MM-111 Angulos y Clasificacion

C. Cruz∗

September 16, 2015

Definicion 1. Un angulo es la figura formada por dos rayos que tiene un punto en comun llamadovertice. Los rayos son llamados lados y el sımbolo del angulo es ∠

bA

bB

bC

El angulo BAC tiene vertice A y lados−→AB y

−→AC y lo representamos como ∠BAC y su medida en

grados la representamos por m∠BAC

Definicion 2. Decimos que dos angulos son congruentes si tienen la misma medida, de otra forma∠ACB ∼= ∠DEF ⇐⇒ m∠ACB = m∠DEF

Definicion 3. El bisector de un angulo es un rayo el cual divide un angulo en dos angulos congruentes

bA

bB

bC

bD

b

Definicion 4. Los angulos los podemos clasifica de acuerdo a sus medidas como sigue:

1. Un angulo agudo es el angulo cuya medida esta entre 0◦ y 90◦

bA

bB

bC

b

∗Disponible gratuitamente en www.mathunah.wordpress.com

1

2. Un angulo recto es el angulo cuya medida es igual a 90◦

b

bA

bB

bC

3. Un angulo obtuso es el angulo cuya medida esta entre 90◦ y 180◦

b

bA

bB

bC

4. Un angulo llano es el angulo cuya medida es de 180◦,

b

b

A

b

B

b

C

Definicion 5. Dos angulos se llaman complementarios si la suma de sus medidas es 90◦, cada anguloes llamado complemento de el otro.

Definicion 6. Dos angulos se llaman suplementarios si la suma de sus medidas es 180◦, cada angulo esllamado suplemento de el otro.

Teorema 1. Los angulos opuestos por un vertice son congruentes

Ejercicios

1. Encontrar el valor de x si−→AC biseca ∠BAD y m∠BAD = 80◦

xb

A

bD

bB

bC

2. Encuentre el valor de x y los angulos complementarios

2

x2

x

b

A

bD

bB

bC

3. Si α y β son angulos adyacentes suplementarios y α = 3β, hallar el valor de cada uno de estosangulos

α βbA

bB

b

C

bD

4. Hallar un angulo tal que sumando su complemento con su suplemento de un angulo triple

5. Hallar el valor de cada uno de los siguientes angulos−−→CB y

−→CA son rayos opuestos.

x

3x

5x

bA

bB

b

C

bD

bE

6. En la figura BC ⊥ BA; BE ⊥ BD, Muestre que ∠ABD ∼= ∠CBE

bC

b

B

bA

bE

bD

3

7. La figura consiste en tres rectas coplanares que pasan por el punto O con←→AB ⊥

←→CD, clasifique

las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas.

b

O

bD

bC

bA

bB

bF

b

E

(a) m∠AOC = 90◦. (b) m∠EOB > ∠EOD. (c) m∠FOD = ∠AOD−∠AOF

(d) ∠AOD es un recto. (e) ∠COF es un angulo agudo. (f)←→EF ⊥

←→CD

(g) ∠AOF y ∠AOD son angulos adyacentes.

(h) ∠AOC y ∠AOD son complementarios.

(i) ∠EOF es recto. (j) Los rayos−→OC y

−→OF son rayos opuestos.

(k) ∠AOC y ∠AOD son angulos adyacentes suplementarios y congruentes.

8. Justifique cada una de las siguientes proposiciones

b

O

b YbX

bR

bS

(a) Si el rayo−→OR ⊥

←→XY , entonces m∠ROX = 90◦

(b) Si el rayo−→OR ⊥

←→XY , entonces m∠SOY +m∠ROS = 90◦

(c) Si m∠ = 90◦, entonces−→OR ⊥

←→XY

4

(d) Si←→XY contiene a O pero no a S, entonces ∠SOY y ∠XOS son suplementarios.

9. Dada la figura en la cual←→CD ⊥

←→AB

12 3

4b

O

b BbA

bC

bS

b

D

bT

(a) m∠1 +m∠2 = (b) Si m∠1 = 60◦, entonces m∠2 =

(c) Si m∠3 = 50◦, entonces m∠4 = (d)−→OT y

−→OS son rayos opuestos.

(e) Es ∠AOT el suplemento de ∠TOB (f) Si m∠TOB = 140◦, entonces m∠1 =

(g) m∠1 +m∠2 +m∠3 +m∠4 =

(h) Si m∠2 +m∠3 = 110◦, entonces m∠1 +m∠4 =

(i) Si m∠4 = 23◦, entonces m∠3 = (j) Si m∠1 = 32◦, entonces m∠TOB =

(k) Se puede decir que−→OT ⊥

−→OS, si m∠1 + ∠4 = 90◦

(l) Si m∠1 = x, entonces m∠2 = (m) Si m∠4 = 3x, entonces m∠AOS =

(n) Si m∠2 = x+ 10, encontrar m∠1 (o) Si m∠3 = 2x− 10, encuentre m∠4

10. Dada la figura en la cual←→DE ⊥

←→AB en el punto O, justifique cada una de las siguientes conclusiones

5

b

O

b BbA

bD

bC

b

E

(a) m∠AOB = m∠DOE

(b) ∠AOD es un angulo recto.

(c) ∠COB y ∠DOC son complementarios.

(d) ∠AOC y ∠COB son suplementarios.

11. En la figura−→OA ⊥

−→OC

21

b

O

bA b

C

bB

muestre que m∠1 = 90◦ −m∠2

12. Si ∠AOB es un angulo llano, determine la medida de los angulos ∠1 y ∠2 cuando:

b

O

bB

bA

bC

6

(a) m∠1 = x; m∠2 = (2x+ 15)

(b) m∠1 = (x− 10); m∠2 = (3x+ 10)

(c) m∠2 es 40◦ mayor que m∠1

(d) La razon de la medida del ∠1 y el angulo ∠2 es 2:3

13. Dada la figura A,O y D son puntos colineales. Encuentre la medida del angulo ∠ en cada uno delos siguientes incisos

12 3

b

O

bB

bA

bC

bD

b(a) m∠1 = 3x+ 2; m∠2 = 3x+ 4 y m∠3 = 6x− 18

(b) m∠1 = 5x; m∠2 = x+ 40 y m∠3 = x2− 20

(c) m∠1 = 2x+ 22; m∠2 = x+ 46 y m∠3 = x2 + 4

(d) m∠1 = x3− 70; m∠2 = 185− 4x2

− 5x y m∠3 = 65

(e) m∠3 = 30; m∠2−m∠1 =1

3(m∠1 +m∠3)

14.

7