Download pdf - Seminář z fyziky

St�ední pr�myslová škola sd�lovací techniky Panská 3 Praha 1

© Jaroslav Reichl, 2001

ur�ené student�m 4. ro�níku obru OZT a DGT jako pom�cka pro p�ípravu k p�ijímacím zkouškám na vysoké školy technického typu

Jaroslav Reichl

Fyzikální seminá�

2

OBSAH

1. KINEMATIKA HMOTNÉHO BODU ...................................................................................................7

1.1 MECHANICKÝ POHYB ..........................................................................................................................7 1.2 TRAJEKTORIE A DRÁHA HMOTNÉHO BODU ............................................................................................7 1.3 RYCHLOST HMOTNÉHO BODU ..............................................................................................................7 1.4 ROVNOM�RNÝ POHYB .........................................................................................................................7 1.5 ZRYCHLENÍ HMOTNÉHO BODU .............................................................................................................7 1.6 ROVNOM�RN� ZRYCHLENÝ P�ÍMO�ARÝ POHYB ....................................................................................7 1.7 VOLNÝ PÁD ........................................................................................................................................8 1.8 SKLÁDÁNÍ POHYB� A RYCHLOSTÍ.........................................................................................................8 1.9 POHYB HMOTNÉHO BODU PO KRUŽNICI.................................................................................................8

2. DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU .....................................................................................................10

2.1 SÍLA A JEJÍ Ú�INKY NA T�LESO ...........................................................................................................10 2.2 PRVNÍ NEWTON�V POHYBOVÝ ZÁKON - ZÁKON SETRVA�NOSTI ...........................................................10 2.3 DRUHÝ NEWTON�V POHYBOVÝ ZÁKON - ZÁKON SÍLY .........................................................................10 2.4 T�ETÍ NEWTON�V ZÁKON - ZÁKON AKCE A REAKCE ............................................................................10 2.5 HYBNOST HMOTNÉHO BODU ..............................................................................................................10 2.6 ZÁKON ZACHOVÁNÍ HYBNOSTI...........................................................................................................10 2.7 SÍLY BRZDÍCÍ POHYB .........................................................................................................................11

2.7.1 Smykové t�ení...........................................................................................................................11 2.7.2 Valivý odpor ............................................................................................................................11

2.8 DOST�EDIVÁ SÍLA .............................................................................................................................11 2.9 INERCIÁLNÍ VZTAŽNÉ SOUSTAVY .......................................................................................................12 2.10 NEINERCIÁLNÍ VZTAŽNÉ SOUSTAVY ...................................................................................................12

3. MECHANICKÁ PRÁCE A MECHANICKÁ ENERGIE....................................................................13

3.1 MECHANICKÁ PRÁCE.........................................................................................................................13 3.2 KINETICKÁ ENERGIE .........................................................................................................................13 3.3 POTENCIÁLNÍ ENERGIE ......................................................................................................................14 3.4 MECHANICKÁ ENERGIE .....................................................................................................................14 3.5 ZÁKON ZACHOVÁNÍ ENERGIE .............................................................................................................14 3.6 VÝKON, P�ÍKON, Ú�INNOST...............................................................................................................14

4. GRAVITA�NÍ POLE ...........................................................................................................................15

4.1 NEWTON�V GRAVITA�NÍ ZÁKON........................................................................................................15 4.2 INTENZITA GRAVITA�NÍHO POLE........................................................................................................15

4.2.1 Centrální gravita�ní pole .........................................................................................................15 4.2.2 Homogenní gravita�ní pole ......................................................................................................15

4.3 GRAVITA�NÍ A TÍHOVÉ ZRYCHLENÍ ....................................................................................................15 4.4 TÍHA A TÍHOVÁ SÍLA ..........................................................................................................................16 4.5 POHYBY T�LES V HOMOGENNÍM TÍHOVÉM POLI ZEM� .........................................................................16

4.5.1 Volný pád.................................................................................................................................16 4.5.2 Vrhy t�les.................................................................................................................................16

4.5.2.1 Svislý vrh vzh�ru................................................................................................................................ 16 4.5.2.2 Vodorovný vrh.................................................................................................................................... 17 4.5.2.3 Vrh šikmý .......................................................................................................................................... 17

4.6 POHYB T�LES V CENTRÁLNÍM GRAVITA�NÍM POLI...............................................................................17 4.6.1 První a druhá kosmická rychlost ..............................................................................................17

4.7 POHYBY T�LES V GRAVITA�NÍM POLI SLUNCE ....................................................................................18 4.7.1 Elipsa ......................................................................................................................................18 4.7.2 První Kepler�v zákon...............................................................................................................18 4.7.3 Druhý Kepler�v zákon..............................................................................................................19 4.7.4 T�etí Kepler�v zákon................................................................................................................19

5. MECHANIKA TUHÉHO T�LESA .....................................................................................................20

5.1 ZÁKLADNÍ POJMY..............................................................................................................................20 5.2 MOMENT SÍLY VZHLEDEM K OSE OTÁ�ENÍ ..........................................................................................20 5.3 SKLÁDÁNÍ SIL ...................................................................................................................................20

5.3.1 R�znob�žné síly........................................................................................................................20 5.3.2 Rovnob�žné síly ležící na spole�né vektorové p�ímce ...............................................................20


3

5.3.3 Rovnob�žné síly ležící na r�zných vektorových p�ímkách .........................................................20 5.4 DVOJICE SIL......................................................................................................................................21 5.5 JEDNODUCHÉ STROJE ........................................................................................................................21

5.5.1 Páka jednozvratná ...................................................................................................................21 5.5.2 Páka dvojzvratná .....................................................................................................................22 5.5.3 Pevná kladka ...........................................................................................................................22 5.5.4 Volná kladka............................................................................................................................22 5.5.5 Kolo na h�ídeli.........................................................................................................................22 5.5.6 Naklon�ná rovina.....................................................................................................................22

5.6 T�ŽIŠT� T�LESA................................................................................................................................22 5.7 ROVNOVÁŽNÉ POLOHY TUHÉHO T�LESA .............................................................................................22 5.8 KINETICKÁ ENERGIE TUHÉHO T�LESA.................................................................................................23 5.9 ***P�EHLED MOMENT� SETRVA�NOSTI N�KTERÝCH T�LES ................................................................23

6. MECHANIKA KAPALIN A PLYN�...................................................................................................24

6.1 VLASTNOSTI KAPALIN A PLYN�..........................................................................................................24 6.2 TLAK TEKUTIN..................................................................................................................................24

6.2.1 Tlak vyvolaný vn�jší silou ........................................................................................................24 6.2.2 Hydraulická a pneumatická za�ízení ........................................................................................24

6.3 TLAK VYVOLANÝ TÍHOVOU SILOU ......................................................................................................24 6.3.1 Kapaliny ..................................................................................................................................24 6.3.2 Plyny (vzduch)..........................................................................................................................25

6.4 VZTLAKOVÁ SÍLA V TEKUTINÁCH .......................................................................................................25 6.4.1 Plování t�les ............................................................................................................................25

6.5 PROUD�NÍ TEKUTIN...........................................................................................................................25 6.5.1 Rovnice spojitosti (kontinuity)..................................................................................................25

6.6 BERNOULLIHO ROVNICE ....................................................................................................................25 6.7 OBTÉKÁNÍ T�LES REÁLNOU TEKUTINOU .............................................................................................26 6.8 ZÁKLADY FYZIKY LETU .....................................................................................................................26

7. KMITÁNÍ MECHANICKÉHO OSCILÁTORU .................................................................................27

7.1 KMITAVÝ POHYB ..............................................................................................................................27 7.2 HARMONICKÉ KMITÁNÍ......................................................................................................................27 7.3 RYCHLOST A ZRYCHLENÍ KMITAVÉHO POHYBU ...................................................................................27 7.4 FÁZE KMITAVÉHO POHYBU ................................................................................................................27 7.5 SLOŽENÉ KMITÁNÍ ............................................................................................................................28 7.6 DYNAMIKA KMITAVÉHO POHYBU .......................................................................................................28

7.6.1 Kmitání zp�sobené silou pružnosti ...........................................................................................28 7.6.2 Kmitání zp�sobené tíhovou silou - kyvadlo...............................................................................28

7.7 ENERGIE MECHANICKÉHO OSCILÁTORU A JEJÍ P�EM�NY ......................................................................29 7.8 TLUMENÉ KMITÁNÍ ...........................................................................................................................29 7.9 NUCENÉ KMITÁNÍ MECHANICKÉHO OSCILÁTORU .................................................................................29 7.10 REZONANCE MECHANICKÉHO OSCILÁTORU.........................................................................................29

8. MECHANICKÉ VLN�NÍ.....................................................................................................................30

8.1 VZNIK A DRUHY VLN�NÍ ....................................................................................................................30 8.2 INTERFERENCE VLN�NÍ......................................................................................................................30 8.3 ODRAZ VLN�NÍ V �AD� BOD�. STOJATÉ VLN�NÍ..................................................................................30 8.4 CHV�NÍ MECHANICKÝCH SOUSTAV.....................................................................................................31 8.5 VLN�NÍ V IZOTROPNÍM PROST�EDÍ .....................................................................................................31

9. ZVUKOVÉ VLN�NÍ ............................................................................................................................32

9.1 D�LENÍ ZVUK�..................................................................................................................................32 9.2 VLASTNOSTI ZVUKU..........................................................................................................................32

10. ELEKT�INA A MAGNETISMUS...................................................................................................33

10.1 ELEKTROSTATICKÉ SILOVÉ P�SOBENÍ BODOVÝCH EL. NÁBOJ� .............................................................33 10.2 KAPACITA VODI�E, KONDENZÁTOR ....................................................................................................33 10.3 ELEKTRICKÝ PROUD..........................................................................................................................33 10.4 ELEKTRICKÝ ODPOR VODI�E, OHM�V ZÁKON PRO �ÁST OBVODU.........................................................33 10.5 SPOJOVÁNÍ REZISTOR� ......................................................................................................................33 10.6 OHM�V ZÁKON PRO UZAV�ENÝ OBVOD ..............................................................................................33 10.7 KIRCHHOFFOVY ZÁKONY...................................................................................................................33 10.8 ELEKTRICKÁ PRÁCE A VÝKON V OBVODU STEJNOSM�RNÉHO PROUDU...................................................34


4

10.9 MAGNETICKÁ SÍLA, MAGNETICKÁ INDUKCE ........................................................................................34 10.10 MAGNETICKÉ POLE ROVNOB�ŽNÝCH VODI�� S PROUDEM ................................................................34 10.11 FARADAY�V ZÁKON ELEKTROMAGNETICKÉ INDUKCE ......................................................................34 10.12 OBVODY ST�ÍDAVÉHO PROUDU ......................................................................................................34

10.12.1 Obvod s odporem .................................................................................................................34 10.12.2 Obvod s cívkou.....................................................................................................................35 10.12.3 Obvod s kondenzátorem .......................................................................................................35 10.12.4 Složený sériový RLC obvod ..................................................................................................35

10.13 VÝKON ST�ÍDAVÉHO PROUDU ........................................................................................................35 10.13.1 Obvod s odporem .................................................................................................................35 10.13.2 Obvod s impedancí...............................................................................................................36

10.14 TRANSFORMÁTOR .........................................................................................................................36

11. OPTIKA - ZÁKLADNÍ POJMY ......................................................................................................37

11.1 SV�TLO JAKO ELMG. VLN�NÍ..............................................................................................................37 11.2 ŠÍ�ENÍ SV�TLA..................................................................................................................................37 11.3 ODRAZ A LOM SV�TLA.......................................................................................................................37

11.3.1 Odraz sv�tla.............................................................................................................................37 11.3.2 Lom (refrakce) sv�tla ...............................................................................................................37

11.4 ÚPLNÝ ODRAZ SV�TLA ......................................................................................................................38 11.5 DISPERZE (ROZKLAD) SV�TLA............................................................................................................38

11.5.1 Optické hranoly .......................................................................................................................38 11.6 JEVY SPOJENÉ S ODRAZEM, LOMEM NEBO DISPERZÍ SV�TLA..................................................................39

12. VLNOVÁ OPTIKA ...........................................................................................................................40

12.1 INTERFERENCE SV�TLA .....................................................................................................................40 12.2 OHYB (DIFRAKCE) SV�TLA.................................................................................................................41 12.3 POLARIZACE SV�TLA.........................................................................................................................41

13. ZOBRAZOVÁNÍ OPTICKÝMI SOUSTAVAMI ............................................................................43

13.1 OPTICKÉ ZOBRAZENÍ .........................................................................................................................43 13.2 ZOBRAZENÍ ROVINNÝM ZRCADLEM ....................................................................................................43 13.3 KONVENCE ZNAMÉNEK A ZNA�ENÍ.....................................................................................................43 13.4 ZOBRAZENÍ KULOVÝM ZRCADLEM......................................................................................................44

13.4.1 Použití kulových zrcadel ..........................................................................................................45 13.5 ZOBRAZENÍ �O�KAMI........................................................................................................................45

13.5.1 Zobrazovací vady �o�ek ...........................................................................................................46 13.6 ZOBRAZOVACÍ ROVNICE KULOVÉHO ZRCADLA A �O�KY ......................................................................46 13.7 OKO JAKO OPTICKÁ SOUSTAVA ..........................................................................................................47 13.8 OPTICKÉ P�ÍSTROJE...........................................................................................................................47

13.8.1 Subjektivní optické p�ístroje.....................................................................................................47 13.8.1.1 Lupa............................................................................................................................................... 47 13.8.1.2 Mikroskop...................................................................................................................................... 47 13.8.1.3 Dalekohled ..................................................................................................................................... 48

13.8.2 Objektivní optické p�ístroje......................................................................................................48 13.8.2.1 Fotografický p�ístroj ....................................................................................................................... 48

14. ZÁKLADNÍ POZNATKY MOLEKULOVÉ FYZIKY A TERMODYNAMIKY ..........................49

14.1 KINETICKÁ TEORIE STAVBY LÁTEK ....................................................................................................49 14.2 TEPLOTA A JEJÍ M��ENÍ .....................................................................................................................49 14.3 VNIT�NÍ ENERGIE .............................................................................................................................49 14.4 ZM�NA VNIT�NÍ ENERGIE TEPELNOU VÝM�NOU ..................................................................................49 14.5 M�RNÁ TEPELNÁ KAPACITA...............................................................................................................49 14.6 KALORIMETRICKÁ ROVNICE ..............................................................................................................49 14.7 PRVNÍ TERMODYNAMICKÝ ZÁKON......................................................................................................50 14.8 P�ENOS VNIT�NÍ ENERGIE .................................................................................................................50 14.9 ZM�NY SKUPENSTVÍ LÁTEK ...............................................................................................................51

15. STRUKTURA A VLASTNOSTI PLYN�.........................................................................................52

15.1 IDEÁLNÍ PLYN ...................................................................................................................................52 15.2 ST�EDNÍ KVADRATICKÁ RYCHLOST....................................................................................................52 15.3 TEPLOTA PLYNU Z HLEDISKA MOLEKULOVÉ FYZIKY ............................................................................52 15.4 TLAK PLYNU Z HLEDISKA MOLEKULOVÉ FYZIKY ..................................................................................52 15.5 STAVOVÁ ROVNICE IDEÁLNÍHO PLYNU ...............................................................................................52


5

15.6 D�JE S IDEÁLNÍM PLYNEM .................................................................................................................52 15.6.1 Izotermický d�j.........................................................................................................................52 15.6.2 Izochorický d�j.........................................................................................................................53 15.6.3 Izobarický d�j ..........................................................................................................................53 15.6.4 Adiabatický d�j ........................................................................................................................53

15.7 PRÁCE VYKONANÁ IDEÁLNÍM PLYNEM................................................................................................54 15.8 KRUHOVÝ D�J ..................................................................................................................................54 15.9 DRUHÝ TERMODYNAMICKÝ ZÁKON....................................................................................................54 15.10 TEPELNÉ MOTORY .........................................................................................................................54

16. STRUKTURA A VLASTNOSTI PEVNÝCH LÁTEK ....................................................................56

16.1 KRYSTALICKÉ A AMORFNÍ LÁTKY ......................................................................................................56 16.2 IDEÁLNÍ KRYSTALOVÁ M�ÍŽKA ..........................................................................................................56 16.3 PORUCHY KRYSTALOVÉ M�ÍŽKY ........................................................................................................56

16.3.1 Bodové poruchy .......................................................................................................................56 16.4 DEFORMACE PEVNÉHO T�LESA ..........................................................................................................57 16.5 SÍLA PRUŽNOSTI, NORMÁLOVÉ NAP�TÍ................................................................................................58 16.6 HOOK�V ZÁKON PRO PRUŽNOU DEFORMACI ........................................................................................58 16.7 TEPLOTNÍ ROZTAŽNOST PEVNÝCH LÁTEK ...........................................................................................58

16.7.1 Délková teplotní roztažnost ......................................................................................................59 16.7.2 Objemová teplotní roztažnost ...................................................................................................59 16.7.3 Teplotní zm�na hustoty.............................................................................................................59

17. STRUKTURA A VLASTNOSTI KAPALIN ....................................................................................60

17.1 POVRCHOVÁ VRSTVA KAPALINY.........................................................................................................60 17.2 POVRCHOVÁ SÍLA..............................................................................................................................60 17.3 POVRCHOVÉ NAP�TÍ..........................................................................................................................60 17.4 JEVY NA ROZHRANÍ PEVNÉHO T�LESA A KAPALINY ..............................................................................61 17.5 KAPILARITA .....................................................................................................................................62 17.6 TEPLOTNÍ ROZTAŽNOST KAPALIN .......................................................................................................62

18. ÚVOD DO SPECIÁLNÍ TEORIE RELATIVITY (STR) ................................................................63

18.1 PROSTOR A �AS V KLASICKÉ MECHANICE ............................................................................................63 18.1.1 ***Galileiho transformace.......................................................................................................64

18.2 VZNIK STR ......................................................................................................................................64 18.2.1 Problém éteru ..........................................................................................................................64

19. SPECIÁLNÍ TEORIE RELATIVITY ..............................................................................................66

19.1 ZÁKLADNÍ PRINCIPY (POSTULÁTY) STR .............................................................................................66 19.2 RELATIVNOST SOU�ASNOSTI .............................................................................................................66 19.3 DILATACE �ASU................................................................................................................................66 19.4 KONTRAKCE DÉLEK ..........................................................................................................................67 19.5 ***LORENTZOVA TRANSFORMACE.....................................................................................................68

19.5.1 Odvození Lorentzovy transformace ..........................................................................................68 19.5.2 Vztah Lorentzovy a Galileiho transfomace ...............................................................................69

19.6 SKLÁDÁNÍ RYCHLOSTÍ.......................................................................................................................69 19.6.1 Odvození vztahu.......................................................................................................................70

19.7 ***STR A PRINCIP KAUZALITY ..........................................................................................................70

20. DYNAMIKA V STR..........................................................................................................................71

20.1 RELATIVISTICKÁ HMOTNOST .............................................................................................................71 20.2 RELATIVISTICKÁ HYBNOST ................................................................................................................71 20.3 VZTAH MEZI ENERGIÍ A HMOTNOSTÍ ..................................................................................................71 20.4 ***PROSTORO�ASOVÉ DIAGRAMY .....................................................................................................72

21. STRUKTURA MIKROSV�TA ........................................................................................................74

21.1 NITRO ATOMU ..................................................................................................................................74 21.1.1 První modely atom� .................................................................................................................74 21.1.2 Objev atomového jádra ............................................................................................................74

21.2 SLOŽENÍ JÁDRA.................................................................................................................................74 21.2.1 �ísla popisující atomové jádro.................................................................................................75

21.3 VAZEBNÁ ENERGIE............................................................................................................................75

22. ZÁKLADY KVANTOVÉ MECHANIKY........................................................................................76


6

22.1 KVANTOVÁ HYPOTÉZA ......................................................................................................................76 22.1.1 Zá�ení absolutn� �erného t�lesa...............................................................................................76 22.1.2 Planckova kvantová hypotéza...................................................................................................76

22.2 FOTOELEKTRICKÝ JEV .......................................................................................................................76

23. ATOMOVÁ FYZIKA .......................................................................................................................78

23.1 KVANTOVÁNÍ ENERGIE ATOM� ..........................................................................................................78 23.1.1 Kvantová �ísla .........................................................................................................................78 23.1.2 Spin .........................................................................................................................................78 23.1.3 Princip nerozlišitelnosti �ástic a Pauliho (vylu�ovací) princip .................................................79

23.2 LASERY ............................................................................................................................................79 23.2.1 Emise a absorpce sv�tla ...........................................................................................................79

24. JADERNÁ FYZIKA..........................................................................................................................81

24.1 VLASTNOSTI ATOMOVÝCH JADER.......................................................................................................81 24.1.1 Vazebná energie jádra .............................................................................................................81

24.2 RADIOAKTIVITA................................................................................................................................81 24.2.1 Zá�ení alfa ...............................................................................................................................82 24.2.2 Zá�ení beta ..............................................................................................................................82 24.2.3 Zá�ení gama.............................................................................................................................83 24.2.4 Neutronové zá�ení....................................................................................................................83 24.2.5 Aktivita zá�i�e a rozpadový zákon ............................................................................................83 24.2.6 Rozpadové �ady .......................................................................................................................84 24.2.7 Um�lá radioaktivita .................................................................................................................84

24.3 JADERNÉ REAKCE..............................................................................................................................84 24.4 JADERNÁ ENERGETIKA ......................................................................................................................85

24.4.1 Jaderný reaktor........................................................................................................................85 24.4.2 Jaderná elektrárna...................................................................................................................85

25. FYZIKA �ÁSTIC..............................................................................................................................87

25.1 INTERAKCE MEZI �ÁSTICEMI..............................................................................................................87 25.1.1 �ty�i silové interakce v p�ehledu..............................................................................................87 25.1.2 �ástice a anti�ástice ................................................................................................................87 25.1.3 Pot�eba systematického d�lení �ástic .......................................................................................88 25.1.4 „Zoologie“ �ástic ....................................................................................................................88 25.1.5 ***Kvarková hypotéza .............................................................................................................88


7

1. Kinematika hmotného bodu 1.1 Mechanický pohyb

Pohyb jakéhokoliv t�lesa vždy studujeme vzhledem k n�jakému jinému t�lesu, vztažné soustav�. Vztažná soustava je soubor skute�ných nebo myšlených t�les, která jsou vzájemn� v klidu (skute�né t�leso - nap�. strom u silnice nebo myšlené t�leso - nap�. soustava sou�adnic). Klid nebo pohyb je tedy vždy relativní.

Za hmotný bod považujeme každé t�leso, jehož rozm�ry jsou vzhledem k rozm�r�m zvolené vztažné soustavy zanedbatelné. Je charakterizován pouze hmotností t�lesa. Nezajímáme se o jeho vnit�ní strukturu. 1.2 Trajektorie a dráha hmotného bodu

Souvislá �ára, kterou hmotný bod p�i svém pohybu opisuje, nazýváme trajektorie hmotného bodu. Podle tvaru trajektorie rozd�lujeme pohyby na:

1. p�ímo�aré – jsou ty pohyby, jejichž trajektorií je p�ímka nebo úse�ka 2. k�ivo�aré – jsou pohyby, které mají za trajektorii libovolnou k�ivku

Délka trajektorie, kterou hmotný bod opíše za ur�itý �as t, se nazývá dráha a zna�í se s. Dráha hmotného bodu závisí na �ase, po který se hmotný bod pohyboval. 1.3 Rychlost hmotného bodu

Okamžitou rychlost v�

hmotného bodu v �ase t definujeme jako podíl zm�ny polohového vektoru r�

� ,

ke které dojde za �as t� , a této doby: tr

v�

��

�, p�i�emž p�edpokládáme, že t� je velmi malé. Okamžitá

rychlost je vektorová fyzikální veli�ina, která má vždy sm�r te�ny k dané trajektorii hmotného bodu a je orientována ve sm�ru zm�ny polohového vektoru.

Pr�m�rná rychlost je definována jako podíl celkové dráhy s, kterou t�leso urazí za celkový �as t, a

celkového �asu t: ts

v p � . Pr�m�rná rychlost je skalární veli�ina.

Podle velikosti rychlosti d�líme pohyby na: 1. rovnom�rné – pohyby, u nichž je velikost rychlosti konstantní. Hmotný bod urazí tedy

v libovolných, ale stejných �asových intervalech stejné úseky dráhy. 2. nerovnom�rné – pohyby, u nichž se velikost rychlosti s �asem m�ní. Hmotný bod urazí tedy

v libovolných, ale stejných �asových intervalech r�zné úseky dráhy. 1.4 Rovnom�rný pohyb

je takový pohyb, p�i n�mž hmotný bod urazí za libovolné, ale stejné, �asové intervaly stejné úseky dráhy. 1.5 Zrychlení hmotného bodu

Fyzikální veli�ina, která charakterizuje zm�nu vektoru rychlosti, se nazývá zrychlení a zna�í se a�

. Okamžité zrychlení hmotného bodu je dáno podílem zm�ny rychlosti v

�� , ke které došlo za dobu t� , a

touto dobou: tv

a�

��

�, p�i�emž doba t� je velmi malá. Okamžité zrychlení je vektorová veli�ina, která má sm�r

zm�ny rychlosti. Velikost okamžitého zrychlení je dána podílem velikosti zm�ny rychlosti a p�íslušné doby,

k níž k této zm�n� došlo: t

vaa

�

��

��

. Jednotkou zrychlení je metr za sekundu na druhou: � � 2. �� sma .

Okamžité zrychlení �asto rozkládáme na dv� složky: 1. te�né zrychlení – leží na stejné vektorové p�ímce jako vektor okamžité

rychlosti. Vyjad�uje zm�nu velikosti rychlosti. Je-li te�né zrychlení nulové, jedná se o pohyb rovnom�rný.

2. normálové zrychlení – je kolmé ke sm�ru okamžité rychlosti a vyjad�uje zm�nu sm�ru rychlosti. Je-li normálové zrychlení nulové, jedná se o pohyb p�ímo�arý. obr. 1

Na normálové zrychlení lze také nahlížet tak, že udává, jak se m�ní okamžitý polom�r k�ivosti. U pohybu po kružnici má normálové zrychlení sm�r do st�edu kružnice a nazývá se dost�edivé.

1.6 Rovnom�rn� zrychlený p�ímo�arý pohyb Pohybuje-li se hmotný bod po p�ímce tak, že velikost jeho rychlosti není v �ase konstantní, jedná se o

pohyb nerovnom�rný. Nejjednoduššími nerovnom�rnými pohyby jsou: 1. rovnom�rn� zrychlený pohyb – zrychlení a

� má stejný sm�r jako vektor rychlosti v

� a velikost

rychlosti se s �asem zv�tšuje 2. rovnom�rn� zpomalený pohyb – zrychlení a

� má opa�ný sm�r než vektor rychlosti v

� a velikost

rychlosti se s �asem zmenšuje Oba tyto pohyby je možné vyšet�ovat spole�n� (p�i�emž budeme mluvit o pohybu rovnom�rn�

zrychleném), uv�domíme-li si, že: 1. 0�a pro pohyb rovnom�rn� zrychlený 2. 0�a pro pohyb rovnom�rn� zpomalený


8

Velikost okamžité rychlosti hmotného bodu, který se pohybuje rovnom�rn� zrychleným pohybem s po�áte�ní rychlostí 0v a se zrychlením a, se m�ní s �asem podle vztahu tavv .0 �� .

Dráha, kterou hmotný bod urazí za �as t je dána vztahem 20 .

21

. tatvs �� .

1.7 Volný pád Volný pád je zvláštní p�ípad pohybu rovnom�rn� zrychleného s nulovou po�áte�ní rychlostí. Jedná se o

pohyb t�lesa voln� pušt�ného v blízkosti povrchu Zem� ve vakuu. P�edpoklad vakua je d�ležitý proto, aby t�leso nebylo nadleh�ováno vzduchem a nep�sobily odporové síly.

Zrychlení tohoto pohybu se nazývá tíhové zrychlení a zna�í se g�

, jeho sm�r je svislý a jeho velikost je

2.

2 .10.81,9 �� smsmg . Velikost tíhové zrychlení je závislá na nadmo�ské výšce a na zem�pisné ší�ce

daného místa na Zemi. Dohodou byla stanovena hodnota normálového tíhového zrychlení 2.80665,9 �� smg (p�esn�).

Vzhledem k tomu, že se jedná o pohyb rovnom�rn� zrychlený, je možné volný

pád popsat následujícími vztahy: h gt�12

2 a v g t� . , kde h je výška nad povrchem

Zem�, z níž bylo t�leso spušt�no, a v je rychlost pádu t�lesa v �ase t . Mezi další charakteristiky volného pádu pat�í �as dopadu td , tj. �as, který

uplyne od pušt�ní t�lesa z výšky h do jeho dopadu na Zem, a velikost rychlosti dopadu vd , tedy rychlost, kterou t�leso dopadne na Zem.

�as dopadu td je možné vyjád�it ze vztahu h gtd�12

2 takto: thgd �

2.

obr. 2

Rychlost dopadu vd ur�íme, když si uv�domíme, že rychlost dopadu je rychlost, kterou bude t�leso mít v

�ase, kdy dopadne na Zem (�as td ): v g td d� . , což po dosazení dává v ghg

ghd � �.2

2 .

1.8 Skládání pohyb� a rychlostí Pokud koná hmotný bod více pohyb� v r�zných sm�rech sou�asn�, vnímá pozorovatel tento pohyb jako

jediný plynulý výsledný pohyb. Polohu hmotného bodu, který koná n�kolik pohyb� v r�zných sm�rech, lze ur�it podle principu nezávislosti pohyb� (princip superpozice pohyb�), který vyslovil již Galilei: Hmotný bod v libovolném �asovém okamžiku zaujme takovou polohu, jako by vykonal všechny díl�í pohyby nezávisle na sob� postupn� (a v libovolném po�adí). 1.9 Pohyb hmotného bodu po kružnici

Pohyb po kružnici je nejjednodušším p�íkladem k�ivo�arého pohybu. Poloha hmotného bodu na kružnici je ur�ena polohovým vektorem r

�, jehož

velikost je rovna polom�ru r kružnice. P�ejde-li hmotný bod z bodu A do bodu B, opíše polohový vektor (pr�vodi�) úhel , � � � rad . Hmotný bod p�i tom urazí dráhu

s rovnající se délce oblouku AB. Pro velikost délky oblouku s platí: s r� . Úhlovou rychlost ur�íme jako podíl velikosti úhlu � , který opíše polohový

vektor za dobu t� , a této doby: t�

��

, � � � �rad s. 1 . (P�i výpo�tech se dosazuje

� � � �s 1 ).

obr. 3

Je-li konst� jedná se o rovnom�rný pohyb po kružnici: Hmotný bod koná rovnom�rný pohyb po kružnici, jestliže ve stejných a libovoln� malých �asových intervalech opíše jeho pr�vodi� stejné úhlové dráhy .

Rovnom�rný pohyb po kružnici je pohyb periodický. Plný úhel � 2� opíše hmotný bod vždy za

stejnou dobu – ob�žnou dobu (periodu) T. Tedy Tt�

2

��

�� . Místo periody m�žeme pohyb po kružnici

charakterizovat také po�tem ob�h� za jednotku �asu – frekvencí f: T

f1

� , � � Hzsf �� 1 . Úhlovou rychlost

lze také vyjád�it pomocí frekvence f: f� 2� .

Velikost rychlosti lze ur�it pomocí vztahu

rt

rts

v ��

��

�

�� . Nejv�tší rychlostí

se pohybují body na obvodu kola, nejmenší (nulovou) pak body na ose otá�ení. Jedná-li se o rovnom�rný pohyb po kružnici, je velikost rychlosti stále stejná (konstantní). Vektor rychlosti má v každém bod� kruhové trajektorie sm�r te�n� ke kružnici v daném bod�.

obr. 4


9

Velikost zrychlení lze ur�it ze vztahu rr

va 2

2

�� . Zrychlení má sm�r kolmý k okamžité rychlosti. U

rovnom�rného pohybu po kružnici je tedy celkové zrychlení shodné s normálovým (dost�edivým) zrychlením.


10

2. Dynamika hmotného bodu Dynamika je �ástí mechaniky, která se zabývá p�í�inami pohybového stavu t�les, tj. zkoumá PRO� (z

jakého d�vodu, jaké p�í�iny) se t�lesa pohybují. Základ dynamiky tvo�í t�i Newtonovy (pohybové) zákony, které formuloval britský fyzik Isaac Newton (1643 - 1727) koncem 17. století a které jsou založeny na pojmu síla. 2.1 Síla a její ú�inky na t�leso

Síla se vždy projevuje p�i vzájemném p�sobení t�les: 1. p�i p�ímém styku - nákupní taška, roztla�ení autí�ka, deformace mí�e, ... 2. prost�ednictvím silového pole - gravita�ní, magnetické, elektrické, ...

Síla m�že mít na t�leso r�zný ú�inek: 1. deforma�ní (statický) - síla má za následek deformaci t�lesa (rozmá�knutí vají�ka, p�etržení

nit�, prohnutí trampolíny pod artistou, ...); m��ení síly pomocí silom�ru 2. pohybový (dynamický) - síla má za následek zm�nu pohybového stavu t�lesa (roztla�ení auta,

zastavení vozíku, ...) Ú�inky síly závisí na velikosti síly, jejím sm�ru a poloze p�sobišt�. Síla je tedy ur�ena velikostí, sm�rem

a p�sobišt�m. Síla F�

je tedy vektorová veli�ina. Jednotkou síly je 1 newton: � �F N� .

P�sobí-li sou�asn� na jedno t�leso více sil, lze je vektorov� se�íst a nahradit je jejich výslednicí, která má na t�leso stejný ú�inek jako všechny p�sobící síly. Pro zjednodušení se zavádí pojem izolované t�leso, což je t�leso, na které nep�sobí žádná vn�jší síla (resp. p�sobí síly tak, že jejich výslednice je nulová). 2.2 První Newton�v pohybový zákon - zákon setrva�nosti

První Newton�v zákon hovo�í o d�ležité vlastnosti t�les – o setrva�nosti. Proto bývá �asto také nazýván zákon setrva�nosti: Každé t�leso setrvává v relativním klidu nebo v rovnom�rném p�ímo�arém pohybu, dokud není p�inuceno silovým p�sobením jiných t�les tento stav zm�nit.

Setrva�nost t�les v praxi: 1. setrva�nost t�les v klidu - rozjížd�ní vozidla, start letadla, každé uvedení t�lesa do pohybu 2. setrva�nost t�les v pohybu - náhlé bržd�ní automobilu, náhlá zm�na sm�ru rychlosti v zatá�ce

Podle prvního pohybového zákona je tedy klid a rovnom�rný p�ímo�arý pohyb ekvivalentní. Oba dva typy pohyb� jsou pohyby s nulovým zrychlením. Vztažné soustavy, v nichž z�stávají izolovaná t�lesa v klidu nebo rovnom�rném p�ímo�arém pohybu (tedy soustavy, v nichž platí první Newton�v zákon), se nazývají inerciální vztažné soustavy. Soustavy, kde první pohybový zákon neplatí, se nazývají neinerciální vztažné soustavy. 2.3 Druhý Newton�v pohybový zákon - zákon síly

Velikost zrychlení hmotného bodu je p�ímo úm�rná velikosti výslednice sil p�sobcích na hmotný bod a

nep�ímo úm�rná hmotnosti t�lesa mF

a � . Sm�r zrychlení je shodný se sm�rem výslednice sil, tedy mF

a

�� .

2.4 T�etí Newton�v zákon - zákon akce a reakce Každá dv� t�lesa na sebe vzájemn� p�sobí stejn� velkými silami opa�ného sm�ru (jedné síle se �íká akce,

druhé reakce). Akce a reakce sou�asn� vznikají a sou�asn� zanikají. Vzhledem k tomu, že každá p�sobí na jiné t�leso, tak se ve svých ú�incích neruší. 2.5 Hybnost hmotného bodu

Hybnost t�lesa je vektorová fyzikální veli�ina definovaná jako sou�in hmotnosti a okamžité rychlosti hmotného bodu:

� �p m v� . . Jednotkou hybnosti je kg m s. . �1 . Sm�r vektoru hybnosti je totožný se sm�rem

vektoru okamžité rychlosti �v . Hybnost charakterizuje pohybový stav t�lesa v dané vztažné soustav�.

Budeme-li hmotnost hmotného bodu považovat za konstantní, pak zápisem ��p budeme rozum�t zm�nu

(p�ír�stek) hybnosti. Pro tuto zm�nu hybnosti pak platí vztah: � � �� p m v m v v� � �. . 2 1 , kde

�v1 je p�vodní

rychlost t�lesa a �v2 je zm�n�ná (nová) rychlost t�lesa.

Vyjád�íme-li nyní p�sobící sílu �

F podle druhého Newtonova zákona, je možné psát: � �

�

F m a mvt

� �. .��

.

Vezmeme-li v úvahu nov� zavedenou veli�inu hybnost, je možné pro sílu �

F psát: �

�

Fpt

��

� - �asová zm�na

hybnosti se rovná p�sobící síle. Takto zapsaný druhý pohybový zákon je obecn�jší, nebo ho lze použít i pro popis d�j�, v nichž se m�ní hmotnost t�les (zm�na hmotnosti dopravních prost�edk� spot�ebou paliva, výrazná je zm�na hmotnosti u raket, z níž unikají plyny p�i raketovém pohonu; …).

P�evedeme-li tuto rovnici na tvar � �� p F t� . , dostaneme na pravé stran� novou vektorovou fyzikální

veli�inu �

F t.� , která se nazývá impuls síly. 2.6 Zákon zachování hybnosti

Izolovaná soustava hmotných bod� (t�les) je soustava, na kterou nep�sobí žádné vn�jší síly. Obecn�ji je možné za izolovanou soustavu považovat soustavu, v níž výslednice všech vn�jších sil p�sobících na soustavu je


11

nulová. Pomocí druhého pohybového zákona tedy platí �

�

�pt

� 0 - �asová zm�na hybnosti je nulová, tj.: Celková

hybnost všech t�les v izolované soustav� se zachovává, tj. zachovává se sm�r i velikost celkové hybnosti. Jinými slovy: Sou�et hybností všech t�les izolované soustavy je stálý: konstpppp n ��

��...21 .

V izolované soustav� platí též zákon zachování hmotnosti: Celková hmotnost izolované soustavy t�les je konstantní. 2.7 Síly brzdící pohyb 2.7.1 Smykové t�ení

je fyzikální jev, který vzniká p�i posouvání (smýkání) jednoho t�lesa po povrchu jiného t�lesa. Jeho p�vod je p�edevším v nerovnosti obou sty�ných ploch, kterými se t�lesa vzájemn� dotýkají. Nerovnosti povrch� p�i posouvání t�les na sebe vzájemn� narážejí, deformují se a obrušují. Tak vzniká t�ecí síla tF

�

, jejíž p�sobišt� je na stykové ploše obou t�les a jejíž sm�r mí�í vždy proti sm�ru rychlostí t�lesa.

Pokusy lze odvodit následující vlastnosti t�ecí síly: 1. velikost t�ecí síly nezávisí na obsahu sty�ných ploch 2. její velikost podstatn� nezávisí na rychlosti

obr. 5

3. její velikost je p�ímo úm�rná velikosti tlakové (normálové) síly nF�

kolmé k podložce, po níž

se t�leso pohybuje: nt FfF .� , kde f je sou�initel smykového t�ení; � � 1�f .

T�ení je v n�kterých p�ípadech užite�né (pohodlná ch�ze, používání pilník�, brusek, �emenic, …), ale v mnoha p�ípadech komplikuje život (opot�ebovávání pneumatik a obuvi, nežádoucí zah�ívání �ástí stroj�, …). V p�ípad�, kdy nám velké t�ení nevyhovuje, je nutno t�ecí sílu snižovat (p�esným vybroušením jednotlivých �ástí stroje, jejich dokonalým promazáním, …).

2.7.2 Valivý odpor vzniká vždy, když se t�leso kruhového pr��ezu (nap�. válec) valí po pevné podložce. P�i valení tvrdého t�lesa po nedokonale pružné podložce dochází

p�sobením normálové tlakové síly nF�

k deformaci podložky. Kdyby byla

podložka dokonale pružná, byla by reakce podložky nF�

� a ležela by na

stejné vektorové p�ímce jako normálová síla nF�

. Následkem deformace se

ale p�sobišt� skute�né reakce 1�F�

posune o vzdálenost � kup�edu. Pro

velikost síly F�

, kterou udržíme t�leso v rovnom�rném p�ímo�arém pohybu,

pak platí �tgFF n .� . Pro malé úhly � je �� sin.�tg . Podle obr. je R

polom�r t�lesa s kruhovým pr��ezem a platí R�

� �sin . Pro velikost síly F�

tedy dostáváme nFR

F .�

� .

obr. 6

Pohybuje-li se tedy t�leso rovnom�rn� p�ímo�a�e, pak velikost odporové síly vF�

, jejíž sm�r je opa�ný ke

sm�ru síly F�

, je nv FR

F .�

� , kde � je rameno valivého odporu; � � m�� .

Za jinak stejných podmínek je odporová síla p�i valení mnohem menší než t�ecí síla p�i smykovém t�ení. Proto se v praxi smýkání nahrazuje valením (nap�. tak, že se dané t�leso podloží n�kolika vále�ky, rourami, …). 2.8 Dost�edivá síla

Podle druhého Newtonova zákona je p�í�inou zrychlení hmotného bodu vždy n�jaká síla, která má stejný sm�r jako zrychlení. V p�ípad� pohybu po kružnici se jedná tedy o sílu dost�edivou dd amF

��

.� , pro jejíž

velikost platí rmr

vmFd .. 2

2

�� . Její sm�r je kolmý na sm�r okamžité rychlosti hmotného bodu. Jejím

pohybovým ú�inkem na hmotný bod je zm�na sm�ru rychlosti hmotného bodu a zak�ivení jeho trajektorie do tvaru kružnice.

P�estane-li dost�edivá síla na t�leso p�sobit, pohybuje se t�leso dále ve sm�ru te�ny ke kružnici (jiskry odlétající od brusného kotou�e; …). P�sobí-li na t�leso, které koná rovnom�rný pohyb po kružnici, více sil, je dost�edivá síla výslednicí všech t�chto sil.


12

2.9 Inerciální vztažné soustavy Zobecn�ním úvah o inerciálních vztažných soustavách dosp�li fyzikové již v 17. století k obecn�

platnému záv�ru, k mechanickému principu relativity (též Galileiho princip relativity): Zákony mechaniky jsou stejné ve všech inerciálních vztažných soustavách. Rovnice, které tyto zákony vyjad�ují, mají stejný tvar.

Všechny inerciální soustavy jsou pro popis mechanických d�j� rovnocenné. Inerciální soustavy jsou takové soustavy, které se v��i sob� pohybují bu rovnom�rným p�ímo�arým pohybem nebo jsou vzájemn� v klidu. 2.10 Neinerciální vztažné soustavy

Pohybuje-li se n�jaká soustava vzhledem k inerciální soustav� jinak než rovnom�rn� p�ímo�a�e (tj. pohybuje se s n�jakým zrychlením) jedná se o soustavu neinerciální. Taková soustava se m�že vzhledem k inerciální vztažné soustav� pohybovat p�ímo�a�e rovnom�rn� zrychlen� (resp. zpomalen�) nebo se m�že otá�et.


13

3. Mechanická práce a mechanická energie 3.1 Mechanická práce

Konání mechanické práce je podmín�no silovým p�sobením na t�leso a pohybem t�lesa.P�sobí-li na t�leso (hmotný bod) konstantní síla velikosti F rovnob�žn� s trajektorií t�lesa a m�že-li se toto t�leso (hmotný bod) pohybovat, je práce vykonaná touto silou po dráze s rovna: W=F.s. Jednotkou práce je jeden joule: � � JmNW �� . .

Svírá-li konstantní síla F�

se sm�rem pohybu t�lesa konstantní úhel � ,

p�sobí ve sm�ru pohybu pouze te�ná složka této síly: tF�

. Složka síly F�

, která

je kolmá na trajektorii t�lesa, práci nekoná. Práci vykonanou silou F�

lze psát ve tvaru: W F s F st� �. . .cos� .

obr. 7

Práce se nekoná v t�chto p�ípadech: 1. t�leso se nepohybuje – je nulová dráha 2. t�leso se pohybuje rovnom�rným p�ímo�arým pohybem – podle druhého pohybového zákona

na t�leso p�sobí nulová síla 3. na t�leso p�sobí síla ve sm�ru kolmém k trajektorii t�lesa – velikost úhlu �� 90� a tedy

0cos �� V závislosti na velikosti úhlu � t�leso práci vykoná nebo spot�ebuje:

1. �� 90;0� , pak 0cos �� a t�leso p�sobící na jiné t�leso silou práci koná. Nap�. táhne-li

chlapec sá�ky za provázek, který svírá s vodorovnou rovinou úhel z daného intervalu, chlapec práci koná.

2. � �� 180;90� , pak 0cos �� a t�leso p�sobící na jiné t�leso silou práci spot�ebovává. Nap�.

t�ecí síla p�sobící v p�edchozím p�íklad� koná zápornou práci, tj. práci spot�ebovává.

obr. 8

obr. 9

obr. 10

Mechanickou práci lze ur�it také graficky, zobrazíme-li závislost velikosti síly, která koná práci, na dráze do pravoúhlého systému sou�adnic (viz první obrázek). Svírá-li tedy síla F

�

se sm�rem pohybu t�lesa úhel � zobrazujeme do grafu pouze její te�nou složku. Práce W vykonaná silou F

�

na dráze 12 sss �� odpovídá obsahu plochy pod k�ivkou, která znázor�uje závislost velikosti síly na dráze. V p�ípad� konstantní síly je grafem závislosti na dráze polop�ímka, a tedy práce vykonaná na dráze 12 sss �� odpovídá obsahu obdélníka. Graf, z n�hož jsme schopni ur�it vykonanou práci, se nazývá pracovní diagram.

Pokud na t�leso p�sobí síla, která není konstantní, rozd�líme dráhu s na takové úseky �s , na nichž je možné považovat sílu za konstantní (viz druhý obrázek). Poté ur�íme elementární práci W� na jednotlivých úsecích délky �s . Tato elementární práce je rovna obsahu obdélníka, jehož jednou stranou je délka jednoho úseku dráhy �s a druhou je velikost síly iF na daném úseku �s : sFW ii �� . . Celkovou práci W (viz t�etí obrázek), kterou vykoná prom�nná síla na dráze s, ur�íme jako sou�et jednotlivých elementárních prací W� :

��

��n

iin sFsFsFsFW

121 ....... .

3.2 Kinetická energie Kinetickou energii mají všechna t�lesa, která se vzhledem k dané vztažné soustav� pohybují. Abychom

uvedli t�leso (hmotný bod) do pohybu, je t�eba vykonat ur�itou práci. Dále budeme p�edpokládat, že na n�j nep�sobí žádné t�ecí a odporové síly.

Odvození ve zkratce: p�sobí-li na hmotný bod stálá síla F�

, ud�lí mu zrychlení mF

a

�� , trajektorií je


14

p�ímka, která má sm�r síly F�

; atv � a 2

21

ats � ; práce, kterou vykoná síla F�

na dráze s je FsW � , tj.

� 222

21

21

21

. mvatmatmaW �� . Práce vykonaná silou F�

je mírou zm�ny kinetické energie: kEW �� .

Kinetická energie hmotného nezávisí na sm�ru rychlosti hmotného bodu. Jestliže se m�ní velikost rychlosti hmotného bodu, m�ní se i velikost kinetické energie hmotného bodu.

Kinetická energie soustavy n hmotných bod�, které mají hmotnosti nmmm ...,,, 21 a velikosti rychlostí

vzhledem k ur�ité vztažné soustav� nvvv ...,,, 21 , je dána sou�tem kinetických energií jednotlivých hmotných

bod�: 2222

211 2

1...

21

21

nnk vmvmvmE �� .

3.3 Potenciální energie Potenciální energii mají t�lesa, která:

1. se nacházejí v silových polích jiných t�les – v tíhovém poli Zem� se jedná o tíhovou potenciální energii

2. jsou pružn� deformovaná – potenciální energie pružnosti, která bude probrána pozd�ji Tíhová potenciální energie a její zm�ny souvisí s prací, kterou vykoná tíhová síla p�i pohybu t�lesa

v tíhovém poli Zem�. Hmotný bod o hmotnosti m padá volným pádem v tíhovém poli Zem� po p�ímce. P�sobí na n�j tíhová

síla GF�

.Vykonaná práce tedy je � 21.. hhmgsFW G �� , 2121 mghmghEEW pp �� .

Bude-li na t�leso p�sobit krom� tíhové síly GF�

ješt� jedna síla stejn� velká, ale opa�n� orientovaná, je možné touto silou t�leso zvedat rovnom�rným pohybem. P�i zvednutí t�lesa do výšky h vykoná tato vn�jší síla práci mghW � , která je rovna p�ír�stku tíhové potenciální energie.

3.4 Mechanická energie Sou�et potenciální a kinetické energie tvo�í celkovou mechanickou energii E t�lesa:

mghmvEEE pk �� 2

21

.

Celková mechanická energie je v izolované soustav� konstantní, pouze dochází k p�em�nám potenciální energie v kinetickou a naopak. Této formulaci se �íká zákon zachování mechanické energie. 3.5 Zákon zachování energie

P�edpoklady izolované soustavy nejsou v praxi spln�ny. Na t�leso p�sobí síly t�ecí, odporové, deforma�ní, …, v d�sledku �ehož dochází ke snižování celkové mechanické energie, což neznamená, že energie m�že vznikat nebo zanikat. Pouze dochází k její p�em�n� na „nemechanické“ formy energie (vnit�ní energie t�lesa, …).

P�i d�jích v p�írod� platí obecn�jší zákon zachování energie, který pat�í k nejd�ležit�jším p�írodním zákon�m: P�i všech d�jích v soustav� t�les se m�ní jedna forma energie v jinou, nebo p�echází energie z jednoho t�lesa na druhé, celková energie soustavy t�les se však nem�ní.

Práce a energie spolu tedy velice úzce souvisí, ale nejedná se o veli�iny stejné. Energie charakterizuje stav soustavy (je to tedy stavová veli�ina), zatímco práce charakterizuje d�j, p�i n�mž nastává zm�na (resp. p�enos) energie. 3.6 Výkon, p�íkon, ú�innost

Pr�m�rný výkon pP je podíl práce W a doby t, za kterou se daná práce vykonala: t

WPp � .

Z tohoto vztahu lze odvodit i jednotku výkonu � � WsJP �� 1. - watt. Práci, kterou vykoná stroj pracující s výkonem pP za dobu t, lze psát ve tvaru tPW p� , tj. jako jednotku práce je možné použít

wattsekundu: JsW 1.1 � . Takže pro dob�e známou kilowatthodinu platí: JkWh 610.6,31 � . Koná-li stroj práci nerovnom�rn�, lze ur�it výkon jako podíl práce W� vykonané za dobu t� a této

doby: t

WP

�

�� . Tento vztah lze u pohybujících se t�les (nap�. automobil�, …) pod vlivem stálé síly upravit

dále: Fvt

tvFtsF

tW

P ��

��

�

��

�

��

.., kde v je velikost okamžité rychlosti t�lesa.

V praxi p�i �innosti stroj� dochází k tomu, že �ást energie se m�ní na nevyužitelnou formu energie (nap�. vlivem t�ení se �ást mechanické energie m�ní na vnit�ní energii, …). Práce, kterou stroj za ur�itou dobu vykoná je tedy vždy menší než energie, kterou stroji dodáme. Podíl této energie E� dodané stroji za dobu t� a

této doby je p�íkon 0P stroje: tE

P�

��0 . Za tutéž dobu vykoná stoj práci W ( EW �� ) a jeho výkon je P.

Podíl výkonu P a p�íkonu 0P je ú�innost � stroje: 0P

P�� . Ú�innost se b�žn� vyjad�uje v procentech.


15

4. Gravita�ní pole 4.1 Newton�v gravita�ní zákon

Vlastnosti gravita�ních sil, jimiž se každá dv� t�lesa p�itahují, studoval a poprvé v 17. století popsal Isaac Newton. Na základ� pozorování pohybu M�síce kolem Zem� a pohybu planet kolem Slunce vyslovil na tehdejší dobu velice odvážnou (revolu�ní) myšlenku, že p�í�inou pohybu t�chto t�les jsou gravita�ní síly. Své poznatky shrnul do jednoho z nejvýznamn�jších p�írodních zákon� – do Newtonova gravita�ního zákona:

obr. 11

Každá dv� t�lesa se vzájemn� p�itahují stejn� velkými gravita�ními silami opa�ného sm�ru. Velikost gravita�ní síly gF

�

pro dv� stejnorodá t�lesa tvaru koule je p�ímo úm�rná sou�inu jejich hmotností 1m a 2m a

nep�ímo úm�rná druhé mocnin� vzdálenosti jejich st�ed�. Platí tedy vztah: 2

21

r

mmFF gg ��

�

, kde

konstantou úm�rnosti je (univerzální) gravita�ní konstanta 2211 ..10.67,6 �� kgmN� . Gravita�ní síla leží na spojnici st�ed� obou t�les.

Uvedený vztah je možné použít i pro nestejnorodá t�lesa jiných než kulových tvar�, jestliže rozm�ry t�les jsou zanedbateln� malé ve srovnání s jejich vzájemnou vzdáleností, tj. pokud lze t�lesa považovat za hmotné body (nap�. dvojice Zem� – M�síc, Zem� – kosmická lo, …). 4.2 Intenzita gravita�ního pole

P�i zkoumání gravita�ního pole a jeho silových ú�ink� �asto pot�ebujeme znát vlastnosti gravita�ního pole v r�zných místech. Velikost gravita�ní síly ale závisí na tom, jaké t�leso k testování gravita�ního použijeme (nap�. kámen v malých výškách, kosmickou sondu ve v�tších výškách, …). Proto zavádíme novou fyzikální veli�inu: intenzita gravita�ního pole K

�

. Intenzita gravita�ního pole K

�

v daném míst� pole je definována jako podíl gravita�ní síly gF�

, která

v tomto míst� p�sobí hmotný bod, a hmotností m tohoto bodu: m

FK g

��

� ; � � 1. �� kgNK . Intenzita gravita�ního

pole je vektorová veli�ina, která má stejný sm�r jako gravita�ní síla p�sobící v daném bod� na hmotný bod. Velikost intenzity gravita�ního pole ve vzdálenosti Rr � od st�edu stejnorodé koule o polom�ru R a

hmotnosti M je: 2r

Mm

FK g �

�� . (Velikost intenzity gravita�ního pole uvnit� koule se op�t zmenšuje a v jejím

st�edu je nulová.)

4.2.1 Centrální gravita�ní pole Vzhledem k tomu, že gravita�ní síla mí�í vždy do st�edu t�lesa, pak mí�í do st�edu t�lesa i intenzita

gravita�ního pole. Taková pole se nazývají centrální gravita�ní pole. Centrální gravita�ní pole je kolem každého stejnorodého t�lesa tvaru koule a v okolí hmotného bodu. Centrální gravita�ní pole je také okolo Zem�, kterou lze považovat za stejnorodou kouli.

Centrální gravita�ní pole je prostorov� neohrani�ené. Vzhledem k závislosti na p�evrácené hodnot� druhé mocniny vzdálenosti je gravita�ní pole ve v�tších vzdálenostech od gravita�ního st�edu velmi slabé. P�sobí-li v jednom míst� gravita�ní pole více t�les (nap�. Zem� a M�síc, …), jejich intenzity se vektorov� s�ítají.

4.2.2 Homogenní gravita�ní pole Sledujeme-li pohyb n�jakého t�lesa v oblastech blízko povrchu Zem�, m�žeme použít jistého

zjednodušení. V nevelkých vzdálenostech od povrchu Zem� (a na malém území) se totiž intenzita gravita�ního pole m�ní velice nepatrn� (co do velikosti i sm�ru), že je možné jí považovat za konstantní (op�t jak co do velikosti, tak co do sm�ru). Tento model gravita�ního pole, které má ve všech místech stejnou intenzitu K

�

, se nazývá homogenní gravita�ní pole.

Úvaha byla provedena pro Zemi, ale stejným zp�sobem lze zavést homogenní gravita�ní pole v okolí libovolného t�lesa, u n�hož je možné považovat vektor intenzity gravita�ního pole za konstantní. 4.3 Gravita�ní a tíhové zrychlení

Intenzitu gravita�ního pole je m

FK g

��

� , což je podle druhého Newtonova zákona vyjád�ení zrychlení

m

Fa g

�

�� . Toto zrychlení udílí hmotnému bodu s hmotností m gravita�ní síla gF

�

, jedná se tedy o gravita�ní

zrychlení ga�

. Intenzita gravita�ního pole v daném míst� pole se rovná gravita�nímu zrychlení, které

v tomto míst� ud�luje t�lesu (hmotnému bodu) gravita�ní síla, tedy gaK��

� .


16

Vztahy, které platí pro intenzitu gravita�ního pole v ur�ité výšce nad povrchem Zem�, tedy platí i pro gravita�ní zrychlení. Souhlasí i jednotky gravita�ního zrychlení a intenzity gravita�ního pole.

Zatím jsme považovali zemský povrch za inerciální soustavu. Ve skute�nosti Zem� rotuje kolem své osy stálou úhlovou rychlostí , takže na všechny body p�i povrchu Zem�, které neleží na ose rotace, p�sobí krom�

gravita�ní síly gF�

, sm��ující do st�edu Zem�, ješt� síla odst�edivá oF�

, sm��ující kolmo od osy otá�ení.

Výslednicí t�chto sil je síla tíhová GF�

: ogG FFF��

�� .

P�sobením tíhové síly GF�

se pohybuje voln� pušt�né t�leso volným

pádem se zrychlením g�

, které se nazývá tíhové zrychlení. Prostor p�i povrchu Zem�, v n�mž se projevují ú�inky tíhové síly se

nazývá tíhové pole Zem�. Tíhová síla nemá na všech místech zemského povrchu stejnou velikost,

protože se m�ní velikost síly odst�edivé. Pro její velikost platí: cos22

Zo RmrmF �� , kde r je vzdálenost daného místa od osy rotace,

ZR polom�r Zem� a zem�pisná ší�ka místa na povrchu Zem�. Omezíme-li se na malou oblast povrchu Zem� a nep�íliš velké výšky nad

jejím povrchem, je možné považovat tíhové zrychlení g�

za konstantní. Pak hovo�íme o homogenním tíhovém poli Zem�.

obr. 12

4.4 Tíha a tíhová síla Od veli�iny tíhová síla GF

�

odlišujeme veli�inu tíha t�lesa G�

. Zásadní

rozdíl, který ob� veli�iny odlišuje, je v jejich vzniku. Tíhová síla GF�

vzniká

p�sobením tíhového pole Zem� na dané t�leso, zatímco tíha G�

vyjad�uje p�sobení t�lesa umíst�ného v tíhovém poli Zem� na jiná t�lesa. Tíha t�lesa se projevuje jako tlaková síla p�sobící na vodorovnou podložku nebo jako tahová síla napínající záv�s.

Ob� veli�iny se také liší ve svém p�sobišti. P�sobišt� tíhové síly klademe do t�žišt� t�lesa, p�sobišt� tíhy leží na stykové ploše t�lesa s podložkou nebo v bod� záv�su. V daném míst� nad povrchem Zem� jsou ale ob� veli�iny stejné (mají stejný sm�r i velikost).

obr. 13 Projevuje-li se ú�inek tíhy daného t�lesa na jiné t�leso, je t�leso ve stavu tíže. Vymizí-li tento ú�inek, jde

o stav beztíže (beztížný stav) - volný pád, vrch libovolným sm�rem v homogenním tíhovém poli Zem�, … 4.5 Pohyby t�les v homogenním tíhovém poli Zem�

Jde o pohyby t�les, jejichž trajektorie jsou vzhledem k rozm�r�m Zem� natolik malé, že tíhové pole, v n�mž se t�lesa pohybují, lze považovat za homogenní. Dále p�edpokládáme, že na t�leso nep�sobí žádná jiná síla (odpor vzduchu, …) krom� síly tíhové. Pohyby budeme sledovat v soustav� spojené se Zemí.

4.5.1 Volný pád Jedná se nejjednodušší pohyb v homogenním tíhovém poli Zem�. Volný pád je pohyb rovnom�rn�

zrychlený s nulovou po�áte�ní rychlostí a se zrychlením rovným tíhovému zrychlení g�

. Jeho charakteristikami

je velikost okamžité rychlosti v a dráha v �ase t po zapo�etí pohybu: v=gt a 2

21

gts � .

4.5.2 Vrhy t�les Jedná se o pohyby, které vznikají složením dvou pohyb�: volného pádu a rovnom�rného p�ímo�arého

pohybu s po�áte�ní rychlostí 0v�

. Jednotlivé vrhy rozd�lujeme podle sm�ru po�áte�ní rychlosti 0v�

.

4.5.2.1 Svislý vrh vzh�ru Tento pohyb koná t�leso, které je vrženo po�áte�ní rychlostí 0v

� svisle vzh�ru, tj. ve sm�ru opa�ném než

je sm�r tíhového zrychlení. Sm�rem vzh�ru se jedná o pohyb rovnom�rn� zpomalený – velikost okamžité rychlosti v

� se postupn� zmenšuje (sm�r se zachovává) a p�i dosažení nejvyššího bodu trajektorie, kde se t�leso

na okamžik zastaví, je rovna nule. Poté se t�leso vrací zp�t volným pádem k zemi.

Doba výstupu t�lesa do maximální výšky: gv

tv0� , výška vrhu je:

gv

gttvh vv 221 2

020 �� , doba volného

pádu zp�t na zem je: vd tgv

gh

t �� 02. Velikost rychlosti dopadu dv je: 0

0 vg

vggtgtv vdd �� .


17

4.5.2.2 Vodorovný vrh koná t�leso, jemuž ud�líme po�áte�ní rychlost 0v

� ve sm�ru vodorovném.

Výsledný pohyb vzniká složením volného pádu a rovnom�rného p�ímo�arého pohybu ve sm�ru vodorovném. Jeho trajektorií je �ást paraboly, jejíž vrchol je v míst� vrhu.

Sou�adnice bodu B, v n�mž se t�leso nachází za dobu t od okamžiku vrhu

jsou: tvx 0� a 2

21

gthy �� . Nejv�tší vzdálenost od místa vrhu m��ená ve

vodorovné rovin� se nazývá délka vrhu d.

Doba pohybu t�lesa je gh

t d2

� , délka vrhu je: gh

vd2

0� .

obr. 14

4.5.2.3 Vrh šikmý Tímto typem pohybu se pohybuje t�leso, jemuž ud�líme po�áte�ní rychlost 0v

�, jejíž sm�r svírá

s vodorovnou rovinou eleva�ní úhel � . Op�t dochází ke skládání rovnom�rného p�ímo�arého pohybu ve sm�ru po�áte�ní rychlosti 0v

� a volného pádu. Trajektorií tohoto pohybu je parabola, jejíž vrchol leží v nejvyšším bod�

trajektorie. Složky rychlosti do jednotlivých os mají (v �ase t po za�átku pohybu) velikost: x-ová složka �cos0vv x � a y-ová složka gtvv y �� sin0 .

Sou�adnice bodu B, v n�mž se t�leso nachází v dob� t po za�átku pohybu, jsou: �cos0tvtvx x �� a

20 2

1sin gttvy �� . Doba pohybu t�lesa (�as dopadu

dt ) je g

vt d

�sin2 0� , délku vrhu je

gv

gv

d�� 2sincossin2 2

020 �� a maximální výšku

výstupu (bod H) g

vh

2sin 22

0 �� .

obr. 15

4.6 Pohyb t�les v centrálním gravita�ním poli P�i pohybech raket, družic …, jejichž trajektorie zasahují do velkých výšek od povrchu Zem� (resp. se

jedná o pohyb na dlouhé vzdálenosti), již není možné považovat intenzitu gravita�ního pole K�

za konstantní. Pro kosmonautiku mají velký význam pohyby, p�i nichž je t�lesu ud�lena po�áte�ní rychlost 0v

� ve

sm�ru kolmém k vektoru intenzity gravita�ního pole K�

. Na výpo�et nejjednodušší je uvažovat takovou velikost po�áte�ní rychlosti 0v , p�i níž se t�leso pohybuje kolem Zem� po kružnici, jejíž st�ed leží ve st�edu Zem�. Tuto

rychlost potom nazýváme kruhovou a zna�í se kv�

.

Pohybuje-li se t�leso o hmotnosti m kolem Zem�, jejíž polom�r je ZR a hmotnost ZM , ve výšce h nad

jejím povrchem, p�sobí na n�j Zem� gravita�ní silou gF�

o velikosti � 2hR

mMF

Z

Zg

�� . Pohyb t�lesa po

kružnici zp�sobuje dost�edivá síla dF�

, která je realizována silou gravita�ní a jejíž velikost je

hRv

mmaFZ

kdd �

��2

. Dále platí gd FF � , z �ehož lze odvodit vztah pro velikost kruhové rychlosti

hRM

vZ

Zk �

��

.

4.6.1 První a druhá kosmická rychlost Budeme-li uvažovat pohyb t�lesa v t�sném blízkosti povrchu Zem� (tj. ZRh« ) a zanedbáme-li odpor

vzduchu, redukuje se vztah pro velikost kruhové rychlosti na tvar Z

Zk R

Mv

�� .

Dosadíme-li hodnoty pro povrch Zem� ( kgM Z2410.98,5� , kmRZ 6378� ) dostáváme 1

..9,7 �� skmvk . Tato

velikost kruhové rychlosti se nazývá první kosmická rychlost. Touto rychlostí musíme vyslat v blízkosti povrchu Zem� t�leso, aby se kolem ní pohybovalo po kružnici.


18

Pokud budeme velikost po�áte�ní rychlosti 0v�

, která je ud�lena t�lesu v dané výšce h nad povrchem Zem�, zvyšovat, p�i velikosti po�áte�ní rychlosti

22

0 kZ

Zp v

hRM

vv ��

��

se t�leso za�ne trvale

vzdalovat od Zem� a bude se pohybovat po parabole. Proto se rychlost pv

� nazývá parabolická (úniková). Pro výšky,

které jsou zanedbatelné vzhledem k polom�ru Zem�,

vychází 1.

.2,11 �� skmv p . Tato velikost parabolické

rychlosti se nazývá druhá kosmická rychlost. Ud�líme-li t�lesu tuto po�áte�ní rychlost, odpoutá se sice z gravita�ního pole Zem�, ale z�stává nadále v gravita�ním poli Slunce a stává se družicí Slunce.

obr. 16

Na velikosti po�áte�ní rychlosti 0v�

, kterou ud�líme hmotnému bodu ve výšce h nad povrchem Zem� a

jejíž sm�r je kolmý na sm�r intenzity gravita�ního pole K�

, závislí jeho trajektorie: 1. 00 �v - trajektorií je úse�ka, jde se o volný pád. Hmotný bod padá zp�t na Zem.

2. kvv �0 - trajektorií hmotného bodu je �ást elipsy a hmotný bod se vrací zp�t na Zem.

3. kvv �0 - trajektorií hmotného bodu je kružnice. Hmotný bod se na Zem se samovoln� nevrací.

4. pk vvv �� 0 - hmotný bod se pohybuje kolem Zem� po elipse.

5. pvv �0 - hmotný bod se pohybuje po parabole. Znamená to, že se za�íná trvale vzdalovat od

Zem�. M�že být ovšem zachycen hmotn�jšími planetami (nap�. Jupiter) nebo Sluncem. 6. hvv �0 - trajektorií hmotného bodu je hyperbola. V tomto p�ípad� hmotný bod opouští

Slune�ní soustavu. 4.7 Pohyby t�les v gravita�ním poli Slunce 4.7.1 Elipsa

Elipsa pat�í mezi kuželose�ky, což jsou k�ivky, které lze získat jako pr�nik plášt� kužele a roviny. Elipsa konkrétn� je definována jako množina bod�, které mají od dvou zadaných bod� (ohnisek) 1F a 2F konstantní

sou�et vzdáleností: konstaXFXFRX �� 2: 212 . Mezi hlavní charakteristiky elipsy pat�í:

1. st�ed elipsy S 2. vrcholy A, B, C, D

3. hlavní poloosa SBASa ��

4. vedlejší poloosa SDCSb ��

5. excentricita (výst�ednost) elipsy 22

21 baSFSF ��

6. numerická (�íselná) excentricita elipsy a

e�

�

obr. 17

4.7.2 První Kepler�v zákon Planety se pohybují kolem Slunce po elipsách málo odlišných od kružnic, v jejichž spole�ném ohnisku je

Slunce. Vzhledem k tomu, že se eliptické trajektorie planet málo

liší od kružnic, je numerická excentricita malá (pro kružnici e=0) - Zem�: e=0,0167, Venuše: e=0,0068, …

Vrchol elipsy P, v n�mž je planeta ke Slunci nejblíže se nazývá perihélium (p�ísluní), vrchol A, v n�mž je planeta od Slunce nejdále se nazývá afélium (odsluní). P�i pohybu t�les kolem Zem� (nap�. M�síce) se bod P nazývá perigeum (p�ízemí), bod A apogeum (odzemí).

obr. 18


19

4.7.3 Druhý Kepler�v zákon Obsahy ploch opsaných pr�vodi�em planety za

jednotku �asu jsou konstantní. (Plošná rychlost tS

w�

��

pohybu planet je konstantní.) Vzhledem k tomu, že se vzdálenost planety od Slunce

m�ní, zavádí se st�ední vzdálenost planety od Slunce, která je rovna délce hlavní poloosy a.

obr. 19

4.7.4 T�etí Kepler�v zákon Pom�r druhých mocnin ob�žných dob 1T a 2T dvou planet se rovná pom�ru t�etích mocnin hlavních

poloos 1a a 2a jejich trajektorií. Zápis 3. Keplerova zákona tedy je následující: 32

31

22

21

a

a

T

T� . ( 1a a 2a lze chápat

jako st�ední vzdálenosti p�íslušných planet od Slunce.) V tomto tvaru platí t�etí Kepler�v zákon za p�edpokladu, že hmotnosti planet jsou zanedbateln� malé ve

srovnání s hmotností Slunce, což je u v�tšiny planet dob�e spln�no. Vzhledem k velkým vzdálenostem objekt� ve Slune�ní soustav�, byla zavedena nová jednotka délky:

astronomická jednotka (1 AU), která se definuje jako st�ední vzdálenost Zem� od Slunce, tj. kmAU 610.6,1491 � .


20

5. Mechanika tuhého t�lesa 5.1 Základní pojmy

Tuhé t�leso je ideální t�leso, jehož tvar ani objem se nem�ní ú�inkem libovoln� velkých sil. Je ur�eno hmotností m a geometrickými rozm�ry. Tvo�í ho soustava vzájemn� pevn� vázaných hmotných bod�.

Každý pohyb tuhého t�lesa si lze p�edstavit jako pohyb složený z pohybu: 1. posuvného (translace) – p�i n�m se všechny body t�lesa pohybují stejnou rychlostí po vzájemn�

rovnob�žných trajektoriích 2. otá�ivého (rotace) – p�i n�m se všechny body t�lesa pohybují se stejnou úhlovou rychlostí po

soust�edných kružnicích, jejichž st�edy leží na okamžité ose otá�ení. V praxi dochází ke skládání obou pohyb� v jeden – valící se kolo, Zem� p�i svém pohybu kolem Slunce,

… 5.2 Moment síly vzhledem k ose otá�ení

Otá�ivý ú�inek síly na dané t�leso závisí na velikosti síly, jejím sm�ru a na poloze jejího p�sobišt�. Otá�ivý ú�inek síly na dané t�leso vyjad�uje fyzikální veli�ina moment síly vzhledem k ose otá�ení. Jedná se o

vektorovou veli�inu, jejíž velikost je dána vztahem: M M Fd Fr� � ��

sin� , kde d r� sin� je rameno síly,

tj. vzdálenost vektorové p�ímky, na níž leží síla F�

, od osy otá�ení, F velikost p�sobící síly a r pr�vodi�. Moment síly leží v ose otá�ení. Vektorov� lze moment síly vzhledem k ose otá�ení psát ve tvaru:

� � �

M r F� � . Platí: � � mNM .� .

Sm�r momentu sil lze ur�it podle pravidla pravé ruky: Položíme-li prsty pravé ruky na t�leso tak, aby prsty ukazovaly sm�r síly zp�sobující otá�ení, ukáže odtažený palec sm�r momentu síly.

Pro praktické po�ítání se zavádí znaménková dohoda: zp�sobuje-li síla otá�ení t�lesa ve sm�ru hodinových ru�i�ek, má daný moment síly znaménko záporné. V opa�ném p�ípad� je kladný.

P�sobí-li na t�leso více sil, je jejich celkový otá�ivý ú�inek ur�en výsledným momentem nMMMM

��

�� ...21 . Momentová v�ta: Otá�ivý ú�inek sil p�sobících na tuhé

t�leso otá�ivé kolem nehybné osy se ruší, jestliže vektorový sou�et moment� všech sil vzhledem k ose otá�ení je nulový vektor.

obr. 20

5.3 Skládání sil Skládat síly

�F1 a

�F2 znamená nahradit je jednou silou

�

F , která má t�leso stejný otá�ivý ú�inek. Pro

výslednou sílu pak platí: � � �F F F� �1 2 .

5.3.1 R�znob�žné síly Nep�sobí-li r�znob�žné síly

�F1 a

�F2 ve stejném p�sobišti, je nutno nejprve ur�it spole�né p�sobišt� P:

ob� síly posuneme po vektorových p�ímkách do spole�ného pr�se�íku (p�sobišt�). Takto posunuté síly �F �1 a

�F � 2 složíme pomocí rovnob�žníku sil:

� � �F F F� � � � �1 2 . Výslednici lze po vektorové p�ímce op�t posunout.

5.3.2 Rovnob�žné síly ležící na spole�né vektorové p�ímce a) souhlasn� orientované

obr. 21

b) nesouhlasn� orientované

obr. 22

5.3.3 Rovnob�žné síly ležící na r�zných vektorových p�ímkách a) rovnob�žné síly souhlasn� orientované b) rovnob�žné síly opa�n� orientované

obr. 24


21

obr. 23

5.4 Dvojice sil jsou dv� síly, které jsou rovnob�žné, stejn� velké, opa�n� orientované a nemají spole�nou vektorovou

p�ímku. Nemají výslednici, zp�sobují otá�ivý pohyb. první obrázek: rFM .11 � , rFM .22 � ,

velikost výsledného momentu D�

je: FdrFMMD �� 2.21 ( FFF �� 21 )

druhý obrázek: � xdFM �� .11 , xFM .22 �� , velikost výsledného momentu

D�

je: dFMMD .21 �� ( FFF �� 21 ) d je rameno dvojice sil.

obr. 25

obr. 26

5.5 Jednoduché stroje Jednoduché stroje jsou za�ízení p�enášející sílu a mechanický pohyb z jednoho t�lesa na druhé. P�itom

umož�ují m�nit sm�r síly, její p�sobišt� a znásobovat její velikost, �ímž usnad�ují konání mechanické práce. Jednoduché stroje d�líme na stroje založené na:

1. rovnováze moment� sil – tedy t�lesa otá�ivá kolem pevné osy: páka, kladka, kolo na h�ídeli 2. rovnováze sil – naklon�ná rovina, klín a šroub

Dále p�edpokládáme, že pracují bez t�ení a sou�asn� nebudeme uvažovat jejich hmotnost.

5.5.1 Páka jednozvratná Páka je ty� oto�ná kolem pevné osy. Jednozvratná páka je taková, kdy b�emeno i pracovní síla p�sobí na

stejné stran� od osy otá�ení. Velikost výsledného momentu platí: ABFBOFAOFMMM ... 2121 �� .

Na principu páky pracuje nap�. kole�ko, otvírák na láhev (piva), louská�ek na o�echy, ...

obr. 27


22

5.5.2 Páka dvojzvratná Dvojzvratná páka je páka, kdy b�emeno a pracovní síla p�sobí na

opa�ných stranách od osy otá�ení. Pro velikost výsledného momentu sil p�sobících na páce platí: ABFBOFAOFMMM ... 2121 ��

Na principu dvojzvratné páky pracují nap�. klešt�, n�žky, houpa�ka, zvedání kamene „p�es špalek“, ...

obr. 28

5.5.3 Pevná kladka Pevná kladka je spojit� pracující rovnoramenná dvojzvratná

páka, která m�ní pouze sm�r síly. Velikost síly z�stává nezm�n�ná.

5.5.4 Volná kladka Volná kladka pracuje jako jednozvratná páka, jejíž ramena

mají velikost r a 2r. Umož�uje zvedat t�lesa polovi�ní silou, než je

tíha t�lesa, tedy 22

1F

F � . Spojením volné a pevné kladky (resp.

n�kolika volných a n�kolika pevných kladek) vzniká kladkostroj.

obr. 29 obr. 30

5.5.5 Kolo na h�ídeli Jde op�t o spojit� pracující dvojzvratnou páku, jejíž ramena tvo�í polom�r h�ídele 2r a polom�r kola 1r .

P�íkladem m�že být i rumpál používaný d�íve u studní, u n�hož je kolo nahrazeno klikou.

5.5.6 Naklon�ná rovina Na t�leso p�sobí tíha

�

G , kterou je možné rozložit do dvou sm�r� - kolmého k naklon�né rovin� (síla

�Fn - normálová)

a rovnob�žného s naklon�nou rovinou (ve sm�ru pohybu - síla

�Fp ). Pro velikosti

t�chto sil je možné psát: F Gn � . cos� a F Gp � . sin� . T�leso je na naklon�né

rovin� v rovnováze, p�sobí-li n� n�j síla �

F , jejíž velikost je stejná jako velikost síly �Fp , ale má opa�ný sm�r.

obr. 31

obr. 32 5.6 T�žišt� t�lesa

T�žišt� tuhého t�lesa je tedy p�sobišt� tíhové síly, která p�sobí na t�leso v homogenním tíhovém poli. Jeho poloha je dána rozložením látky v t�lese. T�žišt� stejnorodých t�les, která mají st�ed soum�rnosti, leží v tomto st�edu. Má-li stejnorodé t�leso osu soum�rnosti (symetrie), leží t�žišt� na této ose. T�žišt� m�že ležet i mimo látku t�lesa (dutá t�lesa, prstence, podkovy, ohnutý drát, …).

Ur�ování t�žišt� lze provád�t bu experimentáln� a nebo výpo�tem. Sta�í si uv�domit, že celkový moment sil p�sobících na dané t�leso vzhledem k t�žišti musí být roven nule (tj. podep�eme-li t�leso v t�žišti, z�stává v rovnováze).

T�žišt� soustavy n hmotných bod� lze ur�it pomocí sou�adnic jednotlivých bod� a jejich hmotností:

xx m x m x m

m m mTn n

n�

� � �

� � �1 1 2 2

1 2

..... .

. Pro yT a zT dostaneme analogické vztahy.

5.7 Rovnovážné polohy tuhého t�lesa 1. poloha stálá (stabilní) - bod upevn�ní je nad t�žišt�m. Po vychýlení t�lesa se t�leso vrací zp�t do

rovnovážné polohy. P�i vychýlení t�lesa se zv�tšuje jeho potenciální energie. 2. poloha vratká (labilní) - bod upevn�ní je pod t�žišt�m. Po vychýlení t�lesa vzniká výchylka, která

se zv�tšuje a t�leso se samo do rovnovážné polohy nevrátí. Zv�tšování výchylky zp�sobuje tíhová síla. P�i vychýlení se zmenšuje potenciální energie t�žišt�.

3. poloha volná (indiferentní) - t�leso je upevn�no v t�žišti. Po vychýlení t�lesa z�stává t�leso v nové poloze – výchylka se nezv�tšuje ani nezmenšuje. Potenciální energie t�žišt� je stálá.


23

T�leso na vodorovné rovin� m�že být v rovnovážné poloze stálé, je-li podep�eno alespo� t�emi body, které neleží v jedné p�ímce, a protíná-li svislá t�žnice plochu vymezenou podp�rnými body.

Stabilita t�lesa je ur�ena prací, kterou je nutno vykonat, abychom t�leso p�emístili z rovnovážné polohy stálé do rovnovážné polohy vratké, p�i�emž t�žišt� t�lesa vystoupí o výšku r h� (h je p�vodní výška t�žišt� a r vzdálenost t�žišt� od bodu otá�ení):

� W G r h� � . obr. 33

5.8 Kinetická energie tuhého t�lesa P�i posuvném pohybu tuhého t�lesa je jeho celková kinetická energie rovna sou�tu kinetických energií

jeho jednotlivých bod�. Všechny body t�lesa stejnou rychlostí, tedy � 221

2

21

...21

mvmmmvE nk �� .

P�i otá�ivém pohybu tuhého t�lesa kolem nehybné osy se všechny body pohybují po kružnicích, jejichž st�edy leží na ose otá�ení, stejnou úhlovou rychlostí . Kinetickou energii t�lesa ur�íme op�t jakou sou�et kinetických energií jednotlivých bod� t�lesa. Tedy m�žeme psát:

�� 222222

2211

2222

211 2

1...

21

21

21

...21

21

nnnnk rmrmrmvmvmvmE

� 2222

211

2 ...21

nnrmrmrm ��

P�i otá�ení tuhého t�lesa kolem nehybné osy závisí jeho kinetická energie jednak na velikosti úhlové rychlosti, jednak na hmotnostech jednotlivých bod� a jejich vzdálenostech od osy otá�ení. Kinetická energie tedy závisí na rozložení látky v daném t�lese. Rozložení látky v t�lese vzhledem k ose rotace vyjad�uje fyzikální veli�ina moment setrva�nosti J tuhého t�lesa vzhledem k ose otá�ení, který je definován vztahem

2222

211 ... nn rmrmrmJ �� . Jednotkou momentu setrva�nosti je 2.mkg .

Kinetická energie tuhého t�lesa otá�ejícího se kolem nehybné osy úhlovou rychlostí je dána vztahem

2

21

JEk � , kde J je moment setrva�nosti vzhledem k dané ose otá�ení.

Koná-li t�leso sou�asn� posuvný pohyb a otá�ivý pohyb kolem osy procházející t�žišt�m t�lesa, je

kinetická energie dána sou�tem energie posuvného a otá�ivého pohybu: 20

2

21

21

JmvEk �� , kde 0J je

moment setrva�nosti vzhledem k ose jdoucí t�žišt�m t�lesa. 5.9 ***P�ehled moment� setrva�nosti n�kterých t�les

Momenty setrva�nosti jsou uvád�ny vzhledem k ose rotace, která je zárove� osou symetrie t�lesa hmotnosti m. R zna�í polom�r t�les (resp. jejich podstav) s výjimkou ty�e, kde R p�edstavuje její délku.

ty� (rotuje kolem osy symetrie kolmé k ty�i) J R m�

112

2

obru� J R m� 2 kruhová deska

J R m�12

2

válec J R m�

12

2

pláš tenkost�nného válce J R m� 2 koule

J R m�25

2

kužel 3J

102R m�


24

6. Mechanika kapalin a plyn� 6.1 Vlastnosti kapalin a plyn�

Základní vlastností kapalin a plyn� je jejich tekutost, jejíž p�í�inou je snadná vzájemná pohyblivost �ástic, z nichž se kapalná a plynná t�lesa skládají. Proto nemají stálý tvar.

Vlastnosti kapalin (kapalných t�les): zachovávají si stálý objem a to i p�i zm�n� tvaru nádoby; jsou-li v klidu, vytvá�ejí v tíhovém poli Zem� volný vodorovný povrch (volnou hladinu); nejsou prakticky stla�itelné - díky vzájemným odpudivým silám mezi molekulami kapaliny, které zabra�ují jejich vzájemnému p�iblížení; kapaliny se mezi sebou liší r�zným vnit�ním t�ením (viskozitou).

Vlastnosti plyn� (plynných t�les): nemají stálý tvar ani objem, proto nevytvá�ejí ani volný povrch, tvar a objem plynného t�lesa je dán tvarem a objemem nádoby, v níž se plyn nachází; na rozdíl od kapalin jsou velmi dob�e stla�itelné (nap�. hušt�ní kol, …).

tekutiny - souhrnné ozna�ení pro kapaliny a plyny ideální (dokonalá) kapalina - dokonale nestla�itelná kapalina bez vnit�ního t�ení (vliv na tekutost) ideální (dokonalý) plyn - dokonale stla�itelný a op�t bez vnit�ního t�ení

6.2 Tlak tekutin P�sobí-li síla o velikosti F kolmo na plochu o obsahu S, vyvolá uvnit� tekutiny tlak p definovaný

vztahem pFS

� ; � � PamNp �� 2. (pascal).

Je-li v ur�itém míst� kapaliny tlak p, pak na libovoln� orientovanou rovinnou plochu, která je v tomto míst� ve styku s kapalinou, p�sobí kolmá tlaková síla o velikosti F p S� . .

6.2.1 Tlak vyvolaný vn�jší silou Pascal�v zákon: Tlak vyvolaný vn�jší silou p�sobící na povrch tekutiny v uzav�ené nádob� je ve všech

místech tekutiny stejný.

6.2.2 Hydraulická a pneumatická za�ízení jsou za�ízení, které na základ� Pascalova zákona m�ní pom�r p�sobících tlakových sil - nap�. zuba�ské

k�eslo, otvírání dve�í v autobusu, … Kapalina je v nádob�, která je opat�ena dv�ma písty o obsahu

ploch S1 a S2 . Síla o velikosti F1 vyvolává p�i kolmém p�sobení na

píst o ploše S1 v kapalin� tlak pFS

� 1

1. Tento tlak je podle Pascalova

zákona stejný v celém objemu kapaliny, proto p�sobí na píst o ploše

S2 síla o velikosti F p SFS

S2 21

12� �. . Je-li S S1 2< , pak je F F1 2< .

obr. 34

6.3 Tlak vyvolaný tíhovou silou 6.3.1 Kapaliny

V tíhovém poli p�sobí na všechny �ástice kapalného t�lesa tíhová síla. Výsledkem tohoto p�sobení je hydrostatická tlaková síla hF

�

, kterou p�sobí kapalina na dno a st�ny nádob, na t�lesa pono�ená do kapaliny, …

Kapalina hustoty � je v nádob�. V hloubce h pod hladinou je vodorovná ploška o obsahu S (nap�. dno nádoby). Hmotnost sloupce vody nad touto zvolenou ploškou je m V h S� �� . . . , velikost tíhové síly tohoto sloupce vody tedy je F mg hSg� � � . Její velikost nezávisí na tvaru nádoby a objemu vody. Tento jev se nazývá hydrostatické paradoxon.

obr. 35 Tlak vyvolaný touto silou se nazývá hydrostatický tlak hp . V hloubce h pod volným povrchem kapaliny

o hustot� � je dán vztahem: ghS

Fp h

h �� . Místa o stejném hydrostatickém tlaku se nazývají hladiny.

Hladina o nulovém hydrostatickém tlaku je na volném povrchu kapaliny a nazývá se volná hladina. Pomocí hydrostatického tlaku vysv�tlujeme podstatu spojených nádob: volná hladina spojených nádob

je ve všech ramenech ve stejné výšce h nezávisle na jejich tvaru. Je to dáno tím, že u dna všech ramen je stejný hydrostatický tlak a proto musí být stejná i výška vodního sloupce nad dnem (p�i konstantním � a g).

Naplníme-li spojené nádoby kapalinami o r�zných hustotách 1� a 2� ustálí se volné hladiny navzájem se nemísících kapalin ve výškách 1h a 2h . Kapaliny jsou v obou ramenech v rovnováze, jsou-li hydrostatické tlaky v míst� spole�ného rozhraní

obou kapalin stejné: 2

1

2

1221121 �

��

hh

ghghpp .


25

obr. 36

6.3.2 Plyny (vzduch) Výsledkem p�sobení tíhové síly na jednotlivé �ástice atmosféry je atmosférická tlaková síla aF

�

, která p�sobí na všechna pozemská t�lesa a na celý povrch Zem�. Tlak vyvolaný atmosférickou silou se nazývá atmosférický tlak ap . S rostoucí nadmo�skou výškou se zmenšuje. Není možné ale použít analogického vztahu jako pro kapaliny, protože hustota vzduchu není konstantní, ale s výškou snižuje. Normální atmosférický tlak je hPapn 25,1013� .

6.4 Vztlaková síla v tekutinách Síla, která t�lesa v kapalin� nadleh�uje, se nazývá vztlaková síla vzF

�

a má opa�ný sm�r než síla tíhová. Vztlaková síla vzniká jako výslednice hydrostatických sil p�sobících na povrch t�lesa v kapalin� v klidu.

V kapalin� o hustot� � je pono�ený kvádr o obsahu podstavy S a výšce a tak, že dv� st�ny jsou rovnob�žné s hladinou. Na n�j p�sobí hydrostatická tlaková síla, p�i�emž ú�inky tlakových sil na bo�ní st�ny se ve svých ú�incích ruší a z�stává jen síla 1F

�

p�sobící svisle dol� na horní podstavu a síla 2F�

p�sobící svisle vzh�ru na podstavu dolní (protože horní podstava je v menší hloubce než dolní, je F F1 2< ). Pro

velikosti t�chto sil platí: F h g S1 � . . .� , � F h a g S2 � � . . .� . Vzhledem k tomu, že

F F1 2< , mí�í výslednice t�chto sil svisle vzh�ru. Tato výslednice je hydrostatická vztlaková síla a pro její velikost platí: VggSaFFFvz �� 12 , tedy velikost vztlakové síly je p�ímo úm�rná hustot� � kapaliny (tekutiny) a objemu V pono�eného t�lesa.

obr. 37

Dále je GmgVgFvz �� : velikost vztlakové síly se rovná tíze kapaliny o objemu pono�eného t�lesa. Archiméd�v zákon: T�leso pono�ené do tekutiny je nadleh�ováno vztlakovou silou, jejíž velikost se rovná tíze kapaliny stejného objemu, jako je objem pono�ené �ásti t�lesa.

6.4.1 Plování t�les Na t�leso o objemu V a hustot� � T (zcela nebo �áste�n�) pono�ené do kapaliny o hustot� � p�sobí

výsledná síla, jejíž velikost je VgVgVgFFF TTvzG �� . Mohou nastat t�i p�ípady:

1. �� >T - t�leso klesá ke dnu, výslednice F�

mí�í dol� (kovový p�edm�t, …)

2. �� T - t�leso se v kapalin� vznáší, výslednice F�

je nulová (t�la ryb, …)

3. �� <T - výslednice mí�í sm�rem vzh�ru, t�leso stoupá k volné hladin� kapaliny a �áste�n� se vyno�í na hladinu kapaliny.

Na práv� uvedeném plování t�les jsou založeny hustom�ry, které slouží k m��ení hustoty kapaliny. Analogické záv�ry platí i pro plyny s tím rozdílem, že hustota kapalin je zhruba tisíckrát v�tší než

hustota plyn�. Proto se vztlaková síla u plyn� p�íliš neuplatní. 6.5 Proud�ní tekutin 6.5.1 Rovnice spojitosti (kontinuity)

Objem kapaliny, který prote�e daným pr��ezem trubice za jednotku �asu, se nazývá objemový pr�tok VQ . Protéká-li pr��ezem o plošném obsahu S kapalina rychlostí o velikosti v, je objemový pr�tok

SvtSl

tV

QV �� ; � � 13 . �� smQV .

Vzhledem k tomu, že ideální kapalina je nestla�itelná, nem�že se p�i proud�ní v žádném míst� trubice hromadit. Proto .konstSvQV �� Tento vztah vyjad�uje rovnici spojitosti toku (rovnici kontinuity): P�i ustáleném proud�ní ideální kapaliny je sou�in obsahu pr��ezu S a velikosti rychlosti v v každém míst� trubice stejný.

Má-li vodorovné potrubí na jednom konci pr��ez S1 a kapalina zde proudí rychlostí v1 a na druhém konci je pr��ez S2 a kapalina zde te�e rychlostí v2 , pak platí: 21 VV QQ � � 2211 vSvS � . Je-li 21 SS � , pak

21 vv � . obr. 38

6.6 Bernoulliho rovnice Podívejme se nyní na rovnici kontinuity z hlediska mechanické energie. Z hlediska zákona zachování

mechanické energie roste kinetická energie na úkor energie potenciální. U proudící kapaliny se jedná o zm�nu energie, která souvisí s tlakem proudící kapaliny - tlaková potenciální energie (nap�. voda proudící z poškozeného potrubí je schopna konat práci - odplavuje zeminu, poškozuje silnici, m�že roztrhnout potrubí, …).


26

Tlaková potenciální energie kapaliny je ur�ena prací, kterou m�že vykonat tlaková síla o velikosti F p S� . , posune-li píst o obsahu S o vzdálenost x. Pro tlakovou potenciální energii tedy platí vztah pVpSxFxWE p �� . Pro proud�ní ideální

kapaliny platí konstEE pk �� - kinetická energie proudící kapaliny se tedy zv�tšuje na

úkor její tlakové potenciální energie. obr. 39

Potom je možné zákon zachování mechanické energie psát ve tvaru:

konstpVVvpVmvEE pk �� 22

21

21

� . Energie p�ipadající na jednotku objemu je:

konstpv ��2

21

� : Sou�et kinetické a tlakové potenciální energie kapaliny o jednotkovém objemu je ve všech

�ástech vodorovné trubice stejný. Rovnice vyjad�uje zákon zachování energie v proudící ideální kapalin�. Po svém objeviteli se nazývá

Bernoulliho rovnice: 12

121

21 2

22� �v p v p� � � . Pokud je v v1 2< , pak je p p1 2> . (�len 2

21

v� se n�kdy

nazývá dynamický tlak, �len p tlak statický.

6.7 Obtékání t�les reálnou tekutinou P�i relativním pohybu t�lesa a tekutiny dochází k obtékání t�lesa - k p�emísování jednotlivých �ástic

kapaliny vzhledem k povrchu t�lesa. U reálných tekutin vznikají v d�sledku vnit�ního t�ení odporové síly, p�sobící proti sm�ru relativního pohybu t�lesa v tekutin�.

P�i malých rychlostech (tj. p�i laminárním proud�ní) lze pro popis odporové síly pro t�leso tvaru koule o polom�ru r použít Stokes�v vztah F rv� 6�� , kde � je dynamická viskozita charakterizující vnit�ní t�ení tekutiny a v je velikost rychlosti obtékání.

P�i v�tších rychlostech se obtékání stává vírovým (turbulentním), za t�lesem se tvo�í víry a pro velikost

odporové síly lze užít Newton�v vztah F CS v�12

2� , kde � je hustota tekutiny, S p�í�ný pr��ez t�lesa a C

bezrozm�rný sou�initel odporu, jehož velikost závisí na tvaru t�lesa. Nejv�tší hodnotu sou�initele odporu má dutá polokoule (padák, …), jejíž dutina je obrácená proti sm�ru

proud�ní, nejmenší hodnotu sou�initele odporu má t�leso proudnicového (aerodynamického) tvaru (t�la ryb a pták�, karosérie automobil�, …).

Uvažovaná aerodynamická odporová síla p�sobí ve sm�ru opa�ném ke sm�ru pohybu t�lesa pouze v p�ípad�, že se jedná o t�leso soum�rné vzhledem ke sm�ru pohybu. Jedná-li se o t�leso nesymetrické, je sm�r odporové síly odchýlen od sm�ru pohybu, �ehož se využívá p�i konstrukci letadel (hlavn� jejich k�ídel). 6.8 Základy fyziky letu

Profil nosných ploch (k�ídel) letadel má aerodynamický tvar a je konstruován tak, že nad k�ídlem dochází ke zhušování proudnic, což má za následek v�tší rychlost proud�ní vzduchu nad k�ídlem. To ale podle Bernoulliho rovnice znamená, že nad k�ídlem vzniká vzhledem k atmosférickému tlaku podtlak. Pod k�ídlem je situace opa�ná s tím, že velikost podtlaku nad k�ídlem je v�tší než velikost p�etlaku pod k�ídlem.

Aerodynamickou sílu �

F lze rozložit do dvou složek: �F1 a

�F2 ,

kde �F1 je odporová aerodynamická síla mí�ící opa�ným sm�rem než je

sm�r relativní rychlosti proud�ní (resp. letadla), kterou p�ekonává tažná síla motoru, a

�F2 je vztlaková aerodynamická síla, která p�sobí proti

síle tíhové a udržuje letadlo ve vzduchu. Úhel � , který svírá te�ná rovina spodní �ásti k�ídla se sm�rem pohybu, se nazývá úhel náb�hu. Pro

velikost odporové aerodynamické síly platí: F C S v1 121

2� � , kde C1 je

sou�initel odporu, jehož velikost závisí na tvaru k�ídla, úhlu náb�hu, charakteristice obtékání k�ídla, ...). Pro velikost vztlakové aerodynamické

síly platí: F C S v2 221

2� � , kde C2 je sou�initel vztlaku. K�ídla (a letadla

v�bec) se konstruují tak, aby sou�initel odporu byl co možná nejmenší a sou�initel vztlaku co nejv�tší.

obr. 40


27

7. Kmitání mechanického oscilátoru 7.1 Kmitavý pohyb

Za�ízení, které voln� (tj. bez vn�jšího p�sobení) kmitá, je mechanický oscilátor. Poloha, kolem níž oscilátor kmitá, se nazývá rovnovážná poloha.

Trajektorií pohybu tedy je bu úse�ka (nap�. závaží na pružin�) nebo �ást k�ivky (kružnice u kyvadla, …). Základní vlastnosti kmitavého pohybu:

1. t�leso urazí ve stejných �asových intervalech r�zné dráhy - kmitavý pohyb je tedy pohyb nerovnom�rný

2. kmitající t�leso vždy po ur�ité dob� dosp�je do stejné polohy. Periodicky se opakující �ást kmitavého pohybu nazýváme kmit.

Kmity mechanického oscilátoru (i libovolného periodického pohybu) lze charakterizovat pomocí: 1. periody (doby kmitu) T - doba, za níž prob�hne 1 kmit a oscilátor dosp�je do stejné polohy jako

v po�áte�ním �ase; � � sT �

2. frekvence (kmito�tu) f - je dána po�tem kmit� za jednu sekundu. Platí T

f1

� , � � Hzsf �� 1

7.2 Harmonické kmitání Jestliže mechanický oscilátor kmitá, je okamžitá poloha t�žišt�

t�lesa ur�ena sou�adnicí y, která se nazývá okamžitá výchylka. Okamžitá výchylka se s �asem m�ní pomocí funkce sinus tak (lze ov��it nap�. zapisova�em nebo rozkmitáním závaží na pružin� a ch�zí s kmitajícím oscilátorem dostaneme danou závislost) a nabývá kladných i záporných hodnot (viz obr. 41). Absolutní hodnota nejv�tší výchylky se nazývá amplituda výchylky my .

obr. 41

Vztah pro okamžitou výchylku najdeme srovnáním kmitavého pohybu s pohybem po kružnici (viz obr. 42). Rotující kuli�ka i kuli�ka na pružin� vrhají na stínítko stín. „Za�ízení“ lze synchronizovat tak, že ob� kuli�ky se pohybují shodn� (stále se jejich stíny p�ekrývají). Kmitavému pohybu tedy odpovídá pr�m�t pohybu rovnom�rného po kružnici do svislé roviny. Pomocí t�chto úvah a obr. 42 již snadno odvodíme rovnici pro okamžitou výchylku.

obr. 42

obr. 43

Na obr. 43 je znázorn�n hmotný bod M, který se pohybuje po kružnici stálou úhlovou rychlostí o velikosti . Okamžitá poloha bodu M je ur�ena polohovým vektorem r

�, který svírá s osou x úhel . Hmotný

bod M byl v �ase 0�t v bod� X, tedy v tomto �ase je 0� . V �ase 0�t platí t � . Pr�m�t okamžitých výchylek vektoru r

� do osy y je vektor y

� ur�ující okamžitou výchylku hmotného bodu. Pro okamžitou výchylku

y (velikost vektoru y�

) platí: tyry m sinsin �� . Úhel se nazývá fáze kmitavého pohybu a ur�uje jednozna�n� okamžitou výchylku. U kmitavých pohyb� se používá pro termín úhlová frekvence a platí

f� 2� . Periodický pohyb, který je popsán rovnicí tyy m sin� , tj. pohyb, jehož grafem je sinusoida, se nazývá

harmonický pohyb. 7.3 Rychlost a zrychlení kmitavého pohybu

Velikost okamžité rychlost resp. okamžitého zrychlení je možné odvodit pomocí práv� uvedené analogie

s pohybem po kružnici nebo pomocí diferenciálního po�tu, nebo platí: dtdy

v � a dtdv

a � .

7.4 Fáze kmitavého pohybu Ne všechna kmitání za�ínají v po�áte�ním okamžiku sv�j kmitavý pohyb z rovnovážné polohy. U

takového kmitaní je z�ejmé, že t�leso procházelo rovnovážnou polohou p�ed za�átkem m��ení �asu - procházelo rovnovážnou polohou o �as 0t d�íve. M�žeme tedy psát:

� � � 000 sinsinsin �� tyttyttyy mmm , kde 0 je po�áte�ní fáze kmitavého pohybu, která ur�uje hodnotu okamžité výchylky (rychlosti, zrychlení) v po�áte�ním okamžiku. Poloha hmotného bodu konajícího rovnom�rný pohyb po kružnici by byla znázorn�na vektorem, který svírá s osou x úhel 0 .

Mají-li dv� harmonické veli�iny stejnou úhlovou frekvenci a po�áte�ní fáze 01 a 02 , m�žeme psát: � � 01020202 �� tt , kde � je fázový rozdíl dvou harmonických veli�in o téže frekvenci.


28

Tato veli�ina slouží pro posouzení vzájemných vztah� fyzikálních veli�in kmitavého pohybu (nap�. rychlost je

fázov� posunuta o 2�

vzhledem k výchylce, …)

Existují n�které „speciální“ fázové rozdíly: 1. 0;2 Nkk �� - ob� veli�iny mají stejnou fázi

2. � 0;12 Nkk �� - veli�iny mají opa�nou fázi

7.5 Složené kmitání vzniká pokud se skládá více kmitavých pohyb� dohromady. Pro polohu t�lesa, které koná sou�asn� více

pohyb�, platí princip superpozice - mají-li jednotlivé harmonické kmitavé pohyby okamžité výchylky nyyy ...,,, 21 , je okamžitá výchylka výsledného kmitání rovna nyyyy �� ...1 . �asový pr�b�h výsledného

kmitání závisí na amplitud� okamžité výchylky, frekvenci a po�áte�ní fázi jednotlivých složek. 1. mmm yyy �� 21 a �� 21 - nejjednodušší p�ípad. Výsledné kmitání je harmonické.

2. 21 mm yy � , ale �� 21 - výsledné kmitání je harmonické a jeho amplituda výchylky závisí na fázovém rozdílu složek.

3. 0�� - amplituda výchylky složeného kmitání je maximální a má hodnotu 21 mmm yyy �� . Výsledné kmitání má stejnou po�áte�ní fázi jako jeho složky.

4. � �� - amplituda výchylky složeného kmitání je nejmenší a má hodnotu 21 mmm yyy �� .

Složené kmitání má stejnou po�áte�ní fázi jako složka s v�tší amplitudou. Pokud je 21 mm yy � , je výchylka stále nulová a kmitání zaniká.

5. 21 � - výsledné kmitání není harmonické.

7.6 Dynamika kmitavého pohybu P�í�inou kmitavého pohybu je síla pružnosti nebo síla tíhová. Pomocí 2. Newtonova zákona tedy

m�žeme pro velikost této síly psát: ymmaF 2�� , což je pohybová rovnice harmonického kmitání.

7.6.1 Kmitání zp�sobené silou pružnosti Vlastnosti mechanického oscilátoru, který realizujeme závažím zav�šeným na pružin�, jsou dány

hmotností m tohoto t�lesa a tuhostí pružiny k. Zav�síme-li na pružinu délky 0l závaží o hmotnosti m, za�ne p�sobit na pružinu síla, která je úm�rná prodloužení pružiny l� . Konstantou úm�rnosti je tuhost pružiny k

definovaná vztahem l

Fk

�� ; � � 1. �� mNk . V rovnovážné poloze na pružinu se závažím p�sobí síla pružnosti o

velikosti lkFp �� a síla tíhová, která má stejnou velikost, ale opa�ný sm�r, tedy lkmg �� (síla pružnosti se

snaží vrátit pružinu do p�vodního nedeformovaného stavu). Uvedeme-li oscilátor do kmitavého pohybu, tíhová síla je stálá, ale m�ní se velikost i sm�r síly pružnosti. Pro velikost výsledné síly Gp FFF

��

�� platí:

� kyylkmgFFF pG �� . Síla F�

p�sobící na mechanický oscilátor sm��uje stále do rovnovážné

polohy a je p�í�inou kmitavého pohybu (viz obr. 44). Porovnáme-li odvozenou velikost síly s pohybovou rovnicí

harmonického kmitání, dostáváme mk

�2 . Kmitá-li oscilátor s

touto úhlovou frekvencí mk

�0 , nazýváme toto kmitání

vlastní kmitání oscilátoru. Pro periodu 0T a frekvenci 0f

vlastního kmitání pak platí: km

T �20 � a mk

f�21

0 � .

obr. 44

7.6.2 Kmitání zp�sobené tíhovou silou - kyvadlo Jako kyvadlo se ozna�uje jakékoliv t�leso zav�šené nad t�žišt�m, které se m�že voln� otá�et kolem

nehybné osy. Nejjednodušším modelem kyvadla je matematické kyvadlo s t�mito omezeními: 1. omezíme se na malé výchylky, abychom mohli oblouk, po n�mž se t�leso pohybuje, považovat za

úse�ku (to je dostate�n� spln�no pro �� 5� 2. zanedbáme t�ení v bod� záv�su i odporovou sílu vzduchu

P�í�inou kmitavého pohybu je pohybová složka F�

tíhové síly GF�

, která vzniká p�i vychýlení kyvadla z rovnovážné polohy. Podle obr. 45 platí:


29

ly

ly

FF

G

.´sin �� , kde y je délka oblouku. Odtud dále dostáváme:

ly

mgly

FF G ��.

(síla p�sobí proti výchylce). Srovnáme-li tento vztah s

pohybovou rovnicí harmonického kmitání, dostáváme pro úhlovou frekvenci vztah

lg

�20 . Odtud již velice snadno odvodíme vztahy pro periodu a frekvenci

vlastního kmitání matematického kyvadla: gl

T �20 � a lg

f�21

0 � .

Perioda kmitání kyvadla se nazývá kmit, polovina této doby je kyv. obr. 45

7.7 Energie mechanického oscilátoru a její p�em�ny P�i harmonickém kmitání dochází také k periodickým p�em�nám energie oscilátoru. V okamžiku

pr�chodu rovnovážnou polohou má oscilátor maximální rychlost a tedy i maximální kinetickou energii. V okamžiku, kdy dosáhne krajních poloh svého pohybu, má nulovou rychlost a maximální hodnotu energie potenciální (potenciální energie pružnosti u t�lesa na pružin�, potenciální energie polohy u kyvadla).

P�i harmonickém kmitavém pohybu se periodicky m�ní potenciální energie kmitání v energii kinetickou a naopak. Celková energie oscilátoru je konstantní. 7.8 Tlumené kmitání

je kmitání, u n�hož se �ást mechanické energie m�ní na nemechanické formy (vnit�ní energie okolí i t�lesa, práce na p�ekonání t�ecích sil, …). V d�sledku toho dochází k poklesu amplitudy kmitání.

Vlastní kmitání oscilátoru je tedy vždy tlumené. Tlumení má vliv také na periodu: tlumený oscilátor kmitá voln� s v�tší periodou, než jakou by m�l netlumený oscilátor s týmiž parametry. Tlumení kmitání má v praxi zna�ný význam: n�kdy se požadujeme malé tlumení kmitání, ale na druhé stran� jsou situace, kdy je kmitání nežádoucí a kdy je um�le tlumíme (tlumi�e pérování automobil�, tlumení pohybu ru�ky m��ících p�ístroj�, …). 7.9 Nucené kmitání mechanického oscilátoru

Z praxe víme, že chceme-li udržet t�leso v kmitavém pohybu, je nutno jej pravideln� rozkmitávat, nebo jinak se oscilátor vlivem tlumení za ur�itou dobu zastaví (nap�. houpa�ku udržíme v pohybu pravidelnými nárazy nebo zm�nou polohy t�žišt�, …). Budeme-li na konci každé periody kompenzovat ztráty energie, které vznikly tlumením kmitavého pohybu, bude (p�i ur�ité velikosti p�sobící síly) amplituda výchylky stálá a oscilátor bude kmitat netlumen�. Netlumeného kmitání jsme dosáhli vn�jším p�sobením na oscilátor - mezi oscilátorem a jeho okolím vznikla vazba. Oscilátor nekmitá voln� - je ovliv�ován okolím. Nucené kmitání je tedy netlumené. 7.10 Rezonance mechanického oscilátoru

Amplituda výchylky nucených kmit� závisí na frekvenci nucených kmit� - p�i ur�ité frekvenci (je shodná vlastní frekvencí oscilátoru) nabývá maximální hodnoty a poté se op�t zmenšuje. Došlo k rezonanci oscilátoru.

Rezonanci lze považovat za vzájemné p�sobení dvou oscilátor�: jeden je zdrojem nuceného kmitání (oscilátor) a druhý se p�sobením zdroje nucen� rozkmitává (rezonátor). Mezi oscilátory m�že být:

1. vazba volná - vazbou vzniká jen malé vzájemné p�sobení a energie p�echází z oscilátoru na rezonátor dlouho

2. vazba t�sná - vzájemné p�sobení je silné, p�enos energie je rychlý V praxi se využívá rezonan�ní zesilování: hudební nástroje, m��ící p�ístroje, ladi�ky hudebních nástroj�,

…


30

8. Mechanické vln�ní 8.1 Vznik a druhy vln�ní

Mechanické vln�ní vzniká v látkách všech skupenstvích a jeho p�í�inou je existence vazebných sil mezi �ásticemi látky. Hovo�í se o pružném prost�edí - jde o mechanické oscilátory, které jsou vzájemn� spojeny vazbou. V závislosti na sm�ru výchylky kmitání jednotlivých bod� a sm�ru ší�ení vln�ní se vln�ní d�lí na:

1. postupné vln�ní p�í�né - hmotné body kmitají kolmo na sm�r ší�ení vln�ní a je typické pro pevná pružná t�lesa tvaru ty�í, vláken, …; vln�ní na hladin� rybníka, …

2. postupné vln�ní podélné - hmotné body kmitají ve sm�ru ší�ení vln�ní a je typické pro t�lesa (všech skupenství), která jsou pružná p�i zm�n� objemu (stla�ování a rozpínání); ší�ení zvuku, …

Vykoná-li první rozkmitaný bod jeden kmit za dobu rovnou period� kmitání T, rozší�í se vln�ní do

vzdálenosti fv

vT �� , která se nazývá vlnová délka (f je frekvence kmitání kyvadel). Všechny body kmitají

se stejnou amplitudou a úhlovou frekvencí, ale liší se fází. Se stejnou fází kmitají body, které jsou vzdáleny práv� o vlnovou délku, tedy: Vlnová délka je vzdálenost dvou bod�, které kmitají se stejnou fází. 8.2 Interference vln�ní

Dopadnou-li na hladinu dva kameny, pozorujeme dv� kruhové vlny, které se vzájemn� p�ekrývají, p�i svém pohybu se však neovliv�ují. V míst� p�ekryvu má amplituda r�znou velikost, což je dáno skládáním (interferencí) vln�ní - výsledný kmitavý pohyb hmotných bod� prost�edí je ur�en superpozicí kmitání vyvolaných vln�ním.

Podmínky nutné pro interferenci vln�ní: 1. stejná vlnová délka všech vln�ní podílejících se na interferenci 2. dráhový (nebo fázový) posuv jednotlivých vln

Zvláštní p�ípady nastane, je-li dráhový rozdíl roven celistvému po�tu p�lvln interferujících vln�ní:

1. 0;2

2 Nkkkd ��

- vln�ní se setkávají ve všech bodech se stejnou fází, díky �emuž je

amplituda výsledného vln�ní rovna 21 mmm yyy �� a vzniká interferen�ní maximum

2. � 0;2

12 Nkkd ��

- interferující vln�ní se setkávají s opa�nou fází, amplituda výsledného

vln�ní je rovna 21 mmm yyy �� a vzniká interferen�ní minimum (je-li 21 mm yy � , vln�ní se

ruší) Interference má �adu využití zejména v optice (elektromagnetické vln�ní, sv�tlo, …). Pomocí

interference lze také ur�it, zda má daný fyzikální jev vlnovou povahu. 8.3 Odraz vln�ní v �ad� bod�. Stojaté vln�ní.

Postupuje-li vln�ní �adou bod� a dosp�je-li na konec této �ady, nastává odraz vln�ní a vlna se vrací zp�t. Na konci m�že dojít ke dv�ma situacím „typu konce“ �ady bod�:

1. pevný konec - dochází k odrazu vln�ní s opa�nou fází, tj. dosp�l-li k pevnému konci (nap�. lana upevn�ného ke skob� ve zdi) nejd�íve vrch a pak d�l, po odrazu je situace opa�ná (obr. 46)

2. volný konec - dochází k odrazu se stejnou fází, tj. dosp�je-li vln�ní k volnému konci (nap�. voln� visícího nebo pomocí provázku upevn�ného lana) nejd�íve vrch a pak d�l, po odrazu se pohybuje vrch a d�l ve stejném po�adí (obr. 47)

obr. 46

obr. 47

Kmitá-li jeden konec pružného vlákna trvale harmonicky, postupuje vln�ní k jeho konci, tam se odráží a vrací se zp�t ke zdroji a dochází ke skládání (interferenci) p�ímého a odraženého vln�ní. Ob� tato vln�ní postupují stejnými rychlostmi opa�ného sm�ru. U výsledného vln�ní je amplituda výchylek jednotlivých bod� r�zná a pr�b�h vln�ní na vlákn� vytvá�í dojem, že vlna jako by „stojí“ na míst�. Tento typ vln�ní se nazývá stojaté vln�ní.

Kmitna stojatého vln�ní je bod, který kmitá s maximální amplitudou. Vzdálenost dvou sousedních

kmiten je 2�

. Na polovi�ní vzdálenosti mezi dv�ma kmitnami je uzel - bod z�stávající v klidu (má nulovou

amplitudu). Zásadní rozdíly mezi vln�ním postupným a stojatým:

1. P�i postupném vln�ní kmitají všechny body se stejnou amplitudou, ale r�znou fází. Fáze se ší�í rychlostí v

�, která se také ozna�uje jako fázová rychlost. Postupným vln�ním se p�enáší energie.


31

2. P�i stojatém vln�ní kmitají všechny body mezi dv�ma uzly se stejnou fází, ale r�znou amplitudou výchylky (závislé na poloze bodu). Energie se nep�enáší, pouze se m�ní potenciální energie pružnosti v kinetickou a naopak.

Stojaté vln�ní m�že být p�í�né i podélné. Stojaté vln�ní p�í�né je zdrojem zvuku u strunných nástroj� (kytara, housle, …), zatímco stojaté vln�ní podélné vzduchového sloupce v duté �ásti nástroje je p�í�inou zvuku u dechových nástroj� (klarinet, trubka, …). Toto stojaté vln�ní ozna�ujeme jako chv�ní. 8.4 Chv�ní mechanických soustav

Rozechv�jeme-li strunu nap�. na kyta�e, vznikne p�í�né stojaté vln�ní. Na konci struny jsou uzly, ostatní body kmitají s r�znou amplitudou, p�i�emž v nejjednodušším p�ípad� má nejv�tší amplitudu bod uprost�ed struny, kde je kmitna stojatého vln�ní. Délka l struny tedy p�edstavuje polovinu vlnové délky. Chv�ní struny je ale možné vyvolat tak, že na strun� vznikne celá vlna s tím, že je zachována podmínka o uzlech v koncových bodech. Pokud se rychlost vln�ní nem�ní, nastává tento druhý p�ípad p�i dvojnásobné frekvenci než první.

Mohou tak vznikat stojaté vlny, pro n�ž platí: Nkkl �� ;2�

; tato stojatá vlna vzniká p�i frekvencích

zk kff � . zf je základní frekvence: l

vvf z 2

��

; kf pro 1�k se nazývají vyšší harmonické frekvence.

V pružných t�lesech vzniká chv�ní jen s ur�itými frekvencemi, které jsou násobky základní frekvence; ta je dána geometrickými rozm�ry pružného t�lesa, v n�mž vzniká chv�ní.

Podle zp�sobu upevn�ní pružných t�les jsou možné tyto p�ípady (viz obr. 48):

obr. 48

1. pružné t�leso je upevn�no na obou koncích - Nkkl �� ;2�

, zk kff �

2. pružné t�leso je upevn�no uprost�ed - � Nkkl �� ;2

12�

, � zk fkf 1212 ��

3. pružné t�leso je upevn�no na jednom konci - � Nkkl �� ;4

12�

, � zk fkf 1212 �� . V praxi to

odpovídá chv�ní vzduchového sloupce ve válci, který je z jedné strany otev�en. 8.5 Vln�ní v izotropním prost�edí

Izotropní prost�edí je prost�edí, které má ve všech sm�rech stejné vlastnosti. Ší�í-li se takovým prost�edím vln�ní od bodového zdroje, mají vlny kruhový tvar - nap�. kámen hozený do vody. Zavádíme tedy pojem vlnoplocha - plocha, jejíž body kmitají se stejnou fází (a mají od zdroje vln�ní stejnou vzdálenost). Sm�r ší�ení vln�ní v daném bod� je kolmice k vlnoploše, která se nazývá paprsek.

N�kdy bývá obtížné ur�it zdroj vln�ní (jsme od n�ho daleko, vln�ní se odrazilo, …), ale p�esto pot�ebujeme znát tvar vlnoplochy. Tímto problémem se zabýval holandský fyzik Christian Huygens a došel k záv�ru, který je znám jako Huygens�v princip (obr. 49): Každý bod vlnoplochy 1V , do n�hož dosp�lo vln�ní v ur�itém �asovém okamžiku, lze považovat za zdroj elementárního vln�ní, které se z n�ho ší�í v elementárních vlnoplochách EV. Vlnoplocha 2V v dalším �asovém okamžiku je vn�jší obalová plocha všech elementárních vlnoploch.

obr. 49


32

9. Zvukové vln�ní Fyzikálními d�ji, které jsou spojeny se vznikem zvukového vln�ní, jeho ší�ením a vnímáním zvuku

sluchem, se zabývá akustika, pat�ící mezi nejstarší obory fyziky. Rozlišujeme tyto typy zvukového vln�ní:

1. infrazvuk - Hzf 16�

2. zvuk - Hzf 16000;16� ; vnímá jej lidské ucho

3. ultrazvuk - kHzf 16� ; slyšitelný pro n�které živo�ichy (netopýr, delfín, pes, …)

Zvuk zprost�edkovává informace o okolním sv�t�. Celý d�j p�enosu informací si lze p�edstavit jako p�enosovou soustavu složenou z t�chto základních �ástí:

1. zdroj zvuku 2. prost�edí, kterým se zvuk ší�í 3. p�ijíma� zvuku (v nejjednodušším p�ípad� lidské ucho)

9.1 D�lení zvuk� hluky - neperiodické zvuky (praskot, bušení, sk�íp�ní, …) tóny (hudební zvuky) - periodické zvuky (zvuky hudebních nástroj�, samohlásky lidské �e�i, …); ty lze

dále d�lit na: 1. jednoduchý tón - má harmonický pr�b�h 2. složené tóny - periodické zvuky složit�jšího pr�b�hu

9.2 Vlastnosti zvuku výška tónu - ur�ena frekvencí zvuku barva tónu - dána p�ítomností vyšších harmonických frekvencí ve složeném tónu; umož�uje sluchem

odlišit dva složené tóny stejné výšky, které vydávají nap�. dva r�zné nástroje hlasitost a intenzita zvuku - pro objektivní hodnocení zvuku byla zavedena intenzita zvuku I, která je

definována podílem: SP

I � , kde P je výkon zvukového vln�ní a S je plocha, kterou vln�ní prochází;

� � 2. �� mWI Citlivost ucha je nejv�tší p�i frekvencích zvuku Hz6000;700 . V souvislosti s tím se zavád�jí dv�

hranice:

1. práh slyšení - 212 .10 �� mW (akustický tlak Pa�20 ); p�i uvedených frekvencích vnímáme zvuky již od této intenzity

2. práh bolesti - 2.1 �mW (akustický tlak Pa130 ); zvuky v�tších intenzit než je práh bolesti mohou v uchu vyvolat bolestivý pocit

Intenzitu zvuku je vhodné vyjad�ovat pomocí logaritmické stupnice, jejíž jednotkou je bel B.


33

10. Elekt�ina a magnetismus 10.1 Elektrostatické silové p�sobení bodových el. náboj�

Coulomb�v zákon: Velikost sil, kterými na sebe p�sobí dva bodové náboje 1Q a 2Q , je p�ímo úm�rná absolutní hodnot� sou�inu jejich velikostí a nep�ímo úm�rná druhá mocnin� jejich vzdálenosti r:

221

r

QQkFe � ; 229

.

0..10.9

41 �� CmNk��

, kde 212120 ..10.85,8 �� mNC� je permitivita vakua.

Intenzita el. pole (el. intenzita): qF

E e

��

� , kde eF�

je síla, která by v daném míst� p�sobila na testovací

náboj q; � � 11 .. �� mVCNE ; podle Coulombova zákona platí: 2

02

0 41

41

r

QE

r

QqF

rre ��

�� .

10.2 Kapacita vodi�e, kondenzátor

Kapacita vodi�e: Q

C � , Q je náboj a elektrický potenciál; � � FVCC �� 1. (farad). Pro osamocený

kulový vodi� o polom�ru R platí: RCRQ

rr

��

00

44

1�� .

Kapacita deskového (vzduchového) kondenzátoru: d

SUQ

C 0�� , S obsah ú�inné plochy desek, d jejich

vzdálenost. Kapacita deskového kondenzátoru vypln�ného dielektrikem Cd

SC r

rr �

�� 0 .

Spojením kondenzátor� vytvo�íme soustavu se dv�ma svorkami, která se chová jako jediný kondenzátor. Paralelní spojení: � UCCCUUCUCQQQ �� 212121 �

21 CCC �� .

Sériové spojení: CQ

CCQ

CQ

CQ

UUU � !

"##$

%��

212121

11�

21

21

21

111CC

CCC

CCC �� .

obr. 50

10.3 Elektrický proud je uspo�ádaný pohyb volných �ástic s el. nábojem. Za sm�r el. proudu se podle dohody pokládá sm�r

uspo�ádaného pohybu kladn� nabitých �ástic. Elektrický proud I: tQ

I � ; � � AI � Q náboj, který projde

pr��ezem vodi�e za jednotku �asu 10.4 Elektrický odpor vodi�e, Ohm�v zákon pro �ást obvodu

Ohm�v zákon: Proud procházející vodi�em je p�ímo úm�rný nap�tí mezi jeho konci; I

UR � ;

� � &�� 1.AVR , R - odpor vodi�e. Závislost odporu na parametrech vodi�e: Sl

R �� , kde l je délka vodi�e, S

pr��ez a � m�rný elektrický odpor (rezistivita); � � m.&�� . Závislost odporu na teplot�: � TRR �� .11 � , kde 1R je odpor p�i teplot� 1T , 1TTT �� je teplotní rozdíl a � je teplotní sou�initel elektrického odporu;

� � 1�� K� . 10.5 Spojování rezistor�

Sériové spojení: 21 UUU �� RIIRIRU �� 21 � 21 RRR �� ; platí: 2121 :::: RRRUUU � .

Paralelní spojení: 21 III �� RU

RU

RU

I ��21

� 21

111RRR

�� ; platí: 21

211

:1

:1

::RRR

III � .

10.6 Ohm�v zákon pro uzav�ený obvod Skute�ný zdroj si lze p�edstavit jako sériové zapojení ideálního zdroje o elektromotorickém nap�tí eU a

rezistoru o odporu iR (vnit�ní odpor zdroje). Platí: � IRRIRUU iie �� , kde U je nap�tí vn�jší �ásti obvodu o odporu R. 10.7 Kirchhoffovy zákony

Složit�jší elektrické obvody se nazývají elektrické sít�. Uzel sít� je místo, kde se vodiv� stýkají alespo� t�i vodi�e. Vodivé spojení sousedních uzl� se nazývá v�tev.


34

1. Kirchhoff�v zákon (pro uzel el. sít�) je d�sledkem zákona zachování el. náboje (�ástice s nábojem nemohu v uzlu vznikat ani zanikat - proud, který od uzlu p�ite�e z n�j musí také vytéct):

Algebraický sou�et proud� v uzlu je nulový. Stýká-li se v uzlu n v�tví, pak platí 01

��

n

kkI .

2. Kirchhoff�v zákon (pro jednoduchou smy�ku el. sít�) �íká, že celkový sou�et zm�n el. potenciálu v uzav�ené smy�ce je nulový: Sou�et úbytk� nap�tí na rezistorech je v uzav�ené smy�ce stejný jako sou�et elektromotorických nap�tí zdroj�. Nachází-li se ve smy�ce n rezistor� a m zdroj�,

pak platí: ��

�m

jej

n

kkk UIR

11

(resp. 011

��

m

jej

n

kkk UIR ).

Postup p�i praktickém použití Kirchhoffových zákon� - p�i �ešení el. sítí: 1. vyzna�íme a ozna�íme uzly 2. zvolíme ozna�ení a sm�r proud� v jednotlivých v�tvích (libovoln�) 3. zvolíme a vyzna�íme sm�r postupu v jednotlivých v�tvích (libovoln�) 4. zapíšeme rovnici pro 1. Kirchhoff�v zákon (proud, který do uzlu vtéká má kladné znaménko,

proud, který vytéká záporné) 5. zapíšeme rovnici pro 2. Kirchhoff�v zákon: je-li sm�r proudu na daném rezistoru totožný se

sm�rem postupu, má úbytek nap�tí na tomto rezistoru kladné znaménko, v opa�ném p�ípad� je znaménko úbytku nap�tí na rezistoru záporné; „narazíme-li“ p�i postupu na kladný pól zdroje, má elektromotorické nap�tí tohoto zdroje kladné znaménko, v p�ípad�, kdy „narazíme“ na záporný pól zdroje, má jeho elektromotorické nap�tí znaménko záporné (pravá strana rovnice je nulová)

6. sestavíme-li více rovnic, než je po�et neznámých, m�žeme jednu rovnici vynechat 10.8 Elektrická práce a výkon v obvodu stejnosm�rného proudu

Práce sil el. pole: tR

UtRIUItUQW

22 �� . Pr�chodem el. proudu se vodi� zah�ívá a uvol�uje se

tzv. Joulovo teplo (které je rovno el. práci).

Výkon el. proudu: R

URIUI

tW

P2

2 �� ; ú�innost � iieezdroje RRR

IRRRI

UU

QUUQ

PP

��

�� .

10.9 Magnetická síla, magnetická indukce Na vodi�, jehož �ást délky l se nachází v homogenním magnetickém poli o magnetické indukci B

�

a který svírá s mg. induk�ními �arami úhel � , p�sobí síla o velikosti �sinBIlFm � .

10.10 Magnetické pole rovnob�žných vodi�� s proudem Velikost mg. síly, která p�sobí na �ást jednoho vodi�e délky l, je-li druhý vodi� vzdálen od tohoto vodi�e

d (vodi�e jsou vzájemn� rovnob�žné): ldII

lIBFm21

21 2��

�� , kde 1I a 2I jsou proudy ve vodi�ích,

270 .10.4 �� AN�� je permeabilita vakua.

10.11 Faraday�v zákon elektromagnetické indukce Faraday�v zákon elektromagnetické indukce: Zm�ní-.li se mg. induk�ní tok za dobu t� o �' ,

vzniká indukované elektromotorické nap�tí, jehož st�ední hodnota je t

U i �

�'�� .

10.12 Obvody st�ídavého proudu Uvažujme zdroj elektrického nap�tí s �asovým pr�b�hem tUu m sin� .

10.12.1 Obvod s odporem Po p�ipojení ke zdroje nap�tí, prochází obvodem proud

tIR

tURu

i mm

sin

sin�� , kde

RU

I mm � je amplituda st�ídavého proudu.

V obvodu s rezistorem dosahuje st�ídavé nap�tí i proud amplitudy ve stejném okamžiku - nevzniká fázový rozdíl mezi proudem a nap�tím

obr. 51


35

10.12.2 Obvod s cívkou St�ídavý proud procházející vinutím cívky vytvá�í m�nící se mg. pole. Tím se

v cívce indukuje nap�tí, které má opa�nou polaritu než zdroj nap�tí. Následkem toho proud v obvodu nabývá nejv�tší hodnoty pozd�ji než nap�tí. Proud se za nap�tím

zpožuje a vzniká fázový rozdíl 2�

� . Pro okamžitou hodnotu proudu platí

tItIi mm �

cos2

sin �� !

"#$

%�� . Iduktance: L

IU

Xm

mL �� .

obr. 52

10.12.3 Obvod s kondenzátorem Po p�ipojení ke zdroji st�ídavého nap�tí dochází k periodickému nabíjení a

vybíjení. Nabíjecí proud kondenzátoru je nejv�tší v okamžiku, kdy je kondenzátor nenabitý, tj. nap�tí mezi jeho deskami je nulové. Naopak v okamžiku, kdy je kondenzátor nabit na nap�tí mU je proud v obvodu nulový. Nap�tí je opožd�no za

proudem a jejich fázový rozdíl je 2�

�� .

obr. 53

Pro okamžitou hodnotu proudu v obvodu s kondenzátorem platí tItIi mm �

cos2

sin � !

"#$

%�� .

Kapacitance: CI

UX

m

mC

1�� .

10.12.4 Složený sériový RLC obvod Prvky obvodu prochází stejný proud, ale nap�tí na jednotlivých prvcích se liší jak velikostí tak

vzájemnou fází: nap�tí Ru má stejnou fázi jakou proud, nap�tí Lu proud p�edbíhá a nap�tí Cu se za proudem zpožuje.

Díky fázovým rozdíl�m je nutné pro efektivní hodnotu U výsledného nap�tí psát:

� 222CLR UUUU �� , kde RU , LU a CU jsou

efektivní hodnoty nap�tí na jednotlivých prvcích

obvodu. Dále m�žeme psát: 2

2 1 !

"#$

%��

CLRIU

.

obr. 54

obr. 55

Obvod jako celek je pak charakterizován jediným parametrem, který se nazývá impedance Z. Z Ohmova

zákona pro impedanci dostáváme: 2

2 1 !

"#$

%��

CLR

IU

IU

Zm

m

; � � &�Z . Pro fázový rozdíl nap�tí a

proudu v obvodu pak m�žeme psát: R

CL

UUU

tgR

CL

1�

��

� , p�i�emž 2

;2

�� .

Zvláštní p�ípad nastává v RLC obvodu v sérii, je-li p�i dané frekvenci induktance obvodu stejn� veliká jako jeho kapacitance: CL XX � � RZ � . Fázový rozdíl proudu a nap�tí je nulový a obvod má vlastnost rezistance, tj. jako by v n�m byl zapojen jen rezistor. Proud v obvodu dosahuje maximální hodnoty. Tento p�ípad ozna�ujeme jako rezonance st�ídavého obvodu a p�íslušnou rezonan�ní frekvenci 0f ur�íme z

podmínky C

L0

01

� �

LCf

�2

10 � .

10.13 Výkon st�ídavého proudu 10.13.1 Obvod s odporem

Pro výkon P stejnosm�rného proudu platí vztah 2RIUIP �� . Vzhledem k tomu, že v obvodu st�ídavého proudu se nap�tí i proud stále m�ní, bude se m�nit i výkon. Jeho okamžitá hodnota je uip � . V

obvodu, který má jen odpor, platí tRIRip m 222 sin�� .

RTITP

W mm 2

21

2�� , st�ední hodnota výkonu pak je RIP

TW

P mm2

21

21

�� . Harmonický st�ídavý

proud o amplitud� mI má tedy stejný st�ední výkon jako ustálený stejnosm�rný proud takové velikosti I, že


36

platí: RIRI m22

21

� � mm III 707,022 .

�� ; analogicky platí pro nap�tí: mm UUU 707,022 .

�� . Tyto

hodnoty proudu se nazývají efektivní hodnota proudu a efektivní hodnota nap�tí: Efektivní hodnoty st�ídavého proudu a nap�tí odpovídají hodnotám stejnosm�rného proudu a nap�tí, p�i nichž je výkon v obvodu s odporem stejný jako výkon daného st�ídavého proudu. Pro výkon st�ídavého proudu v obvodu s odporem pak platí UIP � .

10.13.2 Obvod s impedancí

St�ední výkon st�ídavého proudu je možno vyjád�it takto: cos.2 UIZR

UIZU

RIIRIRIP �� (s

použitím vztah� I

UZ � a

UU R�cos ), kde U a I jsou efektivní hodnoty st�ídavého nap�tí a proudu a �initel

cos se nazývá ú�iník. Ú�iník ur�uje ú�innost p�enosu energie ze zdroje st�ídavého proudu do spot�ebi�e. �inný výkon pak odpovídá té �ásti el. energie dodané zdrojem, která se v obvodu za jednotku �asu m�ní v teplo nebo užite�nou práci (nap�. elektromotor). 10.14 Transformátor

je tvo�en dv�ma cívkami - primární a sekundární, které jsou umíst�ny na spole�ném ocelovém jád�e z m�kké oceli. Jedná se o jádro listové - je tvo�eno navzájem izolovanými plechy, aby se zabránilo vzniku ví�ivých proud�, které by zv�tšovaly ztráty.

Primární cívka 1C je p�ipojena ke zdroji st�ídavého nap�tí 1U a prochází jí st�ídavý proud 1I . Ten vytvá�í v jád�e transformátoru prom�nné mg. pole a v libovolném závitu primární nebo sekundární cívky se

indukuje nap�tí t

u i �

�'�� . Závity cívek jsou spojeny za sebou, takže nap�tí na jednotlivých závitech se s�ítají.

Celkové nap�tí na primární cívce s 1N závity je t

Nu�

�'�� 11 , na sekundární cívce s 2N závity bude nap�tí

tNu

�

�'�� 22 .

Má-li primární cívka zanedbatelný odpor, má indukované nap�tí 1u stejnou velikost jako p�ipojený zdroj, ale má opa�nou fázi. Pro pom�r efektivních hodnot indukovaných nap�tí odtud

vyplývá rovnice transformátoru: kNN

UU

��1

2

1

2 . Veli�ina

1

2

NN

k � se nazývá transforma�ní pom�r transformátoru:

obr. 56

1. 1�k - transformace nahoru 2. 1�k - transformace dol�

Ú�innost malých transformátor� bývá 90 % až 95 %, velkých až 98 %. V souladu se zákonem zachování energie musí být výkon 1P v primárním vinutí transformátoru (tzv.

p�íkon) p�i zanedbatelných ztrátách roven jeho výkonu 2P v sekundární �ásti. Pro �inné výkony tedy platí:

21 PP � � 222111 coscos IUIU � . Za uvedených podmínek jsou hodnoty 1 a 2 malé (�

1cos.

2

.

1 �� ) a tedy platí 2

1

1

2

II

UU

� .


37

11. Optika - základní pojmy 11.1 Sv�tlo jako elmg. vln�ní

Sv�tlo je elmg. vln�ní, které ke svému ší�ení nepot�ebuje látkové prost�edí (ší�í se tedy nap�. i vakuem).

Velikost rychlosti sv�tla ve vakuu je 18.

1 .10.3.299792458 �� smsmc . Jedná se o maximální rychlost, kterou se m�že fyzikální objekt pohybovat. V látkovém prost�ední je velikost rychlosti sv�tla vždy menší a je ovlivn�na nejen prost�edím, ale také frekvencí sv�tla.

Stejn� jako jiné druhy vln�ní, charakterizuje i sv�tlo vlnová délka fc

�� , kde f je frekvence sv�tla. Jako

sv�tlo se ozna�uje elmg. vln�ní, na které je citlivý lidský zrakový orgán - oko: Fyziologický vjem zvaný vid�ní vyvolává elmg. vln�ní o frekvencích Hz1410.7,7 až Hz1410.8,3 . Tomu odpovídají vlnové délky sv�tla ve vakuu nm390 (fialová barva) až nm790 (�ervená barva).

11.2 Ší�ení sv�tla Ší�ení sv�tla je ovlivn�no vlastnostmi prost�edí, jímž sv�tlo prochází:

1. �irým sklem sv�tlo prochází tém�� beze zm�ny 2. barevným sklem projde jen sv�tlo ur�itých vlnových délek - nastává absorpce sv�tla 3. matné sklo nepravideln� m�ní sm�r ší�ení sv�tla - nastává rozptyl (disperze) sv�tla 4. zrcadlem (sklo pokryté kovovou vrstvou) sv�tlo neprochází - nastává odraz sv�tla

Látky, kterými sv�tlo prochází ozna�ujeme jako optické prost�edí. To m�že být: 1. pr�hledné - prost�edí, v n�mž nedochází k rozptylu sv�tla; mohou být �irá (sklo, voda, …) nebo

barevná (potom propouští jen sv�tlo n�kterých vlnových délek); (tímto prost�edím je vid�t) 2. pr�svitné - sv�tlo se prost�edím ší�í, ale z�ásti se rozptyluje (prost�edí lze „prosvítit“) 3. nepr�hledné - sv�tlo se v n�m siln� pohlcuje nebo se na povrchu odráží

Optické prost�edí m�že být: 1. opticky homogenní (stejnorodé) - optické prost�edí, které má v celém svém objemu stejné optické

vlastnosti 2. opticky izotropní - rychlost ší�ení sv�tla je nezávislá na sm�ru (sklo, …) 3. opticky anizotropní - rychlost ší�ení sv�tla závisí na sm�ru (krystaly, …)

Skute�né zdroje sv�tla není možné považovat za bodové zdroje, nebo sv�tlo vychází sou�asn� z mnoha bod� (vlákno žárovky, …). Ší�ení sv�tla si zjednodušen� p�edstavíme tak, že z každého bodu vycházejí paprsky, které se navzájem protínají. P�itom se ale vzájemn� neovliv�ují a postupují prost�edím nezávisle jeden na druhém. Tento poznatek se nazývá princip nezávislosti chodu sv�telných paprsk� (�ehož využívá geometrická optika). 11.3 Odraz a lom sv�tla

Dopadá-li sv�telný paprsek na rozhraní dvou prost�edí s odlišnými optickými vlastnostmi, pak se sv�tlo na rozhraní �áste�n� odráží a �áste�n� láme do druhého prost�edí. Nastává odraz a lom sv�tla.

11.3.1 Odraz sv�tla Sv�telný paprsek dopadá na rozhraní dvou optických prost�edí pod úhlem

dopadu � , který paprsek svírá s kolmicí dopadu k vzty�enou v míst� dopadu na rozhraní optických prost�edích. V p�ípad�, že rozhraní není rovinné, uvažujeme kolmici na te�nou rovinu zak�ivené plochy v míst� dopadu sv�telného paprsku. Dopadající paprsek a kolmice dopadu tvo�í rovinu - rovinu dopadu. Odražený paprsek svírá s kolmicí dopadu úhel odrazu ´� . Vztah mezi úhlem dopadu a úhlem odrazu popisuje zákon odrazu: Velikost úhlu odrazu se rovná velikosti úhlu dopadu, tedy ´�� . Odražený paprsek leží v rovin� dopadu.

Úhel odrazu nezávisí na frekvenci dopadajícího sv�tla, proto se paprsky sv�tla r�zných barev (frekvencí) odrážejí stejn�.

obr. 57

11.3.2 Lom (refrakce) sv�tla

Pro sm�r lomeného paprsku platí vztah 2

1

sinsin

vv

�(�

, kde ( je úhel lomu (tj. úhel, který svírá lomený

paprsek s kolmicí k). Podíl velikostí rychlostí sv�tla 1v a 2v v obou prost�edích je pro daná prost�edí konstantní a vyjad�uje d�ležitou fyzikální veli�inu: index lomu n pro dané rozhraní dvou prost�edí. Je-li

prvním prost�edím vakuum, je cv �1 . Ozna�íme-li vv �2 , dostaneme index lomu ve tvaru vc

n � , který se

n�kdy také nazývá absolutní index lomu. Pro jeho velikost platí 1�n , p�i�emž 1�n nastává práv� pro vakuum (resp. vzduch).


38

Ší�í-li se sv�tlo z optického prost�edí o indexu lomu 1n , v n�mž má velikost rychlosti 1v , do prost�edí s

indexem lomu 2n , kde má velikost rychlosti 2v , platí: 1

2

212

1 :nn

nc

nc

vv

�� . Nyní je možné vyjád�it Snell�v

zákon lomu ve tvaru 1

2

sinsin

nn

�(�

.

Index lomu je závislý na barv� (frekvenci) sv�tla, proto se sv�tlo r�zných barev láme jinak. P�i porovnávání dvou optických prost�edí o r�zném indexu lomu rozlišujeme:

1. prost�edí opticky �idší - prost�edí s menším indexem lomu 2. prost�edí opticky hustší - prost�edí s v�tším indexem lomu

Podle zákona lomu nastává p�i p�echodu sv�tla z prost�edí: 1. opticky �idšího do prost�edí opticky hustšího lom sv�tla ke kolmici ( �( � )

2. opticky hustšího do prost�edí opticky �idšího lom sv�tla od kolmice ( �( � )

P�i odrazu a lomu sv�tla lze dopadající a odražený (resp. dopadající a lomený) paprsek vzájemn� zam�nit. Tento poznatek o zám�nnosti chodu paprsk� neplatí jen pro odraz a lom, ale obecn� i v geometrické optice. 11.4 Úplný odraz sv�tla

Uvažujme pr�chod sv�tla z prost�edí opticky hustšího do prost�edí opticky �idšího. S rostoucím úhlem dopadu se zv�tšuje i úhel lomu (lom od kolmice) a p�i ur�itém, tzv. mezním úhlu dopadu m� bude �� 90( . To je maximální úhel, p�i n�mž ješt� nastává lom sv�tla. P�i v�tších úhlech dopadu ( m�� ) lom sv�tla nenastává a sv�tlo se jen odráží. Nastává úplný (totální) odraz. Dob�e je pozorovatelný v praxi nap�. p�i pohledu z vody nahoru na hladinu, …

Snell�v zákon lomu lze pro úplný odraz zapsat ve tvaru:

1

2

90sinsin

nnm �

�

� �

1

2sinnn

m �� .

obr. 58

Úplný odraz se používá ke konstrukci odrazných hranol�, které v mnoha optických p�ístrojích slouží ke zm�n� chodu paprsk�. Na rozhraní sklo - vzduch je mezní úhel �� 42m� , takže p�i úhlu dopadu �45 nastává již totální odraz.

Na úplném odrazu sv�tla jsou založeny také vláknové vlnovody. Jejich základem je sklen�né vlákno, jehož st�ední �ást má v�tší index lomu než obvodová vrstva. Sv�telný paprsek se na ní úpln� odráží a sv�tlo se ší�í po trajektorii dané tvarem vlákna.

obr. 59

11.5 Disperze (rozklad) sv�tla Dopadá-li na optické rozhraní dvou prost�edí bílé sv�tlo, lomené sv�tlo již není bílé, ale jeho okraje jsou

zbarvené (jeden �erven�, druhý fialov�). Bílé sv�tlo se tedy p�i lomu rozkládá na barevné složky. Tento jev se nazývá disperze a je d�sledkem závislosti rychlosti sv�tla na jeho frekvenci. Rychlost sv�tla se zpravidla s rostoucí frekvencí zmenšuje a nastává tzv. normální disperze. Ve vakuu k disperzi sv�tla nedochází.

Vzhledem k tomu, že platí vc

n � , projevuje se disperze sv�tla r�znými

hodnotami indexu lomu optického prost�edí pro r�zné frekvence: Index lomu optického prost�edí se p�i normální disperzi s rostoucí frekvencí zv�tšuje. Disperze sv�d�í o tom, že bílé sv�tlo je složeno z jednoduchých (barevných) sv�tel, které dále nelze již rozložit.

11.5.1 Optické hranoly Po jednom lomu není rozklad sv�tla p�íliš patrný, protože paprsky fialového a

�erveného sv�tla svírají malý úhel. Proto se pro rozklad používá vícenásobný rozklad na n�kolika rozhraních. Nej�ast�ji se používá optický hranol vyrobený ze skla, které vykazuje zna�nou disperzi sv�tla. Hladké rovinné plochy hranolu (lámavé plochy), na nichž dochází k lomu sv�tla, svírají navzájem lámavý úhel . Paprsky dopadajícího a dvakrát lomeného sv�tla jsou odchýleny o úhel ) , který se nazývá deviace.

obr. 60


39

Bílé denní sv�tlo se hranolem rozloží na spektrum, v n�mž jsou zastoupeny všechny barvy odpovídající paprsk�m monofrekven�ího sv�tla v posloupnosti: �ervená, oranžová, žlutá, zelená, modrá, fialová. Od �ervené barvy k fialové roste frekvence sv�tla a tím i index lomu. Barvy nejsou rozloženy ve spektru rovnom�rn� - na �erveném konci spektra jsou barvy více nahušt�ny než na konci fialovém.

obr. 61

P�i pr�chodu sv�tla rozhraním dvou optických prost�edí se nem�ní jeho frekvence, m�ní se ale jeho

rychlost. Platí: ��vc

f ��0

, kde 0� je vlnová délka daného sv�tla ve vakuu a � je vlnová délka sv�tla v

daném prost�edí. Pro index lomu platí vc

n � � n0�

� � : V optickém prost�edí o indexu lomu n je vlnová

délka sv�tla n-krát menší než ve vakuu. 11.6 Jevy spojené s odrazem, lomem nebo disperzí sv�tla

V b�žném život� se setkáváme s �adou jev�, které lze vysv�tlit na základ� odrazu, lomu nebo disperze sv�tla:

1. zdánlivá hloubka p�edm�tu 2. fata morgana (v našich zem�pisných ší�kách efekt mokré silnice) 3. modrá barva oblohy 4. duha 5. zdánliv� vyšší poloha hv�zd nad obzorem 6. �tení záznamu z CD 7. …


40

12. Vlnová optika Základní vlastnosti sv�tla zákony jeho ší�ení ur�ují i r�zný p�ístup k výkladu sv�telných jev� a použití

metod jejich zkoumání. Podle toho se optika d�lí na: 1. optiku vlnovou - zabývá se jevy, které potvrzují vlnovou povahu sv�tla (interference, ohyb,

polarizace, …) 2. optiku paprskovou (geometrickou) - p�i popisu optického zobrazení zanedbává vlnovou povahu

sv�telného zá�ení. Je založena na principu nezávislosti chodu sv�telných paprsk�, na p�ímo�arém ší�ení sv�tla v homogenním prost�edí a na zákonech odrazu a lomu.

3. optiku kvantovou - zabývá se d�ji, p�i nichž se projevuje kvantový charakter sv�tla: sv�tlo je tvo�eno �ásticemi - fotony.

12.1 Interference sv�tla Interference (skládání) sv�tla je jev, p�i n�mž se nejvýrazn�ji projevují vlnové vlastnosti sv�tla.

Interference spo�ívá v tom, že vln�ní, která p�icházejí do ur�itého bodu z r�zných zdroj�, se v daném bod� vzájemn� skládají (u mechanického vln�ní se s�ítají okamžité výchylky, u elmg. vln�ní se s�ítají okamžité výchylky el. složky a mg. složky elmg. vln�ní).

Podmínky interference: 1. stejná vlnová délka skládajících se vln�ních 2. koherence vln�ní - koherentní jsou ta sv�telná vln�ní stejné frekvence, jejichž fázový rozdíl v

uvažovaném bod� se s �asem nem�ní. 3. zajišt�ní dráhového rozdílu

obr. 62

obr. 63

Dráhový rozdíl dvou sv�telných paprsk� z téhož zdroje lze vytvo�it r�zným zp�sobem: pomocí polopropustných zrcátek nebo pomocí otvoru a dvou št�rbin.

Je-li vzájemná vzdálenost št�rbin malá, lze sv�telné zá�ení za št�rbinami považovat za koherentní a lze pozorovat jeho interferenci. Interferen�ní obrazec vzniká na stínítku (matnici M), umíst�ném v dostate�né vzdálenosti od št�rbin, na které dopadá sv�tlo ze št�rbin s dráhovým rozdílem 12 lll �� . Interferen�ní obrazec v podob� sv�tlých a tmavých proužk� vzniká vzájemným skládáním sv�telných vln�ní z obou št�rbin:

1. sv�tlý proužek odpovídá interferen�nímu maximu - vzniká v místech, kde se koherentní sv�telná vln�ní setkávají se stejnou fází. Platí podmínka 0; Nkkl ��

2. tmavý proužek odpovídá interferen�nímu minimu - v místech, v nichž mají vln�ní fázi opa�nou.

Platí podmínka � 0;2

12 Nkkl ��

� je vlnová délka koherentního sv�telného vln�ní a k udává �ád interferen�ního maxima (minima). Dráhový rozdíl sv�telných vln�ní vzniká také p�i odrazu sv�tla na tenké vrstv� (mýdlová bublina, …).

Uvažujme jednoduchý model: Dopadá-li jeden paprsek monofrekven�ního sv�tla kolmo na vrstvu o indexu lomu n a tloušce d, dochází k jeho odrazu na horním rozhraní, �ást ho ale projde a odráží se op�t na rozhraní dolním. Tak získáme dva paprsky, mezi nimiž vzniká ur�itá dráhový rozdíl l� . Je-li vrstva dostate�n� tenká, paprsky lze považovat za koherentní a pozorujme interferenci, která se projeví zesílením nebo zeslabením odraženého sv�tla.

V optickém prost�edí o indexu lomu n je vlnová délka sv�tla n-krát menší. Urazí-li sv�tlo v tomto prost�edí geometrickou dráhu s, pak ve vakuu jí odpovídá dráha nsl � , která se nazývá optická dráha (tj. optická dráha je vzdálenost, kterou sv�tlo urazí ve vakuu za stejný �as jako v daném látkovém prost�edí). P�i výpo�tu dráhového rozdílu paprsk� pak uvažujeme vždy dráhu optickou, tj. dráhu, kterou by sv�tlo urazilo ve vakuu. V uvažovaném p�ípad� urazí sv�tlo odražené od dolního rozhraní geometrickou dráhu ds 2� . Jí odpovídá optická dráha ndll 2�� , která zárove� ur�uje i dráhový rozdíl obou paprsk�.

P�i odrazu sv�tla na rozhraní s opticky hustším prost�edím se fáze sv�telného vln�ní m�ní na opa�nou (dochází k odrazu na pevném konci). P�i odrazu sv�tla na rozhraní s opticky �idším prost�edím se fáze nem�ní (odraz na volném konci).

P�i dopadu sv�telného paprsku na horní rozhraní dochází ke zm�n� fáze na opa�nou, zatímco p�i odrazu

na dolním rozhraní se fáze nem�ní. Zm�nou fáze se tedy dráhový rozdíl paprsk� zv�tší o 2�

a je tedy 2�

��l .


41

Dostáváme tedy: 1. podmínku pro interferen�ní minima ve tvaru 0;2 Nkkndl ��

2. podmínku pro interferen�ní maxima ve tvaru ��

kl ��2

� � Nkkndl �� ;2

122�

12.2 Ohyb (difrakce) sv�tla Je odklon paprsk� od p�ímo�arého ší�ení,

který je zp�soben setkáním sv�tla s pevnou nepr�hlednou p�ekážkou. Tento jev je dob�e pozorovatelný, setká-li se sv�tlo s p�ekážkou jejíž rozm�ry jsou srovnatelné s vlnovou délkou sv�tla. Uvažujme dv� št�rbiny o stejné ší�ce a ve vzájemné vzdálenosti b, na které dopadá svazek rovnob�žných sv�telných paprsk�. Každá št�rbina se stává podle Huygensova principu zdrojem elementárních vln, které se ší�í všemi sm�ry. Vybereme paprsky vychýlené od p�vodní sm�ru o úhel � a soust�edíme je pomocí spojné �o�ky na stínítko. V bod� K se pak setkávají rovnob�žné paprsky jak z první, tak ze druhé št�rbiny. Na stínítku vzniká ohybový obrazec, který je ovlivn�n ješt� navíc interferencí.

obr. 64

Pro vznik interferen�ního maxima musí být dráhový rozdíl paprsk� roven �kl �� . Z obrázku plyne, že �sinbl �� kb �sin , kde úhel � ur�uje sm�r, v n�mž vzniká interferen�ní maximum, a 0Nk � je

�ád maxima. Pro interferen�ní minimum pak platí � 2

12sin�

� �� kb .

Optická m�ížka je tvo�ena soustavou velkého po�tu stejn� širokých rovnob�žných št�rbin, které jsou v malé vzdálenosti od sebe. Tato vzdálenost b se nazývá perioda m�ížky (m�ížková konstanta). Ohyb sv�tla na m�ížce lze popsat analogicky jako ohyb sv�tla na dvou št�rbinách.

Monochromatické sv�tlo vytvo�í po pr�chodu m�ížkou interferen�ní obrazec složený ze sv�tlých a tmavých pruh�, p�i�emž ostrost obrazce roste s hustotou vryp�. Dopadá-li na m�ížku bílé sv�tlo, je nulté maximum bílé, ale v dalších interferen�ních maximech lze pozorovat rozklad sv�tla. Vznikají zde spektra symetricky rozložená na ob� strany od nultého maxima. Blíže k nultému maximu je fialová �ást, dále od n�j �ást �ervená. 12.3 Polarizace sv�tla

Sv�tlo je p�í�né elmg. vln�ní, v n�mž vektor el. intenzity E�

je vždy kolmý na sm�r, kterým se vln�ní ší�í (a sou�asn� jsou oba kolmé na sm�r kmitání vektoru mg. indukce B

�

). Vektor E�

tedy leží v rovin�, na niž je paprsek sv�tla kolmý. Sm�r vektoru E

�

je ale v dané rovin� nahodilý (tj. vektor E�

m�ní svojí velikost i sm�r) - mluvíme o nepolarizovaném sv�tle.

Sv�tlo je možné polarizovat t�mito zp�soby: 1. polarizace odrazem a lomem - dopadá-li nepolarizované sv�tlo pod ur�itým úhlem rozhranní

dvou prost�edí pod ur�itým úhlem � , �áste�n� se polarizuje. Stupe� polarizace závisí na úhlu dopadu sv�tla. Odražené sv�tlo je úpln� polarizované jen p�i ur�itém úhlu dopadu, jehož velikost závisí na indexu lomu daného rozhraní. Svírá-li odražený a lomený paprsek úhel �90 (�

�� 90(� ), je odražený paprsek polarizovaný úpln� a lomený �áste�n�, ale p�evládá v n�m

jeden sm�r. K tomu dochází p�i úhlu dopadu B� , tzv. Brewsterov� úhlu dopadu. Snell�v zákon

lomu lze psát ve tvaru � B

B

B

BB

nn

��

��

(�

cossin

90sinsin

sinsin

1

2 ��

�� 1

2

nn

tg B �� .

2. polarizace dvojlomem - U anizotropních látek je rychlost ší�ení sv�tla závislá na sm�ru ší�ení. V d�sledku toho nastává u t�chto krystal� dvojlom. Sv�telný paprsek se na rozhraní s krystalem rozd�lí na paprsky dva - paprsek �ádný a paprsek mimo�ádný, p�i�emž oba paprsky jsou polarizované. Mezi nejznám�jší materiály s touto vlastností pat�í islandský vápenec, který tvo�í �iré a �asto pom�rn� velké krystaly. Podíváme-li se p�es tento krystal nap�. na kresbu, vidíme ji dvojit�, nebo p�i lomu je úhel �ádného a mimo�ádného paprsku odlišný. Paprsky �ádný mimo�ádný lze od sebe odd�lit nap�. totálním odrazem na tenké vzduchové vrstv�.

3. polarizace polaroidy - jedná se o speciální filtry zhotovené ze dvou vrstev plastického materiálu, mezi nimiž jsou krystalky mikroskopických rozm�r� látky zvané herapatit (sm�s síranu chininu s kyselinou sírovou, jodovodíkovou a jodem). Tato látka vykazuje dvojlom a r�zn� polarizované sv�telné vlny se v ní rozdíln� absorbují.

Za�ízení, kterým se p�irozené sv�tlo m�ní na sv�tlo polarizované, se nazývá polarizátor, v n�mž se využívá n�který z uvedených zp�sob� polarizace. Pro oko se ale polarizované sv�tlo nijak neliší od sv�tla


42

p�irozeného (nepolarizovaného). K tomu, abychom polarizované sv�tlo odlišili resp. zjistili orientaci roviny, v níž leží polarizovaná sv�telná vlna, je nutný analyzátor. Ten je tvo�en op�t vhodným polariza�ním prost�edkem, který propouští polarizované sv�tlo jen s ur�itou orientací kmitové roviny.


43

13. Zobrazování optickými soustavami Lidské oko, dalekohled, mikroskop, videokamera, fotografický p�ístroj, … vytvá�ejí obrazy p�edm�t� na

základ� zákon� optiky. Funkce t�chto p�ístroj� je založena na jednoduchých obecných principech paprskové (geometrické) optiky:

1. p�ímo�aré ší�ení sv�tla 2. zákon odrazu 3. zákon lomu 4. nezávislost chodu sv�telných paprsk�

To tedy znamená, že p�i výkladu základních poznatk� o vytvá�ení obraz� optickými soustavami nebudeme uvažovat vlnovou podstatu sv�tla. 13.1 Optické zobrazení

Optická soustava obecn� je uspo�ádání optických prost�edí, které m�ní sm�r chodu paprsk�. Postup, kterým získáme optické obrazy bod� (p�edm�t�), se nazývá optické zobrazení.

Svazek paprsk� vystupující z optické soustavy m�že být nejen sbíhavý, ale i rozbíhavý. V p�ípad� sbíhavého paprsku vzniká v pr�se�íku paprsk� skute�ný (reálný) obraz, který lze zachytit nap�. na stínítko, fotografický film, …

Vytvá�í-li optická soustava rozbíhavý svazek paprsk�, není možné zachytit obraz daného bodu na stínítko a skute�ný obraz nevzniká. Obraz lze ale pozorovat okem, protože o�ní �o�ka m�ní rozbíhavý svazek na sbíhavý. Obraz pak pozorujeme v pr�se�íku, který vznikne zp�tným prodloužením rozbíhavých paprsk�. V tomto p�ípad� vzniká zdánlivý (neskute�ný) obraz. 13.2 Zobrazení rovinným zrcadlem

Uplat�uje-li se p�i optickém zobrazení jen odraz sv�tla, mluvíme o zobrazení odrazem. V praxi se s ním setkáváme p�i pohledu na p�edm�ty s lesklým povrchem. Nejjednodušší je zobrazení odrazem na lesklé rovinné ploše, která se nazývá rovinné zrcadlo. Zdrojem sv�tla je bod A v prostoru p�ed zrcadlem, z n�hož vychází všemi sm�ry rozbíhavý svazek paprsk�. Paprsky dopadající na rovinu zrcadla se odrážejí podle zákona odrazu. Odražené paprsky tvo�í rozbíhavý svazek, což znamená, že p�i zobrazení rovinným zrcadlem vzniká neskute�ný obraz. P�i pohledu okem vidíme tento obraz v pr�se�íku A´ zp�tn� prodloužených paprsk�, tedy v prostoru za zrcadlem.

obr. 65

Vlastnosti obrazu vytvo�eného rovinným zrcadlem: 1. obraz je zdánlivý 2. vzdálenost a p�edm�tu od zrcadla je stejná jako vzdálenost a´ obrazu od zrcadla (obraz je

soum�rný se svým vzorem podle roviny zrcadla) 3. obraz je stranov� p�evrácený 4. obraz je vzp�ímený (p�ímý)

13.3 Konvence znamének a zna�ení V dalších kapitolách se budeme zabývat zobrazením kulovým zrcadlem a �o�kami. Pro n� platí jediná

rovnice, kterou lze použít jak pro zrcadla, tak pro �o�ky, p�i dodržení následujících pravidel: 1. Optickou soustavu kreslíme vždy tak, že paprsky procházejí touto soustavou zleva doprava 2. Orientovaná ohnisková vzdálenost (p�edm�tová nebo obrazová) se m��í od p�íslušného ohniska k

optickému st�edu (vrcholu) soustavy. Má-li tato orientovaná vzdálenost souhlasný sm�r se sm�rem chodu paprsk�, je kladná, má-li sm�r opa�ný je záporná.

3. Orientovaná výška p�edm�tu se zna�í y, orientovaná výška jeho obrazu y´. Tyto orientované výšky m��íme od optické osy (na níž p�edm�t stojí) ke konci p�edm�tu. Leží-li koncový bod p�edm�tu (nebo jeho obrazu) nad optickou osou, je jeho orientovaná výška kladná, leží-li pod optickou osou, je jeho orientovaná výška záporná.

4. Vzdálenost p�edm�tu od vrcholu (st�edu) optické soustavy (zrcadla, �o�ky) se zna�í a, vzdálenost jeho obrazu od vrcholu optické plochy se zna�í a´. Vzdálenost a se m��í vždy od p�edm�tu k vrcholu (st�edu) optické soustavy a je vždy kladná. Vzdálenost a´ se m��í od obrazu p�edm�tu k vrcholu (st�edu) dané soustavy. Jedná-li se o kulové zrcadlo je a´ kladná p�ed zrcadlem a záporná za zrcadlem. Jedná-li se o �o�ku je vzdálenost a´ kladná za �o�kou a záporná p�ed �o�kou.

5. U �o�ek zna�íme polom�ry k�ivostí indexy 1 a 2 a to tak, že index 1 p�ísluší optické ploše, na kterou paprsek dopadá jako první.

6. Polom�ry k�ivosti u �o�ek bereme kladné (resp. záporné), jedná-li se o plochu vypuklou (resp. dutou). Polom�ry k�ivosti u kulových zrcadel bereme kladné (resp. záporné), jedná-li se o plochu dutou (resp. vypuklou), což ostatn� plyne již z bodu 2.

7. Index lomu �o�ky se zna�í n2 , index lomu prost�edí, v n�mž se �o�ka nachází, se zna�í n1 .


44

13.4 Zobrazení kulovým zrcadlem Kulové zrcadlo je vytvo�eno na povrchu �ásti kulové plochy. Podle toho, na které stran� vrchlíku kulové

plochy je zrcadlící plocha, rozlišujeme: 1. duté zrcadlo - zrcadlící plocha je na vnit�ní stran� vrchlíku (viz obrázek a) 2. vypuklé zrcadlo - zrcadlící plocha je na vn�jší stran� vrchlíku (viz obrázek b)

P�ímka procházející st�edem k�ivosti C a vrcholem V zrcadla se nazývá optická osa zrcadla. Vzdálenost

CVr � je polom�r k�ivosti zrcadla.

V dalších úvahách se omezíme pouze na paprsky, které se nacházejí v blízkosti optické osy (v tzv. paraxiálním prostoru), tj. jejich úhel dopadu na zrcadlo je malý. Tímto omezením dostaneme kolineární zobrazení, tj. zobrazení, p�i n�mž se bod zobrazí na bod, p�ímka na p�ímku (tj. ne na oblouk, …), …

P�i optickém zobrazení používáme t�i význa�né paprsky:

obr. 66

1. Paprsek procházející st�edem C k�ivosti zrcadla se odráží se zp�t do bodu C. (Je to dáno tím, že tento paprsek dopadá na zrcadlo kolmo.)

2. Paprsek rovnob�žný s optickou osou dopadá na zrcadlo pod ur�itým úhlem, podle zákona odrazu m�ní sv�j sm�r tak, že optickou osu protíná v bod� F - ohnisko. (Paprsek rovnob�žný s optickou osou p�ichází z velmi vzdáleného (nekone�n� vzdáleného) zdroje sv�tla).

3. Paprsek procházející ohniskem (bodem F) dopadá na zrcadlo a odráží se rovnob�žn� s optickou osou. (Jeho vlastnost vyplývá ze zám�nnosti chodu paprsk�.)

obr. 67

obr. 68

Vzdálenost ohniska F od vrcholu V kulového zrcadla je ohnisková vzdálenost f: 2r

FVf �� .

U zrcadla dutého se paprsky v ohnisku skute�n� protínají - bod F p�edstavuje tedy skute�né ohnisko. Ohnisko zrcadla vypuklého je neskute�né. Vzdálenost AVa � p�edm�tu od vrcholu zrcadla se nazývá

p�edm�tová vzdálenost. Vzdálenost VAa ´´� je obrazová vzdálenost. Optické zobrazení charakterizuje veli�ina zvaná m��ítko optického zobrazení (p�í�né zv�tšení) Z. Je

definována pom�rem výšky obrazu y´ a výšky p�edm�tu y: yy

Z´

� .

Vlastnosti obrazu p�edm�tu p�i zobrazení dutým zrcadlem závisí na poloze p�edm�tu na optické ose: Vzdálenost

p�edm�tu obrazu Vlastnosti obrazu

ra � raf �� ´ zmenšený, p�evrácený, skute�ný ra � ra �´ stejn� vysoký, p�evrácený, skute�ný


45

raf �� ra �´ zv�tšený, p�evrácený, skute�ný

fa � *+á *+ý

fa � *�� ´0 a zv�tšený, vzp�ímený, zdánlivý

P�i zobrazení vypuklým zrcadlem vzniká vždy zmenšený, vzp�ímený a zdánlivý obraz.

13.4.1 Použití kulových zrcadel Dutá zrcadla jsou sou�ástí osv�tlovacích za�ízení - automobilových sv�tlomet�, projektor�, … Zde se

používají tzv. parabolická zrcadla, jejichž plocha má tvar rota�ního paraboloidu. U t�chto zrcadel je možné lépe dosáhnout požadavku, aby sv�tlo žárovky umíst�né v ohnisku zrcadla bylo soust�ed�no do svazku rovnob�žných paprsk�. Použitím parabolického zrcadla se koriguje kruhová vada zrcadla. Ta se projevuje tak, že rovnob�žné paprsky, které dopadají na kulové zrcadlo ve v�tší vzdálenosti od optické osy (tedy již nejsou v paraxiálním prostoru) se neodráží p�esn� do ohniska. V d�sledku toho se získaný obraz deformuje.

Dutá zrcadla se také požívají v dámských zrcátkách: žena si prohlíží tvá� ze vzdálenosti menší než je ohnisková vzdálenost, a tak vzniká zv�tšený a vzp�ímený obraz.

Dále se dutá zrcadla používají v astronomických dalekohledech, kde mají pr�m�r až n�kolik metr�. Rovnob�žné paprsky p�icházející z hv�zdy jsou zrcadlem soust�ed�ny do jeho ohniska. Aby bylo možné obraz hv�zdy pozorovat (fotografovat) jsou paprsky odchýleny rovinným zrcadlem mimo tubus dalekohledu. Soust�ed�ným slune�ních paprsk� v ohnisku lze dosáhnout vysokých teplot (až C�3800 ).

Vypuklá zrcadla se užívají nap�. na k�ižovatkách, … 13.5 Zobrazení �o�kami

V optických p�ístrojích má velký význam zobrazení lomem, které se uskute��uje �o�kami. Ty se zhotovují ze skla, které má vyšší index lomu 2n , než je index lomu 1n okolního prost�edí (v�tšinou vzduch). Povrch �o�ky tvo�í dv� kulové plochy (resp. jedna plocha kulová a jedna plocha rovinná). Podle uspo�ádání ploch rozlišujeme �o�ky spojné (spojky) a �o�ky rozptylné (rozptylky).

obr. 69

Parametry �o�ek jsou podobné jako parametry kulových zrcadel: Optická osa prochází st�edy k�ivosti optických ploch 1C a 2C a vrcholy optických ploch 1V a 2V . Veli�iny 1r a 2r p�edstavují polom�ry k�ivosti optických ploch �o�ky. Tloušku �o�ky (vzdálenost 21VV ) budeme považovat za malou, takže platí:

OVV �� 21 , kde O je optický st�ed �o�ky. V tom p�ípad� hovo�íme o tenké �o�ce. Sv�tlo �o�kou prochází

a proto rozlišujeme prostor p�edm�tový - z n�ho sv�tlo p�ichází, a prostor obrazový - prostor, do n�hož sv�tlo vstupuje po pr�chodu �o�kou

obr. 70

Tenké �o�ky mají následující vlastnosti: 1. Paprsky procházející optickým st�edem �o�ky nem�ní sv�j sm�r. 2. Paprsky rovnob�žné s optickou osou v prostoru p�edm�tovém se po pr�chodu �o�kou lámou tak,

že v prostoru obrazovém sm��ují do jednoho bodu na optické ose - do obrazového ohniska F´. U spojky je toto ohnisko skute�né (paprsky se zde protínají), u rozptylky je toto ohnisko zdánlivé (paprsky jsou po pr�chodu rozptylkou rozbíhavé).

3. Na optické ose spojky v prostoru p�edm�tovém leží p�edm�tové ohnisko F, které má tu vlastnost, že paprsky, které jím procházejí, jsou po pr�chodu �o�kou rovnob�žné s optickou osou v prostoru obrazovém. U rozptylky leží p�edm�tové ohnisko v prostoru obrazovém a sbíhavé paprsky, které do n�ho mí�í, jsou po pr�chodu �o�kou rovnob�žné s optickou osou.

Vzdálenost FO se nazývá p�edm�tová ohnisková vzdálenost f , vzdálenost ÓF je obrazová ohnisková vzdálenost f´. Je-li p�ed a za tenkou �o�kou stejné prost�edí, platí: ´ff � . (Pak se používá název


46

ohnisková vzdálenost �o�ky f.) Její velikost závisí na indexu lomu 2n skla, z n�hož je �o�ka vyrobena, na

indexu lomu 1n okolního prost�edí a na polom�rech k�ivosti 1r a 2r optických ploch podle vztahu:

!

"##$

%�

!

"##$

%��

211

2 111

1rrn

nf

. Podle znaménka ohniskové vzdálenosti rozlišujeme:

1. spojky - 0�f , ohniska jsou skute�ná

2. rozptylky - 0�f , ohniska jsou neskute�ná

Charakteristickou veli�inou �o�ky je její optická mohutnost : f1

� ; � � Dm �� 1 (dioptrie).

Stejn� jako p�i zobrazování kulovými zrcadly se používají t�i význa�né paprsky. Vzdálenost AOa � se

nazývá p�edm�tová vzdálenost a obraz vzniká v obrazové vzdálenosti OAa ´´� .

obr. 71

obr. 72 Vlastnosti obrazu p�i zobrazení tenkou spojnou �o�kou v závislosti na poloze p�edm�tu na optické ose:

Vzdálenost p�edm�tu obrazu

Vlastnosti obrazu

fa 2� faf 2´�� zmenšený, p�evrácený, skute�ný fa 2� fa 2´� stejn� vysoký, p�evrácený, skute�ný

faf 2�� fa 2´� zv�tšený, p�evrácený, skute�ný

fa � *+á *+ý

fa � *�� ´0 a zv�tšený, vzp�ímený, zdánlivý

P�i zobrazení tenkou rozptylnou �o�kou vzniká p�i všech polohách p�edm�tu obraz zmenšený, vzp�ímený a zdánlivý.

13.5.1 Zobrazovací vady �o�ek U skute�ných (reálných) �o�ek dochází p�i zobrazení k �ad� vadám, které jsou spojeny s tím, že tloušku

�o�ky ne vždy lze zanedbat, se závislostí indexu lomu na frekvenci, … Existují tyto základní zobrazovací vady �o�ek:

1. otvorová - �ím dále bude paprsek rovnob�žný s optickou osou, tím blíže bude paprsek prošlý �o�kou protínat optickou osu (tj. paprsky vzdálené od optické osy nejsou paraxiální). Tuto vadu lze omezit jednoduchým zúžením svazku paprsk� (nap�. kruhovou clonou, …).

2. zklenutí obrazu - p�edm�t se p�i zobrazení deformuje tak, že bu „nabobtná“ nebo se „smrskne“. Ke zklenutí obrazu dochází v d�sledku toho, že body vzdálen�jší od optické osy se zobrazují s jiným zv�tšením.

3. barevná - vzniká v d�sledku závislosti indexu lomu na frekvenci sv�tla. Paprsek bílého sv�tla, který dopadá na �o�ku rovnob�žn� s optickou osou, se p�i pr�chodu �o�kou rozkládá na paprsky základních barev, které protínají optickou osu každý ve „svém“ ohnisku.

K odstran�ní uvedených vad se používají �o�kové multiplety (dublety, triplety, …), tj. n�kolik �o�ek dohromady. Tyto �o�ky jsou vytvo�ené z takových materiál�, které mají takové chyby, které se vzájemn� vykompenzují. 13.6 Zobrazovací rovnice kulového zrcadla a �o�ky

je vztah faa1

´11

�� . P�í�né zv�tšení je možné vypo�ítat též na základ� veli�in a, a´ a f. Pomocí

grafického zobrazení a podobnosti lze pro p�í�né zv�tšení Z odvodit: fa

ff

faaa

yy

Z�

��

��´´´

.

Pro p�í�né zv�tšení platí tyto relace: 1. 0�Z - obraz je vzp�ímený 2. 0�Z - obraz je p�evrácený

3. 1�Z - obraz je zv�tšený


47

4. 1�Z - obraz je zmenšený

5. 1�Z - obraz je stejn� velký jako p�edm�t

13.7 Oko jako optická soustava Oko je schopno provád�t n�kolik transformací pro upravení své optické mohutnosti.

1. poloha oka - m�ní se tak, aby sv�telné zá�ení dopadalo na sítnici na optickou osu oka (tj. na žlutou skvrnu). P�i pozorném prohlížení detail� oko neustále kmitá.

2. adaptace - roztahováním a stahováním duhovky se reguluje množství sv�tla dopadajícího do oka. 3. akomodace - zkracování a prodlužování o�ní �o�ky. P�i zv�tšené námaze (p�i velkém výdeji

energie), dojde k zv�tšení optické mohutnosti oka zv�tšením polom�r� k�ivosti o�ní �o�ky. To vede ke zmenšení ohniskové vzdálenosti o�ní �o�ky a ke snadn�jšímu zaost�ení blízkých p�edm�t�. Naopak p�i pohledu na vzdálené p�edm�ty oko odpo�ívá, tj. akomodace (a optická mohutnost oka) je nejmenší. Akomodace se uskute��uje tak, že kruhový ciriální sval více �i mén� napíná �o�ku, �ímž m�ní její zak�ivení a tím i optickou mohutnost.

Ohnisková vzdálenost o�ní �o�ky odpovídá vzdálenosti �o�ky od sítnice a �iní p�ibližn� cm6,1 (p�i pozorování vzdálených p�edm�t�, nebo obraz p�edm�tu v „nekone�nu“ vzniká v ohnisku, tj. na sítnici).

O�ní �o�ka je dvojvypuklá spojka, jejíž index lomu se zv�tšuje od povrchu k jejímu vnit�ku. Její vzdálenost od sítnice je stálá.

Rozsah vzdáleností, na které se m�že oko akomodovat, je ur�ena dv�ma body: 1. vzdálený bod oka - nejv�tší vzdálenost, p�i které se pozorovaný p�edm�t zobrazí ost�e. Pro zdravé

oko se nachází v nekone�nu. Jeho poloha se m�že s v�kem m�nit. 2. blízký bod oka - nejmenší vzdálenost pozorovaného p�edm�tu, p�i níž se daný p�edm�t zobrazí

ost�e. Pro zdravé oko je tato vzdálenost maximáln� cm25 . Poloha blízkého bodu se s v�kem �lov�ka m�ní tak, že blízký bod se posouvá dál od oka. S v�kem se m�ní totiž optická mohutnost oka, schopnost akomodace, složení a množství bílkovin v oku, …

Vid�ní na vzdálenosti menší než cm25 je namáhavé - akomodace oka je maximální a oko se brzy unaví. Vzdálenost, v níž m�žeme pozorovat (�íst, psát, …) delší dobu bez v�tší námahy je práv� cmd 25� a nazývá se konvek�ní zraková vzdálenost.

Mezi nej�ast�jší odchylky od vlastností normálního oka pat�í: 1. krátkozraké oko - vzdálený bod je v kone�né vzdálenosti a blízký bod je posunutý blíže k oku.

Krátkozraký �lov�k tedy vidí špatn� na dálku. Obraz p�edm�tu vzniká p�ed sítnicí díky p�íliš velké optické mohutnosti o�ní �o�ky. Korekcí je tedy t�eba snížit optickou mohutnost celé soustavy (oko + další �o�ka), proto se používají rozptylky.

2. dalekozrakost - vzdálený bod je v nekone�nu a blízký bod ve v�tší vzdálenosti od oka než u zdravého oka. Dalekozraký �lov�k tedy vidí špatn� blízké p�edm�ty. Obraz p�edm�tu vzniká za sítnicí díky tomu, že optická mohutnost o�ní �o�ky je p�íliš malá. Proto se jako korekce používají spojky.

3. astigmatismus - vada, p�i níž se �ást obrazu zobrazí p�ed sítnici, �ást obrazu za sítnici. Vzniká díky nestejné optické mohutnosti celé o�ní �o�ky.

13.8 Optické p�ístroje Optické p�ístroje lze rozd�lit na:

1. subjektivní 2. objektivní

13.8.1 Subjektivní optické p�ístroje Jejich princip spo�ívá v tom, že vytvá�ejí zdánlivý obraz, který okem (tedy subjektivn�) pozorujeme po

zv�tšeným zorným úhlem. Mezi subjektivní optické p�ístroje pat�í brýle, lupa, mikroskop, dalekohled, … 13.8.1.1 Lupa

Nejjednodušším subjektivním optickým p�ístrojem je lupa, jejíž optickou soustavu tvo�í jedna jediná spojná �o�ka o ohniskové vzdálenosti f. Lupu používáme tak, že ji p�iblížíme k oku a p�edm�t o výšce y umístíme do p�edm�tového ohniska lupy pop�. do vzdálenosti o n�co menší, tj. fa � . Lupa spolu s o�ní �o�kou pak vytvá�í optickou soustavu o v�tší mohutnosti, než má samotné oko. Vzniká vzp�ímený, zv�tšený a zdánlivý obraz.

V p�ípad�, že je p�edm�t v ohnisku lupy, jsou paprsky vycházející z ur�itého bodu p�edm�tu v obrazovém prostoru rovnob�žné. Obraz na sítnici vzniká bez akomodace, tj. oko je zaost�eno na p�edm�t v nekone�nu. Je-li fa � , vzniká zdánlivý obraz, na jehož vzdálenost se oko akomoduje.

Aby lupa v�bec zv�tšovala, musí být použita spojná �o�ka o ohniskové vzdálenosti df � .

13.8.1.2 Mikroskop Mikroskop se skládá (stejn� jako dalekohledy) ze dvou základních optických prvk�:


48

1. objektiv - optický prvek, který se nachází blíže k pozorovanému p�edm�tu (objektu). Objektiv zobrazuje p�ímo pozorovaný p�edm�t - musí tedy vytvá�et skute�ný obraz p�edm�tu, a proto se jedná o spojný systém. Z uvedených d�vod� se musí tedy p�edm�t nacházet dále, než je ohnisková vzdálenost objektivu. Objektiv zpravidla obraz p�evrací.

2. okulár - optický prvek, který je blíže k oku. Skute�ný obraz vytvo�ený objektivem okulár posouvá dále od oka, abychom mohli p�edm�t dob�e zaost�it. Vzhledem k tomu, že oko se nejmén� namáhá, pozoruje-li obraz p�edm�tu v nekone�nu, je okulár umíst�n tak, aby se obraz vytvo�ený objektivem nacházel v ohnisku okuláru.

U mikroskopu je objektiv i okulár tvo�en spojnými soustavami. P�edm�t je umíst�n v blízkosti ohniska objektivu tak, že fa � . Objektiv tedy vytvo�í skute�ný, p�evrácený a zv�tšený obraz p�edm�tu. Okulár, který má ohniskovou vzdálenost v�tší, je vlastn� lupou, kterou pozorujeme obraz vytvo�ený objektivem. Obraz o výšce y´ leží v ohnisku okuláru.

Mezi obrazovým ohniskem 1F � objektivu a p�edm�tovým ohniskem 2F okuláru je vzdálenost

21FF �� , která se nazývá optický interval mikroskopu.

13.8.1.3 Dalekohled Dalekohled je optický p�ístroj, který slouží pro pozorování („nekone�n�“) vzdálených p�edm�t�. Podle

toho, jaký optický prvek tvo�í objektiv se dalekohledy d�lí na: 1. refraktory - objektiv je tvo�en spojnou �o�kou; Kepler�v, Galile�v, … 2. reflektory - objektiv je tvo�en dutým zrcadlem; Newton�v, …

Kepler�v dalekohled je tvo�en dv�ma spojnými systémy. Rovnob�žné paprsky velmi vzdáleného p�edm�tu procházejí objektivem o velké ohniskové vzdálenosti 1f a v obrazovém ohnisku objektivu (které splývá s p�edm�tovým ohniskem okuláru) se vytvá�í obraz, který op�t pozorujeme okulárem (lupou). Keplerovým dalekohledem vidíme sledovaný objekt p�evrácený, což p�i astronomickém pozorování nevadí. Pro pozemská pozorování je chod paprsk� v dalekohledu upraven pomocí hranol� (nebo další spojky) tak, abychom vid�li obraz vzp�ímený. Tato je upraven dalekohled nazývaný triedr (hranolový dalekohled).

Objektiv Galileiho dalekohledu tvo�í spojná �o�ka, okulár je tvo�en rozptylkou. Obrazové ohnisko objektivu 1�F splývá s p�edm�tovým ohniskem okuláru 2F , vzdálenost optických st�ed� objektivu a okuláru je

21 ff � . Vzniklý obraz je p�ímý, neskute�ný, úhlov� zv�tšený. Principu Galileiho dalekohledu se užívá nap�. v

divadelním kukátku. Newton�v dalekohled je popsán v odstavci 13.4.1.

13.8.2 Objektivní optické p�ístroje Objektivní optické p�ístroje jsou takové p�ístroje, které vytvá�ejí skute�ný obraz p�edm�tu - na projek�ní

st�n�, na citlivé vrstv� filmu, … Pat�í sem projek�ní p�ístroje (diaprojektory, filmové projektory, dataprojektory, …), fotografický p�ístroj, zv�tšovací p�ístroj, filmová kamera, … 13.8.2.1 Fotografický p�ístroj

Z klasických optických p�ístroj� nepozbyl na významu fotografický p�ístroj. Na n�m je možné dokumentovat �adu vlastností a poznatk� o objektivech, které se uplat�ují i v moderních videosystémech.

Objektiv fotografického p�ístroje je spojná optická soustava, kterou charakterizují dv� veli�iny: 1. ohnisková vzdálenost - udává se v milimetrech a lze ji nalézt na obrub� objektivu. Její velikost

rozhoduje o úhlu, který svírají krajní paprsky. Tyto paprsky procházejí st�edem objektivu a vymezují ší�ku obrazu na citlivé vrstv� filmu (tzv. úhel záb�ru).

2. sv�telnost - rozhoduje o toku sv�tla, které prochází objektivem na citlivou vrstvu filmu. �ím v�tší sv�telnost objektivu, tím více sv�tla dopadá na film, což umož�uje zhotovit nap�. fotografický snímek i za horších sv�telných podmínek. Sv�telnost objektivu souvisí s pr�m�rem vstupního otvoru objektivu: �ím je p�i dané ohniskové vzdálenosti f tento pr�m�r v�tší, tím v�tší je sv�telnost objektivu.

Sv�telnost objektivu lze ur�it kvalitativn� pomocí clonového �ísla, které je definováno jako podíl

ohniskové vzdálenosti f a pr�m�ru d vstupního otvoru, tj. df

: �ím v�tší je clonové �íslo (p�i dané ohniskové

vzdálenosti), tím menší je pr�m�r vstupního otvoru objektivu a tím mén� sv�tla objektivem prochází. Clonové �íslo také ovliv�uje hloubku ostrosti zobrazení, tj. schopnost objektivu zobrazit ost�e p�edm�ty

v r�zných vzdálenostech od objektivu. Neostrost je zp�sobena tím, že paprsky vycházející z bod� v r�zných vzdálenostech se protínají p�ed rovinou filmu a za ní. Na filmu pak místo bod� vznikají plošky, které jsou tím v�tší, �ím v�tší je pr�m�r vstupní plochy objektivu, a tedy �ím menší je clonové �íslo.


49

14. Základní poznatky molekulové fyziky a termodynamiky 14.1 Kinetická teorie stavby látek

Základem této teorie jsou 3 experimentáln� ov��ené poznatky: 1. Látka jakéhokoliv skupenství se skládá z �ástic. 2. �ástice se látce neustále a neuspo�ádan� (chaoticky) pohybují. 3. �ástice na sebe navzájem p�sobí silami. Tyto síly jsou p�i malých vzdálenost odpudivé, p�i

v�tších vzdálenostech p�itažlivé. 14.2 Teplota a její m��ení

T�les�m, která jsou p�i vzájemném dotyku v rovnovážném stavu, p�i�azujeme stejnou teplotu. K ur�ení teploty je t�eba zvolit vhodné srovnávací t�leso - teplom�r, u n�hož stanovíme fyzikální

veli�inu, pomocí které budeme teplotu m��it (objem kapaliny, tlak plynu, …). Dále je nutno stanovit teplotní stupnici a jednotku teploty. P�i m��ení teploty postupujeme tak, že uvedeme do vzájemného dotyku t�leso, jehož teplotu chceme zm��it, a teplom�r. Po vytvo�ení rovnovážného stavu je teplota t�lesa stejná jako teplota teplom�ru (p�edpokládáme, že p�i vyrovnávání teplot se teplota p�íliš nem�ní).

Pro m��ení teploty se užívá celá �ada teplom�r�: kapalinové, plynové, bimetalové, odporové, … Celsiova teplotní stupnice má dv� základní teploty: C�0 (rovnovážný stav vody a jejího ledu za

normálního tlaku Pa510.01325,1 ) a C�100 (rovnovážný stav vody a její syté páry za normálního tlaku), mezi nimiž je rozd�lena na 100 stejných dílk�. Jeden dílek odpovídá jednomu Celsiovu stupni ( C� ). Na základ� nap�. zm�ny objemu kapaliny m��íme Celsiovu teplotu t.

Termodynamická teplotní stupnice – zavedena skotským fyzikem W. Thomsonem (lord Kelvin) na základ� poznatk� termodynamiky o ú�innosti tepelných stroj�; tato tzv. termodynamická teplota T ( � � KT � - kelvin) je nezávislá na teplom�rné látce; tato stupnice má jen jednu základní teplotu - teplotu rovnovážného stavu vody, její syté páry a ledu - tzv. trojný bod, kterému byla p�i�azena teplota KTr 16,273� . Platí tyto

vztahy: , -� CTt �� 15,273 , , -� KtT 15,273�� a , - , - , - , -TTTttt �� 2121

14.3 Vnit�ní energie Ze zkušenosti víme, že když nap�. pustíme mí�ek z ur�ité výšky, nikdy se nevrátí po odrazu zp�t do

p�vodní výšky. Na první pohled to vypadá, že je porušen zákon zachování energie. Ve skute�nosti je t�eba vzít do úvahy ješt� �ásticovou stavbu látky, která souvisí s vnit�ní energií t�lesa. K této vnit�ní energii t�lesa p�ispívá:

1. celková kinetická a potenciální energie všech neuspo�ádan� se pohybujících �ástic 2. celková kinetická a potenciální energie kmitajících atom� uvnit� molekul, z nichž je látka složena 3. energie atom� (energie elektron�, jaderná energie, …)

Vnit�ní energie není obecn� konstantní veli�ina - m�že se m�nit: 1. konáním práce - t�ení dvou t�les, stla�ování plynu, prudké míchání kapaliny, ohýbání drátu, … 2. tepelnou vým�nou - oh�ívání vody na va�i�i, ochlazování potravin v chladni�ce, …

14.4 Zm�na vnit�ní energie tepelnou vým�nou P�i dotyku dvou t�les dochází ke srážkám �ástic ležících na rozhraní obou t�les, p�i nichž �ástice

teplejšího t�lesa p�edávají �ást své energie �ásticím t�lesa studen�jšího. P�edávání energie probíhá i mezi r�znými �ásticemi téhož t�lesa, mají-li r�znou teplotu.

Odevzdá-li teplejší t�leso studen�jšímu t�lesu tepelnou vým�nou energii, �íkáme, že teplejší t�leso odevzdalo studen�jšímu t�lesu teplo. (Analogicky pro p�ípad, kdy studen�jší t�leso p�ijme teplo od t�lesa teplejšího.) Jinými slovy: Teplo Q je ur�eno energií, kterou p�i tepelné vým�n� p�edá teplejší t�leso studen�jšímu, � � JQ � .

P�i tepelné vým�n� mezi t�lesy v izolované soustav� platí zákon zachování energie: úbytek vnit�ní energie t�lesa s v�tší teplotou se rovná p�ír�stku vnit�ní energie t�lesa s p�vodn� nižší teplotou. Celková vnit�ní energie izolované soustavy z�stává konstantní. 14.5 M�rná tepelná kapacita

P�ijme-li t�leso teplo Q tepelnou vým�nou, vzroste jeho vnit�ní energie o hodnotu U� a zvýší se teplota

t�lesa o t� (nenastane-li zm�na skupenství látky). Tepelnou kapacitu definujeme vztahem t

QC

�� ,

� � 1. �� KJC . M�rná tepelná kapacita se pak definuje vztahem tm

QmC

c�

��.

, kde m je hmotnost t�lesa. Platí

� � 11.. �� KkgJc . Z tohoto vztahu pro teplo dodané t�lesu vyplývá: tcmQ �� .

14.6 Kalorimetrická rovnice Uvažujme situaci, kdy do tepeln� izolované nádoby s kapalinou umístíme t�leso o hmotnosti 1m , jehož

teplota je 1t a m�rná tepelná kapacita 1c . P�edpokládejme, že kapalina má hmotnost 2m , teplotu 2t ( 12 tt � )

a m�rnou tepelnou kapacitu 2c . Tepelná vým�na bude probíhat tak dlouho, dokud nenastane rovnovážný stav,


50

p�i n�mž se teploty t�lesa a kapaliny vyrovnají na výslednou teplotu t ( 12 ttt �� ). Ze zákona zachování energie vyplývá, že úbytek vnit�ní energie t�lesa je stejný jako p�ír�stek vnit�ní energie kapaliny (celková vnit�ní energie v tepeln� izolované soustav� je stálá). Teplo � ttcmQ �� 1111 , které odevzdá t�leso, se tedy

rovná teplu � 2222 ttcmQ �� , které p�ijme kapalina v nádob�. Platí tzv. kalorimetrická rovnice:

� � 222111 ttcmttcm �� , která se ovšem p�ípad od p�ípadu liší. Obecn� ji lze formulovat takto:

t�lesemdruhýmp�ijatét�lesemjednimodevzdané QQ � (pracujeme-li v tepeln� izolované soustav�).

14.7 První termodynamický zákon V praxi existuje málo d�j�, p�i nichž t�leso p�ijímá nebo odevzdává teplo jen tepelnou vým�nou nebo

konáním práce. B�žn�jší jsou d�je, p�i nichž dochází k odevzdávání nebo p�ijímání tepla ob�ma zp�soby. (Jestliže nap�. plyn stla�ujeme pístem a zárove� zah�íváme teplejším t�lesem, p�ijímá plyn teplo sou�asn� ob�ma zp�soby.)

P�ír�stek vnit�ní energie soustavy U� se pak rovná sou�tu práce W vykonané okolními t�lesy p�sobícími na soustavu ur�itými silami a tepla Q odevzdaného okolními t�lesy soustav�. Lze tedy psát:

QWU �� , což je formulace prvního termodynamického zákona (první v�ty termodynamické). Jiná formulace �íká, že nelze sestrojit perpetum mobile prvního druhu. Perpetum mobile prvního

druhu je periodicky pracující stroj, který by b�hem jednoho cyklu vykonal v�tší práci než je p�ijatá energie. Z prvního termodynamického zákona vyplývají dva zvláštní p�ípady:

1. 0�Q - pak dostáváme WU �� , tj. zm�na vnit�ní energie je dána prací vykonané silovým p�sobením okolních t�les. D�j, p�i n�mž neprobíhá tepelná vým�na mezi soustavou a okolím (tedy vnit�ní energie se m�ní jen konáním práce), se nazývá adiabatický.

2. 0�W - dostáváme QU �� , tj. p�i d�ji, p�i n�mž se m�ní vnit�ní energie jen tepelnou vým�nou, se zm�na vnit�ní energie soustavy rovná teplu, které soustava p�ijala (resp. odevzdala).

Místo práce W, kterou vykonají okolní t�lesa p�sobící silou na zvolenou soustavu pro ur�ité dráze, bývá �asto výhodn�jší uvažovat práci ´W , kterou vykoná soustava tím, že p�sobí na okolní t�lesa po stejné dráze silou opa�ného sm�ru. Podle zákona akce a reakce platí: ´WW �� a první termodynamický zákon pak dostáváme ve tvaru QWU �� ´ �ili ´WUQ �� : teplo dodané soustav� se rovná sou�tu p�ír�stku její vnit�ní energie U� a práce ´W , kterou soustava vykoná. Jestliže soustava konáním práce odevzdává energii okolním t�les�m, je 0�W a 0´�W . 14.8 P�enos vnit�ní energie

P�enos vnit�ní energie z míst s vyšší teplotou do míst s nižší teplotou se m�že uskute�nit: 1. tepelnou vým�nou vedením - nap�. zah�íváme-li jeden konec ty�e, pozorujeme postupné

zvyšování teploty podél celé ty�e. �ástice zah�ívané �ásti t�lesa se více rozkmitají a p�edávají �ást své energie sousedním �ásticím. R�zné látky se liší tepelnou vodivostí. Nejv�tší tepelnou vodivost mají kovy (elektrický va�i�, pájka, …). Naopak velmi malou tepelnou vodivost má voda, nejnižší tepelnou vodivost mají plyny. Proto sypké a pórovité látky uvnit� kterých je vzduch, jsou špatnými tepelnými vodi�i (textilie, pe�í, suché d�evo, …), a proto se používají jako tepelná izolace. Vedení si lze p�edstavit nap�. na kovové ty�i délky d, na jejíchž koncích je udržován stálý teplotní

rozdíl T T2 1� , teplota klesá rovnom�rn� od teplejšího konce k chladn�jšímu. Výraz T T

d2 1�

zna�í teplotní spád (gradient). Teplo Q, které projde libovolným kolmým pr��ezem S ty�e za dobu

. , je rovno: .�d

TTSQ 12 �

� , kde � je sou�initel tepelné vodivosti ( � � 11.. �� KmW� ).

2. tepelnou vým�nou zá�ením - tepelná vým�na mezi dv�ma t�lesy se uskute��uje vyza�ováním nebo pohlcováním elektromagnetického zá�ení, jehož vysílání je podmín�no tepelným pohybem atom� a molekul t�lesa. Tepelná vým�na zá�ením není vázána na p�ítomnost látkového prost�edí, tj. m�že probíhat i ve vakuu (zá�ení Slunce, které dopadá na Zem, …).

3. tepelnou vým�nou proud�ním - probíhá díky skute�nosti, že hustota tekutin s rostoucí teplotou zpravidla klesá. Zah�íváme-li nap�. v tíhovém poli kapalinu (nebo plyn), vzniká proud�ní: Chladn�jší kapalina (plyn) má totiž v�tší hustotu, proto klesá dol� a vytla�uje tak teplejší kapalinu (plyn) vzh�ru. Proudící tekutina tak p�enáší vnit�ní energii z teplejších míst do míst chladn�jších. (Nap�. vytáp�ní byt�: oh�átý vzduch stoupá od zdroje tepla vzh�ru, proudí p�i strop� ke vzdálen�jší st�n� bytu, postupn� chladne a klesá dol�, další teplý vzduch „ho žene“ dále (ke zdroji tepla) a celý kolob�h se opakuje; ...)


51

14.9 Zm�ny skupenství látek Jedna látka se m�že

vyskytovat jako plynná, kapalná nebo pevná. Tyto t�i stavy téže látky nazýváme skupenství plynné, kapalné a pevné. Zm�nou skupenství rozumíme fyzikální d�j, p�i n�mž se m�ní skupenství látky.

obr. 73 Zm�na skupenství látek PROBÍHÁ P�I KONSTANTNÍ TEPLOT� a látka o hmotnosti m p�i této zm�n�

p�ijme od okolí (resp. odevzdá okolí) tzv. skupenské teplo (tání, vypa�ování, tuhnutí, …) mlL .� , kde l je

m�rné skupenské teplo (tání, vypa�ování, tuhnutí, …); � � 1. �� kgJl .


52

15. Struktura a vlastnosti plyn� 15.1 Ideální plyn

je zjednodušený modele (idealizace) reálného plynu. Ideální plyn má tyto vlastnosti: 1. rozm�ry molekul jsou ve srovnání se st�ední vzdáleností molekul od sebe zanedbateln� malé 2. molekuly ideálního plynu na sebe navzájem nep�sobí silami (krom� okamžiku vzájemných

srážek) 3. vzájemné srážky molekul ideálního plynu a srážky molekul se st�nami nádoby jsou dokonale

pružné 15.2 St�ední kvadratická rychlost

Plyn uzav�ený v nádob� obsahuje N molekul stejné hmotnosti 0m . Z tohoto po�tu má v d�sledku

neuspo�ádaného pohybu iN� molekul rychlost v intervalu vvv ii ��; . Celková kinetická energie molekul

konajících neuspo�ádaný posuvný pohyb je: � ��

��n

iiik vNmE

1

202

1.

P�edstavíme-li si, že se všechny molekuly daného plynu pohybují stejnou rychlostí kv , kterou volíme

tak, aby celková kinetická energie kE z�stala nezm�n�ná, pak se rychlost kv nazývá st�ední kvadratická rychlost. 15.3 Teplota plynu z hlediska molekulové fyziky

S rostoucí teplotou se zvyšuje rychlost molekul, zvyšuje se tedy i st�ední kvadratická rychlost a tím

pádem i kinetická energie molekuly 200 2

1kvmE � , kterou má molekula v d�sledku svého neuspo�ádaného

pohybu. Tato energie závisí na teplot� vztahem kTE23

0 � , kde 123 .10.38,1 �� KJk je Boltzmannova

konstanta. Z tohoto vztahu lze vyjád�it závislost st�ední kvadratické rychlosti na teplot� T: 0

3mkT

vk � .

15.4 Tlak plynu z hlediska molekulové fyziky Sou�asné nárazy molekul plynu na rovinnou st�nu o obsahu S se projevují jako tlaková síla F

�

plynu na

st�nu. Vztah SF

p � vyjad�uje tlak plynu v daném okamžiku. Molekuly se ale pohybují neuspo�ádan�, neustále

se m�ní jejich po�et i rychlost náraz� na st�ny. To zp�sobuje, že ani tlak není konstantní, ale kolísá kolem ur�ité st�ední hodnoty sp - jedná se o fluktuaci tlaku. Pro st�ední hodnotu tlaku plynu v nádob� lze odvodit tzv.

základní rovnici pro tlak plynu: 203

1kV vmNp � , kde VN je hustota molekul a 0m hmotnost molekuly.

Hustota molekul je dána podílem po�tu molekul (N) v nádob� o objemu V a objemu V: VN

NV � , � � 3�� mN .

15.5 Stavová rovnice ideálního plynu Plyn v rovnovážném stavu lze charakterizovat stavovými veli�inami: termodynamickou teplotou T,

tlakem p, objemem V a po�tem molekul N (resp. látkovým množstvím n nebo hmotností plynu m). Rovnice

vyjad�ující vztah mezi t�mito veli�inami se nazývá stavová rovnice: RTMm

nRTkTnNNkTpVm

A �� ,

kde 11.

..31,8 �� molKJkNR A je molární plynová konstanta.

Stavová rovnice pro dva r�zné stavy téhož ideálního plynu dává: 111 RTMm

Vpm

� a 222 RTMm

Vpm

� ,

z �ehož vyplývá 2

22

1

11

TVp

TVp

� �ili .konstTpV

�

15.6 D�je s ideálním plynem 15.6.1 Izotermický d�j

je d�j, p�i n�mž z�stává teplota plynu stálá - plyn o dané hmotnosti m�ní pouze sv�j tlak a objem. Vzhledem k tomu, že p�i izotermickém d�ji je 21 TT � ,

dostáváme stavovou rovnici ve tvaru 2211 VpVp � resp. .konstpV � : P�i izotermickém d�ji s ideálním plynem stálé hmotnosti je sou�in tlaku a objemu plynu stálý (zákon Boyl�v - Mariot�v).

Graf vyjad�ující závislost tlaku plynu stálé hmotnosti jako funkci objemu p�i izotermickém d�ji se nazývá izoterma (viz obr. 74). Jedná o v�tev hyperboly, jejíž tvar je dán teplotou, p�i níž d�j probíhá.


53

obr. 74 Vzhledem k tomu, že teplota je stálá, je stálá také st�ední kinetická energie molekul konajících

neuspo�ádaný tepelný pohyb. Z toho tedy vyplývá, že vnit�ní energie ideálního plynu je konstantní, tj. 0��U . První termodynamický zákon je tedy možné psát ve tvaru ´WQT � : Teplo p�ijaté ideálním plynem p�i izotermickém d�ji se rovná práci, kterou plyn p�i tomto d�ji vykoná.

15.6.2 Izochorický d�j Izochorický d�j je d�j, p�i n�mž z�stává objem plynu stálý, tj. 21 VV � a stavovou

rovnici dostáváme ve tvaru 2

2

1

1

Tp

Tp

� resp. .konstTp

� : P�i izochorickém d�ji s

ideálním plynem stálé hmotnosti je tlak plynu p�ímo úm�rný jeho termodynamické teplot� (zákon Charles�v).

Graf znázor�ující v pV diagramu izochorický d�j se nazývá izochora (obr. 75). Jedná se o úse�ku rovnob�žnou s osou p.

obr. 75

P�i zvýšení teploty plynu stálé hmotnosti m o T� p�ijme plyn teplo TmcQ VV �� , kde Vc je m�rná tepelná kapacita plynu p�i stálém objemu. Vzhledem k tomu, že objem plynu je stálý, plyn nekoná práci (tj.

0´�W ) a první termodynamický zákon je možné psát ve tvaru UQV �� : Teplo p�ijaté ideálním plynem p�i izochorickém d�ji se rovná p�ír�stku jeho vnit�ní energie.

15.6.3 Izobarický d�j Izobarický d�j je d�j, p�i n�mž je tlak plynu stálý. Zah�íváme-li plyn tak, že udržujeme jeho tlak stálý,

zv�tšuje se objem plynu. Vzhledem k tomu, že platí 21 pp � , dostáváme stavovou rovnici ve tvaru 2

2

1

1

TV

TV

�

resp. .konstTV

� : P�i izobarickém d�ji s ideálním plynem stálé hmotnosti je objem plynu p�ímo úm�rný jeho

termodynamické teplot� (zákon Gay - Lussac�v). Grafem, který znázor�uje tento d�j v pV diagramu, je izobara (obr. 76).

Vzhledem k tomu, že tlak plynu je stálý, jedná se o úse�ku rovnob�žnou s osou V. Zvýšíme-li teplotu ideálního plynu stálé hmotnosti p�i stálém tlaku o T� ,

p�ijme plyn teplo TmcQ pp �� , kde pc je m�rná tepelná kapacita plynu p�i stálém

tlaku. Plyn p�i tomto d�ji vykoná práci ´W a tedy první termodynamický zákon lze psát ve tvaru ´WUQ p �� : Teplo p�ijaté ideálním plynem p�i izobarickém d�ji se

rovná sou�tu p�ír�stku jeho vnit�ní energie a práce ´W , kterou plyn vykoná. obr. 76

Srovnáme-li nyní teplo p�ijaté stejným plynným t�lesem p�i izobarickém a izochorickém d�ji (za jinak stejných podmínek) zjistíme, že Vp QQ � a proto také Vp cc � .

15.6.4 Adiabatický d�j P�i adiabatickém d�ji neprobíhá tepelná vým�na mezi plynem a okolím a proto tedy je 0�Q . První

termodynamický zákon pak m�žeme psát ve tvaru WWU �� ´ . P�i adiabatickém stla�ení plynu v nádob� se p�sobením vn�jší síly na píst koná práce, teplota plynu a jeho vnit�ní energie se zv�tšuje. P�i adiabatickém rozpínání koná práci plyn, teplota plynu i jeho vnit�ní energie se zmenšuje.

Pro adiabatický d�j s ideálním plynem stálé hmotnosti platí Poisson�v

zákon: .konstpV �� , kde V

p

c

c�� je Poissonova konstanta. Vzhledem k

tomu, že Vp cc � , je 1�� . Poissonova konstanta závisí na druhu plynu, ale

p�ibližn� platí toto:

1. pro plyn s jednoatomovými molekulami je 35.

��

2. pro plyn s dvouatomovými molekulami je 57.

��

obr. 77 Graf vyjad�ující závislost tlaku ideálního plynu stálé hmotnosti jako funkci jeho objemu se nazývá

adiabata. Adiabata klesá vždy strm�ji než izoterma (viz obr. 77). V praxi lze adiabatické komprese nebo adiabatické expanze dosáhnout rychlou zm�nou objemu plynu v

krátké dob�, p�i níž plyn nesta�í p�ijmout nebo odevzdat svému okolí teplo. Nap�. adiabatické expanze se používá k dosažení nízkých teplot, adiabatická komprese se používá u vzn�tových motor�: adiabatickou


54

kompresí se zvýší teplota vzduchu na zápalnou teplotu nafty, která se po vst�íknutí do tohoto vzduchu sama vznítí. 15.7 Práce vykonaná ideálním plynem

Plyn uzav�ený ve válcové nádob� p�sobí na píst o obsahu S tlakovou silou o velikosti F a p�i zv�tšování objemu koná práci ´W . Je-li tlak plynu

stálý, je stálá i tlaková síla F�

, která má velikost pSF � . Posune-li se píst pod vlivem této síly o s� , vykoná plyn práci VpspSsFW ��´ , kde

12 VVV �� je zm�na objemu plynu. Práce vykonaná plynem p�i stálém tlaku je tedy rovna sou�inu tohoto tlaku a p�ír�stku objemu:

1. 0��V : plyn zv�tšuje sv�j objem a práce vykonaná plynem je kladná

obr. 78

2. 0��V : plyn zmenšuje sv�j objem a práce vykonaná plynem je záporná, tj. práci koná okolí Práci plynu lze znázornit v pV diagramu jako plochu obdélníka ležícího pod p�íslušnou izobarou AB (viz

obr. 78). Z tohoto d�vodu se tento diagram nazývá též pracovní diagram. 15.8 Kruhový d�j

Tepelný stroj pracuje trvale jen tehdy, pokud se plyn vždy po ukon�ení expanze vrátí zp�t do p�vodního stavu. D�j, jehož kone�ný stav soustavy je totožný se stavem po�áte�ním, se nazývá kruhový (cyklický) d�j. Grafem vyjad�ujícím závislost tlaku p plynu na jeho objemu V p�i kruhovém d�ji je tedy vždy uzav�ená k�ivka.

Vzhledem k tomu, že po�áte�ní a koncový stav soustavy jsou totožné, je celková zm�na vnit�ní energie pracovní látky po ukon�ení jednoho cyklu nulová ( 0��U ). T�leso, od n�hož pracovní látka p�ijme b�hem jednoho cyklu teplo 1Q , se nazývá oh�íva�, t�leso, kterému pracovní

látka p�edá teplo 2Q ( 12 QQ � ), se nazývá chladi�. Celkové teplo, které

pracovní látka b�hem jednoho cyklu p�ijme je tedy 21 QQQ �� . Pomocí prvního termodynamického zákona pak dostáváme ´WQ � : Celková práce vykonaná pracovní látkou b�hem jednoho cyklu kruhového d�je je rovna celkovému teplu, které p�ijme b�hem tohoto cyklu od okolí.

obr. 79

Z tepla 1Q odebraného oh�íva�i se využije jen �ást k vykonání práce ´W , nebo zbývající �ást tepla

(teplo 2Q ) odevzdá plyn chladi�i. Pro ú�innost � kruhového d�je tedy platí: 11´

1

2

1

21

1��

��

QQ

QQQ

QW

� .

15.9 Druhý termodynamický zákon Z tepla p�ijatého od oh�íva�e lze využít ke konání

práce jen �ást, zbytek tepla odevzdává pracovní látka chladi�i. Tuto zkušenost vyjad�uje práv� druhý termodynamický zákon: Není možné sestrojit periodicky pracující tepelný stroj, který by jen p�ijímal teplo od ur�itého t�lesa (oh�íva�e) a m�nil by je v ekvivalentní práci (tj. vykonával stejn� velkou práci). Toto byla formulace tak, jak ji vyslovil Thomson.

Jiná, ekvivalentní formulace druhého termodynamického zákona je formulace Clausiova, která vychází z každodenní zkušenosti: Teplo nem�že samovoln� (tj. bez konání práce) p�echázet z t�lesa chladn�jšího na t�leso teplejší.

obr. 80

obr. 81

Periodicky pracující tepelný stroj tedy m�že pracovat pouze podle obr. 80. Podle obr. 81 není možné sestrojit periodicky pracující tepelný stroj. Takový typ stroje se nazývá perpetum mobile druhého druhu, které by m�lo zna�ný praktický význam: mohlo by vykonávat práci pouhým ohlazováním jednoho t�lesa (mo�e, …). 15.10 Tepelné motory

Tepelné motory jsou stroje, které p�em��ují �ást vnit�ní energie paliva uvoln�né ho�ením na energii mechanickou. D�lí se na:

1. motory parní (parní stroj, parní turbína) - pracovní látkou je vodní pára, které se získává v parním kotli mimo vlastní motor

2. motory spalovací (plynová turbína, zážehový, vzn�tový, proudový a raketový motor) - pracovní látkou je plyn, vznikající ho�ením paliva uvnit� motoru

V francouzský fyzik S. Carnot dokázal, že pro ú�innost � tepelného motoru pracujícího s oh�íva�em o

teplot� 1T a chladi�em o teplot� 2T , platí: 111

2

1

21max ��

��

TT

TTT

�� . U parních motor� je 1T teplota páry


55

do motoru vstupující, u spalovacích motor� je to teplota plyn� vzniklých spalováním paliva. 2T je teplota vycházející páry resp. výfukových plyn�.


56

16. Struktura a vlastnosti pevných látek 16.1 Krystalické a amorfní látky

Pevné látky se d�lí na: 1. krystalické - charakteristické pravidelným uspo�ádáním �ástic, z nichž jsou složeny.

Monokrystaly, uvnit� n�hož jsou �ástice uspo�ádány tak, že se jejich rozložení v prostoru periodicky opakuje ( NaCl , 2SiO , diamant, …). Toto uspo�ádání se nazývá dalekodosahové uspo�ádání. Pravidelné uspo�ádání �ástic dává monokrystal�m pravidelný geometrický tvar. Polykrystaly - v této podob� se vyskytuje v�tšina pevných látek (všechny kovy, …). Skládají se z velkého po�tu drobných krystal� - zrn, které mají rozm�ry od m�10 do n�kolika mm. Uvnit� zrn jsou �ástice uspo�ádány pravideln�, poloha zrn je však náhodná.

2. amorfní - periodické uspo�ádání �ástic je omezeno na vzdálenost do zhruba m810� , na v�tších vzdálenostech je pravidelnost uspo�ádání porušena. Amorfní látky se vyzna�ují krátkodosahovým usp�ádáním. Pat�í sem sklo, prysky�ice, vosk, asfalt, pasty, … polymery - tvo�í zvláštní skupinu amorfních látek organického p�vodu (kau�uk, bavlna, celulóza, bílkoviny, termoplasty, …). Jejich dlouhé makromolekuly jsou �asto navzájem propleteny, sto�eny do klubí�ek nebo vytvá�ejí sít�.

R�zná orientace zrn u polykrystalických látek zp�sobuje, že jsou izotropní, tj. krystaly látky mají ve všech sm�rech uvnit� krystalu stejné vlastnosti. Typickou vlastností monokrystal� je naopak anizotropie - tj. n�které fyzikální vlastnosti látek jsou závislé na sm�ru vzhledem ke stavb� krystalu (nap�. štípání slídy v ur�itých rovinách jde mnohem snáze než ve sm�rech jiných, …). 16.2 Ideální krystalová m�ížka

P�i zkoumání pevných látek za�neme od látek krystalických, nebo vykazují typickou pravidelnost. Polohu �ástic, z nichž se krystal skládá, je proto vhodné udávat vzhledem k trojrozm�rné soustav� rovnob�žek, jež rozd�luje prostor na shodné rovnob�žnost�ny. Mezi nejjednodušší pat�í rovnob�žnost�ny pravoúhlé, z nichž nejjednodušší je krychle. Základní krychle obsazená ur�itým zp�sobem �ásticemi se nazývá základní (elementární) buka. M�ížku dostaneme posouváním základní krychle podél jejích prodloužených hran (viz obr. 82). V prostoru se tak vytvo�í soustava pravideln� rozložených �ástic pevné látky, která se nazývá ideální krystalová m�ížka. Známe-li délku hrany krychle a rozmíst�ní �ástic v ní, je tím ur�ena stavba krystalu jako celku.

Kubická (krychlová) základní bu�ka m�že být prostá (polonium alfa), plošn� centrovaná (Al, Cu, Ni, Au, …) nebo prostorov� centrovaná (Li, Na, K, Cr, Si, diamant, …) (viz obr. 83). Délka hrany základní bu�ky se nazývá m�ížkový parametr (m�ížková konstanta) a.

obr. 82

obr. 83

Složit�jší kubické krystalové m�ížky vznikají složením dvou a více kubických m�íží vzájemn� posunutých (nap�. ve sm�ru hrany o polovinu m�ížového parametru, …). Jsou-li �ástice v krystalech pravideln� rozložené, jedná se o ideální krystaly. 16.3 Poruchy krystalové m�ížky

V reálném krystalu existuje �ada odchylek od pravidelného rozložení, tj. každý reálný krystal má ve své struktu�e poruchy (defekty). Poruchy d�líme na:

1. bodové - v daném míst� (bod�) je „n�co“ navíc nebo tam „n�co“ chybí. Na základ� t�chto poruch lze vysv�tlit vlastnosti polovodi�� (i když u polovodi�� se nejedná o poruchu, ale o zám�r) - nap�. zm�na elektrického odporu, …

2. �árové (dislokace) - porušení pravidelnosti podél jedné �áry (linie). Tyto poruchy mají vliv na mechanické vlastnosti - elastická a plastická deformace, …

3. objemové - v krystalu je „n�co“ jiného - špína, neroztavený kus jiného krystalu, …

16.3.1 Bodové poruchy Bodové poruchy reálných krystal� mohou být tyto:

1. vakance - porucha vzniklá neobsazením rovnovážné polohy �ástice v krystalové m�ížce (obr. 84). P�í�inou m�že být nap�. tepelný pohyb, který zp�sobí, že se n�kterým �ásticím poda�í uniknout ze svého místa a toto místo z�stane neobsazeno. Další možností vzniku je ozá�ení krystalu elektrony, ionty nebo neutrony.


57

2. intersticiální poloha �ástice - �ástice je v míst� mimo pravidelný bod krystalové m�ížky (obr. 85). Souvisí s vakancí - �ástice uvoln�ná ze své rovnovážné polohy se m�že p�esunout bu na povrch krystalu nebo z�stane v intersticiální poloze.

3. p�ím�si (ne�istoty) - jsou cizí �ástice, které se vyskytují v krystalu daného chemického složení. Tato �ástice se m�že nacházet v intersticiální poloze nebo nahrazuje vlastní �ástici m�ížky (substituce), což je znázorn�no na obr. 86. P�íkladem intersticiální polohy je nap�. vst�ebání (absorpce) atom� H, C, O a N v kovech (p�ítomnost atom� C v m�ížce Fe má vliv na vlastnosti slitin, …). P�íkladem substituce jsou pak atomy B, P vpravené do �istého krystalu Si nebo Ge, což ovliv�uje elektrickou vodivost látky. Další možností je výroba um�lých monokrystal� (rubín pro lasery, …).

obr. 84

obr. 85

obr. 86

16.4 Deformace pevného t�lesa Nemusí nutn� docházet ke zm�n� tvaru, ale m�že dojít ke zm�n� rozm�r� a tím tedy ke zm�n� objemu.

Vždy se jedná o deformaci t�lesa - zm�nu rozm�r�, tvaru nebo objemu t�lesa, která je zp�sobena vn�jšími silami.

Rozlišujeme dva druhu deformace: 1. pružná (elastická) - p�estanou-li p�sobit vn�jší síly, deformace vymizí. Taková t�lesa jsou pružná

(elastická) a jejich deformace je do�asná (malé prodloužení pružiny, ohnutí ocelového pásku, …). 2. tvárná (plastická) - deformace, která p�etrvává i pokud p�estanou p�sobit vn�jší síly (zm�na tvaru

kovového t�lesa p�i kování nebo válcování, …). V praxi se vyskytují v�tšinou oba druhy deformace sou�asn�. Podle p�sobení vn�jších sil na t�leso se

rozeznává p�t základních deformací: 1. deformace tahem - na t�leso p�sobí dv� stejn� velké síly ve sm�rech ven z t�lesa, které leží na

téže vektorové p�ímce. Tato vektorová p�ímka u pravidelných t�les v�tšinou splývá s osou symetrie (obr. 87). P�. zav�šené lano je�ábu, výtahu, …

2. deformace tlakem - od deformace tlakem se liší pouze tím, že p�sobící síly mí�í dovnit� t�lesa (obr. 88). P�. pilí�e, nosníky, …

3. deformace ohybem - u t�les, na n�ž p�sobí síla kolmo k jejich podélné ose. Dolní vrstvy t�lesa jsou deformovány tahem, horní vrstvy tlakem a st�ední vrstva zachovává svou délku (obr. 90). Nap�. ty� podep�ená na obou koncích, … (U ty�e m�že jít o deformaci i svou vlastní tíhovou silou.)

4. deformace smykem - na horní a dolní podstavu t�les p�sobí te�né opa�n� orientované síly v rovinách t�chto podstav. Síly zp�sobují vzájemné posunutí jednotlivých vrstev t�lesa, p�i�emž se nem�ní jejich vzdálenost (obr. 89). Nap�. šroub, nýt, …

5. deformace kroucením - je zp�sobena dv�ma silovými dvojicemi, jejichž momenty jsou stejné velké, ale mají opa�ný sm�r (obr. 91). Nap�. h�ídele stroj�, vrtáky p�i vrtání, šrouby b�hem utahování, …

V praxi se daleko �ast�ji op�t vyskytují deformace složené z n�kolika jednoduchých deformací.

obr. 87

obr. 88

obr. 89


58

obr. 90

obr. 91

16.5 Síla pružnosti, normálové nap�tí P�i podrobn�jším studiu deformace tahem je nutno vzít v úvahu krom� deformujících vn�jších sil také

síly p�sobící mezi jednotlivými �ásticemi pevného t�lesa. P�i pružné deformaci tahem se p�sobením vn�jších sil zv�tšují vzdálenosti mezi �ásticemi látky. To má za následek, že ve vzájemném p�sobení �ástic p�evládají p�itažlivé síly. P�i pružné deformaci tahem (tlakem) vznikají v t�lese síly pružnosti.

Rozd�lme nyní myšlený tahem deformovaný kvádr na dv� �ásti A a B (viz obr. 92). P�sobením vn�jších sil F�

a F�

� dochází ke zv�tšování vzdáleností mezi �ásticemi ležícími na pravé st�n� �ásti A a levé st�n� �ásti B. Proto na pravou st�nu �ásti A za�ne p�sobit výsledná síla pružnosti pF

�

vyvolaná p�sobením �ástic ležících

na levé st�n� �ásti B. Podle zákona akce a reakce stejn� velkou, ale opa�n� orientovanou silou pF�

� p�sobí �ást

A na �ást B. Vzniklé síly pružnosti zabra�ují tomu, aby se kvádr neustále prodlužoval. Od ur�itého okamžiku jsou �ásti A a B v klidu a kvádr je v rovnováze, tj. pFF

��

� .

V libovolném p�í�ném �ezu t�lesa vzniká tedy stav napjatosti, který

charakterizujeme normálovým nap�tím n/ : S

Fpn �/ , kde pF je velikost

síly p�sobící kolmo na plochu p�í�ného �ezu o obsahu S; � � Pan �/ . obr. 92

Pomocí normálového nap�tí lze ur�it, kdy deformace tahem (tlakem) je ješt� pružná. Zavádíme veli�inu mez pružnosti E/ - nejv�tší hodnota normálového nap�tí, p�i které je deformace ješt� pružná. P�ekro�í-li normálové nap�tí tuto hodnotu, z�stává t�leso deformováno trvale. Z praxe víme, že p�i zv�tšování deforma�ní síly dojde �asem nap�. k p�etržení drátu, nit�, zborcení pilí�e, … Tato situace vznikne, pokud normálové nap�tí p�ekro�í tzv. mez pevnosti p/ v tahu (tlaku) - nejvyšší hodnota normálového nap�tí, p�i jejímž p�ekro�ení

dochází k porušení soudržnosti materiálu. Pro v�tšinu látek se mez pevnosti v tahu rovná mezi pevnosti v tlaku. V praxi se p�edpisy zavádí tzv. dovolené nap�tí - maximální v praxi p�ípustná hodnota normálového

nap�tí p�i deformaci tahem (tlakem). Tato hodnota se volí menší než je mez pevnosti p/ . Podíl meze pevnosti

a dovoleného nap�tí je sou�initel bezpe�nosti (pro kovy bývá 4 - 8, pro d�evo a kámen 10, u �emen� a provaz� 4 - 6, …). 16.6 Hook�v zákon pro pružnou deformaci

Z praxe víme, že p�sobením deformujících sil se uvažované t�leso (drát, guma, …) prodlouží z p�vodní délky 1l na délku 2l . Veli�inu (rozdíl) 12 lll �� nazýváme prodloužení. Toto prodloužení je závislé na

po�áte�ní délce 1l t�lesa. Proto zavádíme veli�inu relativní (pom�rné) prodloužení � : 1ll�

�� , � � 1�� .

Zv�tšujeme-li postupn� velikost deforma�ních sil p�i deformaci tahem, lze sledovat závislost normálového nap�tí n/ na relativním prodloužení � . Z experiment� vyplývá, že pro pružnou deformaci tahem je normálové nap�tí p�ímo úm�rné relativnímu prodloužení. Tento poznatek objevil již v roce 1676 R. Hooke, a proto se nazývá Hook�v zákon. Matematicky ho lze formulovat takto: �/ En � , kde konstanta E je modul pružnosti v tahu ( � � PaE � ). Jedná o materiálovou konstantu, která je zna�n� velké (�ádov� MPa až GPa). Hook�v zákon platí i pro deformaci tlakem a i zde platí: modul pružnosti v tahu je pro v�tšinu látek stejný jako modul pružnosti v tlaku.

Pokud výpo�tem zjistíme, že i p�i dosti velkém relativním prodloužení je vyvolané normálové nap�tí menší než mez pružnosti E/ , jedná se o pružný materiál. Má-li materiál mez pružnosti blízko meze pevnosti, jedná se o k�ehký materiál. K�ehkost �asto souvisí s velmi dobrou pružností (žiletky) nebo s velkou tvrdostí (nože, pilníky). 16.7 Teplotní roztažnost pevných látek

Z praxe známe mnoho p�íklad�, kdy p�i zm�n� teploty dochází ke zm�nám rozm�r� t�les - v pr�b�hu roku se m�ní délka drát� elektrického vedení; špatné chlazení motor� m�že vést k zah�átí pístu, zv�tšení jeho objemu a následném zad�ení pístu; … Ve všech t�chto p�ípadech se jedná o teplotní roztažnost pevných látek, tj. fyzikální jev spo�ívající ve zm�n� rozm�r� t�lesa p�i zm�n� jejich teploty.


59

16.7.1 Délková teplotní roztažnost U ty�í, trubic, drát�, … zkrátka u t�les, u nichž p�evažuje délkový rozm�r, se jedná hlavn� o délkovou

teplotní roztažnost. Budeme p�edpokládat, že p�i po�áte�ní teplot� 1t má ty� délku 1l . Zvýšíme-li teplotu ty�e na hodnotu t, zv�tší se délka ty�e na hodnotu l. Z m��ení vyplývá, že prodloužení ty�e je p�ímo úm�rné po�áte�ní délce ty�e a p�ír�stku její teploty, tj. � tlttllll �� 1111 , kde konstantou úm�rnosti je

teplotní sou�initel délkové roztažnosti � , � � 1�� K� . Uvedený vztah platí za p�edpokladu, že p�ír�stek teploty není p�íliš velký a okolní tlak z�stává konstantní (obecn� je totiž � závislý na teplot�, ale pro malé teplotní

p�ír�stky je možno jej považovat za konstantní). Typická hodnota 157 1010 �� 0 K�

Budeme-li chtít vypo�ítat délku l ty�e p�i teplot� t, je možné postupovat takto: � tllll �� 111 .

16.7.2 Objemová teplotní roztažnost Se zm�nou rozm�r� t�les se m�ní také jejich objem. Tento jev nazývá objemová teplotní roztažnost.

Uv�domíme-li si, že objem (resp. zm�na objemu) t�lesa je úm�rný t�etí mocnin� délky (resp. zm�ny délky)

t�lesa, je možné psát: � � � � � tVtcbatttcbaabcV �� (�� 131331 1111

.3322

111 , kde 1V je po�áte�ní objem t�lesa a V objem t�lesa, na který se po�áte�ní objem zm�ní p�i zm�n� teploty o t� .

P�i odvozování jsme p�edpokládali izotropní t�leso, tj. ve všech sm�rech má stejnou hodnotu sou�initele teplotní délkové roztažnosti, a dále jsme zanedbali �leny vyšších �ád� (kvadratické, kubické) vzhledem k typickým hodnotám � . Veli�ina ( se nazývá teplotní sou�initel objemové roztažnosti, � � 1�� K( . Sou�initel teplotní objemové roztažnosti závisí na druhu látky, z níž je pevné t�leso vyrobeno, ale i na teplot�. Pro malé teplotní intervaly je možné ho považovat za konstantní.

Uvedené vztahy pro délkovou a objemovou teplotní roztažnost lze použít i pro zkrácení t�les, které nastane pro 0��t . U monokrystal� se projevuje p�i teplotní roztažnosti anizotropie, tj. nap�. koule se po zah�átí zm�ní na elipsoid.

16.7.3 Teplotní zm�na hustoty P�i zm�n� teploty t�lesa dochází ke zm�n� jeho objemu, ale hmotnost t�lesa z�stává stálá. Proto dochází

zárove� ke zm�n� hustoty t�lesa. Má-li t�leso p�i po�áte�ní teplot� 1t objem 1V a hustotu 1� , pak má p�i teplot� t objem V a hustotu � , pro níž platí:

� �

� � �

� tV

tm

tV

tm

tV

m

V

m��

��

��

��

�� (�

(

(

(

(� 1

1

1

1

11

1

.

211

. P�i odvozování jsme zanedbali

kvadratický �len � 2t�( , který je vzhledem k typickým hodnotám teplotního sou�initele objemové roztažnosti velmi malý.


60

17. Struktura a vlastnosti kapalin Kapaliny tvo�í p�echod mezi pevnými látkami a plyny. Tepelný pohyb molekul kapalin je dán strukturou

kapalin - stav mezi naprostým neuspo�ádáním �ástic u plynu a pravidelným uspo�ádáním �ástic v (ideálních) krystalech. Uspo�ádáním molekul kapaliny je krátkodosahové (podobn� jako u látek amorfních látek). Molekuly kapalin neuspo�ádan� kmitají kolem rovnovážných poloh, která se s �asem m�ní. Zvyšováním teploty dochází ke zmenšení doby, kdy molekula z�stává v rovnovážné poloze, což se projeví lepší tekutostí kapaliny. 17.1 Povrchová vrstva kapaliny

Položíme-li na volný povrch vody nap�. žiletku, desetník, jehlu, … pozorujeme prohnutí volného povrchu kapaliny pod t�lesem a dané t�leso se nepotopí, a�koliv jeho hustota je v�tší než hustota vody. Kapka, která se vytvá�í na konci vodovodního kohoutku, postupn� roste, pak se vytvo�í kr�ek a kapka se odtrhne (kapka se jeví jako pružný balónek, v n�mž je voda) (vodom�rka se pohybuje po hladin�, stan v dešti nepromokne, …). To ukazuje, že volný povrch kapaliny se chová jako tenká pružná blána.

obr. 93

Molekuly kapaliny na sebe vzájemn� p�sobí p�itažlivými silami, jejichž velikost s rostoucí vzdáleností molekul klesá. Kolem každé molekuly si lze p�edstavit kouli (sféru molekulového p�sobení) o takovém polom�ru mr , aby síly, jimiž na danou molekulu p�sobí ostatní molekuly v této kouli neležící, byly zanedbatelné. Polom�r této sféry je �ádov� 1 nm.

Je-li molekula i její sféra molekulového p�sobení uvnit� kapaliny, pak výslednice p�itažlivých sil, jimiž molekuly v této sfé�e p�sobí na uvažovanou molekulu, je nulová (viz obr. 93 a, b). Na molekulu, jejíž vzdálenost od volného povrchu kapaliny je menší než mr , p�sobí výslednice F

�

p�itažlivých sil, jimiž p�sobí molekuly kapaliny ve sfé�e uvažované molekuly na tuto molekulu, kolmo k volnému povrchu kapaliny a má sm�r dovnit� kapaliny. Molekuly plynu (který je nad volným povrchem kapaliny) v horní �ásti sféry p�sobí na molekulu v jejím st�edu výslednou p�itažlivou silou 1F

�

opa�ného sm�ru, než je sm�r síly F�

. Vzhledem k

tomu, že kapalinyplynu �� , je také FF��

��1 a je tedy možné velikost síly 1F�

zanedbat (viz obr. 93 c, d).

Vrstva molekul, jejíž vzdálenost od volného povrchu kapaliny je menší než polom�r mr sféry molekulového p�sobení, se nazývá povrchová vrstva kapalin. Na každou molekulu, která se nachází v povrchové vrstv� kapalin p�sobí sousední molekuly p�itažlivou silou, která má sm�r dovnit� kapaliny.

P�i p�emíst�ní molekuly z vnit�ku kapaliny do její povrchové vrstvy, je nutno vykonat práci k p�ekonání práv� popsané síly. Proto mají molekuly z povrchové vrstvy v�tší potenciální energii než molekuly v této vrstv� neležící. Povrchové vrstv� p�i�azujeme tzv. povrchovou energii, která je jednou složkou vnit�ní energie kapaliny. 17.2 Povrchová síla

Vytvo�íme-li z mýdlového nebo saponátového roztoku kapalinovou blánu v drát�ném ráme�ku, jehož jedna strana je pohyblivá, pozorujeme stahování blány, která s sebou táhne i pohyblivou �ást ráme�ku AB. Toto stahování blány je dáno tím, že se snaží zaujmout co nejmenší povrch z jedné i druhé strany (blána má dva povrchy) a tím i minimální povrchovou energii. Blána se stahuje proto, že to pohyblivá p�í�ka AB umož�uje. Na p�í�ku AB proto p�sobí v každém povrchu síla F

�

, kterou nazýváme povrchová síla. Je kolmá na p�í�ku AB a leží v povrchu kapalinové vrstvy (v p�ípad� zak�iveného povrchu kapaliny má sm�r te�ny v daném bod� kapaliny). Popsaný experiment lze sledovat na obr. 94.

obr. 94

Velikost této síly lze ur�it experimentáln�: Ráme�ek s blánou zav�síme do svislé polohy a p�í�ku AB zatížíme tak, aby byla celá soustava (ráme�ek s p�í�kou a blánou a závaží) v rovnovážném stavu. Na p�í�ku

p�itom p�sobí tíha závaží a drátku G�

svisle dol� a povrchová síla F�

2 svisle vzh�ru. Odtud již plyne: 2G

F � .

Povrchová síla p�sobí i na ostatní �ásti ráme�ku, ale projeví se pouze u pohyblivé p�í�ky. O faktu, že tato síla p�sobí v každém bod� kapaliny, se m�žeme p�esv�d�it dalšími pokusy: navlh�enou smy�ku z niti položme na mydlinovou blánu. Smy�ka má nepravidelný tvar, dokud blánu uvnit� smy�ky neporušíme - pak se smy�ka napne do kroužku, nebo se poruší rovnováha povrchových sil vn� a uvnit� smy�ky. Povrchové síly udržují také kapku, která vzniká p�i vytékání vody nap�. z kapiláry. Kapka se udrží u otvoru, dokud je výslednice povrchových sil (p�sobících podél obvodu povrchu blány, který je ve styku s kapilárou) menší než tíhová síla kapky. Jakmile dojde k vyrovnání t�chto sil, kapka se utrhne. 17.3 Povrchové nap�tí

Provedeme-li pokus (popsaný v minulém odstavci) pro ur�ení velikosti povrchové síly a použijeme-li ráme�ky s r�znou délkou p�í�ky AB, zjistíme, že velikost povrchové síly je p�ímo úm�rná délce p�í�ky. Tento empirický vztah platí pro libovolný okraj blány a využívá se k definici skalární veli�iny povrchové nap�tí:


61

Povrchové nap�tí / se rovná podílu velikosti povrchové síly F a délky l okraje povrchové blány, na který

povrchová síla p�sobí kolmo v povrchu kapaliny, tedy lF

�/ , � � 1. �� mN/ .

Povrchové nap�tí lze m��it tzv. odtrhávací metodou. Tato metoda spo�ívá v m��ení síly, kterou je nutno odtrhnout od povrchu kapaliny t�lísko (nap�. drátek, …), které plave na její hladin�. V tomto p�ípad� je

povrchové nap�tí dáno vztahem l

F2

�/ , kde F je velikost síly, která odtrhne drátek po jeho vyvážení v

kapalin� a l je jeho délka. Konstanta „2“ je zde proto, že na kapalin� vytažené drátkem jsou 2 blány (z každé strany jedna).

Povrchové nap�tí kapaliny závisí nejen na druhu kapaliny, ale také na prost�edí, které se nachází nad jejím volným povrchem. S rostoucí teplotou se povrchové nap�tí kapaliny v��i danému prost�edí snižuje. Snížení povrchového nap�tí vody p�idáním jiné látky (tzv. smá�edla) nebo zvýšení teploty vody se projevuje nap�. p�i praní prádla, mytí nádobí, … Tímto zp�sobem „upravená“ voda se lépe dostává ke špín�, která lpí na tkaninách, nádobách, …, a špínu rychleji rozpouští a smývá ji. 17.4 Jevy na rozhraní pevného t�lesa a kapaliny

Nalijeme-li kapalinu do nádoby, m�že se kapalina chovat dvojím zp�sobem: 1. u st�ny vytvo�í dutý povrch (voda ve skle, líh ve skle, rtu v m�d�né nádob�, …) - kapalina smá�í

st�ny nádoby (viz obr. 95 a) 2. u st�ny vytvo�í vypuklý povrch (rtu ve skle, …) - kapalina nesmá�í st�ny nádoby (viz obr. 95 b)

obr. 95

obr. 96

Vysv�tlení tohoto jevu provedeme pomocí molekuly, která leží na rozhraní kapaliny, vzduchu a st�ny nádoby. �ástice st�ny nádoby ležící ve sfé�e molekulového p�sobení této molekuly p�sobí na uvažovanou molekuly silou NF

�

kolmou na st�nu. Molekuly kapaliny p�sobí na tutu molekulu silou KF�

sm��ující dovnit�

do kapaliny. Molekuly vzduchu p�sobí na uvažovanou molekulu silou VF�

. A samoz�ejm�, že na molekulu

p�sobí také tíhová síla GF�

. Vzhledem k tomu, že velikost sil VF a GF jsou ve srovnání s velikostmi sil NF a

KF malé, a je tedy možné je zanedbat. Sm��uje-li výsledná síla F�

ven z kapaliny, musí být volný povrch

kapaliny u st�ny dutý, aby byl kolmý na sílu F�

(viz obr. 96 a). Jinak by nastal pohyb molekul v kapalin�. Jestliže síla F

�

sm��uje dovnit� kapaliny, pak volný povrch musí být vypuklý (viz obr. 96 b). Úhel 1 , který svírá povrch kapaliny s povrchem st�ny, se nazývá stykový úhel. Mohou nastat tyto

možnosti: 1. 0�1 - kapalina dokonale smá�í st�ny kapaliny 2. �1 � - kapalina dokonale nesmá�í st�ny kapaliny

3. 2

0�

1 �� nebo �1�

��2

- skute�ná (reálná) kapalina

4. 2�

1 � - povrch kapaliny je nezak�ivený

Zak�ivení povrchu kapaliny p�i st�nách nádoby, v kapilárách, u kapek a bublin zp�sobuje vznik p�ídavného tlaku v kapalin�. Tento tlak se nazývá kapilární tlak. Pod vypuklým (resp. dutým) povrchem kapaliny je vnit�ní tlak ve srovnání s vodorovným povrchem v�tší (resp. menší) o kapilární tlak.

Má-li volný povrch kapaliny tvar kulového vrchlíku (resp. koule) o

polom�ru R, lze pro kapilární tlak psát: SF

pk � , kde F je velikost výslednice

povrchových sil pF�

(viz obr. 97), jejíž nenulová velikost je dána práv�

zak�iveným povrchem kapaliny. Tato výslednice vzniká díky zak�ivenému povrchu kapaliny a p�sobí na kolmý pr�m�t povrchu kapaliny o obsahu S (tímto kolmým pr�m�tem je vždy kruh). Lze tedy dále psát:

RR

R

R

lSF

pk/

�

/�

�

/ 2222

�� , kde / je povrchové nap�tí kapaliny.

obr. 97

U tenké kulaté bubliny se dv�ma povrchy (nap�. mýdlová bublina), pro kapilární tlak platí R

pk/4

� .


62

17.5 Kapilarita Pono�íme-li velmi úzkou trubici malého vnit�ního pr�m�ru (kapiláru) svisle do kapaliny v široké

nádob�, pozorujeme zak�ivení povrchu kapaliny v kapilá�e a její vzestup (resp. snížení) vzhledem k hladin� kapaliny v nádob�. Mohou tedy nastat dva p�ípady:

1. kapilární elevace - u kapalin smá�ejících st�ny trubice se vytvo�í dutý vrchlík, který je výše než hladina okolní kapaliny (obr. 98 a)

2. kapilární deprese - u kapalin nesmá�ejících st�ny trubice vytvo�í hladina vypuklý vrchlík, který je níže než hladina okolní kapaliny (obr. 98 b)

Oba tyto jevy se nazývají souhrnn� kapilarita. obr. 98

Z hlediska molekulové fyziky je kapilarita zp�sobena kapilárním tlakem. Uvažujme kapalinu s povrchovým nap�tím / , která dokonale smá�í st�ny kapaliny. Po pono�ení kapiláry s vnit�ním polom�rem R do kapaliny se s v kapilá�e vytvo�í dutý povrch tvaru polokoule o polom�ru R. Pod ním je vnit�ní tlak menší o kapilární tlak kp ve srovnání s vodorovným povrchem v širší nádob�. To má za následek, že v kapilá�e vystoupí kapaliny do takové výšky h, p�i níž je hydrostatický tlak odpovídající sloupci kapaliny výšky h stejný

jako tlak kapilární. Lze tedy psát: R

gh/

�2

� , kde � je hustota kapaliny. Odtud je možné ur�it výšku h p�i

kapilární elevaci: gR

h�/2

� . Zvýšení volné hladiny v kapilá�e je tedy pro danou kapalinu nep�ímo úm�rné

polom�ru kapiláry. Analogicky je možné odvodit vztah pro snížení ´h hladiny kapaliny p�i kapilární depresi. Kapilarita má zna�ný význam v praxi: vzlínavost vody - voda vystupuje z hloubky tenkými kapilárami

do povrchových vrstev p�dy, kde se vypa�uje resp. zavlažuje rostliny (zabra�uje se mu rozrušováním kapilár orbou nebo okopáváním, naopak stla�ováním p�dy nap�. válcováním se kapiláry v p�d� vytvá�ejí); nasávání kapalin do knot�; vzlínání kapalin do st�n dom� p�i špatné izolaci proti vlhkosti; vzlínavost roztavené pájky v tenkých spárách pro vytvo�ení dokonalých spoj� pájených sou�ástí; … 17.6 Teplotní roztažnost kapalin

P�i zm�n� teploty pozorujeme u kapalin objemovou roztažnost. U v�tšiny kapalin jejich objem s rostoucí teplotou roste, p�itom se ale r�zné kapaliny roztahují za jinak stejných podmínek r�zn�.

Z experiment� vyplývá, že pro nep�íliš velké zm�ny teploty 1ttt �� je objem V kapaliny za stálého

vn�jšího tlaku ur�en vztahem � tVV �� (11

., kde 1V je objem kapaliny p�i po�áte�ní teplot� 1t a ( je

teplotní sou�initel objemové roztažnosti kapalin, který je obecn� v�tší u kapalin než u pevných látek. Se zm�nou teploty kapaliny se m�ní její objem, což má za následek, že se m�ní i její hustota. Jestliže 1�

je hustota kapaliny p�i po�áte�ní teplot� 1t , pak hustota � p�i teplot� t je dána p�ibližným vztahem

� t�� (�� 11

., kde 1ttt �� je zm�na teploty a ( teplotní sou�initel objemové roztažnosti dané kapaliny.

Odvození tohoto vztahu je stejný jako u pevných látek. Teplotní roztažnost má využití i v praxi - využívá se nap�. v kapalinových teplom�rech (rtu, líh, …), …


63

18. Úvod do speciální teorie relativity (STR) Koncem 19. století se �ada fyzik� domnívala, že vývoj fyzikálních teorií je v podstat� ukon�en a zbývá

jen pokra�ovat v objevování d�sledk� , které z t�chto teorií vyplývají. Další rozvoj fyziky ale ukázal, že tento záv�r fyzik� byl velmi p�ed�asný. Za�átkem 20. století totiž vznikly dv� nové fundamentální (základní) teorie, které ovlivnily vývoj fyziky a v�dy v�bec v celém dvacátém století. T�mito novými obory byly:

1. kvantová fyzika - popisuje a vysv�tluje jevy mikrosv�ta (složení atom� a molekul, vzájemné interakce �ástic, …)

2. speciální teorie relativity - studuje jevy, které se projevují p�i rychlostech srovnatelných s velikostí rychlosti sv�tla

3. obecná teorie relativity - studuje jevy v silných gravita�ních polích; jedná se v podstat� o teorii gravitace

Speciální teorie relativity radikálním zp�sobem zm�nila vžité p�edstavy o prostoru a �ase a dala je do nových souvislostí. �ada jev� a jejich výsledk� na první pohled odporují „zdravému selskému rozumu“, ale v sou�asné dob� jsou její záv�ry bezpe�n� prokázány. Sv�d�í o tom fakt, že nap�. velké urychlova�e �ástic se konstruují na základ� výpo�t� na základ� STR a po jejich uvedení do provozu fungují tak, jak fungovat m�ly, což je potvrzení toho, že STR skute�n� platí tak, jak její základy v roce 1905 publikoval Albert Einstein (1879 - 1955). Dalším potvrzením STR jsou jaderné reakce, v nichž se uplat�uje souvislost mezi hmotností a energií podle Einsteinových p�edpov�dích. 18.1 Prostor a �as v klasické mechanice

Klasická mechanika vznikla v 17. století zásluhou hlavn� G. Galileiho (1564 - 1642) a I. Newtona (1643 - 1727).

Poloha t�lesa v prostoru je vždy ur�ena vzhledem k n�jakým okolním t�les�m, tj. vzhledem k n�jaké vztažné soustav�. V této soustav� volíme v�tšinou pravoúhlou soustavu sou�adnic a polohu bodu pak ur�íme pomocí t�í sou�adnic x, y a z. D�j, který nastane v ur�itém míst� prostoru v ur�itém �asovém okamžiku, nazýváme bodová událost (událost) - nap�. záblesk sv�tla, spušt�ní stopek, dopad �ástice na ur�ité místo stínítka, … Každou událost tedy lze charakterizovat pomocí �tve�ice veli�in: x, y, z, t.

Události, které se odehrály v dané vztažné soustav� na stejném míst�, se nazývají soumístné. Spojíme-li se vztažnou soustavou soustavu sou�adnic, mají soumístné události stejné sou�adnice x, y, z. Nap�. soumístné události vzhledem k soustav� spojené se Zemí je opakovaný úder kladívka do téhož místa h�ebíku (vzhledem k heliocentrické soustav� spojené se Sluncem již tyto události soumístné nejsou, nebo za �as, který uplynul mezi dv�ma údery kladívka, se Zem� posunula p�i svém pohybu o ur�itý úsek dráhy dále).

Události, které se odehrály ve zvolené vztažné soustav� ve stejném okamžiku, se nazývají sou�asné. Takové události mají v dané soustav� sou�adnic stejnou �asovou sou�adnici t, zatímco prostorové sou�adnice dvou sou�asných událostí mohou být obecn� r�zné.

Popis t�les je nejjednodušší v soustavách, v nichž platí první pohybový zákon (zákon setrva�nosti): Každé t�leso setrvává v klidu nebo v rovnom�rném p�ímo�arém pohybu, dokud není p�inuceno p�sobením vn�jší síly (jiného t�lesa) tento stav zm�nit. Tyto vztažné soustavy se nazývají inerciální soustavy. Je-li S inerciální soustava, potom každá vztažná soustava S � , pohybující se vzhledem k soustav� S rovnom�rným p�ímo�arým pohybem, je také inerciální. Rozjížd�jící se vlak nebo vlak projížd�jící zatá�kou jsou p�íklady neinerciálních vztažných soustav, nebo tyto soustavy se pohybují se zrychlením.

Newton a celá klasická mechanika, které z jeho záv�r� vycházela, p�edpokládá, že �as je absolutní, tj. plyne stejn� ve všech soustavách. Klasická mechanika rovn�ž p�edpokládá, že sou�asnost událostí je absolutní (jsou-li dv� události, které se staly v r�zných místech, sou�asné v jedné soustav�, jsou sou�asné i ve všech ostatních soustavách). Rovn�ž absolutní je délka p�edm�t� (má-li ty� délku m2 v jedné vztažné soustav�, pak má délku m2 i vzhledem k libovolné jiné vztažné soustav�.

Hmotnost t�lesa je v klasické fyzice veli�ina stálá a nezávislá na rychlosti, kterou se t�leso pohybuje. Rychlost t�lesa pak m�že být podle klasické fyziky libovolná.

Také zákon skládání rychlostí je v klasické fyzice jednoduchý (viz podrobn�ji odstavec 18.1.1). Pohybuje-li se nap�. vlak vzhledem ke stanici rychlostí o velikosti v a ve vlaku se ve sm�ru jeho jízdy pohybuje �lov�k rychlostí o velikosti u � (vzhledem k vlaku), pak velikost rychlosti u �lov�ka vzhledem ke stanici je

vuu �� . Sou�ástí klasické fyziky je mechanický (Galileiho) princip relativity: Ve všech inerciálních vztažných

soustavách platí stejné zákony Newtonovy klasické mechaniky. To znamená, že libovolný, stejn� p�ipravený pokus z mechaniky, dopadne ve všech inerciálních soustavách stejn�. Jinými slovy: pomocí mechanických pokus� provád�ných uvnit� inerciální vztažné soustavy nelze zjistit, zda se tato inerciální soustava v��i jiné inerciální soustav� pohybuje rovnom�rn� p�ímo�a�e nebo je v klidu. Inerciální vztažné soustavy jsou tedy z hlediska Newtonovy mechaniky naprosto rovnocenné.


64

18.1.1 ***Galileiho transformace Galileiho transformace se týká problému pohybu dvou

inerciálních soustav. Uvažujme inerciální soustavu S � , která se pohybuje rychlostí o velikosti v vzhledem k inerciální soustav� S. Zvolíme v soustavách S a S � soustavy sou�adnic 0xyz resp. zyx ��0 . Vezmeme v úvahu pouze tzv. speciální Galileiho transformaci, tj. transformaci mezi dv�ma inerciálními soustavami takovými, kdy v po�áte�ním �ase st 00 � splývaly soustavy sou�adnic 0xyz a zyx ��0 a inerciální soustava S � se za�ala pohybovat v��i soustav� S rychlostí o velikosti v v kladném sm�ru osy x (resp. x� ). Ur�itou událost A popíšeme v soustav� S � sou�adnicemi � �AAAA tzyx �� ;;; , v soustav� S popíšeme tu samou událost sou�adnicemi � �AAAA tzyx ;;; .

obr. 99

Mezi uvedenými sou�adnicemi platí p�evodní vztahy: AAA vtxx �� , AA yy �� , AA zz �� a AA tt �� (na obrázku je zobrazena událost A pouze v soustav� sou�adnic v rovin�).

Bude-li se t�leso A pohybovat rychlostí o velikosti u vzhledem k soustav� S, lze jeho velikost rychlosti u � vzhledem k soustav� S � vyjád�it z následující úvahy. Za �asový okamžik t� se zm�ní poloha t�lesa A o

AAA tvxx �� . . Vzhledem k tomu, že rychlost lze vyjád�it pomocí podílu tx

��

, dostáváme z výrazu pro

p�ír�stek polohy (po vyd�lení t� ): vuu xx �� , kde t

xu A

x �

�� je x-ová složka rychlosti t�lesa A vzhledem k

soustav� S � a t

xu A

x �

�� je x-ová složka rychlosti t�lesa A vzhledem k soustav� S. Pro složky rychlostí ve

sm�ru os y a z (resp. y� a z� ) dostáváme: yy uu �� a zz uu �� .

Analogickou úvahou (tedy s využitím vztahu tv

a�

�� lze dostat vztah pro transformaci zrychlení t�lesa

A: xx aa �� , yy aa �� a zz aa �� .

Inverzní Galileiho transformací je vyjád�ení „ne�árkovaných“ sou�adnic, rychlostí a zrychlení (resp. jejich složek).

Obecná Galileiho transformace pak odpovídá situaci, kdy po�átky soustav sou�adnic inerciálních soustav S a S � jsou v��i sob� posunuty, osy jsou v��i sob� nato�eny o libovolný úhel a vektor rychlosti v

� není

rovnob�žný s osou x (resp. x� ). 18.2 Vznik STR

Podle mechanického principu relativity nelze žádnými mechanickými pokusy provedenými uvnit� inerciální vtažné soustavy zjistit její rovnom�rný p�ímo�arý v��i ostatním IS. Z�stává tedy problémem, zda by se tento pohyb nepoda�ilo zjistit nemechanickými pokusy (nap�. optickými, elektromagnetickými, …).

Druhým problémem, kterým se fyzikové zabývali, souvisí s ur�ením velikosti rychlosti sv�tla. V roce 1675 dánský astronom O. Römer (1644 - 1710) z astronomických pozorování zákryt� Jupiterových m�síc� Jupiterem zjistil, že velikost rychlosti ší�ení sv�tla je kone�ná. Otázkou m��ení velikosti rychlosti sv�tla se zabývali rovn�ž fyzikové druhé poloviny 19. století, ale v souvislosti s m��ením velikosti rychlosti sv�tla vyvstal problém: V��i které soustav� m��íme velikost rychlosti sv�tla?

18.2.1 Problém éteru Ješt� p�ed vznikem STR se fyzikové domnívali, že celý sv�t je zapln�n zvláštním prost�edím, tzv.

sv�telným éterem, v n�mž se sv�telné vln�ní ší�í. Tehdy již bylo zjišt�no, že sv�tlo je elmg. vln�ní a všechny doposud známé druhy vln�ní se vždy ší�ily n�jakým prost�edím. Byl tedy zaveden éter, který m�l mít zajímavé vlastnosti:

1. m�l být absolutn� tuhý, protože velikost rychlosti sv�tla byla zna�ná a (podle analogie se nap�. zvukem) �ím tužší prost�edí je, tím v�tší rychlostí se vln�ní v daném prost�edí ší�í

2. m�l být „�ídký“, protože musel pronikat vším a neklást tak žádný odpor (nap�. nebeská mechanika „fungovala“ podle Newtonových rovnic dob�e a nepot�ebovala k správnému vysv�tlení éter)

Z t�chto dvou základních vlastností nakonec fyzikové vyslovili záv�r, že éter je p�i pomalých zm�nách „�ídký“, tj. neovliv�uje pohyb planet, lidí, …, zatímco p�i rychlých zm�nách (ší�ení sv�tla) je tuhý.

Vzhledem k tomu, že o existenci éteru byli fyzikové té doby p�esv�d�eni, zvolili soustavu, v níž je éter v klidu za absolutní vztažnou soustavu (absolutní IS) a za�ali tuto soustavu éteru hledat. Hledali ji tak, že m��ili velikost rychlosti sv�tla, nebo její hodnota m�la být 1.300000 �� skmc � v��i soustav� éteru. V libovolné jiné soustav�, která se v��i soustav� éteru pohybuje ur�itou rychlostí v

�, by m�lo dojít ke skládání rychlosti sv�tla a

této jiné soustavy.


65

Vzhledem k éteru by se sv�tlo ší�ilo ve všech sm�rech stejnou rychlostí. Pokud se tedy sv�tlo ší�í ve vakuu vzhledem k soustav� S (soustava éteru) ve všech sm�rech stejnou rychlostí c, pak v jiné soustav� S � , která se v��i soustav� S pohybuje rychlostí v

�, je rychlost ší�ení

sv�tla v r�zných sm�rech již obecn� r�zná.

obr. 100

Ze všech vztažných soustav by tedy jedin� soustava S spojená s éterem m�la tu vlastnost, že vzhledem k ní by se sv�tlo ší�ilo ve všech sm�rech stejnou rychlostí. Tuto soustavu bychom pak mohli nazvat absolutní vztažná soustava a klid nebo pohyb t�les vzhledem k této soustav� absolutní klid nebo absolutní pohyb.

Problémem ale bylo nalezení této absolutní vztažné soustavy. Zem� jí být nem�že, nebo mezi všemi vesmírnými t�lesy nemá žádné zvláštní postavení a navíc rotuje kolem své osy, obíhá kolem Slunce a kolem galaktického st�edu. Proto fyzikové p�edpokládali, že se sv�tlo ší�í vzhledem k Zemi v r�zných sm�rech r�znými rychlostmi a snažili se tento poznatek využít ke zjišt�ní absolutního pohybu Zem�.

V 19. století tak byla provedena �ada optických experiment�, pomocí nichž se zjišovalo, jaký vliv má pohyb inerciálních soustav na pr�b�h optických jev�. Dále p�ibyly experimenty, snažící se podat vysv�tlení situace kolem absolutní soustavy éteru a nam��it velikosti rychlosti pohybu Zem� v��i éteru. Nepoda�ilo se ovšem nalézt teorii, která by všechny provedené experimenty byla schopna vysv�tlit bez výjimky. Každý z pokus� totiž bylo t�eba vysv�tlovat za ur�itých, dodate�ných (a z dnešního pohledu fyzikáln� nepodložených) p�edpoklad�.

Jedna z možností by byla modifikovat celou Maxwellovu teorii elmg. pole. K tomu fyzikové p�istoupit ale necht�li, nebo pro jiné elmg. jevy byla teorie naprosto v po�ádku. Proto, když se neda�ilo nalézt soustavu éteru, fyzikové nakonec došlo k názoru, že tato soustava neexistuje. To ale znamená, že neexistuje žádná privilegovaná absolutní soustava, v��i níž by se všechna t�lesa pohybovala nebo byla v klidu. Inerciální soustavy jsou tedy rovnocenné.


66

19. Speciální teorie relativity 19.1 Základní principy (postuláty) STR

Rozpory, k nimž dosp�la klasická fyzika koncem 19. století p�i �ešení problém� s p�edpokládanou absolutní vztažnou soustavou (soustavou éteru), vy�ešil n�mecký fyzik Albert Einstein (1879 - 1955) svou novou teorií - speciální teorií relativity. Její hlavní myšlenky publikoval v roce 1905.

Speciální teorie relativity je založena na dvou principech: 1. princip relativity: Ve všech inerciálních vztažných soustavách platí stejné fyzikální zákony. 2. princip konstantní rychlosti sv�tla: Ve všech inerciálních vztažných soustavách má rychlost

sv�tla ve vakuu stejnou velikost, nezávisle na vzájemném pohybu sv�telného zdroje a pozorovatele. Rychlost sv�tla v libovolné inerciální vztažné soustav� je ve všech sm�rech stejná. (Sv�tlo se v libovolné inerciální vztažné soustav� pohybuje ve vakuu stejnou rychlostí nezávisle na sm�ru a nezávisle na pohybu zdroje.)

Ekvivalentn� lze princip relativity vyjád�it takto: Všechny inerciální soustavy jsou rovnocenné z hlediska všech experiment�, tj. libovolný, ale stejn� p�ipravený pokus dá ve všech inerciálních soustavách stejné výsledky. Jedná se tedy o zobecn�ní Galileiho principu relativity na všechny (tedy ne jen mechanické) pokusy. Z hlediska STR jsou tedy všechny inerciální soustavy rovnocenné a žádná z nich není privilegována.

Druhý princip STR lze chápat tak, že sv�tlo nepot�ebuje ke svému ší�ení žádný éter, který neexistuje. Z t�chto dvou princip� vyplývá ve fyzice �ada výjime�n� d�ležitých d�sledk� (relativnost sou�asnosti,

kontrakce délek, dilatace �asu, …). 19.2 Relativnost sou�asnosti

Podle klasické fyziky je sou�asnost dvou událostí absolutní pojem. Tzn., že dv� události, které jsou sou�asné z hlediska jedné inerciální vztažné soustavy, jsou sou�asné z hlediska kterékoliv jiné inerciální vztažné soustavy. Pokud se ale bude soustava S � pohybovat v��i soustav� S rychlostí o velikosti v blízké velikosti rychlosti sv�tla (tj.

cv + ), není tento poznatek klasické fyziky již správný. obr. 101

Uvažujme následující situaci: po p�ímé vodorovné trati (soustava S) se pohybuje rovnom�rn� p�ímo�a�e vagón (soustava S � ) rychlostí v

�, jejíž velikost je srovnatelná s velikostí rychlosti sv�tla. Uprost�ed vagónu je

signální lampa (zdroj sv�tla Z) a na jeho obou koncích jsou st�ny A a B vzdálené od sebe 2l. V ur�itém �asovém okamžiku signální lampa blikne. Pozorovatel ve vztažné soustav� S � (tj. ve vagónu) zjistí, že signál dopadne na ob� st�ny vagónu A a B sou�asn�, nebo sv�tlo prob�hlo v obou p�ípadech stejné vzdálenosti stejnou

rychlostí, tj. cl

tt BA �� ( At je �as pot�ebný k p�ekonání vzdálenosti ZA a Bt analogicky pro st�nu B). Dv�

nesoumístné události (dopad sv�tla na st�nu A a B) jsou z jeho hlediska sou�asné. Pozorovatel v soustav� S (tedy na trati) ale zjistí, že signály nedopadnou na ob� st�ny sou�asn�. Sv�tlo se

ší�í v jeho soustav� také rychlostí o velikosti c (podle druhého principu relativity), ale st�na A se b�hem ší�ení sv�telného signálu posunula z místa A do místa A� (blíže ke zdroji), zatímco st�na B se vzdálila do místa B�

(dále od zdroje). Pro �as dopadu sv�telného paprsku na st�nu A lze psát: AA vtlct �� vc

lt A �

� . Pro

st�nu B je situace analogická: BB vtlct �� vc

lt B �

� . Je vid�t, že BA tt � a tedy pro pozorovatele na trati

sv�tlo dopadne d�íve na st�nu A a pak na st�nu B. Tedy dv� nesoumístné události, které jsou sou�asné vzhledem k jedné inerciální soustav� (soustava

S � ), nejsou sou�asné vzhledem k jiné inerciální soustav� (soustava S). 19.3 Dilatace �asu

Dilatace �asu je jev, který se projevuje tím, že hodiny, které se pohybují k ur�ité vztažné soustav� S, jdou pomaleji než hodiny, které jsou v soustav� S v klidu.

Pro další úvahy je nutno zvolit „rozumný“ zp�sob m��ení �asu. �as lze m��it libovolným periodickým d�jem, který vhodným zp�sobem okalibrujeme. Jeden ze zp�sob� je použít tzv. sv�telné hodiny, s nimiž provád�l své myšlenkové experimenty Einstein. Sv�telné hodiny ve skute�nosti neexistují, jedná se pouze o myšlenkový experiment.

Sv�telné hodiny se skládají ze dvou rovnob�žných rovinných zrcadel 1Z a

2Z ve vzájemné vzdálenosti l. Od t�chto zrcadel necháme periodicky odrážet sv�telný paprsek. Máme tedy definované hodiny a jeden jejich „tik“ bude �as, který paprsek pot�ebuje k p�ekonání vzdálenosti 121 ZZZ . Tyto hodiny umístíme do soustavy S � a pro �as jednoho tiku, který budeme m��it v této soustav�, dostaneme:


67

cl

t2

�� . obr. 102

Nyní budeme p�edpokládat, že se inerciální soustava S � pohybuje vzhledem k inerciální soustav� S rychlostí v

�, p�i�emž platí cv � . V soustav� S � jsou umíst�ny sv�telné hodiny H tak, že jejich osa je kolmá k

vektoru rychlosti v�

. V obou soustavách jsou pozorovatelé P� a P, kte�í m��í �as, který ukazují hodiny. (M��ení �asu spo�ívá v ode�ítání vzdálenosti od spodního zrcátka 1Z .)

Pozorovatel v soustav� S � bude m��it „sv�j“ �as pomocí jednoho tiku - �asového intervalu t �� . Pozorovatel v soustav� S bude m��it �as pomocí „svého“ tiku t� . Vzhledem k pozorovateli v soustav� S se ale za tuto dobu hodiny posunou o vzdálenost tv �. . Sv�telný paprsek se v hodinách H v��i pozorovateli P� (vzhledem k soustav� S � ) pohybuje ve sm�ru osy sv�telných hodin (tj. kolmo na ob� zrcátka) rychlostí o velikosti c. V��i soustav� S se sv�telný signál pohybuje po lomené �á�e ABC také rychlostí o velikosti c. Velikost této rychlosti vyplývá z principu konstantní rychlosti sv�tla. �as, který sv�tlo pot�ebuje na uražení dráhy ABC, je jeden tik pozorovatele P.

obr. 103

Z hlediska soustavy S � se dostane sv�telný paprsek za dobu 2t ��

na horní zrcátko 2Z . Z hlediska

soustavy S se sv�telný paprsek dostane za �as 2t�

také na zrcátko 2Z , ale sv�tlo p�i tom urazí jinou (delší)

dráhu. Vzhledem k soustav� S se totiž zatím hodiny posunuly o dráhu tv �. . Vztah mezi �asovým intervalem

t� a t �� získáme na základ� Pythagorovy v�ty v pravoúhlém trojúhelníku ABD. Platí: 222 DBADAB �� ,

což po dosazení je 222

22l

tv

tc �

!

"#$

% ��

!

"#$

% �. Odtud již snadno vyjád�íme �as t� :

2

2

1

12

c

vcl

t

�

�� . Víme ale, že

pro 1 tik m��ený v soustav� S � platí cl

t2

�� . M�žeme tedy dosadit a dostáváme

2

2

1

1

c

vtt

�

�� . Platí

cv � � 12

2

�c

v � 110

2

2

��c

v � tt �� . Jeden tik hodin v soustav�, v��i níž jsou hodiny v klidu

(soustava S � ) trvá tedy kratší dobu než jeden tik hodin v soustav�, v��i níž se hodiny pohybují (soustava S). Tj. z hlediska soustavy S se pohybující hodiny zpožují (jeden tik trvá totiž delší dobu).

�as t � , který na svých hodinách m��í pozorovatel, jenž je v��i hodinám v klidu, se nazývá vlastní �as. V literatu�e bývá n�kdy zna�en . .

Je možné tedy vyslovit záv�r: Hodiny, které se vzhledem k pozorovateli pohybují, jdou pomaleji než hodiny, které jsou vzhledem k pozorovateli v klidu.

Vztah pro dilataci �asu byl odvozen pro jeden výjime�n� jednoduchý typ hodin. Platí ale pro libovolné hodiny jakékoliv jiné konstrukce a také pro všechny procesy, které jsou závislé na plynutí �asu (biologické, chemické, …). 19.4 Kontrakce délek

P�i m��ení délky daného p�edm�tu v�tšinou ml�ky p�edpokládáme, že m��ený p�edm�t je v klidu v��i soustav�, v níž je pozorovatel a provádí m��ení. P�edpokládejme, že ty�, jejíž délku chceme m��it, je umíst�na v soustav� S � , která se pohybuje v��i soustav� S rychlostí v

�. Pozorovatel v soustav� S � m�že délku ty�e m��it

také tak, že na ose x� vyzna�í sou�asn� vhodnými zna�kami (body A� a B� ) okamžité polohy koncových bod� ty�e. Délku ty�e je pak možné ur�it jako vzdálenost t�chto bod�, tj. BAl ��0 .

Analogicky m�že postupovat i pozorovatel v soustav� S. Vytvo�í si zna�ky okamžitých poloh koncových bod� ty�e (body A a B) v soustav� S a poté ur�í délku ty�e jako vzdálenost t�chto dvou zna�ek, tj. ABl � . Je

ale nutné, aby pozorovatel v soustav� S vytvo�il zna�ky A a B sou�asn�. Vytvo�ení t�chto zna�ek jsou tedy dv� sou�asné události, ale jen pro pozorovatele v soustav� S. Tyto události už nejsou sou�asné z hlediska pozorovatele v soustav� S � , která se vzhledem k soustav� S pohybuje rychlostí v

�. Sou�asnost dvou událostí je

totiž relativní (viz odstavec 19.2). M��ení délky pohybující se ty�e vyžaduje sou�asné ur�ení poloh koncových bod� ty�e. Vzhledem k

tomu, že sou�asnost událostí je pojem relativní vzhledem k volb� vztažné soustavy, je rovn�ž délka p�edm�tu relativní vzhledem k volb� vztažné soustavy.


68

K odvození vztahu mezi délkou p�edm�tu 0l v klidové soustav� S � a délkou p�edm�tu l v libovolné jiné soustav� S, v��i níž se soustava S � pohybuje rychlostí v

�, lze využít následující myšlenkový pokus.

P�edpokládejme, že z levého konce ty�e (bod O� ) vyšleme ve sm�ru jejího pohybu sv�telný signál. Sv�tlo se po odrazu od zrcátka Z (umíst�ného na druhém konci ty�e) vrátí zp�t do bodu O� . �as, za který sv�tlo urazí dráhu

OZO �� , je závislý na tom, ve které soustav� budeme sv�telný signál sledovat. V soustav� S � , v níž je pozorovatel vzhledem k ty�i v klidu,

nam��íme �as c

lt 02

�� .

V soustav� S se sv�tlo ší�í od levého konce ty�e k zrcátku Z po dobu 1t , p�i�emž urazí dráhu lvtct �� 11 , kde l je délka ty�e v soustav� S. P�i návratu paprsku k levému konci ty�e (bod O� ) urazí sv�tlo vzhledem k soustav� S dráhu 22 vtlct �� . �as t, za který

sv�tlo urazí dráhu OZO �� , je sou�tem �as� 1t a 2t . Tedy

2

22221

1

1.

22

c

vcl

vc

lcvc

lvc

lttt

�

��

��

��

�� .

obr. 104

obr. 105

obr. 106 Vyslání paprsku z bodu O� a jeho op�tovný p�íjem v tomto bod� jsou z hlediska soustavy S � dv�

soumístné události, mezi nimiž uplyne �as t � . Z hlediska pozorovatele v soustav� S mezi dv�ma popsanými událostmi uplyne �as t. �as t a t � jsou svázány vztahem pro dilataci �asu, který lze zapsat ve tvaru

2

2

1

1

c

vtt

�

�� . Po dosazení práv� zjišt�ných �as� t a t � dostáváme:

2

2

0

2

2

1

12

1

1.

2

c

vcl

c

vcl

�

�

�

�

2

2

0 1c

vll �� . Tento vztah se nazývá vztah pro kontrakci délek.

Platí cv � � 12

2

�c

v � 110

2

2

��c

v � 0ll � , tedy: Délka ty�e v soustav�, vzhledem k níž se

ty� pohybuje (ve sm�ru své délky), je vždy menší než délka téže ty�e v soustav�, vzhledem k níž je ty� v klidu (klidová soustava). 19.5 ***Lorentzova transformace

Galileiho transformace (odstavec 18.1.1), která vyjad�uje vztah mezi sou�adnicemi x, y, z, t události v inerciální soustav� S a sou�adnicemi x� , y� , z � , t � téže události v inerciální soustav� S � , byla odvozena na základ� dvou p�edpoklad�: absolutnosti �asu a absolutnosti délek. Oba tyto p�edpoklady jsou ale v STR správné jen p�ibližn� a to v p�ípad�, že cv �� . P�i libovolných jiných rychlostech (ale stále takových, že cv � ) tyto p�edpoklady neplatí. Galileiho transformace je t�eba nahradit transformací obecn�jší - Lorentzovou transformací. 19.5.1 Odvození Lorentzovy transformace

V inerciální soustav� S � zvolíme bod A� tak, že jeho vzdálenost od po�átku této soustavy (bod O� ) je xl �� . Úse�ka AO �� o vlastní délce l � se vzhledem k soustav� S pohybuje rychlostí v

� a její délku v soustav� S

lze ur�it podle vztahu vtxl �� , kde x je sou�adnice bodu A� v �ase t a vt je sou�adnice bodu O� v tomtéž okamžiku.


69

Pro délku l lze psát vztah pro kontrakci délek ve tvaru

2

2

1c

vll �� , z n�hož po dosazení dostáváme:

2

2

2

2

11c

vx

c

vlvtx ��

2

2

1c

v

vtxx

�

�� .

obr. 107

Transforma�ní rovnice pro transformaci sou�adnic y a z jsou stejné jako u Galileiho transformace, nebo tyto osy jsou kolmé na sm�r pohybu vztažné soustavy S � vzhledem k soustav� S a ke kontrakci délek nedochází. Platí tedy: yy �� a zz �� .

K odvození vztahu pro transformaci �asové sou�adnice použijeme principu konstantní rychlosti sv�tla. Budeme p�edpokládat, že v �ase 0�� tt , v n�mž se sou�adnicové osy obou soustav kryjí, vyšle pozorovatel v soustav� S sv�telný signál v kladném sm�ru osy x. Za dobu t dorazí sv�tlo do bodu B o sou�adnici ctx � (B má tedy v soustav� S sou�adnice x a t). V soustav� S � urazí sv�tlo dráhu tcx �� a má tedy sou�adnice x� a t � . Z t�chto rovnic a Lorentzova vztahu pro transformaci sou�adnice x dostáváme:

2

2

2

2

2

2

2

2

111c

v

xc

vt

c

v

cc

vtcx

c

vc

vtxcx

t

�

��

�

��

�

��

�� , což je Lorentz�v vztah pro transformaci �asu.

Lorentzova transformace umož�uje ze znalosti sou�adnic události x, y, z, t v inerciální soustav� S ur�it sou�adnice x� , y� , z � , t � téže události v libovolné jiné soustav� sou�adnic. Pomocí toho lze odvodit relativnost sou�asnosti, vztah pro dilataci �asu a kontrakci délek.

obr. 108 Podle principu relativity jsou všechny inerciální vztažné soustavy rovnocenné, a proto Lorentzova

transformace musí platit pro p�echod mezi libovolnými dv�ma vztažnými inerciálními soustavami. Tj. musí také platí obrácený p�echod ze soustavy S � k soustav� S. Soustava S se ale nyní pohybuje vzhledem k soustav�

S � rychlostí v�

� . Proto je možné inverzní Lorentzovu transformaci možné psát ve tvaru:

2

2

1c

v

tvxx

�

�� ,

yy �� , zz �� a

2

2

2

1c

v

xc

vt

t

�

��

� .

19.5.2 Vztah Lorentzovy a Galileiho transfomace Máme-li již k dispozici Lorentzovu transformaci (LT), je vid�t, že transformace Galileiho (GT) je pouze

jejím „speciálním“ p�ípadem. P�i b�žných rychlostech, s nimiž máme každodenní zkušenost, totiž nedochází ke kontrakci délek a �as m�žeme považovat za absolutní. Díky tomu se m�žeme na Galileiho transformaci dívat jako na limitní p�ípad Lorentzovy transformace, kdy rychlost sv�tle roste nade všechny meze (tedy je ve srovnání s b�žnými každodenními velikostmi rychlostí „nekone�n�“ velká). Tedy schematicky napsáno:

LTGTc *+

� lim .

19.6 Skládání rychlostí Uvažujme inerciální vztažnou soustavu S � , která se pohybuje vzhledem k jiné inerciální vztažné

soustav� S rychlostí v�

orientovanou v kladném sm�ru osy x. V soustav� S � nech se dále pohybuje �ástice (t�leso) stálou rychlostí u

�� , která je orientována v kladném sm�ru osy x obou soustav. Podle zákon� klasické

fyziky dostáváme pro velikost rychlosti této �ástice vzhledem k soustav� S „klasický“ vtah: vuu �� . V STR tento vztah ale neplatí. Vyšle-li nap�íklad pozorovatel v soustav� S � v kladném sm�ru osy x�

foton (tj. cu �� ), pak se tato �ástice bude podle klasického zákona skládání rychlostí pohybovat vzhledem k soustav� S rychlostí o velikosti vcu �� . To je ale v rozporu s druhým postulátem STR. Einstein odvodil obecn�jší relativistický zákon pro skládání rychlostí.


70

19.6.1 Odvození vztahu P�edpokládejme, že v okamžiku 0�� tt , v n�mž sou�adnicové osy obou vztažných soustav S � a S

splývají, je �ástice A v jejich spole�ném po�átku. Za dobu t � se �ástice dostane rovnom�rným pohybem do bodu B a urazí p�itom vzhledem k soustav� S � dráhu x� , vzhledem k soustav� S dráhu x. Pr�chod �ástice bodem B je událost, která má v soustav� S � sou�adnice x� a t � a v soustav� S sou�adnice x a t. �ástice A má tedy

vzhledem k soustav� S � rychlost o velikosti tx

u��

�� (pohybuje se rovnom�rn� p�ímo�a�e) a vzhledem k

soustav� S velikost rychlosti tx

u � . Tuto velikost rychlosti je možné pomocí Lorentzovy transformace vyjád�it

ve tvaru:

222

2

2

2

2

2

11

1

1

c

vuvu

ct

vx

vtx

c

vxt

tvx

c

v

c

vxt

c

v

tvx

tx

u�

�

��

�

��

��

��

��

��

�

��

�

��

�� .

P�i odvozování jsme p�edpokládali, že vektory u

�� a v�

mají stejný sm�r. Bude-li vektor v

�

orientován vzhledem k vektoru u�� , lze

výslednou velikost rychlosti vzhledem k soustav� S psát ve tvaru:

21

c

vuvu

u�

�

�� .

obr. 109

Analogickou úvahou lze odvodit i inverzní vtah, tj. vyjád�it pomocí rychlosti t�lesa vzhledem k soustav� S velikost rychlosti vzhledem k soustav� S � . 19.7 ***STR a princip kauzality

Kdyby se mohl n�jaký objekt (t�eba „jen“ sv�telný signál) pohybovat rychlostí v�tší než je rychlost sv�tla (nadsv�telná rychlost), bylo by možné posílat zprávy do minulosti (viz také odstavec 20.4). To by ovšem vedlo k narušení principu kauzality. Ten �íká, že následek nenastává d�íve než p�í�ina. V p�ípad� nadsv�telné rychlosti by byl tento princip porušen. „Zákaz“ v�tších rychlostí než je velikost rychlosti sv�tla ve vakuu tedy neplyne p�ímo ze STR, ale ze spojení STR s principem kauzality.


71

20. Dynamika v STR P�i rychlostech, jejichž velikost je menší než velikost rychlosti sv�tla ve vakuu (tj. cv �� ), potvrzují

experimenty správnost klasické (Newtonovské) dynamiky. Ve speciální teorii relativity je však t�eba obsah základních pojm� a zákon� dynamiky pozm�nit tak, aby vedly ke správným výsledk�m i p�i velikostech rychlostí blízkých velikosti rychlosti sv�tla. 20.1 Relativistická hmotnost

Podle klasické fyziky je hmotnost každého t�lesa konstantní a nezávislá na jeho rychlosti. Einstein však ve své teorii odvodil, že hmotnost každého t�lesa se s jeho rostoucí rychlostí zvyšuje podle vztahu:

2

2

0

1c

v

mm

�

� , kde m je relativistická hmotnost a 0m klidová hmotnost (tj. hmotnost t�lesa, které je

vzhledem k dané vztažné soustav� v klidu). P�i malých velikostech rychlosti t�lesa je jeho relativistická hmotnost rovna jeho hmotnosti klidové.

Bude-li se velikost rychlosti t�lesa zvyšovat a blížit se velikosti rychlosti sv�tla c, poroste hmotnost t�lesa nade všechny meze. P�sobící konstantní síla by ud�lovala t�lesu stále menší zrychlení a proto nem�že žádné t�leso s nenulovou klidovou hmotností dosáhnout rychlosti sv�tla ve vakuu nebo ji dokonce p�ekro�it.

Uvedený vztah byl ov��en mnoha pokusy s využitím urychlova�� ástic. V nich lze �ástice urychlit tak, že se pohybují rychlostmi blízkými rychlosti sv�tla, p�i�emž hmotnost �ástic mnohonásobn� p�evyšuje jejich hmotnost klidovou.

Pro relativistickou hmotnost platí zákon zachování hmotnosti: Úhrnná relativistická hmotnost izolované soustavy t�les z�stává p�i všech d�jích probíhajících v této soustav� konstantní.

Díky závislosti hmotnosti t�lesa na velikosti jeho rychlosti, není vztah amF��

� vyjad�ující druhý

pohybový zákon (vztah mezi zrychlením a�

t�lesa, které danému t�lesu ud�luje p�sobící síla F�

) zcela v

po�ádku. Je lépe tento zákon psát ve tvaru tp

F�

��

�

, což je z hlediska klasické fyziky naprosto analogický

vztah. Ve STR je ale použití práv� tohoto tvaru lepší z toho d�vodu, že se v n�m (tak jako ve vztahu užívaném v klasické fyzice) vyskytuje veli�ina, která se zachovává (hybnost - viz odstavec 20.2). 20.2 Relativistická hybnost

Hybnost je v klasické fyzice definována vztahem vmp��

00 � , kde 0m je setrva�ná hmotnost t�lesa a v�

jeho rychlost vzhledem k dané vztažné soustav�. P�i rychlostech cv �� platí zákon zachování hybnosti, podle n�hož celková hybnost izolované soustavy t�les z�stává u všech d�j� probíhajících uvnit� soustavy konstantní.

A. Einstein prokázal, že zákon zachování hybnosti platí pro izolovanou soustavu t�les p�i libovolné rychlosti v

� (p�i�emž ale cv � ), jestliže nahradíme klasickou hybnost hybností relativistickou (tj. sou�in

velikosti rychlosti pohybu t�lesa a jeho relativistické hmotnosti). Relativistický zákon zachování hybnosti pat�í mezi nejobecn�jší fyzikální zákony. Z principu relativity

vyplývá, že zákon zachování relativistické hybnosti (podobn� jako zákon zachování relativistické hmotnosti) platí ve všech inerciálních soustavách. 20.3 Vztah mezi energií a hmotností

Podle klasické dynamiky není mezi energií t�lesa E a jeho setrva�nou hmotností 0m žádný obecn� platný vztah. Ur�ité t�leso m�že mít nap�. r�znou kinetickou, potenciální nebo vnit�ní energii a p�itom jeho setrva�ná hmotnost z�stává stálá.

Na základ� konkrétních p�íklad� je z�ejmé, že v relativistické dynamice souvisí zm�na energie t�lesa se zm�nou jeho hmotnosti. Uvedeme-li nap�. t�leso o hmotnosti 0m z klidu do pohybu rychlostí v

�, zv�tší se jeho

kinetická energie o kE� . Vzhledem k tomu, že relativistická hmotnost závisí na rychlosti, zv�tší se sou�asn�

hmotnost t�lesa o 0mmm �� . Albert Einstein obecn�ji dokázal, že p�i každé zm�n� celkové energie soustavy se m�ní také její

hmotnost, p�i�emž platí vztah 2mcE �� , kde E� je zm�na celkové energie soustavy, m� zm�na její hmotnosti a c velikost rychlosti sv�tla ve vakuu. Tento vztah platí nezávisle na tom, jakým zp�sobem se m�ní energie t�lesa (zm�nou jeho rychlosti, jeho deformací, zm�nou vnit�ní energie, …).

Mezi celkovou energií soustavy E a hmotností soustavy m pak platí vztah 2mcE � . Tato rovnice vyjad�uje Einstein�v vztah mezi hmotností a energií.

Uvedený vztah pat�í mezi nejvýznamn�jší výsledky speciální teorie relativity. Energie a hmotnost jsou dv� r�zné veli�iny, pomocí uvedeného vztahy jsou však vzájemn� spjaty.

Je-li �ástice nebo t�leso vzhledem k dané vztažné soustav� v klidu, pak energii této �ástice nebo t�lesa nazýváme klidová energie 0E . Mezi klidovou energií 0E a klidovou hmotností 0m platí vztah 2

00 cmE � .

Celková energie E t�lesa se pak ur�í jako sou�et klidové energie 0E a kinetické energie kE : kEEE �� 0 .


72

Pro celkovou energii soustavy platí zákon zachování energie: Celková energie izolované soustavy z�stává p�i všech d�jích probíhajících uvnit� soustavy konstantní.

V klasické fyzice zákon zachování energie nesouvisí se zákonem zachování hmotnosti. Z hlediska klasické fyziky se jedná o dva odlišné zákony. Podle speciální teorie relativity je však mezi t�mito zákony úzká souvislost: platí-li totiž pro celkovou hmotnost izolované soustavy .konstM � , musí také platit

.2 konstEMc �� a naopak. Zákon zachování hmotnosti a zákon zachování energie lze tedy ve speciální teorii relativity považovat za dv� r�zné formy téhož fyzikálního zákona.

Zákon zachování hmotnosti, energie a hybnosti pat�í mezi nejobecn�jší fyzikální zákony. 20.4 ***Prostoro�asové diagramy

Z klasické fyziky známe grafy, pomocí nichž lze znázornit pohyb hmotného bodu (resp. t�lesa). Nej�ast�ji používaným grafem je graf závislosti uražené dráhy x na �ase t. V relativit� se používá jiný typ grafu. Uvažujeme-li pohyb t�lesa pouze po p�ímce, pak se na vodorovnou osu nanáší vzdálenost x, na osu svislou pak nikoliv �as t, ale hodnota sou�inu ct. Tak jsou hodnoty na obou osách ve stejných jednotkách. Klasický graf se v STR zobrazí jako osov� soum�rný podle osy I. a III. kvadrantu.

obr. 110

obr. 111

Práv� popsaný graf se nazývá prostoro�asový diagram. �ára, která je grafem p�íslušného pohybu, se nazývá sv�to�ára. Tento pojem zavedl do STR polský matematik Minkowski, který vytvo�il geometrický aparát používaný v STR. Bod v prostoro�asovém diagramu, který popisuje, že se v daném �ase v daném míst� prostoru n�co stalo, se nazývá událost.

Z klasické mechaniky víme, že z grafu závislosti uražené dráhy na �ase lze ur�it také rychlost pohybu daného hmotného bodu (t�lesa). Zatímco v klasické mechanice velikost rychlosti pohybu nebyla omezená, v STR omezená je. Prozkoumejme nyní, jak m�že sv�to�ára objektu vypadat, aby popisovala reálný objekt.

Na základ� obrázku lze pro úhel � (odklon te�ny grafu od svislé

p�ímky) psát: cv

tcx

ctctxx

tg ��

��

�

��

.12

12� . Vzhledem k tomu, že pro velikost

rychlosti daného objektu platí omezení cv � , dostáváme 1��tg � �� 45� . Rychlostí o velikosti c se m�že pohybovat pouze sv�tlo (resp.

�ástice foton). Proto grafem závislosti uražené dráhy na �ase pro foton bude v prostoro�asovém diagramu p�ímka svírající se sm�rem osy ct úhel p�esn�

�45 . Jakýkoliv jiný objekt, který se bude vždy pohybovat rychlostí cv � , bude mít v tomto diagramu graf v podob� p�ímky, která svírá se svislým sm�rem úhel �� 45� .

obr. 112 Budeme-li uvažovat pohyb fotonu v prostoru, pak všechny události, do nichž lze z daného místa P vyslat

sv�telný signál, budou ležet na plášti sv�telného kuželu s vrcholovým úhlem �90 . Tento sv�telný kužel se nazývá budoucí sv�telný kužel, protože uvnit� a na jeho plášti leží události, které se stanou v budoucnosti události P. Událost P lze tedy „spojit“ sv�telným paprskem �i jakýmkoliv jiným t�lesem, které se pohybuje rychlostí menší než je rychlost sv�tla ve vakuu, s libovolnou událostí, která leží na nebo v budoucím sv�telném kuželu události P.

Analogicky lze zavést minulý sv�telný kužel jako množinu všech událostí, které se staly v minulosti události P. Sv�telný signál (jakékoliv t�leso) se m�že dostat do bodu P pouze z míst, které leží na nebo v minulém sv�telném kuželu.


73

obr. 113

obr. 114

obr. 115

Pomocí sv�telných kužel� lze hovo�it o: 1. absolutní budoucnosti (AB) - tj. o t�ch událostech, které leží uvnit� a na plášti budoucího

sv�telného kuželu a které se staly (v libovolné inerciální soustav�) po události P 2. absolutní minulosti (AM) - tj. o t�ch událostech, které leží uvnit� a na plášti minulého sv�telného

kuželu a které se staly (v libovolné inerciální soustav�) p�ed událostí P 3. relativní p�ítomnosti (RP) - tj. o událostech, které leží mimo budoucí a minulý sv�telný kužel a

které mohou v n�kterých inerciálních soustavách nastat zárove� s událostí P


74

21. Struktura mikrosv�ta 21.1 Nitro atomu

V roce 1897 vyslovil J. J. Thomson (anglický fyzik 1856 - 1940) hypotézu o elektronu. Prokázal, že katodové paprsky jsou proudem rychle letících záporn� nabitých �ástic („atom� elekt�iny“). Tyto elektrony se musí uvol�ovat z atom� tvo�ících katodu. Pozd�ji byly zjišt�ny další zdroje elektron� - uvol�ují se ze záporn� nabité zinkové desti�ky p�i dopadu sv�tla, z rozžhaveného kovového drátku, p�i radioaktivním rozpadu, …

Na základ� odchylování elektron� v el. a mg. polích ur�il J. J. Thomson m�rný náboj elektronu, tj. pom�r el. náboje elektronu a jeho hmotnosti. První elementární �ástice, kterou Thomson objevil, má tedy náboj

Ceqe1910.602,1 �� a hmotnost kgme

3110.110,9 �� .

21.1.1 První modely atom� Poznatek o tom, že elektrony vyletují z atom�, vyvrátil odv�kou p�edstavu o ned�litelnosti atom� a

nastolil otázku jejich struktury. P�edpokládejme, že atom obsahuje Z elektron�. Zárove� je atom jako celek elektricky neutrální, proto se v n�m musí vzájemn� vyrovnávat záporný náboj elektron� a kladný náboj. J. J. Thomson p�edpokládal, že kladný náboj je rozložen rovnom�rn� v celém objemu atomu a záporn� nabité elektrony jsou v n�m rozmíst�ny náhodn� jako rozinky v oblíbeném anglickém pudinku. Tak vznikl Thomson�v (pudinkový) model atomu. Náhodné rozmíst�ní záporn� nabitých elektron� v kladné hmot� atomu je ale takové, aby atom držel pohromad� a byl stabilní. Nebo pozorování nasv�d�ovalo tomu, že atom je útvar stabilní.

21.1.2 Objev atomového jádra Skute�nou strukturu atomu však odhalily až pokusy Ernesta Rutherforda (1871 - 1937), Hanse Geigera

(1882 - 1945) a E. Marsdena v roce 1911. V té dob� již byly známy radioaktivní látky, které uvol�ují zá�ení � a ( . Rutherford ov��il, že zá�ení � p�edstavují rychle letící kladn� nabité �ástice. Jedná se o atomy helia zbavené elektron�, mají elektrický náboj e2 a hmotnost 7293krát v�tší než elektron.

� �ástice poté využil Rutherford jako st�ely, kterými zkoumal atom. Nechal tyto �ástice pronikat zlatou fólií, kterou je možné vytepat na tenkou (jednoatomovou) tloušku. Poté registroval �ástice na pohyblivém stínítku a studoval jejich rozptyl.

Lehké elektrony v atomech zlata nemohou trajektorii t�žkých � �ástic znateln� ovlivnit. Je-li kladný náboj rozprost�en v celém atomu rovnom�rn�, jak p�edpokládá Thomson a jeho model atomu, pak se �ástice � tak�ka nebudou odchylovat od p�vodního sm�ru. Experiment však ukázal n�co zcela ne�ekaného. Odchylky trajektorií byly v�tší, n�které �ástice se dokonce vychýlily skoro o úhel �180 (odrážely se zp�t).

obr. 116

Výsledek experimentu bylo možné vysv�tlit pouze tak, že celý kladný náboj a tém�� celá hmota atomu jsou soust�ed�ny v nesmírn� malé centrální oblasti - v atomovém jád�e o rozm�rech �ádov� m1415 1010 ��

zatímco rozm�r celého atomu je �ádov� m1010� . Znamená to tedy, že atom je v podstat� prázdný prostor, v n�mž se pohybuje n�kolik elektron� (v tzv. elektronovém obalu) a v jeho st�edu je nepatrné, ale velmi t�žké jádro.

Na základ� svého objevu dosp�l Rutherford k modelu atomu, který si p�edstavoval podobn� jako Slune�ní soustavu. Roli Slunce zde hrálo jádro, kolem n�hož obíhaly elektrony tak, jako obíhají planety kolem Slunce. Tomuto modelu se �íká Rutherford�v planetární model atomu. Elektron se v n�m pohybuje po kruhových trajektoriích, pod vlivem dost�edivé síly, která je zde realizována elektrostatickou silou p�sobící mezi záporn� nabitým elektronem a kladn� nabitým jádrem atomu. D�ležité je, že se jedná o pohyb se zrychlením, p�i n�mž nabitá �ástice vyza�uje elektromagnetické zá�ení. Toto vyza�ování se d�je na úkor energie elektronu. Tím, že elektron ztrácí svoji energii, klesá velikost jeho rychlosti a elektron se p�ibližuje k jádru, až na n�j spadne. Tento pád do jádra nastane za dobu �ádov� s1610� , což ale znamená, že atom by byl útvar zna�n� nestabilní. Rutherford�v model tedy nedopovídá skute�nosti, protože atomy (a objekty z nich složené - v�ci, lidé, …) jsou stabilní. 21.2 Složení jádra

Po�átkem 20. století bylo v souvislosti s objevem radioaktivity zjišt�no, že mohou existovat atomy téhož prvku s týmž po�tem elektron� Z, které se ale budou lišit svojí hmotností. Jejich jádra mají tedy stejný náboj, ale r�znou hmotnost. Je proto dobré rozlišovat chemický prvek, který je tvo�en atomy s týmž nábojem jádra Ze bez ohledu na hmotnost, a nuklid, který je tvo�en atomy pouze jednoho druhu s jádry o stejném náboji a hmotnosti (tj. nuklid je charakterizován ne jen �íslem Z, ale také svojí hmotností).

Dva r�zné nuklidy téhož prvku není možné žádnými chemickými metodami odlišit a je možné je odlišit pouze fyzikáln� - mají tedy shodné chemické vlastnosti, ale r�zné vlastnosti fyzikální. To se projeví nap�. p�i pr�letu daného nuklidu (�ástice) urychlova�em (závisí na rychlosti �ástice, její hmotnosti, …). Nuklidy téhož prvku „sedí“ na stejném míst� periodické soustavy prvk�, �íká se jim izotopy (izo = stejný, topos = místo). Prvky, které se vyskytují v p�írod�, jsou zpravidla sm�sí více izotop� a to (až na výjimky) ve stálých pom�rech.


75

Vysv�tlení izotopie je možné provést na základ� hypotézy, že atomové jádro je tvo�eno jednak kladn� nabitými �ásticemi o hmotnosti jádra nejleh�ího nuklidu vodíku, kterým �íkáme protony, jednak p�ibližn� stejn� t�žkými elektricky neutrálními �ástice, kterým se �íká neutrony. Oba druhy �ástic mají spole�né ozna�ení nukleon, nebo se nacházejí v jád�e.

21.2.1 �ísla popisující atomové jádro Atomové jádro je tedy tvo�eno protony a neutrony. Po�et proton� udává protonové (atomové) �íslo Z

( 1�Z ), po�et neutron� v jád�e pak neutronové �íslo N ( 0�N ). Jejich sou�et je �íslo nukleonové (hmotnostní) A ( NZA �� ).

Atomové jádro je tedy charakterizováno: 1. hmotností - experimenty ukázaly, že hmotnost jádra vyjád�ená v jednotkách atomové

hmotnostní konstanty um se málo liší od celých �ísel; proto se bylo zavedeno hmotnostní (nukleonové) �íslo A, které vyjad�uje hmotnost jádra vyjád�enou pomocí této atomové hmotnostní konstanty. U p�írodních prvk� se ale jedná o hmotnost sm�si r�zných izotop� a proto se m�že �íslo A od celých �ísel lišit.

2. nábojem - který objevil p�i svých pokusech Rutherford a který je celo�íselným Z-násobkem náboje elektronu; toto Z udává polohu prvku v Mend�lejevov� periodické soustav� prvk�

Složení jádra je pak možné vyjád�it pomocí symbolu XAZ , kde X je zna�ka daného chemického prvku.

21.3 Vazebná energie Jádro a elektrony jsou vázány p�itažlivými elektrickými silami, nukleony jsou v jád�e vázány silami

jadernými. U každého systému pak m�žeme hovo�it o tzv. vazebné energii vE , která je rovna práci, kterou je nutné vykonat k rozložení soustavy na jednotlivé �ásti.

Podle Einsteinova vztahu 2mcE �� však každé zm�n� energie E� odpovídá zm�na hmotnosti m� , p�i�emž c je velikost rychlosti sv�tla ve vakuu. Dodáváme-li tedy soustav� energii, zv�tšujeme zárove� i její hmotnost a naopak. Mohou nastat dva p�ípady:

1. 0�vE - soustava je stabilní a k tomu, abychom jí rozložili na jednotlivé �ásti („stavební kameny“) je nutno vykonat kladnou práci, tj. dodat energii. Po rozložení pak je sou�et klidových hmotností všech �ástí v�tší než p�vodní klidová hmotnost soustavy. V p�ípad�, že chceme soustavu z �ástí op�t složit v jeden celek, klesne její klidová hmotnost a uvolní se p�i tom energie.

2. 0�vE - soustava je nestabilní, p�i jím rozpadu na �ásti se energie uvol�uje. Sou�et klidových hmotností jednotlivých �ástí je menší než p�vodní klidová hmotnost soustavy. Pokusíme-li se soustavu z t�chto �ástí složit dohromady, musíme vykonat kladnou práci, tj. dodat energii.

V atomové a jaderné fyzice se udává energie v�tšinou v elektronvoltech. Jedná se o vedlejší jednotku a udává energii, kterou získá �ástice s elementárním nábojem e urychlená nap�tím V1 : JeV 1910.602,11 �� .

Úbytek klidové hmotnosti soustavy odpovídající vazebné energii se nazývá hmotnostní úbytek (schodek, deficit) B. Je-li soustava tvo�ena �ásticemi o klidových hmotnostech 1m , 2m , …, nm a má-li jako celek

klidovou hmotnost m, pak platí: 2BcEv � , kde mmBn

ii ��

�1

.

Celková klidová hmotnost soustavy je tedy podle STR rovna sou�tu klidových hmotností �ástí zmenšenému o hmotnostní úbytek. Uvoln�ná energie odpovídající hmotnostnímu úbytku se m�ní na kinetickou energii rozlétajících se �ástí a na energii elmg. pole.

Energetickou bilanci chemické reakce charakterizuje energie reakce rE . Nastávají tyto p�ípady:

1. 0�rE - energie se p�i reakci uvol�uje a jedná se o exoenergetickou reakci

2. 0�rE - energie se p�i reakci spot�ebovává a jde o endoenergetickou reakci


76

22. Základy kvantové mechaniky 22.1 Kvantová hypotéza 22.1.1 Zá�ení absolutn� �erného t�lesa

Elmg. zá�ení vydávají všechna t�lesa. Chladná vyza�ují okem neviditelné infra�ervené zá�ení, zah�átá t�lesa (asi nad C�500 ) pak zá�ení viditelné. P�i dopadu zá�ení na t�leso m�že toto t�leso zá�ení:

1. pohltit (absorbovat) 2. odrazit

D�ležitým p�ípadem je zá�ení absolutn� �erného t�lesa. Toto zá�ení vzniká v uzav�ené dutin�, jejíž st�ny jsou oh�áty. Nastane zde rovnováha mezi vyza�ováním a pohlcováním zá�ení st�nami, p�i�emž se zá�ení m�že od st�n mnohonásobn� odrážet. Nahlížíme-li do dutiny malým otvorem, je možné pozorovat celé spektrum elmg. zá�ení, p�i�emž tento otvor se nemusí jevit �erným.

Rovnovážné zá�ení zah�átých t�les bylo intenzívn� zkoumáno ve druhé polovin� 19. století. Bylo zjišt�no, že spektrum takového t�lesa závisí pouze na teplot� t�lesa, nikoliv na chemickém složení, … Spektrum tohoto zá�ení je spojité, t�leso vyza�uje na všech vlnových délkách. Maximální energie je vyza�ována na ur�ité vlnové délce, která se zmenšuje úm�rn� s rostoucí termodynamickou teplotou. Tuto skute�nost

popisuje Wien�v posunovací zákon: Tb

�max� , kde Kmb .10.9,2 3�� je konstanta. Roste-li teplota t�lesa,

intenzita zá�ení velmi rychle vzr�stá a jeho spektrum se posouvá k vyšším frekvencím. Práv� uvedené zákonitosti byly v 19. stolení experimentáln� potvrzeny. P�esto se neda�ilo vysv�tlit celý

pr�b�h spektra rovnovážného zá�ení, neda�ilo se odvodit vzorec závislosti spektrální hustoty intenzity vyza�ování na frekvenci (resp. vlnové délce) elmg. zá�ení. Poda�ilo se to až Planckovi.

22.1.2 Planckova kvantová hypotéza Planck se musel vzdát p�edpokladu spojitého ší�ení elmg. zá�ení, tj. zá�ení vydávané a pohlcované

jednotlivými atomy zah�átého t�lesa se neší�í spojit�, ale v tzv. kvantech (dávkách, „chomá�cích“ energie). Energie takového kvanta zá�ení je úm�rná jeho frekvenci, p�i�emž konstantou úm�rnosti je tzv. Planckova konstanta sJh .10.626,6 34�� . Pro energii jednoho kvanta tedy platí: hfE � .

Kvantová hypotéza �íká, že energie nem�že být libovoln� malá, nebo je kvantována a její kvantum závisí na frekvenci zá�ení. Z klasické fyziky neplyne žádný d�vod pro takové tvrzení a sám Planck je zpo�átku považoval jen za vhodný matematický požadavek, aniž by mu p�ikládal hlubší fyzikální význam. 22.2 Fotoelektrický jev

P�i zkoumání vzájemného p�sobení zá�ení a látky byl v 19. století objeven fotoelektrický jev (fotoefekt). Bylo zjišt�no, že dopadající zá�ení uvol�uje z povrchu n�kterých látek elektrony, které pak mohou vytvá�et elektrický proud v obvodu.

Z hlediska zp�sobu vzniku elektron� vlivem dopadajícího elmg. zá�ení se rozlišuje: 1. vn�jší fotoefekt - elektrony jsou uvol�ovány z povrchu materiálu (katoda, …) 2. vnit�ní fotoefekt - elektrony jsou uvol�ovány uvnit� materiálu (polovodi�, …)

Z fyzikální hlediska se podíváme podrobn�ji na vn�jší fotoefekt. Zá�ení dopadá fotokatodu a uvol�uje z ní elektrony. Ty putují k anod� a vzniklý proud v obvodu lze m��it galvanometrem.

Na základ� p�edstav klasické fyziky se zdálo, že s rostoucí intenzitou zá�ení (tj. energie dopadající za jednotku �asu na jednotku plochy) se budou elektrony uvol�ovat snadn�ji z povrchu kovu a budou mít i vyšší energii. Experimenty ale prokázaly, že na intenzit� zá�ení závisí jen množství uvoln�ných elektron�, ale nikoliv jejich energie. Ta je dána pouze frekvencí použitého zá�ení.

Bylo zjišt�no, že pro každý kov existuje jistá mezní frekvence 0f (a jí odpovídají mezní vlnová délka

0� ) taková, že elektrony se uvol�ují pouze p�i této a vyšších frekvencích. Na frekvenci použitého elmg. zá�ení závisí také energie vylétávajících elektron�. Je-li frekvence zá�ení vyšší než mezní, bude proud protékající obvodem p�ímo úm�rný intenzit� zá�ení.

Závislost na frekvenci zá�ení nebylo možné vysv�tlit klasicky. Bylo t�eba vzít v úvahu Planckovu kvantovou hypotézu. Zákony fotoefektu se poda�ilo vysv�tlit v roce 1905 A. Einsteinovi (1879 - 1955). Vyšel ze zmín�né Planckovy kvantové hypotézy a z p�edstavy, že elmg. vlna o frekvenci f a vlnové délce � se chová jako soubor �ástic (sv�telných kvant) z nichž každá má svou energii a hybnost. Jsou to ale �ástice zvláštní - stále se pohybují rychlostí sv�tla a nelze je zastavit, zpomalit ani urychlit. Tyto �ástice nazval Einstein fotony.

Pro kvanta zá�ení (fotony) platí hfE � . P�i fotoefektu p�edá každé kvantum zá�ení svou energii vždy

jen jednomu elektronu. Ta se využije jednak na jeho uvoln�ní z kovu (vykonáním tzv. výstupní práce vW ) a

jednak se p�em�ní na kinetickou energii kE elektronu. Einsteinova rovnice pro fotoefekt (vyjad�uje zákon

zachování energie) má pak tvar: kv EWhf �� . Dopadá-li na povrch kovu elmg. zá�ení s mezní frekvencí (mezní vlnovou délkou), jeho energie sta�í

pouze na p�ekonání vazebných sil, tj. na vykonání výstupní práce. Kinetická energie uvoln�ného elektronu je pak tedy nulová.


77

Kvantum zá�ení o frekvenci 0ff � nemá dostatek energie na vykonání výstupní práce elektronu z kovu

a nem�že jej tedy uvolnit. Je-li 0ff � , za�nou být elektrony okamžit� z kovu uvol�ovány a jejich po�et bude záviset na po�tu kvant, která jsou k dispozici, tj. na intenzit� zá�ení. Tím se vysv�tluje r�st proudu s r�stem intenzity zá�ení.


78

23. Atomová fyzika B�žném jazyce a život� �asto pojmy atomová a jaderná fyzika p�íliš nerozlišují (atomová a jaderná

energie, atomová a jaderná elektrárna, …) a �asto se zam��ují. V b�žném hovoru to sice nevadí, ale ve fyzice se tyto názvy odlišují:

1. atomová fyzika - fyzika elektronového obalu; zabývá se vlastnostmi a pohybem elektron� v elektronovém obalu, p�i�emž atomové jádro z�stává nem�nné. Zkoumá oblast chemických energií v �ádech n�kolika eV na �ástici.

2. jaderná fyzika - zkoumá pohyb uvnit� atomových jader a jejich p�em�ny. P�itom se uvol�uje energie �ádov� eV610 na �ástici, které se využívá v jaderných elektrárnách.

23.1 Kvantování energie atom� Poznatek o tom, že energie atom� je kvantována a že m�že nabývat jen ur�itých dovolených hodnot

(energetických hladin), byl získán mnohem d�íve, než vznikla kvantová mechanika a byl potvrzen �adou experiment�.

Zah�áté t�leso (nap�. Slunce, …) vysílá elmg. zá�ení všech vlnových délek - má tedy spojité spektrum. Naproti tomu plyn nebo zah�áté páry kov�, v nichž probíhá el. výboj (nap�. sodíková výbojka, neonka, …), vysílají zá�ení jen ur�itých vlnových délek - mají �árové spektrum. V obou p�ípadech jde o spektra emisní, tj. spektra, která daná t�lesa vysílají, vyza�ují. Plyn ale m�že také zá�ení pohlcovat a to op�t jen zá�ení ur�itých vlnových délek. Takové spektrum potom nazývá absorp�ní.

Soustava spektrálních �ar daného plynu je pro každý druh atom�, každý prvek charakteristická (analogicky jako nap�. otisk prstu u �lov�ka). Na základ� znalosti spektra lze každý prvek p�esn� identifikovat a provád�t chemickou spektrální analýzu. Pomocí absorp�ních spekter lze zkoumat dokonce i chemické složení vesmírných t�les - Slunce, hv�zd, …

Vztahy mezi spektrálními zákonitosti a stavbou atomu formuloval již v roce 1913 (tedy ješt� p�ed zrodem kvantové mechaniky) Niels Henrik David Bohr (1885 - 1962). Na základ� toho vytvo�il Bohr�v model atomu:

1. Atom je stabilní soustava složená z kladn� nabitého jádra, v n�mž je soust�ed�na tém�� celá hmotnost atomu, a z elektronového obalu.

2. Atom se m�že nacházet pouze v kvantových stacionárních stavech s ur�itou hodnotou energie (na ur�itých energetických hladinách). V takovém stavu atom nevydává ani nep�ijímá energii a rozložení elektron� v jeho obalu je �asov� neprom�nné.

3. P�i p�echodu ze stacionárního stavu o energii nE do stavu o nižší energii mE m�že atom vyzá�it

kvantum elmg. zá�ení (foton) o frekvenci dané podmínkou mnnm EEhf �� . Naopak p�i pohlcení

takového fotonu p�ejde atom ze stavu o energii mE do stavu o vyšší energii nE .

23.1.1 Kvantová �ísla V prostorovém p�ípad� bude kvantový stacionární stav elektronu ur�en t�emi kvantovými �ísly:

1. hlavním kvantovým �íslem n - nabývá hodnot ...,3,2,1�n a ur�uje energii p�íslušného stacionárního stavu atomu vodíku

2. vedlejším (orbitálním) kvantovým �íslem l - nabývá hodnot 1...,,3,2,1,0 �� nl a ur�uje tvar atomového orbitalu

3. magnetickým kvantovým �íslem m - nabývá hodnot lm 2222� ...,,3,2,1,0 a ur�uje orientaci atomového orbitalu v prostoru. Pro dané kvantové �íslo l tedy nabývá celkem 12 �l hodnot.

Trojice �ísel n, l, m udává také rozložení pravd�podobnosti výskytu elektronu v prostoru. Toto rozložení se v�tšinou znázor�uje tak, že se vymezí oblast, v níž je výskyt elektronu dán s vysokou pravd�podobností (95 % až 99 %). Hovo�í se o tzv. atomovém orbitalu elektronu.

23.1.2 Spin Experimenty s chováním atom� v magnetickém poli ukázaly, že kvantových stav� elektronu je ve

skute�nosti dvojnásobný po�et. Je to proto, že elektron p�edstavuje vlastn� jakýsi malý magnet, který se ve vn�jším magnetickém poli m�že orientovat dvojím zp�sobem - ve sm�ru pole a proti jeho sm�ru. Tato vlastnost elektronu se ozna�uje jako spin (anglicky spin = to�it, ví�it, kroužit), protože elektron p�ipomíná rotaci nabitého vl�ku v jednom nebo druhém sm�ru. Jedná se ovšem pouze o naši p�edstavu, nebo u mikro�ástic není možné hovo�it o její rotaci. Jedná o ur�itý kvantový pohyb, pro n�jž nemáme v makrosv�t� analogii.

Dv� opa�né orientace elektronu v magnetickém poli se budou lišit i energií a proto je lze popsat �tvrtým kvantovým �íslem - tzv. spinovým magnetickým kvantovým �íslem sm , které nabývá pouze dvou hodnot:

21

2�sm . Kvantový stacionární stav atomu vodíku je tedy popsán �ty�mi kvantovými �ísly n, l, m, sm ,

p�i�emž pro každému n odpovídá celkem 22n stav�.


79

23.1.3 Princip nerozlišitelnosti �ástic a Pauliho (vylu�ovací) princip P�i zkoumání systému více �ástic (nap�. elektrony v atomovém obalu, …) v kvantové mechanice se

projeví dva nové fyzikální zákony, které nemají obdobu v makrosv�t�: 1. princip nerozlišitelnosti �ástic - na rozdíl od jakýchkoliv dvou makroskopických objekt� (zrnka

písku, mravenci, listí na strom�, lidé, …), které dovedeme vždy rozlišit jsou �ástice všechny zcela stejné, tj. nelze je žádným zp�sobem ozna�it (obarvit, o�íslovat, …). Tato skute�nost je experimentáln� ov��ená a hraje podstatnou roli v chemické vazb�.

2. Pauliho (vylu�ovací) princip (z roku 1924) - v daném systému nemohou existovat sou�asn� dv� �ástice v témž kvantovém stavu, tj. s týmiž hodnotami kvantových �ísel n, l, m, sm .

Podle platnosti Pauliho principu rozd�lujeme �ástice na dva druhy: 1. fermiony - �ástice, jejichž úplný popis vypracoval italský fyzik E. Fermi a k nimž pat�í elektron,

proton, neutron, …; jedná o �ástice s polo�íselným spinem, které tvo�í veškerou látku vesmíru (hv�zdy, planety, zví�ata, lidi, …) a pro n�ž platí Pauliho vylu�ovací princip

2. bosony - �ástice, jejichž popis vypracoval indický fyzik J. Bose spolu s A. Einsteinem a k nimž pat�í foton, mezon a další �ástice zprost�edkující silové interakce mezi �ásticemi látky, …; jde o �ástice s celo�íselným spinem a Pauliho vylu�ovací princip pro n� neplatí

23.2 Lasery 23.2.1 Emise a absorpce sv�tla

Atomy a molekuly mohou p�i p�echodu z vyššího, excitovaného energetického stavu 2E do nižšího

excitovaného stavu 1E vyzá�it foton o energii 1221 EEhf �� . Musí p�itom jít o zá�ivý p�echod dovolený výb�rovými pravidly. P�echod z vyššího do nižšího stavu s vyzá�ením fotonu prob�hne d�íve �i pozd�ji samovoln� a nazývá se spontánní emisí. Jednotlivé atomy p�i ní vyza�ují nekoordinovan�, s r�znou fází a vznikající elmg. zá�ení je nekoherentní. Tímto zp�sobem zá�í nap�. zah�áté t�leso, Slunce, žárovka, sví�ka, …

Opa�ný proces, p�i n�mž atom v nižším energetickém stavu 1E pohltí foton odpovídající frekvence a

p�ejde do vyššího stavu 2E , se nazývá absorpce. A. Einstein ve své práci z roku 1912 ukázal, že existuje ješt� t�etí proces, p�i n�mž foton spl�ující

uvedenou podmínku dopadá na atom ve vyšším energetickém stavu a p�im�je ho k p�echodu do nižšího stavu za vyzá�ení dalšího fotonu. P�vodní foton se p�itom nepohltí a oba fotony letí spole�n� dále týmž sm�rem. Jsou synchronizovány, mají stejnou frekvenci a stejnou fázi. Vzniklé zá�ení je tedy koherentní. Zá�ení se tak zesiluje a proces se m�že lavinovit� opakovat s dalšími atomy. Uvedený proces se nazývá stimulovaná emise.

Stimulovaná absorpce a emise jsou vlastn� procesy opa�né a oba stejn� pravd�podobné. Jde jen o to, bude-li více atom� na vyšší energetické hladin� (pak p�evládne stimulovaná emise) nebo na nižší energetické hladin� (v tom p�ípad� p�evládne absorpce).

K praktickému využití vynucené emise a tím pádem i ke konstrukci laseru je t�eba: 1. vytvo�it nerovnovážný stav, kdy bude více atom� na vyšších energetických hladinách než na

hladinách nižších - vytvo�it popula�ní inverzi (aktivní prost�edí) 2. najít zp�sob, jak udržet paprsek uvnit� aktivního prost�edí dostate�n� dlouhou dobu, aby stihnul

nabrat co nejvíc energie vynucených emisí T�leso v termodynamické rovnováze zah�áté na termodynamickou teplotu T má vždy více atom� na

nižších energetických hladinách než na vyšších. T�lesu však m�žeme dodat energii i jiným zp�sobem než zah�átím - nap�. osv�tlením, el. proudem, chemickou reakcí, … a to tak, aby p�evážil po�et atom� na n�které vybrané vyšší energetické hladin� nad po�tem atom� na nižší hladin�. Pak mluvíme o popula�ní inverzi a takový stav látky obohacené energií nazýváme aktivním prost�edím.

P�ekro�í-li energie dodávaná t�lesu ur�itou prahovou mez a vytvo�íme-li zp�tnou vazbu, nap�. tak, že umístíme t�leso mezi dv� rovnob�žná zrcadla, dojde ke spušt�ní mechanismu stimulované emise a vznikne laser - Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation (zesilování sv�tla stimulovanou emisí zá�ení).

Sv�telný paprsek se bude od uvažovaných rovnob�žných zrcadel mnohonásobn� odrážet, na své cest� aktivním prost�edím vyvolá další a další p�echody, bude p�ibírat stále nové fotony a tak bude sílit. P�itom bude úzce sm�rován, nebo paprsky, které se odchylují od optické osy systém po n�kolika odrazech opustí bez zesílení. Zesilují se tedy pouze paprsky rovnob�žné s optickou osou, tj. paprsky kolmé k zrcadl�m.

Srovnáme-li laserový paprsek, vyvolaný stimulovanou emisí, se sv�télkováním luminoforu, vyvolaném spontánní emisí, zjistíme, že laserový záblesk:

1. je podstatn� kratší � s912 10;10 ��

2. má nepatrnou rozbíhavost 3. je vysoce monofrekven�ní (tj. sv�telný paprsek je tvo�en sv�tlem o tém�� jediné frekvenci) 4. je koherentní (tj. p�estavuje p�esnou sinusovou elmg. vlnu) 5. p�enáší elmg. energii o vysoké prostorové, �asové a spektrální hustot�, p�i�emž je tato energie

soust�ed�na v malé oblasti prostoru, krátkém �asovém intervalu a úzké oblasti vlnových délek (frekvencí)


80

Z t�chto vlastností také plynou možnosti využití laseru v praxi.


81

24. Jaderná fyzika 24.1 Vlastnosti atomových jader

Atomové jádro zaujímá nepatrnou centrální �ást atomu o rozm�rech �ádov� m1510� . Je tvo�eno protony a neutrony, které se spole�n� nazývají nukleony. Protony nesou kladný elektrický náboj e (tj. stejn� velký jako je náboj elektronu, jen s opa�ným znaménkem), neutrony jsou elektricky neutrální, ale projevují magnetické vlastnosti. Hmotnosti proton� a neutron� jsou �ádov� stejné (viz odstavec 21.2.1) a jsou zhruba 1840 krát v�tší než je hmotnost elektronu. Po�et proton� v jád�e udává protonové �íslo Z, po�et neutron� neutronové �íslo N. Nukleonové �íslo A udává po�et proton� a neutron� v jád�e: NZA �� . Atomové jádro má tedy kladný elektrický náboj Ze . (Podrobn�jší vysv�tlení �ísel, popisujících jádro je uvedeno v odstavci 21.2.1).

Z Coulombova zákona lze snadno vypo�ítat, že dva protony ve vzájemné vzdálenosti m1510� se budou vzájemn� odpuzovat elektrostatickými silami o velikostech N230 . V jádrech s velkým po�tem proton� tedy p�sobí obrovské odpudivé síly. Navíc se nukleony v jád�e neustále pohybují rychlostmi o velikostech �ádov� jedné desetiny rychlosti sv�tla, což jsou rychlosti odpovídající kinetické energii n�kolika MeV . Pohyb �ástic s elektrickým nábojem uvnit� jádra znamená, že jádro bude jevit navenek elektromagnetické vlastnosti.

V souvislosti s výše zmín�ným vzniká otázka, �ím vlastn� drží jádro pohromad�. Jeho stabilitu nelze objasnit stejn� jako v p�ípad� molekul a atom� elektromagnetickými silami, ale pouze p�sobením nového druhu sil - silných p�itažlivých jaderných sil. Jaderné síly poutají neukleony v jád�e a mají krátký dosah, tj. projevují se pouze na vzdálenostech odpovídajících rozm�r�m jádra atom� a p�sobí stejn� na všechny nukleony bez ohledu na jejich elektrický náboj.

24.1.1 Vazebná energie jádra Je z�ejmé, že vazebná

energie jádra bude závislá na po�tu A nukleon� v jád�e. Rovn�ž tak vazebná energie souvisí s hmotnostním úbytkem a pro jádro o klidové hmotnosti jm je

� 2cmNmZmE jnpj �� . Pro

další vyšet�ování vazebné energie je dobré zavést separa�ní energii j�

jako vazebnou energii, která p�ipadá na jeden nukleon:

A

E jj �� . První lokální maximum

grafu závislosti separa�ní energie na nukleonovém �ísle A nastává pro jádro helia He4

2 . Z tohoto grafu je vid�t, že s výjimkou n�kolika lehkých jader se separa�ní energie pohybuje v rozmezí

MeV9;7 . Odtud je možné

odvodit, že každý nukleon p�sobí jadernými silami jen na malý po�et okolních nukleon�. Jako by tím jeho silové p�sobení vy�erpalo a došlo k nasycení jaderných sil.

obr. 117

Jaderné síly mají tyto vlastnosti: 1. Jsou to p�itažlivé síly velmi krátkého dosahu (�ádov� m1510� ), ale na t�chto vzdálenostech

zna�n� p�ekonávají síly elektromagnetického odpuzování. 2. P�sobí bez rozdílu mezi protony i neutrony. 3. Projevují vlastnost nasycení, tj. p�sobí jen na malý po�et okolních nukleon�.

Maximální hodnoty dosahuje separa�ní energie pro jádro železa Fe5626 a to MeVj 79,8�� . D�lí tak

zobrazenou k�ivku na dv� �ásti: �ást vzestupnou (až na n�kolik výjimek u lehkých jader) a mírn� sestupnou v oblasti t�žších jader.

Obecn� to znamená, že pro jádra leh�í než je jádro železa Fe5626 je možné spojováním (syntézou, fuzí)

dvou leh�ích jader vytvo�it vytvá�et jádra t�žší, které je stabiln�jší, a p�i tom uvolnit jadernu energii. Tímto zp�sobem skute�n� vznikaly nové prvky za vysokých teplot uvnit� hv�zd. Jádra t�žší, než je jádro železa, ovšem tímto zp�sobem vytvá�et nelze. Spojením dvou leh�ích jader v jádro t�žší než je jádro železa vazebná energie


82

totiž poklesne. Vznik prvk� t�žších než je železo musel proto probíhat za mimo�ádných kosmických podmínek (nap�. výbuch supernovy, …). Naopak št�pením t�žkých prvk� vznikají stabiln�jší jádra leh�í a uvol�uje se energie. 24.2 Radioaktivita

Radioaktivitou se rozumí schopnost n�kterých atomových jader vysílat zá�ení (latinsky radius = paprsek, activitas = �innost). P�itom se takové jádro m�že p�em�nit v jiné nebo alespo� ztratí �ást své energie. P�i jaderné p�em�n� se m�ní struktura jádra, izotop jednoho prvku se m�ní v izotop jiného prvku.

V p�írod� se vyskytují: 1. stabilní nuklidy 2. radionuklidy - projevují p�irozenou radioaktivitu

Je ale také možné, že n�které nuklidy považované za stabilní, jsou ve skute�nosti velmi slab� radioaktivní a p�em��ují se až za velmi dlouhou dobu.

Objev p�irozené radioaktivity v roce 1896 byl prvním, ješt� nerozlušt�ným signálem ze sv�ta atomových jader a znamenal pro fyziky velké p�ekvapení. P�ekvapující bylo jednak odkud se bere zna�ná �ást energie trvale vyza�ovaná radioaktivní látkou, jednak to, že p�em�na jednoho prvku v prvek druhý, o níž marn� usilovali alchymisté po celá staletí, probíhá v p�írod� zcela samovoln�.

Objev radioaktivity následoval rok po objevu rentgenového zá�ení v roce 1895 a je spojen se jménem francouzského fyzika A. H. Becquerela (1852 - 1908). Becquerel se zabýval výzkumem fosforescence (tj. dlouhodobá luminiscence) n�kterých látek a jejich ú�inkem na fotografickou desku. Fosforescence nastává ovšem pouze po p�edchozím osv�tlení látky, p�i n�mž se její atomy vybudí do vyššího, excitovaného stavu. P�i použití uranové soli Becquerel zjistil, že tato látka vydává zá�ení i bez p�edchozího osv�tlení, a má tedy sv�j vlastní, vnit�ní zdroj energie.

Postupn� bylo zjišt�no, že existuje n�kolik druhu radioaktivního (jaderného) zá�ení, které se liší svou schopností pronikat látkou a chováním v elektrickém a magnetickém poli. Byly ozna�eny jako zá�ení � , ( a 3 .

Jednotlivé druhy radioaktivního zá�ení je možné rozlišit v (homogenním) magnetickém poli o magnetické indukci B

�

a následn� je i detekovat.

24.2.1 Zá�ení alfa je pohlcováno již listem papíru a ve vzduchu se pohltí po ub�hnutí asi cm40 . Lze se p�ed ním tedy

snadno chránit. Zá�i� � m�že být ovšem nebezpe�ný p�i vdechnutí �i požití, kdy bude p�sobit uvnit� organismu. Zá�ení � se vychyluje jak v elektrickém, tak v magnetickém poli a p�edstavuje svazek rychle

letících jader atomu helia He42 (helion�), tvo�ených dv�ma protony a dv�ma neutrony. �ástice � letí velkou

rychlostí, mají kinetickou energii v rozmezí MeV8;2 a silné ioniza�ní ú�inky.

Vzhledem k tomu, že �ástice � je nabitá, p�i interakci s hmotou reaguje s elektronovými obaly atom�. P�i srážce �ástice � s elektronem, k n�muž je p�itahována coulombovskou silou, mohou nastat 2 p�ípady:

1. �ástice � vytrhne valen�ní elektron, �ímž dojde k ionizaci atomu. K vytržení elektronu se spot�ebovala �ást kinetické energie letící �ástice � (�ádov� eV10 , pro vzduch eV5,32 ), což

znamená, že �ástice � je schopna ionizovat podél své trajektorie �ádov� 510 atom� d�íve než ztratí svoji energii.

2. �ástice � nep�edá elektronu dostate�n� velkou energii, takže nedojde k jeho vytržení z obalu, ale pouze k jeho excitaci.

Z práv� popsané interakce vyplývá, že �ástice � ztrácí velkou �ást své energie na pom�rn� malé vzdálenosti. To tedy znamená, že odstín�ní je obecn� dáno po�tem elektron�, s nimiž mohou �ástice � interagovat, v jednotce objemu, tedy hustotou látky. �ím v�tší hustota látky, tím menší vrstva sta�í k odstín�ní.

Schematicky je možné zá�ení � vyjád�it takto: YX AZ

AZ

42

��4+4� . Z tohoto zápisu radioaktivní p�em�ny

lze také vy�íst tzv. pravidla posunu, která udávají, jakým sm�rem a o kolik míst se v periodické soustav� prvk� posune vzniklý nuklid oproti nuklidu p�vodnímu. Analogicky se pravidla posunu zavád�jí pro zá�ení ( a 3 .

P�i této radioaktivní p�em�n� vylétá z radionuklidu �ástice � a uvol�uje se energie.

24.2.2 Zá�ení beta se pohlcuje tenkým hliníkovým plechem, v suchém vzduchu je nutná vzdálenost asi m5,2 . Vychyluje se

také v elektrickém a magnetickém poli, ale na opa�nou stranu než zá�ení � . Je tvo�eno rychle letícími elektrony, které vznikají v jád�e rozpadem neutronu: 5��+ epn , kde 5 je antineutrino. N�které radionuklidy vyza�ují místo elektron� kladn� nabité pozitrony (anti�ástice elektronu), a proto se rozlišuje radioaktivita �( a �( .

Zá�ení ( je tvo�eno nabitými �ásticemi a proto dochází k jejich reakci s atomovým obalem. P�i tom dojde k excitaci nebo ionizaci (viz detailn�ji odstavec 24.2.1). Zá�ení ( má ale menší zpomalovací schopnost, což znamená, že dráha, na níž �ástice ztratí svoji energii, je delší.


83

Schematicky je možné zá�ení ( vyjád�it takto:

1. rozpad �( : YX AZ

AZ 1�44+4

�( ; z atomu vylétává spolu s elektronem elektronové antineutrino

2. rozpad �( : YX AZ

AZ 1�4+4

�( ; z atomu vylétává spolu s pozitronem elektronové neutrino

Existence neutrina byla p�edpov�zena W. Paulim v roce 1931 práv� p�i zkoumání ( rozpadu. Aby byl p�i radioaktivní p�em�n� spln�n zákon zachování energie, bylo nutno p�edpokládat existenci jakési „neznámé �ástice“, která nem�la elektrický náboj a m�la malou hmotnost (tedy „malý neutron“). Tuto „t�žko polapitelnou“ �ástici pravd�podobn� s nulovou klidovou hmotností se poda�ilo zaregistrovat velmi složitými p�ístroji až o �tvrt století pozd�ji americkým fyzik�m F. Reinesovi a C. Cowanovi. Neutrina, která mohou voln� pronikat celou zem�koulí, jsou z�ejm� ve vesmíru velmi hojná a hrají podstatnou roli v jeho vývoji.

P�i této p�em�n� se m�ní v jád�e po�et proton� a neutron� p�i zachování celkového po�tu nukleon�.

24.2.3 Zá�ení gama je ze všech druh� nejpronikav�jší. Lze je oslabit silnou vrstvou materiálu obsahující jádra t�žkých prvk�

(Pb, …). Jedná se o elektromagnetické zá�ení s vlnovými délkami kratšími než pm300 . Protože fotony nemají elektrický náboj, zá�ení gama se neodchyluje ani v elektrickém ani v magnetickém poli. Díky tomu se také látkou voln� ší�í a zna�n� se rozptyluje. Siln� ionizuje, uvol�uje z látky nabité �ástice, a to v d�sledku fotoefektu, Comptonova jevu a tvorby elektron - pozitronových pár�.

Zdrojem 3 zá�ení m�že být nap�. Co6027 . Pro zá�ení 3 neexistuje žádná bezpe�ná vzdálenost, kde by

jeho intenzita klesla na nulu. Je možné ji snížit, ale není možné zá�ení 3 zcela pohltit.

Schematicky je možné zá�ení 3 vyjád�it takto: XX AZ

AZ 4+43 .

24.2.4 Neutronové zá�ení V sou�asnosti má velký význam práv� neutronové zá�ení, které nevzniká u p�írodních �i um�lých

radionuklid�, ale lze jej vyvolat um�le v jaderných reaktorech nebo p�i jaderné explozi. Proud rychle letících neutron� má vysokou pronikavost díky tomu, že nenese elektrický náboj a nem�že tedy ztrácet energii p�ímou ionizací atom�. Reaguje pouze s atomovými jádry (interakce s elektronovým obalem je minimální). Malé a husté atomové jádro se ale nachází v relativn� prázdném prostoru, což znamená, že pro úsp�šnou reakce se musí letící neutron „trefit“. Pom�r velikosti jádra a obalu je 410� , tj. pravd�podobnost, že se neutron do jádra

„trefí“ je 810� (musí se „trefit“ na kruh, nebo tak se neutronu jádro jeví). To znamená, že neutron musí

prolet�t 810 atom�, než pr�m�rn� jednou zareaguje. S atomovým jádrem m�že neutron reagovat takto:

1. pružnými srážkami - jádr�m p�edává �ást své kinetické energie, p�i�emž dojde ke zpomalení neutronu, a to tím ú�inn�ji, �ím je hmotnost jader bližší hmotnosti neutronu. Je známo, že p�i pružné srážce velmi lehké a velmi t�žké �ástice k p�edání energie tak�ka nedochází.

2. nepružnými srážkami - p�i nich se mohou z jader uvol�ovat i nabité �ástice Jako ochrana jsou vhodné materiály, obsahující vodík a jádra lehkých prvk� - voda, parafin, beton, …

24.2.5 Aktivita zá�i�e a rozpadový zákon O výzkum p�irozené radioaktivity a radioaktivním p�em�n se zásadním zp�sobem zasloužili Marie

(1867 - 1934, Nobelova cena s manželem v roce 1903 a druhá v roce 1911) a Pierre (1859 - 1906) Curierovi. V návaznosti na Becquerel�v objev m��ili stupe� radioaktivity r�zných látek podle ioniza�ních ú�ink� vysílaného zá�ení (podle rychlosti vybíjení kondenzátoru) a porovnávali tato m��ení s chemickým obsahem p�íslušného radioaktivního prvku. Zjistili p�itom, že rychlost samovolného radioaktivního rozpadu nelze fyzikáln� ovlivnit.

Manželé Curieovi objevili vedle uranu radioaktivitu dalšího prvku - thoria. P�i m��ení radioaktivity jáchymovského smolince zjistili, že je mnohem v�tší než odpovídá obsahu obou radioaktivních prvk� - uranu a thoria. To je v roce 1898 p�ivedlo k objevu nových radioaktivních prvk� - polonia a radia.

M�jme ur�ité množství radioaktivního nuklidu, který vysílá zá�ení � nebo ( a m�ní se p�itom na

stabilní nuklid. Aktivitu A tohoto zá�i�e vyjad�uje po�et radioaktivních p�em�n za jednu sekundu, � � BqA � (becquerel).

Experimentáln� bylo zjišt�no, že aktivita vzorku radionuklidu klesá tak, že vždy po uplynutí charakteristické doby T klesne na polovinu. Tato doba se nazývá polo�as p�em�ny (rozpadu) daného

radionuklidu. Matematicky lze popsanou závislost vyjád�it takto: � � Tt

AtA !

"#$

%�

21

0 , kde � 0A je aktivita zá�i�e

v po�áte�ním �ase st 0� a � tA aktivita zá�i�e v okamžiku t. Bude-li t postupn� nabývat hodnot T, 2T, 3T, …

klesne aktivita zá�i�e v souladu s uvedeným vztahem na 21

, 41

, 81

, …


84

Zapíšeme-li vztah pro pokles aktivity zá�i�e ve tvaru � � � � � tTt

Tt

eAeAAtA �� !

"#$

%� 00

21

0 2ln ,

získáme vyjád�ení téhož zákona pomocí p�em�nové (rozpadové) konstanty T

2ln�� . Pro jednotlivé

radionuklidy lze jejich charakteristiky T (resp. � ) vyhledat v tabulkách. Konstanta � udává míru rychlosti rozpadu (míra pravd�podobnosti rozpadu). Veškerá „fyzika“ je skryta práv� v této konstant�, kterou není možné fyzikáln� žádným zp�sobem m�nit.

Práv� popsaný experimentální zákon je možné vysv�tlit na základ� p�edstavy kvantové fyziky o tom, že radioaktivní p�em�na jádra je dokonale náhodný proces. Nelze ur�it p�esn� okamžik, kdy dojde k p�em�n� jednoho ur�itého jádra, ale pouze pravd�podobnost této p�em�ny. Po�et p�em�n za jednu sekundu (aktivita zá�i�e) je tedy úm�rný celkovému po�tu dosud nep�em�n�ných jader s konstantou úm�rnosti � : � � tNtA �� . Po�et jader radionuklidu musí v �ase klesat podle stejného zákona jako aktivita: � � teNtN �� 0 . Tato rovnice vyjad�uje zákon radioaktivní p�em�ny a pokles po�tu nerozpadlých jader radionuklidu je znázorn�n na obr. 118. Experimenty vedoucí k objevu tohoto zákona provád�li na p�elomu 19. a 20. století Rutherford a Soddy.

obr. 118

Polo�asy rozpadu radionuklid� mohou nabývat hodnot od zlomk� sekundy až po miliardy let. Je z�ejmé,

že v p�írod� mohou existovat jen takové radionuklidy, které mají velmi dlouhý polo�as rozpadu (srovnatelný s dobou vzniku hv�zd a planet), nebo které v p�írod� stále vznikají. Dlouhodob� existujícími radionuklidy v p�írod� jsou nap�. U235

92 , U23792 , Th232

90 , K4019 , … pod vlivem kosmického zá�ení vznikají v atmosfé�e

krátkodobé radionuklidy H31 , C14

6 , …

24.2.6 Rozpadové �ady Daný radionuklid se nemusí nutn� rozpadat na již stabilní jádro. M�že se stát (a �asto se stává), že daný

radionuklid se rozpadá na jiné jádro, které není stabilní, tj. je také radioaktivní. Toto jádro se tedy op�t rozpadá a vzniklé jádro op�t m�že být radioaktivní, … Jeden radionuklid se tedy m�že p�em��ovat na stabilní nuklid postupn�, pr�chodem p�es jakési „mezistavy“. V této souvislosti se mluví o existenci p�em�nových (rozpadových) �adách.

24.2.7 Um�lá radioaktivita V roce 1934 objevili manželé Frédéric a Iréne Joliot - Curieovi um�lou radioaktivitu. Um�lé

radionuklidy se v sou�asné dob� p�ipravují pr�myslov� ost�elováním atomových jader nabitými �ásticemi z urychlova�� nebo neutrony z jaderných reaktor�. Bylo jich získáno již n�kolik tisíc a nacházejí nejrozmanit�jší použití v mnoha oblastech v�dy, techniky, medicíny, … Um�lé radionuklidy vznikají rovn�ž jako št�pné produkty v energetických jaderných reaktorech nebo p�i pokusných jaderných expozích. 24.3 Jaderné reakce

Je-li jaderná p�em�na vyvolána vzájemným p�sobením (srážkou) s jinými jádry nebo �ásticemi, hovo�í se o jaderné reakci. Jaderné reakce se zapisují podobn� jako reakce chemické rovnicemi, na jejichž levé stran� jsou �ástice a jádra do reakce vstupující, na pravé stran� pak �ástice a jádra z reakce vystupující.

P�i jednotlivých reakcích musí být spln�ny zákony zachování. Jedná se o experimentáln� ov��ené obecné vztahy odrážející podstatné vlastnosti a symetrie hmoty, prostoru a �asu. Jde p�edevším o zákon zachování energie a zákon zachování hybnosti, dále o zákon zachování elektrického náboje a zákon zachování po�tu nukleon�.

Stejn� jako v chemii mohou být jaderné reakce 1. endoenergetické - energii je nutno reakci dodat z vn�jšího okolí 2. exoenergetické - energie se p�i reakci uvol�uje

Uvoln�ná energie p�i jaderné reakci má podobu jednak kinetické energie rozlétajících se �ástic, jednak ji mohou unášet �ástice s nulovou klidovou hmotností pohybující se rychlostí sv�tla (fotony). Energetickou bilanci reakce je možno vyjád�it jako rozdíl energie do reakce dodané a energie, která se p�i reakci uvolní (podrobn�ji viz odstavec 21.3).

Typicky jaderná reakce probíhá tak, že rychle letící �ástice a resp. svazek �ástic (protony, neutrony, deuteron, �ástice � , fotony, elektrony, …) nazývaná projektil ost�eluje t�žké jádro X, které je v klidu a nazývá se ter�. Produkty reakce pak jsou uvoln�ná �ástice b a p�em�n�né jádro Y. Tuto reakci pak m�žeme zapsat stru�n�: YbXa �+� .

Reakce, které slouží k uvol�ování jaderné energie, jsou: 1. jaderné fúze (anglicky fusion) - p�i nich dochází ke spojování lehkých jader v jádra t�žší


85

2. jaderné št�pení (anglicky fission) - dochází ke št�pení t�žkých jader na jádra leh�í Pokusy, které provád�l E. Fermi v roce 1934 prokázaly, že neutron zpomalený pr�chodem vrstvou vody

nebo parafinu m�že rozšt�pit t�žké jádro uranu U23592 na dv� p�ibližn� stejn� t�žká jádra (št�pné trosky) nap�.

podle reakce: nKrBaUn 10

*8936

*14456

23592

10 3��+� .

Pomalý neutron reaguje s jádrem uranu U23592 , které neutron p�ijme a vznikne nestabilní nuklid U236

92 . Ten se p�i št�pné reakci rozpadá na dva dce�inné produkty (št�pné trosky), p�i�emž se uvol�uje elektromagnetické zá�ení a 2 až 3 rychlé neutrony. Pokud se je poda�í moderátorem zpomalit, neutrony se zpomalí a mohou vyvolat další reakci s podobným pr�b�hem.

D�ležité je, že nov� uvol�ované neutrony mohou po zpomalení št�pit další jádra, a tak m�že nastat �et�zová jaderná reakce. Protože �ást neutron� se pohltí bez zp�sobení dalšího št�pení nebo prost� vyletí z materiálu ven, je t�eba k uskute�n�ní �et�zové reakce mít k dispozici ur�ité množství št�pného materiálu nazývané kritické množství, tj. takové množství materiálu, kdy po�et neutron� vzniklých ve dvou po sob� jdoucích reakcích je stejný. Pokud tato podmínka není spln�na hovo�í se o nadkritickém resp. podkritickém množství. To ovšem záleží i na tvaru t�lesa a okolních podmínkách. 24.4 Jaderná energetika

Existence �et�zové jaderné reakce v uranu U23592 umožnila využití jaderné energie k p�em�n� na

elektrickou energii (resp. v teplo) v jaderných reaktorech (resp. teplárnách). Dnes existuje velké množství r�zných typ� jaderných reaktor�, které se liší svým technickým

uspo�ádáním, druhem paliva, moderátoru, chladiva, výkonem a ur�ením. V p�evážné v�tšin� jsou to reaktory využívající zpomalených neutron�, které jsou v tepelné rovnováze s látkou. Energie t�chto neutron� leží v rozmezí eV5,0;002,0 a takové reaktory se nazývají tepelné reaktory.

24.4.1 Jaderný reaktor Jako palivo se v tepelných reaktorech nej�ast�ji používá obohacený uran, který obsahuje vyšší procento

nuklidu U23592 než uran p�írodní. Výroba tohoto paliva obohacováním uranu vyžaduje náro�nou technologii a

zabývá se jí jen n�kolik pr�myslov� vysp�lých stát� sv�ta. Jako moderátor, ke zpomalování neutron�, se používá nej�ast�ji voda, grafit nebo t�žká voda, … tj. látky obsahující lehká jádra. Chladivo slouží k odvád�ní tepla z reaktoru, a jde-li o reaktor energetický, i k tvorb� páry k pohonu turbíny. Nej�ast�ji je to voda, 2CO , t�žká voda, … Vysokoteplotní reaktory pro pr�myslové ú�ely bývají chlazeny heliem.

Osv�d�enými reaktory jsou reaktory tlakovodní s obohaceným uranem, moderované a chlazené vodou. Palivo (resp. palivové �lánky) jsou uranové ty�e s ochranným pokrytím (tzv. cladding), který zabra�uje rozpoušt�ní palivových ty�í ve vod� (chladivu).

Chladivem je v�tšinou voda, jejíž teplota musí být co nejv�tší, jak vyplývá z druhého termodynamického zákona a ú�innosti tepelného stroje.

obr. 119 Palivo je umíst�no v tzv. aktivní zón�, kde jsou umíst�ny rovn�ž kompenza�ní, regula�ní a havarijní ty�

z materiál� pohlcujících neutrony (kadmium, borová ocel, …). Aktivní zóna je umíst�na v tlakové nádob� s vodou, která plní funkci moderátoru, chladiva i stín�ní. Pomocí zpomalování neutron� (tedy pomocí moderátoru) a regula�ních ty�í lze udržovat kritické (resp. lehce nadkritické) množství jaderného paliva nutného k jaderné reakci, tj. množství vhodných neutron�.

Našt�stí p�i št�pení jader vedle neutron� uvol�ovaných okamžit� vzniká i �ást neutron� se zpožd�ním n�kolika sekund, což dává dostatek �asu k automatické regulaci pr�b�hu reakce.

24.4.2 Jaderná elektrárna Oh�átá voda primárního okruhu proudí z jaderného reaktoru pohán�na �erpadly do vým�níku tepla

(parogenerátoru), kde dochází k vým�n� tepla s vodou sekundárního okruhu. Voda sekundárního okruhu se oh�ívá m�ní se v páru. Tato pára, která již není radioaktivní, pohání klasickou parní turbínu. Ta otá�í rotorem generátoru st�ídavého proudu, v n�mž elektromagnetickou indukcí vzniká st�ídavé nap�tí, které je dále rozvád�no do rozvodné sít�. Jaderný reaktor tedy nahrazuje parní kotel klasické elektrárny a využívá parního cyklu.

Pára, která pohání parní turbínu, je posléze chlazena ve vým�níku tepla, který je napojen na chladící v�že elektrárny.


86

obr. 120


87

25. Fyzika �ástic 25.1 Interakce mezi �ásticemi 25.1.1 �ty�i silové interakce v p�ehledu

Zkoumáme-li reakce (srážky) �ástic, dostáváme se na základní úrove� sil p�sobících v p�írod�. Dnes známe pouze 4 druhy sil, kterými na sebe �ástice p�sobí:

1. gravita�ní síly (G) 2. elektromagnetické síly (E) 3. silné (jaderné) síly (S) 4. slabé (jaderné) síly (W)

Jednotlivé interakce p�ehledn� zobrazuje v níž: 1. vazbová konstanta udává relativní intenzitu („sílu“) dané interakce 2. dosah R udává dosah dané interakce.

vazbová konstanta m

R

Popis

S 1 - 10 1510� Jedná se o projev interakce obecn�jší - barevné, která souvisí se vzájemnou interakcí kvark�. Silná se projevuje na známých �ásticích (protony, …), zatímco barevná se projevuje na úrovni struktury. Tato interakce je zodpov�dná za jaderné síly, které drží pohromad� jádro atomu. Proto je odpov�dná za to, že objekty (hv�zdy, lidé, …) jsou t�žké.

E

1371

* P�sobí mezi všemi nabitými �ásticemi. Její velikost je nulová v nekone�né vzdálenosti od

nabité �ástice. Tato interakce fixuje velikost atom�, strukturu pevné látky, zp�sobuje vazbu mezi elektronem a jádrem, … - vytvá�í tedy objem objekt�. Zp�sobuje elmg. jevy.

W 1010� 1810� Jedná o interakci, bez níž by se p�íroda obešla: 95 % �ástic by se p�estala rozpadat, nebo tato interakce zp�sobuje ( rozpad. Podléhají jí �ástice, které nejsou nabité (neutrina, …). Má relativn� dlouhou st�ední dobu života.

G 3810� * Ve sv�t� �ástic je její ú�inek zanedbateln� malý. Její význam je ale dominantní pro astronomii - drží pohromad� soustavy nebeských t�les (Slune�ní soustava, …), formuje hv�zdy, b�žná vesmírná t�lesa s rozm�ry nad km100 jsou držena pomocí ní pohromad�, … Na rozdíl od elmg. interakce nelze gravita�ní interakci odstínit.

Slabá jaderná síla zp�sobuje p�i ( rozpadu p�em�nu neutronu na proton, elektron a antineutrino uvnit� jádra. To je d�j, který se nem�že stát vlivem žádné jiné síly. Silná interakce drží protony a neutrony v jád�e pohromad�, elektromagnetická se snaží protony od sebe oddálit, ale ani jedna z nich nem�že zm�nit „identitu“ t�chto �ástic. (Gravita�ní síla to v žádném p�ípad� neud�lá také.)

Gravita�ní silové p�sobení ve sv�t� �ástic je sice univerzální tj. p�sobí tak na sebe vzájemn� všechny druhy �ástic, ale je nejslabší. Zprost�edkující kvanta gravita�ního silového pole, tzv. gravitony, se zatím nepoda�ilo objevit. Znamenalo by to zaregistrovat gravita�ní vlny (nap�. z vesmíru), o což se fyzikové dosud marn� pokoušejí.

Elektromagnetické p�sobení je nejlépe prozkoumáno a probíhá mezi �ásticemi, které mají elektrický náboj. Zprost�edkující kvantum je foton, kvantum elektromagnetického zá�ení.

V mikrosv�t� se navíc setkáváme s dalšími dv�ma druhy sil. Ty, které nazýváme silné, tvo�í podstatu sil jaderných, a tedy i jaderné energie. Síly slabé se uplatní p�i reakcích, kde vystupují neutrina, p�i radioaktivním ( rozpadu, … K velkým úsp�ch�m �ásticové fyziky pat�í objev �ástic, které zprost�edkují slabé síly. Jedná se o

tyto 3 �ástice: intermediální bosony 2W a 0Z .

25.1.2 �ástice a anti�ástice Jednou ze základních symetrií p�írody je symetrie mezi �ásticemi a anti�ásticemi, které p�edstavují

jakoby dv� zrcadlové �ástice: 1. téže hmotnosti, téhož spinu, se stejnou st�ední dobou života 2. s opa�ným znaménkem elektrického náboje, magnetického momentu a n�kterých kvantových �ísel (baryonové �íslo, leptonové �íslo, podivnost, …)

P�i srážkách �ástic s anti�ásticemi (nap�. elektronu s pozitronem) dochází k tzv. anihilaci �ástic a vzniku zá�ení 3 : 33 �+� �� ee . Termín anihilace (nihil = nic) není ale p�íliš výstižný. Ve skute�nosti nejde o p�em�nu �ástic v „nic“, ale v �ástice o nulové klidové hmotnosti, tedy o fotony. Dochází tedy k úplnému uvoln�ní energie. M�že probíhat i proces opa�ný, kdy se foton zá�ení 3 v blízkosti atomu p�em�ní v elektron - pozitronový pár. Poznámka: Není-li pro anti�ástici k �ástici x zavedena zvláštní zna�ka, zna�í se tato anti�ástice symbolem x .


88

25.1.3 Pot�eba systematického d�lení �ástic Systematické d�lení hmoty za�alo již v polovin� 19. století, kdy byla vyslovena atomární hypotéza.

Pozd�ji byly tyto hypotézy ov��ovány experimenty a objevovány další �ástice a struktury hmoty (jádro, neutron, …) V sou�asné dob� známe tyto elementární �ástice:

�ástice Elektrický náboj leptony e5 �5 .5 0

e � . -e kvarky u c t

e32

d s b e

31

�

Po 2. sv�tové válce, v 50. letech 20. století bylo známo celkem 6 �ástic: elektron, proton, neutron, neutrino, foton a pozitron. Postupem �asu s tím, jak se da�ilo dosahovat v laborato�ích (resp. urychlova�ích) vyšších a vyšších energií, byly objevovány stále další nové �ástice. S tím, jak rostl jejich po�et, bylo t�eba zavést n�jaké systematické t�íd�ní t�chto �ástic.

25.1.4 „Zoologie“ �ástic Nejv�tší je skupina �ástic, které mezi sebou p�sobí silnými jadernými silami, podobn� jako protony a

neutrony v jád�e. Tyto �ástice nazýváme hadrony (hadros = bujarý, silný). U t�chto �ástic je na úrovni m1510� pozorovaná vnit�ní struktura. V p�ípad�, že jde o �ástice elektricky nabité, podléhají rovn�ž

elektromagnetické interakci. V mikrosv�t� p�sobí i slabá jaderná síla, která vyvolává

jaderné p�em�ny ( za vzniku neutrin. �ástice p�sobící mezi sebou slabými silami se nazývají leptony (leptos = tenký, drobný). Jedná o �ástice, u nichž nebyla do úrovn� m1810� zjišt�na žádná vnit�ní struktura (tj. do této úrovn� je lze považovat za bodové). Ty z lepton�, které mají elektrický náboj podléhají také elektromagnetické interakci. Pro všechny (vyjma elektronu) je typické, že se rozpadají. Z experiment� vyplývá, že více lepton�, než ukazuje neexistuje.

Mezi hadrony pak rozlišujeme op�t dv� skupiny: obr. 121

1. mezony (mezos = st�ední) - mají charakter boson�; zprost�edkovávají silové interakce a jejich po�et není zatím omezen

2. baryony (barys = t�žký) - pat�í mezi fermiony; jedná se o nukleony, hyperony, …, z nichž se v�tšina rozpadá. Jejich po�et je zatím neomezený.

Vedle t�chto �ástic ovšem existují další �ástice, které zprost�edkovávají vzájemné silové p�sobení mezi �ásticemi (foton, …) a které mají charakter boson�.

25.1.5 ***Kvarková hypotéza Zatímco lepotony jsou �ástice, u nichž zatím nebyla zjišt�na vnit�ní struktura, o hadronech se

p�edpokládá, že jsou složeny z kvark�. Poznámka: Pojem kvark byl zavedli do fyziky fyzikové Murray Gell-Mann a Georg Zweig roku 1963 na základ� románu angli�ana Jamese Joyce, kde slovo kvark znamenalo cosi jako „nesmysl“.

Dosud se p�edpokládá existence šesti základních v�ní kvark� s t�mito náboji:

1. d - down (dol�); eQd 31

��

2. u - up (nahoru); eQu 32

�

3. s - strange (podivný); eQs 31

��

4. c - charm (p�vabný); eQc 32

�

5. b - beauty (krásný); eQb 31

��

6. t -truth (pravdivý); eQt 32

�

Také kvarky uvnit� hadron� musí být v ur�itých kvantových stavech a musí se pod�izovat Paulimu vylu�ovacímu principu. Tyto stavy se vyjad�ují r�znými barvami kvark�:

1. �ervenou


89

2. žlutou 3. modrou

Antikvark�m se pak p�ipisují barvy dopl�kové, tj.: 1. azurová (modrozelená) 2. modrá 3. žlutá

Podle kvarkové teorie jsou tvo�eny:

1. mezony M vždy jedním kvarkem Q a jedním antikvarkem Q : � QQM ,�

2. baryony B t�emi kvarky: � QQQB ,,�

3. antibariony t�emi antikvarky: � QQQB ,,�

Tomuto složení hadron� odpovídají i pozorované vlastnosti �ástic - velikost náboje, …. Nap�. � duup ,,� , � ddun ,,� , � du,�� , …

P�edpokládáme, že samostatn� mohou existovat pouze �ástice bílé, „nebarevné“. Proto hadrony složené z kvark� se musí podle pravidel skládání barev jevit bílými. Proto se baryony skládají ze t�í kvark�, z nichž má ale každý jinou barvu. Barva mezon�, které jsou složeny z páru kvark - antikvark, se ale v delším �asovém období spojit� m�ní. Za dostate�n� dlouho dobu se tedy každá ze t�í barev vyskytuje v mezonu s pravd�podobností 1:3.

Silné síly p�sobící mezi hadrony m�žeme p�evést na p�sobení mezi kvarky. Zprost�edkovávají je �ástice zvané gluony (glue = lepidlo, klíh), které p�i silovém p�sobení p�enášejí barvu z kvarku na kvark. U silných sil hraje tedy barva podobnou roli jako elektrický náboj u sil elektromagnetických, a proto se tato teorie nazývá kvantová chromodynamika (chroma = barva).

Kvarky nebyly dosud pozorovány jako izolované objekty. Z�stávají „uv�zn�ny“ v hadronech a jakýkoliv pokus o jejich „vytržení“ vede jen k vytvo�ení dalších hadron�. Systematika kvark� je pom�rn� složitá. Uv�domíme-li si, že kvarky se vyskytují v 6 v�ních a každá v�n� ve t�ech barvách, takže když zapo�teme ješt� i antikvarky, máme 36 možností („stavebních kostek“, z nichž mohou být poskládány hadrony. Mezi fyziky se vyskytují i názory, že ani kvarky nejsou posledním „stavebním kamenem“, ale že lze jít ješt� dále do nitra kvark�.

Zdroje a inspirace: [1] u�ebnice fyziky pro gymnázia z nakladatelství Prometheus Praha [2] Jaroslav Reichl


90

Texty neprošly jazykovou úpravou. Za p�ípadné chyby se omlouvám a prosím na jejich upozorn�ní.