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Chapitre I : Réactions Nucléaires

Pr. A. Sabir – Université Mohamed V - Faculté des sciences Rabat – SMP / S6 – 2015

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I) Généralités et Lois de conservation

1) Définitions et notations

2) Différents types de réactions

a) Réactions de diffusion

b) Réactions nucléaires

3) Lois de conservation

a) Energie totale

b) Quantité de mouvement

c) Moment angulaire total

d) Parité

II) Cinématique non relativiste des collision

1) Référentiel du Laboratoire

a) Energie de Réaction

b) Réaction En-doénergétique

2) Système du Centre de Masse

a) collision dans le SDM

b) Bilan énergétique

c) Réaction exo-énergétique

d) Réaction endo-énergétique

3) Relation entre les angles q et q*

Sommaire

III – Notion de Section Efficace

1) Section Efficace Absolue

a) Section eff microscopique

b) Section eff Macroscopique

c) Processus multiples

2) Section Efficace Différentielle

IV- Section efficace de diffusion

a) Diffusion Elastique

b) Diffusion Coulombienne

c) Section Différentielle Coulombienne

d) Seff et Transfert d’énergie

e) Seff et Transfert d’impulsion

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I) Généralités et Lois de conservation

1) Définitions et notations

On appelle réaction nucléaire le résultat de l’interaction entre une particule (

ou noyau) a , appelé projectile, et un noyau ( ou particule ) A appelé cible. Ce résultat

peut-être plusieurs particules ou noyaux appelés produits de réaction.

Le plus souvent on a deux produits de réaction :

a + A ------------> b + B (1) En général on note la réaction (1) par : A ( a , b ) B , ou A est la cible, a le projectile,

b le plus léger produit de réaction et B le noyau résiduel.

Exemple :

( première réaction nucléaire observée par Rutherford en 1919)

Remarque : Si l’énergie incidente est > 100 MeV, il peut y avoir plus de deux corps

dans la voie de sortie.

4 14 1 17 14 17

2 7 1 8He + N - - - - H + O ou N( , p) O

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2) Différents types de réactions a) Réactions de diffusion

Le produit de réaction est le même que le projectile . Le produit B est le même que la cible A ,

mais B peut être excité. Il y a donc deux catégories :

1) La diffusion élastique : A (a , a) A : 208Pb (,) 208Pb* 2) La diffusion inélastique : A ( a, a’) A* : 12C(p,p’) 12C*

b) Réactions nucléaires

Dans ces réactions au moins l’un des produits est différent de a et A.

Capture radiative de neutron : b est un photon ; 107Ag(n ,g )108Ag Réaction Photo-nucléaire : a est un photon ; 14N(g , p)13C Réaction de Transfert : des nucléons sont échangés

- « stripping » des nucléons sont arrachés au projectile : 12C(d , p) 13C

- « pick-up » des nucléons sont capturés par le projectile: 72Ge(p , t) 70Ge

Réaction de fission : n + 235U -----> 134Te + 98Zr + 4n Réaction de fusion : d + 3H -----> 4He + n (B résulte de l’addition A+ a )

Réaction de Spallation : Les produits de réaction sont nombreux 12C(p , p’) 12C*

p + 12C --------> 7Be + p + n + 4

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Quelques exemples de réactions : - Fusion : - Fission : - Capture radiative de neutron : - Production de neutron : - production de carbone 14 : - Diffusion élastique : A( a ; a ) A - Diffusion inélastique : A( a ; a ) A*

3 4

1 2 eH(d,n) H

14 14

7 6N(n,p) C

238 239

92 92U(n, ) Ug

5 U(n,f )

9 12

4 6Be( ,n) C

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3) Lois de conservation

Au cours d’une réaction nucléaire il y a conservation d’un certain nombre de grandeurs :

- le nombre de nucléons A et du nombre de charge Z,

- l’énergie totale

- la quantité de mouvement,

- le moment angulaire

- la parité totale des noyaux.

Remarque : Il n’y a en général pas conservation de la masse. Celle ci doit être

comptée comme énergie

a) Conservation de l’énergie totale dans A(a ; b ) B

- On suppose que la réaction a lieu cible au repos

- MA, MB , ma et mb les masses respectives des noyaux A, B, a et b

- Ta ,Tb et TB : énergies cinétiques, dans le système du laboratoire, de chaque particule.

- EB* est l’énergie d’excitation éventuelle du noyau résiduel B.

Le bilan énergétique de cette réaction s’écrit :

MAc² + mac² + Ta = MBc² + mbc² + Tb + TB + EB*

Remarque : l’énergie de liaison des électrons dans l’atome étant de quelques eV, on peut

considérer les masses comme étant les masses atomiques. 6

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7

On désigne par Q la « chaleur de réaction » :

Q = [(ma + MA) - (mb + MB)]c² Le bilan énergétique s’écrit :

Q = Tb + TB - Ta + EB* Si Q > 0 : il y a disparition de la masse qui se traduit par une apparition d’énergie :

la réaction est dite exothermique. La réaction libère de l’énergie

Si Q < 0 : de la masse doit être créée à partir de l’énergie cinétique Ta du projectile :

la réaction est endothermique . Il faut fournir de l’énergie pour que la réaction se

produise.

L’énergie seuil de réaction est l’énergie cinétique Ts minimale nécessaire dans l’état

initial pour produire une réaction endothermique.

Si Q = 0 : Diffusion élastique ou réaction nucléaire avec ∑ Mi = Cte

Pour que les particules b et B apparaissent avec une énergie cinétique, c’est à dire si ( Tb + TB) ≥ 0 , on

a la condition nécessaire (mais non suffisante) :

Q + Ta ≥ 0

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b) conservation de la quantité de mouvement

La conservation de l’impulsion s’écrit :

Dans le cas non-relativistes , l’impulsion p est donnée par :

Dans le cas relativiste :

====>

Pour des photons : E = h n , ; h : constante de Planck et n la fréquence du photon.

c) Conservation du moment angulaire total

Le moment angulaire total d’une voie comprend les moments angulaires I des particules en jeu ainsi que

leur moment angulaire relatif ℓ.

Exemple :

=====>

- ℓ et ℓp sont les moments orbitaux des paires de particules (α ;10B) et (p ;13C) autour de leur centre de

masse (CDM)

12

22

vp m. .v où (1 )

c

= = g g 2 EE mc p= .v

c²= g

hp

c=

n

a b Bp p p= p mV=

2 2 2 2 2. .= E p c m c

α + 10B → p + 13C

I : 0 3 ½ ½ p0 3

=

8

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- pour un système à deux particules (1) et (2) le moment angulaire orbital autour du CDM est :

v étant la vitesse relative des particules et r le vecteur position relative d’une particule par rapport à

l’autre. Sachant que pour les particules de faible énergie, ℓ ≈ 0

Les seules valeurs possibles pour ℓp sont donc : ℓp = 2 ,3 ,4

d) Conservation de la parité π La densité des nucléons est symétrique par rapport au centre du noyau. Les densités de probabilité de

présence le sont donc aussi :

On aura donc des fonctions d’onde sont donc soit paires soit impaires par rapport au centre du noyau.

1 2o o

1 2

m mm .v r avec m

m m= =

p p

p p p

3= 0 3

3 1 3 1 2,3,4

=

= = =

(r) ² ( r) ² (r)= (-r)=

9

- pour un système à deux particules (1) et (2) le moment angulaire orbital autour du CDM est :

v étant la vitesse relative des particules et r le vecteur position relative d’une particule par rapport à

l’autre. Sachant que pour les particules de faible énergie, ℓ ≈ 0

Les seules valeurs possibles pour ℓp sont donc : ℓp = 2 ,3 ,4

d) Conservation de la parité π La densité des nucléons est symétrique par rapport au centre du noyau. Les densités de probabilité de

présence le sont donc aussi :

On aura donc des fonctions d’onde sont donc soit paires soit impaires par rapport au centre du noyau.

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Pour un seul nucléon de vecteur position r1 la fonction d’onde s’écrit :

o R(r1) est la fonction radiale qui ne dépend que de la norme du vecteur position r)

o Les fonctions sont les harmoniques sphériques (HS)

Les HS sont telles que :

O La parité p de l’état d’une particule, décrite par une fonction d’onde ( r) est donc

imposée par le signe de ( -1)ℓ ; c’est à dire par la parité de ℓ. Par conséquent on posera

p = ( -1)ℓ

1 1 1 1

1 1

(r ) R(r ). (θ , )

( r ) R(r ).

=

= p q p

m

m1 1

Y

Y ( - , + )

mY

m m

1 1 1 1Y ( ; ) ( 1) Y ( ; )p q p = q

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11

Pour un noyau de N nucléons,

la Parité totale du noyau à l’état fondamental est :

[ ℓi : moment orbital de chaque nucléon du noyau ].

Dans une transition ( changement d’état )

qui fait passer d’un état initial de parité pi vers un état final de parité pf :

- Si (pi . pf) > 0 , il n’y a pas de changement de parité.

- Si (pi . pf) < 0 , la transition change la parité de l’état initial.

Les transitions provoquées par les interactions fortes conservent la parité p

i( 1)= p

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Application à la réaction 10B( , p )13C :

Pour la particule , Σ ℓ = 0 (Σ ℓ est le moment angulaire orbital total à l’intérieur du

noyau d’hélium) donc p = +

Les moments angulaires relatifs ℓ et ℓp vont introduire respectivement une

parité et .

Puisque ℓ = 0 alors = (+) . La parité du proton est ( + ) par convention

Pour 10B , la théorie du modèle en couche prévoit I = 3+. La conservation de la parité

s’écrit donc : (+).(+). = (+). (-). , soit = -1 . Ce qui exige que ℓp soit

impair : ℓp = 2n +1

Or les seules valeurs possibles pour ℓp sont donc : ℓp = 2 ,3 ,4

Donc la seule valeur possible est ℓp = 3.

p( 1)l

( 1) lp( 1)l

( 1) l

( 1) l p( 1)l

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II) Cinématique non relativiste des collisions 1) Collision dans le repère du laboratoire

a) Énergie de réaction 2(1, 3) 4

4

1 2

3

q T1

T3

T4

p1

y

x

- Conservation de l’impulsion p :

1 3 4p p p= En projetant sur les axes d’un repère (O,x,y) :

1 1 3 3 4 42m T 2m T cos 2m T cos= q

3 3 4 40 2m T sin 2m T sin= q

(1.1)

(1.2)

13

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- Conservation de l’énergie:

T1 + Q = T3 + T4 (1.3)

Quatre inconnues ( T3, T4, q, ) et 3 équations : l’une des inconnues (q par exemple ) est

arbitraire.

3 1

3 1 1 3 1 3

4 4 4

m m 2 Q=T (1+ ) T ( 1 ) m m TT cos

m m m q

(1.3) ═> Q = T3 + T4 – T1 ====>

1 1 3 3 1 3 1 3 4 41.4m T m T cos ² 2 m m TT cos m T cos ² ( ) =q q

3 3 4 41.5m T sin ² m T sin ² ( )=q

1 1 3 3 1 3 1 3 4 4(1.6)m T m T 2 m m TT cos m T =q

14

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Considérant cette équation comme une équation du second degré en √T3 , ses solutions sont :

Avec

Remarque :

- pour θ > π/2 ; < 0 : il n’y a qu’une seule solution vers l’arrière :

- pour θ < π/2 ; il y aura deux solutions au plus.

b) réactions endoénergétiques ( Q < 0 )

Si l’énergie cinétique T1 de la particule incidente est très faible (voisine de zéro) le coefficient tend vers zéro, b est négatif et ===> il n’y a pas de solution réelle pour T3 et la réaction n’a pas

lieu .

Pour que la réaction se produise il faut augmenter T1 au moins jusqu’à ce que ² + b = 0. C’est à

dire que :

3T ²= b

1 3 1 4 1 4 1

3 4 3 4

m m T m Q T (m m )cos et

m m m m

= =

q b

21 3 1 4 4 1 1

2

3 4 3 4

m m T m Q (m m )Tcos

(m m ) (m m )

=

q

15

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cette égalité définit la valeur minimale ( T1min ) de l’énergie incidente pour qu’il y ait émission des

particules (3) dans la direction q.

T1min varie avec l’angle d’émission q. La plus faible valeur de T1min appelée énergie seuil de

la réaction est réalisée pour q = 0 . Eseuil = Es = T1min(q = 0)

Remarque : Es est supérieure à (- Q) : pour produire la réaction il ne suffit pas d’apporter une

énergie égale à la chaleur de réaction.

A l’énergie seuil , c’est à dire pour T1 = Es ; (² + b ) = 0 quelque soit q T3 = ² la

particule (3) est émise avec une énergie cinétique T3 :

21 3 1 4 4 1 1

2

3 4 3 4

m m T m Q (m m )Tcos

(m m ) (m m )

=

q

3 41min

21 33 4 1

4

Q(m m )T ( )

m mm m m sin

m

=

q

q

3 4 3 4 1 2

3 4 1 3 4 1 2

(m m )Q A A A AEs Q ===> Es Q

(m m m ) A A A A

=

1 33 2

3 4

m mT Es

(m m )=

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2) Système de Centre de Masse

Le référentiel centre de masse ( CDM) est un système de coordonnées dont l’origine est le

barycentre des corpuscules en mouvement. Par définition la somme des quantités de mouvement des

particules est y est nulle.

a) Collision dans le CDM :

Dans le cas où la cible m2 est immobile, la vitesse du centre de masse G par rapport au

système du Laboratoire est donnée par :

m1 m2

G v1 v2

m 2V2’

m 1V1’

G

(a) avant collision (b) après collision

1G 1

1 2

mV V

m m=

17

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2 11 1 2 1

1 2 1 2

m mV ; V

m m m m= =

v v

2

2 1 21 1 2 12

1 2 1 2

m m mT ; T

m m (m m )

= =

T T

b) Bilan énergétique dans le SCDM

- Conservation de l’énergie : m1 +T1 + m2 + T2 = m3 + m4 + T3 + T4 (1)

- Conservation de l’impulsion: m1T1 = m2T2 et m3T3 = m4T4 (2) et (3)

Q = 33 3

4

m+ ε T + T

m

4

3 4

m (Q )

m m=

3T +

3

3 4

m (Q )

m m=

4T +

Q + = T3 + T4

21

1 2

m T

m m= =

1 2T +T

La notation en italique désignant les grandeurs dans le SCM on obtient les relations

suivantes entre les grandeurs SL et SCM.

Energie cinétique totale :

Q = 33 3

4

m+ ε T + T

m

(1) Q = ( m1 + m2 ) - ( m3 + m4) = T3 + T4 – (T1 +T2) soit Q + (T1 +T2) = T3 + T4

c’est à dire

(3)

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19

4

3 4

m Q

m m

3T

T3 et T4 sont les énergies cinétiques des particules après collision dans le système du centre de

masse

Remarque 1 : Dans le système du centre de masse l’énergie des particules est isotrope ( indépendante

de l’angle d’émission)

Remarque 2 : les particules (3) et (4) se partagent l’énergie totale disponible dans le rapport inverse de

leurs masses.

c) réactions exothermiques avec T1 faible :

T1 faible faible la relation (4) donne immédiatement

- Dans le système du laboratoire (SL) pour aboutir au même résultat il faut d’abord résoudre l’équation du

second degré en √T3 et ensuite tenir compte de la condition T1 faible

- l’énergie de la particule (3) est la même dans les deux référentiels. Ceci se comprend puisque T1 faible

implique que VG soit faible ; ce qui veut dire que le référentiel centre de masse et celui du laboratoire sont

pratiquement confondus.

Donc pour T1 faible, l’énergie cinétique de la particule émise est

quasi indépendante de la direction d’émission.

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sQ 0 0 et 0 0= = = = = =3 4 3 4 3 4T +T T T v v

21

1 2

mT

m m=

2 1 2s s

1 2 2

m (m m )T Q T Q

m m m

= =

2 1 33 3 G 3 12

1 2

1 m mT m V ou encore T T

2 (m m )= =

20

e) réactions endothermiques dans CDM

L’énergie cinétique totale incidente dans le SCDM est : .

Dans le SCDM on peut définir l’énergie cinétique totale correspondant au seuil de réaction par

s = - Q . Soit :

Cette expression est la même que celle obtenue dans le système du Laboratoire mais son établissement

est plus simple dans le SCDM.

Remarque 1:

Au seuil de la réaction :

ce qui signifie que dans SL les particules (3) et (4) ont la vitesse VG. Autrement dit, à l’énergie seuil :

Remarques 2 :

- dans le SL on a T1 + Q = T3 + T4 . On ne peut pas définir l’énergie seuil comme étant T1 = - Q

car cela donnerait T3 + T 4 = 0, c’est à dire T3 = 0 et T4 = 0 ( p3 = 0 et p4 = 0 ) ce qui ne permet pas la

conservation de la quantité de mouvement.

Page 21: Reaction Nucleaire Chap I Blanc Modif

- dans le SCDM rien n’interdit que T3 + T4 = 0, car dans ce référentiel

p3 + p4 = p1 + p2 = 0.

- On peut donc écrire que = - Q , et à l’énergie seuil les particules 3 et 4 sortent avec une vitesse

nulle.

Remarques 3 :

- Les précédents calculs ont été effectués en supposant que la particule 4 était produite dans son état

fondamental. Dans le cas où son énergie d’excitation est E4* il faut remplacer dans les relations

précédentes la chaleur de réaction Q par ( Q – E4*).

- le spectre des énergies est fonction de E4* par l’intermédiaire de ( Q – E4

* ) : la cinématique des

réactions nucléaires peut permettre de déterminer les niveaux excités virtuels de certains noyaux ; le

maximum de T3 correspondant au fondamental de la particule 4 (E4* = 0)

T3

(1)

(2)

(3)

Le pic (1) correspond à la valeur maximale de T3, donc au fondamental du noyau résiduel 4 . Les autres pics correspondent aux états excités 21

Page 22: Reaction Nucleaire Chap I Blanc Modif

3 3 Gv V= v

22

3n

3v*qθ

GV

axe du faisceau

3) Relation entre q et q *

On désigne par q l’angle d’émission de la particule (3) dans le laboratoire (SL) et par q * son

correspondant dans le système du centre de masse.

Compte tenu des relations cinématiques , le diagramme des vitesses se présente comme suit :

Axe du faisceau

Nous avons, à partir du schéma les relations suivantes entre les vitesses :

VG étant parallèle à v1 ( axe du faisceau ou direction de déplacement du centre de masse G).

Calculons tgq :

Page 23: Reaction Nucleaire Chap I Blanc Modif

En posant ====>

Remarque 1 :

Si le noyau cible est lourd par rapport au projectile, la vitesse VG du centre de masse est faible.

Par conséquent b est très petit devant cosq* et par suite tgq ≈ tgq : Tout se passe comme si les

référentiels, RL et CDML, étaient confondus

Remarque 2: Dans le cas d’une diffusion élastique :

• Si m2 ≈ m1 :

•Si m2 >>m1 : Soit b est négligeable devant cosq* et tgq ≈ tgq* ===> q = q ; Soit b ne l’est pas

et q* est voisin de p/2 ; tgq est alors très grand ce qui signifie que q ≈ p/2 et donc dans les deux cas

q = q*

Les angles de diffusion sont approximativement les mêmes dans les deux référentiels

23

3

G3 G

3

sin sintg

Vcos Vcos

q = =

* *

**

v θ θ

v θθ

v

1/ 2

G 1 3 1

3 4 1 2 2 4 1

V m m T

m (m m )Q m m T

b = =

v

sintg

cosq =

b

*

*

θ

θ

1

2

m

mb =

** *sin

tg tg* 2cos 1

2q q

q = =q

==> q = q

Page 24: Reaction Nucleaire Chap I Blanc Modif

24

III) Notion de section efficace

1) Section efficace absolue

En général dans une réaction nucléaire, pour une voie d’entrée donnée,

plusieurs voies de sortie sont possibles :

- La section efficace est la probabilité de réalisation d’une interaction donnée, compte tenu des

caractéristiques de la voie d’entrée et de la voie de sortie.

- Cette grandeur permet donc de calculer le nombre moyen d’interactions d’un type donné qui

serait observé si un grand nombre de particules incidentes est en jeu.

p + 14N

14N + p ( diffusion élastique du proton ) 14N* + p (diffusion inélastique du proton) 12C + ( réaction (p,) ) 15O + g ( capture du proton )

Page 25: Reaction Nucleaire Chap I Blanc Modif

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a) Section efficace microscopique (section efficace par noyau cible) - Soit un faisceau monocinétique de I particules incidentes par unité de temps.

- Soit une cible d’épaisseur Dx, (assez faible pour éviter les effets de masque), contenant N

noyaux par cm3.

- Soit n le nombre de particules légères produites par la réaction par unité de temps. C’est

donc le nombre de réactions qui ont eu lieu.

-La section efficace s est définie par : (L’unité de s est le cm²).

-En physique nucléaire on utilise un sous multiple qui est le « barn » : 1 barn = 10-24 cm²

La section efficace est homogène à une surface. C’est en quelque sorte la surface de choc

associée à chaque noyau, perpendiculairement à la direction du projectile : si celui ci traverse

cette surface, il y réaction.

I.N. xD=

ns

p

Surface apparente s

du noyau

surface réelle du noyau

Page 26: Reaction Nucleaire Chap I Blanc Modif

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b) Section efficace macroscopique

Si l’épaisseur de la cible est finie ( e ) chaque interaction éliminant une particule du faisceau ,

les noyaux de la face de sortie de la cible ne « voient » sont le même flux I de particules

incidentes

Soit I(x) le nombre de particules incidentes ayant traversé une épaisseur x sans interaction.

Dans la bande cible d’épaisseur dx on observera, d’après le résultat précédent, I(x).N.dx.s réactions, qui vont provoquer une diminution dI(x) du nombre de particules I(x).

On a évidemment : - dI(x) = I(x).N.s.dx Ce qui donne après intégration :

La quantité S = N.s est la section efficace macroscopique ( probabilité par unité de volume).

S est en cm-1 .

x

dx

p

N .x

oI(x) I e s=

Page 27: Reaction Nucleaire Chap I Blanc Modif

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c) Cas de processus multiples On désigne par F le flux incident, (nombre de particules incidentes traversant l’unité de

surface cible par unité de temps).

Si plusieurs processus indépendants « » sur des cibles d’espèces différentes

« i » contribuent à la baisse du flux incident F on a :

est la section efficace absolue partielle pour le processus « » sur les

particules « i » est la section efficace totale d’interaction sur les particules « i »

Dans le cas où les particules incidentes peuvent produire divers processus « » sur la même cible

(diffusion élastique, diffusion inélastique, réaction nucléaire ….) alors chaque processus sera

caractérisé par une section efficace partielle s :

iitotal

i

i,

d d.N .dx

F F= = s

F F

i

s

i i

tot

s = s

1 21 2

tot 1 2

n n n ; ; ..........

n.N n.N n.N

et .........

s = s = s =

s = s s s

Page 28: Reaction Nucleaire Chap I Blanc Modif

2) Section efficace différentielle Considérons un trièdre dont la cible occupe l’origine :

On s’intéresse aux particules émises à l’intérieur d’un petit angle solide autour d’une direction donnée

repérée par l’angle q et un angle azimutal .

Rappel : Soit K le cône sous lequel l’œil voit l’objet .

L’angle solide W sous lequel on voit un objet à partir d’un

point O est définit par : W = S / r² S surface découpée sur une sphère de centre O et de rayon r

r. W se mesure en stéradian ( Sr). L’espace entier correspond à un

angle solide de 4p

dW

,W q

o

S

θ

dW

r

θ

M

y

x

z

O

Page 29: Reaction Nucleaire Chap I Blanc Modif

2

t

0 0

1 1n '( , )d d n '( , )sin .d

I.Nc I.Nc

p p

s = q W = q q q

29

Soit dn le nombre d’évènements comptés dans l’angle solide dW.

Le nombre n’(q) d’événements par unité d’angle solide est :

où Nc = N .Dx désigne le nombre de cibles par unité de surface.

On pose , section efficace différentielle ( ou section efficace par

unité d’angle solide ) . Elle s’exprime en cm² par Stéradian.

La section efficace totale st s’obtient en sommant sur tout l’espace :

n’(q) = I. Nc. s(q,) En intégrant :

dn I.N. x.d dn '( , ) I.Nc.

d d d

D s sq = = =

W W W

d( , )

d

ss q =

W

Page 30: Reaction Nucleaire Chap I Blanc Modif

30

*

d d.d .d *

d dq q

s s W = W

W W

* *

*

d dSoit : .2 .sin .d 2 .sin .d

d dq q

s s p q q = p q q

W W

*

*

d d d(cos )

d d d(cos )q q

s s q =

W W q

IV) Sections efficaces de diffusion

a) diffusion élastique Soit une particule diffusée entre q et (q + dq) dans le système du laboratoire (SL). Les observateurs du CDM la voient diffusée entre q* et (q*+ dq*).

Les sections efficaces différentielles dans l’angle solide dW dans SL et dW* dans le CDM sont égales ( les probabilités ne dépendent pas du référentiel) :

Page 31: Reaction Nucleaire Chap I Blanc Modif

* * *

1/ 2 3/ 22 * 2 *

cos d(cos ) 1 cosOr cos

d(cos )1 2 cos 1 2 cos

b q q b qq = =

q b b q b b q

3/ 22 *

*

*

1 2 cosd d

d d 1 cosq q

b b qs s = W W b q

Cas particuliers importants : m1 << m2 ( b <<1 ) ======> m1 ≈ m2 (b ≈ 1 ) ======>

En effet :

En utilisant le fait que q = 2 q , on établit le résultat !!

*

d d

d dq q

s s

W W

*

d d4cos

d dq q

s s = q

W W

* *

1/ 2*

1/ 23/ 2 * 3/ 2 2d d d

.2 1 cos 2 . 2cosd d d 2q q q

s s s q = q = W W W

*

*d d ===> 4cos

d d 2q q

s s q =

W W

31

Page 32: Reaction Nucleaire Chap I Blanc Modif

32

*2 2 2

t .x .b cot g4 2

p qs = p =

*La section efficace de rétrodiffusion est telle que

2

pq

2

t rétrob

soit ( )4

s = p

*bx cotg

2 2

q=

b) Diffusion Coulombienne Pour la détermination de la section efficace totale on considère qu’à chaque cible est

associé un disque, de surface s : si l’interaction a lieu, la particule est passée à travers le disque.

La relation entre le paramètre d’impact x et q* ,l’angle de diffusion CDM, s’écrit : Toute particule de paramètre d’impact compris entre 0 et x est diffusée sous un angle q* compris entre 180° et q*. On assimile la Section Efficace de Diffusion Coulombienne sous un angle q* à la surface d’un disque de rayon x :

Page 33: Reaction Nucleaire Chap I Blanc Modif

33

Section efficace différentielle coulombienne :

Soit dn la nombre de particules diffusées entre un angle q* et (q* + dq*) , donc dans l’angle solide dW = 2psinqdq . Toutes les particules de paramètre d’impact compris entre x et x +dx seront diffusées dans un angle compris entre q* et (q* + dq*). Pour un seul noyau cible : C’est la section efficace de Rutherford

2

** *

2 2* *

* *

dn.x d 2 .xdx

I

b b 1 b 1x cot g dx d ; soit : dx d

2 2 4 4sin 2 sin 2

On observera que, quand x croit, décroit. Si dx est > 0 d est 0

s = p s = = p

q= = q = q

q q

q q <

* *

* * *

2

2 2

3 4

2 2 2

cos cos2 b d b²d d

8 d 8sin 2cos (sin )

q q

q q q

p ss = q =

W

2

4*2

1

16 (sin )=

W

d b

d q

s

Page 34: Reaction Nucleaire Chap I Blanc Modif

34

*

* *dtot d0

2 sin dp

s

W qs = p q q =

.

Remarques :

•La section efficace différentielle de Rutherford ( SER) diminue quand q* augmente : la diffusion aux petits angles est plus probable

• La SED est infinie pour q* = 0 et vaut b²/16 pour q* = p

•La section efficace totale de diffusion : obtenue en intégrant la SED sur l’angle solide 4 p :

• Ce résultat est du à la portée infinies des forces électrostatiques et traduit le fait que quelque soit la valeur du paramètre d’impact x, la particule incidente subi une diffusion, aussi faible soit-elle.

Page 35: Reaction Nucleaire Chap I Blanc Modif

35

* * 2 2 *2

2*2

2 2V T sin

2 2 m 2

= = =

=

p q q

p q2 2 * *

*

2

2

2V dT sin cos d

m 2 2 =

q qq

*

* * * *

2 2

2 22

2 2 2 23 4

2 2 2 2 2

m .cosdσ b b m 1

dT 8V 8Vsin sin cos sin= =

q

q q q q

p p

2 2 2

2

2 2 2

d b V 1

dT 2 m T=

s p

2

2

2 2 2 2

2 2

2 1 1 2 VV Vcos et T m V cos

m 2 2 m

= = =

Sachant que

qui représente la variation de l’énergie cinétique T2 en fonction de l’angle de diffusion ( c'est-à-dire le transfert d’énergie au cours de la diffusion).

Section efficace de diffusion en fonction du transfert d’énergie Dans le système du Laboratoire, le centre diffuseur, de masse m2, acquière une énergie cinétique T2 et une vitesse V2, telles que :

Page 36: Reaction Nucleaire Chap I Blanc Modif

36

122 2

i f i f i fq p p (p p 2p p cos )= = q

i f ip p q 2p sin2

q

22 2

2

4 42 0

d b 1 2m zZe 1

d 16 sin 4 qq

s

p

=

W

o Section efficace de diffusion en fonction du transfert d’impulsion

Au cours du choc élastique une partie de l’impulsion de la particule incidente est transmise à la particule cible. Le moment de transfert q est définit par : pi et pf désignent les impulsions initiale et finale de la particule incidente dans le système du laboratoire SL, et q son angle de diffusion.

Si on suppose que m1 << m2 , b <<1 et q ≈ q* et

La section efficace différentielle de diffusion en fonction de q s’écrit :