Download pdf - REŠLJIVE GRUPE

UNIVERZA V LJUBLJANI

PEDAGOSKA FAKULTETA

BLAZ KOS

RESLJIVE GRUPE

DIPLOMSKO DELO

Ljubljana, 2015

UNIVERZA V LJUBLJANI

PEDAGOSKA FAKULTETA

Univerzitetni studijski program 1. stopnje: Dvopredmetni

ucitelj

BLAZ KOS

MENTOR: doc. dr. PRIMOZ SPARL

RESLJIVE GRUPE

DIPLOMSKO DELO

Ljubljana, 2015

Mentorju doc. dr. Primozu Sparlu

Hvala za Vas trud, strokovno pomoc in vodenje pri nastajanju diplomskegadela.

Druzini in prijateljem

Hvala za vso pomoc, spodbudo in razumevanje v casu studija.

Povzetek

V diplomskem delu obravnavamo pojem resljive grupe. Le-te se izkazejo za zelopomemben koncept znotraj teorije grup.Pred samo vpeljavo pojma resljive grupe najprej ponovimo osnovne definicije inrezultate teorije grup, ki so potrebni za razumevanje diplomskega dela. Nato vpe-ljemo pojem (pod)normalne vrste in ga ilustriramo na primerih. Prav tako defi-niramo pojma kompozicijske in komutatorske vrste ter ju ilustriramo na primerih.Nazadnje vpeljemo se pojem resljive grupe. Poiscemo kriterij, kdaj je dana koncnagrupa resljiva. Podamo primere resljivih in neresljivih grup in predstavimo se nekajrezultatov, povezanih z resljivimi grupami.

MSC (2010) klasifikacija: 20D30, 20F14, 20F16

Kljucne besede: grupa, (pod)normalna vrsta, kompozicijska vrsta, komutatorskavrsta, resljiva grupa

Abstract

In this BSc thesis we consider the concept of solvable groups. It turns out that thisconcept is one of the most important ones in group theory, since these groups ina sense correspond to groups that can be constructed from cyclic groups of primeorder.Before introducing the concept of solvable groups we make a short review of somenotions and results in group theory. We then define the concept of (sub)normalseries and illustrate it with a few examples. We also define the concepts of composi-tion series and commutator series. We then finally introduce the concept of solvablegroups. We present a criterion of when a finite group is solvable. We give examplesof solvable and nonsolvable groups and present some other results related to theconcept of solvable groups.

MSC (2010) classification: 20D30, 20F14, 20F16

Key words: group, (sub)normal series, composition series, commutator series, sol-vable group

Kazalo

1 Uvod 1

2 Grupe 22.1 Osnovni pojmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Podgrupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Homomorfizmi grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Vrste 83.1 Podnormalna in normalna vrsta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.2 Kompozicijska vrsta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.3 Komutatorska vrsta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4 Resljive grupe 18

5 Zakljucek 24

Literatura 25

Poglavje 1

Uvod

To diplomsko delo sodi na podrocje teorije grup, ki je del abstraktne algebre. Kotze samo ime pove, je glavna tema proucevanja grupa. To je neprazna mnozica, kizadosca dolocenim kriterijem. Izkaze se, da se grupe pojavljajo tudi zunaj okvirasame teorije grup. Tako lahko izkusen matematik grupe najde tudi v matematicnihstrukturah, ki niso neposredno povezane s teorijo grup.

Ko studiramo lastnosti grup, si pogosto zelimo, da bi jih lahko “razstavili” na manjsein bolj obvladljive dele.

Kot bomo videli, lahko za vsako grupo zapisemo nekaksno vrsto (pod)grup, kjer jevsaka edinka v prejsnji. To lahko naredimo celo na tak nacin, da so kvocienti poparih sosednjih grup v tej vrsti se posebej “lepi”. Resljivost grupe je potem odvisnaod tega, ali so ti kvocienti kar prastevilskega reda ali ne.

Diplomsko delo obsega tri pomembnejse sklope, ki predstavljajo jedro diplomskegadela. V drugem poglavju bralca spomnimo na osnovne definicije in rezultate teo-rije grup. Pricnemo s samo definicijo grupe in s primeri bolj znanih druzin grup.Nadaljujemo s kvocientnimi grupami in podgrupami edinkami, ki se v nadaljeva-nju izkazejo za zelo pomembne. Drugo poglavje zakljucimo s homomorfizmi grup.V tretjem poglavju se posvetimo vrstam grup. Definiramo nekaj razlicnih “tipov”vrst in dodamo tudi nekaj zgledov in rezultatov, ki se nanasajo na dolocene vrste.V tem poglavju dokazemo tudi dobro znani Jordan-Holderjev izrek. Na podlagiprejsnjih poglavij v cetrtem poglavju definiramo pojem resljive grupe. V nadaljeva-nju pokazemo nekaj primerov resljivih in neresljivih grup. Zatem poiscemo kriterij,kdaj so resljive koncne grupe, in ob koncu dodamo ce nekaj rezultatov, ki so povezaniz resljivimi grupami, ter jih ilustriramo na primerih.

1

Poglavje 2

Grupe

V tem poglavju zberemo nekaj osnovnih konceptov in rezultatov s podrocja teorijegrup, ki bodo bralcu omogocili lazje razumevanje tega diplomskega dela. Pricnemoz nekaterimi osnovnimi koncepti iz teorije grup. Sledi kratek pregled pojmov inrezultatov, povezanih s podgrupami in edinkami, ki v nadaljevanju igra pomembnovlogo. Poglavje zakljucimo z obravnavo homomorfizmov grup. V tem poglavjuvecino rezultatov navajamo brez dokazov, zato bralca vabimo, da si jih ogleda vmatematicni literaturi ali se dokazovanja loti kar sam. Pri prvih dveh razdelkih tegapoglavja izhajamo iz [3] in [6], v tretjem razdelku pa iz [3] in [5].

2.1 Osnovni pojmi

Kot je bilo nakazano ze v uvodu, se od bralca pricakuje, da dolocene pojme inrezultate, povezane s teorijo grup ze pozna. Glavni namen tega poglavja je takole, da jih zberemo na enem mestu. Najprej se na kratko spomnimo, da je grupaneprazna mnozica z binarno operacijo. Ta operacija je asociativna, mnozica paglede na to operacijo vsebuje nevtralni element (obicajno ga oznacimo z e) in inverzza vsak element. Ce je operacija se komutativna, je grupa komutativna oziromaabelska.Tako pregled osnovnih pojmov zacenjamo z definicijo reda grupe in reda elementa.

Definicija. Naj bo G grupa. Njen red je tedaj kardinalnost pripadajoce mnoziceG, kar oznacimo z |G|. Za poljuben g ∈ G je red elementa g, kar oznacimo z|g|, enak najmanjsemu naravnemu stevilu n, za katerega je gn = e, ce obstaja. Cetaksen n ne obstaja, pravimo, da ima g neskoncen red (oznaka |g| =∞).

Definicija. Naj bo S podmnozica grupe G, tako da lahko vsak g ∈ G zapisemokot produkt elementov iz S in njihovih inverzov. Potem pravimo, da je mnozica Smnozica generatorjev grupe G. Drugace pravimo tudi, da S generira G. Tozapisemo kot G = 〈S〉.Sedaj si na kratko oglejmo nekatere znane druzine grup, ki jih bomo srecali v nada-ljevanju:

Ciklicna grupa Zn

Ciklicna grupa Zn je v resnici komutativna grupa (Zn,+), kjer je Zn mnozica ostan-kov pri deljenju z n. Operacija + predstavlja sestevanje po modulu n. Taksna grupaje reda n.

2

POGLAVJE 2. GRUPE 3

Zgled. Za zgled ciklicne grupe si vzemimo grupo Z5. Njeni elementi so tako

Z5 = {0, 1, 2, 3, 4}.

Ker je v grupi operacija sestevanje po modulu 5, velja na primer 2 + 4 = 1.

Simetricna grupa Sn

V tem primeru je Sn mnozica vseh permutacij mnozice {1, 2, 3, . . . , n}. Operacija jeobicajno komponiranje preslikav. Dogovorimo se, da kompozitum beremo z desneproti levi. Ker je stevilo permutacij n elementov enako n!, je tudi red grupe enak n!.

Zgled. Za zgled simetricne grupe vzemimo grupo S3. Njeni elementi so vse permu-tacije treh elementov:

S3 = {id, (12), (13), (23), (123), (132)}.

Po dogovoru preslikave komponiramo od desne proti levi. Tako je (12)(123) = (23).

Alternirajoca grupa An

V tem primeru mnozicaAn vsebuje samo vse sode permutacije mnozice {1, 2, 3, . . . , n}.Spomnimo se, da so sode permutacije tiste, ki jih lahko zapisemo kot produkt sodomnogo transpozicij. Zopet je operacija obicajno komponiranje preslikav. Red grupeAn je n!

2.

Zgled. Za zgled alternirajoce grupe vzemimo grupo A3. Za razliko od grupe S3 tavsebuje samo sode permutacije treh elementov. Tako je

A3 = {id, (123), (132)}.

Operacija v A3 je seveda podedovana iz S3.

Diedrska grupa Dn

Elementi mnozice Dn so vse simetrije pravilnega n-kotnika, operacija pa je zopetobicajno komponiranje preslikav. Grupa Dn je reda 2n in jo najpogosteje srecamov naslednji abstraktni obliki zapisa, kot tako imenovane koncno prezentirane grupe:

Dn = 〈r, z | rn = z2 = e, zrz−1 = r−1〉

Na tem mestu omenimo tudi, da lahko na Dn gledamo kot na podmnozico Sn.

Zgled. Za zgled diedrske grupe vzemimo grupo D3. Po zgornji obliki zapisa lahkozapisemo:

D3 = 〈r, z | r3 = z2 = e, zrz−1 = r−1〉

Tako so elementi grupe D3 sledeci:

D3 = {e, r, r2, z, zr, zr2}.

V tem primeru se izkaze, da je grupa D3 kar izomorfna grupi S3. O tem se lahkobralec preprica sam.

POGLAVJE 2. GRUPE 4

2.2 Podgrupe

V tem razdelku se bomo posvetili pojmom in rezultatom, ki so povezani s konceptompodgrupe (bralec se bo spomnil, da so podgrupe neprazne podmnozice dane grupe,ki so same zase grupe za podedovano operacijo). Najvec pozornosti bomo namenilipodgrupam edinkam in kvocientnim grupam. Izkaze se namrec, da ta dva konceptaigrata eno izmed kljucnih vlog pri vpeljavi pojma resljive grupe. Tako ta razdelekzacenjamo z definicijo odsekov po podgrupi in z definicijo kvocientne mnozice. Sledilbo dobro znani Lagrangeev izrek.

Definicija. Naj bo G grupa in H ≤ G njena podgrupa. Za g ∈ G je levi odsekgrupe G po podgrupi H enak mnozici gH = {gh : h ∈ H}. Podobno definiramodesne odseke. Mnozico G/H vseh levih odsekov grupe G po podgrupi H imenujemokvocientna mnozica. Kardinalnost te kvocientne mnozice oznacimo z [G : H]in ji recemo indeks podgrupe H v grupi G.

Izrek 2.1 (Lagrangeev izrek). Naj bo G koncna grupa in H njena podgrupa. Tedajvelja

[G : H] =|G||H|

.

To pomeni, da red podgrupe H deli red grupe G.

Sedaj si oglejmo definicijo podgrupe edinke in nekaj rezultatov, ki so povezani s tempojmom.

Definicija. Naj bo G grupa in H njena podgrupa. Tedaj je H podgrupa edinkagrupe G (oznaka H E G), ce velja katerikoli izmed spodnjih (ekvivalentnih) pogojev.

1. Vsak levi odsek grupe G po podgrupi H je enak pripadajocemu desnemu odseku,to je: ∀g ∈ G : gH = Hg.

2. Vsak levi odsek grupe G po podgrupi H je enak kakemu desnemu odseku grupeG po podgrupi H, to je: ∀g1 ∈ G ∃g2 ∈ G : g1H = Hg2.

3. Za vsak g ∈ G velja gHg−1 = {ghg−1 | h ∈ H} = H.

Opomba. Edinka H grupe G, kjer je H 6= G, je maksimalna, ce grupa G ne premoreedinke K, za katero velja H � K � G.

Opomba. Na tem mestu se velja spomniti, da je v komutativnih grupah vsakapodgrupa hkrati tudi edinka.

Dogovor. Naj bosta H in K podgrupi grupe G. Mnozico {hk | h ∈ H, k ∈ K}bomo krajse oznacili s HK.

Ker je naslednja trditev morda malce manj standardna, navajamo tudi njen dokaz.

Trditev 2.2. Naj bosta H in N podgrupi grupe G, pri cemer je grupa N edinka v G.Potem velja:

1. N ∩H je edinka v H;

POGLAVJE 2. GRUPE 5

2. HN ≤ G;

3. NH = HN;

4. ce je H edinka v G, je tudi HN edinka v G.

Dokaz. 1. Naj bo x ∈ N ∩H in h ∈ H. Ker je N edinka v G velja hxh−1 ∈ N .Prav tako ocitno velja hxh−1 ∈ H, saj je H ≤ G. Torej velja hxh−1 ∈ N ∩Hza vsak h ∈ H in x ∈ N ∩H. Od tod sledi, da je N ∩H edinka v H.

2. Pokazimo sedaj, da je grupa HN podgrupa v grupi G. Naj bosta h1, h2 ∈ Hin n1, n2 ∈ N . Ker je podgrupa N edinka, lahko najdemo n3 ∈ N , tako davelja n1h2 = h2n3. Vzemimo sedaj element (h1n1)(h2n2)in pokazimo, da je toelement mnozice HN. Ker lahko zapisemo

(h1n1)(h2n2) = h1(n1h2)n2

= h1(h2n3)n2 = (h1h2)(n3n2),

je jasno, da je produkt (h1n1)(h2n2) res element mnozice HN, torej je ta zaprtaza inducirano operacijo v grupi G. Ocitno je tudi e = ee element grupe HN,kar pokaze, da je ta mnozica neprazna. Prepricajmo se sedaj, da vsak elementHN vsebuje tudi inverz. Naj bosta h ∈ H in n ∈ N . Torej lahko zapisemo(hn)−1 = n−1h−1 = h−1n4 za neki n4 ∈ N , saj je N podgrupa edinka. Torej je(hn)−1 ∈ HN , od tod pa sledi HN ≤ G.

3. Pokazali smo ze, da velja HN ≤ G. Ocitno velja tudi N ≤ HN in H ≤ HN .Ker je podgrupa zaprta za operacijo, od tod sledi NH ⊆ HN .Naj bo sedaj hn ∈ HN poljuben. Ker velja HN ≤ G, lahko pisemo hn = a−1

za nek a = h1n1 ∈ HN . Tako je

hn = (h1n1)−1 = n−11 h−11 ∈ NH,

od koder sledi HN ⊆ NH. Torej res velja HN = NH.

4. Sedaj naj bo tudi H edinka v G in h ∈ H, n ∈ N ter g ∈ G. Potem je

ghng−1 = (ghg−1)(gng−1) ∈ HN.

Torej je HN res edinka v G.

Trditev 2.3. Naj bo G grupa in H E G njena edinka. Potem je kvocientna mnozicaG/H = {gH | g ∈ G} skupaj z inducirano operacijo g1Hg2H = g1g2H grupa.Nevtralni element je 1G/H = H, inverz h gH pa g−1H.

Definicija. Naj bo G grupa in H E G njena edinka. Tedaj grupi G/H recemokvocientna grupa grupe G po podgrupi H.

Na tem mestu se spomnimo se izreka o klasifikaciji koncnih komutativnih grup,ki skupaj z izrekom za njim daje za nas precej pomemben rezultat. Pred tem sespomnimo, da je za grupi G1 in G2 njun direktni produkt G1 × G2 grupa, kateremnozica elementov je kar kartezicni produkt mnozic G1 in G2, grupna operacija paje definirana kar po komponentah.

POGLAVJE 2. GRUPE 6

Izrek 2.4 (Klasifikacija koncnih komutativnih grup). Naj bo n naravno stevilo innaj bo G komutativna grupa reda n. Tedaj obstajajo (ne nujno paroma razlicna)prastevila p1, p2 . . . , pk in naravna stevila i1, i2 . . . , ik, da velja n = pi11 p

i22 . . . p

ik1 in je

G ∼= Zpi11× Z

pi22× · · · × Z

pikk

.

Izrek 2.5. Naj bo G koncna komutativna grupa reda n in naj bo m ≥ 1 poljubendelitelj stevila n. Tedaj ima G podgrupo reda m.

Spomnimo se, da je podgrupa H grupe G prava, ko je razlicna od izhodiscne grupeG in je netrivialna, ko je razlicna od trivialne grupe. Tako si sedaj oglejmo definicijoenostavne grupe in dva rezultata, ki govorita o enostavnosti dolocenih druzin grup.

Definicija. Grupa G je enostavna, ce nima pravih netrivialnih podgrup edink.

Po Lagrangeevem izreku jasno sledi, da je za prastevilo p ciklicna grupa Zp eno-stavna. Omenimo tudi, da nam izrek 2.5 pove, da so grupe Zp, kjer je p prastevilo,pravzaprav edine enostavne koncne komutativne grupe, saj je v komutativni grupivsaka podgrupa tudi edinka.

Izrek 2.6. Alternirajoca grupa An je enostavna za n ≥ 5.

2.3 Homomorfizmi grup

V tem razdelku se bomo spomnili, kdaj sta dve grupi izomorfni in kaj sta jedroin slika homomorfizma. Podali bomo tudi nekaj izrekov, ki predstavljajo nekaksnopovezavo med kvocientnimi grupami, edinkami in homomorfizmi.

Definicija. Naj bosta (G, ◦) in (H,�) dve grupi. Preslikava φ : G → H je homo-morfizem grup, ce za vsaka g1, g2 ∈ G velja φ(g1 ◦ g2) = φ(g1)�φ(g2). Ce jeφ bijektivna preslikava, govorimo o izomorfizmu grup. Grupi G in H sta izo-morfni (oznaka G ∼= H), ce med njima obstaja kak izomorfizem grup.

Definicija. Naj bo φ : (G, ◦)→ (H,�) homomorfizem grup. Jedro homomorfizmaφ je

Ker(φ) = {g ∈ G | φ(g) = eH},

slika homomorfizma φ pa je

Im(φ) = {φ(g) | g ∈ G}.

Nadaljujmo s tremi izreki o izomorfizmu. Prvi izmed njih je splosno poznan, zatona tem mestu izpuscamo dokaz, vendar bralcu svetujemo, da ga poizkusi dokazatisam. Preostala dva izreka o izomorfizmu, ki sta morda malce manj znana, bomotudi dokazali, saj nam bosta v pomoc pri dokazih v nadaljevanju diplomskega dela.

Izrek 2.7 (Prvi izrek o izomorfizmu). Naj bosta G in H grupi in naj bo φ : G→ Hhomomorfizem grup. Tedaj je Ker(φ) E G ter Im(φ) ≤ H. Poleg tega velja

G/Ker(φ) ∼= Im(φ).

POGLAVJE 2. GRUPE 7

Izrek 2.8 (Drugi izrek o izomorfizmu). Naj bosta H in N podgrupi grupe G in najbo N E G. Potem velja

H/(N ∩H) ∼= NH/N.

Dokaz. Ker je N edinka v G in H podgrupa grupe G, po trditvi 2.2 velja N∩H E Hin NH = HN ter NH ≤ G. Ker je N edinka v celotni grupi G, je seveda N E NH.Definirajmo sedaj preslikavo φ : H → HN/N s predpisom φ(h) = hN . Najprej seprepricajmo, da je preslikava res homomorfizem:

φ(xy) = xyN = xNyN = φ(x)φ(y).

Oglejmo si se jedro preslikave:

Ker(φ) = {h ∈ H | φ(h) = eHN/N}= {h ∈ H | hN = N}= {h ∈ H | h ∈ N}= H ∩N

Ker za poljubna h ∈ H in n ∈ N veja tudi hnN = hN , je preslikava φ ocitnosurjektivna in tako velja Im(φ) = HN/N . Od tod po prvem izreku o izomorfizmuvelja H/(H ∩N) ∼= HN/N.

Izrek 2.9 (Tretji izrek o izomorfizmu). Naj bosta H in K podgrupi edinki grupe Gin naj bo K ≤ H. Potem je H/K podgrupa edinka grupe G/K in velja

(G/K)/(H/K) ∼= G/H.

Dokaz. Naj bo preslikava φ : G → (G/K)/(H/K) podana s predpisom φ(g) =(gK)(H/K) za g ∈ G. Preslikava φ je ocitno surjektivna. Pokazimo sedaj, daje tudi homomorfizem grup. Naj bosta g1, g2 ∈ G. Potem velja:

φ(g1g2) = [(g1g2)K](H/K) = [(g1K)(g2K)](H/K)

= [(g1K)(H/K)][(g2K)(H/K)]

= φ(g1)φ(g2).

Torej je φ res homomorfizem. Oglejmo si se jedro preslikave. Jedro sestoji iz tistihg ∈ G, za katere velja φ(g) = H/K, to je (aK)(H/K) = H/K, kar je enakovrednopogoju aK ∈ H/K. Taksni elementi g pa so ravno elementi grupe H. Torej, ker veljaKer(φ) = H in Im(φ) = (G/K)/(H/K), po prvem izreku o izomorfizmu dobimoG/H ∼= (G/K)/(H/K).

Naslednjo posledico navajamo brez dokaza, vendar bralca spodbujamo, da jo poiz-kusi dokazati sam, pri cemer si lahko pomaga z literaturo (na primer [1]).

Posledica 2.10. Ce je N edinka v G, potem je vsaka podgrupa grupe G/N oblikeK/N, kjer je K podgrupa grupe G, ki vsebuje N. Se vec, K/N je edinka v G/N, cein samo ce je K edinka v G.

Poglavje 3

Vrste

Ko proucujemo razlicne grupe in njihove lastnosti, lahko obravnavane grupe zelohitro postanejo precej velike in zato tezje obvladljive. Zato zelimo grupe na neknacin razstaviti na manjse kose in si tako olajsati delo. Na tem mestu se za zeloprirocne in ucinkovite izkazejo vrste grup, ki jih bomo podrobneje spoznali v tempoglavju, povzetem po [1], [2] in [5].

V teoriji grup je obicajno vrsta za neko grupo G vsaka veriga (pod)grup:

{e} = H0 < H1 < · · · < Hn−1 < Hn = G,

pri cemer je dolzina vrste stevilo strogih inkluzij, ki jih vrsta vsebuje. Tako namvrste studij dane grupe “pretvorijo” na studij manjsih (pod)grup in odnose mednjimi. Z dolocanjem dodatnih pogojev lahko definiramo veliko stevilo “tipov” vrst.V nadaljevanju si bomo ogledali tiste, ki omogocajo razumevanje pojma resljivegrupe.

3.1 Podnormalna in normalna vrsta

Definicija. Podnormalna vrsta grupe G je tako koncno zaporedje njenih podgrupH0, H1, . . . , Hn, da je Hi / Hi+1, poleg tega pa je H0 = {e} in Hn = G. Ce je vsakaizmed podgrup Hi edinka v G, tej vrsti recemo normalna vrsta grupe G.

Opomba. Za podnormalno vrsto {e} = H0 < H1 < · · · < Hn−1 < Hn = G vpeljimooznako {Hi}ni=0.

Na tem mestu se lahko vprasamo, ce je za kaksno grupo G vsaka njena podnor-malna vrsta kar normalna vrsta. Vemo, da so v komutativnih grupah vse podgrupehkrati tudi podgrupe edinke. Tako v primeru komutativne grupe, ko zapisemo pod-normalno vrsto te grupe, dobimo tudi normalno vrsto te grupe. Obstajajo pa tudinekomutativne grupe s to lastnostjo. Bralec se lahko preprica, da je ena izmed njihsimetricna grupa S3.

Zgled. Najenostavneje si je podnormalne in normalne vrste ogledati kar na primerukomutativnih grup. Tako lahko zapisemo vec primerov za grupo celih stevil Z za

8

POGLAVJE 3. VRSTE 9

sestevanje. Spomnimo se se, da so vse njene podgrupe oblike nZ, pri cemer je nZmnozica celih stevil, ki so deljiva z n.

{0} < Z

{0} < 12Z < Z{0} < 36Z < 9Z < Z

Oglejmo si se nekaj (pod)normalnih vrst grupe Z12:

{0} < 〈2〉 < Z12

{0} < 〈6〉 < 〈2〉 < Z12

{0} < 〈4〉 < 〈2〉 < Z12

Zgled. Na primeru grupe D4 si poglejmo se zgled za nekomutativno grupo. Kerje grupa D4 reda 8, so njene prave netrivialne podgrupe po Lagrangeevem izrekulahko le reda 4 ali 2. Najdemo tri podgrupe reda 4. Ker so indeksa 2, so seveda vseedinke v D4. Tako lahko na primer zapisemo naslednjo podnormalno vrsto grupeD4:

{id} < {id, z} < {id, r2, z, zr2} < D4.

Hitro opazimo, da to ni normalna vrsta grupe D4, saj podgrupa {id, z} ni edinkav D4. Poiscimo sedaj se kaksno normalno vrsto grupe D4. Edine prave netrivialneedinke v grupi D4 so {id, r2}, {id, r, r2, r3}, {id, r2, z, zr2} in {id, r2, zr, zr3}. Takoje

{id} < {id, r2, z, zr2} < D4

normalna vrsta grupe D4. Najdemo pa tudi daljso normalno vrsto grupe D4:

{id} < {id, r2} < {id, r2, z, zr2} < D4.

V zgornjih zgledih smo opazili, da lahko v neki dani grupi najdemo (pod)normalnevrste razlicnih dolzin. Naslednja definicija nam pove, kako iz dane (pod)normalnevrste dobiti daljso (pod)normalno vrsto.

Definicija. (Pod)normalna vrsta {Kj}mj=0 grupe G je drobitev normalne vrste{Hi}ni=0 grupe G, ce je {Hi}ni=0 ⊆ {Kj}mj=0, to je, ce za vsak 0 ≤ i ≤ n obstaja

(za vsak i svoj) 0 ≤ j ≤ m, da je Hi = Kj. Ce dodatno velja se m > n, recemo, dagre za pravo drobitev.

Opomba. Zgornjo definicijo je potrebno razumeti tako, da je drobitev normalnevrste zopet normalna vrsta (ne pa samo podnormalna).

Zgled. Oglejmo si nekaj drobitev vrst iz prejsnjih zgledov. Tako je vrsta

0 < 72Z < 36Z < 18Z < 9Z < Z

drobitev vrste0 < 36Z < 9Z < Z.

Vrsta0 < 〈6〉 < 〈2〉 < Z12

pa je drobitev vrste0 < 〈2〉 < Z12.

V prvem primeru smo dodali grupi 72Z in 18Z, v drugem primeru pa grupo 〈6〉.

POGLAVJE 3. VRSTE 10

Tako kot nas je zanimalo, kdaj sta dve grupi s strukturnega vidika enaki (torejizomorfni), se je smiselno vprasati, kdaj sta strukturno enaki (oziroma izomorfni)dve podnormalni vrsti iste grupe.

Definicija. Podnormalni vrsti {Hi}ni=0 in {Kj}mj=0 iste grupe G sta izomorfni,ce obstaja bijektivna korespondenca med zaporedjem kvocientnih grup Hi+1/Hi, 0 ≤i ≤ n − 1, in zaporedjem kvocientnih grup Kj+1/Kj, 0 ≤ j ≤ m − 1, tako, da stapripadajoci kvocientni grupi vedno izomorfni.

Povsem ocitno je, da morata biti dolzini dveh izomorfnih podnormalnih vrst enaki.V nadaljevanju si oglejmo nekaj zgledov, ki se nanasajo na izomorfnost dveh pod-normalnih vrst iste grupe.

Zgled. Ze v enem izmed prejsnjih zgledov smo zapisali spodnji dve (pod)normalnivrsti za grupo Z6. V tem zgledu si bomo ogledali, ali sta tudi izomorfni.

0 < 〈6〉 < 〈2〉 < Z12

0 < 〈4〉 < 〈2〉 < Z12

Najprej je smiselno pogledati, ce sploh sestojita iz istega stevila podgrup, saj vnasprotnem primeru zagotovo nista izomorfni. Ker to ocitno velja, sedaj pogledamofaktorske grupe za vsako izmed vrst. Faktorske grupe v prvi vrsti so Z12/〈2〉 ∼= Z2,〈2〉/〈6〉 ∼= Z3 in 〈6〉/{0} ∼= Z2. Faktorske grupe v drugi vrsti pa so Z12/〈2〉 ∼= Z2,〈2〉/〈4〉 ∼= Z2 in 〈4〉/{0} ∼= Z3. Vidimo, da lahko najdemo bijektivno korespondencomed faktorskimi grupami obeh (pod)normalnih vrst, tako da sta pripadajoci dvekvocientni grupi izomorfni, ceprav se faktorske grupe ne pojavljajo v istem vrstnemredu.

Zgled. Sedaj si oglejmo se primer nekomutativne grupe, na primer D6. Bralec lahkosam premisli, katere so podgrupe grupe D6 in katere izmed njih so edinke. Ugotovilbo, da grupa D6 premore po eno edinko reda 2 (〈r3〉) in reda 3 (〈r2〉) ter tri edinkereda 6 (〈r〉, 〈r2, z〉 in 〈r2, zr〉). Tako lahko zapisemo naslednji normalni vrsti:

{id} < 〈r2〉 < 〈r2, z〉 < D6

{id} < 〈r3〉 < 〈r〉 < D6

Normalni vrsti sta zopet iste dolzine. Tako lahko preverimo faktorske grupe. Hitroopazimo, da v obeh vrstah nastopata dve faktorski grupi, ki sta izomorfni grupi Z2,in ena, ki je izomorfna grupi Z3. Torej sta dani normalni vrsti izomorfni.Na primeru grupe D6 lahko najdemo tudi dve normalni vrsti iste dolzine, ki pa nistaizomorfni. Ce si ogledamo normalni vrsti

{id} < 〈r〉 < D6

in{id} < 〈r2〉 < D6

vidimo, da sta ocitno iste dolzine, vendar sta faktorski grupi prve vrste reda 6 in2, faktorski grupi druge vrste pa sta reda 3 in 4. Torej dani normalni vrsti nistaizomorfni.


Vidimo torej, da lahko za nekatere grupe najdemo vec normalnih oziroma podnor-malnih vrst, ki morda celo niso izomorfne. Naslednji pomemben izrek pa pove,da lahko tudi v taksnih primerih te vrste nekoliko ”popravimo”, da dobljeni vrstipostaneta izomorfni.

Izrek 3.1 (Schreierjev izrek). Poljubni dve podnormalni (normalni) vrsti grupe Gimata izomorfni drobitvi.

Preden se lotimo dokaza Schreierjevega izreka, si oglejmo in dokazimo se naslednjolemo, ki nam bo v pomoc pri dokazu.

Lema 3.2 (Zassenhaus). Naj bodo H,K,H∗ in K∗ podgrupe grupe G, pri cemer jeH∗ edinka v H, K∗ pa edinka v K. Potem velja:

• H∗(H ∩K∗) je edinka v H∗(H ∩K)

• K∗(H∗ ∩K) je edinka v K∗(H ∩K)

• (H∗(H∩K))/(H∗(H∩K∗)) ∼= (K∗(H∩K))/(K∗(H∗∩K)) ∼= (H∩K)/((H∗∩K)(H ∩K∗))

Dokaz. Naj bosta H in K podgrupi grupe G in naj bo H∗ edinka v H ter K∗ edinkav K. Ker je H∗ edinka, H ∩K pa podgrupa grupe H, po trditvi 2.2 vidimo, da jeH∗(H ∩K) podgrupa grupe H, torej je ocitno grupa. S podobnim razmislekom obtrditvi 2.2 ni tezko ugotoviti, da so tudi H∗(H ∩ K∗), K∗(H ∩ K) in K∗(H∗ ∩ K)grupe. Bralec bo videl tudi, da ni tezko pokazati, da je (H∗ ∩K) edinka v (H ∩K).Z uporabo trditve 2.2 na grupah (H∗ ∩ K) in (H ∩ K∗) ugotovimo, da je tudi(H∗ ∩K)(H ∩K∗) = L grupa. Ker sta (H∗ ∩K) in (H ∩K∗) tudi edinki v grupiH ∩K, je po trditvi 2.2 edinka v njej tudi L. S tem smo nekako pregledali odnosemed grupami, ki nastopajo v lemi in lahko nadaljujemo z dokazom.Sedaj zelimo definirati surjektivni homomorfizem φ : H∗(H ∩K) −→ (H ∩K)/Lz jedrom H∗(H ∩ K∗). Iz tega bo po prvem izreku o izomorfizmu sledilo, da jeH∗(H∩K∗) edinka vH∗(H∩K) in da velja (H∗(H∩K))/(H∗(H∩K∗)) ∼= (H∩K)/L.Na podoben nacin dokazemo tudi, da je K∗(H∗ ∩ K) edinka v K∗(H ∩ K) in davelja K∗(H ∩K)/K∗(H∗ ∩K) ∼= (H ∩K)/L.Definirajmo sedaj φ : H∗(H ∩K) −→ (H ∩K)/L. Za h ∈ H∗ in x ∈ H ∩K najbo φ(hx) = xL. Pokazimo najprej, da je φ dobro definirana preslikava. Naj bodoh1, h2 ∈ H∗ in x1, x2 ∈ H ∩ K. Ce je h1x1 = h2x2, potem je h−12 h1 = x2x

−11 ∈

H∗ ∩ (H ∩K) = H∗ ∩K ⊆ L. Torej velja x1L = x2L. S tem smo pokazali, da je φdobro definiran.Sedaj pokazimo, da je φ homomorfizem grup. Ker je H∗ edinka v H, za poljubneh1, h2 ∈ H∗ in x1, x2 ∈ H ∩K obstaja h3 ∈ H∗, da je x1h2 = h3x1. Potem je

φ((h1x1)(h2x2)) = φ((h1h3)(x1x2)) = (x1x2)L

= (x1L)(x2L) = φ(h1x1)φ(h2x2).

Torej je φ homomorfizem.Jasno je, da je homomorfizem φ surjektiven, saj za vsak element xL ∈ (H ∩K)L,kjer je torej x ∈ H ∩K, po definiciji velja φ(ex) = xL.Nazadnje je treba pokazati se, da velja Ker(φ) = H∗(H ∩ K∗). Ce je h ∈ H∗


in x ∈ H ∩ K, potem je φ(hx) = xL = L natanko tedaj, ko x ∈ L, ali natankotedaj, ko je hx ∈ H∗L = H∗((H∗ ∩ K)(H ∩ K∗)) = H∗(H ∩ K∗). Torej je resKer(φ) = H∗(H ∩K∗). S tem smo dokazali naso lemo.

Sedaj, ko smo dokazali zgornjo lemo, ki nam bo v nadaljevanju v veliko pomoc, selahko lotimo dokaza Schreierjevega izreka.

Dokaz. Naj bosta

{e} = H0 < H1 < · · · < Hn−1 < Hn = G (3.1)

in{e} = K0 < K1 < · · · < Km−1 < Km = G (3.2)

dve podnormalni vrsti grupe G. Sedaj lahko za poljuben indeks i tvorimo naslednjoverigo podgrup med Hi in Hi+1:

Hi = Hi(Hi+1 ∩K0) ≤ Hi(Hi+1 ∩K1) ≤ · · · ≤ Hi(Hi+1 ∩Km) = Hi+1

Grupa Hi(Hi+1 ∩Kj) je res podgrupa grupe Hi(Hi+1 ∩Kj+1), saj velja Kj < Kj+1.Na ta nacin smo med podgrupi Hi in Hi+1 vrinili m-1 podgrup. Vendar te grupe nisonujno paroma razlicne. Za bolj pregleden zapis definiramo Hi,j = Hi(Hi+1 ∩ Kj).Tako dobimo sledeco vrsto:

{e} = H0,0 ≤ H0,1 ≤ H0,2 ≤ · · · ≤ H0,m−1 ≤ H0,m = H1,0

≤ H1,1 ≤ H1,2 ≤ · · · ≤ H1,m−1 ≤ H1,m = H2,0

≤ H2,1 ≤ H2,2 ≤ · · · ≤ H2,m−1 ≤ H2,m = H3,0 (3.3)

≤ . . .

≤ Hn−1,1 ≤ Hn−1,2 ≤ · · · ≤ Hn−1,m−1 ≤ Hn−1,m.

Tako vrsta (3.3) vsebuje mn + 1 ne nujno razlicnih podgrup. Sedaj se je potrebnoprepricati se, da je vrsta (3.3) podnormalna veriga podgrup (pri cemer seveda more-bitne ponovitve iste grupe v zaporedju odstranimo), to pomeni, da je vsaka podgrupaedinka v prejsnji grupi. Ker sta vrsti (3.1) in (3.2) podnormalni, je podgrupa Hi

edinka v Hi+1, podgrupa Kj pa edinka v Kj+1. Tako po lemi 3.2 sledi

Hi(Hi+1 ∩Kj) E Hi(Hi+1 ∩Kj+1),

oziromaHi,j E Hi,j+1.

Torej je vrsta (3.3) podnormalna veriga. Hkrati je (3.3) ocitno tudi drobitev vrste(3.1). Sedaj na podoben nacin podgrupe vrinemo tudi v podnormalno vrsto (3.2).Ce oznacimo Kj,i = Kj(Kj+1 ∩Hi), dobimo vrsto

{e} = K0,0 ≤ K0,1 ≤ K0,2 ≤ · · · ≤ K0,n−1 ≤ K0,n = K1,0

≤ K1,1 ≤ K1,2 ≤ · · · ≤ K1,n−1 ≤ K1,n = K2,0

≤ K2,1 ≤ K2,2 ≤ · · · ≤ K2,n−1 ≤ K2,n = K3,0 (3.4)

≤ . . .

≤ Km−1,1 ≤ Km−1,2 ≤ · · · ≤ Km−1,n−1 ≤ Km−1,n


Prav tako kot vrsta (3.3) tudi vrsta (3.4) vsebuje mn+1 ne nujno razlicnih podgrup.Na podoben nacin kot prej se prepricamo, da je tudi vrsta (3.4) podnormalna verigain drobitev vrste (3.2). S pomocjo leme 3.2 opazimo se naslednje:

(Hi(Hi+1 ∩Kj+1))/(Hi(Hi+1 ∩Kj)) ∼= (Kj(Kj+1 ∩Hi+1))/(Kj(Kj+1 ∩Hi))

oziroma krajseHi,j+1/Hi,j

∼= Kj,i+1/Kj,i (3.5)

za 0 ≤ i ≤ n−1 in 0 ≤ j ≤ m−1. Iz podnormalnih vrst (3.3) in (3.4) smo kot recenoodstranili ponavljajoce se grupe znotraj vrste. Ni tezko videti, da v vsaki verigiodstranimo isto stevilo podgrup. Tako iz verig (3.3) in (3.4) dobimo podnormalnivrsti, ki sta drobitvi vrst (3.1) in (3.2), po zgornjem pa gre za izomorfni drobitvivrst (3.1) in (3.2).Dokaz Schreierjevega izreka, ki se nanasa na normalne vrste, je zelo podoben temudokazu. Dodatno je potrebno biti pozoren na dejstvo, da morajo biti grupe Hi,j inKj,i edinke tudi v grupi G. Pri tem si zopet lahko pomagamo z lemo 3.2.

Zgled. Ze v enem izmed prejsnjih zgledov smo nasli dve normalni vrsti,

{id} < 〈r〉 < D6

in{id} < 〈r2〉 < D6,

ki sta iste dolzine, vendar nista izomorfni. Sedaj pa nam Schreierjev izrek pove,da ti dve normalni vrsti premoreta drobitvi, ki bosta izomorfni. Ce v prvo vrstododamo podgrupo 〈r3〉, v drugo pa podgrupo 〈r2, z〉, dobimo naslednji dve drobitvi:

{id} < 〈r3〉 < 〈r〉 ≤ D6

{id} < 〈r2〉 < 〈r2, z〉 ≤ D6

Za ti dve podnormalni vrsti pa smo ze pokazali, da sta izomorfni, torej nasi izhodiscnivrsti res premoreta izomorfni drobitvi.

3.2 Kompozicijska vrsta

Ce definiciji podnormalne vrste dodamo se dodaten pogoj, da morajo biti vse fak-torske grupe sedaj se enostavne, dobimo vrsto, kot je definirana spodaj.

Definicija. Naj bo {Hi}ni=0 podnormalna vrsta grupe G. Vrsta {Hi}ni=0 je kompo-zicijska vrsta, ce so vse kvocientne grupe Hi+1/Hi enostavne.

Zgled. Oglejmo si simetricno grupo S5 in zapisimo njeno podnormalno vrsto

{id} < A5 < S5.

Ali je sedaj ta podnormalna vrsta tudi kompozicijska vrsta? Oglejmo si vse faktorskegrupe. Prva je A5/{id} ∼= A5. Grupa A5 je po izreku 2.6 enostavna. Druga faktorska


grupa je S5/A5. Grupa S5 je reda n!, grupa A5 pa je reda n!2

. Faktorska grupa S5/A5

je torej reda 2, od tod pa sledi S5/A5∼= Z2. Ker je Z2 prav tako enostavna grupa,

tako sledi, da je{id} < A5 < S5

res tudi kompozicijska vrsta grupe S5.

Zgled. Oglejmo si se grupo celih stevil Z za sestevanje. Zapisemo lahko podnor-malno vrsto

{0} = H0 < H1 < · · · < Hn−1 < Hn = Z.Zagotovo je grupa H1 oblike rZ za nek r ∈ Z+. Toda to pomeni, da je faktorskagrupa H1/H0 izomorfna grupi rZ. Za vsako grupo oblike rZ pa ni tezko vednonajti prave edinke, na primer 2rZ. Torej ne moremo najti taksne podgrupe H1, dabo kvocientna grupa H1/H0 enostavna. Od tod sledi, da grupa celih stevil Z zasestevanje ne premore kompozicijske vrste.

V zgornjem zgledu smo videli, da nekatere neskoncne grupe ne premorejo kompo-zicijske vrste. Naslednji izrek nam pove, da se s podobnimi tezavami pri koncnihgrupah ne srecamo.

Izrek 3.3. Vsaka koncna grupa G ima kompozicijsko vrsto.

Dokaz. Naj bo G koncna grupa, G1 pa njena maksimalna edinka. Oglejmo si se-daj faktorsko grupo G/G1. Z uporabo posledice 2.10 ugotovimo, da je faktorskagrupa G/G1 enostavna, saj zaradi maksimalnosti G1 ne moremo najti taksne pravepodgrupe v G, ki bi netrivialno vsebovala G1. Sedaj vzamemo grupo G2, ki je maksi-malna edinka v grupi G1. Z enakim premislekom kot prej ugotovimo, da je faktorskagrupa G1/G2 enostavna. Na enak nacin ponavljamo postopek in ugotovimo, da sovse tako dobljene faktorske grupe enostavne. Ker je G koncna grupa in je vsakanaslednja podgrupa manjsega reda od prejsnje, se bo zagotovo zgodilo, da bo enkratizbrana grupa Gn = {e}. Tako je vrsta

Gn < Gn−1 < · · · < G2 < G1 < G

res kompozicijska vrsta grupe G, saj so vsi faktorji enostavni.

Izrek 3.4. Podnormalna vrsta je kompozicijska vrsta natanko tedaj, ko nima pravedrobitve.

Dokaz. Imejmo grupe Gi, Gi+1 in H, za katere velja

Gi / H / Gi+1.

Pri tem gre za prave edinke, torej so si grupe med seboj razlicne. Po posledici 2.10je tako faktorska grupa H/Gi prava edinka grupe Gi+1/Gi. Prav tako je po posledici2.10 vsaka prava edinka faktorske grupe Gi+1/Gi oblike H/Gi za neko podgrupo H,za katero je Gi / H / Gi+1. Tako ima podnormalna vrsta

{e} = G0 < G1 < · · · < Gn−1 < Gn = G

kaksno pravo drobitev natanko tedaj, ko obstaja faktorska grupa Gi+1/Gi, ki nienostavna. Torej je podnormalna vrsta res kompozicijska vrsta natanko tedaj, konima prave drobitve.


Sedaj lahko dokazemo dobro znani Jordan-Holderjev izrek, ki pove, da ima vsakagrupa do izomorfizma natancno najvec eno kompozicijsko vrsto.

Izrek 3.5 (Jordan-Holderjev izrek). Naj bo G grupa, ki premore kompozicijsko vrsto.Tedaj sta poljubni dve njeni kompozicijski vrsti izomorfni.

Dokaz. Naj bosta {Hi}ni=0 in {Ki}mj=0 kompozicijski vrsti grupe G. Pokazimo, dasta izomorfni. Ker je kompozicijska vrsta hkrati tudi podnormalna vrsta, imatapo Schreierjevem izreku kompozicijski vrsti {Hi}ni=0 in {Kj}mj=0 izomorfni drobitvi.Vendar pa po izreku 3.4 kompozicijske vrste nimajo pravih drobitev. Torej sta bilivrsti ze v zacetku izomorfni.

S tem, ko smo dokazali Jordan-Holderjev izrek, smo utemeljili, da je do izomorfizmavrst natancno dovolj poiskati eno samo kompozicijsko vrsto za dano grupo. Oglejmosi se naslednji rezultat, ki je povezan s kompozicijsko vrsto.

Izrek 3.6. Ce grupa G premore kompozicijsko vrsto in je N prava netrivialna edinkav G, potem obstaja kompozicijska vrsta grupe G, ki vsebuje N.

Dokaz. Imejmo vrsto{e} < N < G.

Ker je N prava netrivialna edinka v G, je zgornja vrsta normalna vrsta grupe G.Iz predpostavke vemo tudi, da grupa G premore kompozicijsko vrsto {Hi}ni=0. PoSchreierjevem izreku obstaja drobitev vrste {e} < N < G, ki je izomorfna drobitvivrste {Hi}ni=0. Ker pa je {Hi}ni=0 kompozicijska vrsta, ne premore prave drobitve.Lahko naredimo samo drobitev vrste {e} < N < G, ki bo izomorfna {Hi}ni=0 in zatobo dobljena vrsta kompozicijska vrsta. Tako dobimo kompozicijsko vrsto grupe G,ki vsebuje N.

3.3 Komutatorska vrsta

Se zadnja izmed vrst, ki jih bomo spoznali v tem poglavju, je komutatorska vrsta.Preden se lahko posvetimo komutatorski vrsti, je potrebno definirati se sam pojemkomutatorja.

Definicija. Naj bo G grupa in x, y ∈ G njena elementa, A, B pa naj bosta nepraznipodmnozici grupe G.

• [x, y] = x−1y−1xy imenujemo komutator elementov x in y.

• [A,B] = 〈[a, b] | a ∈ A, b ∈ B〉 je podgrupa, generirana s komutatorji elementovmnozic A in B.

• G′ = 〈[x, y] | x, y ∈ G〉 = [G,G] je podgrupa grupe G, generirana s komutatorjielementov grupe G. Imenujemo jo komutatorska podgrupa grupe G.

Na tem mestu lahko se dodamo, zakaj sploh ime komutator oziroma komutatorskapodgrupa. Komutator elementov x in y je namrec enak e samo v primeru, koelementa x in y komutirata.


Izrek 3.7. Naj bo G grupa, x, y ∈ G in naj bo H ≤ G. Potem velja:

1. xy = yx[x, y].

2. H E G ce in samo ce [H,G] ≤ H.

3. G′ E G.

4. Kvocientna grupa G/G′ je najvecji abelski kvocient grupe G. To je, ce je H E Gin je kvocient G/H abelski, potem velja G′ ≤ H. Obratno, ce je G′ ≤ H, potemvelja H E G in je kvocient G/H abelski.

Dokaz. 1. Dokaz sledi neposredno iz definicije:

yx[x, y] = yxx−1y−1xy = yy−1xy = xy

2. Po definiciji edinke je H E G natanko tedaj, ko velja g−1hg ∈ H za vsakg ∈ G, h ∈ H. Prav tako velja g−1hg ∈ H natanko takrat, ko je h−1g−1hg ∈ H.Ce zdruzimo ti dve izjavi, dobimo, da je H E G natanko takrat, ko veljah−1g−1hg ∈ H za vse h ∈ H in g ∈ G. To pa je po definiciji komutatorja dvehelementov ravno

H E G⇔ [h, g] ∈ H ∀h ∈ H, g ∈ G.

Od tod pa zopet po definiciji komutatorja sledi

H E G⇔ [H,G] ≤ H,

s cimer smo dokazali naso trditev.

3. Naj bo g ∈ G. Da pokazemo, da je G′ edinka v G, moramo dokazati enakostgG′g−1 = G′ za vse g ∈ G.

gG′g−1 = g〈[x, y] | x, y ∈ G〉g−1

= 〈g[x, y]g−1 | x, y ∈ G〉= 〈gx−1y−1xyg−1 | x, y ∈ G〉= 〈gx−1g−1gy−1g−1gxg−1gyg−1 | x, y ∈ G〉= 〈(gxg−1)−1(gyg−1)−1(gxg−1)(gyg−1) | x, y ∈ G〉= 〈[gxg−1, gyg−1] | x, y ∈ G〉= 〈[x, y] | x, y ∈ G〉 = G′

4. (⇒) Naj bo H edinka v G in faktorska grupa G/H abelska. Tako za vseelemente x, y ∈ G lahko zapisemo (xH)(yH) = (yH)(xH). Od tod naprejsledi:

H = (xH)−1(yH)−1(xH)(yH)

= x−1y−1xyH

= [x, y]H.


Torej je [x, y] element grupe H za vse x, y ∈ G. Zato je G′ ≤ H.(⇐) Naj velja G′ ≤ H. Najprej pokazimo, da je kvocientna grupa G/G′ abel-ska. Naj bosta xG′ in yG′ elementa grupe G/G′. Sedaj iz definicije operacijev grupi G′ in dejstva, da je [x, y] ∈ G′, sledi

(xG′)(yG′) = (xy)G′

= (yx[x, y])G′

= (yx)G′ = (yG′)(xG′).

S tem smo pokazali, da je grupa G/G′ abelska. Zato je vsaka njena podgrupaedinka, torej velja H/G′ E G/G′. Zato po posledici 2.10 velja tudi H E G. Potretjem izreku o izomorfizmu pa velja se sledece:

G/H ∼= (G/G′)/(H/G′).

Ker pa smo pokazali, da je grupa G/G’ abelska sta abelski tudi grupi (G/G’)/(H/G’)in G/H.

Definicija. Naj bo G grupa. Induktivno definiramo zaporedje podgrup:

G(0) = G, G(1) = [G,G], in G(i+1) = [G(i), G(i)] za vsak i ≥ 1.

Dobljeno vrsto podgrup imenujemo komutatorska vrsta grupe G.

Primer izracuna komutatorske vrste bomo podali v naslednjem poglavju.

Poglavje 4

Resljive grupe

V tem poglavju, ki je povzeto po [1], [2] in [5], lahko sedaj koncno definiramo pojemresljive grupe.

Definicija. Grupa G je resljiva, ce ima kompozicijsko vrsto {Hi}ni=0, tako da sovse kvocientne grupe Hi+1/Hi abelske.

Zgled. Kot prvi zgled vzemimo kar grupo celih stevil za sestevanje. V enem iz-med zgledov v razdelku o kompozicijski vrsti smo ze pokazali, da grupa celih stevilza sestevanje sploh ne premore kompozicijske vrste. Tako lahko na podlagi tegazakljucimo, da grupa celih stevil za sestevanje ni resljiva.

V nadaljevanju si oglejmo nekaj zgledov, ki bodo pokazali, ali so dane grupe resljiveali ne.

Zgled. V naslednjem zgledu si oglejmo grupi S3 in S4. V primeru grupe S3 niprevec zahtevno najti kompozicijske vrste:

{id} < A3 < S3

To je tudi edina kompozicijska vrsta, ki jo premore grupa S3, saj je A3 edina pravanetrivialna edinka v S3. Da se prepricamo, da gre res za kompozicijsko vrsto, jepotrebno pogledati kaksni sta faktorski grupi A3/{id} in S3/A3. Vidimo, da staizomorfni naslednjima grupama:

A3/{id} ∼= Z3

S3/A3∼= Z2

Obe grupi Z3 in Z2 sta enostavni in abelski. Torej je to kompozicijska vrsta, polegtega pa so vse faktorske grupe abelske. Od tod lahko zakljucimo, da je grupa S3

resljiva.Ali je resljiva tudi grupa S4? Zapisimo njeno kompozicijsko vrsto:

{id} < {id, (12)(34)} < {id, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} < A4 < S4.

Zopet si oglejmo, kaksne so faktorske grupe, da se prepricamo, da gre res za kom-pozicijsko vrsto:

{id, (12)(34)}/{id} ∼= Z2

18

POGLAVJE 4. RESLJIVE GRUPE 19

{id, (12)(34), (13)(24), (14)(23)}/{id, (12)(34)} ∼= Z2

A4/{id, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} ∼= Z3

S4/A4∼= Z2

Vidimo, da so zopet vse faktorske grupe izomorfne enostavnim abelskim grupam.Torej je zapisana vrsta res kompozicijska, iz dejstva, da so vse faktorske grupeabelske, pa sledi, da je grupa S4 resljiva.

Sedaj se lahko vprasamo, ali so kar vse simetricne grupe resljive. V nadaljevanjubomo videli, da sta S3 in S4 edini resljivi simetricni grupi.

Zgled. Oglejmo si se eno simetricno grupo, tokrat S5. Zapisemo podnormalno vrsto

{id} < A5 < S5.

Ze v enem izmed zgledov smo se prepricali, da je to tudi kompozicijska vrsta. Zopetje potrebno pogledati faktorski grupi A5/{id} in S5/A5:

A5/{id} ∼= A5

S5/A5∼= Z2

V tem primeru vidimo, da grupa A5/{id} ∼= A5 ni abelska. Po Jordan-Holderjevemizreku so vse kompozicijske vrste izomorfne kompozicijski vrsti {id} ≤ A5 ≤ S5.Torej vse kompozicijske vrste premorejo faktorsko grupo, ki ni abelska. Posledicnogrupa S5 ni resljiva.

Na podlagi zdnjih zgledov lahko o resljivosti simetricnih grup povemo se vec. Takolahko na podlagi izreka 2.6 v splosnem zapisemo kompozicijsko vrsto grupe Sn zan ≥ 5:

{id} < An < Sn.

Vedno dobimo faktorski grupi An/{id} in Sn/An, ki sta izomorfni naslednjima gru-pama:

An/{id} ∼= An

Sn/An∼= Z2

Ker pa grupa An ni abelska, lahko v splosnem zapisemo naslednji izrek.

Izrek 4.1. Simetricna grupa Sn je resljiva natanko tedaj, ko je n ≤ 4.

S podobnim razmislekom ni tezko videti, da tudi alternirajoce grupe An niso resljiveza n ≥ 5.

V dosedanjih zgledih smo lahko opazili, da so bile v primerih, ko je bila gruparesljiva, moci kvocientnih grup vedno prastevilske. To dejstvo lahko zapisemo kottrditev in jo v nadaljevanju tudi dokazemo.

Trditev 4.2. Koncna grupa G je resljiva natanko tedaj, ko ima poljubna (in zatovsaka) njena kompozicijska vrsta {Hi}ni=0 vse indekse [Hi+1 : Hi] prastevilske.


Dokaz. Naj bo grupa G resljiva. Po definiciji premore kompozicijsko vrsto {Hi}ni=0,kjer so vse faktorske grupe Hi+1/Hi enostavne in abelske. Izrek 2.5 nam pove, daso edine enostavne koncne abelske grupe ciklicne grupe Zp, kjer je p prastevilo.Torej velja Hi+1/Hi

∼= Zp za vse indekse i, pri cemer je p prastevilo. Od tod sledi[Hi+1 : Hi] = p, p prastevilo. Da velja tudi obrat, je jasno, saj so edine grupeprastevilskega reda ciklicne grupe Zp, ki pa so seveda abelske in enostavne.

Zgled. S pomocjo prejsnje trditve se sedaj prepricajmo, da je grupa

Q8 = 〈−1, i, j, k | (−1)2 = 1, i2 = j2 = k2 = ijk = −1〉

resljiva. Bralec se lahko sam preprica, da so vse njene podgrupe tudi edinke. Takolahko zapisemo kompozicijsko vrsto

{1} < {1,−1} < {1,−1, i,−i} < Q8.

Zapisana vrsta je res kompozicijska vrsta, saj so vse faktorske grupe reda 2 in zatoenostavne. Ker so torej vse zaporedne faktorske grupe reda 2, je po prejsnji trditvigrupa Q8 resljiva.

V dosedanjih zgledih v tem poglavju smo lahko videli, kako s pomocjo same definicijepokazati, ali je dana grupa resljiva ali ne. Ni pa to edini nacin, kako ugotoviti, alije dana grupa resljiva. Naslednja trditev nam ponuja se en kriterij, po kateremugotavljamo resljivost grupe. Le-ta se nanasa na komutatorsko vrsto, ki smo jodefinirali v prejsnjem razdelku.

Izrek 4.3. Koncna grupa G je resljiva natanko tedaj, ko je G(n) = {e} za nek n ≥ 0.

Dokaz.(⇒) Naj bo G resljiva grupa. Potem po definiciji premore kompozicijsko vrsto

{e} = H0 < H1 < · · · < Hn−1 < Hn = G,

kjer so vsi faktorji Hi+1/Hi abelski. Sedaj zelimo z indukcijo dokazati, da veljaG(i) ≤ Hn−i za vse i. Ce nam to uspe, bomo s tem dokazali, da je G(n) = H0 = {e}.Neenakost za i = 0 ocitno velja, saj je G = G(0) ≤ Hn = G. V indukcijskem korakuzelimo dokazati G(i+1) ≤ Hn−i−1, ob predpostavki, da je G(i) ≤ Hn−i. Sedaj lahkozapisemo naslednjo neenakost:

G(i+1) = [G(i), G(i)] ≤ [Hn−i, Hn−i].

Ker je grupa G resljiva, so vsi faktorji Hn−i/Hn−i−1 abelski. Tako po izreku 3.7 velja[Hn−i, Hn−i] ≤ Hn−i−1. Torej je G(i+1) ≤ Hn−i−1.(⇐) Sedaj naj bo G(n) = {e} za nek n ≥ 0. Ce sedaj za Hi vzamemo G(n−i), jeHi podgrupa edinka v Hi+1 po izreku 3.7. Prav tako so kvocienti z grupo Hi+1 poizreku 3.7 abelski. Na ta nacin dobimo komutatorsko vrsto, kjer so vsi kvocientiabelski, niso pa nujno tudi enostavni. Ker je komutatorska vrsta tudi podnormalna,lahko po izrekih 3.3 in 3.4 poiscemo drobitev te vrste, ki bo tudi kompozicijska vrsta.Sedaj se je potrebno le se prepricati, da so v tej vrsti vsi kvocienti abelski. Ker smonapravili drobitev vrste, najdemo grupo K, ki je edinka v G in vsebuje G′. Ni tezkoopaziti, da je potem G′ edinka v K. Torej je kvocient G/K po izreku 3.7 abelski.Prav tako je ocitno tudi kvocient K/G′ abelski. Torej so vsi kvocienti, dobljeni zdrobitvijo, po enakem razmisleku abelski.


Zgled. Za simetricno grupo S3 smo se ze prepricali, da je resljiva. Kljub temupokazimo resljivost se s pomocjo izreka 4.3. Spomnimo se najprej, katere elementevsebuje grupa:

S3 = {id, (12), (13), (23), (123), (132)}.

Po izreku 4.3 sedaj zelimo najti n, za katerega velja G(n) = {e}. Tako postopomapovecujemo n, dokler ne dosezemo tega robnega pogoja. Pricnemo z n = 0:

G(0) = S3 6= {e}

Sedaj vzamemo n = 1:

G(1) = [S3, S3] = 〈[x, y] | x, y ∈ S3〉

V tem primeru je potrebno izracunati vse komutatorje po dveh elementov grupe S3.V resnici je potrebno izracunati samo komutatorje, kjer elementa ne komutirata, sajbo v ostalih primerih rezultat vedno id. Tako je potrebno izracunati le naslednjekomutatorje dveh elementov:

(12)(13)(12)(13) = (123)

(12)(23)(12)(23) = (132)

(23)(13)(23)(13) = (132)

(12)(123)(12)(132) = (123)

(12)(132)(12)(123) = (132)

(13)(123)(13)(132) = (123)

(13)(132)(13)(123) = (132)

(23)(123)(23)(132) = (123)

(23)(132)(23)(123) = (132)

V vseh primerih je rezultat eden izmed triciklov.Tako dobimo

G(1) = [S3, S3] = 〈(132), (123)〉 ∼= A3 6= {id}.

Sedaj vzamemo n = 2:

G(2) = [A3, A3] = 〈[x, y] | x, y ∈ A3〉

Grupa A3 je komutativna in zato je v njej vsak komutator trivialen. Tako je

G(2) = [A3, A3] = 〈id〉 = {id}

Tako smo pokazali, da za n = 2 velja G(2) = {id}, torej smo zopet pokazali, da jegrupa S3 resljiva.

Za konec si oglejmo se dva zanimiva rezultata, ki sta tesno povezana z resljivimigrupami.

Izrek 4.4. Vsaka podgrupa H resljive grupe G je resljiva.


Dokaz. Ker je grupa G resljiva, premore kompozicijsko vrsto

{e} = G0 < G1 < · · · < Gn−1 < Gn = G,

kjer so vsi kvocienti Gi+1/Gi abelski. Sedaj si oglejmo naslednjo vrsto:

{e} = (H ∩G0) < (H ∩G1) < · · · < (H ∩Gn−1) < (H ∩Gn) = H. (4.1)

Ce nam uspe pokazati, da je ta vrsta (po tem, ko odstranimo morebitne ponovitveistih grup) kompozicijska z abelskimi kvocienti, bomo pokazali, da je podgrupa Hresljiva. Na tem mestu uporabimo trditev 2.2. Tako velja H ∩ Gi = (H ∩ Gi+1) ∩Gi / H ∩Gi+1 za vsak i, ker je H ∩Gi+1 ≤ Gi+1 in je Gi edinka v Gi+1. Od tod podrugem izreku o izomorfizmu zapisemo

((H ∩Gi+1)Gi)/Gi∼= (H ∩Gi+1)/((H ∩Gi+1) ∩Gi) ∼= (H ∩Gi+1)/(H ∩Gi).

Pri tem je ((H ∩Gi+1)Gi)/Gi ≤ Gi+1/Gi. Ker je kvocient Gi+1/Gi abelski, so tudinjegove podgrupe (H ∩Gi+1)Gi/Gi abelske. Torej so kvocienti (H ∩Gi+1)/(H ∩Gi)abelski. Prav tako so ti kvocienti enostavni, ker so enostavni in komutativni kvoci-enti Gi+1/Gi. Tako je zapisana vrsta 4.1 kompozicijska vrsta z abelskimi kvocienti.S tem pa smo pokazali, da je podgrupa H resljiva.

Zgled. Oglejmo si uporabo pravkar dokazanega izreka. Izrek nam v obratni smeripove, da ce najdemo podgrupo grupe G, ki ni resljiva, potem tudi grupa G niresljiva. Tako si oglejmo grupo S6. V njej ni tezko najti podgrupe, ki je izomorfnagrupi S5. Taksne so vse podgrupe vseh permutacij iz S6, ki fiksirajo nek izbranielement. Lahko na primer vzamemo mnozico vseh permutacij iz S6, ki fiksirajo 6.Ze prej smo pokazali, da grupa S5 ni resljiva. Zato po zadnjem izreku tudi grupa S6

ni resljiva.Pokazali smo ze, da grupe Sn za n ≥ 5 niso resljive. Ob uporabi tega izreka pa je zadokaz potrebno samo dejstvo, da grupa S5 ni resljiva. Vsaka podgrupa grupe Sn, kisestoji iz vseh elementov, ki fiksirajo n − 5 izbranih elementov, je izomorfna grupiS5. Torej vsaka grupa Sn za n ≥ 5 vsebuje podgrupo, izomorfno grupi S5. Od todsledi, da je grupa Sn za n ≥ 5 neresljiva.

Izrek 4.5. Ce je H / G in sta H in G/H obe resljivi grupi, potem je resljiva tudigrupa G.

Dokaz. Ker je grupa G/H resljiva, lahko zapisemo kompozicijsko vrsto

{H} = K0 < K1 < · · · < Kn−1 < Kn = G/H,

kjer so vsi kvocienti Ki+1/Ki abelski. Sedaj lahko konstruiramo zaporedje podgrupmed grupama G in H, saj po posledici 2.10 vemo, kaksne oblike so podgrupe grupeG/H, kjer je H edinka v G. Najprej preoblikujmo kompozicijsko vrsto za grupo G/H:

H/H = K0/H < K1/H < · · · < Kn−1/H < Kn/H = G/H.

Od tod lahko zapisemo vrsto

H = K0 < K1 < · · · < Kn−1 < Kn = G,


kjer je Ki edinka v Ki+1 in so kvocienti Ki+1/Ki abelski in enostavni, saj po tretjem

izreku o izomorfizmu velja Ki+1/Ki∼= Ki+1/Ki. Torej smo nasli del kompozicijske

vrste grupe G. Vemo pa tudi, da je grupa H resljiva, torej premore kompozicijskovrsto s samimi abelskimi faktorji. Tako lahko “zlepimo” ti dve vrsti in dobimokompozicijsko vrsto z abelskimi kvocienti za grupo G. S tem pa je grupa G podefiniciji resljiva.

Zgled. Ugotavljanje, ali je dana grupa resljiva ali ne, je lahko pri grupah visjegareda precej zapleteno. V tem primeru je zelo uporaben zadnji izrek. Z njegovopomocjo lahko marsikaj povemo o resljivosti grup visjih redov. Vzemimo na primergrupo G, ki je reda 120. Denimo, da v tej grupi najdemo podgrupo edinko, ki jeizomorfna grupi S4. Ta podgrupa je zagotovo resljiva, saj smo ze pokazali, da jegrupa S4 resljiva. Tako smo nasli resljivo edinko v grupi G. Prav tako je resljivagrupa G/S4, saj je reda 5, torej je izomorfna grupi Z5, ki je prav tako ocitno resljiva.Tako lahko po izreku 4.5 zakljucimo, da je tudi grupa G resljiva.

Poglavje 5

Zakljucek

V diplomskem delu smo vpeljali in na konkretnih zgledih predstavili pojem resljivegrupe.

Zakljucimo lahko, da za razumevanje koncepta resljive grupe potrebujemo znanjeo dolocenih vrstah grup, kot so kompozicijske vrste, in nekaterih drugih konceptihs podrocja teorije grup. Videli smo, kako pokazati, kdaj je dana grupa resljivaoziroma neresljiva. Prav tako smo se prepricali, da lahko to storimo na razlicnenacine. V nekaterih primerih lahko dokazemo resljivost ali neresljivost vecjega delaali kar celotne druzine grup. Tako smo se prepricali, da so simetricne grupe od grupeS5 naprej vse neresljive.

Rezultati, zbrani v tem diplomskem delu, dajejo osnovo za nadaljevanje studijaresljivih grup. Tako bi bilo zanimivo razmisliti, kaj lahko trdimo o resljivosti grupdolocenih redov. Druga smer, v katero lahko nadaljujemo nase delo, je dokaz izrekao klasifikaciji koncnih komutativnih grup, ki smo ga srecali tudi v tem diplomskemdelu. Lahko pa svoje delo nadaljujemo tudi izven podrocja teorije grup. Resljivegrupe namrec igrajo pomembno vlogo na primer v teoriji polinomskih enacb. Izkazese, da dejstvo, da v splosnem ne obstaja formula za izracun korenov polinoma stopnjen, temelji na resljivosti ozirom neresljivosti ustreznih simetricnih grup Sn. Tako najto diplomsko delo sluzi kot pomoc pri studiju resljivih grup in tudi kot spodbuda zanadaljnje delo na tem podrocju.

24

Literatura

[1] Dummit, D. S., Foote, R. M. (2004). Abstract Algebra, 3rd ed. Hoboken, NewJersey: John Wiley and Sons, Inc.

[2] Fraleigh, J. B. (2002). A First Course In Abstract Algebra, 7th ed. Massachu-setts: Addison Wesley

[3] Sparl, P. (2013). Abstraktna algebra, Zapiski predavanj. Ljubljana.

[4] Vidav, I. (1989). Algebra. Ljubljana: DMFA.

[5] Hungerford, T. W. (1996). Algebra. New York: Springer.

[6] Malnic, A. (2013). Algebrske strukture, Zapiski predavanj. Ljubljana.

25

Izjava o avtorstvu diplomskeg dela

Spodaj podpisani Blaz Kos, z vpisno stevilko 01011317, izjavljam, da je diplomskodelo z naslovom

resljive grupe,

ki sem ga napisal pod mentorstvom doc. dr. Primoza Sparla, avtorsko delo in daso uporabljeni viri ter literatura korektno navedeni.

Podpis studenta:

Ljubljana, september 2015