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Teoremas del punto �jo

María Guadalupe García

17 de abril de 2013

1

ÍNDICE

Índice

1. Introducción 3

2. Preliminares 4

2.1. Nociones Topológicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2. Espacios vectoriales topológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3. Espacios localmente convexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3. Teorema del punto �jo de Schauder 12

3.1. Teorema del punto �jo de Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2. Teorema del punto �jo de Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.3. Aplicación: Teorema de Lomonosov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4. Teorema del punto �jo de Ryll-Nardzewski 20

4.1. Teorema del punto �jo de Ryll-Nardzewski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.2. Aplicación: Existencia de la medida de Haar sobre un grupo compacto . . . . . . . . 23

Trabajo Final de Análisis Funcional Hoja 2 de 27

1. Introducción

Consideremos una aplicación T de un conjuntoM en si mismo. Nos preguntamos si existe algúnpunto en M que es aplicado en si mismo, es decir si la ecuación T (x) = x tiene solución. Si estoocurre al punto x se lo llama punto �jo de T . Los teoremas del punto �jo garantizan la existenciadel mismo bajo ciertas condiciones sobre T y M .

Como consecuencia de teoremas del punto �jo pueden ser obtenidos algunos de los resulta-dos sobre existencia de soluciones de ecuaciones diferenciales, soluciones de sistemas con in�nitasecuaciones e incógnitas, medidas invariantes, existencia de subespacios invariantes, entre otros.

En el presente trabajo vamos a estudiar dos teoremas del punto �jo, los cuales se pueden con-siderar como una extensión del Teorema del punto �jo de Brouwer y forman parte del AnálisisFuncional no Lineal.

Comenzaremos introduciendo algunas nociones necesarias para poder demostrar los teoremas.En la tercer sección enunciaremos y demostraremos el Teorema del punto �jo de Schauder

(1930), el cual extiende el dominio de validez del Teorema de Brouwer a espacios normados dedimensión in�nita pidiendo alguna condición adicional a la aplicación. Luego, como una aplicaciónveremos el Teorema de Lomonosov (1973) sobre la existencia de espacios invariantes no trivialespara operadores acotados sobre espacios de Banach.

En la cuarta sección probaremos el Teorema del punto �jo de Ryll-Nardzewski (1967) sobrepuntos �jos simultaneos de semigrupos de aplicaciones a�nes sobre espacios localmente convexos.Para ello utilizaremos el Teorema del punto �jo de Marcov-Kakutani (1936) sobre puntos �joscomunes de familias de aplicaciones a�nes. Por último, demostraremos la existencia de la medidade Haar sobre grupos topológicos compactos aplicando el Teorema de Ryll-Nardzewski.

Departamento de Matemática - UNLP Hoja 3 de 27

2 PRELIMINARES

2. Preliminares

En esta sección se encuentran de�niciones y resultados de topología y análisis funcional necesariospara demostrar los teoremas y desarrollar los ejemplos en el presente trabajo.

2.1. Nociones Topológicas

De�nición 2.1.1. Sea X un conjunto. Una topología sobre X es una colección τ ⊆ P(X) que veri�calas siguientes propiedades:

1. ∅,X ∈ τ,

2. Si {Uα}α ⊆ τ entonces⋃α

Uα ∈ τ,

3. Si {Uk}nk=1 ⊆ τ entonces

n⋂k=1

Uk ∈ τ .

Es decir, τ es una topología si contiene a ∅ y a X, es cerrada por uniones arbitrarias y por intersec-

ciones �nitas. Al par (X, τ) se lo llama espacio topológico y a los elementos de τ conjuntos abiertos

de X. Además, diremos que un conjunto A ⊆ X es un entorno de x ∈ X si existe U ∈ τ tal que

x ∈ U ⊆ A. A lo largo de este trabajo usaremos la siglas ET para referirnos a espacios topológicos.

De�nición 2.1.2. Una subbase S para una topología sobre X es una colección de subconjuntos de

X cuya unión es igual a X. La topología generada por la subbase S se de�ne como la colección τ de

todas las uniones de intersecciones �nitas de elementos de S.

De�nición 2.1.3. Un espacio topológico (X, τ) se denomina espacio de Hausdor� si para cada par

x1, x2 de puntos dintintos de X, existen entornos disjuntos U1 y U2 de x1 y x2, respectivamente.

De�nición 2.1.4. Sea (X, τ) un ET. Se dice que X es separable si tiene un subconjunto denso

numerable.

De�nición 2.1.5. Un espacio topológico (X, τ) se dice localmente compacto en x si existe algún

subespacio compacto C de X que contenga un entorno de x. Si X es localmente compacto en cada

uno de sus puntos, X se dice localmente compacto.

Lema 2.1.6. Si Y es un subespacio compacto de un espacio de Hausdor� X y x0 un punto que no

pertenece a Y entonces existen conjuntos abiertos disjuntos U y V tales que x0 ∈ U e Y ⊆ V.

Demostración. Sea x0 un punto de X\Y . Por ser X un espacio de Hausdor�, para cada y ∈ Y existenentornos disjuntos Uy y Vy de x0 e y, respectivamente. La colección {Vy}y∈Y es un cubrimientode Y por conjuntos abiertos de X. Por la compacidad de Y podemos tomar una cantidad �nita

de conjuntos Vy1 , ..., Vyn que cubren Y . De�nimos V =

n⋃i=1

Vyi y U =

n⋂i=1

Uyi . Luego, U y V son

conjuntos abiertos disjuntos que contienen a x0 e Y , respectivamenete. �

Teorema 2.1.7. Sea X un espacio de Hausdor�. Entonces X es localmente compacto si, y sólo si

dados x ∈ X y un entorno U de x existe un entorno V de x tal que V es compacto y V ⊂ U .


2.1 Nociones Topológicas

Demostración.

⇐) Si de�nimos C = V , entonces C es un conjunto compacto y contiene al entorno V de x.

⇒) Sean X un espacio localmente compacto, x ∈ X y U un entorno de x. Tomamos la compacti�ca-ción por un punto Y de X y de�nimos C = Y\U . Entonces C es cerrado en el espacio de Hausdor�Y y por lo tanto C es un subespacio compacto de Y. Por el Lema 2.1.6 podemos tomar conjuntosabiertos disjuntos V y W tales que x ∈ V y C ⊂ W . Entonces V es compacto en Y y ademásV ∩ C = ∅, por lo tanto V ⊂ U . �

Teorema 2.1.8. (Teorema de Baire). Sea (X, τ) un espacio topológico. Si X es localmente compacto

Hausdor� entonces para toda familia numerable {Fn}n∈N de conjuntos cerrados de X se tiene que

F ◦n = ∅ para todo n ∈ N implica que

(⋃n∈N

Fn

)◦= ∅.

Esta condición se puede enunciar de las siguientes dos maneras:

1. Si

(⋃n∈N

Fn

)◦6= ∅ entonces F ◦n 6= ∅ para algún n ∈ N.

2. Dada la sucesión {Gn}n∈N de conjuntos abiertos densos, se tiene que⋂n∈N

Gn también es densa.

Demostración. Probaremos el enunciado 2. Observar que, dados Fn como en el enunciado 1, siconsideramos Gn = X\Fn para cada n ∈ N, tenemos que

Gn = X\F ◦n y⋂n∈N

Gn = X\⋃n∈N

Fn = X\

(⋃n∈N

Fn

)◦.

Sean x ∈ X y U un entorno de x. Dado que G1 es denso en X, U∩G1 6= ∅. Sea y ∈ U∩G1. ComoU ∩G1 es abierto y X es localmente compacto, por el Teorema 2.1.7 existe un entorno V1 de y talque V1 es compacto y V1 ⊂ V1 ⊂ U ∩G1. Ahora, dado que G2 es denso en X, V1 ∩G2 6= ∅ entoncesexiste un entorno V2 de algún punto de V1∩G2 tal que V2 es compacto y V2 ⊂ V2 ⊂ V1∩G2. Luego,V2 ⊂ G1 ∩G2.

Procediendo de esta manera, construimos una sucesión de conjuntos abiertos {Vn}n∈N tal que:

1. Vn es compacto para todo n ∈ N,

2. Vn+1 ⊂ Vn+1 ⊂ Vn ⊂ Vn ⊂ V1 ⊆ U ,

3. Vn ⊆⋂k∈N

Gk.

Ahora, dado que V1 es compacto y la colección{Vn}n∈N tiene la propiedadde la intersección �nita,

existe z ∈⋂n∈N

Vn. Entonces, z ∈ U ∩⋂n∈N

Gn. Como U era un entorno arbitrario de x, tenemos que

x ∈⋂n∈N

Gn. �


2 PRELIMINARES

2.2. Espacios vectoriales topológicos

De�nición 2.2.1. Un espacio vectorial topológico es un espacio topológico (X, τ) en el cual X es

un F-espacio vectorial, la topología τ es de Hausdor� y tal que con respecto a dicha topología

a)la aplicación de X× X→ X dada por (x, y) 7→ x+ y es continua;

b)la aplicación de F× X→ X dada por (α, x) 7→ αx es continua.

Usaremos las letras EV T para referirnos a espacio vectorial topológico.

De�nición 2.2.2. Sea X es un espacio vectorial sobre F y A ⊆ X. Se dice que

1. A es balanceado si αA ⊆ A para todo α ∈ F con |α| ≤ 1;

2. A es absorbente si para cada x ∈ X existe ε > 0 tal que tx ∈ A para 0 < t < ε.

De�nición 2.2.3. Sea X un espacio vectorial sobre F y A ⊆ X. Entonces A es convexo si, y sólo

si la linea recta [a, b] = {(1− t)a+ tb : 0 ≤ t ≤ 1} ⊆ A, donde a, b ∈ A.

De�nición 2.2.4. Sean X un EVT y A ⊆ X. El conjunto A es acotado si para cada entorno U de

cero existe s > 0 tal que A ⊆ t U para todo t > s.

Proposición 2.2.5. Sea X un EVT y V un entorno de cero. Entonces,

1. V contiene un entorno balanceado de cero;

2. Sea {rn}n ⊆ F una sucesión estrictamente creciente. Si rn −−−→n→∞

∞ entonces X =∞⋃n=1

rnV.

Demostración.

1. Sea V cualquier entorno de cero. Por la continuidad de la aplicación de F× X→ X dada por(α, x) 7→ αx en el origen, existen δ > 0 y un entorno W de cero tal que αW ⊆ V para todo

α ∈ F con |α| < δ. Si consideramos U =⋃|α|<δ

αW entonces U es un entorno balanceado de

cero y está contenido en V .

2. Sea x ∈ X �jo. Como la aplicación h : F → F × X dada por h(α) = αx es continua, elconjunto A = {α ∈ F : αx ∈ V } es abierto y contiene a cero. Entonces, existe n0 ∈ N tal que1rn∈ A,∀n ≥ n0. Lo cual implica que 1

rnx ∈ V , por lo tanto x ∈ rnV para n ≥ n0. Luego,

como esto es válido para cada x ∈ X tenemos que X =∞⋃n=1

rnV.

�

Proposición 2.2.6. Todo conjunto compacto en un EV T es acotado.

Demostración. Sean X un EV T , K ⊆ X un subconjunto compacto y V un entorno de cero. Por la

Proposición anterior, existe un entorno balanceado W de cero contenido en V y K ⊆∞⋃n=1

nW . Por

la compacidad de K, podemos tomar una cantidad �nita n1 < n2 < ... < nm tal que K ⊆m⋃i=1

niW .

Dado que W es balanceado, njW ⊆ niW si j < i, por lo tanto, K ⊆ nmW . Luego, K ⊆ tW ⊆ tVsi t > nm. �


2.3 Espacios localmente convexos

2.3. Espacios localmente convexos

De�nición 2.3.1. Sea X es un EV sobre F. Una seminorma es una función p : X → [0,∞) tal

que:

1. p (x+ y) ≤ p (x) + p (y),

2. p (αx) = |α| p (x).

Puede pasar que p (x) = 0 aunque x 6= 0.

Sean X un espacio vectorial y P una familia de seminormas sobre X. Si τ es la topología sobre Xque tiene como subbase los conjuntos {x : p (x− x0) < ε} donde p ∈ P, x0 ∈ X y ε > 0 entonces unsubconjunto U de X es abierto si, y sólo si para todo x0 ∈ U existen p1, ..., pn ∈ P y ε1, ..., εn > 0

tal quen⋂i=1

{x ∈ X : pi (x− x0) < εi} ⊆ U . Con esta topología X es un EV T .

De�nición 2.3.2. Un espacio localmente convexo es un espacio vectorial topológico X cuya topología

está de�nida por una familia de seminormas P tales que⋂p∈P{x : p (x) = 0} = {0}.

Abreviaremos espacio localmente convexo con las letras ELC.

Observación 2.3.3. La condición⋂p∈P{x : p (x) = 0} = {0} hace que la topología de�nida por la

familia de seminorma P sea de Hausdor�. En efecto, si x, y ∈ X son puntos distintos, existe p ∈ Ptal que p (x − y) 6= 0. Entonces p (x − y) > ε, para algún ε > 0. Si U =

{z : p (x− z) < ε

2

}y

V ={z : p (y − z) < ε

2

}entonces U y V son entornos disjuntos de x e y, respectivamente. 4

De�nición 2.3.4. Sea K un subconjunto de un espacio vectorial X.

1. Un subconjunto A es extremal en K si para cada x, y ∈ K se cumple que

[x, y] ∩A 6= ∅⇒ x, y ∈ A

donde [x, y] = {(1− t)x+ t y : t ∈ (0, 1)} es el segmento abierto que une x con y.

2. z ∈ K es un punto extremal si el conjunto {z} es extremal en K, es decir si para cada par de

puntos x, y ∈ K se tiene que

z ∈ [x, y]⇒ x = y = z.

Denotaremos por Ext(K) al conjuntos de los puntos extremales de K.

De�nición 2.3.5. Sea X un F-espacio vectorial. El espacio dual algebraico de X es el conjunto

X′

= {ϕ : X→ F : ϕ es lineal}.Si (X, τ) es un espacio vectorial topológico, se denomina dual topológico de X al conjunto

X∗τ = (X, τ)∗ ={ϕ ∈ X

′: ϕ es τ -continua

}.

El espacio X∗τ tiene estructura de espacio vectorial, de�nimos el elemento (αϕ + ψ) ∈ X∗τ como

(αϕ+ ψ)(x) = αϕ(x) + ψ(x) para x ∈ X, con α ∈ F y ϕ,ψ ∈ X∗τ .Si X es un C-espacio vectorial entonces denotaremos por X

′R y (X, τ)∗R a sus duales pensándolos

como R-espacios vectoriales.


2 PRELIMINARES

De�nición 2.3.6. Sea X es un ELC y X∗τ su dual topológico.

A la topología sobre X inducida por la familia de seminormas

{pϕ : ϕ ∈ X∗τ} , donde pϕ(x) = |ϕ(x)| , x ∈ X

se la denomina topología débil de X y se la denota por ”wk” ó σ(X,X∗τ ).

A la topología sobre X∗τ inducida por la familia de seminormas

{px : x ∈ X} , donde px(ϕ) = |ϕ(x)| , ϕ ∈ X∗τ

se la denomina topología débil * de X∗τ y se la denota por ”wk∗” ó σ(X∗τ ,X).

Observación 2.3.7. Un subconjunto U es débilmente abierto en X si, y sólo si para todo x0 ∈ Uexisten ϕ1, ..., ϕn ∈ X∗τ y ε > 0 tales que

n⋂i=1

{x ∈ X : |ϕi(x− x0)| < ε} ⊆ U.

Una red {xi}i∈I ⊆ X converge débil a x0 si, y sólo si ϕ(xi) converge a ϕ(x0) para toda ϕ ∈ X∗τ .

De forma similar, un subconjunto U es abierto en X∗τ con la topología débil * si para toda ϕ0 ∈ Uexisten x1, ..., xn ∈ X y ε > 0 tales que

n⋂i=1

{ϕ ∈ X∗τ : |(ϕ− ϕ0)(xi)| < ε} ⊆ U.

y una red {ϕi}i∈I ⊆ X∗τ converge débil * a ϕ si, y sólo si ϕi(x) converge a ϕ(x) para todo x ∈ X.4

Lema 2.3.8. Si S1 ⊂ K es un conjunto extremal de K y S2 ⊂ S1 es un conjunto extremal de S1entonces S2 es un conjunto extremal de K.

Demostración. Sean x, y ∈ K y t ∈ (0, 1) tales que (1 − t)x + ty ∈ S2. Dado que S2 ⊂ S1 y S1 esun conjunto extremal de K, x, y ∈ S1. Ahora, como S2 es un conjunto extremal de S1, concluimosque x, y ∈ S2. �

Lema 2.3.9. Sean X un espacio vectorial, A ⊂ X y f ∈ X′tal que s = sup {f(x) : x ∈ A} <∞. Si

Af = {x ∈ A : f(x) = s} 6= ∅ entonces Af es un conjunto extremal de A.

Demostración. Sean x, y ∈ A y t ∈ (0, 1) tales que (1 − t)x + ty = z ∈ Af . Si x /∈ Af entoncesf(x) < s, por lo tanto f(z) = (1− t)f(x) + tf(y) < s. Análogamente, si y /∈ A entonces f(z) < s.Por lo tanto z /∈ Af , llegamos a una contradicción. �

De�nición 2.3.10. Sea X un EV y A un subconjunto de X. La cápsula convexa de A es el conjunto

co(A) =⋂{C : A ⊆ C,C es convexo}.

Si X es un EVT, llamamos cápsula convexa cerrada de A al conjunto

co(A) =⋂{C : A ⊆ C,C es convexo y cerrado}.

Es decir, co(A) es la clausura de co(A).



Proposición 2.3.11. En un espacio normado la cápsula convexa de todo conjunto �nito es com-

pacta.

Demostración. Sea (X, ‖‖) un espacio normado y {x1, ..., xn} ⊆ X. Por la de�nición de cápsulaconvexa,

co({x1, ..., xn}) =

{n∑i=1

αixi :

n∑i=1

αi = 1 conαi ∈ [0, 1] para i = 1, ..., n

}y puede expresarse como la imagen del conjunto compacto{

(α1, ..., αn) ∈ Rn :

n∑i=1

αi = 1 conαi ∈ [0, 1] para i = 1, ..., n

}

mediante la aplicación continua dada por (α1, ..., αn) 7→n∑i=1

αixi. Luego, co({x1, ..., xn}) es compac-

ta. �

Vamos a utilizar el corolario del siguiente Teorema de Hahn-Banach para demostrar el Teoremade Krein-Milman. Se puede encuentra una demostración de los mismos en [9].

Teorema 2.3.12. (Teorema de separación de Hahn-Banach). Sea (X, τ) un EV T . Si U y V son

subconjuntos convexos, disjuntos y no vacíos de X tales que U es abierto, entonces existen ϕ ∈ (X, τ)∗

y t ∈ R tales

Re(ϕ(x)) < t < Re(ϕ(y)) para todo parx ∈ U, y ∈ V.

Corolario 2.3.13. Sea (X, τ) un ELC. Si K y F son dos subconjuntos convexos, disjuntos y no

vacíos de X tales que K es compacto y F es cerrado entonces existen ϕ ∈ (X, τ)∗R, ε > 0 y t ∈ Rtales que

ϕ(x) ≤ t− ε < t ≤ ϕ(y) para todo parx ∈ K, y ∈ F.

Teorema 2.3.14. (Teorema de Krein-Milman). Si X un ELC y K un subconjunto compacto,

convexo y no vacío de X entonces Ext(K) 6= ∅ y K = co(Ext(K)).

Demostración. Veamos que Ext(K) 6= ∅. Sea C la colección de todos los subconjuntos extremales,compactos y no vacíos de K ordenada parcialmente por la inclusión al revés, es decir si A,B ∈ C,A ≤ B si, y sólo si B ⊆ A. La colección C es no vacía ya que K ∈ C.

Sea A una subcolección de C totalmente ordenada y consideremos S =⋂A∈A

A. Dado que A

está totalmente ordenada, tiene la propiedad de la intersección �nita, y como los elementos de Ason cerrados y K es compacto, S 6= ∅. Además, S es compacto por ser un subconjunto cerradode K, y es un conjunto extremal de K, pues si x, y ∈ K y t ∈ (0, 1) con (1 − t)x + t y ∈ S,entonces (1 − t)x + t y ∈ A para todo A ∈ A. Como los elementos de A son conjuntos extremalesde K, tenemos que x, y ∈ A, para todo A ∈ A. Luego, x, y ∈ S, y por lo tanto A tiene una cotasuperior. Entonces, por el Lema de Zorn, C tiene un elemento maximal, es decir existe M ∈ C talque B ≤M (M ⊆ B) para todo B ∈ C.

Veamos que M tiene un único punto.Si aplicamos el Lema 2.3.9 a cada f ∈ X∗τ el conjunto Mf es compacto y extremal de M . Entonces,por el Lema 2.3.8,Mf es extremal de K para toda f ∈ X∗τ , luego por la maximalidad deM tenemos


2 PRELIMINARES

que Mf = M, ∀f ∈ X∗τ . Por lo tanto, cada f ∈ X∗τ es constante sobre M . Luego, como X∗τ separapuntos tenemos que M contiene un solo elemento, que es un punto extremal de K.

Ahora veamos que K = co(Ext(K)). Sea H = co(Ext(K)).

⊇) Como K es compacto y convexo, H ⊆ K, y por lo tanto H también es compacto.

⊆) Supongamos que existe x0 ∈ K\H. Dado que {x0} es cerrado y H es compacto, por el Corolario2.3.13, existen f : X→ R lineal y continua, t ∈ R y ε > 0 tales que para todo x ∈ H

f(x) ≤ t− ε < t ≤ f(x0).

Entonces, f(H) < t ≤ f(x0). Por el Lema 2.3.9, Kf = {x ∈ K : f(x) = supx∈Kf(x)} ⊆ K esextremal de K. Por lo visto en la primera parte de la demostración, Kf tiene un punto extremal,al cual llamamos e. Por el Lema 2.3.8, e es extremal de K. En particular, Kf ∩ Ext(K) 6= ∅, peropor la desigualdad vista antes,

f(e) = supx∈Kf(x) ≥ f(x0) ≥ t > f(Ext(K)).

Así obtenemos una contradicción. Por lo tanto, K ⊆ co(Ext(K)). �

Lema 2.3.15. Sea X un espacio localmente convexo. Si K1, ...,Kn son subconjuntos compactos y

convexos de X enntonces co(K1 ∪ ... ∪Kn) = co(K1 ∪ ... ∪Kn).

Demostración. Veamos que co(K1 ∪ ... ∪Kn) es cerrado. Dado que X es un espacio de Hausdor�,basta ver que co(K1 ∪ ... ∪Kn) es compacto.

Sea

K =

{n∑i=1

αixi : αi ∈ [0, 1],n∑i=1

αi = 1 y xi ∈ Ki, i = 1, ..., n

}.

Si α ∈ [0, 1] y x, y ∈ K, entonces

αx+ (1− α)y = α

n∑i=1

αixi + (1− α)

n∑i=1

βiyi

=

n∑i=1

(ααixi + (1− α)βiyi)

con αi, βi ∈ [0, 1] tales quen∑i=1

αi = 1,n∑i=1

βi = 1 y xi, yi ∈ Ki para i = 1, ..., n. Si de�nimos

ri = ααi + (1− α)βi para cada i = 1, ..., n entoncesn∑i=1

ri = 1,

αx+ (1− α)y =

n∑i=1

ααixi + (1− α)βiyiri

ri,

y por la convexidad de cada Ki,ααixi+(1−α)βiyi

ri∈ Ki. Entonces αx+ (1− α)y ∈ K, y por lo tanto

K es convexo. Luego, K = co(K1 ∪ ... ∪Kn).



Ahora, sea {ei}ni=1 la base canónica de Rn y consideremos el conjunto

C =

{n∑i=1

αiei : αi ∈ [0, 1] yn∑i=1

αi = 1

}.

Sea f : C ×K1 × ...×Kn → K la aplicación dada por

f((α1, ..., αn, x1, ..., xn)) =n∑i=1

αixi.

Dado que f es continua, el conjunto C × K1 × ... × Kn es compacto, por ser producto �nito deconjuntos compactos, y f(C ×K1 × ...×Kn) = K, tenemos que K es compacto. �

Teorema 2.3.16. Sean X es un espacio localmente convexo y K un subconjunto compacto y convexo

de X. Si F ⊂ K tal que K = co(F ) entonces Ext(K) ⊆ F .

Demostración. Sin pérdida de generalidad podemos suponer que F es cerrado. Sea x0 ∈ Ext(K)\F .Dado que F es cerrado y no contiene a x0, existe una seminorma continua p sobre X tal queF ∩{x ∈ X : p (x− x0) < 1} = ∅. Sea U0 =

{x ∈ X : p (x) < 1

3

}, entonces (x0 +U0)∩ (F +U0) = ∅,

por lo tanto x0 /∈ (F + U0).

Como F es compacto podemos tomar y1, ..., yn ∈ F tales que F ⊆n⋃i=1

(yk + U0). Consideremos

Kk = co(F ∩ (yk + U0)). Entonces Kk ⊆ yk + U0 y Kk ⊆ K. Como K1, ...,Kn son conjuntoscompactos y convexos, por el Lema 2.3.15 co(K1 ∪ ... ∪ Kn) = co(K1 ∪ ... ∪ Kn). Por lo tanto,K = co(F ) = co(K1 ∪ ... ∪Kn).

Como x0 ∈ K, tenemos que x0 =n∑k=1

αkxk con xk ∈ Kk, αk ≥ 0 yn∑k=1

αk = 1. Pero x0 es punto

extremal de K, entonces x0 = xk para algún k. Esto implica que x0 ∈ Kk ⊆ yk + U0 ⊆ F + U0,llegamos a una contradicción. �


3 TEOREMA DEL PUNTO FIJO DE SCHAUDER

3. Teorema del punto �jo de Schauder

En la presente sección vamos a trabajar sobre subconjuntos convexos de espacios de Banach ylas funciones no serán asumidas lineales ó a�nes.

3.1. Teorema del punto �jo de Brouwer

Teorema 3.1.1. (Teorema del punto �jo de Brouwer) . Si 1 ≤ d <∞, B es la bola unitaria cerrada

de Rd y f : B → B es una función continua, entonces existe un punto x en B tal que f(x) = x.

Existe distintas demostraciones del Teorema del punto �jo de Brouwer (1912), entre ellas seencuentran algunas analiticas [4], otras que utilizan geometría diferencial [1] o topología algebraica[8].

Observación 3.1.2. El Teorema de Brouwer vale para cualquier conjunto K homeomorfo a la bola

unitaria cerrada B ⊂ Rn. En efecto, si f : K → K es una función continua y g : K → B es un

homeomor�smo entonces la aplicación h := g ◦ f ◦ g−1 : B → B es continua. Por el Teorema del

punto �jo de Brouwer, existe x ∈ B tal que h(x) = x, luego, y = g−1(x) es punto �jo de f .En particular, vale para cualquier conjunto compacto y convexo de un espacio normado de di-

mensión �nita como veremos en el corolario 3.1.4. 4

Antes de enunciar el corolario 3.1.4 vamos a probar una proposición necesaria para su demos-tración.

Proposición 3.1.3. Si H es un espacio del Hilbert, K es un subconjunto cerrado, convexo y no

vacío de H, y h ∈ H, entonces existe un único punto k0 ∈ K tal que

‖h− k0‖ = dist(h,K) ≡ inf {‖h− k‖ : k ∈ K} .

Demostración. Basta considerar el caso h = 0. En efecto, si la Proposición se cumple para h = 0,

dado h ∈ H, como el conjunto K := K − h ={k − h : k ∈ K

}es convexo, cerrado y no vacío,

podemos aplicarle la Proposición y hallar k tal que∥∥∥k∥∥∥ = dist(0, K) = inf

{‖k‖ : k ∈ K

}. Entonces

k0 = k + h es el elemento buscado.

Supongamos que h = 0 y sea d := dist(0,K) = inf {‖k‖ : k ∈ K}. Por de�nición de ín�mo, dadon ∈ N existe una sucesión {kn}n ⊆ K que converge en norma a d.

Por la regla del paralelogramo,∥∥∥∥kn − km2

∥∥∥∥2 =1

2

(‖kn‖2 + ‖km‖2

)−∥∥∥∥kn + km

2

∥∥∥∥2y dado que K es convexo, kn+km2 ,kn−km2 ∈ K, entonces

∥∥kn+km2

∥∥2 ≥ d2. Dado ε > 0, sea n0 ∈ N talque ∀n ≥ n0, ‖kn‖2 < d2 + 1

4ε2. Luego, por la desigualdad anterior, si n,m ≥ n0 entonces∥∥∥∥kn − km2

∥∥∥∥2 < 1

2

(2d2 +

1

2ε2)− d2 =

1

4ε2.

Por lo tanto, {kn}n es de Cauchy. Entonces, dado que H es completo y K es cerrado, existe k0 ∈ Ktal que ‖kn − k0‖ −−−→

n→∞0. Además, ‖kn‖ −−−→

n→∞‖k0‖, entonces por unicidad del límite, ‖k0‖ = d.


3.1 Teorema del punto �jo de Brouwer

Para ver la unicidad, supongamos que existe k0 ∈ K tal que ‖k0‖ =∥∥∥k0∥∥∥ = d. Por convexidad,

k0+k02 ∈ K. Entonces

d ≤

∥∥∥∥∥k0 + k02

∥∥∥∥∥ ≤ 1

2

(‖k0‖+

∥∥∥k0∥∥∥) = d,

y por la regla del paralelogramo,

d2 =

∥∥∥∥∥k0 + k02

∥∥∥∥∥2

= d2 −

∥∥∥∥∥k0 − k02

∥∥∥∥∥2

.

Luego,∥∥∥k0−k02

∥∥∥2 = 0, por lo tanto k0 = k0. �

Corolario 3.1.4. (Corolario del Teorema de Brouwer). Si K es un subconjunto convexo, compacto

y no vacío de un espacio normado de dimensión �nita X y f : K → K es una función continua,

entonces existe un punto x en K tal que f(x) = x.

Demostración. Dado que X es un espacio normado de dimensión �nita, es isomorfo a Cd o Rd, ypor lo tanto es homeomorfo a R2d o Rd. Entonces, basta considerar X = Rd, con 1 ≤ d <∞.

Si K ={x ∈ Rd : ‖x‖ ≤ r

}el resultado se deduce del Teorema de Brouwer pues la aplicación

g : K → B dada por g(x) = xr es un homeomor�smo,

SiK es cualquier subconjunto convexo de Rd, tomamos r > 0 tal queK ⊆ B ≡{x ∈ Rd : ‖x‖ ≤ r

}.

Sea φ : B → K la función dada por φ(x) = yK , donde yK es el único punto de K que satisface que‖x− yK‖ = dist(x,K). La aplicacion φ está bien de�nida por la Proposición 3.1.3 y cumple queφ(x) = x para todo x ∈ K.

Veamos que φ es continua. Sea {xn}n una sucesión en B y x ∈ B tal que xn −−−→n→∞

x, entonces

dado ε > 0 existe n0 ∈ N tal que d(xn, x) < ε2 , ∀n ≥ n0. Si �jamos n ≥ n0, por la de�nición de φ,

tenemos que

d(xn, φ(xn)) ≤ d(xn, φ(x)) y d(x, φ(x)) ≤ d(x, φ(xn)).

Entonces,

d(xn, φ(xn)) ≤ d(xn, φ(x)) ≤ d(xn, x) + d(x, φ(x)) ≤ ε

2+ d(x, φ(x)).

Por lo tanto,

d(x, φ(x)) ≤ d(x, φ(xn)) ≤ d(x, xn) + d(xn, φ(xn))

<ε

2+ d(xn, φ(xn)) < ε+ d(x, φ(x)).

Con lo cual,

d(x, φ(x)) ≤ d(x, φ(xn)) < ε+ d(x, φ(x)).

Luego, limn→∞d(x, φ(xn)) = d(x, φ(x)).



Dada la sucesión {φ(xn)}n ⊆ K, por la compacidad de K, existe una subsucesión {φ(xnk)}k

convergente. Sea y ∈ K tal que φ(xnk) → y. Entonces, por la continuidad de la función distancia,

d(x, φ(xnk)) converge a d(x, y). Luego, por la unicidad del límite, d(x, y) = d(x, φ(x)). Como y ∈ K,

por la de�nición de φ, tenemos que y = φ(x). Por lo tanto, φ es continua.Dado que φ es continua y φ(x) = x, la composición f ◦φ : B → K ⊆ B es una función continua.

Entonces, por el Teorema de Brouwer, existe x ∈ B tal que (f ◦φ)(x) = x, pero como (f ◦φ)(B) ⊆ K,tenemos que x ∈ K. Luego, x = f(φ(x)) = f(x). �

3.2. Teorema del punto �jo de Schauder

El Teorema del punto �jo de Schauder fué generalizado a espacios topológicos localmente con-vexos en lugar de espacios normados por Tychono� en 1935. En 2001, Cauty demostró que todosubconjunto convexo y compacto de un espacio vectorial topológico (sin la necesidad de suponerconvexidad local) tiene la propiedad del punto �jo. Este problema estuvo abierto desde 1930, cuandoSchauder demostró el teorema original del punto �jo, y era conocido como la conjetura de Schauder.

El Teorema del punto �jo de Schauder se puede considerar como una generalización del Teoremadel punto �jo de Brouwer en dimensión in�nita, aunque es falsa si no se pide una condición adicionala la función, como veremos en los siguientes ejemplos. El primero de ellos se debe a Kakutani (1943).

Ejemplo 3.2.1. Consideremos el espacio de HilbertH := L2(−π, π) con la base ortonormal {en}n∈Z,donde en(t) = eint

√2π.

De�nimos la aplicación lineal T : H → H dada por

T

(∑n∈Z

xnen

)=∑n∈Z

xnen+1,

la cual es una isometría. La función f : H → H dada por f(x) = 1−‖x‖2 e0 + T (x), es continua y

además si ‖x‖ ≤ 1,

‖f(x)‖ ≤ 1− ‖x‖2

+ ‖T (x)‖ ≤ 1− ‖x‖2

+ ‖x‖ ≤ 1,

es decir f(B1(0)) ⊂ B1(0). Sin embargo, f no tiene un punto �jo en la bola unitaria.

Supongamos que existe x ∈ B1(0) tal que f(x) = x, entonces x 6= 0. Además, ‖x‖ < 1, pues encaso contrario f(x) = T (x) y por lo tanto T (x) = x, pero esto es absurdo ya que el único punto

�jo de T es x = 0. Dado que x ∈ H, admite un único desarrollo en serie de Fourier dado por

x =∑n∈Z

xnen, donde xn = 〈x, en〉. Como x = T (x), tenemos que

x− T (x) = x−(f(x)− 1− ‖x‖

2e0

)=

1− ‖x‖2

e0,

es decir, ∑n∈Z

(xn − xn−1) en =1− ‖x‖

2e0.

Luego, por unicidad de la serie, tenemos que

xn − xn−1 =

{0 si n 6= 0 .

1−‖x‖2 si n = 0


3.2 Teorema del punto �jo de Schauder

Por lo tanto, xj = x−1 6= x0 = xi, ∀j ≤ −2 y ∀ i ≥ 1, lo que es absurdo pues por la identidad de

Parseval,∑n∈Z

x2n = ‖x‖2 <∞.

Ejemplo 3.2.2. Sea H = l2 y B ={x ∈ l2 : ‖x‖ ≤ 1

}. Consideremos la aplicación f : B → B

dada por f(x) = (√

1− ‖x‖2, x1, x2, ...). Entonces, f es continua y ‖f(x)‖ = 1. Si existe x ∈ B tal

que f(x) = x entonces ‖f(x)‖ = ‖x‖ = 1, y por la de�nición de f ,

f(x) = (

√1− ‖x‖2, x1, x2, ...) = (0, x1, x2, ...) = x.

Por lo tanto, 0 = x1 = x2 = ..., es decir x = 0 lo cual es absurdo. Luego, f no tiene un punto �jo.

De�nición 3.2.3. Sean X un espacio normado y E ⊆ X. Una función f : E → X se dice compacta

si f es continua y f(A) es compacta, siendo A un subconjunto acotado de E.

Observación 3.2.4. Si E es un subconjunto compacto de X entonces toda función f : E → X es

compacta. En efecto, si A es un subconjunto acotado de E entonces f(A) es un subconjunto cerrado

en el conjunto compacto f(E), por lo tanto es compacto. 4

Vamos a necesitar el siguiente Lema para demostrar del Teorema de Schauder.

Lema 3.2.5. Sean K un subconjunto compacto de un espacio normado X, ε > 0 y A un subconjunto

�nito de K tal que K ⊆⋃{B(a, ε) : a ∈ A}. De�nimos la aplicación φA : K → X dada por

φA(x) =

∑{ma(x)a : a ∈ A}∑{ma(x) : a ∈ A}

,

donde ma(x) = 0 si ‖x− a‖ ≥ ε y ma(x) = ε−‖x− a‖ si ‖x− a‖ ≤ ε. Entonces, φA es una función

continua y ‖φA(x)− x‖ < ε para todo x ∈ K.

Demostración. Por de�nición ma(x) ≥ 0 para cada a ∈ A y∑{ma(x)a : a ∈ A} > 0 para todo

x ∈ K, entonces φA está bien de�nida sobre K. Además, φA es continua, pues para cada a ∈ A,ma : K → [0, ε] lo es. En efecto, sean ε > 0, x1 ∈ B(a, ε) y x2 ∈ K\B(a, ε) tales que d(x1−x2) < δ.Si tomamos 0 < δ ≤ ε entonces

|ma(x1)−ma(x2)| = |ε− ‖x1 − a‖| ≤ |‖x2 − a‖ − ‖x1 − a‖| ≤ ‖x2 − x1‖ < δ ≤ ε.

Por otra parte,

φA(x)− x =

∑{ma(x)(a− x) : a ∈ A}∑{ma(x) : a ∈ A}

,

y si ma(x) > 0 entonces ‖x− a‖ < ε. Por lo tanto,

‖φA(x)− x‖ ≤∑{ma(x) ‖a− x‖ : a ∈ A}∑{ma(x) : a ∈ A}

< ε.

�

Teorema 3.2.6. (Teorema del punto �jo de Schauder). Sea E un subconjunto convexo, cerrado y

acotado de un espacio normado X. Si f : E → X es una aplicación compacta tal que f(E) ⊆ E,entonces existe x ∈ E tal que f(x) = x.



Demostración. Si de�nimos K = f(E), entonces por hipótesis K ⊆ E. Para cada n ∈ N, seanAn un subconjunto �nito de K tal que K ⊆

⋃{B(a; 1/n) : a ∈ A} y φn = φAn la aplicación

de�nida en el Lema anterior. Luego, por la de�nición de φn y la convexidad de E tenemos queφn(K) ⊆ co(K) ⊆ E, entonces fn ≡ φn ◦ f aplica E en si mismo. Además, por el Lema 3.2.5,

‖fn(x)− f(x)‖ < 1/n

para todo x ∈ E.

Sea Xn el espacio lineal generado por el conjunto An y de�nimos En = E ∩Xn. Entonces, Xn esun espacio normado de dimensión �nita, En es un subconjunto convexo por de�nición y compacto deXn ya que En es cerrado relativo de Xn, siendo este último un espacio de Hausdor�, y fn : En → Enes continua por ser composición de funciones continuas. Por el Corolario 3.1.4 , existe un puntoxn ∈ En tal que fn(xn) = xn.

Dado que {f(xn)}n∈N es una sucesión en el conjunto campacto K, existe una subsucesión{f(xnj )

}j∈N y un punto x0 ∈ K tal que f(xnj ) −−−→

j→∞x0. Dado que fnj (xnj ) = xnj , tenemos

que ∥∥xnj − x0∥∥ ≤ ∥∥fnj (xnj )− f(xnj )

∥∥+∥∥f(xnj )− x0

∥∥ ≤ 1

nj+∥∥f(xnj )− x0

∥∥ .Luego, xnj −−−→

j→∞x0 y, dado que f es una función continua, f(x0) = limn→∞f(xnj ) = x0. �

Otra forma de demostrar el Teorema del punto �jo de Schauder es probar que el conjuntocompacto y convexo E es homeomorfo a un subconjunto compacto y convexo H del cubo de HilbertH0 =

{{xn}∞n=1 ∈ `2 : |xn| ≤ 1

2n−1

}y que si ϕ : H → H es una aplicación continua entonces existe

x ∈ H tal que ϕ(x) = x. Luego, utilizar el hecho que la propiedad del punto �jo se preserva porhomeomor�smos Se puede encontrar la demostración detallada en [8].

3.3. Aplicación: Teorema de Lomonosov

Lomonosov demostró en 1973 que un operador T sobre un espacio de Banach, el cual no es múl-tiplo de la identidad y conmuta con un operador compacto no nulo, tiene un subespacio invarianteno trivial. Cuando este resultado apareció causo gran interés tanto por la conclusión como por lasimplicidad de su prueba utilizando el Teorema del punto �jo de Schauder. En particular, cualquieroperador compacto en un espacio de Banach tiene un subespacio invariante no trivial.

De�nición 3.3.1. Si X e Y son espacios de Banach y A : X→ Y es una transformación lineal, en-

tonces A es compacto si A(B(X)) es compacto en Y, siendo B(X) la bola unitaria en X. Denotamos

con B0(X,Y) al conjunto de todos los operadores compactos de X en Y; B0(X) = B0(X,X).

De�nición 3.3.2. Sean X es un espacio de Banach y T ∈ B(X). Un subespacio invariante de Tes un subespacio lineal cerrado M de X tal que T (x) ∈ M para todo x ∈ M. El subespacio Mes no trivial si es distinto de (0) ó X. Denotamos Lat(T ) a la colección de todos los subespacios

invariantes de T . Si A ⊆ B(X) entonces Lat(A) =⋂{Lat(T ) : T ∈ A}.

Teorema 3.3.3. (Teorema de Mazur). Si X es un espacio de Banach y K es un subconjunto

compacto de X entonces co(K) es compacto.


3.3 Aplicación: Teorema de Lomonosov

Demostración. Dado que co(K) es completo, basta ver que es totalmente acotado.Como K es compacto, dado ε > 0 podemos tomar una cantidad �nita x1, x2, ..., xn de elementos

de K tales que K ⊆n⋃j=1

B(xj ,ε

4). Sea C = co {x1, x2, ..., xn}. Por la Proposición 2.3.11, C es

compacto entonces nuevamente existen y1, y2, .., ym ∈ C tales que C ⊆m⋃i=1

B(yi,ε

4). Si w ∈ co(K),

existe z ∈ co(K) tal que ‖w − z‖ < ε4 , además z =

l∑r=1

αrzr, con zr ∈ K,αr ≥ 0 yl∑

r=1

αr = 1. Ahora,

para cada zr existe xj(r) tal que∥∥xj(r) − zr∥∥ < ε

4 . Entonces,∥∥∥∥∥z −l∑

r=1

αrxj(r)

∥∥∥∥∥ =

∥∥∥∥∥l∑

r=1

αr(zr − xj(r))

∥∥∥∥∥ ≤l∑

r=1

αr∥∥zr − xj(r)∥∥ < ε

4.

Dado quel∑

r=1

αrxj(r) ∈ C, existe yi ∈ C tal que

∥∥∥∥∥l∑

r=1

αrxj(r) − yi

∥∥∥∥∥ < ε4 .

Por la desigualdad triangular, co(K) ⊆m⋃i=1

B(yi, ε). Por lo tanto, co(K) está totalmente acotado. �

Lema 3.3.4. (Lema de Lomonosov). Si A es una subálgebra de B(X) tal que el operador identidad

I ∈ A, Lat(A) = {(0),X} y K es un operador compacto no nulo sobre X entonces existe A ∈ A tal

que ker(AK − I) 6= (0).

Demostración. Sea K un operador compacto no nulo y supongamos, sin perdida de generalidad, que‖K‖ = 1 (en caso contrario podemos tomar el operador K

‖K‖). Tomemos x0 ∈ X tal que ‖K(x0)‖ > 1

y sea S = {x ∈ X : ‖x− x0‖ ≤ 1} la bola unitaria centrada en x0. Entonces, 0 /∈ S, pues si 0 ∈ Sentonces ‖x0‖ ≤ 1, por lo tanto 1 < ‖K(x0)‖ ≤ ‖K‖ ‖x0‖ ≤ 1 lo cual es una contradicción. Además,si x ∈ S entonces ‖K(x0)−K(x)‖ ≤ ‖K‖ ‖x0 − x‖ ≤ 1, pero ‖K(x0)‖ > 1, por lo tanto K(S) estáacotado lejos de cero, luego 0 /∈ K(S). Dado que K es un operador compacto, K(S) es compacto.Como A es un álgebra, para todo elemento no nulo x ∈ X, {T (x) : T ∈ A} es un subespacio invariantepara A y contiene un elemento no nulo, pues dado que I ∈ A, x = I(x) ∈ {T (x) : T ∈ A}, por lo tanto{T (x) : T ∈ A} ∈ Lat(A). Luego, por hipótesis, {T (x) : T ∈ A} = X. Entonces, para cada elementono nulo x ∈ X, en particular para todo y ∈ K(S), existe T ∈ A tal que ‖T (y)− x0‖ < 1, es decir

K(S) ⊆⋃T∈A{y : ‖T (y)− x0‖ < 1}, siendo {y : ‖T (y)− x0‖ < 1} conjuntos abierto. Entonces, por

la compacidad de K(S) podemos tomar una cantidad �nita de operadores T1, T2, ..., Tn ∈ A tal que

K(S) ⊆n⋃j=1

{y : ‖Tj(y)− x0‖ < 1}. Ahora, para cada y ∈ K(S) y 1 ≤ j ≤ n, sea

aj(y) = max {0, 1− ‖Tj(y)− x0‖} .

Dado que Tj es continua, aj es continua en la bola cerrado B1(x0) y se anula en el borde, comoademás se anula en (B1(x0))

c, por el Lema del Pegamiento, aj resulta continua. Por la elección del



subcubrimiento, para cada y ∈ K(S) existe al menos una función aj > 0, por lo tanton∑j=1

aj(y) > 0

y la aplicación bj : K(S)→ R dada por

bj(y) =aj(y)n∑j=1

aj(y)

está bien de�nida y además es continua pues aj lo es. De�nimos ψ : S → X por

ψ(x) =n∑j=1

bj(K(x))TjK(x).

Dado que bj ,K y Tj son continuas, ψ también lo es.Veamos que ψ(S) ⊆ S.Si x ∈ S entonces K(x) ∈ K(S). Si bj(K(x)) > 0 entonces aj(K(x)) > 0 y por lo tanto tenemos que

‖Tj(K(x))− x0‖ < 1. Luego, TjK(x) ∈ S, si bj(K(x)) > 0. Además,n∑j=1

bj(K(x)) = 1 para todo

x ∈ S, entonces ψ(x) es una combinación convexa de elementos de S, luego por ser S un conjuntoconvexo, ψ(S) ⊆ S.

El operador TjK ∈ B0 para todo j. En efecto, si B es un conjunto acotado de X, dado queK es compacto, K(B) es compacto y como Tj es continuo, Tj(K(B)) también lo es. Ahora, dadoque Tj(K(B) es cerrado y está contenido en Tj(K(B)), también es compacto y como la unión de

conjuntos precompactos es un conjunto precompacto,n⋃j=1

TjK(S) tiene clausura compacta. Por el

Teorema de Mazur 3.3.3, co(n⋃j=1

TjK(S)) es compacto. Pero este conjunto convexo contiene a ψ(S),

ya que es combinación lineal de elementos de TjK(S), entonces, ψ(S) es compacto, ya que es unconjunto cerrado contenido en un conjunto compacto. Luego, ψ es una aplicación compacta sobreS. Por el Teorema del punto �jo de Schauder 3.2.6, existe x1 ∈ S tal que ψ(x1) = x1. Ahora, sean

βj = bj(K(x1)) y A =n∑j=1

βjTj . Entonces, A ∈ A y además

A(K(x1)) =n∑j=1

βjTj(K(x1)) = ψ(x1) = x1.

Como x1 6= 0 pues 0 /∈ S, y x1 ∈ ker(AK − I), tenemos que ker(AK − I) 6= 0. �

De�nición 3.3.5. Sea T ∈ B(X). Un subespacio hiperinvariante para T es un subespacioM de Xtal que AM⊆M para todo operador A en el conmutante T

′de T , es decir AM⊆M si AT = TA.

Observación 3.3.6. Todo subespacio hiperinvariante para T es invariante. 4

Teorema 3.3.7. (Teorema de Lomonosov). Sea T ∈ B(X). Si T no es un múltiplo de la identidad y

TK = KT para algún operador compacto no nulo K, entonces T tiene un subespacio hiperinvariante

no trivial.


3.3 Aplicación: Teorema de Lomonosov

Demostración. Sea A = T′. Supongamos que T no admite un subespacio hiperinvariante no trivial,

es decir Lat(A) = {(0),X}. Dado que A es un álgebra que contiene al operador identidad I, por elLema de Lomonosov 3.3.4 existe un operador A ∈ A tal que N = ker(AK − I) 6= (0).

Además, N ∈ Lat(AK) y AK|N es el operador identidad, en efecto si x ∈ N ,

AK(x) = AK(x)− x+ x = (AK − I)(x) + x = x.

Como ya vimos en la demostración del Lema anterior AK ∈ B0, entonces AK|N ∈ B0. Esto implica

que BN (0, 1) = AK(BN (0, 1)) es compacto, donde BN (0, 1) es la bola unitaria de N . Por lo tanto,N debe tener dimensión �nita. Además, dado que A y K conmutan con T , para cada x ∈ N ,AK(T (x)) = T (AK(x)) = T (x) entonces T (x) ∈ N , es decir N es invariante para T . Ahora, comoN tiene dimensión �nita, T|N tiene un autovalor λ entoncesM = ker(T−λI) 6= (0), pero siM = Xentonces T = λI lo cual contradice que T no es múltiplo de la identidad. Además, si S ∈ A, paratodo x ∈M,

(T − λI)(S(x)) = TS(x)− λS(x) = S(T (x))− λS(x) = S((T − λI)(x)) = S(0) = 0.

Entonces S(x) ∈M, por lo tanto S(M) ⊆M. Luego,M es un subespacio no trivial hiperinavariantepara T . �


4 TEOREMA DEL PUNTO FIJO DE RYLL-NARDZEWSKI

4. Teorema del punto �jo de Ryll-Nardzewski

4.1. Teorema del punto �jo de Ryll-Nardzewski

El resultado de este Teorema fué anunciado por el matemático Ryll-Nardzewski en 1962, quiénlo demostró con argumentos probabilísticos en 1967 ([7]). La demostración que seguiremos es unaprueba geométrica dada por Namioka y Asplud en 1967 ([5]).

De�nición 4.1.1. Sea K un conjunto convexo y V un espacio vectorial. Una aplicación T : K → V

se dice afín si T (n∑j=1

αjxj) =n∑j=1

αjT (xj), donde xj ∈ K, αj ≥ 0 y

n∑j=1

αj = 1.

El siguiente Teorema del punto �jo para una familia de aplicaciones a�nes lo utilizaremos parademostrar el Teorema de Ryll-Nardzewski.

Teorema 4.1.2. (Teorema del punto �jo de Markov-Kakutani). Si K es un subconjunto convexo,

compacto y no vacío de un espacio localmente convexo X y F es una familia abeliana de aplicaciones

continuas y a�nes T : K → K, entonces existe x0 ∈ K tal que T (x0) = x0 para toda T ∈ F .

Demostración. Si T ∈ F y n ≥ 1 de�nimos la aplicación T (n) : K → K como

T (n) =1

n

n−1∑k=0

T k.

Si S, T ∈ F y n,m ≥ 1 entonces S(n)T (m) = T (m)S(n). En efecto, dado que F es abeliana,ST = TS. Supongamos que S(n−1)T = TS(n−1) para n ∈ N �jo, entonces

S(n)T = SS(n−1)T = STS(n−1) = TSS(n−1) = TS(n).

Ahora, si S(n)T (m−1) = T (m−1)S(n) para m ∈ N �jo, entonces

S(n)T (m) = S(n)T (m−1)T = T (m−1)S(n)T = T (m−1)TS(n) = T (m)S(n).

Sea K ={T (n)(K) : T ∈ F , n ≥ 1

}. Por la continuidad de T y la compacidad de K, cada con-

junto en K es compacto. Además, por ser T una aplicación afín y K un conjunto convexo, cadaconjunto T (n)(K) es convexo. Si T1, T2, ..., Tr ∈ F y n1, n2, ...., nr ≥ 1, entonces por la conmutativi-

dad de la familia F , T (n1)1 ...T

(nr)r (K) ⊆

r⋂j=1

T(nj)j (K), es decir K tiene la propiedad de la intersección

�nita. Por la compacidad de K, existe x0 ∈⋂{B : B ∈ K}.

Si T ∈ F entonces x0 ∈ T (n)(K) para n ≥ 1. Por lo tanto, existe un punto x ∈ K tal que

x0 = T (n)(x) =1

n

[x+ T (x) + ....+ T (n−1)(x)

].

Entonces,

T (x0)− x0 =1

n

[T (x) + ...+ T (n)(x)

]− 1

n

[x+ T (x) + ...+ Tn−1(x)

]=

1

n

[T (n)(x)− x

]∈ 1

n[K −K] .


4.1 Teorema del punto �jo de Ryll-Nardzewski

Ahora, dado que K es compacto y K −K es la imagen del conjunto compacto K ×K por laaplicación continua φ(x, y) = x− y, tenemos que K −K también es compacto. Por la Proposición2.2.6, K − K está acotado. Entonces dado un entorno abierto U de cero en X, existe un enteron ≥ 1 tal que 1

n [K −K] ⊆ U . Lo cual implica que T (x0)− x0 ∈ U , para cualquier entorno abiertode cero. entonces T (x0)− x0 = 0. Luego, como T era un elemento arbitratio de F , concluimos quex0 es punto �jo para toda aplicación en F . �

De�nición 4.1.3. Sean p una seminorma sobre X y A ⊆ X. De�nimos el p− diámetro de A como

el escalar dado por p− diam(A) ≡ sup {p (x− y) : x, y ∈ A} .

Lema 4.1.4. Si X es un ELC, K es un subconjunto convexo, separable, débilmente compacto y no

vacío de X y p es una seminorma continua sobre X, entonces para todo ε > 0 existe un subconjunto

cerrado y convexo C de K tal que

a)C 6= K;

b)p− diam(K\C) ≤ ε.

Demostración. Sea S ={x ∈ X : p(x) ≤ ε

4

}y sea D = Ext(K)

ω ⊂ K. Dado que K es separable,

existe un subconjunto A ⊆ K denso numerable entonces K ⊆⋃a∈A

(S + a). Además, como S es

débilmente cerrado, cada conjunto a+ S también lo es. Dado que D es un subconjunto del espaciode Hausdor� X y es débilmente cerrado en K compacto, D es de Hausdor� y débilmente compacto.

Entonces, dado que (an +S)∩D es cerrado relativo de D y D =∞⋃n=1

((an +S)∩D), por el Teorema

de Baire (2.1.8), existe a ∈ A tal que ((a+ S) ∩ D)◦ 6= ∅. Entonces existe un conjunto débilmenteabierto W de X tal que W ∩ D ⊆ (a+ S) ∩ D y W ∩ D 6= ∅.Sean K1 = co(D\W ) y K2 = co(D ∩W ). Dado que K1 y K2 son conjuntos compactos y convexosy K1 ∪K2 contiene los puntos extremales de K, por el Teorema de Krein-Milman 2.3.14 y el Lema2.3.15 tenemos que K = co(K1 ∪K2).Además, K1 6= K, pues si K1 = K tenemos que K = co(D\W ). Entonces, por el Teorema 2.3.16,Ext(K) ⊆ D\W , por lo tanto D ⊆ D\W , con lo cual D ∩W = ∅. Esto contradice lo visto antes.Ahora, dado que (a+S)∩D es un conjunto cerrado y convexo que contiene a D∩W , tenemos queK2 ⊆ a+ S. Entonces, por de�nición de S, p− diam(K2) ≡ sup {p (x− y) : x, y ∈ K2} ≤ ε

2 .Sea r ∈ (0, 1] y de�nimos fr : K1×K2×[r, 1]→ K por fr(x1, x2, t) = tx1+(1−t)x2. Entonces, fr

es continua y dado que (K1×K2×[r, 1]) es débilmente compacto y convexo, Cr ≡ fr(K1×K2×[r, 1])también lo es. Además, Cr 6= K para todo r ∈ (0, 1], en efecto si Cr = K y z ∈ Ext(K) entoncesexisten x1 ∈ K1, x2 ∈ K2, t ∈ [r, 1] tales que z = tx1 + (1− t)x2. Como t 6= 0, z = x1, por lo tantoExt(K) ⊆ K luego K1 = K, tenemos una contradicción.

Si y ∈ K\Cr, por de�nición de Cr y dado que K = co(K1 ∪K2), existen x1 ∈ K1, x2 ∈ K2 talesque y = tx1 + (1− t)x2 con t ∈ [0, r). Entonces,

p (y − x2) = p (t(x1 − x2)) = t p (x1 − x2) ≤ r d,

donde d = p− diam(K). Luego, si y = t x1 + (1− t) x2 ∈ K\Cr entonces

p (y − y) ≤ p (y − x2) + p (x2 − x2) + p (x2 − y) ≤ 2rd+ p− diam(K2) ≤ 2rd+ε

2.

Tomando r = ε4d y C = Cr queda demostrado el Lema. �



De�nición 4.1.5. Sea X un espacio localmente compacto y Q un subconjunto no vacío de X. Si Ses una familia de aplicaciones no necesariamnete lineales de Q en Q, entonces se dice que S es una

familia no contráctil de aplicaciones si dados dos puntos distintos x, y ∈ Q se tiene que

0 /∈ {T (x)− T (y) : T ∈ S}.

Lema 4.1.6. Sean X un ELC, Q ⊆ X y S una familia de aplicaciones de Q en Q. Entonces, S es

una familia no contráctil si y sólo si para todo par de puntos distintos x, y ∈ Q existe una seminorma

continua p tal que

inf {p (T (x)− T (y)) : T ∈ S} > 0.

Demostración.

⇒) Sean x, y ∈ Q puntos distintos y F una familia de seminormas que induce la topología sobreX. Si S es una familia no contráctil entonces existen una seminorma p ∈ F y ε > 0 tales que{z ∈ X : p (z) < ε} ∩ {T (x)− T (y) : T ∈ S} = ∅. Por lo tanto, p (T (x)− T (y)) ≥ ε para toda apli-cación T ∈ S. Luego, inf {p (T (x)− T (y)) : T ∈ S} > 0. Además, dado que 0 ∈ {x ∈ X : p (x) < 1}◦,la seminorma p es continua.

⇐) Si x e y son puntos distintos de Q y p es una seminorma continua tal que

inf {p (T (x)− T (y)) : T ∈ S} > 0

entonces existe ε > 0 tal que p (T (x) − T (y)) ≥ ε para toda T ∈ S. Por lo tanto, el conjuntoU = {z ∈ X : p (z) < ε} es un entorno de cero tal que U ∩ {T (x)− T (y) : T ∈ S} = ∅. Luego,0 /∈ {T (x)− T (y) : T ∈ S}. �

Teorema 4.1.7. (Teorema del punto �jo de Ryll-Nardzewski). Si X es un espacio localmente con-

vexo, Q es un subconjunto convexo, débilmente compacto de X y S es un semigrupo no contráctil

de aplicaciones a�nes y débilmente continuas de Q en Q, entonces existe un punto x0 ∈ Q tal que

T (x0) = x0 para toda T en S.

Demostración. Por la compacidad de Q basta ver que todo subconjunto �nito de S tiene un punto�jo común en Q.

Sea {T1, T2, ..., Tn} ⊆ S. De�nimos T0 = (T1 + ... + Tn)/n, entonces T0 : Q → Q y es unaaplicación débilmente continua y afín. Luego, por el Teorema de Markov-Kakutani (4.1.2) existex0 ∈ Q tal que T0(x0) = x0.

Veamos que Tk(x0) = x0 para 1 ≤ k ≤ n.

Si Tk(x0) 6= x0 para algún k, podemos reordenar los Tk de manera que estos aparezcan primerosen la suma, es decir existe m ∈ N tal que Tk(x0) 6= x0 para todo k ≤ m y Tk(x0) = x0 para todok > m. Entonces

x0 = T0(x0) =1

n(T1(x0) + ...+ Tn(x0)) =

1

n(T1(x0) + ...+ Tm(x0)) +

(n−mn

)x0.


4.2 Aplicación: Existencia de la medida de Haar sobre un grupo compacto

Si T0 = (T1 + ...+ Tm)/m tenemos que

T0(x0) =1

m(T1(x0) + ...+ Tm(x0))

=n

m

1

n(T1(x0) + ...+ Tm(x0))

=n

m

[x0 −

(n−mn

)x0

]= x0.

Por lo tanto, podemos suponer que Tk(x0) 6= x0 para 1 ≤ k ≤ n pero T0(x0) = x0. Ahora, dado queS es una familia no contráctil, por el Lema 4.1.6 existen una seminorma continua p sobre X y ε > 0tales que para todo T ∈ S y 1 ≤ k ≤ n,

p (T (Tk(x0))− T (x0)) > ε. (∗)

Si S1 es el semigrupo generado por {T1, ..., Tn} entonces S1 ⊆ S y S1 = {Tl1 ...Tlm : m ≥ 1, 1 ≤ lj ≤ n}.Por lo tanto, S1 es un subsemigrupo numerable de S. Si K = co {T (x0) : T ∈ S1}, entonces K esun subconjunto débilmente compacto, convexo y separable de Q. Luego, por el Lema 4.1.4 existeun subconjunto convexo y cerrado C de K tal que C 6= K y p− diam(K\C) ≤ ε. Dado que C 6= Kexiste S ∈ S1 tal que S(x0) ∈ K\C, entonces como T0(x0) = x0 tenemos que

S(x0) = ST0(x0) =1

n[ST1(x0) + ...+ STn(x0)] ∈ K\C.

Luego, por la convexidad de C debe existir algún 1 ≤ i ≤ n tal que STi(x0) ∈ K\C. Entonces,

p (STi(x0)− S(x0)) ≤ p− diam(K\C) ≤ ε.

Esto contradice la desigualdad (*). Por lo tanto, Tk(x0) = x0 para 1 ≤ k ≤ n.Ahora, sea F la colección de todos los subconjuntos �nitos no vacíos de S. Si F ∈ F, de�nimos

QF = {x ∈ Q : T (x) = x,∀T ∈ F}. Por lo visto antes, QF 6= ∅ para todo F ∈ F. Además, dadoque todo T ∈ S es débilmente continuo y afín, QF es convexo y déblimente compacto. La colección{QF : F ∈ F} de subconjuntos de Q tiene la propiedad de la intersección �nita, en efecto tomemosuna colección �nita {QF1 , ..., QFr} y consideremos el conjunto F = {T : T ∈ Fi para todo i = 1, ...r}.Dado que cada Fi es �nito, F también lo es y entonces QF 6= ∅. Por lo tanto, existe x ∈ Q tal

que T (x) = x para todo T ∈ F , lo cual implica quer⋂i=1

QFi 6= ∅. Luego, por la compacidad de Q,⋂F∈F

QF 6= ∅, es decir existe x0 tal que T (x0) = x0 para toda aplicación T ∈ S. �

4.2. Aplicación: Existencia de la medida de Haar sobre un grupo compacto

La medida de Haar fué introducida por Haar en 1932, quién prueba la existencia de una medidainvariante a izquierda sobre grupos topológicos localmente compactos y separables. El Teoremade Haar fué generalizado por Weil a grupos topológicos localmente compactos y von Neumanndemuestra que dicha medida está unívocamente determinada salvo factores constantes.

En esta sección demostraremos la existencia y unicidad de la medida de Haar sobre grupostopológicos compactos aplicando el Teorema de Ryll-Narzewski. La operación sobre todos los gruposy semigrupos será denotada por multiplicación.



De�nición 4.2.1. Sean G un conjunto con una operación binaria · : G ×G → G y τ una familia

de subconjuntos de G. Decimos que G es un grupo topológico si

1. (G, ·) es un grupo,

2. (G, τ) es un espacio topológico,

3. las aplicaciones φ : G × G → G y ψ : G → G dadas por φ(x, y) = x · y, ψ(x) = x−1 son

continuas.

Teorema 4.2.2. Si G es un grupo topológico compacto, entonces existe una única medida positiva

regular de Borel m sobre G tal que

1. m(G) = 1,

2. Si U es un subconjunto abierto no vacío de G entonces m(U) > 0,

3. Si A es un subconjunto de Borel de G y x ∈ G, entonces m(A) = m(Ax) = m(xA) = m(A−1)donde Ax = {ax : a ∈ A} , xA = {xa : a ∈ A} , A−1 =

{a−1 : a ∈ A

}.

La medida m se llama madida de Haar para G.Si G es un grupo topológico compacto, M(G) denota el espacio de todas las medidas regulares

Borel sobre G. Entonces, una medida de Haar para un grupo G es un punto del conjunto

Q := {µ ∈M(G) : µ(G) = 1}

el cual es �jo bajo la familia de aplicaciones F = {Rx : x ∈ G}∪{Lx : x ∈ G} donde Rx, Lx : Q→ Qestán dadas por Rx(µ) = µ(x ·) y Lx(µ) = µ(·x).

Para poder aplicar el Teorema del punto �jo de Ryll-Nardzewski queremos ver a Q como unsubconjunto de un espacio vectorial topológico adecuado. Utilizando el Teorema de representaciónde Riesz ([2]) podemos identi�car el conjunto Q con un subconjunto Q de C(G)∗ y trasladar losresultados obtenidos para Q a Q.

Teorema 4.2.3. (Teorema de representación de Riesz). Si G es un espacio localmente compacto y

µ ∈M(G), de�nimos Fµ : C0(G)→ F como

Fµ(f) =

∫Gfdµ.

Entonces, Fµ ∈ C0(G)∗ y la aplicación Φ : M(G) → C0(G)∗ tal que µ 7→ Fµ es un isomor�smo

isométrico.

Dado que G es compacto, C0(G)∗ = C(G)∗. Sea Q := Φ(Q) ⊂ C0(X)∗, es decir

Q = Φ(Q) = {F ∈ C(G)∗ : F > 0 y F (1) = 1} = U1(0) ∩ i−11 (1) ∩⋂f≥0

i−1f (R+0 ),

donde U1(0) es la bola unitaria de C(G)∗ e if : C(G)∗ → C es el funcional dado por if (F ) = F (f),para f ∈ C(G)∗. Como if es ω∗-continua para toda f ∈ C(G) y U1(0) es ω∗-compacta por el Teorema


4.2 Aplicación: Existencia de la medida de Haar sobre un grupo compacto

de Alaoglu, el conjunto Q es ω∗-compacto. Además, Q es convexo. Luego, Q es un subconjuntoconvexo y compacto del espacio localmente convexo (C(G)∗, τω∗).

La medida µ ∈ Q es un punto �jo de la familia F , es decir una medida de Haar, si y sólo

si Fµ ≡ Φ(µ) es un punto �jo de F ={Rx : x ∈ G

}∪{Lx : x ∈ G

}donde Rx = ΦRxΦ−1|

Qy

Lx = ΦLxΦ−1|Q. Es decir, RxFµ(f) = Fµ(f(x ·)) y LxFµ(f) = Fµ(f(·x)) para f ∈ C(G).

Para poder aplicar el Teorema del punto �jo de Ryll-Nardzewski necesitamos un conjunto defunciones de Q en Q que contenga al conjunto F y sea un semigrupo con respecto a la composición.El conjunto F no es un semigrupo pero si lo es el conjunto generado por este,

S =⟨F⟩

={RxLy : x, y ∈ G

}pues Rx y Ly conmutan y RxRy = Ryx, LsLt = Lst . Además, todas las funciones de S mapean Qen Q.

Para comprobar que S satisface las hipótesis del Teorema es necesario el siguiente Lema.

Lema 4.2.4. Sea G un grupo topológico compacto y F ∈ Q ⊂ C(G)∗. Entonces la aplicación

ρ : G×G→ (C(G)∗, τω∗) dada por ρ(x, y) = (RxLy)(F ) es continua.

Demostración. Queremos ver que la aplicación (x, y) 7→ F (f(x ·y)) es continua para toda f ∈ C(G),donde f(x ·y) es una aplicación de G en F tal que z 7→ f(xzy). Dado que F es continua sobre C(G),basta ver que (x, y) 7→ f(x · y) es continua para cada f ∈ C(G).

Sean f ∈ C(G) �ja, x, y ∈ G y ε > 0, queremos ver que existen entornos Ux y Uy de x e y,respectivamente, tales que para todo x ∈ Ux e y ∈ Uy, se tiene que |f(xzy)− f(xzy)| < ε paraz ∈ G. Para esto veamos que dado ε > 0 existe un entorno V de e (e es la identidad G) tal quepara todo w ∈ G, |f(w)− f(w)| < ε, si w ∈ V wV .

Sea ε > 0, dado que f es continua, para todo w ∈ G existe un entorno Uw de w tal que siw ∈ Uw entonces |f(w)− f(w)| < ε

2 . Por la continuidad de la aplicación φ : G × G → G dadapor φ(u, v) = uwv en (e, e), existe un entorno Ww de e tal que WwwWw ⊂ Uw. Por la continuidadde la aplicación (u, v) 7→ uv, existe un entorno Vw de la identidad tal que V 2

w ⊂ Ww y Vw ⊂ Ww.Como el conjunto G es compacto y {VwwVw}w∈G es un cubrimiento por abiertos de G, podemos

tomar una cantidad �nita w1, ..., wn ∈ G tal que G =

n⋃i=1

VwiwiVwi . Consideremos V =n⋂i=1

Vwi , el

cual es un entorno de la identidad. Sean w ∈ G y w ∈ V wV , y tomemos r ∈ {1, 2, ..., n} tal quew ∈ VwrwrVwr . Entonces, w ∈ Uwr y w ∈ V VwrwrVwrV ⊂WwrwrWwr , por lo tanto

|f(w)− f(w)| ≤ |f(w)− f(wr)|+ |f(wr)− f(w)| < ε.

Ahora, sean ε > 0 y x, y ∈ G. Por lo visto en el párrafo anterior, si w = xzy, podemos tomarun entorno V de e tal que, para todo z ∈ G, |f(w)− f(xzy)| < ε si w ∈ V wV . Si consideramosUx = V x y Uy = yV , entonces para todo x ∈ Ux, y ∈ Uy, z ∈ G se tiene que f |(xzy)− f(xzy)| < ε.

�

Ahora, veamos que el conjunto S satisface las hipótesis del Teorema del punto �jo de Ryll-Nardzewski 4.1.7.

Los elementos de S son aplicaciones a�nes ya que son composición de las aplicaciones a�nes Rxy Ly.



Toda aplicación S ∈ S es continua. En efecto, consideremos Q como un subconjunto de (C(G)∗, τω∗),con la topología relativa. Sea {Fk}k una red en Q tal que Fk → 0, entonces ik(Fk) = Fk(f) → 0

para toda f ∈ C(G), por lo tanto Fk(f(x·)) = RxFk(f) → 0 para toda f ∈ C(G). Lo cual implicaque RxFk → 0. Luego, Rx es continua. Analogamente se demuestra que Ly es continua para todoy ∈ G. Entonces, todo elemento de S es una aplicación continua por ser composición de funcionescontinuas.

La familia S es no contráctil, es decir 0 /∈ {S(I)− S(J) : S ∈ S} para todo I, J ∈ Q conI 6= J . Como Rx y Ly son inyectivas, toda aplicación S ∈ S también lo es, por lo tanto si I 6= J ,0 /∈ {S(I)− S(J) : S ∈ S}. Por de�nición de S, tenemos que

{S(I)− S(J) : S ∈ S} ={RxLy(I)− RxLy(J) : x, y ∈ G

},

entonces es la imagen de G×G por la aplicación ρ(x, y) = RxLy(I)−RxLy(J) ∈ C(G)∗. Por el Lema4.2.4, la aplicacion ρ es continua. Luego, {S(I)− S(J) : S ∈ S} es cerrado por ser la imagen delconjunto compacto G×G por una aplicación continua en el espacio de Hausdor� C(G)∗. Luego, porel Teorema de Ryll-Nardzewski 4.1.7 la familia S tiene un punto �jo F ∈ Q. Entonces, si F = Φ(µ),la medida µ ∈ Q es una medida de Haar.

Por último veamos la unicidad.Supongamos que existe otra medida de Haar ν sobre G. Entonces, para toda f ∈ C(G),

Fµ(f) =

∫fdµ =1

∫ ∫f(x)dµ(x)dν(y)

=2

∫ ∫f(yx)dµ(x)dν(y) =3

∫ ∫f(yx)dν(y)dµ(x)

=4

∫ ∫f(y)dν(y)dµ(x) =5

∫fdν = Fν(f).

Las igualdades 1 y 5 son válidas pues µ(G) = ν(G) = 1, las igualdades 2 y 4 por la invarianzade estas medidas y la igualdad 3 por el Teorema de Fubini (las medidas son �nitas y f es continuasobre G).


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