32

PLITVO TEMELJENJE

Plitvo temeljenje je izvedljivo, če sta izpolnjena pogoja: ⇒ dopdej qq <

⇒ dopdej ii uu <

Pogoja veljata tudi v primeru, če temeljna tla pod objektom na kakršenkoli način izboljšamo. V nasprotnem primeru, moramo objekt temeljiti globoko.

1.0 Najmanjša globina temeljenja ⇒ Zmrzovanje temeljnih tal

• na podlagi večletnih meteoroloških opazovanj • na podlagi izkušenj • priporočila: z = zmin + 10 do 20 cm

če je nadmorska višina manjša od 500 m:

sredozemska klima: zmin = 40 cm kontinentalna klima: zmin = 80 cm

v gorskem svetu: neodvisno od klime: zmin = 80 do 120 cm

• olajšave (pri manj pomembnih objektih): na skali: brez ukopavanja, če ni dotoka vode v nekoherentnih tleh: do 20%, če je talna voda pod dnom temelja v koherentnih tleh: do 20%, če je nivo talne vode nižji za več kot 2 m pod dnom

temelja ⇒ Osuševanje temeljnih tal

• Nevarnost obstoji pri tleh, ki sestoje ob površju iz glin (CL, CI, CH) ali organskih meljih (OL, OI, OH). Zaradi osuševanja se spremeni prostorninska teža zemljine. Globino razsuševanja določimo po krajevnih izkušnjah ali s posebnimi terenskimi in laboratorijskimi preiskavami.

• Do izsuševanja tal lahko pride tudi zaradi tehnoloških procesov pri industrijskih objektih.

33

⇒ Nevarnost izpiranja temeljnih tal

• Nevarnost pri drobnih sipkih zemljinah, če je nivo talne vode blizu dna temeljev. Raziskati je treba zrnavost in kritične gradiente.

• Nevarnost izluževanja in razpadanja tal zaradi vpliva talne vode (odpadne vode)

2.0 Kontaktni tlaki ob dnu temeljev Temelje dimenzioniramo na notranje sile in momente, ki jih povzročata obtežba objekta in kontaktni (reaktivni) tlaki temeljnih tal. Če bi bili temelji gibki, bi bila razporeditev kontaktnih tlakov enaka razporeditvi obtežbe, s katero objekt obremenjuje temelj. Togost (manjša ali večja) temeljev vpliva na razpored kontaktnih tlakov na takšen način, da so po eni strani kontaktni tlaki v ravnovesju z obremenitvijo temelja in po drugi strani, da so upogibki temeljev kompatibilni s posedki temeljnih tal. Kontaktni tlaki so tako odvisni:

• od stopnje togosti objekta, • od stopnje togosti temelja in • od deformabilnosti temeljnih tal.

3.0 Modeli tal

Ker lahko deformacije (upogibke) temeljev, ki so večinoma betonski oz. armirano-betonski, dovolj natančno izračunamo, je natančnost izračuna kontaktnih tlakov odvisna predvsem od natančnosti izračuna posedkov temeljnih tal. Ta pa zavisi od izbranega modela s katerim opišemo ponašanje temeljnih tal. Temeljna tla sestoje iz različno debelih plasti (zemljin in/ali hribin), ki se med seboj razlikujejo po prepustnosti, deformabilnosti in trdnosti. Posamezna plast se pod različno veliko obtežbo lahko ponaša elastično, plastično ali pa elasto-plastično. Kompleksne nelinearne reološke sovisnosti lahko upoštevamo pri izračunu kontaktnih tlakov le s postopnimi numeričnimi metodami (n.pr. MKE), če za manjše izspremembe napetostnih stan (stopnjevanje obremenitve temeljnih tal) sicer nelinearne odnose med napetostmi in deformacijami lineariziramo. V vsakodnevni inženirski praksi se večinoma poslužujemo bolj enostavnih (približnih) metod, kjer temeljna tla (posamezno plast temeljnih tal) obravnavamo kot elastično izotropen medij s konstantno vrednostjo Joungovega elastičnega modula E in Poissonovega števila ν, ali pa celo kot tako imenovan Winklerjev polprostor, ki ga opišemo z modulom reakcije tal k (kN/m3).

34

3.1 Elastično izotropen polprostor Ealstični modul in Poisonovo število dobimo za zemljino (hribino) s pomočjo terenskih raziskav (presiometer) ali s pomočjo laboratorijskih raziskav (triosne preiskave). Običajno s preizkusi določimo kompresijski modul K in strižni modul G, elastični modul in Poissonovo število pa izračunamo po znanih enačbah mehanike.

vK

εσσ

ΔΔ+Δ

=3

2 ,3

,1

vG

εεσσΔ−ΔΔ−Δ

=1

,3

,1

3

in

GKKGE+

=3

9

GKGK

2623

+−

=ν

Da bi ločili deformacijske parametre temeljnih tal od deformacijskih parametrov temelja, bomo elastični modul in Poissonovo število tal označili z indeksom (s ... soil). Nekaj izkustvenih vrednosti elastičnih modulov (velikostni red) za različne vrste zemljin je podanih v spodnji preglednici.

Vrsta tal ( )2mNkEs Šote 100 – 400 Org. gline 500 – 3000 Židke gline 200 – 1000 Lahko gnetene gline 1500 – 3000 Srednje gnetene gline 2000 – 5000 Težko gnetene gline 3000 – 6000 Poltrdne gline 6000 – 50000 Trdne gline 8000 – 50000 Melji 3000 – 8000

35

Vrsta tal ( )2mNkEs Puhlica 4000 – 8000 Rahel pesek zaobljen 40000 – 80000 Rahel pesek ostrorob 50000 – 100000 Srednje gost pesek zaobljen 80000 – 160000 Srednje gost pesek ostrorob 100000 – 200000 Gramoz 100000 - 200000 3.2 Winklerjev model Ta model temelji na takoimenovanemu modulu reakcije tal k. Po definiciji je modul reakcije tal enak količniku med obremenitvijo in posedkom tal:

)()/()/(

23

mmkNpmkNk

ρ=

Fizikalno lahko tolmačimo modul reakcije tal kot konstanto vzmeti. Če obravnavamo temeljna tla kot Winklerjev polprostor, to pomeni, da opišemo ponašanje temeljnih tal s ponašanjem neskončno velikega števila, različno močnih vzmeti, ki podpirajo temeljni nosilec. Če posamezne vzmeti med seboj niso povezane (kar je najbolj pogost primer pri uporabi tega modela) je posedek določene točke površja polprostora (temeljnih tal) odvisen samo od obremenitve v tej točki in se deformira za toliko, kot se skrči vzmet pod to točko. Takšen opis obnašanja temeljnih tal je daleč od realnosti.

Temeljni nosilec na elastični podlagi (Winklerjev polprostor).

36

Modul reakcije tal ni takšna karakteristika tal, ki bi jo lahko neposredno določili bodosi s terenskimi, bodisi z laboratorijskimi preizkusi. Približne vrednosti modula reakcije tal bi lahko dobili, če bi n.pr. iz krivulje stisljivosti

)( ,σρρ = , ki jo dobimo pri edometrskemu preizkusu stisljivosti, izvrednotili količnike med ustreznimi normalnimi napetostmi in posedki edometrskega vzorčka. Takoj je razvidno, da so ti količniki (''modul reakcije tal'') odvisni od vrste zemljine (tudi njene konsistence) in tudi od velikosti vertikalne napetosti v vzorčku oziroma obremenitve vzorčka. Po drugi strani pa vemo, da je posedek nekega temelja pri enako veliko obtežbi, ki obremenjujejo enaka temeljna tla (debelina, prepustnost, deformabilnost in trdnost) odvisen tudi od njegovih tlorisnih dimenzij in oblike (pravokotna tlorisna oblika, krožna tlorisna oblika, ...). Čim večja bo površina temelja, pri enaki obremenitvi enakih temeljnih tal), tem večji bodo posedki temeljnih tal. Iz navedenega sledi, da bi morali modul reakcije tal določiti za vsak temelj posebej glede:

na vrsto temeljnih tal, na velikost obremenitve in na obliko in velikost bremenske ploskve,

Podobno kot smo podali nekaj izkustvenih vrednosti elastičnih modulov za različne vrste zemljin, je možno v literaturi tudi najti takšne izkustvene vrednosti za module reakcije tal za različne vrste zemljin. V spodnji preglednici podajamo podatke Terzaghija, ki pa veljajo za bremensko ploskev kvadratične oblike, dimenzij 30 x 30 cm (k v kN/m3).

Peščene zemljine Rahle Sredje goste Zelo goste Suh ali vlažen pesek 13000 42000 160000

Pesek pod vodo 8000 26000 96000 Gline težko gnetne poltrdne trdne ( )2mNkqu 100 - 200 200 - 400 > 4000

k (kN/m3) 24000 48000 96000 Za pravokotne temelje dimenzij BA × , lahko po Terzaghiju izračunamo modul reakcije tal po enačbi:

BAB

BAkk ⟩⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ += ,

2

2

1

Modul reakcije tal lahko določimo tudi tako, da za konkretne podatke (oblika in velikost bremenske ploskve, debelina in deformabilnost plasti temeljnih tal) izračunamo posedek temeljnih tal ρ. Modul reakcije tal je potem enak:

37

ρqk =

Kako se računajo posedki tal pod različnimi bremenskimi ploskvami smo se učili pri predmetu Mehanika tal. Za pravokotne bremenske ploskve smo navedli rešitev Steinbrennerja. V tem primeru je posedek tal odvisen od obtežbe (q), širine ploskve (b), elastičnega modula tal in parametra f, ki je odvisen od razmerja dolžine in širine bremenske ploskve (a/b) in Poissonovega števila (ν) ter debeline sloja (z). Za pravokotni temelj dimenzij 2a x 2b (2a ... dolžina, 2b ... širina temelja), bi po Steinbrennerju izračunali v centru temelja posedek površja tal (ρ) kot skrček (s) sloja debeline z v velikosti:

)()0( zuzus zz −===ρ

( ){

} 4arctan)21()1(2

)()(ln

)()(ln1 2

xABabz

CabBDab

CbaADba

Eq

ss

ss

νν

νπ

ρ

−++

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

++

++

−=

222222222 ,,, baDzbaCzbBzaA +=++=+=+=

( )ss b

zbaf

Eqbx νρ ,,4=

Zgoraj navede enačbe veljajo za gibke obtežbe. Povprečno vrednost posedka bi dobili v ''karakteristični točki''.

( )sii

ii

ii

s bz

ba

fbEq νρ ,,

4

1∑=

=

Za posedek ''karakteristične točke'' temelja kvadratične tlorisne oblike (a x a) je podal Schleicher:

( )s

s Eaq2195,0 νρ −=

Modul reakcije tal, bi za temelj kvadratične tlorisne oblike lahko izračunali po enačbi:

38

( ) aEqk

s

s2195,0 νρ −

==

V literaturi se pogosto navaja enačba:

aE

k s

82,0=

ki pa velja za 3,0=sν in upoštevanje debeline stisljivih tal v velikosti z = 6 a. Na podoben način lahko določimo modul reakcije tal tudi za krožno bremensko ploskev.

)()0( zuzu zz −==ρ

{ [ ] }αανναν

νρ 22 coscos)21()1(2sin1

)1(2 −−−−+

−−= sss

ssErq

α pomeni kot, ki ga oklepata višina tvorilka stožca, ki ima vrh v globini z, osnovno ploskev - krožno bremensko ploskev – pa na površju temeljnih tal.

Schleicher je podal rešitev tudi za posedek ''karakteristične točke'' krožne bremenske ploskve.

( )s

s Erq2189,0 νπρ −= ( )

ss E

rq2158,1 ν−=

Če upoštevamo debelino stisljivih tal v velikosti z = 6 r in vrednost Poissonovega števila ν = 0.3, izračunamo posedek temeljnih tal ρ in modul reakcije tal k po enačbah:

sErq4,1=ρ

rEqk s

4,1==

ρ

39

Karakteristična točka za pravokotni in krožni temelj V splošnem lahko zapišemo, da je posedek ''karakteristične'' točke bremenske ploskve kvadratične oblike enak:

)1(, 2

s

ss

s vE

CC

aq−

== αρ

in modul reakcije tal:

aC

k s

α=

Sovinc (1955) je podal količnike ikα za izračun posedkov površja izven bremenske ploskve kvadratične oblike c x c. Rezultate podaja v tlorisni projekciji polprostora za območje kvadratne mreže 11c x 11c; obremenjeni kvadrat (k) je v središču te mreže. Posedek v centru izbranega kvadrata (i) izračunamo po enačbi:

skiki C

cqαρ =

Koeficienti ikα so podani za ¼ kvadratne mreže 11c x 11c v preglednici I.

Preglednica I:

40

c c c c c c

c 0,950 0,380 0,180 0,115 0,083 0,068 c

c 0,380 0,295 0,165 0,100 0,073 0,062

c 0,180 0,165 0,114 0,095 0,070 0,060

c 0,115 0,100 0,095 0,072 0,068 0,055 5c

c 0,083 0,073 0,070 0,068 0,059 0,050

c 0,068 0,062 0,060 0,055 0,050 0,040

c 5c

4.0 VRSTE TEMELJEV IN NJIHOVO DIMENZIONIRANJE

4.1 Posamični ali točkovni temelji

Namen: za prenos obtežbe posameznih stebrov na temeljna tla. Tlorisne oblike: kvadrat, pravokotnik, mnogokotnik ali krog (A / B < 2). Material: beton, armirani beton, zidani iz lomljenega kamna v apneni ali cementni malti.

41

Razširitev temeljne ploskve:

bh

=αtan

42

Pri točkovnih temeljih predpostavimo, da se vpliv obtežbe od vrha proti dnu temelja raznaša pod kotom β. Za betonske temelje je β ≅ 45o, za zidane temelje iz kamna pa β ≅ 30o.

β = 90o - α

Betonski temelji:

pfb

h

kb

120tan >=α

0.2tan0.1 << α p ... povprečna vrednost kontaktnega tlaka fbk ... tlačna trdnost betona

Po DIN 1045 so maksimalne vrednosti tanα:

p Marka betona (kPa) 15 20 25 30 35 100 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 200 1.26 1.10 1.0 1.0 1.0 300 1.55 1.34 1.20 1.10 1.0 400 1.79 1.55 1.39 1.26 1.17 500 2.0 1.73 1.55 1.42 1.31

Armirano-betonski temelji:

1tan <α

Zidani temelji iz kamna v cementni malti:

pfb

h

kb

120tan >=α

( )101000010 22 MBmNkmmNf kb ==

za lomljen kamen: 5.1tan =α za obdelan kamen: 0.1tan =α

43

Zidani temelji iz kamna v apneni malti:

tan α = 2

Zaradi razmeroma velikih višin in majhnih tlorisnih dimenzij smatramo točkovne temelje zgrajene iz betona ali iz kamnitega materiala kot absolutno toge (trme):

4,0>K

Absolutno togost temelja izračunamo po enačbah:

3

12⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

Ah

EE

Ks

b ali 3

12⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

Dh

EE

Ks

b

h ... višina temelja A ... daljša stranica pri pravokotnem temelju D ... premer krožnega temelja Če so posamezni temelji absolutno togi in če so manjših dimenzij od 4 m, se lahko privzame linearna razporeditev kontaktnih tlakov:

y

y

x

x

y

y

x

x

weQ

weQ

FQ

wM

wM

FQp ±±=±±=minmax,

Q ... Vertikalna centična sila M ... Moment F ... prerez temelja w ... odpornostni momement temelja e ... ekscentičnost vertikalne sile Za temelje pravokotne tlorisne oblike (A x B):

BAeQ

BAQp x

2minmax,6

±=

44

Če pade sila Q izven jedra prereza, so na nasprotnem robu prereza (gledano na os prereza in silo Q) kontaktni tlaki (pmin) negativnega predznaka (nateg ... po definiciji v geotehniki). V tem primeru izločimo natezne kontaktne tlake, na ta račun pa povečamo (ravnovesni pogoji) na drugem robu (tlačne) kontaktne tlake po enačbi:

BcQpx3

2max =

Minimalna oddaljenost sile Q od roba prereza (cx) mora biti večja od 20% dolžine A. To pomeni, da je dopustna največja ekscentričnost 30% dolžine A.

45

V primeru armirano-betonskih temeljev, če tudi so manjših dimenzij od 4 m, supozicija o linearni razporeditvi kontaktnih tlakov ni upravičena. Vpliv absolutne togosti temelja (K) na razporeditev kontaktnih tlakov (p), posedkov temeljnih tal in temelja (ρ) in upogibnih momentov (M) je prikazan na naslednji strani za centrično obremenjen pravokotni temelj z razmerjem stranic 6=BA z različno absolutno togostjo K = ∞, 0.2431, 0.0729 in 0.0243. Podobne rezultate bi dobili tudi za drugačna razmerja stranic BA . V praksi tudi za armirano-betonske temelje (če so njihove dimenzije manjše od 4 m) računamo z linearno razporeditvijo kontaktnih tlakov. V tem primeru korigiramo izračunane upogibne momente M0, izračunane za linearno razporeditev kontaktnih tlakov, glede na absolutno togost temelja.

4,0<K

08,0 MxM =

Za absolutno toge temelje (trme):

4,0>K

0MxM α=

46

Koeficient α je odvisen od razmerja stranic BA :

47

Dimenzioniranje betonskih temeljev ali zidanih kamnitih temeljev: Izračunati moramo takšno velikost temeljne ploskve, da kontaktni tlaki ne bodo presegli dopustne obtežbe temeljnih tal.

bz GGQQ ++=′

prerez 1-1: ba

Qp =1 ,

prerez 2-2: doptalBAQp σ≤′

=2

Dimenzioniranje armirano-betonskih temeljev: Poleg velikosti temeljne ploskve (da kontaktni tlaki ne bodo presegli dopustne obtežbe temeljnih tal) je treba izračunati še upogibne momente, prečne sile in potrebno armaturo v temelju.

bz GGQQ ++=′

doptalBAQp σ≤′

=

48

bxbzxzx xGxGxpM −−=2

2

xbxzx GGxpT −−=

Pri enostransko razširjenih pravokotnih temeljih (n.pr.: prizidek) je treba poleg vsega naštetega, preveriti še statično kontrolo prereza 1-1:

bz GGQQ ++=′

6Ae ≤

BA

eQBA

Qp 2minmax,6 ′

±′

=

49

6Ae ⟩

BcQp

32

max′

=

eAc −=2

Izpolnitev pogoja:

doptalp σ<max zahteva pri velikih silah Q velike temelje (velike sile Gb in Gz). Bolj ekonomično je, da že pri računu in dimenzioniranju konstrukcije upoštevamo ekscetrično obremenitev stebra (sila Q v tem primeru ne deluje v težišču prereza 1-1). Račun izvedemo po obratni poti. Za izbrane dimenzije temelja izračunamo:

BAQp′

=

in ekscentričnost sile Q' in ustrezne robne kontaktne tlake pmax in pmin iz pogoja doptalp σ<max . Ko je lega rezultante Q' določena, izračunamo pri znanih velikostih in legah sil Gb in Gz še lego sile Q oziroma dodatnega momenta M, če vzamemo silo Q v težišču prereza 1-1.

50

QzzbbQ rQrGrGrQ ′′=++ 1111

QrGrGrQ

r zzbbQQ

1111

−−′= ′

zzbbQQ rGrGrQrQM 1111 −−′== ′

Če pade sila Q izven jedra prereza 1-1, je treba prerez 1-1 armirati. 4.2 Pasovni temelji Namen: za prenos obtežbe zidov na temeljna tla. Tlorisne oblike:

Obtežba: v vzdolžni smeri so obremenjeni z linijsko obtežbo, za katero suponiramo da je konstantna. Računamo jih na tekoči dolžinski meter. Togost pasovnih temeljev: ker ima vertikalni prerez zidu velik vztrajnostni moment v primerjavi z vztrajnostnim momentov vertikalnega prereza pasovnega temelja, so pasovni temelji v vzdolžni smeri togi.

51

Material: beton, armirani beton, zidani iz lomljenega kamna v apneni ali cementni malti. Pri pasovnih temeljih je potrebno določiti širino temelja tako, da so kontaktni tlaki manji od dopustne obtežbe temeljnih tal. Za prečno smer pasovnega temelja veljajo enake zahteve kot pri točkovnih temeljih (kot α, razporeditev kontaktnih tlakov v prečni smeri in korekcija momentov za armirano-betonske pasovne temelje). Če je absolutna togost pasovnega armirano-betonskega temelja v prečni smeri:

4,0<K

0MM =

4,0>K

010.1 MxM =

4.3 Temeljni nosilci

Namen: za prenos obtežbe stebrov in zidov na temeljna tla. Tlorisne oblike:

52

Obtežba: temeljni nosilci so obremenjeni v vzdolžni smeri z linijsko obtežbo (teža zidu), s točkovnimi silami in upogibnimi momenti (obtežbe stebrov). Material: armirani beton. Togost temeljnih nosilcev: lahko so različno togi (do absolutno togih). V prečni smeri, če so širine temeljnih nosilcev manjše od 4 m in če velja, da je dolžina temeljnega nosilca večja od dvakratne širine nosilca, lahko privzamemo, linearno razporeditev kontaktnih tlakov. V prečni smeri moramo določiti širino nosilca v skladu z zahtevami točkovnih ali pasovnih temeljev in jih po potrebi armiramo. Ker je glavna obtežba temeljnih nosilcev v vzdolžni smeri, se v tej smeri tudi dimenzionirajo in armirajo. Pri dimenzioniranju temeljnih nosilcev moramo poznati razporeditev kontaktnih tlakov v vzdolžni smeri. Račun kontaktnih tlakov izvedemo načeloma za 4 različne slučaje, ki se med seboj razlikujejo po razmerju deformacij oziroma togosti konstrukcije, temelja in temeljnih tal.

53

(a)

Deformacije konstrukcije in temelja (K < 0.4) so enakega velikostnega reda kot so deformacije temeljnih tal. Na notranje statične količine konstrukcije vplivajo posedki temelja oz. temeljnih tal. V proračunu kontaktnih tlakov se vzame objekt kot celoto ali pa se izvede račun kontaktnih tlakov iterativno tako, da se izenačujejo premiki podpor gornje konstrukcije in temelja. (b)

Deformacije gornje konstrukcije so zanemarljive v primerjavi z deformacijami temelja. Deformacije temelja in temeljnih tal so enakega velikostnega reda (K < 0.4). Račun kontaktnih tlakov izvedemo po modelu za deformabilni temeljni nosilec s togo zgornjo konstrukcijo. (c)

Deformacije gornje konstrukcije so bistveno večje v primerjavi z deformacijami temelja.

54

(c1) Deformacije temelja in temeljnih tal so enakega velikostnega reda (K < 0.4). Račun kontaktnih tlakov izvedemo po modelu za deformabilni temeljni nosilec s statično določeno zgornjo konstrukcijo. (c2) Temeljni nosilec je absolutno tog napram temeljnim tlem (K > 0.4). Račun kontaktnih tlakov izvedemo po modelu, ki velja za absolutno tog nosilec. (d)

Deformacije konstrukcije in temelja so enakega velikostnega reda in zanemarljive v primerjavi z deformacijami temeljnih tal (K > 0.4). Račun kontaktnih tlakov izvedemo po modelu, ki velja za absolutno tog nosilec. 4.3.1 Deformabilni temeljni nosilci s statično določeno zgornjo konstrukcijo Temeljni nosilec razdelimo v vzdolžni smeri na n enako dolgih elementov, po možnosti na take dolžine, da bo razmerje med daljšo in krajšo stranico elementa med 1:1 in 1:2.

nLhL =≡Δ

Če označimo z B širino temeljnega nosilca in elementa, s h pa dolžino elementa, potem mora biti dolžina elementa večja od polovične širine elementa in manjša od dvojne širine elementa.

55

ΔL = h

2 1

1 1

1 2 B

L

Vsak element je dnu obremenjen z delom obtežbe gornje konstrukcije, ki odpade na ta element / lastna teža ... g (kN/m'), obtežba zidov ... q (kN/m'), vertikalne sile ... V (kN), vodoravne sile ... H (kN) in momenti ... M (kNm) /, temeljna tla pa nudijo tej obtežbi reaktivne – kontaktne tlake p (kN/m'). Če bi bil temeljni nosilec absolutno tog (K > 0.4), bi se temeljna tla pod njim posedla tako, da bi bila deformirana linija (dno temeljnega nosilca) ravna črta. Pri centrični obremenitvi bi bila v tem primeru deformirana linija vodoravna, pri ekscentrični obremenitvi pa nagnjena (večji posedek nosilca bi bil na tisti strani, kjer bi bila obremenitev večja). Pri togih oziroma gibkih temeljnih nosilcih (K < 0.4) pa bi bila deformirana linija nosilca neravna črta. Na naslednji sliki je prikazana deformirana linija temeljnega nosilca, obremenitev nosilca in reaktivni kontaktni tlaki.

56

Posedek temeljnih tal oziroma temeljnega nosilca v i-ti točki (v centru i-tega ploskovnega elementa) lahko zapišemo z enačbo:

01 tanθδρρ iii x++=

iρ ... posedek temeljnih tal in nosilca v točki i

1ρ ... posedek tal in nosilca v izbrani točki n.pr.: i=1

iδ ... upogibek nosilca v točki i

0θ ... nagib ravne linije, ki povezuje krajni točki nosilca

(točki i=1 in i=n) Posedek temeljnih tal v točki i lahko izračunamo po enačbi:

∗

=∑= k

n

kiki p

1

*αρ

*ikα je posedek temeljnih tal v točki i, ki ga povzroči enakomerna enotna obtežba (1 kPa) k-tega

elementa dimenzij Bh ∗ (enota m3/kN), ∗kp pa je reaktivni kontaktni tlak k-tega elementa v kPa.

Koeficiente *

ikα izračunamo po enačbah Steinbrennerja, ki veljajo za izračun vertikalnih premikov v izotropnem elastičnem polprostoru (lahko je ta sloj homogen ali pa sestoji iz več različno debelih plasti zemljin) pod enakomernimi enotnimi obtežbami pravokotnih tlorisnih oblik.

k

i

(+)

(+)

57

(-)

(-)

( )sjj

jj

jj

s bz

ba

fbEik

να ,,1 4

1

* ∑=

=

Če so temeljna tla homogena, lahko za grobo oceno uporabimo tudi koeficiente, ki jih je izračunal Sovinc. Ob uporabi Sovinčevih koeficientov lahko upoštevamo vplik obremenitve k-tega elementa na posedke v največ 5 sosednjih elementih. Elementi morajo biti kvadratne tlorisne oblike h = B.

)1(

, 2s

ss

sik v

EC

CB

−==∗ αα

0,950 0,380 0,180 0,115 0,083 0,068

i = k

i = k±1

i = k±2

i = k±3

i = k±4

i = k±5

Ker običajno računamo (dimenzioniramo) temeljne nosilce kot linijske nosilce, je prikladneje, da tudi reaktivne kontaktne tlake računamo na enoto dolžine nosilca (pk v kN/m) in ne na enoto površine ( ∗

kp v kPa). V tem primeru izračunamo posedek temeljnih tal v točki i po enačbi:

hpn

kkiki ∑

==

1αρ

Kjer pomeni:

58

hBik

ik

∗

=α

α in Bpp kk∗=

Upogibek nosilca v točki i glede na ravno deformirano linijo nosilca, ki povezuje točki 1 in n, izračunamo po enačbi:

k

n

kik

n

k

n

k

n

kkikkikkkkii MVqhpgh ∑∑ ∑ ∑

== = =+++−=

11 1 1)( γβββδ

ikβ je upogibek nosilca, ki ga v i-ti točki povzroči enotna točkovna sila (1 kN) k-tega elementa.

ikγ je upogibek nosilca, ki ga v i-ti točki povzroči enotna momentna obtežba (1 kNm) k-tega

elementa. Upogibke in zasuke v izbranih točkah (i) temeljnega nosilca glede na ravno deformirano linijo nosilca, ki povezuje posedka nosilca (temeljnih tal) v dveh krajnih točkah 1 in n, izračunamo kot upogibke in zasuke prostoležečega nosilca (s podporama v točki 1 in n), ki ga povzročijo v točkah k rezultirajoče točkovne sile:

kkkkkk VhqgNhpP ++== )(, in rezultirajoči momenti Mk. Vodoravne sile Hk, ki lahko delujejo tako v vzdolžni kot prečni smeri temeljnega nosilca na kontaktne tlake in posedke (upogibke) temeljnega nosilca ne vplivajo. Morebitne vodoravne obremenitve mora prevzeti trenje med temeljnim nosilcem in temeljnimi tlemi. V ta namen se preveri nevarnost zdrsa temelja:

FVH δtan

≤∑∑

kjer pomeni ∑V rezultanto vertikalnih obremenitev temeljnega nosilca, ∑H rezultanto vodoravnih obremenitev temeljnega nosilca, δtan količnik trenja med nosilcem in temeljnimi tlemi in F predpisan količnik varnosti. Običajno je veliko večja nevarnost zdrsa temeljnega nosilca v prečni smeri. Pri izračunu upogibkov in zasukov prostoležečega nosilca upoštevamo znane relacije med upogibkom, zasukom, upogibnim momentom, prečno silo in obtežbo prostoležečega nosilca:

qdxdQ

dxMd

−==2

2

59

EIM

dxd

−=2

2δ

oziroma:

θδδδδ=−=−==

dxd

EIM

dxd

EIQ

dxd

EIq

dxd ,,, 2

2

3

3

4

4

Koeficiente ikβ in ikγ izračunamo tako, da obremenimo prostoležeč nosilec z enotno obtežbo (N = 1 kN ali M = 1 kNm) in najprej izračunamo upogibne momente tako obremenjenega prostoležečega nosilca.

Prostoležeči nosilec obremenimo z ''obtežbo'', ki je enaka diagramu prej izračunanih upogibnih momentov, reduciranih z negativno vrednostjo produkta med elastičnim modulom in vztrajnostnim momentom nosilca.

60

Pod takšno ''obtežbo'' nosilca predstavljajo izračunani upogibni momenti upogibke nosilce, oziroma tako izračunana momentna črta nosilca je upogibnica prostoležečega nosilca. Prostoležeč nosilec obremenjen s točkovno silo N = 1 kN v točki k: Za točke i od 1 proti točki k:

[ ]222 )(6

)(ik

ikik xxLL

LEIxxL

−−−−

=β

Za točke i od k proti točki n:

[ ]222 )(6

)(ik

ikik xLxL

LEIxLx

−−−−

=β

Prostoležeč nosilec obremenjen z momentom M = 1 kNm v točki k: Za točke i od 1 proti točki k:

[ ]32232 )(3)(2

6 kikki

ik xLxxLxxLEIL

xk

−+−−−=γ

Za točke i od k proti točki n:

[ ]32232 2)()(3)(

6)(

kikki

ik xLxLxLxxLEILxL

k−−−−+−

−=γ

Praviloma je vsak element (k) obremenjen z drugačno obtežbo konstrukcije. Zaradi lažjega zapisa enačb smo upoštevali, da v vsakem elementu deluje poleg lastne teže gk in neznanega reaktivnega kontaktnega tlaka pk, še obtežba qk, točkovna sila Vk in moment Mk. Dejansko bodo samo nekateri elementi obremenjeni z obtežbo qk, nekateri drugi elementi s točkovnimi silami Vk in tretji z momentom Mk. Vsi elementi so obremenjeni samo z lastno težo gk in reaktivnimi kontaktnimi tlaki pk. Če smo temeljni nosilec razdelili na n elementov, imamo n+2 neznank. Neznan je posedek izbrane (referenčne) točke, nagib ravne deformacijske črte in n reaktivnih kontaktnih tlakov. Za n+2 neznank lahko zapišemo n enačb, kjer v vsaki i-ti točki izenačimo posedek temeljnih tal s posedkom temeljnega nosilca:

61

0111 1 1

11

tanθργβββ

βα

ik

n

kik

n

k

n

k

n

kkikkikkki

n

ikik

n

kkik

xMVqhgh

phph

+++++=

=+

∑∑ ∑ ∑

∑∑

== = =

==

[ ] 0111

tan)()( θργββα ikik

n

kkkkkikik

n

kik xMVQGph +++++=+ ∑∑

==

[ ]kik

n

kkkkkiikik

n

kik MVQGxph γβθρβα +++=−−+ ∑∑

== 101

1)(tan)(

Drugi dve enačbi pa sta ravnovesni enačbi:

∑ = 0z

[ ] ∑∑ ∑== =

=++=n

kkk

n

k

n

kkkk NVqghph

11 1)(

01 =∑M

[ ] kk

n

kk

n

k

n

kkkkkkkkk MxNMxVxqghxph +=+++= ∑∑ ∑

== = 11 1)(

n+2 enačb za enako število neznank lahko zapišemo v matrični obliki:

[ ] { } { }DXAB =∗

Shematski zapis sistema enačb je prikazan na naslednji strani:

63

a1,1 a1,2 a1,3 a1,4 . . a1,n-1 a1,n -1 -x1 p1 d1

a2,1 a2,2 a2,3 a2,4 . . a2,n-1 a2,n -1 -x2 p2 d2

a3,1 a3,2 a3,3 a3,4 . . a3,n-1 a3,n -1 -x3 p3 d3

. . . . . . . . -1 . . .

. . . . . . . . -1 . x . = .

. . . . . . . . -1 . . .

an-1,1 an-1,2 an-1,3 an-1,4 . . an-1,n-1 an-1,n -1 -xn-1 pn-1 dn-1

an,1 an,2 an,3 an,4 . . an,n-1 an,n -1 -xn pn dn

h h h h . . h h 0 0 1ρ ∑N

h x1 h x2 h x3 h x4 . . h xn-1 h xn 0 0 0θ ∑M

ha ikikki )(, βα += [ ]kik

n

kkkkkii MVQGd γβ +++= ∑

= 1)(

∑N [ ] ∑∑==

=++=n

kkkk

n

kk NVqgh

11)( ∑M kk

n

kk MxN += ∑

=1

64

4.3.2 Nosilec na elastični podlagi – Winklerjev polprostor 4.3.2.1 ANALITIČNA REŠITEV Diferencialna enačba upogibnice linijskega nosilca se glasi:

EIBq

EIq

dxwd ∗

==4

4

Če upoštevamo:

wBp

wpK ==∗

in

)( ∗∗ −=−= pgBpgq kjer pomeni: w ... upogibek nosilca oziroma posedek tal, E ... elastični modul nosilca, I ... vztrajnostni moment nosilca, q ... rezultirajoča obtežba nosilca, ki jo prenaša nosilec na temeljna tla, p ... reaktivni kontaktni tlak, K ... modul reakcije tal in g ... obtežba (lastna teža in teža zidov). Z zvezdico so podane obtežbe in kontaktni tlaki na enoto površine (kPa), brez zvezdice pa na enoto dolžine (kN/m).

∗=+ gKwdx

wdBEI

4

4

Če uvedemo spremenljivko λ :

Lx

=λ

kjer pomeni L ''elastično'' dolžino nosilca:

KBEIL 44 =

dobi diferencialna enačba upogibnice obliko:

44

4

4

4 11Ld

wddx

wdLd

dwdxd

ddw

dxdw

λλλ

λ=⇒==

Kgw

dwd ∗

=+444

4

λ

Rešitev, ki ustreza homogeni diferencialni enačbi 4. reda:

65

044

4=+ w

dwdλ

lahko zapišemo v obliki:

)sincos()sincos( λλλλ λλ DCeBAew +++= − Za konkretne obremenitve temeljnega nosilca je potrebno določiti integracijske konstante ob upoštevanju ustreznih robnih pogojev. Za neskončno dolg nosilec na elastični podlagi obremenjen s točkovno silo P je podal rešitev Bleich. Če je neskončno dolg nosilec ( ∞<<∞− x ) obremenjen s točkovno silo v koordinatnem izhodišču (x = 0), mora rešitev diferencialne enačbe ustrezati naslednjim 8 robnim pogojem:

0000

==∞===−∞=

DD

LL

QinMxQinMx

DLDL inwwx θθ tantan0 ===

PQQozQQinMMx DLDLDL =+−=== .0

Konstante A, B, C in D dobimo, če upoštevamo zgornje robne pogoje in relacije:

θ=−=−=dxdw

EIM

dxwd

EIQ

dxwd ,, 2

2

3

3

Rešitev za neskončno dolg nosilec na elastični podlagi obremenjen s točkovno silo je Bleich podal v analitični obliki:

ηλλλ PLBK

ePLBK

w2

1)sin(cos2

1=+= −

ηλλλ PLB

ePLB

wKp2

1)sin(cos2

1=+== −∗

,

4)sin(cos

4ηλλλ PLePLM =−= −

,,

21cos

21 ηλλ PPeQ −=−= −

Za praktično uporabo je Bleich izdelal vplivnice. Količniki ,,,, ηηη in so podani za vrednosti:

66

L,4

5,4

4,4

3,4

2,4

,0 πππππλ =±

Če želimo določiti kontaktne tlake, posedke, prečne sile in upogibne momente za končno dolg temeljni nosilec, ki je obremenjen z različno obtežbo (zvezno obtežbo, točkovnimi silami in momenti), takšen nosilec v vzdolžni smeri razdelimo na poljubno število elementov (n). Dolžino posameznih elementov narekujejo obremenitve temeljnega nosilca. Čim manjše bodo dolžine elementov, tem bolj natančni bodo izračunani rezultati.

67

Vso obtežbo nosilca pretvorimo v točkovne sile, ki delujejo v vozliščih oz. stičiščih elementov (takšnih točk je n+1). Zvezno obtežbo razporejeno po elementu nadomestimo s točkovnima silama v vozliščih elementa (reakcije prostoležečega nosilca), momentno obtežbo nadomestimo z dvojico sil v vozliščih elementa. V vozlišču oz. stičišču dveh elementov seštejemo ustrezne obremenitve levega in desnega elementa v tem vozlišču. Temeljni nosilec je tako obremenjen v vsakem vozlišču z rezultirajočo silo P. Če računamo kontaktne tlake, posedke, prečne sile in momente v izbrani točki (n.pr. točka i), potem postavimo to točko v koordinatno izhodišče (λ = 0). Ostala vozlišča so ustrezno razporejena levo in desno od koordinatnega izhodišča. Za določeno vozlišče (k), ki je od obravnavanega vozlišča (i) oddaljeno za razdaljo xk, izračunamo, ob upoštevanju ‘’elastične’’ dolžine nosilca:

KBEIL 44 =

spremenljivko λ k:

Lxk

k =λ

Pod vsako točko k, odčitamo (ali izračunamo) ustrezne vrednosti količnikov

,,,, kkk in ηηη . V i-tem vozlišču seštejemo vplive vseh sil Pk, ki obremenjujejo sosednja vozlišča (k) in seveda tudi vpliv sile Pi, ki obremenjuje obravnavano i-to vozlišče. Kontaktni tlak, posedek, prečno silo in moment v i-tem vozlišču izračunamo po enačbah:

kk

n

ki P

LBKw η∑

+

==

1

121

kk

n

kii P

LBKwp η∑

+

=

∗ ==1

121

,

1

14 k

n

kki PLM η∑

+

==

,,

1

121

kk

n

ki PQ η∑

+

=−=

Ker realni temeljni nosilec ni neskončno dolg, z dvema paroma točkovnih sil (R1 , R2 in R 3 , R4), ki jih postavimo na poljubni razdalji r1 , r2 in r3 , r4 levo in desno od koncev nosilca, zadostimo robnim pogojem v krajnih dveh točkah (1 in n+1) temeljnega nosilca. Običajno so na konceh temeljnega nosilca upogibni momenti in prečne sile nične.

68

Iz pogoja, da mora biti v točki 1 vrednost momenta in prečne sile nična, izračunamo velikost sil R1 in R2. Na enak način iz pogoja, da sta v drugi končni točki nosilca (n+1) moment in prečna sila nična, izračunamo sili R3 in R4. Sile R1 , R2 , R 3 in R4 upoštevamo pri izračunu kontaktnih tlakov, posedkov, prečnih sil in momentov v vseh točkah temeljnega nosilca. 4.3.2.2 NUMERIČNA REŠITEV Diferencialno enačbo upogibnice linijskega nosilca na elastični podlagi (Winklerjev polprostor)

∗=+ gKwdx

wdBEI

4

4

lahko rešimo tudi numerično, tako, da zapišemo vse odvode pomikov v diferenčni obliki (metoda končnih diferenc). Če želimo zapisati odvode v diferenčni obliki, pa moramo nosilec razdeliti na enako dolge elemente (h = L / n).

hww

dxdw ii

i 211 −+ −

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

211

2

2 2h

wwwdx

wd iii

i

−+ +−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

32112

3

3

222

hwwww

dxwd iiii

i

−−++ −+−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

42112

4

4 464h

wwwwwdx

wd iiiii

i

−−++ +−+−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Enačba upogibnice zapisana v diferenčni obliki se glasi:

∗++−− =+−++− iiiiii g

EIBhwww

EIKBhww

4

21

4

12 4)6(4

69

Levo stran prejšne enačbe lahko zapišemo tudi drugače:

iiii NEIhhg

EIhBhg

EIhg

EIBh 3334

)()( === ∗∗

Z Ni smo označili točkovne sile v n+1 vozliščih oz. stičiščih n elementov, na katere smo v vzdolžni smeri razdelili temeljni nosilec. Vso obremenitev temeljnega nosilca (linijsko obtežbo g – lastno težo in težo zidov, posamezne vertikalne sile V in posamezne momente M) podamo torej v vozliščih kot rezultirajoče točkovne sile. Če za vseh n+1 vozlišč zapišemo enačbo upogibnice v diferenčni obliki, dobimo sistem n+1 enačb, ki jih lahko zapišemo v matrični obliki:

[ ]{ } { }DXAB = Shematski zapis sistema enačb je prikazan na 54. strani. Ko izračunamo neznane pomike temeljnega nosilca, izračunamo reaktivne kontaktne tlake:

ii Kwp =∗ in prečne sile ter upogibne momente v temeljnem nosilcu:

32112

222

hwwww

EIQ iiiii

−−++ −+−−=

211 2

hwww

EIM iiii

−+ +−−=

Na konceh temeljnega nosilca (točki 1 in n+1) upoštevamo robne pogoje. Običajno sta na konceh temeljnega nosilca upogibna momenta in prečni sili enaka nični vrednosti.

1122

32112 0

222

+−+−

−−++

==

⇒=−+−

−=

iiii

iiiii

wwinwwh

wwwwEIQ

ii

iiii

wwh

wwwEIM

=

⇒=+−

−=

−

−+

1

211 0

2

V skladu z zahtevo robnih pogojev popravimo 1. in 2. enačbo ter predzadnjo (n-to) in zadnjo enačbo (n+1).

70

κ -8 2 w1 N1*

-3 κ -4 1 w2 N2*

1 -4 κ -4 1 w3 N3*

1 -4 κ -4 1 . .

1 -4 κ -4 1 x . = .

1 -4 κ -4 1 . .

1 -4 κ -4 1 .

1 -4 κ -4 1 .

1 -4 κ -3 wn Nn*

2 -8 κ wn+1 Nn+1*

EIKBh4

6+=κ ii NEIhN

3

=∗

71

4.4 Temeljne plošče Namen: za temeljenje objektov na manj nosilnih in bolj deformabilnih temeljnih tleh. Tlorisne oblike: kvadratne, pravokotne, krožne ali poljubne tlorisne oblike. Debelina temeljnih plošč: enakomerna pri manjših tlorisnih dimenzijah, kontinuirne plošče (ojačane pod zidovi z rebri v eni ali dveh smereh) in gobaste plošče (ojačane plošče pod stebri). Material: armirani beton Proračun temeljnih plošč: do 4 m lahko računamo z linearno razporeditvijo kontaktnih tlakov, sicer upoštevamo kompatibilnost upogibkov plošče in posedkov temeljnih tal. Proračun temeljnih plošč izvedemo na podoben način kot izvedemo proračun temeljnih nosilcev. Plošče poljubnih tlorisnih oblik simuliramo z lomljeno mrežo pravokotnih elementov ba ∗ tako, da obdržimo približno enako ploščino in enake vztrajnostne momente.

72

73

4.4.1 Upogibna temeljna plošča Ploščo razdelimo na snm =∗ pravokotnih (po možnosti kvadratnih) elementov dimenzij

ba ∗ oziroma cc ∗ . Posedek i-te točke:

iyixii yx δθθρρ +−−= tantan1

1ρ posedek referenčne točke

xθ zasuk ravne linije, ki povezuje dve referenčni točki v x-smeri (n.pr.: 1' in 2')

yθ zasuk ravne linije, ki povezuje dve referenčni točki v y-smeri (n.pr.: 1' in 3')

iδ upogibek plošče

74

Posedek i-te točke lahko zapišemo tudi v obliki:

kkk

s

kiki pba∑

==

1αρ

kjer pomeni:

ikα posedek i-te točke zaradi obtežbe 1=kkk pba na elementu k

ka dimenzijo k-tega elementa v x-smeri

kb dimenzijo k-tega elementa v y-smeri Upogibek plošče v i-ti točki izrazimo z enačbo:

[ ] yk

s

k

yik

xs

k

xikk

s

kikkkkkk

s

kiki MMVpqgba

k ∑∑∑∑====

+++−+=1111γγββδ

ikβ upogibek plošče v i-ti točki, ki ga povzroči enotna sila, ki deluje v k-ti točki

kg lastna teža k-tega elementa

kq enakomerna obtežba k-tega elementa

kp neznani reaktivni kontaktno tlak k-tega elementa

kV vertikalna točkovna sila k-tega elementa

xikγ upogibek plošče v i-ti točki, ki ga povzroči moment 1=xM , ki deluje v k-ti točki v

x-smeri plošče

yikγ upogibek plošče v i-ti točki, ki ga povzroči moment 1=yM , ki deluje v k-ti točki v

y-smeri plošče

xkM moment v x-smeri, ki deluje v točki k

ykM moment v y-smeri, ki deluje v točki k

Če smo ploščo razdelili na snm =∗ elementov lahko zapišemo s enačb, ki izražajo kompatibilnost pomikov temeljnih tal in upogibkov temeljne plošče. V tem primeru je število neznank 3+s ( s kontaktnih tlakov kp , referenčni pomik 1ρ in zasuka xθ in yθ ).

75

[ ]

[ ] yk

s

k

yik

xk

s

k

xikkkkkk

s

kik

yixi

s

kkkkikik

MMVqgba

yxpba

∑∑∑

∑

===

=

++++

=++−+

111

11

)(

tantan)(

γγβ

θθρβα

Tri dodatne enačbe dobimo, če upoštevamo ravnovesne pogoje.

∑ = 0z

kkk

s

kkkk

s

kkk Vqgbapba ++= ∑∑

==)(

11

0)1( =∑ xM

{ [ ] }xkk

s

kkkkkkkkk

s

kk MxVqgbaxpba +++= ∑∑

== 11)()(

0)1( =∑ yM

{ [ ] }ykk

s

kkkkkkkkk

s

kk MyVqgbaypba +++= ∑∑

== 11)()(

4.4.2 Toga temeljna plošča Toga temeljna plošča dimenzij BA × , ki je obremenjena s točkovno silo Q, razdelimo na

snm =∗ enakih delov dimenzij ba ∗ . Za vsako i-to točko lahko zapišemo enačbo, ki izenačuje posedek temeljnih tal in temeljne plošče. V primeru toge temeljne plošče so upogibki plošče nični.

∑=

=−−=s

kkkiixiyoi pbaxy

1αδδρρ

Takšnih enačb je s, neznank pa je s + 3. Dodatne tri enačbe so ravnovesne enačbe:

∑=

=s

kk Qpba

1

∑=

=s

kkk yp

10

∑=

=s

kkk xp

10

76

4.4.2.1 Centrično obremenjena toga temeljna plošča

Za toge plošče, centrično obremenjene s točkovno silo ABqQ = ali z točkovnim momentom M, je podal rešitve Sovinc. V odvisnosti od količnika

BAm =

(A je daljša, B pa krajša stranica plošče) izračunamo posedek toge plošče, ki je centrično obremenjena s točkovno silo, po enačbi:

( )21 νβρ −=BEQ

77

Koeficienti β so podani v diagramu:

Za ploščo kvadratne oblike ( 1=m ) dobimo 95,0=β . Zasuk toge plošče, ki je v centru obremenjena z momentom M, katerega vektor deluje v smeri daljše stranice (A):

( )22 14 νγθ −=

EBM

AMM =

78

4.4.2.2 Krožna plošča, obremenjena s centrično silo Q

2RQqm π

=

( ) mm

r qi

Rr

qp 12

12=

−=

Količniki 1i v odvisnosti od razmerja r/R:

r/R

1i 0

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0,500 0,503 0,510 0,524 0,546 0,578 0,625 0,699 0,833 1,147 ∞

79

4.4.2.3 Pravokotna plošča, obremenjena s centrično silo Q

BAQqm =

mm

yx qi

By

Ax

qp 2

2

2

2

22

,4141

4=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

π

80

Količniki 2i :

2Ax

2By

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

0,9

1,0

0,0 0,405 0,414 0,442 0,507 0,675 0,930 ∞

0,2 0,414 0,422 0,451 0,517 0,689 0,949 ∞

0,4 0,442 0,451 0,482 0,553 0,737 1,014 ∞

0,6 0,507 0,517 0,553 0,633 0,844 1,162 ∞

0,8 0,675 0,689 0,737 0,844 1,126 1,550 ∞

0,9 0,930 0,949 1,014 1,162 1,550 2,133 ∞

1,0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

81

4.4.2.4 Neskončno dolg trak, obremenjen s centrično obtežbo

BQqm =

mm

x qi

Bx

qp 3

2

241

2=

−

=

π

Količniki 3i :

2Bx 3i

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 0,9 1,0

0,637 0,650 0,694 0,797 1,058 1,460 ∞

4.4.2.5 Neskončni trak, obremenjen z ekscentrično obtežbo

BQqm =

82

4Be ≤ :

2

241

22212

Bx

Bx

Be

qp m

x

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

=π

83

4Be ⟩ :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= eBB

24

( )22

21

21

2

B

x

Bx

qp m

x

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=π

4.4.2.6 Ekscentrično obremenjena okrogla plošča

2RQqm π

=

3Re ⟨ : 2,

1

31

2⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

+=

Rr

Rx

Re

qp m

rx

84

4.4.3 Približen račun temeljnih plošč Pogoj, da se temelj obnaša kot plošča je, da je razmerje dolžine proti širini temelja manjše od 2.

2<BA

Če je temeljna plošča gibka ( qp = ), v temeljni plošči ni upogibnih momentov. Kot gibko ploščo smatramo takšno temeljno ploščo, pri kateri je debelina plošče manjša od 1% radija ukrivljenosti plošče. Pri izračunu ukrivljenosti plošče upoštevamo največjo in najneugodnejšo obremenitev plošče. Kljub temu, da v takšnem primeru v temeljni plošči ni upogibnih momentov, ploščo armiramo z minimalno armaturo (1%). Če je plošča absolutno toga določimo armaturo na vsakem mestu plošče tako, da upoštevamo večji upogibni moment, ki ga izračunamo na dva načina: (1) upoštevamo linearen potek kontaktnih tlakov po temeljni plošči:

ABQ

=0σ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛±±=

Ae

Be yx 66

104,3,2,1 σσ

85

(2) upoštevamo takšen razpored kontaktnih tlakov, da so vrednosti kontaktnih tlakov

vzdolž robov plošče dvakrat večji od kontaktnih tlakov po sredini plošče. Če obremenitev plošče ni centrična, kontaktne tlake na robovih korigiramo z pΔ± , tako da dobimo izpolnjene ravnovesne enačbe:

00,0 ===∑ ∑ ∑ yx MinMz . Za toge temeljne plošče pa lahko uporabimo tudi prej podane rešitve.

4.4.4 Numeričen račun temeljnih plošč po diferenčni metodi Temeljno ploščo razdelimo v x-smeri na s, v y-smeri pa na r kvadratnih elementov dimenzij

hh ∗ . Tako dobimo v x-smeri s+1 vozlišč, v y-smeri pa r+1 vozlišč. Posamezno vozlišče je označeno z dvema simboloma i in j (i v x-smeri in j y-smeri).

86

Podobno kot smo napisali diferencialno enačbo upogibnice linijskega nosilca, lahko zapišemo tudi diferencialno enačbo upogibnice plošče, ki se glasi:

Dq

yw

yxw

xw ∗

=∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

4

4

22

4

4

4

pqgq −+=∗

)1(12

3

b

bEdDν+

=

87

Za označbo vozlišč po spodnji shemi:

lahko zapišemo vse odvode premika v točki i,j z naslednjimi enačbami:

hww

dxdw jiji

ji 2,1,1

,

−+ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

2,1,,1

,2

2 2

h

www

dxwd jijiji

ji

−+ +−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

3,2,1,1,2

,3

3

2

22

h

wwww

dxwd jijijiji

ji

−−++ −+−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

4,2,1,,1,2

,4

4 464

h

wwwww

dxwd jijijijiji

ji

−−++ +−+−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

hww

dydw jiji

ji 21,1,

,

−+ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

21,,1,

,2

2 2

h

www

dywd jijiji

ji

−+ +−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

32,1,1,2,

,3

3

2

22

h

wwww

dywd jijijiji

ji

−−++ −+−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

88

42,1,,1,2,

,4

4 464

h

wwwww

dywd jijijijiji

ji

−−++ +−+−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Mešani odvodi:

21,11,11,11,1

,

2

4h

wwwwyx

w jijijiji

ji

+−−−++−+ +−−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂∂

31,11,11,1,1,11,1

,2

3

2

22

h

wwwwww

yxw jijijijijiji

ji

+−−−+−++−+ −++−−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂∂

31,11,1,1,11,11,1

,2

3

2

22

h

wwwwww

yxw jijijijijiji

ji

−−−+−++−++ −++−−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂∂

4,1,1,,1,1

41,11,11,11,1

,22

4

4)(2

h

wwwww

h

wwww

yxw

jijijijiji

jijijiji

ji

++++−

−+++

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂∂

+−−+

−−−++++−

89

Ob upoštevanju izrazov za 4.odvode po diferenčni metodi, lahko enačbo upogibnice plošče zapišemo v obliki:

Dhqwwwww

wwww

wwww

jijijijijiji

jijijiji

jijijiji

4

,,,1,11,1,

1,11,11,11,1

,2,22,2,

20)(8

)(2

∗−++−

+−−−++−+

+−+−

=++++−

−++++

++++

Shematski zapis (glej sliki (a) in (b)) diferencialne enačbe v točki i,j:

Če smo temeljno ploščo razdelili na rs ∗ elementov, dobimo )1()1( +∗+ rs vozlišč. Ker lahko za vsako vozlišče zapišemo enačbo upogibnice, dobimo )1()1( +∗+ rs enačb, za

)1()1(2 +∗+∗ rs neznank (pomik in kontaktni tlak v vozlišču). Ker rabimo za vsako točko poznane pomike tudi v sosednjih točkah, v točkah v ogliščih in na robovih upoštevamo robne pogoje. Običajno so na robovih plošč upogibni momenti in prečne sile enake nič. Upoštevajoč navede robne pogoje, zapišemo diferenčne enačbe za točke, ki ležijo na konturah, ki so za razdaljo h oddaljene od robov plošče po shemi (c), za točke na robovih plošče po shemi (d) oziroma (f), za notranje vogalne točke po shemi (e) in za vogalne točke po shemi (g).

90

91

Desna stran diferencialne enačbe upogibnice plošče se glasi:

Dhpqg

Dhq jijijiji

4

,,,

4

, )( −+=∗

Če obravnavamo temeljna tla kot Winklerjev polprostor, lahko ob upoštevanju zveze med napetostjo, pomikom in modulom reakcije tal:

jijiji

ji wKpK

pw ,,

,, =⇒=

zapišemo )1()1( +∗+ rs enačb, za )1()1( +∗+ rs neznank (pomiki) v obliki:

DhwKqg

wwwww

wwww

wwww

jijiji

jijijijiji

jijijiji

jijijiji

4

,,,

,,1,11,1,

1,11,11,11,1

,2,22,2,

)(

20)(8

)(2

−+=

=++++−

−++++

++++

−++−

+−−−++−+

+−+−

oziroma:

Dhqg

wD

Khwwww

wwww

wwww

jiji

jijijijiji

jijijiji

jijijiji

4

,,

,

4

,1,11,1,

1,11,11,11,1

,2,22,2,

)(

)20()(8

)(2

+=

=+++++−

−++++

++++

−++−

+−−−++−+

+−+−

Če pa obravnavamo temeljna tla kot izotropen elastičen polprostor, lahko premike temeljnih tal izrazimo tudi z reaktivnimi kontaktnimi tlaki ob upoštevanju zveze:

lk

slrk

lkklijji phw ,

,

1,1,

2, ∑

==

=== α

kjer pomeni:

klij,α posedek vozlišča i,j , ki ga povzroči enotna obtežba 1,2 =lkph v vozlišču k,l.

V tem primeru dobimo )1()1( +∗+ rs enačb, za )1()1( +∗+ rs neznananih vrednosti kontaktnih tlakov. Ne glede na to, kako upoštevamo temeljna tla (Winklerjev polprostor ali elastičen izotropen polprostor), lahko izračunamo v vsaki točki neznano vrednost kontaktnega tlaka in neznano vrednost posedka potem, ko rešimo sistem )1()1( +∗+ rs enačb.

92

Iz znanih vrednosti posedkov, ob upoštevanju znanih relacij med pomiki, momenti in prečnimi silami, določimo v vsakem vozlišču: Prečne sile:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂∂

−+∂∂

−= 2

3

3

3)2(

yxw

xwDs bx ν

[])()2(

)()26(2

1,11,11,11,1

,2,1,1,23,

−−−++++−

+−+−

+−−−+

+−−−+=

jijijijib

jijijibjix

ji

wwww

wwwwhDs

ν

ν

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂∂

−+∂∂

−=yx

wywDs by 2

3

3

3)2( ν

[])()2(

)()26(2

1,11,11,11,1

2,1,1,2,3,

−−−++++−

−+−−

−−+−+

+−−−+=

jijijijib

jijijibjiy

ji

wwww

wwwwhDs

ν

ν

Upogibne momente:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂∂

−= 2

2

2

2

xw

ywDm bx ν

[ ])2()2( ,1,,11,,1,2, jijijijijijibx

ji wwwwwwhDm +−+− +−++−−= ν

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂∂

−= 2

2

2

2

yw

xwDm by ν

[ ])2()2( 1,,1,,1,,12, +−+− +−++−−= jijijijijijiby

ji wwwwwwhDm ν

in torzijski moment:

yxwDmm bzxy ∂∂

∂−−==

2)1( ν

[ ]1,11,11,11,12,,)1(

++−++−−− +−−−

== jijijijibz

jixy

ji wwwwh

Dmm

ν