Números reales
La recta numérica. Los números reales. Propiedades de los números reales.
Tricotomía. Transitividad. Densidad. Axioma del supremo.
Intervalos y su representación mediante desigualdades. Resolución de desigualdades de primer grado con una incógnita
y de desigualdades cuadráticas con una incógnita. Valor absoluto y sus propiedades. Resolución de desigualdades que incluyan valor absoluto.
Durante el estudio de los Conjuntos Numéricos, nos apoyamos en la representación gráfica de estos.
Esta representación consiste en asociar a cada punto de una línea recta un número, creando así una Recta NuméricaRecta Numérica.
Lo primero que debemos definir es dónde se ubicará el CERO y el largo del segmento unidad.
¿Qué necesitamos para construir una recta numérica?
El primer conjunto numérico que representamos fue el Conjunto de los Números Naturales.
Pero nos dimos cuenta que hay muchos problemas que no pueden ser resueltos sólo con los Números Naturales. Entonces ampliamos este conjunto considerando la metáfora del Espejo y así asociamos a cada número natural un número negativo.
Continuando el estudio, nos volvimos a enfrentar con situaciones donde el conjunto numérico tratado, no era suficiente para resolver variados problemas.
Puede ser en :
La estrategia entonces fue dividir el segmento La estrategia entonces fue dividir el segmento unidad en partes iguales.unidad en partes iguales.
O quizás 10, 20, 100, 1000… ¡el número de partes que se necesite!
2222 3333 4444 5555
Todos estos números forman parte del conjunto de los Números Racionales.
¿Son los Números Enteros parte del conjunto de lo Números
Racionales?
¿Habremos finalizado la construcción de una recta numérica?
¿Todos los puntos de la recta tendrán asociado un número?
Veamos el siguiente caso…
En el año 530 a. C. existió una escuela en Grecia, dedicada al estudio de la filosofía, matemática y las ciencias naturales.
Esta escuela era conocida por el nombre de su fundador como La Escuela Pitagórica.
En uno de sus estudios se encontraron con el siguiente problema:
¿Cuánto mide la ¿Cuánto mide la diagonal de un diagonal de un cuadrado cuyo lado cuadrado cuyo lado mide 1?mide 1?
Para determinar el valor de x ubicaremos el cuadrado sobre la recta numérica y también la diagonal:
¿Cuál crees que es el valor de x?
Si hacemos un acercamiento en la recta numérica, podemos tener una mejor aproximación.
¿Cuánto crees ahora que mide?
Haciendo uso de sus conocimientos, La Escuela Pitagórica calculó la medida de la diagonal utilizando el Teorema de Pitágoras
¡Calcúlalo!
¡Exactamente!
Ese punto en la recta no es nada menos que
22222
2
= 1, 41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73799 …
En una calculadora, calcula
¿Qué valor obtuviste?
2
Aquí te presentamos su valor con los primeros 65 decimales:
2
Y aun tiene más decimales …
Veamos otra situación,
Consideremos una circunferencia cuyo diámetro mide uno.
¿Cuánto mide el perímetro de esta circunferencia?
Observa la siguiente animación:
La letra se lee ‘pi’ y representa el resultado de la pregunta anterior.
Según lo que viste en la animación, ¿cuánto vale
?
= 3,1415926535 8979323846
2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 …
Estos son los primeros 100 decimales de :
Y aun tiene más decimales …
¿Qué características tienen en común estos dos números?
¿Notas alguna diferencia o similitud con los números del Conjunto de los Racionales?
Y así como estos dos números, hay muchos más en la recta numérica.
Consideremos un número decimal que posee infinitos dígitos después infinitos dígitos después
de la comade la coma. Si en estos dígitos se observa un periodoperiodo, entonces
decimos que es el resultado de una
división de dos números enterosdivisión de dos números enteros y se puede expresa como una
fracción. Hablamos de un Número Número
RacionalRacional.
Podemos pesar así,
Por otra parte, si este desarrollo decimal no posee periodono posee periodo, no se
tratará de un cuociente entre números enteros, es decir, no es
un Número Racional.
Este tipo de número recibe el nombre de Número IrracionalNúmero Irracional.
Finalmente, todos los problemas que has estudiado hasta el momento tienen solución en un solo gran conjunto en que se unen el Conjunto de los Números RacionalesConjunto de los Números Racionales y el Conjunto de los Números IrracionalesConjunto de los Números Irracionales y se conoce como
Conjunto de los Números RealesIR
De esta manera hemos completado la recta numérica,
asociando a cada punto de ella un número real.
22 partespartes
22 partespartes
3 3 partespartes
3 3 partespartes
44 partespartes
44 partespartes
55 partespartes
55 partespartes
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