0.5setgray0
0.5setgray1 Storia dei numeri primi
Michele Avancini, Alice Passalacqua, Silvia Ruvidotti
Seminario di Algebra
Storia dei numeri primi – p. 1/57
Cosa sono i numeri primi?
Sono numeri interi e positivi che hanno comedivisori solo l’unità e sè stessi.
Storia dei numeri primi – p. 2/57
Numeri primi
Eccone un breve elenco:
, , , , , , ,
Storia dei numeri primi – p. 3/57
Numeri primi
Eccone un breve elenco:
,
, , , , , ,
Storia dei numeri primi – p. 3/57
Numeri primi
Eccone un breve elenco:
, ,
, , , , ,
Storia dei numeri primi – p. 3/57
Numeri primi
Eccone un breve elenco:
, , ,
, , , ,
Storia dei numeri primi – p. 3/57
Numeri primi
Eccone un breve elenco:
, , , ,
, , ,
Storia dei numeri primi – p. 3/57
Numeri primi
Eccone un breve elenco:
, , , ,
� �
,
, ,
Storia dei numeri primi – p. 3/57
Numeri primi
Eccone un breve elenco:
, , , ,
� �
,�
,
,
Storia dei numeri primi – p. 3/57
Numeri primi
Eccone un breve elenco:
, , , ,
� �
,�
,
�
,
Storia dei numeri primi – p. 3/57
Numeri primi
Eccone un breve elenco:
, , , ,
� �
,�
,
�
,
�
� � �
Storia dei numeri primi – p. 3/57
Origini
Ma quand’è che l’uomo ha iniziato a interessarsiai numeri primi?
Storia dei numeri primi – p. 4/57
La più antica testimonianza
Risale al 6500 a.C.
Osso di Ishango
Storia dei numeri primi – p. 5/57
La più antica testimonianza
Risale al 6500 a.C.
Osso di Ishango
Storia dei numeri primi – p. 5/57
Osso di Ishango
Trovato nel 1950 tra i monti dell’Africaequatoriale centrale...
è attualmente conservato presso il museo distoria naturale di Bruxelles.
Storia dei numeri primi – p. 6/57
Osso di Ishango
Trovato nel 1950 tra i monti dell’Africaequatoriale centrale...
è attualmente conservato presso il museo distoria naturale di Bruxelles.
Storia dei numeri primi – p. 6/57
Osso di Ishango
Ma che relazione ha con i numeri primi?
in una delle colonne in cui è suddiviso l’ossocompaiono e tacche...
...cioè i numeri primi tra e !
Storia dei numeri primi – p. 7/57
Osso di Ishango
Ma che relazione ha con i numeri primi?
in una delle colonne in cui è suddiviso l’ossocompaiono
� ��
� ��
� �e
��
tacche...
...cioè i numeri primi tra e !
Storia dei numeri primi – p. 7/57
Osso di Ishango
Ma che relazione ha con i numeri primi?
in una delle colonne in cui è suddiviso l’ossocompaiono
� ��
� ��
� �e
��
tacche...
...cioè i numeri primi tra
��
e
��
!
Storia dei numeri primi – p. 7/57
Osso di Ishango: domanda aperta
Sarà un caso...
...o effettivamente già allora gli uominiconoscevano i numeri primi?
Storia dei numeri primi – p. 8/57
Osso di Ishango: domanda aperta
Sarà un caso...
...o effettivamente già allora gli uominiconoscevano i numeri primi?
Storia dei numeri primi – p. 8/57
Antichi greci
Ogni intero è esprimibile come prodotto di primi.
Come lo si può dimostrare?
Storia dei numeri primi – p. 9/57
Antichi greci
Ogni intero è esprimibile come prodotto di primi.
Come lo si può dimostrare?
Storia dei numeri primi – p. 9/57
Antichi greci
Sia � non primo � � � ���
�
.Se � e
�
sono primi, la tesi è dimostrata.Se � e
�
non primi � � � ��
�
,�
� � � con
��� � e �� �
Se sono primi la tesi è dimostrata;altrimenti continuo la fattorizzazione e alla fine siottiene ... con primi.
Storia dei numeri primi – p. 10/57
Antichi greci
Sia � non primo � � � ���
�
.Se � e
�
sono primi, la tesi è dimostrata.Se � e
�
non primi � � � ��
�
,�
� � � con
��� � e �� �
Se ���
� �� sono primi la tesi è dimostrata;altrimenti continuo la fattorizzazione e alla fine siottiene � � ��� � ��� � ...� ��� con �� � � � � � ��� primi.
Storia dei numeri primi – p. 10/57
Antichi greci
Sia � non primo � � � ���
�
.Se � e
�
sono primi, la tesi è dimostrata.Se � e
�
non primi � � � ��
�
,�
� � � con
��� � e �� �
Se ���
� �� sono primi la tesi è dimostrata;altrimenti continuo la fattorizzazione e alla fine siottiene � � ��� � ��� � ...� ��� con �� � � � � � ��� primi.
Storia dei numeri primi – p. 10/57
Euclide
Matematico e filosofo greco:
350-300 a.C.
Storia dei numeri primi – p. 11/57
Euclide
Matematico e filosofo greco:
350-300 a.C.
Storia dei numeri primi – p. 11/57
Euclide
Quanti numeri primi ci sono?
E’ possibile che ne esista solo un numero finito?
NO!!
Storia dei numeri primi – p. 12/57
Euclide
Quanti numeri primi ci sono?
E’ possibile che ne esista solo un numero finito?
NO!!
Storia dei numeri primi – p. 12/57
Euclide
Quanti numeri primi ci sono?
E’ possibile che ne esista solo un numero finito?
NO!!
Storia dei numeri primi – p. 12/57
Euclide
La dimostrazione è presentata da Euclide nel IXlibro degli Elementi.
Siano , ,..., i soli numeri primi.
Prendiamo il loro prodotto e sommiamoci 1:...
Allora o è a sua volta primo, e allora neabbiamo trovato un altro, oppure è composto(cioè divisibile per numeri diversi da , ,..., ).
Storia dei numeri primi – p. 13/57
Euclide
Siano �� , �� ,..., ��� i soli numeri primi.
Prendiamo il loro prodotto e sommiamoci 1:
� �� � �� � ...� ��
�
Allora o è a sua volta primo, e allora neabbiamo trovato un altro, oppure è composto(cioè divisibile per numeri diversi da , ,..., ).
Storia dei numeri primi – p. 13/57
Euclide
Siano �� , �� ,..., ��� i soli numeri primi.
Prendiamo il loro prodotto e sommiamoci 1:
� �� � �� � ...� ��
�
Allora o è a sua volta primo, e allora neabbiamo trovato un altro, oppure è composto(cioè divisibile per numeri diversi da � � , ��� ,..., ��� ).
Storia dei numeri primi – p. 13/57
Euclide
Siano �� , �� ,..., ��� i soli numeri primi.
Prendiamo il loro prodotto e sommiamoci 1:
� �� � �� � ...� ��
�
Allora o è a sua volta primo, e allora neabbiamo trovato un altro, oppure è composto(cioè divisibile per numeri diversi da � � , ��� ,..., ��� ).
Storia dei numeri primi – p. 13/57
Euclide
Siano �� , �� ,..., ��� i soli numeri primi.
Prendiamo il loro prodotto e sommiamoci 1:
� �� � �� � ...� ��
�
Allora o è a sua volta primo, e allora neabbiamo trovato un altro, oppure è composto(cioè divisibile per numeri diversi da � � , ��� ,..., ��� ).
Storia dei numeri primi – p. 13/57
Esempio pratico
Siano
��
��
��
�
i soli primi
non è divisibile per .
E in realtà è primo perchè non è divisibile per, e .
Storia dei numeri primi – p. 14/57
Esempio pratico
Siano
��
��
��
�
i soli primi
� ��
��
��
� � � � � �
non è divisibile per .
E in realtà è primo perchè non è divisibile per, e .
Storia dei numeri primi – p. 14/57
Esempio pratico
Siano
��
��
��
�
i soli primi
� ��
��
��
� � � � � �
� � �
non è divisibile per
��
��
��
�.
E in realtà è primo perchè non è divisibile per, e .
Storia dei numeri primi – p. 14/57
Esempio pratico
Siano
��
��
��
�
i soli primi
� ��
��
��
� � � � � �
� � �
non è divisibile per
��
��
��
�.
E in realtà
� � �
è primo perchè non è divisibile per
� �
,
� �
e
� �� � � � �
.
Storia dei numeri primi – p. 14/57
Esempio pratico
Siano
��
��
��
��
� �
i soli primi
non è divisibile per .
E in realtà è primo perchè non è divisibileper nessun primo minore o uguale a e
.
Storia dei numeri primi – p. 15/57
Esempio pratico
Siano
��
��
��
��
� �
i soli primi
� ��
��
��
��
� � � � � � � �
non è divisibile per .
E in realtà è primo perchè non è divisibileper nessun primo minore o uguale a e
.
Storia dei numeri primi – p. 15/57
Esempio pratico
Siano
��
��
��
��
� �
i soli primi
� ��
��
��
��
� � � � � � � �
� � � �
non è divisibile per
��
��
��
��
� �
.
E in realtà è primo perchè non è divisibileper nessun primo minore o uguale a e
.
Storia dei numeri primi – p. 15/57
Esempio pratico
Siano
��
��
��
��
� �
i soli primi
� ��
��
��
��
� � � � � � � �
� � � �
non è divisibile per
��
��
��
��
� �
.
E in realtà
� � � �
è primo perchè non è divisibileper nessun primo minore o uguale a
� �
e
� � � � � � � �
.
Storia dei numeri primi – p. 15/57
Esempio pratico
Siano
��
��
��
��
� ��
� �
i soli primi
non è divisibile per ...
...ma NON è primo! E’ divisibile per 59,infatti
.
Storia dei numeri primi – p. 16/57
Esempio pratico
Siano
��
��
��
��
� ��
� �
i soli primi
� ��
��
��
��
� ��
� � � � �� � � �
non è divisibile per ...
...ma NON è primo! E’ divisibile per 59,infatti
.
Storia dei numeri primi – p. 16/57
Esempio pratico
Siano
��
��
��
��
� ��
� �
i soli primi
� ��
��
��
��
� ��
� � � � �� � � �
�� � � �
non è divisibile per�
��
��
��
�� �
�� �
...
...ma NON è primo! E’ divisibile per 59,infatti
.
Storia dei numeri primi – p. 16/57
Esempio pratico
Siano
��
��
��
��
� ��
� �
i soli primi
� ��
��
��
��
� ��
� � � � �� � � �
�� � � �
non è divisibile per�
��
��
��
�� �
�� �
...
...ma
�� � � �
NON è primo! E’ divisibile per 59,infatti
�� � � � � �� � �� �
.
Storia dei numeri primi – p. 16/57
Euclide
Con la dimostrazione di Euclide svanisce lapossibilità di costruire una “tavola periodica” che
comprenda tutti i numeri primi.
Storia dei numeri primi – p. 17/57
Eratostene
Scienziato e letterato greco:
275-195 a.C.
Storia dei numeri primi – p. 18/57
Eratostene
Scienziato e letterato greco:
275-195 a.C.
Storia dei numeri primi – p. 18/57
Eratostene
Inventò un metodo per determinare i numeriprimi:
CRIVELLO DI ERATOSTENE
Storia dei numeri primi – p. 19/57
Eratostene
Inventò un metodo per determinare i numeriprimi:
CRIVELLO DI ERATOSTENE
Storia dei numeri primi – p. 19/57
Crivello di Eratostene
Esempio: determiniamo i numeri primi tra
�
e
��
Consideriamo i numeri naturali fino a ,partendo da (setaccio):
Storia dei numeri primi – p. 20/57
Crivello di Eratostene
Esempio: determiniamo i numeri primi tra
�
e
��
Consideriamo i numeri naturali fino a
��
,partendo da
�
(setaccio):
Storia dei numeri primi – p. 20/57
Crivello di Eratostene
Esempio: determiniamo i numeri primi tra
�
e
��
Consideriamo i numeri naturali fino a
��
,partendo da
�
(setaccio):
� � � � � � � � ��
� � � � � � � � � � � � � � � � �� ��
Storia dei numeri primi – p. 20/57
Crivello di Eratostene
Cancelliamo tutti i multipli di
�
dal setaccio:
� � � � � � � � ��
� � � � � � � � � � � � � � � � �� ��
Storia dei numeri primi – p. 21/57
Crivello di Eratostene
Cancelliamo tutti i multipli di
�
dal setaccio:
� � � � � � � � ��
� � � � � � � � � � � � � � � � �� ��
Storia dei numeri primi – p. 21/57
Crivello di Eratostene
Cancelliamo tutti i multipli di
�
dal setaccio:
� � � � � � � � ��
� � � � � � � � � � � � � � � � �� ��
Storia dei numeri primi – p. 21/57
Crivello di Eratostene
Cancelliamo tutti i multipli di
�
dal setaccio:
� � � � � � � � ��
� � � � � � � � � � � � � � � � �� ��
Storia dei numeri primi – p. 21/57
Crivello di Eratostene
Cancelliamo tutti i multipli di
�
dal setaccio:
� � � � � � � � ��
� � � � � � � � � � � � � � � � �� ��
Storia dei numeri primi – p. 21/57
Crivello di Eratostene
Cancelliamo tutti i multipli di
�
dal setaccio:
� � � � � � � � ��
� � � � � � � � � � � � � � � � �� ��
Storia dei numeri primi – p. 21/57
Crivello di Eratostene
Cancelliamo tutti i multipli di
�
dal setaccio:
� � � � � � � � ��
� � � � � � � � � � � � � � � � �� ��
Storia dei numeri primi – p. 21/57
Crivello di Eratostene
Cancelliamo tutti i multipli di
�
dal setaccio:
� � � � � � � � ��
� � � � � � � � � � � � � � � � �� ��
Storia dei numeri primi – p. 21/57
Crivello di Eratostene
Cancelliamo tutti i multipli di
�
dal setaccio:
� � � � � � � � ��
� � � � � � � � � � � � � � � � �� ��
Storia dei numeri primi – p. 21/57
Crivello di Eratostene
Cancelliamo tutti i multipli di
�
dal setaccio:
� � � � � � � � ��
� � � � � � � � � � � � � � � � �� ��
Storia dei numeri primi – p. 21/57
Crivello di Eratostene
Cancelliamo tutti i multipli di
�
dal setaccio:
� � � � � � � � ��
� � � � � � � � � � � � � � � � �� ��
Storia dei numeri primi – p. 21/57
Crivello di Eratostene
Cancelliamo tutti i multipli di
�
dal setaccio:
� � � � �
� � � � � � � � ��
Storia dei numeri primi – p. 21/57
Crivello di Eratostene
Cancelliamo tutti i multipli di
�
dal setaccio:
� � � � �
� � � � � � � � ��
Storia dei numeri primi – p. 22/57
Crivello di Eratostene
Cancelliamo tutti i multipli di
�
dal setaccio:
� � � � �
� � � � � � � � ��
Storia dei numeri primi – p. 22/57
Crivello di Eratostene
Cancelliamo tutti i multipli di
�
dal setaccio:
� � � � �
� � � � � � � � ��
Storia dei numeri primi – p. 22/57
Crivello di Eratostene
Cancelliamo tutti i multipli di
�
dal setaccio:
� � � � �
� � � � � � � � ��
Storia dei numeri primi – p. 22/57
Crivello di Eratostene
Cancelliamo tutti i multipli di
�
dal setaccio:
� � � �
� � � � � � ��
Storia dei numeri primi – p. 22/57
Crivello di Eratostene
Il procedimento termina con l’eliminazione dalsetaccio dei multipli di
�
perchè�
è il massimointero primo il cui quadrato non supera
��
.
Abbiamo così ottenuto tutti i numeri primi
compresi tra e :
Storia dei numeri primi – p. 23/57
Crivello di Eratostene
Il procedimento termina con l’eliminazione dalsetaccio dei multipli di
�
perchè�
è il massimointero primo il cui quadrato non supera
��
.
Abbiamo così ottenuto tutti i numeri primicompresi tra
�
e
��
:
Storia dei numeri primi – p. 23/57
Crivello di Eratostene
Il procedimento termina con l’eliminazione dalsetaccio dei multipli di
�
perchè�
è il massimointero primo il cui quadrato non supera
��
.
Abbiamo così ottenuto tutti i numeri primicompresi tra
�
e
��
:
��
��
��
��
� ��
� ��
� ��
� ��
Storia dei numeri primi – p. 23/57
200 a.C. - 1600 d.C.
E’ un periodo in cui non vi sono significativiprogressi nella storia dei numeri primi:
Era dell’oscurantismo.
Storia dei numeri primi – p. 24/57
200 a.C. - 1600 d.C.
E’ un periodo in cui non vi sono significativiprogressi nella storia dei numeri primi:
Era dell’oscurantismo.
Storia dei numeri primi – p. 24/57
Fermat
Matematico francese:
1601-1665
Storia dei numeri primi – p. 25/57
Fermat
Matematico francese:
1601-1665
Storia dei numeri primi – p. 25/57
Fermat
Pensa di aver trovato una formula che producesolo numeri primi:
ennesimo numero di Fermat
Storia dei numeri primi – p. 26/57
Fermat
Pensa di aver trovato una formula che producesolo numeri primi:
� � � �ennesimo numero di Fermat
Storia dei numeri primi – p. 26/57
Esempio pratico:
� �
�
- � � �
primo numero di Fermat
-
secondo numero di Fermat
Storia dei numeri primi – p. 27/57
Esempio pratico:
� �
�
- � � �
� � � � � �
primo numero di Fermat
-
secondo numero di Fermat
Storia dei numeri primi – p. 27/57
Esempio pratico:
� �
�
- � � �
� � � � � �
primo numero di Fermat
- � � �
secondo numero di Fermat
Storia dei numeri primi – p. 27/57
Esempio pratico:
� �
�
- � � �
� � � � � �
primo numero di Fermat
- � � �
� � � � � � �
secondo numero di Fermat
Storia dei numeri primi – p. 27/57
Esempio pratico:
� �
�
- � � �
terzo numero di Fermat
-
quarto numero di Fermat
Storia dei numeri primi – p. 28/57
Esempio pratico:
� �
�
- � � �
� � � � � � � �
terzo numero di Fermat
-
quarto numero di Fermat
Storia dei numeri primi – p. 28/57
Esempio pratico:
� �
�
- � � �
� � � � � � � �
terzo numero di Fermat
- � � �
quarto numero di Fermat
Storia dei numeri primi – p. 28/57
Esempio pratico:
� �
�
- � � �
� � � � � � � �
terzo numero di Fermat
- � � �
� � � � � � � � � � �quarto numero di Fermat
Storia dei numeri primi – p. 28/57
Controesempio:
- � � �
Questo numero non è primo.Infatti
-
la formula non fornisce numeri primi!
Storia dei numeri primi – p. 29/57
Controesempio:
- � � �
� � � � � � � �� �� � � �� �
Questo numero non è primo.
Infatti
-
la formula non fornisce numeri primi!
Storia dei numeri primi – p. 29/57
Controesempio:
- � � �
� � � � � � � �� �� � � �� �
Questo numero non è primo.Infatti
� � � � � � � ��
� �� � � � �
-
la formula non fornisce numeri primi!
Storia dei numeri primi – p. 29/57
Controesempio:
- � � �
� � � � � � � �� �� � � �� �
Questo numero non è primo.Infatti
� � � � � � � ��
� �� � � � �
- � � �
la formula non fornisce numeri primi!
Storia dei numeri primi – p. 29/57
Controesempio:
- � � �
� � � � � � � �� �� � � �� �
Questo numero non è primo.Infatti
� � � � � � � ��
� �� � � � �
- � � �
� la formula non fornisce numeri primi!
Storia dei numeri primi – p. 29/57
Esempio pratico:
� �
�
Conclusione:
Oggi i numeri di Fermat non hanno prodotto che4 numeri primi:
, primo numero di Fermat
, secondo numero di Fermat
, terzo numero di Fermat
, quarto numero di Fermat
Storia dei numeri primi – p. 30/57
Esempio pratico:
� �
�
Conclusione:
Oggi i numeri di Fermat non hanno prodotto che4 numeri primi:
, primo numero di Fermat
, secondo numero di Fermat
, terzo numero di Fermat
, quarto numero di Fermat
Storia dei numeri primi – p. 30/57
Esempio pratico:
� �
�
Conclusione:
Oggi i numeri di Fermat non hanno prodotto che4 numeri primi:
� � � � �
, primo numero di Fermat
� � � � � �
, secondo numero di Fermat
� � � � � � �
, terzo numero di Fermat
� � � � � � � � � �, quarto numero di Fermat
Storia dei numeri primi – p. 30/57
Fermat
Ogni numero primo avente la forma di� � �
puòessere scritto in modo unico come la somma didue quadrati.
Storia dei numeri primi – p. 31/57
Esempio pratico:
�
- � � �
-
-
Storia dei numeri primi – p. 32/57
Esempio pratico:
�
- � � �
� �� � � � � �
-
-
Storia dei numeri primi – p. 32/57
Esempio pratico:
�
- � � �
� �� � � � � �
- � � �
-
Storia dei numeri primi – p. 32/57
Esempio pratico:
�
- � � �
� �� � � � � �
- � � �
� � � � � � � �
-
Storia dei numeri primi – p. 32/57
Esempio pratico:
�
- � � �
� �� � � � � �
- � � �
� � � � � � � �
- � � � �
Storia dei numeri primi – p. 32/57
Esempio pratico:
�
- � � �
� �� � � � � �
- � � �
� � � � � � � �
- � � � �
� � � � �� � �
Storia dei numeri primi – p. 32/57
Fermat
Beffa di Fermat:
Sebbene sostenga di possedere ladimostrazione, tralascia di mettere per iscritto lamaggior parte dei dettagli.
Storia dei numeri primi – p. 33/57
Fermat
Beffa di Fermat:
Sebbene sostenga di possedere ladimostrazione, tralascia di mettere per iscritto lamaggior parte dei dettagli.
Storia dei numeri primi – p. 33/57
Fermat
Però egli dimostra quello che è conosciuto comeil piccolo teorema di Fermat :
Sia un numero primo e relativamente primocon . Allora
(mod ).
Storia dei numeri primi – p. 34/57
Fermat
Però egli dimostra quello che è conosciuto comeil piccolo teorema di Fermat :
Sia � un numero primo e � relativamente primocon �. Allora
(mod ).
Storia dei numeri primi – p. 34/57
Fermat
Però egli dimostra quello che è conosciuto comeil piccolo teorema di Fermat :
Sia � un numero primo e � relativamente primocon �. Allora
� � � � � �(mod �).
Storia dei numeri primi – p. 34/57
Mersenne
Scienziato e filosofo francese:
1588-1648
Storia dei numeri primi – p. 35/57
Mersenne
Scienziato e filosofo francese:
1588-1648
Storia dei numeri primi – p. 35/57
Mersenne
Riprende la formula di Fermat, la modifica, e neelabora una molto più efficace non per scopriretutti i numeri primi, ma un elenco maggiore:
i numeri primi dati dalla formula perparticolari valori di sono noti come primi diMersenne.
Storia dei numeri primi – p. 36/57
Mersenne
Riprende la formula di Fermat, la modifica, e neelabora una molto più efficace non per scopriretutti i numeri primi, ma un elenco maggiore:
i numeri primi dati dalla formula
� �
��
perparticolari valori di � sono noti come primi diMersenne.
Storia dei numeri primi – p. 36/57
Mersenne
Per quali � la formula
� �
��
genera numeri primi?
Mersenne afferma che per valori di nonsuperiori a , è primo se e solo se
.
Storia dei numeri primi – p. 37/57
Mersenne
Per quali � la formula
� �
��
genera numeri primi?
Mersenne afferma che per valori di � nonsuperiori a
� � �
,
� �
��
è primo se e solo se
� � ��
��
��
��
� ��
� ��
� ��
� ��
� � ��
� � �
.
Storia dei numeri primi – p. 37/57
Problema aperto
I matematici ritengono che i primi di Mersennesiano infiniti...
a questo proposito però manca ancora unadimostrazione della veridicità diquest’affermazione.
Storia dei numeri primi – p. 38/57
Problema aperto
I matematici ritengono che i primi di Mersennesiano infiniti...
a questo proposito però manca ancora unadimostrazione della veridicità diquest’affermazione.
Storia dei numeri primi – p. 38/57
Mersenne
Ancora oggi si continuano a scoprire numeriprimi della forma di Mersenne:
uno degli ultimi risale al Febbraio del 2005,grazie a un chirurgo che ha trovato il numeroprimo di Mersenne, composto da bencifre!
Storia dei numeri primi – p. 39/57
Mersenne
Ancora oggi si continuano a scoprire numeriprimi della forma di Mersenne:
uno degli ultimi risale al Febbraio del 2005,grazie a un chirurgo che ha trovato il
� � �
numeroprimo di Mersenne, composto da ben
��
� � ��
� ��
cifre!
Storia dei numeri primi – p. 39/57
Eulero
Matematico svizzero:
1707-1783
Storia dei numeri primi – p. 40/57
Eulero
Matematico svizzero:
1707-1783
Storia dei numeri primi – p. 40/57
Eulero
Egli dimostra che la formula
� � � �
data daFermat, per calcolare i numeri primi, non è piùvalida per � �
.
Infatti, come abbiamo visto prima, perè divisibile per e quindi
non è primo
Storia dei numeri primi – p. 41/57
Eulero
Egli dimostra che la formula
� � � �
data daFermat, per calcolare i numeri primi, non è piùvalida per � �
.
Infatti, come abbiamo visto prima, per
� � � � � � �
è divisibile per� � �
e quindi
non è primo
Storia dei numeri primi – p. 41/57
Eulero
Egli dimostra che la formula
� � � �
data daFermat, per calcolare i numeri primi, non è piùvalida per � �
.
Infatti, come abbiamo visto prima, per
� � � � � � �
è divisibile per� � �
e quindi
non è primo
Storia dei numeri primi – p. 41/57
Eulero
Inoltre scopre un algoritmo che da come risultatoalcuni numeri primi:
che genera numeri primi sostituendo ad inumeri compresi tra e .
Storia dei numeri primi – p. 42/57
Eulero
Inoltre scopre un algoritmo che da come risultatoalcuni numeri primi:
��
� � �
che genera numeri primi sostituendo ad � inumeri compresi tra
�
e��
.
Storia dei numeri primi – p. 42/57
Eulero
Considerando la formula
si accorge che, scegliendo sitrovano numeri primi per ogni valore dicompreso tra e .
Storia dei numeri primi – p. 43/57
Eulero
Considerando la formula
��
� �
si accorge che, scegliendo � � ��
��
��
� ��
� �
sitrovano numeri primi per ogni valore di �
compreso tra
�
e � ��
.
Storia dei numeri primi – p. 43/57
Esempio pratico
��
� �
, .
Prendiamo :
numero primo.
Storia dei numeri primi – p. 44/57
Esempio pratico
��
� �
� � �
, � � � � � �� � �
�� � �
.
Prendiamo :
numero primo.
Storia dei numeri primi – p. 44/57
Esempio pratico
��
� �
� � �
, � � � � � �� � �
�� � �
.
Prendiamo � � �
:
numero primo.
Storia dei numeri primi – p. 44/57
Esempio pratico
��
� �
� � �
, � � � � � �� � �
�� � �
.
Prendiamo � � �
:
� � � � � � �
numero primo.
Storia dei numeri primi – p. 44/57
Esempio pratico
��
� �
� � �
, � � � � � �� � �
�� � �
.
Prendiamo � � �
:
� � � � � � �
numero primo.
Storia dei numeri primi – p. 44/57
Esempio pratico
��
� �
� � �
, � � � � � �� � �
�� � �
.
Prendiamo � � �
:
numero primo.
Storia dei numeri primi – p. 45/57
Esempio pratico
��
� �
� � �
, � � � � � �� � �
�� � �
.
Prendiamo � � �
:
� � � � � � �
numero primo.
Storia dei numeri primi – p. 45/57
Esempio pratico
��
� �
� � �
, � � � � � �� � �
�� � �
.
Prendiamo � � �
:
� � � � � � �numero primo.
Storia dei numeri primi – p. 45/57
Esempio pratico
��
� �
� � �
, � � � � � �� � �
�� � �
.
Prendiamo � � �
:
numero primo.
Storia dei numeri primi – p. 46/57
Esempio pratico
��
� �
� � �
, � � � � � �� � �
�� � �
.
Prendiamo � � �
:
� � � � � � � �
numero primo.
Storia dei numeri primi – p. 46/57
Esempio pratico
��
� �
� � �
, � � � � � �� � �
�� � �
.
Prendiamo � � �
:
� � � � � � � �numero primo.
Storia dei numeri primi – p. 46/57
Esempio pratico
��
� �
� � �
, � � � � � �� � �
�� � �
.
Prendiamo � � �
:
numero primo.
Storia dei numeri primi – p. 47/57
Esempio pratico
��
� �
� � �
, � � � � � �� � �
�� � �
.
Prendiamo � � �
:
� � � � � � � �
numero primo.
Storia dei numeri primi – p. 47/57
Esempio pratico
��
� �
� � �
, � � � � � �� � �
�� � �
.
Prendiamo � � �
:
� � � � � � � �numero primo.
Storia dei numeri primi – p. 47/57
Goldbach
Matematico prussiano:
1690-1764
Storia dei numeri primi – p. 48/57
Goldbach
Matematico prussiano:
1690-1764
Storia dei numeri primi – p. 48/57
Goldbach
Egli, in una lettera ad Eulero, propone leseguenti congetture:
- ogni numero dispari maggiore di può esserescritto come somma di numeri primi;
- ogni numero pari maggiore di può esserescritto come somma di numeri primi.
Storia dei numeri primi – p. 49/57
Goldbach
Egli, in una lettera ad Eulero, propone leseguenti congetture:
- ogni numero dispari maggiore di
�
può esserescritto come somma di
�numeri primi;
- ogni numero pari maggiore di può esserescritto come somma di numeri primi.
Storia dei numeri primi – p. 49/57
Goldbach
Egli, in una lettera ad Eulero, propone leseguenti congetture:
- ogni numero dispari maggiore di
�
può esserescritto come somma di
�numeri primi;
- ogni numero pari maggiore di
�
può esserescritto come somma di
�
numeri primi.
Storia dei numeri primi – p. 49/57
Goldbach
Prima congettura:
dove è un numero dispari maggiore di ,, , sono numeri primi.
Esempi:Prendiamo :Allora , , che sono numeriprimi;infatti
Storia dei numeri primi – p. 50/57
Goldbach
Prima congettura:
� � �� �� � �
dove � è un numero dispari maggiore di
�
,
�� , �� , � � sono numeri primi.
Esempi:Prendiamo :Allora , , che sono numeriprimi;infatti
Storia dei numeri primi – p. 50/57
Goldbach
Prima congettura:
� � �� �� � �
dove � è un numero dispari maggiore di
�
,
�� , �� , � � sono numeri primi.
Esempi:
Prendiamo :Allora , , che sono numeriprimi;infatti
Storia dei numeri primi – p. 50/57
Goldbach
Prima congettura:
� � �� �� � �
dove � è un numero dispari maggiore di
�
,
�� , �� , � � sono numeri primi.
Esempi:Prendiamo � � � �
:
Allora , , che sono numeriprimi;infatti
Storia dei numeri primi – p. 50/57
Goldbach
Prima congettura:
� � �� �� � �
dove � è un numero dispari maggiore di
�
,
�� , �� , � � sono numeri primi.
Esempi:Prendiamo � � � �
:Allora �� � �
, �� � �, � � � �
che sono numeriprimi;
infatti
Storia dei numeri primi – p. 50/57
Goldbach
Prima congettura:
� � �� �� � �
dove � è un numero dispari maggiore di
�
,
�� , �� , � � sono numeri primi.
Esempi:Prendiamo � � � �
:Allora �� � �
, �� � �, � � � �
che sono numeriprimi;infatti
� � � � � �
Storia dei numeri primi – p. 50/57
Goldbach
Prima congettura:
� � �� �� � �
dove � è un numero dispari maggiore di
�
,
�� , �� , � � sono numeri primi.
Esempi:Prendiamo � � � � �
:
Allora , , che sononumeri primi;infatti
Storia dei numeri primi – p. 51/57
Goldbach
Prima congettura:
� � �� �� � �
dove � è un numero dispari maggiore di
�
,
�� , �� , � � sono numeri primi.
Esempi:Prendiamo � � � � �
:Allora �� � � � �
, �� � � � �
, � � � � �
che sononumeri primi;
infatti
Storia dei numeri primi – p. 51/57
Goldbach
Prima congettura:
� � �� �� � �
dove � è un numero dispari maggiore di
�
,
�� , �� , � � sono numeri primi.
Esempi:Prendiamo � � � � �
:Allora �� � � � �
, �� � � � �
, � � � � �
che sononumeri primi;infatti
� � � � � � � � � � � �
Storia dei numeri primi – p. 51/57
Goldbach
Seconda congettura:
dove è un numero pari maggiore di , ,sono numeri primi.
Esempi:Prendiamo :Allora , che sono numeri primi;infatti
Storia dei numeri primi – p. 52/57
Goldbach
Seconda congettura:
� � �� ��
dove � è un numero pari maggiore di
�
, �� , ��
sono numeri primi.
Esempi:Prendiamo :Allora , che sono numeri primi;infatti
Storia dei numeri primi – p. 52/57
Goldbach
Seconda congettura:
� � �� ��
dove � è un numero pari maggiore di
�
, �� , ��
sono numeri primi.
Esempi:
Prendiamo :Allora , che sono numeri primi;infatti
Storia dei numeri primi – p. 52/57
Goldbach
Seconda congettura:
� � �� ��
dove � è un numero pari maggiore di
�
, �� , ��
sono numeri primi.
Esempi:Prendiamo � � � �
:
Allora , che sono numeri primi;infatti
Storia dei numeri primi – p. 52/57
Goldbach
Seconda congettura:
� � �� ��
dove � è un numero pari maggiore di
�
, �� , ��
sono numeri primi.
Esempi:Prendiamo � � � �
:Allora �� � �
, �� � � �che sono numeri primi;
infatti
Storia dei numeri primi – p. 52/57
Goldbach
Seconda congettura:
� � �� ��
dove � è un numero pari maggiore di
�
, �� , ��
sono numeri primi.
Esempi:Prendiamo � � � �
:Allora �� � �
, �� � � �che sono numeri primi;
infatti
� � � � � �
Storia dei numeri primi – p. 52/57
Goldbach
Seconda congettura:
� � �� ��
dove � è un numero pari maggiore di
�
, �� , ��
sono numeri primi.
Esempi:Prendiamo � � � � �
:
Allora , che sono numeri primi;infatti
Storia dei numeri primi – p. 53/57
Goldbach
Seconda congettura:
� � �� ��
dove � è un numero pari maggiore di
�
, �� , ��
sono numeri primi.
Esempi:Prendiamo � � � � �
:Allora �� � � � �
, �� � � ��che sono numeri primi;
infatti
Storia dei numeri primi – p. 53/57
Goldbach
Seconda congettura:
� � �� ��
dove � è un numero pari maggiore di
�
, �� , ��
sono numeri primi.
Esempi:Prendiamo � � � � �
:Allora �� � � � �
, �� � � ��che sono numeri primi;
infatti
� � � � �� � � � �
Storia dei numeri primi – p. 53/57
Goldbach
Questi due enunciati, oggi noti come congetturaternaria e binaria di Goldbach, sono ancora prividi dimostrazione.
Per incentivare i matematici alla ricerca,un’università americana ha messo in palio
di dollari a chi riuscisse a dimostrarli.
Storia dei numeri primi – p. 54/57
Goldbach
Questi due enunciati, oggi noti come congetturaternaria e binaria di Goldbach, sono ancora prividi dimostrazione.
Per incentivare i matematici alla ricerca,un’università americana ha messo in palio
��
� � ��
� � �
di dollari a chi riuscisse a dimostrarli.
Storia dei numeri primi – p. 54/57
Problema:
Se secoli di ricerche non erano servite a trovareuna formula che generasse un elenco di numeriprimi, forse era tempo di adottare una strategiadiversa...
...con Gauss, Legendre, Dirichlet, ma soprattuttocon Riemann si cercò una formula perdeterminare quanti fossero i numeri primicompresi tra e .
Storia dei numeri primi – p. 55/57
Problema:
Se secoli di ricerche non erano servite a trovareuna formula che generasse un elenco di numeriprimi, forse era tempo di adottare una strategiadiversa...
...con Gauss, Legendre, Dirichlet, ma soprattuttocon Riemann si cercò una formula perdeterminare quanti fossero i numeri primicompresi tra
�
e .
Storia dei numeri primi – p. 55/57
L’enigma dei numeri primi
Anche se la disposizione dei primi sembravacaotica,
Riemann scoprì che era comunque possibiledeterminare una funzione che ne prevedessel’ordine.
Storia dei numeri primi – p. 56/57
L’enigma dei numeri primi
Anche se la disposizione dei primi sembravacaotica,
Riemann scoprì che era comunque possibiledeterminare una funzione che ne prevedessel’ordine.
Storia dei numeri primi – p. 56/57
L’enigma dei numeri primi
Non poteva però dimostrare che questo ordinesarebbe sempre stato rispettato, ma pensava disì...
...nasceva così l’ipotesi di Riemann.
Storia dei numeri primi – p. 57/57
L’enigma dei numeri primi
Non poteva però dimostrare che questo ordinesarebbe sempre stato rispettato, ma pensava disì...
...nasceva così l’ipotesi di Riemann.
Storia dei numeri primi – p. 57/57