Download pdf - Rangkuman Materi UJIAN NASIONALbimbelprivatsurabaya.com/wp-content/uploads/2017/12/Rangkuman... · Rangkuman Materi UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2012/2013 Disusun Berdasarkan Topik

Rangkuman Materi

UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2012/2013

Disusun Berdasarkan Topik Materi Per Bab

Matematika SMP

Distributed by :

Pak Anang

Matematika

Downloaded from http://pak-anang.blogspot.com

http://pak-anang.blogspot.com/?spref=rangkumansmp

1 BilanganA. MACAM-MACAM BILANGAN1. Bilangan Asli

1, 2, 3 , 4, 5, 6, … , dan seterusnya.2. Bilangan Cacah

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7… , dan seterusnya.3. Bilangan Prima

Bilangan prima yaitu bilangan asli yang tepat mempunyai 2 faktor, yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. Yaitu: 2, 3, 5, 7, 11, … , dan seterusnya.

4. Bilangan Bulat …, –2, –1, 0, 1, 2, 3, … , dan seterusnya.

5. Bilangan Rasional

Bilangan rasional yaitu bilangan dalam bentuk ab

, dengan a dan b anggota bilangan bulat

dan b ≠ 0. Contoh: 14

à a = 1 dan b = 4.

B. SIFAT OPERASI PADA BILANGAN BULATMisalkan:

B = { … ,–3 ,–2 ,–1 ,0 ,1 ,2 ,3 , … }

adalah himpunan bilangan bulat.

ØSifat operasi penjumlahan pada bilangan bulat.a. Tertutup

Untuk a, b ∈ B maka a + b ∈ Bdengan “∈” dibaca “anggota himpunan”.

b. Komutatif a + b = b + a

c. Asosiatif

(a + b) + c = a + (b + c)

d. Identitas a + 0 = 0 + a = adengan “0” adalah unsur identitas.

e. Invers (lawan) a + (–a) = (–a) + a = 0dengan “–a” adalah invers dari a.

ØSifat operasi pengurangan pada bilangan bu-lat, yaitu tertutup.

a – b = a + (–b)

ØSifat operasi perkalian pada bilangan bulat.a. Tertutup

Untuk a, b ∈ B maka a × b ∈ B

b. Komutatif a × b = b × a

c. Asosiatif (a × b) × c = a × (b × c)

d. Identitas a × 1 = 1 × a = adengan “1” adalah elemen identitas terhadap perkalian.

2 Downloaded from http://pak-anang.blogspot.com


3

e. Invers

a × 1a

= 1a

× a = 1

dengan “ 1a

” adalah invers dari a terhadap perkalian.f. Distributif terhadap penjumlahan dan

pengurangan(a + b) × c = (a × c) + (b × c)(a – b) × c = (a × c) – (b × c)

ØSifat operasi pembagian pada bilangan bulat.

a : b = a × 1b

Sifat yang berlaku adalah sifat distributif ter-hadap penjumlahan dan pengurangan, yaitu:

(a + b) : c = (a : c) + (b : c)(a – b) : c = (a : c) – (b : c)

C. KPK DAN FPB1. KPK (Kelipatan Persekutuan Terkecil)2. FPB (Faktor Persekutuan Terbesar)

Contoh:Tentukan KPK dan FPB dari 12 dan 40!Faktorisasi dari bilangan 12 dan 40 dapat di-tuliskan:

212 2 2 3 2 3= × × = × dan 340 2 2 2 5 2 5= × × × = ×

l KPK dari 12 dan 40: 23 × 3 × 5 = 120.l FPB dari 12 dan 40: 22 = 4.

D. BILANGAN PECAHAN

Contoh: Bilangan 34

, dengan 3 (tiga) sebagai

pembilang dan 4 (empat) sebagai penyebut.

1. Macam-macam Bentuk Pecahan

a. Pecahan biasa. Contoh: 1 2 4, , 4 3 9

, dll.

b. Pecahan campuran. Contoh: 1 42 , 44 5

.

c. Pecahan desimal. Contoh: 0,5; 0,75; dll.d. Persen (%) atau per seratus. Contoh:

25% , 47% ,75%, dll.e. Permil (0/00) atau per seribu. Contoh:

50/00, 200/00, 860 0/00, dll.

2. Operasi pada Bilangan Pecahana. Penjumlahan

l Jika penyebut dua pecahan sama:a b a b , c 0c c c

++ = ≠

Contoh: 1 2 1 2 37 7 7 7

++ = =

l Jika penyebut dua pecahan berbeda:Cara 1: menggunakan perkalian silang.

( ) ( )a d b ca c ; b,d 0b d b d

× + ×+ = ≠

×



4

Cara 2: menyamakan penyebutnya.Contoh:1 5 ....8 12

+ =

Cara 1: menggunakan perkalian silang.1 5 1 12 5 8 12 40 52 138 12 8 12 96 96 24

× + × ++ = = = =×

Cara 2: menyamakan penyebutnya. KPK dari 8 dan 12 adalah 24.

1 5 3 10 138 12 24 24

++ = =

Sifat penjumlahan bilangan pecahan sama seperti sifat penjumlahan pada bilangan bulat.l Komutatif

a c c a b d d b

+ = +

l Asosiatif

a c e a c eb d f b d f

+ + = + + b. Pengurangan

l Jika penyebut kedua pecahan sama

a b a b , c 0c c c

-- = ≠

l Jika penyebut dua pecahan berbeda Cara 1: menggunakan perkalian si-

lang.

( ) ( )a d b ca c ; b,d 0

b d b d× - ×

- = ≠×

Cara 2: menyamakan penyebutnya.

Sifat pengurangan bilangan pecahan sama seperti sifat pengurangan pada bilangan bulat.

c. Perkaliana c a c = ; b,d 0b d b d

×× ≠×

d. Pembagian

a c a : c : ; b, c, d 0b d b : d

= ≠

atau

a c a d : ; b, c, d 0b d b c

×= ≠×

3. Mengurutkan Pecahanl Menyamakan penyebut

Semakin besar nilai pembilangnya, maka pecahan tersebut akan bernilai semakin besar dan berlaku sebaliknya.

l Menyamakan pembilang Semakin kecil nilai penyebutnya, maka pecahan tersebut bernilai semakin besar dan berlaku sebaliknya.

Contoh:

Perhatikan kelompok pecahan berikut. 15 15 15 15, , ,43 51 42 49

Jika diurut dari pecahan terkecil ke pecahan terbesar menjadi:15 15 15 15, , ,51 49 43 42

.



5

E. PEMANGKATAN( )

( )

m m m

m n m n

mm n

n

m m

m

nm mn

a b a b

a a aa aa

a ab b

a a

+

-

× = ×

× =

=

=

=

Catatan:a0 = 1, 0a = 0 00 = tidak terdefinisikan

( )m ma a- = , m genap,

( )m ma a- = - , m ganjil,

mm

1aa

- =

F. PENARIKAN AKAR

( )

p p p

pp

p

qp q p

cc

a b = a b

a a=b b

a = a

a = a

× ×

G. BENTUK BAKU1. Bilangan lebih dari 10.

na 10×2. Bilangan antara 0 dan 1.

na 10-×

dengan 1 a 10≤ ≤ , n bilangan asli.Contoh:l 3,750 = 3,75× 103

l 0,00432 = 4,32× 10–3

2 Bentuk Aljabar

A. PENGERTIANØVariabel adalah suatu besaran matematika

yang nilainya dapat berubah-ubah.ØKoefisien adalah suatu nilai yang dilengkapi

dengan variabel.ØKonstanta adalah suatu nilai yang tetap tidak

bergantung pada variabel.

Contoh:1. a3 = a × a × a pqr = p × q × r

2. 2 2x y 2xy 10xy 15+ + + +Bentuk aljabar tersebut terdiri dari:l variabel: x dan y,l konstanta: 15,l koefisien dari x2 adalah 1, koefisien dari

2xy adalah 2, dan koefisien dari 10xy adalah 10,

l derajat bentuk aljabar adalah derajat yang tebesar yaitu 2,

l suku-suku sejenis adalah suku-suku yang mempunyai variabel sama dan de-rajat sama, yaitu: 2xy dan 10xy, x2 dan y2 bukan merupakan suku sejenis karena variabelnya berbeda.



6

B. OPERASI BENTUK ALJABAR1. Penjumlahan dan Pengurangan Suku Sejenis

Bentuk aljabar dapat dijumlahkan atau di-kurangkan hanya jika suku-sukunya sejenis.

Contoh:l 4x + 2x = (4 + 2)x = 6xl a2 + b2 + 12ab – 10ab + 3b2

Pada bentuk aljabar tersebut, suku-suku yang sejenis adalah b2 dan 3b2. Selain itu juga 12ab dan 10ab. Jadi

( ) ( )

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

a b 12ab 10ab 3ba b 3b 12ab 10aba 1 3 b 12 10 ab

a 4b 2ab

+ + - += + + + -= + + + -

= + +

2. Perkalian dan Pembagiana. Perkalian

Operasi perkalian bentuk aljabar dapat dilakukan pada suku yang tidak sejenis.Contoh: 4p× 4q× 4pq = (4× 4× 4)× (p× q× p× q) = 64p2q2

b. PembagianContoh:

22 a b a a ba b : ab a

ab a b× ×= = =

×3. Pemangkatan

Sifat-sifat pemangkatan bilangan bulat juga berlaku pada pemangkatan bentuk aljabar.

Contoh: (2ab)2 = 2ab × 2ab = (2 × 2) × (ab × ab) = 4(ab)2 = 4a2b2

ØPemangkatan bentuk aljabar dengan bentuk a + b. Contoh:(a + b)2 = (a + b)(a + b) = (a + b)a + (a + b)b = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2

ØPemangkatan bentuk aljabar dengan bentuk a – b. Contoh: (a – b)2 = (a – b)(a – b) = a2 – 2ab + b2

Segitiga Pascal.

1+1

1 2 2+1

3 11+3 3 3

11 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

dan seterusnya

+

++

Penggunaannya adalah sebagai berikut. Perpangkatan bentuk aljabar (a + b)n. l (a + b)0 = 1 (gunakan baris 1 pola bilangan Pascal) l (a + b)1 = a + b (gunakan baris 2 pola bilangan Pascal)



7

l (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (gunakan baris 3 pola bilangan Pascal)l (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (gunakan baris 4 pola bilangan Pascal)

Pemangkatan bentuk aljabar (a – b)n juga mengikuti pola segitiga Pascal. Bedanya, tan-da koefisiennya selalu berganti dari (+) untuk suku ganjil dan (–) untuk suku genap. (a – b)0 = 1(a – b)1 = a – b (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

C. FPB DAN KPK BENTUK ALJABARContoh:Tentukan KPK dan FPB dari 12a3b2c2 dan 6a2c3.Jawab:12a3b2c2 = 22 × 3 × a3 × b2 × c2

6a2c3 = 2 × 3 × a2 × c3

l KPK = 22 × 3 × a3 × b2 × c3 = 12a3b2c3

l FPB Faktor-faktor yang sama: 22 dengan 2, 3 den-gan 3, a3 dengan a2, c2 dengan c3. Selanjut-nya diambil faktor-faktor yang berderajat ter-kecil, kemudian dikalikan sehingga diperoleh:FPB = 2 × 3 × a2 × c2 = 6a2c2

D. PECAHAN BENTUK ALJABAR Bentuk aljabar juga dapat berupa pecahan.

Contoh: a2b

, 2xy z+

, 35x x

xy xz++

, dan sebagainya.

Operasi pada pecahan bentuk aljabar.1. Penjumlahan dan Pengurangan

Contoh:

l a a 2a a 3a+ = + =2 4 4 4 4

l 2 2a 2 a 2b a 2b= =

b a ab ab ab-- -

2. Perkalian dan Pembagian Perkalian pecahan bentuk aljabar:

a c ac=b d bd

×

Pembagian pecahan bentuk aljabar:a c a d ad: = =b d b c bc

×

Contoh:

l 2

3y x 3xy=z 2z 2z

×

l p 2 p qr pqr: = =s qr s 2 2s

×

3. Pemangkatan Pemangkatan pecahan bentuk aljabar adalah perkalian pecahan bentuk aljabar tersebut dengan dirinya sendiri sebanyak n kali.

Contoh: 2 2

2

y y y y= =3z 3z 3z 9z

×



8

E. PEMFAKTORAN1. Bentuk distributif

ax + ay = a(x + y)ax – ay = a(x – y)

dengan a bisa koefisien atau variabel.Contoh:l 5x + 10y = 5(x + 2y), a berbentuk koefisien.l xy – xz = x(y – z), x berbentuk variabel.

2. Selisih kuadrata2 – b2 = (a + b)(a – b)

Contoh:x2 – 9 = (x + 3)(x – 3)

3. Kuadrat sempurnaa2 + 2ab + b2 = (a + b)2

a2 – 2ab + b2 = (a – b)2

Contoh:l x2 + 6x + 9 = (x + 3)2

l x2 – 6x + 9 = (x – 3)2

4. Bentuk: x2 + bx + c = (x + p)(x + q),dengan p + q = b dan pq = cContoh:x2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)

5. Pemfaktoran ax2 + bx + c dengan a ≠ 1Contoh:2x2 + 3x + 1 bila difaktorkan menjadi (2x + 1)(x + 1).Cara pemfaktorannya sebagai berikut.

Ubah 3x menjadi penjumlahan dua suku, misalnya x + 2x.2x2 + 3x + 1 = 2x2 + x + 2x + 1 = (2x2 + x) + (2x + 1) = x(2x + 1) + (2x + 1) (sifat distributif) = (x + 1)(2x + 1)

F. PENYEDERHANAAN PECAHAN BENTUK ALJABARContoh:

l 2

2 a b a a ba b : ab aab a b

× ×= = =×

,

dilakukan operasi pembagian.

l 3 2

24x 8x 4x(1 2x ) 1 2x4x 4x+ += = + ,

dilakukan operasi pemfaktoran dan pembagian.

l 2x 3x 2 (x 1)(x 2) x 2(x 1) (x 1)- + - -= = -

- -,

dilakukan operasi pemfaktoran dan pembagian.



9

3 Persamaan dan Pertidak-samaan Satu Variabel

A. PERSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL (PLSV)ØPersamaan linear adalah suatu persa-

maan yang variabel/peubahnya berpangkat (berderajat) paling tinggi 1 (satu).

ØPersamaan linear satu variabel artinya suatu persamaan yang variabel/ peubahnya ber-pangkat (berderajat) paling tinggi 1 (satu) dan hanya mempunyai satu variabel.

Bentuk Umum Persamaan Linear Satu Variabelax + b = c

Dengan:l a 0≠ dengan x disebut variabel/peubah,l semua suku di sebelah kiri tanda “=” disebut

ruas kiri,l semua suku di sebelah kanan tanda “=”

disebut ruas kanan.

2. Operasi Persamaan Linear Satu VariabelØKedua ruas dalam satu persamaan dapat di-

tambah (+), dikurang (–), dikali (× ), dibagi (:) dengan bilangan yang sama.

ØSetiap perpindahan ruas dari ruas kiri ke ruas kanan atau sebaliknya selalu diikuti dengan perubahan tanda bilangan (dari positif (+) menjadi negatif (–) dan sebaliknya).

Untuk mencari penyelesaian dari PLSV dapat di-lakukan dengan cara berikut.1. Menambah atau mengurangi kedua ruas

persamaan dengan bilangan yang sama.Contoh:x – 2 = 4⇔ x – 2 + 2 = 4 + 2 (kedua ruas ditambah 2)⇔ x = 6

2. Mengalikan atau membagi kedua ruas persa-maan dengan bilangan yang sama.Contoh:3x = 9⇔ 3x : 3 = 9 : 3 (kedua ruas dibagi 3)⇔ x = 3

3. Gabungan dari operasi 1 dan 2.Contoh:3x – 3 = 7 + x⇔ 3x – 3 + 3 = 7 + x + 3 (kedua ruas ditambah 3)⇔ 3x = 10 + x⇔ 3x – x = 10 + x – x (kedua ruas dikurangi x)⇔ 2x = 10⇔ 2x : 2 = 10 : 2 (kedua ruas dibagi 2)⇔ x = 5Jadi, x = 5 adalah penyelesaian dari 3x – 3 = 7 + x.



10

B. PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL (PtLSV)

Pertidaksamaan linear satu variabel artinya suatu pertidaksamaan yang variabel/pe-ubahnya berpangkat (berderajat) paling tinggi 1 (satu) dan hanya mempunyai satu variabel.Contoh: x + 3 > 4; x 3x 1≥ -Untuk mencari penyelesaian dari pertidak-sa-maan linear satu variabel (PtSLV) dapat dilaku-kan dengan cara:1. menambah atau mengurangi kedua ruas

dengan bilangan yang sama;2. mengalikan atau membagi kedua ruas den-

gan bilangan yang sama dengan catatan jika dikalikan atau dibagi bilangan negatif, tanda pertidaksamaannya dibalik.

Contoh:x 3x 4≥ +⇔ x 3x 3x 3x 4- ≥ - + (kedua ruas dikurangi 3x)⇔ 2x 4- ≥

⇔1 12x 42 2

- × ≤ ×- -

(kedua ruas dikali 12-

, akibatnya tanda pertidaksamaan-nya dibalik)

⇔ x 2≤ -Jadi, x 2≤ - adalah penyelesaian dari x 3x 4≥ + .

4 Aritmetika Sosial

A. HARGA PEMBELIAN, HARGA PENJUALAN, UNTUNG, DAN RUGI

1. Harga pembelian yaitu harga yang didapat-kan oleh seorang pedagang ketika membeli barang-barang dagangan.

2. Harga penjualan yaitu harga yang ditentu-kan oleh seorang pedagang ketika menjual barang-barang dagangan ke pembeli.

3. Untung (Laba) terjadi jika harga penjualan lebih besar (lebih tinggi) daripada pembelian.

4. Rugi terjadi jika harga penjualan lebih kecil (lebih rendah) daripada harga pembelian.

UNTUNGSyarat: harga penjualan > harga pembelianUntung = harga penjualan – harga pembelian

untung% untung = 100%harga pembelian

×

RUGISyarat: harga penjualan < harga pembelianRugi = harga pembelian – harga penjualan

rugi% rugi = 100%harga pembelian

×



11

HARGA PENJUALAN DAN HARGA PEMBELIANJika untung:Harga penjualan = harga pembelian + untungHarga pembelian = harga penjualan – untung

Jika rugi:Harga penjualan = harga pembelian – rugiHarga pembelian = harga penjualan + rugi

B. RABAT (DISKON), BRUTO, TARA, DAN NETTOØRabat atau diskon adalah potongan harga.

Diskon = harga semula – harga yang dibayardiskon% diskon = 100%

harga semula×

ØBruto adalah berat kotor barang.ØNetto adalah berat bersih barang.ØTara adalah berat kemasan.

Bruto = netto + taraNetto = bruto – taraTara = bruto – netto

tara%Tara = 100% bruto

×

Contoh:Dalam sebuah peti kemasan mangga terdapat keterangan: Bruto = 100 kg dan tara = 5 %. Di-peroleh:Bruto = 100 kgTara = 5% . 100 kg = 5 kgNetto = Bruto - tara = 100 - 5 = 95 kg

C. BUNGA TABUNGAN (BUNGA BANK)Misalnya:Besarnya uang yang ditabung adalah M, Besar bunga yang diberi bank adalah p%, Lama menabung adalah t tahun.Diperoleh:

Bunga selama 1 tahun = p% M×

Bunga selama t tahun = ( )p% M t× ×

Bunga selama n bulan = n p% M12

× ×

Jumlah tabungan seluruhnya = M + bungaPerhitungan suku bunga dalam persen

bunga dalam setahunSuku bunga = 100%M

×

Contoh:

Seorang nasabah menabung pada sebuah bank sebesar Rp1.500.000,00 dengan suku bunga 12% per tahun. Besarnya tabungan setelah 6 bu-lan adalah ….Jawab:

6Bunga = 12% Rp1.500.000,0012

= 6% Rp1.500.000,00 = Rp90.000,00

× ×

×

Tabungan setelah 6 bulan = tabungan awal + bunga= Rp1.500.000,00 + Rp90.000,00= Rp1.590.000,00



12

5 Perbandingan

A. SKALA

ukuran pada gambar (peta)Skala = ukuran sebenarnya

Skala 1 : n artinya 1 cm pada peta mewakili n cm pada ukuran sebenarnyaContoh:Skala 1 : 100.000 artinya 1 cm mewakili 100.000 cm atau 1 km jarak sebenarnya.

B. PERBANDINGAN SENILAI DAN BERBALIK NILAI1. Perbandingan Senilai

naik turun

naik turun

a aab b b

= =

Contoh:Banyak liter BBM dan jarak yang ditempuh.

2. Perbandingan Berbalik Nilaia dan b dikatakan berbanding berbalik nilai jika saat nilai a naik maka nilai b turun, begitu juga sebaliknya jika a turun maka nilai b naik.Contoh:Banyak pekerja proyek dan lama waktu mengerjakan proyek.

Contoh:1. Sebuah lapangan sepak bola berbentuk persegi

panjang berukuran panjang 100 m dan lebar 80 m. Jika dibuat model dengan skala 1 : 500 maka luas lapangan bola pada model adalah ….Jawab:Panjang sebenarnya = 100 m = 10.000 cmLebar sebenarnya = 80 m = 8.000 cm

gambar gambar

sebenarnya sebenarnya

pSkala = =

p

model sebenarnyap skala p

1 10.000 cm 20 cm500

= ×

= × =

model sebenarnyaskala

1 8.000 cm 16 cm500

= ×

= × =

Ukuran pada model adalah panjang = 20 cm dan lebar = 16 cm.Luas = panjang × lebar = 20 cm × 16 cm = 320 cm2.

2. Untuk menjahit 5 karung beras diperlukan benang sepanjang 25 m, maka untuk menjahit 120 karung beras diperlukan benang sepanjang ….Jawab:Misalkan panjang benang yang diperlukan untuk menjahit 120 karung beras adalah A. Maka:

5 25120 A

5A 25 1205A 3.000A 600

=

⇔ = ×⇔ =⇔ =



13

6 HimpunanØHimpunan adalah kumpulan benda-benda

atau objek yang mempunyai ciri yang sama.ØNama himpunan ditulis dengan nama huruf

kapital dan anggotanya ditulis di antara ku-rung kurawal ({ }).

A. ANGGOTA HIMPUNANØAnggota himpunan dilambangkan dengan

“ ” dan jika bukan anggota dilambangkan dengan “ “.

ØBanyaknya anggota himpunan A dinotasikan dengan n(A).

Contoh:1. Himpunan bilangan bulat, ditulis: B = {bilangan bulat} = {… , –2, –1, 0, 1, 2, …}2. Himpunan bilangan ganjil kurang dari 10, ditulis:

A = {bilangan ganjil kurang dari 10} atau A = {1, 3, 5, 7, 9}, maka 1 A, 3 A, 5 A, 7 A, 9 A sedang-kan 2 A, 4 A.Banyaknya anggota himpunan A adalah n(A) = 5.

B. MENYATAKAN SUATU HIMPUNANContoh: A adalah himpunan bilangan genap kurang dari 15. Ditulis:

1. Menuliskan sifat anggotanya.A = {bilangan genap kurang dari 15}

2. Memberikan notasi pembentuk himpunan.

A = {x | x < 15, x ∈ bilangan genap}Dibaca: “Himpunan A beranggotakan x, den-gan x kurang dari 15 dan x anggota himpu-nan bilangan genap”.

3. Menyatakan semua anggotanya. A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}

C. MACAM-MACAM HIMPUNAN1. Himpunan Kosong

Himpunan kosong adalah himpunan yang ti-dak mempunyai anggota. Himpunan kosong dilambangkan dengan { } atau .Contoh: K himpunan nama hari yang diawali huruf z. Karena tidak ada nama hari yang diawali huruf z maka K = { }.

2. Himpunan TerhinggaHimpunan terhingga adalah himpunan yang banyak anggotanya terhingga atau terbatas.Contoh:L himpunan bilangan asli kurang dari 5. Ditu-lis: L = {1, 2, 3, 4}

3. Himpunan Tak TerhinggaHimpunan tak terhingga adalah himpunan yang banyak anggotanya tak terhingga atau tak terbatas.Contoh: Himpunan bilangan asli. Ditulis: A = {1, 2, 3, 4, …}



14

4. Himpunan SemestaHimpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua anggota himpunan (objek) yang sedang dibicarakan. Notasi “S”.Contoh:M = {apel, mangga, pisang, stroberi, anggur}Himpunan semesta yang mungkin dari him-punan di atas adalah: S = {nama buah}.

5. Himpunan BagianHimpunan bagian adalah himpunan yang merupakan anggota dari himpunan keselu-ruhan. Himpunan bagian dilambangkan den-gan “ ”.ØHimpunan kosong merupakan himpunan

bagian dari setiap himpunan.ØSetiap himpunan merupakan himpunan

bagian dari himpunan itu sendiri.Diketahui himpunan A dengan banyak ang-gota n(A) maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari himpunan itu adalah

2n(A)

Contoh:

Diketahui himpunan A = {1, 3, 5}Banyak himpunan bagian yang mungkin dari himpunan A adalah

2n(A) = 23 = 8Himpunan bagian dari A adalah A, ∅ , {1}, {3}, {5}, {1, 3}, {1, 5}, {3, 5}.

D. DIAGRAM VENNDiagram Venn adalah diagram yang digunakan untuk menyatakan beberapa himpunan atau hubungan antarhimpunan. Contoh:Buatlah diagram Venn dari himpunan-himpunan berikut!A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {2, 3, 5, 7}S = {bilangan asli kurang dari 8}Dari soal, diperoleh S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

S BA

741

6

235

E. HUBUNGAN ANTARHIMPUNAN1. Himpunan Ekuivalen

Himpunan A ekuivalen dengan himpunan B jika n(A) = n(B).Contoh: A = {1, 2, 3, 4}; B = {5, 6, 7, 8}Karena n(A) = n(B) maka himpunan A ekuiva-len dengan himpunan B.

2. Himpunan SamaHimpunan A dikatakan sama dengan himpu-nan B jika anggota himpunan A sama den-gan anggota himpunan B atau sebaliknya. Jika himpunan A sama dengan B maka dapat ditulis A = B.Contoh: A = {a, d, i} dan B = {i, d, a} A = B.



15

G. IRISAN DAN GABUNGAN DUA HIMPUNANØIrisan dua himpunan A dan B adalah himpu-

nan yang anggota-anggotanya merupakan anggota himpunan A sekaligus B.

A B = {x | x A dan x B}∈ ∈

ØGabungan dua himpunan A dan B adalah himpunan yang anggota-anggotanya me-rupakan anggota himpunan A saja atau ang-gota B saja.

A B = {x | x A atau x B}∈ ∈

Irisan dan gabungan dua himpunan dalam dia-gram Venn.

S S

A ∩ B A ∪ B

B A BA

Contoh: Diketahui: A = {bilangan genap kurang dari 11} dan B = {faktor dari 10}.Tentukan irisan dan gabungan himpunan A dan B!Dari soal diketahui:A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {1, 2, 5, 10}

S S

A ∩ B A ∪ B

B AA B

1

5

210

468

1

5

210

468

A ∩ B = {2, 10} dan A ∪ B = {1, 2, 4, 5, 6, 8, 10}

H. SIFAT-SIFAT OPERASI HIMPUNAN1. Komutatif

A B = B AA B = B A

2. Asosiatif

( ) ( )( ) ( )A B C = A B C

A B C = A B C

3. Distributif

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

A B C A B A C

A B C A B A C

=

=

4. Dalil De Morgan

( )( )

c c c

c c c

A B = A B

A B = A B

Contoh:

1. Dalam suatu kelas terdapat 40 anak, 24 anak gemar menari, 21 anak gemar menyanyi, dan 10 anak gemar keduanya. Banyaknya anak yang tidak gemar keduanya adalah .…Jawab:Misalkan:S = {anak yang ada di kelas}à n(S) = 40A = {anak yang gemar menari}à n(A) = 24B = {anak yang gemar menyanyi} à n(B) = 21A ∩ B = {anak yang gemar menari dan me-nyanyi} à n(A ∩ B) = 10



16

A ∪ B = {anak yang gemar menari atau me-nyanyi}(A ∪ B)c = {anak yang tidak gemar menari atau menyanyi}Dengan menggunakan rumus diperoleh:n(A B) = n(A) + n(B) - n(A B) = 24 + 21 - 10 = 35n(S) = n(A B) + n(A B)c

⇔ 40 = 35 + n(A B)c

⇔ n(A B)c = 5Jadi, banyaknya anak yang tidak gemar menari atau menyanyi adalah 5 anak.Dalam diagram Venn dapat digambarkan

S BA

11

5

1014

2. Diketahui himpunan berikut. A = {b, u, n, d, a} B = {i, b, u, n, d, a} C = {lima bilangan asli yang pertama}D = {bilangan cacah kurang dari 6} Jawab:A = {b, u, n, d, a} à n(A) = 5B = {i, b, u, n, d, a} à n(B) = 6C = {lima bilangan asli yang pertama} = {1, 2, 3, 4, 5 } à n(C) = 5D = {bilangan cacah kurang dari 6} = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } à n(C) = 6Karena n(A) = n(C) = 5 dan n(B) = n(D) = 6, maka pasangan himpunan yang ekuivalen adalah A dengan C dan B dengan D.

7 Sudut dan Garis

A. GarisGaris adalah deretan/kumpulan titik-titik yang banyaknya tak terhingga, yang saling bersebe-lah-an dan memanjang ke dua arah.

1. Dua Garis BerpotonganGaris g dan berpotongan di titik P.

P

g

l

2. Dua Garis SejajarGaris g dan tidak berpotongan. g

l

3. Dua Garis BerimpitGaris g dan mempunyai lebih dari satu titik potong.

g l

B. SudutSudut adalah daerah yang dibatasi oleh dua buah penggalan garis lurus yang bertemu pada satu titik pangkal.



17

Unsur dan nama sudut

A

O B

Keterangan:O = titik pangkal sudutOA, OB = kaki sudut∠ AOB = sudut

1. Jenis Sudut Berdasarkan Besar Sudut

Jenis sudut

Gambar Keterangan

Sudut lancip A

O B

Sudut yang besarnya antara 0o dan 90o.

Sudut siku-siku

A

O B

Sudut yang besarnya 90o.

Sudut tumpul A

O B

Sudut yang besarnya lebih dari 90o.

Sudut lurus

A O B

Sudut yang besarnya 180o.

2. Hubungan Antarsudut

ØDua sudut berpelurus (bersuplemen) 180oα β+ =

Aαβ

O BSudut dan berpelurus dan jumlahnya 180o.

ØDua sudut berpenyiku (berkomplemen)

αβ

A

O B

Sudut dan berpenyiku dan jumlahnya 90o.

90oα β+ =

Contoh:

Perhatikan gambar di bawah. Besar ∠ABD adalah ....

A B C

5xo7xo

D

Jawab: ∠ABD + ∠BCD = 180° 7x + 5x = 180 12x = 180 x = 15Besar ∠ABD adalah 7 . 15° = 105°.



18

ØDua sudut bertolak belakangDua sudut dan besarnya sama yaitu =

O

DA

C B

Berdasarkan gambar di atas diperoleh:n ∠AOC bertolak belakang dengan ∠BOD,

sehingga ∠AOC = ∠BOD.n ∠AOD bertolak belakang dengan ∠BOC,

sehingga ∠AOD = ∠BOC.

ØSudut-sudut yang terbentuk oleh dua garis sejajar dipotong sebuah garis

g

h

l

1 2

3 4

1 2

3 4

A

B

n Dua sudut sehadap mempunyai besar sudut yang sama. ∠A1 dengan ∠B1 ∠A2 dengan ∠B2∠A3 dengan ∠B3 ∠A4 dengan ∠B4

∠A1 = ∠B1

∠A2 = ∠B2

∠A3 = ∠B3

∠A4 = ∠B4

n Dua sudut dalam berseberangan mem-punyai besar sudut yang sama.∠A4 dengan ∠B1 ∠A3 dengan ∠B2,

4 1A B∠ = ∠ 3 2A B∠ = ∠

n Dua sudut luar berseberangan mem-punyai besar sudut yang sama.∠A2 dengan ∠B3 ∠A1 dengan ∠B4

2 3A B∠ = ∠ 1 4A B∠ = ∠

n Dua sudut dalam sepihak jumlah sudutnya adalah 180o.∠A4 dengan ∠B2 ∠A3 dengan ∠B1

4 2 180oA B∠ + ∠ = 3 1 180oA B∠ + ∠ =

n Dua sudut luar sepihak besar jumlah sudut-nya adalah 180o.∠A1 dengan ∠B3 ∠A2 dengan ∠B4

1 3 180oA B∠ + ∠ = 2 4 180oA B∠ + ∠ =

Contoh:

Perhatikan gambar di bawah ini!

g

h

l

1 2

3 4

1 2

3 4

A

B

Jika besar ∠A1 = 105o maka besar sudut ∠B4 adalah ….

Jawab:Sudut ∠A1 dan ∠B4 merupakan sudut luar berse-berangan, maka ∠A4 = ∠A1 = 105o



19

8 Relasi dan Fungsi

A. RELASIRelasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan anggota himpunan A dengan ang-gota himpunan B.Menyatakan Relasi1. Diagram panah

Contoh:Diketahui A = {1, 2, 3} dan B = {1, 3, 6}. Maka relasi yaitu “faktor dari” dari himpunan A ke himpunan B dapat dinyatakan dengan dia-gram panah sebagai berikut:

1

2

3

1

3

6

2. Diagram Cartesius

1

1

3

2 3

6Contoh: Diketahui A = {1, 2, 3} dan B = {1, 3, 6}. Relasi“faktor dari” dari himpunan A ke himpunan B dapat din-yatakan dalam diagram Cartesius disamping.

3. Himpunan pasangan berurutanContoh:Diketahui A = {1, 2, 3} dan B = {1, 3, 6}. Relasi “faktor dari” dari himpunan A ke himpunan B dapat dinyatakan dalam himpunan pasangan berurutan sebagai berikut.{(1, 1), (1, 3), (1, 6), (2, 6), (3, 3), (3, 6)}

B. FUNGSI (PEMETAAN)1. Pengertian Fungsi (Pemetaan)

Fungsi (pemetaan) dari A ke B adalah suatu relasi yang lebih khusus yang menghubung-kan setiap anggota A dengan tepat satu ang-gota B.Contoh:

A B

Pada contoh, setiap anggota di A dipasang-kan dengan tepat satu anggota di B.

2. Domain, Kodomain, dan RangeØdomain adalah daerah asal atau daerah

definisi fungsi itu,Økodomain adalah daerah kawan,Ørange atau daerah hasil adalah himpun-

an bagian dari daerah kawan atau kodo-main.



20

Contoh:

A

11

48

9

2

3

B

- Domain: A = {1, 2, 3}- Kodomain: B = {1, 4, 8, 9}- Range: {1, 4, 9}

3. Banyak Fungsi (Pemetaan)Diketahui banyak anggota himpunan A adalah n(A) dan banyak anggota himpunan B adalah n(B), maka:

ØBanyak fungsi dari A ke B = n(B)n(A)

ØBanyak fungsi dari B ke A = n(A)n(B)

Contoh:Diketahui A = {1, 2, 3} dan B = {A, B, C, D}, maka n(A) = 3 dan n(B) = 4.a. Banyak fungsi yang mungkin dari A ke B

= n(B)n(A) = 43 = 64.b. Banyak fungsi yang mungkin dari B ke A

= n(A)n(B) = 34 = 81.

4. Notasi dan Rumus Fungsi Linear a. Notasi fungsi linear

Fungsi linear dinotasikan denganf : x ax + b

x variabel.Keterangan:f = nama fungsix = anggota daerah asalax + b = bayangan dari x

b. Rumus fungsi linearf(x) = ax + b

x variabel dan f(x) nilai fungsi.Contoh:f(x) = 2x + 1Nilai fungsi untuk x = 1 adalah f(1) = (2× 1) + 1 = 3

c. GrafikfungsilinearContoh:Diketahui fungsi f(x) = 2x + 1.Gambarkan fungsi linear tersebut ke dalam bentuk grafik!Diambil nilai x = 0 dan x = 1.l Untuk x = 0 à y = 2× 0 + 1 = 1. Maka,

diperoleh koordinat (0, 1)l Untuk x = 1 à y = 2× 1 + 1 = 3. Maka,

diperoleh koordinat (1, 3)

(0, 1)

1

(1, 3)

y

x

Contoh:

Diketahui pemetaan f : x à 2 – 3x. Jika daerah asalnya {–2, –1, 0, 1, 2} maka daerah hasilnya adalah ….Jawab:



21

Diketahui pemetaan f : x à 2 – 3x, dengan dae-rah asal {–2, –1, 0, 1, 2}.Maka diperoleh:f : –2 à 2 – (3× (–2)) = 2 + 6 = 8f : –1 à 2 – (3× (–1)) = 2 + 3 = 5f : 0 à 2 – (3× 0) = 2 – 0 = 2f : 1 à 2 – (3× 1) = 2 – 3 = –1f : 2 à 2 – (3× 2) = 2 – 6 = –4Daerah hasilnya adalah {–4, –1, 2, 5, 8}.

C. KORESPONDENSI SATU-SATU1. Pengertian Korespondensi Satu-satu

Himpunan A dikatakan berkorespondensi satu-satu dengan himpunan B jika setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B dan setiap anggota B dipasang-kan dengan tepat satu anggota A. Dengan demikian, pada korespondensi satu-satu dari himpunan A ke himpunan B, banyak anggota himpunan A dan himpunan B harus sama.

2. Banyak Korespondensi Satu-satuDiketahui n(A) = n(B) = n. Maka banyaknya korespondensi satu-satu yang mungkin an-tara himpunan A dan B adalah

1 2 3 ... (n 1) n× × × × - ×

Contoh:Diketahui himpunan A = {1, 2, 3} dan B = {a, b, c}. Banyaknya korespondensi satu-satu yang mungkin untuk himpunan A dan B adalah 1 2 3× × = 6.

9 Persamaan Garis Lurus

Bentuk umum persamaan garis lurus:y = mx + c

Keterangan:m = gradienc = konstanta

Persamaan garis dapat dinyatakan dalam berb-agai bentuk dan variabel.Contoh: y = 3x + 1 dan a = b + 2

A. GRADIENGradien (m) adalah nilai yang menyatakan ke-miringan suatu garis. 1. Garis melalui dua titik A(x1, y1) dan B(x2, y2)

O

A(x1, y1)

x

y

B(x2, y2)

2 1 1 2

2 1 1 2

y y y ym

x x x x- -

= =- -



22

2. Gradien dua garis sejajarGaris g sejajar dengan garis h. Jika gradien garis h adalah mh, maka gradien garis g adalah

g hm m=

3. Gradien dua garis tegak lurus

g hm m 1× = - atau gh

1mm-=

B. RUMUS PERSAMAAN GARIS1. Persamaan garis yang melaui titik A(x1, y1)

dan bergradien m.

O

A(x1, y1)

gradien m

x

y

( )1 1y y m x x- = -

2. Persamaan garis yang melaui titik A(x1, y1) dan B(x2, y2).

O

A(x1, y1)

x

y

B(x2, y2)

1 2 1

1 2 1

y y y yx x x x

- -=

- -

Contoh:

1. Gradien garis yang tegak lurus dengan garis h : 3x – 6y + 4 = 0 adalah ….Jawab:

1 22 3

3x 6y 4 06y 3x 4

y x

- + =⇔ - = - -⇔ = +

Gradien garis h adalah mh = ½.Misalkan garis yang ditanyakan adalah garis g, maka gradien garis g adalah

g 12h

1 1m 2m

= - = - = - .

2. Persamaan garis yang melalui titik A(2, 3) dan se-jajar dengan garis 3x + 5y = 15 adalah .…Jawab:3x + 5y = 5 ⇔ y = 3

5- x + 3

Gradien garis tersebut adalah m = 35

- .

Karena garis yang dicari sejajar dengan garis 3x +

5y = 15, maka gradiennya juga m = 35

- .

Karena melalui titik A(2, 3), maka persamaan garisnya adalah

( )

( )1 1y y m x x

3y 3 x 25

- = -

⇔ - = - -

3 6y 3 x5 5

5y 15 3x 63x 5y 21

⇔ - = - +

⇔ - = - +⇔ + =



23

10 Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

ØPersamaan linear dua variabel adalah suatu persamaan yang variabelnya berpangkat (berderajat) paling tinggi 1 (satu) dan mem-punyai dua variabel.

Contoh: 3x + 2y =3ØSistem persamaan linear dengan dua varia-

bel adalah suatu sistem persamaan yang terdiri atas dua persamaan linear di mana masing-masing persamaan mempunyai dua variabel dan sistem tersebut mempunyai te-pat satu penyelesaian.

Bentuk Umum Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

1 1 1

2 2 2

a x + b y = ca x + b y = c

dengan x dan y adalah variabel.

Menentukan Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua VariabelContoh:Carilah penyelesaian dari persamaan:

y = 2x2x + y = 8

Untuk menentukan penyelesaian dari sistem pers-

amaan linear dua variabel tersebut dapat dilaku-kan dengan metode berikut.

1. SubstitusiSubstitusikan persamaan y = 2x ke dalam persamaan 2x + y = 8, diperoleh:2x + y = 8 ⇒ 2x + 2x = 8 4x = 8 x = 2

Substitusikan x = 2 ke persamaan y = 2x, diperoleh:x = 2 à y = 2x = 2 × 2 = 4Jadi, penyelesaiannya adalah x = 2 dan y = 4.

2. EliminasiUntuk menentukan nilai y maka x dieliminasi dengan cara:x + y = 3 ×2 2x + 2y = 62x − y = 0 ×1 2x − y = 0 3y = 6 y = 2

−

Untuk menentukan nilai x maka y dieliminasi dengan cara:x + y = 3 2x − y = 0 3x = 3 ⇔ x = 1

+

Jadi, penyelesaiannya adalah x = 1 dan y = 2.



24

3. Grafikl Menentukan titik potong garis x – y = 1 dengan sumbu x dan y. Jika x = 0 maka y = –1. Jika y = 0 maka x = 1. Jadi, persamaan garis x – y = 1 melalui

titik (0, –1) dan (1, 0).l Menentukan titik potong garis x + 2y = 4 dengan sumbu x dan y. Jika x = 0 maka y = 2. Jika y = 0 maka x = 4. Jadi persamaan garis x + 2y = 4 melalui

(0, 2) dan (4, 0).Gambar grafiknya:

y

x

x − y = 1

(4, 0)(0, 0)

(0, −1)

(2, 1)(0, 2)

Berdasarkan gambar grafik tersebut, titik potong garis x – y = 1 dan x + 2y = 4 adalah titik (2, 1). Jadi penyelesaiannya adalah x = 2 dan y = 1.

Contoh:

Harga 2 kg salak dan 3 kg jeruk adalah Rp32.000,00, sedangkan harga 3 kg salak dan 2 kg jeruk adalah Rp33.000,00. Harga 1 kg salak dan 5 kg jeruk adalah .... Jawab: Harga 2 kg salak dan 3 kg jeruk adalah Rp32.000,00, sedangkan harga 3 kg salak dan 2 kg jeruk adalah Rp33.000,00. Dari permasalahan di atas, dapat diperoleh sistem persamaan linear berikut.Misalkan: harga 1 kg salak dilambangkan s; harga 1 kg jeruk dilambangkan j. Diperoleh:2s + 3j = 32.000 |× 3| 6s + 9j = 96.0003s + 2j = 33.000 |× 2| 6s + 4j = 66.000 – 5j = 30.000 j = 6.000Bila harga 1 kg jeruk adalah Rp6.000,00 maka:2s + 3 . Rp6.000,00 = Rp32.000,002s + Rp18.000,00 = Rp32.000,00 2s = Rp14.000,00 s = Rp7.000,00Harga 1 kg salak dan 5 kg jeruk adalah = Rp7.000,00 + 5 . Rp6.000,00 = Rp37.000,00.



25

11 Segitiga dan Teorema Pythagoras

Segitiga adalah bangun yang dibatasi oleh tiga ruas garis dan mempunyai tiga titik sudut.Perhatikan gambar berikut!

A B

C

b

c

a

Keterangan:Ø Gambar di atas merupakan segitiga ABC yang dibatasi

oleh ruas garis AB = c, BC = a, AC = b dan mempunyai tiga titik sudut, yaitu sudut A ( A∠ ), sudut B ( B∠ ), dan sudut C ( C∠ ).

Ø Lambang sebuah segitiga biasanya dinotasikan dengan ∆ . Jadi, segitiga ABC dapat ditulis dengan ABC∆ .

Ø Jumlah sudut-sudut suatu segitiga adalah 180o. Jadi, oA B C 180∠ + ∠ + ∠ = .

A. JENIS-JENIS SEGITIGA1. Jenis Segitiga Ditinjau dari Panjang Sisi-

sisinya

Segitiga sama kaki

A B

C

D

Panjang AC = BC. A∠ = B∠ . Mempunyai satu

simetri lipat yaitu CD, tetapi tidak mempunyai simetri putar.

Segitiga sama sisi

A BD

EF

C

Panjang AB = BC = AC.

A∠ = B∠ = C∠ = 60o.

Mempunyai tiga simetri lipat yaitu AE, BF, dan CD, serta mempunyai tiga simetri putar.

Segitiga sembarang

A B

C Panjang AB ≠

BC ≠ AC. A∠ ≠ B∠ ≠

C∠ .

2. Jenis Segitiga Ditinjau dari Besar Sudutnyaa. Segitiga siku-siku, segitiga yang besar

salah satu sudutnya 90o.b. Segitiga lancip, segitiga yang besar tiap-

tiap sudutnya kurang dari 90o.c. Segitiga tumpul, segitiga yang besar

salah satu sudutnya lebih dari 90o.

B. MACAM-MACAM GARIS PADA SEGITIGAGaris AE, BF, dan CD merupakan garis tinggi segitiga ABC. Titik tinggi ABC∆ di samping adalah titik O.

A BD

EF

C

Garis AE, BF, dan CD merupakan garis bagi segitiga ABC.Titik bagi ABC∆ di samping adalah titik O.

A B

C

F

D

E



26

Garis AE, BF, dan CD merupakan garis berat segitiga ABC. Titik berat ABC∆ di samping adalah titik O.

A B

C

F

D

E

Garis TE, TF, dan TD merupakan garis sumbu segitiga ABC. Titik sumbu

ABC∆ di samping adalah titik T.

A B

C

FT

D

E

C. KELILING DAN LUAS SEGITIGAPerhatikan gambar di bawah ini!

A B

C

a

t

A B

C

a

t

A B

C

a

tt = tinggia = alas

Keliling segitiga ABC: K = AB + BC + ACLuas segitiga ABC:

1 1L = alas tinggi = a t2 2

× × × ×

( )( )( )L = s s a s b s c- - - ,

dengan 1s = (a + b + c)2

.

D. TEOREMA PYTHAGORASTeorema Pythagoras:Pada segitiga siku-siku, berlaku kuadrat sisi mir-ing sama dengan jumlah kuadrat kedua sisi pe-nyikunya.Perhatikan gambar berikut!

A B

CTeorema Pythagoras untuk segitiga ABC dirumuskan dengan:

( ) ( ) ( )2 2 2BC AB AC= +

1. Tripel PythagorasTripel Pythagoras adalah tiga pasang bilang-an yang memenuhi teorema Pythagoras.Misalkan untuk segitiga siku-siku ABC di atas, tripel Pythagorasnya adalah

Tripel tersebut berlaku juga untuk kelipatan-nya. Misalnya: 6, 8, 10 merupakan kelipatan dari 3, 4, 5. Maka 6, 8, 10 juga merupakan tripel Pythagoras

AB AC BC3 4 55 12 137 24 258 15 1711 60 6120 21 29

2. Jenis Segitiga Berdasarkan Ukuran Sisi-

sisinya2 2 2a b c= + ABC∆ segitiga siku-siku.2 2 2a b c< + ABC∆ segitiga lancip.2 2 2a b c> + ABC∆ segitiga tumpul.



27

Contoh:

1. Sebuah segitiga panjang alasnya adalah 6 cm dan tingginya 10 cm. Luas segitiga itu adalah … cm2.Jawab:Diketahui: alas = 6 cm, tinggi = 10 cmLuas segitiga:

21 1L = alas tinggi = 6 10 = 30 cm2 2

× × × ×

2. Sebuah segitiga ABC siku-siku di A. Jika AB = 12 cm, dan AC = 16 cm maka panjang BC adalah ….Jawab:

A B

C

12 cm

16 cm

Diketahui segitiga ABC siku-siku di A, dengan panjang AB = 12 cm dan AC = 16 cm.

Dengan menggunakan teorema Pythagoras di-peroleh panjang BC, yaitu:( ) ( ) ( )2 2 2 2 2BC AB AC 12 16

144 256 400

BC 400 20 cm

= + = +

= + =

= =

3. Pada segitiga ABC diketahui panjang sisi-sisi a : b : c = 5 : 7 : 8. Jika keliling segitiga ABC 200 cm maka panjang sisi AC adalah … cm.Jawab:Misalkan: a = 5x, b = 7x, c = 8x a + b + c = 200 5x + 7x + 8x = 200 20x = 200 x = 10 cmPanjang AC = b = 7x = 7.10 cm = 70 cm.

12 Bangun Datar

A. PERSEGI

A B

CD

O

Persegi adalah bangun datar yang dibatasi oleh 4 buah sisi yang panjangnya sama.

Keterangan:Ø Mempunyai 4 buah sisi yang sama panjang:

AB = BC = CD = DA.Ø Mempunyai 2 pasang sisi yang saling sejajar:

AB sejajar CD dan AD sejajar BC.Ø Mempunyai 4 buah sudut siku-siku (besarnya 90o). ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 90o

Ø Mempunyai 4 sumbu simetri lipat dan 4 simetri putar.Ø Mempunyai 2 garis diagonal yang saling berpotongan

tegak lurus yang sama panjangnya. AC = BD dan AC BD.Ø Mempunyai 8 cara untuk dipasangkan menempati

bingkainya.

Keliling dan Luas PersegiMisalkan AB = BC = CD = AD = sisi = s

Keliling persegi = 4sLuas persegi = s2

B. PERSEGI PANJANGPersegi panjang adalah bangun datar yang diba-tasi oleh 4 buah sisi dengan sisi-sisi yang berha-



28

dapan sama panjang dan sejajar, serta sisi-sisi yang bersebelahan saling tegak lurus.

A B

CD

Keterangan:Ø Mempunyai 4 buah sisi dengan sisi-sisi yang berhadap-

an sama panjang: AB = CD dan AD = BC.Ø Mempunyai 2 pasang sisi yang saling sejajar: AB sejajar

CD dan AD sejajar BC.Ø Mempunyai 4 buah sudut siku-siku (besarnya 90o). ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 90o.Ø Mempunyai 2 buah sumbu simetri lipat dan 2 buah

simetri putar.Ø Mempunyai 2 garis diagonal yang saling berpotongan yang

panjangnya sama: AC = BD.Ø Mempunyai 4 cara untuk dipasangkan menempati

bingkainya.

Keliling dan Luas Persegi PanjangAB = CD = panjang = p dan BC = AD = lebar =

Keliling = 2 × (panjang + lebar) = ( )2 p× +

Luas = panjang × lebar = p×

C. JAJARGENJANGJajargenjang adalah bangun datar yang dibatasi oleh 4 buah sisi, dengan sisi-sisi yang saling ber-hadapan sama panjang dan sejajar. Sisi yang sa-ling bersebelahan tidak saling tegak lurus.

A BO

CD

Keterangan:Ø Mempunyai 4 buah sisi dengan sisi-sisi yang berhadapan

sama panjang: AB = CD dan AD = BC.Ø Mempunyai 2 pasang sisi yang saling sejajar: AB sejajar

CD dan AD sejajar BC.Ø Mempunyai 4 buah sudut dengan susut-sudut yang

berhadapan sama besar: ∠A = ∠C dan ∠B = ∠D. Ø Jumlah dua sudut yang berdekatan adalah 180o.

∠A + ∠B = ∠B + ∠C = ∠C + ∠D = ∠A + ∠D = 180o.Ø Mempunyai 2 buah simetri putar tetapi tidak mempunyai

simetri lipat.Ø Mempunyai 2 garis diagonal yang saling berpotongan di

titik O yang panjangnya tidak sama. Diagonal-diagonal tersebut saling membagi sama panjang.AO = OC dan OB = OD.

Ø Mempunyai 2 cara untuk dipasangkan menempati bingkainya.

Keliling dan Luas JajargenjangAB = CD = panjang = p dan BC = AD = lebar = .

A B

t

CD

Keliling = 2 × (panjang + lebar) = ( )2 AB AD× +

Luas = panjang × tinggi = AB × t



29

D. BELAH KETUPAT

A

B

C

D

O

Belah ketupat adalah ba-ngun datar yang dibatasi oleh 4 buah sisi yang pan-jangnya sama, sisi-sisi yang saling berhadapan sa-ling sejajar, dan sisi-sisinya tidak saling tegak lurus.

Keterangan:Ø Mempunyai 4 buah sisi yang sama panjang:

AB = BC = CD = DA.Ø Mempunyai dua pasang sisi yang saling sejajar: AB

sejajar CD dan AD sejajar BC.Ø Mempunyai 4 buah sudut dengan susut-sudut yang

berhadapan sama besar: ∠A = ∠C dan ∠B = ∠D. Ø Jumlah dua sudut yang berdekatan adalah 180o.

∠A + ∠B = ∠B + ∠C = ∠C + ∠D = ∠A + ∠D = 180o.Ø Mempunyai 2 sumbu simetri lipat dan 2 simetri putar.Ø Mempunyai 2 garis diagonal yang saling berpotongan

tegak lurus (AC BD), tetapi panjangnya berbeda. Diagonal-diagonal tersebut saling membagi sama panjang. AO = OC dan OB = OD.

Ø Mempunyai empat cara untuk dipasangkan menempati bingkainya.

Keliling dan Luas Belah KetupatMisalkan AB = BC = CD = AD = s

Keliling = AB + BC + CD + AD = 4s

Luas = 12

d1 d2

Dengan:d1 = diagonal 1 = ACd2 = diagonal 2 = BD

E. LAYANG-LAYANG

A

BD

C

d2

d1

Layang-layang adalah ba-ngun datar segi empat yang dibentuk oleh dua segitiga sama kaki dengan alas yang sama panjang dan berimpit.

Keterangan:Ø Mempunyai dua pasang sisi yang sama panjang:

AB = AD dan BC = CD.Ø Dibentuk oleh 2 buah segitiga sama kaki, yaitu:

segitiga ABD dan segitiga CDB.Ø Mempunyai 4 buah sudut yang sepasang sudutnya

sama besar (∠B = ∠D) dan sepasang lainnya tidak.Ø Mempunyai 1 buah sumbu simetri lipat, yaitu AC.Ø Mempunyai 2 garis diagonal yang saling berpotongan

tegak lurus (AC BD), tetapi panjangnya berbeda. Diagonal AC membagi diagonal BD sama panjang (OB = OD).

Ø Mempunyai 2 cara untuk dipasangkan menempati bingkainya.

Keliling dan Luas Layang-layangAB = AD = sisi pendek; BC = CD = sisi panjang

Keliling = ( )2 AB BC× +

Luas = 12

d1 d2

Dengan:d1 = diagonal 1 = ACd2 = diagonal 2 = BD



30

F. TRAPESIUMTrapesium adalah segi empat dengan sepasang sisi yang berhadapan sejajar.

A B

t

CD

Jenis-jenis Trapesiuma. Trapesium siku-siku b. Trapesium sama kaki c. Trapesium sembarang Keliling dan Luas Trapesium

Keliling = AB + BC + CD + AD

Luas = ( )1 AB CD t2

× + ×

AB dan CD merupakan dua sisi sejajar.

Contoh:

1. Jika luas luas ja-jargenjang 96 cm2 maka DE : DF adalah ….

A BE

Ft

CD

12 cm

8 cm

Jawab:Luas jajargenjang ABCD = AB× DE … (i)Luas jajargenjang ABCD = BC× DF … (ii)

Dengan menggunakan (i) diperoleh:Luas jajargenjang ABCD = AB× DE

96 12 DE96DE 8 cm12

⇔ = ×

⇔ = =

Dengan menggunakan (ii) diperoleh:Luas jajargenjang ABCD = BC× DF

96 9 DF96 32DF cm9 3

⇔ = ×

⇔ = =

DE 8 332DF 43

= =

2. Diketahui belah ketupat ABCD dengan pan-jang diagonalnya masing-masing adalah AC = 24 cm dan BD = 18 cm. Keliling belah ketu-pat tersebut adalah ….Jawab:Salah satu sifat belah ketupat adalah keem-pat sisinya sama panjang. Maka:

A

B

C

D O24 c

m18 cm

9 cm

AB = BC = CD = AD.2 2

2 2

AB AO BO

12 9

144 81

225 15 cm

= +

= +

= +

= =Keliling belah ketupat= AB + BC + CD + AD= 15 cm + 15 cm + 15 cm + 15 cm = 60 cm.



31

13 Kesebangunan dan Kekong-ruenan Bangun Datar

A. KESEBANGUNAN BANGUN DATAR 1. Dua Bangun Datar yang Sebangun

Syarat:a. Panjang sisi-sisi yang bersesuaian pada

bangun-bangun tersebut memiliki per-bandingan yang senilai.

b. Sudut-sudut yang bersesuaian pada ba-ngun-bangun tersebut sama besar.

Contoh:

A PB Q

CR

DS

3 cm

6 cm 12 cm

6 cm

Perhatikan bangun persegi panjang ABCD dan bangun persegi panjang PQRS. Ukuran persegi panjang ABCD dan per-

segi panjang PQRS. n Perbandingan panjang kedua ban-

gun di atas adalah:

6 1

12 2AB = =PQ

n Perbandingan lebar kedua bangun di atas adalah:

3 16 2

AD = =PS

Besar sudut-sudut pada persegi panjang ABCD dan persegi panjang PQRS. Kedua bangun tersebut merupakan ban-gun persegi panjang, sehingga setiap sudutnya merupakan sudut siku-siku. Di-peroleh:

∠A = ∠P; ∠C = ∠R; ∠B = ∠Q; ∠D = ∠SDengan demikian, karena kedua syarat di-pernuhi, maka persegi panjang ABCD se-bangun dengan persegi panjang PQRS.

2. Dua Segitiga yang Sebangun Syarat:a. Panjang sisi-sisi yang bersesuaian memiliki

perbandingan yang sama. Syarat ini dising-kat s.s.s (sisi-sisi-sisi).

b. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Syarat ini disingkat sd.sd.sd (sudut-sudut-sudut).

c. Dua sisi yang bersesuaian memiliki perband-ingan yang sama dan sudut bersesuaian yang diapit sama besar. Syarat ini disingkat s.sd.s (sisi-sudut-sisi).

Kesebangunan dinotasikan dengan “ ~ “.

a. b.

c.



32

Rumus:

A B

C

D E

CD DE EC= =AC AB BC

Contoh:

1. Perhatikan gambar di bawah.

A C

B

BD = 4 cm dan AD = 3 cm. Panjang BC adalah ....Pembahasan: Perhatikan gambar berikut.BD = 4 cm dan AD = 3 cm.

3 49 4

2,25

= ×

= ×==

AD CD BD

CDCD

CDPanjang BC adalah BD + CD = 4 cm + 2,25 cm = 6,25 cm.

2. Diketahui panjang CD = 12 cm, AD = 6 cm, dan AB = 9 cm. Tentukan panjang DE.

A B

C

D E

Jawab:

1212 6 9

12 918

6

=

=+

×=

=

CD DEAC AB

DE

DE

DE cm

Jadi, panjang DE adalah 6 cm.

B. KEKONGRUENAN BANGUN DATAR Dua benda atau lebih yang memiliki bentuk dan ukuran yang sama disebut kongruen. Kekongru-enan dinotasikan dengan lambang “ “.

1. Dua Bangun Datar yang Kongruen Dua bangun atau lebih dikatakan kongruen jika bangun-bangun tersebut memiliki bentuk dan ukuran yang sama serta sudut-sudut yang ber-sesuaian sama besar.

Contoh:

BA

C

75o 65o

D

PQ

S105o x

R

Tentukan besar sudut R.Perhatikan bangun trapesium ABCD dengan bangun trapesium PQRS.



33

Jawab:Agar dapat menentukan besar sudut R, terlebih dahulu kita buktikan bangun trapesium ABCD kongruen dengan bangun trapesium PQRS. Bukti:Berdasarkan gambar diperoleh keterangan bah-wa panjang:

AB = PQ BC = PS AD = QR CD = RS

Panjang sisi-sisi pada bangun trapesium ABCD ternyata sama panjang atau bersesuaian dengan panjang sisi-sisi bangun trapesium PQRS. Jadi, terbukti jika bangun trapesium ABCD kong-ruen dengan bangun trapesium PQRS, atau:Trapesium ABCD trapesium PQRS. Berdasarkan sifat-sifat kekongruenan yang ber-laku maka:∠A = ∠Q = 75°∠B = ∠P = 65° ∠C = ∠S = 105° ∠D = ∠R Pada trapesium berlaku jumlah besar keempat sudutnya adalah 360°. Dengan demikian, ∠D = 360° – (105° + 65° + 75°) = 360° – 245° = 115°Jadi, besar sudut ∠D adalah 115°.

2. Dua Segitiga yang Kongruen Bila dua buah segitiga kongruen maka dua segi-tiga tersebut dapat saling menutupi secara tepat. Dua buah segitiga dikatakan kongruen bila me-menuhi syarat-syarat berikut.

a. Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang, disingkat s.s.s (sisi-sisi-sisi).

b. Dua sisi yang bersesuaian sama panjang dan satu sudut yang diapit oleh kedua sisi tersebut sama besar, disingkat s.sd.s (sisi-sudut-sisi).

c. Dua sudut yang bersesuaian sama besar dan satu sisi yang bersesuaian sama panjang, disingkat sd.s.sd (sudut-sisi-sudut).

Contoh:Perhatikan gambar di bawah. Jika ∆ABC dan ∆PQR kongruen, panjang sisi PR adalah....

Q

R

P

A

C 10 cm

6 cm 7 cm

B

Jawab: Diketahui ∆ABC dan ∆PQR kongruen.∠C = ∠R∠A = ∠QDengan demikian, ∠B = ∠PSehingga:BC = PR = 10 cmAC = QR = 6 cmAB = PQ = 7 cmPanjang sisi PR adalah 10 cm



34

14 Lingkaran dan Garis Singgung Lingkaran

A. UNSUR-UNSUR LINGKARANJuring

TemberengApotema

d r

A

D

E

B

O

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap satu titik tetap yang dise-but titik pusat lingkaran.Unsur-unsur pada lingkaran adalah sebagai berikut.Ø Titik O disebut pusat lingkaranØ Garis OA = OB = OD disebut jari-jari lingkaran dan

dilambangkan dengan r.Ø Garis AB disebut diameter dan dilambangkan dengan d.Ø Garis lurus AD disebut tali busur.Ø Garis lengkung AD dan BD disebut busur dan

dilambangkan dengan AD dan BD .Ø Garis OE disebut apotema.Ø Daerah yang dibatasi oleh dua jari-jari dan satu busur

disebut juring. Misalnya: BOD.Ø Daerah yang dibatasi oleh sebuah tali busur dan busur

disebut tembereng. Pada gambar, tembereng adalah daerah yang diarsir.

B. KELILING DAN LUAS LINGKARANKeliling lingkaran: K = 2 r = dp p

Luas lingkaran: 2 21L = r = d4

p p

Keterangan: 227

p = atau 3,14p = .

Contoh:

Pada gambar di bawah ini, panjang diameter lingkaran besar adalah 28 cm. Keliling lingkaran yang diarsir adalah ….

Jawaban:

14 cm 14 cm

28 cmDiameter lingkaran besar: d1 = 28 cm.Diameter lingkaran kecil: d2 = 14 cm.Keliling daerah yang diarsir

1 2

2

1 besar kecil21 1 22 2228 142 2 7 7

44 4488 cm

= × + = × p + p = × × + ×

= +=

K K

d d



35

C. PANJANG BUSUR DAN LUAS JURING

o

AODPanjang busur AD keliling lingkaran360

∠= ×

o

AODLuas juring AOD luas lingkaran360

∠= ×

Luas tembereng = L.juring AOD – L. ∆ AOD

Hubungan antara sudut pusat, panjang busur, dan luas juring.

o

AOD panjang busur AD luas juring AODkeliling lingkaran luas lingkaran360

∠ = =

Hubungan antara sudut pusat, panjang busur, dan luas juring.

AOD panjang busur AD luas juring AODBOD panjang busur BD luas juring BOD

∠ = =∠

D. SUDUT PUSAT DAN SUDUT KELILINGBesar sudut pusat adalah dua kali besar sudut

keliling yang menghadap busur yang sama.

O

B

AC

Pada gambar, AOB adalah sudut pusat dengan sudut kel-ilingnya salah satunya adalah ACB. Hubungan sudut pusat dan sudut keliling dapat dituliskan:

AOB 2 ACB∠ = × ∠

Besar dua sudut keliling yang menghadap busur yang sama adalah sama.

O

B

AC

X

Y ACB∠ , AXB∠ , dan AYB∠ menghadap busur yang sama, yaitu busur AB. Jadi

ACB AXB AYB∠ = ∠ = ∠

Contoh:

AC adalah diameter lingkaran. Jika besar ∠CBD = 20o maka besar ∠AOD adalah .…O

B

AC

D

Jawab:∠COD dan ∠CBD menghadap busur yang sama, yaitu CD, di mana ∠COD sudut pusat dan ∠CBD sudut keliling. Maka:

2 2 20 40 .∠ = × ∠ = × =o oCOD CBD∠COD dan ∠AOD saling berpelurus, maka:

18040 180

140

∠ + ∠ =+ ∠ =

∠ =

o

o o

o

COD AODAODAOD

E. SEGI EMPAT TALI BUSUR DAN SUDUT AN-TARA DUA TALI BUSUR

Segi empat tali busur adalah segi empat yang di-batasi oleh empat tali busur di mana keempat titik sudutnya terletak pada lingkaran.



36

Pada segi empat tali busur, jumlah dua sudut yang berhadapan adalah 180o.

O

BA

C

F

D

oA C 180∠ + ∠ =oB D 180∠ + ∠ =

Pada gambar di atas, AB dan DC diperpanjang sehingga berpotongan di titik E, maka:

( )1BEC AED AOD BOC2

∠ = ∠ = × ∠ - ∠

F. GARIS SINGGUNG LINGKARANGaris singgung lingkaran adalah garis yang memotong lingkaran di satu titik dan tegak lurus dengan jari-jari yang melalui titik singgungnya.1. Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Ling-

karan

O O

AC

r1

r1 + r2

r2B

AB disebut garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran O dan P dan panjangnya:

( )221 2AB OP r r= - +

2. Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Ling-karan

O O

A

Cr1r1 − r2

r2

B

AB disebut garis singgung persekutuan luar dua lingkaran O dan P dan panjangnya:

( )221 2AB OP r r= - -

G. LINGKARAN DALAM DAN LINGKARAN LUAR SEGITIGA

1. Lingkaran Dalam Segitiga

A

b

c

a

B

E

D

FO

rd

rd

C

Misalkan panjang jari-jari dari lingkaran dalam segitiga ABC adalah rd,AB = c, BC = a, AC = b

dLuas ABCr

s∆=

Dengan:( )( )( )Luas ABC s s a s b s c∆ = - - -

( )1s a b c2

= × + +



37

2. Lingkaran Luar SegitigaMisalkan panjang jari-jari dari lingkaran dalam segitiga ABC adalah rL, maka

A B

a

c

bO

rL rL

rL

C

L

a b cr4 Luas ABC

× ×=× ∆

Contoh:

Luas daerah yang 16 cm

12 c

m

diarsir adalah . . . . (p = 3,14).

Jawab:Panjang sisi miring segitiga di dalam lingkaran:

+ = + = =2 216 12 256 144 400 20Untuk mencari jari-jari lingkaran luar segitiga dapat digunakan cara berikut.

16.12.20 1014 4. .16.122

= = =∆

abcRL

Jadi, jari-jari lingkaran luar segitiga adalah 10 cm.

Luas segitiga = × ×1 12 162

= 96cm2

Luas lingkaran = 3,14 × 10 × 10 = 314 cm2.Luas daerah yang diarsir = 314 – 96 = 218 cm2.

15 Bangun Ruang

A. KUBUS

A B

C

G

F

H

E

D

Kubus adalah suatu bangun ruang yang dibatasi oleh enam buah bidang sisi yang kongruen berbentuk persegi.

Keterangan:Ø Mempunyai 8 buah titik sudut, yaitu: A, B, C, D, E, F, G,

dan H.Ø Mempunyai 6 buah sisi yang kongruen berbentuk

persegi, yaitu: ABCD, ABFE, BCGF, CDHG, ADHE, dan EFGH.

Ø Mempunyai 12 buah rusuk yang sama panjang, yaitu: AB, BC, CD, AD, BF, CG, AE, DH, EF, FG, GH, dan HE.

Ø Mempunyai 12 buah diagonal sisi (bidang) yang sama panjang, yaitu: AC, BD, BG, CF, CH, DG, AH, DE, EG, dan FH.

Ø Mempunyai 4 buah diagonal ruang, yaitu: HB, DF, CE, dan AG.

Luas dan Volume KubusPada kubus dengan rusuk s, maka:

Luas permukaan: L = 6s2

Volume: V = s3

Rumus-rumus pada kubus:Jumlah panjang rusuknya = 12sPanjang diagonal sisi = s 2Panjang diagonal ruang = s 3



38

B. BALOK

A B

C

G

F

H

E

D

pl

t

Balok adalah suatu bangun ruang yang dibatasi oleh 6 buah persegi panjang yang terdiri dari 3 pasang persegi panjang yang kongruen.Keterangan:Ø Mempunyai 8 buah titik sudut, yaitu: A, B, C, D, E, F, G,

dan H.Ø Mempunyai 6 buah sisi yang berbentuk persegi panjang

yang terdiri dari 3 pasang persegi panjang yang kongruen, yaitu: ABCD dan EFGH, ABFE dan CDHG, serta BCGF dan ADHE.

Ø Mempunyai 12 buah rusuk yang dikelompokkan menjadi 3 kelompok rusuk-rusuk yang sama dan sejajar, yaitu:AB = CD = EF = GH = panjang = p,BC = AD = FG = EH = lebar = ,AE = BF = CG = DH = tinggi = t.

Ø Mempunyai 12 buah diagonal sisi (bidang), yaitu: AC, BD, BG, CF, CH, DG, AH, DE, EG, dan FH.

Ø Mempunyai 4 buah diagonal ruang yang sama panjang, yaitu: HB, DF, CE, dan AG.

Luas dan Volume Balok

Luas permukaan: L = 2× ((p× )+(p× t)+( × t))Volume: V = p × × tJumlah panjang rusuknya = 4 (p + + t)Panjang diagonal sisi depan = 2 2p t+Panjang diagonal sisi samping = 2 2t+

Panjang diagonal sisi alas = 2 2p + Panjang diagonal ruang = 2 2 2p t+ +

C. PRISMAPrisma adalah bangun ruang yang dibatasi oleh 2 buah bidang berbentuk segi banyak sejajar serta dibatasi oleh sisi-sisi tegak yang berbentuk segi empat. Macam-macam prisma.1. Prisma segitiga (gambar 1).2. Prisma segi empat (gambar 2).3. Prisma segi-n (gambar 3 – prisma segi-5).

(1) (12) (3)A B

C

F

ED

A B

C

G

F

H

E

D

A B

C

GF

HI

J

E D

Luas dan Volume Prisma

Luas permukaan: L = (2 L.alas) + L. sisi tegakVolume: V = luas alas tinggi

D. LIMASLimas adalah bangun ruang yang dibatasi oleh sebuah alas berbentuk segi-n dan sisi sam-ping berupa segitiga yang bertemu di satu titik.

t

A B

CD

E

T



39

Luas dan Volume Limas

Luas permukaan: L = L.alas + L.sisi miring

Volume: ( )1V = luas alas tinggi3

× ×

E. TABUNGr

t

d

Tabung adalah bangun ruang berbentuk prisma tegak ber-aturan yang alas dan tutupnya berupa lingkaran.

Keterangan:Ø Mempunyai 3 buah bidang sisi, yaitu bidang alas, bidang

tutup, dan sisi tegak.Ø Bidang alas dan bidang tutup berbentuk lingkaran.Ø Sisi tegak berupa bidang lengkung dan disebut selimut

tabung.Ø Mempunyai 2 buah rusuk.Ø Tinggi tabung adalah jarak antara titik pusat lingkaran

alas dengan titik pusat lingkaran tutup.Ø Jari-jari lingkaran alas dan tutup besarnya sama.

Luas dan Volume Tabung

Luas permukaan: Luas = 2.luas alas + luas selimut = 2pr2 + 2prt =2pr(r + t)Volume: V = luas alas × tinggi = pr2t

F. KERUCUT

BO r

t

s

T

A

Kerucut adalah bangun ruang berbentuk limas dengan alas-nya berbentuk lingkaran.

Keterangan:ØMempunyai 2 buah bidang sisi, yaitu bidang alas dan

bidang lengkung yang disebut selimut kerucut.Ø Mempunyai sebuah rusuk dan sebuah titik sudutØ Tinggi kerucut adalah jarak antara puncak kerucut

dengan titik pusat lingkaran alas.

Luas dan Volume Kerucut

Diketahui 2 2s r t= + , maka:Luas permukaan: Luas = luas alas + luas selimut = pr2 + prs =pr(r + s) Volume: 21 1V = luas alas tinggi = r t

3 3× × p

G. BOLA

rBola adalah bangun ruang yang dibatasi oleh sebuah bidang sisi yang berbentuk lengkung.

Keterangan:Ø Mempunyai sebuah bidang sisi lengkung.ØTidak mempunyai rusuk dan tidak mempunyai titik

sudut.Ø Jari-jari bola adalah r.



40

Luas dan Volume Bola

Luas permukaan: 2L = 4 rp

Volume: 34V = r3

p

Contoh:

1. Diketahui sebuah prisma tegak yang alasnya berbentuk belah ketupat dengan panjang di-agonal 24 cm dan 10 cm. Jika luas permu-kaan prisma 1.020 cm2, volume prisma terse-but adalah . . . cm3. Jawab: Luas alas prisma = luas tutup prisma yaitu:

× ×1 24 102

= 120 cm2

Panjang sisi belah ketupat

= × + × = +

= + = =

2 22 21 124 10 12 5

2 2

144 25 169 13 cmMisalkan tinggi prisma dilambangkan t. Dengan demikian:2 . 120 + 4 . 13 . t = 1.020 240 + 52t = 1.020 52t = 780

t = 15 Volume prisma tersebut = 120 . 15 = 1.800 cm3.

2. Sebuah aquarium berbentuk tabung tanpa tutup dengan panjang jari-jari alas 14 cm dan tinggi 100 cm. Jika aquarium terbuat dari kaca, luas kaca yang diperlukan untuk mem-buat aquarium adalah .... Jawab:Diketahui aquarium terbuat dari kaca.Luas kaca yang diperlukan untuk membuat aquarium adalah luas selimut + luas alas tabung. Diperoleh:= 2prt + pr2

= 2 . 227

. 14 . 100 + 227

. 142

= 8.800 + 616= 9.416 Jadi, luas kaca yang diperlukan 9.416 cm2.

3. Kawat sepanjang 10 m akan dibuat model kerangka balok yang berukuran 5 cm × 4 cm × 3 cm. Banyak model kerangka balok yang dapat dibuat adalah ….Jawab:Panjang kawat yang dibutuhkan untuk mem-bentuk satu balok

= 5 cm (4) + 4 cm (4) + 3 cm (4)= 20 cm + 16 cm + 12 cm= 48 cm = 0,48 m = 0,5 m

Sedangkan kawat yang tersedia sepanjang 10m.Jadi dari kawat tersebut dapat dibentuk mo-

del balok sebanyak: =10 200,5



41

16 Statistika dan Peluang

A. Statistika Statistik adalah pengetahuan yang berhu-

bungan dengan cara-cara pengumpulan data, pengolahan data, penyajian data, dan penarikan kesimpulan berdasarkan kumpul-an data yang dilakukan.

Data adalah suatu informasi yang diperoleh dari pengamatan atau penelitian.

Macam-macam data.1. Data kuantitatif adalah data berupa angka. Contoh: data nilai matematika siswa SMP.2. Data kualitatif adalah data yang berhubungan

dengan kategori yang berupa kata-kata (bukan angka). Contoh: data tentang warna favorit.

1. Penyajian DataData dapat disajikan dengan:a. Tabel Frekuensi b. Diagram Batang c. Diagram Garisd. Diagram Lingkarane. Piktogram

Contoh:1. Di bawah ini adalah nilai ulangan matematika

dari 30 siswa SMP.

5 9 8 7 5 5 4 6 6 89 8 7 6 6 5 5 9 8 45 5 9 8 8 7 7 6 6 7

Tabel FrekuensiNilai Matematika Siswa SMP

Nilai Turus Frekuensi456789

IIIIII IIIIII IIIIIIIII IIIII

276564

Jumlah 30

2. Misalnya, data berat badan 40 siswa sebagai berikut.

Tabel berat badan 40 siswa

No. Berat Badan Banyak Siswa1. 28 kg 52. 29 kg 153. 30 kg 64. 31 kg 105. 32 kg 4

Jumlah 40Bentuk penyajian data dengan diagram batangnya seperti berikut.



42

20

15

10

654

28 29 30 31 32

Berat Badan (kg)

Ban

yak

Sis

wa

Diagram Garis

Diagram Batang

20

15

10

654

28 29 30 31 32

Berat Badan (kg)

Ban

yak

Sis

wa

Diagram LingkaranPerhatikan tabel frekuensi yang menyatakan hobi dari 40 siswa SMP berikut.

Tabel FrekuensiHobi 40 Siswa SMP

Hobi FrekuensiOlahragaMenyanyiMenariBelajar

15105

10Jumlah 40

105

1015ola

hraga

menyanyi

belajarmenari

o o15Olahraga 360 135 .40

= × =

o o10Menyanyi 360 90 .40

= × =

o o10Belajar 360 90 .40

= × =

o o5Menari 360 45 .40

= × =

PiktogramPiktogram adalah diagram yang disajikan dalam bentuk gambar atau lambang.Contoh:

Nilai Frekuensi456789

☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺

Jumlah ☺ = mewakili 10 orang

b. Ukuran Pemusatan data1) Mean ( x ) atau rata-rata

jumlah nilai dataRata ratabanyaknya data

- =

Contoh:

Tabel di bawah ini menyatakan nilai ulangan matematika.

Nilai Jumlah Siswa5 3



43

6 87 128 109 7

Banyak siswa yang mendapat nilai kurang dari nilai rata-rata adalah ....Jawab:Rata-rata nilainya adalah:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )× + × + × + × + ×+ + + +

+ + + +=

= =

5 3 6 8 7 12 8 10 9 73 8 12 10 7

15 48 84 80 6340

290 7,2540

Banyak siswa yang mendapat nilai kurang dari nilai rata-rata atau < 7,25 adalah 12 + 8 + 3 = 23 orang.

2) Modus (Mo)Modus (Mo) adalah data yang paling sering muncul atau data yang memiliki frekuensi ter-besar.

3) Median dan Kuartila) Median (Me) adalah nilai tengah dari

kumpulan data yang telah diurutkan.

Data ganjil: 1 2+= nMe x

Data genap: 1

2 2

2+

+=

n nx xMe

Contoh:Diberikan data sebagai berikut. 2, 4, 4, 5, 9, 8, 7, 4, 6, 3Jawab:Data setelah diurutkan: 2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 9Diketahui n = 10. Karena n = 10 genap, maka:

10 10 15 62 2

4 5 4,5

2 2 2+

++ += = = =

x xx x

Me

b) Kuartil (Q) adalah aturan membagi data menjadi 4 bagian.Q1 = kuartil pertama (bawah)Q2 = kuartil kedua (median)Q3 = kuartil ketiga (atas)

Contoh:4 5 6 7 8 9

Q1 Q2 Q3

26 7Q Me 6,5

2+= = =

c. Ukuran Penyebaran Data

Jangkauan data (range)

Range = data terbesar – data terkecil

Jangkauan kuartil (hamparan)

H = Q3 – Q1



44

B. Peluang1. Ruang Sampel dan Titik Sampel

Percobaan adalah usaha yang memun-culkan kemungkinan-kemungkinan ter-tentu.

Ruang sampel adalah himpunan semua hasil yang mungkin terjadi dari suatu per-cobaan.

Titik sampel adalah semua anggota ru-ang sampel.

Banyaknya anggota ruang sampel dino-tasikan dengan n(S).

Contoh:Pada percobaan melempar sebuah dadu, di-peroleh:n Titik sampelnya adalah 1, 2, 3, 4, 5, dan 6. n Himpunan ruang sampel, yaitu: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} à n(S) = 6.

Menentukan Ruang Sampel Suatu PercobaanUntuk menentukan ruang sampel suatu perco-baan dapat dilakukan dengan cara:a. membuat tabel,b. membuat diagram pohon.

Contoh:

Suatu percobaan melempar dua uang logam yang sama dilakukan bersama-sama. Ruang sampelnya dapat ditentukan dengan cara seb-agai berikut.

a. Membuat tabelMata uang ke- Titik

sampel1 2AAGG

AGAG

AAAGGAGG

A = muncul angka dan G = muncul gambarMisalkan, titik sampel AA berarti uang ke-1 muncul angka dan uang ke-2 muncul angka.Ruang sampelnya adalah S = {AA, AG, GA, GG} dan n(S) = 4.

b. Membuat diagram pohon

→ →

→ →

A AAA

G AG

A GAG

G GGRuang sampelnya adalah S = {AA, AG, GA, GG} dan n(S) = 4.

2. Peluang Suatu Kejadian

Peluang suatu kejadian adalah perbandin-gan antara banyaknya kejadian yang diamati dengan banyaknya kejadian yang mungkin.Rumus:

( )( )( )

= n AP An S

Keterangan: P(A) = nilai peluang munculnya kejadian A.n(A) = banyaknya kejadian A.



45

Diketahui adalah kejadian yang bukan merupakan kejadian A, maka:

P(A) + P( ) = 1

Contoh:

Pada pelemparan 3 buah mata uang secara bersamaan, peluang munculnya 2 angka dan 1 gambar adalah ….Jawab:Untuk menentukan ruang sampel dari pelem-paran tiga buah mata uang, dilakukan dengan membuat diagram pohon.

→ →

→ →

→ →

→ →

A AAAA

G AAGA

A AGAG

G AGG

A GAAA

G GAGG

A GGAG

G GGG

→ →

→ →

→ →

→ →

A AAAA

G AAGA

A AGAG

G AGG

A GAAA

G GAGG

A GGAG

G GGG

Ruang sampelnya adalahS = {AAA, AAG, AGA, AGG, GAA, GAG, GGA, GGG}n(S) = 8Misalkan A = kejadian munculnya 2 angka dan 1 gambar.A = {AAG, AGA, GAA}, maka n(A) = 3.Jadi, peluang munculnya 2 angka dan 1 gambar pada pelemparan 3 buah mata uang secara ber-samaan adalah

( ) 3( )( ) 8

= =n AP An S

.

3. Frekuensi Harapan (Ekspektasi)

Misalkan A adalah sebuah kejadian pada ruang sampel S dari suatu percobaan. Jika percobaan tersebut dilakukan sebanyak n kali, maka frekue-nsi harapan kejadian A atau E(A) dari n kali per-cobaan dirumuskan:

( ) ( )= ×E A n P AKeterangan:E(A) = frekuensi harapan AP(A) = nilai peluang munculnya kejadian A

Contoh:

Andi melempar koin sebanyak 100 kali. Frekuensi harapan munculnya angka adalah ….Jawab:Pada pelemparan koin, ruang sampelnya adalah S = {A, G}.n(S) = 2n(A) = 1n = 100 kali.Peluang munculnya angka:

( ) 1( )( ) 2

= =n AP An S

Frekuensi harapan munculnya angka:

1( ) ( ) 100 502

= × = × =E A n P A



46

17 Pola Bilangan

A. PENGERTIAN POLA BILANGANPola bilangan adalah aturan terbentuknya se-buah kelompok bilangan dengan suatu aturan yang telah diurutkan. 1. Pola bilangan asli: 1, 2, 3, 4, 5,… Pola bilangan: n, n bilangan asli2. Pola bilangan genap: 2, 4, 6, 8,… Pola bilangan: 2n, n bilangan asli.3. Pola bilangan ganjil: 1, 3, 5, 7,… Pola bilangan: 2n –1 , n bilangan asli.4. Pola bilangan persegi: 12, 22, 32, 42,…

Pola bilangan: n2, n bilangan asli.5. Pola bilangan segitiga: 1, 3, 6, 10,…

Pola bilangan: 12 n(n + 1), n bilangan asli.

6. Pola bilangan persegi panjang: 2, 6, 12, …

Pola bilangan: n(n + 1), n bilangan asli.

7. Pola bilangan segitiga Pascal1

1 121 1

11

34

36

114

Pola bilangan: 2n–1, n bilangan asli.

B. BARISAN DAN DERET1. Aritmatika

Barisan aritmatika adalah barisan bilangan yang mempunyai beda suku yang berde-ka-tan sama.Deret arimatika merupakan jumlah suku-su-ku pada barisan aritmatika.Beda = U2 – U1 = U3 – U2 = … = Un – Un–1Suku ke-n barisan dan jumlahan n suku deret aritmatika dicari dengan rumus:

Un = a + (n – 1)b

n 1 n1S (U U )2

= + atau ( )n1S 2a (n 1)b2

= + -

Keterangan:a = suku pertamab = bedaUn = suku ke-n, dengan n = 1, 2, 3, ….Sn = jumlah n suku bilangan, dengan n = 1, 2, 3, ….

2. GeometriBarisan geometri adalah suatu barisan bi-langan yang mempunyai rasio suku yang berdekatan sama.Deret geometri merupakan jumlah suku-suku pada barisan geometri.



47

Rasio = 32 n

1 2 n 1

UU U ...

U U U -

= = = .

Suku ke-n barisan dan jumlah n suku geome-tri dicari dengan rumus:

Un = arn – 1

n

na(r 1)S

r 1-=

-, untuk r > 1

n

na(1 r )S

1 r-=-

, untuk r < 1

Keterangan:a = suku pertama; r = rasio

Contoh:

1. Diketahui pola bilangan 2, 6, 10, 14, …. Rumus suku ke-n dari pola bilangan tersebut adalah ….Jawab:Diketahui suku pertama: a = 2Beda: b = 6 – 2 = 10 – 6 = 4Rumus suku ke-n adalahUn a (n 1)b 2 (n 1)4 4n 2= + - = + - = -

2. Suku ke-10 dari barisan 512, 256, 128, … adalah .…Jawab:

Dari barisan tersebut diperoleh a = 512 dan2

1

U 256 1rU 512 2

= = = , maka:

( )910 1 1210U ar 512. 1-= = =

18 Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar

A. Bilangan Berpangkat Definisi:

an = a × a × ... × an faktor

1. Bilangan Berpangkat SebenarnyaBilangan berpangkat sebenarnya adalah bi-langan yang diperoleh dengan melakukan perkalian berulang. Contoh: 83, 108, 122.

2. Bilangan Berpangkat Tak SebenarnyaBilangan berpangkat tak sebenarnya adalah bilangan berpangkat yang tidak dapat di-peroleh dengan perkalian berulang.

Contoh: 2–5, 3264 ,

126 , 70.

Sifat-sifat perpangkatan bilangan. 1. (a × b)p = ap + bp

2. ap × bq= ap + q 3. ap : aq = ap – q 4. (ap)q = apq

5. a0 = 1, dengan a adalah bilangan real. 0a = 0 00 = tidak terdefinisikan



48

Catatan:(–a)p = ap, untuk p bilangan genap,(–a)p = –(ap), untuk p bilangan ganjil,

( )1- =pp

aa

Contoh:

Hasil dari 8–5 × 8–2 adalah.... Jawab:Menggunakan sifat pemangkatan:8–5 × 8–2 = 8–5 + (–2) = 8–7

B. Bentuk Akar 1. Bilangan Rasional

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat

dinyatakan ke dalam bentuk ab

dengan a, b

merupakan anggota bilangan bulat, dan b ≠ 0.

Contoh: 1 3 9, ,2 5 2

- . Sifat-sifat yang berlaku

pada bilangan bulat berpangkat bilangan bulat berlaku juga pada bilangan rasional berpangkat bulat. Contoh:

34 64=5 125

2. Bilangan Irasional Bilangan irasional adalah bilangan yang

tidak dapat dinyatakan ke dalam bentuk ab

dengan a, b merupakan anggota bilangan

bulat, dan b ≠ 0. Contoh: 3, 7, 5 . Bentuk bilangan seperti 3, 7, 5 disebut bentuk akar.

Sifat-sifat bentuk akar seperti berikut.

1. ×ab = a b , dengan a dan b

merupakan bilangan real positif. Contoh: 21 = 7 3× .

2. =a ab b

, dengan a ≥ 0 dan b > 0. Contoh: 2 2 2 1= = =

6 6 3 2 3×.

Operasi aljabar pada bentuk akar mempunyai sifat-sifat seperti berikut. 1. ( )a c + b c = a + b c , dengan a, b, c

bilangan real dan c ≥ 0.2. ( )- -a c b c = a b c , dengan a, b, c

bilangan real dan c ≥ 0.3. ( )×a c b d = ab cd , dengan a, b, c, d

bilangan real dengan a ≥ 0 dan b ≥ 0.

4. =c a c ad bd b

, dengan a, b, c, d bilangan

real dengan a ≥ 0 dan b ≥ 0.



49

Bentuk akar ab

dapat dirasionalkan

dengan cara:

×a a b a= = bbb b b

Bentuk akar ca + b

Sekawan penyebut a + b adalah.

( )--× =--

c a bc c a b=a ba + b a + b a b

Catatan: Bila penyebutnya adalah -a b , maka bentuk sekawannya adalah a + b .

Contoh:

1. Hasil dari 108 + 12 48- adalah .... Jawab:

108 + 12 48- = 36 3 + 4 3 16 3× × - × = 6 3 + 2 3 4 3- = 4 3

2. Jika 2 3 62 3

- = a + b+

dengan a dan b

bilangan bulat, maka a + b = .... Jawab:

Diketahui 2 3 62 3

- = a + b+

dengan a dan b bilangan bulat.

Bentuk rasional dari 2 32 + 3

- adalah:

2 3 2 3 2 3=2 + 3 2 + 3 2 3

- - -×-

= ( )2

2 3

2 3

-

- =

( )22 3

1

-

-

= ( )2

2 3- - = ( )2 2 6 3- - -

= 1+ 2 6

Nilai a + b = 1 + 2 = 3.



50

19 Persamaan dan Pertidak-samaan Kuadrat

A. PERSAMAAN KUADRATPersamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang pangkat (derajat) tertingginya dari variabel/peubahnya adalah 2 (dua).

1. Bentuk Umum Persamaan KuadratPersamaan kuadrat memiliki bentuk umum:

ax2 + bx + c = 0

dengan a, b, c ∈ R dan a ≠ 0 dan x variabel.Contoh: 2x2 – 4x + 3 = 0, a = 2, b = –4, c = 3.

2. Mencari Akar-akar Persamaan KuadratAkar-akar dari persamaan kuadrat dapat ditentu-kan dengan cara berikut.a. Pemfaktoran

Contoh:l Tentukan himpunan penyelesaian dari

persamaan x2 + 4x + 3 = 0.Jawab:Untuk memfaktorkan bentuk x2 + 4x + 3 = 0, dicari nilai dua bilangan yang mana:vjumlahnya 4, (dari koefisien x)vhasil kalinya 3. (hasil kali koefisien x2 dengan konstanta)Bilangan-bilangan itu adalah 1 dan 3.

x2 + 4x + 3 = 0⇔ (x + 1)(x + 3) = 0⇔ x + 1 = 0 atau x + 3 = 0⇔ x = –1 atau x = –3Jadi, himpunan penyelesaiannya = {–1, –3}.

l Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 2x2 + 5x – 3 = 0.

Jawab:Untuk memfaktorkan bentuk 2x2 + 5x – 3 = 0, terlebih dahulu dicari nilai dua bilangan yang mana:vjumlahnya 5, (dari koefisien x)vhasil kalinya –6. (hasil kali koefisien x2 den-

gan konstanta (2 × ( –3) = –6))Bilangan-bilangan itu adalah –1 dan 6.2x2 + 5x – 3 = 0⇔ 2x2 + 6x – x – 3 = 0⇔ 2x(x + 3) – (x + 3) = 0⇔ (2x – 1)(x + 3) = 0 ⇔ 2x – 1 = 0 atau x + 3 = 0x = ½ atau x = –3Jadi, himpunan penyelesaiannya = {½, –3}.

b. Menggunakan Rumus ABCDiketahui bentuk persamaan kuadarat ax2 + bx + c = 0. Rumus ABC:

2

1,2 b b 4acx =

2a- ± -

Contoh:Tentukan himpunan penyelesaian dari per-samaan x2 – 4x + 3 = 0.Jawab:



51

Diektahui a = 1, b = –4, dan c = 3, maka:

( ) ( )

2

1,2

2

b b 4acx2a

4 4 4.1.32 1

4 16 122

4 42

4 2 2 12

- ± -=

- - ± - -=

×± -=

±=

±= = ±

x1 = 2 + 1 = 3, x2 = 2 – 1 = 1.Jadi, himpunan penyelesaiannya = {3, 1}.

c. Melengkapkan Kuadrat SempurnaContoh:Tentukan himpunan penyelesaian dari persa-maan x2 – 4x + 3 = 0.Jawab:

2

2

2 22

2

2

1 2

x 4x 3 0x 4x 3

4 4x 4x 32 2

4(x ) 3 42

(x 2) 1x 2 1

x 1 2 3 dan x 1 2 1

- + =⇔ - = -

- - ⇔ - + = - + - ⇔ + = - +

⇔ - =⇔ - = ±

= + = = - + =

Jadi, himpunan penyelesaiannya = {3, 1}.

3. Menyusun Persamaan Kuadrat Jika Dik-etahui Akar-akarnyaDiketahui x1 dan x2 adalah akar-akar per-sa-maan kuadrat. Persamaan kuadrat tersebut adalah:

(x – x1)(x – x2) = 0x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0

Secara umum, bentuk persamaan kuadrat adalah:

2 2 b cax bx c 0 atau x x 0a a

+ + = + + =

Diperoleh:

1 2 1 2b cx x dan x .xa a

+ = - =

Contoh:l Diketahui akar-akar persamaan kuadrat

adalah 2 dan 4. Tentukan persamaan kuadratnya!Jawab:Diketahui x1 = 2 dan x2 = 4.Persamaan kuadratnya adalahx2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0⇔ x2 – (2 + 4)x + 2.4 = 0⇔ x2 – 6x + 8 = 0Jadi, persamaan kuadrat yang dimaksud adalah x2 – 6x + 8 = 0

l Akar-akar persamaan kuadrat x2 – 2x + 2 = 0 adalah x1 dan x2. Tentukan nilai x1 + x2 dan x1.x2!Jawab:



52

Diketahui: x2 – 2x + 2 = 0. Diperoleh a = 1, b = –2, dan c = 2.

( )1 2

2bx x 2a 1

-+ = - = - =

1 2c 2x .x 2a 1

= = =

B. PERTIDAKSAMAAN KUADRATPertidaksamaan kuadrat adalah suatu pertidak-samaan yang variabel/peubahnya berpangkat (berderajat) paling tinggi 2 (dua).

Contoh:Tentukan himpunan penyelesaian dari perti-daksamaan x2 + 4x + 3 > 0.Jawab:Dengan menggunakan pemfaktoran diperolehx2 + 4x + 3 > 0⇔ (x + 1)(x + 3) > 0Harga nol dari (x + 1)(x + 3) = 0 adalah x = –1 atau x = –3.Kemudian dengan menggunakan garis bilangan diperoleh:

+ + + + + +− − −

−3 −1Keterangan:(i) Bilangan –1 dan –3 merupakan harga nol untuk

pertidaksamaan x2 + 4x + 3 > 0.(ii) Tanda (+) diperoleh dengan memasukkan bilangan di

sebelah kanan –1 misalnya nol (0). Masukkan nilai x = 0 ke x2 + 4x + 3 sehingga diperoleh 02+ 4.0 + 3 = 3 > 0.

(iii) Tanda (– ) diperoleh dengan memasukkan bilangan an-tara –3 dan –1 misalnya –2. Masukkan nilai x = –2 ke x2 + 4x + 3 sehingga diperoleh (–2)2+ 4.(–2) + 3 = –1 < 0.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah{x | x > –1 atau x < –3}

Contoh penerapan

Hasil kali dua bilangan asli genap yang berurut-an adalah 360. Bilangan terbesarnya adalah .…Jawab:Misalkan:Bilangan I = xBilangan II = (x + 2)Hasil kali dua bilangan asli genap yang berurut-an adalah 360, maka: x(x + 2) = 360⇔ x2 + 2x = 360⇔ x2 + 2x – 360 = 0⇔ (x – 18)(x + 20) = 0⇔ x = 18 atau x = –20

Karena bilangan yang dimaksud adalah bilangan cacah genap maka:Bilangan I = x = 18Bilangan II = x + 2 = 20Bilangan yang terbesar di antara keduanya adalah 20.

