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0.5setgray1 Storia dei numeri primi

Michele Avancini, Alice Passalacqua, Silvia Ruvidotti

Seminario di Algebra

Storia dei numeri primi – p. 1/57

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Cosa sono i numeri primi?

Sono numeri interi e positivi che hanno comedivisori solo l’unità e sè stessi.

Storia dei numeri primi – p. 2/57

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Numeri primi

Eccone un breve elenco:

, , , , , , ,

Storia dei numeri primi – p. 3/57

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Numeri primi

Eccone un breve elenco:

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Numeri primi

Eccone un breve elenco:

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Numeri primi

Eccone un breve elenco:

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Numeri primi

Eccone un breve elenco:

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Numeri primi

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Numeri primi

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Numeri primi

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Numeri primi

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Origini

Ma quand’è che l’uomo ha iniziato a interessarsiai numeri primi?

Storia dei numeri primi – p. 4/57

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La più antica testimonianza

Risale al 6500 a.C.

Osso di Ishango

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La più antica testimonianza

Risale al 6500 a.C.

Osso di Ishango

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Osso di Ishango

Trovato nel 1950 tra i monti dell’Africaequatoriale centrale...

è attualmente conservato presso il museo distoria naturale di Bruxelles.

Storia dei numeri primi – p. 6/57

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Osso di Ishango

Trovato nel 1950 tra i monti dell’Africaequatoriale centrale...

è attualmente conservato presso il museo distoria naturale di Bruxelles.

Storia dei numeri primi – p. 6/57

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Osso di Ishango

Ma che relazione ha con i numeri primi?

in una delle colonne in cui è suddiviso l’ossocompaiono e tacche...

...cioè i numeri primi tra e !

Storia dei numeri primi – p. 7/57

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Osso di Ishango

Ma che relazione ha con i numeri primi?

in una delle colonne in cui è suddiviso l’ossocompaiono

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� �e

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tacche...

...cioè i numeri primi tra e !

Storia dei numeri primi – p. 7/57

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Osso di Ishango

Ma che relazione ha con i numeri primi?

in una delle colonne in cui è suddiviso l’ossocompaiono

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� ��

� �e

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tacche...

...cioè i numeri primi tra

��

e

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!

Storia dei numeri primi – p. 7/57

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Osso di Ishango: domanda aperta

Sarà un caso...

...o effettivamente già allora gli uominiconoscevano i numeri primi?

Storia dei numeri primi – p. 8/57

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Osso di Ishango: domanda aperta

Sarà un caso...

...o effettivamente già allora gli uominiconoscevano i numeri primi?

Storia dei numeri primi – p. 8/57

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Antichi greci

Ogni intero è esprimibile come prodotto di primi.

Come lo si può dimostrare?

Storia dei numeri primi – p. 9/57

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Antichi greci

Ogni intero è esprimibile come prodotto di primi.

Come lo si può dimostrare?

Storia dei numeri primi – p. 9/57

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Antichi greci

Sia � non primo � � � ���

.Se � e

sono primi, la tesi è dimostrata.Se � e

non primi � � � ��

,�

� � � con

��� � e �� �

Se sono primi la tesi è dimostrata;altrimenti continuo la fattorizzazione e alla fine siottiene ... con primi.

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Antichi greci

Sia � non primo � � � ���

.Se � e

sono primi, la tesi è dimostrata.Se � e

non primi � � � ��

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Se ���

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Antichi greci

Sia � non primo � � � ���

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Se ���

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Euclide

Matematico e filosofo greco:

350-300 a.C.

Storia dei numeri primi – p. 11/57

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Euclide

Matematico e filosofo greco:

350-300 a.C.

Storia dei numeri primi – p. 11/57

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Euclide

Quanti numeri primi ci sono?

E’ possibile che ne esista solo un numero finito?

NO!!

Storia dei numeri primi – p. 12/57

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Euclide

Quanti numeri primi ci sono?

E’ possibile che ne esista solo un numero finito?

NO!!

Storia dei numeri primi – p. 12/57

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Euclide

Quanti numeri primi ci sono?

E’ possibile che ne esista solo un numero finito?

NO!!

Storia dei numeri primi – p. 12/57

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Euclide

La dimostrazione è presentata da Euclide nel IXlibro degli Elementi.

Siano , ,..., i soli numeri primi.

Prendiamo il loro prodotto e sommiamoci 1:...

Allora o è a sua volta primo, e allora neabbiamo trovato un altro, oppure è composto(cioè divisibile per numeri diversi da , ,..., ).

Storia dei numeri primi – p. 13/57

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Euclide

Siano �� , �� ,..., ��� i soli numeri primi.

Prendiamo il loro prodotto e sommiamoci 1:

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Allora o è a sua volta primo, e allora neabbiamo trovato un altro, oppure è composto(cioè divisibile per numeri diversi da , ,..., ).

Storia dei numeri primi – p. 13/57

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Euclide

Siano �� , �� ,..., ��� i soli numeri primi.

Prendiamo il loro prodotto e sommiamoci 1:

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Allora o è a sua volta primo, e allora neabbiamo trovato un altro, oppure è composto(cioè divisibile per numeri diversi da � � , ��� ,..., ��� ).

Storia dei numeri primi – p. 13/57

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Euclide

Siano �� , �� ,..., ��� i soli numeri primi.

Prendiamo il loro prodotto e sommiamoci 1:

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Allora o è a sua volta primo, e allora neabbiamo trovato un altro, oppure è composto(cioè divisibile per numeri diversi da � � , ��� ,..., ��� ).

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Euclide

Siano �� , �� ,..., ��� i soli numeri primi.

Prendiamo il loro prodotto e sommiamoci 1:

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Allora o è a sua volta primo, e allora neabbiamo trovato un altro, oppure è composto(cioè divisibile per numeri diversi da � � , ��� ,..., ��� ).

Storia dei numeri primi – p. 13/57

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Esempio pratico

Siano

��

��

��

i soli primi

non è divisibile per .

E in realtà è primo perchè non è divisibile per, e .

Storia dei numeri primi – p. 14/57

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Esempio pratico

Siano

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i soli primi

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non è divisibile per .

E in realtà è primo perchè non è divisibile per, e .

Storia dei numeri primi – p. 14/57

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Esempio pratico

Siano

��

��

��

i soli primi

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non è divisibile per

��

��

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E in realtà è primo perchè non è divisibile per, e .

Storia dei numeri primi – p. 14/57

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Esempio pratico

Siano

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i soli primi

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non è divisibile per

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��

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E in realtà

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è primo perchè non è divisibile per

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e

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.

Storia dei numeri primi – p. 14/57

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Esempio pratico

Siano

��

��

��

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i soli primi

non è divisibile per .

E in realtà è primo perchè non è divisibileper nessun primo minore o uguale a e

.

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Esempio pratico

Siano

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��

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i soli primi

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non è divisibile per .

E in realtà è primo perchè non è divisibileper nessun primo minore o uguale a e

.

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Esempio pratico

Siano

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i soli primi

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non è divisibile per

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E in realtà è primo perchè non è divisibileper nessun primo minore o uguale a e

.

Storia dei numeri primi – p. 15/57

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Esempio pratico

Siano

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i soli primi

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non è divisibile per

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E in realtà

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è primo perchè non è divisibileper nessun primo minore o uguale a

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.

Storia dei numeri primi – p. 15/57

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Esempio pratico

Siano

��

��

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��

� ��

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i soli primi

non è divisibile per ...

...ma NON è primo! E’ divisibile per 59,infatti

.

Storia dei numeri primi – p. 16/57

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Esempio pratico

Siano

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i soli primi

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non è divisibile per ...

...ma NON è primo! E’ divisibile per 59,infatti

.

Storia dei numeri primi – p. 16/57

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Esempio pratico

Siano

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...ma NON è primo! E’ divisibile per 59,infatti

.

Storia dei numeri primi – p. 16/57

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Esempio pratico

Siano

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i soli primi

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non è divisibile per�

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NON è primo! E’ divisibile per 59,infatti

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Storia dei numeri primi – p. 16/57

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Euclide

Con la dimostrazione di Euclide svanisce lapossibilità di costruire una “tavola periodica” che

comprenda tutti i numeri primi.

Storia dei numeri primi – p. 17/57

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Eratostene

Scienziato e letterato greco:

275-195 a.C.

Storia dei numeri primi – p. 18/57

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Eratostene

Scienziato e letterato greco:

275-195 a.C.

Storia dei numeri primi – p. 18/57

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Eratostene

Inventò un metodo per determinare i numeriprimi:

CRIVELLO DI ERATOSTENE

Storia dei numeri primi – p. 19/57

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Eratostene

Inventò un metodo per determinare i numeriprimi:

CRIVELLO DI ERATOSTENE

Storia dei numeri primi – p. 19/57

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Crivello di Eratostene

Esempio: determiniamo i numeri primi tra

e

��

Consideriamo i numeri naturali fino a ,partendo da (setaccio):

Storia dei numeri primi – p. 20/57

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Crivello di Eratostene

Esempio: determiniamo i numeri primi tra

e

��

Consideriamo i numeri naturali fino a

��

,partendo da

(setaccio):

Storia dei numeri primi – p. 20/57

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Crivello di Eratostene

Esempio: determiniamo i numeri primi tra

e

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Consideriamo i numeri naturali fino a

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,partendo da

(setaccio):

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Storia dei numeri primi – p. 20/57

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Cancelliamo tutti i multipli di

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Storia dei numeri primi – p. 21/57

Page 67: Storia dei numeri primi - science.unitn.it · Esempio pratico Siano i soli primi non è divisibile per . E in realtà è primo perchè non è divisibile per, e . Storia dei numeri

Crivello di Eratostene

Cancelliamo tutti i multipli di

dal setaccio:

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Storia dei numeri primi – p. 21/57

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Storia dei numeri primi – p. 21/57

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Storia dei numeri primi – p. 22/57

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Storia dei numeri primi – p. 22/57

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Storia dei numeri primi – p. 22/57

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Storia dei numeri primi – p. 22/57

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Storia dei numeri primi – p. 22/57

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Crivello di Eratostene

Il procedimento termina con l’eliminazione dalsetaccio dei multipli di

perchè�

è il massimointero primo il cui quadrato non supera

��

.

Abbiamo così ottenuto tutti i numeri primi

compresi tra e :

Storia dei numeri primi – p. 23/57

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Crivello di Eratostene

Il procedimento termina con l’eliminazione dalsetaccio dei multipli di

perchè�

è il massimointero primo il cui quadrato non supera

��

.

Abbiamo così ottenuto tutti i numeri primicompresi tra

e

��

:

Storia dei numeri primi – p. 23/57

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Crivello di Eratostene

Il procedimento termina con l’eliminazione dalsetaccio dei multipli di

perchè�

è il massimointero primo il cui quadrato non supera

��

.

Abbiamo così ottenuto tutti i numeri primicompresi tra

e

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:

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Storia dei numeri primi – p. 23/57

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200 a.C. - 1600 d.C.

E’ un periodo in cui non vi sono significativiprogressi nella storia dei numeri primi:

Era dell’oscurantismo.

Storia dei numeri primi – p. 24/57

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200 a.C. - 1600 d.C.

E’ un periodo in cui non vi sono significativiprogressi nella storia dei numeri primi:

Era dell’oscurantismo.

Storia dei numeri primi – p. 24/57

Page 79: Storia dei numeri primi - science.unitn.it · Esempio pratico Siano i soli primi non è divisibile per . E in realtà è primo perchè non è divisibile per, e . Storia dei numeri

Fermat

Matematico francese:

1601-1665

Storia dei numeri primi – p. 25/57

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Fermat

Matematico francese:

1601-1665

Storia dei numeri primi – p. 25/57

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Fermat

Pensa di aver trovato una formula che producesolo numeri primi:

ennesimo numero di Fermat

Storia dei numeri primi – p. 26/57

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Fermat

Pensa di aver trovato una formula che producesolo numeri primi:

� � � �ennesimo numero di Fermat

Storia dei numeri primi – p. 26/57

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Esempio pratico:

� �

- � � �

primo numero di Fermat

-

secondo numero di Fermat

Storia dei numeri primi – p. 27/57

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Esempio pratico:

� �

- � � �

� � � � � �

primo numero di Fermat

-

secondo numero di Fermat

Storia dei numeri primi – p. 27/57

Page 85: Storia dei numeri primi - science.unitn.it · Esempio pratico Siano i soli primi non è divisibile per . E in realtà è primo perchè non è divisibile per, e . Storia dei numeri

Esempio pratico:

� �

- � � �

� � � � � �

primo numero di Fermat

- � � �

secondo numero di Fermat

Storia dei numeri primi – p. 27/57

Page 86: Storia dei numeri primi - science.unitn.it · Esempio pratico Siano i soli primi non è divisibile per . E in realtà è primo perchè non è divisibile per, e . Storia dei numeri

Esempio pratico:

� �

- � � �

� � � � � �

primo numero di Fermat

- � � �

� � � � � � �

secondo numero di Fermat

Storia dei numeri primi – p. 27/57

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Esempio pratico:

� �

- � � �

terzo numero di Fermat

-

quarto numero di Fermat

Storia dei numeri primi – p. 28/57

Page 88: Storia dei numeri primi - science.unitn.it · Esempio pratico Siano i soli primi non è divisibile per . E in realtà è primo perchè non è divisibile per, e . Storia dei numeri

Esempio pratico:

� �

- � � �

� � � � � � � �

terzo numero di Fermat

-

quarto numero di Fermat

Storia dei numeri primi – p. 28/57

Page 89: Storia dei numeri primi - science.unitn.it · Esempio pratico Siano i soli primi non è divisibile per . E in realtà è primo perchè non è divisibile per, e . Storia dei numeri

Esempio pratico:

� �

- � � �

� � � � � � � �

terzo numero di Fermat

- � � �

quarto numero di Fermat

Storia dei numeri primi – p. 28/57

Page 90: Storia dei numeri primi - science.unitn.it · Esempio pratico Siano i soli primi non è divisibile per . E in realtà è primo perchè non è divisibile per, e . Storia dei numeri

Esempio pratico:

� �

- � � �

� � � � � � � �

terzo numero di Fermat

- � � �

� � � � � � � � � � �quarto numero di Fermat

Storia dei numeri primi – p. 28/57

Page 91: Storia dei numeri primi - science.unitn.it · Esempio pratico Siano i soli primi non è divisibile per . E in realtà è primo perchè non è divisibile per, e . Storia dei numeri

Controesempio:

- � � �

Questo numero non è primo.Infatti

-

la formula non fornisce numeri primi!

Storia dei numeri primi – p. 29/57

Page 92: Storia dei numeri primi - science.unitn.it · Esempio pratico Siano i soli primi non è divisibile per . E in realtà è primo perchè non è divisibile per, e . Storia dei numeri

Controesempio:

- � � �

� � � � � � � �� �� � � �� �

Questo numero non è primo.

Infatti

-

la formula non fornisce numeri primi!

Storia dei numeri primi – p. 29/57

Page 93: Storia dei numeri primi - science.unitn.it · Esempio pratico Siano i soli primi non è divisibile per . E in realtà è primo perchè non è divisibile per, e . Storia dei numeri

Controesempio:

- � � �

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Questo numero non è primo.Infatti

� � � � � � � ��

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-

la formula non fornisce numeri primi!

Storia dei numeri primi – p. 29/57

Page 94: Storia dei numeri primi - science.unitn.it · Esempio pratico Siano i soli primi non è divisibile per . E in realtà è primo perchè non è divisibile per, e . Storia dei numeri

Controesempio:

- � � �

� � � � � � � �� �� � � �� �

Questo numero non è primo.Infatti

� � � � � � � ��

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- � � �

la formula non fornisce numeri primi!

Storia dei numeri primi – p. 29/57

Page 95: Storia dei numeri primi - science.unitn.it · Esempio pratico Siano i soli primi non è divisibile per . E in realtà è primo perchè non è divisibile per, e . Storia dei numeri

Controesempio:

- � � �

� � � � � � � �� �� � � �� �

Questo numero non è primo.Infatti

� � � � � � � ��

� �� � � � �

- � � �

� la formula non fornisce numeri primi!

Storia dei numeri primi – p. 29/57

Page 96: Storia dei numeri primi - science.unitn.it · Esempio pratico Siano i soli primi non è divisibile per . E in realtà è primo perchè non è divisibile per, e . Storia dei numeri

Esempio pratico:

� �

Conclusione:

Oggi i numeri di Fermat non hanno prodotto che4 numeri primi:

, primo numero di Fermat

, secondo numero di Fermat

, terzo numero di Fermat

, quarto numero di Fermat

Storia dei numeri primi – p. 30/57

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Esempio pratico:

� �

Conclusione:

Oggi i numeri di Fermat non hanno prodotto che4 numeri primi:

, primo numero di Fermat

, secondo numero di Fermat

, terzo numero di Fermat

, quarto numero di Fermat

Storia dei numeri primi – p. 30/57

Page 98: Storia dei numeri primi - science.unitn.it · Esempio pratico Siano i soli primi non è divisibile per . E in realtà è primo perchè non è divisibile per, e . Storia dei numeri

Esempio pratico:

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Conclusione:

Oggi i numeri di Fermat non hanno prodotto che4 numeri primi:

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, primo numero di Fermat

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, secondo numero di Fermat

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, terzo numero di Fermat

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Storia dei numeri primi – p. 30/57

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Fermat

Ogni numero primo avente la forma di� � �

puòessere scritto in modo unico come la somma didue quadrati.

Storia dei numeri primi – p. 31/57

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Esempio pratico:

- � � �

-

-

Storia dei numeri primi – p. 32/57

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Esempio pratico:

- � � �

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-

-

Storia dei numeri primi – p. 32/57

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Esempio pratico:

- � � �

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- � � �

-

Storia dei numeri primi – p. 32/57

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Esempio pratico:

- � � �

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- � � �

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-

Storia dei numeri primi – p. 32/57

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Esempio pratico:

- � � �

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- � � � �

Storia dei numeri primi – p. 32/57

Page 105: Storia dei numeri primi - science.unitn.it · Esempio pratico Siano i soli primi non è divisibile per . E in realtà è primo perchè non è divisibile per, e . Storia dei numeri

Esempio pratico:

- � � �

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- � � � �

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Storia dei numeri primi – p. 32/57

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Fermat

Beffa di Fermat:

Sebbene sostenga di possedere ladimostrazione, tralascia di mettere per iscritto lamaggior parte dei dettagli.

Storia dei numeri primi – p. 33/57

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Fermat

Beffa di Fermat:

Sebbene sostenga di possedere ladimostrazione, tralascia di mettere per iscritto lamaggior parte dei dettagli.

Storia dei numeri primi – p. 33/57

Page 108: Storia dei numeri primi - science.unitn.it · Esempio pratico Siano i soli primi non è divisibile per . E in realtà è primo perchè non è divisibile per, e . Storia dei numeri

Fermat

Però egli dimostra quello che è conosciuto comeil piccolo teorema di Fermat :

Sia un numero primo e relativamente primocon . Allora

(mod ).

Storia dei numeri primi – p. 34/57

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Fermat

Però egli dimostra quello che è conosciuto comeil piccolo teorema di Fermat :

Sia � un numero primo e � relativamente primocon �. Allora

(mod ).

Storia dei numeri primi – p. 34/57

Page 110: Storia dei numeri primi - science.unitn.it · Esempio pratico Siano i soli primi non è divisibile per . E in realtà è primo perchè non è divisibile per, e . Storia dei numeri

Fermat

Però egli dimostra quello che è conosciuto comeil piccolo teorema di Fermat :

Sia � un numero primo e � relativamente primocon �. Allora

� � � � � �(mod �).

Storia dei numeri primi – p. 34/57

Page 111: Storia dei numeri primi - science.unitn.it · Esempio pratico Siano i soli primi non è divisibile per . E in realtà è primo perchè non è divisibile per, e . Storia dei numeri

Mersenne

Scienziato e filosofo francese:

1588-1648

Storia dei numeri primi – p. 35/57

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Mersenne

Scienziato e filosofo francese:

1588-1648

Storia dei numeri primi – p. 35/57

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Mersenne

Riprende la formula di Fermat, la modifica, e neelabora una molto più efficace non per scopriretutti i numeri primi, ma un elenco maggiore:

i numeri primi dati dalla formula perparticolari valori di sono noti come primi diMersenne.

Storia dei numeri primi – p. 36/57

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Mersenne

Riprende la formula di Fermat, la modifica, e neelabora una molto più efficace non per scopriretutti i numeri primi, ma un elenco maggiore:

i numeri primi dati dalla formula

� �

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perparticolari valori di � sono noti come primi diMersenne.

Storia dei numeri primi – p. 36/57

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Mersenne

Per quali � la formula

� �

��

genera numeri primi?

Mersenne afferma che per valori di nonsuperiori a , è primo se e solo se

.

Storia dei numeri primi – p. 37/57

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Mersenne

Per quali � la formula

� �

��

genera numeri primi?

Mersenne afferma che per valori di � nonsuperiori a

� � �

,

� �

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è primo se e solo se

� � ��

��

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Storia dei numeri primi – p. 37/57

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Problema aperto

I matematici ritengono che i primi di Mersennesiano infiniti...

a questo proposito però manca ancora unadimostrazione della veridicità diquest’affermazione.

Storia dei numeri primi – p. 38/57

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Problema aperto

I matematici ritengono che i primi di Mersennesiano infiniti...

a questo proposito però manca ancora unadimostrazione della veridicità diquest’affermazione.

Storia dei numeri primi – p. 38/57

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Mersenne

Ancora oggi si continuano a scoprire numeriprimi della forma di Mersenne:

uno degli ultimi risale al Febbraio del 2005,grazie a un chirurgo che ha trovato il numeroprimo di Mersenne, composto da bencifre!

Storia dei numeri primi – p. 39/57

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Mersenne

Ancora oggi si continuano a scoprire numeriprimi della forma di Mersenne:

uno degli ultimi risale al Febbraio del 2005,grazie a un chirurgo che ha trovato il

� � �

numeroprimo di Mersenne, composto da ben

��

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cifre!

Storia dei numeri primi – p. 39/57

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Eulero

Matematico svizzero:

1707-1783

Storia dei numeri primi – p. 40/57

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Eulero

Matematico svizzero:

1707-1783

Storia dei numeri primi – p. 40/57

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Eulero

Egli dimostra che la formula

� � � �

data daFermat, per calcolare i numeri primi, non è piùvalida per � �

.

Infatti, come abbiamo visto prima, perè divisibile per e quindi

non è primo

Storia dei numeri primi – p. 41/57

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Eulero

Egli dimostra che la formula

� � � �

data daFermat, per calcolare i numeri primi, non è piùvalida per � �

.

Infatti, come abbiamo visto prima, per

� � � � � � �

è divisibile per� � �

e quindi

non è primo

Storia dei numeri primi – p. 41/57

Page 125: Storia dei numeri primi - science.unitn.it · Esempio pratico Siano i soli primi non è divisibile per . E in realtà è primo perchè non è divisibile per, e . Storia dei numeri

Eulero

Egli dimostra che la formula

� � � �

data daFermat, per calcolare i numeri primi, non è piùvalida per � �

.

Infatti, come abbiamo visto prima, per

� � � � � � �

è divisibile per� � �

e quindi

non è primo

Storia dei numeri primi – p. 41/57

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Eulero

Inoltre scopre un algoritmo che da come risultatoalcuni numeri primi:

che genera numeri primi sostituendo ad inumeri compresi tra e .

Storia dei numeri primi – p. 42/57

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Eulero

Inoltre scopre un algoritmo che da come risultatoalcuni numeri primi:

��

� � �

che genera numeri primi sostituendo ad � inumeri compresi tra

e��

.

Storia dei numeri primi – p. 42/57

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Eulero

Considerando la formula

si accorge che, scegliendo sitrovano numeri primi per ogni valore dicompreso tra e .

Storia dei numeri primi – p. 43/57

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Eulero

Considerando la formula

��

� �

si accorge che, scegliendo � � ��

��

��

� ��

� �

sitrovano numeri primi per ogni valore di �

compreso tra

e � ��

.

Storia dei numeri primi – p. 43/57

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Esempio pratico

��

� �

, .

Prendiamo :

numero primo.

Storia dei numeri primi – p. 44/57

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Esempio pratico

��

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.

Prendiamo :

numero primo.

Storia dei numeri primi – p. 44/57

Page 132: Storia dei numeri primi - science.unitn.it · Esempio pratico Siano i soli primi non è divisibile per . E in realtà è primo perchè non è divisibile per, e . Storia dei numeri

Esempio pratico

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numero primo.

Storia dei numeri primi – p. 44/57

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Esempio pratico

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:

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numero primo.

Storia dei numeri primi – p. 44/57

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Esempio pratico

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.

Prendiamo � � �

:

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numero primo.

Storia dei numeri primi – p. 44/57

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Esempio pratico

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Prendiamo � � �

:

numero primo.

Storia dei numeri primi – p. 45/57

Page 136: Storia dei numeri primi - science.unitn.it · Esempio pratico Siano i soli primi non è divisibile per . E in realtà è primo perchè non è divisibile per, e . Storia dei numeri

Esempio pratico

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Prendiamo � � �

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numero primo.

Storia dei numeri primi – p. 45/57

Page 137: Storia dei numeri primi - science.unitn.it · Esempio pratico Siano i soli primi non è divisibile per . E in realtà è primo perchè non è divisibile per, e . Storia dei numeri

Esempio pratico

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Prendiamo � � �

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Storia dei numeri primi – p. 45/57

Page 138: Storia dei numeri primi - science.unitn.it · Esempio pratico Siano i soli primi non è divisibile per . E in realtà è primo perchè non è divisibile per, e . Storia dei numeri

Esempio pratico

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Prendiamo � � �

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Storia dei numeri primi – p. 46/57

Page 139: Storia dei numeri primi - science.unitn.it · Esempio pratico Siano i soli primi non è divisibile per . E in realtà è primo perchè non è divisibile per, e . Storia dei numeri

Esempio pratico

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Storia dei numeri primi – p. 46/57

Page 140: Storia dei numeri primi - science.unitn.it · Esempio pratico Siano i soli primi non è divisibile per . E in realtà è primo perchè non è divisibile per, e . Storia dei numeri

Esempio pratico

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Storia dei numeri primi – p. 46/57

Page 141: Storia dei numeri primi - science.unitn.it · Esempio pratico Siano i soli primi non è divisibile per . E in realtà è primo perchè non è divisibile per, e . Storia dei numeri

Esempio pratico

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Prendiamo � � �

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Storia dei numeri primi – p. 47/57

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Esempio pratico

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Storia dei numeri primi – p. 47/57

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Esempio pratico

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Goldbach

Matematico prussiano:

1690-1764

Storia dei numeri primi – p. 48/57

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Goldbach

Matematico prussiano:

1690-1764

Storia dei numeri primi – p. 48/57

Page 146: Storia dei numeri primi - science.unitn.it · Esempio pratico Siano i soli primi non è divisibile per . E in realtà è primo perchè non è divisibile per, e . Storia dei numeri

Goldbach

Egli, in una lettera ad Eulero, propone leseguenti congetture:

- ogni numero dispari maggiore di può esserescritto come somma di numeri primi;

- ogni numero pari maggiore di può esserescritto come somma di numeri primi.

Storia dei numeri primi – p. 49/57

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Goldbach

Egli, in una lettera ad Eulero, propone leseguenti congetture:

- ogni numero dispari maggiore di

può esserescritto come somma di

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- ogni numero pari maggiore di può esserescritto come somma di numeri primi.

Storia dei numeri primi – p. 49/57

Page 148: Storia dei numeri primi - science.unitn.it · Esempio pratico Siano i soli primi non è divisibile per . E in realtà è primo perchè non è divisibile per, e . Storia dei numeri

Goldbach

Egli, in una lettera ad Eulero, propone leseguenti congetture:

- ogni numero dispari maggiore di

può esserescritto come somma di

�numeri primi;

- ogni numero pari maggiore di

può esserescritto come somma di

numeri primi.

Storia dei numeri primi – p. 49/57

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Goldbach

Prima congettura:

dove è un numero dispari maggiore di ,, , sono numeri primi.

Esempi:Prendiamo :Allora , , che sono numeriprimi;infatti

Storia dei numeri primi – p. 50/57

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Goldbach

Prima congettura:

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dove � è un numero dispari maggiore di

,

�� , �� , � � sono numeri primi.

Esempi:Prendiamo :Allora , , che sono numeriprimi;infatti

Storia dei numeri primi – p. 50/57

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Goldbach

Prima congettura:

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dove � è un numero dispari maggiore di

,

�� , �� , � � sono numeri primi.

Esempi:

Prendiamo :Allora , , che sono numeriprimi;infatti

Storia dei numeri primi – p. 50/57

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Goldbach

Prima congettura:

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dove � è un numero dispari maggiore di

,

�� , �� , � � sono numeri primi.

Esempi:Prendiamo � � � �

:

Allora , , che sono numeriprimi;infatti

Storia dei numeri primi – p. 50/57

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Goldbach

Prima congettura:

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dove � è un numero dispari maggiore di

,

�� , �� , � � sono numeri primi.

Esempi:Prendiamo � � � �

:Allora �� � �

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che sono numeriprimi;

infatti

Storia dei numeri primi – p. 50/57

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Goldbach

Prima congettura:

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dove � è un numero dispari maggiore di

,

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Esempi:Prendiamo � � � �

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che sono numeriprimi;infatti

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Storia dei numeri primi – p. 50/57

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Goldbach

Prima congettura:

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dove � è un numero dispari maggiore di

,

�� , �� , � � sono numeri primi.

Esempi:Prendiamo � � � � �

:

Allora , , che sononumeri primi;infatti

Storia dei numeri primi – p. 51/57

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Goldbach

Prima congettura:

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dove � è un numero dispari maggiore di

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Esempi:Prendiamo � � � � �

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Storia dei numeri primi – p. 51/57

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Goldbach

Prima congettura:

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dove � è un numero dispari maggiore di

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Esempi:Prendiamo � � � � �

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Storia dei numeri primi – p. 51/57

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Goldbach

Seconda congettura:

dove è un numero pari maggiore di , ,sono numeri primi.

Esempi:Prendiamo :Allora , che sono numeri primi;infatti

Storia dei numeri primi – p. 52/57

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Goldbach

Seconda congettura:

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dove � è un numero pari maggiore di

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sono numeri primi.

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Storia dei numeri primi – p. 52/57

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Goldbach

Seconda congettura:

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dove � è un numero pari maggiore di

, �� , ��

sono numeri primi.

Esempi:

Prendiamo :Allora , che sono numeri primi;infatti

Storia dei numeri primi – p. 52/57

Page 161: Storia dei numeri primi - science.unitn.it · Esempio pratico Siano i soli primi non è divisibile per . E in realtà è primo perchè non è divisibile per, e . Storia dei numeri

Goldbach

Seconda congettura:

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dove � è un numero pari maggiore di

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Storia dei numeri primi – p. 52/57

Page 162: Storia dei numeri primi - science.unitn.it · Esempio pratico Siano i soli primi non è divisibile per . E in realtà è primo perchè non è divisibile per, e . Storia dei numeri

Goldbach

Seconda congettura:

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dove � è un numero pari maggiore di

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sono numeri primi.

Esempi:Prendiamo � � � �

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Storia dei numeri primi – p. 52/57

Page 163: Storia dei numeri primi - science.unitn.it · Esempio pratico Siano i soli primi non è divisibile per . E in realtà è primo perchè non è divisibile per, e . Storia dei numeri

Goldbach

Seconda congettura:

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dove � è un numero pari maggiore di

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sono numeri primi.

Esempi:Prendiamo � � � �

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infatti

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Storia dei numeri primi – p. 52/57

Page 164: Storia dei numeri primi - science.unitn.it · Esempio pratico Siano i soli primi non è divisibile per . E in realtà è primo perchè non è divisibile per, e . Storia dei numeri

Goldbach

Seconda congettura:

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dove � è un numero pari maggiore di

, �� , ��

sono numeri primi.

Esempi:Prendiamo � � � � �

:

Allora , che sono numeri primi;infatti

Storia dei numeri primi – p. 53/57

Page 165: Storia dei numeri primi - science.unitn.it · Esempio pratico Siano i soli primi non è divisibile per . E in realtà è primo perchè non è divisibile per, e . Storia dei numeri

Goldbach

Seconda congettura:

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dove � è un numero pari maggiore di

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sono numeri primi.

Esempi:Prendiamo � � � � �

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Storia dei numeri primi – p. 53/57

Page 166: Storia dei numeri primi - science.unitn.it · Esempio pratico Siano i soli primi non è divisibile per . E in realtà è primo perchè non è divisibile per, e . Storia dei numeri

Goldbach

Seconda congettura:

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dove � è un numero pari maggiore di

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sono numeri primi.

Esempi:Prendiamo � � � � �

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infatti

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Storia dei numeri primi – p. 53/57

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Goldbach

Questi due enunciati, oggi noti come congetturaternaria e binaria di Goldbach, sono ancora prividi dimostrazione.

Per incentivare i matematici alla ricerca,un’università americana ha messo in palio

di dollari a chi riuscisse a dimostrarli.

Storia dei numeri primi – p. 54/57

Page 168: Storia dei numeri primi - science.unitn.it · Esempio pratico Siano i soli primi non è divisibile per . E in realtà è primo perchè non è divisibile per, e . Storia dei numeri

Goldbach

Questi due enunciati, oggi noti come congetturaternaria e binaria di Goldbach, sono ancora prividi dimostrazione.

Per incentivare i matematici alla ricerca,un’università americana ha messo in palio

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di dollari a chi riuscisse a dimostrarli.

Storia dei numeri primi – p. 54/57

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Problema:

Se secoli di ricerche non erano servite a trovareuna formula che generasse un elenco di numeriprimi, forse era tempo di adottare una strategiadiversa...

...con Gauss, Legendre, Dirichlet, ma soprattuttocon Riemann si cercò una formula perdeterminare quanti fossero i numeri primicompresi tra e .

Storia dei numeri primi – p. 55/57

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Problema:

Se secoli di ricerche non erano servite a trovareuna formula che generasse un elenco di numeriprimi, forse era tempo di adottare una strategiadiversa...

...con Gauss, Legendre, Dirichlet, ma soprattuttocon Riemann si cercò una formula perdeterminare quanti fossero i numeri primicompresi tra

e .

Storia dei numeri primi – p. 55/57

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L’enigma dei numeri primi

Anche se la disposizione dei primi sembravacaotica,

Riemann scoprì che era comunque possibiledeterminare una funzione che ne prevedessel’ordine.

Storia dei numeri primi – p. 56/57

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L’enigma dei numeri primi

Anche se la disposizione dei primi sembravacaotica,

Riemann scoprì che era comunque possibiledeterminare una funzione che ne prevedessel’ordine.

Storia dei numeri primi – p. 56/57

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L’enigma dei numeri primi

Non poteva però dimostrare che questo ordinesarebbe sempre stato rispettato, ma pensava disì...

...nasceva così l’ipotesi di Riemann.

Storia dei numeri primi – p. 57/57

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L’enigma dei numeri primi

Non poteva però dimostrare che questo ordinesarebbe sempre stato rispettato, ma pensava disì...

...nasceva così l’ipotesi di Riemann.

Storia dei numeri primi – p. 57/57


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