ONDAS ESTACIONARIAS EN CUERDAS

1.- OBJETIVOS

El objetivo de esta práctica es doble: por un lado aprender cómo se maneja un

osciloscopio, y por otro, utilizando este aparato, el estudio de las ondas estacionarias

que se producen en una cuerda sujeta por sus dos extremos.

2.- FUNDAMENTO TEORICO

Las ondas estacionarias se producen cuando una onda viajera llega a una

superficie y se refleja totalmente. Existen varios tipos de ondas estacionarias: podemos

diferenciar fácilmente aquellas que se producen al pulsar una cuerda tensa, de las que se

producen al excitar por uno de sus extremos una columna gaseosa. En esta práctica nos

centraremos únicamente en las ondas producidas en una cuerda tensa.

Supongamos una onda cualquiera de frecuencia angular ω y número de ondas k,

que se propaga de izquierda a derecha en la dirección del eje x:

( )tkxsen01 ω−φ=φ (1)

La onda incide perpendicularmente en una pared perfectamente reflectante, de forma

que da lugar a una onda reflejada que tendrá la misma amplitud, la misma frecuencia

angular y el mismo número de ondas que la onda incidente, pero que se propagará de

derecha a izquierda en la dirección del eje x:

( )tkxsen02 ω+φ=φ (2)

Ambas ondas se superponen dando lugar a lo que se denomina onda estacionaria.

Veamos las ecuaciones de esta superposición:

( ) ( )[ ] )kxsen()tcos(2tkxsentkxsen 0021 ωφ=ω++ω−φ=φ+φ=φ (3)

Como es fácil ver en esta última ecuación, la superposición de las dos ondas

viajeras da lugar a una onda que no es del mismo tipo que las que la provocan. Se

observa que existen puntos en los que la oscilación resultante es máxima, distantes entre

sí media longitud de onda, que denominaremos vientres o antinodos, que se alternan con

otros en los que la vibración es nula, denominados nodos. La distancia entre un vientre

y un nodo sucesivos es un cuarto de la longitud de onda de las ondas que se superponen.

Además en los vientres la amplitud de vibración es el doble que la amplitud de las

ondas originales, por lo que la energía ondulatoria en los vientres es cuatro veces mayor

que en la onda original. Este aparente contrasentido deja de serlo puesto que en los

nodos no hay energía puesto que no hay vibración alguna. Por tanto lo que sucede al

producirse una onda estacionaria es que la energía se redistribuye, concentrándose en

los vientres a costa de los nodos.

Las posiciones donde se producen los nodos son aquellas en las que:

sen(kx) = 0 ⇒ kx = 0, π, 2π, ... (4)

mientras que los antinodos o vientres se producen en las posiciones intermedias, es

decir cuando:

sen(kx) = 1 ⇒ kx = 0, π/2, 3π/2, ... (5)

En una cuerda tensa los dos puntos extremos corresponden con un nodo de la

onda estacionaria. De acuerdo con lo anterior y teniendo en cuenta que k=2π/λ debe

haber un número entero de semilongitudes de onda que ajuste la longitud total de la

cuerda, es decir:

L2

n n =λ (6)

de donde se deduce que una onda estacionaria no pude tener una longitud de onda

cualquiera, sino que estas longitudes de onda posibles quedan delimitadas por la

longitud de la cuerda:

nL2

n =λ (7)

y las frecuencias correspondientes:

1n

n nL2vnv

ν==λ

=ν (8)

denominadas frecuencias naturales o armónicos, siendo el valor más bajo,

correspondiente a n = 1, la frecuencia fundamental.

Teniendo en cuenta la expresión para la velocidad de propagación de ondas en

cuerdas, que hemos visto en clase:

l

Tvρ

= (9)

donde T es la tensión a la que está sometida la cuerda y ρl su densidad lineal (masa por

unidad de longitud), es fácil demostrar que:

( ) TL41

l2

21 ρ

=ν (10)

3.- MANEJO DEL OSCILOSCOPIO

A continuación pasamos a explicar qué es un osciloscopio y como hay que

utilizarlo.

3.1.- Generalidades. Fundamento teórico:

El osciloscopio es un aparato que permite visualizar en una pantalla

movimientos vibratorios eléctricos o mecánicos (en cuyo caso se precisará de un

transductor que los transforme en señales eléctricas).

El elemento principal del osciloscopio es el tubo de rayos catódicos, donde se

desvía un haz electrónico por medio de campos eléctricos o magnéticos, gobernados por

la magnitud eléctrica a visualizar. Los electrones son emitidos por un cátodo

incandescente, acelerados por la diferencia de potencial existente entre éste y el ánodo,

e inciden finalmente sobre una pantalla fluorescente. La luminosidad del punto de

impacto procede de la transformación de la energía cinética de los electrones en energía

luminosa. En su camino, el haz de electrones atraviesa dos pares de placas, colocadas

horizontalmente (Y1,Y2) y verticalmente (X1,X2), a las cuales pueden aplicarse

potenciales determinados. Si dichas placas están desconectadas, el haz de electrones

incide en el centro de la pantalla. Sin embargo, si se aplican potenciales determinados a

las placas, se producirá una desviación horizontal (debida a X1,X2) y/o vertical (debida

a Y1,Y2) (ver figura 1). Si las tensiones aplicadas son variables con el tiempo el punto

de impacto del haz en la pantalla también cambiará, y si la frecuencia de la tensión es lo

suficientemente alta (> 100 Hz) la impresión al ojo humano es la de un trazo continuo

sobre la pantalla.

Si se quiere visualizar la dependencia con el tiempo de una determinada señal

eléctrica, ésta se aplica a las placas de desviación vertical (Y1,Y2). A su vez, un

dispositivo interno al aparato aplica una tensión que varía linealmente con el tiempo a

las placas de desviación horizontal (X1,X2). A este proceso interno se le denomina

"barrido”. De esta forma el haz tiene una velocidad constante en el eje horizontal, y un

regreso rápido al punto inicial de partida.

Figura 1

Si se quiere visualizar la relación entre dos señales eléctricas, bastará aplicar una

de ellas a las placas de desviación vertical, y la otra a las de desviación horizontal

(función XY en nuestro osciloscopio). En esta situación el barrido interno queda

automáticamente desconectado.

Otra forma de visualizar la relación entre dos señales eléctricas consiste en

mantener el barrido interno horizontal y aplicar alternativamente las dos señales a las

placas de desviación vertical (Y1,Y2). Si la frecuencia de barrido es lo suficientemente

alta su visualización es aparentemente simultánea al ojo humano (función DUAL en

nuestro osciloscopio).

El osciloscopio es un instrumento delicado. Los mandos TIME/DIV y

VOLTS/DIV no son continuos, deben manipularse con cuidado y nunca deben ser

forzados.

3.2.- Descripción del aparato:

En la figura 2 se representa el panel frontal del osciloscopio HM 303-4, que

utilizaremos en la práctica. A continuación se describen las funciones realizadas por los

mandos de control principales del osciloscopio.

Figura 2: Panel frontal del osciloscopio.

INTENS (Brillo)

Este mando permite variar la intensidad del punto luminoso de la pantalla. El brillo

debe ser el necesario y suficiente para que la imagen sea visible (la presencia de un halo

luminoso alrededor de la imagen indica un exceso de intensidad y, por lo tanto, se ha de

evitar).

FOCUS (Enfoque)

Este mando permite obtener una imagen nítida sobre la pantalla.

X-POS

Este mando permite el desplazamiento del haz en dirección horizontal.

TIME/DIV

Este mando permite fijar los coeficientes de tiempo (velocidad de barrido) de la base de

tiempos de 0.2 s/división hasta 0.1 μs/div.

X-Mag.(x10): Expansiona el eje X en un factor 10 (reduce el coeficiente de tiempo por

el factor 10). Permite por lo tanto una resolución máxima de 10 ns/div.

VOLTS/DIV (Amplificador vertical)

Este mando permite amplificar o atenuar la señal de entrada por el canal I o II. El factor

de amplificación es indicado en torno al mando.

Y-Mag.(x5): Aumenta la sensibilidad por el factor 5. La resolución máxima será por lo

tanto de 1mV/div.

Los mandos TIME/DIV y VOLTS/DIV tienen un botón central con una flecha que se

utiliza para calibrar los coeficientes de tiempo y la amplificación vertical. Están

adecuadamente colocados. No tocarlos.

Y-POS

Este mando permite el desplazamiento del haz en dirección vertical.

INPUT (Canal I o II)

Entrada por el canal I o II de señales que producen deflexión vertical.

AC-DC

En la posición AC se elimina cualquier componente continua que se encuentre en la

señal de entrada. En la posición DC no.

OVERSCAN

Indica si el haz o partes de la señal salen de la retícula en dirección vertical. Por la

posición del indicador luminoso se reconoce en qué dirección ha salido el haz de la

pantalla.

DUAL

Permite visualizar simultáneamente las señales introducidas por los canales I y II,

produciendo ambas deflexiones verticales.

XY

Permite visualizar simultáneamente las señales introducidas por los canales I y II. Sin

embargo, la señal introducida por el canal II es la utilizada para producir la deflexión

horizontal.

TRIGGERING (Sincronización)

Con el fin de obtener una imagen estable, es necesario comenzar el barrido

sincrónicamente con el ciclo de la señal que se introduce. Por eso el barrido debe ser

disparado por dicha señal externa, o por alguna otra que mantenga alguna relación

temporal fija con la que se quiere visualizar.

4.- SISTEMA EXPERIMENTAL

El sistema experimental consta de los siguientes aparatos:

- Sonómetro WA-9611 de la marca PASCO.

- Generador de funciones (0.5 A).

- Sistema de masas y palanca.

- Conjunto de bobinas excitatriz y detectora WA-9613 de la marca PASCO.

- Osciloscopio de dos canales.

Figura 3: Esquema del montaje para el desarrollo de la práctica.

Figura 4: Posiciones de la masa en la palanca de tensión.

5.- METODO EXPERIMENTAL

5.1.- Posición de los mandos del osciloscopio para su puesta en marcha:

Antes de encender el osciloscopio, poner los mandos en las posiciones siguientes:

-Mandos INTENS, X-POS, Y-POS ( I y II ), LEVEL en posición intermedia.

-No tocar los tres mandos con flecha (TIME/DIV y VOLTS/DIV en (CH I, CH II)); se

utilizan para la calibración y ya está hecha.

-Mando de amplificación vertical del canal 1 en 5 V/div.

-Mando de amplificación vertical del canal 2 en 0.1 V/div.

-Mando de barrido en 2 ms/div. En algunos casos habrá que cambiarlo a 1 ms/div.

-Teclas X-Mag, Y-Mag (CH I y CH II) sin pulsar.

-Canales I y II en AC (tecla AC/DC sin pulsar).

-La tecla de acoplamiento de entrada debe de estar en la posición GD en ambos canales

(tecla GD sin pulsar).

-Tecla X-Y sin pulsar.

-Tecla DUAL pulsada.

-Tecla TRIG. EXT. sin pulsar.

5.2.- Armónico fundamental para una cuerda sometida a diferentes tensiones:

En esta parte de la práctica pretendemos medir la densidad lineal de una cuerda de

guitarra, midiendo la frecuencia del armónico fundamental para diferentes tensiones.

Para ello seguiremos los siguiente pasos:

a) Poner el osciloscopio en funcionamiento pulsando la tecla POWER, y centrar los

trazos luminosos con los mandos X-POS, Y-POS I, Y-POS II. Con los mandos

INTENS y FOCUS ajustar la luminosidad y el enfoque óptimo del haz.

b) Montar el sistema experimental como aparece en la figura 3. Colocar con los

puentes separados 60 cm. Colgar una masa de 1 Kg de la palanca de tensión, en la

posición 1Mg (ver figura 4). Ajustar el botón de ajuste de la cuerda de modo que la

palanca de tensión quede horizontal. Colocar la bobina excitadora aproximadamente

a 5 cm de uno de los puentes, y la detectora aproximadamente en el centro entre los

dos (tener cuidado de que no coincida con ningún nodo).

c) Encender el generador de señales, con el interruptor situado en su parte trasera, y

ajustarlo para que produzca una onda sinusoidal. En la pantalla aparecerá 1000 Hz.

Mover el botón de ajuste de la frecuencia hasta unos 25 Hz. Mover el mando de

amplitud hasta su valor máximo.

d) Aumentar lentamente la frecuencia, comenzando en 25 Hz. Nótese el aumento en el

volumen del sonido producido por el sonómetro y/o un aumento en la señal del

detector recogida en la pantalla del osciloscopio para algunas frecuencias. Estas

frecuencias que resultan en una vibración máxima de la cuerda son las frecuencias

de resonancia. La primera resonancia corresponde al modo fundamental. Para medir

bien el valor de esta frecuencia, la cuerda no debe golpear la bobina detectora,

por lo que habrá que mover el mando de la amplitud del generador a valores

menores en caso de que golpee.

Apuntar en la tabla I, junto al valor de la tensión, el valor de la frecuencia de la

bobina excitadora (f) que aparece en la pantalla del generador de señales para este

modo.

e) Calcular el periodo de la señal correspondiente a la bobina excitadora T=1/f.

Medir en la pantalla del osciloscopio este periodo midiendo la distancia horizontal

pico a pico de la onda correspondiente a la bobina excitadora. Comprobar que los

dos valores son aproximadamente iguales.

f) Medir ahora el periodo de la onda recogida por el detector sobre la pantalla del

osciloscopio. Calcular su inversa, que corresponde a la frecuencia de resonancia de

la cuerda (ν1), y anotarla en la tabla I.

g) Repetir la medida de la frecuencia del modo fundamental de la cuerda colgando la

masa de 1 Kg de la palanca de tensión, en la posición 2Mg (ver figura 4), con lo que

la tensión de la cuerda es el doble que la anterior. No olvidar ajustar el botón de

ajuste de la cuerda de modo que la palanca de tensión quede horizontal antes de la

medida. Anotar los valores obtenidos para las dos frecuencias en la tabla I.

h) Repetir el apartado (f) colgando la masa de 1 Kg de la palanca de tensión, en las

posiciones 3Mg, 4Mg y 5Mg (ver figura 4). No olvidar ajustar el botón de ajuste de

la cuerda de modo que la palanca de tensión quede horizontal antes de la medida.

Anotar estas medidas en la tabla.

i) Representar en una gráfica (ν1)2 frente a T. Realizar un ajuste a ojo para obtener la

pendiente de la recta de ajuste y calcular la densidad lineal de la cuerda.

5.3.- Estudio de los primeros armónicos para una cuerda:

En esta parte de la práctica pretendemos ver los cuatro primeros armónicos de una

cuerda de guitarra, sometida a una tensión de 4Mg. Para ello seguiremos los siguiente

pasos:

j) Montar el sistema experimental como aparece en la figura 3. Colocar con los

puentes separados 60 cm. Colgar una masa de 1 Kg de la palanca de tensión, en la

posición 4Mg (ver figura 4). Ajustar el botón de ajuste de la cuerda de modo que la

palanca de tensión quede horizontal. Colocar la bobina excitadora aproximadamente

a 5 cm de uno de los puentes, y la detectora en el centro entre los dos.

k) Encender el osciloscopio y el generador de señales y prepararlos como en el

apartado anterior.

l) Aumentar lentamente la frecuencia, comenzando en 25 Hz. Buscar la resonancia

correspondiente al modo fundamental, de la misma forma que antes. Apuntar en la

tabla II el valor de la frecuencia de la bobina excitadora (f1) que aparece en la

pantalla del generador de señales y anotarla en la tabla II.

m) Medir ahora el periodo de la onda recogida por el detector sobre la pantalla del

osciloscopio. Calcular su inversa, que corresponde a la frecuencia de resonancia de

la cuerda (ν1), y anotarla en la tabla II.

Aumentar lentamente el valor de la frecuencia f y encontrar las resonancias

correspondientes al segundo, tercero y cuarto armónico, fijándose en el aumento del

volumen sonoro (desplazar el detector si es necesario). Anotar en la Tabla II los

valores f2, f3 , f4 , ν2, ν3, y ν4 los que se producen estas tres resonancias.

Rellenar la tabla y comentar los resultados.

INFORME DE LA PRÁCTICA: ONDAS EN CUERDAS.

Nombres: Grupo:

Fecha:

1.- Enunciar de forma resumida los OBJETIVOS de la práctica.

1.1. Demostrar la ecuación (10).

2.- RESULTADOS

2.1- Armónico fundamental para una cuerda sometida a diferentes tensiones:

Pantalla del generador Osciloscopio

Posición Tensión (N) f 1(Hz) T=1/f1 (s) Τonda bobina excit. (s) T onda recogida (s) ν1 (Hz)

Tabla I

Representar en papel milimetrado el cuadrado de la frecuencia ν1 en función de la

tensión. Ajustar a ojo los valores obtenidos a una recta ( ) bTa +=21ν y encontrar los

coeficientes a y b:

Valor de a (con unidades):

Valor de b(con unidades):

Valor de la densidad lineal de la cuerda (con unidades):

2.2- Estudio de los primeros armónicos para una cuerda (posición 4Mg):

Armónico f (Hz) ν (Hz) ν / ν1

1

2

3

4

Tabla II

1.- Dibujar los cuatro primeros armónicos para la cuerda tensa.

2.- Comentar los resultados de la última columna de la Tabla II.