Transcript
Page 1: Rade Raonić - Vektorska Algebra - Uvod

Rade Raoni}

VEKTORSKA ALGEBRA

2009

Page 2: Rade Raonić - Vektorska Algebra - Uvod

SADR@AJ

1. VEKTORSKA ALGEBRA ________________________________________________________ 1.1. UVOD ________________________________________________________________________ 1.1.1. VEKTORSKI RA^UN _______________________________________________________ 1.1.2. OSNOVNI POJMOVI ______________________________________________________ 1.1.3. VEKTORI ___________________________________________________________________ 1.1.4. VRSTE VEKTORA ___________________________________________________________ 1.1.5. PROJEKCIJA VEKTORA ___________________________________________________ 1.1.6. UGAO DVA VEKTORA ______________________________________________________ 1.1.7. ANALITI^KO ODRE\IVAWE VEKTORA _________________________________ 1.1.7.1. KOORDINATNI SISTEMI ______________________________________________ 1.1.7.2. ANALITI^KO PREDSTAVQAWE VEKTORA ____________________________ 1.1.7.3. OSNOVNI ORTOVI I VEKTOR POLO@AJA ________________________________

Page 3: Rade Raonić - Vektorska Algebra - Uvod

PREPORU^ENI MATEMATI^KI SIMBOLI ZA VEKTORSKI RA^UN

1 vektor a, A, bc

, BC

, d, D, m, M 2 apsolutna vrednost vektora

a, A

, bc

, BC

, *d*, *D*, *m*,

*M* 3 modul (intenzitet) vektora a, A, bc, bc , BC, BC , d, D, m, M 4 jedini~ni vektor u smeru

vektora a: a

/ a=a

ae

ili ae

5 jedini~ni vektori i, j, k; xe , ye , ze ; x1 , y1 , z1 ;

1e , 2e , 3e ; 1e, 2e

, 3e

; 6 skalarni proizvod vektora

a i b

a b

ili ab 7 vektorski proizvod vektora

a i b

a b

, ab ili avb 8 dijadski proizvod vektora

a i b

ab

ili ab 9 diferencijalni vektorski

operator, nabla / r ili

10 gradijent od grad ili 11

divergencija od A

div A , div A ili A

12 rotor, rotacija od A

curl A

, curl A , rot A

, rot A ili A

13 laplasijan, Laplace-ov operator od

, 2

14 dalamberijan, d’Alambert-ov operator od

15 tenzor drugog reda A 16 skalarni proizvod tenzora

S i T : ( ik , ikS , kiT ) ST

17 tenzorski proizvod tenzora

S i T : ( ik , ikS , kiT ) ST

18 proizvod tenzora S i vektora A

: ( ik , ikS , kA )

S A

19 spoqa{wi proizvod tenzora v 20 Koordinata tenzora tipa

(p,q) 11

, ... ,, ... ,

q

p

i ij jA

veli~ina simbol

Page 4: Rade Raonić - Vektorska Algebra - Uvod

1.1. UVOD

1.1.1. VEKTORSKI RA^UN

Postoji vi{e na~ina pristupawa i re{avawa problema u matematici, prirodnim naukama i tehnici. Jedan od ~esto primewivanih postupaka je vektorski ra~un. Vektorski ra~un omogu}ava: - primenu metoda algebre i analize na veli~ine koje nisu brojevi, - izbegavawe svo|ewa ra~unawa sa geometrijskim veli~inama na ra~unawe sa brojevima, - izbegavawe gubqewa geometrijske o~iglednosti, - vizuelizacija re{avawa problema itd. Stvarawe teorije vektorskog ra~una nije bilo jednostavno, bilo je u tesnoj vezi sa razvojem prirodnih nauka i proisteklo je iz odnosa algebre i geometrije. Na~ini posmatrawa i re{avawa problema u algebri i geometriji su razli~iti. U algebri je razra|en niz algoritama (postupaka) za re{avawe problema. Ovi postupci omogu}avaju i olak{avaju re{avawe velikog broja klasa problema. Za razliku od algebre u geometriji ve}ina zadataka zahteva individualno re{avawe i uvo|ewe pomo}-nih geometrijskih elemenata: ta~aka, linija i povr{ina. Tokom razvoja matematike (do XVII veka) postojala je te`wa da se algebarski postupci iskoriste u geometriji. Ta te`wa je ostvarena Dekartovim (Descartes 1638.) otkri}em analiti~ke geometrije i u vezi sa wom pojavom infinitezimalnog ra~una. Mehanika i matematika su ostvarile ogroman napredak u XVIII veku zahvaquju}i analiti~koj geometriji. Lagran` (Lagrange) je stvorio analiti~ku mehaniku u kojoj je neposredno ra~unawe sa geometrijskim veli~ina mehanike bilo zameweno ra~unawem sa brojevima. Osim velikih prednosti, analiti~ka geometrija iskazuje i odre|ene nedostatke. Kori{}ewem analiti~ke geometrije ~esto se zapostavqa geometrijski sadr`aj problema i mogu}nost geometrijske kontrole problema. Pri kori{}ewu analiti~ke geometrije moraju se uvoditi i odgovaraju}i koordinatni sistemi odnosno skupovi parametara (brojeva ili koordinata) ~ije vrednosti odre|uju npr. polo`aj ta~ke u prostoru (slika 1). Me|u prvima je ove nedostatke uo~io Lajbnic (Leibniz). On je istakao potrebu da se geometrijske veli~ine ra~unaju neposredno, a ne svo|ewem na ra~unawe sa brojevima u odgovaraju}im koordinatnim sistemima.

Slika 1. Odre|ivawe polo`aja ta~ke u prostoru

Page 5: Rade Raonić - Vektorska Algebra - Uvod

Po~etkom XIX veka javqa se projektivna geometrija. Ona se javqa kao odgovor na potrebu za neposrednim ra~unawem sa geometrijskim veli~inama. Projektivna geometrija se vezuje za radove vi{e nau~nika po~etkom XIX veka (Poncelet, Chasles, Möbius, Plücker,...) mada joj se koreni mogu na}i i u XVII veku (Pascal, Desargues). Pojavu projektivne geometrije uzrokovao je razvoj teorijske fizike, tehnike, nacrtne geometrije itd. Ona je samo delimi~no odgovorila postavqenim zahtevima jer je tesno vezana za analiti~ku geometriju. Sredinom XIX veka matemati~ar Grasman (Grassmann) i fizi~ar i astronom Hamilton (Hamilton) uvode direktno ra~unawe sa geometrijskim veli~inama. Mada im se metode razlikuju kod obojice se javqa pojam vektora (Hamilton je uveo naziv ˝vektor˝). Radovi Grasmana i Hamiltona predstavqaju osnovu za razvoj vektorskog ra~una. Vektorski ra~un u dana{wem smislu stvorili su uglavnom fizi~ari. Prvu zaokru`enu teoriju vektorskog ra~una dao je fizi~ar Gibs (Gibbs), a daqi razvoj poti~e od Maksvela (Maxwell), Lorenca (Lorentz), Abrahama (Abraham), Hevisajda (Haeviside), Fepla (Föppl) i drugih. U ranoj fazi razvoja matemati~ari su sa nepoverewem gledali na vektorski ra~un (izuzetak je bio Grasman). Tokom vremena vektorski ra~un je postao op{te prihva}eni metod za operisawe geometrijskim veli~inama i {iroko se koristi u mehanici, fizici, tehnici, geometriji itd. Zbog {irine primene nezaobilazan je deo tzv. in`ewerske matematike. Posredstvom vektorskog ra~una uvode se i komplikovanije veli~ine: dijade, afinore, tenzori itd.

1.1.2. OSNOVNI POJMOVI

Pri posmatrawu geometrijskih, mehani~kih i fizi~kih veli~ina mogu se uo~iti razlike koje uti~u i na na~in primene algebre i analize pri re{avawu problema. Posmatrane geometrijske, mehani~ke i fizi~ke veli~ine se mogu podeliti na : skalare, vektore, tenzore itd. Skalarne veli~ine su veli~ine koje su u potpunosti odre|ene jednim realnim brojem kao mernim brojem. Ove veli~ine se, pri izabranoj jedinici mere, mogu predstaviti na odgovaraju}oj skali, pa se zbog toga i nazivaju skalarne veli~ine odnosno skalari (latinski izraz scala = stube, lestve). U skalare spadaju: zapremina, vreme, masa, temperatura, rad, energija, elektri~ni kapacitet, otpor provodnika itd. Neki skalari su samo pozitivni brojevi (masa, gustina,...), a neki mogu biti i pozitivni i negativni brojevi (rad, temperatura,...). Realni brojevi se smatraju skalarima, pa se sa skalarima ra~una kao sa obi~nim brojevima. Veze izme|u skalara se mogu predstaviti u okviru "obi~ne analize" kao funkcionalne zavisnosti wihovih promenqivih mernih brojeva. Vektorske veli~ine su veli~ine koje su upotpunosti odre|ene: mernim brojem, pravcem i smerom. Mo`e se uo~iti niz geometrijskih, mehani~kih i fizi~kih veli~ina koje se ne mogu odrediti samo jednim brojem. Npr. pri odre|ivawu dejstva dve sile nije dovoqno definisati merni broj sila i tako u potpunosti odrediti sile (merni broj sila mo`e biti isti, a da im se dejstvo pri tome razlikuje zbog razli~itih pravaca i smerova dejstava sila). Ovo va`i i za mnoge druge veli~ine: brzina, ubrzawe, ugaona brzina, sila, moment sile, magnetna indukcija, elektri~na sila itd. Naziv "vektor" poti~e od latinskih izraza: vehere, vectum = nositi, pomerati. Na operacije sa vektorima ne mogu se direktno primeniti "obi~na algebra i analiza" odnosno moraju se utvrditi posebna pravila (vektorski ra~un) koja }e se razmatrati u narednim poglavqima.

Page 6: Rade Raonić - Vektorska Algebra - Uvod

Tenzorske veli~ine su veli~ine koje predstavqaju uop{ten pojam vektora odnosno to su veli~ine za ~iji je opis potrebno, osim mernog broja, pravca i smera, jo{ podataka. Npr. pri posmatrawu deformacije tela mora se posmatrati deformisawe u tri razli~ita pravca odre|enih smerova, koji nisu u jednoj ravni i moraju se odrediti merni brojevi svih tih pojedinih deformacija. Naziv "tenzor" poti~e od latinskih izraza: tensio, tendere = zategnuti, upraviti. Na operacije sa tenzorima primewuje se odgovaraju}i tenzorski ra~un.

1.1.3. VEKTORI

Vektor je orijentisana du` odnosno odse~ak prave na kojoj se razlikuju po~etna i krajwa ta~ka i strelica koja obele`ava smer. Prava l ~iji je odse~ak du` vektora zove se osnova ili nosa~ vektora. Od dve grani~ne ta~ke vektora jedna A se zove po-~etak vektora, a druga B, gde je strelica, kraj vektora (slika 2). Na osnovu definicije, za odre|ivawe vektora potrebni su slede}i elementi: a) intenzitet vektora (veli~ina, mo-dul, brojna vrednost, apsolutna vrednost) je wegova du`ina, merena odre|enom mer-nom jedinicom; b) pravac vektora (u fizici se ~esto koriste izrazi napadna linija, lini-ja dejstva) je odre|en pravom (nosa~em vek-tora, osnovom vektora) na kojoj se nalazi vektor; v) smer vektora se ozna~ava strelicom i pokazuje stranu u koju je vektor ori-jentisan; g) po~etak vektora (u fizici se ~esto koristi izraz napadna ta~ka kojim se ozna~ava ta~ka na posmatranom objektu u kojoj deluje vektor). Na pravoj (nosa~u) se mogu razlikovati dva smera kretawa: jedan od wih je pozi-

tivan a drugi je negativan smer. Tako orijentisana prava je osa npr. 'x x (slika 3) kod

koje je pozitivan smer od 'x ka x (pozitivan smer se ~esto obele`ava strelicom).

Slika 3. Algebarska vrednost vektora

Vektoru AB

se mo`e dodeliti broj AB koji se naziva algebarska vrednost

vektora i defini{e se na slede}i na~in:

1) wegova apsolutna vrednost (npr. vektora AB

) je du`ina odse~ka AB izra`ena pomo}u odre|ene jedinice du`ine i

Slika 2. Elementi vektora

Page 7: Rade Raonić - Vektorska Algebra - Uvod

2) daje mu se znak " " ili "" prema tome da li se wegov smer podudara sa

pozitivnim ili negativnim smerom nosa~a (na slici 3 je AB= 3 i CD=5). U literaturi se mogu susresti razli~ite oznake za vektor:

a, A

, bc

, BC

, d (bold), D (bold), m (goti~ko bold), M (goti~ko bold) itd. Odgovaraju}e oznake za intenzitet vektora su:

a, A, bc, bc , BC, BC , d, D, m ( goti~ko), M ( goti~ko), a

, A

, bc

, BC

, *d*, *D*(bold), *m*, *M*(goti~ko bold) itd. Pri kori{}ewu oznaka treba razlikovati slede}a zna~ewa:

1) BC

ozna~ava vektor sa po~etkom u ta~ki A i krajem u ta~ki B;

2) BC ozna~ava algebarsku vrednost vektora BC

pri ~emu se pretpostavqa da je wegov nosa~ orijentisan;

3) BC ozna~ava du`inu vektora BC

odnosno aritmeti~ki broj bez znaka. Za vektore se vezuju slede}i pojmovi: a) Ort (jedini~ni vektor ili koordinatni vektor) je vektor jedini~ne du`ine.

Oznake za ortove su: i, j, k; xe , ye , ze (bold) ili x1 , y1 , z1 (bold) odnosno u

op{tem slu~aju: 1e , 2e , 3e (bold); 1e

, 2e

, 3e

;

b) Nadovezani vektori su vektori koji imaju isti nosa~ i kod kojih je krajwa

ta~ka prvog vektora istovremeno i po~etak drugog vektora (npr. vektori AB

i BC

su nadovezani); v) Jednaki vektori (ekvipolentni vektori) su vektori koji imaju isti nosa~, istu du`inu i isti smer. Algebarske vrednosti jednakih vektora su tako|e jednake. Za jednake (ekvipolentne) vektore va`i: 1) refleksivnost : svaki vektor je jednak samom sebi;

2) simetri~nost : Ako je vektor 'E

jednak vektoru E

, tada je i vektor E

jednak vektoru 'E

;

Slika 4. Tranzitivnost jednakih vektora i odnos dva vektora na paralelnim nosa~ima

3) tranzitivnost : Ako je vektor 1D

jednak vektoru 2D

(slika 4a) i ako je

vektor 2D

jednak vektoru 3D

nosa~i vektora 1D

i 3D

su paralelni nosa~u vektora

2D

, pa su paralelni i me|usobno. Vektori 1D

i 3D

su istog smera i du`ine

Page 8: Rade Raonić - Vektorska Algebra - Uvod

(intenziteta), jer svaki od wih ima isti smer i du`inu (intenzitet) kao i vektor 2D

.

Na osnovu prethodnog sledi da su vektori 1D

i 3D

jednaki odnosno da va`i

tranzitivnost. Na osnovu prethodnog mo`e se zakqu~iti da je jednakost (ekvipolentnost) vek-tora relacija ekvivalencije. Jednakost deli mno{tvo vektora na klase, od kojih je sva-ka obrazovana od me|usobno jednakih vektora. Vektor koji pripada jednoj klasi nije jednak ni sa kojim vektorom bilo koje druge klase. Tako formirane klase vektora su disjunktna mno{tva. g) Suprotni vektori su vektori koji imaju isti nosa~, istu du`inu i suprotne smerove; d) Kolinearni vektori su vektori koji imaju isti pravac odnosno nosa~;

|) Apscisa ta~ke je algebarska vrednost vektora npr. ON

koji se nalazi na osi na kojoj je izabrani po~etak ta~ka O;

e) Odnos dva vektora (npr. AB

i CD

; slika 4b) na paralelnim nosa~ima je broj:

1) koji ima znak " " ili "" u zavisnosti od toga da li su ta dva vektora istog ili suprotnog smera i 2) ~ija je apsolutna vrednost odnos du`ina ta dva vektora.

Odnos vektora AB

i CD

naj~e{}e se ozna~ava sa: AB

CD

.

`) Nula vektor 0 je vektor kod kojeg se po~etak i kraj vektora poklapaju (ista

su ta~ka). Susre}u se i drugi pojmovi vezani za vektore koji }e se uvoditi u narednim poglavqima.

1.1.4. VRSTE VEKTORA

Posmatrawem vektorskih veli~ina mogu se uo~iti razlike odnosno razlikuje se vi{e vrsta vektora. Na primer neka ~vrsto telo (npr. telefon, slika 5) vr{i translaciju. Pod translacijom se podrazumeva kretawe pri kojem svaka prava ili ravan koja pripada posmatranom telu ostaje sama sebi paralelna tokom kretawa.

Slika 5. Translacija

Page 9: Rade Raonić - Vektorska Algebra - Uvod

Translacija se mo`e okarakterisati vektorima pomerawa ta~aka tela koji su iste du`ine, istog pravca i smera. Na osnovu definicije translacije, pomerawe celog

tela kao i wegovih ta~aka potpuno je odre|eno bilo kojim od vektora: 1AA

, 1BB

,

1CC

itd. bez obzira na polo`aje po~etaka vektora. U ovom primeru se po~etak vek-

tora pomerawa ta~ke posmatranog tela mo`e potpuno slobodno birati, a da je pri tome potpuno definisano translatorno pomerawe tela.

Ako se posmatra dejstvo sile F

na ~vrsto telo u ta~ki A (slika 6) mo`e se uo~iti da se dejstvo sile ne mewa ako se napadna ta~ka sile pomeri du` napadne linije sile (npr. iz polo`aja A u polo`aj B). U ovom primeru se po~etak vektora mo`e birati ili mewati ali uz odgovaraju}a ograni~ewa. Za razliku od prethodna dva primera, vektor elektri~ne sile je vezan za po~etnu ta~ku. Ako se promeni polo`aj napadne ta~ke elektri~ne sile, u op{tem slu~aju mewa se i vektor elektri~ne sile i po intenzitetu i po pravcu i po smeru . U ovom primeru se po~etak vektora ne mo`e slobodno birati ili mewati.

Slika 6. Pomerawe napadne ta~ke sile du` napadne linije sile

Za svaki vektor su zna~ajni: intenzitet, pravac (sve paralelne prave defini{u isti pravac) i smer. Zna~aj po~etka vektora zavisi od osobina vektorske veli~ine koja se posmatra, pa se razlikuju slede} tipovi vektora: 1) Slobodan vektor (naj~e{}e se naziva samo vektor) je vektor ~iji intenzitet, pravac i smer ne zavise od polo`aja po~etne ta~ke (npr. vektor translacije). Za slobodne vektore se ka`e da su jednaki ako imaju: iste intenzitete, iste smerove i iste ili paralelne pravce bez obzira na polo`aj po~etne ta~ke. Slobodni jednaki vektori se uvek mogu dovesti do poklapawa paralelnim pomerawem (slika 7).

Slika 7. Dovo|ewe slobodnih jednakih vektora do poklapawa paralelnim pomerawem

Page 10: Rade Raonić - Vektorska Algebra - Uvod

2) Vektor vezan za pravu je vektor ~iji intenzitet i smer zavise od polo`aja nosa~a vektora pri ~emu po~etna ta~ka vektora mo`e biti bilo koja ta~ka nosa~a vek-

tora (npr. vektor sile koja deluje na ~vrsto telo). Za dva vektora vezana za pravu A

i

B

ka`e se da su jednaki ako su im jednaki intenziteti i smerovi i ako su na istom nosa~u (slika 8). Po~etak vektora vezanog za pravu mo`e se pomerati du` nosa~a vektora, a da se dejstvo vektora pri tome ne mewa.

3) Vektor vezan za ta~ku je vektor ~iji intenzitet, pravac i smer zavise od polo`aja po~etne ta~ke (npr. vektor elektri~ne sile). Za dva vektora vezana za ta~ku

A

i B

ka`e se da su jednaki ako su im jednaki: intenziteti, pravci i smerovi i ako imaju istu po~etnu ta~ku. Iz prethodnog se mo`e zakqu~iti da su dva vektora vezana za ta~ku jednaka samo ako se poklapaju. Pojam vezanog i slobodnog vektora mo`e se uvoditi u vektorski ra~un i na sle-de}i na~in.

Slika 9. Uvo|ewe pojma vezanog i slobodnog vektora Neka su u prostoru date dve razli~ite ta~ke A i B koje odre|uju du` AB. Ako se odredi da je ta~ka A po~etna ta~ka a ta~ka B krajwa ta~ka, onda se uvodi ori-jentacija na du`i AB od ta~ke A ka ta~ki B. U ovom slu~aju mo`e se govoriti o ure-|enom paru (A,B) koji se naziva vezani vektor (slika 9a). U skupu ure|enih parova ta~aka prostora mo`e se definisati binarna relacija ekvivalencije na slede}i na~in (slika 9b):

1) Za A B ili C D sledi ( , ) ( , ) A B C D A B i C D ;

2) Ako je A B i C D , tada je ( , ) ( , ) A B C D du` AB paralelna, po-

dudarna i isto orijentisana kao du` CD, odnosno ta~ke B i D su sa iste strane prave AC.

Slika 8. Dva jednaka vektora vezana za pravu

Page 11: Rade Raonić - Vektorska Algebra - Uvod

Slobodani vektori (vektori) su klase ekvivalencije u odnosu na binarnu relaciju . Uobi~ajeno je da se pod vektorom podrazumeva slobodan vektor ako nije

druga~ije nagla{eno.

1.1.5. PROJEKCIJA VEKTORA

Razlikuju se: a) projekcija vektora na pravu (normalna i paralelna), b) projekcija vektora na osu i v) projekcija vektora na ravan.

Normalna projekcija vektora AB

na pravu p je vektor 1 1A B

koji spaja

podno`ja normala spu{tenih iz po~etne i krajwe ta~ke vektora AB

na pravu p (slika 10). Projekcija vektora na pravu je tako|e vektor koji je mawi ili je u krajwem slu-~aju jednak posmatranom vektoru. Projekcije vektora na paralelne prave su jednake odnosno projekcija vektora zavisi od pravca na koji se vektor projektuje.

Slika 10. Normalna projekcija vektora na pravu U op{tem slu~aju mo`e se definisati paralelna projekcija vektora na datu

pravu. Neka se kroz po~etnu i krajwu ta~ku vektora AB

provuku ravni 1R i 2R koje

su paralelne ravni R . Mogu se uo~iti preseci ravni 1R i 2R sa pravom p , ta~ke

2A i 2B . Vektor 2 2A B

(slika 11) koji ima po~etnu ta~ku 2A i krajwu ta~ku 2B

naziva se paralelna projekcija vektora AB

na pravu p .

Slika 11. Paralelna projekcija vektora na pravu

Page 12: Rade Raonić - Vektorska Algebra - Uvod

Naj~e{}e se pod projekcijom vektora podrazumeva normalna projekcija vektora na pravu ako druga~ije nije nagla{eno.

Projekcija vektora AB

na neku osu 0r je du`ina projekcije (skalar) tog vek-tora na pravu ose ili na bilo koju woj paralelnu pravu sa odre|enim znakom. Projekcija vektora je pozitivna ako je smer projekcije isti kao i smer ose, a projekcija vektora je negativna ako je smer projekcije suprotan u odnosu na

smer ose. U primeru na slici 12 je 1 1A B

pozitivna projekcija vektora na osu 0r , a

1 1C D je negativna projekcija vektora na

osu 0r . Ako se povu~e prava paralelna sa

datom osom kroz po~etak vektora AB

,

onda je 2 1 1AB A B , pa iz trougla

2ABB sledi:

1 1 cosA B AB (1.1.1)

U izrazu (1.1.1) je ugao koji vektor AB

obrazuje sa osom 0r .

Ako je ugao / 2 kao ugao u slu~aju vektora CD

(slika 12) onda, na

osnovu jednakosti 2 1 1CD C D , iz trougla 2CDD sledi :

1 1 cos( ) cosC D CD CD (1.1.2)

U op{tem slu~ju va`i: Projekcija vektora na ma koju osu je skalarna veli~ina koja je jednaka proiz-vodu intenziteta vektora i kosinusa ugla koji vektor zaklapa sa tom osom.

Projekcija vektora AB

na neku ravan R je vektor 1 1A B

koji ima po~etak u

projekciji po~etka A vektora AB

na ravan R , a kraj u projekciji kraja B vektora na ravan R (slika 13).

Slika 12. Projekcija vektora na osu

Slika 13. Projekcija vektora na ravan

Page 13: Rade Raonić - Vektorska Algebra - Uvod

Mo`e se zakqu~iti da su projekcije vektora na pravu i ravan vektorske veli~ine, a projekcija vektora na osu je skalarna veli~ina.

1.1.6. UGAO DVA VEKTORA

Ugao dva vektora A

i B

u ravni je ugao ( , )A B

(slika 14) za koji treba

zaokrenuti prvi vektor A

u direktnom (pozitivnom) smeru da bi pre{ao u polo`aj

drugog vektora B

. Pod direktnim smerom obrtawa podrazumeva se smer suprotan smeru kretawa

kazaqke na ~asovniku. Prelaz vektora A

u polo`aj vektora B

direktnim smerom

obrtawa odre|uju se, osim ugla , i svi uglovi 2 k gde je k ceo broj. Vekto-

ri A

i B

imaju isti polo`aj posle obrtawa za i nakon toga posle celog broja pu-

nih obrtaja. Ako se A

i B

zamene i obrtawe se vr{i u indirektnom smeru, onda ugao

mewa znak:

( , ) ( , )B A A B

; (1.1.3)

Ukoliko se mo`e odrediti samo kosinus ugla dva vektora, kao ugao dva vektora dovoqno je smatrati ugao koji odgovara prelazu jednog vektora u polo`aj drugog vektora najkra}im putem (bez obzira na smer), jer kosinus odre|uje samo apsolutnu vrednost ugla:

cos cos( ) ; (1.1.4)

Svaka osa (orijentisana prava) je po pravcu i smeru odre|ena ortom. Ugao koji neki vektor obrazuje sa datom osom je ugao izme|u orta te ose i vektora.

Ugao koji obrazuju dva vektora A

i B

u prostoru ( , )A B

je ugao koji

odgovara prelazu jednog vektora A

direktnim putem u polo`aj drugog vektora B

. Ako ravan u prostoru nije orijentisana ne mo`e se jednozna~no odrediti ugao koji obrazuju dva vektora u prostoru. Da bi se izbegao problem koji se javqa zbog toga {to ravan u prostoru ima dve strane (pa se postavqa pitawe u odnosu na koju stranu se posmatra vektor), vr{i se orijentacija ravni. Orijentisati ravan zna~i povu}i iz neke wene ta~ke ort normalan na ravan sa smerom na jednu stranu ravni. Kao pozitivna strana (lice) ravni smatra se strana koja odgovara delu prostora u koji je usmeren ort. Strana suprotna pozitivnoj strani naziva se negativna strana ravni (nali~je). Nakon orijentacije ravni ugao koji obrazuju dva vektora u prostoru mo`e se jednozna~no odrediti. Ako se gleda u lice ravni ugao je pozitivan ako se obrtawe vr{i u direktnom smeru, a ako se gleda u nali~je ravni ugao je pozitivan ako se obrtawe vr{i u indirektnom smeru (na ovaj na~in se odre|uje i znak ugla u prostoru). Ako se mo`e odrediti samo kosinus ugla koji ~ine dva vektora u prostoru, onda se kao ugao izme|u vektora u prostoru smatra ugao koji odgovara najkra}em prelazu iz polo`aja jednog vektora u polo`aj drugog vektora bez obzira na smer (uvek se u ovom

slu~aju ugao mo`e smatrati pozitivnim i birati tako da mu je veli~ina izme|u 0 i

/ 2 ).

Slika 14. Ugao dva vektora

Page 14: Rade Raonić - Vektorska Algebra - Uvod

Ugao izme|u dve ose (orijentisane prave) dobija se kada se posmatra ugao izme|u dva vektora od kojih je svaki od wih paralelan po jednoj osi i ima isti smer kao i ta osa.

Veli~ina ugla izme|u vektora A

i B

u ravni mo`e se odrediti i ra~unski pomo}u izraza:

2 2 2 2

cos A B A B

A A B B

X X Y Y

X Y X Y

; (1.1.5)

U izrazu (1.1.5) su ,A AX Y i ,B BX Y veli~ine normalnih projekcija vektora A

i B

(pogledati poglavqe 1.1.5.) na koordinatne ose x i y Dekartovog pravouglog koordinatnog sistema. Izraz (1.1.5) se dobija posredstvom skalarnog proizvoda vektora

A

i B

koji }e se definisati u narednim poglavqima.

Veli~ina ugla izme|u vektora A

i B

u prostoru mo`e se odrediti ra~unski pomo}u izraza:

2 2 2 2 2 2

cos A B A B A B

A A A B B B

X X Y Y Z Z

X Y Z X Y Z

; (1.1.6)

U izrazu (1.1.6) su , ,A A AX Y Z i , ,B B BX Y Z veli~ine normalnih projekcija

vektora A

i B

(pogledati poglavqe 1.1.5.) na koordinatne ose x, y i z Dekartovog pravouglog koordinatnog sistema. Izraz (1.1.6) se tako|e dobija posredstvom skalarnog

proizvoda vektora A

i B

.

1.1.7. ANALITI^KO ODRE\IVAWE VEKTORA

Svaki vektor je u potpunosti odre|en sa dve ta~ke: po~etkom vektora i krajem vektora. Kao po~etak vektora mo`e se izabrati bilo koja ta~ka prostora, jer se po~e-tak vektora mo`e preneti paralelnim pomerawem u bilo koju ta~ku prostora. Neka je po~etak vektora koordinatni po~etak nekog koordinatnog sistema. U ovom slu~aju vektor je u potpunosti odre|en polo`ajem svog kraja. Kraj vektora (kao i bilo koja druga ta~ka) je u prostoru odre|en sa tri broja koja se nazivaju koordinate. Koordinate zavise od izbora koordinatnog sistema.

Koordinate vektora su brojevi koji odre|uju vektor u odnosu na neki koor-dinatni sistem.

1.1.7.1. KOORDINATNI SISTEMI Koordinatni sistem je na~in na koji se uvode izvesni brojevi pomo}u kojih se metodom koordinata u potpunosti odre|uje polo`aj ta~ke u prostoru. Postoji vi{e razli~itih koordinatnih sistema. Pri definisawu vektora bira se onaj koordinatni sistem koji je u konkretnom problemu najpogodniji. Naj~e{}e se koriste slede}i koor-dinatni sistemi: a) Dekartov pravougli koordinatni sistem Ovaj koordinatni sistem ~ine tri me|usobno normalne orijentisane prave (ose) koje prolaze kroz istu nepomi~nu ta~ku O i ne le`e u istoj ravni. Ose Ox (apscisa),

Page 15: Rade Raonić - Vektorska Algebra - Uvod

Oy (ordinata) i Oz (aplikata ili kota) se nazivaju koordinatne ose, a ta~ka O se

naziva koordinatni po~etak. Prema orijentaciji koordinatnih osa razlikuju se: levi pravougli koordinatni sistem (sa levim triedrom kao osnovom; slika 15a) i desni pravougli koordinatni sistem (sa desnim triedrom kao osnovom; slika 15b). Naj~e{}e se koristi desni pravougli koordinatni sistem.

Slika 15. Levi i desni pravougli koordinatni sistem Dve koordinatne ose obrazuju koordinatnu ravan, pa se tako razlikuju ravni: xOy , xOz i yOz . Koordinatne ravni dele prostor na osam triedara.

Polo`aj neke ta~ke N u prostoru, u odnosu na dati koordinatni sistem Oxyz ,

odre|en je sa tri koordinate (tri realna broja): x , y i z odnosno:

Ta~ki N u prostoru odgovara jedan sistem od tri realna broja x , y i z i obrnuto svakoj trojki ( x , y , z ) formiranoj od tri elementa skupa realnih brojeva, u odre|enom poretku, odgovara samo jedna ta~ka u prostoru. Uvedena konvencija uspostavqa biunivoknu korespodenciju izme|u bilo koje ta~ke, npr. M, u prostoru i trojke realnih brojeva ( x , y , z ). Elementi trojki moraju

biti uzeti u odre|enom poretku. Prvo se uzima apscisa, zatim ordinata i na kraju aplikata odnosno kota. Polo`aj neke ta~ke M u ravni, u odnosu na dati koordinatni sistem npr. xOy ,

odre|en je sa dve koordinate (dva realna broja): x i y odnosno:

Ta~ki M u ravni odgovara jedan sistem od dva realna broja x i y i obrnuto svakoj dvojki ( x , y ) formiranoj od dva elementa skupa realnih brojeva, u odre|enom poretku, odgovara samo jedna ta~ka u ravni. U op{tem slu~aju za definisawe vektora u prostoru potrebne su: tri koor-dinate za odre|ivawe po~etka vektora (ako on nije u koordinatnom po~etku) i tri ko-ordinate za odre|ivawe kraja vektora. Ove koordinate se dobijaju normalnim pro-jektovawem ta~ke na koordinatne ose (poglavqe 1.1.5.).

Page 16: Rade Raonić - Vektorska Algebra - Uvod

b) Kosougli koordinatni sistem Ovaj koordinatni sistem (slika 16) ~ine tri orijentisane prave (ose) koje prolaze kroz istu nepomi~nu ta~ku (npr. ta~ku O ), ne le`e u istoj ravni i me|usobno ob-razuju izvesne uglove (koji ne moraju biti pravi). Ose O , O i

O se nazivaju koordinatne ose, a

ta~ka O se naziva koordinatni po-~etak. I u ovom koordinatnom sistemu je ta~ka odre|ena sa tri koordinate (tri realna broja): ,

i . Ove koordinate se dobijaju paralelnim projektovawem ta~ke na koordinatne ose. v) Polarno cilindri~ni koordinatni sistem U polarno cilindri~nom ko-ordinatnom sistemu (slika 17) po-lo`aj ta~ke je odre|en mernim brojevima: potega r , ugla i kote z . Veza izme|u Dekartovih pravo-uglih koordinata i polarno cilin-dri~nih koordinata data je izrazi-ma:

cossin

x r

y r

z z

(1.1.7)

g) Sferni koordinatni sistem Polo`aj ta~ke u prostoru u sfernom koordinatnom sistemu (slika 18) je odre|en: polarnim potegom i uglovima i (ili ). Veza izme|u Dekartovih pravo-uglih koordinata i sfernih koor-dinata data je izrazima:

cos cossin cossin

x

y

z

(1.1.8)

Veza izme|u polarno cilindri~nih koordinata i sfernih koordinata data je izrazima:

Slika 16. Kosougli koordinatni sistem

Slika 17. Polarno cilindri~ni koordinatni sistem

Slika 18. Sferni koordinatni sistem

Page 17: Rade Raonić - Vektorska Algebra - Uvod

cos

sin

r

z

(1.1.9)

1.1.7.2. ANALITI^KO PREDSTAVQAWE VEKTORA

Neka se posmatra vektor AB A

i Dekartov pravougli koordinatni sistem u

prostoru Oxyz i neka se po~etak vektora A

ne nalazi u koordinatnom po~etku O

(slika 19). U ovom slu~aju normalne projekcije vektora A

na koordinatne ose su:

x B Aa x x , y B Aa y y i z B Aa z z . (1.1.10)

U izrazima (1.1.10) su: Ax , Ay i Az koordinate ta~ke A , a Bx , By i Bz

koordinate ta~ke B . Brojevi xa , ya i za u potpunosti odre|uju vektor A

i jednaki

su koordinatama kraja vektora A

kada se vektor A

dovede u koordinatni po~etak.

Neka vektor A

~ini sa koor-dinatnim osama uglove:

( , )

( , )

( , )

x A

y A

z A

(1.1.11)

i neka se intenzitet vektora A

oz-na~i sa a . Na osnovu definicije projekcije vektora na osu (poglavqe 1.1.5.) dobijaju se slede}i izrazi:

coscos

cos

x

y

z

a a

a a

a a

(1.1.12)

Kvadrirawem i sabirawem izraza (1.1.12) dobija se intenzitet

vektora A

:

2 2 2x y za a a a . (1.1.13)

jer je: 2 2 2 2 2 2 2 2 2(cos cos cos ) 1x y za a a a a a . Pred kvadratnim ko-

renom se uzima samo pozitivan znak, jer je intenzitet vektora pozitivan. Na osnovu izraza (1.1.12) mogu se dobiti kosinusi uglova, a posredstvom wih mo-

gu se odrediti i pravac i smer vektora A

:

cos xa

a , cos ya

a i cos za

a . (1.1.14)

Slika 19. Analiti~ko predstavqawe vektora

Page 18: Rade Raonić - Vektorska Algebra - Uvod

Mo`e se zakqu~iti da je svaki vektor odre|en sa tri koordinate (tri realna broja) u odnosu na Dekartov pravougli triedar. Da bi se znalo kojoj osi odgovara koji realan broj (odnosno koordinata), brojevi se uvek pi{u po utvr|enom redosledu. Prvi broj odgovara x koordinatnoj osi, drugi broj odgovara y koordinatnoj osi, a tre}i

broj odgovara z koordinatnoj osi.

Vektor A

se mo`e definisati analiti~ki, pomo}u pravouglog koordinatnog sistema, kao skup od tri ure|ena broja (tri koordinate u odnosu na taj sistem). Ovako

analiti~ki definisan vektor A

se zapisuje na slede}i na~in:

, ,x y zA a a a

. (1.1.15)

Jedina prednost ovakvog definisawa vektora u odnosu na prethodno (poglavqe 1.1.3.) je {to se mo`e uop{titi i na prostor od n dimenzija. Analiti~ka definicija

vektora A

u prostoru od n dimenzija zapisuje se izrazom:

1 2 3, , ,..., nA a a a a

. (1.1.15)

Ako se vektor posmatra u nekoj ravni, onda je on u toj ravni odre|en sa dva broja, sa dve koordinate u odnosu na neki koordinatni sistem u ravni. Kada vektor le`i na nekoj osi, on je odre|en sa jednim pozitivnim ili negativnim brojem, prema tome, da li su vektor i osa istog ili suprotnog smera. Ovaj broj u prethodnom slu~aju naziva se i algebarska vrednost vektora (poglavqe 1.1.5.).

1.1.7.3. OSNOVNI ORTOVI I VEKTOR POLO@AJA

Sve ose su po pravcu i smeru odre|ene ortom (jedini~nim vekto-rom). Npr. na slici 20 osa u je od-

re|ena ortom 0u

.

Neka su projekcije orta 0u

na ose Dekartovog pravouglog koor-

dinatnog sistema: 1u , 2u i 3u . Ako

se primeni izraz 1.1.13, dobija se:

2 2 2 20 1 2 3 1u u u u ; (1.1.16)

U izrazu (1.1.16) je 20 1u ,

jer je 0u

jedini~ni vektor.

Projekcije 1u , 2u i 3u su jednake kosinusima uglova , i koje ort gradi

sa osama Dekartovog pravouglog koordinatnog sistema:

11

0

cos uu

u , 2

20

cos uu

u i 3

30

cos uu

u ; (1.1.17)

Na osnovu izraza (1.1.16) i (1.1.17) mo`e se zakqu~iti da su samo dve projekcije orta nezavisne, odnosno da je pravac i smer svake ose odre|en sa dva broja.

Slika 20. Ort proizvoqne ose

Page 19: Rade Raonić - Vektorska Algebra - Uvod

Svaki koordinatni sistem je u potpunosti odre|en ako je dat koordinatni po-

~etak i tri orta 1e

, 2e

, 3e

koji odre|uju koordinatne ose. Ovi ortovi se nazivaju

osnovni ortovi odnosno:

Osnovni ortovi 1e

, 2e

, 3e

su ortovi koji odre|uju koordinatne ose posmatranog koordinatnog sis-tema. U slu~aju Dekartovog pravo-uglog koordinatnog sistema osnovni

ortovi se obele`avaju sa: i, j i k

(slika 21). Koordinate ortova i, j

i k u odnosu na triedar koji odre-

|uju date su izrazima:

1,0,0

0,1,0

0,0,1

i

j

k

(1.1.18)

Polo`aj ta~ke A u prostoru, u odnosu na neki koordinatni sistem, mo`e se od-

rediti i vektorom r (umesto sa tri broja) koji ima po~etak u koordinatnom po~etku

O a kraj u posmatranoj ta~ki A. Ovako definisan vektor naziva se vektor polo`aja

r u odnosu na koordinatni po~etak O (slika 22a).

U op{tem slu~aju polo`aj ta~ke A u prostoru, u odnosu na neki odre|eni pol,

npr. O, mo`e se odrediti vektorom r koji ima po~etak u posmatranom polu O a kraj u

posmatranoj ta~ki A.

Vektor polo`aja r u odnosu na odre|eni pol O je vektor koji ima po~etak u

posmatranom polu O a kraj u posmatranoj ta~ki A (slika 22b).

Slika 21. Osnovni ortovi Dekartovog pravouglog koordinatnog sistema

Slika 22. Vektor polo`aja

Page 20: Rade Raonić - Vektorska Algebra - Uvod

Recommended