Download pdf - TEMA 1. LOS NÚMEROS REALES - …matestierra.weebly.com/uploads/1/4/1/6/14161581/4eso_01_números... · Tema 1: Los números reales TEMA 1. LOS NÚMEROS REALES. 1.1. Repaso de números

I.E.S. Tierra de Ciudad Rodrigo Departamento de Matemáticas

Matemáticas B. 4º ESO Tema 1: Los números reales

TEMA 1. LOS NÚMEROS REALES.

1.1. Repaso de números enteros y racionales - Operaciones con números enteros - Paso de decimal a fracción y de fracción de decimal - Operaciones con números racionales - Potencias. Operaciones con potencias 1.2. Números irracionales y reales - Números irracionales - La recta real - Intervalos y valor absoluto 1.3. Radicales - Definiciones -Extracción de factores - Notación exponencial - Operaciones con radicales - Racionalización 1.4. Logaritmos - Definición - Propiedades - Cambio de base - Ecuaciones exponenciales y logarítmicas - Interés compuesto



1.1. Repaso de números enteros y racionales 1. Realiza las siguientes operaciones con números enteros y comprueba el resultado. a) 6 – [6 – 7 – ( - 5)] – (+7) + (- 5) = - 10 b) [3 – (4 – 6) + (- 7 + 3)] – [- (- 3) + (- 6 + 4)]- (- 7+2) = 5 c) (54 – 27 + 36) : (- 9) = -7 d) (- 35 + 5 + 15) : (- 15 + 3 + 7) = 3 e) [(- 5) (- 4) (- 3)] : (- 2) = 30 f) 5 – [4 – (- 6 + 2) + 3]- 1 = - 7 g) (- 2) – (6 – 4+ 3 – 2) = - 5 h) 7 + [- 4 – (- 2 – 3) + 5] – 1 = 12 i) 6 – [2 – (- 4 - 2 - 1) + 5] + 3 = - 5 j) (- 2) + [- 3· (+2 - 4) + 1] – 5 = 0 k) 3 – [- 2 – (- 1) – (- 6) – 3] + 7 = 8 l) 2· (- 32) + 3·[27 + (- 63)] : (- 3) = - 28 m) (5 – 3· 5 – 6 : 2) +(36: 2+ 4) - (- 1 – 2 : 2) = 11 n) (- 30) : (+10) – (- 15) : (- 5) – 2· 3 = - 12 ñ) 2 + 4 : (- 1- 4 +3) – 5 (2 - 3 - 7) : (- 10) = - 4 o) 2 [12 – ( 9 – 4· 2) – 7] +5 = 13 p) 7 [ 5 – ( 1 + 9 : 3) + 7] = 56 q) 8 [ 2 (2 + 5· 2) : 6 ] : 4 = 8 r) 4 + 36 : 9 – 50 : (12 + 17 – 4 ) = 6 s) 25 – [4 + (25 : 5 +3)] (16 – 2· 7) = 1 t) [5 + 3· 2 : (6 – 4)] [- 4 : 2 – 4 + 24 : 4] = 0 u) 2 + 48 : [ 5· 3 – 2 (6 – 10) – 17] = 10 v) - [2 – (- 4- 6) – (- 6)] – [- 3 – (- 2 – 8)] = - 25 w) - 5+ [4 – (3 + 2· 3)] : 5 = - 6 x) [5 – (- 20 – 10)] : 7 + 3· [2 – (- 15)] = 56 y) -2 – (-2) + (-2) + 4 -23 + 1= -20 z) -1 –(-1) = 0 2. Escribe la expresión decimal de las siguientes fracciones. Indica en cada caso el tipo de número decimal que obtienes.

5

24

3

7

5

84

8

65

3

4

11

5

36

65

8

5

99

223

15

38

3. Escribe en forma de fracción los siguientes números decimales:

a) 3,45 g)

b) 45,1 h)

c) 0,00003 i)

d) j)

e) k)

f) l) 3,7



4. Realiza las siguientes operaciones con fracciones y comprueba el resultado.

a) 4

1

4

1

2

3

3

2

6

5

l) 3+

3

26

2

312

3

4·

2

1

b) 1 - 4

1

2

3:13:

4

7

m) 1

4

1

2

1:

4

3

c) 4

2

4

11

4

32

n)

3

1

10

3:

2

1

5

3

d) 17

122·2

2

3

ñ)

5

8

3

2:

5

4·

3

4

e) 4

1

9

1

3

1·

8

5

2

1

o)

5

112

3

11

2

3

8

5:

4

3

f) 56

75

5

4:

7

3·

2

5

p)

3

7

6

12

4

1

3

2·

8

1

4

3

g) 16

45

7

4

5

4:

5

3

6

5

12

13·

4

3

q) 15

91

2

3:

5

32·

3

4

2

3

h) 15

4

3

2

4

3·

5

2

6

5

3

4·

5

3

r) 4

9

9

2·

4

3:

3

2:

4

1

i) 1 - 7

411

2

2:1

2

1:2:

2

11

s)

4

5

3

1:

4

3·

5

2

4

3

2

5·

3

4

15

14

j) 20

3

5

4

5

2·

8

1

5

3

6

5:

3

2

5

4

t) 6

19

8

5

4

3

2

1:1

3

4:

2

1

4

3

k)

03

1

2

11

3

1

2

12

u) 1+10

31

2

5:

2

1

4

3

5

1

5. Realiza las siguientes operaciones:

a)

b)

b)

c)

d)

Propiedades de las potencias:



6. Halla el valor de las siguientes potencias: (-5)4 = (- 3)6 = (-5)5 = (-3)7 = 03 = 05 = 20 = 150 = (-5)0 = (-32)0 = 51 = 71 = (-10)4 = 15 = 13 = 12 = -23 = -12 = (-2)3 = (-1)2 = (8-5)3 = (3-7)3 = (2+3)3 = (5- 4)12 =

3

5

3

2

1

5

2

11

2

6

1

3

2

4

16

2

35· 3· 32 = 5· 56· 54 = 3-4· 3· 32 = 2-3· 22· 24 = 58· 5-3 = 45· 43· 4 = 2· 2-3· 2-2 = 3-4· 32 = 73· 72· 7-5 = 2-3· 2-2· 25 = 43· 4-2· 4 = 12· 1-3 = 58:58 = (-3)5:(-3)2 = 53:57= 95: 95 = 73:7-2 = (- 4)9:(- 4)2 = 67: 63 = 32: 36 = 62: 6-2 = 24: 22 = (-8)4:(-8)3 = (- 6)4:(- 6)2

2-2 = 2-5 = 3-4 = 4-3 = 3-2 = 3-5 = 10-1 = 10-2 = 10-3 = 10-4 = 10-5 = 10-6 = (7· 4)3 = (4· 7· 3)5 = (2· 5· 6)5 = (2· 4· 5)3 = (7· 3· 4)2 = [6· 2· (-5)]4 = (-3· 4· 1)4 = (-7· 3· 6)2 = 34· 24· 54 = 32· 22· (-1)2 = 22· 32· 42 = [6· 2· (-5)]4 = (8:4)3 = (9:3:3)10 = (12:4:1)4 = (64: 8)2 = 102: 52 = 363 : 93 = 124: 24: 34 = 485: 65: 85 = (54)2 = (52)4 = (73)9 = (26)5 = (46)3 = (-31)-3 = [(-5-4)]2 = (-3-2)5 = [(-7)4]-3 = (- 6-2)-5 = (0’005)3 = (0’2)5 = (3’16)2 = (2’04)2 = (7’03)3 = (0’004)2 = (0’06)3= (1’2)2 = (0’3)3 = (0’12)4 =

4

3

2

=

3

5

4

2

3

7

3

4

8

3

2

3

32

2

3·

2

3

8

5·

8

54

42

4

7·

4

7

46

4

3:

4

3

26

2

5:

2

5

107

4

3:

4

3

3

2

3

4

4

3

7

3

4

2

2

5

52

5

3



3

2

7·

3

4

2

4

9·

3

5

4

8

5·

4

3

1

2

3·

3

2

3

3

5:

3

4

2

8

4:

5

7

2

5

6:

2

3

3

2

5:

2

5

2

5

3

3

7

6

4

3

8

1

2

1

7. Escribe con una sola potencia:

244 4·3:12 444 15:5·3 752 2·3·3 446 5:25:5 4455 7:21·6:18 2466 6:12:5:10 244 5·3:15 444 5:5·4 752 6·6·6 446 5:15:3 32·34·3·33= 5·57:58= 3·32·33= (72) 6·7·74= 22·23:24= (52·53)4:518= (26)3:(22)5= 52·(53)3= (317:37):(33)2= 52:(54:52)= (22)3·(24)5:224= 510:(53)3= (317·33):(32)10= 5·52:(55:52)= (812:32):92= (43·53):23= 243:63= 152·22= 72·42= 203·43:403= (162:22):42= (93·53):153= 273:93= 152·22:62= 72·42:142= 403·23:83=



1.2. Números irracionales y reales Recordemos que los números racionales son todos aquellos que pueden escribirse en forma de fracción. Todos los naturales y los enteros lo son, también los números decimales exactos y los periódicos puros y mixtos como se vio en el apartado anterior.

Sin embargo hay números como por ejemplo , que no se puede escribir como cociente de dos números enteros (demuéstralo), y en su desarrollo decimal aparecen infinitas cifras decimales no periódicas. A los números de esta forma se les llama números irracionales.

Si x no es un cuadrado perfecto es un número irracional (por ejemplo o ). En

genera , si x es entero pero

no lo es, entonces

es un número irracional. También son irracionales los números El conjunto formado por los números racionales y los irracionales se llama conjunto de los números reales y se designa por . Naturales: Enteros: Racionales: Enteros negativos N os Reales: Fraccionarios Irracionales 1. Indica el menor conjunto numérico al que pertenecen los siguientes números:

8,2

, 4

3, 5 ,

2

51, 283 ,

4

,

4

8, 3’25,

3

1, + 4 16 , 3 8 , -8`5, 1,12121212…,

1,12112111211112…, . Ya sabemos representar en la recta numérica los números enteros y las fracciones, además a cada número de la recta le corresponde un número racional o uno irracional, por eso a la recta numérica se le llama recta real. El método para representar gráficamente los números del tipo , siendo n entero, consiste en considerar un triángulo rectángulo y en el cual la hipotenusa se obtiene por el teorema de Pitágoras. Veamos dos ejemplos:



2. Representa en la recta real los números:

3. Razona si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones: (en caso de ser falsas indica un contraejemplo) Todos los números son racionales. Los números racionales son números reales. Los números irracionales son números reales. Todos los números decimales se pueden expresar en forma de fracción. 4. Si , explica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: x² es siempre positivo o nulo. x³ es siempre positivo o nulo.

3 x solo existe si 0x . 1x es negativo si lo es x.

2x es siempre negativo. Intervalos. Dados dos números reales , se define el intervalo cerrado de extremos a y b como el conjunto de todos los números reales que son mayores o iguales que a y menores o iguales que b. Con notación matemática: Gráficamente:

Cambiando < se obtienen los intervalos abiertos ( a , b ).

Se diferencian en que el intervalo cerrado contienen a los extremos y el abierto no. También hay intervalos semiabiertos (o semicerrados) e infinitos (que se corresponden con una semirrecta. 5. Escribe la definición de los siguientes intervalos numéricos, donde : (a , b) = { : a < x < b} [a , b] = [a , b) = (a , b] = [a , ) = (a , ) = ( , b) = ( , b] =



= 6. Describe y representa gráficamente los siguientes intervalos: (3 ,10) = (2 , 7] = [4,8) = ( , 6) = [7, [-3, 5] = 7. Escribe el intervalo que corresponde a las desigualdades siguientes: 1 < x <3

5 x < 8 x < 5

x 2 La unión de dos intervalos es el conjunto de números que pertenecen a alguno de los dos o a ambos. Ejemplo: [1,3) (2,7) = [1,7) La intersección de dos intervalos es el conjunto de números que pertenecen a ambos. Ejemplo: [1,3) (2,7) = (2,3) 8. Escribe con un único intervalo: 5,24, e. [3,5) (4,7)

5,24, f. [1,8) (1,7)

,33, g. (4,8) (2,9)

,33, h. (4,8) (2,7)

9. Si a < b < c < d, escribe como intervalos: (a ,c) (b ,d) (a, c) (b, d) 10. Dados los intervalos A=(2,4), B=(-2,5], C=[-4, 33), Calcula:

Si , se define el valor absoluto de “a “ ( y se representa a ) como:

0

00

0

asia

asi

asia

a



11.Calcula:

12. Calcula el valor de x en:

5x 3x

41 x

45 x

1263 x

732 x

13. Calcula los números que cumplen las siguientes desigualdades y expresa el resultado en forma de intervalo:

a. 7x

b. 4x

c. 42 x

d.1042 x

e. 54 x

f. 393 x

g. 12x

h. 115 x

i. 115 x



1.3. Radicales Def. Se llama raíz n-ésima de a, y se escribe, a un número b que cumple la siguiente condición:

“n” se llama índice de la raíz, “a” es el radicando, y

se llama radical

Es claro que

y

Operaciones con raíces.

a)

Ej.

b)

Ej.

c)

Ej.

d)

Ej.

e)

Ej.

Potencias según el signo.

a) Si el radicando es positivo

siempre existe.

b) Si el radicando es negativo y el índice impar

siempre existe.

c) Si el radicando es negativo y el índice par

no existe. Según lo anterior, ¿cuáles de las siguientes raíces no existen?

1. Calcula las siguientes raíces:

a) f) k)

b) g) l)

c)

h)

m)

d)

i)

n)

e) j)

ñ)

Expresión exponencial de los radicales. Un radical cualquiera se puede escribir en forma de potencia con exponente racional de la siguiente manera:

ya que

ya que



2. a) Expresa en forma de potencia con exponente racional las siguientes raíces:

b)Expresa en forma de raíz:

3. Calcula usando las propiedades de las raíces:

a)

b)

c) d)

e)

f) 4. Simplifica usando las propiedades de las potencias:

a)

b)

c) d)

e)

f)

g) h)

j)

k)

l)

m)

5. Extrae factores de las siguientes raíces:

a) b) c) d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

3 58a k) 4 956 cba l)

5 106ba

m) n)

ñ)

o)

6. Introduce el factor dentro de la raíz:

a) b) c) d)

e)

f)

g)

h) 7. Expresa mediante un solo radical:

a) 3 b) aa c) 5 xx d) 3 aaa

e) 3

1 f)

a

a g)

2

1 h)

3 2

2

8. Simplifica:

a) 318

12

a

a b) 3

3

4

81

8

b

a c)

2

1

23

21

a

a d) 6 127729 ba



Reducción a índice común.

Ejemplo: Reducir a índice común los siguiente radicales:

.

Lo primero que se hace el hallar el mínimo común múltiplo de los índices. En nuestro caso m.c.m.(2,3,4)=12. A continuación escribimos todas las raíces con este índice dividiendo 12 (que es el índice común) entre cada índice y elevando el radicando al número obtenido, con lo

que el resultado es:

.

9. Reduce a índice común:

a)

b)

c)

Producto y división de raíces. Solo se pueden multiplicar (y dividir) raíces con el mismo índice. Para multiplicarlas (o dividirlas) se escribe una sola raíz y dentro el producto (o división) de los radicandos. 10. Calcula y simplifica:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

Suma de raíces. Solo se pueden sumar raíces que sean iguales. Por tanto si tenemos que sumar raíces diferentes previamente hay que simplificarlas (descomponiendo en factores los radicandos y extrayendo factores), y cuando sean iguales ya podremos sumarlas. 11. Suma:

a) b)

c) d)

e) f)

g)

h)

i)

j)

k)

l) 3

m)

n)

Racionalización.



Racionalizar una fracción con raíces en el denominador es hallar otra fracción equivalente a ella pero que no tenga raíces en su denominador.

1ercaso. Solo hay una raíz cuadrada en el denominador. Se multiplican numerador y denominador por esa raíz, se opera y se simplifica.

Ej.

Ej.

2º caso. Hay una raíz de índice distinto de 2.

Ej.

3er caso. Hay sumas o restas de raíces en el denominador. En este caso se multiplicas numerador y denominador por el conjugado del denominador, se opera y se simplifica.

Ej.

Ej.

12. Racionaliza

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m) 23.2

32

n) 34

123

ñ) 223

232

o) 32

33

p) 7 42

3 q)

5 75

3 r) 225

210

s) 3223

342

13. Calcula y simplifica:

a) ( 3 - 6 ) · ( 3 + 6 )= b) (2 – 3 6 ) 2 =

c) 3 (2 6 - 4) – 2 2 = d) 2 3 (5- 2 3 ) – 2 12 =

e) 3 3 + 2 3 (3 – 3 3 )= f) 2 23

43.2

+ 3 12 -4 3 =

g) 55

256- 3 2 (2 - 5 ) = h)

332

3.23

+ 4

36

323

=

i)

j)

k) l)

m)

n)



14. Opera y simplifica:

a) 23·23 b) 324·523 c) 1052·1052

d) 6 43 54 3 ·· aaa e) 33 · baab f)

33 2 2·3 abba

g) 32·32322

h) 542·54253·53

j) 2

1

4 81714

k)

2

169

xx l) 3:

3

1·

3

1·81

844

1

m) 63 5·5 n) 2·23 2

ñ) 5 25 33·3

o) 3 5

1

55

1

p) 39 9

1

3

1

q) 25

3

15

2

r) 520

82

s) 3

6 3

33 1:

xxx

xxx t)

a

a

a

a

a

a

11

11

t) a

a

a

a

2222

u)

v)

15. Comprueba si son verdaderas las siguientes igualdades:

a) 7616732

b) 55102555 42

4

c) 442549·2549 44 d) 22

3713

35

32



1.4 Logaritmos Sea a > 0 y . Se llama logaritmo en base a de un número x al exponente al que hay que elevar a para obtener x, es decir,

1. Calcula los siguientes logaritmos:

)243(log3 log2(8) = log5(125) = log10(1000) =

)00001,0log( log2(1/8)=

)125'0(log2 )27(log3 )28(log

21

)125,0(log8

2. Calcula los logaritmos en base 2 de los números -4, 2, 1/8, 1024,

y 0,5. A partir de la definición es claro que el logaritmo en cualquier base de 1 es igual a 0, es decir, . A los logaritmos de base 10 se les llama logaritmos decimales y se escriben log(x). A los logaritmos de base “e” se les llama logaritmos neperianos y se escriben ln(x). 3. Calcula el valor de: Propiedades de los logaritmos:



4. Halla el valor de A:

5. Desarrolla las siguientes expresiones:

2

52

3

··log

d

cba

=

5 32·

·log

zy

xx

1000

·3ln

4 63 a

2

3

2

·100log

z

yx

= Cambio de base Hay ocasiones en las que es difícil hallar el logaritmo de un número, al no ser éste una potencia exacta de la base. En este caso se usa el “cambio de base” para relacionar logaritmos de bases cualesquiera mediante la siguiente fórmula:

Lo más normal es considerar b = 10 o b = e, ya que los logaritmos decimales y los neperianos son los que aparecen en las calculadoras. 6. Usando la calculadora halla los siguientes logaritmos:

7. Halla el valor de:

)43(log 25

)45(log3 8. Calcula el valor de ”x”:

5)(log3 x 1)(log2 x

3)4(log3 x

2)2(log5 x

1)3(log x



5)2(log x 2)9(log3 x

2)4(log 4

2 x

2)27(log 43

3 x

10248 x

10248 2 x

2)1log( x 5)32(log x

9. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:

39

822

13

x

x

55

132

1

x

x

x

x

3

13

2

12 2


629)

1943)

1

12

x

x

b

a

024)

328·2)

3

3

x

x

d

c

39

1)

22)

2

13

x

x

f

e


8

12)

243) 3

x

x

b

a

63·8)

19.3)

x

x

d

c

325)

14·2

1)

2

2

x

x

f

e

12. Algunas de las siguientes ecuaciones puede no tener solución. Encuéntralas:

221)

279·3)

1

22

x

xx

b

a

27

19·3)

18.2)

12

2

x

x

d

c

105.2)

273

1)

3

21

x

x

f

e

13. Resuelve de cabeza las siguientes ecuaciones logarítmicas:

1002

log

4)(log2

x

x

21log

9)2(log

4

3

x

x

0)(log

513log

8

5

x

x

14. Resuelve ahora las siguientes ecuaciones logarítmicas:

33log.3)

04

2log3)

3)50log()(log)

3

xc

xb

xa

2

1)12(log1)

04

1log.2)

1)2(log)

2

3

5

xf

xe

xd

)310log(log.2)

213log)

0)2(log2

1)

2

2

xxi

xh

xg



Interés compuesto. Un capital se deposita a interés compuesto cuando se acumulan al mismo los intereses al final de cada período de liquidación (año, mes, trimestre, día,…). De esta forma los intereses acumulados pasa también a producir réditos al final del siguiente período de liquidación. El capital final en que se convierte un capital inicial C colocado a un interés compuesto del R anual durante t años viene dado por la expresión:

Donde

1. Si se deposita un capital de 5000 € al 4% de interés compuesto anual, ¿En cuánto se habrá convertido al cabo de 3 años?

2. Un capital de 10000 € al 3 % de interés compuesto anual, en 4 años se transforma en …

3. Un banco ofrece un interés al 3% pagadero anualmente para los capitales ingresados al abrir una cuenta de ahorro. ¿Cuántos años han de estar colocados para que se duplique el capital ingresado?

4. ¿Qué capital debe imponerse a un interés compuesto del 5% para convertirse al cabo de un año en un capital de 10000 €?

5. ¿A qué tanto por ciento debe imponerse un capital para duplicarlo en 15 años?

6. Si deposito 20000 € al 10 % anual, ¿cuánto dinero tendré al cabo de 18 años?

7. ¿A qué tanto por ciento anual hay que colocar 50000 € para que se conviertan en 182124 € al cabo de 15 años?

8. ¿Cuánto tiempo hay que depositar un capital al 4% de interés compuesto para triplicarlo?