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MATEMATICA APLICADO A LA MEDICINA

TEMA TEORIA DE CONJUNTOS

2014

2

CONJUNTO:

Idea Intuitiva:

La palabra conjunto sugiere de inmediato la idea de:

Grupo

Colección

Selección

Asociación

Agregado , etc.

NOTACION

Para representar un conjunto se utilizan letras Mayúsculas, tales como A , B , C .......

LA TEORIA DE CONJUNTOS

3

ELEMENTO :Son los objetos que forman parte del conjunto la propiedad fundamental de un elemento es la pertenencia ; que se simboliza así

: Se lee : “ pertenece a ”

A los elementos se les designa con letras minúsculas , tales como x , y , zetc.

Si un elemento x forma parte del conjunto A, entonces, ese elemento

pertenece a ese conjunto A así denotamos :

x A : Se lee: “ x pertenece a A”

Si un elemento x no forma parte del conjunto A, entonces, ese

elemento no pertenece a ese conjunto A. Así denotamos :

x A : Se lee: “ x no pertenece a A”

Ejemplo: Sea A = { x , y , z }

x A y A z A m A


4

Diagrama de Veen - Euler :Consisten en representar a los conjuntos por medio de figuras geométricas

planas y cerradas en cuyo interior se ubican los elementos.

Ejemplo: A = {m , n , p }

.m

.n

.p

A


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Determinación de un conjunto :

Un conjunto se puede determinar:

por extensión y por comprensión

Por extensión :Nombrando uno a uno los elementos del conjunto Ejemplo: A = { 2, 4, 6, 8, 10 } B = { a, e, i, o, u }

Por Comprensión :Enunciando una propiedad o característica común a los elementos del

conjunto. Ejemplo: A = {x x es un número par } B = { x / x son las vocales }


6

El Conjunto de Números Naturales ( N)

N = { 1 , 2 , 3 ,4 , .................. }

En este conjunto sólo se puede efectuar operaciones de adición y

multiplicación sin restricciones.

CONJUNTOS NUMERICOS

El Conjunto de Números Enteros ( Z )Son los números naturales precedidos por el signo - o + , incluyendo

el cero.

Z = { ............... – 3 , , - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , .................. }

Donde N Z

N

Z

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El Conjunto de Números Racionales ( Q)

Q = { x / x = ; a , b Z ; b 0 }

Es decir el conjunto Q resulta de dividir 2 números enteros , con el

divisor diferente de cero . Y puede obtenerse.

CONJUNTOS NUMERICOS

ba

mixto Periódico

puro Periódicoinexacto Decimal

exacto Decimal

decimal Número

Q

Z

N

8

Conjunto de Números Irracionales( Q )Son aquellos números que no pueden expresarse en la forma ; b 0

a , b Z , es decir que no presentan periodicidad en sus cifras decimales.

CONJUNTOS NUMERICOS

ba

..........2 , e , , 2 , 3..,.......... 3Q=

Conjunto de Números Reales ( R )

R = Q Q

Nota:Existe una correspondencia biunívoca entre los elementos del conjunto

de números reales y el conjunto de puntos de la recta .

PiP2P1

(x1) (x2) (xi)- +

GRAFICA CONJUNTISTA

9

R

Q

Z

NQ´

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El Conjunto de Números Complejos ( C )Al resolver la ecuación :

CONJUNTOS NUMERICOS

1icon ; 1- si donde,

R1x01 x2

2

i

i se llama unidad imaginaria

Por lo tanto :

Un número Complejo podemos escribir en la forma a + bi ; a ,b RLuego :

C = { a + bi a , b R ; i2 = - 1 }

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Conjuntos Especiales :

Conjunto Unitario : Es el conjunto que tiene un solo elemento.

Ejemplo: M = { x } ; N = { x N 1 < x < 3 }

Conjunto Nulo o Vacío : Es el conjunto que carece de elementos.

Denotado por

Ejemplo: P = { x N 1 < x < 2 } = Conjunto Finito: Es el conjunto formado por un numero determinado de

elementos.

Ejemplo: M = { x x es número dígito par menor que 40 }

Conjunto Infinito: Es el conjunto formado por un numero indeterminado

de elementos.

Ejemplo: N = { x R 1 < x 5 }

Conjunto Universal : Constituido por todos los elementos de una

determinada materia.

El conjunto Universal no está definida en forma única, podemos elegir a

nuestra conveniencia. Se denota por la letra U

Ejemplo: Sea el universo U = { a , e , i , o , u }


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Relaciones entre Conjuntos :LA INCLUSION

Denotado por se lee: está incluido o contenido .Se dice que un conjunto A está incluido en otro conjunto B, sí y solo sí , todos los elementos de A pertenece a B ; es decir :

Ejemplo: Sea A = {2 , 3 , 5} y B = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }

.1.4

.6

La inclusión denotado por da la posibilidad de que A y B tengan los mismos elementos

.2 .3.5

A

B


𝐀⊂𝐁↔ {∀𝐗𝛜𝐀 ,𝐗𝛜𝐀→𝐗𝛜𝐁 }

B.2

.3 .5

.1

.4 B

.6A

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Subconjunto Propio o Parte Propia:

Se dice que un conjunto A es subconjunto propio de o parte propia de B ; sí y

solo si, todos los elementos de A pertenecen a B , existiendo elementos de B

que no pertenecen a A ; se denota así:

A B se lee: A es subconjunto propio de B

Nota: El conjunto nulo es subconjunto de todo conjunto .

A ; A


.1 .

2 .3

B

.a .b

A

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Propiedades de la Inclusión:

1. Reflexiva :

A A ; A

2. Antisimétrica :

Si A B B A A = B

3. Transitiva :

Para los conjuntos A , B y C

Si A B B C A C


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Igualdad de Conjuntos :

A y B son iguales , cuando están formados por los mismos elementos.

Y definimos así:

Ejemplo:

A = { x , y } y B = { y , x }

A = B


A = B

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Relaciones entre Conjuntos :

Conjuntos Comparables

.b

.d .f

Tienen algunos elementos en común.

A = { a , b , c , d } y B = { a , c , e , f }

A B

AB BA B a comparable esA Conjuntos no comparables

AB BA BA B a comparable es noA

.e

Conjuntos Disjuntos:

BA disjuntosson By A

Números pares

Números imparesA B

No tienen ningún elemento en común


.a

.c

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Conjunto de conjuntos o familia de conjuntos :

Es el conjunto que tiene como elementos a otros conjuntos.

Ejemplo: A= { {1 , 2 } , { 0 } , { 3 } }


Conjunto PotenciaEs el conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de ese

conjunto , incluyendo el mismo y el nulo.

Dado un conjunto A ; el conjunto potencia de A, se denota por P(A)

Luego :

Ejemplo: Sea A = {a , b}

P(A) = { {a } , { b } , { a , b } , }

𝐏 (𝐀 )= {𝐗 /𝐗⊂𝐀 }

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Nota :

1. Si A tiene “ n” elementos, el número de elementos de la P(A) es igual

a 2n elementos.

P(B)P(A)BA Si 4.

P(B)P(A)BA Si 3.

}{ )P( A Si 2.


El conjunto potencia de A es una familia de conjuntos

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OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Unión o Reunión de Conjuntos

Dado dos conjuntos A y B , se tiene : A B = { x/ x A x B }

A B Si A y B son no comparables , entonces:

A B gráficamente es:

Si A y B son comparables , entonces:

A B es:

Si A y B son Disjuntos

A B es:

B

B

A

A

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Propiedades de la Reunión de Conjuntos

n21i

n

1iA...........AAA 12.

DBCA DC BA Si 11.

BBABA Si .10

B A BA Si 9.

B)(AB B)(AA 8.

UUA 7.

C)(BC)(ABA Si 6.

C ; C)A(B)A(C)B(A 5.

AA 4.

C)B(ACB)(A 3.

ABBA 2.

A ;A AA .1

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Intersección de Conjuntos

Dado dos conjuntos A y B , se tiene : A B = { x/ x A x B }

A B Si A y B son no comparables , entonces:

A B gráficamente es:


A B es: A


A B es:

B

B

A

A

BA

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OPERACIONES ENTRE CONJUNTOSPropiedades de la Intersección de Conjuntos

A...........AAA 13.

AB)(AA ;A B)(AA 12.

C)(AB)(AC)(BA

C)(AB)(AC)(BA 11.

P(B) P(A) B)P(A 10.

CBA DB CA Si 9.

BB)(A A B)(A 8.

CBCABA Si 7.

ABABA Si 6.

A 5.

AUA 4.

C)B(ACB)(A 3.

ABBA 2.

A ;A AA .1

n21i

n

1

i

D

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OPERACIONES ENTRE CONJUNTOSDiferencia de Conjuntos

Dado dos conjuntos A y B , se tiene : A - B = { x/ x A x B }

Gráficamente , mediante el diagrama

de Veen se tiene:A B

Si A y B son no comparables , entonces:

A - B es:


A - B = (No hay gráfico)


A - B es:

BA

BA

B – A es:

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OPERACIONES ENTRE CONJUNTOSPropiedades de la Diferencia de Conjuntos

B-C)-A(C-B)-(A 12.

Disjuntosson A -B ; BA ; B-A 11.

C)(AB)(AC)(B-A

C)-(AB)-(AC)(B-A 10.

C , C)-(BC)-(ABA Si 9.

BA BA Si 8.

C)(A-B)(AC)-B(A 7.

B)-(AB 6.

B)(A-AB-B)(A B)-(A 5.

A- 4.

AB-A 3.

AA 2.

A -A .1

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OPERACIONES ENTRE CONJUNTOSComplemento de un Conjunto

Dado el universo U y un conjunto A ; el complemento de A , denotado por

A O Ac se define asi :

Ac = { x/ x U x A } = U - A

Ac

Gráficamente:

A

Si el conjunto referencial no es el conjunto universo, tal como B , donde

A B ; entonces el complemento de A con respecto a B , denotado

por CB (A) Será :

CB (A) = { x / x B x A } = B - A

U

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OPERACIONES ENTRE CONJUNTOSPropiedades del Complemento

B)(AU)B(A 12.

B)(A-U)B(A 11.

BA)B(A

BA)B(A 10.

ABBA Si 9.

B (A)C 8.

A-B (A)C 7.

6.

U 5.

U 4.

AA 3.

UAA 2.

A)A( .1

B

B

BABA

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Diferencia Simétrica

Dado dos conjuntos A y B ; la diferencia Simétrica , denotada por A B se define así:

A B = (A – B ) U (B – A)

B

Gráficamente:

A

Ejemplo . Si A = { 2 , 3 , 5 } y B = { 0 , 1 , 2 , 3 , 8 , 9 } Hallar A B

Solución.

Como A B = (A – B ) (B – A) = { 5 } { 0 , 1 , 8 , 9 }

A B = { 0 , 1 , 5 , 8 , 9 }

28

Propiedades de la Diferencia simétrica

CBC A B A Si 9.

) AB ()BA(B ΔA 8.

B)(A-B)A(B ΔA 7.

C)B(A-)BA(CBB) Δ(A 6.

C)B Δ( C)A(C B) Δ(A 5.

BA 4.

A BΔB ΔA 3.

A A 2.

A A .1

C

CBAC

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TEORIA DE CONJUNTOS

Número de Elementos de un Conjunto

Al número de elementos de un conjunto se le llama :

Cardinal de un Conjunto y se denota así:

Para un conjunto A se tiene n(A) ó Card (A)

Ejemplo . Si A = { a , e , i , o , u }

n(A ) = 5

ó

n [ P(A) ] = 25 = 32

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TEORIA DE CONJUNTOS

Propiedades

C)Bn(A C)n(B-C)n(A - B)n(A - n(C) n(B) n(A) C)B n(A

:entonces , CBA

:que taless,comparable no conjuntosson Cy B ,A Si 4.

B)n(A - n(B) n(A) B) n(A

:entonces s,comparable no conjuntosson By A Si 3.

B)n(A - n(A) B) -n(A

: racualesquie conjuntosson By A Si 2.

n(B) n(A) B)n(A

:entonces , disjuntos conjuntosson By A Si .1

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EJERCICIOS DE CONJUNTOS

1. Para la gráfica de A , B y C se tiene:

Las operaciones que representan las regiones:

A B

C

R1

R4

R5

R7

R2

R6

R3

R8

U

)BCn(A]BC)n[(A n(B)C)n(AR

)BAn(C)B(An[C B)n(An(C)R

)CAn(B])C(AB n[C)n(An(B)R

)CBn(A])C(Bn[A C)n(Bn(A)R

4

3

2

1

32


Para la gráfica de A , B y C se tiene:

Las operaciones que representan las regiones:

A B

C

R1

R4

R5

R7

R2

R6

R3

R8

U

)CBn(AR

C)Bn(AR

)ACn(B] AC)(B n[n(A)C)n(BR

)CBn(A]C)n[(A n(C)B)n(AR

8

7

6

5

B

33


2. Sean los conjuntos:

A = { 1 , 2 , 3 , 4} ; B = { 0 , 2 , 5 , 6} y C = { 1 , 2 , 4 , 6 , 7 }

con U ={ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 }

Hallar :

Solución:

)B'A(CBA 3. BCA 2. CBA 1.

71,2,4,6,77,8,9 1,2,4,6,75,60,1,2,3,4, CBA .1

66,5,2,0)7,63(BA)(CC)(A BCA .2

9,8,7,6,5,3,2,1,09,8,7,6,5,3,1,0 2)BA(C)B(A .3

34


3. Si los conjuntos A y B tienen los siguientes datos:

n(AB) = 60 ; n(A – B) = 24 y n(B A ) = 20 Hallar: n(A) + n(B)

Solución:

......(1) 60B)n(A - n(B) n(A) : tieneSe

B)n(A - n(B) n(A) B)n(A :que Sabemos

......(2).......... 24B)n(A - n(A)

B)n(A - n(A) B)n(A :que Sabemos

......(3).......... 20B)n(A - n(B)

A)n(B - n(B) A)n(B A - B AB Como

Restando : (1) y (2) se tiene : n(B) = 36

Restando : (1) y (3) se tiene : n(A) = 40

Luego n(A) + n(B) = 40 + 36 = 76

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4.Dado los conjuntos: A = { a , {a , b} } ; B = { a , b , { c } } ; C = A – B

Hallar : a) P(A C) b) P(A) P(B)

Solución:

, , C)P(A ba,CA a.

entonces , ba,BAC cb,a, B ; ba,a,A :Como

ba

, a P(B) P(A)

, ,, ,, ,, ,, , , ,a P(B)

,, , , , a P(A) b.

cbacbcabacb

baaba

EJERCICIOS DE CONJUNTOS5. De un grupo de 62 trabajadores de un centro de salud, 25 laboran en asistencia, 33 trabajan en bienestar y 40 trabajan en consultas externas y 7 trabajadores contratados trabajan en las tres áreas. ¿cuántas personas trabajan en dos de estas areas solamente, si todos trabajan al menos en una de estas tres?Solución

A=25 B=33n(A) = 25n(B) = 33n(C) = 40n(A

C=40 Rpta:22

7a

b

c

18-a-b 26-b-c

33-a-c

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6. En una encuesta realizada en un centro hospitalario de Lima ,

conformado por 60 profesionales de la salud se tiene la siguiente

información : 40 profesionales hablan inglés ; 28 hablan el francés,

16 hablan alemán; 12 hablan el inglés y el francés 5 el inglés y el

alemán, los tres idiomas sólo 2. Si el número de profesionales que

hablan sólo el francés es igual al número de profesionales que hablan

el francés y el alemán. ¿Cuántos hablan únicamente el francés?

Solución:

x )IFn(A

2I)Fn(A 5A)n(I

12F)n(I 16n(A)

28n(F) 40n(I)

I F

A

25

32

10

x

16-(3+2+x)

28-(10+2+x)


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EJERCICIOS DE CONJUNTOS 7. De una población de 50 ingresantes a la facultad de medicina de la UPSM se sabe que: * 5 mujeres tienen 17 años. * 16 mujeres no tienen 17 años. * 14 mujeres no tienen 18 años. * 10 hombres no tienen 17 ni 18 años. ¿Cuantos hombres tienen 17 o 18 años?

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SOLUCIONARIO

Hombres Mujeres

17 años

A 5

p

18 años

10

B q

Mujeres que no tienen 18

años:

p + 5 = 14 p = 9

Mujeres que no tienen 17

años :

p + q = 16 q = 7

10 + ( A + B ) + 5 + 7 + 9

= 50

Luego:

A + B = 19

1. Se sabe que ¨U¨ es el conjunto universal donde se cumple:

n(B)=28; n(C)=19; n(AB)=14; n(A´= 5, n(AC´)= 12; n(A )=1; n(A B C)=

6; n(U) = 50. Calcular: n [(A C) B´ ]

a) 12 b) 31 c) 20 d) 18 e) 21

2. Sean A y B dos conjuntos tales que: n(A ∩ B) = 8y n(A –B)=2;

n(B–A)= 3 .

Hallar: 6 [n(A B)] – 7[n(B)]∪

a) 11 b) 8 c) 4 d) 2 e) 1

EJERCICIOS DE EXAMENES TEMA: CONJUNTOS

EJERCICIOS DE EXAMENES TEMA: CONJUNTOS

3. Hay tres centros de Salud “A”, “B” y “C” que pueden atender a una población

de 3000 familias Se obtuvo la siguiente información: 1 800 familias se atienden en

el centro de salud “A”, 1 700 familias se atienden en el centro de salud “B”, 1 200

familias se atienden en el centro de salud “C”, 1 250 familias se atienden en los

centros de salud “A y B”, 700familias en los centros de salud “A y C”, 600 familias

se atienden en los centros de salud “B y C” y 200 familias en los tres centros de

salud. ¿Cuál es el numero de familias que no se atienden en los centros de salud

“B o C” ?

A) 50 B) 650 C) 700 D) 200 E) 550