PRIMER PERIODO ACADÉMICO
Asignatura: Matemáticas
Grados: 6°, 7°, 8°, 9°, 10° y 11°
Docente: Diana Marcela Roa
Bucaramanga, 2013.
SISTEMAS DE NUMERACION
SEXTO
NUMERACIÓN ROMANA
Es un sistema de numeración que usa letras mayúsculas a las que se ha asignado un valor numérico.
Este tipo de numeración debe utilizarse lo menos posible, sobre todo por las dificultades de lectura y escritura que presenta.
Se usa principalmente:
En los números de capítulos y tomos de una obra. En los actos y escenas de una obra de teatro. En los nombres de papas, reyes y emperadores. En la designación de congresos, olimpiadas, asambleas, certámenes...
Reglas:
La numeración romana utiliza siete letras mayúsculas a las que corresponden los siguientes valores:
Ejemplos: XVI = 16; LXVI = 66
Si a la derecha de una cifra romana de escribe otra igual o menor, el valor de ésta se suma a la anterior.
Ejemplos: VI = 6; XXI = 21; LXVII = 67
La cifra "I" colocada delante de la "V" o la "X", les resta una unidad; la "X", precediendo a la "L" o a la "C", les resta diez unidades y la "C", delante de la "D" o la "M", les resta cien unidades.
Ejemplos: IV = 4; IX = 9; XL = 40; XC = 90; CD = 400; CM = 900
En ningún número se puede poner una misma letra más de tres veces seguidas. En la antigüedad se ve a veces la "I" o la "X" hasta cuatro veces seguidas.
Ejemplos: XIII = 13; XIV = 14; XXXIII = 33; XXXIV = 34
La "V", la "L" y la "D" no pueden duplicarse porque otras letras ("X", "C", "M") representan su valor duplicado.
Ejemplos: X = 10; C = 100; M = 1.000
Si entre dos cifras cualesquiera existe otra menor, ésta restará su valor a la siguiente.
Letras I V X L C D MValores 1 5 1
050 100 500 1.000
Ejemplos: XIX = 19; LIV = 54; CXXIX = 129
El valor de los números romanos queda multiplicado por mil tantas veces como rayas horizontales se coloquen encima de los mismos.
Ejemplos: M= 1.000.00
SISTEMA DE NUMERACIÓN BINARIO
El sistema de numeración binario utiliza sólo dos dígitos, el cero (0) y el uno (1).
En una cifra binaria, cada dígito tiene distinto valor dependiendo de la posición que ocupe. El valor de cada posición es el de una potencia de base 2, elevada a un exponente igual a la posición del dígito menos uno. Se puede observar que, tal y como ocurría con el sistema decimal, la base de la potencia coincide con la cantidad de dígitos utilizados (2) para representar los números.
Conversión entre números decimales a binarios
Convertir un número decimal al sistema binario es muy sencillo: basta con realizar divisiones sucesivas por 2 y escribir los residuos obtenidos en cada división en orden inverso al que han sido obtenidos.
Ejemplo: Convertir al sistema binario el número 7710 haremos una serie de divisiones que arrojarán los siguientes residuos:
y, tomando los restos en orden inverso obtenemos la cifra binaria:
7710 = 10011012
Conversión de binario a decimal
El proceso para convertir un número del sistema binario al decimal es aún más sencillo; basta con desarrollar el número, teniendo en cuenta el valor de cada dígito en su posición, que es el de una potencia de 2, cuyo exponente es 0 en el bit situado más a la derecha, y se incrementa en una unidad según vamos avanzando posiciones hacia la izquierda.
Ejemplo: Convertir el número binario 10100112 a decimal, lo desarrollamos teniendo en cuenta el valor de cada bit:
1*26 + 0*25 + 1*24 + 0*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 = 83
10100112 = 8310
SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL
El sistema decimal es un sistema de numeración posicional en el que las cantidades se representan utilizando como base el número diez, por lo que se compone de diez cifras diferentes: cero (0); uno (1); dos (2); tres (3); cuatro (4); cinco (5); seis (6); siete (7); ocho (8) y nueve (9). Este conjunto de símbolos se denomina números árabes, y es de origen indú.
Es el sistema de numeración usado habitualmente en todo el mundo (excepto ciertas culturas) y en todas las áreas que requieren de un sistema de numeración
Valor posicional
9ª
Posición
8 ª
Posición
7ª
Posición
6ª
Posición
5ª
Posición
4ª
Posición
3ª
Posición
2ª
Posición
1ª
Posición
centenas
de millón
decenas
de millón
unidades
de millón
centenas
de mil
decenas
de mil
unidades
de mil
centenas
decenas
unidades
CMi DMi UMi CM DM UM C D U
El valor de los dígitos según su posición en un numeral, hasta la centena de millón, aparece en el cuadro siguiente:
Diez unidades forman una decena.Diez decenas forman una centena.Diez centenas forman una unidad de mil.Diez unidades de mil forman una decena de mil.Diez decenas de mil forman una centena de mil. Diez centenas de mil forman una unidad de millón.
Diez unidades de millón forman una decena de millón.Diez decenas de millón forman una centena de millón.
De esta manera, un número en el sistema de numeración decimal puede ser representado utilizando tres tipos de notación: polinómica, exponencial y según el nombre de posición de cada cifra.
Polinómica: El número se expresa teniendo en cuenta el valor de posición de cada una de las cifras.
Ejemplo: El número 719 puede ser expresado como 700+10+9.
Exponencial: El número se expresa teniendo en cuenta el valor de posición de cada una de las cifras en forma exponencial.
Ejemplo: El número 254 puede ser representado como (2×10¿¿2)+(5×101 )+(4×100)¿.
Según el nombre de posición de cada cifra: El número se expresa teniendo en cuenta el nombre del valor de posición e cada una de sus cifras.
Ejemplo: El número 983 se puede expresar como 9C + 8D + 3U.
NÚMEROS NATURALES
El conjunto de los números naturales es:
Son infinitos y sirven para contar (números cardinales: 1, 2, 3,...) o para ordenar (números ordinales: 1º, 2º, 3º,...).
OPERACIONES EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES
Suma de números naturales
Dados a, b, c ∈N , se def ine la suma como
a + b = c
Donde a y b , se l laman sumandos y c e l resul tado o to ta l
Propiedades:
In terna: a + b
Asociat iva : (a + b) + c = a + (b + c)
(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)
5 + 5 = 2 + 8
10 = 10
Conmutat iva : a + b = b + a
2 + 5 = 5 + 2
7 = 7
Elemento neutro : a + 0 = a
3 + 0 = 3
Resta de números naturales
Dados a, b, c ∈N , se def ine la resta como
a - b = c siempre que a = b + c
a se denomina minuendo b sustraendo y c di ferencia .
Mult ipl icación de números naturales
Dados a, b, c ∈N , se def ine la mult ipl icación como
a × b = c
Donde a y b se denominan factores y c producto.
Propiedades:
In terna: a · b
Asociat iva : (a · b) · c = a · (b · c)
(2 · 3) · 5 = 2· (3 · 5)
6 · 5 = 2 · 15
30 = 30
Conmutat iva : a · b = b · a
2 · 5 = 5 · 2
10 = 10
Elemento neutro : a · 1 = a
3 · 1 = 3
Dist r ibut iva : a · (b + c) = a · b + a · c
2 · (3 + 5) = 2 · 3 + 2 · 5
2 · 8 = 6 + 10
16 = 16
División de números naturales
Dados a, b, c ∈N , se def ine la división exacta como
a ÷ b = c siempre que a = b × c
a se denomina d iv idendo, b d iv isor y c coc iente.
E jemplo:
15 = 5 · 3
Dados a, b, c ∈N , se def ine la división inexacta como
a se denomina d iv idendo, b d iv isor , c coc iente y r res iduo.
Ejemplo:
17 = 5 · 3 + 2
0 : 5 = 0
PROBLEMAS CON NÚMEROS NATURALES
Sin duda alguna y casi de manera universal y como una aplicación de las operaciones está la resolución de problemas, considerando como una excelente alternativa para aprender matemáticas. Un problema es la situación que nos hace pensar.
Ejemplo:
Una empresa compra una máquina de café por 6.000 €. Cada mes se gasta 100 € en mantenimiento pero obtiene 350 € por la venta de café. Al cabo de 2 años y medio la vende por 4920 €. ¿Qué beneficio mensual le ha aportado la máquina?
Solución: 214 €
En una urbanización viven 4 500 personas y hay un árbol por cada 90 habitantes.
¿Cuántos árboles hay en la urbanización?
Solución: 50 arboles
Pedro compró una finca por 643 750 € y la vendió ganando 75 250 €. ¿Por cuánto lo vendió?
Solución: 719 000 €
POTENCIACION DE NÚMEROS NATURALES
La potenciación es un caso particular de producto en donde todos los factores son iguales
BaseExponente= Potencia
En general: an=a×a×a×a… n veces. La base es el número que se multiplica, el exponente indica las veces que se multiplica la base.
Ejemplo:
43=4×4×4= 64
41=4
Propiedades de la potenciación de números naturales:
Producto de potencia de igual base:
Se copia la misma base y se suman los exponentes.
Ejemplo: 23×22=23+2=25=32
Cociente de potencia de igual base:
Se copia la misma base y se restan los exponentes.
Ejemplo:
25
23=25−3=22=4
Potencia de potencia:
Se copia la misma base y se multiplican los exponentes.
Ejemplo:
(23 )2=23× 2=26=64
Potencia de un producto:
Se debe elevar cada factor al mismo exponente y desarrollar la potencia indicada.
Ejemplo:
(3×2 )5=35×25=243×32=7776
Potencia de un cociente:
Se debe elevar al mismo exponente el dividendo y el divisor y luego desarrollar la
potencia indicada.
Ejemplo:
( 32 )5
=35
25=24332
Propiedad del cero:
Todo número o expresión elevada a exponente cero es igual a la unidad.
Ejemplo:
30=1
RADICACION DE NUMEROS DE NATURALES
Es la operación inversa de la potenciación. Permite hallar la base cuando se conocen el exponente y la potencia.
n√b=asi y solo sian=b
En la expresión n√b=a, n recibe el nombre de índice, b e cantidad subradical o radicando y a la raíz.
Ejemplo:
a) 2√25=5porque 5×5 = 25.
b) 3√8=2 porque 2×2×2=8
Propiedades de la radicación de números naturales
Raíz de un producto:
La raíz cuadrada de un producto A x B es igual al producto de la raíz cuadrada de "A" por la raíz cuadrada de "B"
Ejemplo: 2√32×24=2√32× 2√24=2√9× 2√16=3×4=12
Raíz de un cociente
El cociente de la raíz de una fracción, es igual al cociente de la raíz del numerador entre la raíz del denominador....
Ejemplo: 2√ 94=
2√92√4
=32
Raíz de una raíz
Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se conserva la cantidad sub-radical.
Ejemplo: 7√ 3√5=7×3√5
LOGARITMACION DE NUMEROS NATURALES
La logaritmación es una operación inversa a la potenciación. Esta permite hallar el exponente cuando se conocen la base y la potencia.
log ab=n si y solo si an=b
Ejemplo:
log2 8 = 3 pues 2 3= 8.
Los números negativos no tienen logaritmo en el conjunto de los números reales.
Propiedades de los logaritmos
Logaritmo de un producto
El logaritmo de un producto en una base dada, es igual a la suma de los logaritmos de los factores en esa misma base.
log a(m×n)=log am+log an
Ejemplo:
log5 (25×5) = log525 + log55 = log5 (25×5) = 2 + 1 = 3
log5125 = 3 pues 53= 125
Logaritmo de un cociente
El logaritmo de un cociente en una base dada, es igual a la diferencia entre el logaritmo del dividendo y el del divisor.
log a(m÷n)=logam−logan
Ejemplo:
log2(64: 16) = log264 - log216 = 6 - 4 = 2
log2 4 = 2
Logaritmo de una potencia
log abn=n log ab
Ejemplo:
a) log2 8 4 = 4 . log 2 8
a) log2 4096 = 12 pues 212 = 4096
b) 4. 3 = 12
POLINOMIOS ARITMETICOS CON MUEROS NATURALES
Son expresiones matemáticas que combinan diversas operaciones en el conjunto de los números naturales. El uso de los signos de agrupación se emplea con el propósito de marcar cuales de las operaciones matemáticas deben ser efectuadas primero.
Para resolver una expresión sin signos de agrupación, primero se deben resolver las multiplicaciones y las divisiones y por ultimo las sumas y restas.
Ejemplo: 9 × 5 + 18 ÷ 3 – 6 × 5= 45 + 6 – 30= 21
Para resolver una expresión con signos de agrupación, estos se deben eliminar de dentro hacia afuera. Para esto se resuelven las operaciones las operaciones que se encuentran mas adentro.
Ejemplo: 15 + [9 ÷ (11×2-19)]
15 + [9 ÷ (22 - 19)]
15 + [9÷3]
15 + 3
18
SEPTIMO
NUMEROS ENTEROS Z
Si al conjunto de números naturales agregamos cada uno de sus opuestos y el cero, se obtiene un nuevo conjunto; el conjunto de números enteros y se nota con la letra Z.
De esta manera Z: {…-3-2-1, 0, 1, 2,3...} Luego el conjunto será Z=¿.
Los números se emplean en: comercio, tenencia y deudas, en temperatura: normal y bajo cero, superficie: sobre y bajo el nivel del mar, y en la historia: antes de y después de.
ORDEN DE LOS NUMEROS ENTEROS
Al comparar dos números enteros sobre la recta numérica es mayor aquel que se encuentre a la derecha del otro.
b es mayor que a: b > a
d es menor que c: d<c
b=c
El conjunto de los números positivos los denotamos como Z+; el conjunto de los números negativos lo denotamos como Z-
nota: cualquier entero negativo siempre será que menor que un entero positivo y que cero
Ejemplo: 3 < 7, 7 está a la derecha de 3 por lo tanto es mayor.
RECTA NUMÉRICA DE NÚMEROS ENTEROS Z
Utilizando el concepto de orden, que dice los números enteros positivos se ubican a la derecha y los números enteros negativos a la izquierda del cero Ejemplo:
Se ven representados los números: -3, -2, 1, 3.
REPRESENTACION DE NUMEROS ENTEROS EN EL PLANO CARTESIANO
El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.
Las coordenadas en el primer cuadrante serán (+, +), las del segundo cuadrante serán (-, +), las del tercer cuadrante serán (-, -) y las del cuarto cuadrante serán (+, -). El primer número de una coordenada representa el lugar horizontal del punto y el segundo número representa el lugar vertical del punto.
Ejemplo:
OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS
SUMA DE NUMEROS ENTEROS
Para sumar 2 números enteros positivos se efectúa la suma que ya conoces.
Ejemplo: 3+4=7
Para sumar dos números enteros negativos se hace la suma que conoces y al resultado le antepones el signo menos (-).
Ejemplo: - 5 + - 6= - 11
Para sumar dos enteros de signos diferentes, la suma es positiva si el número mayor es positivo y negativa si el número mayor es negativo.
Ejemplo: 4 + (- 6)= - 2
RESTA DE NÚMEROS ENTEROS
Restar dos números enteros equivale a sumar el minuendo con el opuesto del sustraendo.
Ejemplo: (-4) – 3 = (-4) + (-3) = (-7)
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
Al multiplicar números enteros puede suceder:
Los números enteros son positivos, en este caso el producto es positivo.
Ejemplo: 5 × 6 = 30
Uno de los enteros es positivo y el otro negativo, en este caso el producto es negativo.
Ejemplo: (- 3) × 2 = (- 6)
Si los dos números enteros son negativos en este caso el producto es positivo.
Ejemplo: (- 4) × (- 5) = 20
Regla de los signos
(+) × (+)= (+) Más por más igual a más.
(+) × (−)= (−) Más por menos igual a menos.
(−) × (+)= (−) Menos por más igual a menos.
(−) × (−)= (+) Menos por menos igual a más
DIVISIÓN DE ENTEROS
Es la operación inversa de la multiplicación, suceden los mismos casos
Ejemplo:
(−45)9
=(−5)
(−45)(−9)
=5
459
=5
POTENCIACION DE ENTEROS
Es una multiplicación abreviada que solo tiene un factor el cual se repite.
Ejemplo:
(−3)2=(−3 )× (−3 )=9
(5)3=5×5×5=125
Propiedades de la potenciación de números enteros
Producto de potencia de igual base:
Se copia la misma base y se suman los exponentes.
Ejemplo: 23×22=23+2=25=32
Cociente de potencia de igual base:
Se copia la misma base y se restan los exponentes.
Ejemplo: 25
23=25−3=22=4
Potencia de potencia:
Se copia la misma base y se multiplican los exponentes.
Ejemplo: (23 )2=23× 2=26=64
Potencia de un producto:
Se debe elevar cada factor al mismo exponente y desarrollar la potencia indicada.
Ejemplo: (3×2 )5=35×25=243×32=7776
Potencia de un cociente:
Se debe elevar al mismo exponente el dividendo y el divisor y luego desarrollar la
potencia indicada.
Ejemplo: ( 32 )5
=35
25=24332
Propiedad del cero:
Todo número o expresión elevada a exponente cero es igual a la unidad.
Ejemplo: 30=1RADICACIONES DE ENTEROS
Es la operación inversa de la potenciación.
Ejemplo:
2√25=5porque 5×5 = 25.
3√8=2 porque 2×2×2=8
Propiedades de la radicación de números enteros
Raíz de un producto:
La raíz cuadrada de un producto A x B es igual al producto de la raíz cuadrada de "A" por la raíz cuadrada de "B"
Ejemplo: 2√32×24=2√32× 2√24=2√9× 2√16=3×4=12
Raíz de un cociente
El cociente de la raíz de una fracción, es igual al cociente de la raíz del numerador entre la raíz del denominador....
Ejemplo: 2√ 94=
2√92√4
=32
Raíz de una raíz
Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se conserva la cantidad sub-radical.
Ejemplo: 7√ 3√5=7×3√5
VALOR ABSOLUTO DE NÚMEROS ENTEROS
Definición: Es la distancia a la que se encuentra el número del cero. La distancia entre el
origen y el punto 3 es igual a la distancia entre el origen y el punto -3.
Ejemplo: I6I =6 y I-9I=9
PROBLEMAS CON NÚMEROS ENTEROS
1) En un minuto un cangrejo avanza 3 metros y en el otro retrocede 2 ¿cuánto tardaría el cangrejo en avanzar 20 metros?
SOLUCION: Como realmente avanza 1 metro por cada 2 minutos entonces multiplico 20 por 2 y obtengo 40m que es el tiempo que tardo
2) Un conejo avanza 3 metros en cada salto que da, si da 19 en un minuto y luego descansa 3 minutos ¿ cuánto tiempo tarda en recorrer 342 m?
SOLUCION: Debo multiplicar 3 por 19 y da 57 saltos en 1 minuto más 3 min que descansa entonces son 57 saltos en 4 min; multiplico 57 por 6 que nos da un igual a 342 luego el tiempo son 6 min.
EXPRESIONES ARITMETICAS CON NÚMEROS ENTEROS
Es una expresión en la cual intervienen varios productos ligados por signos + y - .
Ejemplo: (−3 )× (−2 )+5×7+3× (−10 )=6+35+(−30)=11
EXPRESIONES CON POTENCIAS Y RAICES
Se resuelven primero las potencias y las raíces. Luego, las multiplicaciones y divisiones; por último, las sumas y restas.
Ejemplo: (−2)2× (−3 )−52×2−2×(−3)3=4× (−3 )−25×2−2×9=(−12 )−50−18=(−80)
ECUACIONES EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS
Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en la que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Las incógnitas (letras) son los valores que se pretende hallar.
Ejemplo:
1° miembro 2° miembro
3 x – 1 = 9 + x
Resolución de una ecuación:
Resolver una ecuación es encontrar el valor de la incógnita para el cual la igualdad se cumple, realizando pasajes de términos, mediante el uso de las operaciones inversas.
Ejemplo:
3 x – 1 = 9 + x
3 x - x = 9 + 1
2 x = 10
x = 10 : 2
X = 5
OCTAVO
CONJUNTOS NUMÉRICOS
LOS NÚMEROS NATURALES
Con los números naturales contamos los elementos de un conjunto (número
cardinal). O bien expresamos la posición u orden que ocupa un elemento en
un conjunto (ordinal).
El conjunto de los números naturales está formado por:
N= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...}
La suma y el producto de dos números naturales es otro número natural .
La diferencia de dos números naturales no siempre es un número
natural, sólo ocurre cuando el minuendo es mayor que sustraendo.
5 − 3
3 − 5
El cociente de dos números naturales no siempre es un número natural ,
sólo ocurre cuando la división es exacta.
6 ÷ 2
2 ÷ 6
Podemos utilizar potencias, ya que es la forma abreviada de escribir un
producto formado por varios factores iguales.
La raíz de un número natural no siempre es un número natural , sólo
ocurre cuando la raíz es exacta.
LOS NÚMEROS ENTEROS
Los números enteros son del tipo:
= {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}
Nos permiten expresar: el dinero adeudado, la temperatura bajo cero, las
profundidades con respecto al nivel del mar, etc.
La suma, la diferencia y el producto de dos números enteros es otro
número entero.
El cociente de dos números enteros no siempre es un número entero , sólo
ocurre cuando la división es exacta.
6 ÷ 2
2 ÷ 6
Podemos operar con potencias, pero el exponente tiene que ser un
número natural.
La raíz de un número entero no siempre es un número entero, sólo
ocurre cuando la raíz es exacta o si se trata de una raíz de índice par
con radicando positivo.
LOS NÚMEROS RACIONALES
Se llama número racional a todo número que puede representarse como
el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero .
Los números decimales (decimal exacto, periódico puro y periódico
mixto) son números racionales; pero los números decimales ilimitados
no.
La suma, la diferencia , el producto y el cociente de dos números
racionales es otro número racional .
Podemos operar con potencias, pero el exponente tiene que ser un
número entero.
La raíz de un número racional no siempre es un número racional , sólo
ocurre cuando la raíz es exacta y si el índice es par el radicando ha de
ser positivo.
LOS NÚMEROS IRRACIONALES
Un número es irracional si posee infinitas cifras decimales no periódicas ,
por tanto no se pueden expresar en forma de fracción.
El número irracional más conocido es , que se define como la relación
entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.
= 3.141592653589...
Otros números irracionales son:
El número e aparece en procesos de crecimiento, en la desintegración
radiactiva, en la fórmula de la catenaria, que es la curva que podemos
apreciar en los tendidos eléctricos.
e = 2.718281828459...
El número áureo, , utilizado por artistas de todas las épocas (Fidias,
Leonardo da Vinci, Alberto Durero, Dalí,..) en las proporciones de sus
obras.
NÚMEROS REALES
El conjunto formado por los números racionales e irracionales es el
conjunto de los números reales, se designa por .
Con los números reales podemos realizar todas las operaciones, excepto la
radicación de índice par y radicando negativo y la división por cero
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
LENGUAJE ÁLGEBRAICO.
Para poder manejar el lenguaje algebraico es necesario comprender lo siguiente:
Se usan todas las letras del alfabeto. Las primeras letras del alfabeto se determinan por regla general como constantes,
es decir, cualquier número o constante como el vocablo pi. Por lo regular las letras X., Y y Z se utilizan como las incógnitas o variables de la
función o expresión álgebraica.
Operaciones con Lenguaje Álgebraico
Aqui se presentan los siguientes ejemplos, son algunas de las situaciones más comunes que involucran los problemas de matemáticas con lenguaje álgebraico; cualquier razonamiento extra o formulación de operaciones con este lenguaje se basa estrictamente en estas definiciones:
un número cualquiera
se puede denominar con cualquier letra del alfabeto, por ejemplo:
a = un número cualquiera
b = un número cualquiera
c = un número cualquiera
... y así sucesivamente con todos los datos del alfabeto.
la suma de dos números cualesquiera
a+b = la suma de dos números cualesquiera
x+y = la suma de dos números cualesquiera
la resta de dos números cualesquiera
a-b = la resta de dos números cualesquiera
m-n = la resta de dos números cualesquiera
la suma de dos números cualesquiera menos otro número cualquiera
a-b+c =la suma de dos números cualesquiera menos otro número cualquiera
el producto de dos números cualesquiera
ab = el producto de dos números cualesquiera
el cociente de dos números cualesquiera (la división de dos números cualesquiera)
a/b= el cociente de dos números cualesquiera
la semisuma de dos números cualesquiera
(a+b)/2= la semisuma de dos números cualesquiera
el semiproducto de dos números cualesquiera
(ab)/2= el semiproducto de dos números cualesquiera
CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Monomio
Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural.
Binomio
Un binomio es una expresión algebraica formada por dos monomios.
Trinomio
Un trinomio es una expresión algebraica formada por tres monomios.
Polinomio
Un polinomio es una expresión algebraica formada por más de un monomio.
MONOMIOS
Un Monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural.
Ejemplo: 2x2 y3 z
PARTES DE UN MONOMIO
Coeficiente: es el número que aparece multiplicando a las variables. Parte literal: está constituida por las letras y sus exponentes. Grado: El grado de un monomio es la suma de todos los exponentes de las letras
o variables. El grado de 2x2 y3 z es: 2 + 3 + 1 = 6 Monomios semejantes: Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma
parte literal.Ejemplo: 2x2 y3 z es semejante a 5x2 y3 z
OPERACIONES CON MONOMIOS
Suma de Monomios
Sólo podemos sumar monomios semejantes. La suma de los monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes.
axn + bxn = (a + b)xn
Resta de monomios.
La resta de monomios es muy parecida a la suma, sólo que hay que cambiar los números
del sustraendo por su simétrico y se resuelve aplicando las reglas de la suma
Ejemplo:
(8x) – (6x) = (8x) + (-6x) = (8-6) x = +2x
2x2 y3 z + 3x2 y3 z = 5x2 y3 z
Producto de un número por un monomio
El producto de un número por un monomio es otro monomio semejante cuyo coeficiente es el producto del coeficiente de monomio por el número.
Ejemplo:
5 (2x2 y3 z) = 10x2 y3 z
Producto de monomios
El producto de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando entre sí las partes literales teniendo en cuenta las propiedades de las potencias.
axn · bxm = (a · b)xn +m
Ejemplo: 5x2 y3 z · 2 y2 z2 = 10 x2 y5 z3
Cociente de monomios
El cociente de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo entre sí las partes literales teniendo en cuenta las propiedades de las potencias
axn ÷ bxm = (a ÷ b)xn – m
Ejemplo:
(−8 x5 y8 )(4 x2 y3)
Potencia de un monomio
Para realizar la potencia de un monomio se eleva, cada elemento de éste, al exponente de la potencia.
(axn)m = am · bxn · m
Ejemplo: (2x3)3 = 23(x3)3 = 8x9
(-3x2)3 = (-3)3(x3)2 = −27x6
ANGULOS
Un ángulo es la porción de plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el origen común.
Un ángulo está formado por:
- Lado de un ángulo: cada una de las dos semirrectas.- Vértice de un ángulo: punto en el que coinciden las dos semirrectas.- Amplitud: lo más importante del ángulo, es la abertura que hay entre los
lados.
¿Cómo se miden los ángulos?
Los ángulos se miden en grados sexagesimales o 1º = 60´; 1´= 60´´ ; 1º = 3.600´´
para medirlos se utiliza el transportador de ángulos
CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS
Los ángulos pueden clasificarse según su medida en 5 tipos:
Ángulo agudo: es aquel que mide más de 0º y menos de 90º Ángulo recto: es aquel que mide 90º Ángulo extendido o llano: es aquel que mide 180º Ángulo obtuso: es aquel que mide más de 90º y menos de 180º Ángulo completo: es aquel que mide 360º
Los esquemas que representan dichos ángulos son los siguientes:
Ángulo recto Ángulo Ángulo extendido
agudo
Ángulo completo
Ángulo obtuso
CLASIFICACIÓN SEGÚN DE SU POSICIÓN:
Ángulos consecutivos son aquellos que tienen el vértice y un lado común.
Ángulos adyacentes son aquellos que tienen el vértice y un lado común, y los otros lados situados uno en prolongación del otro.Forman un ángulo llano.
Ángulos opuestos por el vértice son los que teniendo el vértice común, los lados de uno son prolongación de los lados del otro.Los ángulos 1 y 3 son iguales.Los ángulos 2 y 4 son iguales.
ÁNGULOS ENTRE PARALELAS
NOVENO
CONJUNTOS NUMÉRICOS
LOS NÚMEROS NATURALES
Con los números naturales contamos los elementos de un conjunto (número
cardinal). O bien expresamos la posición u orden que ocupa un elemento en
un conjunto (ordinal).
El conjunto de los números naturales está formado por:
N= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...}
La suma y el producto de dos números naturales es otro número natural .
La diferencia de dos números naturales no siempre es un número natural ,
sólo ocurre cuando el minuendo es mayor que sustraendo.
5 − 3
3 − 5
El cociente de dos números naturales no siempre es un número natural ,
sólo ocurre cuando la división es exacta.
6 ÷ 2
2 ÷ 6
Podemos utilizar potencias, ya que es la forma abreviada de escribir un
producto formado por varios factores iguales.
La raíz de un número natural no siempre es un número natural , sólo ocurre
cuando la raíz es exacta.
LOS NÚMEROS ENTEROS
Los números enteros son del tipo:
= {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}
Nos permiten expresar: el dinero adeudado, la temperatura bajo cero, las
profundidades con respecto al nivel del mar, etc.
La suma, la diferencia y el producto de dos números enteros es otro
número entero.
El cociente de dos números enteros no siempre es un número entero , sólo
ocurre cuando la división es exacta.
6 ÷ 2
2 ÷ 6
Podemos operar con potencias, pero el exponente tiene que ser un
número natural.
La raíz de un número entero no siempre es un número entero, sólo ocurre
cuando la raíz es exacta o si se trata de una raíz de índice par con
radicando positivo.
LOS NÚMEROS RACIONALES
Se llama número racional a todo número que puede representarse como
el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero .
Los números decimales (decimal exacto, periódico puro y periódico
mixto) son números racionales; pero los números decimales ilimitados
no.
La suma, la diferencia, el producto y el cociente de dos números
racionales es otro número racional .
Podemos operar con potencias, pero el exponente tiene que ser un
número entero.
La raíz de un número racional no siempre es un número racional , sólo
ocurre cuando la raíz es exacta y si el índice es par el radicando ha de
ser positivo.
LOS NÚMEROS IRRACIONALES
Un número es irracional si posee infinitas cifras decimales no periódicas,
por tanto no se pueden expresar en forma de fracción.
El número irracional más conocido es , que se define como la relación
entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.
= 3.141592653589...
Otros números irracionales son:
El número e aparece en procesos de crecimiento, en la desintegración
radiactiva, en la fórmula de la catenaria, que es la curva que podemos
apreciar en los tendidos eléctricos.
e = 2.718281828459...
El número áureo, , utilizado por artistas de todas las épocas (Fidias,
Leonardo da Vinci, Alberto Durero, Dalí,..) en las proporciones de sus
obras.
NÚMEROS REALES
El conjunto formado por los números racionales e irracionales es el
conjunto de los números reales, se designa por .
Con los números reales podemos realizar todas las operaciones, excepto la
radicación de índice par y radicando negativo y la división por cero.
LA RECTA REAL
A todo número real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de la recta un número real.
Los números reales pueden ser representados en la recta con tanta aproximación como queramos, pero hay casos en los que podemos representarlos de forma exacta.
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas o indeterminadas y se representan por letras.Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligada por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación.
Un polinomio es una expresión hecha con constantes, variables y exponentes, que están combinados usando sumas, restas y multiplicaciones,… pero no divisiones.Los exponentes sólo pueden ser 0,1,2,3,... etc.No puede tener un número infinito de términos.
Clasificación de polinomios por el número de términos
Monomio
Es un polinomio que consta de un sólo monomio.Ejemplo: P(x) = 2x2
Binomio
Es un polinomio que consta de dos monomios.Ejemplo: P(x) = 2x2 + 3x
Trinomio
Es un polinomio que consta de tres monomios.Ejemplo: P(x) = 2x2 + 3x
OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Realizar operaciones con expresiones algebraicas, consiste básicamente en aplicar las propiedades de las operaciones definidas en el conjunto de los números reales (asociatividad, conmutatividad, distributividad, etc) así como las propiedades de las potencias y de los radicales.
Suma y resta de monomios semejantes
La suma y resta de monomios semejantes entre sí, es igual a un monomio cuyo coeficiente es igual a la suma o resta de los coeficientes de los monomios dados y cuyo factor literal es el factor literal de los monomios dados.
Ejemplo:
=
=
=
Multiplicación de monomios
El producto de dos o más monomios es igual a un monomio cuyo coeficiente es el producto de los coeficientes de los monomios dados y cuyo factor literal es el producto de los factores literales de los monomios dados
Ejemplo:
Realice las operaciones indicadas en cada una de las siguientes expresiones:
a)
División de Monomios
Una fracción con monomio (o cociente de monomio) está simplificada si se cumplen las tres condiciones siguientes:
Las fracciones formadas por los coeficientes de los monomios involucrados está expresada en su forma más simple.
Las variables que aparecen en el numerador son diferentes de las que aparecen en el denominador y no se repiten.
Las potencias de las variables involucradas tienen exponente positivo.
Ejemplo:
Simplifique cada una de las siguientes expresiones:
=
=
=
=
PRODUCTOS NOTABLES
Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es preciso saber factorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso. A continuación veremos algunas expresiones y del lado derecho de la igualdad, la forma de factorizarlas.
Cuadrado de la suma de dos cantidades o binomio cuadrado
El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad más el doble de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.
Cuadrado de la diferencia de dos cantidades
El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el doble de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.
Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades
El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el cuadrado de la segunda
A modo de resumen, se entrega el siguiente cuadro con Productos notables:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Binomio al cuadrado(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Binomio al cuboa2 - b2 = (a + b) (a - b) Diferencia de cuadradosa3 - b3 = (a - b) (a2 + b2 + ab) Diferencia de cubosa3 + b3 = (a + b) (a2 + b2 - ab) Suma de cubosa4 - b4 = (a + b) (a - b) (a2 + b2) Diferencia cuarta(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc Trinomio al cuadrado
FACTORIZACIÓN
Factor Común
Este es el primer caso y se emplea para factorizar una expresión en la cual todos los términos tienen algo en común (puede ser un número, una letra, o la combinación de los dos).
Ejemplo:
Factor Común por agrupación de términos
Aquí utilizaremos el caso anterior, adicionando que uniremos los factores que se parezcan, es decir, los que tengan un factor común.
Ejemplo:
entonces puedes agruparlos de la siguiente manera:
Aplicamos el caso I (Factor común)
BINOMIOS
Diferencia de cuadrados:
Ejemplo:
Diferencia de cubos: a3 − b3 = (a − b) · (a2 + ab + b2)
Ejemplo: 8x3 − 27 = (2x − 3) (4x2 + 6x + 9)
Suma de cubos: a3 + b3 = (a + b) · (a2 − ab + b2)
Ejemplo: 8x3 + 27 = (2x + 3) (4x2 - 6x + 9)
Suma de potencias iguales:
Ejemplo:
Diferencia de potencias iguales:
Ejemplo:
TRINOMIOS
Trinomio de la forma ax2 + bx + c
Ejemplo:
Trinomio cuadrado perfecto
a2 + 2 a b + b2 = (a + b)2
Ejemplo:
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Una fracción algebraica es el cociente de dos polinomios y se representa por:
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
Para simplificar una fracción algebraica se divide el numerador y el denominador de la fracción por un polinomio que sea factor común de ambos.
Ejemplo:
OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS
Suma de fracciones algebraicas
Con el mismo denomiminador
Ejemplo:
Con distinto denomiminador
En primer lugar se ponen las fracciones algebraicas a común denominador, posteriormente se suman los numeradores.
Ejemplo:
Multiplicación de fracciones algebraicas
Ejemplo:
División de fracciones algebraicas
Ejemplo:
OPERACIONES COMBINADAS
Cuando se nos presentan operaciones combinadas debemos tener en cuenta que es el mismo cuando se resuelven operaciones numéricas, se resuelven:
1. Los paréntesis. 2. Los productos y divisiones. 3. Las sumas y las restas.
Ejemplo:
POTENCIACIÓN EN LOS NUMEROS REALES
La potenciación es una expresión matemática que incluye dos términos denominados: base a y exponente n.Se escribe an, y se lee: «a elevado a n». Su definición varía según el conjunto numérico al que pertenezca el exponente:
Cuando el exponente es un número natural, equivale a multiplicar un número por sí mismo varias veces: el exponente determina la cantidad de veces.
Ejemplo: .
cuando el exponente es un número entero negativo, equivale a la fracción inversa de la base pero con exponente positivo.
cuando el exponente es una fracción irreducible n/m, equivale a una raíz:
Cualquier número elevado a 0 equivale a 1, excepto el caso particular de 00 que, en principio, no está definido
Propiedades de la potenciación
a) Potencia de exponente 0:
Un número (distinto de 0) elevado al exponente 0 da como resultado la unidad (1), puesto que:
b) Potencia de exponente 1:
Toda potencia de exponente 1 es igual a la base:
Ejemplo:
c) Potencia de exponente negativo
Un número elevado a un exponente negativo, es igual al inverso de la misma expresión pero con exponente positivo:
d) Multiplicación de potencias de igual base
El producto de dos o más potencias de igual base es igual a la base elevada a la suma de los correspondientes exponentes (la misma base y se suman los exponentes):
Ejemplos:
e) División de potencias de igual base
La división de dos potencias de igual base es igual a la base elevada a la resta de los exponentes respectivos:
Ejemplo:
f) Potencia de un producto
La potencia de un producto es igual al producto de los factores elevados cada uno al exponente de dicha potencia. Es decir, una potencia de base a.b y de exponente n, es igual al factor a elevado a n, multiplicado por el factor b también elevado a n:
g) Potencia de una potencia
La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y cuyo exponente es el producto de ambos exponentes (la misma base y se multiplican los exponentes):
Debido a esto, la notación se reserva para significar ya que se puede
escribir sencillamente como .
h) Propiedad distributiva
La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división:
RADICACIÓN EN LOS NUMEROS REALES
Se dice que b es la raíz n-ésima de a si y solo si, bn=a donde a ,b∈R y n∈Z+¿¿.Simbólicamente n√a=b, si y solo si, bn=a
En la radicación de números reales se pueden presentar los siguientes casos:
Propiedades de la radicación:
Las propiedades de la radicación son bastante similares a las propiedades de la potenciación, puesto que una raíz es una potencia con exponente racional.
= .
Ejemplo
=
Raíz de un producto
La raíz de un producto de factores es igual al producto de las raíces de los factores.
;con n distinto de cero (0).
Ejemplo:
= =
Raíz de un cociente
La raíz de una fracción es igual al cociente de la raíz del numerador entre la raíz del denominador.
= ;
con n distinto de cero (0).
Ejemplo:
=
Raíz de una raíz
Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se conserva la cantidad subradical.
= ;con n y m distintos de cero (0).
Ejemplo
=
Simplificación de expresiones con radicales
Ejemplo:
5 x3√24 x3 y=(5 x ) 3√8 x3 3√3 y=(5 x ) (2 x ) 3√3 y= (5 x ) (2x ) 3√3 y=10 x2 3√3 y
OPERACIONES CON RADICALES
Adición y sustracción de radicales
Se sumará y restará expresiones que contengan radicales. Deberán tener el mismo índice del radical y el mismo radicando. El simplificar los radicales facilitará el proceso.
Ejemplos:
3√44 x y2+7 y√11 x=3√4 y2√11 x+7 y √11 x¿3× (2 y ) √11 x+7 y √11 x¿6 y √11 x+7 y √11 x¿13 y √11 x
Multiplicación de radicales con diferente índice
Ejemplo:
· Primero, se determina el mínimo común múltiplo de los índices. Este será el índice de todos los radicales en la operación. En este caso el mínimo común múltiplo sería 20 ya que 4 · 5 = 20.
Después se divide el mínimo común múltiplo entre el índice de cada radical.
· = ·
El resultado del mínimo común múltiplo entre cada índice del radical, será la cantidad que eleve a las cantidades subradicales de esa raíz.
· = ·
Ahora, se hace una multiplicación de radicales de las de igual índice ya que ambas raíces poseen índice 20:
· =
Si es posible, se realiza una extracción de factores, como en este caso:
=
División de radicales de igual índice
Esta operación es conocida también como cociente de radicales. Para dividir los radicales de igual índice, se dividen las cantidades subradicales y se coloca el mismo índice en el radical.Ejemplo:
= =
= = =
División de radicales de diferente índice
Es también conocida como cociente de radicales. El proceso es bastante similar al de la multiplicación de radicales
Ejemplo:
Hay que determinar el mínimo común múltiplo de los índices. Éste será el índice de todos los radicales del cociente o fracción. En este caso el mínimo común múltiplo es 5.7 = 35. El resultado del mínimo común múltiplo entre cada índice del radical, esa será la cantidad que eleve a las cantidades subradicales de esa raíz.
= = = Ahora, se realiza una división de radicales de igual índice restando dejando la misma base y restando los exponentes:
= Ahora, se realiza una extracción de factores de radical, en caso de que sea posible:
=
RACIONALIZACIÓN DEL DENOMINADOR DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Dada una expresión algebraica cuyo denominador involucra radicales, se llama racionalización del denominador de dicha expresión al proceso por el cual se determina otra expresión algebraica que no involucra radicales en el denominador y que es equivalente a la expresión algebraica dada.
Caso I: Expresiones algebraicas que se racionalizan aplicando la siguiente propiedad:
= a
Ejemplo: En cada una de las siguientes expresiones, racionalice el denominador y simplifique el resultado
Caso II: Expresiones algebraicas que se racionalizan aplicando la siguiente propiedad:
Ejemplo:
En cada una de las siguientes expresiones racionalice el denominador y simplifique el resultado.
Caso III:
Expresiones algebraicas que se racionalizan aplicando alguna de las siguientes propiedades:
i.
ii.
Ejemplo :
En cada una de las siguientes expresiones racionalice el denominador y simplifique el resultado.
Por lo que:
DECIMO
FUNCION
En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado
dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada
elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que
forman el recorrido, también llamado rango o ámbito).
Ejemplo:
1 --------> 1
2 --------> 4
3 --------> 9
4 --------> 16
VARIABLE DEPENDIENTE
Una variable dependiente es aquella cuyos valores dependen de los que tomen otra
variable. La variable dependiente en una función se suele representar por y.
La variable dependiente se representa en el eje ordenadas.
VARIABLE INDEPENDIENTE
Variable que puede cambiar libremente su valor, así como el primero, sin que su valor se
vea afectado por alguna otra(s) variable(s). Generalmente, una variable independiente es
la entrada de una función y normalmente se denota por el símbolo x, en tanto que
frecuentemente y se reserva para la variable dependiente.
Ejemplo:
y = f(x) = x 2, x es la variable independiente y y es la variable dependiente. Se permite que
la variable x cambie libremente, en tanto que el valor de y tiene que cambiar conforme
cambia x.
La variable y está en función de la variable x, que es la variable independiente.
DOMINIO DE UNA FUNCIÓN
Se llama Dominio de una función al conjunto de valores que puede tomar la variable independiente. El dominio de una función del tipo y=f(x) suele representarse con alguna de estas expresiones: D(f), Dom(f).
RECORRIDO O RANGO DE UNA FUNCIÓN
Se llama Recorrido, Rango o Imagen de una función al conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente, es decir, es el conjunto de valores que puede alcanzar la función. El recorrido de una función del tipo y=f(x) suele representarse con alguna de estas expresiones: R(f), Rango(f), Im(f).
Ejemplo:
f ( x )= {(2,3 ) , (1,8 ) , (5,7 ) ,(4,3)}
En este caso el dominio de la función sería Domf= {2,1 ,5 ,4 } y el recorrido sería
Recf= {3 ,8 ,7 }
PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES
FUNCIÓN INYECTIVA
Una función es inyectiva o uno a uno si a cualquier par de elementos distintos del dominio le corresponden imágenes distintas del conjunto de llegada. Es decir, ningún elemento del conjunto de llegada es imagen de dos elementos distintos del dominio.
Ejemplo:
FUNCION SOBREYECTIVA
Una función es sobreyectiva o sobre si el rango de una función coincide con el codominio. Es decir, todo elemento del codominio es imagen de algún elemento del dominio.
Ejemplo:
FUNCION BIYECTIVA
Una función es biyectiva si es uno a uno y sobre.
Ejemplo:
FUNCION INVERSA
Se l lama func ión inversa o rec iproca de f a ot ra función f − 1 que cumple que :
Si f (a) = b, entonces f − 1 (b) = a.
Ejemplo:
REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES
Representación mediante una expresión verbal: La representación mediante una expresión verbal de una función hace explicita la regla que asigna a cada elemento del dominio su correspondiente imagen en el codominio.
Ejemplo: “A cada numero le corresponde el doble del numero”
Representación mediante fórmulas o ecuaciones: La representación mediante formulas o ecuaciones expresa la relación entre los elementos del dominio y sus respectivas imágenes.
Ejemplo: f ( x )=x+2
Representación en tablas de valores: La representación mediante tabla de valores, es un arreglo de dos filas (o dos columnas), en el cual se escriben todos o algunos elementos del dominio en una fila (o en columna) y sus respectivas imágenes en la otra (fila o columna).
Ejemplo:
Representación gráfica: La representación gráfica de una función f se obtiene al ubicar en el plano cartesiano un número suficiente de parejas ordenadas de la función. La gráfica, también, permite analizar el comportamiento de la función.
Ejemplo:
FUNCION DE VARIABLE REAL
FUNCIONES CRECIENTES
Sea I un intervalo en el dominio de una función f . Entonces, una función f es creciente en el intervalo I si f(b)>f(a) siempre que b>a en I.
Ejemplo:
FUNCION DECRECIENTE
Sea I un intervalo en el dominio de una función f . Entonces, una función f es decreciente en el intervalo I si f(b)<f(a) siempre b<a en I.
Ejemplo:
f (-x) f (x)
x-x
FUNCION CONSTANTE
Sea I un intervalo en el dominio de una función f . Entonces, una función es f constante en el intervalo I si f(b) = f(a) para todo a y b en I.
Ejemplo:
FUNCIÓN PAR
Si una función f satisface que f(-x) = f(x) para todo x en su dominio, entonces f es una función par.
Ejemplo: f(x) = x2
FUNCION IMPAR
Si una función f satisface que f(-x) = - f(x) para todo x en su dominio, entonces f es una función impar.
Ejemplo: f(x) = x3
FUNCIÓN LINEAL
Es del tipo:
y = mx
Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas.
y = 2x
Ejemplo:
x 0 1 2 3 4
y = 2x 0 2 4 6 8
FUNCION AFIN
La función af in se def ine como una expres ión de la forma:
f ( x )=mx+k“La función afin es un polinomio de primer grado en el que su recorrido coincide con el dominio, es decir, con R, y cuya gráfica es una línea recta donde m representa la pendiente de ella, y k el punto donde ésta se intersecta con el eje y”
Ejemplo:
FUNCIÓN CUADRATICA
La función cuadrática es un polinomio de segundo grado. Tiene la forma
f ( x )=ax 2+bx+c ,a≠0 .
La gráfica de la función cuadrática es una parábola que abre hacia arriba si a>0 ,
o abre hacia abajo si a<0 .
El dominio de una función cuadrática es el conjunto de los números reales.
El recorrido de esta función es el conjunto de números y tales que y≥k si a>0 ,
o bien y≤k si a<0 , donde k es la ordenada del vértice de la parábola.
El vértice de la parábola se determina por la fórmula:
Ejemplo:
b
af
b
a2 2, .
FUNCIÓN CUBICA
La función cúbica se define como polinomio de tercer grado; tiene la forma:
f ( x )=ax3+bx2+cx+d ,a≠0 .
Dominio: Todo número real.
Recorrido: Todo número real
Ejemplo:
FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
La función valor absoluto está definida de la siguiente manera:
Ejemplo: f ( x )=|x|
FUNCIÓN EXPONENCIAL
Sea un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia se llama función exponencial de base a y exponente x.
Como para todo ,la función exponencial es una función de en .
Ejemplo:
f ( x )=2x f ( x )=( 12 )x
Nota: e l Dominio : . Recorr ido : , para todas las funciones exponencia les.
FUNCION LOGARÍTMICA
Sea a un real positivo fijo, y sea x cualquier real positivo, entonces:
La función que hace corresponder a cada número real positivo su logaritmo en
base , denotada por ,se llama: función logarítmica de base a, y, el
número se llama logaritmo de x en la base a.
Ejemplo:
Si a >0
Si 0 < a < 1
ANGULOS
ANGULOS EN POSICIÓN NORMAL
Es aquel ángulo trigonométrico cuyo lado inicial coincide con el semieje positivo de las abscisas, su vértice se ubica en el origen de coordenadas rectangulares y su lado final puede ubicarse en cualquier lugar del plano cartesiano.
MEDICIÓN DE ÁNGULOS
Los ángulos se pueden representar en dos sistemas de unidades. Sistema sexagesimal y el sistema radial o circular.
Sistema Sexagesimal: En este sistema 1 grado ( ° ) equivale a 60 minutos ( ’ ) y 1 minuto equivale a 60 segundos ( ” ).
Sistema Radial: Este sistema no tiene subunidades y la unidad es el radian (rad).
Definición de 1 radian : Si tomáramos la longitud del radio de una circunferencia y lo colocáramos en el perímetro de ella, a partir del punto A (ver dibujo) llegaría al punto B.
El ángulo central de este arco de circunferencia se denomina radian.
Ejemplo:
Que significaría " π (pi) radianes “?
Nota: π = 3,14
Teniendo en cuenta que π es aproximadamente 3,14, podríamos decir que es la longitud del arco de circunfrencia que mide 3,14 veces el radio.
CONVERSIONES ENTRE GRADOS Y RADIANES
Los grados y los radianes son dos diferentes sistemas para medir ángulos. Un ángulo de 360o equivale a 2π radianes; un ángulo de 180o equivale a π radianes (recordemos que el número π = 3.14159265359…). Las equivalencias entre los cinco principales ángulos se muestran en las siguientes tres figuras:
Para convertir de grados a radianes o viceversa, partimos de que 180o equivalen a π radianes; luego planteamos una regla de tres y resolvemos.
EJEMPLO A: Convertir 38o a radianes.Primero planteamos la regla de tres. Nótese que la x va arriba, en la posición de los radianes.
Despejamos x, también simplificamos.
Por último obtenemos el equivalente decimal con calculadora:
x = 0.6632 radianes
EJEMPLO B: Convertir 2.4 radianes a grados.Primero planteamos la regla de tres. Nótese que la x va abajo, en la posición de los grados.
Despejamos x.
Por último obtenemos el equivalente decimal con calculadora:
x = 137.5099o
TRIÁNGULOS
Un triángulo es un polígono de tres lados.
Propiedades de los triángulos
1. Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su
diferencia.
2. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.
3. El valor de un ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.
El triángulo ABC
CLASIFICACION DE TRIANGULOS
Por la longitud de sus lados, los triángulos se clasifican en:
Triángulo equilátero: si sus tres lados tienen la misma longitud (los tres ángulos
internos miden 60 grados ó radianes.) Triángulo isósceles: si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se
oponen a estos lados tienen la misma medida. Triángulo escaleno: si todos sus lados tienen longitudes diferentes. En un triángulo
escaleno no hay ángulos con la misma medida.
Equilátero Isósceles Escaleno
Por la amplitud de sus ángulos, los triángulos se clasifican en:
Triángulo rectángulo: si tiene un ángulo interior recto (90°). A los dos lados que conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa.
Triángulo obtusángulo: si uno de sus ángulos es obtuso (mayor de 90°); los otros dos son agudos (menor de 90°).
Triángulo acutángulo: cuando sus tres ángulos son menores a 90°; el triángulo equilátero es un caso particular de triángulo acutángulo.
Rectángulo Obtusángulo Acutángulo
TEOREMA DE PITAGORAS
El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual, a la suma de los cuadrados de los dos catetos (los dos lados menores del triángulo rectángulo: los que conforman el ángulo recto). Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes y , y la medida de la hipotenusa es , se establece que:
Ejemplo: Dado el triángulo de lados b=3, a=4. Determinar la medida de c.
c2=a2+b2=42+32=16+9=25 , luego c=√25=5
LOGICA, CONJUNTOS Y NUMEROS REALES
PROPOSICIONES
Una proposición o enunciado es una oración que puede ser falsa o verdadera pero no ambas a la vez, La proposición es un elemento fundamental de la lógica matemática. A continuación se tienen algunos ejemplos de proposiciones válidas y no válidas, y se explica por qué algunos enunciados no son proposiciones; Las proposiciones se indican
UNDECIMO
por medio de una letra minúscula, dos puntos y la proposición propiamente dicha.
Ejemplo:
p: La tierra es plana.q: −17 + 38 = 21r: x > y-9s: El Morelia será campeón en la presente temporada de Fut-Bol.t: Hola ¿como estas?w: Lava el coche por favor.
Proposiciones Simples: También denominadas atómicas. Son aquellas proposiciones que no se pueden dividir.
Ejemplo:
El cielo es azul. (Verdadero)
Conectivos lógicos y proposiciones compuestas:Existen conectores u operadores lógicas que permiten formar proposiciones compuestas (formadas por varias proposiciones).
Los operadores o conectores básicos son:
Conjunción: se simboliza por “∧”
La proposición compuesta p ∧ q es verdadera sólo cuando ambas proposiciones p y q lo son
p q p∧q
V V V
V F F
F V F
F F F
Disyunción: se simboliza por “∨”
p qp⋁q
V V V
V F F
F V F
F F F
La proposición compuesta p ∨ q es verdadera si al menos una de las proposiciones p o q lo es.
Condicional: se simboliza por “⇒”
pq p⇒q
V V V
V F F
F V V
F F V
La proposición compuesta p ⇒ q es falsa cuando el antecedente p es verdadero y el consecuente q es falso.
Bicondicional: se simboliza por “⇔”
p qp ⟺
q
V V V
V F F
F V F
F F V
La proposición compuesta p ⇔ q es verdadera cuando ambas proposiciones p y q tienen el mismo valor de verdad.
La Negación
La operación unitaria de negación, no es cierto que se representa por “¬” y tiene la siguiente tabla de verdad de verdad
p ¬p
V F
F V
Ejemplo:
FUNCIONES PROPOSICIONALES
Son expresiones dadas en términos de una o varias variables.
Para las expresiones del tipo “x > 3” el valor verdadero o falso está determinado por los valores de la variable, en este ejemplo “x”, por lo tanto se dice que el valor del predicado está en función de la variable. Una función proposicional se simboliza mediante letras mayúsculas P, Q, R, S…, etc.
Ejemplo:
P(x )=x>3Para P(4) = verdadero P(2) = falso
PROPOSICIONES CON CUANTIFICADORES
Los cuantificadores son símbolos utilizados para indicar cuántos elementos de un conjunto dado cumplen con cierta propiedad. Existen muchos tipos de cuantificadores, pero quizás los más estudiados y utilizados sean:
Cuantificador universal
Para todo x, y...
Cuantificador existencial
Existe al menos un x, y...
NEGACIÓN DE PROPOSICIONES CON CUANTIFICADORES
La negación de la proposición en la cual se ha utilizado el cuantificador universal, corresponde a una proposición en la cual se utiliza el cuantificador existencial; a su vez, la negación de una proposición en la cual se ha usado el cuantificador existencial, corresponde a una proposición en la cual se utiliza el cuantificador universal.
Ejemplo:
Negar las siguientes proposiciones cuantificadas.
a. Todos los números naturales son impares
Negación: Existe por lo menos un números natural que no es impar
b. Existe un número par que no es múltiplo de 4.
Negación: Todos los números pares son múltiplos de 4
CONJUNTOS
Un conjunto es la reunión en un todo de objetos bien definidos y diferenciables entre si, que se llaman elementos del mismo.
Si a es un elemento del conjunto A se denota con la relación de pertenencia a ∈ A. En caso contrario, si a no es un elemento de A se denota a ∉ A. Ejemplos de conjuntos:
o ∅ : el conjunto vacío, que carece de elementos. o N : el conjunto de los números naturales. o Z: el conjunto de los números enteros. o Q : el conjunto de los números racionales. o R: el conjunto de los números reales. o C: el conjunto de los números complejos.
Se puede definir un conjunto:
o por extensión, enumerando todos y cada uno de sus elementos. o por comprensión, diciendo cuál es la propiedad que los caracteriza.
Un conjunto se suele denotar encerrando entre llaves a sus elementos, si se define por extensión, o su propiedad característica, si se define por comprensión.
Ejemplo:
o A := {1,2,3, ... ,n} o B := {p∈Z | p es par}
Se dice que A está contenido en B (también que A es un subconjunto de B o que A es una parte de B), y se denota A ⊆B, si todo elemento de A lo es también de B, es decir, a∈ A⇒ a∈B. Dos conjuntos A y B se dicen iguales, y se denota A = B, si simultáneamente A ⊆B y B ⊆A; esto equivale a decir que tienen los mismos elementos (o también la misma propiedad característica).
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Unión de conjuntos:
Al realizar esta operación estamos conformando un nuevo conjunto, que se llama
conjunto solución, que contiene todos los elementos o miembros de los conjuntos que se
estén uniendo, sin que ninguno de sus miembros se repita en el conjunto solución.
Ejemplo:
Dados: A = {-1, 1, 2, 3} B = {2, 4, 6} C= {4, 5, 7, 8}
A u B = {-1, 1, 2, 3, 4, 6}
Observe que el resultado A u B no contiene elementos repetidos
A u B u C = {-1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
Intersección de conjuntos:
Esta operación entre conjuntos conforma un nuevo conjunto que contenga los elementos
o miembros comunes a los conjuntos que hagan parte de esta operación. Por ejemplo si
consideramos los conjuntos A, B y C arriba mencionados, al operar; se obtiene:
A n B = {2}
B n C = {4}
A n B n C = { } Puesto que no hay ningún elemento que esté en los tres conjuntos.
(A u B) n C Observe que en este ejemplo se está aplicando la propiedad asociativa para
la operación de unión entre A y B y a su resultado hacer la intersección con C.
(A u B) n C = {4}
Diferencia de conjuntos:
Cuando se analiza la diferencia entre A y B, se obtiene como Respuesta
exclusivamente los elementos del conjunto A. Por ejemplo si consideramos los
conjuntos A, B, C que aparecen arriba:
A - B = {1, 1, 3}
B - C ={2, 6}
B - A = {4, 6}
C - B = {5, 7, 8}
Diferencia simétrica de conjuntos:
Se presenta cuando se consideran todos los elementos que sólo pertenecen los
conjuntos, sin tener en cuenta lo que tienen en común. En otras palabras, en la diferencia
simétrica no se tiene en cuenta ningún elemento de la intersección entre los conjuntos, los
demás sí. Por ejemplo, dados los conjuntos
A = {-1, 1, 2, 3,} B = {2, 4, 6} C = {4, 5, 7, 8}
y U = {-1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} (Conjunto Universal o referencial)
Complemento de un conjunto:
Se buscan todos lo elementos que le hagan falta a un conjunto para convertirse o ser
el conjunto universal o referencial. Por ejemplo:
A´= {4, 5, 6, 7}
B´= {-1, 1, 3, 5, 7, 8}
C´= {-1, 1, 2, 3, 6,}
(A u B)´={5, 7, 8}
DIAGRAMAS DE VENN
Los conjuntos de suelen representar gráficamente mediante "diagramas de Venn", con una línea que encierra a sus elementos. Así, todas las operaciones entre conjuntos se pueden representar gráficamente con el fin de obtener una idea más intuitiva.
A⊂B
A∪B
A∩B
A−B
A∆ B
INTERVALOS
Se llama intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre otros dos dados: a y b que se llaman extremos del intervalo.
CLASES DE INTERVALOS
Intervalo abierto
(a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que b.
(a, b) = {x / a < x < b}
Intervalo cerrado
[a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b.
[a, b] = {x / a ≤ x ≤ b}
Intervalo semiabierto por la izquierda
(a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores o iguales que b.
(a, b] = {x / a < x ≤ b}
Intervalo semiabierto por la derecha
[a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores que b.
[a, b) = {x / a ≤ x < b}
Semirrectas
x > a
(a, +∞) = {x / a < x < +∞}
x ≥ a
[a, +∞) = {x / a ≤ x < +∞}
x < a
(-∞, a) = {x / -∞ < x < a}
x ≤ a
(-∞, a] = {x / -∞ < x ≤ a}
OPERACIONES CON INTERVALOS
Las operaciones que nos interesa definir aquí son: la intersección, la unión y la diferencia de conjuntos.
Intersección:
Sean y conjuntos. Se define la intersección de y y se denota , al conjunto cuyos elementos pertenecen a y también a .
Simbólicamente se tiene que:
Ejemplo:
Si y . Determine
Solución:
Geométricamente podemos representar los conjuntos y de la manera siguiente:
De aquí podemos observar que los elementos que están en y también en son los números reales que están entre 2 y 5, incluyendo a éstos; por lo que:
Unión de intervalos
Sean y y conjuntos. Se define la unión de y y se denota , al conjunto cuyos elementos pertenecen al menos a uno de los dos conjuntos y .
Simbólicamente se tiene que: A∪B={xx ∈ A o x∈B }Ejemplo:
Si y .Determine
Solución:
Representaremos a y a geométricamente
De aquí podemos observar que los elementos que están en o en , son los números reales que están entre -3 y 7, incluyendo a éstos, así:
Diferencia
Sean y conjuntos. Se define la diferencia de y y se denota , al conjunto cuyos elementos pertenecen a y no a .
Ejemplo:
Si y , determine y
Solución
Representemos a y a geométricamente.
De aquí podemos observar que:
i.
ii. ; o sea:
DESIGUALDADES
Una desigualdad es una expresión matemática que contiene un signo de desigualdad. Los signos de desigualdad son:
≠ no es igual < menor que > mayor que ≤ menor o igual que ≥ mayor o igual que
Propiedades de las desigualdades
1. Una desigualdad no varía si se suma o resta la misma cantidad a ambos lados:
a < b / ± c (sumamos o restamos c a ambos lados)
a ± c < b ± c
Ejemplo:
2 + x > 16 / – 2 (restamos 2 a ambos lados) 2 + x − 2 > 16 − 2 x > 14
2. Una desigualdad no varía su sentido si se multiplica o divide por un número positivo:
a < b / • c (c > 0) (c es positivo, mayor que cero) a • c < b • c a > b / • c (c > 0) (c es positivo, mayor que cero) a • c > b • c
Ejemplo:
3 ≤ 5 • x / :5 3/5 ≤ x esto es, todos los reales mayores o iguales que 3/5
3. Una desigualdad varía su sentido si se multiplica o divide por un número negativo:
a < b / • c (c < 0) (c es negativo, menor que cero) a • c > b • c a > b / • c (c < 0) (c es negativo, menor que cero) a • c < b • c
Ejemplo:
15 – 3 • x ≥ 39 / −15 − 3 • x ≥ 39 – 15 /: −3 x ≤ 24: (−3) x ≤ − 8. Esto es, todos los reales menores o iguales que −8.
De manera recíproca, cuando la parte de la incógnita resulta negativa deben invertirse los signos a ambos lados y cambiar el sentido de la desigualdad, ya que no puede haber desigualdades con incógnita negativa.
INECUACIONES
Las inecuaciones son desigualdades algebraicas en la que sus dos miembros se relacionan por uno de estos signos:
< menor que 2x − 1 < 7
≤ menor o igual que 2x − 1 ≤ 7
> mayor que 2x − 1 > 7
≥ mayor o igual que 2x − 1 ≥ 7
La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la variable que la verifica.
La solución de la inecuación se expresa mediante:
1. Una representación gráfica.2. Un intervalo.
Ejemplo:
1. 2x − 1 < 7
2x < 8 x < 4
(-∞, 4)
2. 2x − 1 ≤ 7
2x ≤ 8 x ≤ 4
(-∞, 4]
3. 2x − 1 > 7
2x > 8 x > 4
(4, ∞)
4. 2x − 1 ≥ 7
2x ≥ 8 x ≥ 4
[4, ∞)
INECUACIONES EQUIVALENTES
Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o se les resta un mismo número, la inecuación resultante es equivalente a la dada.
3x + 4 < 5 3x + 4 − 4 < 5 − 4 3x < 1
Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número positivo, la inecuación resultante es equivalente a la dada.
2x < 6 2x : 2 < 6 : 2 x < 3
Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número negativo, la inecuación resultante cambia de sentido y es equivalente a la dada.
−x < 5 (−x) · (−1) > 5 · (−1) x > −5
SOLUCIÓN DE INECUACIONES
Inecuaciones de primer grado con una incógnita
Pasos:1º Quitar corchetes y paréntesis.2º Quitar denominadores.3º Agrupar los términos en x a un lado de la desigualdad y los términos independientes en el otro.4º Efectuar las operaciones5º Si el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por −1, por lo que cambiará el sentido de la desigualdad.6º Despejamos la incógnita.7º Expresar la solución de forma gráfica y con un intervalo.
Ejemplo:
[3, +∞)
Inecuaciones de segundo grado
Ejemplo:
Consideremos la inecuación:
x2 − 6x + 8 > 0
La resolveremos aplicando los siguientes pasos:
1ºIgualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado.x2 − 6x + 8 = 0
2º Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:
P(0) = 02 − 6 · 0 + 8 > 0P(3) = 32 − 6 · 3 + 8 = 17 − 18 < 0P(5) = 52 − 6 · 5 + 8 = 33 − 30 > 0
3º La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que el polinomio.
S = (-∞, 2) (4, ∞)
x2 + 2x +1 ≥ 0
x2 + 2x +1 = 0
(x + 1)2 ≥ 0
Como un número elevado al cuadrado es siempre positivo la solución es
x2 + x +1 > 0
x2 + x +1 = 0
Cuando no tiene raíces reales, le damos al polinomio cualquier valor si:
El signo obtenido coincide con el de la desigualdad, la solución es .El signo obtenido no coincide con el de la desigualdad, no tiene solución.
Inecuaciones racionales
Las inecuaciones racionales se resuelven de un modo similar a las de segundo grado, pero hay que tener presente que el denominador no puede ser cero.
Ejemplo:
1º Hallamos las raíces del numerador y del denominador.
x − 2 = 0 x = 2
x − 4 = 0 x = 4
Solución
x2 + 2x +1 ≥ 0 (x + 1)2 ≥ 0
x2 + 2x +1 > 0 (x + 1)2 > 0
x2 + 2x +1 ≤ 0 (x + 1)2 ≤ 0 x = − 1
x2 + 2x +1 < 0 (x + 1)2 < 0
Solución
x2 + x +1 ≥ 0
x2 + x +1 > 0
x2 + x +1 ≤ 0
x2 + x +1 < 0
2º Representamos estos valores en la recta real, teniendo en cuenta que las raíces del denominador, independientemente del signo de la desigualdad, tienen que ser abiertas.
3ºTomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:
4º La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que la fracción polinómica.
S = (-∞, 2] (4, ∞)
Pasamos el 2 al primer miembro y ponemos a común denominador.
Hallamos las raíces del numerador y del denominador.
−x + 7 = 0 x = 7
x − 2 = 0 x = 2
Evaluamos el signo:
S = (-∞, 2) (7, ∞)
INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Ejemplo:
Resolver la desigualdad
La solución global es:
Resuelva la siguiente desigualdad.
El conjunto solución es:
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