Metode Numeris padaPerpindahan Panas Konduksi

Pengantar

KONDUKSI

KONVEKSI

RADIASI

PERPINDAHAN PANAS

Konduksi (Conduction)Transfer energi dari partikel dengan energi yang lebih tinggimenuju ke partikel di sekitarnya yang memiliki kandungan energilebih rendah sebagai akibat dari interaksi antar partikel.

Konduksi dapat terjadi pada padatan, cairan, atau gas. Pada gasdan cairan, konduksi disebabkan oleh tumbukan dan difusimolekul, sedangkan pada padatan, konduksi disebabkan olehkombinasi antara vibrasi molekul dan perpindahan energi karenaelektron bebas.

Hukum Fourier untuk konduksi:

dx

dTk.A.Q

KONDUKSI

Berdasarkan sifatnya:

•Steady state

•Unsteady state

Berdasarkan arahnya:

•Satu arah (one dimentional)

•Lebih dari satu arah (multi dimentional)

Persamaan Umum Perpindahan Panas Konduksi

t

T

α

1

k

g

z

T

y

T

x

T2

2

2

2

2

2

t

T

α

1

k

g

θ

T

r

1

z

T

r

T

r

1

r

T2

2

22

2

2

2

t

T

α

1

k

gT

sinr

1sin

sin

1

r

T

rr

12

2

222

2

2

T

rr

Koordinat Kartesian

Koordinat Silinder

Koordinat Bola

ffusivitythermal di Cp.

kα

Dengan;

Dari penjelasan sebelumnya dapat dilihat bahwapersamaan umum perpindahan panas konduksi adalahberupa persamaan diferensial. Agar dapat digunakan untukmenyelesaikan setiap kasus perpindahan panas konduksi(misal untuk mengetahui distribusi suhu dan kecepatanperpindahan panas) persamaan umum tersebutmemerlukan penyelesaian. Metode yang digunakan untukmenyelesaikan persamaan diferensial meliputi:

1. Metode analitis2. Metode grafis3. Metode numeris

1. Metode Analitis

memberikan jawaban eksakmemerlukan kemampuan yang tinggi dalam

manipulasi matematisterbatas hanya untuk model matematis sederhana,

sehingga hanya dapat menyelesaikan sebagian kecilpermasalahan

Contoh:Perpindahan panas unsteady-state pada semi infinitesolid (Kasus 2 pada pertemuan ke-6).

Kasus 2 (Pertemuan ke-6)Perpindahan panas konduksi unsteady-state pada semi-infinite solid

Semi infinite solid adalah suatu bendapadat yang besarnya tak terhinggamenuju pada satu arah (x). Suhu mula-mula seragam T1. Mulai suatu saat, suhusalah satu permukaan mendadak diubahmenjadi T2, sehingga akan terjadiperpindahan panas konduksi ke arah x.Namun karena pemanasan tidak terlalulama, suhu pada tempat yang jauh daripermukaan masih T1.

x

T1T2

Tentukan persamaan distribusi suhu dan kecepatanperpindahan panas!

Persamaan umum :

Dengan kondisi awal dan kondisi batas:T(x,0) =T1

T(0,t) =T2

T(∞,t) =T1

Penyelesaian akhir dari persamaan diferensial:

t

T

α

1

x

T2

2

Analisis:

t4

xerf

TT

TT

21

2

x

T1T2

Persamaan distribusi suhu:

Kecepatan perpindahan panas:

tTT2.A.k.Q 12 .

2. Metode Grafis

pengembangan dari metode analitishasil yang diperoleh dari metode analitis

direpresentasikan dalam bentuk grafisumumnya terbatas pada beberapa kasus-kasus

tertentu yang memerlukan penyelesaian praktis

Contoh:Perpindahan panas unsteady-state pada infinite slabtebal 2L (Kasus 3 pada pertemuan ke-6).

Kasus 3 (Pertemuan ke-6)Perpindahan panas konduksi unsteady-state dengankondisi batas konveksi pada permukaan datar

Terjadi ketika permukaan suatu benda padat beradadalam suatu lingkungan yang melibatkan perpindahanpanas konveksi. Misalnya pada suatu slab (kasus 1),kondisi batasnya berubah menjadi:

00dx

dTk.A.T-Th.A. xx

Penyelesaian untuk kasus ini cukup rumit. Namununtuk tujuan praktis, tersedia penyelesaian dalambentuk grafik.

Gambar 4-7. Suhu bidang tengah plat tak berhingga tebal 2L

mula-mula bendasuhu :Tdan pusat,suhu :Tdengan io

Gambar 4-10. Suhu sebagai fungsi suhu pusat pada plat takberhingga tebal 2L

3. Metode Numeris

memberikan jawaban berupa pendekatantidak memerlukan kemampuan manipulasi matematik

yang terlalu tinggidapat memecahkan lebih banyak permasalahan,

terutama untuk kasus dengan penyelesaian analitisyang cukup rumit

Pada pertemuan kali ini, dibahas beberapa konsepsederhana mengenai penyelesaian persamaan diferensialpada perpindahan panas konduksi menggunakan metodenumeris yang meliputi:

1. Pengantar finite-difference approximation2. Aplikasi finite-difference approximation untuk kasus

perpindahan panas konduksi:a. Satu arah, steady-stateb. Dua arah, steady-statec. Satu arah, unsteady-state

Pengantar Finite-Difference Approximation

Finite difference approximation atau pendekatan bedahingga dapat dipakai untuk menyelesaikan persamaandiferensial, baik ordiner maupun parsial. Dengan finite-difference approximation, persamaan diferensial dapatdidekati dengan persamaan-persamaan aljabar yang lebihmudah diselesaikan. Berikut ini adalah skema penyelesaianpersamaan diferensial dengan finite differenceapproximation:

t

T

α

1

k

g

z

T

y

T

x

T2

2

2

2

2

2

Asumsi: perubahan suhu hanya terjadi sepanjang sumbu x,tidak ada panas yang dibangkitkan, dan pada steady state,maka persamaan umum dapat disederhanakan sebagaiberikut:

0x

T2

2

Aplikasi finite-difference approximation untukkasus perpindahan panas konduksi satu arahsteady-state pada permukaan datar

Persamaan tersebut menghubungkan T dengan x. Ingindicari jawaban pada interval x0 sampai xN. Interval dibagimenjadi N bagian sama besar, yang masing-masing besarnyaΔx (makin kecil Δx, makin baik jawabannya)

Batas-batas interval diberi nomor 0, 1, 2, ... N

0x

T2

2

Dengan mudah dapat dilihat bahwa:

Selanjutnya ingin dicari jawaban berupa harga T pada batas-batas interval (T0, T1, T2, ... TN). Finite-difference yang seringdipakai adalah sebagai berikut:

*) note: secara teoritis, pendekatan central differencepaling baik

Untuk turunan kedua:

untuk kasus

Dengan kondisi batas:

1) Pada x=0, T=T0

2) Pada x=L T=TN Persamaan berlaku untuk i=1, 2, 3... N

0x

T2

2

Persamaan untuk semua titik membentuk matriks tridiagonal (merupakan persamaan linier simultan yang lebih mudah diselesaikan)

t

T

α

1

k

g

z

T

y

T

x

T2

2

2

2

2

2

Asumsi: perubahan suhu terjadi sepanjang sumbu x dan y,tidak ada panas yang dibangkitkan, dan pada steady state,maka persamaan umum dapat disederhanakan sebagaiberikut:

Aplikasi finite-difference approximation untukkasus perpindahan panas konduksi dua arahsteady-state pada permukaan datar

0y

T

x

T2

2

2

2

Nomenklatur dalam analisis secara numeris perpindahan panaskonduksi dua arah pada permukaan datar

Simbol m untuk distribusi suhu arah xSimbol n untuk distribusi suhu arah y

Dengan finite difference approximation, persamaan diferensial:

Dapat dinyatakan dalam persamaan aljabar sebagai berikut:

Jika Δx=Δy, maka

0y

T

x

T2

2

2

2

0

y

T2TT

x

T2TT2

nm,1-nm,1nm,

2

nm,n1,mn1,m

0T4TTTT nm,1-nm,1nm,n1,mn1,m

Δy

Jika suatu bidang dengan kondukstivitas panas (k), salah satupermukaannya bersinggungan dengan lingkungan konveksidengan koefisien perpindahan konveksi sebesar h:

maka:

k

xhBi

Bi2

Bi.T2

TTT

T

1-nm,1nm,

n1,m

nm,

h, T∞

Δx

Δym,n

m,n-1

m,n+1

m-1,n

Jika salah satu batas diisolasi, maka:

4

2TTTT

n1,m1-nm,1nm,

nm,

Δydiisolasi

Δx

Δym,n

m,n-1

m,n+1

m-1,n

Dengan finite difference approximation, hitung T1, T2, T3, dan T4

Contoh soal:

Dengan finite difference approximation,

Analisis:

0T4TTTT nm,1-nm,1nm,n1,mn1,m

0T4TTTT nm,1-nm,1nm,n1,mn1,m

Titik 1

Titik 2

Titik 3

Titik 4

0T4T500100T 132

0T4T500T100 241

0T4100T100T 314

0T4100TT100 423

Terdapat 4 variabel dan 4 persamaan

0T3T500100 13

0T3100T100 31

Dari keadaan simetris untuk kasus di atas dapat diketahuibahwa T1=T2 dan T3=T4, jadi hanya memerlukan dua persamaanuntuk dua titik.

Diperoleh:

C150 TT

C250 TT

o

43

o

21