do modelo BBL. A diferenca
crucial entre esses dois modelos e que para o modelo de Kubotani a tensao das paredes diagonais (ha
N ! 1 tipos para o caso N dimensional) e sempre maior que N vezes o valor da tensao das paredes
dos setores que formam os lados do hiper-cubo. Consequentemente, neste modelo, as juncoes estaveis
sempre serao quadruplas. Em outras palavras, diferentemente do modelo BBL que pode suportar
juncoes triplas para as configuracoes cubicas de mınimos, para o modelo de Kubotani isso nunca
acontece. Os resultados de uma simulacao neste regime sao mostrados na figura 6.10, onde escolhemos
, = 3/20, &2 = 10/3 e / = 1/12.
Figura 6.10: A evolucao na era da materia de rede de paredes de domınio do modelo de Kubotani com
tres campos com os seguintes parametros , = 3/20, &2 = 10/3 e / = 1/12. Isto tambem representa o
modelo BBL com tres campos com r =&
3/2 e ) = !0.2. Apenas juncoes quadruplas sao estaveis. Da
esquerda para a direita, o tamanho do horizonte e aproximadamente 1/16, 1/8, 1/4 e 1/2 do tamanho
da caixa, respectivamente.
Para / negativo, as juncoes triplas sao formadas, mas como no caso BBL tambem podem haver
juncoes quadruplas. Esse tipo de juncao ocorrera quando um dos campos tem valor nulo. Em
um mecanismo de quebra de simetria realıstico, os campos tem valores aleatorios dependentes das
condicoes de formacao da rede, portanto ambos os tipos de juncoes serao formados. Isto pode ser ver-
ificado na figura 6.11 para os parametros , = 3/10, &2 = 5/3 e / = !1/6. A maioria das juncoes sao
triplas. A fracao de juncoes quadruplas permanece aproximadamente constante durante a evolucao,
e isto deve ser investigado com cuidado. Suspeitamos que isso deve-se a estrutura topologica dos
mınimos do potencial.
Vemos isso mais facilmente se construımos a mao uma rede quadrada contendo quatro vacuos
distintos. Na figura 6.12(a), comecamos com quatro vacuos de maneira que um dos campos se anule
(os vacuos formam um plano no espaco dos campos), as juncoes triplas sao destruıdas e forma-se um
127
quadrupla. Em contrapartida, na figura 6.12(b), escolhemos um conjunto de quatro vacuos que nao
forme um plano no espaco dos campos, a juncao quadrupla e bifurcada, decaindo em juncoes triplas
estaveis.
Figura 6.11: A evolucao na era da materia de rede de paredes de domınios do modelo de Kubotani com
tres campos com os seguintes parametros , = 3/20, &2 = 5/3 e / = !1/6. Isto tambem representa o
modelo BBL com tres campos com r =&
3/2 e ) = !0.4. Apenas juncoes quadruplas sao estaveis. Da
esquerda para a direita, o tamanho do horizonte e aproximadamente 1/16, 1/8, 1/4 e 1/2 do tamanho
da caixa, respectivamente.
(a) Duas juncoes triplas no modelo de Kubotani * < 0
decaem em uma juncao quadrupla. Os quatro vacuos
sao coplanares, no espaco dos campos.
(b) Uma juncao quadrupla no modelo de Kubotani * <
0 decai em duas juncoes triplas. Os quatro vacuos nao
sao coplanares, no espaco dos campos.
Figura 6.12: Perfil de decaimentos de juncoes no modelo de Kubotani para / < 0.
6.4.3 Relacionando os modelos BBL e Kubotani
A discussao acima sobre os modelos BBL e Kubotani nos faz concluir que eles nao sao equivalentes.
128
Podemos fazer uma relacao entre eles comparando seus parametros. A melhor maneira de fazer essa
comparacao e introduzindo um potencial generalizado que inclui os dois modelos. Ele pode ser escrito
como
V = A$
i
#4i + B
$
i
#2i + C
$
i'=j
#2i #
2j + D. (6.42)
onde A, B, C e D sao parametros reais. Se escolhemos esses parametros como
A =1
2r2+
)
2, B = !1, C = !
3)
2, D =
r2
2+
27)
4, (6.43)
teremos exatamente o potencial do modelo BBL para tres campos (6.36). Por outro lado, a escolha
A = , + /, B = !2,&2 C = 2,, D = ,&4 (6.44)
leva ao potencial Kubotani com N = 3 e 5 = 0. Usando as relacoes acima e facil verificar que
, = !3)
4, &2 = !
2
3), / =
1
2r2+
5)
4, (6.45)
onde ,, / e & sao os parametros de Kubotani, ) e r sao os parametros do modelo BBL. Essas relacoes
leva-nos a concluir que para , > 0 e &2 > 0, apenas o intervalo ) < 0 do modelo BBL pode ser
mapeado no Kubotani. A condicao / > 0 e relacionada com o limite !2/5 < )r2 < 0, enquanto / < 0
se relaciona com !1/2 < )r2 < !2/5. Contudo, ha duas condicoes de consistencia, 2&,2 = 1 no lado
de modelo de Kubotani e )r2 = !27)2/2 ! 2/3 no BBL. Mas isso afeta apenas um termo constante
nos potenciais. Concluımos que apesar de terem formas parecidas, os parametros nao sao mapeados
linearmente (como vemos em (6.45)), portanto ha regimes de parametros no modelo BBL que nao
podem ser reproduzidos no modelo de Kubotani. Na figura 6.13, apresentamos 0 < )r2 < 1/2 no
modelo BBL, que nao tem correspondencia no modelo de Kubotani. Escolhemos r =&
3/2 e ) = 0, 2
na simulacao3.
6.5 Propriedades de uma Rede de Paredes de Domınio
Nesta secao, com base na referencias analisamos as propriedades geometricas das redes de paredes
para entender se uma configuracao de paredes planas pode ser o resultado natural da evolucao de uma
rede de paredes de domınio. A analise tridimensional das redes e muito complicada, por isso nesta
secao em estudarmos apenas o caso bidimensional.
3Um estudo detalhado de modelos com juncoes pode ser visto na tese de Francisco de Assis de Brito[153]
129
Figura 6.13: A evolucao na era da materia de rede de paredes de domınios para o modelo BBL com
tres campos com r =&
3/2 e ) = 0.1. Ha apenas juncoes triplas. Essa fase nao existe no modelo de
Kubotani. Da esquerda para a direita, o tamanho do horizonte e aproximadamente 1/16, 1/8, 1/4 e
1/2 do tamanho da caixa, respectivamente.
A formula topologica de Euler-Poincare para um poliedro relaciona o numero de vertices (V), faces
(F) e lados (L). Se este poliedro tiver a um superfıcie com genus4 g, escrevemos
V ! L + F = 2 ! 2g (6.46)
Por essa formula podemos provar, por exemplo, que so existem apenas cinco poliedros de Platao
e encontrar todos os de Arquimedes. Essa formula e topologica, logo independe da geometria dos
objetos, nao requer que os polıgonos sejam regulares (equilateros e equiangulares), e alem disso os
lados necessariamente nao precisam ser linhas retas.
Em geral, simulacoes numericas bidimensionais sao feitas em quadrados de dimensao finita e com
condicoes de contorno periodicas. Isso da uma topologia de toro a superfıcie, como um valor de
genus unitario, g = 1. Veja na figura 6.14 tres exemplos simples. Em ambos os casos, a formula de
Euler-Poincare e
V ! L + F = 0, (6.47)
como esperado. Ao assumirmos o limite de caixa grande, os resultados devem ser independentes do
genus, desde que este seja finito.
Consideramos o caso em que o numero de lados da rede e composto por diferentes tipos de polıgonos
que sao desenhados de modo que formem juncoes com dimensoes fixada a um valor constante d. Em
geral, nao esperamos que de uma evolucao de condicoes aleatorias os polıgonos tenham o mesmo
4genus e o numero maximo de curvas fechadas que nao se interceptam, as quais podem ser construıdas sobre uma
superfıcie fechada sem dividi-la em duas partes separadas.
130
(a) V = 4, L = 8 e F = 4. (b) V = 8, L = 12 e F = 4. (c) V = 2, L = 6 e F = 4.
Figura 6.14: Tres ilustracoes de superfıcies bidimensionais com contornos identificados por condicoes
periodicas. Em todos os casos segue-se a relacao V ! L + F = 0.
numero de lados. Por outro lado, como vimos na secao anterior, a escolha do potencial impoe uma
simetria particular por razoes topologicas e energeticas e consequentemente as propriedades das pare-
des impoe que o parametro d seja determinado previamente.
Seja fn o numero de polıgonos com n lados. Portanto, o numero de vertices do poliedro (superfıcie)
e V =N
n fnn/d, desde que cada polıgono tenha n vertices, mas cada um deles e compartilhado por
d!1 outros polıgonos. Tambem o numero de lados do poliedros e igual a L =N
n fnn/2, visto que cada
polıgono tem n lados, mas cada lado deste e compartilhado por outro polıgono. Consequentemente,
neste caso, para qualquer genus, podemos escrever
$
n
6fnn
d!
fnn
2+ fn
7
= 2(1 ! g) (6.48)
Definimos 0n como a razao entre o o numero de polıgonos com lado n e o numero total de faces F ,
com fn = 0nF . Assumindo g = 1, chegamos a
(2n3 ! 2)(d ! 2) = 4, (6.49)
onde 2n3 =N
n 0nn e o valor medio do numero de lados dos polıgonos. Esta equacao tem as possıveis
solucoes inteiras 2n3 = 6 para d = 3, 2n3 = 4 para d = 4, 2n3 = 3 para d = 6, e 2n3 $ 2 para
d $ &. Na figura 6.14(a), vemo que todos as polıgonos tem quatro lados e so ha juncoes quadruplas,
de modo que (4! 2)(4! 2) = 4. Na figura 6.14(b), com apenas juncoes triplas, temos dois quadrados
e dois octagonos, logo 2n3 = 6, entao (6! 2)(3! 2) = 4. Tambem e direto observar que por dualidade
podemos estender a relacao para
(n ! 2)(2d3 ! 2) = 4. (6.50)
131
Podemos ver isto na figura 6.14(c), todos as figuras sao triangulos e temos duas juncoes, uma com
d = 4, com outra d = 8, logo (3 ! 2)(6 ! 2) = 4. Por fim, generalizamos a formula para
(2n3 ! 2)(2d3 ! 2) = 4. (6.51)
Vemos um exemplo na simulacao 6.11. Ha domınios com diversos tipo de lados: dois de tres lados;
oito de quatro; tres de oito; dois de sete; um de oito; um de nove; um de dez; e um de doze.
Na media temos 2n3 = 106/19 - 5,58. Ha quatro juncoes triplas e vinte e sete quadruplas com
media 2d3 = 53/17 - 3,11, o que satisfaz a equacao acima. Vamos ver nas seguintes discussoes que
consideracoes geometricas simples (somadas a estas topologicas) serao relevantes para o entendimento
da evolucao de redes de paredes de domınio e a possıvel candidatura destas a energia escura.
Figura 6.15: Ilustracao de uma distribuicao de domınio em uma rede planar feita com o quarto perfil
da figura 6.11. Ha juncoes triplas e quadruplas (marcadas com cırculos). Cada domınio tem n lados
e cada funcao e formada por d paredes. Os valores medios sao 2n3 = 106/19 e 2d3 = 53/17.
Nao ha polıgono com dois lados. Contudo, os domınios em uma rede de paredes de domınio
realıstica nao terao, na maioria das vezes, lados retos e consequentemente domınios com dois lados
curvos sao possıveis. Contudo eles serao instaveis e colapsarao por causa da curvatura dos paredes
independentemente do numero de elementos que se encontram em cada juncao.
Aqui, assumimos que a energia associada com as juncoes e desprezıvel, o que na pratica significa
que elas sao livres para se mover. Isso e razoavel, pelo menos para as propostas discutidas neste
trabalho. Se nao fosse o caso, deveria ser levado em conta a contribuicao das juncoes ao calcularmos
a equacao de estado associada com a rede de paredes de domınio e consequentemente . = p/' deveria
132
ser necessariamente maior que !2/3 sempre para configuracoes completamente estaticas. Logo, essas
redes seriam incompatıveis com os limites observacionais, ou ficariam mais difıceis de ajustar.
Podemos mostrar com analise local da estabilidade que domınios de tres, quatro e cinco lados sao
estaveis para um dado modelo onde apenas juncoes triplas (d = 3) devem existir. E particularmente
interessante que quando as paredes formadas entre todos os vacuos de um modelo que tem a mesma
energia, neste caso (utilizando consideracoes energeticas) apenas juncoes triplas devem ser estaveis
- veja a figura 6.16(a) como ilustracao. Juncoes de dimensoes superiores sao instaveis e decaem
rapidamente em juncoes triplas. Uma boa ilustracao disto e o modelo ‘pentaedrico’ discutido em [136].
O autor erroneamente afirma que este modelo e um excelente candidato para frustracao com juncoes
quadruplas, quando na verdade apenas juncoes triplas sao permitidas, pelos argumentos mencionados
acima. Isto pode ser verificado numericamente e de fato, quando construımos (a mao) uma caixa com
apenas juncoes quadruplas elas decaem rapidamente em juncoes triplas.
(a) Ilustracao de um possıvel
decaimento de uma juncao
quadruplas em duas triplas.
O decaimento so ocorre se o
comprimento se reduzir.
(b) Ilustracao de colapsos de
domınios de tres e quatro lados
que formam juncoes triplas. O
colapso e energeticamento favoravel
desde que isso leve a reducao do
comprimento total das paredes.
(c) Ilustracao de dois diferentes
domınios hexagonais com juncoes
triplas de paredes com a mesma
tensao. Ambas configuracoes tem a
mesma energia.
Figura 6.16: Tres ilustracoes mostrando a analise da estabilidade local com argumentos energeticos.
A figura 6.16(b) mostra varios polıgonos formados por paredes com mesma tensao. Em ambos,
n = 3 e n = 4, o comprimento total das paredes decresce. Consequentemente, as paredes tem a
tendencia de colapsar reduzindo assim sua area. Por outro lado, na figura 6.16(c), o comprimento
permanece constante e ambas configuracoes hexagonais tem a mesma energia. Assim, sendo d = 3
implica em 2n3 = 3, a unica possıvel configuracao de equilıbrio e a rede onde todos domınios sao
hexagonos. Em todos os outros casos, domınios instaveis aparecem.
Nao esperamos que a formacao de redes com todos os domınios hexagonais seja um atrator em
133
uma evolucao de uma rede de paredes de domınio formadas a partir de uma transicao de fase em
um universo primordial. Por isso, temos que procurar qual e o modelo ideal para a formacao de
redes estaveis com a presenca de todos os possıveis tipos de domınio. Se um modelo tem um grande
numero de vacuos a probabilidade de que juncoes triplas se aniquilarem e muito pequena. Com o
crescimento do numero de vacuos se torna cada vez mais provavel que colapsos como os ilustrados na
figura 6.17(b) ocorram, e cada vez menos do tipo ilustrado na figura 6.17(a) podem acontecer. Mesmo
assim colapsos de qualquer um desses tipos irao diminuir o numero de lados de domınios adjacentes,
levando a propagacao da estabilidade. Contudo, colapsos do tipo ilustrado em 6.17(b), acarretarao
menos instabilidade na rede.
(a) O colapso de um polıgono de quatro
lados no caso onde dois domınios que o
rodeiam sao do mesmo vacuo.
(b) O colapso de um polıgono de
quatro lados no caso onde todos os
domınios que o rodeiam tem diferentes
tipos de vacuos.
Figura 6.17: Ilustracoes de dois tipos de colapsos de um domınio de quatro lados. O colapso leva a
reducao do numero de lados de maneiras diferentes.
Outro ingrediente na estabilidade local de uma rede de paredes e a possibilidade da existencia de
mais paredes com tensoes diferentes. Vemos na figura 6.18 a ilustracao de um colapso de duas juncoes
triplas em uma quadrupla que deve ocorrer se a parede mais grossa tiver tensao maior que duas vezes
a de menor tensao. Havendo esse tipo de colapso, aumentara obrigatoriamente a dimensionalidade
media das juncoes e pela expressao (2n3 ! 2)(2d3 ! 2) = 4, reduzira o numero medio de lados dos
domınio, produzindo domınios instaveis.
Portanto, apesar de nao ter tido apresentado uma prova rigorosa, conjecturamos que redes de
paredes de domınio em duas dimensoes espaciais formadas por transicoes de fase nunca produzirao
redes frustradas. Essa analise pode apenas ser aplicada a redes bidimensionais. Contudo, alguns dos
resultados podem ser aplicados no espaco tridimensional, neste caso, porem, a analise e muito mais
complicada. E nao fica claro se o aumento da dimensao ira ajudar para que haja frustracao ou os
resultados se estenderao para o caso tridimensional. No entanto, essa analise bidimensional e um
degrau importante para o entendimento de redes de paredes de domınio como candidatas a energia
134
escura.
Figura 6.18: Ilustracao do colapso de duas juncoes triplas em uma quadrupla. A espessura das linhas
indica a intensidade da tensao.
6.6 O Modelo Ideal
Nas secoes anteriores, fizemos simulacoes com alguns modelos com dois ou tres campos em duas
dimensoes. Em todos, a questao fundamental, sobre a existencia de redes frustradas, e sempre re-
spondida da mesma forma: elas nao frustram. Na secao anterior, apresentamos fortes indıcios que
fortalecem essa possibilidade. Resta-nos indagar: qual e o modelo que mais se aproxima da frustracao?
Qual e o modelo ideal?
Em um modelo ideal, a probabilidade de que dois domınios de um mesmo vacuo estejam perto deve
ser muito pequena para que situacoes do tipo ilustrada na figura 6.17(b) sejam muito mais possıveis de
acontecer em comparacao a mostrada na figura 6.17(a). Com essa finalidade, podemos construir esse
modelo com um numero muito grande de vacuos, consequentemente o numero de campos escalares
tambem deve ser muito grande (N $ &). Tambem esperamos que o modelo ideal permita apenas
a formacao de paredes de domınio com um unico valor de tensao. Pois como ja vimos, paredes de
tensoes diferentes adicionam instabilidade a rede. A unica maneira que essas exigencias ocorram e
que todos os vacuos sejam equidistantes e o potencial seja simetrico sobre trocas de todos os campos
#a $ #b e #b $ #a, para todos a e b.
O modelo ideal, portanto, deve ter um grande numero de campos e todos os seus vacuos devem
ser simetricos e equidistantes. Um possıvel potencial para este modelo e dado por
V =,
2
N+1$
j=1
r2j (r
2j ! r2
0)2 (6.52)
com
r2j =
N$
i=1
(#i ! pij)2 (6.53)
135
onde #i sao os N campos do modelo, pij e a coordenada i no espaco dos campos do vacuo j e , e
um parametro real. Sempre ha um vacuo a mais do que o numero de campos. O modelo e construıdo
de maneira que todos os vacuos sejam equidistantes e r0 e definida como a distancia entre os vacuos.
O modelo e soma de N + 1 potenciais #6 e cada um tem isoladamente simetria contınua. Contudo,
somados, o potencial adquire simetria discreta e os vacuos tornam-se desconectados, permitindo a
formacao de paredes de domınio. Os vacuos sao os vertices de um (N+1)-edro no hiperespaco dos
campos.
Figura 6.19: Ilustracao de disposicao de vacuos de tres potenciais de com simetria U(1). Note que em
apenas tres pontos equidistantes esses mınimos coincidem.
Para N = 2, temos tres vacuos equidistantes, formando o vertice de um triangulo equilatero, como
mostramos na figura 6.19. Este caso tem a mesma estrutura de vacuos do modelo Zn construıdo com
um campo escalar complexo[122], neste caso com n = 3. E claro que poderıamos com este modelo
construir um modelo com um numero muito grande de vacuos, porem eles nao estariam esquidistantes.
E essa e uma exigencia para haver apenas juncoes triplas. O caso N = 3 tem quatro vacuos que sao
localizados nos vertices de um tetraedro. O modelo BBL com dois campos tem quatro vacuos, porem
permite a formacao de juncoes quadruplas. No caso N = 4, os vertices estao em um pentaedro em
quatro dimensoes no hiperespaco dos campos, e assim por diante.
Para confirmar o que sugerimos do modelo ideal, realizamos simulacoes para N de 2 ate 20.
Em todas elas confirmamos que apenas juncoes triplas sao estaveis. E alem disso, qualquer juncao
quadrupla formada a mao e destruıda rapidamente. Vemos na figura 6.20, simulacoes para N = 4 e
N = 7.
Na referencia [154], fizemos analise tridimensional de redes do modelo ideal. Neste caso, as paredes
formam juncoes triplas e sao cordas. Essas cordas formam juncoes puntiformes ao se encontrarem.
136
Figura 6.20: A evolucao na era da materia de rede de paredes de domınios para o modelo ideal com
N = 4(cima) e N = 7(baixo). Da esquerda para a direita, o tamanho do horizonte e aproximadamente
1/16, 1/8, 1/4 e 1/2 do tamanho da caixa, respectivamente.
Essas juncoes sao quadruplas. Fizemos simulacoes tridimensionais e novamente constatamos que
tambem nesse caso, as redes de paredes de domınio entram em frustracao, isto e, nao congelam em
coordenadas comoveis, o que fortalece o que ja havıamos conjecturado. Isso esta de acordo com os
recentes vınculos observacionais que desfavorecem . = !2/3 como a equacao de estado da energia
escura de uma so componente[149].
137
Capıtulo 7
Comentarios, Conclusoes e
Perspectivas
Neste trabalho, investigamos modelos de campos escalares em teoria de campos, nos temas que
constituem os cinco capıtulos anteriores. Especificamente, escolhemos teorias que suportam con-
figuracoes localizadas topologicas e nao topologicas, estudando suas caracterısticas de maneira formal
e sistematica e fazendo aplicacoes.
Primeiramente no capıtulo 2, estudamos detalhadamente configuracoes unidimensionais de mode-
los de campos escalares reais. Observamos as condicoes necessarias para que os potenciais dos modelos
suportem lumps e kinks com densidade de energia localizada e energia finita. Definimos a corrente
topologica que rotula o carater topologico do defeito. Revisamos o metodo de Bolgomol’nyi que re-
duz para certos potenciais de N campos escalares as equacoes de movimento de segunda ordem para
equacoes de primeira ordem, facilitando a obtencao de solucoes analıticas. Investigamos a estabilidade
linear das solucoes e analisamos os criterios para que sejam estaveis ou instaveis. Devido a topologia,
lumps sao instaveis e kinks, estaveis. Finalmente, observamos, atraves dos argumentos de Hobart e
Derrick, que defeitos estaticos com energia finita originados de modelos usuais com apenas campos
escalares sao fadados ao colapso em dimensoes superiores. Neste trabalho, estendemos ambos argu-
mentos para teorias generalizadas e concluımos que para que haja defeitos com energia finita e preciso
que a pressao media seja nula.
Grande parte dos resultados obtidos capıtulo 2 foram utilizados nos subsequentes, onde introduz-
imos novos modelos e fizemos aplicacoes em cosmologia.
No capıtulo 3, introduzimos novas classes de potenciais de campos escalares para a teoria padrao
138
estudada no capıtulo anterior. Primeiramente, o modelo p, que e uma teoria bem peculiar por apre-
sentar a formacao de defeito do tipo dois-kinks para configuracoes estaticas. Ele pode ser interpretado
como uma generalizacao do modelo #4, sendo este no caso p = 1. O defeito tipo dois kinks e localizado
em dois pontos do espaco; sendo assim, paredes de domınios formadas por esse modelo seriam duplas
e se apresentariam por todo o espaco como paredes “gemeas” sem ter a repulsao comum entre pares
de kinks. A consequencia disso e que o potencial quantico associado a solucao e divergente no meio
da parede, levando a reflexao total no espectro do contınuo. O que caracteriza uma parede nao con-
vencional. Portanto, esse potencial deve ser estudado com mais profundidade, como por exemplo, em
cosmologia, onde a interacao da parede com sua radiacao e relevante para sua dinamica e estabilidade.
E importante observar que este e o primeiro potencial na literatura com solucao dois-kinks estatica.
Extensoes para dois campos podem ser consideradas, como tambem para tres-kinks, quatro-kinks, e
assim por diante.
Ainda no capıtulo 3, estudamos uma modificacao no modelo #4, introduzindo uma quebra de
simetria no potencial, de modo que o modelo agora suporte solucoes nao topologicas com energia
finita. Esses lumps apresentam um plato largo controlado por uma parametro real. Chamamos esses
objetos de lumps largos. Podemos interpretar as solucoes como um par de kink e antikink afastados
por uma longa distancia. A estabilidade do lump largo nao e assegurada por causa da atracao entre
o kink e o antikink. Na ultima secao, fizemos extensoes do modelo de seno-Gordon. Primeiramente
encontramos e analisamos o potencial de seno-Gordon duplo utilizando o metodo da deformacao,
revisado no capıtulo 2. Depois, introduzimos o potencial de seno-Gordon com dois campos escalares
reais. Esse potencial apresentou setores BPS, com conjuntos distintos de mınimos para os tres regimes
de parametros investigados. Especificamente, no segundo regime, a estrutura de vacuos era bem
complexa e rica de solucoes BPS estaveis, e isso pode ser util em cosmologia. Tambem fizemos
comparacoes com modelos que descrevem estados abertos na molecula do DNA, que e um estudo
que deve ser aprofundado o mais breve possıvel. Uma outra possıvel aplicacao poderia ser feita em
cenarios cosmologicos como modelos para desvalorizacao do valor da constante cosmologica[67, 68], ja
que a ideia basica neste caso consiste em modificar a teoria de seno-Gordon, desnivelando os mınimos
do potencial. O estudo da dinamica de paredes de domınio nesse contexto poderia ser mais complexo
com a inclusao de teorias com mais campos escalares, como os modelos estudados neste capıtulo.
No capıtulo 4, introduzimos uma teoria cuja energia potencial tem dependencia explıcita da co-
ordenada radial. Encontramos solucoes tipo anel e bolha com energia finita e estaveis para duas
e tres dimensoes, respectivamente. Podemos interpretar esses teorias como teorias efetivas de um
acoplamento do campo escalar com a teoria eletromagnetica de uma maneira nao usual, onde o campo
139
controla a permissividade eletrica. Uma carga colocada no centro do defeito polariza o vacuo e induz
uma forca eletrica que se contrapoe a forca de colapso da parede devido a sua curvatura. Uma possıvel
extensao desses resultados seria analisar a formacao de defeitos topologicos na presenca de diversas
disposicoes de cargas, como por exemplo, distribuicao de cargas com periodicidade retangular para
simular defeitos topologicos em sistemas fısicos especıficos, como em redes cristalinas. Em continuacao,
investigamos teorias com termos que apresentavam violacao explıcita da simetria de Lorentz e CPT.
Para um modelo com um campo escalar, encontramos solucoes do tipo onda viajante que manifestam
os efeitos da violacao de Lorentz. Tambem construımos modelos de dois campos que, com a escolha
apropriada do potencial de interacao entre os campos, admitam setores BPS regidos por um par de
equacoes de primeira ordem. Foi perdida a dualidade kink e antikink nas equacoes de movimento
devido a violacao da simetria de paridade. Estudamos a estabilidade dessas solucoes, vimos que sao
estaveis para kµ = (0, b), contudo notamos que e um trabalho mais arduo e com mais possibilidades,
por isso deve ser estudado com mais profundidade. Tomamos como exemplo o superpotencial do
modelo BNRT, e encontramos solucoes analıticas, algumas se sobressaem por apresentar densidade de
energia com trechos negativos.
Modelos desse tipo podem ser de muita utilidade em sistemas de materia condensada que tem
contribuicao no hamiltoniano do termo de Dzyaloshinkii-Moriya[84, 85]. Tambem e interessante in-
vestigar se e possıvel obter uma extensao supersimetrica para esta teoria. Finalmente, investigamos
modificacoes na teoria taquionica que descreve o decaimento de uma brana nao topologica. Adi-
cionamos a teoria inicial um termo dependente do campo para podermos obter solucoes do tipo kink
estaveis e de perfil regular. Escolhemos varios tipos de potenciais e funcoes regularizadoras e con-
cluımos que o comportamento qualitativo das solucoes nao se altera. Discutimos tambem sobre as
configuracoes periodicas que representam uma rede instavel de kinks e antikinks. E claro que existem
outras maneiras de regularizar o kink, modificando a acao de outras maneiras, como por exemplo,
incluımos campos de calibre. Uma maneira interessante que tambem pode ser feita e a inclusao do
campo gravitacional com a metrica ds2 = e2A(r)(dt2 ! dx2) ! dr2, onde r e a coordenada da brana
estavel, e isso esta sendo investigado[97]. Na secao 4.4, com base na referencia[98], tambem foi in-
vestigado uma teoria generalizada de um campo escalar dado pela lagrangeana L = L(#, X), onde
X = (1/2)"µ#"µ#. Obtivemos varios resultados gerais sobre equacoes de primeira ordem, condicoes
de estabilidade, entre outros. Solucoes no plano e no espaco para essas teorias e suas consequencias
cosmologicas tambem podem ser investigadas
No capıtulo 5, estudamos modelos de campos escalares reais que em um cenario gravitacional
possam contribuir para energia escura. Primeiramente, fizemos uma breve introducao sobre o modelo
140
cosmologico e os criterios necessarios para que o universo esteja acelerado. A equacao de estado e
restrista a . < !2/3. Estudamos a quintessencia, a dinamica taquionica e uma acao generalizada
dada por L = L(#, X). Encontramos suas respectivas equacoes de Einstein e de estado. Introduz-
imos o formalismo de primeira ordem, que consiste em assumir que o parametro de Hubble e uma
funcao do campo H = W (#). No espaco plano, as duas equacoes de Einstein se tornam duas equacoes
de primeira ordem com dependencia em # e em sua derivada #. Para o caso da quintessencia e da
dinamica taquionica, os potenciais devem ter uma forma especıfica para que as equacoes de primeira
ordem resolvam as equacoes de movimento. Para ambos os casos, resolvemos alguns modelos de
potenciais conhecidos na literatura, como tambem introduzimos alguns modelos com outras carac-
terısticas e com solucoes analıticas explıcitas. Fizemos o mesmo procedimento para o caso com N
campos, sendo isso uma extensao direta. Tambem estendemos o formalismo para a geometria esferica
e hiperbolica para o caso da quintessencia. A tarefa tornou-se mais ardua, devido a necessidade da
inclusao de uma funcao adicional Z(#) que leva a um vınculo. Este surge para que as equacoes de
primeira ordem continuem consistentes com as equacoes de movimento. Resolvemos alguns modelos
explicitamente com solucoes analıticas. Varias extensoes desse formalismo foram feitas, como ja foi
mencionado, e outras ainda podem ser feitas. Pretendemos, por exemplo, investigar aplicacoes a mod-
elos de quintom[150] e hessencia[151], aplicacoes a modelos de gravidade modificada[152], o estudo da
estabilidade de potenciais especıficos com as formas (5.36) e (5.49b), para a quitessencia e a dinamica
taquionica, respectivamente; d) estudo geral das equacoes de Einstein como um sistema dinamico, na
presenca da materia nao relativıstica para esses potenciais especıficos.
No capıtulo 6, abordamos a possibilidade de que redes de paredes de domınio com juncoes possam
contribuir com a energia escura pois apresentam uma equacao de estado pertencente a faixa permitida
observacionalmente. Para que isso seja possıvel, era preciso que essas redes congelem em coordenadas
comoveis e crescam apenas por expansao. Esse estado de congelamento e denominado frustracao.
E o objetivo principal desse capıtulo foi entender a possibilidade real de uma rede de paredes de
domınio formada durante a transicao de fase no universo primordial entre em frustracao. Para isso,
investigamos as caracterısticas de paredes de domınio do tipo bolhas e vimos como elas colapsam em
dimensoes arbitrarias e entendemos as propriedades especıficas de paredes planas submetidas a um
cenario de FRW, o que e muito importante, pois em uma rede frustrada, todas as paredes sao planas.
Tambem fizemos modificacoes nas equacoes de movimento para que nao seja perdida a resolucao das
paredes durante a evolucao temporal. Essa modificacao altera dois termos das equacoes, mas nao
modifica as propriedades das paredes, apenas age como um zoom em direcao as paredes que encolhem
com o tempo comovel, deixando as simulacoes com espessura constante. Introduzimos o algoritmo
141
para as simulacoes pelo metodo de diferencas finitas e fizemos simulacoes bidimensionais para o modelo
Bazeia-Brito-Losano (BBL) como dois e tres campos e o modelo de Kubotani com tres campos escalares
reais. Analisamos os criterios energeticos para a formacao de juncoes triplas ou quadruplas e tambem
relacionamos os dois modelos.
Em continuidade, analisamos as propriedades geometricas das redes de paredes para entender
se uma rede de paredes frustradas pode ser o resultado natural da evolucao de uma transicao de
fase. Utilizamos a formula topologica de Euler-Poincare para encontrar a relacao entre o numero
medio de lados dos domınios e a dimensionalidade media das juncoes. Isso e importante porque o
numero de lados de um domınio e crucial para sua estabilidade. Concluımos que rede de paredes
com juncoes triplas sao as que apresentam melhor tendencia a estabilidade. Tambem vimos que
redes com mais de um tipo de parede de domınio sao mais propıcias a instabilidade. Com esses
argumentos, tentamos encontrar o modelo ideal, aquele que mais perto chegasse da frustracao. Ele
devia ter dois pre-requisitos: ter um numero muito grande de vacuos e ter paredes de apenas um tipo.
Consequentemente todas as juncoes deviam ser triplas. Introduzimos a densidade de lagrangeana do
modelo ideal, onde os mınimos se encontravam equidistantes, com o potencial simetrico por troca dos
campos. Os vacuos estavam dispostos nos vertices de um (N + 1)!edro, onde N deve ser grande.
Fizemos simulacoes bidimensionais, contudo, apesar de apresentar resultados mais prometedores, as
redes nao entraram em frustracao. Tambem fizemos simulacoes tridimensionais onde os resultados
negativos persistiram, fortalecendo mais ainda nossas suspeitas. Apesar disso, acreditamos que alguns
outros aspectos devem ser considerados. Um deles e o estudo mais aprofundado do papel das energias
das juncoes na evolucao da rede. Poderıamos elaborar um modelo onde essa energia pudesse ser
controlada por algum parametro, que seria vinculado pelos resultados observacionais, visto que juncoes
contribuem como cordas para a equacao de estado. Outra possibilidade seria o estudo de defeitos
topologicos do tipo parede de domınio que tivessem a densidade superficial dependente da curvatura.
Isso alteraria a equacao de estado e a dinamica dos defeitos. Estudos preliminares foram feitos na
referencia [98] para modelos com modificacoes no termo cinetico da acao. Em 1 + 1 dimensoes,
defeitos do tipo kink e lump foram encontrados para varios tipos de acoes. Outro ponto a observar
e o comportamento da evolucao das paredes de domınio do modelo p que, como vimos, tem um
comportamento nao convencional, o que poderia modificar a evolucao da rede com um termo de atrito
adicional.
Todas as possibilidades sugeridas nos comentarios acima ja estao sendo investigadas. Uma parte
esta em fase inicial e outra em vias de conclusao como por exemplo no trabalho[98]. E os resultados
serao submetidos o mais breve possıvel a revistas especializadas. Outros artigos foram desenvolvidos
142
durante o doutorado[155, 156, 157, 158, 159, 160], porem nao fazem parte desta tese, por abordarem
temas distintos.
143
Apendice A
Generalidades
A.1 Expressoes Diferenciais e Integrais
Algumas expressoes matematicas utilizadas no trabalho estao postas nesta secao. Definimos o
operador laplaciano no espaco de Minkowski D dimensoes como
"2 ="2
"x21
+"2
"x22
+ . . . +"2
"x2D
. (A.1)
Em tres dimensoes, em coordenadas cilındricas (polares), onde x = r cos(3), y = r sen(3) e z = z, r
eescrevemos
"2 =1
r
"
"r
"
r"
"r
#
+1
r2
"2f
"32+
"2f
"z2. (A.2)
E em coordenadas esfericas x = r sen(3) cos(#), y = r sen(3)sin(#) e z = r cos(3), temos
"2 =1
r2
"
"r
"
r2 "
"r
#
+1
r2 sin2 #
"2
"32+
1
r2 sin#
"
"#
"
sin#"
"#
#
. (A.3)
Para configuracoes dependentes apenas da coordenada radial em sistemas de coordenadas hiper-
esfericas, em D dimensoes, o laplaciano reduz-se a
"2 =1
rD"1
d
dr
"
rD"1 d
dr
#
. (A.4)
E o divergente de um vetor tambem dependente apenas de r e
%" · %f =1
rD"1
d
dr
0
rD"1fr1
. (A.5)
144
O fator de integracao angular e dado por
#D =2$
D2
&
"D
2
# , (A.6)
onde & representa a funcao gamma.
A.2 Formulas da Gravitacao
Em gravitacao, o escalar de Ricci e dado por
R = gµ!Rµ! . (A.7)
A conexao e
&'%µ =
1
2g!' ("%gµ! + "µg%! ! "!gµ%) . (A.8)
A derivada covariante de um tensor e dada por
"µTµ! = "µTµ! + &µµ%T %! + &!
µ%T %! . (A.9)
O tensor de Einstein e
Gµ! = Rµ! !1
2gµ!R, (A.10)
O laplaciano generalizado define-se por
! =1&
|g|"µ
+&
|g|gµ!"!
,
. (A.11)
A.3 O Tensor Levi-Civita
O tensor de Levi-Civita e definido em 1 + 1 como
)01 = !)10 = 1 e )00 = !)11 = 0, (A.12)
e em D dimensoes o tensor Levi-Civita tem ordem D + 1. E definido de modo que )01...D = 1 e as
outras componentes sao iguais a (!1)p, onde p e o numero de trocas entre ındices vizinhos. Como o
tensor de Levi-Civita e antissimetrico, as componentes com ındices repetidos sao nulas.
145
A.4 Potencial Quantico de Poschl-Teller Modificado sem Reflexao
O potencial da mecanica quantica de Poschl-Teller modificado sem reflexao e dado por
U(x) = A ! B sech2(x), (A.13)
onde parametros a e b sao reais e positivos. O contınuo nao contem estados de reflexao. Para a < b,
ha estados ligados. Os autovalores do espectro discreto sao
6n = A ! C2n, (A.14)
com
Cn =
-
B +1
4! n !
1
2, (A.15)
onde
0 , n <
-
B +1
4!
1
2. (A.16)
Se(
A <&
B + 1/4! 1/2, existe autovalores de energia negativa. Mais detalhes podem ser visto nas
referencias [162, 163].
A.5 Encontrando Solucoes Numericas
Nem sempre e possıvel encotrar a forma analıtica para as solucoes da equacao (2.14). Para en-
contrar solucoes numericas podemos utilizar alguns programas matematicos apropriados com rotinas
com funcoes predefinidas ou simplesmente fazer um algoritmo simples para uma linguagem de pro-
gramacao qualquer. Aqui, mostramos uma simples rotina em Maple para encontrarmos kinks e lumps.
Utilizamos os modelos #4 e #3 estudados no capıtulo 2. Primeiramente fazemos para o modelo #4
para , = a = 1. A equacao de movimento (2.39) e denominada de eq
eq := diff(phi(x), x, x) = 2 4 phi(x) 4 (phi(x)2 ! 1); (A.17)
Para resolver eq, utilizamos o comando dsolve, onde devemos especificar duas condicoes iniciais (ou
de contorno). Para a solucao do tipo kink sabemos que em x0 = 0, centrando o kink na origem
#(0) = 0, e usando a relacao (2.40), temos d#/dx|x=0 = 1. Escrevemos entao
sol := dsolve(eq, D(phi)(0) = 1, phi(0) = 0, phi(x), numeric, output = listprocedure); (A.18)
146
Usamos o seguinte comando para a funcao P (x) a solucao #
P := eval(phi(x), sol); (A.19a)
e a funcao dP (x) a sua derivada d#/dx
dP := eval(diff(phi(x), x), sol); (A.19b)
tendo essas duas funcoes, podemos, por exemplo, esbocar o grafico da funcao e da energia, pelo
comando
plot([P(x), dP(x)2], x = !5..5, thickness = 3, linestyle = [3, 1]); (A.19c)
as opcoes thickness e linestyle especificam a espessura e o tipo da linha, respectivamente. O perfil
e mostrado na figura A.1(a).
Para resolver solucoes tipo lump, o procedimento e semelhante. A equacao de movimento (2.48)
para , = a = 1 e
eq := diff(phi(x), x, x) = 2 4 phi(x) 4 (2! 3 4 phi(x)); (A.20)
Para o lump centrado na origem, as condicoes de contorno sao #(0) = 1 e d#/dx|x=0 = 0. Escrevemos
entao
sol := dsolve(eq, D(phi)(0) = 0, phi(0) = 1, phi(x), numeric, output = listprocedure); (A.21)
repetindo os comandos (A.19), podemos esbocar o grafico do lump e da densidade de energia corre-
spondente que e mostrado na figura A.1(b).
A.6 Aproximacoes Analıticas do Modelo Ideal
Para estimar as caracterısticas das paredes de domınio que conectam quaisquer dois vacuos no
modelo ideal estudado no capıtulo 6, encontramos o potencial efetivo Veff de uma parede de domınio
que descreve uma linha reta no espaco dos campos. Chamamos essa solucao de solucao de um campo,
ja que Veff e descrito por apenas um campo (ou uma combinacao linear de alguns deles). Escolhemos
que os dois primeiros vacuos estejam sobre o eixo #1 e equidistantes da origem, de onde tem uma
distancia r0/2. As variaveis rj sao
r21 =
+
# +r0
2
,2, r2
2 =+
# !r0
2
,2, r2
3 = r24 = . . . = r2
N+1 = #2 +3r2
0
4(A.22)
147
–1
–0.5
0
0.5
1
–4 –2 2 4
x
(a) Modelo !4.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
–4 –2 2 4
x
(b) Modelo !3.
Figura A.1: Perfil do kink do modelo #4 e #3 e sua respectiva densidade de energia, esbocado de um
calculo numerico feito no Maple V.
substituindo em (6.52)
Veff (#) =,
2
O+
# +r0
2
,26+
# +r0
2
,2! r2
0
7
++
# !r0
2
,26+
# !r0
2
,2! r2
0
7
+
(N ! 1)
"
#2 +3r2
0
4
#"
#2 +3r2
0
4! r2
0
#P
(A.23)
que resulta em
Veff (#) = ,
"
#2 !r20
4
#2"N + 1
2#2 +
3r20
4(N + 5)
#
(A.24)
note que esse potencial e uma funcao de sexta potencial pela primeira vez investigada em [55], e a
solucao analıtica foi encontrada recentemente em [161]. Ajustando os parametros, encontramos
#(x) = ±r0
2
senh
.
r20
-
,
4(N + 4)x
/
QRRS
2
3(N + 4) + senh2
.
r20
-
,
4(N + 4) x
/(A.25)
Contudo, s solucao linha reta e a de menor energia apenas para o caso N = 1, para os outros casos
e uma aproximacao. Devemos ver se e uma boa aproximacao. Por simplicidade, tomemos o modelo
com apenas dois campos (N = 2), e escolhemos r0 = 2. Os mınimos do potencial sao escolhidos serem
v1 = (!1, 0) , v2 = (1, 0) e v3 = (0,(
3). Nomo vimos acima, entre os vacuos v1 e v2, a solucao linha
reta esta sobre o eixo #, o maximo do potencial se da em # = 0 que e o ponto intermediario. Para
saber se existem valores de pontencial, para # = 0 e o outro campo nao nulo, menores que o da linha
148
reta, calculamos V (# = 0, -),
V (0, -) =,
8(- !
(3)2(3-4 + 18-2 + 8
(3- + 7) (A.26)
como vemos na figura A.2(a), o valor - - !0.24 minimiza localmente energia que e aproximadamente
0.73 do que valor em - = 0. Vemos entao que a solucao linha reta para N = 2 nao e uma boa
aproximacao. A curva solida na figura A.2(b) e a geodesica no plano dos campos por onde a solucao
de menor energia percorre.
(a) Perfil do potencial efetivo (A.26)
em termos de +.
(b) Perfis da geodesica do modelo
ideal para N = 2 e a aproximacao
(A.27), de cima para baixo.
Figura A.2: Perfis que mostram uma boa aproximacao analıtica para N = 2 do modelo ideal.
Uma outra aproximacao que podemos fazer e escolher a curva onde r2 = r0 = 2. Para esse caso,
temos uma expressao analıtica que relaciona os campos por
- =(
3 !&
4 ! #2. (A.27)
Na figura A.2(b), mostramos o perfil desta curva e comparamos com a geodesica. Vemos portanto que
e uma boa aproximacao.
149
Bibliografia
[1] W. P. Su, J. R. Schrie'er, and A. J. Heeger, “Solitons in Polyacetylene,” Phys. Rev. Lett. 42,
1698 (1979).
[2] W. P. Su, J. R. Schrie'er, and A. J. Heeger, “Soliton excitations in polyacetylene,” Phys. Rev.
D 22, 2099 (1980).
[3] P. Weiss, “L’hypothese du champ moleculaire et la propriete ferromagnetique,” J.Phys., 6 (1907)
401.
[4] C. A. Almeida, D. Bazeia, L. Losano and J. M. C. Malbouisson, “New results for deformed
defects,” Phys. Rev. D 69 (2004) 067702 [arXiv:hep-th/0405238].
[5] J. Scott Russel, “Report on Waves,” Proc of the British Association for the Advancement of
Science, London, 311 (1945).
[6] D. J. Korteweg and G. de Vries, “On the change of form of long waves advancing in a retangular
canal, and on a new type of long stationary waves,” Phil. Mag. 39 (1895), 422.
[7] P. G. Drazin and R. S. Johnson, “Soliton - an introduction”, Cambdrige University Press (1989).
[8] “Interaction of ”Solitons”in a Collisionless Plasma and the Recurrence of Initial States,” N. J.
Zabusky and M. D. Kruskal, Phys. Rev. Lett. 15, 240 (1965).
[9] H. B. Nielsen and P. Olesen, “Vortex-line Models for Dual Strings,” Nucl. Phys. B 61 (1973) 45.
[10] V. L. Ginzburg and L. D. Landau, “On the Theory of superconductivity,” Zh. Eksp. Teor. Fiz.
20 (1950) 1064.
[11] A. A. Abrikosov, “On the Magnetic properties of superconductors of the second group,” Sov.
Phys. JETP 5 (1957) 1174 [Zh. Eksp. Teor. Fiz. 32 (1957) 1442].
150
[12] G. ’t Hooft, “A Two-Dimensional Model For Mesons,” Nucl. Phys. B 75 (1974) 461.
[13] A. M. Polyakov, “Particle spectrum in quantum field theory,” JETP Lett. 20 (1974) 194 [Pisma
Zh. Eksp. Teor. Fiz. 20 (1974) 430].
[14] T. W. B. Kibble, “Topology Of Cosmic Domains And Strings,” J. Phys. A 9, 1387 (1976).
[15] H. Kittel, “Physical Theory of Ferromagnetic Domains,” Rev. Mod. Phys. 21, 541 (1949).
[16] N. S. Manton and P. Sutcli'e, “Topological solitons,” (Cambridge University Press, Cambridge,
2004).
[17] A. Vilenkin and E. P. S. Sherllard, “Cosmic Strings and other Topological Defects,” (Cambridge
University Press, Cambridge, 1994).
[18] Y. B. Zeldovich, I. Y. Kobzarev and L. B. Okun, “Cosmological Consequences Of The Spontaneous
Breakdown Of Discrete Symmetry,” Zh. Eksp. Teor. Fiz. 67 (1974) 3 [Sov. Phys. JETP 40 (1974)
1].
[19] C. Itzykson, J. -B. Zuber, “Quantum Field Theory,” (McGraw-Hill, New York, 1980).
[20] E. J. Copeland, M. Sami and S. Tsujikawa, “Dynamics of dark energy,” arXiv:hep-th/0603057.
[21] M. Bucher and D. N. Spergel, “Is the dark matter a solid?,” Phys. Rev. D 60, 043505 (1999)
[arXiv:astro-ph/9812022].
[22] S. Perlmutter et al. [Supernova Cosmology Project Collaboration], “Measurements of Omega
and Lambda from 42 High-Redshift Supernovae,” Astrophys. J. 517, 565 (1999) [arXiv:astro-
ph/9812133].
[23] A. G. Riess et al. [Supernova Search Team Collaboration], “Observational Evidence from Super-
novae for an Accelerating Universe and a Cosmological Constant,” Astron. J. 116, 1009 (1998)
[arXiv:astro-ph/9805201].
[24] L. Randall and R. Sundrum, “An alternative to compactification,” Phys. Rev. Lett. 83 (1999)
4690 [arXiv:hep-th/9906064].
[25] W. D. Goldberger and M. B. Wise, “Modulus stabilization with bulk fields,” Phys. Rev. Lett. 83
(1999) 4922 [arXiv:hep-ph/9907447].
151
[26] O. DeWolfe, D. Z. Freedman, S. S. Gubser and A. Karch, “Modeling the fifth dimension with
scalars and gravity,” Phys. Rev. D 62 (2000) 046008 [arXiv:hep-th/9909134].
[27] M. Gremm, “Four-dimensional gravity on a thick domain wall,” Phys. Lett. B 478 (2000) 434
[arXiv:hep-th/9912060].
[28] M. K. Prasad and C. M. Sommerfield, “An Exact Classical Solution For The ’T Hooft Monopole
And The Julia-Zee Dyon,” Phys. Rev. Lett. 35, 760 (1975).
[29] D. Bazeia, L. Losano and J. M. C. Malbouisson, “Deformed defects,” Phys. Rev. D 66, 101701
(2002) [arXiv:hep-th/0209027].
[30] Carlos Alberto Gomes de Almeida, “Deformacao de Defeitos em Modelos de Campos Escalares,”
Tese de Dourorado - UFPB (2004).
[31] D. Bazeia, M. A. Gonzalez Leon, L. Losano and J. Mateos Guilarte, “Deformed defects for scalar
fields with polynomial interactions,” Phys. Rev. D 73, 105008 (2006) [arXiv:hep-th/0605127].
[32] E. B. Bogomol´nyi, “Stability Of Classical Solutions,” Sov. J. Nucl. Phys. 24, 449 (1976) [Yad.
Fiz. 24, 861 (1976)].
[33] M. K. Prasad and C. M. Sommerfield, “An Exact Classical Solution For The ’T Hooft Monopole
And The Julia-Zee Dyon,” Phys. Rev. Lett. 35 (1975) 760.
[34] P. Van Nieuwenhuizen, “Supergravity,” Phys. Rept. 68 (1981) 189.
[35] Dionisio Bazeia Filho, “Campos Escalares em acao,” Tese de Apresentada para o Concurso de
Professor Titular - UFPB (2004).
[36] D. Bazeia, M. J. dos Santos and R. F. Ribeiro, “Solitons in systems of coupled scalar fields,”
Phys. Lett. A 208, 84 (1995) [arXiv:hep-th/0311265].
[37] D. Bazeia, J. R. S. Nascimento, R. F. Ribeiro and D. Toledo, “Soliton stability in systems of two
real scalar fields,” J. Phys. A 30, 8157 (1997) [arXiv:hep-th/9705224].
[38] D. Bazeia, H. Boschi-Filho and F. A. Brito, “Domain defects in systems of two real scalar fields,”
JHEP 9904 (1999) 028 [arXiv:hep-th/9811084].
[39] A. A. Izquierdo, M. A. G. Leon and J. M. Guilarte, “The kink variety in systems of two coupled
scalar fields in two space-time Phys. Rev. D 65, 085012 (2002) [arXiv:hep-th/0201200].
152
[40] A. Alonso Izquierdo, M. A. Gonzalez Leon, J. Mateos Guilarte and M. de la Torre Mayado,
“Adiabatic motion of two-component BPS kinks,” Phys. Rev. D 66 (2002) 105022 [arXiv:hep-
th/0207064].
[41] P. Coullet, J. Lega, B. Houchmandzadeh and J. Lajzerowicz, “Breaking chirality in nonequilib-
rium systems” ,Phys. Rev. Lett. 65, 1352 (1990).
[42] P. Coullet, J. Lega and Y. Pomeau, “Dynamics of Bloch walls in a rotating magnetic field: a
model,” Europhys. Lett. 15, 221 (1991).
[43] J. Pouget and G.A. Maugin, “Solitons and electroacoustic interactions in ferroelectric crystals. I.
Single solitons and domain walls”, Phys. Rev. B 30, 5306 (1984).
[44] D. Bazeia, R.F. Ribeiro and M.M. Santos, “Solitons in a class of systems of two coupled real
scalar fields”, Phys. Rev. E 54, 2943 (1996).
[45] D. Bazeia, R.F. Ribeiro, and M.M. Santos, “Alternate route to soliton solutions in hydrogen-
bonded chains,” Phys. Rev. E 54, 2943 (1996);
[46] D. Bazeia and E. Ventura, “Topological Twistons in Crystalline Polyethylene,” Chem. Phys. Lett.
303, 341 (1999);
[47] P. Brax, J. Mourad and D. A. Steer, “Tachyon kinks on non BPS D-branes,” Phys. Lett. B 575,
115 (2003) [arXiv:hep-th/0304197].
[48] E. Ventura, A. M. Simas and D. Bazeia, “Exact Topological Twistons in Crystalline Polyethy-
lene,” Chem. Phys. Lett. 320 (2000) 587 [arXiv:physics/0004010].
[49] D. Bazeia, V. B. P. Leite, B. H. B. Lima and F. Moraes, “Soliton model for proton conductivity
in Langmuir films,” Chem. Phys. Lett. 340 (2001) 205 [arXiv:physics/0104054].
[50] A.H. Eschenfelder, “Magnetic Bubble Technology” (Springer, Berlin, 1981).
[51] R. Hobart, “On the Instability of a Class of Unitary Field Models”, Proc. Phys. Soc. Lond.82,
201(1963);
[52] G. H. Derrick, “Comments on nonlinear wave equations as models for elementary particles,” J.
Math. Phys. 5 (1964) 1252.
[53] D. Bazeia, J. Menezes and R. Menezes, “New global defect structures,” Phys. Rev. Lett. 91,
241601 (2003) [arXiv:hep-th/0305234].
153
[54] P.O. Jubert, R. Allenspach and A. Bischof, “Magnetic domain walls in constrained geometries,”
cond-mat/0404669.
[55] N. H. Christ and T. D. Lee, “Quantum Expansion Of Soliton Solutions,” Phys. Rev. D 12, 1606
(1975).
[56] D. Bazeia, C. Furtado and A. R. Gomes, “Brane structure from scalar field in warped spacetime,”
JCAP 0402 (2004) 002 [arXiv:hep-th/0308034].
[57] A. Campos, “Critical phenomena of thick branes in warped spacetimes,” Phys. Rev. Lett. 88
(2002) 141602 [arXiv:hep-th/0111207].
[58] B. Zwiebach, “A solvable toy model for tachyon condensation in string field theory,” JHEP 0009
(2000) 028 [arXiv:hep-th/0008227].
[59] D. Bazeia, L. Losano and R. Menezes, em preparacao.
[60] J. Rubinstein, “Sine-Gordon Equation,” J. Math. Phys. 11 (1970) 258.
[61] K. Maki and P. Kumar, “Magnetic solitons in superfluid 3He,” Phys. Rev. B 14, 118 (1976); 14,
3920 (1976).
[62] H. Dvey-Aharon, T.J. Sluckin, and P.L. Taylor, “Kink propagation as a model for poling in
poly(vinylidene fluoride),” Phys. Rev. B 21, 3700 (1980).
[63] C.A. Condat, R.A. Guyer, and M.D. Miller, “Double sine-Gordon chain”’ Phys. Rev. B 27, 474
(1983).
[64] D. Bazeia, L. Losano and R. Menezes, “Defect structures in sine-Gordon-like models,” PhysicaD
208, 236 (2005) [arXiv:hep-th/0411197].
[65] C.T. Zhang, “Soliton excitations in deoxyribonucleic acid (DNA) double helices,” Phys. Rev. A
35, 886 (1987).
[66] C.T. Zhang, “Harmonic and subharmonic resonances of microwave absorption in DNA,” Phys.
Rev. A 40, 2148 (1989).
[67] K. Freese and D. Spolyar, “Chain inflation: ’Bubble bubble toil and trouble’,” JCAP 0507 (2005)
007 [arXiv:hep-ph/0412145].
154
[68] K. Freese, J. T. Liu and D. Spolyar, “Devaluation: A dynamical mechanism for a naturally small
cosmological constant,” Phys. Lett. B 634 (2006) 119 [arXiv:hep-ph/0510065].
[69] A.A. Belavin and A.M. Polyakov, “Metastable states of two-dimensional isotropic ferromagnet,”
JEPT Lett. 22, 245 (1975).
[70] A.M. Kosevich, B.A. Ivanov and A.S. Kovalev, “Magnetic solitons,” Phys. Rep. 194, 117 (1990).
[71] A.N. Bogdanov, U.K. Rossler, M. Wolf, and K.-H. Muller, “Magnetic structures and reorientation
transitions in noncentrosymmetric uniaxial antiferromagnets,” Phys. Rev. B 66, 214410 (2002).
[72] D. Bazeia, J. Menezes and R. Menezes, “Global Defects in Field Theory with Applications to
Condensed Matter,” Mod. Phys. Lett. B 19, 801 (2005) [arXiv:cond-mat/0511657].
[73] S. M. Carroll, G. B. Field and R. Jackiw, “Limits on a Lorentz and Parity Violating Modification
of Electrodynamics,” Phys. Rev. D 41, 1231 (1990).
[74] D. Colladay and V. A. Kostelecky, “CPT violation and the standard model,” Phys. Rev. D 55,
6760 (1997) [arXiv:hep-ph/9703464].
[75] D. Colladay and V. A. Kostelecky, “Lorentz-violating extension of the standard model,” Phys.
Rev. D 58, 116002 (1998) [arXiv:hep-ph/9809521].
[76] V. A. Kostelecky and S. Samuel, “Spontaneous Breaking of Lorentz Symmetry in String Theory,”
Phys. Rev. D 39, 683 (1989).
[77] V. A. Kostelecky and R. Potting, “CPT and strings,” Nucl. Phys. B 359, 545 (1991).
[78] V. A. Kostelecky and R. Potting, “CPT, strings, and meson factories,” Phys. Rev. D 51, 3923
(1995) [arXiv:hep-ph/9501341].
[79] V. A. Kostelecky and R. Lehnert, “Stability, causality, and Lorentz and CPT violation,” Phys.
Rev. D 63, 065008 (2001) [arXiv:hep-th/0012060].
[80] D. Bazeia and R. Menezes, “Defect structures in Lorentz and CPT violating scenarios,” Phys.
Rev. D 73 (2006) 065015 [arXiv:hep-th/0506262].
[81] D. Bazeia e R. Menezes, em preparacao.
[82] D. Walgraef, “Spatio-Temporal Pattern Formation,” (Springer-Verlag, New York, 1997);
155
[83] I.M. Merhasin and B. Malomed, “Gap solitons in a model of a hollow optical fiber,”
nlin.PS/0410011.
[84] I. Dzyaloshinskii, “A thermodynamic theory of weak ferromagnetism of antiferromagnets ,” J.
Phys. Chem. Solids 4, 241 (1958);
[85] T. Moriya, “Anisotropic Superexchange Interaction and Weak Ferromagnetism ” Phys. Rev. 120,
91 (1960);
[86] A. de Souza Dutra, M. Hott and F. A. Barone, “Two field BPS solutions for generalized Lorentz
breaking models,” Phys. Rev. D 74 (2006) 085030.
[87] D. Bazeia and F. A. Brito, “Bags, junctions, and networks of BPS and non-BPS defects,” Phys.
Rev. D 61, 105019 (2000) [arXiv:hep-th/9912015].
[88] A. Sen, “Tachyon condensation on the brane antibrane system,” JHEP 9808, 012 (1998)
[arXiv:hep-th/9805170].
[89] A. Sen, “Supersymmetric world-volume action for non-BPS D-branes,” JHEP 9910, 008 (1999)
[arXiv:hep-th/9909062].
[90] M. R. Garousi, “Tachyon couplings on non-BPS D-branes and Dirac-Born-Infeld action,” Nucl.
Phys. B 584, 284 (2000) [arXiv:hep-th/0003122].
[91] A. Sen, “BPS D-branes on non-supersymmetric cycles,” JHEP 9812, 021 (1998) [arXiv:hep-
th/9812031].
[92] D. Bazeia, R. Menezes and J. G. Ramos, “Regular and periodic tachyon kinks,” Mod. Phys. Lett.
A 20, 467 (2005) [arXiv:hep-th/0401195].
[93] A. Sen, “Dirac-Born-Infeld action on the tachyon kink and vortex,” Phys. Rev. D 68, 066008
(2003) [arXiv:hep-th/0303057].
[94] E. J. Copeland, P. M. Sa(n and D. A. Steer, “Singular tachyon kinks from regular profiles,”
Phys. Rev. D 68, 065013 (2003) [arXiv:hep-th/0306294].
[95] C. j. Kim, Y. b. Kim and C. O. Lee, “Tachyon kinks,” JHEP 0305, 020 (2003) [arXiv:hep-
th/0304180].
[96] D. Bazeia, “Topological solitons in a vacuumless system,” Phys. Rev. D 60, 067705 (1999)
[arXiv:hep-th/9905184].
156
[97] V. Afonso, D. Bazeia, F. A. Brito and R. Menezes , em preparacao
[98] D. Bazeia, L. Losano, R. Menezes and J. C. R. Oliveira, em preparacao
[99] E. P. Hubble, “A Relation Between Distance and Radial Velocity Among Extra-Galactic Nebu-
lae”, Proc. Nat. Acad. Sci., 15, 168. (1929);
[100] D. N. Spergel et al. [WMAP Collaboration], “First Year Wilkinson Microwave Anisotropy Probe
(WMAP) Observations: Determination of Cosmological Parameters,” Astrophys. J. Suppl. 148
(2003) 175 [arXiv:astro-ph/0302209].
[101] P. J. E. Peebles and B. Ratra, “The cosmological constant and dark energy,” Rev. Mod. Phys.
75 (2003) 559 [arXiv:astro-ph/0207347].
[102] A. Einstein, “Kosmologische Betrachtungen zur allgemeinen Rela tivit¨tstheorie,” Preuss. Akad.
Wiss. Berlin, Stizber. 142 (1917).
[103] L. Kofman and A. A. Starobinskii, Pis’ma Astron. Zh. 11, 643 (1985). [Sov. Astron. Lett. 11,
271 (1984)].
[104] A. R. Liddle and D. H. Lyth, “Cosmological inflation and large-scale structure,” Cambdrige
University Press (2000).
[105] Clelio Brasil Cardoso Gomes, “Formalismo de Primeira Ordem em Cosmologia,” Dissertacao de
Mestrado - UFPB (2006).
[106] D. Bazeia, C. B. Gomes, L. Losano and R. Menezes, “First-order formalism and dark energy,”
Phys. Lett. B 633 (2006) 415 [arXiv:astro-ph/0512197].
[107] M. Cvetic, S. Gri(es and S. J. Rey, “Static domain walls in N=1 supergravity,” Nucl. Phys. B
381, 301 (1992) [arXiv:hep-th/9201007].
[108] K. Skenderis and P. K. Townsend, “Gravitational stability and renormalization-group flow,”
Phys. Lett. B 468, 46 (1999) [arXiv:hep-th/9909070].
[109] F. A. Brito, M. Cvetic and A. Naqvi, “Brane resolution and gravitational Chern-Simons terms,”
Class. Quant. Grav. 20, 285 (2003) [arXiv:hep-th/0206180].
[110] R. Kallosh and A. D. Linde, “Supersymmetry and the brane world,” JHEP 0002, 005 (2000)
[arXiv:hep-th/0001071].
157
[111] G. N. Felder, A. V. Frolov, L. Kofman and A. V. Linde, “Cosmology with negative potentials,”
Phys. Rev. D 66, 023507 (2002) [arXiv:hep-th/0202017].
[112] P. J. Steinhardt and N. Turok, “A cyclic model of the universe,” Science 296 (2002) 1436.
[113] J. Khoury, P. J. Steinhardt and N. Turok, “Designing cyclic universe models,” Phys. Rev. Lett.
92, 031302 (2004) [arXiv:hep-th/0307132].
[114] V. Gorini, A. Y. Kamenshchik, U. Moschella and V. Pasquier, “Tachyons, scalar fields and
cosmology,” Phys. Rev. D 69 (2004) 123512 [arXiv:hep-th/0311111].
[115] S. Y. Vernov, “Construction of exact solutions in two-fields models and the crossing of the
cosmological constant barrier,” arXiv:astro-ph/0612487.
[116] D. Bazeia, L. Losano and J. J. Rodrigues, “First-order formalism for scalar field in cosmology,”
arXiv:hep-th/0610028.
[117] D. Bazeia, L. Losano and R. Rosenfeld, “First-order formalism for dust,” arXiv:astro-
ph/0611770.
[118] W. H. Press, B. S. Ryden and D. N. Spergel, “Dynamical Evolution of Domain Walls in an
Expanding Universe,” Astrophys. J. 347, 590 (1989);
[119] B. S. Ryden, W. H. Press and D. N. Spergel, “The Evolution Of Networks Of Domain Walls
And Cosmic Strings,” Astrophys. J. 357, 293 (1990);
[120] Press, W., B. Flannery, S. Teukolsky, and W. Vetterling, “Numerical Recipes in C,” Cambridge
University Press, (1988)
[121] COSMOS - UK Computational Cosmology Consortium’s (http://www.damtp.cam.ac.uk/cosmos/)
[122] S. Cecotti and C. Vafa, “On classification of N=2 supersymmetric theories,” Commun. Math.
Phys. 158 (1993) 569 [arXiv:hep-th/9211097].
[123] D. Spergel and U. L. Pen, “Cosmology in a string-dominated universe,” Astrophys. J. 491 (1997)
L67 [arXiv:astro-ph/9611198].
[124] H. Kubotani, “The domain wall network of explicitly broken O(N) model,” Prog. Theor. Phys.
87 (1992) 387.
158
[125] P. McGraw, “Evolution of a non-Abelian cosmic string network,” Phys. Rev. D 57 (1998) 3317
[arXiv:astro-ph/9706182].
[126] C. J. A. Martins, “Scaling laws for non-intercommuting cosmic string networks,” Phys. Rev. D
70 (2004) 107302 [arXiv:hep-ph/0410326].
[127] E. J. Copeland and P. M. Sa(n, “On the evolution of cosmic-superstring networks,” JHEP 0511
(2005) 023 [arXiv:hep-th/0505110].
[128] E. J. Copeland, T. W. B. Kibble and D. A. Steer, “Collisions of strings with Y junctions,” Phys.
Rev. Lett. 97 (2006) 021602 [arXiv:hep-th/0601153].
[129] M. S. Turner, R. Watkins and L. M. Widrow, “Microwave distortions from collapsing domain
wall bubbles,” Astrophys. J. 367 (1991) L43.
[130] Ayako Yoshisato, Masahiro Morikawa, Naoteru Gouda, and Hideaki Mouri, “Why is the
Zel’dovich Approximation So Accurate?” Astrophys. J. 367, L43 (1991).
[131] A. Friedland, H. Murayama and M. Perelstein, “Domain walls as dark energy,” Phys. Rev. D
67, 043519 (2003) [arXiv:astro-ph/0205520].
[132] M. Den, K. Yamashita and H. Kubotani, “Testing the domain wall dominated scenario for the
evolution of the large scale structure of the universe,” Prog. Theor. Phys. 103 (2000) 559.
[133] L. Conversi, A. Melchiorri, L. Mersini-Houghton and J. Silk, “Are domain walls ruled out?,”
Astropart. Phys. 21, 443 (2004) [arXiv:astro-ph/0402529].
[134] R. A. Battye and A. Moss, “Constraints on the solid dark universe model,” JCAP 0506, 001
(2005) [arXiv:astro-ph/0503033].
[135] N. D. Antunes, L. Pogosian and T. Vachaspati, “On formation of domain wall lattices,” Phys.
Rev. D 69, 043513 (2004) [arXiv:hep-ph/0307349].
[136] B. Carter, “Frozen rigging model of the energy dominated universe,” Int. J. Theor. Phys. 44,
1729 (2005) [arXiv:hep-ph/0412397].
[137] R. A. Battye, B. Carter, E. Chachoua and A. Moss, “Rigidity and stability of cold dark solid
universe model,” Phys. Rev. D 72, 023503 (2005) [arXiv:hep-th/0501244].
[138] R. A. Battye, E. Chachoua and A. Moss, “Elastic properties of anisotropic domain wall lattices,”
arXiv:hep-th/0512207.
159
[139] E. W. Kolb and M. S. Turner, “The Early Universe,” (Addison-Wesley, Redwood City, USA,
1990).
[140] S. Sarangi and S. H. H. Tye, “Cosmic string production towards the end of brane inflation,”
Phys. Lett. B 536 (2002) 185 [arXiv:hep-th/0204074].
[141] G. Dvali and A. Vilenkin, “Formation and evolution of cosmic D-strings,” JCAP 0403 (2004)
010 [arXiv:hep-th/0312007].
[142] E. J. Copeland, R. C. Myers and J. Polchinski, “Cosmic F- and D-strings,” JHEP 0406 (2004)
013 [arXiv:hep-th/0312067].
[143] L. M. Widrow, “The Collapse of Nearly Spherical Domain Walls,” Phys. Rev. D 39 (1989) 3576.
[144] L. M. Widrow, “Dynamics of Thick Domain Walls,” Phys. Rev. D 40 (1989) 1002.
[145] L. M. Widrow, “General Relativistic Domain Walls,” Phys. Rev. D 39 (1989) 3571.
[146] P. Pina Avelino, C. J. A. Martins, J. Menezes, R. Menezes and J. C. R. Oliveira, “Frustrated
expectations: Defect networks and dark energy,” Phys. Rev. D 73, 123519 (2006) [arXiv:astro-
ph/0602540].
[147] P. P. Avelino, C. J. A. Martins, J. Menezes, R. Menezes and J. C. R. Oliveira, “Defect junctions
and domain wall dynamics,” Phys. Rev. D 73, 123520 (2006) [arXiv:hep-ph/0604250].
[148] D. Bazeia, F. A. Brito and L. Losano, “Relaxing to three dimensional brane junction,” Europhys.
Lett. D 76 (2006) 374 [arXiv:hep-th/0512331].
[149] D. N. Spergel et al., “Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) three year results:
Implications for cosmology,” arXiv:astro-ph/0603449.
[150] Z. K. Guo, Y. S. Piao, X. M. Zhang and Y. Z. Zhang, “Cosmological evolution of a quintom
model of dark energy,” Phys. Lett. B 608 (2005) 177 [arXiv:astro-ph/0410654].
[151] H. Wei, R. G. Cai and D. F. Zeng, “Hessence: A new view of quintom dark energy,” Class.
Quant. Grav. 22 (2005) 3189 [arXiv:hep-th/0501160].
[152] S. M. Carroll, A. De Felice, V. Duvvuri, D. A. Easson, M. Trodden and M. S. Turner, “The
cosmology of generalized modified gravity models,” Phys. Rev. D 71 (2005) 063513 [arXiv:astro-
ph/0410031].
160
[153] Francisco de Assis de Brito, “Defeito dentro de Defeito, Juncoes e Redes de Defeitos,” Tese de
Dourorado (2000).
[154] P. P. Avelino, C. J. A. Martins, J. Menezes, R. Menezes and J. C. R. Oliveira, “Scaling of
cosmological domain wall networks with junctions,” arXiv:astro-ph/0612444.
[155] D. Bazeia, R. Menezes, J. R. Nascimento, R. F. Ribeiro and C. Wotzasek, “Dual equivalence in
models with higher order derivatives,” J. Phys. A 36 (2003) 9943 [arXiv:hep-th/0210311].
[156] T. Mariz, R. Menezes, J. R. S. Nascimento, R. F. Ribeiro and C. Wotzasek, “Issues of duality
on noncommutative manifolds: The non-equivalence between self-dual and topologically massive
models,” Phys. Rev. D 70 (2004) 085018 [arXiv:hep-th/0306265].
[157] R. Menezes and C. Wotzasek, “On duality symmetry in charged p-form theories,” Phys. Lett.
B 604 (2004) 242 [arXiv:hep-th/0410240].
[158] E. M. C. Abreu, R. Menezes and C. Wotzasek, “On the Lorentz symmetry of the noncommutative
chiral bosons,” Phys. Rev. D 71, 065004 (2005) [arXiv:hep-th/0411248].
[159] M. S. Guimaraes, T. Mariz, R. Menezes and C. Wotzasek, “Searching for the dual of the Maxwell-
Chern-Simons model minimally coupled to dynamical U(1) charged matter,” Phys. Lett. B 625
(2005) 351 [arXiv:hep-th/0503107].
[160] D. Bazeia, B. C. da Cunha, R. Menezes and A. Y. Petrov, “Perturbative aspects and conformal
solutions of F(R) gravity,” arXiv:hep-th/0701106.
[161] D. Bazeia and L. Losano, “Deformed defects with applications to braneworlds,” Phys. Rev. D
73, 025016 (2006) [arXiv:hep-th/0511193].
[162] P. Morse, H. Feshbach, “Methods of Mathematical Physics,” (McGraw-Hill, New York, 1953).
[163] S. Flugge, “Practical Quantum Mechanics,” (Springer, Berlin, 1974).
161
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