RADICALES
RADICALES
La radicación es la operación inversa a la potenciación:
POTENCIACIÓN RADICACIÓN
Si212 144 2 144 12
Entonces
Índice de la Raíz
RadicalPotenci
a
Exponente
BaseCantidad
Subradical
Raíz Cuadrad
a
2? 144
? 144
RADICALES
En la potenciación se conocen la base y el exponente, y se halla la potencia.
En la radicación se conocen el índice de la raíz y la cantidad subradical, y se halla la raíz.
Haciendo una relación entre las dos operaciones se tiene:
Potenciación Radicación
Exponente Índice de la raíz
Base Raíz
Potencia Cantidad subradical
RADICALES
n a b nb a
IMPORTANTE: Si n es par, entonces 0 0a y b
Definición de la Raíz n-ésima
Si n es un entero positivo , entonces la raíz n-ésima principal de a se define así:
1
PROPIEDADES DE LOS RADICALES
n nna b a b 9 4 9 4
n
nn
a ab b
16 1625 25
m mnn a a3 6729 729
nn a a si n es impar 33 5 5
23 3 3 nn a a si n es par
¡PRECAUCIÓN
9 4 9 4 3 2 5
a b a b
9 4 13
EJEMPLOS
Resolver:
16
3 125 33 5 5
4116
44
1
2
12
9 36 25 70
No está definida en los Reales
EJEMPLOSResolver:
18 25 72 18 25 72
29 2 5 36 2
2 23 2 5 6 2
2 23 2 5 6 2
3 5 6 2 2
23 5 6 2
90 2 180
Descomponer en factores
Propiedad 1
Expresar como potencia, los
factores posibles
Propiedad 1
Resolver radicales
Multiplicar
EXPONENTES RACIONALES
Para definir exponente racional o, lo que es lo mismo, exponente fraccionario, debemos hacer uso de los radicales:
1n na a
La potenciación y radicación conserva en los racionales, las mismas propiedades definidas para el conjunto numérico de los Enteros.
EXPONENTES RACIONALES
En forma General se puede definir:
1 1p
ppp qq q qa a a a
1 1 pp
p pqq q qa a a a
EJEMPLOS
Resolver:
2
383 28 233 2 3 62
2
2 4
3x x
11 2
3 2x x
11 232x
17 22x
7
4x
EJEMPLOS
Resolver:
16 3 3
14 2 2
x y
x y
6 3
3 3
4 2
2 2
x y
x y
2 1
2 1
x y
x y
2 2 1 1 x y
0 0x y 1
EJEMPLOS
Determinar el dominio de la siguiente expresión:
3xxEl denominador
sería cero si x = 3
Para obtener una raíz cuadrada es necesario que
0x
tan , min / 0 3Por lo to el do io es x x y x
RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES
En ocasiones resulta útil eliminar el radical del denominador de una expresión. Para esto, se multiplica tanto numerador como denominador por una expresión adecuada. A este procedimiento se le denomina “Racionalización de Denominadores”
1
51 5
5 5
2
5
5 5
5
En realidad multiplicamos la cantidad por 1, con lo que no se altera su valor
RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES
3
1
x
3 2
3 3 2
1 x
x x
3 2
3 3
x
x
3 2xx
En general, si el denominador es de la forma con m<n, entonces al multiplicar el numerador y el denominador por racionalizamos el denominador
mn a
n mn a
RACIONALIZACIÓN DE NUMERADORES
El mismo procedimiento descrito anteriormente, se puede utilizar para racionalizar los numeradores.
3 xx
3 23
3 2
x xx x
3 2
3 2
x x
x x
3 3
3 2
x
x x
3 2
x
x x
3 2
1
x
RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES
Algunos cocientes contienen denominadores de la forma o de la forma ; estos denominadores se pueden racionalizar, multiplicando numerador y denominador por el conjugado del denominador: y respectivamente.
a b a b
a ba b
Observe que el conjugado de la suma de dos términos, corresponde a la diferencia de los mismos términos; y de igual manera el conjugado de la diferencia, corresponde a la suma
RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES
Ejemplo:
1
x yRacionalizar el denominador de la siguiente expresión:
1 x y
x y x y
Se multiplica numerador y denominador por el conjugado
2 2
x y
x y
x y
x y
1
RACIONALIZACIÓN DE NUMERADORES
Ejemplo:
Racionalizar el numerador de 2 2
a ba b
2 2
a b
a b
22
2 2
a b
a b a b
a b
a b a b a b
1
a b a b
2 2
a b a b
a b a b
Se multiplica numerador y denominador por el conjugado
1
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