PredavanjePredavanjePredavanjePredavanje XXXX

1

Osnovne postavke teorije lokacije

Merenje rastojanja u lokacijskim problemima

Medijane mree

Algoritam za odreivanje jedne medijane mree

Algoritam za odreivanje jedne medijane orijentisane mree

Reavanje problema p-medijana primenom algoritma zagenerisanje skupa dopustivih reenja

Prodrljivi heuristiki algoritam za reavanje problema pmedijana

Centri mree

2

Teorija lokacije pokuava da da odgovore na sledeapitanja:

a) Koliki je ukupan brojbrojbrojbroj objekataobjekataobjekataobjekata na mrei u kojima se obavlja opsluga?

b) GdeGdeGdeGde lociratilociratilociratilocirati ove objekte?

c) Na koji nain izvrizvrizvrizvritiitiitiiti alokacijualokacijualokacijualokaciju klijenataklijenataklijenataklijenata koji zahtevajuopslugu po pojedinim objektima? (Odrediti za svaki odobjekata skup klijenata koji e da budu opslueni izobjekta).

3

U odreenim sluajevima objekte je mogue locirati u bilokojoj taki posmatranog regiona (kontinualnikontinualnikontinualnikontinualni lokacijskilokacijskilokacijskilokacijskiproblemiproblemiproblemiproblemi)

Drugu grupu lokacijskih problema predstavljaju problemi u kojima se podrazumeva da je lociranje objekata mogueizvriti samo u odreenim, unapred definisanim takama(diskretnidiskretnidiskretnidiskretni lokacijskilokacijskilokacijskilokacijski problemiproblemiproblemiproblemi).

4

Predmet naeg razmatranja bie lokacijski problemi kodkojih je lociranje objekata dozvoljeno samosamosamosamo u u u u odreenimodreenimodreenimodreenimtatatatakamakamakamakama.

Najvei broj saobraajnih terminala mogue je zbogpostojanja geografskih, urbanistikih, pravnih, ekonomskih i organizacionih ograniograniograniogranienjaenjaenjaenja locirati samo u odreenom broju vorova.

5

Prvi rad posveen delom i lokacijskim problemima potie iz19-tog veka. Znameniti matematiar FermatFermatFermatFermat je ukazao u svomradu na sledei problem:

Za zadate tri take u ravni pronai etvrtu, tako da zbirrastojanja izmeu etvrte take i datih triju taaka budeminimalan.

Zaetnikom moderne lokacijske analize se smatra Alfred Alfred Alfred Alfred WeberWeberWeberWeber koje je razmatrao problem lokacije skladista (1909) i teio u svojoj analizi da minimizira rastojanja izmeu skladitai korisnika skladita

6

Od poloaja odreenih objekata na transportnoj mrei bitnozavise kako kvalitetkvalitetkvalitetkvalitet saobrasaobrasaobrasaobraajnihajnihajnihajnih uslugauslugauslugausluga, tako i ukupniukupniukupniukupnitrotrotrotrokovikovikovikovi transportnogtransportnogtransportnogtransportnog sistemasistemasistemasistema.

Poloaj objekta na mrei u kojima se vri neko opsluivanjezavisi od vrstevrstevrstevrste samogsamogsamogsamog opsluopsluopsluopsluivanjaivanjaivanjaivanja (vazduhoplovno pristanite, stanice javnog gradskog prevoza, vatrogasna brigada, stanicahitne pomoi, policijske stanice)

7

A. Broj objekata na mrei Na transportnoj mrei treba locirati samo jedanjedanjedanjedan objekatobjekatobjekatobjekat Na transportnoj mrei treba locirati veveveveiiii brojbrojbrojbroj objekataobjekataobjekataobjekata

B. Dozvoljena mesta za lociranje objekata Objekte je mogue locirati u bilo kojoj taki posmatranog

regiona (kontinualnikontinualnikontinualnikontinualni lokacijski problem) Objekte je mogue locirati samo u odreenim, unapred

definisanim takama (diskretnidiskretnidiskretnidiskretni lokacijski problemi)

8

C. Vrsta objekta na mrei

MedijaneMedijaneMedijaneMedijane (Potrebno je locirati jedan ili vie objekata na mrei, tako da se minimizira proseno rastojanje izmeu objekata i korisnika usluga)

CentriCentriCentriCentri (Potrebno je locirati jedan ili vie objekata na mrei, tako da se minimizira rastojanje do najudaljenijeg korisnika)

ObjektiObjektiObjektiObjekti sasasasa prethodnoprethodnoprethodnoprethodno definisanimdefinisanimdefinisanimdefinisanim perfomansamaperfomansamaperfomansamaperfomansama sistemasistemasistemasistema(Potrebno je locirati jedan ili vie objekata na mrei, tako dase zadovolje unapred definisani standardi u pogledupreenih rastojanja, vremena putovanja, vremena ekanja naopslugu ili nekog drugog atributa. Ovaj tip problema sa nazivaproblemima zahtevanja)

9

D. Tip algoritma za reavanje lokacijskih problema

Egzaktni algoritmi

Heuristiki algoritmi

E. Broj kriterijumskih funkcija na osnovu kojih se odreujelokacija objekata

Postoji jedna kriterijumska funkcija

Postoji vie kriterijumskih funkcija (problemiviekriterijumske optimizacije)

10

Euclidska rastojanja

Manhattan rastojanja

11

y

x

Manhattan rastojanje m(i, J) izmeu vora i(xi, yi) i vora j(xj, yj) je jednako

12

( ) jiji yyxxJIm +=, Euklidsko rastojanje e(I, J):

Manhattan rastojanje i Euklidsko rastojanje su specijalni sluajevi lp rastojanja

( ) ( ) ( ) e I J x x y yi j i j, = + 2 2

( ) l I J x x y yp i jp

i j

p p, = +

1

U sluaju problema medijane potrebno je locirati jedan ili vieobjekata na mrei tako da se minimiziraminimiziraminimiziraminimizira proseproseproseprosenononono rastojanjerastojanjerastojanjerastojanje(proseno vreme putovanja, proseni transportni trokovi) odobjekta do korisnika ili od korisnika do objekta.

Problem medijane su naroito znaajni za transportnudelatnost, s obzirom da se ova grupa problema javlja prilikomprojektovanja razliitih distributivnih sistema.

Problem p medijana prvi je formulisao HakimiHakimiHakimiHakimi (1964).

13

G = (N, A) - transportna mrea

N - skup vorova mree

ai - potranja u voru i

dij rastojanje izmeu vora i i vora j

p - ukupan broj objekata koje treba locirati

Objekti mogu da budu locirani u bilo kome voru mree

14

Problem p medijana:

Minimizirati

15

=ma slucajeviostalimu

jobjektu u opsluzeni su i cvoraiz klijenti kadajix ,0

,1

=

=

=n

i

n

jjixjidiaF

1 1min

pri ogranienjima:

16

nixn

jji ,,2,1,1

1

K===

pxn

jjj =

=1

jinjixx jijj = ;,,2,1,, K

{ } njix ji ,,2,1,,1,0 K=

Definisana kriterijumska funkcija odraava tenju da se minimiziraminimiziraminimiziraminimizira ukupnoukupnoukupnoukupno preenopreenopreenopreeno rastojanjerastojanjerastojanjerastojanje izmeu objekatai korisnika.

Prvo ogranienje se odnosi na injenicu da je svakiklijent (svaki vor) opsluen od strane samo jednogobjekta.

Drugim ogranienjem se ukazuje da na mrei treba dapostoji ukupno p objekata.

Svaki klijent lociran u nekom od objekata dobija opsluguiz tog objekta. Ovo je iskazano kroz tree ogranienje.

17

Hakimi (1964) je pokazao da postoji najmanje jedanskup p-medijana u vorovima mree G, to znai da poptimalnih lokacija objekata u mrei mora da se nalaziiskljuiskljuiskljuiskljuivoivoivoivo u u u u vorovimavorovimavorovimavorovima mremremremreeeee.

Ova injenica u znatnoj meri olakava proceduruiznalaenja p-medijana, jer je potrebno ispitati samolokacije koje se nalaze u vorovima.

18

Algoritam za generisanje skupa dopustivih reenja

Algoritmi zasnovani na teoriji grafova

Heuristiki algoritmi

Algoritmi zasnovani na matematikom programiranju

19

Jednostavan algoritam kojim se generie skup dopustivihreenja i odreuje lokacija jedne medijane u sluajuneorijentisane mree predloio je Hakimi (1965).

Algoritam se sastoji iz sledeih algoritamskih koraka:

20

KORAK 1: Izraunati duine najkraih puteva dij izmeusvih parova vorova (i, j) mree G i prikazivatiih u matrici najkraih puteva D (vorovipredstavljaju mogue lokacije za medijanu, a vorovi j predstavljaju lokacije klijenata koji

zahtevaju opslugu).

KORAK 2. Pomnoiti j-tu kolonu matrice najkraih putevasa brojem zahteva za opslugom aj iz vora j. Element ajdij matrice [ajdij] predstavljarastojanje koje prevale korisnici iz vora jkoji se opsluuju u voru i. Matricu [ajdij] oznaiti sa D.

21

KORAK 3: Izvriti sumiranje du svake vrste i matrice D. Izraz

predstavlja ukupno rastojanje koje prevalekorisnici u sluaju kada je objekat lociran u voru i.

KORAK 4: vor ijoj vrsti odgovara najmanje ukupnorastojanje koje prevaljuju korisnici predstavljalokaciju za medijanu.

a dj i jj

n

=

1

22

Primer

23

Transportna mrea na kojoj treba odrediti lokaciju jedne medijane

vorovi transportne mree su oznaeni respektivno sa A, B, C, .., H. Dnevni zahtevi za opslugom dati su u zagradama pored vorova. Takoe su oznaene i duine svih grana u mrei.

Problem koji treba da reimo sastoji se u sledeem: Gdelocirati objekat u kome se prua odreena opsluga, tako daukupno rastojanje koje prevale korisnici usluga do objektabude minimalno (Korisnici usluga se nalaze u vorovima).

Na osnovu Hakimi-jeve teoreme (1964) moemo da zakljuimoda postoji 8 mesta-kandidata za lociranje objekta. To su voroviA, B, C, .., H.

24

Matrica najkraih rastojanja:

25

[ ]

=

02734486

20626475

76049647

32405253

469503105

44623072

874510705

65735250

H

G

F

E

D

C

B

A

d

HGFEDCBA

ji

100 600 80 200 20 400 30 500

U sledeem koraku izraunajmo izraze ajdij, tako to emosvaku kolonu matrice najkraih rastojanja pomnoiti sa brojemzahteva za opslugom u voru j.

26

[ ]

=

0602800608003204800600

1000024004012003204200500

350018008018004802400700

1500601600010001603000300

2000180360010002406000500

200012024004060004200200

4000210160010020005600500

3000150280060100016030000

H

G

F

E

D

C

B

A

da

HGFEDCBA

jij

10170 8970 9760......

Sumiranjem po vrstama matrice [ajdij] dobijaju se ukupnaukupnaukupnaukupna rastojanjarastojanjarastojanjarastojanja koja bi preli korisnici usluga, ukoliko bi objekat bio smeten u pojedinim vorovimadu ijih vrsta se vri sumiranje.

Objekat treba locirati u onom voru du ije vrste jedobijen najmanjinajmanjinajmanjinajmanji zbirzbirzbirzbir po izvrenom sumiranju.

27

28

Lokacijaobjekta je

u voru

Brojostvarenihputnikih

kilometara

Lokacijaobjekta jeu voru

Brojostvarenihputnikihkilometara

A 10170 E 7620

B 8970 F 9140

C 9760 G 9660

D 12620 H 9440

Brojevi ostvarenih putnikih kilometara

Objekat treba locirati u voru E

29

Lociranje objekta u voru E

Izloeni algoritam za odeivanje lokacije jedne medijane u sluaju neorijentisane mree, moe se u potpunosti primeniti i za odreivanje lokacije ulazneulazneulazneulazne, odnosno izlazne medijaneizlazne medijaneizlazne medijaneizlazne medijane.

Neophodno je jedino voditi rauna o orijentaciji mreorijentaciji mreorijentaciji mreorijentaciji mreeeee, odnosno o duinama najkraih puteva izmeu pojedinih

parova vorova.

30

31

Orijentisana mrea u kojoj treba odrediti lokaciju jedne medijane

vorovi: A, B, C, D, E

Matrica najkraih rastojanja :

32

[ ]

=

04367

40523

46054

62702

74510

E

D

C

B

A

d

EDCBA

ji

Ukoliko ulazna medijana bude u voru A, ukupno rastojanje koje e prei korisnici iznosi:

33

5420740032046002800100 =++++

[ ]

=

04367

40523

46054

62702

74510

E

D

C

B

A

d

EDCBA

ji

100

80

600

20

400

34

Lokacija ulazne

medijane je u voru

Broj ostvarenih

putnikih

kilometara

A 5420

B 5540

C 2160

D 4240

E 3660

Broj ostvarenih putnikih kilometara

Medijana treba da bude locirana u voru C

35

Loikacija ulazne medijane u voru C

Algoritam za generisanje skupa dopustivih regenerisanje skupa dopustivih regenerisanje skupa dopustivih regenerisanje skupa dopustivih reenjaenjaenjaenjapodrazumeva ispitivanje svih moguih reenja lokacija p-medijana, izraunavanje odgovarajuih vrednosti definisane kriterijumske funkcije i odreivanja optimalnog reenja.

Ovakav pristup mogue primeniti jedino u sluaju mrea sa manjim brojem vorova na kojima treba locirati manji broj objekata.

36

Algoritam za generisanje skupa dopustivih reenja se sastoji od sledeih koraka: Generisati sva dopustiva reenja

Za svako dopustivo reenje izraunati vrednost kriterijumske funkcije

Identifikovati optimalno reenje

Ukupan broj reenja u sluaju kada imamo n vorova i pobjekata je:

37

np

n - ukupan broj vorova u mrei (ukupan broj kandidata za lokaciju p-medijana)

dij - duina najkraeg puta od vora i do vora j

dij = ajdij -rastojanje koje prevale korisnici iz vora jkoji se opsluuju u voru i

38

D - matrica iji su elementi dij Xp = {vj1, vj2, ..., vjp} - jedan od moguih

podskupova od p vorova

Za svaki od podskupova p-vorova potrebno je izraunati sumu:

Podskup p-vorova kome odgovara najmanja vrednost sume predstavlja skup vorova u kome treba locirati p-medijana.

39

{ }=

n

jjjjjjj p

ddd1

,,,min 21K

np

Primer:Primer:Primer:Primer: Za mreu prikazanu na slici odrediti lokacije dve medijane.

40

[ ]

=

0661113

60658

660117

1151107

138770

d ij

vorovi: A, B, C, D, E

Mrea sadri 5 vorova

S obzirom da u mrei postoji 5 vorova, to je ukupan broj kombinacija za lociranje 2 medijane jednak .

41

102

5=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )EDiECDCEBDBCBEADACABA ,,,,,,,,,,,,,,,,,,

Izraunajmo ukupno rastojanje koje e da prevalekorisnici u sluaju da su medijane locirane u vorovima A i BA i BA i BA i B.

Korisnici iz vora A e dobijati opslugu u voru A. Takoe e korisnici iz vora B dobijati opslugu u voruB.

voru C je blii vor A nego vor B, tako da e korisniciiz vora C da budu opsluivani u voru A.

42

Korisnici iz vora D e da budu opslueni u voru B.

U voru B e da budu opslueni i korisnici iz vora E.

Ukupno preeno rastojanje u sluaju lokacijemedijana u vorovima A i B je jednako:

43

20408011120580710001000 =++++

44

[ ]

=

0661113

60658

660117

1151107

138770

d ij[ ]

=

07204809901300

4800480450800

4807200990700

8806008800700

10409605606300

da ijij

100 90 80 120 80 ABCDE

A B C D E

45

Par vorova u kojima su locirane medijane

Ukupno preeno

rastojanje od strane korisnika

Par vorova u kojima su locirane medijane

Ukupno preeno

rastojanje od strane korisnika

(A, B) 2040 (B, D) 1660(A, C) 2190 (B, E) 1780(A, D) 1410 (C, D) 1630(A, E) 1830 (C, E) 2410(B, C) 1780 (D, E) 1730

Medijane treba locirati u vorovima A i D

46

Prodrljivi heuristiki algoritam (Greedy) zareavanje problema p medijana su predlozili Kuehn i Hamburger (1963).

Na poetku je skup vorova u kojima se nalaze medijane prazan.

U prvom koraku prodrljivog algoritma treba reiti problem jedne medijane.

vor koji predstavlja resenje problema jedne medijane treba ukljuiti u skup medijana.

47

U svakom sledeem koraku se u skup vorova u kojima se nalaze medijane ukljuuje jedan novi vor.

vor koji se ukljuuje u skup medijana je vor cijim bi se ukljuenjem najvie smanjila vrednost ukupnog rastojanja koje prelaze korisnici usluga.

48

Primer:Primer:Primer:Primer: Za mreu prikazanu na slici odrediti lokacije tri medijane primenom prodrljivog heuristikog algoritma.

49

[ ]

=

0661113

60658

660117

1151107

138770

d ij

50

[ ]

=

0661113

60658

660117

1151107

138770

d ij

100 90 80 120 80

[ ]

=

07204809901300

4800480450800

4807200990700

8806008800700

10409605606300

da ijij

Sumiranjem po vrstama matrice [ajdij] dobijaju se ukupnarastojanja koja bi preli korisnici usluga, ukoliko bi objekat bio smeten u pojedinim vorovima du ijih vrsta se vrisumiranje.

Ostvareni broj putnikih kilometara u zavisnosti od lokacije objekta

51

Lokacija objekta je

u voru

Broj ostvarenih putnikih

kilometara

A 3190

B 3130

C 2890

D 2210

E 3490

52

vorovi u

kojima se

nalaze

medijane

Ukupno

preeno

rastojanje

Smanjenja ukupnog

rastojanja koje prevaljuju

korisnici u odnosu na

sluaj kada se medijana

nalazi samo u voru D

(A,D) 1410 2210-1410=800

(B,D) 1660 2210-1660=550(C,D) 1630 2210-1630=580(E,D) 1730 2210-1730=480

Ukljuenjem vora A u skup medijana najvie bi se smanjilavrednost ukupnog rastojanja koje prelaze korisnici usluga. vorA ukljuujemo u skup medijana, tako da skupu medijanapripadaju sada vorovi A i D.

Trea medijana moe da bude locirana u voru B, voru C, ilivoru E.

53

Vrednosti smanjenja ukupnog rastojanja koje prevaljujukorisnici u sluajevima kada je trea medijana locirana u vorovima B, C, ili E su prikazane u tabeli.

54

vorovi u kojima se nalaze

medijane

Smanjenja ukupnog rastojanja koje

prevaljuju korisnici u odnosu na

sluaj kada se medijana nalazi u

vorovima A i D

(A, B, D) 450

(A, C, D) 480

(A, E, D) 480

Pod problemima centra podrazumeva se iznalaenje lokacije jednog ili vie objekata na mrei, tako da se minimizira minimizira minimizira minimizira rastojanjerastojanjerastojanjerastojanje do najudaljenijeg korisnikado najudaljenijeg korisnikado najudaljenijeg korisnikado najudaljenijeg korisnika.

Reavanje problema centra povezano je sa odreivanjem poloaja baza hitne pomoi, vatrogasne brigade ili policijskih stanica.

55

Najkrai putevi izmeu svih parova vorova morajubiti izraunati pre primene odgovarajueg algoritmaza pronalaenje centra transportne mree.

56

CENTAR MREEObjekat moe biti lociran i na granama i u vorovima.

CENTAR VOROVA

Objekat moze biti lociran

samo u vorovim

CENTRI

Taka xa na grani aaaa se zove lokalnilokalnilokalnilokalni centarcentarcentarcentar granegranegranegrane, akoje sledea nejednaina tana za svaku taku x

Rastojanje izmeu lokalnog centra bilo koje grane i njemu najudaljenijeg vora je manje ili jednakorastojanju izmeu bilo koje take na toj grani i njojnajudaljenijeg vora.

57

( ) ( )xfxf a

Taka j(c) se naziva apsolutnimapsolutnimapsolutnimapsolutnim centromcentromcentromcentrom mremremremreeeee G akoje sledea nejednaina tana za svaku taku j

Rastojanje izmeu apsolutnog centra mree i njemu najudaljenijeg vora je manje ili jednako rastojanju izmeu bilo kojeg drugog vora na mrei i njemunajudaljenijeg vora.

58

( ) ( )ifjf c )(

59

Primer: Locirati centar u nekom od vorova mree

[ ]

=

0243

2062

4604

3205

5450

5E

D

C

B

A

d

EDCBA

ji

7

7

7

7

min {7, 7, 7, 7, 5} = 5

vor E je centar vorova

Korak 1: Pronai lokalni centar xa za svaku granumree G

Korak 2: Izabrati lokalni centar sa najmanjomvrednou f(xa). Ovaj lokalni centar predstavljaapsolutni centar x0 mree G.

60

61

Za svaku taku xxxx lociranu na linku (A, B) crta se funkcija dx,i za i = A, B, C, D, E.

Na primer, ako se usvoji da je x = 0 u A i x = 5 u B,

tada je:

62

, , 0 5x Ad x za x=

, 5 , 0 5x Bd x za x=

,

4, za 0 4

12 , za 4 5x Cx x

dx x

+ = <

Funkcija f(x) je nacrtana sa podebljanom linijom

Minimalna vrednost funkcije f(x) predstavlja lokalni centar mree

63

, 7 , 0 5x Dd x za x=

,

5 , za 0 1.5

8 , za 1.5 5x Ex x

dx x

+ = <

64

Grana Funkcija

f(x)

Lokalni centri

(A, B) f(xa) = 6 1 jedinica od A ili 2 jedinice od A

(A, E) f(xa) = 4.5 0.5 jedinice od E

(A, C) f(xa) = 7 u A i C

(E, C) f(xa) = 5 u E

(B, E) f(xa) = 5 u E

(B, D) f(xa) = 6.5 1.5 jedinice od B

(D, E) f(xa) = 5 u E

Apsolutni centar