Poglavlje 5: Slucajni vektori: nezavisnost i zavisnost

Snjezana Lubura Strunjak i Nikolina Milincevic

Zagreb, 8. prosinca 2020.

SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 1 / 18

5.1 Nezavisnost slucajnih varijabli

Zadatak 5.1 Neka su X ∼ B(n, p) i Y ∼ B(m, p) nezavisne slucajne varijable. Odreditedistribuciju slucajne varijable X + Y .

Rjesenje

SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 2 / 18

SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 3 / 18

5.1 Nezavisnost slucajnih varijabli

Zadatak 5.2 Neka su X i Y nezavisne slucajne varijable takve da je X ∼ P(λ),Y ∼ G(p), λ > 0, p ∈ (0, 1). Odredite P(X ≤ Y ).

Rjesenje

SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 4 / 18

SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 5 / 18

5.1 Nezavisnost slucajnih varijabli

Za X1, . . .Xn nezavisne sl. varijable vrijedi

E[Πni=1Xi ] = Πn

i=1EXi , Var(n∑

i=1

Xi ) =n∑

i=1

VarXi .

Obrat te tvrdnje ne vrijedi.

SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 6 / 18

5.1 Nezavisnost slucajnih varijabli

Zadatak 5.3 Neka su X i Y nezavisne slucajne varijable takve da je X ∼ G(p1),Y ∼ G(p2), p1, p2 ∈ (0, 1). Izracunajte:

(a) P(X > n) za n ∈ N,

(b) E[minX ,Y ],(c) P(X ≥ 2Y ).

Rjesenje

SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 7 / 18

SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 8 / 18

SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 9 / 18

5.2 Slucajni vektori

Zadatak 5.4 Neka je Ω = ω1, . . . , ω5 pri cemu je P(ω1) = P(ω3) = P(ω5) = 16

iP(ω2) = P(ω4) = 1

4. Na vjerojatnosnom prostoru (Ω,F ,P) zadan je slucajni vektor

(X ,Y ) na sljedeci nacin:

(X ,Y )(ω1) = (−1, 0), (X ,Y )(ω2) = (−1, 1), (X ,Y )(ω3) = (−1, 0)

(X ,Y )(ω4) = (1, 0), (X ,Y )(ω5) = (1, 2)

Napisite tablicu razdiobe sl. vektora (X ,Y ) i odredite marginalne razdiobe slucajnihvarijabli X i Y . Jesu li X i Y nezavisne?

Rjesenje

SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 10 / 18

SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 11 / 18

5.2 Slucajni vektori

Zadatak 5.5 Bacamo dvije simetricne kocke. Oznacimo s X broj sestica, a s Y brojjedinica koje su pale.

(a) Odredite razdiobu slucajnog vektora (X ,Y ) i marginalne razdiobe slucajnihvarijabli X i Y . Jesu li X i Y nezavisne?

(b) Odredite razdiobu slucajne varijable X + 2Y .

Rjesenje

SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 12 / 18

SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 13 / 18

5.2 Slucajni vektori

Zadatak 5.6 Za funkciju gustoce f slucajnog vektora (X ,Y ,Z) vrijedi da je

f (1, 2, 3) = f (2, 1, 1) = f (2, 2, 1) = f (2, 3, 2) =1

4.

Odredite E[XYZ ] i E[XY + YZ + XZ ].

Rjesenje

SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 14 / 18

SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 15 / 18

5.2 Slucajni vektori

Definicija 5.7 Diskretni k-dimenzionalni slucajni vektor X = (X1, ...,Xk) imapolinomijalnu razdiobu s parametrima (n, p1, ..., pk), n ∈ N, pi > 0 za svaki i i∑k

i=1 pi = 1 ako mu je pripadna funkcija gustoce oblika

f (x1, ..., xk) =

n!

x1!...xk !px11 . . . pxk

k , xi ∈ N0, x1 + ...+ xk = n

0, inace.

Napomena 5.8

(a) Recimo da imamo pokus koji ima ukupno k mogucih razlicitih ishoda, pri cemu jevjerojatnost svakog ishoda pi > 0, i = 1, ..., k. S Xi oznacimo broj pojavljivanjaishoda i u n nezavisnih ponavljanja pokusa. Tada je slucajni vektor (X1, ...,Xk)polinomijalno distribuiran s parametrima (n, p1, ..., pk).

(b) Neka je X ∼ B(n, p), p ∈ (0, 1). Tada 2-dimenzionalni slucajni vektor (X , n − X )ima polinomijalnu razdiobu s parametrima (n, p, 1− p).

SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 16 / 18

5.2 Slucajni vektori

Definicija 5.7 Diskretni k-dimenzionalni slucajni vektor X = (X1, ...,Xk) imapolinomijalnu razdiobu s parametrima (n, p1, ..., pk), n ∈ N, pi > 0 za svaki i i∑k

i=1 pi = 1 ako mu je pripadna funkcija gustoce oblika

f (x1, ..., xk) =

n!

x1!...xk !px11 . . . pxk

k , xi ∈ N0, x1 + ...+ xk = n

0, inace.

Napomena 5.8

(a) Recimo da imamo pokus koji ima ukupno k mogucih razlicitih ishoda, pri cemu jevjerojatnost svakog ishoda pi > 0, i = 1, ..., k. S Xi oznacimo broj pojavljivanjaishoda i u n nezavisnih ponavljanja pokusa. Tada je slucajni vektor (X1, ...,Xk)polinomijalno distribuiran s parametrima (n, p1, ..., pk).

(b) Neka je X ∼ B(n, p), p ∈ (0, 1). Tada 2-dimenzionalni slucajni vektor (X , n − X )ima polinomijalnu razdiobu s parametrima (n, p, 1− p).

SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 16 / 18

5.2 Slucajni vektori

Zadatak 5.9 Neka je X = (X1,X2,X3) polinomijalni slucajni vektor s parametrima(n, p1, p2, p3).

(a) Odredite marginalne gustoce vektora X.

(b) Jesu li komponente slucajnog vektora X po parovima nezavisne?

(c) Odredite razdiobu slucajne varijable X1 + X2.

Rjesenje

SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 17 / 18

SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 18 / 18