VI. NEPRAVI VISESTRUKI INTEGRAU

Form ula

Slino nepravim jednostrukim integralima (vidi dio II 8 Repetitorija) pod nepravim dvostrukim integralom funkcije z = f (x, y) uzetim po itavoj ravnini X Y ili po. njenom

beskonanom dijelu razumije se granina vrijednost tog integrala uzetog po konanom dijelu cs ravnine X Y, kad taj dio cs tei u beskonanost.

To znai: oo oo J J f(x,y) dx dy = IJ~ J J f(x,y) dx dy.

-60 -oo (J

Kae se da nepravi integral postoji, odnesno konvergira, ako ta) limes postoji. Ako limesa nema ili je beskonaan, nepravi integrl\l ne postoji, odnosno divergira. Na slian nain definira se nepravi dvostruki integral, ako integrand z = f (x, y) tei u beskonanost u kona-nom podruju integracije cs ravnine X Y. . Postojanje prvog nepravog dvostrukog integra1a kazuje geometrijski da valjkovitom tijelu s beskonano velikom bazom moemo dodijeliti odredeni volumen, dok postojanje dnlgog nepravog integrala znai geometrijski da. i valjkovitom tijelu s vrhom, koji se protee u bIskonanost, moemo dodijeliti odredeni volumen.

Slino se tumae i nepravi trostIuki integrali.

A. Nepravi dvostruki integrali

Zadaci

u zadacima 547 - SS4 uklj~ izraunaj zadane neprave integrale, odnosno dokai da su divergentni.

oo oo

547.1 = J J e-XI-y1dxdy. -oo -oo

I:tra\inajmo taj integral kao pravi to po krugu. cs (sl. 176 a).

276

\

Uz prijelaz na polarne koordinate dobijemo: - 2,. r r J I e- pl p dp dop = I dop I e- pl p dp = 2,71' \- ! e- pil = - 71' (e- r' - I) ~

o O O O

= 71'(1 - e-rl).

Sada prelazimo na limes uz r -+00:

1=71' lim (I_e-r') = 71'.

Zadani integral l konvergira i 71' je njegOva vrijednost. 1= 71'.

y f'

O x

Slika 1768.

-Q

y a

Of O ~

-a

Slika 176b.

x

Izraunajmo jo jednom isti integral l, ali kao konano podruje al uzmimo kvadrat stranice 2 a.

Prema slici 176 b imamo:

-a -oo -oo -oo

,

Odatle slijedi Euler-Poissonov integral: oo I -x'd V-e x = 71'.

- oo

277

oo oo

I I dxdy 548. I = 1 + Xl + y .

Prema slici (l76a):

2n ,

I I --,::P_d-,-P -:dql;.- = Idql I ---.e. dp'. = 27t ~ I ln (I + p.) I' = 7t ln (I + ,-1). l + pl l + pl 2 . O "

o o

1= 7t lim [In (1 + rl)] =00.

Za4ani nepravi integral divergira, odnosno ne postoji.

y

a~------------~

6

o a x

Slika 177. Slika 178.

oo oo

II dxdy 549. I = (Xl + yi + aZ)! .

278

o o

Kako je integrand pozitivan za sve x i y, a uzet je samo za z ;;;; 0, za konano podruje (J uzeti emo samo prvi kvadrant kruga, pa prema slici 177 imamo:

I~ -.~ lim ( l - al.) ==4_7t.-o' 4 '-00 . rl + al u-

\

oo oo

SSO. 1= f f

oo oo

SS2. I I dxdy -oo. -oo

[2 1t].

SS3. I = IIln y' 1 dx dy, gdje je al krug Xl + yI ;;;:; I. XI +yl

280

Kako je u ishoditu koordinatnog sustava, odnosno u sreditu kruga integrand prekinut~ jer je za x = y = O ln ~ = ln oo = oo, zadani integral je nepravi. Izreemo iz zadanog: kruga al krug XI + yi ;;i rl, gdje je T < 1, pa izraunajmo po preostalom dijelu a pripadni pravi integral.

x

Slika 179.

Prema sl. 179:

2n 1 I I ln y' ~ ~ yi = I I ln ! . p dp dtp = - I dtp I ln p . P dp = (J (J' o r

1

= - 2 1t -ln p - - = 2 7t' - + -In T - - Ipl pil (1'" TI) 2 4 4 2 4 r

I ~ 2 x ~o ( ! + ~ ln T - ~) = po L'Hospita1ovu pravilu = 2 7t'. ! = ; . -'

Zadani integral konvergira i ima vrijednost ; .

554. l = I Iln V Xl + yi dxdy, gdje je a krug x+ yI ~ Rl. '"

[konvergira 1= 27: (~lnR - ~I) J. sss. Izraunaj volumen tijela koje je omeeno plohom z = x. yi ,- (x" + yI) i ravninom z = o ..

Kako zadana ploha ne sijee ravninu X Y (z = O), jer je Xl yI ,- (x" + yi) ~ O za x ~ O i Y ~ 0, traeni volumen V tijela izraen je nepravim integra10m

oo oo

V= I I xly,-(XI+Y'ldxdy. o o

Uzmimo pripadni pravi integral po krugu a polumjera T sa sreditem u ishoditu 0, tj. odredimo volumen Vl valjka, kojemu je donja baza navedeni krug u ravnini X Y, dok gornju bazu ini zadana ploha z:

2 n r

Vl = I I XI y: ,_(Xl + yi) dxdy = I cos'

B. Ne.,ravi trostruki integraU

Zadaci oo oo oo

558. Izraunaj

282

/ /

I I I I /11---- !I a~-----

Slika 180.

Kao podruje V pripadnog pravog integrala uzmimo kocku brida a (vidi sliku 180). CI CI CI

1 - JfJ dxdydx Jdxf.d J dx -1 -. V(1 + x + y+ .8)7 "". ~ V(l:r x + y + .8)7 -

V O O O

CI CI CI CI CI

= - ; J dx J dy I V(1 + x ~ y + .8)1 I = - ; J dx J ( V(1 + x ~ y + a)' .-O O O oo

CI CI

"-=-V!=;(:;:l =+=~=+=y~)7' ) dy = + ; . ~ J dx 1-:-;0;:::(1=+=a=~=x=+=:y)8~ - V (1 ~: + Y)8I-O '. .0

CI

"= !J( 1 - .1 _ 1 + 1 ) dx= 15 V(1+2a+x)3 V(1 +a+x)3 V(1 +a+x)8 "V(1 + x)'

O CI

41 (1 1 1 1 1 = 15 - 2 . Vl + 2 a + x - Vl + a + 'f - Vl + a + x :- Vl + x =

O

359. Izraunaj J J Jln ~ : ;. ~ ~ ZI dx dy ds, gdje je V kugla polumjera R sa srediitem u v

0(0,0. O).

Budui da je integrand prekinut u ishoditu O, izreemo iz zadane kugle kuglicu polu-mjera, (,

561. Izraunaj integral funkcije u = 1 . uzet po podruju V, koje okruuje JI (xl + yi + .;1)1

284

kuglu polumjera l.

Slika 282.

Kao konano podruje Vl uzmimo kuglu polumjera r koja okruuje zadanu kuglu pohi-mjera]. (Vidi sl. 182, koja predouje projekciju podruja Vl na ravninu XY).

II = IIIv dx dy dz = uz prijelaz na sferne koordinate = (xl' + yi + Zi)' V,

2n n r r

= I I I p! sin l} ;& dp dq> = I dq> I sin & d& I ~~ = 4 'Ir I _ ~ pl I ~ - 2 1t ( ~ - l ). v, O O l l

1=-27rlim (..!.'-1)=~ r-oo r