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1. UNIVERSIDAD SAN MARTIN DE PORRES FACULTAD DE MEDICINA HUMANA MATEMATICA APLICADA NUMEROS REALES I 2014 1 2. EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES Se llama el Sistema de Nmero Reales a un conjunto no vaco R, dotado de 2 operaciones internas, la adicin y la multiplicacin, y se denota as: < R , + , x > Donde se considera una relacin de orden mayor denotado por > que satisface los siguientes axiomas: 2 3. EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES Axiomas de Adicin A.1. Si a, b R (a + b) R .. Clausura. A.2. Si a + b = b + a a, b R . Conmutativa. A.3. (a + b) + c = a + (b + c); a, b,c R Asociativa. A.4. Existe 0 R / a + 0 = 0 + a = a; a R ... .. Elemento neutro aditivo. A.5. a R; (-a) R / a + (-a) = (-a) + a = 0 Inverso aditivo. Axiomas de multiplicacin M.1. Si a, b R a.b R Clausura. M.2. a. b = b. a; a, b R .......Conmutativa. M.3. (a x b) x c = a x (b x c); a, b R Asociativa. M.4. 1 R / 1 x a = a x 1 = a R .. Elemento neutro mult. M.5. a R, con a 0, R / x a = a x = 1 Inv Mult. 3 4. EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES Axiomas Distributivas respecto a la adicin D.1. Si a, b, c R a x (b + c) = (a x b) + (a x c). Distributiva por la izquierda. D.2. Si a, b, c R (b + c) x a = (b x a) + (c x a) ... Distributiva por la derecha. Axiomas de igualdad I.1. a = a ... (Reflexiva). I.2. Para a, b R a = b a b . (Dicotoma). I.3. Si a = b b = a ... (Simetra). I.4. Si a = b b = c a = c .... (Transitiva). I.5. Si a = b a + c = b + c; c R . (Unicidad de adicin). I.6. Si a = b a x c = b x c; c R (Unicidad de la multiplicacin). 4 5. EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES Axiomas de Orden O.1. Si a,b, R a = b ; a > b ; a b b > c a > c ... (Transitiva). O.3. Si a > b a + c > b + c; c R ..... (Consistencia Aditiva). O.4. a > b c > 0 a x c > b x c ..... ..(Consistencia Multiplicativa). O.5. a > b c < 0 a x c < b x c ..... ..(Consistencia Multiplicativa). 5 6. EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES Definicin de sustraccin de Nmeros Reales Dado dos nmeros a y b. Se define la diferencia de a y b, como la suma de a con el inverso aditivo de b. Es decir : a b = a + ( - b ) a, b R Definicin de divisin de Nmeros Reales Dado 2 nmeros a y b. Se define el cociente de a entre b, como el producto de a con el inverso multiplicativo de b. Es decir : , a, b R, b 0 6 7. EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES TEOREMAS SOBRE ADICION Y MULTIPLICACION : a x 0 = 0 = 0 x a , a R : - a = (-1) x a , a R : a(- b) = - (a x b) = (- a) x b, a, b R : - (- a) = a , a R : (- a)(- b) = a x b , a, b R : a + c = b + c a = b , a, b, c R : a x c = b x c , c 0 a = b a, b, c R : ax(b - c) = axb - axc , a, b, c R 7 8. EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES TEOREMAS SOBRE ADICION Y MULTIPLICACION 8 9. EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES TEOREMAS SOBRE ADICION Y MULTIPLICACION : a + a = 2a, en general a + a + a + .. + a = na : a + c = x R, a 0 a x + b = 0 x = : a. b = 0 a = 0 b = 0 : (a + b) (a - b) = : a = b a = - b 9 10. LOS INTERVALOS Son conjuntos de nmeros reales que estn definidos mediante la condicin de que sus elementos satisfacen ciertas desigualdades. Entre estas tenemos : 1) Intervalo Abierto: Dado a, b R { x R / a < x 2) Intervalo Cerrado: Dado a, b R { x R / a x b } = [ a, b ] 10 a b - a b - 11. LOS INTERVALOS 3) Intervalos Semiabiertos: i) Dado a, b R { x R / a x ii) Dado a, b R { x R / a < x b } = < a, b ] 4) Intervalos Infinitos: i) Dado a, b R { x R / x a } = [ a, + > 11 a b a b a + 12. LOS INTERVALOS 3) Intervalos Semiabiertos: ii) Dado a R { x R / a < x } = < a, > iii) Dado a R { x R / x a } = < - , a ] iv) Dado a R { x R / x < a } = < - , a > 12 a + - a - a 13. OPERACIONES CON INTERVALOS CONCEPTOS BASICOS DE OPERACIONES DE CONJUNTOS 1. Reunin de Conjuntos A B, es el conjunto de elementos que pertenecen a A o B o ambos. A B = { x / x A V x B } U B A 13 A B 14. OPERACIONES CON INTERVALOS CONCEPTOS BASICOS DE OPERACIONES DE CONJUNTOS 2. Interseccin de Conjuntos A B, es el conjunto de elementos que pertenecen a A y B a la vez, es decir son elementos comunes a ambos conjuntos. A B = { x / x A x B } U A B A B a b 14 15. OPERACIONES CON INTERVALOS CONCEPTOS BASICOS DE OPERACIONES DE CONJUNTOS 3. Diferencia de Conjuntos A - B, es el conjunto de elementos de A que no pertenecen a B. A - B = { x / x A x B } U A B A B A B A B a b 15 16. OPERACIONES CON INTERVALOS CONCEPTOS BASICOS DE OPERACIONES DE CONJUNTOS 4. Complemento de un Conjunto A , es el conjunto de elementos que no pertenecen al conjunto A. A = { x / x U x A } U U A A A a 16 aA A 17. OPERACIONES CON INTERVALOS CONCEPTOS BASICOS DE OPERACIONES DE CONJUNTOS 4. Diferencia Simtrica de Conjuntos A B = { x / x (A B) x (B A) } A B = (A B) (B A) A B = (A B) - (B A) U A B A B A B a b 17 18. OPERACIONES CON INTERVALOS Ejemplos Dados los intervalos A = < -2 , 2 > ; B = [ 0 , 5 > ; C = [2 , 7] ; U = R a. A B b. B A c. A - B d. A e. (A C) B f. (A B) C Solucin: a. A B A B = < -2 , 5 > b. A B A B = [ 0 , 2 > 18 -2 0 2 5 A B -2 0 2 5 A B 19. OPERACIONES CON INTERVALOS Ejemplos Dados los intervalos A = < -2 , 2 > ; B = [ 0 , 5 > ; C = [2 , 7] ; U = R a. A B b. B A c. A - B d. A e. (A C) B f. (A B) C Solucin: c. A - B A B = -2 , 0 d. A A = < - , -2 ] [ 2 , + > 19 -2 0 2 5 A B -2 0 2 5 A AA 20. OPERACIONES CON INTERVALOS Ejemplos Dados los intervalos A = < -2 , 2 > ; B = [ 0 , 5 > ; C = [2 , 7] ; U = R a. A B b. B A c. A - B d. A e. (A C) B f. (A B) C Solucin: e. (A C) B A C = < -2 , 7 ] (A C) B = < -2 , 0 > [ 5 , 7 ] 20 v -2 0 2 5 A B C -2 0 2 5 A B C 7 7 21. OPERACIONES CON INTERVALOS Ejemplos Dados los intervalos A = < -2 , 2 > ; B = [ 0 , 5 > ; C = [2 , 7] ; U = R a. A B b. B A c. A - B d. A e. (A C) B f. (A B) C Solucin: f. (A B) C (A B) = [ 2 , 5 > (A B) C = [ 2 , 7 ] 21 -2 0 2 5 A B C 7 A 22. 2. Dados los intervalos: A=[- 4, 4 > , B= < 2, 8] , C=< -1, 10 > , U= R. Hallar: a) A B b) C B c) A C d) B C Solucion a) [- 4, 8 ] b) < 8, 10 > - 4 - 2 -1 4 8 10 c) [ -4, -1] [ 4, 10 > d) R - 22 23. INTERVALOS 3. Si x [1, 5], entonces a que intervalo pertenece: 2x + 3. Solucin Sabemos que: 1 X 5 por 2 : 2 2x 10 mas 3: 2 + 3 2x + 3 10 + 3 tenemos: 5 2x + 3 13 Entonces : ( 2x + 3) [ 5, 13 ] 23 24. INTERVALOS 4. Si ( x 3) < -3, 5 > , entonces el intervalo al que pertenece x es: Solucin Sabemos que: - 3 < x 3 < 5 Entonces: - 3 + 3 < x < 5 + 3 Por lo tanto: 0 < x < 8 x < 0,8 > 5. Si: x < 3, 9 > entonces 1/ (3x + 1) pertenece al intervalo: Solucin Sabemos que: 3 < x < 9 Por 3: 9 < 3x < 27 Mas 1: 10 < 3x + 1 < 28 (observa los extremos positivos) Entonces podemos invertir: 1/28 < 1/(3x+1) < 1/10 24 25. ECUACIONES E INECUACIONES Una ecuacin es una igualdad que es vlida solo para algunos valores. Una ecuacin lineal ( De primer grado ) se expresa en la forma: Una ecuacin Cuadratica ( De segundo grado ) se expresa en la forma: Es necesario tener en cuenta las siguientes reglas : 1. Si se suma o resta una misma expresin a ambos miembros de una ecuacin , la ecuacin resultante es equivalente a la dada. 2. Si a ambos miembros de una ecuacin se multiplica o se divide entre un nmero diferente a cero, la ecuacin no vara. 25 ax + b = 0 ; a 0 26. RESOLUCION DE ECUACIONES DE 2 GRADO Sea la Ecuacin: Para su resolucin se utilizar los siguientes mtodos: 1. Mtodo de la Formula General: Donde : = - 4ac se llama discriminante. Si: = - 4ac > 0 ; la ecuacin tiene 2 races reales y diferentes. Si: = - 4ac = 0 ; la ecuacin tiene 2 races iguales. Si: = - 4ac < 0 ; la ecuacin tiene 2 races imaginarias. 26 27. RESOLUCION DE ECUACIONES DE 2 GRADO 2. Mtodo de la Factorizacin: Sea la ecuacin Para su resolucin usar el Teorema: ab = 0 a = 0 b = 0 3. Mtodo de Completar Cuadrados Sea la ecuacin: Para su resolucin usar el Teorema a = b a = -b Propiedades de la races de una Ecuacin Cuadrtica Sea la ecuacin : Si sus races son: ; entonces se tiene que: 27 28. RESOLUCION DE ECUACIONES DE 2 GRADO Ejemplo 1: Dada la ecuacin : , resolver por los 3 mtodos. 1. Mtodo de la Formula General: a = 1, b = - 6 , c = 8 28 29. RESOLUCION DE ECUACIONES DE 2 GRADO 2. Mtodo de la Factorizacin (x 2) (x - 4) = 0 Aplicamos el teorema a x b = 0 a = 0 b = 0 x 2 = 0 x 4 = 0 x = 2 x = 4 3. Mtodo de Completar Cuadrados: Sea la ecuacin Para su resolucin usar el Teorema: a = b a = -b 29 30. ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR Forma General: Teorema de Cardamo Viete Sean: , las n raices de la ecuacion polinomica. 1. Suma de raices : 2. Producto de raices: 30 31. ECUACIONES POLINOMIALES 1. Resolver la ecuacin: , indicar la menor raiz de la ecuacion. Solucin 1 - 5 6 4 - 8 2 2 - 6 0 8 (x- 2)(x- 2)(x- 2)(x +1)= 0 1 - 3 0 4 0 .(x + 1) = 0 2 2 -2 -4 x = 2, multiplicidad 3 1 -1 -2 0 x = - 1 2 2 2 1 1 0 31 32. EJERCICIOS Y PROBLEMAS Resolver las siguientes ecuaciones: a) X {5 + 3x [ 5x ( 6 + x)]} = - 5 b) c) d) e) f) g) h) 32 33. h) Hallar el valor de a para que la ecuacion en x , tenga raices iguales. i) Que valor debe tener m para que una raiz sea la inversa de la otra en: j) Dos de las raices de la ecuacion: , son 2 y 4. Hallar h + k . 33 34. INECUACIONES Una inecuacin es toda desigualdad donde existe una o mas cantidades desconocidas llamadas variables. Las inecuaciones de una variable son proposiciones de la forma: P(x) > 0 , P(x) < 0 , P(x) 0 , P(x) 0 Teoremas 1. Si a - b 3. Si a 0 a x c b x c 5. Si a 0 6. tiene el mismo signo que a, es decir: i. a > 0 > 0 ii. a < 0 < 0 7. Si a y b tienen el mismo signo y si: a 0 (a > 0 b > 0) (a < 0 b < 0) 9. Si a x b < 0 (a > 0 b < 0) (a < 0 b > 0) 34 35. INECUACIONES 10. Si > 0 , b 0 (a > 0 b > 0) (a < 0 b < 0) 11. Si < 0 , b 0 (a > 0 b < 0) (a < 0 b > 0) 12. Si a 0 b 0 a > b 13. Si b 0 ; 14. Si b 0 ; 15. Si b > 1 x < y 16. Si 0 y 35 36. INECUACIONES 1. Inecuacin lineal. Es de la forma: Una inecuacin se caracteriza porque tiene n soluciones. Para la resolucin de una inecuacin lineal es necesario tener en cuenta los siguientes teoremas. i) Si a > b donde c R a + c > b + c ii) Si a > b ; y c > 0 a x c > b x c iii) Si a > b ; y c < 0 a x c 5x 3 2x 9 5x + 9 > 5x 3 5x +9 -3x > 6 x < -2 S = {x R / x < -2} S = 36 ax + b > 0 ; ax + b 0 ; ax + b < 0 ; ax + b 0 - - 2 37. INECUACIONES 3. Determinar el valor de verdad de la siguiente afirmacion: Si, ( 5 4x ) < - 10 , 5 > SOLUCION 37 38. INECUACIONES Para hacer mas sencilla la demostracion: 2x 1 3x + 2 Entonces tenemos: - 2x 4 / 3 2/ 3 0 - 7/ 3 Si: - 10 < 5 4x < - 5 , Sumamos: - 5 -10 5 < - 4x < 5 5 Obtenemos:.. - 15 < - 4x < 0 Dividimos entre: -4. 15/4 > x > 0 Por 3...45/4 > 3x > 0 Sumamos 2 45/4 + 2 > 3x + 2 > 0 + 2 Entonces obtenemos:.. 53/4 > 3x + 2 > 2 38 39. INECUACIONES Observa que los extremos de la inecuacion son de igual signo por lo tanto podemos invertir la inecuacion. La inecuacion quedara: 4/ 53 < < 1/ 2 por 7/ 3:- 28/ 159 > - > - 7/ 6 sumar: 2/ 3 ..2/3 28/ 159 > 2/3 - > - 7/ 6 + 2/ 3 entonces: - 1/ 2 < 2/ 3 - < 26/ 53 entonces la afirmacion es verdadera. 39 40. INECUACION 4. Si: x [ - 2 , 0 ], a que intervalo pertenece la expresion : Solucin Si:.. 2 x 0 Por 1 ... 0 x 2 Elevamos al cuadrado: . .0 4 Por -1 :- 4 - 0 Sumar: 4 -4 + 4 4 - 0 + 4 Queda 0 4 - 4 Sacamos la raz cuadrada: 0 2 Por 3/2 0 3 Entonces: [ 0, 3 ] 40 41. INECUACIONES Ejercicios: 1. Si: [ - 5/2 , - 1/2 ]. A que intervalo pertenece x Rpta. [ - 4, 4/5 ] 2. Si: [ 8, 16 ], hallar el valor de m, n si x [ m, n ]Rpta[ 17/4, 3/2 ] 3. Si x < - 4, - 2 > entonces a que intervalo pertenece: Rpta 4. Si x R, entonces la expresion: ..Rpta: 41 42. INECUACIONES 5. Resolver: Solucin mcm: 12.. 3( 3x 1) 36( 5 2x ) 4( 4 2x) reduciendo: 89 x 199 entonces:.. X 199 / 89 6. Resolver: Solucion: Asi: mcm: 4 mcm: 2 - 12x < - 14 x 2 x > 7/6 x 2 7/6 2 c.s. X < 7/6 , 2 > 42 43. INECUACIONES 2. Inecuacin de Segundo Grado Es de la forma : donde a , b , c son nmeros reales, a 0 Para la resolucin, consideramos los siguientes teoremas: i) Si utilizamos el mtodo de factorizacin: Si: a x b > 0 ( a > 0 b > 0 ) ( a < 0 b < 0 ) Si: a x b < 0 ( a > b b < 0 ) ( a < 0 b > 0 ) Se utiliza los mismos teoremas para II. Si utilizamos el mtodo de completar cuadrados: Si: b 0 a < - a > Si: b 0 a > - a < es decir: - < a < 43 44. INECUACIONES Ejemplo: Resolver por el mtodo de factorizacin. Se usara el teorema a x b > 0 (a > 0 b > 0) (a < 0 b < 0) x < - , -2 > < 3 , + > 44 - 2 3 45. INECUACIONES Ejemplo: Resolver: por el mtodo de completar cuadrados. Se usar el teorema x < -1 , 5/3 > 45 - 1 5/3 46. INECUACIONES Metodo de los puntos criticos: 3. Resolver: Analizamos primero el discriminante: , entonces 2 puntos criticos Hallamos los puntos criticos( p.c) multiplicamos por: - 1: 1. Factorizamos: ( 3x 2 ) ( 2x 1 ) 0 2. Hallamos los P.C.: x = 2/3 y x = 1/2 3. + + 1/2 2/3 C.S. [ 1/2 , 2/3 ] 46 - 47. INECUACION 4. Resolver: Analizamos el discriminante: , , un solo P.C. Factorizamos: Entonces un solo P.C: X = 3 + + 3 C.S. { 3 } 47 48. INECUACIONES 5. Resolver: Analizamos el discriminante. ,no hay punto critico. 9 20 0, no hay punto critico. C. S. R 48 + 49. INECUACION 6. Resolver: Solucin Para resolver este tipo de inecuaciones se separa la inecuacion en dos inecuaciones: ( x + 3 )( x 2 ) PC: X = -3 y X= 2 PC: X = 1 multipli. 2 + + -3 1 2 C.S : R - < -3, 2 > 49 + + ++ _