Z¶rzavaros bevezetés a sztochasztikus analízisbe

közgazdászok számára1

Medvegyev Péter

2008. április 14.

1A jelenlegi anyag viszonylag hosszú id® alatt született. Vagy tíz éve egy pár oldalas el®adásjegyzetként

látta meg a napvilágot, majd évr®l évre b®vült. Ezt a verziót többé-kevésbé véglegesnek gondolom.

Tartalomjegyzék

1. Sztochasztikus folyamatok 5

1.1. Wiener-folyamatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.1. A Wiener-folyamatok nem korlátosak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.2. A Wiener-folyamatok trajektóriáinak megfordítása . . . . . . . . . . . . . . 91.1.3. A Wiener-folyamatok nem deriválhatóak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2. Poisson- és Lévy-folyamatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.1. Poisson-folyamat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.2. Lévy-folyamatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.3. Bolyongások, kompenzált Lévy-folyamatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.4. Markov-láncok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3. A tökéletes véletlen: martingálok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3.1. Filtráció és martingálok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3.2. Exponenciális martingálok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.3.3. Függetlenség, korrelálatlanság, martingálok . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.3.4. Lokális martingálok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2. Sztochasztikus integrálás 27

2.1. Korlátos változású folyamatok szerinti integrálás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.1.1. Riemann-integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.1.2. NewtonLeibniz-szabály . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.1.3. Stieltjes-integrálás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.1.4. Korlátos változású függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.1.5. Sztochasztikus Stieltjes-integrálás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.2. Itô-féle sztochasztikus integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.2.1. Kvadratikus variáció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.2.2. Martingálok kvadratikus variációja, kompenzátorok . . . . . . . . . . . . . 422.2.3. Martingálok szerinti Itô-integrálás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.2.4. Sztochasztikus integrálok kvadratikus variációja . . . . . . . . . . . . . . . 482.2.5. Asszociativitási szabály . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.2.6. Lokális martingálok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.2.7. Szemimartingálok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3. Itô-formula 54

3.1. Itô-formula mint a NewtonLeibniz-szabály általánosítása . . . . . . . . . . . . . . 543.1.1. Másodrend¶ közelítések, kvadratikus variáció . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.1.2. Itô-formula alkalmazása várható értékek kiszámolására . . . . . . . . . . . . 563.1.3. Itô-formula id®t®l függ® transzformációs függvény esetén . . . . . . . . . . . 593.1.4. Lineáris sztochasztikus dierenciálegyenletek . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.2. FeynmanKac-formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.2.1. Parciális és sztochasztikus dierenciálegyenletek . . . . . . . . . . . . . . . 623.2.2. A derivatív árazás alapképlete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.2.3. Példák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

1

TARTALOMJEGYZÉK 2

4. Girszanov-formula 70

4.1. Mértékcsere megadása s¶r¶ségfüggvénnyel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.2. Girszanov-formula Wiener-folyamatok esetén . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.3. Girszanov-formula lokális martingálokra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5. Kvadratikus variáció és arbitrázs 81

5.1. A BlackScholes-formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.1.1. Az árazási képlet levezetése parciális dierenciálegyenlettel . . . . . . . . . 815.1.2. Az árazási formula levezetése mértékcserével . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.1.3. A nincsen arbitrázs elv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.1.4. A piac teljessége . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.2. Frakcionális Wiener-folyamat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.2.1. Itô-lemma frakcionális Wiener-folyamat esetén . . . . . . . . . . . . . . . . 905.2.2. BlackScholes-modell frakcionális Wiener-folyamat esetén . . . . . . . . . . 91

6. Függelék: A feltételes várható érték 93

6.1. Valószín¶ségi változók várható értéke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936.2. Regressziós függvény . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956.3. Feltételes várható érték . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

7. Ellen®rz® feladatok 107

TARTALOMJEGYZÉK 3

A sztochasztikus analízis, más néven sztochasztikus kalkulus célja a klasszikus dierenciálszámí-tás kiterjesztése sztochasztikus folyamatokra. Az elmélet alapgondolatai igen egyszer¶ek, de azegyszer¶ alapötletek technikai megvalósítása nagyon körülményes és nehézkes. A gyelmes olvasóalább több helyen is joggal nehezményezheti a matematikai pontosság teljes hiányát. Integrá-lokat véges összegekkel helyettesítünk, nem teszünk különbséget a konvergenciafogalmak között,az integrálok mögé bederiválunk, az integrálok sorrendjét minden megfontolás nélkül felcseréljük,általában nem teszünk különbséget lokális martingál és martingál között stb. Ezek súlyos ma-tematikai hibák, és az alább bemutatott állítások jelent®s része a megfogalmazás pontatlanságamiatt matematikailag nem is igaz, de a probléma szabad szemmel remélhet®leg azért nem látható.Azt gondolom, hogy egy bevezet® pénzügyi matematikai kurzus során a precizitás magasabb fokainkább káros, mint hasznos lenne. Minden heurisztikus megközelítés nagy hibája, hogy amennyi-ben az érdekl®d® olvasó mégis meg akarja érteni a pontos gondolatmenetet bajba kerülhet, ugyanisa heurisztikus gondolatmenet durván hibás lehet. Miként ismert minden nehéz problémának vanegy világos és egyszer¶, de hibás magyarázata. Határozottan jelezni szeretném, hogy az alábbibizonyítások egyikébe sem szabad túlságosan belegondolni. Az elmélet pontos bemutatása na-gyon messze vezetne, és meg vagyok gy®z®dve arról, hogy már a tényleges utazás el®készítése ismeghaladná a rendelkezésre álló id®keretet. A tételek pontos alakja, illetve a bizonyítások meg-találhatóak a Valószín¶ségszámítás és a Sztochasztikus analízis cím¶ könyveimben. Önkritikusanmegjegyzem, hogy remélem a hozzáért® olvasó nem fogja a fejemre olvasni az alább leírtakat,és elfogadja azt a véleményemet, hogy egy átlagos matematikai felkészültséggel rendelkez® köz-gazdász hallgató számára a sztochasztikus analízis tárgyalásakor a matematikailag közelít®leg isprecíz stílus teljesen lehetetlen. Ugyanakkor azt gondolom, hogy az itt leírtak megértése segíthetiaz érdekl®d® olvasót a pontos matematikai elmélet megértésében és megemésztésében, ugyanis haheurisztikusan is, de azért a helyes irányba orientálja az olvasót. Másképpen fogalmazva remélemazért kárt nem teszek avval, hogy a matematika tényeit némiképpen lazán interpretálom és idézem.

A pénzügyi matematika kulcs eszköze az Itô-formula. A pénzügyi könyvekben legtöbbször idézettalakjában a formula meglep®en, talán túlzottan is bonyolult, számomra legalábbis nagyon nehe-zen megjegyezhet®. Valójában azonban, a tárgyalás során szándékosan mell®zött nem csekély aprótechnikai problémáktól eltekintve, a formula igen egyszer¶en igazolható, de ami jóval fontosabb atartalma könnyen megérthet® és megjegyezhet®. A formula megértésének kulcsa, mint általábana matematikában, a megfelel® néz®pont megválasztása. Ha hajlandók vagyunk az absztrakcióslétrán egy kicsit feljebb mászni és hajlandók vagyunk a sztochasztikus analízis bizonyos álta-lános kérdéseit megfontolni, akkor az egyébként homályos kép azonnal kitisztul. Vagy legalábbisremélem, hogy kitisztul. Az Itô-formula számos olvasattal rendelkezik: Az alábbiakban a NewtonLeibniz-szabály általánosításaként tárgyaljuk. Az általánosítás oka, hogy a tiszta véletlen hatásárakialakuló folyamatok által befutott pályák, matematikailag igen komplexek. A pénzügyi matema-tika kiindulópontja, hogy a kiélezett piaci verseny hatására a pénzügyi eszközök áralakulását leíróábrák helyes matematikai absztrakcióját olyan folyamatok alkotják, amelyek a szokásos zikaiszemlélettel ellentétben nem rendelkeznek véges úthosszal, csak a folyamat úgynevezett kvadra-tikus variációja, négyzetes megváltozása véges1. A négyzetes megváltozás pozitivitása két kö-vetkezménnyel bír: egyrészt a NewtonLeibniz-formulában megjelenik az Itô-formulában szerepl®nevezetes másodrend¶ korrekciós tag, másrészt a folyamatokban nincsen arbitrázs. Az arbitrázshiánya, mint alapvet® pénzügyi feltétel a piaci folyamatok hatékonyságát jellemz®, közgazdasági,pénzügyi észrevétel. A piacon azért nincsen arbitrázs, mert a piac az információt azonnal és töké-letesen feldolgozza. Ami a hatékony információfeldolgozás után megmarad az tökéletesen véletlen,fehér zaj, amib®l, a tökéletes véletlen deníciója miatt, nem lehet pénzt csinálni. Matematikailaga tökéletes véletlen által indukált mozgás annyira bonyolult, hogy csak a folyamat kvadratikusvariációja lesz véges. Másképpen fogalmazva, ha nincs kvadratikus variáció, akkor van arbitrázs,és akkor befektetéselemzés mint önálló tevékenység szükségtelen és értelmetlen. Némiképpen el-túlozva: a befektetéselemz®k azért kapják a zetésüket, hogy a pénzügyi életben kezeljék azokat

1A kvadratikus variáció, illetve a négyzetes megváltozás azonos fogalmak. A kvadratikus variáció az angolterminológia közvetlen átvétele, a négyzetes megváltozás már az 1.0-ás magyarított verzió. V.ö.: fájl, állomány.

TARTALOMJEGYZÉK 4

a komplikációkat, amelyeket a kvadratikus variáció pozitivitása okoz. Nincs kvadratikus variáció,nincs állás, és lehet menni a híd alá aludni2. A befektetéselemz®k kenyéradó gazdája a kvadra-tikus variáció! Bár alább közvetlenül nem jelenik meg, a háttérben egy nagyon jól megértett éstisztázott matematikaipénzügyi állítás húzódik meg: az eszközárazás alaptétele. Az eszközárazásalaptétele szerint egyrészt ha valamely piacon nincsen lehet®ség arbitrázsra, akkor az alapul vettfolyamat úgynevezett szemimartingál, másrészt a piacon pontosan akkor nincsen arbitrázs, ha al-kalmas valószín¶ség, az úgynevezett kockázatmentes valószín¶ség mellett, az alapfolyamat lokálismartingál3. Minden, nem azonosan konstans, lokális martingál kvadratikus variációja pozitív. Aszemimartingálnak nevezett folyamatosztály tagjai deníció szerint két folyamat összegére bont-hatóak: az egyik folyamat teljes megváltozása véges, a másik tag pedig lokális martingál, így anégyzetes megváltozása véges4. Az Itô-formula talán legjobb olvasata, hogy a szemimartingálokosztálya zárt a kétszer folytonosan deriválható függvényekkel való transzformációra nézve. AzItô-formula megadja, hogy miként módosul az eredeti szemimartingál említett két komponensea formulában szerepl® függvénytranszformáció hatására: Ha valamely lokális martingált belete-szünk egy kétszer folytonosan deriválható függvénybe, akkor a transzformált folyamat felbontásátmagadó Itô-formulában szerepl® Itô-féle sztochasztikus integrál a transzformáció során kapottszemimartingál lokális martingál része, miközben a formulában szerepl® másodrend¶ korrekcióstag teljes megváltozása véges.

2Vegyük észre, hogy bár Budapest sok szép híddal rendelkezik, a hidak alatt legfeljebb egy évfolyamnyi befek-tetéselemz® férne el. Mivel a legtöbb befektetéselemz®nek van állása ezért az empirikus tapasztalat azt mutatja,hogy a kvadratikus variáció a gyakorlatban is pozitív. Vagy talán mégse? Lehet, hogy a matematika és a pénzügyigyakorlat kölcsönhatása bonyolultabb? Annyi azonban igaznak t¶nik, hogy a kvadratikus variáció megértése nemrontja az álláshoz jutás esélyeit. Azért ez is valami.

3Bizonyos szempontból a sztochasztikus analízis megértésének kulcsa a borzalmas terminológia elfogadása éstudomásulvétele. Sajnos szinte minden tudományra és áltudományra jellemz® a nagykép¶ terminólógiai használata.Azért legyünk ®szinték: a short call opcióra való hivatkozás legalább annyira pofátlan blabla mint a szemimartingál.Általános szabályként elmondható, hogy egy terület annál kevésbé tudományos minnél zavarosabb és nagykép¶bb aterminológiája. A sztochasztikus analízis azonban ez alól kivétel. A borzalmas terminológia egyik oka, hogy a területigencsak nem rég, és meglehet®sen váratlanul, került ki a világ vezet® matematikusainak egy sz¶k szektájának kezeközül. Az alapító atyák nem igazán számítottak arra, hogy valaha ezekkel a fogalmakkal a sz¶k szektatagokon kívülbárki is foglalkozni fog.

4Hogy ez mit jelent az alábbiakból remélem világos lesz. Sajnos a terminológia történelmileg alakult ki, ígynem tökéletes. Jobb lenne, ha a teljes megváltozás helyett els®rend¶ megváltozást írhatnánk, vagyis azt mond-hatnánk, hogy minden szemimartingál két folyamat összegére bontható: az els®nek az els®rend¶, a másodiknak amásodrend¶ megváltozása véges. Vigyázni kell azonban, nem minden folyamat, amelynek a négyzetes megváltozásavéges lesz lokális martingál. A szemimartingálok felbontásában a kvadratikus variációval rendelkez® tagnak lokálismartingálnak kell lenni.

1. fejezet

Sztochasztikus folyamatok

Ebben az els® fejezetben röviden áttekintjük a sztochasztikus folyamatok elméletének néhány

alapfogalmát. Bevezetjük a Wiener és Poisson-folyamatokat és a martingálokat.

Sztochasztikus folyamaton mindig kétváltozós függvényt értünk. Az egyik változó, amit általábant vagy s jelöl, az id®; a másik, amit általában ω jelöl, véletlen, ismeretlen paraméter, amelya lehetséges értékeit egy (Ω,A,P) valószín¶ségi mez®b®l veszi fel. Bizonyos szempontból nagyonzavaró, de ugyanakkor igen indokolt konvenció, hogy az ω argumentumot általában elhagyjuk. Ha aképletet a szövegkörnyezetb®l kiragadjuk, nem világos, hogy egyszer¶ skalárról, vagy valószín¶ségiváltozóról van-e szó. A folyamatot úgy célszer¶ elképzelni, hogy a t = 0 id®pontban kiválasztásrakerül az ω véletlen kimenetel értéke, és ami meggyelhet®, az az ω rögzítése mellett keletkez®t 7→ ξ (t, ω) úgynevezett trajektória, vagyis a folyamat realizációja az ω kimenetel megvalósulásaesetén1. A sztochasztikus analízis nehézségei abból származnak, hogy az érdekes esetekben at 7→ ξ (t, ω) trajektóriák igen széls®séges matematikai tulajdonságokkal rendelkeznek. Általábandurván nem folytonosak, tele vannak szakadásokkal, kisebb nagyobb ugrásokkal.

A sztochasztikus folyamatok általános elmélete, vagyis amikor ugrásokat és szakadásokat is meg-engedünk igen nehéz, így az alábbiakban csak a folytonos sztochasztikus folyamatok elméletévelfoglalkozunk. Folytonosságon azt értjük, hogy feltételezzük, hogy a trajektóriák folytonos függvé-nyek. A folytonosság igen szigorú megkötés, a pénzügyi tapasztalat azt mutatja, hogy a legtöbbmeggyelt sztochasztikus folyamat nem folytonos. Pontosabban a folytonos folyamatok számos, apénzügyi gyakorlatban meggyelt jelenséget nem megfelel®en modelleznek. Ennek ellenére a ma-tematikai tárgyalás egyszer¶sége céljából a folytonosság feltételét alább lényegében mindig megfogjuk követelni2.

1.1. Wiener-folyamatok

A leghíresebb3 folytonos sztochasztikus folyamat a Wiener-folyamat , pontosabban a Wiener-folyamat típusú folyamatok családja.

1Természetesen a meggyel® nem tudja, hogy melyik ω kimenetel lett kiválasztva. A trajektória meggyelésesorán az id® el®rehaladtával egyre több információhoz jutunk és az ω kimenetelt egyre pontosabban meg tudjukbecsülni. Talán a legszerencsésebb példa a következ®: Tegyük fel, hogy a [0, 1] szakasz egy pontját a t = 0id®pontban kiválasztjuk. Tegyük fel, hogy a kapott számot bináris formában írjuk fel, és hogy az id® múlásátdiszkrét id®pontokkal ábrázoljuk. Tegyük fel továbbá, hogy az id® el®rehaladtával minden id®pontban megtudjuka a t = 0 id®pontban kiválasztott szám egy újabb bináris számjegyét. Természetesen az id® múlásával egyre többettudunk meg a számról, de minden id®pontban az új számjegy meglepetés lesz számunkra. Ez a modell ekvivalensavval hogy minden id®pontban egy fej vagy írás játékkal egy újabb számjegyet írunk a korábbi számjegyek mögé.

2Ett®l azonban a matematikai tárgyalás nem lesz sokkal egyszer¶bb, ugyanis a folytonos sztochasztikus folyama-tok általában nem deriválhatóak, és alább némi túlzással nem deriválható függvényekre akarunk dierenciálszámítástcsinálni.

3A folyamat méltán híres. A Wiener-folyamat a matematikusok, és reméljük a pénzügyesek egyik kedvence.

5

1.1. WIENER-FOLYAMATOK 6

1.1 Deníció.Valamely w (t, ω)t≥0 sztochasztikus folyamat Wiener-folyamat, ha teljesíti az alábbi öt feltételt:

1. w (0) ≡ 0,

2. a w növekményei függetlenek4,

3. a w stacionárius növekmény¶, vagyis a w (t+ h) − w (t) növekmény eloszlása csak a h-tólfügg és nem függ a t-t®l,

4. tetsz®leges 0 ≤ s < t értékekre5

w (t)− w (s) ∼= N(0,√t− s

),

5. a w folytonos abban az értelemben, hogy minden ω kimenetelre a t 7→ w (t, ω) trajektóriafolytonos.

Más szavakkal, a [0,∞) id®intervallumon értelmezett w folytonos trajektóriájú, független és sta-cionárius növekmény¶ folyamatot Wiener-folyamatnak mondjuk, ha minden t id®pontban a w (t)eloszlása N

(0,√t).

Mivel a Wiener-folyamatok összes véges dimenziós eloszlása normális, ezért a Wiener-folyamatokGauss-folyamatok6. Érdemes hangsúlyozni, hogy a Wiener-folyamatokat deniáló feltételek szo-rosan összefüggnek, és nem azonos súlyúak. Például a negyedik feltétel szerint a növekményekeloszlása normális. Megmutatható7, hogy ez következik a trajektóriák folytonosságából, illetve anövekmények függetlenségéb®l8. A szórásra tett feltétel, a normalizáló konstanstól9 eltekintve, astacionaritás feltételével azonos. Ugyancsak hangsúlyozni kell, hogy a Wiener-folyamat elnevezéspontatlan. Helyesebb lenne Wiener-típusú folyamatokról beszélni. A Wiener-folyamat fogalmaemlékeztet az eloszlás, például a normális eloszlás fogalmára. Számos különböz® valószín¶ségiváltozó létezik amely normális eloszlású. Ha ξ standard normális eloszlású, akkor az η $ −ξ isstandard normális eloszlású és triviálisan a ξ = η esemény valószín¶sége nulla. Hasonlóan, haw Wiener-folyamat, akkor az u $ −w folyamat is Wiener-folyamat, és annak a valószín¶sége,hogy valamely t id®pontban w (t) = u (t) ismételten nulla. Két folyamat akkor különböz®, haa folyamatot megadó kétváltozós függvények különböz®ek. Természetesen két függvény triviá-lisan különböz®, ha az értelmezési tartományuk különböz®. Számos olyan matematikai konst-rukció létezik, amely segítségével Wiener-folyamat készíthet®. A különböz® konstrukciókban afolyamatot hordozó (Ω,A,P) terek általában különböz®ek, így természetszerüleg a folyamatok iskülönböz®ek. A sztochasztikus analízis talán legszebb állításai azok, amelyek valamely bonyolultkonstrukció eredményér®l azt állítják, hogy a folyamat Wiener-folyamat, vagy folyamatok szélesosztályára megadják azokat a további feltételeket, amelyek garantálják, hogy a folyamatosztályelemei Wiener-típusú folyamatok lesznek.

4Vagyis ha t1 < t2 < · · · < tn tetsz®leges id®pont sorozat, akkor a ∆w (tk) $ w (tk) − w (tk−1) növekményekfüggetlenek. Megjegyezzük, hogy a ξ és az η valószín¶ségi változókat függetlennek mondjuk, ha tetsz®leges A ⊆ Rés B ⊆ R esemény esetén az ω : ξ (ω) ∈ A és az ω : η (ω) ∈ B események függetlenek, vagyis P (ξ ∈ A, η ∈ B) =P (ξ ∈ A) P (η ∈ B). A feltétel úgy is fogalmazható, hogy az együttes eloszlásfüggvény a peremeloszlások szorzatárabontható.

5A ∼= egyenl®ségen azt értjük, hogy a két oldal eloszlása azonos.6Gauss-folyamaton olyan ξ (t, ω) sztochasztikus folyamatot értünk, amelyre tetsz®leges (tk) véges számú id®pont

esetén a (ξ (tk)) véletlen vektor normális eloszlású.7Viszonylagosan nehéz tételr®l van szó. Az irodalomban szokás jelezni, hogy az állítás a centrális határeloszlás-

tételb®l következik. Ez igaz, de az összefüggés nem jön ki a centrális határeloszlás-tétel elemi alakjából.8Ez is mutatja, hogy a trajektóriák folytonosságára tett feltétel igen szigorú. A pénzügyi adatsorok esetén széles

körben meggyelt vastag farok jelenség nehezen illeszthet® össze a folytonossági feltétellel.9Vagyis hogy a szórás éppen

√t-vel és mondjuk nem 2

√t-vel n®.

1.1. WIENER-FOLYAMATOK 7

1.1.1. A Wiener-folyamatok nem korlátosak

Fontos, hogy viszonylagosan pontos képünk legyen a Wiener-folyamatok legalapvet®bb kvalitatívtulajdonságairól.

El®ször vizsgáljuk meg a folyamat globális10 tulajdonságait. A normális eloszlás legalapvet®bbtulajdonságai miatt tetsz®leges t-re a folyamat nagy valószín¶séggel a ±3

√t parabola által leírt

tartományban ingadozik. A normális eloszlás jórészt középen ingadozik és bár el®fordulhatnaknagyon nagy értékek is, annak a valószín¶sége hogy egy adott t-re a ±3

√t parabolán kívül találjuk

megunkat nagyon kicsi11. Ha úgy tetszik tetsz®leges id®pontban a parabolán kívüli meggyelésekel®fordulása gyakorlati szempontból elhanyagolható. Másképpen fogalmazva nem követünk elnagy hibát, ha minden véges és x id®pontban az eloszlás tartóját korlátosnak képzeljük el.

A trajektóriák globális viselkedését leíró pontos állítást az úgynevezett iterált logaritmusok12

tétele tartalmazza, amely szerint

P(

lim inft→∞

w (t)√2t ln ln t

= −1)

= P(

lim supt→∞

w (t)√2t ln ln t

= 1)

= 1.

Emlékeztetünk, hogy deníció szerint valamely függvény vagy sorozat limesz inferiorja, illetvelimesz szuperiorja a torlódási pontok közül a legkisebbet, illetve a legnagyobbat jelenti. Példáulaz

an $ (−1)n(

1 +1n

)sorozat limesz szuperiorja 1 a limesz inferiorja −1. Vegyük észre, hogy a sorozat, illetve a függvényértékei egy id® után a limesz szuperior és a limesz inferior által el®írt szakasz tetsz®legesen kicsi,de azért pozitív sugarú, környezetében fog ingadozni. Az imént említett (an) sorozat esetén asorozat tagjai elég nagy n indexre az (−1− ε, 1 + ε) szakaszon belül fognak elhelyezkedni. Vagyisa sorozat a végtelenben lényegében a limesz superior és a limesz inferior között ingadozik. Atorlódási pont tulajdonság miatt tetsz®legesen kicsi ε > 0 megengedett hiba esetén a sorozat tagjai,vagy függvény esetén a függvény értékei egy id® után a limesz inferior, illetve a limesz szuperior köréírt ε széles környezetbe végtelen sokszor visszatérnek. Ugyanakkor mondjuk a limesz szuperiortdeniáló maximalitási megkötés miatt a limesz szuperiornál nagyobb érték már nem rendelkezikevvel a tulajdonsággal. Vagyis egy id® után a sorozat minden értéke a limesz szuperiornál egytetsz®legesen kicsivel nagyobb, de azért rögzített, érték alatt fog elhelyezkedni. Természetesenaz ε csökkenésével esetlegesen egyre ritkábban fog a sorozat a limesz szuperior, illetve a limeszinferior közelébe visszatérni, illetve egyre kés®bbi id®pontoktól kezdve fog a kifejezés a két értékáltal meghatározott sávban elhelyezkedni, de egy id® után a sorozat ingadozása ε pontosággal alimesz inferior és a limesz szuperior között lesz.

Az iterált logaritmusok tétele szerint tetsz®leges ε > 0 esetén a trajektóriák a végtelenben egyvalószín¶séggel13 a −

√2t ln ln t− ε és

√2t ln ln t+ ε görbék által leírt tartományban tartózkodnak

amely tartománynak a korábban említett ±3√t parabola egy durva bár igen szemléletes és

praktikus közelítése. Kicsi t értékekre a ±3√t tartomány b®vebb mint a ±

√2t ln ln t pontok

által megadott tartomány, de nagyon nagy t értékekre ±√

2t ln ln t pontok által leírt tartományb®vebb mint a ±3

√t pontok által leírt parabola. A két görbe a

t = exp(

exp(

92

))∼ 1, 2× 1039

10Miként alább látni fogjuk a folyamat lokális és globális tulajdonságai szorosan összefüggnek.11A 3 konstansnak nincsen jelent®sége. Egyszer¶en a statisztikában szokásos három szigma szabályra utalunk. De

bárki gondolhat a négy vagy akár hét szigma szabályra is. Az alábbikban a lényeg az, hogy tetsz®leges, elegend®ennagy a-ra a ±a

√t parabola nagy valószín¶séggel tartalmazza a trajektórákat, ugyanakkor a trajektóriák ebb®l a

parabolából elegend®en hosszú id® alatt id®nként egy valószín¶séggel kilépnek.12Az iterált logaritmusok elnevezés a képletben szerepl® ln ln kifejezés indokolja. Vagyis venni kell a t logaritmu-

sának logarimusát. Már maga a logaritmus függvény is elképeszt®en lassan n®. (Ugyanis az exponenciális függvényelképeszt®en gyorsan n®.) Az iterált logarimus függvény, elég nagy t értékekre "szabad szemmel nézve" nem n®,szinte állandó.

13Az egy valószín¶séggel kitétel azt jelenti, hogy azok a trajektóriák, amelyekre a feltétel nem teljesül nullavalószín¶séggel következnek be.

1.1. WIENER-FOLYAMATOK 8

pontban metszi egymást.2

Miközben véges id®horizonton a trajektóriák lényegében egy x korlát alatt maradnak14 végtelenid®horizonton a trajektóriák korlátlanok. Ha a kimenetelek valamely A halmazán a w trajektóriáikorlátosak lennének, akkor a w (t) /

√t ∼= N (0, 1) eloszlású változók sorozata az A halmazon nul-

lához tartana15, vagyis elég nagy t-re az A valószín¶ség közel nulla lenne, ami csak úgy lehetséges,ha az A valószín¶sége már eredend®en nulla. Némiképpen pontosabban érvelve vegyük észre, hogyA = ∪nAn, ahol az An halmaz azokból a kimenetelekb®l áll, amelyekre az n természetes száma trajektória abszolút értékének egy fels® korlátja, ugyanis az A halmaz a korlátos trajektóriákhalmaza és minden korláthoz van olyan n természetes szám, amely nagyobb nála. Nyilván azösszes n-re az An nem lehet nulla valószín¶ség¶, ugyanis akkor az egész A halmaz valószín¶ségeis nulla lenne, mi pedig feltettük, hogy az A valószín¶sége pozitív. Legyen δ tetsz®leges. Ha a telég nagy, akkor n/

√t ≤ δ. Ilyenkor

0 < P (An) ≤ P(∣∣∣∣w (t)√

t

∣∣∣∣ ≤ δ) = P (|N (0, 1)| ≤ δ) .

A jobb oldalon álló valószín¶ség a δ alkalmas megválasztásával tetsz®legesen kicsi lehet, ami lehe-tetlen,ugyanis a bal oldalon egy x pozitív szám van. Az így kapott ellentmondás miatt a P (A)valószín¶ség nulla16. Mivel egy igen fontos észrevételr®l van szó közvetlenül is kimondjuk:

1.2 Állítás.Egy valószín¶séggel a Wiener-folyamatok trajektóriái nem korlátosak.

Az, hogy a w trajektóriái nem korlátosak csak a nem korlátossággal kapcsolatos megfontolásokegyik fele. Mivel minden Wiener-folyamat szimmetrikus, például a felülr®l való nem korlátoságbólkövetkezik, hogy a trajektóriák sem alulról sem felülr®l nem korlátosak, vagyis az id® el®reha-ladtával egy valószín¶séggel minden trajektória egyre nagyobb pozitív és egyre nagyobb abszolútérték¶ negatív számot is felvehet.

Összefoglalva: nem követünk el nagy hibát, ha globálisan úgy képzeljük el, hogy valamely wWiener-folyamat t 7→ w (t) trajektóriái nagy valószín¶séggel ±3

√t parabola által megadott tar-

tományban bolyonganak miközben az id® el®rehaladtával végtelen sokszor kilépnek a parabolaáltal megadott tartományból17 Alul is meg felül is. A trajektóriák az id® el®rehaladtával szét-spricelnek, egyre nagyobb hullámokat alkotva bolyonganak a plusz és a mínusz végtelen értékekközött. Az id® el®rehaladtával a ±3

√t parabolából való kilépések nagysága és ennek megfelel®en

id®tartama egyre nagyobb lehet. A folyamat küÍs® burkolóját a ±3√t parabolától egyre távo-

lodó ±√

2t ln ln t görbék adják meg. Tetsz®leges ε > 0 szám esetén bizonyos id® eltelte után18 atrajektóriák az (

−√

2t ln ln t− ε,+√

2t ln ln t+ ε)

intervallumon belül helyezkednek el.

14Természetesen a feltételezett folytonosság miatt minden trajektória minden véges szakaszon önmagában kor-látos. Természetesen az egyes trajetóriák fels® korlátjainak a halmaza nem korlátos. Vagyis egy adott szakaszon,persze esetlegesen igen kicsi valószín¶séggel, akár mekkora nagy fels® korlát el®fordulhat. Az el®z® paragrafus szerintnagy valószín¶séggel", gyakorlati szempontból" a trajektóriák véges id®tartományon egyenletesen" is korlátosak.

15Ugyanis az A halmazon a számláló korlátos, a nevez® pedig végtelenbe tart.16A pontos indoklást az iterált logarimusok tételével is elvégezhetjük. Vegyük észre, hogy az iterált logaritmusok

tételében szerepl® hányados limesz szuperiorja 1, vagyis a hányados egyik torlódási pontja, nevezetesen a legnagyobb,éppen az 1, vagyis a számláló végtelen sokszor megegyezik" a nevez®vel, miközben a nevez® a plusz végtelenhez tart.A Wiener-folyamat szimmetrikus, így ugyanez igaz a mínusz végtelen oldalon is. Vagyis a trajektóriák alkalmassorozaton a plusz végtelenbe és valamely másik alkalmasan választott sorozaton pedig a mínusz végtelenhez tartanak.

17A Wiener-folyamatok trajektóriái nagy valószín¶séggel a parabolán belül haladnak. És minden rögzített tesetén praktikusan" fel is tehetjük, hogy a parabolán belül van. Ugyanakkor végtelen sokszor megkisérelve egykicsi, de azért pozitív valószín¶ség¶ eseményt végtelen számú bekövetkezést kapunk. Közgazdaságilag fogalmazva,egy forint nem túl nagy érték, de nagyon sok egy forintos nagyon nagy érték. Mindegy, hogy forint, dollár vagyeuró. Csak sok legyen bel®le! Másképpen, aki a kicsit nem becsüli, a nagyot nem érdemli.

18Az utolsó kilépési id® nagysága trajektória függ® és nyilván függ az ε számtól.

1.1. WIENER-FOLYAMATOK 9

A Wiener-folyamat korlátlanságának egy gyakran használt és idézett következménye az úgyneve-zett duplázási stratégia véges id® alatt való befejez®dése. Tegyük fel, hogy fej vagy írás játékotjátszunk és a kumulált nyereményt vizsgáljuk. Ha duplázva tesszük meg a téteket, akkor az n-ediklépés után a megtett tétek összege

1 + 2 + 4 + . . .+ 2n = 2n+1 − 1.

Ha az (n+ 1)-edik lépésben bejön a várva várt eredmény, akkor mivel az utolsó tét 2n volt, anyeremény a játék szabályai szerint ennek duplája 2n+1 lesz, és így a nettó nyereményünk

2n+1 −(2n+1 − 1

)= 1

lesz. Annak a valószín¶sége, hogy az n-edik lépésben bejön a kívánt érték éppen 2−n. Így tehátannak a valószín¶sége, hogy valamikor nyerünk

12

+14

+18

+ . . . = 1,

vagyis egy valószín¶séggel a duplázási stratégiához szükséges lépések száma véges. A fej vagy írásjáték nettó eredményét megadó folyamat nagyon hasonlít egy Wiener-folyamatra. Valójában aWiener-folyamat a faj vagy írás játék folytonos változata. Legyen a > 0 egy el®re megadottnyereségi szint. Vezessük be a következ® értéket

τa $ min t : w (t) ≥ a . (1.1)

Egy adott ω kimenetel esetén τa (ω) az els® olyan id®pont, amikor az a nyeremény, az ω kimenetelmegvalósulása esetén, már a zsebünkben van. Mivel a Wiener-folyamat trajektóriái nem korlá-tosak, ezért egy valószín¶séggel el®bb vagy utóbb mindig be tudjuk gy¶jteni az a nyereményt.Vagyis a Wiener-folyamat korlátlansága miatt a τa egy valószín¶séggel mindig véges. Másképpenfogalmazva, ha tetsz®leges sokáig tudunk játszani, akkor mindig nyerhetünk. Ez a modern ma-tematikai pénzügyek nyelvén kifejezve azt jelenti, hogy korlátlan er®forrással rendelkezve mindigvan arbitrázs stratégia. Másképpen fogalmazva az arbitrázs lehetetlensége csak akkor értelmes, hahozzátesszük, hogy véges er®forrás esetén nincsen arbitrázs. Az isteneket semmi sem korlátozza,így számukra van arbitrázs. Következésképpen számukra a pénz is érdektelen. Nem emlékszem rá,hogy valahol arról olvastam volna, hogy Zeusz a t®zsdei monItôrokat gyelte volna. Az arbitrázs,vagyis a könnyen való meggazdagodás vágya az emberi er®források sz¶kös voltának bizonyítéka19.

1.1.2. A Wiener-folyamatok trajektóriáinak megfordítása

Miként említettük, nem csak egy Wiener-folyamat van. Ezt a legegyszer¶bben úgy láthatjuk be,ha meggondoljuk, hogy ha a w Wiener-folyamat, akkor az u $ −w is Wiener folyamat. Ugyaniskielégíti a folyamatosztályt deniáló feltételeket. Sokkal érdekesebb a következ® példa:

1.3 Példa.Ha w Wiener-folyamat, akkor az u (t) $ tw (1/t) folyamat is Wiener-folyamat.

Ahhoz, hogy valami Wiener-folyamat legyen a folyamatnak teljesíteni kell a Wiener-folyamatotmint folyamatosztályt deniáló feltételeket. A példában gondot jelent, hogy a t = 0 id®pontbanaz u nincsen deniálva, így az u nem is lehet szigorú értelemben Wiener-folyamat. Ugyanakkora példa értelemszer¶en úgy értend®, hogy a t = 0 id®pontra az u folyamatot a határértékévelterjesztjük ki20. Els® lépésben tehát meg kell mutatni, hogy

limt0

u (t) $ limt0

tw

(1t

)= 0.

19Az arbitrázs hiánya elv tehát a mikroökonómiában tárgyalt sz¶kösségi elv sajátos megjelenése a pénzügyielméletben.

20Valahogy úgy, ahogy a sin xx

függvényt az x = 0 pontban az 1 értékkel deniálva folytonos függvényhez jutunk.

1.1. WIENER-FOLYAMATOK 10

Vegyük észre, hogy a határérték tulajdonképpen értelmetlen, ugyanis adott t mellett a w (1/t) az Ωtéren értelmezett függvény21, és függvények körében a határérték az elemi analízisben lényegébennincsen deniálva. Másképpen fogalmazva, ha függvények határértékér®l beszélünk, akkor mindigmeg kell mondani, hogy hogyan értjük a határértéket, ugyanis szemben a számokkal, illetve a végesdimenziós vektorokkal, a határérték a függvények körében nem egyértelm¶en deniált fogalom.Ebben a konkrét esetben a határérték úgy értend®, hogy az Ω egy olyan részhalmazán, amelyvalószín¶sége 1 a határérték létezik és értéke éppen 0. Ennek oka a következ®: Ha t $ 1/n, akkor

u (t) = u

(1n

)$w (n)n

.

A w (n) eloszlása N (0,√n) , és a w (n) tekinthet® n darab független N (0, 1) eloszlású valószín¶ségi

változó összegének. Másképpen

u

(1n

)$w (n)n∼=∑nk=1N (0, 1)

n,

ahol az összegben szerepl® tagok függetlenek. A nagy számok er®s törvénye szerint22 a kifejezés aközös N (0, 1) eloszlás várható értékéhez, vagyis nullához tart. Másképpen fogalmazva, ha u (0) $0, akkor az u folyamat folytonos lesz, vagyis a t = 0 id®pontban megadott deníció miatt az uminden t ≥ 0 id®pontban automatikusan folytonos. Tetsz®leges t-re az u (t) eloszlása

u (t) ∼= tN

(0,

√1t

)∼= N

(0,√t),

és az egyes id®szakokban a növekmények a w megfelel® tulajdonsága miatt nyilván függetlenekmaradnak, így az u-ra a Wiener-folyamatot deniáló tulajdonságok teljesülnek. Következésképpenaz u Wiener-folyamat. Triviálisan az u és a w különböz® folyamatok. Az u (t, ω) $ tw (1/t, ω)folyamat felfogható úgy mintha a w folyamatot id®ben visszafelé, a t = ∞ id®pontból vissza-felé haladva, gyelnénk meg. Ez alapján a Wiener-folyamat tulajdonság független az id®tengelyirányától23.

2

1.1.3. A Wiener-folyamatok nem deriválhatóak

Az el®z® pontban szerepl® példa szerint a Wiener-folyamatok a végtelenben hasonlóan viselked-nek mint a t = 0 pontban. Mivel a folyamat a stacionárius növekmények feltétele miatt az id®tengely mentén eltolható, ezért bármely id®pont után kvalitatíve ugyan úgy ingadozik mint a nullaid®pont után. Mivel a végtelenben össze-vissza ingadozik, ezért a megfordított, visszafelé olva-sott folyamat a nulla id®pontot követ® tetsz®leges id®szakaszon ingadozik vadul. Mindegy, hogya folyamatot távolról és hosszú ideig nézzük, vagy egészen közelr®l és rövid ideig. Minkét esetbena z¶rzavart látjuk. A z¶rzavar egészében és részleteiben is z¶rzavar. Ez a lényege a következ®méltán ünnepelt észrevételnek.

1.4 Állítás. (PaleyWienerZygmund )A Wiener-folyamat trajektóriái nem deriválhatóak.

21Adott t-re a az ω 7→ w (t, ω) függvényr®l van szó.22A nagy számok er®s törvénye szerint független, azonos eloszlással rendelkez® változók számtani átlaga egy nulla

valószín¶ség¶ eseményt®l eltekintve a közös eloszlás várható értékéhez tart. A véges határértékhez való konvergenciaszükséges és elegend® feltétele annak, hogy a közös eloszlásnak legyen várható értéke.

23Egy véletlen jelsorozatot elölr®l olvasni pontosan annyira értelmes dolog mint visszafelé olvasni. A kígyó afejét®l a farkáig pontosan olyan véletlen mint a farkától a fejéig. Természetesen a megjegyzés egy kicsit sántit,ugyanis a ténylegesen visszafelé meggyelt t 7→ w (1/t) folyamat nem Wiener-folyamat. A t normalizáló szorzószerepe is fontos, vagyis ha a kígyót visszafelé gyeljük meg, akkor a meggyelés során egy a t = 0 id®pontbanelhelyezett tölcséren át kell préselni.

1.1. WIENER-FOLYAMATOK 11

A Wiener-folyamat matematikailag legizgalmasabb tulajdonsága, hogy a folyamat trajektóriáiegyetlen id®pontban sem deriválhatóak. Ennek indoklása céljából egy tetsz®leges t0 id®pontbanírjuk fel a dierenciahányadost:

∆w∆t0

$w (h+ t0)− w (t0)

h.

A deníciók alapján evidens, hogy tetsz®leges t0 ≥ 0 id®pont esetén a v (h) $ w (h+ t0)− w (t0)folyamat szintén Wiener-folyamat. Ezt úgy interpretálhatjuk, hogy a Wiener-folyamat tulajdonságfüggetlen attól, hogy a folyamatot mikor és hol kezdjük el meggyelni. A különbségi hányados

∆w∆t0

$v (h)h

$ sv

(1s

)$ u (s)

módon írható, ahol értelemszer¶en s $ 1/h. Mivel a v Wiener-folyamat, ezért az u (s) az el®z®példa szerint szintén Wiener-folyamat. Ha h → 0, akkor s → ∞, így a dierenciahányadoshatárértéke az egyes kimenetelekre Wiener-folyamatként szétspriccel.

2

Az állítás fontos következménye, hogy az úgynevezett fehér zaj folytonos id®horizont esetén nemtekinthet® valós érték¶ sztochasztikus folyamatnak. A fehér zaj intuitív szinten a folytonosanbeérkez® apró, nulla várható értékkel rendelkez® független lökésekb®l álló folyamat. A fehér zajtleginkább a rosszul beállított rádió sistergéseként, vagy a rosszul beállított televizó képerny®jénmegjelen® pontok kavalkádjaként képzelhetjük el. A zaj azért fehér, mert nincsen benne informá-ció és ezért nincsen szine. Hangsúlyozzuk, hogy a fehér zajnak az egyes id®pontokban felvettértékei és nem a folyamat növekményei függetlenek. Mivel a fehér zaj egyes értékei függetlenek, afehér zaj integrálja, a független tagokból álló részösszegek folyamata, a lökések kumulált összegefüggetlen növekmény¶ kellene, hogy legyen. Ha ugyanis az I1 és I2 id®intervallumok metszeteüres, akkor az I1-ben bekövetkez® hatások összege független lesz az I2-ben bekövetkez® hatásokösszegét®l. Mivel a lökések relatíve egyenl® és kicsi értékek, ezért az integrálfolyamatnak folyto-nosnak kellene lenni, vagyis az apró lökésekb®l álló fehér zaj integrálfolyamata Wiener-folyamat.De a Wiener-folyamatoknak nincsen deriváltja, így a folytonos id®paraméter¶ fehér zaj, mintközönséges sztochasztikus folyamat értelmetlen. A sztochasztikus analízis célja éppen az, hogy azintuitíve világos fehér zaj fogalmát matematikailag precíz módon kezelje. Ezen az úton az els®lépés az, hogy megértsük, hogy a vállakozás miért is nem olyan egyszer¶.

Ezen a ponton érdemes egy lozóai kérdést is felvetni. Miért mondják a matematikusok, hogy afehér zaj fogalma értelmetlen, miközben a fehér zajt valóságként hallhatjuk és láthatjuk. Elmentezeknek az esze? Az ellentmondásra a válasz természetesen a modell és a valóság nyilvánvalókülönböz®ségében rejlik. A sztochasztikus analízis a valóságos folyamatok egy képe. Hasonlóan,ahogyan a fénykép nem azonos a fényképen szerepl® személlyel, a sztochasztikus analízis is csakbizonyos szempontokból tükrözi a mögöttes meggyeléseket, folyamatokat. Számtalan statisztikaivizsgálat létezik, amelyek azt igazolják, hogy a ténylegesesen meggyelt árfolyammozgások nemírhatók le a matematikai pénzügyek egyenleteivel24. Nyilván nem! Miért olyan meglep® ez? Akét dolog mindjárt az elején szétvállik. Miközben a fehér zaj tapinthatóan, halhatóan létezik,a fehér zaj matematikai modelljében a fehér zaj nem értelmezhet®. Csak az integrálját tudjukdeniálni! Természetesen a modellt és a tényleges tapasztalatokat mindig össze kell mérni, akett®t tapasztalati úton kalibrálni kell. A közgazdaságtan egyik alapvet® problémája, hogy eztnem végzi el rutinszer¶en. Bár életünk párja nem azonos a róla készített esküv®i fényképpel, ennekellenére érdemes az esküv®i fotókat eltenni és id®nként el®venni. Miért? Hogy tudjuk, hogy mikorés miért tévedtünk!

24Az eloszlások farka vastag, a volatiltás klaszterez®dik, bla, bla, bla....

1.2. POISSON- ÉS LÉVY-FOLYAMATOK 12

1.2. Poisson- és Lévy-folyamatok

Természetesen Wiener-folyamaton kívül számos más típusú sztochasztikus folyamat létezik. Álta-lában mi csak folytonos trajektóriával rendelekz® folyamatokat tárgyalunk, de röviden érdemes anem folytonos folyamatokat is megvizsgálni. A nem folytonos sztochasztikus folyamatok közül alegfontosabbak a Poisson-folyamatok.

1.2.1. Poisson-folyamat

A Wiener-folyamat mellett a sztochasztikus folyamatok másik királya a Poisson-folyamat. AWiener-folyamat sok kis, önmagában jelentéktelen, gyakran, a matematikai absztrakció szerintfolyamatosan, bekövetkez® innitezimális hatású esemény eredményeként, ered®jeként létrejöv®viselkedési forma modellezésére szolgál25. Ezzel szemben a Poisson-folyamat az R+ félegyenesmint id®tengely mentén ritkán, egymástól függetlenül bekövetkez® események számát adja meg.A kés®bbiek szempontjából érdemes hangsúlyozni, hogy ha a π (t, ω) folyamat Poisson-folyamat,akkor a t 7→ π (t, ω) trajektóriáik monoton n®nek és nem folytonosak. Az, hogy az eseményekritkán következnek be, a következ®t jelenti: elegend®en kicsi szakaszon már csak legfeljebb egyesemény következhet be, vagyis az események bekövetkezésének id®pontjai nem torlódhatnak. En-nek következtében a különböz® ω ∈ Ω véletlen kimenetelekre megadható egy (In (ω)), pozitívszámokból álló, természetesen ω-tól függ®, számsorozat, amely elemei a különböz® események kö-zött eltelt, pozitív hosszúságú id®tartamokat adják meg. Az ω kimenetel realizációja esetén az els®esemény az I1 (ω) > 0 id®pontban következik be, a második esemény I2 (ω) > 0 id®pont múlva,vagyis az I1 (ω) + I2 (ω) id®pontban stb. A Poisson-folyamat fontos tulajdonsága, hogy a Wiener-folyamathoz hasonlóan független és stacionárius növekmény¶. A stacionaritás feltétele azt jelenti,hogy az id®tengely bármely azonos hosszúságú részén a folyamat által számlált események azonoseséllyel következhetnek be, és mivel a folyamat független növekmény¶, ezért az egyes diszjunktid®szakaszokon a számlálandó események egymástól függetlenül következhetnek be. Hasonlóan aWiener-folyamathoz a Poisson-folyamat mint valószín¶ségszámítási jelenség független attól, hogyaz id®tengely mely pontját tekintjük indulópontnak, vagyis mikor kezdjük el a folyamat mögöttiesemények számolását. Ennek megfelel®en a Poisson-folyamat egy olyan ritka jelenségsorozat ese-ményeit számlálja, amely eseményeket egy struktúráját nem változtató rendszer generál, nyilvánritkán és véletlenszer¶en26.

Ha dt egy elegend®en kicsi id®hossz, akkor a ritkasági feltétel miatt egy dt hosszú id®szakaszoncsak egyetlen esemény következhet be. Legyen λdt közelít®leg annak a valószín¶sége, hogy aszámlálandó események valamelyike egy dt hosszú szakaszon bekövetkezik. Ha λ nagy, akkoraz adott rögzített dt hosszú szakaszon az esemény bekövetkezésének valószín¶sége nagy, így aszámlálandó események gyakran következnek be, ha λ kicsi akkor ritkán. Másképpen, ha a λ nagy,akkor átlagban két esemény között kevés id® van, ha kicsi, akkor az átlagos várakozási id® hosszú.

25Ez a feltétel nyilván nem mindig teljesül. A szokásos példa a következ®: Ha egy stadionba összegy¶jtünk100 ezer embert majd hozzátesszük a világ legnehezebb emberét, az átlagos súly nem fog változni. Ha azonbanezt a jövedelmekkel tesszük, könnyen elképzelhet®, hogy a világ leggazdagabb emberének nagyobb lesz a vagyona,vagy akár a jövedelme, mint a stadionban lev® emberek összes vagyona, illetve jövedelme. F®leg, ha az afrikaiéjben a stationban éppen Ghána és Kamerun csapata játszik. A példából világos, hogy vannak esetek, amikor azátlagtól való eltérést a rendszer bünteti. Ez például a testmagasság esetén így van. Ilyenkor a Wiener-folyamatjól használható. Vannak azonban esetek, amikor a gy®ztes mindent visz. Ez a társadalmi különbségek eseténigen gyakori. Gondoljunk csak arra, hogy a divat" milyen igazságtalan" tud lenni. A divatos könyvet mindenkiolvassa, az író dúsgazdag. A költ®k pedig gyakran nyomorognak. Valamely versenyszám gy®ztese a gy®ztes, amásodik helyezete a vesztes. Ha az átlagtól való eltérést a rendszer nem bünteti, ha az átlag körüli szórás nagyonnagy, akkor Wiener-folyamat valószín¶leg használhatatlan modellje a vizsgált jelenségnek.

26Példaként szokás a balesetek, földrengések, cs®d események számát hozni. De szokás valamely telefonközpontbabeérkez® hívások számát is említeni. Ez utóbbi példa esetlegesen sántíthat. Ha mindenkinek van telefonja ésmindenki éjjel-nappal telefonál, nehéz a ritkasági feltételt komolyan venni. És valóban, számos statisztikai vizsgálatismert, amely azt mutatja, hogy a Poisson-folyamatra jellemz® exponenciális várakozási id® például a telefonhívásokközötti id®tartamokra nem jellemz®. Meg vagyunk lepve? Nem igazán. A Poisson-eloszlás ritka" eseményekszámáról szól, mi pedig éjjel nappal, a metróban, az utcán, tetsz®leges percdíj esetén folyamatosan csevegünk. Mégmondja valaki, hogy a marketing nem, komoly dolog.

1.2. POISSON- ÉS LÉVY-FOLYAMATOK 13

A λ tehát az esemény bekövetkezésének intenzitását adja meg: a s¶r¶n bekövetkez®, intenzívenjelentkez® események λ paramétere nagy, a ritkán bekövetkez®ké kicsi.

Ha egy 0 < T < ∞ hosszú szakaszt dt hosszú kis szakaszokra bontjuk, akkor N $ T/dt darabkis részintervallumunk lesz. Mivel az egyes dt hosszú részintervallumokon az egyes eseményekbekövetkezése egymástól független, a T hosszú id®szak alatt

(1− λdt)N =(

1− λT

N

)N≈ exp (−λT )

annak a valószín¶sége, hogy a T hosszú id®tartam alatt nem következik be az esemény. A valószín¶-séget megadó szorzat felírásakor természetesen felhasználtuk, hogy az egyes dt hosszú résszakaszo-kon a bekövetkezés, pontosabban a be nem következés, valószín¶sége minden résszakaszon azonos.Ez éppen a stacionaritás feltétele. A szorzat felírásakor felhasználtuk még, hogy a számlálandóesemény be nem következése az egyes részintervallumokon a többi részintervallumtól függetlenülnem történik meg. Másképpen, ha ξ jelöli azt a valószín¶ségi változót, hogy mennyi id® múlva jöna következ® esemény, akkor

P (ξ > T ) = exp (−λT ) .

Ebb®l következ®en az események bekövetkezése között eltelt id®t megadó ω 7→ In (ω) valószín¶-ségi változók eloszlása exponenciális, és az eloszlás paramétere27 λ. Némiképpen általánosabban:annak a valószín¶sége, hogy egy T hosszú szakaszon pontosan k esemény következik be

Pk (T ) =(N

k

)(λdt)k (1− λdt)N−k ,

ahol N $ T/dt a dt hosszú szakaszok száma. Az(Nk

)binomiális együttható képletét beírva

Pk (T ) =N !

k! (N − k)!(λT )k

Nk

(1− λT

N

)N−k.

Ha N nagy és k kicsi28, akkor

Pk (T ) =(λT )k

k!

(1− λT

N

)N−kN !

Nk (N − k)!=

=(λT )k

k!

(1− λT

N

)N−kN (N − 1) · · · (N − k + 1)

Nk≈

≈ (λT )k

k!exp (−λT ) ,

vagyis egy T hosszú id®szak alatt bekövetkez® események száma Poisson-eloszlást követ λT para-méterrel. Ez indokolja, hogy a folyamatot Poisson-folyamatnak hívjuk. A Poisson-eloszlás várhatóértékének képlete szerint egy T hosszú id®szakasz alatt bekövetkez® események számának várhatóértéke λT . Ez tulajdonképpen nem meglep®, ugyanis az exponenciális várakozási id® miatt kétesemény között átlag 1/λ hosszú id®intervallum gyelhet® meg, vagyis egységnyi id® alatt átlag λesemény következik be, így T id® hosszú alatt átlagosan λT darab esemény gyelhet® meg.

Összefoglalva: A Poisson-folyamat a valószín¶ségszámítás két fontos eloszlását kapcsolja össze.Az események közötti id® hossza exponenciális eloszlású, valamely adott id®szak alatt bekövetkez®események száma viszont Poisson eloszlású. Az eloszlások paraméterei a következ®k: Ha λ azesemények bekövetkezésének intenzitása, akkor a két esemény közötti várható id®tartam hossza1/λ, ugyanis az exponenciális eloszlás várható értéke 1/λ. Ennek megfelel®en egy x T id®szak

27Emlékeztetünk arra, hogy a ξ változó exponenciális eloszlású, ha P (ξ < x) = 1−exp (−λx) . Ebb®l P (ξ ≥ x) =exp (−λx) . Az exponenciális eloszlás várható értéke 1/λ, vagyis ha a λ intenzitási paraméter nagy, akkor az egyesesemények között eltelt id® várható értéke, 1/λ, kicsi.

28Vagyis ha rögzített k mellett dt→ 0.

1.2. POISSON- ÉS LÉVY-FOLYAMATOK 14

alatt λT esemény következik be átlagosan, így az események számát megadó Poisson-eloszlás vár-ható értéke λT . Ha átlagban két percenként változik az ár legalább egy forinttal, akkor egy óraalatt átlagban 30 egy forintnál nagyobb árváltozást gyelhetünk meg. Ha átlagban két percen-ként változik az ár, akkor a két árváltozás közötti id® átlagos hossza 2 perc. Ilyenkor, mivel azexponenciális eloszlás várható értéke 1/λ a λ = 1/2. Ebb®l következ®en 60 perc alatti eseményekvárható száma 60 ∗ 1/2 = 30.

1.2.2. Lévy-folyamatok

A Poisson- és a Wiener-folyamatok egy b®vebb folyamatosztály, a Lévy-folyamatok osztályánakalapvet® reprezentánsai. Valamely ζ (t, ω) folyamatot Lévy-folyamatnak, pontosabban Lévy-típusúfolyamatnak mondunk, ha

1. ζ (0) = 0,2. a ζ (t) stacionárius és független növekmény¶,3. a ζ (t) trajektóriái regulárisak abban az értelemben, hogy jobbról folytonosak és rendelkeznekbal oldali véges határértékkel.

A korábbiakban nem szerepl®, így magyarázatra szoruló megkötés a harmadik. A feltétel szerintvalamely t 7→ ζ (t, ω) trajektória meggyelése esetén egy t0 id®pontban két dolog lehetséges: vagy atrajektória a t0 id®pontban folytonos, vagy a trajektória ugrik. Az ugrás deníció szerint a szakadásegy igen speciális esete, amikor az adott pontban a két különböz® oldalról vett határérték létezikés véges, de a két határérték nem egyezik meg29. A feltétel szerint a trajektória értéke mindenid®pontban megegyezik a trajektória jobb oldali határértékével. A Wiener-folyamat folytonosLévy-folyamat. Nem egyszer¶ igazolni, de megmutatható a fordított implikáció is, vagyis mindenfolytonos Lévy-folyamat Wiener-folyamat. Az állítás igazolása abból áll, hogy meg kell mutatni,hogy ha a folyamat trajektóriái folytonosak, akkor a folyamat értéke minden id®pontban normáliseloszlású30. A trajektóriákra tett regularitási feltétel miatt a Lévy-folyamatok mindegyike háromfajta folyamat lineáris kombinációjára bontható. A három bázisfolyamat a következ®:

1. lineáris trend,2. Wiener-folyamat, illetve egy3. tiszta ugrófolyamat.

A lineáris trend oka, hogy a Lévy-folyamatokat deniáló feltételek között nem szerepel, hogy anövekmények várható értéke nulla legyen31, következésképpen el®fordulhat, hogy a növekményekvárható értéke az id®vel arányosan n®, illetve csökken. A folyamat folytonos részét a Wiener-folyamat reprezentálja. A folyamat ugrásainak szerkezete, a trajektóriákra tett feltételek miatt,igen speciális. Ha a > 0, akkor a folyamat α-nál nagyobb ugrásai nem torlódhatnak, ugyanis hatorlódnának, akkor a trajektóriákra tett regularitási feltételek az ugrások torlódási pontjában nemteljesülnének, ugyanis a torlódási pontban a folyamat valamelyik határértékének, vagyis vagy ajobb, vagy a bal oldali határértéknek, az a pozitivitása miatt, végtelennek kellene lenni. Ebb®lkövetkez®en az a > 0 értéknél nagyobb abszolut érték¶ ugrások ritkák32, így az a-nál nagyobbnagyságú ugrások száma Poisson-folyamatot alkot. Ebb®l következ®en az (a− da, a+ da) sza-kaszba es® ugrásokat megadó részfolyamat jól közelíthet® egy alkalmas λ (a) paraméter¶ a ·π (t, ω)Poisson-folyamattal, ahol a π természetesen az ugrásokat számláló Poisson-folyamat és λ (a) pedigaz a körüli ugrások id®ben való bekövetkezésénk intenzitásától függ®, a Poisson-folyamat tárgyalá-sakor említett konstans. Ebb®l következ®en egy lineáris trendt®l eltekintve minden Lévy-folyamategy Wiener-folyamat és esetlegesen végtelen sok különböz® λ (a) paraméter¶ Poisson-folyamat vég-telen súlyozott összegeként képzelend® el33. A folyamat ugrásainak intenzitását megadó összefüg-gést vagyis az a 7→ λ (a) hozzárendelést a folyamat spektumának mondjuk. A spektrum elnevezést

29Másképpen fogalmazva az oszcilláló, illetve a végtelenbe tartó határértékeket deníció szerint kizárjuk.30Ez, miként korábban már említettük a centrális határeloszlás-tétel egy igen éles verziójából következik.31S®t, elképzelhet®, hogy a várható érték végtelen, vagy esetlegesen nem is létezik!32Miként írtuk a ritkaság azt jelenti, hogy az egyes bekövetkezési id®pontok nem torlódhatnak.33Az állítás csak heurisztikusan igaz, elképzelhet®, hogy a folyamat ugrásaiból álló sorozat az id®ben való bekö-

vetkezés sorrendjében konvergens, de nem abszolút konvergens, így ha az ugrásokat a bekövetkezésükt®l eltér®en

1.2. POISSON- ÉS LÉVY-FOLYAMATOK 15

az indokolja, hogy miként a fény spektruma megadja a fénysugár felbontását különböz® rezgés¶tiszta fénysugarakra, egy Lévy-folyamat a 7→ λ (a) spektruma a folyamat felbontását adja megλ (a) intenzitású tiszta ugró folyamatokra. Természetesen konkrét Lévy-folyamat esetén a spekt-rum a folyamat közvetlen meggyelése alapján kiszámolható, s®t kiszámolandó, ugyanis a folya-mat ugrásaira vonatkozó legalapvet®bb információkat éppen a spektrum tartalmazza. A spektrummeggyelése az egyes ugrásokhoz tartozó Poisson-típusú részfolyamatok meggyelését jelenti. Ezindokolja azt, hogy a Wiener-folyamatok mellett a Poisson-folyamatokat tekintjük a sztochasztikusfolyamatok másik alaptípusának. Valószín¶ségszámítási értelemben a Lévy-folyamatokat a lineáriskomponens, a Wiener-komponens együtthatója, illetve a spektrálfüggvény jellemzi. A három ob-jektumot együttesen a folyamat karakterisztikájának szokás nevezni. Lévy-folyamat esetén csak akarakterisztika bír valószín¶ségszámítási jelent®séggel. Ténylegesen maga a ζ Lévy-folyamat nemgyelhet® meg, csak a folyamat valamely, véletlenszer¶en választott realizációja. A meggyeltrealizáció alapján várhatóan34 reprodukálható a karakterisztika. Valamely folyamattal kapcsolat-ban csak azok a matematikai formulák bírnak valószín¶ségszámítási jelent®séggel, tartalommal,amelyek statisztikailag meggyelhet® adatokra épülnek. Lévy-folyamatok esetén ez azt jelenti,hogy a valószín¶ségszámítási szempontból releváns formulák adatként egyedül a karakterisztikáttartalmazhatják.

A gyelmes olvasónak feltünhetett, hogy a Lévy-folyamatok értékét a trajektória jobb oldali határ-értékével deniáltuk. Miért a jobb és miért nem a bal oldali határértéket vettük? A kérdés pontostisztázása igen messze vezetne, de a két féle folytonosság közötti eltérés heurisztikusan megérthet®.Az id®tengely nem szimmetrikus! Az id®, a számegyenes szokásos ábrázolásában, balról jobbrahalad. Az ugrások id®pontjában a jobb oldali határérték, balról jobbra haladva soha sem láthatóel®re, a bal oldali, legalábbis innitezimálisan, azonban el®relátható. Ennek megfelel®en a balrólfolytonos folyamatokat, így a folytonosakat is, el®rejelezhet®nek mondjuk, a jobbról folytonosakatpedig kockázatosnak. Az ugrásokat is tartalmazó Lévy-folyamatok kockázatosak. A kockázatos-ságuk abból ered, hogy a folyamat nagysága tetsz®leges id®pontban még innitezimálisan semjelezhet® el®re. A két folyamatosztály közötti eltérésre a sztochasztikus integrálás tárgyalásakorhallgatólagosan kés®bb vissza fogunk térni35.

1.2.3. Bolyongások, kompenzált Lévy-folyamatok

A Lévy-folyamatok esetén a növekmények várható értékére nem tettünk megkötést. Többek közöttaz is el®fordulhat, hogy a növekmények eloszlásának nincsen várható értéke. Tegyük fel, hogy azegységnyi id®tartományhoz tartozó növekmény várható értéke létezik, és az egységnyi id® alattinövekmény várható értékét jelölje M . Ha ξ (t, ω) jelöli a Lévy-folyamatot, akkor az η (t, ω) $ξ (t, ω) − tM folyamat szintén Lévy-folyamat, de az η növekményeinek várható értéke már nulla.A t 7→ tM lineáris függvényt a ξ folyamat trendjének, vagy kompenzátorának mondjuk. A nullavárható értékkel rendelkez® Lévy-folyamatokat bolyongásnak36 mondjuk. Ha a ξ Lévy-folyamat ésa folyamatnak létezik kompenzátora, akkor az η kompenzált folyamat bolyongás. A kompenzációelnevezés oka a következ®: Ha a ξ Lévy-folyamat valamilyen játék nyereményét írja le, akkora nyereményfolyamatot két felé bonthatjuk: A t 7→ tM trend biztos nyereménynek tekinthet®, aξ (t, ω) − tM bolyongás rész pedig a játék véletlen része. Az η bolyongás nyilván fair játék, az η

átcsoportosítjuk, vagyis el®bb nagyság szerint, aztán id® szerint rendezzük ®ket, akkor nem kapunk konvergenskonstrukciót. A felmerül® probléma heurisztikusan igen nehezen áttekinthet® és érzékelhet®, így csak mint érde-kességet jelezzük. A kérdés összefügg a kés®bb tárgyalt kvadratikus variációval. Minden Lévy-folyamat négyzetesmegváltozása véges, de a teljes megváltozása nem feltétlenül. A heurisztikusan vázolt felbontás csak akkor m¶ködik,ha a kvadratikus variáció mellett a teljes megváltozás is véges. Ha csak a négyzetes megváltozás véges, akkor alineáris trend egy részével az ugrásokat kompenzálni kell. Az ugró rész és a lineáris trend viszonya igen szövevényes,következésképpen matematikailag varázslatosan szép, az alkalmazások szempontjából azonban másodlagos.

34Mint általában a statisztikában, most is csak remélhetjük, hogy a realizáció elég reprezentatív. Az meg márlozóai kérdés, hogy mit kezdünk azokkal a tulajdonságokkal, ami a konkrét meggyelt realizációban nem gyelhet®meg, ugyanis az adott tulajdonságot a véletlen trajektória nem reprezentálja. Például ha a spektrum egy része akonkrétan meggyelt trajektóriában nem jelentkezik, akkor a nem jelentkez® ugrások most léteznek vagy sem?

35A sztochasztikus integrálás során az integrátor kockázatos, az integrandus el®rejelezhet®.36A bolyongás fogalma az irodalomban csak részben jól deniált. Szokás bolyongásról csak diszkrét id®horizonton

beszélni.

1.2. POISSON- ÉS LÉVY-FOLYAMATOK 16

várható értéke minden id®pontban nulla, a kompenzált η esetén valódi, korrekt szerencsejátékkrólvan szó. A ξ játék azonban csak akkor fair, ha a játékban való részvételért kompenzáció jár.Ésszer¶ feltételek mellett csak akkor vehetünk részt a játékban egy t hosszú id®szakon keresztül,ha kizetjük, vagy megkapjuk a tM részvételi díjat. Ha ξ (t, ω) valamilyen biztositási eseménysorán keletkez® kár folyamata, akkor a tM tekinthet® a ξ (t, ω) véletlenszer¶en jelentkez® kárelleni biztosításért járó biztosítási díjnak.

1.2.4. Markov-láncok

Az olvasónak talán felt¶nt a Poisson és az exponenciális eloszlás kitüntetett szerepe. Valóban,folytonos id®horizonton három ismert eloszlásé a f®szerep: normális, exponenciális és Poisson.Igazándiból azonban a Poisson eloszlás pusztán egy másik arca az exponenciális eloszlásnak. Va-lójában a valószín¶ségszámításban két központi jelent®ség¶ eloszlás létezik: A normális és azexponenciális. Némi egyszer¶sítéssel és er®s túlzással a normális eloszlás a pozitív és negatív ér-tékeket egyaránt felvev® változók eloszlása, az exponenciális a pusztán pozitív értékeket felvev®változók standard modellje37. A leginkább kézenfekv®en pozitív értékeket felvev® változó az elteltid® hossza. A várakozási id®k standard modellje az exponenciális eloszlás, a Poisson-eloszlás pedigúgy kerül a képbe, hogy ha bizonyos egymást követ® események közötti id®tartamokat azonos para-méter¶ és független exponenciális eloszlású változók sorozata írja le, akkor egy x id®tartam alattbekövetkez® események száma Poisson-eloszlású. Vagyis ha valamilyen események bekövetkezésétszámolom, akkor a természetes eloszlás a Poisson, ha id® hosszakat mérek, akkor a természetes ke-ret az exponenciális eloszlás. De miért éppen az exponenciális eloszlás? Van-e erre valami hasonló,általános elv mint a centrális határeloszlás tétele, amelyre hivatkozva indokolni szokás a normáliseloszlást. Az exponenciális eloszlás fontosságát az adja, hogy homogén Markov-folyamatok eseténaz egyes állapotokban való várakozás id®tartama mindig exponenciális eloszlású38.

Bár a kés®bbi tárgyalás szempontjából nem bír jelent®s szereppel röviden, néhány sor erejéigmégis foglalkozzunk a Markov-folyamatokkal. A Lévy-folyamatok bár széles körben használhatóaknem minden sztochasztikus jelenség leírására alkalmasak. Tulajdonképpen a különböz® alkalmazá-sokban a legtermészetesebben jelentkez® osztály nem a matematikai pénzügyekben kézenfekv®enjelentkez® Wiener-folyamatok és az alább bevezetett martingálok, illetve szemimartingálok. Ezekaz osztályok viszonylag kés®n kerültek a matematika vizsgálatok homlokterébe. A leginkább ké-zenfekv®, leginkább természetes osztály a Markov-láncok osztálya.39

Hogy konkrét példáról beszéljünk induljunk ki abból, hogy adott kötvények egy halmaza. Akötvények nem feltétlenül kereskedettek, de mindegyik valamilyen rating kategóriába tartozik.Az egyszer¶ség kedvéért a rating osztályok száma legyen N . Mivel a rating kategória a kötvényzet®képességének valószín¶ségét reprezentálja, ha valamely kötvény egy alacsonyabb kategóriábakerül, akkor az ára csökken. A kötvényekb®l álló portfolió értékének dinamikáját nyilvánvalóanaz összetételének megváltozása adja meg. Ha nagyon sok kötvény kerül alacsonyabb kategóriába,akkor a portfolió értéke csökken, ha a kötvények besorolása átlagban n®, akkor a portfolió értékefeltehet®en növekszik. Tegyük fel, hogy a rating besorolás tökéletesen fedi a kötvény ténylegeshelyzetét. Ebb®l következ®en csak új információ hatására változik a besorolás. Feltételezzük,hogy valaminek történni kell, valamilyen új információ kell ahhoz, hogy egy kötvényt átsoroljukaz egyik kategóriából a másikba. Idáig a dolog igen emlékeztet a bolyongásra, illetve a Lévy-folyamatokra. Van azonban egy további feltétel: Az új információ beérkezésének módja és hatásaegyedül az aktuális rating kategória függvénye. Más paraméter¶ folyamatok lökik ki az egyesosztályokban szerepl® kötvényeket az aktuális állapotukból. Ugyanakkor az azonos kategóriában

37Természetesen minden ilyen általános kijelentés triviálisan hamis és ostobán leegyszer¶sít®. Gondoljunk arra,hogy a részvények árát általában lognormális eloszlással modellezzük. Ugyanakkor a hozamok eloszlása a matema-tikai pénzügyek standard feltételei szerint normális. Az exponenciális és a normális eloszlás kitüntetett szerepér®lszóló állítás csak egy durva és gyakran hibás, de azért id®nként jól használható irányt¶nek tekinthet®. Mégis merrevan észak? Hát ott ahol a fák mohásak.

38A várakozási id®t leíró eloszlás paramétere függhez az állapottól, amelyben a rendszer várakozik és az expo-nenciális eloszlás lehet elfajuló is, vagyis a paramétere lehet nulla vagy végtelen is.

39A Markov-láncok elmélete számtalan alkalmazással rendelkezik.

1.3. A TÖKÉLETES VÉLETLEN: MARTINGÁLOK 17

lev® kötvényekre azonos er®k hatnak. Továbbá a változás hatása is más és más lesz az egyeskategóriákban. Ennek megfelel®en a múlt nem igazán hat a jöv®re40, de a jelen igen. Valamelyfolyamatot Markov-folyamatnak mondunk, ha a jöv® el®rejelzése független a múlttól, de azérta jöv® függhet a jelent®l. Másképpen a jöv® csak a jelenen keresztül függ a múlttól. Ennekmegfelel®en a Lévy-folyamatok nyilván Markov folyamatok. A jöv® állapot függ a növekményt®lés a jelen állapottól. Ha t > s, akkor

X (t) = X (s) +X (t)−X (s) .

Az X (t)−X (s) növekmény a Lévy-folyamatot deniáló függetlenségi feltétel miatt a múlt alapjánnem becsülhet® meg. De az X (t) értéke szempontjából az X (s) értéke fontos. Egy fej-vagy írásjátékban egy adott id®szak alatti becs®dölés valószín¶sége függ attól, hogy mennyi pénzünk volta játék kezdete el®tt!

A rating osztályokra visszatérve vegyük észre, hogy a Markov-folyamatok korábban idézett tu-lajdonsága alapján az egyes kategóriákban való tartózkodás ideje exponenciális eloszlású, vagyisminden rating osztályban a kötvények egy exponenciális eloszlású várakozási id® szerint pihen-nek. Az egyes osztályokhoz tartozó λi intenzitási paraméterek nem feltétlenül azonosak. Az egyesosztályokból való kilöködést generáló folyamat hasonló a Poisson-folyamatoknál tárgyalt folya-matokhoz. Ha azonban az ugrást kiváltó ok bekövetkezik, akkor szemben a Poisson-folyamattalnem pusztán húzunk egy vonalat, na még egy ugrást láttunk. Ha ezt tennénk, akkor N darabPoisson-folyamatunk lenne. A rating osztályok közötti mozgást megadó Markov-lánc az N darabkilöködési folyamat összekapcsolásából áll. Megnézzük, hogy az ugrást követ®en hova lépett akötvény, mi lett az új rating osztály. Vagyis minden állapot esetén a λi paraméter mellett azt ismeggyeljük, hogy mi az új állapot eloszlása, hova lépett az egyed. A folyamat m¶ködése teháta következ®: Várakozás, majd egy új állapotba való ugrás, majd megint várakozás, majd megintugrás stb. A lényeges feltétel, hogy mint a várakozás id®tartamának eloszlása, mind a lehetségesúj állapotok eloszlása csak az éppen aktuális állapottól függ és független attól, hogy milyen útonjutott el az adott kötvény a megfelel® rating osztályba.

Látható, hogy a modell paraméterei általában könnyen meggyelhet®ek és ez a Markov-láncokata gyakorlati alkalmazások szempontjából kiemelked®en fontossá teszik. Mi azonban csak azérttárgyaltuk röviden a Markov-láncokat, hogy jelezzük, hogy az alább tárgyalt martingálelméletenkívül más fejezetei is vannak a sztochasztkus folyamatok elméletének41.

1.3. A tökéletes véletlen: martingálok

A bolyongások a fair véletlen folyamatok egy speciális osztályát alkotják. A martingál fogalmaa bolyongás fogalmának leheletnom általánosítása. Heurisztikusan a martingálokat a fair sze-rencsejátékokkal szokás azonosítani, de a két fogalom azonosítása csak azért nem megfelel®, mertnem tudjuk, hogy mit jelent a fair szerencsejáték kifejezés. Egy szerencsejáték pontosan akkorfair, ha a játék kumulált nyereménye martingált alkot! Egy másik deníció, hogy egy játék fair, haa játékban való részvételért nem jár kompenzáció. OK, de mi a kompenzáció deníciója, milyenfolyamatokat tekinthetünk kompenzációnak? Egy további deníció szerint egy játék fair, ha azeredménye tökéletesen véletlen. De mikor lesz egy sorozat eredménye teljesen, vagy tökéletesenvéletlen? A martingál deníciója a sztochasztikus folyamatok elméletének egyik nagy eredménye.Igen, a matematika tételekr®l és fogalmakról szól! A tételek mellett igen fontosak, ha nem fon-tosabbak, a megfelel® jó deníciók, fogalmak meghatározása. A valószín¶ségszámítás, illetve asztochasztikus folyamatok egyik célja a tökéletes véletlen, a tovább nem bontható atomisztiku-san strukturálatlan véletlen, a fehér zaj deniálása. Mikor tekintsünk egy (ξk) sorozatot teljesenvéletlennek, fehér zajnak? Egyrészr®l nyilván olyan deníciót akarunk, amely közel áll a fogalom

40Ez az a feltétel, miszerint a rating osztály mindent tartalmaz, amit érdemes a kötvényr®l tudni.41Valójában miként jeleztük többr®l van szó. Az alkalmazások többsége a Markov-láncokra és nem a martingá-

lelméletre épül. A sztochasztikus analízis és a pénzügyi matematika a sztochasztikus folyamatok alkalmazásánakcsak egy igen divatos töredéke.

1.3. A TÖKÉLETES VÉLETLEN: MARTINGÁLOK 18

köznapi értelmezéséhez, másrészt olyan fogalmat szeretnénk, amellyel azért könny¶ számolni. Haa (ξk) sorozat tagjai csak korrelálatlanok, akkor a matematikai tapasztalat azt mutatja, hogy a(ξk) sorozat matematikailag túl általános42. A korrelálatlanság túl enyhe megkötés. A matemati-kai tapasztalat, hangsúlyozom a tapasztalat, azt mutatja, hogy a korrelálatlan sorozatokkal nehézdolgozni, így a korrelálatlan sorozatok praktikus43 okokból nem tekinthet®ek a véletlen sorozatmegfelel® modelljének. Kolmogorov egyik alapvet® hozzájárulása a valószín¶ségszámításhoz azvolt, hogy megmutatta, hogy ha a (ξk) sorozat tagjai függetlenek, akkor a (ξk) sorozattal könny¶dolgozni, vagyis elegáns módon beláthatóak olyan tételek, amelyeket a tökéletesen véletlen so-rozatoktól heurisztikusan elvárunk.

A függetlenség fogalmát a bevezet® valószín¶ségszámítási kurzusokon természeti törvényként, apriori kategóriaként szokás bevezetni. Úgy szokás tenni, mintha a függetlenség a tér és id® ka-tegóriájával azonos szinten lev® alapkategóriája lenne a szemléletünknek. Az események szintjénez talán így is van, de a változók esetén a deníció nagyon szép és elegáns, de nem feltétlenül ésmegkérd®jelezhetetlenül azonos a függetlenség intuitív fogalmával44. Emlékeztetünk, hogy való-szín¶ségi változók egy (ξk) sorozatának tagjait függetlennek mondunk, ha bárhogyan is választunkk1, k2, . . . , kn indexeket és A1, . . . , An ⊆ R halmazokat, akkor

P(ξk1 ∈ A1, . . . , ξkn

∈ An)

= P(ξk1 ∈ A1

)· · ·P

(ξkn∈ An

).

Vagyis valószín¶ségi változók akkor függetlenek, ha az együttes eloszlásuk a peremeloszlások szor-zataként írható fel. A függetlenség deníciója szerint az összes valószín¶ségi változó segítségévelmegfogalmazható események valószín¶sége azonos a különálló valószín¶ségek szorzatával! A vál-tozók függetlenségének denícióját visszavezettük az általuk megfogalmazható események függet-lenségére. A deníció egyszer¶, szemléletes és elegáns. A függetlenség legel®ny®sebb tulajdonsága,hogy ha a ξ és az η változók függetlenek és f és g tetsz®leges45 függvények akkor az f (ξ) és a g (η)változók függetlenek lesznek. Függetlenségb®l következik a korrelálatlanság, így

M (f (ξ) g (η)) = M (f (ξ)) M (g (η)) .

Speciálisan tetsz®leges s és t számok esetén

M (exp (itξ + isη)) = M (exp (itξ) exp (isη)) = M (exp (itξ)) M (exp (isη)) ,

aholexp (ix) $ cosx+ i sinx.

Ezt úgy szokás kifejezni, hogy az együttes eloszlás karakterisztikus függvénye a karakterisztikusfüggvénye szorzataként írható fel. Ez a tulajdonság ráadásul jellemzi is a független változókat,vagyis két változó pontosan akkor független, ha az együttes eloszlásúk karakterisztikus függvé-nye szorzat alakba írható. A függetlenséggel kapcsolatos tételek zöme nem túl meglep® módon akarakterisztikus függvény segítségével indokolható a legegyszer¶bben. A klasszikus valószín¶ség-számítás tételei a matematikai gondolkodás remekm¶vei. Sajnos ebb®l még nem következik, hogy

42A statisztika a véletlen sorozatot a korrelálatlan sorozattal azonosítja. A függetlenség nem mérhet®", statisz-tikailag nem verikálható", az adatok alapján nem ellen®rizhet® fogalom. A valószín¶ségszámítás a korrelálatlansorozatokat csak akkor tekinti tökéletesen véletlennek", ha a sorozat tagjainak eloszlása normális. Ilyenkor azonbana korrelálatlanságból következik a függetlenség.

43A paraktikus szó tartalma most a bels® matematikai építkezés praktikus aspektusaira vonatkozik.44Hangsúlyozni kell, hogy a matematika egyik célja, hogy pontosítsa és rögzítse az intuitív fogalmak tartalmát.

Evvel felbecsülhetetlen szolgálatot tesz az emberi gondolkodásnak, de azt azonban látni kell, hogy a fogalomalkotásis történelmi folyamat és nem mindig sikerül els®re a legjobb matematikai modellt megtalálni a köznyelvben szerepl®valamilyen intuitív tartalomra. Egy matematikai modell, fogalom jóságát a mikroökonómiában ismert elv írja le: Amodellnek egyszerre kell egyszer¶nek és az intutívnek lenni. A két szempont gyakran egyszerre csak egymás rovásáraérvényesíthet®. A matematikai által használt fogalmak megalkotása hasonló a számítógépes metaforák" készítéhez.Egy jó számítógépes metafora" elegáns, egyszer¶ és intuitív. És a mögöttes kód általában igen bonyolult.

45Én is tudom, hogy csak Borel-mérhet®ek lehetnek, de ez a Borel-blabla az amit az olvasó nyugodtan gyelmenkívül hagyhat. Egy közgazdász szerintem nem képes egy nem Borel-mérhet® függvényt elképzelni. Ha az olvasó azegyetem befejezése helyett még mindig vágyik a matematikai pontosságra, akkor legyenek az f és g folytonosak.Evvel az állítás precíz lesz.

1.3. A TÖKÉLETES VÉLETLEN: MARTINGÁLOK 19

megtaláltuk a tökéletes véletlen denícióját. A független valószín¶ségi változókból álló soroza-tok sajnos bizonyos dolgokat nem tudnak46. Az egyik legnagyobb és leginkább kézenfekv® gond,hogy a független tagokból álló sorozatok nem alkotnak lineáris teret. Az lineáris kombináció alegtermészetesebb matematikai m¶velet, amely minden korlátozás nélkül való végrehajthatóságaminden lényeges matematikai fogalom esetén alapkövetelmény. Bármilyen ésszer¶ matematikaifogalmat is deniálunk nagyon jó oka kell lenni annak, ha nem akarjuk a területen a lineáris al-gebra eszközeit használni. A sztochasztikus folyamatok elméletét megalapító Doob érdeme, hogy afüggetlen, nulla várható érték¶ sorozat fogalmát felcserélte a martingál fogalmával47. A martingála bolyongás fogalmának továbbfejlesztése. Ha a bolyongás a Windows 2000, akkor a martingála Windows XP48. Két változó függetlensége szimmetrikus fogalom. Egyik sem magyarázható amásikkal. Az id®ben alakuló folyamatok esetén a függetlenség némiképpen túl er®s megkötés. Havalamely sztochasztikus folyamat független növekmény¶, akkor a növekmény független a múlttól,vagyis a múltból nem tudunk a jöv®ben bekövetkez® megváltozásra következtetni. De ez fordítvais igaz. A változás ismerete nem hordoz információt a múltról. De a múlt és a jöv® nem teljesenszimmetrikus!

1.3.1. Filtráció és martingálok

A martingál deníciója a következ®: Legyen adva egy (Ω,A,P) valószín¶ségi mez®. Legyen Ta lehetséges id®pontok halmaza. Az A eseménytér mellett legyenek még adva az Ft, t ∈ T ese-ményterek, amelyek a t id®pontig bekövetkezett eseményeket tartalmazzák. Az Ft interpretációjamiatt, ha s < t a T két lehetséges id®pontja, akkor Fs ⊆ Ft, vagyis ha s < t, akkor mindenaz s id®pontig meggyelhet® esemény meggyelhet® a t id®pontig is. Az (Ft)t∈T matematikaistruktúrát ltrációnak mondjuk.

Az (Ω,A,P) mez® mellett az (Ft) ltrációt is a modell alapadatának tekintjük. A T id®halmazonértelmezett ξ (t) folyamatot az (Ω,A,P, (Ft)) alapadatok mellett martingálnak mondjuk, ha azalábbi tulajdonságok teljesülnek:

1. A ξ (t) trajektóriái jobbról folytonosak és rendelkeznek bal oldali határértékkel.2. Minden t ∈ T esetén létezik az M (ξ (t)) várható érték és ha s < t, akkor M (ξ (t) | Fs) = ξ (s).

Az els® tulajdonság diszkrét id®pontokból álló T esetén természetesen semmitmondó, folytonosid®horizont esetén a korábban elmondottaknak megfelel®en azt jelenti, hogy a martingálok kocká-zatos folyamatok. Rendelkezhetnek ugrásokkal, de az ugrásokat még innitezimálisan sem lehetel®relátni, ugyanakkor a folyamatnak az ugrásokon kívül más típusú szakadásai nem lehetnek. Amásodik tulajdonság szerint a folyamat statisztikailag el®rejelezhetetlen, vagyis a ξ (t) érték leg-jobb becslését49 az Fs alapján a ξ (s) adja. A folyamat martingál, ha a múltja alapján a jöv®jétnem lehet el®rejelezni.

Egy folyamat tökéletesen véletlen, ha a múltja nem szolgáltat információt a jöv®jére nézve. Alegtöbb amit a múltból a jöv®re nézve kiolvashatunk az a jelen állapot.

Nem rossz deníciója a tökéletes véletlennek, jobb, és valljuk meg heurisztikusan is jobb és

46A tökéletesen véletlen sorozatoktól elvárjuk, hogy az ellenük folytatot stratégiai játék eredménye is tökéletesenvéletlen legyen. Bolyongás ellen végrehajtott stratégiai játék nyereménye csak martingál, folytonos esetben csaklokális martingál, és nem bolyongás.

47Némi zavart okozhat, hogy a bolyongást most azonosítjuk a független, nulla várható érték¶ sorozattal. A bolyon-gás tulajdonképpen független, nulla várható értékkel rendelkez® sorozatból, a fehér zajból, képzett sor részletösszegsorozata. A martingál a bolyongásnak felel meg, a véletlen sorozatnak, a fehér zajnak a martingáldierencia so-rozat felel meg. Diszkrét id®ábrázolás esetén a martingál és a martingáldierencia ekvivalens ábrázolási formák.Folytonos id®paraméter esetén azonban a martingál, illetve a bolyongás értelmes fogalmak, a fehér zaj, vagyis afolytonosan képzett növekményekb®l álló folyamat, vagyis a deriváltakból álló folyamat matematikailag nehezenértelmezhet®.

48Ha tetszik a lokális martingál pedig a Vista.49Természetesen még most is körbeforog a deníció, ugyanis a becslés szót a feltételes várható értékkel deniáljuk.

A feltételes várható érték legegyszer¶bb tulajdonságait a függelékben röviden össze fogjuk foglalni.

1.3. A TÖKÉLETES VÉLETLEN: MARTINGÁLOK 20

világosabb, mint a korábbi bolyongásra épített megközelítés!50

Ezen a ponton érdemes egy további fontos lozóai megjegyzést tenni. A Kolmogorov-féle való-szín¶ségszámítási modellnek van egy alapvet® hibája. A hiba a teljes valószin¶ségszámítás hibája,mondhatnánk az általunk is használt teljes matematikai modell gyenge pontja. Mikor is tekintünkegy sorozatot véletlennek? Ha adott valószín¶ségi változók egy meghatározott tulajdonságokkalrendelkez® diszkrét vagy folytonos idej¶ folyamata. OK, de mit is jelent ez? Hát diszkrét id®-ábrázolás esetén ez azt jelenti, hogy minden ω esetén adott egy (ξk (ω)) számsorozat. Minden ωesetén! Valójában azonban ilyen nincsen! Egy részvény árának alakulása csak egyszer gyelhet®meg. Mi van a többi ω esetén való realizációval? Reméljük, hogy azok is olyanok mint a meggyelt.De mit jelent az, hogy olyanok mint a meggyelt sorozat? A Lévy-folyamatok esetén bevezetettstacionárius és független növekmény feltétele éppen azt szolgálja, hogy biztosítsa, hogy a külön-böz® ω kimenetelek esetén meggyelt konkrét sorozatok, realizációk nagyon hasonlóak legyenek,vagy legalábbis a különböz® lehetséges sorozatok hosszútávú átlagos tulajdonságai stabilan visel-kedjenek51. Na de egy sorozat, hangsúlyozom egyetlen sorozat mikor tekinthet® véletlennek? Azáltalunk vizsgált egy darab részvény, egyetlen realizációja mikor tekinthet® véletlen sorozatnak? Akérdés többek között Kolmogorovot is izgatta. Nem véletlenül. Az általa és számos más matemati-kus52 által talált válasz a következ®: Tegyük fel, hogy adott (an) számok egy sorozata. Ha tetszikaz (an) sorozat lehet 0 és 1 jelek egy végtelen sorozata. Ha a sorozat nem véletlen, akkor van bennevalami szabályszer¶ség. De mikor mondjuk, hogy egy sorozatban van valamilyen szabály? Ak-kor mondjuk, hogy egy sorozatban van szabály, ha megadható egy olyan eljárás, amely rövidebb,egyszer¶bb mint az eredeti és amelyet alkalmazva reprodukálni tudjuk a sorozatot. Egy sorozatvéletlen, ha nincsen benne szabály. Némiképpen pontosabban fogalmazva, ha egy sorozatban vanszabály, akkor írható egy olyan számítógépes53 program, amely el®rejelzi a sorozat tagjait54. Aprogram hossza tekinthet® a sorozat komplexitásának mértékének. Ha a lehetséges legrövidebbprogram n sorból áll, akkor a sorozat komplexitása n. Ha a legrövidebb program, hossza, amelya sorozat els® n tagjából el®rejelzi a sorozat (n+ 1)-edik tagját az n növekedésével arányosan n®,akkor a sorozat véletlen. Vegyük észre, hogy éppen err®l van szó a részvények áralakulásánakel®rejelzése esetén is. Nincs olyan x hosszú, el®re rögzített számítógépes program, amely a márismert adatokból az adatsor következ® tagját megadja. A martingál deníciója a véletlen soro-zatok éppen ezen tulajdonságát ragadja meg. Nincs olyan statisztikai módszer, amely alapján amúltból a jöv® el®rejelezhet® lenne. Másképpen fogalmazva a sorozat komplexitása a sorozatbanlev® információ nagyságának mértéke, bármit is jelentsen az információ szó. Ha a sorozat véletlen,akkor a sorozat minden tagja meglepetés, vagyis a sorozat információtartalma nem tömöríthet®.A martingál olyan sztochasztikus folyamat, amely meggyeléséb®l származó információtartalomnem tömöríthet®.

Már jeleztük, de nyomatékosan hangsúlyozni kell, hogy a martingál a bolyongáshoz hasonlóan ku-mulált fogalom, vagyis véletlen lökések összege. A fehér zaj intuitív fogalma a folyamatosanmegjelen® lökések folyamata; a bolyongás, illetve a martingál ezek integrálja. A gond csak az,hogy folytonos id®ábrázolás esetén az integrálfolyamat létezik, de nem létezik a deriváltfolyamat55.Folytonos id®ábrázolás esetén a fehér zaj értelmetlen fogalom. Ha azonban a ξ martingál és az

50Persze hátra van a feketeleves, az M (ξ (t) | Fs) feltételes várható érték. A lozóai duma igen fontos, de avégén, a függelékben egy kis matematika is lesz azért.

51Véletlengenerátorokkal való egyszer¶ játszadozással könny¶ belátni, hogy az egyes ω kimenetelek melletti tra-jektóriák igencsak különböz®ek lehetnek. Egyik alapvet®en n®, a másik alapvet®en csökken stb.

52A kérdés nyilván visszamegy a tudományos gondolkodás kezdetéig. A komplexitás fogalmát Kolmogorovtólfüggetlenül deniáló Chaintin szerint a kérdéssel már Leibniz is foglalkozott. A Leibniz által adott válasz éppen aKolmogorovChaitin-féle komplexitás deníciója: akkor mondjuk, hogy rendelkezésünkre áll egy természeti törvény,ha van olyan szabálygy¶jteményünk, amellyel le tudunk írni egy adott jelenséget és a szabálygy¶jtemény egyszer¶bbmint a leírandó jelenség.

53A számítógépet rögzítjük. Mondjuk az a számítógép, amin a szöveget most írom.54n elemb®l álló sorozat esetén mindig létezik n sorból álló program, amely a sorozatot visszaadja: print a1, print

a2, . . . , print an. A kérdés csak az, hogy létezik-e olyan program, amely ennél jóval rövidebb.55Mindig az integrállal dolgozunk, de heurisztikusan mindig a nem létez® deriváltra gondolunk. Ez a sajátos

probléma indokolja a sztochasztikus analízis jelölési rendszerét a (dw)2 = dt és hasonló szabályok általánosanelterjedt alkalmazását.

1.3. A TÖKÉLETES VÉLETLEN: MARTINGÁLOK 21

id®ábrázolás diszkrét, akkor értelmezhet® a fehér zajnak megfelel® dk $ ξk − ξk−1 martingáldif-ferencia sorozat. A martingál deníciója miatt

M (dk | Fk−1) = M(ξk − ξk−1 | Fk−1

)=

= M (ξk | Fk−1)−M(ξk−1 | Fk−1

)=

= ξk−1 − ξk−1 = 0,

vagyis a növekmények feltételes várható értéke nulla56. A feltételes várható értékre vonatkozótoronyszabály miatt

M (M (dk | Fk−1)) = M (0) = 0.

Ha a ξk független, nulla várható értékkel rendelkez® változók összege57, vagyis ξk $

∑ki=1 di, akkor

M (ξk | Fk−1) = M

(k∑i=1

di | Fk−1

)=

=k∑i=1

M (di | Fk−1) =

= M (dk | Fk−1) +k−1∑i=1

di =

= 0 +k−1∑i=1

di = ξk−1,

ahol kihasználtuk, hogy függetlenség esetén a feltételes várható érték megegyezik a tényleges vár-ható értékkel, illetve az (Ft) ltráció azon implicite mindig feltételezett tulajdonságát, hogy haadott valamilyen sorozat, vagy folyamat akkor mindig feltesszük, hogy minden t id®pontra az ξ (t)mérhet® az Ft eseménytérre58. Másképpen fogalmazva minden bolyongás martingál.

1.3.2. Exponenciális martingálok

A martingálok osztálya azonban jóval b®vebb mint a bolyongások. A legjobb példa olyan mar-tingálra, amely nem bolyongás a szorzatbolyongás. Ha adott egy (dk) véletlen sorozat, akkornem világos, hogy a folyamat aggregálását miért additív módon, vagyis miért összeadással kellelvégezni. A pénzügyi folyamatok esetén az egyes elemi lépéseket szorzással kell aggregálni. Ezéppen a közismert kamatos kamat elv. A pénzügyekben a természetes átlagolás a geometriai átlag,a pénzügyi folyamatok természetes módon multiplikatívak. Ha a (dk) sorozat tagjai függetlenek ésa várható értékük egy, akkor a ξk $

∏ki=1 di sorozat martingál, ugyanis a kiemelési szabály miatt

M (ξk | Fk−1) = M(dk

(k−1∏i=1

di

)| Fk−1

)=

=(k−1∏i=1

di

)M (dk | Fk−1) =

=k−1∏i=1

di · 1 $ ξk−1,

ahol ismét felhasználtuk, hogy független változók esetén a feltételes várható érték megegyezika közönséges várható értékkel. A multiplikatív martingálokra vonatkozó legfontosabb példa a

56Miként említettük a ltráció mindig el®re rögzített, implicite vagy explicite adott.57Vagyis, ha a (ξk) sorozat bolyongás.58Ezt a tulajdonságot szokás adaptáltságnak nevezni. Másképpen fogalmazva, ha nincsen megadva explicite

a ltráció, akkor az Ft deníció szerint a t id®pontig meggyelt változók által deniált eseménytér. Függetlennövekmény¶ folyamatok esetén a ltráció explicite nincsen adva, de az említett módon implicite mindig értelmezvevan.

1.3. A TÖKÉLETES VÉLETLEN: MARTINGÁLOK 22

Wiener-folyamathoz tartozó úgynevezett exponenciális martingál. Ha w Wiener-folyamat, akkoraz exp (w (t)) változó lognormális eloszlású. A lognormális eloszlás várható értékére vonatkozónevezetes

M (exp (N (µ, σ))) = exp(µ+

σ2

2

)képlet alapján

M (exp (w (t))) = M(

exp(N(

0,√t)))

= exp(t

2

).

Ebb®l következ®en az

exp(w (t)− t

2

)=

exp (w (t))M (exp (w (t)))

valószín¶ségi változó várható értéke 1. Így a

ξ (t) $ exp(w (t)− t

2

)folyamat folytonos id®paraméter¶ szorzatbolyongás:

M (ξ (t) | Fs) $ M(

exp(w (t)− t

2

)| Fs

)=

= exp(− t

2

)M (exp (w (t)) | Fs) =

= exp(− t

2

)M (exp (w (t)− w (s)) exp (w (s)) | Fs) =

= exp(− t

2

)exp (w (s)) M (exp (w (t)− w (s)) | Fs) =

= exp(− t

2

)exp (w (s)) M (exp (w (t)− w (s))) =

= exp(− t

2

)exp (w (s)) M

(exp

(N(0,√t− s

)))=

= exp(− t

2

)exp (w (s)) exp

(t− s

2

)=

= exp(w (s)− s

2

)$ ξ (s) .

A ξ (t) folyamatot szokás a w exponenciális martingáljának mondani.

1.3.3. Függetlenség, korrelálatlanság, martingálok

Egy (dk) sorozat deníció szerintmartingáldierencia sorozat, ha minden i < j esetén M (dj | Fi) $0. Az elnevezést triviálisan az indokolja, hogy egy (dk) sorozat pontosan akkor martingáldierenciasorozat, ha van egy martintingál, amelynek növekményei éppen a (dk) sorozat elemei. A martin-gáldierencia sorozatra a legegyszer¶bb példa a független és nulla várható értékkel rendelkez®valószín¶ségi változókból álló sorozat. Megjegyezzük, hogy ha a (dk) sorozat martingáldierenciasorozat, akkor a sorozat tagjai korrelálatlanok. Mivel a martingálok tartják a várható értéket59,a martingáldierencia sorozat tagjainak várható értéke nulla, így ha i < j, akkor a kiemelési és atorony szabály miatt

cov (di, dj) $ M (didj) = M (M (didj | Fi)) == M (diM (dj | Fi)) = M (di0) = 0.

59V.ö.: (1.2) sor, 23. oldal.

1.3. A TÖKÉLETES VÉLETLEN: MARTINGÁLOK 23

Ebb®l látható, hogy a martingálok a független növekmény¶ és a korrelálatlan növekmény¶ folya-matok között helyezkednek el. Ezért mondtuk a martingálok bevezetésekor, hogy a martingál abolyongás leheletnom általánosítása.

Természetesen a Lévy-folyamatok és a martingálok nem meritik ki a sztochasztikus folyamatokcsaládját. Fontos példa olyan folyamatra, amely sem nem Lévy-folyamat60 sem nem martingál akorábban tárgyalt Markov-lánc, vagy a kés®bb tárgyalt frakcionális Wiener-folyamat.

1.3.4. Lokális martingálok

Van azonban egy rossz hír. Valójában a sztochasztikus analízisben nem a martingálok adják azatomisztikus véletlen fogalmát. A pontos osztály az úgynevezett lokális martingálok osztálya,amely némiképpen b®vebb osztály a martingáloknál. A lokális martingálokra még többször visszafogunk térni, most csak néhány érint®leges megjegyzést teszünk.

A martingálok kapcsán a leggyakrabban használt állítás az úgynevezett megállási opciókról szólótétel. A lokális martingálok bevezetéséhez is célszer¶ ebb®l a tételb®l kiindulni. Vegyük észre, hogya martingálok legfontosabb tulajdonsága, hogy tartják a várható értéket. Ez éppen a tornyszabálykövetkezménye: Ha ξ martingál és t > s, akkor

M (ξ (t)) = M (M (ξ (t) | Fs)) = M (ξ (s)) . (1.2)

A fordított állítás persze nem igaz. Természetesen nem minden olyan folyamat, amely tartja avárható értéket lesz martingál. A megállási opciókról szóló tétel a várható érték megmaradásitulajdonságot terjeszti ki x id®pontokról úgynevezett megállási id®kre, megállási szabályokra.

A megállási id® fogalmát legegyszer¶bben példákon keresztül világíthatjuk meg. Mindenki tudja,hogy a lehet® legolcsóbban venni és a lehet® legdrágábban eladni lehetetlen. Ennek oka, hogy azaz id®pont, amikor mondjuk egy részvény a lehet® legdrágább az esemény bekövetkeztekor nemismert. Majd kés®bb, a történelem eldönti, hogy a múltban az adott esemény bekövetkezett-eés ha igen, akkor mikor. Másképpen fogalmazva, az az id®pont, amikor a részvény ára egy adottid®szak alatt a legnagyobb nem megállási id®. Ez egy véletlen id®pont, ugyanis a trajektóriamaximuma és annak id®pontja függ a trajektóriától és így véletlenszer¶en alakul. A megállásiid®k olyan véletlen id®pontok, amelyek bekövetkeztével a bekövetkezés id®pontjában tisztábanvagyunk és nem csak visszatekintve vagyunk okosak. Megállási id®re tipikus példa a halmazoktalálati ideje. Például az els® olyan id®pont, amikor a részvény ára mondjuk 100 fölé emelkedik,vagy el®ször lesz egy dollár három euró stb. Világos, hogy amikor ez bekövetkezik, akkor err®laz esemény bekövetkezéssének id®pontjában mindenki tud61. Ugyanakkor az az id®pont, amikorutoljára volt a részvény ára száz dollár nem megállási id®. Az, hogy valami el®ször következikbe a bekövetkezés pillanatában eldönthet®. Valamely esemény utoljára való bekövetkezése általá-ban csak visszatekitve értelmezhet®62. Világos, hogy ténylegesen cselekedni, csak megállási id®kmentén lehet.

1.5 Tétel. (A megállási opciókról szóló tétel)Egy ξ (t) jobbról reguláris, adaptált folyamat pontosan akkor martingál, ha minden korlátos τmegállási id® esetén63

M (ξ (0)) = M (ξ (τ)) ,

és a két oldal mindig véges.

60A folyamat növekményei stacionáriusak, de nem függetlenek. Vegyük észre, hogy a frakcionális Brown-folyamatfolytonos.

61Persze csak olyanok, akiket a kérdés érdekel.62A probléma mögött, lozóai szinten" triviálisan az id® megfordíthatatlansága van. A sztochasztikus analízis-

ben az id® mindig egy irányban változik, ugyanis a ltráció mindig n®, így az id®tengely egy egyértelm¶ irányítássalbír.

63A ξ (τ) változó az a valószín¶ségi változó, amely értéke minden ω kimenetel esetén éppen a ξ folyamat értékea τ (ω) id®pontban. Vagyis (ξ (τ)) (ω) $ ξ (τ (ω) , ω) . A ξ (τ) valószín¶ségi változó elnevezése megállított változó.

1.3. A TÖKÉLETES VÉLETLEN: MARTINGÁLOK 24

Másképpen egy adaptált és jobbról reguláris folyamat pontosan akkor martingál, ha korlátos meg-állási id®k mentén a várható értéke véges és a megállított változó várható értéke független amegállítási szabálytól. A tétel elnevezését az indokolja, hogy a tétel szerint várható értékben atetsz®leges id®pontban való kilépés opciója, lehet®sége, joga értéktelen, feltéve, hogy a tétel ál-lításának megfelel®en egy x id®vel korlátozzuk a kilépési opció lehetséges élettartamát64. Ha akilépés lehet®ségével nem várhatunk addig, amig csak akarunk, akkor a megállási jog, legalábbisa várható érték szempontjából, értéktelen.

A megállási id® korlátosságának feltétele igen fontos! Minden Wiener-folyamat független növekmé-ny¶ és a növekmények várható értéke nulla, így minden Wiener-folyamat martingál. Ugyanakkora (1.1) sorban deniált τa megállási id®re

M (w (τa)) = M (1) = 1,

miközben w (0) = 0. Nem minden martingál tartja minden megállási id®re a várható értéket.Ha valamely adaptált és jobbról reguláris folyamatra tetsz®leges τ megállási id® esetén teljesül amegállási opciókról szóló tétel, akkor a folyamatot nevezhetnénk er®s martingálnak. Az igazánkijátszhatatlan véletlen folyamatok nem a martingálok, hanem az er®s martingálok. Sajnos amatematika, mint minden emberi tudomány, id®ben fejl®dött és nem minden elnevezése tökéle-tes. A sztochasztikus analízisben számos esetben a viszonylag egyszer¶ koncepcióknak nagyontudományos neve van65. Az er®s martingálok hivatalos neve egyenletesen integrálható mar-tingál66. Minden martingálból lehet egyenletesen integrálható martingálokat csinálni. Legyen ξegy sztochasztikus folyamat és legyen τ egy véletlen id®pont. Tekintsük a

ξτ (t, ω) $ ξ (t ∧ τ (ω) , ω)

módon deniált folyamatot. Emlékeztetünk, hogy az a ∧ b jel az a és a b számok közül a kisebbreutal. A ξτ folyamatot a ξ folyamat τ id®pontban való megállításának mondjuk. Ha a t id®pontvalamilyen kimenetelre a τ (ω) el®tt van, akkor a ξτ értéke ebben az id®pontban azonos a ξértékével. De ha t ≥ τ (ω) , vagyis t a τ bekövetkezése után van, akkor a ξτ értéke éppen a ξ értékea τ bekövetkezésének pillanatában. Vagyis a ξτ a τ el®tt azonos a ξ-vel, de a τ id®pontban azértéke kimerevedik. A megállási opciókról szóló tétel segítségével belátható, hogy a martingálokhalmaza invariáns a megállási id®k szerint megállításra nézve. Vagyis ha a ξ martingál és a τtetsz®leges megállási id®, akkor a ξτ megállított folyamat ismét martingál lesz67. Ugyanakkor haξ martingál és a t tetsz®leges id®pont, akkor a τ ≡ t egy megállási id®, és ilyenkor a ξτ folyamategyenletesen integrálható martingál. Ennek oka igen egyszer¶: Ha most σ tetsz®leges megállásiid®, akkor

M (ξτ (σ)) = M (ξ (σ ∧ τ)) = M (ξ (σ ∧ t)) = M (ξ (0)) ,

ugyanis a ρ $ σ ∧ t megállási id® korlátos, és korlátos megállási id®k esetén a megállási opciókrólszóló tétel igaz. Tekintsük most a τn ≡ n sorozatot. Világos, hogy ha a ξ martingál, akkor mindenn-re ξτn egy egyenletesen integrálható martingál. Mivel a τn ∞, ezért azt szokás mondani,hogy a (τn) sorozat lokalizálja a ξ martingált.

64A korlát függhet a szabálytól. A pénzügyi matematikában mindig megköveteljük, hogy az opcióknak legyenegy x, véges lejárati ideje. Ez nagyban egyszer¶síti a matematikai kezelést, mert ilyenkor az összes számbajöhet®megállási szabálynak van egy x fels® korlátja, így a megállási opciókról szóló tételben szerepl® korlátozó megkötés,s®t annál több is, teljesül.

65Maga a martingál is ezek közé tartozik. A martingál elnevezés nagyban nehezíti a koncepció megértést éselfogadását, ugyanis a martingál szó önmagában nem igazán jelent semmit és ezért a kezd®knél a szükséges intuitívmotivációk autómatikusan nem érzékelhet®ek. Ebb®l a szempontból a valójában sokkal bonyolultabb és bizonyosszempontból jóval keresettebb függetlenség elnevezés telitalálat. Másképpen a függetlenség marketing kommuniká-ciója jó, a martingál rossz kommunikációval rendelkez® igen hasznos fogalom.

66Hogy az elnevezést miért használjuk, annak jó oka van és ennek megtárgyalása nagyon messze vezetne. Az olva-sónak elegend® annyit megjegyezni, hogy az egyenletesen integrálható martingálokat átlagban nem lehet megállásistratégiával manipulálni.

67Érdemes hangsúlyozni, hogy hasonló tulajdonság a Lévy-folyamatok és a bolyongások esetén nem teljesül.

1.3. A TÖKÉLETES VÉLETLEN: MARTINGÁLOK 25

1.6 Deníció.Ha valamely folyamatra van olyan megállási id®kb®l álló (τn) sorozat, amelyre τn ∞ , ésamelyre minden n-re a ξτn megállított folyamat egyenletesen integrálható martingál, akkor a ξfolyamatot lokális martingálnak mondjuk68.

Az olvasó joggal vetheti fel, hogy mi értelme van ennek a deníciónak. Jogos az igény, hogy némimagyarázattal szolgáljunk.

A magyarázat, vagy inkább indokolgatás el®tt célszer¶ azonban egy általános jelleg¶ megjegyzésttenni. Minden matematikai elméletnek megvan a maga gyenge pontja. Nullával nem lehet osz-tani, negatív szám nem lehet a gyök alatt, a mátrixok szorzásakor a sorrend fontos stb. Ezek atechnikai részletek ügyes kerülgetése adja a matematikai elmélet sava-borsát. A tényleges gya-korlati alkalmazásokban azonban ezek a kérdések nem bírnak akkora jelent®séggel, mint azt az el-méleti fejtegetések kapcsán esetlegesen gondolnánk. Magunktól, ritkán akarunk nullával osztani69,és ha egyáltalában valaha gyököt akarnánk vonni, nyilván nem fogunk negatív számot tenni a gyökalá. Hasonlóan, nem is olyan könny¶ lokális martingált csinálni. Viszonylag komoly felkészültségkell, ahhoz, hogy valaki martingált akarjon csinálni és mégis valódi lokális martingált kapjon70.Erre kés®bb vissza fogunk térni. Mivel a lokális martingál kontra martingál a sztochasztikus ana-lízis technikai alapproblémája a kérdést nem szabad alábecsülni, de nem is kell túlbecsülni sem.A sztochasztikus analízissel nagyrészt feltehet®en felületesen ismerked® olvasónak71 a két fogalomeltéréséb®l nem kell nagy ügyet csinálni.

Lássuk, tehát, hogy miért természetes fogalom a lokális martingál, vagyis miért nem elegend®x id®pontok mentén lokalizálni a martingálokat? A kérdés inkább fordítva érdekes. Miért isakarnánk mi a sztochasztikus folyamatokat x id®pontokkal lokalizálni? A legtöbb, természete-sen jelentkez®, tényleges id®pontmeghatározás nem x id®pontokra épül. Az id®tengely rögzítésemeglehet®sen önkényes. Az ebéd után id®pont egy véletlen id®pont, egy megállási id®. Két emberel®re megbeszélt találkozásának id®pontja a legritkább esetben írható le egy pontos id®ponttal. Azid® nem feltétlenül az id®tengely által el®írt egyenletes sebesség mentén változik. Igen gyakranmegállási id®k sorozata jelöli ki az id®tengelyt. Úgy érezzük, hogy a véletlen fogalma nem változik,ha az id®tengelyt rendezéstartó módon esetlegesen átskálázzuk. Vagyis természetes igény, hogymindenhová, ahová x id®pont írható, megállási id® is írható legyen. Lényegében ezt biztosítjamartingálok esetén a megállási opciókról szóló tétel, de számos más hasonló karakter¶ tétel is-mert az irodalomban. A lokális martingál csak annyit mond, hogy xen választott lokalizációsid®pontsorozat helyett a folyamatot egy természetesen jelentkez® eseménysorozat id®pontjaival islokalizálhatjuk. Ami intuitíve nem világos72, hogy miért kapunk így egy b®vebb osztályt mint amartingálok, ugyanis valahol a két fogalom intuitíve nagyon hasonló.

Hogy a fejtegetést némiképpen jobban motiváljuk, megjegyezzük, hogy egy martingál esetén nemcsak a megállási stratégia id®tartamának korlátozásával érhetjük el a várható érték változatlan-ságát. A duplázási és a hozzá hasonló stratégiák megszüntetése céljából kiköthetjük azt is, hogya lehetséges nyeremények és a veszteségek halmaza korlátos legyen73. Vagyis nem csak azt ír-hatjuk el®, hogy egy x id® után a játékot be kell fejezni, hanem azt is mondhatjuk, hogy egybizonyos értékhatár átlépésekor lesz a játéknak vége. Az, hogy id®ben mikor lépjük át el®ször azel®írt szintet nyilván megállási id®, függ a játék alakulásától. Ennek megfelel®en az egyenletes

68A lokalizáló megállási id®kr®l feltehet®, hogy mindegyikük külön-külön korlátos.69Mindig a matektanárok jönnek evvel. Egy normális diák még osztani sem akar változót tartalmazó kifejezéssel.

Nem beszélve arról, hogy az átlagember csak a gépkocsi fogyasztás kiszámolásakor találkozik az osztással.70Számos igen elegáns példa ismert, de mindegyik elég technikás.71Mi mint egyszer¶ átlagemberek, csak pénzt akarunk keresni. Ehhez pedig a martingál is csak azért kell, hogy

átmenjünk a vizsgán. A lokális martingállal meg törödjenek a francia és az orosz matematikusok.72Újra és újra hangsúlyozni kell, egy nagyon trükkös és árnyaltan kezelend® technikai fogalomról van szó, amit csak

egy küldetéstudattal rendelkez®, indokolatlanul lenézett törpe kisebbség ért. Mi közgazdászok mindig a többséggeltartunk. Naná, majd pazaroljuk az id®nket apróságokra.

73Hangsúlyozni kell, hogy az általunk tárgyalt matematikai modellben a f® nehézséget a duplázási típusú stra-tégiák lehet®sége hozza be. A duplázási stratégia pedig tipikusan csak matematikailag lehetséges. A kaszinókbana duplázás nem azért tiltott, mert kaszinó fél t®le. Nem, á dehogy. A kaszinó hírnevének a duplázási stratégiátfolytató, nyilvánosan öngyilkosságot elkövet® ostobák tömege ártana.

1.3. A TÖKÉLETES VÉLETLEN: MARTINGÁLOK 26

integrálhatóságot biztosító lokalizációs id®sorozat esetlegesen74 nem lesz x id®pontok sorozata.Semmi okunk nincsen arra, hogy egy játékban az id®tartamot és nem a nyeremény és veszteségértékét, vagyis ne az értékfolyamat nagyságát korlátozzuk. Valljuk be, az értékfolyamat nagysá-gának korlátozása sokkal természetesebb, mint a játék tényleges lefolyásától függetlenül a játékid®tartamának korlátozása. Ha viszont az értékfolyamat nagyságát korlátozzuk, nem feltétlenültudunk különbséget tenni a martingálok és a lokális martingálok között. Ha az értékfolyamatkorlátozására koncentrálunk, akkor derékig belesülyedtünk a sztochasztikus analízis mocsarába:Szabad akaratunkból megteremtettük a sztochasztikus analízis szörnyét a lokális martingált!

74Ez például abban a kiemelked®en fontos esetben, amikor a trajektóriák folytonosak mindig megtehet®.

2. fejezet

Sztochasztikus integrálás

Ebben a fejezetben a sztochasztikus integrál fogalmát deniáljuk. A gondolatmenet lényege, hogy

minden integrál súlyozott összegek határértéke. A sztochasztikus integrálok esetén a konvergenciát a

sztochasztikus konvergencia deniálja. A sztochasztikus integrálás másik sajátos tulajdonsága, hogy a

közelít® összegek megválasztásakor csak az intervallum kezd®pontja megengedett.

A sztochasztikus analízis legfontosabb fogalma a sztochasztikus integrál. A sztochasztikus integ-rál, mint minden integrál valamilyen közelít® összegek határértéke. Az integrál közelít® összegeksúlyozott számtani közepek, vagyis az integrál mindig súlyozott számtani közepek határértéke.Ennek megfelel®en minden integrál esetén meg kell különböztetni a súlyt, amit integrátornak szo-kás nevezni, illetve az összegzend® értékeket, amit integrandusnak szokás mondani. A különböz®integrálfogalmak lényegében csak abban térnek el, hogy miként képezzük az integrál értékét kö-zelít® összegeket, illetve hogyan képezzük a határértékeket. Az integrál heurisztikus tartalmamindig a közelít® összegekb®l olvasandó ki, a határérték képzése mindig matematikai b¶vészkedéstárgya1. Az integrál deníció szerint a közelít® összegek által hordozott intuitív fogalmat, tartal-mat terjeszti ki a határértékre. A sztochasztikus integrál képzésekor a súlyt valamilyen véletlen,kockázatos folyamat id®ben való értéknövekedése adja. A pénzügyi matematikában a súly, vagyisaz integrátor valamilyen pénzügyi termék adott id®szakban való ármegváltozása, az integranduspedig a kockázatos termékb®l az integrálási id®periódus alatt tartott portfolió nagysága. Ennekmegfelel®en a pénzügyi matematikában a sztochasztikus integrálok a kockázatos termékekb®l állóportfoliók értékének alakulását megadó sztochasztikus folyamatként interpretálhatóak.

2.1. Korlátos változású folyamatok szerinti integrálás

Az integrálás heurisztikus megértésének egyetlen kulcsa van: a klaszikus, az elemi analízisbentárgyalt, úgynevezett Riemann-féle integrálfogalom, illetve konstrukció megértése. Ennek megfe-lel®en el®ször röviden áttekintjük az elemi analízisben tanult Riemann-integrált, majd ismertetjüka fogalom általánosításait. A legegyszer¶bb általánosítás az úgynevezett Stieltjes-integrál, amikora súlyfüggvényt explicit módon gyelembe fogjuk venni. A Stieltjes-integrál a Riemann-integrálközvetlen és igen kézenfekv® általánosítása. Számos szempontból a Stieltjes-integrál egyszer¶bbmint a Riemann-integrál, ugyanis éppen a fogalom általánossága miatt az integrálással kapcsolatosproblémák a Stieltjes-integrál esetén világosabban jelentkeznek mint az igen speciális Riemann-integrál esetén. A sztochasztikus integrálás megértése szempontjából kulcs jelent®sége van annak,hogy a Stieltjes-típusú integrálás csak akkor használható, ha a súlyfüggvény úgynevezett korlátosváltozású2.

1A b¶vészkedés nem lekicsinyl® kifejezés, a b¶vészkedés általában mély meglátást takar. A b¶vészkedés célja ahatárérték létezésének garantálása, illetve a konvergencia természetének feltárása.

2Szokás még véges megváltozású függvényekr®l is beszélni. A korlátos és a véges változás lényegében azonosfogalmak. Véges megváltozás alatt azt szokás érteni, hogy a függvény minden véges szakaszon korlátos változású.Így a Riemann integrál integrátora az y = x függvény a teljes számegyenesen nem korlátos változású, de mivel

27

2.1. KORLÁTOS VÁLTOZÁSÚ FOLYAMATOK SZERINTI INTEGRÁLÁS 28

Az integrállal kapcsolatban mindig két kérdés teend® fel:

1. Mikor létezik az integrál, illetve2. hogyan számolható ki az értéke3?

Ez els® kérdés bizonyos értelemben lozóai karakter¶: mikor létezik, milyen általános körben de-niálható például a terület, a várható érték, vagy miként kés®bb látni fogjuk a kereskedés, a dinami-kus stratégiai játék kumulált eredménye, stb. A létezés feltételeinek tisztázása után felmerül® els®kérdés: ha matematikai értelemben létezik a fogalom, mekkora az értéke. Világosan látni kell, hogyaz els® kérdésre a válasz jóval egyszer¶bb mint a másodikra. A matematikában áttekinthetetlenülsok integrálfogalom van. Számtalan konstrukció létezik, amely garantálja alkalmasan választottsúlyozott összegek határértékének létezését. Ugyanakkor az összegek határértékének, vagyis azintegrál értékének kiszámolásához igen kevés, mondhatnánk, hogy nevetségesen kevés módszer állrendelkezésre. Univerzálisan, vagyis igen nagyszámú összeg kiszámolását lehet®vé tev® egyszer¶módszer tulajdonképpen csak egy van: a NewtonLeibniz-szabály. Bár a NewtonLeibniz-szabályhatékonysága bámulatos, mégis sok fontos integrál esetén közvetlenül nem használható4. Ha aNewtonLeibniz-szabály nem m¶ködik, akkor két dolgot tehetünk: vagy ad hoc integrálási techni-kát alkalmazunk, vagy az integrált numerikusan közelítjük. A matematikai elméletben el®fordulófontos integrálok kiszámolására számos ad hoc módszer született, ezek mindegyikének hatóköreazonban korlátozott, és az alkalmazott gondolatmenetek legtöbbször igen speciális megfontolásokraépülnek5. Ha az integrál értéke ad hoc, speciális módszerrel sem számolható ki, és az integrál ér-téke gyakorlati szempontból fontos, akkor az integrált numerikusan is kiszámolhatjuk, vagyis azintegrál értékét valamelyik közelít® összeggel közelíthetjük. Erre tipikus példa a normális elosz-lás eloszlásfüggvényének táblázata, miként ide tartozik az összes függvénytáblázat vagy az összesExcel-függvény is.

2.1.1. Riemann-integrál

Riemann-integrál esetén az integrátor, vagyis a súlyfüggvény az y = x, az integrandus, az összeg-zend® értékeket szolgáltató objektum pedig tetsz®leges folytonos függvény lehet6. Jelent®ségét kétdolog adja: egyrészt szemléletes tartalma a szokásos geometriai fogalmak mint terület, térfogat7

stb. általánosítása, másrészt az integrálra könnyen igazolható a NewtonLeibniz-szabály. A kétfogalom szoros kapcsolatára utal, hogy az analízist felületesen ismer®k számára8 a két fogalomegyet jelent.

minden véges szakaszon korlátos változású ezért véges változású. A pontos deníciókat lásd alább.3További fontos kérdés, hogy milyen számolási szabályokkal rendelkezik az integrál. Mint minimális követel-

mény meg szokás követelni, hogy az integrál lineáris operáció legyen, vagyis, hogy felcserélhet® legyen a lineáriskombináció képzésével. Ez olyan természetes követelmény, hogy teljesülését szinte triviálisnak szokás tekinteni. Alineáris kombináció képezhet® az integrátor, illetve az integrandus szerint is. A különböz® integrálok matematika-ilag legfontosabb tulajdonsága az integrál és a határértékek viszonya: Mikor lehet az integrált és a határértéketfelcserélni?

4Meg szokás jegyezni, hogy a NewtonLeibniz-szabály mellett az úgynevezett Cauchy-formula is univerzálisanhasználható integrálási technika. A Cauchy-formula azonban inkább univerzális módszer arra, hogy olyan integrá-lokat, amelyeket nem tudunk közvetlenül kiszámolni a NewtonLeibniz-szabállyal miként vezethetjük vissza olyanintegrálokra, amelyekre a szabályt már alkalmazni tudjuk.

5A speciális integrálok kiszámolása a matematika megbecsült, klaszikus és igen nehéz területeinek egyike. Nagytévedés azt hinni, hogy a számítógépes programokkal minden integrál könnyen számolható. A könny¶ integrálokatkönny¶ kiszámolni, a nehezeket nehéz! A matematikában is érvényes az energiamegmaradás elve: a nehéz problémákmegoldásához és a megoldások megértéséhez sok id®, sok türelem, sok er®feszítés és kitartás kell.

6Nem folytonos függvénynek is értelmes lehet a Riemann-integrálja, de a mi szempontunkból ez egy érdektelenészrevétel. Általában, ha tényleg nem folytonos függvényeket akarunk integrálni, akkor érdemesebb a Lebesgue-féle konstrukciót bemutatni, a Riemann-féle konstrukció nem folytonos integrandus esetén inkább csak történetiérdekesség. A Lebesgue-féle integrálás elmélete azonban a matematikai analízis egyik gyöngyszeme. Minden valódigyöngyszemért nagyon mélyre kell merülni, mi pedig most csak a hullám hátán akarunk lovagolni, hiszen arbitrázslehet®séget keresünk.

7Természetesen a többdimenziós Riemann-integrál adja a térfogatot.8Nem akarom az olvasót elkeseríteni, de várhatóan a jegyzet összes olvasója ebbe a kategóriába sorolható.

2.1. KORLÁTOS VÁLTOZÁSÚ FOLYAMATOK SZERINTI INTEGRÁLÁS 29

A Riemann-integrál deníciója igen egyszer¶: vegyük az [a, b] szakasz egy

a = x0 ≤ x1 ≤ . . . ≤ xn = b

felbontását és tekintsük an∑k=1

f (tk) (xk − xk−1)

közelít® összeget. A közelít® összeg képzésekor a tk úgynevezett közelít®, vagy teszt pont az[xk−1, xk] zárt szakasz tetsz®leges pontja lehet. Deníció szerint, ha a felbontás módjától9 és aközelít® pont választásától függetlenül létezik véges határérték, akkor a határértéket az f Riemann-féle integráljának mondjuk és a határértéket

∫ baf (x) dx módon jelöljük.

Miként említettük minden integrál esetén az els® kérdés mikor létezik10 az integrál?

2.1 Állítás.Ha az f függvény az [a, b] véges, zárt intervallumon folytonos, akkor az

∫ baf (x) dx integrál létezik.

A tétel indoklása jóval bonyolultabb mint gondolnánk. Az indoklás bonyolultsága els®sorban ab-ból származik, hogy mélyen és alapvet®en a valós számok teljességére épül. A teljesség a valósszámok lozóailag legvitathatóbb, ugyanakkor matematikailag vitathatatlanul a legfontosabb,tulajdonsága. Miért létezik az integrál? Azért, mert a számegyenes teljes. Miért tekintjük aszámegyenest teljesnek? Hát számos okból, többek között azért is, mert ilyenkor az integrál,Riemann-integrál esetén a terület fogalma, széles körben értelmezhet®. Mit értünk teljességen? Ateljesség a matematika egyik alapvet® fogalma. A számegyenes esetén a teljesség azt jelenti, hogy aszámegyenesen nincsenek lyukak! De ez mit jelent? Mi az, hogy lyuk? Szemben a lyukas zoknivala lyukas számegyenes fogalma nem evidens kategória. Miért lyukas a racionális számokból állószámegyenes? Mit jelent ez? Hát például a

√2 a geometriában létez® szám, de nem racionális11.

OK, hát legyen a√

2 is valós szám, vagyis a racionális számokat egészítsük ki a geometriábanmegszerkeszthet® számokkal. Miért nem tünnek el a lyukak, ha a geometriailag megszerkezthet®számokkal kiegészítjük a racionális számokat? Hát vannak olyan számok, amelyek nem szerkezt-het®ek, de el®fordulnak a geometriában. Ilyen például a π. Legyen a π is valós szám! OK. Milyenszámokat vegyünk még? Hát vegyük még az e számot is, stb. De hol van a dolognak vége? Ha egycs® lyukas el®bb vagy utóbb a lyukakat be lehet tömni. De a számegyenes esetén? Hány lyuk van aszámegyenesen? Nyilván egy olyan konstrukciót akarunk, amely biztosítja, hogy minden értelmesszám amivel az analízisben találkozunk valós szám legyen. Mi az, hogy értelmes szám? Hát azoka számok, amelyekkel elvileg valaha találkozhatunk. Mikor? Hát például folytonos függvényekRiemann-integráljának elvi konstrukciója során. Aha!

A teljes analízis a teljesség feltételére épül. Ha nincs teljesség, nincs matematikai analízis. Ateljesség az a feltétel, amely általános és könnyen megjegyezhet®, mondhatnánk szép és elegánstételek megfogalmazását lehet®vé teszi12.

A teljesség feltétele számos módon megadható. A kés®bbi általánosítások miatt a legegyszer¶bb,bár semmiképpen nem a legszemléletesebb13 deníció a következ®:

9Természetesen az osztópontok növelésével a felbontásban szerepl® szomszédos pontok távolsága nullához kell,hogy tartson. Tehát nem csak az osztópontok számát, hanem a felbontás nomságát" is növelni kell.

10Talán helyesebb lenne azt kérdezni, hogy miért létezik az integrál? A mikor kérdésre a tétel szövege, a miértkérdésre a bizonyítás ad választ.

11Hogy a létezés szó mit jelent nem evidens, ugyanis ha evidens lenne, akkor szegény Pithagorasz a legenda szerintnem vetette volna le magát a kékl® habokba. A legenda léte arra utal, hogy az elmúlt pár ezer év alatt az embereknagyonis elgondolkodtak a létezés szó értelmén.

12A matematika nagy része a teljesség feltételére épül. A hiányzó rész pedig azt vitatja, hogy miért helytelen ez.13Talán a legszemléletesebb, a Cantor és az Archimédesz axiómák megkövetelése. A Cantor-axióma szerint minden

egymásba ágyazott, zárt és korlátos intervallumokból álló sorozatnak van közös pontja. Ez jelenti szemléletesen azt,hogy nincsen üres hely a számegyenesen. Nem lehet egy lyukra ráhúzni egy zárt szakaszokból álló sorozatot. AzArchimédesz axióma szerint bármely két valós szám között van racionális szám, vagyis a valós számok a racionálisszámok és csak azok kib®vítéséb®l, teljessé tételéb®l erednek.

2.1. KORLÁTOS VÁLTOZÁSÚ FOLYAMATOK SZERINTI INTEGRÁLÁS 30

2.2 Deníció.Az (xn) sorozatot Cauchy-féle sorozatnak, röviden Cauchy-sorozatnak mondjuk, ha minden ε > 0számhoz található olyan N (ε) index, hogy ha n,m ≥ N (ε) , akkor |xn − xm| ≤ ε.

TELJESSEGI AXIOMA : A valós számok körében minden Cauchy-sorozat konvergens14.

A teljességi axióma szerint tehát, ha számok egy sorozata olyan, hogy a tagjai egy id® után mindenhatáron túl elég közel kerülnek egymáshoz, akkor a sorozatnak van határértéke. Van, létezik egyolyan szám, amihez a sorozat tagjai tartanak. Ha az (xn) sorozatot valamilyen számolási, közelítésieljárás eredményének képzeljük el, akkor a Cauchy-feltétel azt jelenti, hogy tetsz®leges ε pontossá-got megadva, ha nem tudunk ε-nál pontosabban mérni, akkor egy id® után már nem tapasztalunkváltozást a számolási eljárás során. Ha tetsz®leges mérési pontosság esetén a módszer véges id®után már konstans eredményt biztosít, akkor a számolási eljárásnak létezik15, mégpedig egyetleneredménye, amit tetsz®legesen megadott pontosság erejéig közelíteni tudunk. Ha a számegyeneslyukas lenne, akkor a lyukhoz tetsz®legesen közel menve olyan Cauchy-sorozatot készíthetnénk,amely nem lenne konvergens. A teljesség deníció szerint azt jelenti, hogy minden Cauchy-félekonstrukcióhoz létezik egy idealizált elem, egy valós" szám, amely a sorozat határértéke lesz.

A teljesség lényege, hogy úgy tudjuk egy sorozat konvergenciáját biztosítani, hogy nem mondjukmeg el®re a sorozat határértékét, csak a konstrukciót16, amivel a közelítést végezzük.

Be akarjuk látni, hogy folytonos függvény esetén a Riemann-integrál létezik. Ehhez azt kell belátni,hogy a közelít® összegek sorozata Cauchy-sorozat. Tekintsünk két közelít® összeget.

∆ $

∣∣∣∣∣n∑k=1

f (tk)(x′k − x′k−1

)−

m∑k=1

f (sk)(x′′k − x′′k−1

)∣∣∣∣∣ .Bár a két felosztás különböz®, vehetjük a közös nomitásukat, vagyis azt az (xk)Nk=1 felosztást,amely a két felosztás közös osztópontjaiból áll. Ekkor

∆ =

∣∣∣∣∣N∑k=1

(f (tk)− f (sk)) (xk − xk−1)

∣∣∣∣∣ ≤≤

N∑k=1

|(f (tk)− f (sk)) (xk − xk−1)| ≤

≤ Nmaxk=1|f (tk)− f (sk)|

N∑k=1

|xk − xk−1| ≤

≤ Nmaxk=1|f (tk)− f (sk)| (b− a) .

Az f feltételezett folytonossága miatt a maxNk=1 |f (tk)− f (sk)| kifejezés az osztópontok növelésesorán tetsz®legesen kicsi lesz17, így mivel a b−a véges szám, ezért a ∆ is egy id® után tetsz®legesenkicsi lesz, tehát a közelít® összegek sorozata Cauchy-sorozat. A számegyenes feltételezett teljességemiatt a közelít® összegek sorozata konvergens, vagyis létezik az integrál.

14Miként jeleztük számos egyéb megfogalmazás is létezik. Természetesen ízlés dolga, hogy ki melyik megfo-galmazást választja. Az ízlés persze nagyon fontos dolog. Nem csak az öltözködésben, hanem a matematikábanis. A teljességi axiómát azért fogalmazzuk meg az egyébként némiképpen izléstelen Cauchy-kritériummal, merthangsúlyozni szeretnénk, hogy a Riemann-integrál létezése lényegében az analízis egyik axiómája.

15Emlékeztetünk: a létezés nagy szó. Létezik határérték! És Harry Potter? És a Deep Space 9? A körnek létezikterülete, de nem léteznek a Romulánok! Miért?

16Vagyis magát a sorozatot.17Szemléletesen, a szomszédos osztópontok egyre közelebb kerülnek egymáshoz, így a tk és az sk távolsága is

egyre kisebb lesz, tehát a folytonosság miatt az f (tk) − f (sk) is egyre kisebb lesz. (Miként jeleztük kicsire nemadunk, ha az olvasó tudja mi a különbség a folytonosság és az egyenletes folytonosság között akkor nem húzgálja aszáját. Én is tudom, de az egyenletes folytonosság maradjon a kett®nk titka.)

2.1. KORLÁTOS VÁLTOZÁSÚ FOLYAMATOK SZERINTI INTEGRÁLÁS 31

2.1.2. NewtonLeibniz-szabály

Térjünk rá az integrál kiszámítására. Az integrál kiszámítását lehet® tev® matematikai szabály aLagrange-féle középérték-tétel :

2.3 Állítás.Ha az f függvény az [a, b] szakaszon folytonos, az (a, b) halmazon deriválható, akkor létezik18

t ∈ (a, b) , hogyf (b)− f (a) = f ′ (t) (b− a) .

Deriválható függvény növekménye megegyezik valamely pontjába húzott érint®jének növekményé-vel. Ha a b− a kifejezéssel átosztunk, akkor

f (b)− f (a)b− a

= f ′ (ξ) .

Az f(b)−f(a)b−a éppen az f függvény által megadott görbe a és b pont közötti húrjának iránytan-

gense. A középérték-tétel szerint van olyan pont, ahol a húr párhuzamos az érint®vel, vagyis a húriránytangense megegyezik az érint® iránytangensével.

Legyen az F deriválható függvény. A középérték-tétel segítségével becsüljük meg az F (b)− F (a)eltérést. Ha (xk)nk=1 az [a, b] szakasz tetsz®leges felbontása, akkor

F (b)− F (a) =n∑k=1

(F (xk)− F (xk−1)) =

=n∑k=1

f (tk) (xk − xk−1) ,

ahol f az F deriváltja és tk a középérték-tétel által az (xk, xk−1) intervallumban garantált pont.Hangsúlyozni kell, hogy a tk pont elhelyezkedésr®l semmit nem tudunk. Csak a létezését tudjuk,pontos értékét nem. Ha az f függvény integrálható, akkor minden közelít® összeg sorozat azintegrálhoz tart, így az itt konstruált(

n∑k=1

f (tk) (xk − xk−1)

)

sorozat is. A közelít® sorozat értéke konstans módon F (b)− F (a) , vagyis deníció szerint∫ b

a

f (x) dx = F (b)− F (a) ,

vagyis teljesül a NewtonLeibniz-formula:

2.4 Tétel. (Newton-Leibniz)Riemann-integrálható függvény esetén az integrál értéke az antiderivált növekménye.

Hangsúlyozzuk, hogy a gondolatmenet kulcsa, hogy az integrál deníciójában a köztes tk pontokatszabadon választhattuk meg. Vegyük ugyanakkor észre, hogy némiképpen csaltunk, ugyanis aNewtonLeibniz-szabály némiképpen üres, ugyanis nem mondjuk meg, hogy mikor alkalmazható.Önmagában a tétel rendkívül elegáns, de a tétel erejét nem csak a megadott gondolatmenet adja.A tétel erejének másik forrása, hogy folytonos f esetén az állítás alkalmazható. Némi túlzássala két állítás együtt alkotja az elemi analízist. Ez indokolja azt, hogy a NewtonLeibniz-szabálytszokás az elemi analízis alaptételének is mondani.

18Miért is létezik? Hát persze, hogy a valós számok feltételezett teljessége miatt. Miért másért! Általános ököl-szabály: ha valamely matematikus azt mondja létezik, gyanakodjunk, hogy a háttérben a valós számok teljességénekfeltétele van. Kivétel, ha az illet® algebrista, és a kérdést még a marketingszakosok is megértik.

2.1. KORLÁTOS VÁLTOZÁSÚ FOLYAMATOK SZERINTI INTEGRÁLÁS 32

2.1.3. Stieltjes-integrálás

A Riemann-integrál közvetlen általánosítása a Stieltjes-integrál. Az általánosítás egyedül abbóláll, hogy az y = x súlyfüggvény helyett egy y = G (x) általános súlyfüggvény kerül. Az integráltilyenkor értelemszer¶en az ∫ b

a

f (x) dG (x)

módon jelöljük. A konstrukció tehát a következ®: Ismét vegyük az [a, b] szakasz egy

a = x0 ≤ x1 ≤ . . . ≤ xn = b

felbontását és tekintsük an∑k=1

f (tk) (G (xk)−G (xk−1))

közelít® összeget. A közelít® összeg képzésekor a tk pont ismételten az [xk−1, xk] zárt szakasztetsz®leges pontja lehet. Deníció szerint, ha a felbontás módjától és a közelít® pont választá-sától függetlenül létezik véges határérték, akkor a határértéket az f integrandus G súlyfüggvény,vagy integrátor szerinti Stieltjes-féle, vagy egyszer¶en Stieltjes-integráljának mondjuk. A Stieltjes-integrál intuitív tartalma a G súlyfüggvény tartalmától függ. Ha G egy eloszlásfüggvény, akkora G (xk) − G (xk−1) eltérés éppen annak a valószín¶sége, hogy az eloszlás mögötti ξ változó az[xk−1, xk) intervallumba esik. A

∑nk=1 f (tk) (G (xk)−G (xk−1)) közelít® összeg éppen az f (ξ)

transzformált valószín¶ségi változó átlagának, várható értékének közelítése. Ezt a következ®kép-pen indokolhatjuk: Vegyük észre, hogy az eloszlásfüggvény deníciója miatt, miként az iméntemlítettük

G (xk)−G (xk−1) $ P (ξ < xk)−P (ξ < xk−1) == P (ξ < xk \ ξ < xk−1) == P (xk−1 ≤ ξ < xk) .

Az Ω téren értelmezett ξ valószín¶ségi változó az

A $ xk−1 ≤ ξ < xk

halmazon jól közelíthet® az [xk−1, xk) szakasz bármely tk pontjával, így az f (ξ) transzformáltvalószín¶ségi változó jól közelíthet® a

ξn $∑k

f (tk)χ (xk−1 ≤ ξ < xk)

függvénnyel, ahol a χ (A) az A halmaz karakterisztikus függvénye19. Az átlag deníciója szerint∑k

f (tk) P (xk−1 ≤ ξ < xk)

súlyozott átlag az M (f (ξ)) várható jó közelítése. Speciálisan, ha ξ valószín¶ségi változó, G a ξeloszlásfüggvénye, akkor deníció szerint

M (ξ) = lim∆0

∑k

xk−1P (xk−1 ≤ ξk < xk) = (2.1)

= lim∆0

∑k

xk−1 (G (xk)−G (xk−1)) $

$∫ ∞−∞

xdG (x)

19Vagyis a χ (A) pontosan akkor 1, ha a halmazban vagyunk, a halmazon kívül az értéke nulla.

2.1. KORLÁTOS VÁLTOZÁSÚ FOLYAMATOK SZERINTI INTEGRÁLÁS 33

ahol ∆ jelöli a számegyenes20 felosztásának nomságát, vagyis

∆ $ maxk|xk+1 − xk| .

Hasonlóan

M(ξ2)

= lim∆0

∑k

x2k−1P (xk ≤ ξk < xk+1) =

= lim∆0

∑k

x2k−1 [G (xk+1)−G (xk)] $

$∫ ∞−∞

x2dG (x) .

Az itt tárgyalt formulák az absztrakt helyettesítés formula speciális esetei. A formula szerint va-lamely valószín¶ségi változó valamely függvényének várható értékét úgy kell kiszámolni, hogy afüggvényt integráljuk a változó eloszlása szerint. Absztrakt jelöléssel, ha G egy ξ változó eloszlás-függvénye, akkor

M (g (ξ)) =∫

Rg (x) dG (x) .

A várható érték egy integrál21. Az integrálban a súlyt a valószín¶ségek adják, a súlyozandó értéketpedig a valószín¶ségi változók. Ezt fejezi ki a várható értéket megadó

M (η) =∫

Ω

η (ω) dP (ω)

absztrakt jelölés: az η értékeit be kell súlyozni a megfelel® valószín¶ségekkel, majd ezeket össze kelladni22. A helyettesítési formula azt adja meg, hogy miként lehet az absztrakt módon megadottintegrált aprópénzre váltani, vagyis miként lehet az absztrakt módon deniált várható értéketStieltjes-integrálra visszavezetni.

Miként említettük minden integrál esetén az els® kérdés mikor létezik az integrál? Természetesenaz integrál létezését ismételten a Cauchy-kritériumra akarjuk visszavezetni. Vegyük észre, hogy azalábbiakban egy igen gyakori matematikai trükköt alkalmazunk. Veszünk egy régi, jól megértettdeníciót, illetve rá épül® bizonyításokat, majd a deníciót megváltoztatjuk, miközben a bizo-nyításokat lényegében változatlanul hagyjuk, illetve csak értelemszer¶en módosítjuk23. El®szörtegyük fel, hogy a G súlyfüggvény monoton n®. Próbáljuk megbecsülni a

∆ $

∣∣∣∣∣n∑k=1

f (tk)(G (x′k)−G

(x′k−1

))−

m∑l=1

f (sl)(G (x′′l )−G

(x′′l−1

))∣∣∣∣∣20A számegyenes a ξ értékkészlete.21Tulajdonképpen az egyik legjobb, legtermészetesebb példa olyan integrálra, ahol a súlyfüggvény nem az y = x

függvény. Vagyis a súlyfüggvény szerinti integrálásra a legismertebb példa a várható érték.22Némiképpen elnagyolva dP (ω) adja annak a valószín¶ségét, hogy az ω kimenetel következik be. Ezt kell

beszorozni az η (ω) értékkel, majd az így kapott értékeket összegezni kell. Miként a helyettesítéses integrálásesetén most is három dolgot kell kicserélni: a ξ változót x-re az Ω teret R-re és a P mértéket pedig a ξ változóeloszlásfüggvényére.

23Az elv azonos az objektum orientált programozás gondolatmenetével. Másképpen a különböz® integrálfogalmakaz eredeti Riemann-féle konstrukció overloadolásával" keletkeznek.

2.1. KORLÁTOS VÁLTOZÁSÚ FOLYAMATOK SZERINTI INTEGRÁLÁS 34

eltérést. Ismételten közös osztópontokra áttérve

∆ =

∣∣∣∣∣N∑k=1

(f (tk)− f (sk)) (G (xk)−G (xk−1))

∣∣∣∣∣ ≤≤

N∑k=1

|(f (tk)− f (sk)) (G (xk)−G (xk−1))| ≤

≤ Nmaxk=1|f (tk)− f (sk)|

N∑k=1

|G (xk)−G (xk−1)| ≤

≤ Nmaxk=1|f (tk)− f (sk)| (G (b)−G (a)) .

A G (b)−G (a) eltérés véges, így miként a Riemann-integrál esetén, most a ∆ tetsz®legesen kicsilehet, így a közelít® összegek sorozata most is Cauchy-sorozat. Így a valós számok teljessége miatta közelít® összegek sorozata ismét konvergens, tehát folytonos integrandus és monoton növeked®integrátor esetén a Stieltjes-integrál létezik.

Vegyük azonban észre, hogy a G monotonitását csak a

N∑k=1

|G (xk)−G (xk−1)| = G (b)−G (a)

egyenl®ség teljesültekor használtuk. A bizonyítás szó szerint érvényben marad akkor is, ha a

N∑k=1

|G (xk)−G (xk−1)|

kifejezés korlátos. Ez indokolja a következ® deníciót:

2.5 Deníció.Ha a G függvényhez létezik olyan K konstans, hogy az [a, b] szakasz minden (xk)Nk=1 felbontására

N∑k=1

|G (xk)−G (xk−1)| ≤ K,

akkor a G függvényt az [a, b] szakaszon korlátos változásúnak mondjuk. A lehetséges K korlátokhalmazának legnagyobb alsó korlátját24 a G variációjának, vagy teljes megváltozásának mondjukés Va,b (G) módon jelöljük. Nem nehéz belátni, hogy.

Va,b (G) $ sup(xk)

∑k

|G (xk)−G (xk−1)| ,

ahol a szuprémumot az [a, b] összes lehetséges (xk) felbontása szerint kell venni.

Az elmondottak miatt, lényegében deníció szerint, ugyanis a bizonyításon egy szót sem kellváltoztatni, érvényes a következ® állítás:

2.6 Állítás.Ha az f integrandus folytonos, a G integrátor korlátos változású az [a, b] véges szakaszon, akkorlétezik az ∫ b

a

f (x) dG (x)

Stieltjes-integrál.

24Vagyis venni kell a lehetséges korlátok inmumát, amely a lehetséges korlátok közül a legkisebb.

2.1. KORLÁTOS VÁLTOZÁSÚ FOLYAMATOK SZERINTI INTEGRÁLÁS 35

Az integrállal kapcsolatos következ® kérdés: hogyan számolható ki? Sok jó, és f®leg új hírt nemtudunk mondani. Az integrál kiszámítását lehet®ség szerint vissza kell vezetni a NewtonLeibniz-szabályra! Ezt a következ® módon tehetjük meg: Tegyük fel, hogy a G súlyfüggvény folytonosanderiválható. A deriválhatóság miatt használható a középérték-tétel, vagyis

G (xk)−G (xk−1) = g (tk) (xk − xk−1) ,

ahol g értelemszer¶en a G deriváltja és tk ∈ (xk−1, xk). Ebb®l a (tk) köztes pontokhoz tartozóközelít® összegekre

n∑k=1

f (tk) (G (xk)−G (xk−1)) =n∑k=1

f (tk) g (tk) (xk − xk−1) .

Vegyük észre, hogy tk közelít® pontnak a Stieltjes-féle közelít® összegben éppen a középérték-tételáltal a megel®z® sorban megadott pontot vettük. Ezt megtehetjük, ugyanis az integrál értékefüggetlen a közelít® pont választási módjától. A

n∑k=1

f (tk) g (tk) (xk − xk−1)

kifejezés éppen az f (x) g (x) folytonos függvény Riemann-féle közelít® összege, így a Riemann-integrálhatóságra vonatkozó kritérium miatt létezik az

∫ baf (x) g (x) dx integrál, amib®l szükség-

szer¶en ∫ b

a

f (x) dG (x) =∫ b

a

f (x) g (x) dx.

2.7 Állítás. (Asszociativitási szabály)Ha az f és a g folytonos, G (x) $

∫ xag (x) dx, akkor∫ b

a

f (x) dG (x) =∫ b

a

f (x) g (x) dx.

Vegyük észre, hogy ha a G egy ξ változó eloszlásfüggvénye, akkor a g deriváltja a ξ s¶r¶ségfüggvényés a várható érték kiszámolásának valószín¶ségszámításban bevezetett

M (ξ) $∫ ∞−∞

xdG (x) =∫ ∞−∞

xg (x) dx

képletét kapjuk. Az absztrakt helyettesítési formula felhasználásval:

M (h (ξ)) $∫ ∞−∞

h (x) dG (x) =∫ ∞−∞

h (x) g (x) dx.

2.8 Példa.Számoljuk ki az

∫ 1

−1cosxdx2 integrált.

Az y = G (x) = x2 deriváltja g (x) = 2x, így∫ 1

−1

cosxdx2 =∫ 1

−1

2x cosxdx = 0.

2.9 Példa.Számoljuk ki a lognormális eloszlás várható értékét!

2.1. KORLÁTOS VÁLTOZÁSÚ FOLYAMATOK SZERINTI INTEGRÁLÁS 36

Legyen ξ = N (µ, σ) . Ilyenkor a ξ s¶r¶ségfüggvénye

f (x) =1

σ√

2πexp

(− (x− µ)2

2σ2

).

Legyen η = exp (ξ) . Deníció szerint az η lognormális eloszlású. Az asszociativitási szabály szerint

M (η) = M (exp (ξ)) =∫ ∞−∞

exp (x) f (x) dx =

=1

σ√

2π

∫ ∞−∞

exp (x) exp

(− (x− µ)2

2σ2

)dx =

=1

σ√

2π

∫ ∞−∞

exp

(− (x− µ)2 − 2σ2x

2σ2

)dx =

=1

σ√

2π

∫ ∞−∞

exp(−x

2 − 2µx+ µ2 − 2σ2x

2σ2

)dx =

=1

σ√

2π

∫ ∞−∞

exp

(−x−

(µ+ σ2

))2 + µ2 −

(µ+ σ2

)22σ2

)dx =

= exp

(−µ2 −

(µ+ σ2

)22σ2

)=

= exp(−µ

2 − µ2 − σ4 − 2µσ2

2σ2

)= exp

(µ+

12σ2

).

2.1.4. Korlátos változású függvények

1. A Stieljes-integrál kapcsán felmerül® els® kézenfekv® kérdés, milyen interpretáció adható akorlátos változású függvényeknek, illetve a függvény Va,b teljes megváltozásának. Els® lépésbenképzeljük el, hogy a G függvény egy síkban, vagy térben mozgó pont koordinátáit adja meg.Természetesen ilyenkor a G nem szám, hanem vektor. A

∆ $∑k

|G (xk)−G (xk−1)|

közelít® összegben a |·| jel a G (xk) és G (xk−1) pontok közötti távolságot jelenti. Ilyenkor a ∆tekinthet® a G által befutott út közelítésének: a görbe által befutott utat a közelít® pontok általmeghatározott törtvonal hosszával közelítjük. Másképpen fogalmazva, a Va,b interpretációja éppenaz a és b közötti út hossza. Pontosabban az út deníció szerint akkor véges, ha a ∆ összeg az[a, b] összes lehetséges felbontása esetén egy adott K korlát alatt marad, illetve Va,b (G) deníciószerint a G által megtett út hossza25. Ha a pontot hordozó tér d-dimenziós, akkor

|G (xk)−G (xk−1)| $

√√√√ d∑j=1

(Gj (xk)−Gj (xk−1))2

és egyszer¶ megfontolással könnyen belátható, hogy a G görbe által leírt út hossza pontosan akkorvéges, ha a G koordinátáit megadó függvények korlátos változásúak. Másképpen fogalmazva ateljes megváltozás végessége a görbe által befutott út végességét jelenti.

2.10 Példa.Számoljuk ki az y = f (x) függvény grakonja által meghatározott ív hosszát.

25Vegyük észre, hogy a már említett eljárásról van szó: a közelít® összeg tartalmát deníció szerint kiterjesztjüka határértékre.

2.1. KORLÁTOS VÁLTOZÁSÚ FOLYAMATOK SZERINTI INTEGRÁLÁS 37

Az imént bemutatott eljárás alapján venni kell a koordináta függvényeket. Az y = f (x) függvénygrakonja által megadott görbe mint síkban lev® objektum az

x 7→ (x, f (x))

parametrizálással írható fel. Az így felírt Γ görbének pontosan akkor létezik hossza, ha az ffüggvény korlátos változású26. A görbe hosszát közelít® összeg

∆ $n∑k=1

√(xk − xk−1)2 + (f (xk)− f (xk−1))2

.

A középérték-tétel miatt

∆ $n∑k=1

√(xk − xk−1)2 + (f ′ (tk) (xk − xk−1))2 =

=n∑k=1

√1 + (f ′ (tk))2 (xk − xk−1) .

Ez utóbbi összeg éppen az ∫ b

a

√1 + (f ′ (x))2

dx

integrál közelít® összege. Ha tehát az f ′ derivált létezik és folytonos, akkor az ív hossza létezikés a fenti integrál segítségével kiszámolható. Az elmondottak fontos következménye, hogy ha az ffüggvény folytonosan deriválható, akkor korlátos változású. A korlátos változású függvények köreazonban sokkal b®vebb mint a folytonosan deriválható függvények köre. Miként láttuk, példáulegy [a, b] véges zárt szakaszon értelmezett minden monoton függvény korlátos változású.

2.11 Példa.Számoljuk ki az y = 2

3x3/2 függvény grakonja által meghatározott görbe hosszát.

Az ívhossz képlete szerint∫ t

0

√1 +

(x1/2

)2dx =

∫ t

0

(1 + x)1/2dx =

=[

23

(1 + x)3/2

]t0

=23

((1 + t)3/2 − 1

).

2

2. További, kézenfekv® kérdés, hogy miként számolható ki Va,b (f). Ha az f deriválható, akkor aváltozása egyszer¶en kiszámolható. Ha a felosztás már elég nom , akkor a középérték-tétel miatt

Va,b (f) $ sup(xk)

∑k

|f (xk)− f (xk−1)| ≈

≈∑k

|f (xk)− f (xk−1)| =

=∑k

|f ′ (uk) (xk − xk−1)| ≈∫ b

a

|f ′ (x)| dx.

2.12 Példa.Számoljuk ki az y = x2 függvény teljes megváltozását a [−1, 1] intervallumon!

26Ugyanis az y = x függvény triviálisan korlátos változású. Természetesen hangsúlyozni kell, hogy véges szakaszonvagyunk, hiszen két rögzített pont közötti távolságot akarjuk megadni.

2.1. KORLÁTOS VÁLTOZÁSÚ FOLYAMATOK SZERINTI INTEGRÁLÁS 38

V−1,1

(x2)

=∫ 1

−1

|2x| dx = 2.

2

2.13 Példa.Számoljuk ki a sinx függvény variációját a [0, 2π] szakaszon!

V0,2π (sinx) =∫ 2π

0

|cosx| dx = 4.

2

Nem nehéz észrevenni az

Va,b (f) =∫ b

a

|f ′ (x)| dx =∫ b

a

√(f ′ (x))2

dx

képlet és az ívhosszra vonatkozó∫ ba

√1 + (f ′ (x))2

dx képlet közötti szoros kapcsolatot. A két képletközötti eltérés egyedül abból származik, hogy az ívhossz kiszámolásakor a síkban a távolságot aközönséges geometria szabályai szerint vettük. Ha a görbét nem a kétdimenziós síkba beágyazvaképzeljük el, hanem önmagában próbáljuk a hosszát megadni, akkor kézenfekv® a görbe hosszát ateljes változásával deniálni. Vegyük észre, hogy speciálisan azt is beláttuk, hogy ha a G függvényG (x) =

∫ x0g (t) dt alakba írható, ahol a g s¶r¶ségfüggvény folytonos, akkor a G minden [a, b]

szakaszon korlátos változású, ugyanis ilyenkor a G deriváltja g és

Va,b (G) =∫ b

a

|g (t)| dt <∞,

ugyanis a fenti Riemann-integrál a g folytonossága miatt létezik és véges.

2.1.5. Sztochasztikus Stieltjes-integrálás

Legyen θ (t, ω) sztochasztikus folyamat, az integrandus, és S (t, ω) egy másik folyamat az in-tegrátor. Mit értsünk az

∫ baθdS kifejezésen? A legegyszer¶bb esetben, amikor az S integrátor

t 7→ S (t, ω) trajektóriái n®nek, illetve általában korlátos változásúak és a θ integrandus t 7→ θ (t, ω)trajektóriák folytonosak, akkor minden rögzített ω-ra értelmezhet® a∑

k

θ (uk, ω) (S (tk, ω)− S (tk−1, ω))

közelít® összegek határértéke. Az így kapott integrált szokás sztochasztikus Stieltjes-integrálnakmondani. Ilyenkor az uk közelít® pont a [tk−1, tk] tetsz®leges pontja lehet. A közelít® uk pon-tok trajektóriánként is mások és mások lehetnek. A közönséges Stieltjes-integrál tulajdonságai,változtatás nélkül átvihet®k sztochasztikus Stieltjes-integrálokra. Például, ha az S folytonosanderiválható, vagyis minden ω-ra a t 7→ S (t, ω) trajektória folytonosan deriválható, akkor∑

k

θ (uk, ω) [S (tk, ω)− S (tk−1, ω)] =∑k

θ (uk, ω)S′ (vk, ω) [tk − tk−1]

amely az ∫ b

a

θS′dt (2.2)

trajektóriánként vett integrálhoz tart. Ezt formálisan a

θdS = θS′dt

2.2. ITÔ-FÉLE SZTOCHASZTIKUS INTEGRÁL 39

módon szokás jelölni. Hangsúlyozzuk, hogy a bevezetett integrálfogalom a klasszikus integrál-elméletben szokásos integrálás ω szerinti parametrikus verziója, minden ω esetén külön-különvégrehajtjuk az integrálást Egy S folyamat variációján, teljes megváltozásán a

Va,b (S) $ sup(tk)

∑k

|S (tk)− S (tk−1)|

kifejezést értjük, ahol ∆ az [a, b] összes lehetséges felbontásán fut végig. Vegyük észre, hogysztochasztikus integrátor esetén a Va,b függ az ω kimenetelt®l, vagyis valószín¶ségi változó. Az Sfolyamatot véges változásúnak mondjuk, ha az összes ω kimenetelre a t 7→ S (t, ω) trajektóriákminden [a, b] szakaszon korlátos változásúak.

2.14 Példa.Poisson-folyamat szerinti sztochasztikus integrálás.

A sztochasztikus Stieltjes-integrálásra legjobb példa valamely π Poisson-folyamat szerinti integ-rálás. A π integrátor trajektóriái monoton n®nek, így ha az f (t, ω) integrandus trajektóriáifolytonosak, akkor értelmezhet® a t 7→

∫ t0f (s) dπ (s) sztochasztikus folyamat. A π trajektóriái

egy magasságú ugrásokból állnak, így a∑k

f (σk) (π (sk)− π (sk−1))

közelít® összegben minden tag nulla, kivéve azok a tagok, amelyekben az (sk−1, sk) intervalluméppen a π egy ugrópontját veszi körül. Ebb®l azonnal látható, hogy∫ t

0

fdπ =∑τk≤t

f (τk) ,

ahol τ1 < τ2 < . . . a π ugrásainak véletlen id®pontjai. Mivel a π folyamat ugrásai véges id®-tartományon nem torlódhatnak, ezért az integrál, minden (t, ω) pár esetén egy véges összegreredukálódik. Korábban megjegyeztük, hogy ha a súlyfüggvény folytonosan deriválható, akkora Stieltjes-integrálok visszavezethet®k Riemann-integrálokra. Vegyük észre, hogy az imént el-mondottakat kézenfekv® módon általánosítva megmutatható, hogy ha a súlyfüggvény diszkrétpontokban ugrik, akkor a Stieltjes-integrálok értékének meghatározása sorösszegek kiszámolásátjelenti. Például ha G (x) egy az xk értékeket pk valószín¶séggel felvev® ξ valószín¶ségi változóeloszlásfüggvénye, akkor ∫ ∞

−∞f (x) dG (x) =

∑k

xkpk,

ami éppen az M (ξ) várható érték elemi valószín¶ségszámításban megadott képlete27.2

2.2. Itô-féle sztochasztikus integrál

A sztochasztikus analízis legfontosabb észrevétele, hogy nem minden sztochasztikus folyamat tra-jektóriái korlátos változásúak, s®t az érdekes folyamatok, mint például a Wiener-folyamat, illetveáltalában a Lévy-folyamatok, illetve a martingálok trajektóriái általában nem korlátos változásúak.

27A Stieltjes-integrál jelent®ségét nagyrészt az adja, hogy segítségével az elemi valószín¶ségszámításban különkezelt folytonos és diszkrét eloszlások egyszerre kezelhet®k. Az elemi analízisben külön tárgyalt két fogalom azintegrál és a sorösszeg lényegében azonos: mind a kett® a Stieltjes-integrál speciális esete.

2.2. ITÔ-FÉLE SZTOCHASZTIKUS INTEGRÁL 40

2.2.1. Kvadratikus variáció

Bár a Stieltjes-integrál a matematika talán legsikeresebb integrálfogalma, számunkra nem megfe-lel®, ugyanis ha az S integrátor folytonos martingál, például valamilyen Wiener-folyamat, akkora trajektóriák egy valószín¶séggel nem korlátos változásúak! A Stieltjes-integrál csak korlátosváltozású súlyfüggvény esetében értelmezhet®. Hangsúlyozni kell, hogy az integrál nem értelmez-het®sége nem azt jelenti, hogy az integrálás eredménye értelmetlen, rossz vagy a szemléletnekellentmondó érték. Ez azt jelenti, hogy a megadott deníció nem ad választ, sem jót, sem rosszat,sem értelmeset, sem értelmetlent. Másik deníciót kell keresni, lehet®leg olyat, amelyet a korábbi,jól bevált esetben alkalmazva a korábbi deníciót kapjuk vissza.

Az egész sztochasztikus analízis kulcsa a kvadratikus variáció, másnéven négyzetes megváltozás!Az alapgondolat a következ®: Ha az S integrátor Va,b (S) teljes megváltozása végtelen, akkor a∆S (tk) $ S (tk)− S (tk−1) növekmények túl nagyok. Ha az S trajektóriái folytonosak, akkor a∆S (tk) jellemz®en egynél kisebb, így a (∆S (tk))2 kisebb mint a ∆S (tk) , így várhatóan, illetveremélhet®leg a

Q2 $ lim∆0

∑k

(S (tk+1)− S (tk))2 $ 〈S〉2

kifejezés véges lesz. Valamivel általánosabban, ha p ≥ 1, akkor képezhetjük a

Qp $ lim∆0

∑k

(S (tk+1)− S (tk))p $ 〈S〉p

kifejezést, amit az S függvény p-ed rend¶ variációjának vagy megváltozásának mondunk. Hap = 2, akkor az indexet az egyszer¶ség kedvéért elhagyjuk28.

2.15 Példa.A Wiener-folyamatok kvadratikus variációja-

Ha w Wiener-folyamat, [a, b] $ [0, 1], és ∆n = (tk) a [0, 1] szakasz n egyenl® részre való felbontása,akkor

w (tk+1)− w (tk) ∼= N

(0,

1√n

),

tehát ∑k

(w (tk+1)− w (tk))2 ∼=∑k

N

(0,

1√n

)2

,

vagyis a kvadratikus variáció közelít® összege 1/n varianciájú, független változók négyzeténekösszege. A varianciák adódnak össze, nem a szórások! Ugyanakkor

N

(0,

√1n

)=

1√nN (0, 1) ,

ugyanis a szórás emelhet® ki, és nem a variancia! Ebb®l

∑k

(w (tk+1)− w (tk))2 ∼=∑kN (0, 1)2

n.

A nagy számok törvénye alapján a határérték létezik, és 1. Triviálisan látható, hogy ha a [0, 1]helyett a [0, T ] szakaszt írtuk volna, akkor a határérték T lenne. Ennek megfelel®en a Wiener-folyamat kvadratikus variációja a [0, T ] szakaszon T .

2

28A jelölés nem teljesen megfelel®. Az irodalomban a kvadratikus variációt a [.] jellel szokás jelölni, a 〈.〉 jel azúgynevezett el®rejelezhet® kvadratikus variációra utal. Folytonos folyamatok estén a két fogalom egybeesik. Mivelmi csak folytonos folyamatokkal foglalkozunk a jelölésb®l ered® pontatlanság elhanyagolható.

2.2. ITÔ-FÉLE SZTOCHASZTIKUS INTEGRÁL 41

Ugyanakkor nem csak a Wiener-folyamatnak van véges kvadratikus variációja, hanem tetsz®legesmartingál esetén létezik véges kvadratikus variáció, amely a triviális konstans esett®l eltekintve29

mindig pozitív. Hangsúlyozni kell, hogy általában egy martingálra a kvadratikus variáció valódisztochasztikus folyamat, vagyis függ az id®t®l és az ω kimenetelt®l. A Wiener-folyamat azérta legegyszer¶bb nem triviális folytonos sztochasztikus folyamat, mert a kvadratikus variációja alehet® legegyszer¶bb.

2.16 Példa.Vizsgáljuk meg a Wiener-folyamat variációját30!

Legyen w egy Wiener-folyamat.∑k

|w (tk+1)− w (tk)| ∼=∑k |N (0, 1)|√

n

Ha ∞ > M > 0 jelöli az |N (0, 1)| várható értékét, akkor a centrális határeloszlás-tétel miatt∑k |N (0, 1)| − nM√

n≈ N (0, 1) ,

amib®l ∑k

|w (tk+1)− w (tk)| ≈ N (0, 1) +nM√n→∞.

2

Másoldalról ugyanez. A kvadratikus variációra∑k

(∆w (tk+1))2 ≤ maxk|∆w (tk+1)|

∑k

|∆w (tk+1)| .

Mivel a bal oldal, a kvadratikus variáció egy pozitív konstanshoz konvergál, és a jobb oldalonaz els® tag a folyamat folytonossága miatt nullához tart, a másik tagnak végtelenbe kell tartani,ugyanis ellenkez® esetben

0 < 〈w〉 =∑k

(∆w (tk+1))2 = 0

lenne. Egy folytonos folyamatra, ha a teljes megváltozás véges, akkor a kvadratikus variáció nulla,ha viszont a kvadratikus variáció pozitív, akkor a teljes megváltozás végtelen. Általában egykonkrét S görbe esetén különböz® p kitev®kre három eset lehetséges:

1. a p-ed rend¶ variáció véges, pozitív szám,2. a p-ed rend¶ variáció nulla, illetve3. a p-ed rend¶ variáció végtelen.

Tegyük fel, hogy az S függvény folytonos. A∑k

[∆S (tk+1)]p+ε ≤ maxk|∆S (tk+1)|ε

∑k

|∆S (tk+1)|p

felbontásban ha ε > 0, akkor a feltételezett folytonosság miatt

maxk|∆S (tk+1)|ε → 0.

Ebb®l következ®en ha valamely p-re a p-ed rend¶ variáció véges, akkor minden q $ p + ε >p esetén a q-ad rend¶ variáció nulla, ha a q-ad rend¶ variáció pozitív, akkor az összes p < qesetén a p-ed rend¶ variáció végtelen kell hogy legyen. Másképpen fogalmazva azok a p értékek,

29Amikor a martingál konstans trajektóriákkal rendelkezik.30Nem a kvadratikus variációját, hanem a közönséges variációját.

2.2. ITÔ-FÉLE SZTOCHASZTIKUS INTEGRÁL 42

amelyekre egy adott függvény p-ed rend¶ variációja nulla, illetve végtelen egy p0 pont kivételévelkimerítik a pozitív számok halmazát. Mind a két értékhez tartozó p-k halmaza félegyenes, és akét félegyenes egyedül a p0 pontban érintkezik. A p0 pontban azonban bármi el®fordulhat: a p0-ad rend¶ variáció lehet pozitív, nulla vagy végtelen. Általában sztochasztikus folyamatok eseténsemmi sem garantálja, hogy az egyes trajektóriákhoz tartozó p0 értékek azonosak legyenek. Mikéntazonban láttuk a Wiener-folyamat esetén a p0 univerzálisan 2. Ennek megfelel®en, ha az integrátorWiener-folyamat, akkor a trajektóriák nem korlátos változásúak, így a klasszikus trajektóriánkéntiintegrálás elmélete nem m¶ködik!!!!!

Érdemes nyomatékosan hangsúlyozni, hogy a megfontolás alapvet®en az S trajektóriáinak foly-tonosságára épül. Ha az S a sztochasztikus folyamatok irodalmának másik kedvence, a Poisson-folyamat, akkor mind a kvadratikus variáció, mind a teljes megváltozás az ugrások számát adjameg, így mind a kett® véges és pozitív, ráadásul mind a kett® azonos az alapfolyamattal.

2.2.2. Martingálok kvadratikus variációja, kompenzátorok

A kvadratikus variációval kapcsolatos els® kézenfekv® kérdés, hogy miként interpretálható? Sajná-latos módon a Va,b (S) teljes megváltozással szemben az 〈S〉 kvadratikus variáció nem rendelkezikegyszer¶ szemléletes tartalommal. Ennek oka, hogy a szemléletünk eredend®en a zikai tér-ben lejátszódó folyamatokra alapozódik, és az ilyen folyamatok Va,b teljes megváltozása véges,következésképpen a zikai mozgásra alapuló szemléletünk által elképzelt folyamatok kvadratikusvariációja nulla, így valódi kvadratikus variációval rendelkez® folyamatokat sohasem látunk31. Akvadratikus variáció eredend®en a véletlen ingadozásokat tartalmazó folyamatokhoz rendelt foga-lom, így az interpretációja is a véletlen folyamatokkal kapcsolatban fellép® problémákhoz köt®dik.Legyen az S martingál. Az S a martingáltulajdonság miatt deníció szerint tekinthet® tökéletesvéletlennek. Ez azt jelenti, hogy az S által realizált játékban való kizetésért nem jár kompenzá-ció, nulla a költsége annak, hogy megszerezzük az S által reprezentált játék kizetésfolyamatát.Ugyanakkor az S2 folyamat esetén a helyzet teljesen más. Az S2 folyamat értéke minden pontbannem negatív, s®t általában pozitív, így az S2 véletlen kizetés birtoklásáért zetni kell. Ha birto-koljuk a w2 folyamatot, akkor elég nagy t esetén nagy valószín¶séggel elég jól fogunk kaszálni,illetve ha elég sokat várunk, akkor tetsz®legesen nagyot kaszálhatunk. Ennek megfelel®en a w2

birtoklása elég jó buli. De semmi sincsen ingyen. Mi a kaszálás el®re kizetend® ára? Mennyibekerül a kasza? Mi az S2 folyamat fair ára? Természetesen az S2 fair ára az a folyamat, amelyet azS2-b®l levonva tökéletesen véletlen folyamatot kapunk, vagyis az S2 ára az a P folyamat, amelyreaz S2 − P martingál. Az S2 birtoklásáról bármikor lemondhatunk, a játékból bármikor kiléphe-tünk, így a P kompenzátor folyamatról kézenfekv® feltenni, hogy monoton n®32. Megmutatjuk,hogy az S2 kompenzátora éppen az 〈S〉 , vagyis az S2−〈S〉 folyamat martingál33. Az egyszer¶ségkedvéért tegyük fel, hogy S (0) = 0, ugyanis ellenkez® esetben a gondolatmenetet az S (t)− S (0)martingálra alkalmaznánk.

S2 (t)− 〈S〉 (t) ≈ S2 (t)−∑k

(S (tk)− S (tk−1))2.

31Ugyanakkor minden olyan folyamat, amit látunk véges úthosszal, így véges variációval rendelkezik.32Nem folytonos folyamatok esetén célszer¶ megkövetelni, hogy a P el®rejelezhet® legyen, vagyis a P kom-

penzátor értékét az ugrás el®tt ki kell zetni, vagyis a várható ugrásért a kompenzációt az ugrást megel®z®enel®re rögzíteni kell, ugyanis az ugrás után már könny¶ okosnak lenni. Vagyis a biztosítási díjat az el®tt kell ki-zetni mint ahogy az ugrás nagysága kiderül. Az el®rejelezhet®ség a balról való folytonosság általánosítása. Abalról folytonos folyamatok innitezimálisan" el®rejelezhet®ek. Ez azonban a sztochasztikus analízis igen rejtettösszefüggése, amire csak nagyon érint®legesen hivatkozunk. A folytonos folyamatok egyik el®nyös tulajdonsága,hogy a kvadratikus variáció és az úgynevezett el®rejelezhet® kvadratikus variáció megegyezik. Ebb®l következ®enaz elmondottak lényegében csak folytonos lokális martingálok esetén érvényesek, a nem folytonos esetben számosnem elhanyagolható technikai nehézség lép fel.

33Folytonos esetben az 〈S〉 folytonos, így el®rejelezhet®".

2.2. ITÔ-FÉLE SZTOCHASZTIKUS INTEGRÁL 43

A kvadratikus variációban szerepl® zárójelet felbontva

(S (tk)− S (tk−1))2 = S2 (tk) + S (tk−1)2 − 2S (tk)S (tk−1) =

= S2 (tk)− S (tk−1)2 −−2S (tk−1) (S (tk)− S (tk−1)) .

Ebb®l következ®en, ha 0 = t0 < t1 < . . . < tn = t a [0, t] id®szakasz egy tetsz®leges felbontása,akkor

S2 (t)− 〈S〉 (t) ≈ S2 (tn)−n∑k=1

(S2 (tk)− S2 (tk−1)

)+

+n∑k=1

2S (tk−1) (S (tk)− S (tk−1)) .

A teleszkopikus összeget kibontva és felhasználva, hogy a feltétel szerint S (t0) = S (0) = 0

S2 (t)− 〈S〉 (t) =n∑k=1

2S (tk−1) (S (tk)− S (tk−1)) .

Megmutatjuk, hogy a ∑k

2S (tk−1) (S (tk)− S (tk−1)) $∑k

dk

összeg martingál, amihez elegend® belátni, hogy a

dk $ 2S (tk−1) (S (tk)− S (tk−1))

sorozat martingáldierencia sorozat: A kiemelési szabály miatt, felhasználva, hogy az S martingál

M(dk | Ftk−1

)$ 2M

(S (tk−1) (S (tk)− S (tk−1)) | Ftk−1

)=

= 2S (tk−1) M((S (tk)− S (tk−1)) | Ftk−1

)=

= 2S (tk−1) · 0 = 0,

tehát a (dk)k valóban martingáldierencia sorozat, így az

S2 (t)− 〈S〉 (t) ≈∑tk≤t

dk

martingál.

2.17 Példa.A w2 kompenzátora t.

Emlékeztetünk, hogy 〈w〉 (t) = t. Meg kell mutatni, hogy a w2 (t)− t folyamat martingál. Legyens < t tetsz®leges. A független növekmény feltétele miatt

M(w2 (t) | Fs

)=

= M(

(w (t)− w (s))2 + w2 (s) + 2w (s) (w (t)− w (s)) | Fs)

=

= w2 (s) + M(

(w (t)− w (s))2)

+ 2M (w (s) (w (t)− w (s)) | Fs) .

A kiemelési szabály, illetve a w martingáltulajdonsága miatt az utolsó kifejezés

w (s) M ((w (t)− w (s)) | Fs) = 0,

2.2. ITÔ-FÉLE SZTOCHASZTIKUS INTEGRÁL 44

az M(

(w (t)− w (s))2)második tag értéke t− s, így

M(w2 (t) | Fs

)= w2 (s) + t− s,

amit átrendezveM(w2 (t)− t | Fs

)= w2 (s)− s,

vagyis a w2 (t)− t valóban martingál.2

2.2.3. Martingálok szerinti Itô-integrálás

Tegyük fel, hogy az S martingál és próbáljuk meg értelmezni a∫ baθ (t) dS (t) integrált. Miként

jeleztük ha az S folytonos martingál, akkor a triviális konstans esett®l34 eltekintve a trajektóriáinem korlátos változásúak, így az integrált hagyományos módon, trajektóriánként vett Stieltjes-integrálként, nem tudjuk deniálni.

2.18 Deníció.Tegyük fel, hogy az In $

∑k θ (τk) ∆S (tk) közelít® összegekben τk közelít® pontnak a [tk−1, tk]

intervallum τk = tk−1 kezd®pontját vesszük. Ilyenkor Itô-féle közelít® összegekr®l beszélünk.

A hagyományos integrálelmélet tárgyalásakor hangsúlyoztuk, hogy a közelít® összegek képzésekor aközbüls® pont tetsz®legesen választható, és az integrál értéke független attól, hogy melyik pontbanszámoltuk ki az integrandus közelít® értékét. Az Itô-féle sztochasztikus integrálok esetében eznincsen így. A közelít® összeget mindig az intervallum kezd®pontjában kell képezni. Matematikaiszempontból az Itô-integrál legfontosabb sajátja éppen ez. A közelít® összeg ezen képzési szabályaazonban igen szemléletes, és tulajdonképpen nagyon természetes. Ha az S integrátorfolyamatotkumulált nyereségként értelmezzük, akkor a ∆S (tk) $ [S (tk)− S (tk−1)] növekmény a [tk−1, tk]id®szak alatt elért egységnyi befektetésre jutó nyeremény, következésképpen az id®szak alatt elértteljes nyeremény arányos az id®szak során megtett θ (τk) téttel. Ugyanakkor egy fogadásban atétet mindig a fogadás tárgyát képez® véletlen esemény el®tt kell megtenni, vagyis a [tk−1, tk]id®szakra es® fogadás nagyságát a tk−1 id®pontban kell megadni.

2.19 Példa.A sztochasztikus integrál értéke függhet a közelít® pont megválasztásának módjától.

Legyen w Wiener-folyamat és próbáljuk meg deniálni az∫ bawdw integrált. A közelít® összegekre

áttére

I(1)n $

∑k

w (tk−1) (w (tk)− w (tk−1)) ,

I(2)n $

∑k

w (tk) (w (tk)− w (tk−1)) .

A két összeg közötti egyetlen eltérés, hogy a τk közelít® pont az els® esetben a részintervallumeleje, a második esetben a vége. Ugyanakkor

I(2)n − I(1)

n $∑k

w (tk) ∆w (tk)−∑k

w (tk−1) ∆w (tk) =

=∑k

(w (tk)− w (tk−1)) ∆w (tk) =

=∑k

(w (tk−1)− w (tk))2,

34Az S (t) = c konstans folyamat martingál és a trajektóriái korlátos változásúak. Ez az eset azonban meglehe-t®sen érdektelen, ugyanis a játék nyereménye ∆S (t) = 0. Erre mondják olcsó játék, bölcs embereknek.

2.2. ITÔ-FÉLE SZTOCHASZTIKUS INTEGRÁL 45

vagyis a két közelít® összeg különbsége éppen a Wiener-folyamat kvadratikus variációjának közelít®értéke. Ebb®l következ®en ha a két közelít® összegnek van határértéke, akkor a két határérték nemlehet azonos, vagyis az integrál értéke függ a közelít® pont megválasztási módjától. Ez másképpenúgy is fogalmazható, hogy tetsz®leges köztes pont megengedése esetén az integrálközelít® összegeksorozata semmilyen konvergenciafogalom esetén nem lehet konvergens.

2

Vegyük észre, hogy az el®z® példában a b¶nös természetesen a kvadratikus variáció. Az integrálértéke azért függ a köztes ponttól, mert a kvadratikus variáció pozitív. Vizsgáljuk meg az integrállétezésének problémáját! Vegyük észre, hogy az integrál létezése távolról sem t¶nik természetesnek.A kvadratikus variáció pozitivitása er®sen felforgatja az integrálelméletet. Tulajdonképpen igenmeglep®, hogy ebb®l a gyászos helyzetb®l mégis van elegáns kiút.

Számoljuk ki az

In $n∑k=1

θ (tk−1) ∆S (tk)

Itô-féle közelít® összeg várható értékét és szórását.

M (In) = M

(∑k

θ (tk−1) ∆S (tk)

)=

=∑k

M (θ (tk−1) ∆S (tk)) =

=∑k

M(M(θ (tk−1) ∆S (tk) | Ftk−1

))=

=∑k

M(θ (tk−1) M

(∆S (tk) | Ftk−1

))=

=∑k

M (θ (tk−1) · 0) = 0,

ahol természetesen kihasználtuk, hogy az S martingál, vagyis

M(∆S (tk) | Ftk−1

)= 0

és hogy a θ (tk−1) kiemelhet® az Ftk−1 szerinti feltételes várható értékb®l. A szórás kiszámolásárarátérve, ha s < t, akkor

M (θ (t) [S (t+ h)− S (t)] θ (s) [S (s+ h)− S (s)]) = (2.3)

= M (M (θ (t) [S (t+ h)− S (t)] θ (s) [S (s+ h)− S (s)] | Ft)) == M (θ (t) θ (s) [S (s+ h)− S (s)] M ([S (t+ h)− S (t)] | Ft)) == M (θ (t) θ (s) [S (s+ h)− S (s)] · 0) = 0,

ugyanis a θ (t) θ (s) [S (s+ h)− S (s)] változó értéke a t id®pontban már ismert, és ezért kiemelhet®t id®ponthoz tartozó feltételes várható értékb®l. Ebb®l következ®en az alábbi számolás során avegyesszorzatok várható értéke nulla:

D2 (In) = M

(∑k

θ (tk−1) [S (tk)− S (tk−1)]

)2 =

= M

∑k

∑j

θ (tk−1) θ (tj−1) ∆S (tk) ∆S (tj)

=

=∑k

M(

(θ (tk−1))2 [S (tk)− S (tk−1)]2)

≈

≈ M

(∑k

θ2 (tk−1) [Q2 (tk)−Q2 (tk−1)]

).

2.2. ITÔ-FÉLE SZTOCHASZTIKUS INTEGRÁL 46

ahol Q2 $ 〈S〉 az S kvadratikus variációja35. Az 〈S〉 kvadratikus variáció nagysága a hozzátartozó intervallum hosszának növelésével monoton n®, tehát az utolsó várható értéken belüli∑k θ

2 (tk−1) ∆ 〈S〉 közelít® összeg a klasszikus módon értelmezhet®∫ baθ2d 〈S〉 Stieltjes-integrál

egy közelít® összege. Összefoglalva:

Ha az integrálközelít® összegeket az Itô-féle szabály szerint a∑k

θ (tk−1) (S (tk)− S (tk−1))

módon választjuk, és az S integrátorfolyamat martingál, akkor a közelít® összeg várható értékenulla, varianciája pedig az

M

(∫ b

a

θ2 (t) d 〈S〉

).

közelít® összege lesz.

Emlékeztetünk, hogy a közönséges integrál létezését a Cauchy-kritériumra alapoztuk. Megmu-tattuk, hogy az integrál azért létezik, mert a közelít® összegek sorozata Cauchy-sorozat, illetve aszámok halmaza teljes. Most is err®l van szó. A bemutatott gondolatmenetet egyszer¶en módo-sítva azonnal látható, hogy ha a θ folyamat folytonos, és a felosztás nomságát minden határontúl növeljük, akkor a különböz® felosztásokhoz tartozó közelít® összegek sztochasztikusan közel ke-rülnek egymáshoz, vagyis ha az id®intervallum felosztását minden határon túl növeljük, akkor azItô-féle közelít® összegek sorozata a sztochasztikus konvergenciában Cauchy-sorozat lesz36. Pon-tosabban megmutatható, hogy tetsz®leges ε > 0 és δ > 0 szám esetén létezik olyan ρ, hogy ha azI1 és az I2 olyan Itô-féle közelít® összegek, amelyekre a felbontás nomsága már kisebb mint ρ,akkor

P (|I1 − I2| ≥ ε) ≤ δ.Némiképpen heurisztikusan okoskodva: ha a (tk) felbontás már elég nom, akkor az újabb osztó-pontok hozzávételével a ∑

k

θ2 (tk−1) (Q (tk)−Q (tk−1))

már alig változik, ugyanis aQ = 〈S〉 súlyfüggvény szerint vett∫ baθ2 (t) d 〈S〉 (t) Stieltjes-féle trajek-

tóriánkénti integrálok léteznek így a felbontás további nomítása már nem változtat, pontosabbancsak alig-alig változtat a Stieltjes-integrálhoz tartozó közelít® összegeken. Ebb®l következ®en az

M

(∑k

θ2 (tk) (Q (tk+1)−Q (tk))

)szórásnégyzet is alig változik, vagyis a sztochasztikus integrálhoz tartozó Itô-féle közelít® összegekvarianciája a felosztás további nomításával már alig változik, vagyis az egyes Itô-féle közelít®összegek eltérésének varianciája nullához tart. Ebb®l következ®en ha I ′n és I ′′n két közelít® összeg,akkor a Csebisev-egyenl®tlenség miatt elég nom felosztásra tetsz®leges rögzített ε > 0 szám esetén

P (|I ′n − I ′′n | ≥ ε) ≤D2 (I ′n − I ′′n)

ε2→ 0,

ezért úgy érezzük, hogy az Itô-féle közelít® összegek sztochasztikusan ráhúzódnak az integrálra. ARiemann és Stieltjes-integrálokra használt teljességi axióma sztochasztikus megfelel®je a következ®:

2.20 Deníció.A (ξk) sorozat sztochasztikusan Cauchy-sorozat, ha tetsz®leges ε > 0 és δ > 0 esetén van olyanN (ε) , hogy tetsz®leges n,m ≥ N (ε) indexre P (|ξn − ξm| ≥ ε) ≤ δ.

35Vegyük észre, hogy ismét kihasználtuk a ∆ 〈S〉 ≈ (∆S)2 közelít® formulát.36Ennek oka, hogy a θ ilyenkor a két különböz® felosztáshoz tartozó közelít® pontok eltérése, amely az integrandus

feltételezett folytonossága miatt elég nom felosztás esetén tetsz®legesen kicsi lesz.

2.2. ITÔ-FÉLE SZTOCHASZTIKUS INTEGRÁL 47

2.21 Deníció.Ha minden ε > 0 szám esetén

limn→∞

P (|ξn − ξ| > ε) = 0,

akkor azt mondjuk, hogy a (ξn) sorozat sztochasztikusan ξ-hez tart.

TELJESSEGI TETEL : A valószín¶ségi változók halmaza a sztochasztikus konvergenciában tel-jes, vagyis minden a sztochasztikus konvergenciában Cauchy-sorozat sztochasztikusan konvergens37.

Összefoglalva az elmondottakat:

2.22 Tétel.Folytonos integrandus és martingál integrátor esetén az [a, b] szakaszon képzett Itô-féle közelít®összegek sorozatának a sztochasztikus konvergenciában létezik határértéke, amelyet∫ b

a

θdS

módon fogunk jelölni és a θ S szerinti Itô-integráljának fogunk mondani.

Evvel a sztochasztikus integrálás els® problémáját, az integrál létezésének kérdését tisztáztuk38.

Emlékeztetünk, hogy minden integrál, a klasszikus, a sztochasztikus, illetve a matematika általdeniált összes további integrál, tartalmát tekintve súlyozott összegnek tekinthet®, pontosabbanheurisztikusan a súlyozott összeg és az integrál közelít®leg azonos fogalmak. Természetesen nemmellékes, hogy mit jelent a közelít®leg kifejezés. Minden integrál esetén pontosan meg kell mondani,hogy milyen módon mérjük a közelít® összegekkel való közelítés pontosságát. Ezt másképpen úgyis mondhatjuk, hogy meg kell adni a konvergencia fogalmát39. A valószín¶ségszámításban kéttermészetes konvergenciafogalommal találkozhatunk. Az egyik a már bemutatott sztochasztikuskonvergencia, a másik az egy valószín¶séggel való konvergencia:

2.23 Deníció.Legyen (ξn) valószín¶ségi változók sorozata. Ha annak a valószín¶sége, hogy ξn → ξ egy, vagyis

P (ω : ξn (ω)→ ξ (ω)) = 1,

akkor azt mondjuk, hogy a (ξn) sorozat egy valószín¶séggel a ξ-hez tart.

Az egy valószín¶séggel való konvergencia azonban igen er®s megkötés, és igen gyakran nem tel-jesül. Szemléletileg is evidens, de könnyen meg is mutatható, hogy az egy valószín¶séggel valókonvergenciából következik a sztochasztikus konvergencia, de a fordított irány nem igaz.

2.24 Példa.Sztochasztikusan konvergens sorozat, amely sehol sem konvergens.

Vegyük a következ® sorozatot: A [0, 1] szakaszt osszuk fel n-részre, és a ξk a k-adik szakaszonlegyen egy az összes többin pedig legyen nulla. Így deniáltunk n változót. A következ® lépésbena [0, 1] szakaszt osszuk fel n + 1 részre, és ciklikusan ismét menjünk körbe az így kapott n + 1szakaszon, vagyis mindig csak az egyik szakaszon legyen a változó értéke egy, a többin pedig legyenaz értéke nulla. A következ® lépésben az eljárást folytatva deniáljunk újabb n+ 2 változót, stb.A konstrukcióval olyan sorozatot kapunk, amely a [0, 1] egyetlen pontjában sem konvergens, de azolyan pontok valószín¶sége ahol a sorozat nem nulla nullához tart, vagyis a sorozat sztochasztiku-san nullához tart.

2

37A tétel indoklása messze vezetne. Annyit érdemes megjegyezni, hogy számos trükkös megfontolás után azállítást visszavezetjük a számegyenes teljességére.

38Az integrál kiszámításával kapcsolatos kérdéseket az Itô-lemma kapcsán fogjuk tárgyalni.39Vagyis a konvergencia denícióját amely mellett a közelít® összegek az integrálhoz tartanak.

2.2. ITÔ-FÉLE SZTOCHASZTIKUS INTEGRÁL 48

A példából is látható, hogy a sztochasztikus konvergencia valami fajta átlagban való konvergen-ciát jelent, amely nem zárja ki az egyes konkrét kimenetelekben való végtelenhez való divergenciátvagy ciklikus változást. Minden lépésben a rossz ω kimenetelek halmaza változhat, de a rosszω kimenetelek valószín¶sége egyre kisebb lesz. Megjegyezzük, hogy a sztochasztikus konvergen-ciában a rossz ω kimenetelek realizációja esetén a valószín¶ségi változó nagysága sem érdekes.El®fordulhat, hogy a rossz esemény valószín¶sége kicsi, de az esemény nagyon rossz40.

A korlátos változású súlyfolyamatok szerinti Stieltjes-féle sztochasztikus integrálok esetén a kö-zelít® összegek sorozata a köztes pont megválasztási módjától függetlenül egy valószín¶séggel azintegrálhoz tart, a martingálok szerint vett Itô-integrálok esetén az integrálközelít® összegek nemegy valószín¶séggel, hanem csak sztochasztikusan közelítik az integrál értékét. Az Itô-féle konstruk-ció lényege, hogy egyrészt a közelít® összegeket speciálisan választjuk, másrészt a trajektóriánkéntikonvergenciát a közelít® összegek sztochasztikus konvergenciájára cseréljük.

Mivel a majdnem mindenhol való konvergenciából következik a sztochasztikus konvergencia, ezértha egy sztochasztikus integrál Stieltjes-értelemben létezik, akkor az integrál Itô-értelemben is léte-zik, vagyis az Itô-féle sztochasztikus integrál a Stieltjes-féle sztochasztikus integrál általánosítása.

2.2.4. Sztochasztikus integrálok kvadratikus variációja

Miként láttuk, a sztochasztikus analízis kulcsa a kvadratikus variáció. Legyen

M (t) $∫ t

0

θ (u) dS (u) ,

ahol feltettük, hogy az integrál értelmes. Számoljuk ki a t 7→ M (t) integrálfolyamathoz tartozót 7→ 〈M〉 (t) kvadratikus variáció folyamatot. Deníció szerint

〈M〉 (t) ≈∑k

(∆M (tk))2 =∑k

(∫ tk

tk−1

θ (u) dS (u)

)2

≈

≈∑k

θ2 (tk−1) (∆S (tk))2 ≈

≈∑k

θ2 (tk−1) ∆ 〈S〉 (tk) ≈∫ t

0

θ2 (u) d 〈S〉 (u) ,

ahol felhasználtuk a

(∆S (tk))2 $ (S (tk)− S (tk−1))2 ≈ ∆ 〈S〉 (tk) == 〈S (tk)〉 − 〈S (tk−1)〉

közelít® formulát, illetve, hogy elég nom felbontás esetén az∫ tk

tk−1

θ (u) dS (u)

integrál közelíthet® aθ (tk−1) ∆S (tk) = θ (tk−1) (S (tk)− S (tk−1))

közelít® téglalappal'. Speciálisan, ha az S integrátor 〈S〉 kvadratikus variációja nulla41, akkor〈M〉 = 0. Például ⟨∫ t

0

w (s) ds⟩

=∫ t

0

w2 (s) d 〈s〉 =∫ t

0

w2 (s) d0 = 0,

40Bár igen természetes, a fogalom pontos megértése céljából jelezzük, hogy abból, hogy két változó a sztochasz-tikus konvergencia értelmében közel van, még nem jelenti, hogy a kockázatuk is közel van. Bár a kockázat szódeníciója nem evidens, azt érezzük, hogy egy kis valószín¶ség¶ esemény mellett bekövetkezett nagyon nagy bukásigen kockázatos dolog.

41Például ha az S integrátor folytonos, korlátos változású folyamat.

2.2. ITÔ-FÉLE SZTOCHASZTIKUS INTEGRÁL 49

ugyanakkor ⟨∫ t

0

sdw (s)⟩

=∫ t

0

s2d 〈w (s)〉 =∫ t

0

s2ds =t3

3.

2.2.5. Asszociativitási szabály

Tegyük fel, hogy S (u) $∫ u

0ζ (s) dρ (s) , és tekintsük az

∫ t0θ (u) dS (u) integrált. Mivel az integrál

a közelít® összegek határértéke, ezért∫ t

0

θ (u) dS (u) ≈∑k

θ (uk−1) ∆S (uk) .

Az el®z® alpontban látott gondolatmenettel egyez® módon az S (u) integrálfüggvény ∆S (uk) nö-vekményei az S alakja miatt közelíthet®ek a

ζ (uk−1) ∆ρ (uk)

téglalapokkal, így∫ t

0

θ (u) dS (u) ≈∑k

θ (uk−1) ζ (uk−1) ∆ρ (uk) ≈∫ t

0

θ (u) ζ (u) dρ (u) .

Másképpen fogalmazva integrálfüggvény szerinti integrálás esetén a két integrál elvégzésének sor-rendje csoportosítható. A szabályt szokás asszociativitási szabálynak is mondani. Az elnevezésindoka a következ®: Ha az integrálokat dierenciális formában írjuk fel, akkor

dS = ζdρ,

a∫ t

0θ (u) dS (u) integrál pedig a

θdS = θ (ζdρ) = (θζ) dρ

formális szabály szerint alakítható, vagyis az integrál∫ t

0

θ (u) dS (u) =∫ t

0

θ (u) ζ (u) dρ (u)

átalakítás formálisan a dierenciális alakban felírt kifejezés átzárójelezése. Vegyük észre, hogyaz indoklás érvényes minden fajta integrálra, így a Stieltjes- és az Itô-féle integrálokra egyaránthasználható. Emlékeztettünk, hogy a Stieltjes-integrálok kiszámolásakor megmutattuk, hogy haa G súlyfüggvény deriválható és a G deriváltja a g s¶r¶ségfüggvény, akkor∫ b

a

f (x) dG (x) =∫ b

a

f (x) g (x) dx.

Vegyük észre, hogy az asszociativitási szabály éppen ennek a s¶r¶ségfüggvényre vonatkozó formu-lának az általánosítása tetsz®leges integrál esetére.

2.2.6. Lokális martingálok

Az Itô-integrál deníciója alapján a sztochasztikus integrál egy fajta korrekt folytonos fogadási fo-lyamat nettó, kumulált eredménye, nyereménye. Az Itô-integrálban szerepl® integrátor martingál.Miként említetük, a martingálok szokásos interpretációja, hogy fair játékok. Felvethet® a kérdés,hogy az S fair játékkal szemben játszott θ stratégiai nettó, kumulált eredménye fair játék-e, vagyisa θ megjátszásának lehet®sége az érdekelt feleknek, legalábbis átlagban egyenl® esélyt biztosít vagysem. Másképpen fogalmazva milyen feltételek mellett lesz a

t 7→∫ t

0

θ (s) dS (s)

2.2. ITÔ-FÉLE SZTOCHASZTIKUS INTEGRÁL 50

integrálfolyamat martingál? Tekintsük a folyamat

M (t) $∑sk≤t

θ (sk−1) (S (sk)− S (sk−1))

közelít® összegét. A kiemelési szabály szerint a már többször látott módon okoskodva

M (M (tk+1) | Ftk) =∑

sk≤tk+1

M (θ (sk−1) [S (sk)− S (sk−1)] | Ftk) =

= M (tk) + θ (tk) M (S (tk+1)− S (tk) | Ftk) == M (tk) + θ (tk) (M (S (tk+1) | Ftk)−M (S (tk) | Ftk)) =

= M (tk) + θ (tk) (S (tk)− S (tk)) == M (tk) ,

vagyis a diszkrét közelít® összegekb®l álló sorozat martingál. Fontos hangsúlyozni, hogy a szto-chasztikus integrálással kapott

t 7→∫ t

0

θ (s) dS (s)

integrálfolyamat azonban nem lesz martingál. Ebb®l a szempontból a diszkrét, illetve a folytonosid®ábrázoláshoz tartozó modellek lényegesen eltérnek. A tárgyalás során a diszkrét összegek és afolytonos összegek, vagyis az integrálok között nem teszünk különbséget. Ez természetesen súlyosmatematikai hiba. Általában a sztochasztikus integrálként csak lokális martingált kapunk, és különgyelmet kell fordítani arra, hogy mikor kapunk integrálként valódi martingált. Miként jeleztüka lokális martingál és a martingál közötti viszony szemléletesen igen nehezen tisztázható, ugyanismély technikai fogalomról van szó42. A lényegi problémát az jelenti, hogy míg a∑

k

θ (sk−1) (S (sk)− S (sk−1))

közelít® összegek várható értéke az S martingáltulajdonsága miatt nulla, a felosztás nomításasorán kapott sorozat határértékének várható értéke már nem lesz nulla. Általában ugyanis semmisem biztosítja a határérték és a várható érték felcserélhet®ségét43. A probléma abból ered, hogy azintegrandusok egy egyre sz¶kebb halmazon egyre nagyobb értéket vehetnek fel. Szemléletesen azintegrandus egyre kockázatosabb lehet. Kis valószín¶séggel nagyon nagyot bukunk, de átlagbanazért kicsit nyerünk44.

2.25 Példa.A sorozat várható értéke és a határérték általában nem cserélhet® fel.

Tegyük fel, hogy az (Ω,A,P) valószín¶ségi mez® a (0, 1) intervallum egy pontját választja kiegyenletes eloszlás szerint. Ha

ξn (ω) $

n ha 0 < ω ≤ 1/n0 ha 1/n < ω < 1 ,

akkor M (ξn) = 1, így limn→∞M (ξn) = 1, de mivel limn→∞ ξn = 0, ezért

M(

limn→∞

ξn

)= M (0) = 0 6= 1 = lim

n→∞M (ξn) .

42A lokális martingál és a martingál közötti különbség a sztochasztikus analízisben a legkényesebb, öröké problé-mát okozó kérdés, amely egyidejüleg a hibák ®sanyja és ®satyja, maga az eredend® b¶n, a részletekben lev® ördögmaga. Ugyanakkor a két fogalom közötti eltérés remélhet®leg szabad szemmel nem látható, mi pedig, közgazdászoklévén, a matematikában kicsire nem adunk.

43A határérték és a várható érték felcserélése az analízisben, illetve a valószín¶ségszámításban a végs® technikaiprobléma. Aki a várható értéket csak úgy, szemrebbenés nélkül felcseréli a határértékkel az vagy túl sokat tételezfel az olvasóról, vagy túl keveset. Én leginkább az utóbbira gondolok.

44Fájóan gyakran elkövetett hiba, bár lehet hogy a hiba kifejezés nem pontos.

2.2. ITÔ-FÉLE SZTOCHASZTIKUS INTEGRÁL 51

2

Ahhoz, hogy a martingáltulajdonságot biztosítani tudjuk, szükséges feltételként például meg szo-

kás követelni, hogy az M(∫ b

aθ2d 〈S〉

)kifejezés véges legyen. Ez teljesül például, ha a θ egyenlete-

sen korlátos. A továbbiak során nem teszük különbséget lokális martingálok és martingálok között,de valahányszor egy sztochasztikus integrál várható értékét nullának vesszük, mindig automati-kusan feltesszük, illetve az alkalmazás során ellen®rizzük, hogy az azt biztosító idézett megkötésteljesül. Másképpen fogalmazva a továbbiakban a lokális martingálokat nem különböztetjük meg amartingáloktól, így amartingálok szerinti sztochasztikus integrálok várható értékét mindig nullánakvesszük.

A lokális martingálok és a martingálok közötti különbségre bár mély technikai fogalomról vanszó, intuitíve mégis jól rá lehet érezni: a probléma az integrandusok nagyságrendjéb®l ered45 ésa duplázási stratégia megvalósíthatóságából ered. A martingál szerinti sztochasztikus integrálszemléletileg egy fair játék ellen játszott stratégia játék eredménye, kumulált nyeresége. A já-ték annyiban fair, hogy a stratégia megválasztásakor az egyes lépések során a jöv®t nem lehetel®relátni, ezért a téteket mindig a fogadás tárgyát képez® esemény el®tt kell megtenni. Ebb®lkövetkez®en az egyes lépésekben a játék ténylegesen fair. A játék azonban annyiban nem fair,hogy a játszás jogát és a tétek nagyságát nem korlátozzuk. A fogadó fél addig és akkora tétek-ben fogad amíg akar, illetve amekkorákban akar. A θ folyamatra egyedül azt tettük fel, hogyaz értéke csak a múlttól függ, de a nagyságát nem korlátozzuk46. Elképzelhet®, hogy bizonyosω kimenetelek esetén a t 7→ θ (t, ω) trajektória nem korlátos módon n®. Ha így áll a helyzet,akkor nagy kockázatot vállalva és korlátlan ideig játszva általában lehet nyer® stratégiát találni.A Wiener-folyamat diszkrét verziójában, a fej vagy irás játékban, a közismert és korábban mártárgyalt nyer® stratégia a duplázó stratégia, amikor vesztés esetén a nyereményt megduplázzuk.Mivel bármeddig, bármekkora tétben jogunk van fogadni, és bármikor ki lehet szállni, nem túlmeglep® módon a fogadó fél mind nyer, s®t elvileg végtelen sokat nyerhet. Másképpen fogalmazvaegy martingál szerinti sztochasztikus integrál azért nem lesz martingál, mert az integrandus kocká-zata korlátlanul n®het. Ezért nem lesz a sztochasztikus integrál martingál, csak lokális martingál.A hazárdjátékos célja, hogy a martingálként viselked® véletlennel szembeni játékban kihasználja,hogy a kumulált folyamat csak lokális martingál és nem martingál. Ha természetesen a játszhatóθ stratégiákat korlátozzuk, nem engedünk meg csak ésszer¶ kockázatot tartalmazó stratégiákat,akkor a játék nyereménye martingál marad, vagyis a játék fair marad47.

Megmutatható, hogy a sztochasztikus integrál konstrukciója átvihet® martingálokról lokális mar-tingálokra is, de evvel nem foglalkozunk48.

2.2.7. Szemimartingálok

Ha egy sztochasztikus folyamat egy korlátos változású folyamat és egy lokális martingál összege,akkor azt mondjuk, hogy a folyamat szemimartingál. Szemimartingálra a legegyszer¶bb és legfon-tosabb példa az ∫ t

0

ξ (s) ds+∫ t

0

η (s) dw (s)

45Az említett M(∫ b

a θ2d 〈S〉

)<∞ feltétel éppen a θ átlagos nagyságát korlátozza.

46Csak azt követeljük meg, hogy az integrandus folytonos legyen. Ez biztosítja, hogy létezzen az integrál. A nemfolytonos eset tartalmaz meglepetéseket, de erre nem térünk ki.

47A kockázatkezelés célja éppen az, hogy megakadályozza a túlzott kockázatokat. A Mi kockázatunk az Önpénzével típusú viselkedés lényege, hogy megpróbáljuk a nyereményfolyamatot lokális martingállá alakítani, majdbízva bízunk. V.ö.: K&H, Enron, LTCM stb.

48Már csak azért sem, ugyanis a lokális martingál denícióját emberbaráti okokból nem tárom az érdekl®d®hallgatóság elé. Ugyanakkor érdemes hangsúlyozni, hogy lokális martingál integrátorok esetén az alapgondolatoknem változnak, tehát a sztochasztikus integrál ilyenkor is az Itô-féle közelít® összegek sztochasztikus határértéke.A lokális martingál denícióján kívül semmilyen technikai probléma nem jelentkezik.

2.2. ITÔ-FÉLE SZTOCHASZTIKUS INTEGRÁL 52

kifejezés, ahol a ξ és az η folytonos folyamatok. A ξ folytonossága miatt az∫ t

0ξ (s) ds

V0,t

(∫ t

0

ξ (s) ds)

=∫ t

0

|ξ (s)| ds

variációja véges. A második tag pedig a w Wiener-folyamattal deniált sztochasztikus integrál,tehát lokális martingál, és a sztochasztikus integrál kvadratikus variációjára vonatkozó képletszerint ⟨∫ t

0

η (s) dw (s)⟩

=∫ t

0

η2 (s) d 〈w (s)〉 =∫ t

0

η2 (s) ds.

Ha a ξ folyamat folytonosX (t, ω) = A (t, ω) + S (t, ω)

szemimartingál, akkor értelmezhet® az∫ b

a

ξdX $∫ b

a

ξdA+∫ b

a

ξdS

sztochasztikus integrál. Világos, hogy a jobboldali összeg mind a két tagja értelmes. Az els®trajektóriánként vett közönséges Stieltjes-intergál, a másik egy sztochasztikus konvergenciábanvett Itô-integrál. Mivel a majdnem mindenhol való konvergenciából következik a sztochasztikuskonvergencia, az

∫ baξdX tekinthet® a Itô-féle közelít® összegek sztochasztikus konvergenciában

vett határértékének. Az X szemimartingálra szintén képezhetjük a∑k

(X (tk+1)−X (tk))2

kvadratikus variációt. Az összegzés mögötti négyzetben szerepl® tagokra∑k

((∆A (tk))2 + 2∆S (tk) ∆A (tk) + (∆S (tk))2

).

A harmadik tag éppen az 〈S〉 lokális martingál rész kvadratikus variációjához tart. Az els® tagra∑k

(∆Ak)2 ≤ maxk|∆Ak|

∑k

|∆Ak| .

Mivel az A feltétel szerint korlátos változású, ezért az összeg véges. Ha az A folytonos, akkormaxk |∆Ak| → 0, tehát ilyenkor

∑k (∆Ak)2 → 0. Hasonlóan ha az S folytonos, akkor∣∣∣∣∣∑

k

∆S (tk) ∆A (tk)

∣∣∣∣∣ ≤ maxk|∆Sk|

∑|∆Ak| → 0,

vagyis folytonos szemimartingálok kvadratikus variációja éppen a lokális martingál rész kvadrati-kus variációja. Ha X1 és X2 két szemimartingál, akkor deniálható a

lim∑k

∆X1 (tk) ∆X2 (tk) $ 〈X1, X2〉

kvadratikus keresztvariáció. Ha az X1 korlátos változású és az X2 folytonos, akkor ismételten∣∣∣∣∣∑k

∆X1 (tk) ∆X2 (tk)

∣∣∣∣∣ ≤ maxk|∆X2 (tk)|

∑k

|∆X1tk| → 0.

Ebb®l következ®en ha Xk (t, ω) = Ak (t, ω) + Sk (t, ω), ahol az Ak korlátos változású, az Sk kvad-ratikus variációja véges, akkor a szokásos folytonossági feltételek teljesülése esetén

〈X1, X2〉 = 〈S1, S2〉 .

2.2. ITÔ-FÉLE SZTOCHASZTIKUS INTEGRÁL 53

2.26 Példa.Számoljuk ki a

ξ (t) =∫ t

0

η1 (t) dζ1 +∫ t

0

η2 (t) dζ2

összeg kvadratikus variációját.

Az∫ t

0ηidζi ≈

∑tk≤t ηi (tk−1) (ζi (tk)− ζi (tk−1)) növekményei közelít®leg

ηi (tk−1) (ζi (tk)− ζi (tk−1)) ,

így a korábban elmondottakkal analóg módon

〈ξ〉 ≈∑k

(∆ξ (tk))2 ≈∑k

(η1 (tk−1) ∆ζ1 (tk) + η2 (tk−1) ∆ζ2 (tk))2 =

=∑k

[η2

1 (∆ζ1)2 + η22 (∆ζ2)2 + 2η1η2∆ζ1∆ζ2

]≈

≈∫ t

0

η21d 〈ζ1〉+

∫ t

0

η22d 〈ζ2〉+ 2

∑k

η1η2∆ζ1∆ζ2 ≈

≈∫ t

0

η21d 〈ζ1〉+

∫ t

0

η22d 〈ζ2〉+ 2

∫ t

0

η1η2d 〈ζ1, ζ2〉 ,

ahol többször kihasználtuk a kvadratikus variáció növekményére vonatkozó (∆ζ)2 ≈ ∆ 〈ζ〉 formu-lát, illetve az analóg módon érvényes ∆ζ1∆ζ2 ≈ ∆ 〈ζ1, ζ2〉 közelít® képletet. Ha a ζ1 folyamatfolytonos és korlátos változású és a ζ2 folytonos, akkor

〈ξ〉 (t) =∫ t

0

η22d 〈ζ2〉 ,

ugyanis az összeg másik két tagjában az integrátor értéke nulla.2

3. fejezet

Itô-formula

Ebben a fejezetben a sztochasztikus kalkulus számítási szabályát az Itô-formulát és alkalmazásait

ismertetjük.

A szemimartingálok osztálya meglep®en stabil abban az értelemben, hogy egy sor m¶veletet vég-rehajtva szemimartingálból szemimartingált kapunk. Például könnyen belátható, hogy szemimar-tingálok összege szamimartingál. Kevésbé nyilvánvaló, de szemimartingálok szorzata és hányadosais szemimartingál. A szemimartingálok legfontosabb tulajdonságát az Itô-formula1 tartalmazza.Az Itô-formula számos alapvet® jelent®ség¶ következménnyel bír. Ezek közé tartozik például amár említett zártsága a szemimartingáloknak a szorzás és az osztás m¶veletére.

3.1. Itô-formula mint a NewtonLeibniz-szabály általánosí-

tása

A sztochasztikus analízis központi állítása az Itô-formula:

3.1 Tétel. (Itô-formula)Ha F kétszer folytonosan deriválható n-változós függvény, és (ξk)nk=1 folytonos szemimartingálok,akkor

F (ξ (t))− F (ξ (0)) =n∑k=1

∫ t

0

∂F

∂xk(ξ (s)) dξk (s) +

+12

∑i,j

∫ t

0

∂2F

∂xi∂xj(ξ (s)) d

⟨ξi, ξj

⟩(s) .

3.1.1. Másodrend¶ közelítések, kvadratikus variáció

A bizonyítás nagyon messze vezetne, de azért némi indoklást célszer¶ adni. Világos, hogy egyfajta NewtonLeibniz-szabályról van szó. Próbáljuk meg így igazolni. Vegyük a

F (ξ (t))− F (ξ (0)) =N∑k=1

[F (ξ (tk))− F (ξ (tk−1))]

teleszkópikus felbontást. A közönséges NewtonLeibniz-szabály esetén az

[F (ξ (tk+1))− F (ξ (tk))] ≈ F ′ (ξ (τk)) [ξ (tk+1)− ξ (tk)] =

=n∑i=1

∂F

∂xi(ξ (τk)) [ξi (tk+1)− ξi (tk)]

1Történeti okoból használatos még az Ito-lemma elnevezés is.

54

3.1. ITÔ-FORMULA MINT A NEWTONLEIBNIZ-SZABÁLY ÁLTALÁNOSÍTÁSA 55

közelítéssel élünk2. Vegyük észre, hogy az így kapott

N∑k=1

n∑i=1

∂F

∂xi(ξ (τk)) [ξi (tk)− ξi (tk−1)]

összeg általában nem konvergens, ugyanis a τk közelít® pontokat nem a [tk−1, tk] szakaszok kez-d®pontjának kaptuk, márpedig a sztochasztikus integrál csak akkor konvergens, ha τk = tk−1.A teleszkopikus összeget becsülhetnénk másképpen is. Ennek a klasszikus esetben nincs értelme,most azonban célszer¶, ha a Taylor-formula által biztosított

F ′ (ξ (tk−1)) [ξ (tk)− ξ (tk−1)] +12F ′′ (ξ (τk)) ([ξ (tk)− ξ (tk−1)])

másodrend¶ közelítéssel élünk. Emlékeztetünk, hogy a második derivált egy kvadratikus alak, ígya ξ (τk) pontban vett F második derivált a [ξ (tk)− ξ (tk−1)] helyen éppen

(ξ (tk)− ξ (tk−1))T ·H · (ξ (tk)− ξ (tk−1))

módon írható, ahol

H $

(∂2F

∂xi∂xj(ξ (τk))

)a második parciális deriváltakból álló úgynevezett Hesse mátrix. A Taylor-formula szerint a má-sodrend¶ tagban lev® τk továbbra is a [tk−1, tk] egy köztes pontja, de a τk az els®rend¶ tagbannem szerepel csak a másodrend¶ben. Emlékeztetünk rá, hogy a második derivált egy kvadratikusalak, amelyre

F ′′ (ξ (τk)) [ξ (tk)− ξ (tk−1)] =n∑j=1

n∑i=1

∂2F

∂xi∂xj(ξ (τk)) ∆ξi (tk) ∆ξj (tk) .

Az els®rend¶ közelítés éppen az ∫ b

a

F ′ (ξ) dξ =n∑i=1

∫ b

a

∂F

∂xi(ξ) dξi

integrálhoz tart. Mivel a keresztvariáció növekményének becslése alapján

∆ξi (tk) ∆ξj (tk) ≈ ∆⟨ξi, ξj

⟩(tk)

ezért∂2F

∂xi∂xj(ξ (τk)) ∆ξi (tk) ∆ξj (tk) ≈

∂2F

∂xi∂xj(ξ (τk)) ∆

⟨ξi, ξj

⟩(tk) ,

tehát

N∑k=1

∂2F

∂xi∂xj(ξ (τk)) ∆ξi (tk) ∆ξj (tk) ≈

N∑k=1

∂2F

∂xi∂xj(ξ (τk)) ∆

⟨ξi, ξj

⟩(tk)

→∫ b

a

∂2F

∂xi∂xj(ξ (t)) d

⟨ξi, ξj

⟩(t) .

Vegyük észre, hogy a másodrend¶ tagokból képzett integrál a négyzetes keresztvariáció szerintképzett integrál, vagyis közönséges Stieltjes-integrál, így az a tény, hogy a τk nem az intervallumkezd®pontja nem okoz gondot.

Az Itô-formula a NewtonLeibniz-szabály általánosítása. A két formula különbsége a másodrend¶tagokban van. A klasszikus analízisben a másodrend¶ tagok értéke nulla lenne, ugyanis ha az f

2Ügyeljünk a többváltozós függvények deriválási szabályára. A többváltozós függvények deriváltja sorvektor.

3.1. ITÔ-FORMULA MINT A NEWTONLEIBNIZ-SZABÁLY ÁLTALÁNOSÍTÁSA 56

függvény kétszer folytonosan deriválható, akkor az f ′′ folytonos függvény az [a, b] véges szakaszonkorlátos, tehát∣∣∣∣∣12 ∑

k

f ′′ (τk) (tk − tk−1)2

∣∣∣∣∣ ≤ 12K∑k

(tk − tk−1)2 ≤

≤ 12K max

k|tk − tk−1|

∑k

(tk − tk−1) =

=12K max

k|tk − tk−1| (b− a)→ 0.

3.2 Példa.Számoljuk ki a ξ (t) $ exp (w (t)) folyamat kompenzátorát.

Emlékeztetünk, hogy a ξ kompenzátorán azt a P monoton növeked®, pozitív érték¶ folyamatotértjük, amelyre a ξ − P tökéletesen véletlen. Az Itô-formula szerint

ξ (t)− ξ (0) =∫ t

0

exp (w (t)) dw (t) +12

∫ t

0

exp (w (s)) ds.

Az els® tag a w martingál szerint vett sztochasztikus integrál, tehát szintén martingál, így tökélete-sen véletlen folyamat. A második tag a P $ 1

2

∫ t0

exp (w (s)) ds integrál szintén véletlen folyamat,de minden trajektóriája monoton n® és folytonosan deriválható, így joggal interpretálható úgymint az exp (w (t)) folyamat birtoklásáért zetend® összeg. Számoljuk ki a P várható értékét. Alognormális eloszlás várható értékének képlete szerint

M (P (t)) =12M(∫ t

0

exp (w (s)) ds)

=

=12

∫ t

0

M (exp (w (s))) ds =

=12

∫ t

0

exp(s

2

)ds = exp

(t

2

)− 1.

Vegyük észre, hogy a lognormális eloszlás várható értékének képlete miatt az alapfolyamat várhatóértéke

M (exp (w (t))) = exp(t

2

).

A két várható érték különbsége 1, amely éppen az M (ξ (0)) értéke. Mivel a ξ (0) a t = 0 id®-pontban ismert és a kompenzátoron deníció szerint olyan folyamatot szokás érteni, amely a t = 0id®pontban nulla, ezért helyesebb lenne a M (ξ (t)− ξ (0)) várható értéket tekinteni, amely ép-pen a kompenzátor várható értéke. Ebb®l következ®en a kompenzátor folyamat átlagos értékeéppen az eredeti folyamat növekményének átlagos értékével azonos, miközben a kompenzátor azalapfolyamatban szerepl® trajektóriánkénti kockázatot kompenzálja.

2

3.1.2. Itô-formula alkalmazása várható értékek kiszámolására

Az Itô-formula egyik fontos olvasata a következ®: Legyen a ξ (t, ω) folyamat folytonos martingál.Ha az f függvény kétszer folytonosan deriválható, akkor az η (t, ω) $ f (ξ (t, ω)) módon de-niált folyamat az Itô-formula szerint folytonos szemimartingál, ugyanis felbontható két integrálösszegére, ahol az els® integrál Itô-féle sztochasztikus integrál, a másik pedig korlátos változásúfolyamat szerint vett közönséges Stieltjes-integrál. A sztochasztikus integrál általában martingál,tehát a várható értéke általában konstans módon nulla, a Stieltjes-integrált tartalmazó tag pedigkorlátos változású, így a kvadratikus variációja nulla. Ez lehet®vé teszi, hogy kiszámoljuk az ηtranszformált folyamat, illetve a folyamat kvadratikus variációjának várható értékét.

3.1. ITÔ-FORMULA MINT A NEWTONLEIBNIZ-SZABÁLY ÁLTALÁNOSÍTÁSA 57

1. Számoljuk ki a sinw sztochasztikus folyamat várható értékét. Az Itô-formula alapján

sinw (t)− sinw (0) =∫ t

0

cosw (s) dw (s) +12

∫ t

0

− sin (w (s)) d 〈w (s)〉 =

=∫ t

0

cosw (s) dw (s)− 12

∫ t

0

sin (w (s)) ds.

Mind a két oldalon várható értéket véve

M (sinw (t)) = M(∫ t

0

cosw (s) dw (s))− 1

2M(∫ t

0

sin (w (s)) ds)

=

= −12

∫ t

0

M (sin (w (s))) ds,

ahol kihasználtuk, hogy a sztochasztikus integrálok várható értéke nulla. Ha

f (t) $ M (sin (w (t))) ,

akkor

f (t) = −12

∫ t

0

f (s) ds f (0) = 0.

Mind a két oldalt deriválva ad

dsf = −1

2f, f (0) = 0

dierenciálegyenlethez jutunk, amely megoldása

f (t) = 0.

Ez azonban nem meglep®, ugyanis a keresett integrál a Wiener-folyamat eloszlása alapján

1√2πt

∫ ∞−∞

exp(−x

2

2t

)sinxdx,

amely a szinusz függvény páratlansága miatt nulla.

2. Számoljuk ki a cosw sztochasztikus folyamat várható értékét. Az Itô-formula alapján

cosw (t)− cosw (0) = −∫ t

0

sinw (s) dw (s) +12

∫ t

0

− cos (w (s)) ds

Várható értéket véve, felhasználva, hogy a sztochasztikus integrál várható értéke nulla

M (cosw (t))− 1 = −M(∫ t

0

sinw (s) dw (s))− 1

2M(∫ t

0

cos (w (s)) ds)

=

= −12

∫ t

0

M (cosw (s)) ds.

Bevezetve azf (t) $ M (cosw (t))

függvénytd

dtf (t) = −1

2f (t) f (0) = 1,

amely megoldása

f (t) = exp(−1

2t

).

3.1. ITÔ-FORMULA MINT A NEWTONLEIBNIZ-SZABÁLY ÁLTALÁNOSÍTÁSA 58

3. Számoljuk ki az exp (w) folyamat várható értékét. Ismételten az Itô-formula alapján

exp (w (t))− 1 =∫ t

0

exp (w (s)) dw (s) +12

∫ t

0

exp (w (s)) ds.

Várható értéket véve

M (exp (w (t)))− 1 = M(∫ t

0

exp (w (s)) dw (s))

+12M(∫ t

0

exp (w (s)) ds).

A megszokott módon dierenciálva a két oldalt

d

dtf (t) =

12f (t) , f (0) = 1

egyenletet kapjuk, amely megoldása

f (t) = exp(

12t

).

Például, ha t = 1, akkor

1√2π

∫ ∞−∞

exp (s) exp(−s

2

2

)ds =

1√2π

∫ ∞−∞

exp(−1

2

[(s− 1)2 − 1

])ds =

= e1/2

4. Igazoljuk a lognormális eloszlás várható értékére vonatkozó képletet. Az Itô-formula alapján

exp (µ+ σw (t))− exp (µ) = σ

∫ t

0

exp (µ+ σw (s)) dw(s) +

+12σ2

∫ t

0

exp (µ+ σw (s)) ds.

Várható értéket véve, és elhagyva a sztochasztikus integrál várható értékét a

d

dtf =

σ2

2f (t) , f (0) = exp (µ)

egyenlethez jutunk, amely megoldása

f (t) = exp(σ2

2t+ µ

).

5. Számoljuk ki a 〈sinw (t)〉 kvadratikus variációt. Az Itô-formula alapján

sinw (t)− sinw (0) =∫ t

0

cosw (s) dw (s)− 12

∫ t

0

sinw (s) d 〈w〉 (s) =

=∫ t

0

cosw (s) dw (s)− 12

∫ t

0

sinw (s) ds.

Az összeg kvadratikus variációjára vonatkozó képlet szerint

〈sinw (t)〉 =∫ t

0

cos2 w (s) ds,

ugyanis a többi kvadratikus variáció nulla.

3.1. ITÔ-FORMULA MINT A NEWTONLEIBNIZ-SZABÁLY ÁLTALÁNOSÍTÁSA 59

6. Számoljuk ki a 〈sinw (t)〉 kvadratikus variáció várható értékét.

M 〈sinw (t)〉 = M(∫ t

0

cos2 w (s) ds)

=∫ t

0

M(cos2 w (s)

)ds =

=∫ t

0

M(

1 + cos 2w (s)2

)ds =

=12

(∫ t

0

1ds+∫ t

0

M (cos 2w (s)) ds).

A második kifejezést a már bemutatott módon az Itô-formula segítségével számolhatjuk ki.

cos 2w (s)− 1 = −2∫ s

0

sin 2w (u) dw (u)− 12

4∫ s

0

cos 2w (u) du.

Várható értéket véve, a sztochasztikus integrál várható értékét elhagyva

f (s)− 1 = −2∫ s

0

f (u) du,

amib®lf (s) = exp (−2s) .

A keresett kvadratikus variáció

12t+

12

∫ t

0

exp (−2s) ds =12t− 1

4[exp (−2s)]t0 =

12t− 1

4exp (−2t) +

14.

3.1.3. Itô-formula id®t®l függ® transzformációs függvény esetén

A többdimenziós Itô-formula speciális esete amikor η (s) $ f (s, ξ (s)), ahol az f kétváltozós,kétszer folytonosan deriválható függvény. Az Itô-formula szerint

f (T, ξ (T ))− f (t, ξ (t)) =∫ T

t

∂f

∂sds+

∫ T

t

∂f

∂xdξ +

+12

∫ T

t

∂2f

∂s2d 〈s〉+

12

∫ T

t

∂2f

∂x2d 〈ξ〉+

+∫ T

t

∂2f

∂s∂xd 〈s, ξ〉 .

Miként már többször láttuk, 〈s〉 = 0. A keresztvariáció szintén nulla, ugyanis a ξ trajektóriáinakfolytonossága miatt

|〈s, ξ〉 (t)| ≈

∣∣∣∣∣∑k

(sk − sk−1) (ξ (sk)− ξ (sk−1))

∣∣∣∣∣ ≤≤ tmax

k|ξ (sk)− ξ (sk−1)| → 0.

Megjegyezzük, hogy a gondolatmenet általánosítható: Ha az ζ1 (t, ω) folyamat trajektóriái korlátosváltozásúak, a ζ2 (t, ω) folyamat trajektóriái folytonosak, akkor

|〈ζ1, ζ2〉 (t)| ≈

∣∣∣∣∣∑k

(ζ1 (sk)− ζ1 (sk−1)) (ζ2 (sk)− ζ2 (sk−1))

∣∣∣∣∣ ≤≤ V0,t (ζ1) max

k|ζ2 (sk)− ζ2 (sk−1)| → 0,

3.1. ITÔ-FORMULA MINT A NEWTONLEIBNIZ-SZABÁLY ÁLTALÁNOSÍTÁSA 60

vagyis a megadott feltételek esetén 〈ζ1, ζ2〉 = 0. A másodrend¶ tagban tehát két tényez® elhagy-ható, így

f (T, ξ (T ))− f (t, ξ (t)) =∫ T

t

∂f

∂sds+

∫ T

t

∂f

∂xdξ +

12

∫ T

t

∂2f

∂x2d 〈ξ〉 .

Ha

ξ (u) $∫ u

0

X (s) dw (s) ,

akkor az integrálok kvadratikus variációjának képlete szerint

〈ξ〉 (u) $

⟨∫ u

0

X (s) dw (s)⟩

=∫ u

0

X2 (s) d 〈w〉 (s) =

=∫ u

0

X2 (s) ds.

Ezt és az integrálokra vonatkozó asszociativitási szabályt kétszer felhasználva

f (T, ξ (T ))− f (t, ξ (t)) =

=∫ T

t

∂f

∂sds+

∫ T

t

∂f

∂x(s) dξ (s) +

12

∫ T

t

∂2f

∂x2(s) d 〈ξ〉 (s) =

=∫ T

t

∂f

∂sds+

∫ T

t

∂f

∂xXdw +

12

∫ T

t

∂2f

∂x2X2ds =

=∫ T

t

(∂f

∂s+

12∂2f

∂x2X2

)ds+

∫ T

t

∂f

∂xXdw.

A pénzügyi matematika könyvek gyakran az Itô-formulát ebben az alakban szokták közölni. Ezaz alak azonban csak egy nehezen megjegyezhet®, mondhatnánk némiképpen zavaros speciálisformája az általunk tárgyalt, és remélhet®leg jóval világosabb, általános esetnek3.

3.1.4. Lineáris sztochasztikus dierenciálegyenletek

A BlackScholes-modellben a részvények ármozgását a

dS = µSdt+ σSdw, S (t) = s (3.1)

egyenlettel írjuk le. A jelölésen a tetsz®leges t < T id®pontokra teljesül®

S (T )− S (t) =∫ T

t

µ · S (u) du+∫ T

t

σ · S (u) dw (u)

integrálegyenlet értend®. Általában a sztochasztikus dierenciálegyenleteket igen nehéz megoldani.Ebben az esetben azonban a megoldás explicite megadható:

S (T ) = s · exp((

µ− 12σ2

)· (T − t) + σ · w (T − t)

). (3.2)

Valóban, az Itô-formula id®t®l függ® verziója alapján

S (T )− S (t) =

=∫ T

t

(µ− 1

2σ2

)S (u) du+ σ

∫ T

t

S (u) dw +12

∫ T

t

σ2S (u) du =

= µ

∫ T

t

S (u) du+ σ

∫ T

t

S (u) dw.

3A legfontosabb észrevétel, hogy a két ds szerinti integrál megjelenésének teljesen eltér® oka van.

3.2. FEYNMANKAC-FORMULA 61

3.3 Példa.Határozzuk meg a (3.1) megoldásának várható értékét.

Az egyenlet megoldását a T pontban a (3.2) képlet adja meg. A képletb®l világos, hogy a megoldáslognormális eloszlást követ. A lognormális eloszlás várható értékének képlete alapján

M (S (T )) = sM(

exp(N

((µ− 1

2σ2

)(T − t) , σ

√T − t

)))=

= s exp((

µ− 12σ2

)(T − t) +

12σ2 (T − t)

)=

= s exp (µ (T − t)) .

2

3.4 Példa.Számoljuk ki az N (t) $ exp (w (t)− t/2) exponenciális martingál négyzetének kompenzátorát!

Emlékeztetünk, hogy az N2 kompenzátorán azt a monoton növeked®, folytonos P folyamatotértjük, amelyre az N2 (t) − P (t) folyamat lokális martingál. Tetsz®leges N folytonos martingálesetén az Itô-formula szerint

N2 (t)−N2 (0) =∫ t

0

2NdN +12

∫ t

0

2d 〈N〉 =

=∫ t

0

2NdN + 〈N〉 (t) .

Az 〈N〉 monoton növeked®, az∫ t

02NdN integrál lokális martingál, tehát az N2 kompenzátora4 az

〈N〉 kvadratikus variáció. Ugyanakkor ha µ = 0, σ = 1, akkor a lineáris sztochasztikus dierenci-álegyenlet megoldása éppen N, vagyis

N (t)−N (0) =∫ t

0

N (u) dw (u) , N (0) = 1.

Az N (t)− 1 =∫ t

0N (u) dw (u) integrál kvadratikus variációja

〈N〉 (t) =∫ t

0

N2 (s) d 〈w〉 (s) =∫ t

0

N2 (s) ds =

=∫ t

0

exp (2w (s)− s) ds.

Vegyük észre, hogy a P = 〈N〉 kompenzátor mint sztochasztikus folyamat függ az ω kimenetelt®l.2

3.2. FeynmanKac-formula

Tekintsük a BlackScholes-féle parciális dierenciálegyenletet (PDE):

∂f

∂t+ rS

∂f

∂S+

12σ2S2 ∂

2f

∂S2= rf,

A call opciókhoz tartozó peremfeltétel

f (T, S) = max S −X, 0 .4Természetesen ezt már korábban is láttuk.

3.2. FEYNMANKAC-FORMULA 62

Ez speciális esete a∂f

∂t+ µ

∂f

∂x+

12σ2 ∂

2f

∂x2+ rf + k = 0,

f (T, x) = Φ (x)

egyenletnek, ahol µ, σ, k a keresett f függvényhez hasonlóan a (t, x) független változók függvényei,az r pedig konstans. A parciális dierenciálegyenlet megoldását sztochasztikus dierenciálegyenlet(SDE) segítségével adjuk meg. Tekintsük el®ször az általános PDE-hez tartozó következ® úgyne-vezett Cauchy-problémát5:

∂f

∂t+ µ

∂f

∂x+

12σ2 ∂

2f

∂x2+ k = 0, (3.3)

f (T, x) = Φ (x) .

3.2.1. Parciális és sztochasztikus dierenciálegyenletek

A parciális dierenciálegyenlethez formálisan6 rendeljük hozzá a

dX (s) = µ (s,X (s)) ds+ σ (s,X (s)) dw (s) ,X (t) = x

sztochasztikus dierenciálegyenletet. Vegyük észre, hogy az id® jelölésére a t helyébe s kerül, a tid®paraméter és az x helyparaméter a kezdeti feltételben jelenik meg. Ismételten megjegyezzük,hogy a sztochasztikus dierenciálegyenletre felírt, sztochasztikus analízisben megszokott jelölésvalójában a tetsz®leges t < T id®pontokra teljesül®

X (T )− x = X (T )−X (t) =∫ T

t

µ (s,X (s)) ds+∫ T

t

σ (s,X (s)) dw (s)

integrálegyenl®ség teljesülését jelenti. Vezessük be az úgynevezett Dinkin-operátort, amely a PDE-ben szerepl® x szerint vett deriváltakat tartalmazó tagokból áll:

Af $ µ∂f

∂x+

12σ2 ∂

2f

∂x2.

Az A segítségével a (3.3) PDE

∂f

∂t+Af + k = 0, f (T, x) = Φ (x) (3.4)

módon írható. Legyen7 f (t, x) ∈ C2 az egyenlet megoldása. Az id®t®l függ® Itô-formula alapján

df =∂f

∂sds+

∂f

∂xdX +

12∂2f

∂x2d 〈X〉 ,

ugyanis miként korábban láttuk a másodrend¶ tagban a többi kvadratikus variáció nulla. Az Xképletét a dX tagba behelyettesítve az integrálokra vonatkozó asszociativitási szabály miatt

∂f

∂xdX =

∂f

∂x(µds+ σdw) = µ

∂f

∂xds+ σ

∂f

∂xdw.

Az X két tag összege, így az(a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2

5Vegyük észre, hogy a feladat homogén, vagyis nem tartalmazza az f függvényt, csak a deriváltjait, vagyis azrf tagot elhagytuk.

6Hangsúlyozni kell, hogy a hozzárendelés formális, következésképpen mechanikus.7Az f ∈ C2 jelölés azt jelenti, hogy az f kétszer folytonosan deriválható.

3.2. FEYNMANKAC-FORMULA 63

nevezetes összefüggés triviális alkalmazásával

〈X〉 = 〈µds+ σdw〉 = 〈µds〉+ 2 〈µds, σdw〉+ 〈σdw〉 .

Miként láttuk, ha a kvadratikus variációban valamelyik kifejezés korlátos változású, akkor a kvad-ratikus variáció nulla, így8

〈X〉 = 〈σdw〉 .

A sztochasztikus integrálok kvadratikus variációjának képlete miatt

〈σdw〉 (t) $

⟨∫ t

0

σdw

⟩=∫ t

0

σ2d 〈w〉 =∫ t

0

σ2ds.

A Dinkin-operátor mint jelölés segítségével a kifejezés

df =∂f

∂sds+

∂f

∂xdX +

12∂2f

∂x2d 〈X〉 =

=∂f

∂sds+ µ

∂f

∂xds+ σ

∂f

∂xdw +

12σ2 ∂

2f

∂x2ds =

=(∂f

∂s+ µ

∂f

∂x+

12σ2 ∂

2f

∂x2

)ds+ σ

∂f

∂xdw =

=(∂f

∂s+Af

)ds+ σ

∂f

∂xdw.

Az egyenl®séget integrálként részletesen kírva és felhasználva, hogy az f megoldása a PDE-nek,vagyis teljesül a (3.4):

f (T,X (T ))− f (t,X (t)) =∫ T

t

(∂f

∂s+Af

)ds+

∫ T

t

∂f

∂xσdw =

=∫ T

t

−kds+∫ T

t

∂f

∂xσdw.

Ha a második tag elég jó9, akkor mind a két oldalon várható értéket véve, a megszokott módonfelhasználva, hogy a sztochasztikus integrál várható értéke nulla

M (f (T,X (T ))− f (t,X (t))) = M

(∫ T

t

−kds

)+ M

(∫ T

t

∂f

∂xσdw

)=

= M

(∫ T

t

−kds

).

Mivel az X (s) eleget tesz az SDE-nek, ezért a kezdeti feltétel miatt X (t) = x, tehát az

f (t,X (t)) = f (t, x)

konstans. Az összefüggést átalakítva

M (f (T,X (T ))− f (t,X (t))) = M (f (T,X (T ))− f (t, x)) == M (f (T,X (T )))− f (t, x) =

= M

(∫ T

t

−k (s,X (s)) ds

).

8A µds kifejezés korlátos változású, ugyanis a diszkrét dierencia jelölés mögött egy érzéki∫ t0 µds integrál dobog,

amely teljes megváltozása, mint tudjuk,∫ t0 |µ| ds <∞.

9Vagyis a sztochasztikus integrál nem csak lokális martingál, hanem valódi martingál.

3.2. FEYNMANKAC-FORMULA 64

Átrendezve

f (t, x) = M (f (T,X (T ))) + M

(∫ T

t

k (s,X (s)) ds

)=

= M (Φ (X (T ))) + M

(∫ T

t

k (s,X (s)) ds

),

ahol felhasználtuk, hogy az f megoldása a PDE-nek, tehát minden y-ra

f (T, y) = Φ (y) ,

ígyf (T,X (T )) = Φ (X (T )) .

A közgazdasági alkalmazásokban k = 0, így ilyenkor

f (t, x) = M (Φ (X (T ))) ,

vagyis a parciális dierenciálegyenlet megoldása, a T id®pontban lev® peremérték segítségévelvárható értékeként számolható. Vegyük észre, hogy az M várható érték a sztochasztikus die-renciálegyenlethez tartozó valószín¶ség szerint értend®. A sztochasztikus dierenciálegyenlet egymatematikai segédeszköz, amely közvetlenül a parciális dierenciálegyenlethez tartozik és ezért tel-jesen független attól, hogy miként jutottunk a parciális dierenciálegyenlethez. A derivatív árazáselméletében a parciális dierenciálegyenletet egy másik sztochasztikus dierenciálegyenletb®l ve-zetjük le, amely egyenlet az árak mozgását írja le és amely egyenlet a statisztikailag meggyelhet®valószín¶ségi mez® felett van értelmezve. A parciális dierenciálegyenlet megoldásakor használtsegédmez® azonban egy másik valószín¶ség10, amelyet szokás kockázatmentes valószín¶ségi me-z®nek nevezni és amely elvileg semmilyen kapcsolatban sincsen az eredeti problémában szerepl®statisztikailag meggyelt adatokra támaszkodó valószín¶ségi mez®vel.

Térjünk visssza az eredeti

∂f

∂t+ µ

∂f

∂x+

12σ2 ∂

2f

∂x2+ k + rf = 0, f (T, x) = Φ (x)

inhomogén PDE-re. Az inhomogén egyenlet helyett vegyük a

∂h

∂t+ µ

∂h

∂x+

12σ2 ∂

2h

∂x2+ k exp (rt) = 0, h (T, x) = exp (rT ) Φ (x) = Ψ (x)

homogén egyenletet. Vezessük be az

f (t, x) = exp (−rt)h (t, x)

függvényt, vagyish (t, x) = exp (rt) f (t, x) .

Mivel∂h

∂t=

∂

∂texp (rt) f (t, x) = r exp (rt) f (t, x) + exp (rt)

∂

∂tf (t, x) ,

ezért

0 =∂h

∂t+ µ

∂h

∂x+

12σ2 ∂

2h

∂x2+ k exp (rt) =

= exp (rt)[∂f

∂t+ µ

∂f

∂x+

12σ2 ∂

2f

∂x2+ rf + k

],

10Amely csak a matematikusok által kreált fantáziavilágban létezik.

3.2. FEYNMANKAC-FORMULA 65

ami csak úgy lehetséges, ha

∂f

∂t+ µ

∂f

∂x+

12σ2 ∂

2f

∂x2+ rf + k = 0.

A már bemutatott módon a homogén egyenletet megoldva

h (t, x) = M (h (T,X (T ))) + M

(∫ T

t

exp (rs) k (s,X (s)) ds

)=

= M (Ψ (X (T ))) + M

(∫ T

t

exp (rs) k (s,X (s)) ds

)=

= exp (rT ) M (Φ (X (T ))) + M

(∫ T

t

exp (rs) k (s,X (s)) ds

),

az inhomogén egyenlet megoldása

f (t, x) = exp (r (T − t)) M (Φ (X (T ))) +

+ exp (−rt) M

(∫ T

t

exp (rs) k (s,X (s)) ds

).

Ha k = 0, akkorf (t, x) = exp (r (T − t)) M (Φ (X (T ))) .

3.2.2. A derivatív árazás alapképlete

Vegyük észre, hogy a BlackScholes-féle egyenletben szerepl® r kamatláb a mi jelölésünk szerintéppen −r, így az eredeti jelölésre áttérve

f (t, x) = exp (−r (T − t)) M (Φ (X (T ))) ,

vagyis az BlackScholes-féle egyenlet megoldása, a derivatíva jelenlegi t id®pontban vett ára, a Tjöv®beli X (T ) kizetés diszkontált várható értéke, ahol a várható értéket, illetve az X (T ) vál-tozót a parciális dierenciálegyenlethez rendelt fantáziavilágban, az úgynevezett kockázatmentesvilágban kell venni11.

3.2.3. Példák

Tekintsünk néhány példát:

1. Oldjuk meg a∂h

∂t+

12σ2 ∂

2h

∂x2= 0, h (T, x) = x2

PDE-tet.

Rendeljük hozzá a sztochasztikus dierenciálegyenletet

dX (s) = 0 · ds+ σdw (s) , X (t) = x.

Az egyenlet könnyen megoldható, a megoldása

X (s) = x+ σ (w (s)− w (t)) .

11Az eredeti BlackScholes modelben az árak jelölése S, mi következetesen X-szel jelöljük a sztochasztikus die-renciálegyenlet változóját hangsúlyozva, hogy a kett®nek semmi köze egymáshoz.

3.2. FEYNMANKAC-FORMULA 66

A Wiener-folyamat tulajdonságai alapján X (s) ∼= N(x, σ√s− t

). Ezt felhasználva a megoldás

h (t, x) = M(X2 (T )

)= D2 (X (T )) + M2 (X (T )) =

= σ2 (T − t) + x2.

Valóban

∂h

∂t+

12σ2 ∂

2h

∂x2= −σ2 + σ2 = 0

h (T, x) = σ2 (T − T ) + x2 = x2.

2. Oldjuk meg a∂h

∂t+

12x2 ∂

2h

∂x2+ x = 0, h (T, x) = lnx2

PDE-tet.

Hagyjuk el®ször el a k (t, x) = x konstans tagot, vagyis tekintsük a

∂h

∂t+

12x2 ∂

2h

∂x2= 0, h (T, x) = lnx2

egyenletet. Rendeljük hozzá a

dX (s) = 0 · ds+X (s) dw (s) = X (s) dw (s) , X (t) = x,

SDE-tet. Az egyenlet ismételten könnyen megoldható. A (3.2) képlet alapján

X (s) = x exp(−1

2(s− t) + w (s− t)

).

Az X (T ) változót a Φ (x) = lnx2 függvénybe betéve

ln(X2 (T )

)= − (T − t) + 2N

(0,√T − t

)+ lnx2,

amib®l

h (t, x) = M(− (T − t) + 2N

(0,√T − t

)+ lnx2

)=

= (t− T ) + lnx2.

Valóban

∂h

∂t+

12x2 ∂

2h

∂x2= 1 +

12x2

(1x2

2x)′

=

= 1 + x2

(1x

)′=

= 1 + x2

(− 1x2

)= 0.

h (T, x) = (T − T ) + lnx2 == lnx2.

Az eredeti egyenletet az

f (t, x) = M (Φ (X (T ))) +∫ T

t

M (k (s,X (s))) ds

3.2. FEYNMANKAC-FORMULA 67

általános formula alapján oldjuk meg, ahol k (s, x) az általános szabad konstans tag a (3.3) egyen-letben12. A lognormális eloszlás várható értékére vonatkozó képlet alapján

M (k (s,X (s))) = M (X (s)) = M(x exp

(−1

2(s− t) + w (s− t)

))= x exp

(−1

2(s− t) +

12

(s− t))

= x,

amib®l ∫ T

t

M (k (s,X (s))) ds = x

∫ T

t

1ds = x (T − t) .

Ez alapjánf (t, x) = (t− T ) + lnx2 + x (T − t) .

Valóban

∂f

∂t+

12x2 ∂

2f

∂2x2+ x = 1− x+

12x2

(1x2

2x)′

+ x =

= 1 + x2

(1x

)′= 0

f (T, x) = lnx2.

3. Oldjuk meg a

∂h

∂t+∂h

∂x+

12σ2 ∂

2h

∂x2= 0,

h (T, x) = x2

PDE-tet.

Rendeljük hozzá a sztochasztikus dierenciálegyenletet.

dX (s) = 1ds+ σdw (s) , X (t) = x.

Az egyenlet

X (T )− x =∫ T

t

ds+ σ

∫ T

t

dw = T − t+ σ [w (T )− w (t)] ∼=

∼= N(T − t, σ

√T − t

).

A megoldóképlet alapján

h (t, x) = M(N2(x+ T − t, σ

√T − t

))= σ2 (T − t) + (x+ T − t)2

.

Valóban

∂h

∂t+∂h

∂x+

12σ2 ∂

2h

∂x2= −σ2 + 2 (x+ T − t) (−1) +

+2 (x+ T − t) +12σ22

= 0,

h (T, x) = x2.

12Feltéve, hogy a két integrál felcserélhet®, de ezt igen általános feltételek mellett meg lehet tenni. A legegysze-r¶bben ellen®rizhet® feltétel, hogy a kett®s integrálban szerepl® integrandus nem negatív.

3.2. FEYNMANKAC-FORMULA 68

4. Oldjuk meg a

∂h

∂t+ x

∂h

∂x+

12x2 ∂

2h

∂2x2= 0,

h (T, x) = lnx2

PDE-tet.

Rendeljük hozzá adX (s) = X (s) ds+X (s) dw (s) , X (t) = x

sztochasztikus egyenletet, amely lineáris sztochasztikus dierenciálegyenlet, tehát a megoldása

X (s) = x exp((

1− 12

)(s− t) + w (s− t)

).

A parciális dierenciálegyenlet megoldása

h (t, x) = M(lnX2 (T )

)= lnx2 + M

(N(T − t,

√T − t

))=

= lnx2 + T − t.

Valóban a peremfeltétel triviálisan teljesül, és

∂h

∂t+ x

∂h

∂x+

12x2 ∂

2h

∂2x2=

= −1 + x2x

+12x2

(− 2x2

)=

= −1 + 2− 1 = 0.

5. Oldjuk meg a

∂h

∂t+ x

∂h

∂x+

12x2 ∂

2h

∂2x2+ x2 = 0,

h (T, x) = lnx2

PDE-tet.

Rendeljük hozzá adX (s) = X (s) ds+X (s) dw (s) , X (t) = x

sztochasztikus dierenciálegyenletet. Ez ismételten lineáris sztochasztikus dierenciálegyenlet,tehát a megoldása

X (s) = x exp((

1− 12

)(s− t) + w (s− t)

).

A parciális dierenciálegyenlet megoldása

h (t, x) = M(lnX2 (T )

)+∫ T

t

M(X2 (s)

)ds.

Az egyes komponenseket kiszámolva

M(lnX2 (T )

)= M

(lnx2 + 2

[12

(T − t) + w (T − t)])

=

= lnx2 + M(N(

(T − t) , 2√T − t

))=

= lnx2 + T − t,

3.2. FEYNMANKAC-FORMULA 69

illetve a lognormális eloszlás várható értékére vonatkozó képlet alapján∫ T

t

M(X2 (s)

)ds = x2

∫ T

t

M (exp (s− t+ 2w (s− t))) ds =

= x2

∫ T

t

exp (3 (s− t)) ds =

= x2 [exp (3 (s− t))]Tt =

=x2

3(exp (3 (T − t))− 1) .

Összefoglalva:

h (t, x) = lnx2 + T − t+x2

3(exp (3 (T − t))− 1) .

Ha t = T, akkorh (T, x) = lnx2,

vagyis teljesül a peremfeltétel. Az egyenletbe behelyettesítve

∂h

∂t+ x

∂h

∂x+

12x2 ∂

2h

∂2x2+ x2 =

−1− x2 exp (3 (T − t)) +

+2x1x

+2x2

3[exp (3 (T − t))− 1] +

−22x2 1x2

+12

2x2

3[exp (3 (T − t))− 1] +

x2,

amely az összevonásokat elvégezve nulla.

4. fejezet

Girszanov-formula

A Girszanov-formula a mértékcsere alapvet® eszköze. A mértékcsere célja a kockázatsemleges mértékre

való áttérés. A sztochasztikus analízis egyik alapvet® észrevétele, hogy az elmélet formulái nem

változnak az ekvivalens mértékcsere folyamán. Természetesen a mértékcsere folyamán a várható érték

megváltozhat. Ennek megfelel®en a lokális martingálok osztálya változik a mértékcsere során, de a

szemimartingálok és az integrálok nem függnek az alapul vett mértékt®l.

A sztochasztikus analízis nevezetes formulája a Girszanov-formula. Maga a formula tulajdonkép-pen igen egyszer¶, ami miatt a formulát mégis nehéznek szokás tartani, az a formula mondaniva-lója. A formula megértésének kulcsa a mértékcsere fogalmának tisztázása. A valószín¶ségszámítástárgyalása során mindig abból szokás kiindulni, hogy adott az (Ω,A,P) valószín¶ségi mez®. Avalószín¶ségszámítás célja, hogy az el®re rögzített mez® ismeretében határozzuk meg a különböz®valószín¶ségi változók eloszlását1. De mib®l is származik az eredeti valószín¶ségi mez®? Általábana feladat természete miatt el®re adott2, esetenként szimmetria megfontolásokból nekünk kell meg-határozni. Id®nként el®fordul, hogy valamilyen ismert határeloszlás-tétel alkalmazásával nekünkkell kitalálni az eloszlást. Mind a három esetben úgy érezzük, hogy a valószín¶ségi mértékeknagysága objektív, a problémához egyedül lehetséges módon hozzá van rendelve.

4.1. Mértékcsere megadása s¶r¶ségfüggvénnyel

Természetesen ez nem így van. Az (Ω,A,P) valószín¶ségi mez®ben a P, az úgynevezett valószín¶-ségi mérték, minden további nélkül kicserélhet®. De hogyan lehet a mérték kicserélését jellemezni?A mértékcserét a legegyszer¶bben az új mérték s¶r¶ségfüggvényének3 megadásával oldhatjuk meg.

4.1 Deníció.Az f függvényt a Q mérték P mértékre vonatkozó s¶r¶ségfüggvényének mondjuk, ha minden Aesemény esetén

Q (A) =∫A

fdP.

A s¶r¶ségfüggvény természetesen az Ω halmazon értelmezett függvény. A lényeg, hogy minden Ahalmaz esetén az f függvény A halmazon vett integrálja a P szerint éppen az A halmaz mértékétadja az új Q mérték szerint. Érdemes hangsúlyozni, hogy tetsz®leges két mérték esetében nincsenmindig s¶r¶ségfüggvény. Például a Poisson-eloszlás és a normális eloszlás esetén egyik valószín¶ségimértéknek sincsen s¶r¶ségfüggvénye a másik szerint. Ennek oka, hogy a Poisson-eloszlás diszkrét

1Természetesen az eloszlások teljeskör¶ megadása helyett gyakran megelégszünk a változók várható értékének,vagy szórásának kiszámolásával.

2Ilyenkor statisztikai és elméleti megfontolások együttesét szokás alkalmazni.3S¶r¶ségfüggvényen általában a számegyenes értelmezett eloszlások s¶r¶ségfüggvényét szokás érteni. Az alábbi

fogalom ennek általánosítása. Mivel sztochasztikus folyamat esetén az Ω elég bonyolult lehet, ezért a s¶r¶ségfügg-vény is igen bonyolult lehet.

70

4.1. MÉRTÉKCSERE MEGADÁSA SRSÉGFÜGGVÉNNYEL 71

pontokra koncentrálódik, a normális eloszlás pedig folytonos eloszlás, vagyis minden pont való-szín¶sége nulla. Vegyük észre, hogy mind a két eloszlás az R számegyenesen van értelmezve és ameggyelhet® események halmaza, az A, azonos. Vagyis a két eloszlás azonos (Ω,A) eseménytérenvan értelmezve, csak más és más valószín¶séggel súlyozzák az egyes eseményeket.

Nagyon fontos, hogy megértsük, hogy miért nincsen az említett két eloszlásnak egymásra vo-natkozólag s¶r¶ségfüggvénye. Az integrálás egyik alapvet® szabálya, hogy egy nulla valószín¶ség¶eseményen integrálva mindig nullát kapunk. Függetlenül attól, hogy mit integrálunk. Ez a szabályközvetlen kiterjesztése annak, hogy az egyenesek területe a síkban nulla, ugyanis nulla a széles-ségük. Egy téglalap területe a szélesség és a hosszúság szorzata, és deníció szerint, ha az egyikoldal hossza nulla, akkor a szorzat értéke nulla, még akkor is, ha a másik oldal mérete végtelen. APoisson és a normális eloszlás esetén mindig lehet olyan halmazt találni, amelyik valószín¶sége azegyik eloszlás szerint nulla, a másik esetében azonban pozitív. Például a Poisson-eloszlás szerinta negatív számok halmazának valószín¶sége nulla, miközben a negatív számok valószín¶sége anormális eloszlás szerint pozitív.

4.2 Példa.Exponenciális eloszlás normális eloszlásra vonakozó s¶r¶ségfüggvénye.

Legyen Q az

h (x) $

exp (−x) ha x > 0

0 ha x ≤ 0

s¶r¶ségfüggvénnyel adott exponenciális eloszlás. Vagyis a számegyenesen lev® tetsz®leges A ese-ményre

Q (A) $∫A∩x≥0

exp (−x) dx.

A P valószín¶ségi mértéket deniáljuk a

g (x) $1√2π

exp(−x

2

2

)s¶r¶ségfüggvénnyel, vagyis a P legyen a standard normális eloszláshoz tartozó valószín¶ségi mér-ték. Valamely u függvény P szerinti integrálja a Stieltjes-integrálásnál bemutatott asszociativitásiszabály miatt ∫

A

u dP =∫A

u (x) g (x) dx.

A Q-nak a P-re vonatkozó s¶r¶ségfüggvénye

f (x) $h (x)g (x)

,

ugyanis tetsz®leges A eseményre∫A

fdP $∫A

h (x)g (x)

dP =∫A

h (x)g (x)

g (x) dx =

=∫A∩x≥0

exp (−x) dx = Q (A) .

Érdemes hangsúlyozni, hogy az eredeti P mérték szerint a valószín¶ség változó várható értékenulla volt, az új szerint azonban a várható érték egy. Ennek oka, hogy az egyes kimenetelekheztartozó súlyok teljesen mások lettek. Például az új valószín¶ségi mérték szerint a negatív számokmindegyikének a valószín¶sége nulla lesz, korábban a negatív számok valószín¶sége 1/2 volt.

2

4.2. GIRSZANOV-FORMULA WIENER-FOLYAMATOK ESETÉN 72

4.2. Girszanov-formula Wiener-folyamatok esetén

A következ® példa kulcs szerepet játszik a Girszanov-formula megértésében.

4.3 Példa.Normális eloszlás várható értékének módosítása mértékcserével.

Legyen P az N (0, σ) eloszlás és legyen Q az N (µ, σ) eloszlás. A P-hez tartozó s¶r¶ségfüggvény

g (x) $1

σ√

2πexp

(− x2

2σ2

).

A Q-hoz tartozó s¶r¶ségfüggvény

h (x) =1

σ√

2πexp

(− (x− µ)2

2σ2

).

Az el®z® példában látottakkal azonos módon azonnal látható, hogy a P-r®l Q-ra való átváltástbiztosító s¶r¶ségfüggvény

f (x) =h (x)g (x)

= exp(− 1

2σ2

((x− µ)2 − x2

))=

= exp(µx

σ2− µ2

2σ2

).

Bevezetve az θ $ µ/σ2 paramétert a formula

f (x) = exp(θx− 1

2θ2σ2

)módon írható. Tegyük fel, hogy az N (0, σ) eloszlás valamilyen Wiener-folyamat t id®pontban valómeggyeléséb®l ered. Ekkor σ2 = t. Ekkor ha az eredeti mérték helyett az

f (x) = exp(θx− 1

2θ2t

)(4.1)

s¶r¶ségfüggvény segítségével kicserélt új mérték szerint tekintjük az eredeti Wiener-folyamat ér-tékét a t id®pontban, akkor a t id®pontban kapott eloszlásnak nem nulla lesz a várható értéke,hanem µ. Hangsúlyozni kell, hogy a várható érték egy súlyozott összeg. Az értéke függ attól,hogy mit és attól, hogy mivel súlyozzuk. A mértékcsere során a súlyozandó értékek, vagyis a tid®pontban meggyelt változó nem változott. De mivel a súlyok megváltoztak a várható értékenem nulla lesz, hanem µ.

2

A Girszanov-formula irányába haladva próbáljuk megérteni, hogy hogyan néz ki egy sztochasztikusfolyamat eloszlása. Hogy a problémát szükségtelenül ne bonyolítsuk, a vizsgálandó folyamat a Pmérték mellett legyen egy w Wiener-folyamat. A gond természetesen az, hogy a folyamat tulaj-donképpen egy végtelen dimenziós véletlen vektor, ugyanis minden t id®pontban egy valószín¶ségiváltozót kapunk, és mindegyik valószín¶ségi változóhoz tartozik egy-egy eloszlásfüggvény. A szto-chasztikus folyamat eloszlásának meghatározása az egyes id®pontokban meggyelt értékek közöttikülönböz® együttállások valószín¶ségének meghatározása. Természetesen a lehetséges együtt-állások halmaza áttekinthetetlenül széles. Szerencsére azonban a s¶r¶ségfüggvény megadásáhozelegend® néhány viszonylag egyszer¶ halmaz valószín¶ségét megadni. A legegyszer¶bb szerkezet¶események, amelyeket egy w Wiener-folyamat segítségével meghatározhatunk

A $ w (t1) ∈ B1, w (t2) ∈ B2, . . . , w (tn) ∈ Bn

4.2. GIRSZANOV-FORMULA WIENER-FOLYAMATOK ESETÉN 73

alakuak. Az A esemény azt adja meg, hogy a w folyamat a t1, t2, . . . , tn id®pontokban rendre aB1, B2, . . . , Bn halmazokban lesz. Például a t1 id®pontban az értéke 2 felett lesz a t2 id®pontban3 alatt stb. Az ilyen típusú halmazok valószín¶ségét egy Wiener-folyamat esetén azonban relatívenehéz meghatározni. Jóval egyszer¶bb azoknak az eseményeknek a valószín¶ségét meghatározni,ahol ki tudjuk használni, hogy a w független növekmény¶. A

D $ w (t1) ∈ C1, w (t2)− w (t1) ∈ C2, . . . , w (tn)− w (tn−1) ∈ Cn

halmazokhoz tartozó valószín¶ség egyszer¶en meghatározható, ugyanis a független növekményfeltétele miatt a D valószín¶sége szorzat alakba írható

P (C) $ Ft1 (C1) · Ft2−t1 (C2) · · ·Ftn−tn−1 (Cn) ,

ahol a normális eloszlás s¶r¶ségfüggvénye alapján

Fs (C) =1√2πs

∫C

exp(−x

2

2s

)ds.

Másképpen fogalmazva Wiener-folyamat esetén kényelmes néz®pont, ha nem a folyamat érté-keit gyeljük meg, hanem a növekményeket és kihasználjuk, hogy a növekmények függetlenek.Nyilvánvalóan a két meggyelési rendszer matematikailag ekvivalens, ugyanis bármelyikb®l elemiszámolással bármelyikre áttérhetünk a másikról.

Tekintsük az egyik ηi $ w (ti) − w (ti−1) növekményt! A teljes (Ω,A,P) téren a mértékcserétdarabonként adjuk meg. Legyenek Ai ⊆ A azok az események, amelyeket az ηi meggyelésévelkaphatunk. Ezek éppen az

ηi ∈ Ci $ ω : ηi (ω) ∈ Ci

típusú részhalmazai az Ω eseménytérnek. Az ηi eloszlása N (0,√ti − ti−1). Legyen µi egy tetsz®le-

ges új várható érték és cseréljük ki úgy a mértéket, hogy az ηi új eloszlása N (µi,√ti − ti−1) legyen.

Hogyan lehet ezt megtenni? Természetesen úgy, hogy megadjuk az eredeti P mértékre vonatkozós¶r¶ségfüggvényt! Azonnal meg fogjuk mutatni, hogy az átmenetet biztosító s¶r¶ségfüggvény

Zi (ω) = exp(θiηi −

12θ2i (ti − ti−1)

)$

$ exp(θi (w (ti)− w (ti−1))− 1

2θ2i (ti − ti−1)

),

aholθi $

µiσ2i

=µi

ti − ti−1.

A képlet az el®z®ek alapján majdnem ismer®s, az egyetlen eltérés, hogy a (4.1) képletben az xhelyébe az ηi $ w (ti) − w (ti−1) változó kerül. Próbáljuk ennek az okát megtalálni! Az els®fontos észrevétel, hogy a dQ/dP s¶r¶ségfüggvény az Ω téren kell, hogy értelmezve legyen. Aközönséges valószín¶ségszámításban az Ω alaptér általában nem jelenik meg közvetlenül, ugyaniscsak az egyszer¶ valószín¶ségi változók eloszlásával foglalkozunk. Ha úgy tetszik az Ω alaptérnekkanonikus módon választhatjuk az R egyenest. Ezért a s¶r¶ségfüggvény is a számegyenesen vanértelmezve és ezt hangsúlyozzuk avval, hogy a mértékcserét megadó s¶r¶ségfüggvény argumentu-mát egyszer¶en x-szel jelöltük. Ha pusztán az eloszlásokra koncentrálunk, akkor a számegyenesenértelmezett eloszlások közötti transzformációt a (4.1) képletben szerepl® f függvény adja. A Zialakjának indoklásául nézzük meg, milyen eloszlást eredményez a Zi, vagyis mi lesz a

Q (A) =∫A

ZidP, A ∈ Ai.

Vegyük észre, hogy csak az Ai eseménytéren vizsgáljuk a mértékcserét. Máshol nem is tudjuk,ugyanis csak a w (ti) − w (ti−1) növekményt gyelhetjük meg. Fontos hangsúlyozni, hogy mi-ként általában a valószín¶ségszámításban az eloszlás a meggyelhet® események valószín¶ségét

4.2. GIRSZANOV-FORMULA WIENER-FOLYAMATOK ESETÉN 74

megadó függvény. Meggyelhet® eseményen az összes elvileg meggyelhet® eseményt értjük. Szto-chasztikus folyamatok esetén a meggyelhet® események halmaza rendkívül nagy. Az itt követettgondolatmenet lényege, hogy rögzítünk bizonyos id®pontokat és az ezen id®pontban végzett elvi-leg lehetséges meggyelések halmazán megvizsgáljuk a mértékcserét. Majd ez követ®en növeljüka meggyelésekhez tartozó id®pontok számát. Visszatérve az eredeti mgfontolásokhoz, az Ai de-nícióját felhasználva minden A meggyelt esemény ηi ∈ C alakú, ahol a C az R egy alkalmasrészhalmaza. Ekkor

Q (ηi ∈ C) $ Q (A) $∫A

ZidP =∫

Ω

Ziχ (ηi ∈ C) dP =

= M (Ziχ (ηi ∈ C)) =

= M (fi (ηi)χ (ηi ∈ C)) =∫

Rfi (x)χ (x ∈ C) dGi (x) =

=∫

Rfi (x)χ (x ∈ C) gi (x) dx =

∫C

hi (x) dx = Hi (C) .

A képlet levezetésekor felhasználtuk a transzformált valószín¶ségi változók várható értékét megha-tározó formulát, az úgynevezett absztrakt helyettesítés formuláját. Bár a formula elnevezése els®retalán ismeretlennek t¶nik, valójában egy igen gyakran használt formuláról van szó. A formulaszerint, ha egy ξ változó eloszlásfüggvénye F és η $ g (ξ) , vagyis az η változót a ξ változó gszerinti transzformáltjaként kapjuk, akkor

M (η) $ M (g (ξ)) =∫

Rg (x) dF (x) .

A formula legismertebb alkalmazása momentumok kiszámolására használt képlet. Például a má-sodik momentum esetén

M(ξ2)

=∫ ∞−∞

x2dF (x) =∫ ∞−∞

x2f (x) dx,

ahol persze feltettük, hogy létezik s¶r¶ségfüggvény. Vegyük észre, hogy a levezetésben Gi azN (0,

√ti − ti−1) eloszlásfüggvénye, a Hi pedig a N (µi,

√ti − ti−1) eloszlásfüggvénye. Vagyis a Zi

valóban az ηi eredeti N (0,√ti − ti−1) eloszlását átváltja az N (µi,

√ti − ti−1) eloszlásra.

Térjünk most vissza a D halmazra. Tegyük fel, hogy mindegyik halmazon adott egy-egy θi.Tegyük fel, hogy a teljes s¶r¶ségfüggvényt a s¶r¶ségfüggvények szorzataként akarjuk megadni,vagyis meg akarjuk ®rizni a növekmények függetlenségét. Ekkor

Z(n) = Z1Z2 · · ·Zn =n∏i=1

Zi =

=n∏i=1

exp(θi (w (ti)− w (ti−1))− θ2

i

2(ti − ti−1)

)=

= exp

(n∑i=1

θi (w (ti)− w (ti−1))−n∑i=1

θ2i

2(ti − ti−1)

).

Ha a felosztást nomítjuk, vagyis egyre több id®pontban végezük el a mértékcserét, akkor ahatárérték, amely mint s¶r¶ségfüggvény már persze a teljes A-ra értelmezve van

Z = exp(∫ t

0

θ (s) dw (s)− 12

∫ t

0

θ (s)2ds

).

Milyen folyamat lesz az eredeti w Wiener-folyamat az új Q mérték mellett.

1. Egyrészt a folyamat folytonos marad, ugyanis az Ω halmazon a mérték kicserélése semmit semváltoztat a trajektóriánkon. Ha azok folytonosak voltak nyilván azok is maradtak.

4.2. GIRSZANOV-FORMULA WIENER-FOLYAMATOK ESETÉN 75

2. A folyamat növekményeinek eloszlásai normálisak maradnak és a szórások nem változnak,ugyanis csak a µi várható értékeket módosítottuk.

3. Mivel az új eloszlások meghatározásakor a növekményekhez tartozó együttes eloszlásokat aperemeloszlások összeszorzásával határoztuk meg a növekmények függetlenek maradnak. Ez egyigen lényeges lépés. Elvileg semmi okunk nincsen arra, hogy az egyes id®pontokban végrehajtottmértékcseréket a megadott módon kapcsoljuk össze. A mértékcsere folyamán ügyeltünk arra, hogya növekmények függetlenek maradjanak és az egyes id®pontokban az új mérték szerint az eloszlásoknormálisak maradjanak, miközben nem módosítottuk a szórásokat. Miért olyan meglep®, hogy azúj mérték szerint egy trenddel rendelkez® Wiener-folyamatot kapunk? Miért, ki számított másra?

4. A f® kérdés csak az, mi történik a várható értékekkel? A ti− ti−1 id®szakon az új várható értékµi lesz. Természetesen a várható érték megváltozása, az id® függvénye. Egyenletes várható értékváltozást feltételezve kétszer akkor id®szak alatt a várható érték kétszer annyit változhat. Ennekmegfelel®en a

θi $µi

ti − ti−1=µiσ2i

az egységnyi id® alatt való megváltozása a várható értéknek, vagyis a várható érték változásánaksebessége. A közelít® összeg esetén az új várható érték, az egyes várható érték növekményekösszege, vagyis

n∑i=1

µi =n∑i=1

θi (ti − ti−1) ≈∫ t

0

θ (s) ds.

Vagyis az új mérték alatt a várható érték

MQ (w (t)) =∫ t

0

θ (s) ds

lesz, ahol a Q index arra utal, hogy most a várható értéket nem az eredeti P valószín¶ség alattkell venni, hanem az új Q alatt. Ez a képlet éppen az út egyenl® a sebesség integráljával szabály.

Az egész kérdést némiképpen átforgathatjuk. Ha a w folyamatból levonjuk a∫ t

0θ (s) ds folyamatot,

akkor az így kapott w folyamat Wiener-folyamat lesz a Q alatt, ugyanis a Wiener-folyamat mindentulajdonsága teljesül. Ez mondja ki a Girszanov-formula.

4.4 Tétel. (Girszanov-formula)Ha w egy Wiener-folyamat valamely P mérték mellett és a Q mérték P-re vonatkozó s¶r¶ségfügg-vénye

Z $ exp(∫ t

0

θ (s) dw (s)− 12

∫ t

0

θ (s)2ds

),

akkor a

w (t) $ w (t)−∫ t

0

θ (s) ds

folyamat Wiener-folyamat lesz az új Q mérték mellett.

Érdemes néhány egyszer¶ megjegyzést tenni.

El®ször egy terminológiai megjegyzés. A s¶r¶ségfüggvény elnevezést a valószín¶ségszámításbanáltalában csak a számegyenesen a közönséges integrálás esetén szokás használni. Az elemi va-lószín¶ségszámításban a s¶r¶ségfüggvény az eloszlásfüggvény deriváltja. Ez indokolja azt, hogyabsztrakt körülmények között RadonNikodym-deriváltról szokás beszélni. A Q mérték P-re vo-natkozó s¶r¶ségfüggvényét, vagyis a RadonNikodym-deriváltat

dQdP

4.2. GIRSZANOV-FORMULA WIENER-FOLYAMATOK ESETÉN 76

módon szokás jelölni. Tehát a Girszanov-formulában

dQdP

$ Z $ exp(∫ t

0

θ (s) dw (s)− 12

∫ t

0

θ (s)2ds

).

Absztrakt körülmények között, így például a Girszanov-formula esetén, természetesen beszélhe-tünk s¶r¶ségfüggvényr®l, de deriváltról, mint a különbségi hányadosok határértékér®l, nem. Ennekellenére a deriválás elnevezés igen szemléletes és hasznos, de hangsúlyozni kell, hogy a RadonNikodym-derivált csak távoli rokona az elemi kalkulusban megismert deriválásnak.

Második megjegyzésünk szintén terminológiai jelleg¶. A µi átlagos elmozdulások összegét, vagyisaz∫ t

0θ (s) ds kifejezéseket szokás driftnek nevezni. Vagyis a Girszanov-formula szerint a mérték-

csere hatására a drift nélküli Wiener-folyamatban megjelenik a drift.

Maga a Wiener-folyamat egy igazságos játék egy martingál. A mértékcsere hatására az igazságosjáték esetleg igazságtalanná válhat. Ennek oka, hogy az egyes kimenetelek valószín¶sége módosul.Talán jól szemléltethet® a probléma a fej vagy irás játékkal. Ha felírjuk a lehetséges kimenetele-ket, akkor az így kapott bináris fa egy sztochasztikus folyamat, ugyanis az egyes kimenetelekhezminden egyes id®pontban egy valós számot rendel. A játék végeredménye attól függ, hogy a sorsmelyik útra terel minket. Ha minden lépésben azonos a két elágazás valószín¶sége, akkor a játékfair. Ha azonban hamis érmével játszunk, a játék nem fair. Hangsúlyozni kell, hogy az érmemegválasztásától függetlenül maga a lehetséges kimenetelek halmaza azonos, csak az egyes utakvalószín¶sége módosul. Vagyis a lehetséges események, a lehetséges játékok halmaza az érme ki-választása el®tt már adott. Absztrakt környezetben ez azt jelenti, hogy az (Ω,A) tér a konkrétérme kiválasztása el®tt adott. Az érme megválasztása a nyerési esélyeket, vagyis a valószín¶ségimértéket adja meg. Ha az érme fair nincsen drift, vagyis az átlagos nyeremény nulla. Ha nem,vagyis ha az érme hibás, akkor van drift. Minnél tovább játszunk, annál több lesz a becsapottfél átlagos vesztesége. A nyereményfolyamat az egyik irányba sodródik, vagyis a folyamatnak vandriftje.

Végül megjegyezzük, hogy némiképpen zavaró, hogy a matematikai pénzügyekben a Girszanov-formulát fordítva szokás használni. A matematikai pénzügyekben a részvényhozamok folyamatatartalmaz egy driftet. Ennek oka, hogy minnél nagyobb a kockázat annál nagyobb kompenzációjár a részvényért, így a hozamok, pontosabban a kockázatmentes kamatláb feletti hozamok, nemalkotnak martingált. A részvény mögött lev® reálfolyamatban az érme hamis4, így a részvénytartásáért kompenzáció jár, vagyis a hamis érme pénzügyi tükörképe is hamis. A derivatív árazásesetén azonban csak a relatív összefüggések érvényesek. A részvény driftje megjelenik a bel®le xmatematikai összefüggéssel számolt származtatott termékben is: Hamis érme függvénye is hamisés helyes fedezési arányok esetén a két hamisság kioltja egymást. Mind a két fél tudja, hogyaz érme hamis és ennek tudatában teszik meg a téteket, vagy fogalmazzák meg a szabályokat. Adrift kivétele úgy is ábrázolható, hogy átírjuk a valószín¶ségeket. Ha a fej kétszer olyan gyakranjön ki mind az írás, akkor csak minden második fejet veszünk gyelembe és a játék máris fair. AGirszanov-formula éppen ennek a trivialitásnak a megjelenése egy matematikailag igen összetettmodellben.

4.5 Példa.Drift kivétele mértékcserével.

Legyen az X sztochasztikus folyamat w (t) + at alakú a P valószín¶ségi mérték alatt. A folyamata P mérték alatt egy drifttel rendelkez® Wiener-folyamat. A sodródás sebesség a. Mértékcserévelki akarjuk venni a driftet. Mennyi legyen a θ? A Q alatt az at tag nem változik, a w pedigw (t) +

∫ t0θ (s) ds alakú lesz, ahol a w a Q alatt Wiener-folyamat. Ha a θ konstans, akkor

w (t) = w (t) + θt.

4Itt most nem feltétlenül csalásra kell gondolni. Egyszer¶en a reálfolyamat tartalmaz egy sor nem diverzikálhatókockázatot. A diverzikálható kockázat egy Wiener-folyamat, a nem diverzikálható rész a drift.

4.3. GIRSZANOV-FORMULA LOKÁLIS MARTINGÁLOKRA 77

IlyenkorX (t) = w (t) + at = w (t) + θt+ at.

Ez akkor lesz fair a Q alatt, ha θ = −a. Vagyis ha θ = −a, akkor a P alatti drifttel rendelkez® Xfolyamat a Q alatt Wiener-folyamat.

2

4.3. Girszanov-formula lokális martingálokra

Végezetül érdemes egy rövid id®re visszatérni a mértékcsere általános problémájához. Miként amértékcsere bevezetésekor jeleztük a dQ/dP s¶r¶ségfüggvény létezéséhez szükséges, hogy a Q nelegyen pozitív akkor, ha a P nulla. Ez indokolja a következ® deníciót:

4.6 Deníció.Azt mondjuk, hogy a P és a Q mértékek ekvivalensek, ha a Q mérték pontosan akkor nulla egyhalmazon, ha a halmaz valószín¶sége a P mértékre nézve is nulla.

Ekvivalens mértékek esetén az egy valószín¶séggel konvergens sorozatok triviálisan megegyeznek,ugyanis a gonosz kimenetelek halmaza független a mértékt®l, és e miatt a gonosz halmazok va-lószín¶sége mind a két mérték esetén, az ekvivalencia deníciója miatt, egyszerre nulla vagy nemnulla. Nem ennyire evidens, de megmutatható, hogy a sztochasztikusan konvergens sorozatokhalmaza is egybesik, vagyis az ekvivalens mértékcsere nem változtatja meg a sztochasztikus kon-vergenciát. Ebb®l következ®en a sztochasztikus integrál és a kvadratikus variáció a mértékcserefolyamán nem változik. Így az Itô-formulában szerepl® különbözö kifejezések nem változnak amértékcsere folyamán. Ebb®l következ®en a mértékcsere jórészt nem módosítja a sztochasztikusanalízist, így érdemes mindig olyan mértéket választani, ahol a dolgok a lehet® legegyszer¶bbek.Másképpen fogalmazva a sztochasztikus analízis invariáns az ekvivalens mértékcserére, így az ala-pul vett mértéket lényegében kényelmi szempontok határozzák meg.

Természetesen felvethet®, hogy akkor mégis mi változik a mértékcsere során? Nyilvánvalóan pél-dául a várható érték, illetve ennek megfelel®en a szemimartingálok felosztása lokális martingálraés korlátos változású tagra. Vagyis ha X egy szemimartingál, akkor az X nyilván nem változik hakicseréljük az alapul vett mértéket. Miért is változna? Ha az X martingál a P alatt akkor a Qalatt nem lesz martingál. Miért is maradna, az, hiszen módosul a várható érték? Idáig nem volttrendje, a növekmények várható értéke nulla volt, most pedig a növekmények várható értéke nemlesz nulla. Persze az nem nyilvánvaló, hogy szemimartingál marad. Miért is lenne ez nyilvánvaló?A Girszanov-tétel talán legfontosabb következménye, hogy a válasz igen, ha az X szemimartin-gál a P alatt, akkor az X szemimartingál marad a Q alatt is! Legyen X = X (0) + M + V azX felbontása a P alatt és az új mérték alatt az X felbontása legyen X = X (0) + N + B. AGirszanov-formula a következ® kérdést veti fel:

Mi a kapcsolat a V és a B között?

Az egyszer¶ség kedvéért tegyük fel, hogy az M egy martingál. Hogyan tudnánk olyan ekvivalensmértéket találni, amelyre nézve az M trendje B lesz? Vagyis az M martingálból egy B trenddelrendelkez® szemimartingált akarunk csinálni. Ezt a Wiener-folyamatnál bemutatott módon lépé-senként akarjuk megtenni. vagyis a mértékcserét csepegtetveakarjuk, dt hosszú id®szakonkéntmegkonstruálni. Rögzítsünk egy 0 ≤ t ≤ T id®pontot. Mivel az M martingál, ezért úgy érezzük,hogy egy igazságos játék eredménye. Ezért az M egy végtelen kicsi id® alatt tetsz®leges trajektó-rián tetsz®leges id®pontban 1/2 valószín¶séggel felfelé megy és 1/2 valószín¶séggel lefelé indul el.Vegyünk a t id®pontban azt az A esemény, ahol felfelé indul el és jelölje az M növekményét az A

4.3. GIRSZANOV-FORMULA LOKÁLIS MARTINGÁLOKRA 78

eseményen δ. Mivel az M martingál, ezért úgy érezzük5, hogy

P (A) · δ −P (Ac) · δ = 0.

Másképpen a martingál tulajdonság miatt minden trajektórián minden id®pontban a lehetségesinnitezimális elmozdulások átlaga nulla lesz6. Jelölje α azt az átváltó konstanst, amely a Pvalószín¶séget átváltja az A halmazon Q-ra, vagyis legyen az A halmazon

dQdP

= α.

Mivel az A és az Ac elválaszthatatlan, ezért ha az Ac halmazon az átváltó konstans β, akkor aP (A) = P (Ac) = 1/2 felhasználásával

1 = Q (A) + Q(A)

= αP (A) + βP (Ac) =α+ β

2

kell, hogy legyen, ugyanis ellenkez® esetben a dQ/dP nem lenne s¶r¶ségfüggvény, ugyanis nemösszegz®dne a P szerint egyre. Ebb®l

β = 2− α.

Így csak az a konstanst kell kiszámolni. Az új Q valószín¶ségre a dt id®szak alatt az új várhatóérték

Q (A) δ −Q(A)δ = ∆B (t)

Az átváltó konstansokat behelyettesítve

α12δ − (2− α) δ

12

= ∆B (t) .

Egyszer¶ átrendezéssel az A halmazon

α = 1 +∆B (t)δ

= 1 +∆B (t)∆M (t)

,

az Ac halmazon

β = 2− α = 1 +∆B (t)∆M (t)

.

Ezt némiképpen átalakítva egy igen kicsi id®szak alatt

dQdP

(t) ≈ (∆B) (∆M)(∆M)2 + 1 ≈ 1 + θ∆M,

ahol a θ azt adja meg, hogy a kvadratikus variáció egységnyi növekedésére nézve mennyivel nö-vekszik az új trend, vagyis némi elnagyolással7

θ =dB

d 〈M〉.

5Nyilván ez egy igen vitatható gondolat. Ugyanakkor, ha nem így lenne és az A-nak nem lenne árnyoldala,akkor az A bekövetkezésére fogadva biztos nyereséghez tudnánk jutni, és a martingál deníciója miatt ez lehetetlen.Vagyis az M martingál tulajdonsága miatt, és a minden jóban van valami rossz elve miatt, az A-hoz létezik A.Másképpen a kockázat nélkül nincsen üzlet elv miatt, ha van üzlet, kell lenni kockázatnak is. Vagyis a sikeresvállakozók P (A) = 1/2 lábbal mindig a börtönben vannak.

6A martingál kapcsán hangsúlyozni szokás, hogy nem arról van szó, hogy a növekmény várható értéke nulla.Hanem arról, hogy minden lehetséges módon kiválasztott eseménynek van t®le elválaszthatatlan árnyoldala.

7Joggal felvetheti valaki, hogy miért lesz a θ integrálható az M szerint. illetve miért lesz a B deriválható az〈B〉 szerint? Természetesen nem kell annak lenni, de akkor a B trendet nem lehet mértékcserével megvalósítani.Vagyis nem minden trendet lehet mértékcserével létrehozni!! Nem ám. Err®l szólnak a nincsen arbitrázs tételek.

4.3. GIRSZANOV-FORMULA LOKÁLIS MARTINGÁLOKRA 79

A klasszikus analízisben egy dt id®szak alatt az 1+ θ∆M kifejezés közelít®leg éppen exp (θ∆M) ,ugyanis a két kifejezés az els®rend¶ tagok szintjén megegyezik. Az Itô-kalkulus szabályai miattazonban a másodrend¶ tagok is számítanak, de a harmadrend¶ek már nem, ezért a

1 + θ∆M ≈ exp(θ∆M − 1

2(θ∆M)2

)közelítés helyes. Valóban, az els® két közelít® tagot felírva

exp(θ∆M − 1

2(θ∆M)2

)≈

≈ 1 + θ∆M − 12

(θ∆M)2 +12

(θ∆M − 1

2(θ∆M)2

)2

=

= 1 + θ∆M + legalább harmadrend¶ ≈≈ 1 + θ∆M.

Ismételten a növekményekhez tartozó csepegtetett s¶r¶ségfüggvényeket összeszorozva a teljestéren a mértékcsere

dQdP

(T ) =∏t

exp(θ (t) ∆M (t)− 1

2θ (t)2 (∆M) (t)2

)=

= exp

(∑t

θ (t) ∆M (t)− 12

∑t

θ (t)2 (∆M) (t)2

)=

= exp

(∑t

θ (t) ∆M (t)− 12

∑t

θ2 (t) ∆ 〈M〉 (t)

)≈

≈ exp

(∫ T

0

θ (t) dM (t)− 12

∫ t

0

θ2 (t) d 〈M〉 (t)

).

Ha az∫ T

0θ (t) dM (t) sztochasztikus integrálhoz tartozó lokális martingált L-lel jelöljük, akkor a

dQdP

= exp(L− 1

2〈L〉)

(T )

mértékcsere az M martingálból egy B trenddel rendelkez® szemimartingált csinált. Megfordítvaaz új mérték mellett az M $ M − B folyamat martingál a Q alatt. Számoljuk ki az 〈L,M〉kvadratikus kereszt variációt: A θ deníciója alapján

〈L,M〉 (t) =⟨∫ t

0

θdM,M

⟩=∫ t

0

θd 〈M,M〉 ≈

≈∑i

θi∆ 〈M〉i =∑i

∆Bi∆ 〈M〉i

∆ 〈M〉i =

=∑i

∆Bi = B.

Vagyis az új trend éppen B $ 〈L,M〉 módon írható fel.

4.7 Állítás. (Girszanov-transzformáció)Ha M martingál a P mérték alatt és

dQdP

= exp(L− 1

2〈L〉)

(T ) ,

akkor azM $ M − 〈L,M〉

folyamat martingál a Q alatt.

4.3. GIRSZANOV-FORMULA LOKÁLIS MARTINGÁLOKRA 80

Természetesen a gyelmes olvasó felvetheti, hogy a bemutatott eljárás túl szigorú megkötésekettartalmazott. Vajon más módon nem lehetne-e mértékcserét csinálni? Igen általános és természe-tes feltételek mellett megmutatható, hogy nem. Minden olyan B trendhez, amelyet mértékcserévelmeg lehet konstruálni, van olyan L lokális martingál, hogy B = 〈L,M〉 .

4.8 Példa.Wiener-folyamat és a mértékcsere.

AWiener-folyamatok számos szempontból nem igazán különböznek a többi folytonos martingáltól.Talán az egyetlen speciális tulajdonságuk, hogy amennyiben a véletlen forrást egy w Wiener-folyamat adja meg, akkor minden L lokális martingál integrál alakban írható fel8, vagyis ilyenkormindig van olyan X, hogy minden t id®pontra L (t) =

∫ t0Xdw. Ezt az integrálreprezentációs

tulajdonságot felhasználva a lehetséges trendekre

B (t) = 〈L (t) , w (t)〉 =⟨∫ t

0

Xdw,w (t)⟩

=∫ t

0

Xd 〈w〉 =

=∫ t

0

X (s) ds.

Vagyis Wiener-folyamatok esetén mértékcserével csak deriválható trendeket lehet csinálni. Ennekvan egy igen fontos következménye. Valamely Q mértékre azt mondjuk, hogy az X szemimartingálmartingál mértéke, ha a Q alatt az X martingál. Az elmondottakból világos, hogy csak igen speci-ális szerkezet¶ szemimartingálok esetén lehet a trendet eltüntetni, vagyis csak speciális szerkezet¶szemimartingáloknak van martingálmértéke.

2

8V.ö.: 5.3. állítás, 5.3. oldal.

5. fejezet

Kvadratikus variáció és arbitrázs

Ebben a fejezetben a sztochasztikus analízis és a derivatív árazás kapcsolatát mutatjuk be.

Miként a bevezet®ben jeleztük a pénzügyi matematika közgazdaságilag a tökéletes piaci versenyhipotézisére épül. Az elmélet kiindulópontja, hogy a verseny tökéletessége miatt a piacon nincsenlehet®ség arbitrázsra ugyanis az árak változását nem lehet a múlt alapján el®rejelezni. Másoldalrólaz Itô-formula tárgyalásakor láttuk, hogy a tökéletesen véletlen folyamatok által indukált moz-gások trajektóriái matematikailag igen sajátos tulajdonsággal rendelkeznek: a tökéletesen véletlenfolyamat kvadratikus variációja pozitív. Mind az arbitrázs lehetetlensége, mind a kvadratikusvariáció pozitivitása azt jelenti, hogy a folyamat jöv®je el®rejelezhetetlenül véletlen. Ebben afejezetben az arbitrázs és a kvadratikus variáció kapcsolatát vizsgáljuk meg.

5.1. A BlackScholes-formula

Els® lépésként röviden emlékeztetünk a BlackScholes képlet levezetésére. Legyen S egy részvényés legyen B egy kötvény. Tegyük fel, hogy a kötvény árát a

dB = exp (rt) dt, (5.1)

a részvény árát adS = µSdt+ σSdw (5.2)

egyenlet írja le, ahol a µ a σ és az r kifejezések konstansok. Tegyük fel, hogy a T id®pontban aΦ (S (T )) kizetéshez fogunk jutni. Mennyi ennek a fair ára a t = 0 id®pontban?

5.1.1. Az árazási képlet levezetése parciális dierenciálegyenlettel

A már bemutatott feltételek mellett tegyük fel továbbá, hogy a feladatban szerepl® problémánakvan megoldása, amely tetsz®leges 0 ≤ t ≤ T id®pontban megadja a derivatíva árát. Tegyük feltovábbá még, hogy az árat megadó kifejezés csak a t id®pont és az aktuális S (t) ár függvénye.Vagyis tegyük fel, hogy adott egy f (t, x) függvény, amelyre tetsz®leges 0 ≤ t ≤ T id®pont eseténaz ár éppen f (t, S (t)). Az f értékét a T id®pontban ismerjük1, de mi a t = 0 id®pontban vettértékét szeretnénk megtudni, vagyis az f (0, x) értékre vagyunk kiváncsiak. Tegyük fel, hogy azf (t, x) függvény elég jó, így az f függvényre alkalmazható az Itô-formula.

A tett feltételek miatt az id®t®l függ® Itô-formula szerint a derivatíva árát megadó f függvénykielégíti az

f (T.S (T ))− f (t.S (t)) =∫ T

t

∂f

∂sds+

∫ T

t

∂f

∂xdS +

12

∫ T

t

∂2f

∂2xd 〈S〉

1f (T, x) = Φ (x) .

81

5.1. A BLACKSCHOLES-FORMULA 82

integrálegyenletet. A korábban már sokszor látott

〈S〉 =⟨µ

∫Sdt+ σ

∫Sdw

⟩=⟨σ

∫Sdw

⟩= σ2

∫S2d 〈w〉 =

= σ2

∫S2ds

összefüggést felhasználva az integrálegyenletet a szokásos dierenciális alakba átírva

df =(∂f

∂s+

12∂2f

∂x2σ2S2

)ds+

∂f

∂xdS.

Kivonva bel®le a (5.2) sor ∂f/∂x-szeresét a jobb oldalon megszabadulhatunk a misztikus dwtagtól2.

df − ∂f

∂xdS =

(∂f

∂s+

12∂2f

∂x2σ2S2

)ds.

Persze ezt sem t¶nik jobbnak. A probléma megoldása egy remek közgazdasági észrevétel!! A jobboldalon álló kifejezés minden id®pontban ismert, ugyanis nem tartalmazza a dw tagot. Ekkor amásik oldalnak is determinisztikusnak kell lenni. A df az f megváltozása, a dS az S megváltozása,így a

df − ∂f

∂xdS

felfogható, mint egy 1 darab derivatíva és −∂f/∂x darab részvényb®l álló portfolió rövid id® alattbekövetkez® értékváltozása. Az így kapott portfolió értéke

V (t) = 1 ∗ f (t, S (t))− ∂f

∂x(t, S (t)) ∗ S (t) .

Mivel a portfolió nem függ a dw-t®l, ezért deteminisztikus, így a hozama éppen az r kockázatmenteshozam. Vagyis

dV = rV ds.

A V konkrét értékét visszaírva

df − ∂f

∂xdS $ dV = rV ds $ r

(f − ∂f

∂xS

)ds.

Ezt visszaírva és a ds kifejezéssel osztva a

∂f

∂s+ r

∂f

∂sS +

12∂2f

∂x2σ2S2 = rf (5.3)

parciális dierenciálegyenletet kapjuk. Emlékeztetünk, hogy teljesülni kell az

f (T, S (T )) = Φ (S (T ))

feltételnek is. A parciális dierenciálegyenletet megoldva azonnal látható, hogy a tett feltételekmellett a t = 0 id®pontban az ár

f (0, S (0)) = exp (−rT ) M (Φ (X (T ))) , (5.4)

ahol az X folyamat a (5.3) egyenlethez rendelt

dX = rXdt+ σXdw (5.5)

X (0) = S (0)

2A dolog lényege, hogy persze a µ is kiesik.

5.1. A BLACKSCHOLES-FORMULA 83

sztochasztikus dierenciálegyenlet megoldása. Vegyük észre, hogy az X-re felírt egyenlet hasonlítaz S-re felírt egyenletre. Az egyetlen eltérés, hogy a µ helyébe az r konstans került. Mivel aµ alapvet®en a részvény kockázatát jellemzi, szokás azt mondani, hogy a (5.4) várható értéket akockázatmentes világban kell venni. Ez azonban a levezetés alapján nem pontos, ugyanis most avárható értéket az eredeti, ha úgy tetszik a statisztikailag meggyelt mez® felett is vehetjük3, de afolyamat, aminek a várható értékét venni kell nem az S, hanem az X, és a két folyamat általábankülönböz®4. Némi elnagyolással azt mondhatnánk, hogy nem a mértéket, hanem az alapul vettfolyamatot kell kicserélni.

5.1.2. Az árazási formula levezetése mértékcserével

Az imént látott gondolatmenet minden nagyszer¶sége ellenére igen vitatható. Talán a leginkábbproblémás feltétel, hogy már eleve feltételezzük, hogy létezik egy árazó képlet és megköveteltük,hogy az egyedül csak az aktuális ártól, illetve az id®t®l függjön. Arról nem is beszélve, hogyaz f viszonylag szigorú analitikus tulajdonságait is megköveteltük. Nem világos továbbá, hogymiért csak egy megoldása van a parciális dierenciálegyenletnek stb. Az alábbiakban egy másikindoklást mutatunk be.

Némiképpen általánosabban eljárva tekintsünk egy n darab kockázatos eszközb®l álló pénzügyirendszert. Az egyes eszközök árát a t id®pontban jelölje

(S1 (t) , S2 (t) , . . . , Sn (t)) .

Most is feltesszük, hogy az Sk folyamatok folytonosak. Tegyük fel, hogy az n darab eszközb®l állóportfolióban a t id®pontban a

(θ1 (t) , θ2 (t) , . . . , θn (t))

vektorral megadott mennyiség¶ eszköz van. A t id®pontban a portfolió értéke az érték egyenl®egységár szorozva mennyiség elv alapján

V (t) $n∑k=1

θk (t)Sk (t) .

A portfolió értékének megváltozása a megszokott módon, teleszkópikus összegként számolható: Ha(tl) a [t, T ] id®tartam tetsz®leges felbontása, akkor

V (T )− V (t) =∑l

(V (tl)− V (tl−1)) =

=n∑k=1

∑l

(θk (tl)Sk (tl)− θk (tl−1)Sk (tl−1)) .

Az elemi számolással ellen®rizhet®

a2b2 − a1b1 = a1 (b2 − b1) + b1 (a2 − a1) ++ (a2 − a1) (b2 − b1)

képlet miatt a bels® ∑l

(θk (tl)Sk (tl)− θk (tl−1)Sk (tl−1))

összeg éppen az ∫ T

t

θdS +∫ T

t

Sdθ + 〈θ, S〉

3Természetesen bármilyen olyan mez® felett vehetjük a várható értéket, amely mellett a (5.5) feladat felírhatóés megoldható.

4Nem beszélve arról, hogy az X tetsz®leges olyan valószín¶ségi mez® felett vehet®, amely esetén a (5.4) egyenletmegoldható.

5.1. A BLACKSCHOLES-FORMULA 84

közelít® összege. Általában, ha ξ és η két sztochasztikus folyamat, akkor

ξ (b) η (b)− ξ (a) η (a) =∫ b

a

ξdη +∫ b

a

ηdξ + 〈ξ, η〉ba

feltéve, hogy az integrálok, illetve a kvadratikus keresztvariáció létezik5. Ezt a formulát szokásparciális integrálás formulájának is mondani. A parciális integrálás formulája természetesen atöbbdimenziós Itô-formula segítségével is megkapható. A kés®bbiekben azonban a formulát igenáltalános körülmények között fogjuk alkalmazni és a gondolatmenettel a formula általános jellegéreszerettünk volna utalni.

A parciális integrálás formuláját felhasználva a portfolió értékváltozása

V (T )− V (t) =n∑k=1

∫ T

t

θkdSk +n∑k=1

∫ T

t

Skdθk +

+n∑k=1

〈θk, Sk〉Tt .

Az egyel®séget sztochasztikus dierenciákkal felírva:

dV =n∑k=1

θkdSk +n∑k=1

Skdθk +n∑k=1

d 〈θk, Sk〉 .

5.1 Deníció.A (θk)nk=1 portfolió súlyokat az (Sk)nk=1 árak mellett önnanszírozónak mondjuk, ha

dV =n∑k=1

θkdSk,

vagyis önnanszírozó portfolió esetén a V értékfolyamat megváltozása csak az árak dSk megváltozá-sából származik. A sztochasztikus dierenciálokat integrálalakban kiírva az önnanszírozás feltételeazt jelenti, hogy tetsz®leges t < T id®pontok esetén

V (T )− V (t) =n∑k=1

∫ T

t

θkdSk.

Fontos hangsúlyozni, hogy az önnanszírozás tulajdonsága nem függ az ármércét®l, vagyis nemfügg attól, hogy milyen egységben fejezzük ki az árakat. Ez intuitíve nyilvánvaló, és formálisszámolással is igazolható. Hogy a technikai részletek ne vegyék el az olvasó kedvét, csak akkorlátjuk be az állítást, amikor az új ármérce egy

B (t) = exp (rt)

alakú kötvény6. A parciális integrálás formulája szerint tetsz®leges t-re

V (t) $V (t)B (t)

= V (0) +∫ t

0

1B (s)

dV (s) +∫ t

0

V (s) d1

B (s)+⟨V,

1B

⟩(t) .

A megadott formula szerint a B korlátos változású, a V az Sk folyamatok folytonossága miattfolytonos, így a kvadratikus keresztvariáció nulla7. A portfolió önnanszírozó, így

dV =n∑k=1

θkdSk

5A 〈ξ, η〉ba jelölésen értelemszer¶en a ξ és az η [a, b] szakaszon vett keresztvariációját értjük.6Ezt is csak azért tesszük, hogy a sztochasztikus kalkulus számolási szabályait egy kicsit gyakoroljuk".7Valójában a B konkrét alakjából csak ezt kell használni.

5.1. A BLACKSCHOLES-FORMULA 85

ezt beírva az asszociativitási szabály szerint az els® integrál a∫ t

0

1B (s)

dV (s) =n∑k=1

∫ t

0

θkBdSk

módon írható. Vagyis

V (t)− V (0) =n∑k=1

∫ t

0

θkBdSk +

∫ t

0

V (s) d1

B (s). (5.6)

Ugyanakkor, ismételten a parciális integrálás formulája szerint8

SkB

=Sk (0)B (0)

+∫ t

0

1BdSk +

∫ t

0

Skd1B.

Ebb®l az asszociativitási szabály alkalmazásával9

n∑k=1

∫ t

0

θkdSk $n∑k=1

∫ t

0

θkdSkB

=n∑k=1

∫ t

0

θkBdSk +

n∑k=1

∫ t

0

θkSkd1B

=

=n∑k=1

∫ t

0

θkBdSk +

∫ t

0

n∑k=1

θkSkd1B

=

=n∑k=1

∫ t

0

θkBdSk +

∫ t

0

V d1B.

Ezt a (5.6) sorral összevetve

V (t)− V (0) =n∑k=1

∫ t

0

θkdSk,

vagyis a (θk) az új ármérce esetén is önnanszírozó.

Legyen HT egy tetsz®leges a T id®szakban esedékes kizetés. A kérdés továbbra is az: Mit ér ez ajöv®beli kizetés a t = 0 id®pontban? Természetesen minden további megfontolás nélkül a kérdésnem válaszolható meg. Ahhoz, hogy valamit mondani tudjunk egy alkalmas közgazdasági feltételtkell szabni. Ez a közgazdasági feltétel a következ®: Ha van olyan (θk)nk=1 önnanszírozó portfolió,amelyre

HT = V (T ) $n∑k=1

θk (T )Sk (T ) = V (0) +n∑k=1

∫ T

0

θkdSk,

akkor a HT ára a t = 0 id®pontban éppen

π (HT ) = V (0) .

Természetesen a kérdést evvel nem oldottuk meg, csak átalakítottuk: Hogyan határozható meg aV (0) értéke? Amennyiben az önnanszírozó portfolióban szerepl® integrálok martingálok, akkora válasz egyszer¶:

π (HT ) = M (HT ) ,

ugyanis mivel a martingálok szerint vett sztochasztikus integrálok várható értéke nulla10, ezért

M (HT ) = M

(V (0) +

n∑k=1

∫ T

0

θkdSk

)=

= E (V (0)) = V (0) .8És természetesen a már említett okok miatt elhagyva a keresztvariációt.9Vegyük észre, hogy az Sk (0) /B (0) konstanst elhagyjuk, ugyanis a d-je nulla.

10Ez miként tudjuk nem mindig van így, itt lép be a lokális martingálok és a martingálok közötti eltérés, de mintemlítettük kicsire nem adunk.

5.1. A BLACKSCHOLES-FORMULA 86

A gond csak az, hogy az Sk folyamatok nem martingálok! Ez azonban nem jelent problémát, aGirszanov-formulával11 ki fogjuk cserélni a mértéket, és az új mérték alatt az (Sk)nk=1 folyamatokmár martingálok lesznek, így a gondolatmenet már alkalmazható lesz.

A tárgyalás jobb áttekinthet®sége céljából tegyünk fel, hogy csak két eszközünk van egy kötvényünkés egy részvényünk, és tegyük fel, hogy ezek id®ben való mozgását a (5.1) és (5.2) egyenletek írjákle. Ekkor az egyenleteket megoldva

B (t) = exp (rt)

S (t) = exp((

µ− σ2

2

)t+ σw (t)

).

Vegyük észre, puszta mértékcserével nem tudjuk a két folyamatot egyszerre martingállá alakítani.A B determinisztikus és így ha r 6= 0, akkor nincs olyan mértékcsere, amely mellett martingál lesz!Ezt a gondot azonban az ármérce alkalmas megválasztásával megoldhatjuk. Tegyük fel, hogy azeredeti ármérce helyett a B folyamatot vezetjük be mint ármércét. Ekkor az új ármérce mellett12

HT =HT

BT

B (t) = 1

S (t) = exp((

µ− r − σ2

2

)t+ σw (t)

).

Ebben a felírásban ez els® eszköz, a B, martingál és minden mérték esetén martingál marad,ugyanis konstans. Így elegend® a mértéket úgy kicserélni, hogy a második folyamat az S ismartingál legyen. Vegyük továbbá észre, hogy mivel B (0) = 1, ezért V (0) = V (0).

De milyen mérték esetén lesz az S martingál? Az exponenciális martingálokkal kapcsolatos ko-rábban már látott megfontolásokból tudjuk, hogy ehhez az szükséges, hogy az új mérték eseténalkalmas w Wiener-folyamattal a diszkontált árfolyam

S (t) = exp(σw (t)− σ2

2t

)alakú legyen. Másképpen olyan mértéket kell választanunk, amely mellett a

µ− rσ

t+ w (t) $ w (t)

folyamat Wiener-folyamat. Ezt meg is tehetjük. Ehhez elegend® a Girszanov-formulát a

θ $ −µ− rσ

=r − µσ

konstans esetén alkalmazni. Az így kapott mértéket Q-val jelölve

π (HT ) = MQ(HT

)$ MQ

(HT

B (T )

).

De mit is jelent ez? Milyen alakuak lesznek a mértékcsere után az egyes folyamatok? A Bdeterminisztikus így a mértékcssre során semmilyen formában nem változik, így a B-re vonatkozóegyenlet a mértékcsere után is

dB = exp (rt) dt

marad. A Girszanov-formula miatt a

w (t) = w (t) + θt = w (t)− µ− rσ

t.

11Illetve, miként látni fogjuk még az ármércét is cserélni kell!12Általában a felülvonás mindig a diszkontált változóra utal.

5.1. A BLACKSCHOLES-FORMULA 87

Amit beírva

S (t) = exp((

µ− σ2

2

)t+ σw (t)

)=

= exp((

µ− σ2

2

)t+ σ

(w (t)− µ− r

σt

))=

= exp((

r − σ2

2

)t+ σw (t)

).

Vagyis a mértékcsere után az µ helyébe r kerül a w helyébe pedig w. Az új mérték alatt a µ eltünt!Másképpen a mértékcserével kapott újy Q mérték esetén az S kielégíti a

dS = rSdt+ σSdw

egyenletet. Ezt úgy is fogalmazhatjuk, hogy a mértékcserével explicite módon megkonstruáltunkegy olyan Wiener-folyamatot és egy olyan valószín¶ségi mez®t, amelyek segítségével az el®z® alfe-jezetben szerepl® X folyamat felírható. Ebben a felírásban S = X.

5.1.3. A nincsen arbitrázs elv

A formula levezetésekor némiképpen homályosan fogalmaztunk. Ebben az alpontban az alkalma-zott gondolatmenetet pontosítjuk.

5.2 Deníció.Azt mondjuk, hogy a (θk)nk=1 önnanszírozó portfolió súlyok arbitrázst alkotnak, ha (θk)nk=1 sú-lyokkal képzett V értékfolyamatra V (0) = 0 és van olyan T , hogy minden kimenetelre V (T ) ≥ 0és egy pozitív valószín¶séggel rendelkez® halmazon a V (T ) pozitív13.

Az arbitrázs közgazdasági interpretációja a következ®: mivel a (θk)nk=1 súlyok önnanszírozóak,ezért a kezdeti V (0) = 0 értékb®l a (θk)nk=1 stratégiát megjátszva a T id®pontban pozitív való-szín¶séggel nyereséget lehet csinálni anélkül, hogy a veszteség lehet®ségével számolni kellene. Havan mód arbitrázsra, akkor a piac nem m¶ködhet tökéletesen, ami ellentmond a piac tökéletes-ségér®l szóló kiinduló közgazdasági alapfeltételnek. Az árazási formula levezetése arra alapult,hogy feltettük, hogy a piacon nem lehet arbitrázs. Az arbitrázs mentesség követelménye miatta HT kizetést replikáló önnanszírozó portfolió létezése esetén az ár csak a V (0) lehet, ugyanisellenkez® esetben triviálisan lenne arbitrázs.

5.1.4. A piac teljessége

Vegyük észre, hogy a gondolatmenet még mindig nem tökéletes, ugyanis nem tudjuk, hogy miértlétezik a HT követelést el®állító önnanszírozó portfolió? A válasz kulcsa a következ® állítás,amelyet szokás Itô-féle integrálreprezentációs tételnek is nevezni:

5.3 Állítás. (Integrálreprezentáció)Ha a T id®pontban meggyelhet® ξ valószín¶ségi változónak létezik szórása, akkor található, még-pedig egyetlen olyan X folyamat amelyre

ξ = M (ξ) +∫ T

0

Xdw.

Az X folyamat olyan, hogy az el®állításban szerepl® sztochasztikus integrál valódi martingál.

13A deníció nem tökéletes, ugyanis nem zárja ki a duplázó stratégiát amely a végtelen sok lehetséges t id®pontmiatt el®fordulhat. Éppen ezért folytonos id®horizont esetén az arbitrázs deníciójában fel szokás tenni, hogy azértékfolyamat alulról korlátos, ahol az alsó korlát közgazdaságilag a kereskedést megvalósító személy vagyona, illetveteljes hitelkerete.

5.2. FRAKCIONÁLIS WIENER-FOLYAMAT 88

5.4 Példa.A call opciók árazása és az Itô-féle integrálreprezentációs tétel.

Vegyük a call opció kizetési függvényét, vagyis legyen

HT = max (0, S (T )−K) .

Természetesen az árazást tekinthetjük a B ármérce mellett, ekkor az önnanszírozó portfoliólétezésével kapcsolatos kérdés az, hogy van-e olyan θ porfolió, amelyre

HT

B (T )= V (0) +

∫ T

0

ψdB +∫ T

0

θdS =

= V (0) +∫ T

0

θdS?

Vegyük észre, hogy közvetlenül az Itô-féle integrálreprezentációs tétel nem alkalmazható, ugyanismost a T id®szakban esedékes követelést az S folyamattal kell el®állítani, és nem egy Wiener-folyamattal, miként az a tételben szerepel. Ez azonban könnyen orvosolható. A kockázatsemlegesmérték mellett

dS = σSdw,

ugyanis az r a diszkontálással eltüntethet® és így

S (t) = exp(σw − σt

2

),

ami éppen az említett egyenlet megoldása. Ezt beírva, az asszociativitási szabály szerint∫ T

0

θdS =∫ T

0

θSdw,

ahol a w már Wiener-folyamat. Így alkalmas Y folyamattal, ha

θ $Y

S,

akkorHT

B (T )= V (0) +

∫ T

0

Y dw =∫ T

0

θSdw =∫ T

0

θdS.

Ahhoz, hogy a reprezentációs tételt alkalmazni tudjuk, elég azt megjegyezni, hogy a lognormáliseloszlásnak van szórása, így az S (T )-nek van szórása, így triviálisan a HT változónak is vanszórása.

2

5.2. Frakcionális Wiener-folyamat

Tegyük fel, hogy a parciális integrálás formulájában a ξ és az η folyamatok nem elég véletlenek.Ezen most azt a matematikai tulajdonságot értjük, hogy a két folyamat trajektóriái elég regulá-risak ahhoz, hogy a 〈ξ, η〉 kvadratikus keresztvariáció nulla legyen. Ilyenkor a parciális integrálásformulája a jóval egyszer¶bb

ξ (b) η (b)− ξ (a) η (a) =∫ b

a

ξdη +∫ b

a

ηdξ

alakot ölti. Speciálisan ha ξ = η, akkor

ξ2 (b)− ξ2 (a) = 2∫ b

a

ξdξ.

5.2. FRAKCIONÁLIS WIENER-FOLYAMAT 89

Másképpen fogalmazva, ha a ξ nem elég véletlen, akkor érvényes a

dξ2 = 2ξdξ

deriválási szabály. Tegyük fel, hogy 〈ξ〉 = 0 és tekintsük a ξ segítségével megfogalmazható leg-egyszer¶bb (B,S) kötvény-részvény modellt: B (t) $ 1 és S (t) $ 1 + ξ (t). A B folyamat alatttermészetesen a kötvényt értjük, az S alatt pedig a részvényt14. Legyen

θB (t) $ − (ξ (t))2 − 2ξ (t) , θS (t) $ 2ξ (t) .

a beruházási stratégia. A megfelel® értékfüggvény

V (t) = θB (t) ·B (t) + θS (t) · S (t) =

= − (ξ (t))2 − 2ξ (t) + 2ξ (t) (1 + ξ (t)) = (ξ (t))2.

Ha a ξ (t) nem azonosan nulla, akkor a (θB , θS) pár a (B,S) modellben arbitrázs, ugyanis

dV = d (ξ)2 = 2ξdξ = θB · 0 + θSdξ == θBdB + θSdS,

egyenl®ség miatt a portfolió önnanszírozó. Ugyanez közvetlenül megmutatható a parciális integ-rálás formulájából is. Felhasználva, hogy mind a két keresztvariáció nulla

dV = θBdB +BdθB + θSdS + SdθS .

Ugyanakkor

BdθB + SdθS = −dξ2 − d (2ξ) + (ξ + 1) d (2ξ) == −dξ2 − 2dξ + 2ξdξ + 2dξ == −dξ2 + dξ2 = 0.

Másképpen fogalmazva egy piacon akkor van lehet®ség arbitrázsra, ha a a piacon a pénzügyifolyamatok nem elég véletlenek, amely egyik megjelenési formája a kvadratikus variáció nullavolta.

A bemutatott jelenségre a legjobb és legismertebb példa az úgynevezett frakcionális Wiener-folyamat.

5.5 Deníció.Legyen 0 < H ≤ 1, és vezessük be az

RH (t, s) $12

|t|2H + |s|2H − |t− s|2H

kovarianciafüggvényt15. Frakcionális Wiener-folyamaton olyan BH sztochasztikus folyamatot ér-tünk, amelyre

1. BH (0) = 0,

2. a BH növekményei stacionáriusak,

3. a növekmények eloszlása normális nulla várható értékkel,

4. a BH trajektóriái folytonosak, és

14Miként alább látni fogjuk, a gondolatmenet az exponenciális ármozgásokra is alkalmazható.15Csak a H-ra megadott tartományban deniálható a frakcionális Brown-mozgás, egyébként az RH nem lehet

kovarianciafüggvény.

5.2. FRAKCIONÁLIS WIENER-FOLYAMAT 90

5. cov (BH (t) , BH (s)) = M (BH (t)BH (s)) = RH (t, s) , speciálisan

M(

[BH (t)−BH (s)]2)

= |t− s|2H .

HaH = 1/2, akkor BH Wiener-folyamat. Számoljuk ki a frakcionális Wiener-folyamat kvadratikusvariációját az [a, b] szakaszon.

M

(∑k

[BH (tk+1)−BH (tk)]2)

=∑k

M(

[BH (t)−BH (s)]2)

=∑k

|tk+1 − tk|2H .

Ha 2H − 1 > 0, vagyis ha H > 1/2, akkor∑k

|tk+1 − tk|2H ≤ maxk|tk+1 − tk|2H−1

∑k

|tk+1 − tk| =

= maxk|tk+1 − tk|2H−1 (b− a)→ 0.

A Markov-egyenl®tlenség miatt

P

(∑k

[BH (tk+1)−BH (tk)]2 ≥ ε

)≤ 1ε

maxk|tk+1 − tk|2H−1 (b− a)→ 0,

vagyis a kvadratikus variáció sztochasztikusan nullához tart. Ha H < 1/2, akkor a kifejezéshatárértéke végtelen, ugyanis ha véges lenne, akkor 1− 2H > 0, és ezért

b− a =∑k

|tk+1 − tk| ≤ maxk|tk+1 − tk|1−2H

∑k

|tk+1 − tk|2H → 0

lenne. Ennek megfelel®en a frakcionális Wiener-folyamat kvadratikus variációja a H 6= 1/2 esett®leltekintve vagy nulla, vagy végtelen.

5.2.1. Itô-lemma frakcionális Wiener-folyamat esetén

Tegyük fel, hogy H > 1/2. Ilyenkor a BH kvadratikus variációja nulla. Az Itô-formula bizonyításátmegismételve, ha F ′′ ∈ C2, akkor

F (BH (t))− F (BH (s)) $∑k

[F (BH (tk+1))− F (BH (tk))] .

A Taylor-formula alapján

F (x) = F (y) + F ′ (y) [x− y] +∫ x

y

F ′′ (u) [x− u] du.

F (BH (t))− F (BH (s)) =∑k

F ′ (B (tk)) [BH (tk+1)−BH (tk)] +R(n).

ahol

R(n) =∑k

∫ BH(tk+1)

BH(tk)

F ′′ (u) [BH (tk+1)− u] du.

Mivel az F ′′ (BH (t)) korlátos, ezért

|Rn| ≤ suptF ′′ (BH (t))

∑k

∫ BH(tk+1)

BH(tk)

[BH (tk+1)− u] du =

= suptF ′′ (BH (t))

12

∑k

[BH (tk+1)−BH (tk)]2 P→ 0.

5.2. FRAKCIONÁLIS WIENER-FOLYAMAT 91

Ha tehát 1 ≥ H > 1/2, akkordF = F ′dBH ,

Ha persze H = 1/2, akkordF = F ′dB + 1

2F′′dt.

5.2.2. BlackScholes-modell frakcionális Wiener-folyamat esetén

Miként korábban, tekinstük az (B,S) kötvény-részvény16 modellt, ahol

B (t) ≡ 1, S (t) = 1 +BH (t) ,

és 1/2 < H ≤ 1. Ez az úgynevezett frakcionális Bachelier-modell. Legyen ismét

θB (t) $ − (BH (t))2 − 2BH (t) , θS (t) $ 2BH (t)

a beruházási stratégia. A megfelel® értékfüggvény

V (t) = θB (t) ·B (t) + θS (t) · S (t) == θB (t) · 1 + θS (t)S (t) =

= − (BH (t))2 − 2BH (t) + 2BH (t) (1 +BH (t)) = (BH (t))2.

Ugyanakkor az Itô-formula szerint

dV (t) = d (BH (t))2 == 2BH (t) dBH (t) = θS (t) dS (t) == θB (t) dB (t) + θS (t) dS (t) ,

következésképpen a (θB , θS) stratégia önnanszírozó. Mivel V (0) = 0, és V (t) > 0, ezért afrakcionális Bachelier-modellben van arbitrázs.

Most tekintsük az BlackScholes típusú ármozgást, vagyis tekintsük a lognormális modellel analógmodellt. Tegyük fel, hogy.

B (t) = exp (rt) , S (t) = exp (rt+ σBH (t)) .dB (t) = r exp (rt) , dS = rSdt+ σSdBH .

A dB (t) = r exp (rt) egyenlet triviális, ugyanis semmi más, mint a

d exp (rt)dt

= r exp (rt)

deriválási szabály (sztochasztikus) dierenciálokkal való felírása. Az többdimenziós Itô-formulaképlete szerint

dS = rS · dt+ σS · dBHugyanis a kvadratikus variációkat tartalmazó tagok mind nullák. Vegyük észre, hogy a kvadratikusvariációk nulla volta miatt szemben a közönséges Wiener-folyamattal most az S ár képletében at változó r együtthatója közvetlenül megegyezik az ármozgást leíró egyenlet Sdt tagjának együtt-hatójával. Ha a befektetési stratégia

θB (t) $ 1− exp (2σBH (t)) , θS (t) $ 2 (exp (σBH (t))− 1) ,

16A B most a bond kötvény szóra utal BH a frakcionális Brown-mozgás.

5.2. FRAKCIONÁLIS WIENER-FOLYAMAT 92

akkor az értékfüggvény

V (t) == B (t) · θB (t) + S (t) · θS (t) == exp (rt) [1− exp (2σBH (t)) + exp (σBH (t)) · 2 (exp (σBH (t))− 1)] == exp (rt) [1 + exp (2σBH (t))− 2 exp (σBH (t))] =

= B (t) (1− exp (σBH (t)))2

szigorúan pozitív. A frakcionális Wiener-folyamatra vonatkozó parciális integrálás, illetve az Itô-formula szerint

dV (t) = (1− exp (σBH (t)))2dB (t) +B (t) d (1− exp (σBH (t)))2 =

= (1− exp (σBH (t)))2dB (t) +

+B (t) · 2 · (exp (σBH (t))− 1) · exp (σBH (t)) · σdBH (t)

= (1− exp (σBH (t)))2dB (t) +

+2σ · S (t) · (exp (σBH (t))− 1) dBH (t)

= (1− exp (σBH (t)))2dB (t) + σ · θS (t) · S (t) dBH (t) =

= θB (t) dB (t) +

+(

(1− exp (σBH (t)))2 − 1 + exp (2σBH (t)))dB (t) +

+σθS (t)S (t) dBH (t)= θB (t) dB (t) +

+ (2 exp (2σBH (t))− 2 exp (σBH (t))) dB (t)+σθS (t)S (t) dBH (t)

= θB (t) dB (t) ++2 (exp (σBH (t))− 1) exp (σBH (t)) dB (t)+σθS (t)S (t) dBH (t)

= θB (t) dB (t) + rθS (t)S (t) dt+ σθS (t)S (t) dBH (t) == θB (t) dB (t) + θS (t) dS (t) ,

tehát a stratégia önnanszírozó, így a frakcionális BlackScholes-modell szintén tartalmaz arbit-rázst.

6. fejezet

Függelék: A feltételes várható érték

A függelékben emlékeztet®ül összefoglaljuk a valószín¶ségszámítás néhány alapfogalmát. Mikép-pen korábban, most is nagyvonalúan kezeljük az analízis tényeit és a szemléletes megfontolásokata pontos megfogalmazás elé helyezzük.

6.1. Valószín¶ségi változók várható értéke

A valószín¶ségszámítás talán legfontosabb fogalma a várható érték. Legyen (Ω,A,P) tetsz®legesvalószín¶ségi mez®, ξ valószín¶ségi változó. Emlékeztetünk, hogy els® közelítésben1 a valószín¶ségiváltozó az Ω téren értelmezett függvény. Miként korábban jeleztük az ω argumentumot általábanelhagyjuk és a ξ (ω) jelölés helyett az egyszer¶bb ξ jelölést alkalmazzuk. A ξ valószín¶ségi változóM (ξ) várható értékén deníció szerint az

∫Ωξ (ω) dP (ω) integrált értjük. Felmerül azonban a

kérdés, hogy az említett körülmények között mit értünk integrálon, ugyanis az Ω tér absztraktelemekb®l áll, így a számegyenesen való integrálás során követett eljárásból nem lehet közvetlenülkiolvasni, hogy hogyan kell az integrált absztrakt körülmények között értelmezni. Az absztraktintegrál deníciója lényegében azonos a számegyenesen követettel: El®ször egyszer¶ objektumokradeniáljuk az integrált, majd a deníciót kiterjesszük a közelít® összegek határértékére.

1. El®ször az egyszer¶ valószín¶ségi változókat deniáljuk: Tekintsük az Ω egy A-beli esemé-nyekb®l álló partícióját, vagyis bontsuk fel az Ω teret (Ak) események diszjunkt egyesítésére. Haa ξ valószín¶ségi változó diszkrét, vagyis az értéke az egyes Ak eseményeken egy-egy ck konstans,akkor a várható érték, illetve az integrál deníciója kézenfekv® módon∑

k

ckP (Ak) . (6.1)

A deníció szempontjából teljesen mindegy, hogy az (Ak) partícióban szerepl® halmazok számavéges, vagy megszámlálhatóan végtelen, de az egyszer¶ség kedvéért kiindulhatunk abból, hogy az(Ak) az Ω véges számú eseményb®l álló felbontása. A véges számú eseményekb®l álló particiókhoztartozó diszkrét értéket felvev® valószín¶ségi változókat szokás lépcs®s függvényeknek nevezni. Ve-gyük észre, hogy ha F a ξ valószín¶ségi változó eloszlásfüggvénye, valamint ha (ck) olyan monotonnöveked® sorozat amelyre [ck−1, ck) diszjunkt intervallumok egyesítése lefedi a ξ értékkészletét,akkor az

Ak $ ω : ck−1 ≤ ξ (ω) < ck

halmazok az Ω partícióját adják és a (6.1) közelít® összeg éppen∑k

ckP (Ak) =∑k

ck (F (ck)− F (ck−1))

1Miképpen látni fogjuk, van második megközelítés is. Az alpont legfontosabb célja, hogy indokolja, hogy miértvan szükség második megközelítésre.

93

6.1. VALÓSZÍNSÉGI VÁLTOZÓK VÁRHATÓ ÉRTÉKE 94

az∫∞−∞ xdF (x) Stieltjes-integrál egy közelít® összege2.

2. A várható érték deníciójával kapcsolatos legfontosabb kérdés, hogy hogyan s¶rítjük a fel-bontást. Az Ω absztrakt objektumokból áll, így nem világos, hogy mit jelent az, hogy az (Ak)partíciókat végtelenül nomítjuk. A kiutat a következ® megfontolás jelenti: Ha 0 ≤ ξ1 ≤ ξ2, akkoraz integrál, illetve a várható érték intuitív tartalma miatt

M (ξ1) ≤M (ξ2) .

Ha ξ1 és ξ2 lépcs®s függvények, akkor ez a tulajdonság a megadott deníció miatt automatikusanteljesül. Kézenfekv® tehát a következ®: Ha ξ ≥ 0, akkor

M (ξ) $ sup M (η) : η ≤ ξ, η lépcs®s .

Szavakban kifejezve: a monotonitás elve miatt egy nem negatív valószín¶ségi változó várható értékebiztos nem kisebb a változónál nem nagyobb lépcs®s függvények várható értékénél, vagyis valamelyvalószín¶ségi változó várható értéke szükségszer¶en fels® korlátja a változónál nem nagyobb lépcs®sfüggvények várható értékének. A várható érték deníció szerint a lehetséges fels® korlátok közüla legkisebb. Ha a lépcs®s függvények integráljaiból álló halmaz nem korlátos, akkor a várhatóértéket értelemszer¶en végtelennek tekintjük. Triviális módon a várható érték továbbra is monotonoperáció marad, vagyis ha 0 ≤ ξ1 ≤ ξ2, akkor M (ξ1) ≤M (ξ2) .

3. Sajnos evvel a várható érték denícióját még nem adtuk meg. Ennek oka, hogy nem tisztáztuk,hogy milyen függvényekre érdemes értelmezni a várható értéket. A kulcs probléma, hogy az iméntmegadott deníció esetén nem tudjuk garantálni, hogy a várható érték additív lesz, vagyis nemtudjuk garantálni, hogy érvényes lesz az

M (ξ1 + ξ2) = M (ξ1) + M (ξ2)

szabály. Ahhoz, hogy ezt biztosítani tudjuk be kell vezetni a mérhet® függvények fogalmát ésle kell sz¶kíteni a várható érték denícióját a mérhet® függvények halmazára. A mérhet®séggelkapcsolatos probléma abból ered, hogy elképzelhet®, hogy az Ω téren értelmezett ξ függvény nemközelíthet®, nem írható le az Ω-án értelmezett A események segítségével. Ennek lehet tisztánmatematikai oka3, de helyesebb ha arra gondolunk, hogy a meggyelhet® eseményekkel, a rendel-kezésünkre álló információkkal bizonyos függvények, szabályok összefüggések nem írhatók le4.

6.1 Deníció.A 0 ≤ ξ függvényt az (Ω,A,P) téren mérhet®nek mondjuk, ha van (ξn) lépcs®s függvényekb®l álló

sorozat, amelyre 0 ≤ ξ1 ≤ ξ2 ≤ . . . ≤ ξn ξ. A ξ függvény mérhet®, ha a ξ+ = max (0, ξ) ésa ξ− = max (0,−ξ) függvények mérhet®ek. Az (Ω,A,P) téren értelmezett mérhet® függvényeketvalószín¶ségi változóknak mondjuk5.

6.2 Példa.A várható érték csak a mérhet® függvényeken additív.

2V.ö.: (2.1) sor, 32. oldal.3A függvény túl általános fogalom.4Mi a jelenlegi tudásunk alapján egy kifejlett klingon harcos átlagos testmagassága? Na és a jelenlegi tapasz-

talataink alapján mennyi a romulán n®k átlagos inteligenciaszintje? Mennyi a két érték összege? A meggyeltstatisztikai adatok alapján átlagban a klingonok vagy a romulánok matematikai tudása nagyobb?

5Megmutatható, hogy a mérhet®ség deníciója ekvivalens avval, hogy minden c konstans esetén a ξ < c hal-mazok események, vagyis tetsz®leges c esetén ξ < c ∈ A, így az ξ < c halmazok rendelkeznek valószín¶séggel,tehát értelmes a ξ F (x) $ P (ξ < x) eloszlásfüggvénye. A mérhet®séggel kapcsolatos tételekre a tárgyalás intuitívjellege miatt nincsen igazán szükségünk. Az egyetlen dolog, amit érdemes megjegyezni, hogy mivel az A eseménytérnem azonos az Ω összes részhalmazával, ezért az összes Ω-án értelmezett függvénynek nem tudunk várható érté-ket deniálni, ugyanakkor minden nem negatív mérhet® függvénynek van várható értéke, bár el®fordulhat, hogy avárható érték végtelen.

6.2. REGRESSZIÓS FÜGGVÉNY 95

Az Ω tér álljon a 0 és az 1 jelekbb®l, A eseménytér álljon az Ω és az ∅ halmazokból. A lépcs®sfüggvények egyedül a konstans függvények6. Ha

ξ1 (ω) $

0 ha ω = 01 ha ω = 1 , ξ2 (ω) $

1 ha ω = 00 ha ω = 1 ,

akkor M (ξ1) = M (ξ2) = 0, de M (ξ1 + ξ2) = 1. A probléma természetesen az, hogy a ξ1 és a ξ2

nem mérhet® függvények.2

A várható értéket a monotonitáson keresztül deniáltuk. A monotonitás miatt a deníciókbólkönnyen látható, hogy ha ξ nem negatív valószín¶ségi változó és ξn ξ a ξ-t a mérhet®ségdeníciója alapján közelít® lépcs®s függvények sorozata, akkor M (ξn) M (ξ) . Ebb®l nem túlmeglep®, hogy érvényes a következ® úgynevezett monoton konvergencia tétel, amely a monotonításés az additivitás mellett a várható érték legfontosabb tulajdonsága:

6.3 Állítás.Ha 0 ≤ ξ1 ≤ ξ2 ≤ . . . ≤ ξn ξ, akkor M (ξn)M (ξ) .

4. A monotonitás mellett az additivitás a várható érték másik kulcs tulajdonsága. Ezt tükrözi avárható érték deníciója is.

6.4 Deníció.Ha ξ valószín¶ségi változó, akkor

M (ξ) $ M(ξ+)−M

(ξ−)

feltéve, hogy a kifejezés értelmes, vagyis nem ∞−∞ alakú.

6.2. Regressziós függvény

A valószín¶ségszámítás legalapvet®bb és intuitíve leginkább problémás fogalma a feltételes várhatóérték. A feltételes várható értékkel kapcsolatos probléma nem matematikai, logikai természet¶.A gond leginkább abból ered, hogy a deníció bár rendkívül elegáns és matematikai, esztétikaiszempontból lényegében optimális, az alkalmazások szempontjából túl absztrakt és ezért nehezenköthet® a feltételes várható érték, illetve a feltételes valószín¶ség intuitív fogalmához. A mate-matika legf®bb eszköze az absztrakció és a sikeres matematikai fogalmak mindegyike, a feltételesvárható értékhez hasonlóan igen absztrakt. Ugyanakkor a valószín¶ségszámítás alkalmazott ma-tematika, amely szorosan összekapcsolódik az intuícióval, így egy absztrakt deníció csak akkorelfogadható, ha világosan látható az absztrakt fogalom intuitív tartalma. Megítélésem szerint afeltételes várható érték megértésének kulcs a regressziós függvény, ugyanis míg az absztrakt σ-algebra szerinti feltételes várható érték intuitív tartalma nehezen ragadható meg, a regressziósfüggvény tartalma intuitíve evidens. Ennek megfelel®en el®ször a regressziós függvény fogalmátmutatjuk be.

A feltételes valószín¶ség fogalma világos és egyszer¶, ha a feltétel valószín¶sége pozitív. Mikéntaz elemi valószín¶ségszámításból ismert, ha a B esemény valószín¶sége pozitív és A tetsz®legesesemény, akkor a feltételes valószín¶ség, deníció szerint

P (A | B) $P (A ∩B)

P (B). (6.2)

6A lépcs® alapjának mindig megengedett eseménynek kell lenni, a lépcs® magassága tetsz®leges szám lehet. Haa lépcs® A alapja nem megengedett esemény, akkor a P (A) szám értelmetlen.

6.2. REGRESSZIÓS FÜGGVÉNY 96

A feltételes valószín¶ség legnagyobb haszna, hogy segítségével az A eseményeinek valószín¶ségétesetenként könnyen ki tudjuk számolni. Ha (Bn) az Ω tér A elemeib®l álló, legfeljebb megszám-lálható partíciója, akkor tetsz®leges A ∈ A-ra A = ∪n (A ∩Bn) , így

P (A) =∑n

P (A ∩Bn) $∑n

P (A | Bn) P (Bn) , (6.3)

ahol az összegzés az olyan n indexekre terjed ki, amelyekre P (Bn) > 0. A (6.3) egyenl®ségkiemelked® szerepet játszik az elemi valószín¶ségszámításban, ahol a teljes valószín¶ség tétele el-nevezéssel szokás hivatkozni rá. A P (A | Bn) deníció szerint olyan számok, amelyekre teljesüla (6.3) felbontás. Természetesen a P (A | Bn) értékek hasznos intuitív tartalommal bírhatnak,ami segít a nagyságuk megsejtésében. Ez különösen akkor van így, ha a Bn halmazok valami-lyen paraméter rögzítése mellett kaphatók, így egy eredend®en kétváltozós probléma n darabegyváltozós problémára bontható.

6.5 Példa.Egy urnában két fehér és három piros golyó van. Két golyót egymás után kihúzunk. Mi a valószí-n¶sége annak, hogy a második golyó fehér?

A feladat megoldása a következ®: Ha els®re fehéret húzunk, akkor a második húzásra 1/4 a fehérhúzásának valószín¶sége, ha els®re pirosat, akkor a fehér húzásának valószín¶sége 2/4. Ebb®l ateljes valószín¶ség tétele szerint a keresett valószín¶ség

14· 2

5+

24· 3

5.

Vegyük észre, hogy a feladat megoldása pontatlan, illetve nem specikált rejtett feltételekre épül.A teljes valószín¶ség tétele egy triviális azonosság, ami önmagában semmire sem használható.A teljes valószín¶ség segítségével a P (A) valószín¶sége csak akkor számolható ki, ha ismerjük aP (A | Bn) feltételes valószín¶ségeket, amelyeket deníció szerint elvileg csak akkor ismerhetünk,ha már ismerjük az (Ω,A) eseménytéren értelmezett P valószín¶séget, így ismerjük már a P (A)értéket is. Miért alkalmazható a példában a teljes valószín¶ség tétele? Ha az els® golyó piros,miért lesz a második húzásra a fehér golyó húzásának valószín¶sége 2/4? Mi történik, ha a fehérgolyók egyenl® er®viszonyok esetén fellázadnak és megeszik a piros golyókat? Vagy mi történikakkor, ha az egyedül maradt piros golyó menekülésre fogja a dolgot és kiugrik az urnából? Miértgondoljuk azt, hogy ez nem történik meg? Természetesen a feladat intuitív tartalma alapján úgygondoljuk, hogy a megadott számolás helyes, vagyis az urnában lev® golyók valóban golyókéntviselkednek és például nem eszik meg egymást. Vegyük azonban észre, hogy a példa megoldásakorel®bb deniáltuk a feltételes valószín¶séget és ebb®l vezettük le a tényleges valószín¶séget. Afeltételes valószín¶ség kiszámolásakor nem a feltételes valószín¶ség deníciójára támaszkodtunk,hanem a feltételes valószín¶ség intitív tartalomából indultunk ki. Miként említettük, a valószí-n¶ségszámítás alkalmazott matematika, ahol az intuíció, a modellépítés alapvet® szerepet játszik.A teljes valószín¶ség tétele egy azonosság, amit általában kifordítva használunk: A feladat tar-talma alapján meghatározzuk a feltételes valószín¶ségeket, majd a teljes valószín¶ség tétele általrögzített azonosság alapján deniáljuk a P (A) értéket. A feltételes valószín¶ség ismerete eseténa valószín¶ség deniálásának egyedül lehetséges módját a természetesen a teljes valószín¶ség té-tele adja meg. Azonosság levezetésekor azonban éppen fordítva jártunk el: A P valószín¶ségetrögzítettük, majd deniáltuk a P (A | Bn) feltételes valószín¶ségeket. A teljes valószín¶ség téte-lét tekinthetjük állításnak és tekinthetjük konstrukciós eljárásnak is. A feltételes valószín¶séggelkapcsolatos szemléleti problémák egyik forrása, hogy általában explicite nem tisztázzuk, hogy afeladatban mikor milyen irányban használjuk az összefüggést. Általános ökölszabály: feladatmeg-oldáskor a feltételes valószín¶séget, illetve feltételes várható értéket mindig küls® paraméternektekintjük és értékét explicite vagy implicite a modellépítés során rögzítjük.

2

Pozitív feltételi valószín¶ség esetén a feltételes várható érték a feltételes valószín¶séghez hasonlóanevidens. Mi történik azonban akkor, ha a B feltétel valószín¶sége nulla?

6.2. REGRESSZIÓS FÜGGVÉNY 97

6.6 Példa.Határozzuk meg annak a valószín¶ségét, hogy az egységsugarú körlapon véletlenszer¶en választottpont a pozitív térnegyedben a körívre esik, feltéve hogy tudjuk, hogy a körívre esik.

A keresett valószín¶séget 1/4-nek érezzük. Egy lehetséges indoklás a következ®: Legyen A $

(x, y) : x, y ≥ 0 , vegyük aBr $

(x, y) : r ≤√x2 + y2 ≤ 1

eseményt, és tekintsük a P (A | Br) =

P (A ∩Br) /P (Br) = 1/4 feltételes valószín¶séget, amib®l limr→1 P (A | Br) = 1/4.2

Vegyük azonban észre, hogy valójában nem kiszámoltuk, hanem most is az intuíciónk segítsé-gével deniáltuk a feltételes valószín¶séget. Az intuíció, mint igen gyakran a matematikában,némiképpen félrevezet®! El®ször is vegyük észre, hogy amit kaptunk az nem valószín¶ség. Avalószín¶ség intuitív fogalma er®sen köt®dik a nagy számok törvényéhez, vagyis ahhoz, hogya relatív gyakoriságok a valószín¶séghez tartanak. A feltételes valószín¶ség miért lesz a relatívgyakoriságok határértéke? Ha kísérleteket végzünk, mennyi lesz a kedvez® per összes hányados?Az el®re rögzített körvonalat lényegében sohasem találjuk el! Ez a teljesen evidens észrevétel isaláhúzza, hogy nem szabad a feltételes valószín¶séget mint valószín¶séget felfogni. A másodikmegjegyzés sokkal lényegesebb, és jóval kevésbé evidens. Az ismertetett gondolatmenet lényege akövetkez®: Ha a B valószín¶sége nulla, közelítsük a B halmazt valamilyen Bn sorozattal, és

P (A | B) $ limn→∞

P (A | Bn) = limn→∞

P (A ∩Bn)P (Bn)

,

feltéve persze, hogy a denícióban minden korrekt. A probléma éppen az, hogy általában ez adeníció nem korrekt, ugyanis az (Ω,A) eseménytér természetes módon nem topológizálható,vagyis nem világos, hogy mit jelent az, hogy a Bn eseménysorozat a B eseményhez tart! Akkormit jelent az, hogy a Bn közelíti a B-t? Ha különböz® Bn sorozatokkal közelítjük a B-t ugyanaztaz eredményt kapjuk? Milyen Bn halmazok megengedettek, és miért pont ezek?

6.7 Példa.Nulla valószín¶ség¶ események feltételes valószín¶sége.

Legyen ξ a [0, 1] szakaszon egyenletes eloszlású. Próbáljuk meg értelmezni

P (ξ = 0 | ξ = 0)

feltételes valószín¶séget! Intuitív alapon a feltételes valószín¶ség 1. Ha azonban a ξ = 0 feltételta |ξ| ≤ h eseménnyel közelítjük, majd h→ 0, akkor evidens módon a

P (ξ = 0 | ξ = 0) $ limh0

P (ξ = 0 ∩ |ξ| ≤ h)P (|ξ| ≤ h)

=

= limh0

P (ξ = 0)P (|ξ| ≤ h)

= 0.

2

6.8 Példa.Legyen Ω $ (x, y) : |x| ≤ 1, |y| ≤ 1 , és P legyen az egyenletes eloszlás. Határozzuk meg annak a

valószín¶ségét, hogy egy véletlenszer¶en választott (ξ, η) pontra ξ2 ≤ η, feltéve ha ξ = η = 0.

Ha ξ = η = 0, akkor η = ξ2, ezért a feltétel része az eseménynek, vagyis úgy érezzük, hogyP (A | B) = 1. A P (A | B) $ P (A ∩B) /P (B) denícióval azonban nem megyünk semmireugyanis mind a számláló, mind a nevez® nulla. Ha aB $ (0, 0)-át aBh $ (x, y) : |x| ≤ h, |y| ≤ hhalmazzal közelítjük, akkor

P (A ∩Bh)P (Bh)

$

(2h2 −

∫ h−h x

2dx)

4h2=

12− h3/6

h2→ 1

2.

6.2. REGRESSZIÓS FÜGGVÉNY 98

Ha a közelít® téglalapok Bh $ (x, y) : −h ≤ x ≤ 0,−h ≤ y ≤ 0, akkor a kapott határértéknulla, ha pedig Bh $ (x, y) : 0 ≤ x ≤ h, 0 ≤ y ≤ h , akkor pedig 1. Ugyanakkor, ha Bh $

(x, y) : |x| ≤ h, |y| ≤ h2, akkor

P (A ∩Bh)P (Bh)

$2h3 −

∫ h−h x

2dx

4h3=

12− 1

6=

13.

2

Az elmondottak alapján evidens, hogy a feltételes valószín¶ség fogalma nulla valószín¶ség¶ ese-mény esetén általában nem deniálható! Akkor mégis mit lehet tenni? A nyer® válasz megtalá-lása céljából a 6.6. példát némiképpen általánosítva az egyszer¶ség kedvéért induljunk ki abból,hogy a B esemény egy η változó nívóhalmaza, vagyis B $ η = y és a P (A | B) = P (A | η = y)feltételes valószín¶séget akarjuk értelmezni. Tegyük, fel hogy az y érték az η értékkészleténeks¶r¶södési pontja, vagyis tegyük fel, hogy bár P (η = y) = 0, de bármely h > 0 számra a

B (h) $ ω : |η (ω)− y| ≤ h

esemény valószín¶sége már pozitív, tehát értelmezhet® a

P (A | B (h)) $P (A ∩B (h))

P (B (h))

kifejezés. A

P (A | B) $ limh0

P (A ∩B (h))P (B (h))

= limh0

P (A | B (h)) (6.4)

deníció igen kézenfekv®, feltéve persze, hogy a határérték egyáltalában létezik. Vegyük észre,hogy egy fajta deriváltról van szó, ugyanis a P (A | B) két nullához tartó sorozat hányadosánakhatárértéke.

Megmutatható, hogy lényegében az η értékkészletének minden pontjában létezik a határérték.

A lényegében szót szándékosan nem deniáljuk, pontosítjuk. A lényegében kitételre azértvan szükség mert az η változó értékkészletének nem minden pontja megfelel® s¶r¶södési pont.Az idézett állítás azt jelenti, hogy az esetlegesen létez® rossz pontok halmaza nem befolyásoljaazt, hogy teljesüljön a teljes valószín¶ség tételének megfelel® NewtonLeibniz-szabály. A lényegesészrevétel az, hogy a deriválási gondolat alapján intuitíve megérezhetjük a feltételes valószín¶-séget, amelyre viszont alkalmazható az integrálás formájában megadott teljes valószín¶ség tétele,amellyel az általános esetben deniálni fogjuk a feltételes valószín¶séget, illetve a feltételes várhatóértéket.

6.9 Deníció.Legyen (Ω,A,P) valószín¶ségi mez®, A ∈ A tetsz®leges esemény. Az

y 7→ P (A | η = y) $ limh0

P (A | y − h ≤ η ≤ y + h) (6.5)

függvényt az A esemény η szerinti regresszív feltételes valószín¶ségének mondjuk.

A denícióból evidens, hogy a regresszív feltételes valószín¶ség alapvet®en derivált típusú objek-tum. Deriváltakra mindig felvethet®, hogy érvényes-e a NewtonLeibniz-formula, vagyis a deriválásintegrálással visszacsinálható-e vagy sem?

Jelölje G az η eloszlásfüggvényét. Megmutatható, tetsz®leges a < b számok esetén

P (A ∩ a ≤ η < b) =∫ b

a

P (A | η = y) dG (y) . (6.6)

Vegyük észre, hogy az egyenl®ség intuitíve a teljes valószín¶ség tételének általánosítása, ugyanis adG (y) innitezimálisan tekinthet® annak a valószín¶ségének, hogy az η éppen az y értéket veszi

6.2. REGRESSZIÓS FÜGGVÉNY 99

fel. Megjegyezzük, hogy az integrálegyenlet és a deriválási formula kölcsönösen megfeleltethet®egymásnak. A deriválás alapján való megközelítés és az integrálegyenlet azonossága a feltételes va-lószín¶séggel kapcsolatos legfontosabb állítás7. Ez indokolja és köti össze a feltételes valószín¶ségszokásos8, és legyünk ®szinték, els® látásra igen nehezen emészthet® denícióját a fogalom intuitívtartalmával. Bizony, bizony, ismét a NewtonLeibniz-formula! A két öreg lozófus nélkül mirejutnánk? Nincs NewtonLeibniz-szabály nincs Itô-formula, így nincs sztochasztikus analízis, de afeltételes várható érték fogalmát sem értenénk. Kézenfekv® kérdés azonban, hogy miért szokás akevésbé intuitív integrálegyenletb®l kiindulni. Ennek több oka van: Egyrészt általában a konkrétpéldákban az integrálegyenlet teljesülését praktikusan egyszer¶bb ellen®rizni, másrészt az integ-rálegyenlet esetén a lényegében kitételre nincsen szükség, és minden olyan függvény tekinthet®feltételes valószín¶ségnek amely minden a és b esetén kielégíti az integrálegyenletet, harmadrészta regresszív feltételes valószín¶ség integrálos denícióját könnyebb a bonyolultabb esetekre kiter-jeszteni9.

Az integrálos szemlélet legnagyobb el®nye, hogy azonnal látható, hogy a regresszív feltételes va-lószín¶ség nem egyértelm¶en értelmezett függvény. A P (A | η = y) tetsz®leges olyan függvénylehet, amely kielégíti a (6.6) integrálegyenletet. Ennek fontos következménye, amit nyomatékosanhangsúlyozni kell, hogy nem az egyedi y értékekhez tartozó feltételes valószín¶ségeket deniáltunk.Ha ugyanis valamely y esetén az η = y esemény valószín¶sége nulla, akkor az integrálegyenletszempontjából a P (A | η = y) értéke az adott y esetén érdektelen, így a regresszív feltételes va-lószín¶ség sem értelmezhet® egyetlen olyan y esetén sem amelyre P (η = y) = 0. Pontosabban,ha valamely B ⊆ R halmaz P (η ∈ B) = 0, akkor a B halmazon a P (A | η = y) mint y függvényetetsz®legesen el®írható. Ezt úgy szokás mondani, hogy a feltételes valószín¶ség csak a feltételeloszlásában nulla valószín¶ség¶ halmaz erejéig meghatározot. Másképpen a P (A | η = y) nem azy függvénye, hanem az y-tól függ® függvények egy osztálya, ahol az azonos függvényosztályba es®függvények az η feltétel eloszlása szerint egy valószín¶ség¶ halmazon megegyeznek. Ez némiképpenmeglep® és paradoxnak t¶n® tulajdonság, de sajnos így van10. A g (y) $ P (A | η = y) értéke alegtöbb11 y pontban külön-külön érdektelen, de természetesen nem az összes y esetén érdektelen.A legtöbb y pontban a g értékét szabadon megváltoztathatjuk, de ez nem jelenti azt, hogy a g-heztartozó függvényosztályt is megváltoztathatjuk12. Egy függvényosztály nem minden tulajdonságameghatározott a függvényosztályba es® függvények értékei alapján, feltéve természetesen, hogy afüggvényértékeket csak egy-egy pontban módosíthatjuk. Tipikusan ilyen tulajdonság a függvényekintegrálja. Mivel a regresszív feltételes valószín¶séget a (6.6) integrálegyenlettel értelmezzük, ezérta regresszív feltételes valószín¶ség nem függvényként, hanem függvényosztályként13 értelmes, ígyaz értéke a legtöbb pontban értelmetlen.

6.10 Állítás.Ha a (ξ, η) pár eloszlásának van f (x, y) együttes s¶r¶ségfüggvénye, akkor a ξ-nek létezik az η-ravonatkozó feltételes s¶r¶ségfüggvénye, vagyis a P (ξ < x | η = y) feltételes eloszlásnak lényegébenminden y-ra van f (x | y) feltételes s¶r¶ségfüggvénye

f (x | y) =f (x, y) /g (y) ha g (y) 6= 00 ha g (y) = 0 , (6.7)

7Természetesen nem vagyunk meglepve, hogy a deriválás és az integrálás felcserélhet®. Bár az állítás intuitívenem t¶nik nehéznek, s®t inkább kézenfekv®nek látszik, megjegyezzük, hogy nem egyszer¶ tételr®l van szó. Mivel atétel pontos indoklása nehéz, ezért általában el is szokás hagyni, így nem túl meglep®, hogy a feltételes valószín¶ségetgyakran motiválatlan fogalomnak szokás tartani.

8A szokásos, vagyis az irodalomban követett megközelítés az integrálegyenletre alapul, és a feltételes valószín¶-séget mint a teljes valószín¶ség tételében szerepl® súlyokat deniálja.

9Feltehet®en azonban egyszer¶ lustaságról van szó. Egy valószín¶ségszámítási kurzus során nincs id® az úgyne-vezett mértékderiválás és az absztrakt, úgynevezett RadonNikodym-féle deriválás kapcsolatának tárgyalására. Azabsztrakt tételek mindig gyorsabban igazolhatóak.

10A dolog kulcsa, hogy a h szerinti közelítés módjától függ, hogy a lényegében jó pontok hol vannak és melypontok rosszak a lényegében való közelítés miatt.

11Ha az η = y esemény valószín¶sége pozitív, akkor az y pontban a regressziós függvény értéke nemmódosítható.A legtöbb jelz® az olyan y értékekre utal, amelyekre P (η = y) = 0.

12A g függvényt természetesen módosítjuk, de a függvényosztáyt nem.13A függvényosztályba azok a függvények tartoznak, amelyek kielégítik az integrálegyenletet.

6.2. REGRESSZIÓS FÜGGVÉNY 100

ahol g az η s¶r¶ségfüggvénye, vagyis

g (y) $∫

Rf (u, y) du.

AzF (x | y) $ P (ξ < x | η = y)

feltételes eloszlásfüggvény felírható

F (x | y) =∫ x

−∞f (t | y) dt

módon.

Megjegyezzük, hogy ha g (y) = 0, akkor a számegyenesen minden x-re f (x, y) = 0. Vegyük észre,hogy ha

g (y) $

g−1 (y) ha g (y) 6= 0

0 ha g (y) = 0 ,

akkorf (x | y) = f (x, y) g (y) .

Ha A $ ξ < x és G jelöli az η eloszlását, akkor

P (A ∩ a ≤ η < b) = P (ξ < x , a ≤ η < b) =

=∫ b

a

∫ x

−∞f (x, y) dxdy =

=∫ b

a

∫ x

−∞f (x, y) g (y) g (y) dxdy =

=∫ b

a

∫ x

−∞f (x, y) g (y) dxg (y) dy $

$∫ b

a

∫ x

−∞f (x | y) dxg (y) dy =

=∫ b

a

∫ x

−∞f (x | y) dxdG (y) ,

amib®l a (6.6) deniáló egyenlet alapján∫ x

−∞f (x | y) dx = P (ξ < x | η = y) $ F (x | y) .

2

6.11 Példa.Legyen a (ξ, η) pár együttes s¶r¶ségfüggvénye

f (x, y) $

exp (−y) ha 0 < x < y

0 egyébként.

Számoljuk ki az M (ξ | η = y) és az M (η | ξ = x) regressziós függvényeket!

6.2. REGRESSZIÓS FÜGGVÉNY 101

Számoljuk ki a feltételes s¶r¶ségfüggvényeket!

g (y) $∫

Rf (x, y) dx =

∫ y

0

e−ydx = ye−y,

f (x) $∫

Rf (x, y) dy =

∫ ∞x

e−ydy =[−e−y

]∞x

= e−x.

f (x | y) =f (x, y)g (y)

=e−y

ye−y=

1y, 0 < x < y,

f (y | x) =f (x, y)h (x)

=e−y

e−x= ex−y, 0 < x < y.

Ekkor

M (ξ | η = y) =∫

Rxf (x | y) dx =

∫ y

0

x1ydx =

=1y

∫ y

0

xdx =y

2,

M (η | ξ = x) =∫

Ryf (y | x) dy =

∫ ∞x

yex−ydy =

= ex∫ ∞x

ye−ydy = ex([−ye−y

]∞x

+∫ ∞x

e−ydy

)=

= ex(xe−x + e−x

)= x+ 1.

Vegyük észre, hogy a bemutatott számolás csak az x > 0, illetve az y > 0 tartományokon ér-vényes. Ugyanakkor a feltételi változók eloszlásában az x ≤ 0, illetve az y ≤ 0 tartományoknulla valószín¶ség¶ek. Emlékeztetünk, hogy a regressziós függvény csak a feltétel eloszlásábannulla valószín¶ség¶ halmaz erejéig meghatározott, vagyis az x ≤ 0, illetve az y ≤ 0 halmazokon aregressziós függvény tetsz®leges lehet, így feltehetjük, hogy minden x esetén

M (η | ξ = x) = x+ 1,

de azM (η | ξ = x) = (x+ 1)χ (x > 0)

függvény is megfelel®. Hasonlóan az M (ξ | η = y) = η/2, illetve az M (ξ | η = y) = η+/2 $max (0, y) /2 egyenl®ség is érvényes. A látszólagos ellentmondás magyarázata, hogy a regresszívfeltételes valószín¶ség, illetve a várható érték miként említettük nem függvény, hanem függvényosz-tály ahol két függvény azonos osztályba esik, ha egy a feltétel szerint nulla valószín¶ség¶ halmaztóleltekintve megegyeznek.

2

Miként a példa szövegében is már jeleztük az M (ξ | η = y) függvényt a ξ η szerinti regressziósfüggvényének mondjuk. Deníció szerint

M (ξ | η = y) $ limh0

M (ξ | y − h ≤ η ≤ y + h) .

Megjegyezzük, hogy ismételten lényegében az η értékészletének minden y elemére a denícióértelmes, vagyis az η értékészletének majdnem minden elemére az

ω : y − h ≤ η (ω) ≤ y + h

közelít® események valószín¶sége pozitív és a h szerinti határérték létezik. Mivel ismét deriválttípusú kifejezésr®l van szó, ezért nem túl meglep®, hogy most is igaz az

M (ξχB) =∫

Ω

ξχBdP =∫B

ξdP =

=∫ b

a

M (ξ | η = y) dG (y)

6.3. FELTÉTELES VÁRHATÓ ÉRTÉK 102

egyenl®ség, ahol G az η eloszlásfüggvénye és

B $ ω : a ≤ η (ω) < b ⊆ Ω.

Megjegyezzük, hogy a regressziós függvény elnevezés indoka a következ®: általában regresszívokoskodáson az okozatból az okra való visszakövetkeztetést szokás érteni. Az y érték okozat,ugyanis az ok, az ω ∈ Ω kimenetel, amit a ξ és az η meggyelésekor közvetlenül nem ismerünk. Azy = η (ω) érték az ω ok η összefüggés szerinti okozata. A regressziós függvényben az y okozatbólpróbálunk a ξ várható értékére visszakövetkeztetni. Ha ξ = χA, akkor a regressziós függvény

M (ξ | η = y) = M (χA | η = y) = P (A | η = y) ,

vagyis ilyenkor a regressziós függvény segítségével az y okozatból próbálunk az ω ∈ A ok valószí-n¶ségére visszakövetkeztetni.

6.3. Feltételes várható érték

A feltételes valószín¶ség, illetve a feltételes várható érték általános deníciójában a feltétel nemegy η valószín¶ségi változó értékfelvétele, hanem egy F eseménytér. Ennek oka, hogy ha a feltételtvégtelen sok valószín¶ségi változó adja meg, akkor a derivált típusú szemlélet, amikor is a nullavalószín¶ség¶ eseményeket pozitív valószín¶ség¶ eseményekkel közelítjük, nem igazán m¶ködik.Természetesen a probléma az, hogy végtelen változóból álló feltételrendszer esetén mit tekintünkegy esemény jó közelítésének? Ilyenkor egyszer¶bb, ha a regressziós függvény helyett a feltételesvárható értéket használjuk. A feltételes várható érték értelmezési tartománya az Ω alaptér ésnem a feltételként adott változók értékkészlete, vagyis a feltételes várható érték nem regresszívobjektum, vagyis nem az okozatokon, hanem magukat az okokat tartalmazó Ω absztrakt térenértelmezett függvény. A kiinduló gondolat, hogy a feltételes valószín¶ség, illetve a feltételes várhatóérték olyan függvényosztály, amely elemei kielégítik a teljes valószín¶ség, illetve a teljes várhatóérték tételét. Ugyanakkor az M (ξ | F) feltételes várható értéket szokás a ξ F szerinti becslésekéntinterpretálni. Másképpen fogalmazva kézenfekv® feltenni, hogy az M (ξ | F) súlyok kiszámításakorcsak olyan információkat tudunk használni, amelyeket az F feltétel tartalmaz. Ebb®l következ®enaz M (ξ | F) feltételes várható értéket az F segítségével akarjuk leírni, vagyis a pontos matematikaiterminológiát használva megköveteljük, hogy az M (ξ | F) függvény F-mérhet® legyen14. A pontosdeníció a következ®:

6.12 Deníció.Legyen adva egy F eseménytér és egy ξ valószín¶ségi változó. A ξ változó M (ξ | F) módon jelölt F-re vonatkozó feltételes várható értékén az olyan F-mérhet® függvények családját értjük, amelyekreminden F ∈ F esemény esetén teljesül az∫

F

ξdP =∫F

M (ξ | F) dP (6.8)

integrálegyenlet. Ha ξ = χA, akkor az M (χA | F) feltételes várható érték helyett feltételes valószí-n¶ségr®l beszélünk, amit P (A | F) módon szokás jelölni.

6.13 Állítás.Ha a ξ változónak létezik véges várható értéke, akkor tetsz®leges F feltételi eseménytér eseténlétezik az M (ξ | F) feltételes várható érték. Speciálisan tetsz®leges A eseményre létezik a P (A | F)feltételes valószín¶ség. Az M (ξ | F) , illetve a P (A | F) függvényosztályokban szerepl® függvényeknulla valószín¶ség¶ halmaz erejéig egyértelm¶en meghatározottak, vagyis ha az Ω téren értelmezettkét függvény kielégíti a feltételes várható értékkel szemben támasztott követelményeket, akkor egynulla valószín¶ség¶ halmaztól eltekintve megegyeznek15.

14Az F feltétel szerinti mérhet®ség a deníció fontos eleme.15A valószín¶ségszámításban szokás azt mondani, hogy ha két függvény csak nulla valószín¶ség¶ halmazon kü-

lönbözik, akkor mint valószín¶ségi változók ekvivalensek.

6.3. FELTÉTELES VÁRHATÓ ÉRTÉK 103

A feltételi eseménytér esetén megadott deníció igen absztrakt. Konkrét példákban az F feltételtbizonyos (ηα)α változók meggyelése határozza meg. Tipikusan a ξ valamely sztochasztikus fo-lyamat értéke egy t id®pontban és az (ηα)α feltételi valószín¶ségi változók ennek a folyamatnakkorábbi, már meggyelt értékei. Mivel a folyamat korábbi meggyeléseinek száma végtelen, ezérta folyamat információs struktúráját a feltételes várható értékkel célszer¶ leírni. Az F eseménytérilyenkor tartalmazza azokat az eseményeket, amelyek szükségesek ahhoz, hogy az összes korábbimeggyelés valószín¶ségi változó legyen16.

6.14 Példa.Partíció által deniált feltétel szerinti feltételes várható érték.

Ha a ξ változónak van várható értéke és F = ∅,Ω, A,Ac , ahol P (A) > 0, akkor az A halmazon

M (ξ | F) =1

P (A)

∫A

ξdP.

Ha (An)n az Ω egy pozitív valószín¶ség¶ halmazokból álló, megszámlálható partíciója, F az (An)nesemények által meghatározott eseménytér, akkor

M (ξ | F) (ω) =1

P (An)

∫An

ξdP = M (ξ | An) , ω ∈ An,

tehát

M (ξ) =∞∑n=1

M (ξ | An) P (An) ,

P (A) =∞∑n=1

P (A | An) P (An) ,

ahol értelemszer¶en, ha B egy pozitív valószín¶ség¶ halmaz, akkor

M (ξ | B) $1

P (B)

∫B

ξdP, P (A | B) $P (A ∩B)

P (B).

Az említett szabályok indoklása a következ®: Mivel az M (ξ | F) függvény F-mérhet®, ezért afeltételi eseményteret generáló A és Ac halmazokon konstans, amib®l∫

A

ξdP =∫A

M (ξ | F) dP = M (ξ | F)∫A

dP = M (ξ | F) P (A) .

Az általános esetben elég azt meggondolni, hogy minden F-mérhet® függvény az An generálóhalmazokon konstans.

2

6.15 Deníció.Ha az F eseményteret egyetlen η változó lehetséges meggyelései határozzák meg17, akkor a felté-teles várható értéket M (ξ | η) módon szokás jelölni.

Vegyük észre, hogy azM (ξ | η)

és azM (ξ | η = y)

jelölések bár hasonlóak, de nem azonosak. Az M (ξ | η) az η értelmezési tartományán, vagyisaz Ω alaptéren van értelmezve az M (ξ | η = y) pedig az y függvénye és az η értékkészletén vanértelmezve. A két fogalom szoros kapcsolatban van.

16Emlékeztetünk, hogy nem minden függvény valószín¶ségi változó, csak azok, amelyek lépcs®s függvények ha-tárértékeként el®állíthatóak.

17Vagyis az F az η−1 (B) ⊆ Ω alakú halmazok családja.

6.3. FELTÉTELES VÁRHATÓ ÉRTÉK 104

6.16 Állítás.Ha F az η valószín¶ségi változó meggyelése által meghatározott eseménytér, vagyis F az a leg-sz¶kebb eseménytér amelyre nézve az η mérhet®18, akkor az M (ξ | η) feltételes várható érték azη változónak az M (ξ | η = y) regressziós függvénybe való behelyettesítésével kapható, vagyis hag (y) $ M (ξ | η = y) , akkor

M (ξ | η) = g (y) .

A feltételes várható érték, illetve a feltételes valószín¶ség, sok szempontból hasonlít a közönségesvárható értékre, illetve valószín¶ségre19.

6.17 Állítás. (A feltételes várható érték tulajdonságai)A feltételes várható értékre teljesülnek a következ® összefüggések:

1. Ha a ξ valószín¶ségi változó és az F feltételi eseménytér függetlenek, akkor M (ξ | F) =M (ξ) .

2. A feltételes várható érték monoton, vagyis ha ξ ≤ η, akkor

M (ξ | F) ≤M (η | F) ,

speciálisan0 ≤ P (A | F) ≤ 1.

3. Teljesül a kiemelési szabály, vagyis ha az η változó F-mérhet®, akkor

M (ηξ | F) = ηM (ξ | F) .

Speciálisan tetsz®leges a konstansra

M (aξ | F) = aM (ξ | F) .

4. A feltételes várható érték additív, vagyis

M (ξ + η | F) = M (ξ | F) + M (η | F) .

Speciálisan, ha A és B diszjunkt halmazok, akkor

P (A ∪B | F) = P (A | F) + P (B | F) ,

amib®l, ha A ⊆ B, akkor

P (B \A | F) = P (B | F)−P (A | F) .

5. Teljesül a teljes várható érték két tétele, vagyis ha G ⊆ F , akkor

M (M (ξ | F) | G) = M (ξ | G) .

SpeciálisanM (M (ξ | F)) = M (ξ) ,

illetve ha G ⊆ F , akkorM (M (ξ | G) | F) = M (ξ | G) .

Emlékeztetünk, hogy a két szabályt torony szabályoknak is szokás mondani.

18Vgyis miként az imént éppen F =A ⊆ Ω : A = η−1 (B)

.

19Feltesszük, hogy az állításban szerepl® objektumok értelmesek, vagyis például az összes változónak van várhatóértéke, így a feltételes várható értéke létezik.

6.3. FELTÉTELES VÁRHATÓ ÉRTÉK 105

6. A feltételes várható értékre teljesül a monoton konvergencia tétele, vagyis ha

0 ≤ ξn ξ,

akkor0 ≤M (ξn | F)M (ξ | F) .

Speciálisan, ha An A, akkor

P (An | F) P (A | F) .

Ha az An halmazok diszjunktak és A = ∪nAn, akkor∞∑n=1

P (An | F) = P (A | F) .

Az állításban szerepl® tulajdonságok pozitív valószín¶séggel rendelkez® partíciókból álló esemény-terek esetén egyszer¶en ellen®rizhet®ek és igen ajánlatos, hogy az olvasó ezt meg is tegye. Az egyestulajdonságok általános esetben való indoklása messze vezetne. Ugyanakkor igen fontos, hogy azolvasó ezeket a szabályokat jól megértse és alkalmazni tudja. A legfontosabb három szabály azadditivitás, a kiemelési szabály illetve a teljes várható érték tételei, másnéven a toronyszabályok.Az említett három alapvet® szabály intitív tartalma elég evidens. A becslés linearitása igen ter-mészetes megkötés. Gondoljunk csak arra, hogy ha egy összeg két tagját becsülni akarjuk, igenmeglep®dnénk, ha a becslés nem lenne külön-külön elvégezhet® és az összeg becslése nem lenne abecslések összeg20. A kiemelési szabály bizonyos értelemben a linearitásban is szerepl® konstanskiemelésének általánosítása. Ha már ismerjük a szorzat egyik tagját, akkor a szorzat becslésébenaz ismert tagot konstansnak tekinthetjük. Például, ha becsülni akarjuk az árbevétel alakulását ésmár ismerjük az árat, akkor intuitíve világos, hogy csak az eladott termékek számát kell becsülni ésa becsült eladási mennyiséget kell az ismert árral beszorozni. A tornyszabály szintén igen szemlé-letes megkötés: Valamely becslés végs® eredményét nem befolyásolják az irreleváns információk.Ha valamely gazdasági eseményt akarunk becsülni, felesleges gyelembe venni a csillagok állását.A csillagok állása és a gazdasági változók meggyelésének együttese pontosan annnyi gazdaságiinformációt tartalmaz, amennyit a gazdasági adatok tartalmaznak.

6.18 Példa.A függetlenségre vonatkozó szabály indoklása.

Emlékeztetünk, hogy egy ξ valószín¶ségi változót és egy F eseményteret deníció szerint akkornevezünk függetlennek, ha a ξ és minden F ∈ F esetén az F halmaz

χF (ω) $

1 ha ω ∈ F0 ha ω /∈ F

karakterisztikus függvénye mint valószín¶ségi változók függetlenek21. Független valószín¶ségi vál-tozókra igaz a szorzatszabály, vagyis a két változó szorzatának várható értéke a várható értékek

20A dolog annyira nyilvánvaló, hogy azok az esetek, amikor mégsem alkalmazható számos potenciális matematikaihiba forrása. A sztochasztikus folyamatok elmélete tele van rejtett aknákkal. Ezen rejtett aknák legtöbbje afeltételes várható érték additivitásával függ össze. A leírás pontatlanságából ered®en nem tisztáztuk pontosan,hogy milyen körben értelmezzük a feltételes várható értéket. Miként várható értéke, úgy feltételes várható értékesincsen minden valószín¶ségi változónak. Ha valamely ξ változónak nincsen várható értéke akkor az M (ξ − ξ) =M (ξ)−M (ξ) azonsság értelmetlen. A bal oldali kifejezés értelmes, ugyanis nulla, a jobb oldali azonban nem, hiszenkét értelmetlen különbsége nem nulla, hanem értelmetlen. Tessék az Excelben kipróbálni! Az ilyen természet¶problémák elkerülése céljából fel szokás tenni, hogy egy változónak csak akkor van feltétles várható értéke, havan közönséges várható értéke. Ilyenkor az additivitás minden további nélkül teljesül, ha feltesszük, hogy azegyenl®ségben szerepl® kifejezések mindegyike értelmes.

21Az már más kérdés, hogy mikor nevezünk két változót függetlennek: Ha az együttes eloszlásuk a peremelosz-lásaik szorzataként írható fel.

6.3. FELTÉTELES VÁRHATÓ ÉRTÉK 106

szorzata. Az M (ξ) konstans függvény F-mérhet®, ugyanakkor a ξ és az F függetlensége miattdeníció szerint minden F ∈ F halmazra triviálian∫

F

ξdP = M (χF ξ) = M (χF ) M (ξ) =∫F

M (ξ) dP.

így az M (ξ) F-mérhet® függvény kielégíti a feltételes várható értéket deniáló (6.8) integrálegyen-letet, tehát deníció szerint M (ξ) éppen az M (ξ | F) feltételes várható érték.

2

6.19 Példa.Ha F = ∅,Ω , akkor M (ξ | F) = M (ξ) .

Valóban az F = ∅,Ω eseménytér független tetsz®leges ξ változótól. De az indokláshoz erresincsen szükség, elég megjegyezni, hogy az M (ξ) konstans érték¶ függvény F-mérhet® és ha F =∅, vagy F = Ω, akkor triviálisan teljesül a feltételes várható értéket deniáló (6.8) integrálegyenlet.Például ∫

Ω

ξdP $ M (ξ) =∫

Ω

M (ξ) dP.

2

6.20 Példa.Ha ξ F-mérhet® valószín¶ségi változó, akkor M (ξ | F) = ξ.

Valóban a kiemelési szabály miatt

M (ξ | F) = ξ ·M (1 | F) = ξ.

2

7. fejezet

Ellen®rz® feladatok

Az alábbiakban néhány egyszer¶ feladatot és kérdést fogalmazunk meg. A feladatokban a wWiener-folyamat, a wH frakcionális Wiener-folyamatot jelöl.

1. Mikor mondunk egy portfoliót önnanszírozónak? Mikor van egy piacon arbitrázs?

2. Pénzügyi szempontból miért fontos a kvadratikus variáció?

3. Az

w2 (t) , sinw (t) ,∫ t

0

w (s) ds,∫ t

0

sdw (s) ,∫ t

0

sinw (s) dw (s) ,

wH (t) + t2,

∫ t

0

wH (s) ds

folyamatok közül melyik martingál és melyik szemimartingál? Ha a folyamat szemimartingál,akkor adja meg a folyamat felbontását lokális martingálra és korlátos változású folyamatra!

4. Legyen

M (t) $ exp(w (t)− t

2

)a w (t) Wiener-folyamathoz tartozó exponenciális martingál! Teljesül-e az dM = Mdt, illetveaz dM = Mdw egyenl®ség?

5. Igaz-e, hogy az

M (t) $ exp(w (t)− t

2

)folyamat martingál? Indokolja a választ! Milyen a és b paraméterek mellett lesz az

Ma,b (t) $ exp(a · w (t)− b · t

2

)folyamat martingál? Mi a helyzet, ha az a paraméter tiszta imaginárius komplex szám?Próbáljuk meg általánosítani a feladatot Lévy-folyamatokra? Lévy-folyamat esetén mit kellírni a bt

2 tag helyébe? Mi a helyzet valós és mi a helyzet tiszta imaginárius a paraméteresetén?

6. Adja meg az Itô-integrál konstrukcióját!

7. Hasonlítsa össze az Itô-formulát Wiener-folyamat és frakcionális Wiener-folyamat esetén!

8. Mikor mondunk egy sztochasztikus folyamatot martingálnak? Mit tudunk a folytonos mar-tingálok kvadratikus variációjáról és teljes megváltozásáról? Mit tudunk mondani ha afolyamat nem folytonos?

107

108

9. Bizonyítsuk be, hogy ha az M folytonos lokális martingál, akkor az M2 − 〈M〉 is lokálismartingál!

10. Számolja ki az∫ 1

0exp (s) dw (s) integrál eloszlását!

11. Számolja ki az∫ 1

0sin sdw (s) integrál szórását!

12. Számolja ki az∫ 1

0w (s) dw (s) integrál szórását!

13. Számolja ki az∫ 1

0w2 (s) ds integrál várható értékét!

14. Számolja ki az M (cosw (t)) és az M (〈sinw〉 (t)) függvényeket!

15. Számolja ki az M (〈w〉 (t)) , M(

(〈w〉)2 (t))és az M

(⟨w2⟩

(t))függvényeket!

16. Indokolja, hogy ha a ξ és az η függetlenek, akkor M (ξ | η) = M (ξ)!

17. Indokolja a feltételes várható értékre vonatkozó toronyszabályt!.

18. Indokolja a feltételes várható értékre vonatkozó kiemelési szabályt!

19. Legyen a ξ és az η egyenletes eloszlású azx2 + y2 ≤ 1

egységkörön. Számolja ki az

M (ξ | η = y) regressziós függvényt!

20. Legyen X (t) $ π (t) − λt az úgynevezett kompenzált Poisson-folyamat. Számolja ki az Xteljes megváltozását, illetve a kvadratikus variációját!

21. Számolja ki a t2, sin t, exp (t) folyamatok teljes megváltozását!

22. Számolja ki a w2, sinw, exp (w) folyamatok kvadratikus variációját!

23. Számolja ki a w2, sinw, exp (w) folyamatok teljes megváltozását!

24. Igaz-e a dw2 = dt, illetve a (dw)2 = dt formula? Legyen S folytonos lokális martingál. Mikorigaz a (dS)2 = d 〈S〉 , illetve a d

(S2)

= d 〈S〉 formula?

25. Milyen kapcsolat van az elemi analízisben tárgyalt parciális integrálási formula és az általunktárgyalt parciális integrálási formula között?

Tárgymutató

absztrakt helyettesítés formulája, 33, 74arbitrázs, 3, 87

duplázási stratégia, 9asszociativitási szabály, 35, 49

bolyongás, 15

drift, 76

eloszlásexponenciális, 16lognormális, 35, 61, 67, 69Poisson, 16sztochasztikus folyamat, 72

eloszlásfüggvény, 35eszközárazás alaptétele, 4

fehér zaj, 11ltráció, 19folyamat

Gauss, 6Lévy, 14Markov, 16, 17martingál, 19Poisson, 14Wiener, 14

frakcionális Wiener-folyamat, 89függetlenség, 18függvény variációja, 34

Gauss-folyamat, 6

integrálreprezentáció, 80, 87integrandus, 27integrátor, 27iterált logaritmusok tétele, 7Itô-formula, 54

jobbról folytonos trajektóriák, 14

karakterisztikus függvény, 18kockázatmentes valószín¶ség, 4kompenzátor, 15korlátos változású függvény, 27, 34korrelálatlanság, 18kvadratikus keresztvariáció, 52

kvadratikus variáció, 3, 40

Lagrange-féle középérték-tétel, 31Lévy-folyamatok, 14

bolyongás, 15karakterisztika, 15lineáris trend, 14spektrum, 14

limeszinferior, 7szuperior, 7

lognormális eloszlásvárható érték, 35, 61, 67, 69

lokális martingál, 4lokalizáció, 24

Markov-folyamat, 16Markov-lánc, 16martingál, 19

egyenletesen integrálható, 24exponenciális, 22martingáldierencia, 21, 22

megállási id®, 23megállási opciókról szóló tétel, 23megállított változó, 23mérhet® függvény, 94mértékcsere, 70

ekvivalens, 77monoton konvergencia tétel, 95

négyzetes megváltozás, 3növekmények

független, 6stacionárius, 6

önnanszírozó portfolió, 84

parciális integrálás, 84Poisson-folyamat, 12

RadonNikodym-derivált, 75realizáció, 5

Stieltjes-integrál, 32s¶r¶ségfüggvény, 35, 70szemimartingál, 4, 51

109

TÁRGYMUTATÓ 110

sztochasztikus folyamat, 5folytonos, 5Gauss, 6Lévy, 14Markov, 17Poisson, 12Wiener, 5

sztochasztikus Stieltjes-integrál, 38

Taylor-formula, 55teljes megváltozás, 34trajektória, 5

valószín¶ségi mérték, 70

Wiener-folyamat, 5, 39frakcionális, 89nem deriválható, 10nem korlátos, 8trajektóriáinak megfordítása, 9

Irodalomjegyzék

[1]

[2]

111