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ETUDE DE PENDULES COUPLES

B. AMANA et J.-L. LEMAIRE

-Etude de Pendules Coupls. Page - 2

ETUDE DE PENDULES COUPLESModes et frquences propres

I. Buts de l'tude

Il s'agit dans ces expriences d'tudier les modes de vibration de pendulescoupls. Les frquences propres seront directement mesures et on observera l'effetdu couplage sur leurs valeurs. Il sera possible d'tudier l'effet des conditions initialessur les modes observs.

Le systme pourra comporter deux, trois ou plusieurs pendules coupls. Cespendules pourront tre identiques ou non.

Si on dispose de plusieurs postes de travail (carte d'acquisition +ordinateur) ilpeut tre intressant de comparer les rsultats obtenus simultanment sur chacun despendules coupls.

Ce TP peut galement servir tudier les caractristiques de fonctionnementde la transforme de Fourier (TF) sur les signaux enregistrs: frquenced'chantillonnage, dure de l'enregistrement .., ainsi que sur des signaux simuls.

Le dispositif exprimental propos peut facilement tre adapt l'tude desoscillations forces d'un systme de pendules coupls.

2


II. Prsentation thorique

Seul un bref rappel thorique correspondant aux expriences sera prsent iciainsi que les principales relations ncessaires leur interprtation. Tous les rsultatsne seront pas dmontrs, le soin est laiss au lecteur de les tablir compltement sincessaire.

Un des systmes proposs est reprsent sur la figure 1. Il est constitu de troispendules identiques de masses M et de moment d'inertie I par rapport aux points desuspension O1, O2 et O3. Le centre de masse d'un pendule est appel Gi, et L =OiGi. Les pendules sont coupls au moyen de ressorts identiques de constante derappel k et de masse ngligeable face la masse des pendules. Les ressorts sont fixs une distance d du point de suspension des pendules. Les deux ressorts extrmes,identiques aux prcdents servent obtenir un couplage nul lorsque les pendules sontverticaux (ils ne sont pas indispensables, mais les calculs sont diffrents, sans).

3


. . . .

.

d L

k k k k

1 23

1 2 3

. .G1

G2 G3

Alimentation

Entres logiques

Sysam Eurosmart

PCCarte d'acquisition

Fichiers sur DD

Codeur qque

Codeur 1 Codeur 2 Codeur 3

M M M

Pendules coupls Informatiss

J.L. Lemaire Universit de Cergy-Pontoise Observatoire de Paris-Meudon

Figure 1

Roue codeuseAlimentation

Entres logiques

4


BNC (Oscillo)

Entres logiques SYSAM

Voie 0 Voie 1Masse

Secteur

Connecteur DIN 6 vers le pendule

Dtail des branchements

Roue codeuseAlimentation

Entres logiques

Sysam Eurosmart

PCCarte d'acquisition

Pendule Informatis pdagogique

Fichiers sur DD

J.L. Lemaire Universit de Cergy-Pontoise Observatoire de Paris-Meudon

Figure 2 5


II.1. Systme de 2 pendules coupls (par 1 seul ressort)

On obtient, de faon classique, l'quation diffrentielle du mouvement d'un pendule,dans l'hypothse des petits angles d'oscillation, l'aide du thorme du momentcintique, soit:

I 1 = MgL1 + kd2 (2 1 )

Les deux quations correspondant aux deux pendules coupls (par 1 seul ressort maissans liaison gauche et droite avec une paroi fixe) forment un systme d'quationscouples:

MgL + kd2

I1

kd2

I2 + 1 = 0

kd2

I1 +

MgL + kd2

I2 + 2 = 0

Ce systme peut s'crire sous forme matricielle en utilisant les matrices:

=12

et =

1 2

En posant: 0 =MgL

I et =

kd2

MgL le systme s'crit:

02A + = 0 o A=

(1 + ) (1 + )

La matrice A a pour valeurs propres 1 et 1 + 2

A ces deux valeurs propres correspondent les frquences propres

f1 = f0 f2 = f0 1 + 2

Il apparat vident que le mode correspondant la frquence f1 sera obtenu seullorsque les deux pendules sont lchs l'instant initial d'angles gaux avec desvitesses identiques. Le systme se comporte ds lors comme un pendule unique, lesressorts de couplage ne jouant aucun rle.On peut montrer que l'autre mode est obtenu lorsque les deux pendules sont lchs l'instant initial avec des angles opposs et avec des vitesses de mme module mais desens opposs.

6


Remarque: On pourra traiter, titre d'exercice le cas de 2 pendules coupls, avec liaison surles parois (comme sur la figure 1), soit directement soit selon la mthode quivalente

indique en II.3. f1 = f0 1 + f2 = f0 1 + 3

II.2. Lagrangien du systme de 3 pendules coupls

(consulter pour plus de dtails, entre autres, le livre de Mcanique de Pierre Brousse- collection U - librairie Armand Colin.

Soit S un systme matriel de solides dont la position priori est fonction de nparamtres indpendants qi et ventuellement du temps t. L'nergie cintique dusystme S, fonction des (2n +1) variables q i , q i , t est dsigne par T. La forcegnralise de l'union des efforts sur chaque solide est note Qi{ }. Alors toutmouvement qi (t) sous l'action des efforts considrs satisfait aux n quations deLagrange:

d

dt

T q i

Tqi

= Qi (1)

Dans le cas particulier o les efforts exercs sur S ne dpendent que des qi et de t , etdonc drivent d'une fonction de force (c'est--dire lorsqu'il existe une fonctiondiffrentiable U(q,t) telle que la force gnralise de ces efforts soit le gradient de U

dans Rn ) soit Qi = Uqi

(2)

L'quation (1) devient:d

dt

T q i

Tqi

= Uqi

(3)

ou encored

dt

L q i

Lqi

= 0 (3')

o L (q, q , t) = T (q, q , t) U (q, t) est appel le lagrangien du systme.

Les coordonnes gnralises qui permettent de dcrire la dynamique du systmesont les angles i (i=1,2,3) (voir figure 1).

De plus, dans toute la suite, on ngligera les frottements.

L'nergie cintique du systme vaut:

7


T =1

2I ( 1)

2 + ( 2)2 + ( 3 )

2( ) (4)

L'nergie potentielle du systme est la somme des nergies potentielles des masses etdes ressorts.

Pour un dplacement i , la masse pendulaire Mi est dplace d'une hauteurhi = L (1 cosi) d'o une nergie potentielle de Wi = Mg L (1 cos i).

L'nergie potentielle de chacun des ressorts vaut:

ressort 1 Wp1 =1

2k x1

2 avec x1 = d.1

ressort 2 Wp2 =1

2k (x1 x2)

2 avec x2 = d.2

ressort 3 Wp3 =1

2k (x2 x3)

2 avec x3 = d.3

ressort 4 Wp4 =1

2k x3

2

D'o l'nergie potentielle totale qui vaut:

U = Mg L(3 cos1 cos2 cos3 ) +1

2kd2 1

2 + (1 2)2 + (2 3)

2 + 32( )(5)

Ainsi le lagrangien L vaut:

L =1

2I ( 1)

2 + ( 22) + ( 3)

2( ) MgL(3 cos1 cos2 cos3)

1

2k d2 12 + (1 2)

2 + (2 3)2 + 3

2[ ] (6)

II.3. Equations du mouvement du systme de 3 pendules coupls

On considre les mouvements limits aux petits angles i .

En appliquant la formule (3') o les qi sont remplacs par les i , on obtient lesquations suivantes dcrivant la dynamique du systme:

8


I 1 + (MgL + 2kd2)1 kd

22 = 0

I 2 kd21 + (MgL + 2kd

2 )2 kd23 = 0

I 3 kd22 + (MgL + 2kd

2 )3 = 0.

(7)

Pour dterminer les frquences propres, il est avantageux d'utiliser un formalismematriciel; les 3 quations prcdentes peuvent tre mises sous la forme:

I 0 0

0 I 0

0 0 I

1 2 3

+

MgL + 2 kd2 kd2 0

kd2 MgL + 2 kd2 kd2

0 kd2 MgL + 2 kd2

123

=0

0

0

(8)

ou encore avec des notations plus concises:M + K = 0

o M est la matrice des moments d'inertie et K la matrice des rigidits.

On introduit pour simplifier les critures ultrieures la quantit =kd2

MgL

En utilisant les quations aux dimensions, dterminer les dimensions de .En fait, est un paramtre proportionnel au couplage k.Rcrire la matrice de [K] en fonction de .Dterminer la matrice dynamique [A] dfinie par: A[ ] = M[ ]1 K[ ] .

II.4. Frquences propres du systme de 3 pendules coupls

En rsolvant l'quation caractristique:A[ ] 1[ ] = 0 (voir cours d'Algbre de L2),

o 1 est la matrice identit, on obtient les valeurs propres de la matrice A qui valent:

1 =MgL

I(1 + 2 2 )

2 =MgL

I(1 + 2 )

3 =MgL

I(1 + 2 + 2 )

(9)

Les valeurs propres sont en fait les carrs des pulsations propres.

9


En appelant 0 =MgL

Ila pulsation propre d'un pendule libre, les 3 pulsations

propres du systme sont:

1 = 0 1 + (2 2 )

2 = 0 1 + 2

3 = 0 1 + (2 + 2 )

ou encore, en introduisant les frquences fi donnes par fi =i2

:

f1 = f 1 + (2 2 )

f2 = f 1 + 2

f3 = f 1 + (2 + 2 )

(10)

On vrifie aisment que 2 f22 = f1

2 + f 32 (11)

Les trois vecteurs propres associs aux valeurs propres dtermines plus hautsont:

V1 =

1

2

1

V2 =1

0

1

V3 =

1

21

et permettent d'crire la solution des quations de mouvement couples.Les 6 constantes d'intgration ncessaires la connaissance complte du mouvement(A, B, C, 1, 2, 3) peuvent tre dtermines l'aide des conditions initiales(longation et vitesses des trois pendules t=0).

123

= A

1

2

1

cos(1t + 1) + B

1

0

1

cos(2t + 2 ) + C

1

21

cos( 3t + 3 ) (12)

En choisissant convenablement les conditions initiales, on peut exciter unmode de vibration particulier. Mais, en rgle gnrale, avec des conditions initialesquelconques, le mouvement d'un des pendules est la superposition des trois modes devibration, ce qui donne un mouvement d'apparence trs complique (la relation (12)est la somme des trois fonctions sinusodales de priodes et d'amplitudes diffrentes,ou somme de Fourier). Par exemple:

10


1 = Acos(1t + 1) + Bcos(2t + 2 ) + Ccos(3t + 3 )

II.5. Modes propres du systme de 3 pendules coupls

A partir des quations (12), on peut montrer qu'il est possible d'exciter tel outel mode propre en fixant les conditions initiales. Montrer qu'il est possible de fairevibrer les 3 pendules successivement avec les pulsations 1,2 ,3, avec lesconditions initiales respectives suivantes:

a ) mode 1 :

Vitesses initiales nulles

2 initial = 2 3 initial1 initial = 3 initial

1.414 xx x

b ) mode 2 :


2 initial = 01 initial = 3 initial

x -x

c ) mode 3 :


2 initial = 2 3 initial1 initial = 3 initial

x x-1.414 x

Il est galement intressant de rappeler une autre dfinition quivalente desmodes propres (parfois appels modes normaux): ce sont les modes d'oscillation quicorrespondent des frquences telles que chacun des lments du systme oscille la mme frquence et avec des amplitudes qui sont, pour chacun d'eux,indpendantes du temps. En dehors des frquences des modes propres le mouvementde chaque lment du systme rsulte d'une combinaison linaire des frquencespropres, comme on l'a vu prcdemment.

11


II.6. Influence du couplage sur les frquences propres

On appelle f1 la frquence fondamentale du systme (la plus basse), et est leterme de couplage (voir ci-dessus). On appelle f0 la frquence d'oscillation d'unpendule libre.

Comment voluent thoriquement les frquences propres fi lorsque la distanced varie? Il sera intressant de reprsenter graphiquement l'volution des rapports defrquences propres fi/f0 en fonction de la distance d.

Que se passe-t-il lorsque d 0 ?

II.7. Gnralisation des rsultats prcdents pour un systme de n pendulescoupls

La matrice qui intervient dans le problme est la gnralisation n dimensions de lamatrice vue 3 dimensions; elle s'crit:

MgL + 2 kd2 kd2 0 .. .. . 0 0kd2 MgL + 2 kd2 kd2 .. .. . 0 0

0 kd2 MgL + 2 kd2 .. .. . 0 0.. .. . .. .. . .. .. . .. .. . . .. .. . .. ..

0 0 0 .. .. . MgL + 2 kd2 kd2

0 0 0 .. .. . kd2 MgL + 2 kd2

n6 7 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 8 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

Sa rsolution est obtenue par une mthode mathmatique classique de rcurrence.

Pour n=4 les frquences propres ont pour valeurs:

12


f1 = f0 1 + 2 3 + 5

2

f2 = f0 1 + 2 3 5

2

f3 = f0 1 + 2 +3 5

2

f4 = f0 1 + 2 +3 + 5

2

Et pour n=5:f1 = f0 1 + (2 3 )f2 = f0 1 + f3 = f0 1 + 2f4 = f0 1 + 3f5 = f0 1 + (2 + 3)

A tout hasard, s'il vous arrive de pouvoir coupler 6 ou 7 pendules:

f4,3 = f0 1 + (2 0.6671 )f5,2 = f0 1 + (2 1.1167 )f6,1 = f0 1 + (2 1.3423 )

et

f4 = f0 1 + 3f5, 3 = f0 1 + (2 0. 8746 )f6 ,2 = f0 1 + ( 2 1.1891 )f7,1 = f0 1 + ( 2 1.3594 )

III. Analyse harmonique ou de Fourier

Il est bien connu que toute fonction priodique S (x) et de priode T peut tredveloppe en srie de Fourier, sous la forme:

S(x) = ao +n=1

an cos(2nx / T) + bnsin(2nx / T)

o an et bn reprsentent les coefficients de Fourier de S (x).

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A partir de l'enregistrement de S(x), chantillonn sous la forme d'une srie depoints, on peut calculer la valeur numrique de (an2 + bn2) qui reprsente le spectrede S (x) et qui donne la contribution de la frquence n/T dans le signal S (x).

Dans le cas de 3 pendules, on observe un spectre de Fourier ) S ( ) compos de 3

pics aux frquences f1, f2 et f3. Le signal S (x) est donc bien la somme de 3 fonctionsharmoniques.

Il peut ventuellement apparatre une quatrime composante la frquence 0 siles oscillations ne sont pas centres sur zro (en gnral la suite d'une mauvaisesynchronisation au lancement de l'acquisition). La frquence 0 correspond la valeurconstante du dcalage angulaire du zro. Elle peut tre supprime sans inconvnienten recentrant le signal sur 0.

La transformation de Fourier sera effectue l'aide d'une fonction de calcul FFTincluse dans le logiciel d'acquisition et de traitement de donnes crit spcifiquementpour le pendule informatis (Pend2009).

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IV. MATERIEL UTILISE

IV.1. Les pendules

Les pendules utiliss sont constitus d'une barre cylindrique mtallique. Uneextrmit de la lame est fixe sur un axe horizontal solidaire d'une roue codeuse. Lecapteur optique fix la roue codeuse envoie des impulsions un PC via une carted'acquisition Eurosmart (figures 1 et 2).Un logiciel d'acquisition de donnes nomm Pend2009 permet d'enregistrer lesimpulsions du capteur en fonction du temps. On peut ainsi dterminer le dplacementangulaire de chaque pendule en fonction du temps. Le logiciel inclut galement desfonctions de calculs spcifiques l'tude des pendules.

IV.2. Couplage des pendules

Les pendules sont coupls l'aide de ressorts trs lgers. La distance d entrel'axe et les points de couplage peut tre facilement change grce un systmeconstitu d'un crochet capable de coulisser sur le bras du pendule.

IV.3. Logiciel d'acquisition de donnes

Le logiciel maison Pend2009 crit sous Windows et conu Pour le dpartement de Physique de lUniversit de Cergy-Pontoise permetdacqurir et dafficher les dplacement du pendule. Les donnes acquises peuventensuite tre stockes sous forme de fichiers ASCII pour des traitements ultrieurs.

Manuel dUtilisation du Logiciel PEND2009

Le logiciel se trouve dans le rpertoire Pendule. Il est vivement recommand aux tudiants de lire soigneusement le manueldutilisation ci-aprs.

Les diffrents menus de Pend2009 sont les suivants: Fichiers, Acquisition,Traitements , A propos

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Menu Fichiers

Le menu Fichiers comme dans la plupart des logiciels crits sous Windowscontient des sous-menus Ouvrir, Enregistrer, Enregistrer Sous, ConfigurerImprimante, Imprimer et Quitter.

Fichiers/Ouvrir :permet douvrir uniquement les fichiersprenregistrs sous Pend2009 et dafficher les courbescorrespondantes.

Fichiers/Enregistrer : comme son nom lindique permet desauvegarder les fichiers des donnes acquises dans un fichier sousformat texte et dextension .pdd.

Fichiers/Enregistrer Sous : sert enregistrer les donnes de lacourbe affiche sous un nom diffrent du prcdent.

Fichiers/Config. Imprimante : permet de slectionner limprimante surlaquelle devra seffectuer limpression des courbes.

Fichiers/Imprimer: pour lancer les taches dimpression.

Fichiers/Quitter: pour arrter Pend2009.

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-Etude de Pendules Coupls. Page - 17Menu Acquisition

Lacquisition se fait simultanment sur les 4 voies de la cartes (possibilit deconnecter jusqu 4 pendules). Les onglets situs en bas de la fentre degauche (voir ci-dessus) permettent dy afficher les rsultats du penduleslectionn. Dans la fentre de droite on a laffichage des courbes des 4voies. Les onglets situs en haut des 2 fentres permettent dafficher lescourbes des carts angulaires en fonction du temps ou de calculer lesrponses frquentielles (FFT).

Connexions:

Voies EA0 et EA1 pour le pendule 1 Voies EA2 et EA3 pour le pendule 2 Voies EA4 et EA5 pour le pendule 3 Voies EA6 et EA7 pour le pendule 4

Masse commune pour tous les pendules.

Acquisition/Paramtres dAcquisition

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On pourra rgler la priode dchantillonnage en millisecondes(base de temps), le nombre de points (qui doit tre deprfrence une puissance de 2) de mme que le nombre dependules connects.

Acquisition)/Acqurir

Le menu partir duquel va seffectuer lacquisition proprementdite. Il faut dans un premier temps mettre le ou les pendules aurepos afin deffectuer le reprage de lorigine des cartsangulaires ; on devra ensuite amener le ou les pendules au(x)point(s) de dparts, le(s) lcher et le(s) laisser osciller un instantavant de commencer lenregistrement en validant par la toucheRETURN. On peut tout moment interrompre lacquisition enappuyant sur la touche Q ou Fin.

Menu Traitements

Ce menu contient un certain nombre doutils permettant de voir ou deffectuerdes calculs sur les donnes acquises ou de rgler au mieux laffichage decourbes sur lcran.

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-Etude de Pendules Coupls. Page - 19Loupe: permet de dfinir les limites de la courbe afficher. Le retour la courbe initiale se fait via le menu Annuler Loupe

Curseur :donne les coordonnes de la position courante du curseur.Trs utile pour les mesures.

.Centrage sur Zro :permet de centrer sur laxe des abscisses les courbesaffiches.

Menu A Propos :Informations sur le logiciel Pend2009.

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V. TRAVAIL DEMANDE

V.1. Prsentation thorique

Rpondre aux questions poses dans la section II

V.2. Mesure du moment d'inertie des pendules

Il s'agit d'abord de dterminer les caractristiques du pendule de base.

Utiliser un pendule libre (non coupl). A partir du schma d'un pendule pesant, montrer que, pour de petites oscillations lapriode du pendule est lie au moment cintique par:

T = 2I

MgL

(voir par exemple le livre de Mcanique de G.Bruhat- Edition Masson).L: distance du centre de masse l'axe du penduleM: masse pendulaire; la valeur de M est donne en salle de TP.I : moment d'inertieg: acclration de la pesanteur

Aprs avoir dmont la barre du pendule toujours munie de sa masse, la placeren position horizontale, perpendiculairement un axe horizontal (votre doigt parexemple). Rechercher la position d'quilibre et dterminer la position du centre degravit.

- Connecter la sortie du pendule au botier d'acquisition- Lancer le logiciel Pend2009 (voir procdure de lancement et d'utilisation dulogiciel).- Ecarter le pendule d'un angle faible et le lcher.- Faire l'acquisition des donnes.- Dterminer l'aide des curseurs la priode propre du pendule.- Dduire la valeur du moment d'inertie I.

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V.3. Mesure de la constante de rappel des ressorts

La valeur de la constante de raideur des ressorts est donne en salle de TP.Si le temps le permet, vous pourrez effectuer la mesure de la constante de

raideur en fin de TP.

V-4 Procdure de dtermination des frquences propres.

- Connecter l'un des pendules d'extrmit au botier d'alimentation.

- Connecter le botier d'alimentation aux entres logiques 0 et 1 du botier deconnexion la carte d'acquisition.

V.4.1. Procdure d'enregistrement

Se rfrer au manuel dutilisation de Pend2009. Donner des noms de fichierssimples. Noter dans un tableau la valeur de d (distance axe du pendule et point defixation du ressort de couplage) et le nom donn au fichier.

V.4.2. Calcul de la FFT.

Cette fonction est incluse dans le logiciel Pend2009, sans avoir besoin d'utiliser unautre logiciel. On utilisera si ncessaire la fonction Traitement/Centrage sur Zroqui permet de recentrer approximativement sur laxe des temps un enregistrement quiserait dcal en Y par suite dun retard au lancement du pendule. Il est nanmoinsintressant dobserver leffet sur la FFT de lexistence dun continu superpos ausignal oscillant.

V.5. Etude des modes propres du systme de 3 pendules coupls

L'tude sera faite pour la plus grande valeur de d, c'est--dire celle qui donne lecouplage maximum.

- Exciter successivement chacun des modes propres indiqus dans la thorie duparagraphe -II.5.-

- Enregistrer les courbes, dterminer successivement ( laide de loutil FFT)les frquences f1, f 2, f 3 en mode acquisition simple (fentre de gauche) en suivant lesinstructions du paragraphe prcdent puis les comparer chaque fois cellesobtenues en modes acquisition multiple (fentre de droite).

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- Observer pour chaque mode propre sur les courbes enregistres en modeacquisition multiple les phases relatives des trois pendules.

- Qu'observe-t-on sur le signal du pendule central?

-Conclure.

V.6. Evolution des frquences propres du systme de 3 pendules coupls enfonction du couplage

Ici, on ne cherche pas exciter un mode de vibration particulier. Il suffitd'carter un des pendules de sa position d'quilibre puis de l'abandonner sans vitesseinitiale. Pour une valeur de d donne, on enregistre le signal dlivr par la rouecodeuse de l'un des pendules. En effectuant la transforme de Fourier du signalenregistr on observe trois pics caractristiques des 3 frquences propres.

- Dterminer les trois frquences propres pour 4 valeurs de d diffrentes et lesconsigner dans un tableau.

-Imprimer les courbes obtenues.

-Tracer la courbe donnant les frquences propres en fonction de d.

-Les frquences obtenues dans chaque cas vrifient-elles la relation (11)? Comparer ces frquences aux prvisions thoriques.

- Conclure.

V.7. Etude des modes propres du systme de 2 pendules coupls

- Etude effectuer selon le schma prcdent.

- Trouver les conditions initiales ncessaires pour exciter les modes propres.

- Etudier la variation des frquences propres en fonction du couplage.

- Deux types d'tudes sont possibles: avec ou sans les 2 ressorts d'extrmit.Retrouver les frquences thoriques.

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