42513

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

PROBABILIDAD

42513

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

PROBABILIDAD

• Si existen n posibilidades igualmente probables, una de las cuales debe ocurrir y

S se considera como el conjunto de posibilidades que se consideran como

favorables o como un “éxito”, entonces la probabilidad de un “éxito” esta dada por

N

SP =

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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

PROBABILIDAD

• Permite cuantificar la variabilidad en el resultado de un experimento cuyo resultado exacto es imposible de predecir con seguridad.

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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Ejercicio

1. ¿Qué probabilidad hay de extraer un as de una baraja de 52 naipes?

077.052

4

52

4

==

==

=

P

N

SN

SP

Número de ases

Número de cartas

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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Interpretación de Frecuencias de Probabilidad

• La probabilidad de un evento está asociado con la frecuencia de ocurrencia de experimentos repetidos en el pasado.

• La Interpretación de frecuencias se utiliza para estimar la probabilidad de un evento mediante observación de situaciones del pasado.

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Ejercicio• Si los registros indican que 294 de 300

aislantes cerámicos probados resisten cierto impacto térmico. ¿Qué probabilidad hay de que cualquiera de los aislantes no probados resista el impacto térmico?

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Axiomas de Probabilidad

• Axioma 1: Las probabilidades son números reales de 0 a 1. 0 ≤ P(A) ≤ 1.

• Axioma 2: Al espacio muestral en su conjunto se le asigna una probabilidad de 1. P(S)=1.

• Axioma 3: Si A y B son cualesquiera eventos mutuamente excluyentes en S, entonces P(AUB)=P(A)+P(B).

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Ejercicio

• Si un experimento tiene 3 resultados posibles y mutualmente excluyentes A, B y C verifique en cada caso si la asignación de probabilidad es permisible.a)P(A)=1/3 P(B)=1/3 P(C)=1/3

b)P(A)=0.64 P(B)=0.83 P(C)=-0.02

c)P(A)=0.35 P(B)=0.52 P(C)=0.26

d)P(A)=0.57 P(B)=0.24 P(C)=0.19

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• Regla General de la Adición. Si A y B son cualesquiera eventos en S entonces P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B). Si los eventos son mutuamente excluyentes P(A∩B)=0.

• Probabilidad de Complemento. Si A es cualesquier evento en S entonces P(A’)=1-P(A)

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Ejercicio

• Del diagrama de venn expuesto en el tablero, el cual representa los ingenieros que están trabajando en la industria y el gobierno. ¿Cuál es la P(I) y P(G)? Halle la P(I∩G) y P(IUG).

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VARIABLES ALEATORIAS

• Funciones definidas sobre los elementos de un espacio Muestral– Variables aleatorias discretas– Variables aleatorias continuas

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Variables aleatorias discretas y la FDA

• La función de probabilidad P(X≤x) se conoce como función de distribución acumulativa (FDA)

∑=

=

−=≤<−=>

≤≤≤≅

k

iixkx

xx

x

x

x

XPxF

aFbFbXaP

xFxXP

xF

xXPxF

1

)()(

)()()(

)(1)(

1)(0

)()(

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Ejemplo FDA

• Si tenemos una distribución de probabilidad:

X 0 1 2 3

Probabilidad f(x) 0.26 0.5 0.22 0.02

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Ejercicio

• Considérese el experimento de transmitir un mensaje de tres dígitos por un canal ruidoso con una probabilidad de error P(E)=2/5 por dígito, y los errores son estadísticamente independientes dígito a dígito, de modo que la probabilidad de recibir un dígito correcto es P(C)=1-2/5=0.6. Tome X como el número de errores en un mensaje recibido y determine la función de frecuencia y la FDA correspondiente

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Variables aleatorias continuas y FDP• Una variable aleatoria

continua puede tener cualquier valor dentro de cierto intervalo de la recta real, en vez de restringirse a un numero contable de puntos distintos.

• Una VA continua tiene un numero incontable de valores posibles.

• Una fdp es una función no negativa cuya área total es igual a la unidad y cuya área en el intervalo a<x<b es igual a la probabilidad de observar a X en ese intervalo.

)()(

)()()()(

1)(

0)(

)()()(

)()(

xXdxxPdxxP

dxxPaFbFbXaP

dxxP

xP

dPxFxXP

dx

xdFxP

x

b

a

xxx

x

x

x

xx

xx

<<−=

=−=≤<

=

≥

==≤

≅

∫

∫

∫

∞

∞−

∞−

λλ

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