PredavanjePredavanjePredavanjePredavanje XXXX

1

� Osnovne postavke teorije lokacije

� Merenje rastojanja u lokacijskim problemima

� Medijane mreže

� Algoritam za određivanje jedne medijane mreže

� Algoritam za određivanje jedne medijane orijentisane mreže

� Rešavanje problema p-medijana primenom algoritma zagenerisanje skupa dopustivih rešenja

� “Proždrljivi” heuristički algoritam za rešavanje problema p

medijana

� Centri mreže

2

� Teorija lokacije pokušava da da odgovore na sledećapitanja:

a) Koliki je ukupan brojbrojbrojbroj objekataobjekataobjekataobjekata na mreži u kojima se obavlja opsluga?

b) GdeGdeGdeGde lociratilociratilociratilocirati ove objekte?

c) Na koji način izvrizvrizvrizvrššššitiitiitiiti alokacijualokacijualokacijualokaciju klijenataklijenataklijenataklijenata koji zahtevajuopslugu po pojedinim objektima? (Odrediti za svaki odobjekata skup klijenata koji će da budu opsluženi izobjekta).

3

� U određenim slučajevima objekte je moguće locirati u bilokojoj tački posmatranog regiona (kontinualnikontinualnikontinualnikontinualni lokacijskilokacijskilokacijskilokacijskiproblemiproblemiproblemiproblemi)

� Drugu grupu lokacijskih problema predstavljaju problemi u kojima se podrazumeva da je lociranje objekata mogućeizvršiti samo u određenim, unapred definisanim tačkama(diskretnidiskretnidiskretnidiskretni lokacijskilokacijskilokacijskilokacijski problemiproblemiproblemiproblemi).

4

� Predmet našeg razmatranja biće lokacijski problemi kodkojih je lociranje objekata dozvoljeno samosamosamosamo u u u u određenimodređenimodređenimodređenim

tatatataččččkamakamakamakama.

� Najveći broj saobraćajnih terminala moguće je zbogpostojanja geografskih, urbanističkih, pravnih, ekonomskih i organizacionih ograniograniograniograniččččenjaenjaenjaenja locirati samo u određenom broju čvorova.

5

� Prvi rad posvećen delom i lokacijskim problemima potiče iz19-tog veka. Znameniti matematičar FermatFermatFermatFermat je ukazao u svomradu na sledeći problem:

“Za zadate tri tačke u ravni pronaći četvrtu, tako da zbirrastojanja između četvrte tačke i datih triju tačaka budeminimalan.”

� Začetnikom moderne lokacijske analize se smatra Alfred Alfred Alfred Alfred WeberWeberWeberWeber koje je razmatrao problem lokacije skladista (1909) i težio u svojoj analizi da minimizira rastojanja između skladištai korisnika skladišta

6

� Od položaja određenih objekata na transportnoj mreži bitnozavise kako kvalitetkvalitetkvalitetkvalitet saobrasaobrasaobrasaobraććććajnihajnihajnihajnih uslugauslugauslugausluga, tako i ukupniukupniukupniukupnitrotrotrotrošššškovikovikovikovi transportnogtransportnogtransportnogtransportnog sistemasistemasistemasistema.

� Položaj objekta na mreži u kojima se vrši neko opsluživanjezavisi od vrstevrstevrstevrste samogsamogsamogsamog opsluopsluopsluopslužžžživanjaivanjaivanjaivanja (vazduhoplovno pristanište, stanice javnog gradskog prevoza, vatrogasna brigada, stanicahitne pomoći, policijske stanice)

7

A. Broj objekata na mreži� Na transportnoj mreži treba locirati samo jedanjedanjedanjedan objekatobjekatobjekatobjekat� Na transportnoj mreži treba locirati veveveveććććiiii brojbrojbrojbroj objekataobjekataobjekataobjekata

B. Dozvoljena mesta za lociranje objekata� Objekte je moguće locirati u bilo kojoj tački posmatranog

regiona (kontinualnikontinualnikontinualnikontinualni lokacijski problem)� Objekte je moguće locirati samo u određenim, unapred

definisanim tačkama (diskretnidiskretnidiskretnidiskretni lokacijski problemi)

8

C. Vrsta objekta na mreži

� MedijaneMedijaneMedijaneMedijane (Potrebno je locirati jedan ili više objekata na mreži, tako da se minimizira prosečno rastojanje između objekata i korisnika usluga)

� CentriCentriCentriCentri (Potrebno je locirati jedan ili više objekata na mreži, tako da se minimizira rastojanje do najudaljenijeg korisnika)

� ObjektiObjektiObjektiObjekti sasasasa prethodnoprethodnoprethodnoprethodno definisanimdefinisanimdefinisanimdefinisanim perfomansamaperfomansamaperfomansamaperfomansama sistemasistemasistemasistema(Potrebno je locirati jedan ili više objekata na mreži, tako dase zadovolje unapred definisani standardi u pogledupređenih rastojanja, vremena putovanja, vremena čekanja naopslugu ili nekog drugog atributa. Ovaj tip problema sa nazivaproblemima zahtevanja)

9

D. Tip algoritma za rešavanje lokacijskih problema

� Egzaktni algoritmi

� Heuristički algoritmi

E. Broj kriterijumskih funkcija na osnovu kojih se određujelokacija objekata

� Postoji jedna kriterijumska funkcija

� Postoji više kriterijumskih funkcija (problemivišekriterijumske optimizacije)

10

� Euclidska rastojanja

� Manhattan rastojanja

11

y

x

� Manhattan rastojanje m(i, J) između čvora i(xi, yi) i čvora j(xj, yj) je jednako

12

( ) jiji yyxxJIm −+−=,

� Euklidsko rastojanje e(I, J):

� Manhattan rastojanje i Euklidsko rastojanje su specijalni slučajevi lp rastojanja

( ) ( ) ( ) e I J x x y yi j i j, = − + −2 2

( ) l I J x x y yp i j

p

i j

p p, = − + −

1

� U slučaju problema medijane potrebno je locirati jedan ili višeobjekata na mreži‚ tako da se minimiziraminimiziraminimiziraminimizira proseproseproseproseččččnononono rastojanjerastojanjerastojanjerastojanje

(prosečno vreme putovanja, prosečni transportni troškovi) odobjekta do korisnika ili od korisnika do objekta.

� Problem medijane su naročito značajni za transportnudelatnost, s obzirom da se ova grupa problema javlja prilikomprojektovanja različitih distributivnih sistema.

� Problem p medijana prvi je formulisao HakimiHakimiHakimiHakimi (1964).

13

G = (N, A) - transportna mreža

N - skup čvorova mreže

ai - potražnja u čvoru i

dij – rastojanje između čvora i i čvora j

p - ukupan broj objekata koje treba locirati

Objekti mogu da budu locirani u bilo kome čvoru mreže

14

Problem p medijana:

Minimizirati

15

=ma slucajeviostalimu

jobjektu u opsluzeni su i cvoraiz klijenti kadajix

,0

,1

∑=

∑=

=n

i

n

jjixjidiaF

1 1min

pri ograničenjima:

16

nixn

jji ,,2,1,1

1

K==∑=

pxn

jjj =∑

=1

jinjixx jijj ≠=≥ ;,,2,1,, K

{ } njix ji ,,2,1,,1,0 K=∈

� Definisana kriterijumska funkcija odražava težnju da se minimiziraminimiziraminimiziraminimizira ukupnoukupnoukupnoukupno pređenopređenopređenopređeno rastojanjerastojanjerastojanjerastojanje između objekatai korisnika.

� Prvo ograničenje se odnosi na činjenicu da je svakiklijent (svaki čvor) opslužen od strane samo jednogobjekta.

� Drugim ograničenjem se ukazuje da na mreži treba dapostoji ukupno p objekata.

� Svaki klijent lociran u nekom od objekata dobija opsluguiz tog objekta. Ovo je iskazano kroz treće ograničenje.

17

� Hakimi (1964) je pokazao da postoji najmanje jedanskup p-medijana u čvorovima mreže G, što znači da p

optimalnih lokacija objekata u mreži mora da se nalaziiskljuiskljuiskljuisključčččivoivoivoivo u u u u ččččvorovimavorovimavorovimavorovima mremremremrežžžžeeee.

� Ova činjenica u znatnoj meri olakšava proceduruiznalaženja p-medijana, jer je potrebno ispitati samolokacije koje se nalaze u čvorovima.

18

� Algoritam za generisanje skupa dopustivih rešenja

� Algoritmi zasnovani na teoriji grafova

� Heuristički algoritmi

� Algoritmi zasnovani na matematičkom programiranju

19

� Jednostavan algoritam kojim se generiše skup dopustivihrešenja i određuje lokacija jedne medijane u slučajuneorijentisane mreže predložio je Hakimi (1965).

� Algoritam se sastoji iz sledećih algoritamskih koraka:

20

KORAK 1: Izračunati dužine najkraćih puteva dij izmeđusvih parova čvorova (i, j) mreže G i prikazivatiih u matrici najkraćih puteva D (Čvorovipredstavljaju moguće lokacije za medijanu, a čvorovi j predstavljaju lokacije klijenata koji

zahtevaju opslugu).

KORAK 2. Pomnožiti j-tu kolonu matrice najkraćih putevasa brojem zahteva za opslugom aj iz čvora j. Element ajdij matrice [ajdij] predstavlja“rastojanje” koje prevale korisnici iz čvora jkoji se opslužuju u čvoru i. Matricu [ajdij] označiti sa D.

21

KORAK 3: Izvršiti sumiranje duž svake vrste i matrice D. Izraz

predstavlja ukupno “rastojanje” koje prevalekorisnici u slučaju kada je objekat lociran u čvoru i.

KORAK 4: Čvor čijoj vrsti odgovara najmanje ukupno“rastojanje” koje prevaljuju korisnici predstavljalokaciju za medijanu.

a dj i jj

n

⋅=∑

1

22

Primer

23

Transportna mreža na kojoj treba odrediti lokaciju jedne

medijane

� Čvorovi transportne mreže su označeni respektivno sa A, B, C, .., H. Dnevni zahtevi za opslugom dati su u zagradama pored čvorova. Takođe su označene i dužine svih grana u mreži.

� Problem koji treba da rešimo sastoji se u sledećem: Gdelocirati objekat u kome se pruža određena opsluga, tako daukupno rastojanje koje prevale korisnici usluga do objektabude minimalno (Korisnici usluga se nalaze u čvorovima).

� Na osnovu Hakimi-jeve teoreme (1964) možemo da zaključimoda postoji 8 mesta-kandidata za lociranje objekta. To su čvoroviA, B, C, .., H.

24

Matrica najkraćih rastojanja:

25

[ ]

=

02734486

20626475

76049647

32405253

469503105

44623072

874510705

65735250

H

G

F

E

D

C

B

A

d

HGFEDCBA

ji

100 600 80 200 20 400 30 500

� U sledećem koraku izračunajmo izraze ajdij, tako što ćemosvaku kolonu matrice najkraćih rastojanja pomnožiti sa brojemzahteva za opslugom u čvoru j.

26

[ ]

=⋅

0602800608003204800600

1000024004012003204200500

350018008018004802400700

1500601600010001603000300

2000180360010002406000500

200012024004060004200200

4000210160010020005600500

3000150280060100016030000

H

G

F

E

D

C

B

A

da

HGFEDCBA

jij

Σ 10170Σ 8970Σ 9760......

� Sumiranjem po vrstama matrice [ajdij] dobijaju se ukupnaukupnaukupnaukupna rastojanjarastojanjarastojanjarastojanja koja bi prešli korisnici usluga, ukoliko bi objekat bio smešten u pojedinim čvorovimaduž čijih vrsta se vrši sumiranje.

� Objekat treba locirati u onom čvoru duž čije vrste jedobijen najmanjinajmanjinajmanjinajmanji zbirzbirzbirzbir po izvršenom sumiranju.

27

28

Lokacijaobjekta je

u čvoru

Brojostvarenihputničkih

kilometara

Lokacijaobjekta jeu čvoru

Brojostvarenihputničkihkilometara

A 10170 E 7620

B 8970 F 9140

C 9760 G 9660

D 12620 H 9440

Brojevi ostvarenih putničkih kilometara

Objekat treba locirati u čvoru E

29

Lociranje objekta u čvoru E

� Izloženi algoritam za odeđivanje lokacije jedne medijane u slučaju neorijentisane mreže, može se u potpunosti primeniti i za određivanje lokacije ulazneulazneulazneulazne, odnosno izlazne medijaneizlazne medijaneizlazne medijaneizlazne medijane.

� Neophodno je jedino voditi računa o orijentaciji mreorijentaciji mreorijentaciji mreorijentaciji mrežžžžeeee, odnosno o dužinama najkraćih puteva između pojedinih

parova čvorova.

30

31

Orijentisana mreža u kojoj treba odrediti lokaciju jedne medijane

Čvorovi: A, B, C, D, E

Matrica najkraćih rastojanja :

32

[ ]

=

04367

40523

46054

62702

74510

E

D

C

B

A

d

EDCBA

ji

� Ukoliko ulazna medijana bude u čvoru A, ukupno rastojanje koje će preći korisnici iznosi:

33

5420740032046002800100 =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅

[ ]

=

04367

40523

46054

62702

74510

E

D

C

B

A

d

EDCBA

ji

100

80

600

20

400

34

Lokacija ulazne

medijane je u čvoru

Broj ostvarenih

putničkih

kilometara

A 5420

B 5540

C 2160

D 4240

E 3660

Broj ostvarenih putničkih kilometara

� Medijana treba da bude locirana u čvoru C

35

Loikacija ulazne medijane u čvoru C

� Algoritam za generisanje skupa dopustivih regenerisanje skupa dopustivih regenerisanje skupa dopustivih regenerisanje skupa dopustivih reššššenjaenjaenjaenja

podrazumeva ispitivanje svih mogućih rešenja lokacija p-medijana, izračunavanje odgovarajućih vrednosti definisane kriterijumske funkcije i određivanja optimalnog rešenja.

� Ovakav pristup moguće primeniti jedino u slučaju mreža sa manjim brojem čvorova na kojima treba locirati manji broj objekata.

36

� Algoritam za generisanje skupa dopustivih rešenja se sastoji od sledećih koraka:� Generisati sva dopustiva rešenja

� Za svako dopustivo rešenje izračunati vrednost kriterijumske funkcije

� Identifikovati optimalno rešenje

� Ukupan broj rešenja u slučaju kada imamo n čvorova i pobjekata je:

37

np

� n - ukupan broj čvorova u mreži (ukupan broj kandidata za lokaciju p-medijana)

� dij - dužina najkraćeg puta od čvora i do čvora j

� d’ij = ajdij -“rastojanje” koje prevale korisnici iz čvora jkoji se opslužuju u čvoru i

38

� D’ - matrica čiji su elementi d’ij

� Xp = {vj1, vj2, ..., vjp} - jedan od mogućih podskupova od p čvorova

� Za svaki od podskupova p-čvorova potrebno je izračunati sumu:

� Podskup p-čvorova kome odgovara najmanja vrednost sume predstavlja skup čvorova u kome treba locirati p-medijana.

39

{ }∑=

′′′n

jjjjjjj p

ddd1

,,,min 21K

np

� Primer:Primer:Primer:Primer: Za mrežu prikazanu na slici odrediti lokacije dve medijane.

40

[ ]

=

0661113

60658

660117

1151107

138770

d ij

� Čvorovi: A, B, C, D, E

� Mreža sadrži 5 čvorova

� S obzirom da u mreži postoji 5 čvorova, to je ukupan broj kombinacija za lociranje 2 medijane jednak .

41

102

5=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )EDiECDCEBDBCBEADACABA ,,,,,,,,,,,,,,,,,,

� Izračunajmo ukupno rastojanje koje će da prevalekorisnici u slučaju da su medijane locirane u čvorovima A i BA i BA i BA i B.

� Korisnici iz čvora A će dobijati opslugu u čvoru A. Takođe će korisnici iz čvora B dobijati opslugu u čvoruB.

� Čvoru C je bliži čvor A nego čvor B, tako da će korisniciiz čvora C da budu opsluživani u čvoru A.

42

� Korisnici iz čvora D će da budu opsluženi u čvoru B.

� U čvoru B će da budu opsluženi i korisnici iz čvora E.

� Ukupno pređeno rastojanje u slučaju lokacijemedijana u čvorovima A i B je jednako:

43

20408011120580710001000 =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅

44

[ ]

=

0661113

60658

660117

1151107

138770

d ij[ ]

=

07204809901300

4800480450800

4807200990700

8806008800700

10409605606300

da ijij

100 90 80 120 80 ABCDE

A B C D E

45

Par čvorova u kojima su locirane medijane

Ukupno pređeno

rastojanje od strane korisnika

Par čvorova u kojima su locirane medijane

Ukupno pređeno

rastojanje od strane korisnika

(A, B) 2040 (B, D) 1660(A, C) 2190 (B, E) 1780(A, D) 1410 (C, D) 1630(A, E) 1830 (C, E) 2410(B, C) 1780 (D, E) 1730

� Medijane treba locirati u čvorovima A i D

46

� “Proždrljivi” heuristički algoritam (Greedy) zarešavanje problema p medijana su predlozili Kuehn i Hamburger (1963).

� Na početku je skup čvorova u kojima se nalaze medijane prazan.

� U prvom koraku proždrljivog algoritma treba rešiti problem jedne medijane.

� Čvor koji predstavlja resenje problema jedne medijane treba uključiti u skup medijana.

47

� U svakom sledećem koraku se u skup čvorova u kojima se nalaze medijane uključuje jedan novi čvor.

� Čvor koji se uključuje u skup medijana je čvor cijim bi se uključenjem najviše smanjila vrednost ukupnog rastojanja koje prelaze korisnici usluga.

48

� Primer:Primer:Primer:Primer: Za mrežu prikazanu na slici odrediti lokacije tri medijane primenom “proždrljivog” heurističkog algoritma.

49

[ ]

=

0661113

60658

660117

1151107

138770

d ij

50

[ ]

=

0661113

60658

660117

1151107

138770

d ij

100 90 80 120 80

[ ]

=

07204809901300

4800480450800

4807200990700

8806008800700

10409605606300

da ijij

� Sumiranjem po vrstama matrice [ajdij] dobijaju se ukupnarastojanja koja bi prešli korisnici usluga, ukoliko bi objekat bio smešten u pojedinim čvorovima duž čijih vrsta se vršisumiranje.

� Ostvareni broj putničkih kilometara u zavisnosti od lokacije objekta

51

Lokacija objekta je

u čvoru

Broj ostvarenih putničkih

kilometara

A 3190

B 3130

C 2890

D 2210

E 3490

52

Čvorovi u

kojima se

nalaze

medijane

Ukupno

preñeno

rastojanje

Smanjenja ukupnog

rastojanja koje prevaljuju

korisnici u odnosu na

slučaj kada se medijana

nalazi samo u čvoru D

(A,D) 1410 2210-1410=800

(B,D) 1660 2210-1660=550

(C,D) 1630 2210-1630=580

(E,D) 1730 2210-1730=480

� Uključenjem čvora A u skup medijana najviše bi se smanjilavrednost ukupnog rastojanja koje prelaze korisnici usluga. ČvorA uključujemo u skup medijana, tako da skupu medijanapripadaju sada čvorovi A i D.

� Treća medijana može da bude locirana u čvoru B, čvoru C, iličvoru E.

53

� Vrednosti smanjenja ukupnog rastojanja koje prevaljujukorisnici u slučajevima kada je treća medijana locirana u čvorovima B, C, ili E su prikazane u tabeli.

54

Čvorovi u kojima se nalaze

medijane

Smanjenja ukupnog rastojanja koje

prevaljuju korisnici u odnosu na

slučaj kada se medijana nalazi u

čvorovima A i D

(A, B, D) 450

(A, C, D) 480

(A, E, D) 480

� Pod problemima centra podrazumeva se iznalaženje lokacije jednog ili više objekata na mreži, tako da se minimizira minimizira minimizira minimizira ““““rastojanjerastojanjerastojanjerastojanje”””” do najudaljenijeg korisnikado najudaljenijeg korisnikado najudaljenijeg korisnikado najudaljenijeg korisnika.

� Rešavanje problema centra povezano je sa određivanjem položaja baza hitne pomoći, vatrogasne brigade ili policijskih stanica.

55

� Najkraći putevi između svih parova čvorova morajubiti izračunati pre primene odgovarajućeg algoritmaza pronalaženje centra transportne mreže.

56

CENTAR MREŽE

Objekat može biti lociran i

na granama i u čvorovima.

CENTAR ČVOROVA

Objekat moze biti lociran

samo u čvorovim

CENTRI

� Tačka xa na grani aaaa se zove lokalnilokalnilokalnilokalni centarcentarcentarcentar granegranegranegrane, akoje sledeća nejednačina tačna za svaku tačku x

� Rastojanje između lokalnog centra bilo koje grane i njemu najudaljenijeg čvora je manje ili jednakorastojanju između bilo koje tačke na toj grani i njojnajudaljenijeg čvora.

57

( ) ( )xfxf a ≤

� Tačka j(c) se naziva apsolutnimapsolutnimapsolutnimapsolutnim centromcentromcentromcentrom mremremremrežeeee G akoje sledeća nejednačina tačna za svaku tačku j

� Rastojanje između apsolutnog centra mreže i njemu najudaljenijeg čvora je manje ili jednako rastojanju između bilo kojeg drugog čvora na mreži i njemunajudaljenijeg čvora.

58

( ) ( )ifjf c ≤)(

59

Primer: Locirati centar u nekom od čvorova mreže

[ ]

=

0243

2062

4604

3205

5450

5E

D

C

B

A

d

EDCBA

ji

7

7

7

7

min {7, 7, 7, 7, 5} = 5

čvor E je centar čvorova

� Korak 1: Pronaći lokalni centar xa za svaku granumreže G

� Korak 2: Izabrati lokalni centar sa najmanjomvrednošću f(xa). Ovaj lokalni centar predstavljaapsolutni centar x0 mreže G.

60

61

� Za svaku tačku xxxx lociranu na linku (A, B) crta se funkcija dx,i za i = A, B, C, D, E.

� Na primer, ako se usvoji da je x = 0 u A i x = 5 u B,

tada je:

62

, , 0 5x Ad x za x= ≤ ≤

, 5 , 0 5x Bd x za x= − ≤ ≤

,

4, za 0 4

12 , za 4 5x C

x xd

x x

+ ≤ ≤= − < ≤

� Funkcija f(x) je nacrtana sa podebljanom linijom

� Minimalna vrednost funkcije f(x) predstavlja lokalni centar mreže

63

, 7 , 0 5x Dd x za x= − ≤ ≤

,

5 , za 0 1.5

8 , za 1.5 5x E

x xd

x x

+ ≤ ≤= − < ≤

64

Grana Funkcija

f(x)

Lokalni centri

(A, B) f(xa) = 6 1 jedinica od A ili 2 jedinice od A

(A, E) f(xa) = 4.5 0.5 jedinice od E

(A, C) f(xa) = 7 u A i C

(E, C) f(xa) = 5 u E

(B, E) f(xa) = 5 u E

(B, D) f(xa) = 6.5 1.5 jedinice od B

(D, E) f(xa) = 5 u E

Apsolutni centar