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INGENIERÍA
CIVIL
CÁTEDRA : ANALISIS ESTRUCTURAL
DOCENTE : ING. JORGE BEJARANO
ALUMNOS : CCONOVILCA MATAMOROS, Fredy
SEMESTRE : VII
UAP -HUANCAYO 2015
TEMA: METODO DE KANY
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Índice…………………………………………………………………………………. 2
Introducción…………………………………………………………………………... 3
Objetivos……………………………………………………………………………… 3
Marco teórico…………………………………………………………………………3
Deducción de ecuaciones fundamentales de kany………………………………………7
Ejemplo …………………………………………………………………….. ……………..25
Conclusiones…………………………………………………………………………26
Bibliografía…………………………………………………………………………27
UNIVERSIDAD
ALAS PERUANAS
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Introducción
El presente estudio describe dos procedimientos iterativos de análisis estructural en régimen lineal y teoría de primer orden que permiten estudiar de manera aproximada y exacta determinados emparrillados planos y espaciales con varios desplazamientos independientes sin tener que resolver sistemas de ecuaciones. Con el procedimiento aproximado se consiguen unos resultados suficientemente precisos realizando pocas iteraciones, siendo el error cometido estimable en todo momento. En el procedimiento exacto se utilizan dos tablas de aplicación simple, práctica y fácil de ser implantadas manualmente en una aplicación informática. Con dichas tablas se obtienen las deformadas realizando un número de operaciones menor que el requerido por el álgebra matricial
Objetivos
Conocer las aplicaciones del método de kany
Conocer los usos y beneficios de este método
Determinar las aplicaciones en vigas y pórticos
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MARCO TEÓRICO
El método de Kani es un proceso iterativo, que a partir de las ecuaciones de
pendiente deformación y la relación entre los momentos y aplicados en los
extremos de una viga, Poniendo al alcance del estudio demostraciones
pormenorizadas sobre lo que hemos denominado expresiones o ecuaciones
fundamentales de Kani, para las influencias de las rotaciones de las juntas en los
momentos llamadas M´i j y para las influencias en los momentos por los giros de
los miembros, columnas, considerados como cuerpos rígidos, llamadas M´´i j .
Estos procedimientos resuelven el sistema de ecuaciones de rotación para una
estructura o sistema estructural del tipo fundamentalmente llamado Pórtico Plano,
por medio de aproximaciones sucesivas que se corrigen también sucesivamente.
Por tanto es importante recordar las hipótesis bajo las cuales se deducen las
ecuaciones de rotación como son:
a) El material es homogéneo, isótropo y se comporta como lineal elástico, es
decir, todo el material es de la misma naturaleza, tiene idénticas propiedades
físicas en todas las direcciones y las deformaciones, e , que sufre son
directamente proporcionales a los esfuerzos
b) El principio de las deformaciones pequeñas que señala que una vez cargada la
estructura las deformaciones o desplazamientos lineales y angulares de las juntas
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o nodos y de cada uno de los puntos de sus miembros son bastantes pequeños de
tal manera que la forma de ella no cambia ni se altera apreciablemente,
c) El principio de superposición de efectos que supone los desplazamientos y
fuerzas internas totales o finales de la estructura sometida a un conjunto o sistema
de cargas se pueden encontrar por la suma de los efectos de cada una de las
cargas consideradas aisladamente,
d) Solo se pueden tomar en cuenta los efectos de primer órden como son: Las
deformaciones internas por flexión siempre, mientras que las por fuerza axial
y torsión así como la existencia de segmentos rígidos se pueden tomar en cuenta
o no.
Método de Gaspar Kani en la resolución de vigas hiperestáticas de “n” claros.
1.- En este primer paso para la solución de vigas hiperestáticas por medio de este
método lo primero que procedemos a realizar es el cálculo de los momentos de
empotramiento perfecto, en los tramos en que se encuentra la viga, tomando en
cuenta los apoyos que contenga. Al igual que tenemos que tomar en cuenta la
carga y de cómo este distribuida en la viga.
2.- Como segundo paso se procede a calcular las rigideces que existen en cada
tramo de la viga, ya que no siempre serán del mismo material, y para ello se utiliza
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una formula en la cual se describe tanto el módulo de elasticidad y el momento de
inercia en los tramos a calcular su rigidez.
3.- Como tercer paso en la resolución de la viga se lleva a cabo el cálculo de los
factores de distribución para cada tramo o nudo en que se está calculando la viga,
tomando los valores obtenido en el caculo de la rigidez. Para ello se utiliza la
siguiente fórmula:
FDij=−12
(−Ri /Rj)
Dónde: Ri= Rigidez inicial en que se encuentra Rj= Rigidez que llega al nudo
estudiado
4.- En este cuarto paso se realiza el cálculo de las iteraciones para poder obtener
los valores delos momentos reales de los nudos y así saber cómo se comporta la
viga con la carga con que se está calculando. En este paso tenemos que distribuir
los valores obtenidos de los pasos anteriores y los cuales son:-El valor de
empotramiento perfecto en cada nudo o tramo.-Las diferencias que existen en
valores de momento de empotramiento perfecto en el nudo.-Los factores de
distribución de cada tramo de la viga. Se harán iteraciones hasta que las
cantidades se ciclen.
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DEDUCCIÓN DE ECUACIONES FUNDAMENTALES DE KANI.
1 EXPRESIONES PARA ESTRUCTURAS CON ELEMENTOS EJE RECTO Y
SECCION CONSTANTE.
Sea la ecuación de rotación para un miembro
M i j = MEi j + EKO Ci q i + EKO C q j + EKO (Ci + C) j i j
Redefinamos algunos términos para proceder según metodología propuesta por
KANI de la siguiente manera:
K i j = KO C = IO C 2 Li j 2
M´i = 2E q i = Participación en los momentos por influencia del giro qi de la junta i,
en los extremos i de los miembros que llegan a ella.
M´j = 2E q j = Participación en los momentos por influencia del giro q j de la junta j,
en los extremos j de los miembros que llegan a ella M´´i j = M´´j i = – 6Ej i j =
Participación en los momentos en los extremos i y j del miembro i j por influencia
de la rotación o giro j i j del miembro i j.
Por lo tanto de 1:
KO = (2 K i j ) / C o lo que es lo mismo:
KO = (IO / Li j ) (2/C) donde:
IO = Inercia de una sección de referencia para el miembro considerado, en un
punto cualquiera del eje del miembro, usualmente la menor o en el centro del
tramo, o si el miembro es de sección constante es la inercia de esta
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sección. Esta inercia puede referirse con relación a un valor cualquiera
arbitrario seleccionado para toda la estructura.
Li j = Longitud del eje del miembro, o para simplificar simplemente = L
De tal manera que si el miembro es de sección constante, no tiene extremos
rígidos y no se toman en cuenta los efectos de corte se tiene que C = 2 por tanto:
K i j = KO (2/2) = KO
Sustituyendo estas expresiones se obtiene que el Momento definitivo o final M i j ,
en el extremo i de un miembro i j resulta ser:
M i j = ME i j + Ki j M´i Ci + M´j Ki j + Ki j M´´i j (Ci + C)
De igual manera se obtiene la expresión del momento en el otro extremo Mj i es
decir:
M j i = ME j i + Ki j M´j Cj + M´i Ki j + Ki j M´´i j (Cj + C)
Ci/C y Cj/C son los inversos de lo que se denominan en el método de Cross como
Factores de Transporte ( ri j = C/Ci) del Momento de i para j y ( rj i = C/Cj) del
Momento de j para i respectivamente.
Kani definió el siguiente término como Factor de corrección para M´´i j bi = (Ci+C)/
(3C)
Consideremos el caso de un miembro cualquiera ( i j ) de una estructura y su
deformada final, para el cual aplicando el principio de superposición se puede
indicar sus efectos totales reales como la suma de varios casos aislados:
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Caso: Sistema original real .
Aplicando el Principio de Superposición de Efectos este caso será igual o puede
expresarse como la suma de los cuatro casos siguientes vea las ecuaciones de
rotación modificadas según KANI
Caso: Sistema ( 0 ) Miembro con Juntas inmovilizadas.
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El sistema (0) se suele llamar sistema primario con Momentos de Empotramiento
en los extremos (ME ), y al conjunto de los sistemas o subsistemas (1),(2) y (3) se
denomina usualmente Sistema Complementario, que toman en cuenta los giros de
las juntas q i , q j , y rotación del miembro como cuerpo rígido j i j .
EXPRESIÓN FUNDAMENTAL DE KANI-TAKABEYA PEÑA PARA M´i
M´i = m i [ M i + å Ki j M´j + å Ki j M´´i j b i ] ...............(5.6a)
(i ) (i )
Donde: m i = – 1 .....(5.6b) Se le llama factor de giro
2 å Ki j (Ci)
(i ) 2C de la junta considerada.
M i = å MEi j ....(5.6c) y se le denomina Momento de
(i )
Sujeción del nodo o junta i, que
impide el giro del mismo.
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b i = (Ci + C) / (3C) ......(5.6d) es el factor de corrección para las influencias M´´i
j , de los momentos debidos a los giros de los miembros j i j , para miembros
de sección variable, con o sin extremos rígidos y/o con o sin efectos por corte.
Si todos los miembros que llegan a una junta i son de SECCION CONSTANTE,
sin extremos rígidos y no se toman en cuenta los efectos de corte, entonces los
valores de las constantes elásticas son:
Ci = Cj = 4 ; C = 2, resulta entonces que:
bi = bj = 1 ; m i = – 1 1
MODIFICACIÓN DE LA RIGIDEZ PARA ELEMENTOS CON EXTREMOS
ARTICULADOS.
De la expresión de la ecuación de rotación para miembros de sección variable
para un extremo articulado considerando solo la influencia o término con q i :
Este momento es EK o q i ( Ci – C 2 ) y como K O = (2K i j )/C, entonces
y si ambos extremos son continuos este momento según expresión y caso:
sistema1 anterior será igual a K i jM´i (Ci) / (C ) , y como según ecuación
M´i = 2E q i , es decir este momento para ambos extremos continuos será igual a
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Igualando estos dos momentos (5.6a) = (5.6b) resulta que la rigidez Koi j de
un miembro articulado deberá multiplicarse por un factor para obtener y usar en
los cálculos una rigidez equivalente K i j como si el miembro tuviera ambos
extremos continuos o rígidos, es decir:
Donde usualmente ri j = C/Ci = Factor de transporte (Definido así por Hardi
Cross en su método de análisis estructural) de Momentos
desde la junta i para la junta j o simplemente factor
de transporte de i para j.
rj i = C/Cj = Factor de transporte de j para i.
Factor de corrección para rigidez
modificada por extremo articulado.
De tal manera que si la SECCION ES CONSTANTE sin extremos rígidos y se
desprecian los efectos por deformaciones de corte:
Ci = Cj = 4 ; C = 2;
r i j = rj i = 1/2 ;
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K i j = (3/4) Koi j
INFLUENCIA O PARTICIPACION EN LOS MOMENTOS, M´´i j , DEBIDO A LA
ROTACION O GIRO DE LOS ELEMENTOS j i j .
En el caso de pórticos solo los elementos verticales o columnas son los que
sufrirán giro de miembro j , ya que los extremos de los elementos horizontales se
trasladan horizontalmente sin que ellos sufran desplazamientos verticales, por lo
tanto no rotan. Por lo antes dicho solo las columnas son los únicos elementos de
los sistemas estructurales aporticados que tendrán influencias M´´i j en los
momentos extremos. Esto partiendo de la hipótesis de las ecuaciones de rotación
que no toman en cuenta o desprecian las deformaciones debidas a las fuerzas
axiales.
Este efecto de traslación por desplazamientos horizontales que sufren las juntas
de un pórtico se denomina usualmente desplazabilidad lateral o
simplemente DESPLAZABILIDAD. Recordemos que este método resuelve el
sistema de ecuaciones rotación para toda la estructura, por lo tanto se cumplen las
bases del método de los desplazamientos, que descompone los efectos del
sistema real en la suma de los efectos de otros dos como indicamos a
continuación:
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Este sistema real, con
sus solicitaciones externas cualesquiera (S.E.), Hipergeométrico, es decir, un
sistema con grados de libertad, que son desplazamientos
independientes, G.D.L. mayores que cero. En éste existen juntas que sufren giros
o rotaciones q (Desplazamientos angulares) y/o desplazamientos lineales, que
provocan en algunos miembros, como indicamos al principio de este punto, en las
columnas, giros como cuerpos rígidos, j i j . Los momentos en los extremos de
cada miembro se llaman usualmente momentosfinales o reales, Mi j Los efectos o
resultados de este sistema lo podemos obtener por el Principio de Superposición
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como la suma de los efectos de los dos sistemas que indicamos a continuación:
Consideremos una columna cualquiera i-j , en un piso p también cualquiera y en el
sistema complementario:
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Si tomamos momentos en la junta inferior j resulta:
Sumando todos los cortes (Fuerzas cortantes) de todas las columnas de un mismo
piso p y si todas tienen la misma altura se tiene que:
Vp = Corte total del piso p = å Vi j = å (Mi j + Mj i ) / hi j Sustituyendo a Mi j y a Mj i
(p) (p)
por sus valores según expresión (5.4a) de la ecuación de rotación y como todos
los miembros de una mismo piso (Columnas) tienen el mismo valor para M´´i j
según expresión 5.2c ya que tienen los mismos D i j = D P y hi j = h P , por tanto el
mismo
j i j = D i j / hi j = j P , es decir: j p = D p / h p , llamaremos a este M´´i j como M´´p
influencias de los momentos debidas a los giros j i j = j p y multiplicando y
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dividiendo por tres cada miembro y como en el sistema complementario no hay
momentos de empotramientos se tiene que:
. ..........(5.9a)
Por lo tanto se obtiene:
Despejando el término con M´´p resulta:
Como según ecuación M´´p = - 6E j p = - 6E D p / h p. y si se multiplica cada M´´p
de cada columna por el factor Ki j (bi+bj) / 3 y se suman todos estos términos de
las columnas de un mismo piso se obtiene:
Igualando los segundos términos
de las expresiones y sacando fuera los términos D P y hP de la expresión å
donde ellos están y despejando de aquí el cociente D P / h P se obtiene que:
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D P / h P = sustituyendo este
valor en la expresión de M´´i j ahora llamado M´´P resulta:
ordenando y definiendo algunos términos nuevos se obtiene la ECUACION
FUNDAMENTAL DE KANI-TAKABEYA-PEÑA PARA M´´p y M´´i j de la manera
siguiente:
M ´´p = M´´i j = - 6 E D P Si todas las columnas de un mismo piso tienen la
hP misma altura hP
Donde:
= Factor de corrimiento del piso p
Se calcula para cada piso.
= Momento del piso (p). Se calcula para cada piso.
Si todas las columnas del mismo piso tienen sección constante sin
extremos rígidos y se desprecian las deformaciones por corte, se tendrá:
bi = bj = ( Ci + C ) / (3C) = (Cj + C ) / (3C) = (4 + 2) / (3x2) = 1
(bi+bj) /2 = (1+1)/2 = 1
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EXPRESION PARA M´´ P CON COLUMNAS DE DIFERENTES ALTURAS.
Consideremos el siguiente esquema general de columnas con diferentes alturas:
Definamos el Factor de corrección por diferencia de altura para cada columna de
un mismo piso C i j como: Ci j 1 = hp / hi j 1 = 1 ; Ci j 2 = hp / hi j 2 ;
para una columna k cualquiera del piso p Ci j k = hp / hi j k o para simplificar
la nomenclatura: Ci j = hp / hi j
hi j = hp / Ci j
Vi j = - (Mi j+ Mj i) / hi j = - (Mi j+ M j i ) / (hp / Ci j ) M´´i j = M´´j i = – 6Ej i j = -
6E D P/ hi j = (-6ED P/ h p )Ci j = M´´p Ci j así como multiplicando y dividiendo por
tres todos los términos del segundo miembro y ordenarlos se obtiene:
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Sumando todos los cortes Vi j de todas las columnas de un mismo piso (p) :
y despejando de esta expresión el término que contiene M´´P :
como M´´P = -6E j P = -6E D P / h P
Multiplicando ambos miembros de Ki j C2i j(bi+bj) / 3 y se suman todos estos
términos de las columnas de un mismo piso y sacando del signo å los coeficientes
constantes para el mismo piso (p) se obtiene:
igualando los segundos términos de las ecuaciones y despejando
D P/hp resulta:
.
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Sustituyendo este valor de (D P / hp ) en la ecuación y multiplicando y dividiendo
el denominador por dos resulta modificada la ecuación fundamental de Kani-
Takabeya-Peña para M´´P de la manera siguiente:
además se tiene que:
M´´i j = M´´j I = M´´P Ci j
EXPRESIÓN PARA M´´i j PARA COLUMNAS ARTICULADAS Y DE
DIFERENTES ALTURAS.
Si igualamos los momentos en el extremo i en cada caso ( M* = M** ) producidos
por los giros del miembro (j i j y j ´i j) para conseguir el valor de h´i j que produce el
mismo efecto del momento (M´´P ), según las ecuaciones de rotación:
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h´i j hi j (Ci+C) m Ci
Encontremos una expresión para M´´i j para columnas con un extremo articulado,
en el sistema complementario:
Despejando de ésta el término que
contiene M´´i j , multiplicando y dividiendo por tres el segundo término y ordenando
términos se obtiene:
si se suman todos estos
términos de todas las columnas de un mismo piso:
es decir,
De expresión se tiene: M´´i j = - 6EKi j j i j = - 6EKi j D h´i j
M´´i j = - 6E D P Ci j = M´´P C i j
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hp
Multiplicando ambos miembros de esta ecuación por bi Ci j Ci +C y sumando
Ci
todos estos términos de todas las columnas de un mismo piso (p) resulta:
Si dentro de un mismo piso (p) existen columnas articuladas en extremos i ,
y/o en extremos j y/o con extremos no articulados (Rígidos) y como:
M´´i j = - 6E D P Ci j = M´´p C i j de donde M´´p = M´´ i j / C i j
Hp se puede decir que a continuación se tiene lo que hemos denominado como:
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QUE: m = 3/2 ; Ki j = K0 3/4 ;
y Ci j = hi j 3( Para columnas articuladas)
hp 2
m = 1 ; Ki j = K0 = I0 / L y Ci j = hi j / hp Para columnas no articuladas
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Conclusiones
Si las secciones de las columnas son de sección constante, no tienen
segmentos extremos rígidos y no se desprecian las deformaciones por
corte.
En columnas articuladas en ambos extremos su rigidez es Ki j = o
Los métodos que utilizan Las ecuaciones de rotación como son el método de las rotaciones, Cross, Kani y Tacabeya se consideran métodos de rigidez.
ya que en ellos las incógnitas son las rotaciones de las juntas y giros en las columnas o desplazamientos horizontales de los niveles, aunque indirectamente se utiliza el método de las fuerzas para obtener sus expresiones y las ecuaciones de momentos de empotramiento.
El método de flexibilidad aplicado a una estructura cualquiera no es
práctico ya que cualquier estructura común indeterminada tiene muchos
sistemas primarios isostáticos.
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Bibliografía
Análisis de estructuras Jairo Uribe E.
Apuntes de análisis estructural José Luis Camba C. Francisco Chacón G. Francisco Pérez.
Análisis Manual Aproximado y Exacto de Pórticos Espaciales mediante Cargas- Agustín G. Lacort.
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