METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL N PROIECTAREA CONSTRUCIILOR 1.1. INTRODUCEREn limbajul uzual, prin construcie se nelege o cldire executat din zidrie, lemn, metal, beton, etc., pe baza unui proiect, care servete la adapostirea oamenilor, animalelor, obiectelor, etc. (1 DEX). Terminologia tehnic defineste construcia ca structur sau sistem fizic, aflat in permanent aciune cu mediul inconjurtor. Intrrile in sistem sunt aciunile exercitate de mediu asupra structurii, iar rspunsul structurii la aceste aciuni constituie iesirile din sistem . Orice construcie are un schelet sau o structur de rezisten, alctuit din elemente simple numite elemente de construcii ( bare, plci, blocuri). Avnd n vedere elementele care intr n componena structurilor de rezisten, acestea pot fi grupate n: structuri din bare (articulate sau legate rigid n noduri); structuri alctuite din perei structurali (de zidrie portant, din beton turnat monolit sau n panouri prefabricate, din materiale compozite, etc.); structuri mixte, alctuite din bare i perei structurali. Proiectarea unei construcii este un proces complex n care ponderea cea mai mare o are analiza i proiectarea structurii de rezisten (structural analysis and design). Prin aceast proiectare se urmrete realizarea unei structuri care s satisfac exigenele eseniale funcionale i economice, cu asigurarea cerinelor de rezisten, rigiditate, stabilitate i durabilitate, deci a siguranei in exploatare.

1.2.

MODELAREA FIZIC A STRUCTURII, REAZEMELOR I ACIUNILOR

Avnd n vedere complexitatea de alcatuire a strucurilor de rezisten, a legturilor interioare i exterioare (rezemrilor), precum i complexitatea ncrcrilor i a comportrii materialelor constitutive, analiza i proiectarea structural se face pe un model structural simplificat (idealizat). Aceasta presupune schematizarea construciei i a elementelor de construcii componente ca form, dimensiuni geometrice, materiale constitutive i chiar neglijnd unele elemente neportante (cu rol de compartimentare, de izolare higrotermic i acustic, decorativ etc.). Similar, legturile exterioare ale structurii (reazemele) i cele interioare, dintre elemente, se idealizeaz reducndu-se la trei tipuri fundamentale: reazem simplu, articulaie, ncastrare. 1

Reazemele se difereniaz n cazul plan, respectiv spaial, prin numrul i direcia gradelor de libertate blocate (total n cazul reazemelor fixe, parial n cazul reazemelor elastice). Aciunile (ncrcrile) pe care trebuie s le preia o construcie n decursul vieii sale sunt foarte variate ca natur, provenien i mod de manifestare. Ele se schematizeaz i se reduc la fore i momente concentrate, respectiv distribuite, deplasri impuse, variaii de temperatur. Clasificarea aciunilor se poate face dup mai multe criterii, cum ar fi (RM1): dup criteriul frecvenei de apariie la anumite intensiti (aciuni permanente P, aciuni temporare T, aciuni excepionale E); dup locul de aplicare (fore masice sau de volum i fore de suprafa active sau reactive); dup modul de aciune n timp (aciuni statice, respectiv dinamice); dup poziia aciunilor n timp (aciuni fixe, respectiv mobile).

n conceptul sistemic aciunile constituie modelul de ncarcare al structurii, definit prin parametrii de intrare cunoscui (P). Modelul structural cruia i se ataeaz modelul de ncarcare formeaz modelul structural de calcul.

1.3.

MODELAREA COMPORTRII MATERIALELOR

Comportarea structurii de rezisten a oricrei construcii este influenat semnificativ de materialele constitutive. Caracteristicile fizico-mecanice i elastice ale materialelor se obin pe cale experimental, prin ncercri pe probe standardizate, n urma crora se obin curbe caracteristice specifice fiecrui material. Diversitatea de curbe caracteristice ale materialelor frecvent utilizate n construcii a impus schematizarea lor prin folosirea unor modele de deformare (reologice) simple, corespunztoare celor trei tipuri de deformaii elementare: elastice, plastice, vscoase (JUD). Din acest punct de vedere exist trei categorii de materiale, dup cum urmeaz: - materiale cu comportare elastic liniar, schematizeaz printr-un resort (modelul fundamental Hooke), avnd curba carasteristic din fig. 1.1.a; comportarea elastic liniar este descris matematic n cazul unei solicitri uniaxiale de legea lui Hooke: = E (1.1) unde E constanta elastic a resortului este modulul de elasticitate longitudinal al materialului. La solicitri bi sau triaxiale legtura este precizat de legea generalizat a lui Hooke; - materiale cu comportare plastic, schematizeaz printr-o patin (modelul fundamental Saint-Venant), curba caracteristic fiind cea din fig. 1.1.b; ecuaia de stare (reologic) la solicitare uniaxial este = c 2 (1.2)

unde c valoarea tensiunii la care este invins frecarea dintre patine (limita de curgere a materialului); la solicitri bi sau triaxiale se utilizeaz criterii (teorii) de curgere; - materiale cu comportare vscoas, la care viteza de deformare variaz liniar sau neliniar n raport cu tensiunea (beton, materiale plastice, etc.); modelul de deformare este schematizat printr-un piston (modelul fundamental Newton- fig. 1.1.c), iar ecuaia de stare care descrie comportarea vscoas este = de deformare. Curbele caracteristice ale multor materiale cu comportare elastica sau vscoas sunt neliniare sau prezint poriuni neliniare. Un material cu comportare elastic pronunat neliniar este cauciucul (fig. 1.1d). (1.3) unde - caracteristica pistonului ( coeficientul de vscozitate al materialului ), viteza

Fig. 1.1 Materialul constitutiv al unei construcii poate avea, la un moment dat, dou sau chiar toate cele trei tipuri de deformaii elementare, desigur n procente diferite, funcie de material, gradul de solicitare, temperatur, etc. De aceea a fost necesar crearea de modele reologice compuse, obinute prin legarea n serie sau n paralel a modelelor fundamentale, ecuaiile de stare obinndu-se similar, pe baza condiiilor de echilibru i de compatibilitate geometric a modelului compus. 3

Un astfel de model, prin care se aproximeaz comportarea elasto-plastic a oelului, este obinut prin legarea n serie a unui resort cu o patin. Modelul elastic-perfect plastic obinut conduce la curba caracteristic din figura 1.2 a, numit i curba Prandtl. Matematic, comportarea acestui model se traduce printr-o ecuaie de stare discontinu; = E pentru < e ( < c ) = c - pentru > e unde e - deformaia specific la limita de elasticitate a materialului. Curba caracteristic a oelului (fig. 1.2 b) poate fi aproximat i mai bine printr-un model elasto-plastic cu consolidare (fig. 1.2 c). (1.4)

Fig. 1.2 n literatura de specialitate se ntlnesc i alte modele complexe de comportare a diverselor materiale, crora le corespund curbe caracteristice specifice (modelul biliniar, modelul neliniar elasto-plastic, curba Ramberg-Osgood, etc.). Comportarea mecanic a materialelor de construcii care, aa cum s-a vzut, este de natur experimental, se exprim mai general prin ecuaii reologice de forma: f(,,,,,t,T) = 0 (1.5) adic o funcie de tensiuni, deformaii specifice i derivatele lor n raport cu timpul, precum i de timpul (t) i temperatura (T). n spaiul - - t ecuaia (1.5) reprezint o suprafa caracteristic avnd ca proiecii n fiecare plan curba caracteristic - i curba de fluaj sau curgere lent -t Modelul structural obinut prin schematizarea construciei, la care se ataeaz modelele simplificate ale legturilor, ncrcrilor i ale comportrii materialelor constitutive formeaz modelul fizic al structurii reale.

1.4.

MODELAREA EXPERIMENTAL

La unele construcii unicat sau speciale, de mare importan, ce trebuie proiectate sau sunt deja executate, dar a cror capacitate de a fi utilizate n continuare trebuie expertizat, se 4

impune efectuarea unor cercetri experimentale pe modelele fizice structurale. Dac este posibil, aceste modele pot fi identice cu structura real, caz n care modelul experimental este un prototip. n caz contrar, modelul experimental se realizeaz la o scar redus, pe baza legilor de similitudine cu structura real. Aceste legi se refer la stabilirea dimensiunilor geometrice i a modulului de rezemare, la alegerea materialului constitutive i a schemei de ncrcare a modelului. Modelul experimental se echipeaz cu aparatur i dispozitive de acionare, de nregistrare, msurare i prelucrare a unor parametri de rspuns (deplasri, deformaii, acceleraii, etc.). Modelul fizic este ncercat pe baza unui program experimental,obinndu-se valori ale parametrilor de rspuns, fie direct prin msurare, fie dup unele prelucrri, de obicei automate, bazate pe teoria similitudinii. Rezultatele obinute se folosesc la stabilirea modului de comportare a structurii reale, la confruntarea cu rezultatele teoretice obinute prin analiza modelului structural de calcul i, pe aceste baze la luarea unor decizii de mbuntire a modelului structural de calcul i a proiectrii structurii reale. n anumite situaii, costul mare i durata ndelungat a unui program experimental pot fi evitate prin nlocuirea cu un program de simulare numeric a experimentrilor.

1.5.

MODELAREA MATEMATIC A COMPORTRII STRUCTURILOR I DETERMINAREA RSPUNSULUI

1.5.1.Consideraii introductive Comportarea sub aciuni a oricrei structuri de rezisten (reale sau model de calcul) este un proces a crui evaluare se face printr-o serie de parametri fizico-mecanici (variabile), X(x,y,z,t), care sunt funcii continue de coordonatele spaiale i de timp (procesul este staionar dac t=0, respectiv nestaionar dac t0). Unele dintre aceste variabile, q, care constituie parametrii de intrare, n sistem i parametrii proprii ai sistemului, pot fi cunoscute sau stabilite apriori: aciunile (P), unele dimensiuni geometrice (L), caracteristicile fizico-mecanice ale materialului (E), condiiile la limit. Restul de u variabile, reprezentnd parametrii de rspuns ai structurii, constituie necunoscutele problemei: deplasri, eforturi (tensiuni), temperaturi, viteze, etc. Prin urmare, parametrii de rspuns sau de ieire ai structurii pot fi reprezentai prin funcii, n general continue, dependente de parametrii de intrare i de parametrii proprii ai sistemului: Y=Y(x,y,z,t,P,L,E,T) (1.6) Determinarea parametrilor de rspuns necesit folosirea unui model matematic (analitic), care se formuleaz pe baza a trei tipuri de condiii pe care trebuie s le ndeplineasc structura deformat sub aciuni: condiii de echilibru (static sau dinamic); 5

-

condiii de compatibilitate geometric; condiii fizice (de comportare a materialelor constitutive).

Corespunztor acestor condiii se stabilesc trei tipuri de ecuaii (ecuaii de echilibru, ecuaii geometrice sau de deformaie i ecuaii fizice sau constitutive) care, mpreun cu condiiile la limit i cu cele de continuitate a deformaiilor, permit determinarea variabilelor alese ca necunoscute. Trebuie precizat c ntre diversele clase de parametri de rspuns exist relaii de legtur, nct pentru definirea complet a strii deformate a structurii este suficient s se determine numai parametrii dintr-o anumit clas (de exemplu, a deplasrilor prin metoda matricei de rigiditate sau metoda deplasrilor, respectiv a eforturilor sau tensiunilor prin metoda forelor sau a matricei de flexibilitate). n esen, formularea unui model matematic pentru orice sistem fizic rezid n a stabili o relaie matematic ntre parametrii u i q, prin aplicarea legilor fizice caracteristice sistemului. Aceast relaie, numit i ecuaie operaional, este de natura unui sistem de ecuaii de definiie de forma: L(q1, q2,..,qm, u1, u2,..,un) = 0 sau, mai compact L(u) + fv = 0 algebric (matricial), diferenial, integral sau integro-diferenial. La ecuaia operaional se ataeaz un set de condiii la limit, precizat prin relaia generic C(q1, q2,..,qm, u1, u2,..,un) = 0 sau compact C(u) = fs pe frontiera S a domeniului V. n probleme staionare condiiile la limit sunt condiii de rezemare (pe contur, pe frontier), iar operatorul C se poate nota Cf, n probleme nestaionare sunt necesare i condiii iniiale Ci la timpul de origine t0. Ecuaiile de definiie (1.8) mpreun cu condiiile la limit (1.10) constituie ecuaiile de guvernare ale sistemului, care au soluii de forma u = u(q1, q2,..,qm) (1.11) n ecuaiile de guvernare L i C sunt operatori liniari sau neliniari, q sunt parametrii proprii i de intrare ai sistemului, u sunt necunoscutele problemei, iar fv i fs sunt funcii date pe V respectiv S. 6 (1.10) (1.9) (1.8) pe domeniul de definiie V al variabilelor u i q, unde L este un operator liniar sau neliniar, de tip (1.7)

Exemple de ecuaii de guvernare a) Calculul deplasrilor w la ncovoierea barelor drepte (fig. 1.3. a)

Ecuaia operaional:

d4 d 4 w p ( x) = ( operatorul L= 4 ; p(x) intensitatea ncrcrii; EI dx dx 4

EI rigiditatea seciunii la ncovoiere); Condiii la limit: pentru x = 0 wA = w(0) = 0; pentru x = l wB = w(l) = 0. tensiune (perei structurali, planee acionate n planul lor etc.) fig. 1.3 b. Ecuaia operaional:4F 4F 4F + 2 2 2 + 4 = 0; y x y x 4

b) Determinarea strii de tensiune la elemente structurale aflate n stare plan de

Operatorul L==22=

4 4 4 + 2 2 2 + 4 se aplic lui F(x,y) funcia de tensiuni y x y x 4

sau funcia lui Airy; Condiii la limit (pe contur) sub forma analogiei de cadru: F = N cadru Fcontur = Mcadru; n contur

x p(x,y) z y a

Ax w(x) l

B

b

Fig. 1.3 c) ncovoierea plcilor plane dreptunghiulare (fig. 1.3 c)

Ecuaia operaional:

4 w p ( x, y ) 4w 4w ; +2 2 2 + 4 = D y x y x 4 4 4 4 + 2 2 2 + 4 se aplic deplasrii normale w(x,y); D y x y x 4

Operatorul L==22= rigiditatea plcii la ncovoiere.

7

Condiii pe contur:w = 0; x

x = 0 w = 0; x =

x = a w = 0; Mx = 0

2w = 0; x 2 2w = 0; y 2

y = 0 w = 0; My = 0 y = b w = 0; y =

w = 0; y

Mrimea unui parametru de rspuns (ca de exemplu deplasarea unui punct sau a unei seciuni a structurii) poart numele de grad de libertate (GDL). ntruct aceti parametri de rspuns sunt funcii continue de poziia punctului sau seciunii, rezult c structura are o infinitate de grade de libertate, care definesc starea deformat a acesteia. Din acest punct de vedere structurile reale ca i unele modele structurale de calcul pot fi considerate sisteme continue. Adesea ns modelele structuralede calcul sunt prevzute cu un numr finit de grade de libertate (egal cu numrul n al parametrilor de rspuns necunoscui u), caz n care structura este considerat un sistem fizic discret. Problemele care apar la sistemele continue sau discrete se pot grupa n: probleme staionare (de echilibreu i de valori proprii); probleme nestaionare (de propagare).

Componena ecuaiilor de guvernare pentru fiecare tip de problem de mai sus este precizat n tabelul 1.1 (Pacoste). Tabel 1.1 Tipul problemei Ecuaiile de guvernare Sisteme continue Ecuaii difereniale ordinare sau cuECHILIBRU

Sisteme discrete

derivate pariale cu condiii de margine Sistem de ecuaii algebrice impuse Ecuaii difereniale ordinare sau cu Sistem de ecuaii algebrice sau ecuaii difereniale ordinare reductibile la ecuaii algebrice Sistem de ecuaii difereniale ordinare cu condiii iniiale impuse

VALORI PROPRII

derivate pariale cu condiii de margine impuse Ecuaii cu derivate pariale cu condiii iniiale i de margine impuse8

PROPAGARE

Exist mai multe posibiliti de analiz a comportrii unei structuri i de determinare a rspunsului acesteia. Astfel, pentru proiectare este obligatorie efectuarea unei analize printr-un calcul deordinul I liniar-elastic, care implic scrierea condiiei de echilibru static pe structura nedeformat

(ipoteza micilor deplasri i a micilor deformaii), materialul avnd o comportare liniar-elastic. La unele structuri ipoteza micilor deplasri nu mai este aplicabil,echilibrul trebuind s fie scris pe structura deformat (neliniaritate geometric), materialul avnd ns comportare liniarelastic. Aceast analiz printr-un calcul de ordinul al II-lea liniar-elastic, este necesar la structuri cu deplasri mari (structuri suspendate pe cabluri, structuri cu deschideri mari, structuri nalte i svelte probleme de stabilitate). La construciile speciale, de importan deosebit, la expertizri ale construciilor existente, etc., pentru a stabili modul de cedare al structurii de rezisten, se apeleaz la un calcul de ordin superior i la analize mai sofisticate, dintre care enumerm : analiza elasto-plastic prin calcul biografic, cnd echilibrul se scrie pe structura

nedeformat, iar materialul are comportare elasto-plastic;analiza elasto-plastic bazat pe identificarea direct a mecanismului de cedare prin

teoria plastic simpl;analiza elasto-plastic bazat pe identificarea direct a mecanismului de cedare i

luarea n considerare a efectului forei axiale asupra formrii articulaiei plastice.analiza neliniar cu luarea n considerare a ambelor tipuri de neliniaritate

(geometric i fizic); Fazele principale ale modelrii precum i legturile ntre parametrii implicai n procesul de proiectare sau expertizare a unei construcii se prezint n fig. 1.4.

1.6.

METODE DE CALCUL PENTRU DETERMINAREA RSPUNSULUI STRUCTURILOR

Determinarea parametrilor de rspuns, care s satisfac ecuaiile de guvernare ale unei structuri (ecuaia operaional i condiiile la limit aferente), se poate face prin dou tipuri de metode: - metode analitice (exacte), care se bazeaz pe exprimarea variabilei de rspuns cutate prin funcii analitice, valabil pentru orice punct al cmpului (domeniului) care se refer. Ca soluii analitice se pot folosi polinoamele algebrice, funciile transcendente elementare (trigonometrice, hiperbolice, etc.), seriile trigonometrice, seriile de puteri, funciile Bessel etc. Gsirea unor soluii analitice ns, nu este posibil dect ntr-un numr redus de cazuri particulare de geometrie, rezemare i ncrcare a structurii. Chiar i n acele cazuri, calificativul de 9

soluie exact nu i merit utilizarea pe deplin, deoarece modelul matematic pe care se opereaz are la baz un model fizic obinut prin simplificri i idealizri ale structurii reale. - metode numerice (aproximative) care constau n determinarea unor valori ale funciilor necunoscute (parametri de rspuns) dintr-un numr finit de puncte ale modelului structural (considerat sistem discret), sau a unor funcii care s aproximeze soluiile exacte, adic s satisfac, cu o eroare controlat i acceptabil, ecuaiile de guvernare. Dac funciile aproximante au ca domeniu de definiie ntregul model structural, atunci aceasta are o infinitate de GDL (este un sistem continuu), iar dac definirea funciilor aproximante i determinarea lor se face numai pe subdomenii din modelul structural, atunci aceasta are un numr finit de GDL (este un sistem discret). ntruct volumul de calcule pe care l implic metodele numerice este foarte mare, nu se poate vorbi de o folosire raional a acestor procedee, dect n cazul cuplrii lor cu folosirea unor programe de calcul automat. Cu toate acestea, metodele numerice, de calcul au cptat o dezvoltare vertiginoas o dat cu dezvoltarea i creterea performanelor calculatoarelor electronice. Progresele n sectorul hardware antreneaz n paralel dezvoltarea i perfecionarea softului necesar (algoritmi, tehnici i metode numerice, programe de calcul, etc.). Dintre metodele numerice (aproximative) se rein n continuare numai cele trei grupuri de metode, care pot fi formulate i pe cale matricilal []: metodele matriciale directe, care au la baz teoremele lucrului mecanic virtual; metodele variaionale, care au la baz un criteriu de staionaritate impus energiei

poteniale a structurii;metodele reziduale, care se bazeaz pe condiia de staionaritate a funciei reziduale

(funcia reziduu exprim diferena dintre soluia exact i soluia aproximativ a problemei). n cele ce urmeaz, se va aborda numai metoda elementelor finite (MEF), care actualmente este cea mai utilizat metod numeric, ntruct ofer cele mai mari posibiliti, referitor att la modelarea fizic a structurilor, ct i la procedurile numerice folosite. Formularea MEF se poate face utiliznd oricare dintre criteriile considerate anterior n clasificarea metodelor numerice de calcul (fig. 1.5).

10

CONSTRUCIA -SISTEM FIZIC ACIUNEA MEDIULUI RSPUNSUL STRUCTURII

Parametri de intrare

-Proiectare sau expertizare -Structura de rezisten

- Parametri de ieire

MODELUL STRUCTURAL DE CALCUL MODEL EXPERIMENTAL

COMPORTARE PROTOTIP

-Teoria similitudinii *geometrie *legaturi *material *actiuni -Program experimental

MODEL STRUCTURAL -Schematizri prototip *elemente de construcii *legaturi *comportare material MODEL DE INCARCARE *Parametri de intrare(P)

MODEL MATEMATIC - Grade de libertate *numar infinit (continuu) *numar finit (discret) - Parametri de intrare (P) - Parametri interni (K,F) - Parametri de iesire (Y)

- Proiectare: calculul de rezistenta (stabilitate, etc. ) - Expertizare: comportare (consolidare) prototip

PROBLEMA MATEMATICA CORP DEFORMABIL- Conditia de echilibru - Conditia de compatibilitate - Conditia fizica

- ecuatie operational ape structura : L(X,K,P,Y)=0 - conditia de rezemare: Cf(K,P,Y)=0 - cond. initiala: Ci(K,P,Y)=0

PARAMETRI DE IESIRE EXPERIMENTALI - masurati - deteriminati prin identificare

METODA DE REZOLVARE

- Parametri de iesire (Y)VALIDARE MODEL STRUCTURAL MODEL MATEMATIC METODA DE REZOLVARE *deplasari(D) *eforturi(S) sau tensiuni() *acceleratii (D) etc.

Fig.1.4 11

METODE DE ANALIZ A STRUCTURILOR

METODE ANALITICE (EXACTE)

METODE NUMERICE (APROXIMATIVE)

Integrale particulare Separarea variabilelor Integrare prin parti Transformari Fourier Transformari Laplace Functii generalizate

METODE DIRECTE Metoda fortelor Metoda deplasarilor

METODE VARIATIONALE Diferente finite Ritz Kantorovici Trefftz METODA ELEMENTELOR FINITE (Metoda fasiilor finite) Metoda elementelor de frontiera

METODE REZIDUALE Erori absolute Colocatiei Subdomeniului Ortogonalizarii Galerkin Cele mai mici patrate METODA ELEMENTELOR FINITE Metoda elementelor de frontiera

METODA ELEMENTELOR FINITE (Metoda fasiilor finite)

METODE ENERGETICEFig. 1.5 12

2. MEF PENTRU BARE SI STRUCTURI DIN BARE 2.1. PROBLEME UNIDIMENSIONALE. BARE SOLICITATE AXIALIn problema unidimensionala deplasarile, deformatiile tensiunile si incarcarile depind numai de variabila xu = u ( x); = ( x); = ( x); f = f ( x); p = p ( x) Incarcarile sunt de 3 tipuri (fig. 1) -forte masice (de volum), f [F/L3]; greutatea proprie -forte de suprafata (de tractiune), p [F/L2]; forta de frecare, amortizarea vascoasa, forte de suprafata -forte concentrate in puncte, Pi [F] Elementul de volum diferential se scrie:dV = Adx

(2.1)

(2.2)

P1

f

P2

p

x

Fig. 1 Modelarea cu element finit -Discretizarea (divizarea ) in elemente finite Se considera bara din fig. 1. Primul pas este modelarea barei ca un arbore in trepte, constand dintr-un numar discret de elemente fiecare avand o sectiune transversala constanta. De exemplu sa modelam bara utilizand 4 elemente finite. O schema simpla pentru a face aceasta este de a divide bara in 4 regiuni (subdiviziuni, tronsoane), ca in fig. 2a. Se evalueaza aria sectiunii transversale medii in cadrul fiecarei regiuni si apoi este utilizata pentru a defini un element cu sectiunea transversala uniforma (constanta). Modelul de element finit rezultat (modelul structural discretizat) cu m =4 e.f. si n = 5 noduri (puncte nodale) este aratat in fig. 2b

13

1 1

2 2

3 3

4

4

5x

a)

Fig. 2

b)

Fiecare e.f. se conecteaza prin 2 noduri. Numerele ce indica elementele finite sunt incercuite pentru a le distinge de numerele nodurilor. Pe langa sectiunea transversala, fortele masice si de suprafata sunt de asemenea tratate ca fiind constante pe element. Totusi acestea pot diferi de la element la element. Aproximatii mai bune sunt obtinute prin cresterea numarului de elemente. Este convenabil a defini un punct nodal in fiecare loc unde este aplicata o forta concentrate. -Acordarea de grade de libertate la noduri (fig. 3) Intr-o problema unidimensionala fiecare nod are permisa deplasarea doar in directia x, deci are numai un grad de libertate (DOF sau GDL). Deplasarile de-a lungul fiecarui GDL sunt notate cu D1, D2, D5. Ele alcatuiesc vectorul deplasare global (vectorul deplasarilor nodale ale structurii), notat {D}iar {F } este vectorul incarcarilor globale obtinut prin reducerea echivalent la noduri a tuturor tipurilor de incarcari.F1 D1

F2 D2

F3 D3

F4 D4

F5 D5

Fig. 3

14

D1 U 1 F1 D U F 2 2 2 {D} = D3 = U 3 ; {F } = F3 -vectorul incarcare global obtinut D U F 4 4 4 F5 D5 U 5

Informatia cu privire la conectivitatea elementelor poate fi reprezentata convenabil ca in fig. 4. Suplimentar se poate da un tabel de conectivitate a elementelor. In acest tabel capetele 1 si 2 se refera la numerele locale de nod ale unui e.f. si, corespunzator, numerele de nod de pe corp (structura) sunt denumite numere globale. Conectivitatea stabileste astfel corespondenta localglobal.1 2 3 4

xD1 eU2

Elemente Noduri 1 2 e 1 1 2 3 4 2 3 4 5 D5

D2

D3

D4

2 3 4

U1

Fig. 4 Conectivitatea elementelor In acest exemplu simplu, conectivitatea poate fi usor generata deoarece nodul local 1 este acelasi cu numarul elementului e si nodul local 2 este e+1. Alte moduri de numerotare a nodurilor sau geometrii mai complicate sugereaza necesitatea unui tabel de conectivitatea. Acest lucru va fi mai evident in probleme bi si tri-dimensionale. In MEF sunt importante si trebuie bine intelese conceptele de: grad de libertate (GDL); deplasari nodale; forte nodale echivalente; conectivitatea elementelor.

FUNCTII DE COORDONATE SI DE FORMA Se considera un element finit tipic (standard) e ca in fig. 5, cu nodurile 1 si 2 (in schema de numerotare locala). Se noteaza cu x1, respectiv x2 coordonatele (abscisele) nodurilor 1 si 2 in sistemul de coordonate global (al structurii). Definim un sistem de coordonate natural sau intrinsec, notat cu , prin relatia:

15

=

2 (x x1 ) 1 x 2 x1 1 x1 x

(2.3)

e

2

1=-1

2=+1

x2 a) Fig. 5 Lungimea unui element este acoperita cand variaza de la -1 la +1. Utilizam acest sistem de coordonate in definirea functiilor de forma care sunt folosite la interpolarea campului de deplasare. Campul de deplasare necunoscut din interiorul unui element va fi interpolat printr-o distributie liniara (Fig. 6).u necunoscut u liniar

b)

d1=u1

d2=u2

d1

d2

1 e

2

1 e

2

Fig. 6. Interpolarea liniara a campului de deplasare pe un e.f. Pentru a implementa aceasta interpolare liniara, se vor introduce functiile de forma liniare cu expresiile: N 1 ( ) = 1 1+ ; N 2 ( ) = 2 2

Graficele functiilor de forma N1 si N2 sunt aratate in fig. 7a, respectiv 7b.

N

N=

1 2

N

N=

1 2 1 u1 1

u u = N1u1 + N 2u2

1=-1 =0 =+1 =-1 =0

u2 2

=+1

a)Functia de forma N1 N2

b)Functia de forma N2 Fig. 7

c)Interpolare liniara intre N1 si

16

Odata ce functile de forma sunt definite, campul de deplasare liniar din interiorul elementului poate fi scris in functie de deplasarile nodale u1 si u2u = N 1u1 + N 2 u 2 (2.5) sau, in notatie matriciala

u u = [ N 1 N 2 ] 1 = [ N ]{d e } u 2 astfel: x = N 1 x1 + N 2 x 2

(2.6)

Se poate observa ca transformarea de la x la in rel. (2.3) se scrie in functie de N1 si N2

(2.7)

Comparnd (2.5) si (2.7) se vede ca atat deplsarea u cat si coordonata sunt interpolate pe element utilizand aceeasi fuctie de forma N1 si N2. Acest lucru este cunoscut in literatura de specialitate ca o formulare izoparametrica. Desi mai sus au fost utilizate functii de forma liniare, si alte alegeri sunt posibile (de exemplu functii de forma cuadratice). In general functiile de forma trebuie sa satisfaca urmatoarele conditii: 1. Primele derivate trebuie sa fie finite pe un e.f. 2. Deplasarile trebuie sa fie continue pe frontiera elementului. Relatia deformare-deplasare (ecuatia geometrica) este:

x = =

du dx

(2.8)

Utiliznd regula de difereniere obtinem

=

du d d dx

(2.9)

Din relatia dintre x si (rel. 2.3) avem 2 d = dx x 2 x1 De asemenea dindu u1 + u 2 = d 2 Cu care ecuatia (2.8) devine u1 + u 2 2 1 ( u1 + u 2 ) = x 2 x1 x 2 x1 2

(2.10)

u = N 1u1 + N 2 u 2 =

1 1+ u1 + u2 2 2(2.11)

=

(2.12)

Ecuaia (2.12) poate fi scrisa matricial ca:

= [B ]{d e }

(2.13)

unde matricea [B] de dimensiuni (1x2), denumita matrice deformatie-deplasare de element, este data de

17

[B] =

1 [ 11] = 1 [ 11] x 2 x1 le

(2.14)

Nota. Folosirea de functii de forma liniare conduce la o matrice [B] constanta si din acest motiv, la o deformatie constanta pe element. Tensiunea, din legea lui Hooke, este:

{ } = E{ } = E[B]{d e }

(2.15)

Tensiunea data de ecuatia de mai sus este de asmenea, constanta pe element. In scopul interpolarii, totusi tensiunea obtinuta din (2.15) poate fi considerata a fi valoarea din centrul elementului. Expresiile {u} = [N ]{d e }; { } = [B ]{d e }; { } = E [B ]{d e } asociaz deplasarea, deformatia si respectiv tensiunea in functie de valorile deplasarilor nodale. Aceste expresii vor fi acum inlocuite in expresia energiei potentiale a barei pentru a obtine matricea de rigiditate si de incarcare ale elementului. ABORDARE CU AJUTORUL ENERGIEI POTENTIALE Expresia generala pentru energia potentiala data in mecanica structurilor

= U i + U ex = U i Le =

1 T T T A dx u fA dx u p dx ui Pi 2L i L L

(2.16)

In ultimul termen de mai sus, Pi, reprezinta o forta actionand in punctul i iar ui este deplasarea din punct pe directia x. Sumarea dupa i da energia potentiala datorata incarcarilor din toate punctele. Intrucat continutul a fost discretizat in elementele finite, expresia pentru devine:

=e

1 T A dx 2e e

ue

T

fA dx e

ue

T

p dx Pi Dii

(2.17)

Ultimul termen de mai sus presupune ca fortele punctuale Pi sunt aplicate la noduri. Ec. (2.17) mai poate fi scrisa ca:

= U e e e

ue

T

fA dx e

ue

T

p dx Pi Dii

(2.18) (2.19)

unde U e =

1 T A dx 2 e

este energia de deformatie a elementului finit. MATRICEA DE RIGIDITATE A ELEMENTULUI Inlocuind pe = E [B ]{d e } si = [B ]{d e } in relaia de mai sus rezulta18

Ue =

1 {d e }T [B ]T E[B ]{d e }Adx 2 e 1 {d e } [B ]T E [B ]Adx {d e } 2 e

(2.20 a)

SauUe =

(

)

(2.20 b)

In modelarea cu elemete finite, aria sectiunii transversale a elementului e , notata cu Ae, este constanta. De asemenea, [B] este o matrice constanta. Transformarea din x in (rel. 2.3) x = Conduce la dx =x 2 x1 x +x + 2 1 2 2

l x 2 x1 d = e d 2 2

(2.21)

Unde 1 +1 si l e = x 2 x1 este lungimea elementului finit. Acum, energia de deformatie a elementului, Ue, se scrie:1 le 1 T T U e = {d e } Ac E e [B ] [B ] d {d e } 2 1 2

(2.22)

Unde Ee este modulul Young al elementului e . Notand cu (2.14), gasim: Ue = 1 1 {d e }T Ae l e Ee 12 [ 11]{d e } 2 l e + 1 11 1 {d e }T Ae Ee {d e } 11 le 2

1

d = 2 ,

si nlocuind [B] din

(2.23) (2.24)

care conduce la U e =

Ecuaia de mai sus este de forma: Ue = 1 {d e }T [k e ]{d e } 2 1 1 11 (2.25)

Unde s-a notat cu [kc] matricea dse rigiditate a elementului

[k e ] Ae Ee le

(2.26)

TERMENII FORTA (INCARCARE) Se considera mai intai, termenul fortei masice de element potetiala totala. nlocuind u = N1u1 + N 2 u 2 avem:T u fAdx = Ae f (N1u1 + N 2 u 2 ) dx T e e

ue

T

fAdx , care apare in energia

(2.27)

19

ue

T

fAdx = Ae f ([N ]{d e }) dx = {d e }T e

T

Ae f N 1 dx e Ae f N 2 dx e

(2.28)

Integralele din functie de forma pot fi evaluate facand substitutia (2.21): dx = Atunci

le d 2

N1dx =e

le 1 1 le 1 2 d = 2 2

l 1 1 l N 2 dx = e d = e 2 1 2 2 e Geometric,l 1 l e 1 = e . Similar 2 2

(2.29)

N dx1 e

este aria de sub curba N1, cum se arata in fig. 8, care este egala cu dx = l 1 le 1 = e 2 2

Ne

2

Termenul funciei masice din (2.28) se reduce la:

ue

T

fAdx = {d e } Ae fT

le 2

1 T = {d e } { f e } 1

(2.29)

1

Aria = N 1 dx =e

l 1 le 1 = e 2 2

le Fig. 8 Integrala din functia de forma Ae l e f 1 2 1

Astfel, vectorul fortei masice de element, {fe}, este { f e }

(2.30) este

Vectorul fortei masice de element are o explicatie fizica simpla. Deoarece Aele volumul elementului si f este forta masica pe unitatea de volum, vedem ca Aelef distribuita la cele doua noduri ale elementului.

da forta masica

totala care actioneaza pe element. Factorul in ec. (2.30) arata ca forta masica totala este egal Se considera acum termenul fortei de tractiune pe element care apare in expresia energiei potentiale totale. Avem:20

ue

T

pdx = ( N1u1 + N 2 u 2 )e

T

u1 pdx = [N1 N 2 ] pdx u 2 e

T

(2.31)

Deoarece forta de tractiune este constanta pe element, avem:

p N1 dx T e u T pdx = {d e } e p N 2 dx e S-a arata deja ca

(2.32)

N dx = N1 e e

2

dx =

le si ec. (2.32) este de forma 2(2.33)

ue

T

pdx = {d e } {p e }T

unde vectorul fortei de tractiune pe element, {pe} este {p e } =

pl e 2

1 = {Qe } 1

(2.34)

Avand [ke], {fc}, {pe} si {de} la nivelul elementului finit e se stabileste relatia fizica elementala (modelul numeric elemental)

[k c ]{d e } = {Fe }

(2.35)

Daca se neglijeaza fortele masice si se iau in considerare numai fortele distribuite pe suprafata (de tractiune) si fortele concentrate in noduri, atunci vectorul fortelor nodale se poate scrie.

{Fe } = {S e } {Re }unde

= {S e } + {p e } = {S e } + {Qe }

(2.36)

{S e } =

N1 - vectorul eforturilor din nodurile e.f. si {Re } = {p e } - vectorul reactiunilor N 2

date de incarcarile distribuite pe element ASAMBLAREA Este operatiunea de refacere a structurii din elementele finite componente. Dupa ce s-au stabilit matricele de rigiditate [ke] si vectorul reactiunilor din incarcarile distribuite {Re} (sau vectorul actiunilor distribuite reduse echivalent la noduri, {Qe}), pentru toate elementele finite, este necesara asamblarea lor in matricea de rigiditate a intregii structuri [k], respectiv in vectorul {Q} (sau {R} daca se lucreaza cu reactiunile {Re}) Pe baza incidentei componentelor fiecarui vector {de} (e=1,2,3,...,m) cu componentele vectorului {D}, al deplasarilor nodale din structura se realizeaza expandarea relatiei fizice elementale respective la dimensiunile vectorului {D}, obtinandu-se:

[k ]{D} = {F }e e

unde

{F } = {S }+ {Q }e e e

(2.37) 21

care reprezinta modelul numeric elemental expandat ; aceasta incidenta intre gradele de libertate elementale si structurale se face direct, deoarece deplasarile din cele doua sisteme de axe (global sau structural, respectiv local sau elemental) coincid ca directie, iar elementul finit leaga doua noduri consecutive.

1 D1

2 D2

............

i-1

i Di 1 U1 3 2

i+ 1 D i+ 1x

............

n Dn

U2

D1 D2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Di Di+1. . . . . . . . . . . k11 . k 21 . . . . . . . . . . . k12 k 22 . . . . . . . . . . . . .

Dn. D1 . . . D2 . . . . . . . . . . . . . . = + . Di N 1 pl i / 2 . Di +1 N 2 pl i / 2 . . . . . . . . . Dn . .

Conditia de echilibru static a fiecarui nod, exprimata printr-o ecuatie de proiectie dupa axa generala X, presupune adunarea membrului stang al relatiei expandate (2.37) pentru toate elementele finite si egalarea rezultatului cu {F} vectorul fortelor nodale echivalente, obtinandu-se:

[K ]{D} = {F } unde

(2.39)

[K ] = [k e ]; {F } = {P} + {Q} sau {F } = {P} {R}e

{Q} = {Q e }, sau {R} = {R e }e

(2.40)

[K] matricea de rigiditate globala a structurii (simetrica dar singulara, deci neinversabila). In cazul barelor drepte aceasta matrice este de tip banda deoarece elementele nenule se gasesc in imediata apropiere a diagonalei principale. Observatie. Pentru ca un element finit leaga doua noduri consecutive, incidenta, expandarea se pot face direct in constructia matricei [K]; se incepe de la o extremitate a barei, care constituie nodul 1 si se pune matricea primului e.f. (1-2); urmeaza matricea celui de-al doilea e.f. (2-3) si asa mai departe:

22

1 k11 1 k 21

1 k12 1 2 k 22 + k11 2 k 21

2 k12 2 3 k 22 + k11 3 k 21

3 k12 3 k 22

In casutele care se suprapun, componenetele a doua matrice elementale se aduna, datorita faptului ca nodul respectiv apartine la doua e.f. vecine (este extremitatea dreapta -2 pt e.f. din stanga si extremitatea stanga -1 pentru e.f. din dreapta. Matricea [K] devine nesingulara prin introducerea conditiei la limita, adica a conditiei de rezemare a structurii. Pentru a pune in evidenta necunoscutele problemei, relatia (2.39) se partitioneaza si se ordoneaza (rearanjeaza) sub forma: K nn K rn K nr Dn Qn Pn = K rr Dr Qr Pr

(2.41)

Unde {Dn}, {Qn}, {Pn}- subvectorii deplasarilor, actiunilor distributie reduse la noduri si al actiunilor exterioare concentrate, dupa directia GDL libere ({Dn}- deplasarea necunoscutelor) {Dr}, {Qr}, {Pr} subvectorii respectivi dupa directiile GDL constranse (dupa directiile legaturilor structurii) Din (2.41) rezulta doua ecuatii matriciale, care reprezinta ecuatiile de conditie ale structurii si a caror rezolvare depinde de legaturile sale: [Knn]{Dn}+[Knr]{Dr}={Pn}+{Qn} [Krn]{Dn}+[Krr]{Dr}={Pr}+{Qr} a) b) (2.42)

REZOLVAREA SISTEMULUI DE ECUATII si determinarea starii de deformare si de eforturi La rezolvarea euatiei matriciale (2.42) se pot intalni 3 situatii in functie de legaturile structuriila teren sau la baza fixa de rezemare.

a) Cazul legaturilor fixe sau rigide, cand {Dr}=0nodale necunoscute: {Dn}=[Knn]-1{Fn}=[Knn]-1({Pn}+{Qn}) si reactiunile structurii din (2.42 b) {Pr}=[Krn]{Dn}-{Qr} {Se}=[ke]{de}-{Qe}

(2.43) si din (2.42 a) rezulta deplasarile (2.44) (2.45) (2.46)

Eforturile de la extremitatile fiecarui element finit se deduc din ecuatia fizica elementala Unde {de} se extrage din vectorul {D}, care este complet cunoscut. Cu eforturile {Se} se traseaza diagrama de forta axiala N.

b)cazul legaturilor (reazemelor) cu cedari cunoscute, deci {Dr}este cunoscut si atunci din(2.42 a) rezulta deplasarile necunoscute 23

{Dn}=[Knn]-1({Pn}+{Qn}-[Knr]{Dr}) iar din (2.42 b) reactiunile structurii: {Pr}=[Krn]{Dn}+[Krr]{Dr}-{Qr} respective, adica: {Dr}=[Frr]{Pr} elastice ale legaturilor, introducand (2.49) in (2.42) se obtine: [Knn]{Dn}+[Knr][Frr]{Pr}={Pn}+{Qn} [Krn]{Dn}+([Krr][Frr]-{Irr}){Pr}={Qr} unde [Irr] matricea unitate. Din (2.50 b) rezulta {Pr}=([Krr][Frr]-[Irr])-1({Qr}-[Krn]{Dn}) Care introdusa in (2.50 a), permite calculul dseplasarilor cu relatia {Dn}=[Knn*]-1{Pnn*} Unde [Knn*]=[Knn]-[Knr][Frr]([Krr][Frr]-[Irr])-1{Qn} {Pnn*}={Pn}-{Qn}-[Knr][Frr]([Krr][Frr]-[Irr])-1{Qr} a) b)

(2.47)

(2.48)

c) Cazul legaturilor (reazemelor) elastice, care permit deplasari proportionale cu reactiuile(2.49)

unde [Frr] o matrice patrata cunoscuta, de obicei diagonala ale carei elemente sunt caracteristicile

(2.50)

(2.51) (2.52) (2.53)

Introducand {Dn} din (2.52) in (2.51) rzulta reactiunle {Pr} si din (2.46) eforturile din extremitatile fiecarui e.f cu care se traseaza diagrama N. Tensiunile in fiecare e.f. se calculeaza cu relatia

=

Ne Ae

(2.54)

Algoritmul prezentat este in intregime programabil si pe baza lui s-au realizat programe de calcul automat specifice.(FEM1D)

24

2.2. GRINZI SOLICITATE LA INCOVOIERESe considera o grinda cu una sau mai multe deschideri astfel rezemata si actionata de incarcarile exterioare, incat este solicitata la incovoiere plana; grinda se deformeaza pana ajunge in pozitia de echilibru elastic deformat (fig 2.2.1). Aceasta pozitie deformata este definita prin deplasarile punctelor a barei, care constituie GDL ale structurii. in general, datorita continuitatii materialului numarul GDL este infinit, ceea ce revine la determinarea functiei de deplasare W(x); dar pozitia deformata poate fi definita in mod aproximativ prin deplasari numai ale unor puncte precizate ale axel barei; in acest caz se spune ca structura are un numar finit de GDL.

a) Fig 2.2.1

b)

In pozitia de echilibru elastic deformat a structurii sunt satisfacute 3 conditii: structurii; conditia fizica de comportare elastic liniara a materialului din care este realizata structura (valabilitatea legii lui Hooke) 2.2.1 Ecuatiile diferentiale care guverneaza echilibrul elastic Cand conditia de echilibru static se exprima pe axa nedeformata a barei (calculul de ordinul I, elastic liniar), pozitia de echilibru elastic al barei satisface o diferentiala de ordinul al II-lea. conditia de echilibru static, dintre actiunile exterioare si reactiuni, pe de o parte, si conditia de compatibilitate geometrica, care consta pe de o parte in continuitatea si dintre actiunile exterioare si reactiuni si fortele interne (eforturi si tensiuni), pe de alta parte; netezimea (panta continua) deformatiei precum si din satisfacerea conditiilor de rezemare a

EI ( x )unde

d 4w( x) dx 4

= p ( x)

(2.2.1)

EI rigiditatea sectionala la incovoiere in planul xz; w(x) functia de deplasare (sageata); p(x) intensitatea sarcinii exterioare. Nu s-a luat in considerare efectul deformatiilor de lunecare produse de forta taietoare. 25

Pentru determinarea constantelor de integrare, ecuatia diferentiala (2.2.1) trebuie sa i se ataseze conditia la limita (de rezemare), care de exemplu, pentru grinda din fig 2.2.1a sunt:

w(0)=0 ; w(L)=0 ;M(0)=0 => w(0)=0 ; (L)=0 => w(L)=0 sunt date de relatiile: (2.2.2) si depind de modul de rezemare al grinzii. De asemenea, eforturile dintr-o sectiune curenta a barei

M ( x ) = EI

d 2w d 3w ; Q ( x ) = EI 3 = V ( x) dx 2 dx

(2.2.3)

Determinarea deplasarilor la incovoiere a unei bare, deci rezolvarea ecuatiei diferentiale (2.2.1) cu conditia la limita (2.2.2) se poate face prin urmatoarele metode: - metoda integrarii directe; - metoda grinzii conjugate; - metoda parametrilor in origine (care sub forma matriciala conduce la metoda matricei de transfer); - metoda diferentelor finite; - metoda elementelor finite. Primele 3 metode sunt metode analitice pentru ca dau posibilitatea sa se determine functia de deplasare W(x), deci structura se considera cu o infinitate de GDL. Metoda diferentelor finite si metoda elementelor finite, care va fi tratata in continuare, sunt metode numerice pentru ca ele dau posibilitatea determinarii deplasarii numai in anumite puncte ale structurii. 2.2.2 Metoda elementelor finite MEF In cele ce urmeaza, pentru rezolvarea problemei (2.2.1) se va folosi metoda elementelor finite in formularea reziduala (cu ajutorul teoremelor reziduurilor ponderate cu ponderea de tip Galerkin), care este adecvata pentru integrarea numerica a ecuatiei diferentiale. Aceasta metoda comporta mai multe etape. Stabilirea modelului structural discretizat cu un numar finit de grade de libertate.

Bara se discretizeaza in m tronsoane (elemente finite unidimensionale), pentru care

sectiunea grinzii si eventual incarcarea se pot considera constante; aceste elemente finite sunt legate intre ele prin noduri (puncte materiale definite ca intersectia axelor e.f. conexe care se numeroteaza cu cifre (fig. 2.2.2)

26

Fig. 2.2.2

Intr-un sistem de axe general XYZ, fiecarui nod i se acorda cate 2 GDL, care corespund celor

2 deplasari independente ale nodului sageata (deplasarea liniara dupa axa Z) notata Diz si rotirea in jurul axei Y, notata Di, (fig. 2.2.2); deplasarile liniare sunt pozitive in sensul pozitiv al axei Z, iar rotirile sunt pozitive in sens antiorar. Cu aceste deplasari se construieste vectorul deplasarilor nodale: {D}={ D1z D1 ... Diz Di ... Dnz Dn}T (2.2.4) in care unele deplasari sunt: nule, daca nodul este blocat prin anumite legaturi (reazeme fixe sau rigide); cunoscute ca marime , daca legaturile respective sufera cedari; proportionale cu reactiunile din legaturi, daca acestea sunt legaturi elastice; necunoscute ca marime daca nodul este liber. Corespunzator vectorului {D} se construieste vectorul fortelor nodale concentrate. {P}={ P1z P1 ... Piz Pi ... Pnz Pn}T (2.2.5) care au acelasi numar de componente ca si vectorul {D}si este ordonat in sensul ca Piz este forta (corespunzatoare deplasarilor liniare, iar Pi este moment; unele din acele componente sunt necunoscute si reprezinta reactiunile din reazeme, iar celelalte sunt cunoscute si reprezinta actiunile exterioare concentrate aplicate in noduri; fortele sunt pozitive in sensul axei Z, iar momentele sunt pozitive in sens antiorar. Analiza elementului finit pentru a obtine modelul numeric elemental

Se considera un element finit unidimensional curent de bara incovoiata, cu sectiunea constanta si axa rectilinie, caruia i se acorda cate doua grade de libertate la fiecare extremitate, in concordanta cu GDL acordate nodurilor modelului structural discretizat. Deplasarile corespunzatoare celor 2 GDL de la fiecare extremitate, intr-un sistem de axe local (propriu e.f.) xyz , sunt deplasarea liniara dupa axa z (sageata W) si rotirea in jurul axei y, (fig. 2.2.3)

27

Fig. 2.2.3

Cu aceste 4 deplasari se alcatuieste vectorul deplasarilor nodale {de}={W1 Q1 W2 Q2}T (2.2.6)

si in mod corespunzator vectorul eforturilor (fortelor) elementale: {Se}=}={ Q1 M1 Q2 M2}T (2.2.7)

Pentru acest element finit ramane valabila ecuatia diferentiala (2.2.1), dar conditiile la limita constau in satisfacerea de catre functia de deplasare W(x) a deplasarilor nodale elementale {de}

Solutia unei astfel de probleme cu conditii la limita depinde de incarcarea p(x) din lungul elementului finit, dar se poate aproxima, in general prin functii polinomiale. Astfel se propune drept solutie aproximativa, polinomul de gradul 3 cu coeficienti nedeterminati:

we=0+1x+2x2+3x3

(2.2.8)

ceea ce revine la a accepta o variatie liniara pentru momentul incovoietor (derivata a doua) si o forta taietoare constanta (derivata a treia). Aceste variatii nu sunt valabile daca in lungul barei actioneaza incarcari distribuite. Din (2.2.8) rezulta pentru rotire expresia: e(x)=we=1+22x+33x2 (2.2.9)

Coeficientii i(i=0,1,2,3) din relatiile (2.2.8) si (2.2.9) se exprima prin componentele vectorului deplasarilor elementale pe baza conditiilor la limita.

pt. x = 0 we ( 0 ) = 0 = w1 ; e ( 0 ) = 1 = 1 pt. x = l we ( l ) = o + 1l + 2l 2 + 3l 3 = w2 ; e ( l ) = 1 + 2 2l + 3 3l 2 = 2care reprezinta un sistem de 4 ecuatii algebrice cu 4 necunoscute; solutia este:

0 = w1 ; 1 = 1 ; 2 =

3 3 2 1 w1 + 2 w2 1 2 ; 2 l l l l 2 2 1 1 3 = 3 w1 3 w2 + 2 1 2 2 l l l l

(2.2.10)

28

care introdusa in (2.2.8) da pentru solutia aproximativa expresia:3 2 1 2 2 1 3 2 we ( x ) = w1 + 1 ( x ) + 2 w1 + 2 w2 1 2 x 2 + 3 w1 + 3 w2 2 1 2 2 x3 = l l l l l l l l 2 3 2 3 2 3 2 3 3x 3x 2 x x 2x 2x x x = 1 2 + 3 w1 + x + 2 1 + 2 3 w2 + + 2 2 = l l l l l l l l w1 T = N1 ( x ) w1 + N 2 ( x )1 + N 3 ( x ) w2 + N 4 ( x ) 2 = [ N1 N 2 N 3 N 4 ] 1 = [ N ] {d e } w2 2 (2.2.11) unde s-au introdus notatiile:3x 2 2 x3 2 x 2 x3 + 3 ; N2 ( x ) = x + 2; l2 l l l 2 3 2 3 3x 2 x x x N3 ( x ) = 2 3 ; N4 ( x ) = + 2 . l l l l N1 ( x ) = 1

(2.2.12)

care se numesc functii de forma de tip lHermite; impreuna cu derivatele lor satisfac proprietatile la limita, usor de verificat, prezentate in tabelul 1: Limita x=0 x=l N1 1 0 N1 0 0 N2 0 0 N2 1 0 N3 0 1 N3 0 0 N4 0 0 N4 0 1

Observatia 1: aceste functii de forma reprezinta ecuatiile deformatei elementului finit, supus insa numai la o deplasare de capat unitara; de exemplu N1(x) este (x) este W1(x) produs de W1=1 si toate celelalte deplasari de capat nule (fig. 2.2.4); in acest caz, in capetele barei apar reactiunile prezentate direct in figura (rigiditatile la deplasare ale barei dublu incastrate) si, aplicand MPO rezulta ecuatia sagetii We(x) care reprezinta N1(x) tinandu-se seama de noua conventie de semne adoptata

N1(x)

Fig. 2.2.4

29

Pentru ca expresia We(x) din (2.2.11) este o solutie aproximativa a ecuatiei diferentiale (2.2.1), rezulta ca fiind introdusa in aceasta va da un reziduu (eroare sau discrepanta):6 EI l2 12 EI Q2 = k31 = 3 l 4 d we + p ( x) 0 ( x ) = EI dx 4 M 2 = k41 =

(2.2.13)

in care s-a tinut seama ca in conventia de semne a e.f., W(x) are semnul pozitiv invers celui din rezistenta materialelor. l

Cu acest reziduu se construiesc functionalele reziduurilor ponderate, cu ponderea chiar functiile de forma (procedeul Galerkin):l l

d 4w i = N i ( x ) ( x ) dx = EI Ni ( x ) 4e dx + Ni ( x ) p ( x ) dx = 0, i = 1, 2,3, 4 dx 0 0 0 (2.2.14) Conditia ca reziduul sa fie minim, adica functia de deplasare We(x) sa aproximeze cat mai bine solutia exacta a ecuatiei diferentiale (2.2.1), se traduce prin anularea acestor patru functionale; ponderea in relatia functionala a reziduurilor confera o aceeasi importanta pentru functiile implicate in minimizarea acestei functionale. Aceste functionale reprezinta formal exprimarea echilibrului elastic al e.f. prin procedeul lucrului mecanic virtual, caci functiile de forma pot fi considerate deplasari virtuale; in acest caz cele doua integrale din (2.2.14) ar reprezenta lucrul mecanic interior, respectiv lucrul mecanic exterior. de asemenea rel. (2.2.14), obtinuta este absolut necesar pentru MEF. In prima integrala din (2.2.14) se efectueaza integrarea prin parti de doua ori, obtinandu-se:d 4w d 3 we dN d 2 we d 2 N i d 2 we I1 = EI N i ( x ) 4e dx = N i ( x ) EI i EI + EI dx, i = 1, 2,3, 4 dx dx 3 0 dx dx 2 0 dx 2 dx 2 0 0l l l l

(2.2.15) In noua conventie se tine seama de MEF rel. (2.2.3) din Rezistenta materialelor devenindEI d 2 we = M ( x) dx 2 ; EI d 3 we = +Q( x) = V ( x) dx 3

(2.2.16)

deoarece sagetii si momentului li s-au schimbat semnul, iar forta taietoare a ramas cu acelasi semn. Introducand aceste relatii in (2.2.15) rezulta: 30

'' I1 = N i ( x ) Q( x) 0 + N i ' ( x ) M ( x) 0 + EI N i'' ( x) we ( x)dx, i = 1, 2,3, 4 l l 0

l

(2.2.17)

din care, in baza proprietatilor la limita ale functiilor de forma din tabelul 1 si a expresiei sagetii din (2.2.11), rezulta:Q1 w1 M l 1 1 '' '' '' '' '' I1 = + EI N i ( x) N1 N 2 N3 N 4 dx , i = 1, 2,3, 4 w2 Q2 0 M 2 2

(2.2.18)

sau N '' 2 N '' N '' 1 2 1 Q1 M l N '' N '' N '' 2 2 2 1 I1 = 1 + EI '' '' Q2 0 N 3'' N1'' N 3 N 2 M 2 '' '' '' N 4 N1'' N 4 N 2

( )

( )

'' '' N1'' N 3 N1'' N 4 w 1 '' '' '' N 2 N 3'' N 2 N 4 1 dx w 2 '' '' N 3'' N 3 N 4 2 2 2 '' '' '' N 4 N3 N 4

( )

(2.2.19)

( )

Tinand seama de expresiile functiilor de forma (2.2.12), dupa efectuarea integralelor rezulta: 12 EI 6l I1 = 3 l 12 6l 6l 12 6l w1 Q1 4l 2 6l 2l2 1 M 1 6l 12 6l w2 Q2 2l 2 6l 4l 2 2 M 2

(2.2.20)

Cea de-a dou integrala din (2.2.14), in cazul unei incarcari uniform distribuite p(x)=p, conduce la: 3x 2 2 x3 l 1 2 + 3 2 l l 2 2 x 2 x3 l + 2 l l x 12 l l I 2 = N i ( x) p ( x)dx = p 2 dx = p = { Re } = {Qe } 2 x3 0 0 3x l 3 2 l 2 l 2 2 3 x + x l 2 12 l l

(2.2.21)

31

care reprezinta reactiunile de grinda dublu incastrata produse de incarcarile distribuite in lungul elementului finit; pentru alte incarcari se pot utiliza reactiunie date in tabele si determinate prin metoda fortelor din statica constructiilor (cu semnul aceste reactiuni reprezinta actiunile distribuite reduse echivalent la noduri). Tinand seama de (2.2.20) si (2.2.21), conditia de anulare a functionalelor Galerkin (2.2.14) devine: 12 EI 6l l 3 12 6l 6l 12 6l w1 4l 2 6l 2l2 1 + 6l 12 6l w2 2l 2 6l 4l 2 2 l / 2 Q1 2 l /12 M 1 p = l / 2 Q2 2 l /12 M 2

(2.2.22)

sau

[ ke ]{de } + {Re } = {Se } - relatia fizica elementala(modelul numeric elemental)

(2.2.23)

[ke] matricea de rigiditate a e.f.; {Re} vectorul reactiunilor de la extremitatile e.f., produse de incarcarile distribuite pe element. Matricea [ke] de ordinul al IV-lea se poate partitiona in 4 submatrice de ordinul al II-lea:k k12 k22

[ ke ] = k11

(2.2.24)

21

unde k11 si k22 eforturile din cele doua extremitati, 1 si 2 (primul indice), produse de deplasari unitare date in nodurile 1, respectiv 2 (al doilea indice); k12 eforturile din extremitatea 1 produse de deplasari unitare date in nodul 2 k21 eforturile din extremitatea 2 produse de deplasari unitare date in nodul 1. Se observa ca submatricele laterale satisfac conditia: k12=(k21)T unde prin T s-a notat operatia matriciala de transpunere. Observatia 1. O coloana din matricea de rigiditate [ke] reprezinta eforturile (rigiditatile) din extremitatile barei dublu incastrate produse de deplasarea corespunzatoare unitara, toate celelalte deplasari fiind nule. Astfel in fig. 2.2.4 sunt prezentate rigiditatile produse de W1=1, care reprezinta coloana intaia din matricea ke in conventia de semne adoptata. Observatia 2. Pe baza observatiei 1 se pot construi matricele de rigiditate si vectorul reactiunilor pentru bare (e.f.) cu articulatii sau reazeme simple la una din extremitati. Asamblarea e.f. pentru a obtine modelul numeric structural. Dupa ce s-au stabilit matricele de rigiditate [ke] si vectorul reactiunilor din incarcari {Re} pentru toate elementele finite, este necesara asamblarea lor in matricea de rigiditate k a intregii structuri si in vectorul reactiunilor {R} 32 (2.2.25)

Pe baza incidentei componentelor fiecarui vector {dc} (e=1,2,...,m), componentele vectorului {D} al deplasarilor nodale din (2.2.4) se realizeaza expandarea rel. fizice elementale respective, la dimensiunile vectorului {D} obtinandu-se:

k e { D} + R e = S e

{ } { }

(2.2.26)

care reprezinta modelul numeric elemental expandat, aceasta incidenta intre GDL elementale si structurale se face direct, deoarece deplasarile din cele doua sisteme de referinta global (structural) si local (elemental) coincid ca directie, asa cum se vede in schema de expandare, iar e.f. leaga doua noduri consecutive.

! D1z D1 LL L L L L L L L

Diz Di Di +1, z Di +1, L Dnz Dn

!

L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L k11 k12 k13 k14 L L L L L k21 k22 k23 k24 L L L L L k31 k32 k33 k34 L L L L L k41 k42 k43 k44 L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L

D1z L L D 1 L L L L L Diz pl / 2 Q1 2 Di + pl /12 = M 1 D i +1, z pl / 2 Q2 Di +1, pl 2 /12 M 2 L L L Dnz L L Dn L L

(2.2.27)

Conditia de echilibru static a fiecarui nod, exprimata printr-o ecuatie de proiectie dupa axa generala Z si o ecuatie de moment, presupune adunarea membrului stang al ecuatiei expandate (2.2.26) si egalarea rezultatului cu vectorul actiunilor nodale {P}, obtinandu-se:

[ K ]{D} + {R} = {P} - relatia fizica structurala(modelul numeric structural) unde

(2.2.28)

[ k ] = k e ; {R} = {R e } e e

(2.2.29)

cu matricea [k] simetrica, dar singulara, numita matricea de rigiditatea globala a barei. In cazul barelor drepte, aceasta matrice este o matrice banda, caci elementele nenule se gasesc concentrate in imediata apropiere a diagonalei principale.33

Observatie. Pentru ca un e.f. leaga doua noduri consecutive, incidenta, expandarea si sumarea se pot face direct in constructia matricei [k], se incepe de la o extremitate a barei, care constituie nodul 1 si se pune matricea primului e.f. (1-2) (hasurata de la dreapta la stanga, se pune apoi matricea celui de-al doilea element finit (2-3) (hasurata pe figura de la stanga la dreapta) s.a.m.d.1 1 k11 k12 1 1 2 2 k 21 k 22 + k11 k12 2 2 3 3 k 22 k 32 + k11 k 32 4 k 3 k 3 +k11 21 22

D 1z D1 D2 z D2 M

Matricea [k] devine nesingulara prin introducerea conditiilor la limita (conditii de rezemare a structurii. Pentru aplicatiile ulterioare rel. fizica structurala (2.2.28) se rearanjeaza sub forma:

knn knr Dn Rn Pn + = krn krr Dr Rr Pr

(2.2.30)

unde {Dn}, {Rn}, {Pn} subvectorii deplasarilor, reactiunilor din incarcarile exterioare ce actioneaza in lungul elementelor finite si al actiunilor exterioare concentrate, dupa directia GDL libere; {Dr}, {Rr}, {Pr} subvectorii respectivi dupa directiile legaturilor structurii. Din (2.2.30) => 2 ecuatii matriciale, care reprezinta ecuatiile de conditie ale structurii:

[ knn ]{Dn } + [ knr ]{Dr } = {Pn } {Rn } [ krn ]{Dn } + [ krr ]{Dr } = {Pr } {Rr }a caror rezolvare depinde de legaturile barei.

(2.2.31)

Rezolvarea sistemelor de ecuatii si determinarea starii de deformare si de eforturi a structurii La rezolvarea ecuatiei matriciale (2.2.31) se pot intalni 3 situatii, in functie de legaturile structurii la teren sau baza de rezemare: Cazul legaturilor fixe (reazeme complet blocate) cand {Dr}=0 si din prima relatie (2.2.31) rezulta deplasarile:

{Dn } = [ knn ] ({Pn } {Rn })1

(2.2.32) 34

iar din a doua relatie (2.2.31) => reactiunile structurii

{Pr } = [ krn ]{Dn } {Rr }Eforturile de la extremitatile fiecarui e.f. se determina din

(2.2.33)

{Se } = [ ke ]{de } + {Re }cu care se traseaza diagramele de eforturi respective.

(2.2.34)

Cazul legaturilor cu cedari cunoscute, deci {Dr} este cunoscut si atunci din relatia (2.2.31) rezulta deplasarile:

{Dn } = [ knn ] ({Pn } {Rn } [ knr ]{Dr })1

(2.2.35)

apoi reactiunile:

{Pr } = {Rr } + [ krn ]{Dn } + [ krr ]{Dr }

(2.2.36)

si eforturile din extremitatile fiecarui e.f. din (2.2.34), cu care se traseaza diagramele de eforturi. Cazul legaturilor elastice, care permit deplasari proportionale cu reactiunile respective, adica : {Dr}=[Frr]{Pr} elastice ale legaturilor. Introducand (2.2.37) in (2.2.31) se obtine: (2.2.37)

unde [Frr] o matrice patrata cunoscuta, de obicei diagonala, ale carei elemente sunt caracteristicile

[ knn ]{Dn } + [ knr ][ Frr ]{Pr } = {Pn } {Rn } [ krn ]{Dn } + ([ krr ][ Frr ] [ I rr ]) {Pr } = {Rr }unde [Irr] matricea unitate. Din ultima ecuatie matriciala rezulta:

(2.2.38)

{Pr } = ([ krr ][ Frr ] [ I rr ]) ({Rr } + [ krn ]{Dn })1

(2.2.39)

care introdusa in prima, conduce la calculul deplasarilor cu relatia:* {Dn } = knn 1

{P }* nn

(2.2.40)1

unde

* knn = [ knn ] [ knr ][ Frr ] ([ krr ][ Frr ] [ I rr ])

{ }

* Pnn = { Pn } + { Rn } + [ knr ][ Frr ] [ krr ][ Frr ] [ I rr ]

(

{Rrn }1

){Rr }

(2.2.41)

Introducand {Dn} in (2.2.39) rezulta reactiunile {Pr}si din (2.2.34) eforturile din extremitatile fiecarui e.f., cu care se traseaza diagramele. Metoda prezentata este in intregime programabila la calculator si in aceste programe se utilizeaza metode specifice de introducere a conditiilor de rezemare.

35

2.3 GRINZI SOLICITATE LA COMPRESIUNE CU INCOVOIERE

La astfel de structuri, actionate in general atat de incarcari normale pe axa barei cat si de incarcari dirijate dupa axa, se ridica doua probleme de calcul: - cunoscandu-se incarcarile dupa axa barei si incarcarile transversale, trebuie determinate deplasarile si eforturile, care sa tina seama de influenta fortei axiale asupra deplasarilor din incovoiere; acesta constituie calculul geometric neliniar sau de ordinul al II-lea; - presupunand ca incarcarea dupa axa barei ar putea creste trebuie determinata acea valoare a acesteia, care conduce la echilibrul indiferent al structurii, numita incarcare critica; acesta constituie calculul de stabilitate al structurii incarcare transversala poate sa existe si atunci pierderea de stabilitate se produce prin divergenta echilibrului sau pot sa nu existe incarcarile transversale si pierderea de stabilitate se produce prin bifurcarea echilibrului (flambaj). 1. Stabilirea ecuatiei diferentiale care guverneaza echilibrul elastic

Relatia diferentiala dintre eforturi si incarcari: - proiectie dupa axa Z dQ = p ( x) Q + dQ Q + p( x) dx = 0 dx - moment in raport cu punctul G dM dw dx =Q+N M + Q dx + N dw p ( x) dx ( M + dM ) = dx dx 2 0

(1)

(2)

dx

Daca efectul deformatiilor din forta taietoare cat si scurtarea grinzii sunt neglijate, atunci axa deformata satisface ecuatia: d 2w EI 2 = M (3) dx EI rigiditatea la incovoiere in planul x w(x) sageata Derivand de doua ori ecuatia (3) si tinand seama de (1) si (2) => d 4w d 2w d 4w d 2M dQ d 2w EI 4 = = N 2 EI 4 + N 2 = p ( x) dx dx dx dx 2 dx dx

(4) 36

Ecuatia (4) generalizeaza ecuatia diferentiala a incovoierii plane si pentru determinarea constantelor de integrare, trebuie atasate acestei ecuatii conditii la limita, care depind de modul de rezemare a grinzii. Solutia ecuatiei diferentiale (4) de ordinul al IV-lea cu coeficienti constanti, se poate obtine prin: metoda integrarii directe; metode analitice metoda parametrilor in origine; metoda diferentelor finite; metode numerice metoda elementelor finite. 2. Metoda elementelor finite

Stabilirea modelului structural discretizat Structura se raporteaza la un sistem de axe general (structural sau global) X1Z, si se discrediteaza in elemente finite (tronsoane de bara), care se leaga intre ele prin noduri ca in fig. 2.

Fig. 2 Fiecarui nod i se acorda cate 2 G.D.L. (deplasarea liniara dupa axa Z sageata wi si rotirea in jurul axei Y i) si se construieste vectorul {D} al deplasarilor nodale, iar in corespondenta biunivoca cu acesta vectorul {P} al actiunilor nodale concentrate la noduri: {D}={ D1z D1 ... Diz Di ... Dnz Dn}T={w11 ... wii ... wnn}T {P}={ P1z P1 ... Piz Pi ... Pnz Pn}T

fig. 3

Analiza elementului finit Elementul finit unidimensional curent este raportat la un sistem de axe propriu (local)

Fig. 3

Fiecarei extremitati i se acorda cate 2 GDL (sageata si rotirea) si se construieste vectorul deplasarilor elementale, respectiv al eforturilor elementale: {de}={W1 1 W2 2}T37

{Se}={ Q1 M1 Q2 M2}T

Drept solutie aproximativa a ecuatiei diferentiale (4) se alege polinomul we = 0 +1x+ 2 x 2 + 3 x 3 (5) care in forma matriciala se scriu dw e (x)= e =1 +2 2 x+3 3 x 2 dx 0 2 3 we ( x) 1 x x x 1 PT ( x) (6) = = T { } 2 e ( x) 0 1 2 x 3 x 2 P ' ( x) 3 Conditiile la limita conduc, in baza relatiei (6) la sistemul de ecuatii algebrice 1 0 1 0 0 0 0 0 w1 1 0 0 1 1 = l l 2 l 3 2 w2 1 2l 3l 2 3 2

(7)

sau [L]{}={de}

(7)

din care rezulta, prin inversarea matricii [L]:

1 0 0 1 3 = 2 2 l 3 2 l3

0 0 0 1 0 0 w1 2 3 1 1 (8) l l2 l w2 1 2 1 3 2 2 2 l l l

sau{}=[L]-1{de}

(8)

Introducand (8) in (5) sau in prima linie a vectorului (6) => pentru sageata 0 0 0 1 0 1 0 0 w1 3 1 1 1 x x 2 x3 3 2 (9) we ( x) = 2 l l l2 l w2 1 2 1 2 3 2 2 l3 l2 l l sauwe ( x) = PT ( x ) [ L ]

{

}

1

{d e } = N i ( x ) { d e } T

(10)

unde {Ni(x)} este vectorul functiilor de forma de tip lHermite

38

3x 2 2 x3 1 2 + 3 l l N1 ( x) 2 x 2 x3 + 2 N ( x) x { Ni ( x)} = 2 = 2 l 3 l N 3 ( x) 3 x 2 x 3 N 4 ( x) l 2 l 2 3 x + x l l2

(11)

Introducand solutia aproximativa (10) in ecuatia diferentiala (4), se obtine reziduul (eroarea sau discrepanta) d 4 we d 2 we (12) ( x) = EI +N + p ( x) 0 dx 4 dx 2 Cu acest reziduu se construiesc functionalele reziduurilor ponderate de tip Galerkin: l l l l d 4 we d 2 we d 2 we i = N i ( x ) ( x ) dx = EI Ni ( x ) 4 dx +N N i ( x ) 2 dx + N i ( x ) 2 p ( x ) dx = 0 dx dx dx 0 0 0 0 i = 1, 2,3, 4 (13) care trebuie sa se anuleze pentru ca we(x) sa tinda catre solutia exacta. Efectuand de doua ori integrarea prin parti in prima integrala din (13) si odata in cea de-a doua integrala, se obtine:d 3 we d 2 we i = N i ( x ) EI N i '( x) EI + EI N i ''( x) we '' dx + dx3 0 dx 2 0 0 dw + NN i ( x) e N N i ' ( x ) we ' dx + N i ( x ) p ( x)dx = 0, dx 0 0 0l l l l l l

(14)

i = 1, 2,3, 4

Din (3) si (2) rezulta: d we dw dM EI = = Q N e 3 dx dx dx 3 d we dw EI =QN e 3 dx dx3

(15) (16)

in conventia de semne din R.M. sau in conventia de semne din M.N.

Tinand seama de (16) si (3) rel. (14) devine: l l l dw l i = N i ( x ) Q( x) 0 NN i ( x) e + N i ( x) M ( x) 0 + EI N i ''( x) we '' dx + dx 0 0dw + NN i ( x) e N N i ' ( x ) we ' dx + N i ( x ) p ( x)dx = 0, dx 0 0 0l l l

(17)

i = 1, 2,3, 4

care prin reducerea termenilor asemenea si in baza proprietatilor la limita a functiilor de forma rezulta:

39

Q1 w1 M l l 1 1 '' '' '' '' '' ' ' ' ' ' i = + EI Ni N1 N 2 N 3 N 4 dx N N i ( x) N1 N 2 N3 N 4 dx + 0 w2 Q2 0 M 2 2

{

}

{

}

(18)

+ N i ( x) p ( x)dx = 0,0

l

i = 1, 2,3, 4

unde s-a tinut seama de expresia sagetii data de (10). Dezvoltand aceasta relatie se obtine: N ' 2 N'N ' N '' 2 N '' N '' N '' N '' N '' N '' 1 1 2 1 3 1 4 1 2 1 2 2 '' '' ' '' '' '' '' '' l N' N' l N 2 N1 N 2 N 2 N 3 N 2 N 4 2 1 N2 EI dx N ' ' ' ' 2 '' '' '' '' '' 0 N N 0 N 3 N1'' N 3 N 2 N 3'' N 3 N 4 3 1 N3 N 2 2 ' ' ' '' '' '' '' '' N 4 N1' N 4 N 2 N 4 N1'' N 4 N 2 N 4 N3'' N 4 N1 Q1 N l 2 M1 + p ( x) dx = 0 N3 Q2 N4 M 2

( )

( )

( )

( )

( )

( )

' N1' N 3' N1' N 4 w 1 ' ' ' ' N 2 N 3 N 2 N 4 1 dx w + 2 ' ' N 3' N 3 N 4 2 2 2 ' ' ' (19) N 4 N3 N 4

( )

( )

Tinand seama de expresiile functiilor de forma (11) si efectuand calculele in (19) => 12 6l 12 6l 36 3l 36 3l w1 l / 2 Q1 2 2 2 2 2 EI 6l 4l 6l 2l N 3l 4l 3l l 1 + p l /12 = M 1 l 3 12 6l 12 6l 30l 36 3l 36 3l w 2 l / 2 Q2 2 2 2 2 l 2 /12 M 2 6l 2l 6l 4l 3l l 3l 4l 2 (20)sau, mai compact

([ k ] k ){d } + {R } = {S } !!! e G e e e e

(21)

care reprezinta relatia fizica a elementului finit (modelul numeric elemental), unde: [ke] matricea de rigiditate elastica a elementului finit (aceeasi cu cea din cazul e.f. de bara incovoiata) G [ke ] matricea de rigiditate geometrica a elementului finit, care tine seama de efectul fortei axiale N asupra deformarii barei (neliniaritate geometrica); {Re} vectorul reactiunilor de grinda dublu incastrata incovoiata produse de incarcarile p uniform distribuite din lungul e.f. (pentru alte incarcari se pot folosi reactiunile din tabele) Asamblarea elementelor finite Dupa determinarea relatiilor fizice elementale (21) pentru fiecare e.f., urmeaza asamblarea lor in vederea obtinerii relatiei fizice pentru intreaga structura. Aceasta se face ca la bara incovoiata. Pe baza incidentei fiecarui vector {de}(e=1,2,3,...,m), cu componentele vectorului {D} si expandarea relatiei fizice elementale respective se obtine: G k e k e {d e } + R e = S e (22)

(

)

{ } { }

40

Se aduna aceste relatii elementale expandate ale tuturor e.f., ceea ce reprezinta scrierea conditiilor de echilibru static al nodurilor, pentru eforturile elastice si geometrice, reactiunile date de sarcinile distribuite si fortele concentrate din noduri, obtinandu-se modelul numeric structural:

([ k ] k ){D} + {R} = {P} !!! G

(23) (24)

unde [ k ] = k e ;e G k G = k e ; e

{P} = {R e }e

[k] si [kG] reprezinta matricele globale de rigiditate elastica si geometrica ale intregii bare, ambele simetrice, dar singulare deoarece structura poate avea o miscare de corp rigid (nu s-au pus conditiile de rezemare). Tinand seama ca un element finit leaga doua noduri consecutive, operatia de constituire a matricelor [k], [kG] (de asamblare) se poate face direct, asa cum s-a aratat in cursurile precedente, cele doua matrice avand o forma speciala de matrice banda; de exemplu, matricea [k] are pe 1 l l n k11...(k11 + k221 )...knn , deasupra diagonala principala submatricea de ordinul al II-lea de forma: diagonalei o submatrice de forma ki12 (la fel si pentru matricea [kG]). Aceste matrice devin nesingulare prin introducerea conditiilor de rezemare, care presupune ordonarea vectorului {D} in doi subvectori, {Dn} subvectorul deplasarilor nodale din legaturile structurii. Aceasta ordonare a vectorului {D} presupune si o ordonare corespunzatoare a vectorilor {R}, {P} si a matricelor [k], [kG] din relatiile (23) si (24), obtinandu-se: k k k G k G D P R nn nr nn nr n = n n (25) krn krr k G k G Dr Pr Rr rn rr

sau, dupa dezvoltare:

(k (k

nn

G G k nn Dn + knr k nr Dr = { Pn } { Rn } = { Fn } n rr G k rr r r r

G rn k rn

) ( ) D + (k

) ) D = {P } {R }

(26)

care reprezinta doua ecuatii matriciale a caror rezolvare depinde de legaturile barei. Rezolvarea sistemului ecuatiilor de conditie Ecuatiile matriceale (26) pot fi folosite pentru rezolvarea a doua tipuri de probleme: Calculul geometric neliniar (calculul de ordinul al II-lea) In acest caz exista incarcari transversale cunoscute, concentrate in noduri si/sau distribuite in lungul elementelor finite si incarcari dirijate dupa axa barei, de asemenea cunoscute, care produc forta axiala in fiecare e.f. Elementele matricelor k si kG sunt constante, iar din (26), in care s-au introdus conditiile de rezemare, se poate determina starea de deformare si de eforturi din structura, care tine seama de influenta fortei axiale asupra deformarii din incovoiere (calculul geometric neliniar sau calculul de ordinul al II-lea). Din punctul de vedere al conditiilor de rezemare se pot intalni cele trei tipuri de legaturi: fixe (Dr=0); cu cedari (Dr0, cu valori cunoscute) si legaturi elastice, la care cedarile sunt proportionale cu reactiunile din legaturi (Dr=FrrPr). De exemplu, in cazul legaturilor fixe (Dr=0), din (26) rezulta: G [ knn ] k nn {Dn } = {Pn } {Rn } (27) G [ krn ] k rn {Dn } = {Pr } {Rr }

( (

) )

din care se obtin:41

- deplasarilor nodurilor: - reactiunile din legaturi:

{Pr } = {Rr } + ([ krn ] k G ) {Dn } rn

{Dn } = ([ knn ] k G ) ({Pn } {Rn }) 1nn

(28) (29) (30)

- eforturile de la extremitatile fiecarui element finit: {Se } = [ ke ] k eG {de } + {Re }

(

)

cu care se traseaza diagramele de eforturi. Rezolvarea celorlalte cazuri de rezemare se face in mod similar. Calculul de stabilitate in acest caz forta N, care actioneaza dupa axa barei, nu este cunoscuta ca marime ci numai ca distributie si trebuie determinata acea valoare care conduce la pierderea stabilitatii barei; incarcari transversale pot sa existe sau nu, iar legaturile structurii se considera fixe (Dr=0) (cazul cedarilor de reazeme sau cel al reazemelor elastice se rezolva asemanator). - daca nu exista incarcari transversale, pentru un e.f. considerat ca etalon, in rel. fizica (20) se poate da factor comun EIet / l3et si => EI et * G * (31) [ ket ] et ket {de } = {Se } 3 let

(

)

3 N et let se numeste factor de compresiune etalon. Prin [ke]*, [keG]* s-au notat matricele de 30 EI et rigiditate elastice si geometrice cu elemente constante, neafectate de factorii EIet / l3et , respectiv EIet /30 let. Relatiile fizice ale celorlalte e.f. se pot exprima cu ajutorul celei a e.f. etalon, astfel: * EI et * (32) [ ke ] et keG {de } = {Se } 3 let unde matricea [ke*] se obtine prin inmultirea elementelor matricei [ke] neafectata de factorul numeric EI / l3, cu coeficientul numeric

unde et =

(

)

I let (33) I et l iar matricea [keG]* se obtine prin inmultirea elementelor matricei [keG] neafectata de factorul N/30l , cu coeficientul numeric

3

e =

N l I et (34) e = N et let I Prin asamblarea relatiilor fizice elementale astfel prelucrate si prin introducerea conditiilor de rezemare, rel. (27a) devine: EI et G (35) [ knn ] et knn {Dn } = 0 3 let EI Tinand cont ca 3et 0 si notand et= valoare proprie=> let

2

(

)

([ k

nn

] k G ) {Dn } = 0 nn

(36)

care reprezinta un sistem de ecuatii algebrice omogene. Acest sistem admite solutie diferita de cea banala daca: G det [ knn ] knn = 0

(37)

ce reprezinta o problema de valori si vectori proprii sub forma generala. Cea mai mica valoare proprie, conduce la valoarea incarcarii critice: 30 EI et min 30 EI et et = 3 min (38) N cr = 3 let let ce produce pierderea stabilitatii barei prin bifurcarea echilibrului (flambaj) Fig. 4a. 42

Fig. 4

- Daca exista si incarcari transversale, cunoscute ca marime, prin aceleasi rationamente, se obtine din prima relatie (27a) sistemul de ecuatii algebrice: EI et G (39) [ knn ] et knn {Dn } = {Pn } {Rn } 3 let

(

)

In acest caz pierderea stabilitatii barei se produce prin cresterea nelimitata a deplasarilor, respectiv prin divergenta echilibrului (fig. 4b). Pentru ca deplasarilor {Dn} sa tinda la infinit, trebuie ca determinantul coeficientului necunoscutelor di (39) sa se anuleze, ceea ce revine la impunerea cond. (37), obtinandu-se aceeasi problema de valori si vectori proprii generala din cazul precedent. Rezulta ca pentru incarcarea critica se obtine aceeasi valoare, indiferent de modul de pierdere a stabilitatii.

43

2.4. VIBRTII LIBERE TRANSVERSALE NEAMORTIZATE LA GRINZIIn analiza vibratiilor libere transversale (de incovoiere) a barelor se va admite ipoteza micilor oscilatii si se va considera ca acestea se produc in planul principal de incovoiere. Stabilirea ecuatiilor diferentiale care guverneaza fenomenul oscilator Se considera o grinda dreapta cu una sau mai multe deschideri avand masa distribuita continuu, care oscileaza liber fata de pozitia de echilibru static, datorita unei cauze care a fost indepartata. Sistemmul avand masa si rigiditatea distribuita se numeste sistem continuu sau sistem cu parametri distribuiti; teoretic el are un numar infinit de grade de libertate si miscarea sa este reprezentata de o ecuatie cu derivate partiale.

Fig. 1 Pentru un anumit moment de timp, t, al miscarii, se produce incovoierea barei, iar deformatia dinamica este caracterizata de doua variabile independente (abscisa x si timpul t), respectiv sageata este functie de cele doua variabile si la fel vor fi eforturile, tensiunile, etc. In timpul miscarii (oscilatiei, vibratiei) apare o forta de inertie distribuita, proportionale cu acceleratia miscarii, factorul de proportionalitate fiind masa proprie a barei pe unitatea de lungime data de relatia:m = A =

g

A

(1)

unde densitatea materialului; greutatea specifica; g acceleratia gravitationala; A aria sectiunii transversale a barei. Distributia masei in lungul grinzii coincide cu variatia sectiunii transversale. Intensitatea fortei de inertie, conform legii lui Newton, va fi: 2w p ( x, t ) = ma = m 2 (2) t si este indreptata in sens invers miscarii (deformarii barei) fig. 1 Tinand cont ca oscilatia libera este o deformata de incovoiere sub actiunea fortei de inertie, rezulta ca sageata va satisface ecuatia diferentiala a fibrei medii deformate: 4w EI 4 = p ( x, t ) (3) x 44

care, in baza rel (2) devine: 4w 2w EI 4 + m 2 = 0 x t

(4)

ce reprezinta o ecuatie diferentiala cu derivate partiale de ordinul al IV-lea. Prin aceasta ecuatie se tine seama numai de fortele de inertie si fortele elastice, neglijandu-se fortele de amortizare, care pot fi de natura vascoasa sau histeretica. Eforturile dintr-o sectiune a barei vor fi date de relatiile: 2w 3w (5) M ( x, t ) = EI 2 ; Q( x, t ) = EI 3 x x Pentru determinarea constantelor, care apar la integrarea ec. (4), trebuie sa se ataseze doua tipuri de conditii: - conditii la limita impuse de modul de rezemare a grinzii; - conditii initiale, care se refera la cunoasterea la timpul t=0 a: sagetii w(x,0)=wo; (6) w vitezei de deformare ( x, 0) = w0 t Solutia ecuatiei diferentiale (4) se poate determina prin: - metoda analitica, ce permite exprimarea sagetii prin parametrii in origine (parametri initiali); - metode numerice, bazate pe exprimarea prin diferente finite a derivatelor in raport cu variabila spatiala x si cu cea temporala t. O alta metoda numerica este cea a elementului finit, care va fi dezvoltata in continuare. Metoda elementului finit In aplicarea MEF pentru determinarea solutiei ecuatiei diferentiale cu derivate partiale (4), se parcurg aceleasi etape ca la rezolvarea problemei precedente. Stabilirea modelului structural discretizat Se considera o grinda cu una sau mai multe deschideri, care se raporteaza la un sistem de axe general, XY(fig. 2) si se discrediteaza in m=n-1 elemente finite interconectate in n puncte nodale (noduri). Fiecarui nod i se acorda doua grade de libertate, sageata si rotirea, iar cu deplasarile corespunzatoare se construieste vectorul:

{D}={ D1z D1 ... Diz Di ... Dnz Dn}T

, i=1,2,...,n

(7)

ale carui componente sunt functii de timp; pentru ca vibratiile sunt libere, nu exista actiuni concentrate in noduri si in consecinta, in vectorul {P} apar numai reactiunile din legaturi:

Fig. 2 45

Analiza elementului finit Un element finit curent, cu rigiditate la incovoiere EIe=const. si masa pe unitatea de lungime me=const, se raporteaza la sistemul de referinta local (propriu) xyz (fig. 3) Pentru fiecare extremitate se acorda doua grade de libertate construindu-se vectorii deplasarilor si eforturilor elementale:

{de } = {w1 ( t ) 1 ( t ) {Se } = {Q1 ( t )

w2 ( t ) 2 ( t )}

T T

M 1 ( t ) Q2 ( t ) M 2 ( t )}

(8)

Fig. 3 Functia de deplasare w(x,t) pe elementul finit se aproximeaza cu un polinom de gradul al IIIlea in variabila x, ai carui coeficienti i depind de timpul t, adica: we ( x, t ) = 0 (t ) + 1 (t ) x + 2 (t ) x 2 + 3 (t ) x3 (9)

Conditiile la limita conduc la exprimarea vectorului coeficientilor {(t)} prin vectorul {de(t)}, obtinandu-se: T we ( x, t ) = { N i ( x)} {d e ( t )} , i=1,2,3,4 (10)

3 x 2 2 x3 2 x 2 x 3 3 x 2 2 x3 x 2 x 3 = 1 2 + 3 ; x + 2 ; 2 3 + 2 (11) l l l l l l l l este vectorul functiilor de forma de tip lHermite, aceleasi ca cele din paragrafele anterioare. Introducand solutia aproximativa we(x,t) in ecuatia diferentiala (4) se obtine reziduul d 4 we d 2w (12) ( x, t ) = EI + m 2e 0 dx 4 dt care trebuie sa fie minim. Cu acest reziduu se construiesc functionalele reziduurilor ponderate de tip Galerkin l l l d 4w d 2w (13) i = N i ( x ) ( x, t ) dx = EI Ni ( x ) 4e dx +m Ni ( x ) 2 e dx = 0 i=1,2,3,4 dx dt 0 0 0 care trebuie sa fie minim.

unde

{ Ni ( x)}

T

Daca in prima integrala din (13) se efectueaza integrarea prin parti de doua ori si se tine seama ca relatiile sageata eforturi din rezistanta materialelor (5) devine in noua conventie de semne. d 4 we d 2 we (14) EI = +Q ( x, t ) ; EI = M ( x, t ) 4 dx dx 2 si rezulta:

46

i = N i ( x ) Q( x, t ) 0 N i '( x) M ( x, t ) 0 + EI N i ''( x) we ''( x, t )dx +l l 0

l

& & + m N i ' ( x ) we dx0

l

(15)

i = 1, 2,3, 4

Introducand expresia functii deplasarii din (10) si tinand seama de proprietatile functiilor de forma Ni(x) din (15) se obtine: & & w1 Q1 w1 & M l l & '' '' ' ' i = 1 + EI Ni '' ( x) N1'' N 2 N3'' N 4 dx 1 + m N i ( x) N1' N 2 N 3' N 4 dx 1 =0 & & w2 0 w2 Q2 0 M 2 2 & & 2 i=1,2,3,4 (16) din care rezulta: N '' 2 N '' N '' N '' N '' N '' N '' N 2 N N N N N N 1 4 1 1 2 1 3 1 4 1 2 1 3 w 1 w1 Q & & 2 2 '' '' 1 1 '' '' '' '' '' l N N l N N & 2 1 N 2 N 2 N3 N 2 N 4 & M 1 2 1 N 2 N 2 N 3 N 2 N 4 1 1 EI dx + m dx = 2 2 & & '' '' '' '' '' 0 N N 0 N N N 3'' N3'' N 4 w2 N 3 N 3 N 4 w2 Q2 3 1 N3 N 2 3 1 N3 N 2 & & M 2 2 2 2 2 '' '' '' '' '' N 4 N1 N 4 N 2 N 4 N3 N 4 N 4 N1'' N 4 N 2 N 4 N 3'' N 4 (17) Tinand seama de expresiile functiilor de forma din (11), dupa efectuarea calculelor in (17) se obtine:

{

}

{

}

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

12 EI 6l l 3 12 6l

6l 12 6l 156 22l 2 2 4l 6l 2l ml 22l 4l 2 + 6l 12 6l 420 54 13l 2 2l 2 6l 4l 2 -13l 3l & [ ke ] {de } + [ me ]{d&} = {Se } e

& & 54 -13l w1 Q1 2& 13l 3l & M 1 1 = & & 156 22l w2 Q2 2 & M 2 22l 4l & 2

(18)

sau compact:

(18)

care reprezinta relatia fizica a elementului finit (modelul numeric elemental). unde: [ke] matricea de rigiditate elastica; [me] este matricea consistenta a maselor (matrice de inertie); & d& - este vectorul acceleratiilor nodale elementale. e

{ }

Matricea de inertie [me] se poate partitiona in 4 submatrice de ordinul al II-lea m m (19) [ mc ] = m11 m12 21 22 unde m11, m22 eforturile inertiale (forta si moment) din extremitatile 1 si 2 produse de acceleratiile unitare din extremitatile respective; m12, m21 eforturile inertiale din extremitatile 1 si 2 produse de acceleratiile unitare din extremitatile 2, respectiv 1. Se poate sesiza ca submatricele laterale satisfac conditia [m12] = [m21]T.

47

Observatie. Solutia problemelor de vibratii a sistemelor elastice este influentata major de matricea de rigiditate elastica si mai putin de matricea de inertie; de aceea, pentru stabilirea matricei de inertie se pot folosi functii de forma de grad mai mic decat 3. Cazul 1: cand sageata se aproximeaza prin polinomul de gradul I (20) we ( x, t ) = 0 + 1 x iar cei doi coeficienti se determina din conditia la limita - pt. x=0 => we (0, t ) = w1 (t ) = 0 (21) w w1 - pt. x=l => we (l , t ) = w2 (t ) = w1 + 1l 1 = 2 l Inlocuind in (20) rezulta: w1 x x (22) we ( x, t ) = (1 ) w1 + w2 = { N1 N 2 N 3 N 4 } 1 w2 l l 2 in care functiile de forma sunt: x x N1 ( x, t ) = 1 , N 2 ( x) = 0, N 3 ( x) = , N 4 ( x) = 0 l l Folosind (22) si (23) numai in cea de-a doua integrala din (17) se obtine matricea semiconsistenta a maselor de inertie: 2 ml 0 [ me ] = 1 6 0

0 0 0 0

1 0 2 0

0 0 0 0

prin care se tine seama numai de fortele de inertie coreespunzatoare deplasarilor liniare (sagetilor) de la capetele elementului finit, dar cu influente reciproce una asupra celeilalte (cuplate). Cazul 2. Cand se pot utiliza chiar functii de forma constante, definite dupa cum urmeaza: 1, x N1 ( x) = l 2

l 0, x l 2

; N 2 ( x) = 0, x [ 0, l ]

(25) l 0, x < 2 N 3 ( x) = ; N 4 ( x) = 0, x [ 0, l ] l 1, x l 2 care introduse numai in cea de-a doua integrala din (17) conduce la matricea maselor concentrate:1 0 0 0 0 0 0 0 ml (26) [ me ] = 0 0 1 0 6 0 0 0 0 prin care se tine seama numai de fortele de inertie corespunzatoare deplasarilor liniare (sagetilor) de la capetele elementului finit, independente intre ele. 48

Asamblarea elementelor finite Dupa determinarea relatiilor fizice elementale (18) pentru fiecare element finit urmeaza asamblarea lor in vedera obtinerii relatiei fizice pentru intreaga structura (modelul numeric structural). Aceasta asamblare se face pe baza incidentei fiecarui vector {de}(e=1,2,..., m), cu componentele vectorului {D} si expandarea relatiei fizice elementale respective, obtinandu-se:, & & k e { De } + me { De } = S e

{ }

(27)

Se aduna aceste relatii elementale expandate, respectiv se exprima conditiile de echilibru a nodurilor numai pentru eforturile elastice si de inertie, deoarece nu exista incarcari in lungul elementelor finite si mici actiuni concentrate la noduri, obtinandu-se modelul numeric structural. & & (28) [ k ] {D} + [ M ]{D} = 0

unde

[ k ] = k e , [ M ] = me e e

(29)

& & acceleratiilor nodale libere si {D r } , {D r } corespunzator deplasarilor si acceleratiilor din legaturilebarei. Aceasta ordonare a celor doi vectori presupune si ordonarea corespunzatoare a matricelor [K], [M], obtinandu-se: & & knn knr Dn M nn M nr Dn 0 (30) k k + M M & = 0 & rr Dr rn rr Dr rn

si reprezinta matricele de rigiditate si de inertie (a maselor) pentru intreaga structura. Aceste matrice sunt simetrice si singulare, deoarece structura poate avea o miscare de corp rigid. Matricea maselor poate fi consistenta (cu raspunsuri eforturi inertiale corespunzatoare tuturor deplasarilor), semiconsistenta (cu forte inertiale dependente corespunzatoare numai deplasarilor liniare sagetilor) sau diagonala (cu mase concentrate numai pe diagonala principala forte de inertie independente corespunzatoare numai deplasarilor liniare) Matricele globale [K], [M] au forma speciala tridiagonala pentru ca un element finit leaga doua noduri consecutive. Relatia (28) devine nesingulara prin introducerea conditiilor de rezemare, care presupune & & ordonarea vectorilor {D}, {D} in cate doi subvectori {D n } , {D n } corespunzatori deplasarilor si

sau dupa dezvoltare: & & & & [ knn ]{Dn } + [ knr ]{Dr } + [ M nn ]{Dn } + [ M nr ]{Dr } = 0 & & & & [ krn ]{Dn } + [ krr ]{Dr } + [ M rn ]{Dn } + [ M rr ]{Dr } = 0

(31)

care reprezinta doua ecuatii matriceale, la rezolvarea carora se pot intalni cele trei tipuri de reazeme fixe, cu cedari sau reazeme elastice. In cazul reazemelor fixe, {Dr}=0 si prima relatie din (31) devine: & & (32) [ knn ]{Dn } + [ M nn ]{Dn } = 0 care este un sistem de ecuatii diferentiale de ordinul al II-lea cu coeficienti constanti si la care & & trebuie atasate conditiile initiale (deplasarea D0 si viteza D0 la timpul t=0)

Rezolvarea sistemului de ecuatii dinamice Sistemul de ecuatii diferentiale (32) se poate rezolva prin: metode specifice sistemelor de ecuatii diferentialede ordinul al II-lea, precum si - metoda diferentelor finite; - metoda Newmark;49

- metoda Wilson. metode de integrare numerica specifice sistemelor de ecuatii diferentiale de ordinul intai, cum ar fi: - metoda Euler; - metoda Runge Kutta; - metoda Adams; - metoda Milne, etc. Pentru aceasta este necesara transformarea sistemelor de ecuatii diferentiale de ordinul al IIlea (32) intr-un sistem de ecuatii diferentiale de ordinul I.

Analiza modala

In acest paragraf se va rezolva sistemul (32)prin metoda analizei modale. In acest sens, pentru vectorul deplasarilor nodale se presupune o variatie armonica in timp, de forma: (33) {Dn } = {Dn0 } sin(t + ) unde

{D } - vectorul amplitudinilor vibratiilor,0 n

-pulsatia proprie (frecventa circulara);

-

diferenta de faza. Cu {Dn} din (33) vectorul acceleratiilor nodale devine: {Dn } = Dn0 sin(t + )

{ }

(34)

Introducand (33) si (34) in ecuatia de miscare (32) si avand in vedere ca amplitudinile maxime ale vibratiilor se obtin pentru sin(t+)=1, rezulta: (35) [ knn ] 2 [ M nn ] Dn0 = 0

(

){ }

care este un sistem de ecuatii omogen. Acest sistem admite solutie diferita de cea banala daca: det [ knn ] 2 [ M nn ] = 0 (36) Sistemul de ecuatii (35) se mai poate prelucra in felul urmator EI ml 4 2 * * [ M nn ] {Dn0 } = 0 [ knn ] 3 420 EI l Notand cu = (37)

([ k

ml 4 2 - un scalar numit valoare proprie si avand in vedere ca EI/l3 0 => 420 EI*

nn

]

*

[ M nn ]

){D } = 00 n

(38)

care este forma generala a unei probleme de valori si vectori proprii ([ A] [ B ]) { x} = 0 Problema generala se reduce la forma standard ([ H ] [ I ]) { y} = 0 folosind procedeul cunoscut. Prin metodele matematice cunoscute se rezolva problema (40) obtinandu-se valorile proprii i si vectorii proprii {Y(i)} ai problemei standard. Din valorile proprii i se obtin pulsatiile proprii (frecventele circulare) ale oscilatiei:

i =

420 EI i ml 4

[rad/s]

(41)