Download pdf - Metoda symboliczna (liczb zespolonych)

Metoda symboliczna...

2013 K.M.Gawrylczyk

1/7

Metoda symboliczna (liczb zespolonych)

Postacie liczb zespolonych

( )j 2 2

* * j

j , , , acrtg

cos , sin , j ,

bz a b z z e z a b

a

a z b z z a b z z e

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ ϕ −

= + = = + = ±π

= = = − =

Wzór Eulera

j cos j sine ϕ ϕ ϕ= + ⋅

Niektóre działania na liczbach zespolonych

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 2

1 2

1 2 1 2 1 2

j1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1

*11 1 2j 1 2 1 2 1 2 2 1

2*2 2 22 2

j

e j

je

z z a a b b

z z z z a a b b a b a b

zz z z a a b b a b a b

z z zz z

ϕ ϕ

ϕ ϕ

+

−

+ = + + +

⋅ = ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅

⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅= = =


2013 K.M.Gawrylczyk

2/7

Pierwiastkowanie liczby zespolonej

o360j

1 ek

nn nz z zϕ+ ⋅

= = ⋅

Pierwiastek kwadratowy:

oj 180

21,2 e , 0,1

kz z z k

ϕ + ⋅= = ⋅ =

Pierwiastek sześcienny z „1”

oj 120

33 31,2,3 e , 0,1,2

kz z z k

ϕ + ⋅= = ⋅ =


2013 K.M.Gawrylczyk

3/7

Zastosowanie metody symbolicznej w teorii obwodów

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

j

j

sin e cos j sin (wzór Eulera)

Przekształcenie odwrotne: sin Imag e

t

t

t t t

t

ω ϕ

ω ϕ

ω ϕ ω ϕ ω ϕ

ω ϕ

+

+

+ ⇒ = + + ⋅ +

+ =

Przekształcenie równań do postaci symbolicznej

na przykładzie obwodu RLC

Chcemy wyznaczyć napięcie u(t) zasilające obwód RLC, czyli jego Um oraz φ . Dany jest prąd i(t) oraz wartości elementów R,L,C:

( )

m

R L C

m m m m

( ) sin

( ) ( ) ( ) ( )

1sin sin sin sin

2 2

i t I t

u t u t u t u t

R I t L I t I t U tC

ω

ω ω ω ω ω ϕω

=+ + =

π π + + + − = +

Zamieniamy funkcje sinus na funkcje eksponencjalne:

( )j jjj 2 2

m m m m

j jj j j j j2 2m m m m

j j j2 2

j

1e e e e

1e e e e e e e

e j, e j, upraszczamy e oraz dzielimy przez 2 :

1j j e

1j

t ttt

t t t t

t

R I L I I UC

R I L I I UC

R I L I I UC

I R LC

Z

ω ω ω ϕω

ω ω ω ω ϕ

ω

ϕ

ωω

ωω

ωω

ωω

π π + − +

π π−

π π−

+ + =

+ + =

= = −

+ − =

+ −

��

je ,U U I Z Uϕ= = ⋅ =


2013 K.M.Gawrylczyk

4/7

Prawa Kirchhoffa w postaci symbolicznej Pierwsze prawo Kirchhoffa dla prądów zmiennych:

( )

( ) ( )

( ) ( )

j j

j

0, sin e , 2 Imag e

2 Imag e 0,

2 Re sin Im cos 0,

Re 0, Im 0, 0 j0.

n

n

tn n m n n n n n

N

tn

N

n n

N

n n n

N N N

i i I t I I i I

I

I t I t

I I I

ϕ ω

ω

ω ϕ

ω ω

= = + ⇒ = = ⋅ ⋅

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ + ⋅ =

= = = +

∑

∑

∑

∑ ∑ ∑

Podobne wyprowadzenie moŜna przeprowadzić dla drugiego prawa Kirchhoffa otrzymując:

0.m

M

U =∑

Tak więc prawa Kirchhoffa obowiązują dla zapisu symbolicznego.

Połączenie równoległe elementów

C L

1 1j j

j j

1 1 1 1j j , , .

R L C

U UI I I I C U C U Y U

R L R L

Y C G B G B C B BR L R L

ω ωω ω

ω ωω ω

= + + = + + ⋅ = + + = ⋅

= − − = + = = − = −


2013 K.M.Gawrylczyk

5/7

WyraŜenie admitancji zespolonej przy pomocy impedancji zespolonej

1

YZ

=

Na przykład, dla gałęzi szeregowej mamy impedancję

jZ R X= + ⋅

Wtedy admitancja obwodu wynosi:

2 2 2 2

1 1 jj j

j j j

R X R XY G B

R X R X R X R X R X

− ⋅= = ⋅ = − ⋅ = + ⋅+ ⋅ + ⋅ − ⋅ + +

Czyli, konduktancja gałęzi szeregowej wynosi:

2 2 2 2, a jej susceptancja:

R XG B

R X R X

−= =+ +

przy czym zachodzi: C LB B B= − .

Moce przy zapisie symbolicznym Rozpatrzmy gałąź szeregową RL. PoniewaŜ ma ona charakter indukcyjny, kąt φ jest dodatni i leŜy w pierwszej ćwiartce (patrz wykresy na następnej stronie). Moce moŜna wyrazić jako:

2

2

2

cos , gdzie jest wartością skuteczną prądu,

sin , a jest wartością skuteczną napięcia.

P U I R I I I

Q U I X I U U

S U I Z I

ϕ

ϕ

= ⋅ ⋅ = ⋅ =

= ⋅ ⋅ = ⋅ =

= ⋅ = ⋅

Wprowadzamy moc pozorną zespoloną (definicja):

jS P Q= +

Dla gałęzi szeregowej RL jest wtedy: 2 2 2 * *jS R I X I Z I Z I I U I= ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

Wzór ten moŜna uogólnić na inne obwody.


2013 K.M.Gawrylczyk

6/7

Wykresy trójkątowe (wskazowe) dla gałęzi RL przy zapisie symbolicznym.


2013 K.M.Gawrylczyk

7/7

Kondensator rzeczywisty

Układ zastępczy kondensatora rzeczywistego i jego wykres wektorowy

Kondensator rzeczywisty charakteryzuje pewien prąd Icz (czynny) płynący w dielektryku (izolatorze). Ma on oczywiście charakter rezystancyjny i jest w fazie z napięciem. Kąt δ pokazany na rysunku nazywany jest kątem stratności i odgrywa waŜną rolę w układach izolacyjnych, świadcząc o ich jakości. JeŜeli przyjmiemy płaski model budowy kondensatora, moŜna podać wzór przybliŜony:

= , , stąd:

konduktywność el. izolatora,1tg

przenikalność dielektr. izolatora.

l SR C

S l

R C

εγ

γδω ωε

⋅=⋅

←= =

←

Ze wzoru tego wynika fakt, Ŝe tg δ rośnie dla małych częstotliwości, czyli jego pomiar będzie najdokładniejszy przy zastosowaniu bardzo niskiej częstotliwości.

Cewka rzeczywista

Układ zastępczy cewki rzeczywistej i jego wykres wektorowy

Dobroć cewki: LL

QR

ω=