PROPRIETĂŢILE MAGNETICE ALE MATERIALELOR METALICE

NOŢIUNI INTRODUCTIVE

Când un corp este introdus într-un câmp magnetic H ,respectiv inducţia magnetică în vid Bv, acesta acţionează asupra lui cu o forţă F dată de relaţia:

F=grad .(m× Bυ )=grad . ( j× H ) (1)sau cu un cuplu de forţe C care pentru un câmp omogen este:

C=m × Bυ= j × H (2)

în relaţiile (1) şi (2) m este momentul magnetic amperian (nou) care pentru o buclă de curent de arie A şi intensitate i este:

m=i A [ A m2] (3)

iar j este momentul magnetic coulombian (vechi) al unui dipol magnetic cu sarcina magnetică ±qm şi distanţa l între cele două sarcini de sens opus şi este dat de expresia:

j=qm l ,[ N ∙ m2/ A ] (4)

Momentele magnetice m şi j sunt proporţionale:j=μ0 ∙ m (5)

unde μ0=4 π ∙10−7[ H /m] este permeabilitatea magnetică a vidului.Starea locală de magnetizare este caracterizată prin densitatea de volum a momentelor

magnetice M , numită magnetizaţie volumică sau magnetizaţie:Dacă în unitatea de volum sunt n momente magnetice de valoare μi atunci:

M=limυ→ 0

mV

=d mdV

,[ Am ] (6)

Similar, pornind de la momentul magnetic j, se poate defini intensitatea de magnetizare sau polarizaţia magnetică I astfel

M=∑i=1

n

μi (7)

Polarizaţia magnetică şi magnetizaţia sunt proporţionale,respectiv:

I=limυ→ 0

jV

= d jdV

, [T ] (8)

Inducţia magnetică B depinde atât de intensitatea câmpului magnetic exterior H , cât şi de starea de magnetizare a corpului fiind:

I=μ0 ∙ M (9)

Starea locală de magnetizare se poate referi şi la unitatea de masă, în care caz se defineşte magnetizaţia specifică, σ s:

B=μ0 ( H +M )=μ0 H + I , [T ] (10)

unde: mc este masa corpului şi ρ densitatea sa.

Similar se poate defini şi o magnetizaţie molară σ 𝔑:

σ s= limmc → 0

mmc

= d md mc

= Mρ

, [ A ∙m2/kg ] (11)

unde: ν=mc

M este numărul de moli (respectiv kmoli), 𝔐 fiind masa molară.

Pentru materialele lineare şi izotrope, magnetizaţia este determinată de câmpul magnetic local, conform legii magnetizaţiei temporale:

σ M=limυ →0

mν=d m

dν=σ s ∙ M=M

Mρ

, [ A ∙ m2/kmol ] (12)

unde: ν=mc

M este numărul de moli (respectiv kmoli), 𝔐 fiind masa molară.

Pentru materialele lineare şi izotrope, magnetizaţia este determinată de câmpul magnetic local, conform legii magnetizaţiei temporale:

χm= MH

, [ adimensional ] (13, a)

σ 's

H=

χm

ρ, [m3/kg ] (13, b)

χ M=σ M

H= χs ∙ M = χs ∙

Mρ

, [m3/kmol ] (13, c)

unde mărimea χm este susceptivitatea magnetică, χs este susceptivitatea magnetică specifică şi χ𝔐 susceptivitatea magnetică molară.

Relaţii asemănătoare se pot obţine şi plecând de la polarizaţia magnetică, în care caz susceptivitatea magnetică Km este:

Km= IH

, [ H /m ] (14)

Între Km şi χm există relaţia:Km=μ0 χ m (15)

Noţiunea de permeabilitate magnetică μ şi permeabilitate magnetică relativă μ γ rezultă plecând de la relaţia:

B=μ0 ( H+M )=μ0 ( H+ χm ∙ H )=μ0 (1+ χm ) H =μ0 μγ H=μ H

(16)

unde:

μγ=1+ χ m=μμ0

(17)

Ținând cont şi de relaţia (15) se poate scrie:μ=μ0+μ0 χ m=μ0+K m (18)

NATURA MAGNETISMULUI

Magnetismul corpurilor este cauzat de mişcarea sarcinilor electrice ale particulelor elementare, care determină apariţia unor momente magnetice.

În cazul unui atom pot exista momente magnetice orbitale determinate de mişcarea orbitală a electronilor, momente magnetice de spin μs create de mişcarea de spin, precum şi momente magnetice determinate de mişcarea particulelor care alcătuiesc nucleul-momente magnetice nucleare μn.

Momentul magnetic orbital μl este:

μl=i ∙ S (19)

unde S este suprafaţa orbitei (în particular pentru o orbită circulară S=𝜋r2), iar i este intensitatea curentului electric determinat de mişcarea electronului, cu frecvenţa v, deci:

i=e ∙ ν= eυ2 πr

(20)

unde v este viteza periferică a electronului şi r, raza orbitei.

Rezultă:

μl=e ∙ υ2 πr

∙πr2= eυ ∙r2

(21)

Pentru orbitele circulare, momentul cinetic orbital pl este :pl=mυ× r (22)

şi deci:

μl=e

2 mpl (23)

relaţia (23) fiind valabilă şi pentru orbitele eliptice.

Dacă se ţine cont de sarcina negativă a electronului, vectorial, se poate scrie:

μl=−e2 m

pl (24)

Dar momentul cinetic orbital este cuantificat prin numărul cuantic secundar l :

|pl|=√ l ( l+1 )ℏ (25)

rezultând, astfel şi cuantificarea momentului magnetic orbital:

μl=−e2 m

√ l ( l+1 )ℏ=√l ( l+1 ) μB−P (26)

unde:

μBP=−eh2m

=9,28 ∙ 10−24 , [ A ∙ m2 ] (27)

reprezintă unitatea naturală de moment magnetic orbital, respectiv cuanta de moment magnetic orbital, numită magneton Bohr-Procopiu.

Ca şi proiecţiile momentului cinetic orbital şi proiecţiile momentului magnetic orbital pe un câmp magnetic exterior sunt cuantificate:

μlH=ml ∙ μBP (28)

unde: ml=0; ± 1 ; ±2; ±…± l este numărul cuantic magnetic.

Raportul dintre momentul magnetic şi momentul cinetic poartă numele de raport giromagnetic, gl şi pentru mişcarea orbitală este:

gl=μl

Pl

= e2m

=1 (29)

deoarece se măsoară în unităţi e

2m.

În mod similar se poate demonstra că pentru mişcarea de spin:

μs=−e2m

ps (30)

şi deoarece momentul cinetic de spin este cuantificat prin numărul cuantic de spin s=±1/2:

|ps|=√s (s+1 )ℏ (31)

rezultă cuantificarea momentului magnetic de spin:

|μs|=em

√s (s+1 )ℏ=2√s ( s+1 ) μBP (32)

La fel ca la momentul cinetic de spin, proiecţiile momentului magnetic de spin pe un câmp magnetic exterior sunt cuantificate, respectiv sunt:

μSH=2ms μBP (33)

unde ms este numărul cuantic magnetic de spin, ms=±s.

Pentru mişcarea de spin, raportul giromagnetic este:

gs=|μs||ps|

= em

=2 (34)

(de asemenea în unităţi e/2m).

Momentele magnetice nucleare se neglijează în prima aproximaţie,deoarece sunt mult mai mici decât cele electronice (μn ≪ μl+ μs). Cuanta de moment magnetic nuclear μn este:

μnucl=eℏ

2 M p

=μBP

1836,5 (35)

unde M P =1836,5m, este masa unui proton.

Pentru un atom cu mai mulţi electroni se poate defini un moment cinetic orbital total Pl caracterizat prin numărul cuantic total L, care poate lua valori întregi, între o valoare maximă egală cu suma numerelor cuantice ll şi o valoare minimă dată de suma algebrică minimă

(∑i=1

n

± ll ≤ L ≤∑i=l

n

ll). Aceasta rezultă din aşa-numitele reguli ale lui Hund, care se aplică

electronilor dintr-un nivel energetic atomic şi care spun că electronii vor ocupa orbitale, astfel încât caracteristicile stării fundamentale să fie următoarele:

— spinul total S să ia valoarea maximă admisă de, principiul de excluziune;— numărul cuantic secundar total Lt care caracterizează momentul cinetic orbital total, să ia

valoarea maximă corespunzătoare valorii lui S;— numărul cuantic total J, care caracterizează momentul cinetic total este J=L-S, dacă

nivelul respectiv este mai puţin de jumătate ocupat şi J=L+S, dacă este mai mult de jumătate ocupat; pentru cazul ocupării pe jumătate, se ajunge la L =0, deci J=S ) , respectiv:

|PL|=√ L ( L+1 )ℏ (36)

Corespunzător va exista un moment magnetic orbital total:

|μL|=e

2m|PL|=√ L(L+1) μBP (37)

De asemenea, va exista un moment cinetic de spin total Ps şi corespunzător un moment magnetic de spin total μs , date de expresiile:

|P s|=√S (S+1 )ℏ (38)

şi

|μs|=em

|P s|=2√S (S+1)μBP (39)

unde S este numărul cuantic de spin total a cărui valoare maximă este jumătate din numărul electronilor, iar valoarea minimă este 0 pentru număr par de electroni şi 1/2 pentru număr impar.

Atomul este caracterizat prin momentul cinetic total PJ:

|PJ|=|PL+ P s|=√J (J +1 )ℏ (40)

unde numărul cuantic total J este:

— pentru L>S:

J=L+S , L+S−1 , …, L−S; [ total (2 S+1 ) valori ];

— pentru L<S:

J=S+ L, S+L−1 , …, S−L ; [ total (2 L+1 ) valori ];

Momentul magnetic total μTA este:

μAT= μL+ μs=−μBP

ℏ( PL+2 Ps) (41)

dar datorită faptului că PL+2PS≠PL+Ps, nu mai este antiparalel cu PJ (g l =1 ş i g s =2) ,ceea ce înseamnă că μAT descrie o mişcare de precesie în jurul lui PJ (anomalie giromagnetică).

Deoarece componentele lui μL şi μs, pe o direcţie perpendiculară pe Ps(μL┴ şi μs┴) au o rezultantă, luată ca medie pe o rotaţie, nulă, rezultă că momentul atomic efectiv μATef este egal cu proiecţia lui μAT pe direcţia Pj, respectiv μJ:

|μAT ef|=|μJ|=μL cos ( PL , PJ )+μs cos ( Ps , PJ ) (42)

unde

cos ( PL , PJ)=L ( L+1 )+J (J+1 )−S (S+1)

2√ L ( L+1 ) ∙√J (J +1 ) (43, a)

cos ( Ps , PJ )=S (S+1)+J (J+1 )−L ( L+1 )

2√S (S+1 ) ∙√J (J+1 ) (43, b)

Substituind relaţiile (43) în (42) şi notând:

g=1+S(S+1)+J (J +1 )−L ( L+1 )

2 J ( J+1 )=factor Lande (44)

se pot scrie:

|μJ|=g√J (J+1)μBP (45)

sau: μAT=−g ∙e

2 mPJ=−g

μBP

ℏ∙ PJ (45, a)

Pentru cazurile limită:

a) S=0 şi L=J , rezultă g=1, deci μJ este determinat numai de mişcarea orbitală:

b) L = 0 şi S=J , rezultă g=2, deci momentul magnetic atomic este determinat numai de mişcarea de spin.

Proiecţiile lui μAT pe direcţia unui câmp magnetic exterior H sunt cuantificate prin numărul cuantic magnetic total:

mJ=J , ( J+1 ) , …, (−J +1 ) ,−J

respectiv:

( μAT H)=gm j ∙ μBP

După valorile posibile ale momentului magnetic atomic, corpurile se împart în:— diamagnetice cu μAT=0 — paramagnetice cu μAT≠0

În cazul corpurilor paramagnetice este posibil ca: g=1 ( μAT determinat numai de mişcarea orbitală);

g=2 ( μA T determinat numai de spinii electronici);

g=1…2 ( μA T determinat de ambele contribuţii).

Deoarece g se poate determina experimental, este posibil să se stabilească pe această cale natura momentului magnetic al unui corp.

CLASIFICAREA CORPURILOR DIN PUNCT DE VEDERE MAGNETIC

Corpurile cu 𝜇AT sunt numite diamagnetice şi sunt caracterizate prin susceptivitate magnetică χm negativă şi foarte mică (χm=-(10-7…10-5)∙χm este practic independent de temperatură şi de intensitatea câmpului magnetic exterior. Dependenţa M=f(H) corespunde curbei a din figura 1. în tabelul 1 sunt date câteva elemente diamagnetice. Corpurile cu 𝝁 A T≠0 se încadrează în marea grupă a corpurilor paramagnetice, care la rândul lor pot fi:

— paramagnetice propriu-zise, cu orientare întâmplătoare a momentelor magnetice atomice (fig. 2 a).

— feromagnetice, cu orientare spontan paralelă a momentelor magnetice atomice (fig. 2, b);— antiferomagnetice, cu orientare spontană antiparalelă a momentelor magnetice atomice

care se compensează reciproc (fig. 2, c);

Fig. l . Dependenţa M=f(H) pentru substanţele diamagnetice (a) şi paramagnetice (b).

Tabelul 1

Susceptivitatea dianiagnetică a unor elemente

Elementul B Cu Zn Ge Ag Cd Sb Au Hg Pb-18,14 -9,25 -13,89 -7,76 -23,40 -18,85 -72,72 -32,40 -28,53 -17,03

— ferimagnetice cu orientare spontană antiparalelă a momentelor magnetice atomice, dar fără compensare reciprocă (fig. 2,d)

La substanţele paramagnetice propriu-zise, susceptibilitatea magnetică este foarte mică, dar pozitivă:χm=10-7…10-4 şi independentă de H . Variaţia M=f (H) este în acest caz dată în figura 1.

Fig. 11.2. Distribuţia momentelor magnetice atomice;

a-substanţe paramagnetice; b-substanţe feromagnetice; c-substanţe antiferomagnetice; d-substanţe ferimagnetice.

Pentru cele mai multe substanţe paramagnetice χ depinde de temperatura, fie după legea Curie, în cazul gazelor monoatomice (vapori de K, Ta etc.) şi a metalelor de tranziţie:

χ=CT

(46)

fie după legea Curie-Weiss la paramagnetice solide normale (Ce, Pr, Nd, Sa, Eu, Tb, Ho, It, O 2

NO etc.):

χ= CΔ+T

(47)

unde C şi A sunt constante.

DIAMAGNETISMUL

Comportarea diamagnetică a corpurilor cu μ A T =0 este o consecinţă a mişcării de precesie (precesia Larmoar) a orbitelor electronice în prezenţa unui câmp magnetic exterior H .

Forţa totală care acţionează asupra unui electron în mişcarea pe orbită în prezenţa câmpului H este dată de suma vectorială dintre forţa centrifugă Fs şi forţa lui Lorentz F l :

F=Fe+ F l=mυ0

2

r−μ0 eυ0 H=

mυ12

r (48)

unde v l este viteza electronului în prezenţa câmpului H .

Fig. 3. Precesia Larmoar a orbitelor electronice în prezența unui câmp magnetic H .

Ca urmare a variaţiei de viteză (Δv= vl-v0), apare o variaţie a vitezei unghiulare ωH:

ωH= Δυr

=−μ0eH2m

=μ0Hℏ

μBP (49)

respectiv:

νH=ωH

2 π=μ0

H2 πℏ

μBP=μ0Hh

μBP (50)

Frecvenţa v H se numeşte frecvenţa Larmoar, iar datorită înclinării lui H faţă de normala la planul orbite, aceasta execută mişcare de precesie cu viteza unghiulară ωH (fig. 3).

Ca urmare a precesiei Larmoar, deşi în absenţa câmpului H , μ A T =0, în prezenţa lui H apare un curent electric:

iH=e ∙ ν H (51)

astfel încât apare un moment magnetic suplimentar, dat de precesia Larmoar:

Δ μde=i ∙ S=eν H ∙ S=eμ0Hh

μBP ∙ S=−μ0HSh

e2 ℏ2 m

=−μ0 e2 HS4 πm

(52)

unde S este proiecţia suprafeţei orbitei pe un plan perpendicular pe H .

Din considerentele de mai sus rezultă că diamagnetismul este o caracteristică a tuturor substanţelor, dar pentru cazul 𝜇 AT≠0 ,el este mascat de comportarea paramagnetică, mult mai puternică.

Diamagnetismul este determinat atât de electronii legaţi ca urmare a precesiei Larmoar, purtând numele de diamagnetism Langevin, cât şi de electronii de conducţie, ca urmare a creşterii energiei prin cuantificare la aplicarea lui H , în care caz poartă numele de diamagnetism Landau.

În cazul diamagnetismului Langevin, în expresia momentului magnetic (52), S se înlocuieşte cu πρ2 unde ρ2 este media temporală a pătratului proiecţiei razei orbitei pe un plan perpendicular pe H ,

Pentru o simetrie sferică:ρ2=2

3r2

(53)

unde r2 media pătratului razelor orbitale, deci:

Δ μd0=−μ0

e2 H4 πm

2 π3

r2=−μ0e2 H6 πm

r2 (54)

Pentru un atom cu Z electroni se poate scrie:

Δ μd AT=−μ0

e2 H6 m

∑n=1

z

r n2 (55)

iar pentru un atom-kilogram:

Δ μd AT=−μ0

e2 HN6 m

∑n=1

z

rn2 (56)

Rezultă că susceptivitatea diamagnetică este:

χd AT=−μ0

Ne2

6 m∑n=1

z

rn2 (57)

Pentru N=6,023∙1026 atom/at kg şi rn2≅ 10−20m2 rezultă:

χd AT=−μ0

Ne2

6 mz rn

2=−4π ∙ 10−7 ∙6,023∙ 10z6

(1,602∙ 10−19 )2 ∙10−20

6 ∙ 9,108 ∙10−31 ∙ Z=−3,55 ∙108 Z [m3/ kmol ]

(58)

sau pentru unitatea de volum:

χdm=−3,55∙ 10−8 ∙ z ∙ρ

M≅−10−6 z (59)

Considerând diamagnetismul electronilor de conducţie (diamagnetismul Landau), se poate demonstra că magnetizaţia M pentru un gaz electronic nedegenerat cu n0 atomi pe unitatea

de volum (n=NV ) este:

M=−n0 μBP(cthx−1x ) (60)

unde

χ=μ0 μBT H

kB ∙ T (61)

Deoarece pentru x≪1, rezultă:

cthx−1x≃ x

3 (62)

se poate scrie:

M=n0 μBP

2 ∙ μ0 H3 k BT

(63)

respectiv:

χdg=MH

=−13

μ0

n0 μBP2

k B ∙T (64)

Pentru un gaz electronic degenerat, se înlocuieşte n0 cu n , n΄ fiind numărul de electroni de pe o bandă de grosime 1/3kBT în apropierea energiei Fermi (εF), care pot participa la fenomenele diamagnetice

n'=32

k B T

εF

∙ n0 (65)

deci: χd=−13

μ0

μBT2

kB T∙32

k BTϵ F

∙ n0=−12

μ0

n0 μBP2

ϵF

(66)

Dintre metale, aproximativ 20 sunt diamagnetice, printre care: Cu, Ag, Au, Be, Zn, Cd, Hg, B, Ga, In, Pb.

La metale, diamagnetismul este constituit atât din diamagnetismul ionilor (diamagnetismul Langevin), cât şi din diamagnetismul electronilor de conducţie (diamagnetismul Landau).

Faptul constatat experimental, că diamagnetismul unui metal este mai mic decât cel al ionilor săi (tabelul 2), este. explicat de I.G. Dorfman (1923), prin aceea că electronii de conducţie conduc şi la manifestări de paramagnetism, care reduc deci efectul total al diamagnetismului în metale.

Tabelul 1

Susceptivitatea diamagnetică a unor metale şi a ionilor metalici

Metalul Χd∙10 Ionul Χd∙10

Cu -5,5 CU+1 -18

Ag -21,6 Au+1 -31

Au -29,6 Au+1 -45,8

PARAMAGNETISMUL

Comportarea paramagnetică este întâlnită la corpurile cu 𝝁 AT≠0. Pentru aceste cazuri, în absenţa unui câmp magnetic exterior H , momentele magnetice atomice sunt orientate cu aceeaşi probabilitate în orice direcţie, astfel că substanţa are un moment magnetic rezultant nul. În prezenţa unui câmp magnetic exterior H , pe lângă fenomenele diamagnetice apare şi o

orientare a momentelor magnetice atomice, în direcţia lui H , rezultând o magnetizaţie M diferită de zero. Valoarea lui M rămâne însă foarte mică la valori uzuale ale lui H deoarece acţiunea de dezorientare a agitaţiei termice este mult mai puternică decât acţiunea de orientare a lui H . De exemplu, la temperatura camerei şi la un câmp H=1 A/m, numai un moment atomic din 109

rămâne orientat în direcţia lui H .

Acest paramagnetism atomic şi ionic (dat de electronii legaţi) este dependent de temperatură, iar teoria paramagnetismului atomic (ionic) a fost elaborată de Langevin (forma clasică) şi perfecţionată de Van-Vleck (teorie cuantică), prin considerarea cuantificării spaţiale şi a interacţiunii dintre momentele magnetice atomice.

Ca şi în cazul diamagnetismului, o contribuţie la paramagnetismul metalelor este adusă şi de electronii de conducţie. Acest paramagnetism este cunoscut sub numele de paramagnetism Pauli şi este independent de temperatură.

Aşa cum a arătat Van-Vleck, o contribuţie independentă de temperatură pot aduce şi electronii legaţi, determinaţi de popularea stărilor excitate, ceea ce determină apariţia unui moment magnetic suplimentar.

Pentru a determina susceptivitatea paramagnetică dată de electronii legaţi (paramagnetism Langevin), se consideră un gaz de atomi care nu interacţionează între ei.

În prezenţa unui câmp magnetic H , atomul va dispune de o energie complementară:

∆ U H=−μ0 μAT ∙ H =−μ0 μ AT ∙ H ∙cosθ (67)

unde θ este unghiul dintre μAT şi H .

Considerând cuantificarea proiecţiilor momentelor magnetice atomice pe direcţia lui H , se poate scrie:

μAT H=μAT ∙ cosθ=g ∙m j ∙ μBT (68)

şi deci

∆ U H=μ0 gm j μBP ∙ H (69)

iar probabilitatea ca un atom să posede suplimentar energia ∆UH este:

W ∼e−∆ U H

kBT (70)

Notând cu

⟨ μAT ⟩=μAT ∙ cosθ (71)

unde cosθ este valoarea medie a cosinusului unghiului θ, se poate scrie (poziţiile θ sunt cuantificate):

⟨ μAT ⟩=∑

mJ=−J

+ J

gμBP ∙ m j ∙ e−∆UkB T

∑m j=−J

+ J

e−∆UkBT

rezultă

⟨ μAT ⟩=g ∙μBP ∙ J [ 2 J+12J

cth2J+1

2 JX− 1

2 Jcth

X2J ]=gμBP ∙ J ∙ BJ ( X)

(72)

unde:

X=μ0 ∙ g∙ μBP ∙ J ∙ H

kB ∙T (73)

şi B J(X) este funcţia Brillouin-Debye, respectiv funcţia Langevin generalizată:

BJ ( X )=2 J +12 J

cth2 J+1

2 JX− 1

2 Jcth

x2 J

(74)

Dacă n este numărul de atomi din unitatea de volum, atunci magnetizaţia M este:

M=n ⟨ μAT ⟩=ngμBP JBJ ( X ) (75)

Pentru cazul X≪1 (apropiat de realitate):

BJ (x )≃ J+13 J

x

M=ngμBP ∙ JJ+13 J

x=nμ0

J (J+1)3k B T

g2 ∙ μBP2 ∙ H (76)

iar susceptivitatea paramagnetică:

χ P=MH

=nμ0

J (J+1)3 k B T

g2 μBP2 =C

T (77)

deci rezultă o dependenţă de temperatură conform legii Curie, unde constanta Curie (C) este:

C=μ0

ng2 μBP2

3k B

( J+1 ) J (78)

Dacă M0 este magnetizaţia absolută:

M 0=nμ AT=ngJ μBP (79)

atunci magnetizaţia relativă M/M0 este :

MM o

=BJ ( X )= J +13 J

X (80)

Funcţia (80) poate fi particularizată pentru două cazuri limită:

Când J→∞ ceea ce corespunde unui număr nelimitat pentru valorile unghiului θ dintre μAT şi H , se ajunge la cazul clasic demonstrat de Langevin, în care caz:

BJ ( X )=L(a) (81)

[ J=∞, X=∞ ]

unde: L(a) este funcţia Langevin:

L (a )=ctha−1a

(82)

cu:

a=μ0

μAT ∙ H

K B∙ T (83)

în acest caz, pentru a≪1:

L (a )=cth (a )−1a≃ a

3 (84)

şi deci:

χ P=MH

=nμAT

2

3 K BT= c

T (85)

Considerând magnetizaţia absolută M0:

M 0=nμ AT (86)

magnetizaţia relativă este:

MM 0

=nμ AT ∙ L(a)

nμ AT

=L ( a )=ctha−1a

(87)

respectiv:

MM 0

=a3=μ0

μAT ∙ H

3 KB ∙ T (88)

— Pentru cazul J=1/2, respectiv când momentul magnetic atomic este dat numai de spin (ca şi în cazul feromagnetismului):

BJ (x )=2 ctg 2 x−cthx=thx (89)

[J=12

, x=2] în care caz:

M=ngμB

2thx (90)

iar magnetizaţia relativă:

MM 0

=thx (91)

În toate cazurile, dependenţa M/M0 de intensitatea câmpului H (prin intermediul mărimilor x, respectiv a) este de tipul din figura 4, saturaţia atingându-se numai la câmpuri foarte mari de ordinul (pentru T=273 K) :

H ≅3 K B T

μ0 μAT

= 3 ∙1,38 ∙ 10−23 ∙ 2734 π 10−7 9,28 ∙ 10−24 ≃109 [ A/m ] (92)

Fig. 4. Dependenţa magnetizării relative M/M0, de intensitatea câmpului magnetic, reprezentat prin mărimile x şi a

(x=μ0

g ∙ μBP ∙ H

k B∙ T∙ J şi a=μ0

μAT

k B∙ T ) Teoria riguros cuantică dezvoltată de Van-Vleck ia în considerare faptul că nu toţi

atomii dintr-un corp se găsesc în starea fundamentală (valabilă numai la 0 K), ci o parte se găsesc în stări excitate de energie mai mare.

Teoria precedentă este complet aplicabilă numai gazelor monoatomice la temperaturi înalte, unde interacţiunea este practic absentă, şi în bună măsură la ionii lantanidelor (Z=58… 70, respectiv de la cesiu la yterbiu), unde păturile electronice incomplete 4f care dau μAT sunt

ecranate de păturile 5s2 şi 5p6, lantanidele comportându-se ca şi gazele la care se consideră atomii fără interacţiune.

La elementele de tranziţie din grupa fierului (Z=21… 28), grupa paladiului (Z=39. . 45), grupa platinei (Z=71. . . 78) şi grupa actinidelor (Z=88. . .92), se aplică legea Curie-Weiss, abaterea de la legea Curie fiind determinată de acţiunea câmpului din cristal asupra momentelor magnetice atomice, câmp determinat de interacţiunea de schimb.

Contribuţia la paramagnetism a gazului electronic este determinată de scindarea în două benzi, a curbelor 𝔇(ε), în prezenţa unui câmp magnetic exterior. în absenţa unui câmp magnetic exterior, energia unui electron este:

ε= ℏ2

2mK2

iar în prezenţa unui câmp magnetic, aceasta scade cu valoarea μ0μBH pentru electronii cu spin paralel cu câmpul şi creşte cu μ0μBH pentru electronii cu spin antiparalel, deci:

ε ↑↑=ℏ2 K2

2 m−μ0 μB H (92, a)

ε ↑↓=ℏ2 K2

2 m−μ0 μB H (92, b)

Cele două benzi sunt deplasate una în raport cu alta cu 2μ0μBH dar deoarece la echilibru nivelul Fermi este acelaşi, o parte din electronii cu spin antiparalel vor trece în banda cu spin paralel cu H , rezultând deci un număr de electroni cu spin necompensat (fig. 5).

Dacă se notează cu n+ şi cu n- numărul de electroni cu spin paralel, respectiv antiparalel, cu H , din unitatea de volum, atunci magnetizaţia dată de aceştia va fi:

M=¿ (93)

Fig. 5. Despicarea curbelor D(ε) în prezenţa unui câmp magnetic H :

a-la H=0 ; b-„despicarea” la H≠0; c-deplasarea benzilor cu spini paraleli şi antiparaleli cu H ; d -realizarea echilibrului energetic ia H≠0 prin transferul de electroni din banda cu spini antiparaleli în banda cu spini paraleli cu H .

Dar din curbele 𝔇(ε) rezultă:

n+¿=∫

0

E 0

D (ε ) f (ε−μ0 μ BP ∙ H ) dε ¿ (94)

şi

n−¿=∫

0

E0

D ( ε ) f ( ε+μ0 μBP ∙H ) dε ¿ (95)

care, utilizând integralele Fermi-Dirac, conduc la:

M=32

μ0 μBP2 n0 H

ε F [1− π 2

12 (K B ∙Tε F

)2] (96)

iar susceptivitatea paramagnetică a gazului de electroni degenerat este

χ P=MM 0

=32

μ0 μBP2 n0

ε F [1− π2

12 ( K B∙ Tε F

)2] (97)

Sau, deoarece pentru temperaturi sub T d ; KB∙T≪εF, rezultă o susceptibilitate independentă de temperatură:

χ P=32

μ0 μBP2 n0

ε F

(98)

Pentru gazul electronic nedegenerat (semiconductoare nedegenerate), susceptivitatea paramagnetică este dată de legea Curie:

χ P=μ0 μBP2 n

kB T=C

T (99)

Din expresiile (85) şi (98), rezultă că susceptivitatea paramagnetică este de 3 ori mai mare decât cea diamagnetică pentru gazul de electroni.

Pentru metale, paramagnetismul este dat atât de contribuţia scheletului ionic (dependent de temperatură), cât şi de contribuţia gazului electronic (independent de temperatură), această din urmă contribuţie fiind deosebit de importantă la metalele alcaline (Li, Mo, K, Pb, Cs) al căror paramagnetism este practic independent de temperatură.

FEROMAGNETISMUL

Corpurile feromagnetice se încadrează în grupul mare al substanţelor de tip paramagnetic cu μAT≠0, dar spre deosebire de paramagneticele obişnuite, la corpurile feromagnetice saturaţia se atinge, la câmpuri magnetice relativ mici şi la temperatură înaltă.

Feromagnetismul este întâlnit la elementele ai căror atomi sunt caracterizaţi prin existenţa unor nivele interioare incomplete, cum sunt cele din grupa Fe, care au nivel 3d

incomplet. Feromagnetismul este determinat atât de electronii legaţi cât şi de electronii liberi (feromagnetism de bandă).

Prima teorie a feromagnetismului a fost elaborată în 1907 de P.Weiss, pe baza a două ipoteze:

— ipoteza existenţei unui intens câmp molecular intern Hl (după punerea la punct a teoriei cuantice a feromagnetismului a primit numele de câmp de schimb), care orientează spontan momentele magnetice atomice paralel, determinând aşa-numita magnetizare spontană, sub o anumită temperatură, numită temperatură Curie (T0);

— pentru a explica lipsa unei magnetizări în absenţa unui câmp magnetic exterior, se consideră că fiecare corp feromagnetic este format, sub temperatura Curie, dintr-un mare număr de regiuni (domenii magnetice) în care există o magnetizare spontană, dar orientarea vectorului magnetizare spontană diferă de la un domeniu la altul.

TEORIA MAGNETIZĂRII SPONTANE

Teoria magnetizării spontane elaborată de Weiss şi perfecţionată ulterior prin tratarea cuantică a problemei, se referă numai la feromagnetismul electronilor legaţi. Deoarece, pentru corpurile feromagnetice g≈2 rezultă că principala contribuţie la μAT o au momentele magnetice de spin şi aici funcţia BJ(x)=th(x).

Conform teoriei lui Weiss, câmpul molecular intern, care determină orientarea spontană a momentelor magnetice atomice H l este proporţional cu magnetizaţia:

H i=α ∙ M (100)α fiind constanta câmpului molecular intern.

În acest fel, un corp feromagnetic introdus într-un câmp magnetic exterior H e se află sub acţiunea unui câmp magnetic efectiv:

H ef =H e+H i=H e+α ∙ M (101)

Mărimea x se defineşte în acest caz:

x=μ0 ∙ g ∙ μBP ∙ J ( H e+α ∙ M )

kB ∙T (102)

din care se poate deduce dependenţa de x a mărimii M/M 0 printr-o serie de transformări:

x=μ0 ∙ g ∙ μBP ∙ J ∙ H e

k B ∙T+

μ0 ∙ g ∙ μBP ∙ J ∙ α ∙ M

kB ∙ T (103)

Dar din:

M 0=n0 μAT =n0 gJ ∙μBP (104)

rezultă:

MM 0

=(x−μ0 ∙ g ∙ μBP ∙ J ∙ H e

k B ∙T ) ∙k B ∙T

μ0 ∙ g ∙ μBP ∙ J ∙ α ∙ M 0

(105)

şi deoarece:

k B=RN

,n0=N ∙ ρ

A

MM 0

=xkB ∙T

μ0 ∙ g∙ μBP ∙ J ∙ α ∙ M 0

−H e

α ∙ M 0

(106)

g ∙ μBP ∙ J=M 0

n0

=M 0

N ∙ ρ∙ A

rezultă:

MM 0

= ρA

∙R ∙T

μ0∙ α ∙ M 02 ∙ x−

H e

αM0 (107)

În acelaşi timp, conform relaţiei (91) din sistemul de ecuaţii (107) şi (91) rezultă prin rezolvare grafică magnetizaţia relativă conform figurii 6.

Din analiza figurii şi a ecuaţiei (107) se constată că şi în cazul H l= 0, magnetizaţia rămâne diferită de zero, deci are loc orientarea spontană paralelă a momentelor atomice individuale.

Deoarece la temperatura Curie (T e) are loc trecerea de la starea feromagnetică la starea de paramagnetism normal, înseamnă că la această temperatură energia de agitaţie termică kB∙Te devine egală cu energia magnetică de interacţiune dintre momentele magnetice atomice şi câmpul molecular intern, deci:

k B ∙T C=μ0 ∙ g ∙ μBP ∙ S ∙ H e (108)

relaţie care poate exprima valoarea lui H l ; de exemplu, la Fe T e ≈10 3 , g≈2, S≈1, rezultând:

H i=k B∙ T C

μ0 ∙ g ∙ μBP ∙ S= 1,38 ∙10−28 ∙ 103

4 π ∙ 10−7 ∙2 ∙ 9,28 ∙10−14 ∙ 1=5,9 ∙108 [ A /m ]

Fig. 6. Dependenţa magnetizării relative M/M0 de intensitatea câmpului magnetic H

e (exprimat prin x=μ0

g ∙ μBP ( H e+αμ )kB ∙ T

∙ J şi de temperatura (T1<T2<Tc<T3);

a-curba dată de expresia (19); b-dreapta dată de expresia (107).

O altă posibilitate de evaluare a câmpului molecular intern porneşte de la determinarea constantei acestui câmp, α. Astfel, considerând în domeniu T>Tc valabilă legea Curie pentru susceptibilitatea magnetică efectivă χef definită cu relaţia:

χef =M

H ef + Mi

= MH e+αM

=CT (109)

din ultima egalitate rezultă:

M (T−C ∙ α )=C−H e (110)

Şi definind susceptivitatea magnetică cu raportul dintre magnetizaţie şi câmpul exterior aplicat, rezultă:

χ= MH e

= CT−C ∙ α (111)

Relaţia (111) este de fapt legea lui Curie-Weiss.

La T=C∙α, susceptivitatea magnetică devine infinită, M fiind diferit de zero, iar H e =0.

Deci la orice temperatură T<C∙α, va exista o magnetizaţie spontană, în acest fel mărimea C∙α fiind identificată cu temperatura Curie:

T C=C ∙ α (112)

Folosind pentru C relaţia (78) se poate calcula α

α=TC

C=

3 k B ∙T C

n0 ∙ μ0 ∙ g2 ∙ μBP2 ∙ J ( J+1 )

(112, a)

pentru Fe:

n= NV ∙ A

=N ∙ ρA

=6,023∙ 1026 ∙7,8 ∙ 108

56=8,39 ∙1028

α= 3∙ 1,38 ∙ 10−23 ∙108

8,39 ∙1023 ∙ 4 ∙9,282 ∙10−48 ∙ 4 π ∙10−7 =570,25

şi deoarece:

M 0 ≈106 [ A /m ] la x

rezultă:

H i ≈ 5,7∙ 108 [ A /m ]

deci rezultat similar.

Valoarea extrem de mare a câmpului molecular intern Hl, mult mai mare decât câmpurile magnetice obţinute în condiţii de laborator, pledează pentru natura sa nemagnetică, fapt dovedit şi de experienţele lui Dorfman, care trecând un fascicul de electroni printr-o folie subţire de Ni, nu a constatat modificarea traiectoriei care ar fi trebuit să fie produsă de un câmp magnetic.

Din teoria cuantică a feromagnetismului rezultă că acest câmp molecular intern este determinat de forţele de schimb (forţe de natură cuantică discutate la analiza legăturii covalente).

Astfel pentru un sistem din doi atomi hidrogenoizi a căror stare este descrisă de o funcţie de undă simetrică, care corespunde orientării antiparalele a spinilor, energia sistemului este dată de expresia:

ES=2 E0+1

2 ( 1+S2 )(C+ A ) (113)

În cazul sistemului descris de o funcţie de undă antisimetrică, corespunzător orientării paralele a spinilor, energia sistemului este dată de expresia:

Ea=2 E0+1

2 (1−S2)(C−A ) (114)

În aceste expresii:

E0-este energia electronului în câmpul propriului nucleu (energia atomului izolat);

C-o energie de natură coulombiană;

A-o energie de natură cuantică rezultată din schimbul electronilor între perechile vecine, numită energie de schimb (sau integrală de schimb);

S-integrala de suprapunere care ia în considerare gradul de suprapunere al norilor electronici de la atomii vecini.

Diferenţa dintre energiile celor două stări posibile este:

Ea−ES=1

1−S4(S2C−A ) (115)

Când Ea>Es, este stabilă' starea cu spini antiparaleli cum este cazul în legătura covalentă, această stare fiind situaţia cea mai frecvent întâlnită.

În cazul feromagnetismului este realizată însă condiţia Ea<Es, ceea ce corespunde orientării spontane paralele a spinilor electronici.

Pentru ca acest lucru să fie posibil, este necesar după Heisemberg şi Frenkel ca integrala de schimb A să fie pozitivă şi suficient de mare, respectiv :

A>0 şi A>S2 C

Pe lângă aceste condiţii, este necesar ca atomii să posede straturi electronice interne incomplete, aşa cum este cazul cu elementele din grupele de tranziţie.

După Slater, mărimea integralei de schimb A depinde de raportul dintre distanţa atomică a şi raza orbitei incomplete (3d sau 4f)r dependenţă dată de curba Sommerfeld şi Bethe (fig. 7).

Fig. 7. Dependenţa energiei (integralei) de schimb, A, de raportul a/r (curba Sommerfeld-Bethe).

Din analiza figurii rezultă că la rapoarte mari a/r, integrala de schimb, deşi pozitivă, este prea mică şi nu poate determina menţinerea orientării paralele a spinilor, comportarea substanţelor respective fiind tipic paramagnetică. La rapoarte mici a/r (pentru elementele din grupa de tranziţie 3d, a/r=3,5...3,75), integrala de schimb este suficient de mare pentru a asigura orientarea spontană paralelă a spinilor, deci o comportare feromagnetică. în cazul rapoartelor a/r foarte mici (pentru cazul discutat sub 3,5), integrala de schimb devine negativă, ceea ce conduce la orientarea spontană antiparalelă a spinilor electronici, deci la antiferomagnetism.

O confirmare concludentă a curbei din figura 7 a fost dată de apariţia feromagnetismului în cazurile elementelor antiferomagnetice, dacă prin aliere se măreşte distanţa dintre atomi, astfel încât raportul a/r să treacă în domeniul feromagnetic. Astfel, alierea manganului, cu sulf, bismut, arsen, aluminiu, face ca aliajele respective să fie feromagnetice, deşi nici-unul din componenţii separaţi nu este feromagnetic. în această categorie intră compuşii: MnSb ; Mn Bi; Al0,89 Mn1,11 etc.

Pentru un sistem format dintr-un număr mare de atomi, energia de schimb este:

E s=−2∑α , β

Aα , β ∙ Sα ∙ S β (116)

unde: Aαβ este integrala de schimb pentru atomii α şi β; Sα, Sβ-vectorii de spin ai atomilor respectivi.

Pentru doi atomi i şi j relaţia devine:

ES=−2 A ∙ S i ∙ S j (117)

În cazul aproximaţiei câmpului molecular, când se obţine o corelare slabă a spinilor electronici, se poate determina legătura între constanta câmpului molecular α şi integrala de schimb A.

Astfel, într-un cristal al unui metal pur cu numărul de coordinaţie z se poate scrie:

ES=−2 zA ∙ S2 (118)

unde S este valoarea medie a proiectării spinului S pe direcţia de magnetizare M .

Deoarece la corpurile feromagnetice, momentul magnetic este dat în principal de contribuţia spinului, se poate scrie:

μ=g ∙ S ∙ μBP (119)

iar energia de schimb considerată energia momentului magnetic atomic în câmpul molecular intern este:

ES=−μ0 ∙ g ∙ S ∙ μBP ∙ H i=−μ0 ∙ g∙ S ∙ μBP ∙ α ∙ M 0 (120)

dar:

M 0=n0 g ∙ S μBP (121)

n0 fiind numărul de atomi pe unitatea de volum.

În acest fel:

ES=−μ0 ∙ n0 ∙ g2 ∙ S2∙ μBP2 ∙ α (122)

Şi egalând (118) şi (122) se poate scrie:

A=μ0 ∙ n0 ∙ g2 ∙ μBP

2 ∙ α2∙ z

(123)

sau înlocuind pe α cu (112) rezultă:

A=3 kB ∙ TC

2 Z ∙ J ( J+1 )=

3kB T C

2 Z ∙ S(S+1)(124)

Pentru Feα se obţine astfel:

A=3 ∙ 1,38∙ 10−22 ∙103

2 ∙8 ∙ 2=1,294 ∙10−21 [ J ]=8,075 [ eV ] (125)

La temperaturi scăzute, aproximaţia câmpului molecular nu mai dă satisfacţii datorită corelării puternice a spinilor care sunt toţi orientaţi în aceeaşi direcţie. Orice abatere a direcţiei unui spin de la direcţia comună este transmisă întregului sistem sub forma unei unde de spin. Energiile undelor de spin sunt cuantificate, cuanta pentru energia undelor de spin numindu-se magnon.

TEORIA DOMENIILOR MAGNETICE

Cea de-a doua ipoteză a lui Weiss cuprinsă în teoria domeniilor magnetice a fost necesară pentru a explica lipsa unei magnetizaţii spontane diferite de zero la corpurile feromagnetice în absenţa unui câmp magnetic exterior, la temperaturi mai mici decât temperatura Curie.

Conform acestei ipoteze, orice corp feromagnetic este format din mici domenii magnetice, cu magnetizare spontană diferită de zero, chiar în absenţa unui câmp magnetic exterior, dar cu orientarea întâmplătoare a vectorului magnetizaţie de la un domeniu la altul, astfel încât pe ansamblu, magnetizaţia este nulă. Aceste regiuni se mai numesc şi domenii de magnetizaţie spontană (fig. 8).

Forma şi dimensiunile domeniilor magnetice variază cu tensiunile interne, cu dimensiunile şi forma probei, cu structura suprafeţei etc. şi pot f i puse în evidenţă experimental prin diferite tehnici, ca, de exemplu, prin metoda Bitter-Aculov care constă în depunerea unei pulberi magnetice foarte fine, de obicei în suspensie coloidală pe suprafaţa probei îngrijit lus-truită şi se va constata conturarea limitelor dintre domenii cu particule din pulberea feromagnetică, acestea fiind atrase de câmpurile de dispersie de la limita de domeniu. O condiţie obligatorie este ca dimensiunile particulelor din pulberea feromagnetică să fie mai mică decât dimensiunile monodomeniilor.

Fig. 8. Orientarea vectorilor M s din domeniile magnetice ale unui corp feromagnetic la H e=0.

ANIZOTROPIA MAGNETICĂ

Considerând procesul de magnetizare a unui monodomeniu după diferite direcţii cristalografice, se constată că există direcţii cristalografice după

Fig. 9. Dependenţa curbelor M—H e de direcţia de magnetizare pentru un monocristal de fier.

care acest proces se realizează cel mai uşor, respectiv se atinge saturaţia magnetică la valorile cele mai mici ale câmpului magnetic exterior, numite direcţii de magnetizare uşoare şi direcţii de magnetizare grea pentru care acest^ proces se realizează cel mai greu.

În figura 9 se reprezintă curbele de magnetizare pentru monocristale de Fe, Co şi Ni. Acest fenomen poartă numele de anizotropie magnetică.

Deoarece energia necesară magnetizării după o direcţie de magnetizare este:

U=V ∫0

M S

H ∙ d M (126)

se defineşte ca energie de anizotropie cristalină sau energie magnetocristalină Ua diferenţa între energia de magnetizare după o direcţie oarecare şi energia de magnetizare după o direcţie uşoară de magnetizare.

Dacă pentru un monocristal (fig. 10) A B reprezintă direcţia de magnetizare uşoară, atunci energia de anizotropie magnetică în cazul magnetizării după o direcţie oarecare CB este dată de diferenţa:

U a=UCB−U AB (127)

ilustrată grafic pe figura 11.

Fig. 10. Orientarea vectorului Ms într-un monodomeniu: a-după direcţia de magnetizare uşoară (AB) la H e=0; b-după direcţia H e la H e≠0.

Fig. 11. Semnificaţia energiei de anizotropie; UAB=energia de magnetizare după direcţia AB; UCB=energia de magnetizare după direcţia AC ; Uα=UCB-UAB=energia de anizotropie magnetică.

Pentru un cristal cubic de volum V , dacă α1, α2, α3 sunt unghiurile făcute de direcţia de magnetizare cu axele cristalului atunci:

U a=V ∙ K (cos2 α1 ∙cos2 α2+cos2 α2 cos2 α3+cos2 α3 ∙ cos2 α1 )=V ∙ K ∑i , j=1

i ≠ j

3

cos2α 1 ∙ cos2α j

(128)

unde K este constanta de anizotropie.

Pentru un cristal hexagonal (de exemplu, cobalt) :

U a=VK ∙ sin2 θ (129)

unde 𝛉 este unghiul dintre M s şi axa hexagonală.

Pentru câteva metale şi aliaje feromagnetice, direcţiile de magnetizare uşoară, grea şi constantele de anizotropie sunt date în tabelul 3,

Tabelul 3

Anizotropia magnetică a unor materiale feromagnetice

Materialul Direcţia de magnetizare uşoară,

[u1,u2,u3]

Direcţia de magnetizare grea,

[u1,u2,u3]

Constanta de anizotropie, K, în

kJ/m2

Fier 100 111 + -42

Cobalt 0001 1010 +410

Nichel 111 100 -3,4

Permaloi

(75% Ni 25% Fe)

- - 0

Supermaloi

(67% Ni 33% Fe)

- - +3,5

MAGNETOSTRICŢIUNEA ŞI TERMOSTRICŢIUNEA

Între magnetizare şi deformaţiile mecanice există o interdependenţă respectiv în procesul de magnetizare corpul îşi schimbă forma şi dimensiunile şi invers, prin deformare un corp îşi modifică comportarea în procesul de magnetizare, aşa cum se prezintă în figura 12 pentru un fir de nichel supus la tracţiune.

Acest fenomen se numeşte magnetostricţiune şi este caracterizat prin constanta de magnetostricţiune λ:

λ=dll

(130)

Constanta de magnetostricţiune este anizotropă, depinzând de direcţiile cristalografice (fig. 13) şi pentru anumite valori ale câmpului atinge o valoare maximă numită constantă de saturaţie λs.

Tensiunea internă produsă de deformarea prin magnetostricţiune se poate determina cu ajutorul legii lui Hooke:

σ=λ ∙ E (131)

Fig. 12. Curba de primă magnetizare la un fir de nichel tensionat.

Fig. 13. Dependenţa constantei de magnetostricțiune de direcţia cristalografică [u1u2u3] şi de intensitatea câmpului magnetic H e aplicat, la un monocristal de Fe (schemă).

de exemplu, la fier:

λS=19 ∙10−6 şi E=2∙1011 [ N /m2 ]

şi deci:

σ=3,8 ∙106 [ N /m2 ]

Energia de deformare magnetoelastică se numeşte energie magnetoelastică şi se poate determina astfel:

Ume=−σ ∙ λS

2∙V (132)

sau pentru magnetostricţiunea izotropă (corpuri policristaline) caracterizată prin:

λ [100 ]≅ λ[110 ] ≈ λ [111] ≈ λS

relaţia devine:

Ume=−32

λS σ ∙ V ∙ cos2θ (133)

unde G este unghiul dintre magnetizare şi tensiune.

Termostricţiunea este fenomenul care determină modificarea formei şi dimensiunilor corpurilor feromagnetice ca urmare a magnetizării spontane, când temperatura scade sub temperatura Curie. De exemplu, un monodomeniu sferic (fig. 14, a) dintr-un material cu magnetostricţiune pozitivă se va alungi în direcţia de magnetizare uşoară la T<Te (fig. 14,b).

Deoarece pentru modificarea formei prin magnetostricţiune este necesară atingerea forţelor elastice care se nasc, iar în cazul corpurilor policristaline şi a rezistenţei la deformare opusă de grăunţii vecini, rezultă că prin aplicarea unei tensiuni exterioare în direcţia câmpului H (de întindere pentru corpurile cu magnetostricţiune pozitivă şi de compresiune pentru cele cu magnetostricţiune negativă), procesul de magnetizare este uşurat,

Fig. 14. Modificarea formei unui monodomeniu magnetic la trecerea din starea paramagnetică în starea feromagnetică

Fig. 15. Ciclul histerezis al unui aliaj Fe-Ni (cu 8% Ni):a-în absenţa tensiunilor mecanice (σ=0);b-în prezenţa unei tensiuni mecanice în direcţia H (𝜎-5-108 N/m2).

direcţia tensiunii puţind să devină (la tensiuni suficient de mari) direcţie de magnetizare uşoară, ciclul de magnetizare devenind dreptunghiular (fig. 15) pentru o bucată de aliaj Fe-Ni cu 8% Ni, care la σ≈5∙108 [N/m2] prezintă un ciclu histerezis dreptunghiular. Astfel se poate spune că în cazul când:

Ume≫U a⇒ σ ∙ λS ≫K

direcţia tensiunii devine direcţia de magnetizare uşoară.

În cazul când energia magnetoelastică şi energia de anizotropie cristalină au acelaşi ordin de mărime, direcţia de magnetizare uşoara din fiecare domeniu corespunde condiţiei: Ume+Uα=minim şi se poate vorbi de o constantă de anizotropie magnetică efectivă:

K ef =αK +β ∙ λS ∙ σ (134)

unde α şi β sunt constante apropiate de unitate.

ENERGIA MAGNETOSTATICĂ

Când un corp magnetic de volum V se află într-un câmp magnetic H , energia sa magnetică este:

U H=−μ0 H ∙ M ∙V =−μ0 HMV ∙cosθ (135)

θ—fiind unghiul dintre vectorii M şi H .

Datorită magnetizării spontane chiar în absenţa unui câmp exterior, un corp feromagnetic formează propriile sale câmpuri demagnetizante, micro sau macroscopice, date de existenţa polilor magnetici liberi la limitele dintre domenii, dintre grăunţi, la suprafaţa corpului. Aceste câmpuri determină în corpurile feromagnetice apariţia unei energii potenţiale supli-mentare, numită energie magnetostatică (Ums).

Pentru un corp de formă sferică: Hd=-N∙Ms şi

Ums=μ0

2N M S

2 ∙ V (136)

în cazul sferei, factorul demagnetizant N=1/3.

Pentru elipsoidul de rotaţie, câmpul demagnetizant pe o direcţie la unghiul θ faţă de axa mare este:

H d=−¿

şi deci:

Ums=μ0

2M S

2 V ¿ (137)

Deoarece N t >Nl cu excepţia corpurilor de formă sferică, corpurile feromagnetice prezintă o anizotropie a formei. Dacă Ums>Ume+Ua, anizotropia formei determină direcţia de magnetizare uşoară, axa mare a elipsoidului devenind direcţia de magnetizare uşoară. Pentru cilindru infinit lung (practic pentru l/d>15) Nl=0 şi Nt=1/2.

MAGNETIZAREA CORPURILOR FEROMAGNETICE

Deoarece, conform teoriei domeniilor magnetice, în lipsa unui câmp magnetic exterior, vectorii magnetizare spontană sunt distribuiţi la întâmplare în fiecare monodomeniu, la aplicarea unui câmp magnetic exterior magnetizarea se realizează prin trei procese:

— procese de deplasare a pereţilor dintre domenii (OA pe curbele de primă magnetizare, fig. 16);

— procese de rotaţie a vectorilor M s în direcţiile lui H (porţiunea AB, fig. 16)

Fig. 16. Ciclul histerezis al unui corp feromagnetic şi curba de primi magnetizare (OABC).

Fig. 17. Etapele magnetizării unui corp feromagnetic:

a-H e=0 ; b-deplasarea pereţilor de domenii Ia H1>0; c-formarea unui singur domeniu la H2>H1 ;d-rotirea vectorului Ms la H3>M2 .

— procese paramagnetice sau de magnetizare adevărată (de la atingerea saturaţiei tehnice Ms

până la saturaţia absolută M0=n∙μAT).Primele două procese pot fi ilustrate prin figurile 17, a, b, c şi d.

Fie un corp format din patru monodomenii în care vectorii M s în absenţa unui câmp exterior sunt orientaţi după direcţiile de magnetizare uşoară (fig. 17,a).

La aplicarea unui câmp H1>0, are loc un proces de deplasare a pereţilor dintre domenii, în sensul creşterii celor cu orientare favorabilă faţă de H (fig. 17,b).

La o altă valoare H 2 >H1 corpul va fi format dintr-un singur monodomeniu cu orientarea lui M s după direcţia de magnetizare uşoară, cea mai apropiată de H . În cazul monocristalelor foarte pure, unde nu acţionează decât anizotropia cristalină, acest proces se face la câmpuri foarte mici (H→0) şi deci 𝛘α→∞. La corpurile policristaline acţionează şi alţi factori, ceea ce face ca magnetizarea să se facă la câmpuri continuu crescătoare (fig. 16).

Din acest moment, magnetizarea continuă prin procese de rotaţie a vectorului M s

până când la H 3 acesta devine paralel cu câmpul aplicat. Procesele de rotaţie au loc la câmpuri mari, după ce limitele dintre domenii au dispărut şi după desăvârșirea lui se ajunge la magnetizaţia de saturaţie tehnică Ms.

La creşterea în continuare a câmpului aplicat, creşterea magnetizării este liniară de tip paramagnetic şi este determinată de orientarea, paralelă cu câmpul, a momentelor atomice neorientate din cauza agitaţiei termice sau a altor cauze. Magnetizarea obţinută după desăvârșirea celor trei procese poartă numele de magnetizare de saturaţie absolută M 0 =n0∙μAT.

Procesul de magnetizare care are loc la un monocristal feromagnetic rezultă şi din analiza relaţiei:

m=M ∙V =∑i=1

n

M S ∙V icosθ i (138)

unde: m este momentul magnetic al corpului de volum V; V i-volumul domeniului i; θi-unghiul dintre vectorul M s în domeniul i şi câmpul aplicat H .

Creşterea momentului magnetic şi deci a magnetizării este:

dm=V ∙dM=∑i=1

n

M Scos θi ∙ dV i+∑i=1

n

M SV i d (cosθ i)+∑i=1

n

V icos θi d M s (139)

Primul termen din expresia (139) reprezintă creşterea magnetizării prin deplasarea pereţilor de domenii, cel de-al doilea corespunde proceselor de rotaţie, iar cel de-al treilea procesului para.

Dacă după obţinerea saturaţiei tehnice Ms, se reduce H la zero, vectorul M s din fiecare cristal se roteşte în sens invers spre direcţia de magnetizare uşoară, care face cel mai mic unghi cu H . Corpul rămâne astfel magnetizat până la valoarea MR numită magnetizaţie remanentă, conform figurii 17,d :

M R=M S ∙ cosθ (140)

Pentru un monocristal sau un material texturat, în cazul când H este paralel cu axa de magnetizare uşoară MR=Ms şi ciclul histerezis devine dreptunghiular.

FORMAREA DOMENIILOR MAGNETICE

În absenţa tensiunilor, a anizotropiei şi a câmpului magnetic exterior,în fiecare domeniu vectorul de magnetizare M s este orientat după una din direcţiile de magnetizare uşoară care sunt în fiecare cristal cel puţin două (la fier sunt şase).

Trecerea de la un domeniu la altul se face prin pereţii de domenii în interiorul cărora direcţia momentelor magnetice atomice trece treptat de la cea corespunzătoare unui domeniu, la cea corespunzătoare domeniului vecin (fig. 18).

Fig. 18. Structura unui perete Bloch (schemă).

Fig.19. Dependenţa energiei magnetostatice (Ume), superficiale (Uγ) şi a energiei totale (U) a unui corp feromagnetic de dimensiunea domeniilor magnetice.

Grosimea pereţilor de domeniu, numiţi şi pereţii Bloch, este :

δ=C1√ AK ef ∙ a3 (141)

şi au o energie superficială pe unitatea de suprafaţă (tensiune superficială):

γ=C2 √ K ef ∙ Aa

(142)

În aceste relaţii, C1 şi C2 sunt constante de proporţionalitate; A-integrala de schimb; iar a-parametrul reticular.

Pentru materialele feromagnetice, rezultă că:

δ=(102…103 ) Å şi γ=103 J /m2

Dimensiunea critică a unui monodomeniu este rezultată din condiţia de minim a energiei. Astfel, prin împărţirea unui monodomeniu în n domenii, energia magnetostatică se reduce de n ori, dar în acelaşi timp creşte energia superficială ca urmare a formării pereţilor dintre domenii (fig. 19).

Considerând cazul simplificat al unui monocristal sferic în condiţia când este monodomeniu (fig. 20, a) energia lui va f i :

U 1=U ms=μ0

2N M S

2 V=μ0

12πN M S

2 ∙ d3 (143)

Fig. 20. Monocristal sferic: a-monodomenial; b - bidomenial

iar dacă se împarte în două domenii (fig. 20, b) rezultă:

U 2=Ums

2+U γ S=

μ0

24πN M S

2 d3+ π4

d2 γ (144)

Pentru a fi monodomeniu trebuie îndeplinită condiţia:

U 1 ≤U 2

respectiv:

π12

μ0 N M S2 d3 ≤

π24

μ0 N M S2 d3+ π

4d2 γ (145)

din care rezultă:

d ≤6 γ

μ0 N M S2=dcr (146)

La sferă N=1/3 şi deci:

dcr=18 γ

μ0 M S2 (147)

Pentru fier: γ≈10-3 J/m2 şi Ms≈10 A/m, rezultând: dcr≈102Å (practic dcr=102...103Å).