Download pptx - Presentatie titel

Presentatie titel

Rotterdam, 00 januari 2007

Computer Graphics

Technische Informatica

www.hogeschool-rotterdam.nl/cmi

Les 4 • Les 4 gaat over de hoofdstukken:

• 6.1 Meetkundige 3D transformaties

• 6.2 3D transformaties van coordinaten

• 6.3 Samengestelde 3D transformaties

• 6.4 Instantie 3D transformaties

• 7.1 Indelingen van Projectie

• 7.2 Perspectief projectie

• 7.3 Parallelle projectie

Inleiding • Manipulatie en constructie van 3-dimensionale

grafische beelden vereist het gebruik van 3 dimensionale meetkundige en coordinaat transformaties

• Gevormd door basis transformaties:• Translatie• Rotatie• Verschaling

1. Directe manipulatie met meetkundige transformaties

2. Stationair via coordinaat transformaties

Meetkundige transformaties• Een object Obj in het vlak kan worden

beschouwd als een verzameling punten

Obj= {P(x,y,z)}

• Als het verplaatst wordt , wordt het een nieuw object Obj’ , waarin alle punten P’(x’,y’,z’) verkregen kunnen worden uit P(x,y,z) door middel van meetkundige transformaties

Translatie• Bij een translatie wordt een object verplaatst

over een gegeven afstand van de orginele positie

• De verplaatsing is gegeven door de vector v=aI +bJ+cK

• Het nieuwe punt P’(x’,y’,z’) kan gevonden worden door de transformatie Tv vanuit P(x,y,z )

• P’= Tv (P) (zie fig 6-1)

Translatie• Om transformaties mogelijk te maken zijn

homogene coordinaten nodig:

Verschalen t.o.v. oorsprong• Bij verschaling veranderen de afmetingen van

het object

• De schaalfactor s bepaald of de verschaling een vergroting is, s>1 of een verkleining s<1

• De volgende transformatie:

Verschalen t.o.v. oorsprong• In matrix vorm

• Met homogene coordinaten:

Rotatie om de oorsprong• Rotatie in 3 dimensies is veel complexer dan

bij 2 dimensies

• Bij 2 dimensies heb je een rotatie met rotatiehoek θ en een rotatiecentrum P

• Bij 3 dimensies heb je een rotatiehoek en een rotatieas

• De canonieke rotaties zijn gedefinieerd als één van de positieve x,y,z-assen is gekozen als rotatieas

• Dan wordt de constructie van de transformatie gelijk aan die in 2 dimensies (zie fig 6-2)

Rotatie om de oorsprong

• Rotatie om de z-as

• Hierin is θ de rotatiehoek

• En K de rotatie as (z-as)

Rotatie om de oorsprong• Rotatie om de x-as


• En J de rotatie as (y-as)

• Deze wordt verkregen door cyclische permutatie vanuit rotatie om z-as:

• Verwissel

• x met y (overal waar x staat vul je y in)

• y met z (overal waar y staat vul je z in)

• z met x (overal waar z staat vul je x in)

Rotatie om de oorsprong• Rotatie om de y-as


• En I de rotatie as (x-as)

• Deze wordt verkregen door cyclische permutatie vanuit rotatie om z-as:

• Verwissel

• x met z (overal waar x staat vul je z in)

• y met x (overal waar y staat vul je x in)

• z met y (overal waar z staat vul je y in)

Rotatie om de oorsprong• De richting van de positieve rotatiehoek is

overeenkomstig de rechterhand-regel met betrekking tot de rotatieas (zie appendix 2)

Rotatie om de oorsprong• Rotatie om de z-as

• In matrix vorm


Rotatie om de oorsprong• Rotatie om de y-as

• In matrix vorm


•

Rotatie om de oorsprong• Rotatie om de x-as

• In matrix vorm


Rotatie om de as L• Deze kan bepaald worden uit de canonieke

rotaties

• Gegeven: De rotatieas L heeft de richtingsvector V en een lokatie punt P op L (zie fig 6-5)

• Gevraagd de transformatie voor een rotatie van θ om L

Rotatie om de as L• Er dienen de volgende stappen te worden

uitgevoerd:

1. Een translatie van P naar de oorsprong (T-P)

2. Laat de richting van V samenvallen met die van K (Av) (A=alignment =uitlijning)

3. Roteer θ om de as K (Rθ,K)

4. Maak de richting van K weer gelijk aan V (Av-1)

5. Een translatie terug van de oorsprong naar P (T-P

-1)

Rotatie om de as L• De transformatie wordt dan:

• Rθ,L= T-P-1.Av

-1.Rθ,K.Av.T-P

• De transformatie Av is beschreven in oefening 6.2 ( zie fig 6-4a en 6-4b en 64-c)

• Gegeven is de vector V=aI+ bJ +cK

• De volgende transformaties moeten worden uitgevoerd:

1. Roteer om de X-as over een hoek θ1 zodat V roteert in het bovenste xz vlak (vector V1) (fig 6-4b)

2. Roteer V1 om de Y-as met een hoek –θ 2 zodat V1 roteert naar de positieve z-as (vector V2) (fig 6-4c)

Rotatie om de as L• Fig 6-4a

Rotatie om de as L• Fig 6-4b

Rotatie om de as L• Fig 6-4c

Coordinaten transformatie• We kunnen ook het object stil houden en het

coordinatensysteem veranderen

• We plaatsen een coordinatensysteem bij de observator

• We bewegen de observator en het coordinaatsysteem

• We berekenen de coordinaten van het object t.o.v. het nieuwe coordinatensysteem ( zie fig 6-3)

• De verplaatsing beschreven wordt door vector V=aI+bJ+cK

• Een P(x,y,z) uit het orginele systeem gaat naar P’(x’,y’,z’)

Coordinaten transformatie

• Dan is:

Coordinaten transformatie• De afleiding is identiek bij 2 dimensies

• Gelijke afleidingen zijn er voor rotatie en verschaling

• De relatie tussen coordinaat en meetkundige transformaties

Coordinaten Meetkundig

• Translatie: v T-v

• Rotatie: θ R-θ

• Verschalen: sx,sy,sz S 1/sx,1/sy,1/sz

• De inverse operaties:

•

Samengestelde transformaties• Meer complexe transformaties worden

gebouwd vanuit de basis transformaties met compositie van functies ( zie appendix 1)

• Voor matrix functies is compositie gelijk aan matrix vermenigvuldiging

• De standaard 3*3 matrix kan omgezet worden in een 4*4 matrix ( homogeen)

Instantie transformaties• Als een object gecreerd is met eigen

coordinatensysteem kunnen we een copie of een instantie plaatsen in een grotere scene

• Die scene is beschreven in een onafhankleijk coordinatensysteem

• We kunnen dan een coordinaten transformatie uitvoeren. Dit noemen we een instant transformatie

Wiskunde van projecties

• Er zijn fundamentele verschillen tussen de echte 3D-wereld en de beschrijving van een 2D plaatje ( projectie)

• Projectie is gedefinieerd als een afbeelding van punt P(x,y,z) op zijn beeld P’(x’,y’,z’) in het projectievlak (view plane) (zie fig 7-1)

Wiskunde van projecties• De afbeelding wordt bepaald door een

projectielijn genaamd projector die door P gaat en het projectievlak snijdt in P’

• Het resultaat is afhankelijk van de ruimtelijke relatie tussen de projectors (zie de klassificatie van projectie)

• De 2 basismethoden perspectief en parallel zijn ontworpen om het basis probleem van presentatie op te lossen

• Weergeven zoals het object zich voordoet en het behouden van echte grootte en vorm

Classificatie van projectie• Men kan verschillende projecties maken

afhankelijk van het beeld dat gewenst wordt

• In fig 7-2 is een classificatie gegeven van families van perspectieve en parallelle projecties

• Sommige hebben namen: cavalier, cabinet, isometrisch, enz

• Andere projecties kwalificeren het hoofdtype van een projectie ( verdwijnpunt voor 1 as)

Classificatie van projectie

Perspectief projectie • Basis principe

• De techniek van perspectieve projecties zijn generalisaties van het principe dat door kunstenaars is gebruikt om 3D weer te geven

• Het oog van de kunstenaar wordt geplaatst in het centrum van projectie en het doek ( het vlak van het doek) wordt het view plane

• Een beeldpunt wordt gevormd door een projector die vanuit het object punt (P1) gaat naar het centrum van projectie (C) (zie fig 7-3)

Perspectief projectie

Perspectief projectie • Perspectief tekeningen worden gekarakteriseerd

door 2 elementen:

1. Verkorting: Dit is de illusie dat objecten en lengten kleiner zijn als de afstand van het projectie centrum toeneemt ( fig. A geen verkorting, fig. B wel)

Perspectief projectie 2. Verdwijnpunt: De illusie dat parallelle lijnen

samenkomen in een punt ver verwijderd

• Dit punt heet verdwijnpunt

• Hoofdverdwijnpunten worden gevormd door parallelle lijnen evenwijdig aan de x,y of z-as

• Het aantal hoofdverdwijnpunten wordt bepaald door het aantal hoofdassen die het view plane snijden

Perspectief projectie

Wiskundige beschrijving van perspectieve projectie

• Een perspectief transformatie wordt bepaald door een projectiecentrum en een view plane

• Een view plane wordt bepaald door view referentiepunt R en view plane normaal N

• Het objectpunt wordt bepaald door wereldcoordinaten in P(x,y,z)

• Het probleem is de beeldpunt coordinaten P’(x’,y’,z’) te bepalen ( zie fig 7-3)


• Voorbeeld 1:

• De standaard perspectief projectie is in fig 7-4 gegeven


• Het view-plane is het xy vlak

• Projectiecentrum is C(0,0,-d) op de negatieve z-as

• Met behulp van driehoek ABC en A’OC wordt :

• Zie onderstaand figuur voor de verhouding van de y-waarde

B(0,0,z)

D(0,y,z)

D(0,y’,z)

O(0,0,0) C(0,0,-d)

y’y

dz


• De perspectief transformatie tussen object en beeldpunt is niet lineair , daarom geen 3*3 matrix. We gebruiken homogene coordinaten

• De factor 1/(z+d) kan weggelaten worden want de grootte van de vector is niet van belang maar de richting

• Een algemene transformatie (met n=normaal op vlak en C(a,b,c)= projectiecentrum ) is in opg. 7.5 gegeven

Perspectief afwijkingen

• Het proces van perspectief introduceert afwijkingen van grootte en vorm

1. Verkorting Hoe verder een object weg hoe kleiner het voor ons verschijnt (zie fig 7-5)

Perspectief afwijkingen

2. Verdwijnpunt: Lijnen van projectie die niet parallel aan het view plane zijn verschijnen aan ons op enig punt op het view plane

• Een algemene manifestatie van deze afwijking is de illusie dat de spoorstaven een punt aan de horizon bereiken

Parallelle projectie

• Parallelle projectiemethoden worden gebruikt door tekenaars en engineers om werktekeningen te maken van een object , waarbij de schaal en vorm behouden blijven

• De complete presentatie van deze details vereist 2 of meer aanzichten (projecties) van het object op verschillende view planes

• Bij parallelle projectie worden beeldpunten gevonden als het snijpunt van het view plane met de projector die getekend wordt vanuit het objectpunt en heeft een vaste richting (zie fig 7-9)



• De richting van de projectie is gelijk voor alle projectors

• Orthografische projectie wordt gekenmerkt door het feit dat de richting van projectie loodrecht op het view plane is

• Als de richting evenwijdig aan de coordinaatas is, dan krijgen we vooraanzicht, bovenaanzicht en zijaanzicht van technische tekeningen (multiview tekeningen)

• Axonometrische projectie is orthografische projectie waarbij de richting van projectie niet evenwijdig is aan de coordinaatas


• Niet orthografische parallelle projectie ( projectierichting loodrecht op view plane ) heet Oblique parallele projectie

Multiview tekening

Wiskundige beschrijving van Parallelle projectie

• Een parallelle projectieve transformatie wordt bepaald door de richting van de projectie vector V en een view plane

• Het view plane is gespecificeerd door zijn referentiepunt R0 en de normaal op het view plane N

• Het objectpunt P(x,y,z) in wereldcoordinaten

• Het probleem is om het beelpuntcoordinaat P(x’,y’,z’) te bepalen (zie fig 7-9)

• Als de projectievector V dezelfde richting heeft als N spreekt men van orthografisch ( anders oblique ( zie fig 7-10)



• Subcatogorie van orthografische projectie:

1. Isometrisch: De projectierichting heeft gelijke hoeken met alle 3 de hoofdassen

• L, B en H op schaal 1/1

• assenkruis met hoeken onder 120°

• eenvoudig



2. Dimetrisch: De projectierichting heeft gelijke hoeken met exact 2 van de hoofdassen

• H en B op schaal 1/1

• L op schaal 1/2

• Hoeken onder 7° en 42°

• niet eenvoudig



3. Trimetrisch: De projectierichting heeft geen gelijke hoeken met de hoofdassen


• Subcategorieen van oblique projectie (projectierichting niet loodrecht op view plane)

1. Cavalier: De projectierichting is zo gekozen dat er geen verkorting plaats vindt loodrecht op xy-vlak

• Alle lijnen hebben de ware afmetingen (geen vervorming)


2. Cabinet: De projectierichting is zo gekozen dat verkorting van een half plaats vindt loodrecht op xy-vlak

• Het voorvlak heeft de ware afmetingen (geen vervorming)

• Dit is wat de mens ziet ( meest gebruikt)


• Voorbeeld 3:

• Bepaal de parallelle projectieve transformatie loodrecht op het xy vlak ( zie fig 7.11)

• De lijn loodrecht op het xy vlak gaat van P(x,y,z) naar P’(x’,y’,z’)

• Nu is P’(x’,y’,z’)= P’(x ,y ,0) zodat :

• Hierin K de vector evenwijdig aan z-as



• Hieruit volgt:

x’ = 1.x + 0.y +0.z + 0.1

y’ = 0.x + 1.y +0.z + 0.1

z’ = 0.x + 0.y +0.z + 0.1

1 = 0.x + 0.y +0.z + 1.1

• In matrix-vorm: