Transcript
  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    1/125

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    2/125

    GHEORGHE ADALBERT SCHNEIDER

    MEMORATORI NDRUMARDE MATEMATIC

    ALGEBR PENTRU LICEU

    EDITURA HYPERION

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    3/125

    Aceast lucrare a fost elaborat n conformitate cu

    programelecolare actuale aprobate de Ministerul Educaieii Cercetrii.

    Comenzi pentru cr ile editurii noastre se potface la urmtoarea adres de e-mail:

    [email protected] la tel. / fax 0251-531133sau la telefon 0744628656

    Copyright Editura Hyperion

    Descrirea CIP a Bibliotecii Naionale a RomnieiSCHNEIDER, GHEORGHE-ADALBERT

    Memorator i ndrumar de matematic: algebr pentru liceu / Gheorghe-Adalbert Schneider, - Craiova: Hyperion, 2012

    Bibliogr.

    ISBN 978-606-589-006-0512(075.35)

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    4/125

    1. Mul imii elemente de logic matematic 1.1 Mulimea numerelor reale

    1.1.1 Numere reale

    1) Mulimea numerelor naturale: = 0,1, 2, ,. 2) Mulimea numerelor ntregi: = ,2,1,0, 1, 2, ,. 3) Mulimea numerelor raionale: = , , 0 . 4) Mulimea numerelor iraionale, format din numerelereprezentate de o fracie zecimal, infinit, neperiodic i pe care onotm . 5) Mulimea numerelor reale:

    = .

    Evident au loc relaiile:a) b) c) = .6) O fracie ordinar este ireductibil dac c.m.m.d.c. , == 1.

    Exemple: , , .7) O fracie ordinar este reductibil dac exist cel puin unnumr prim prin care fracia se poate simplifica.

    Exemple: = , = , = .8) Fraciile ordinare care reprezint numrul raional se

    transform n fracie zecimal dup formula: = , .Exemple: =0, 3 - fracie zecimal periodic simpl

    =0,41(6) - fracie zecimal periodic mixt.

    1.1.2 Operaii algebrice cu numere realeOperaiile algebrice pe mulimea numerelor reale sunt: adu-

    narea i nmulirea. Ele se definesc ca extensii ale operaiilor

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    5/125

    de adunarei nmulire din mulimea numerelor raionale.a) Propriet ile adunrii

    1) Asociativitatea: + + = + + , , ;2) Comutativitatea: + = + , ; 3) Element neutru 0: + 0 = 0+ = ; 4) Element opus: : + = + ; numrul se numete opusul lui.

    b) Propriet ile nmulirii 1) Asociativitatea: = , , ;2) Comutativitatea: = , ; 3) Element neutru 1: 1 = 1 = ; 4) Element inversabil : = 1 , 0; numrul se numete inversul lui .

    c) Proprietate de legtur ntre nmul ire i adunare 1) Distributivitatea nmulirii fa de adunare:

    + = + , , . Observa ie. Ca operaii derivate ale adunrii i nmulirii se

    pot defini operaiile de scderei mpr ire.a) = + , , ; b) : = , 0.

    1.1.3 Calcule cu numere reale reprezentate prin literea) Formule de calcul prescurtat

    1) + = + 2 + ; 2) = 2 + ;3) = + ;4) + = + 3 + 3 + ;

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    6/125

    5) = 3 + 3 ;6) + + = + + + 2 +2 + 2;7) + = + + 2 +2 2;8) + = + + ;9) = + + ;10) = + + + + , 2, ;

    11) + = + + + , 2, , impar.

    b) Alte formule algebrice utile

    1) + = + 2 ; 2) + = + 3 + ;3) + = + 2 = + 2 2 ; 4) + = + + + ; 5) + = + 3 + ;6)

    + + =

    + + 2 2 2 ;

    7. + + = = 12 + + ; 8) + + 3 = + + + + = + + + + . 9) + + = 3 + + + .

    c) Propriet ile puterilor cu exponent ntreg1) = ;2) : = , 0; 3) = ; 4) = ;5)

    = ,

    0.

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    7/125

    Aplicaii1. S se arate c dac , , astfel nct + = 1,atunci:

    a) + = 1 2 b) + = 1 3.Solu ie: Se aplic formulele1) i 2) de la1.1.3 b).2. S se arate c dac , , , astfel nct + + = 0,

    atunci: + + = 3 . Solu ie: Se aplic formula8) de la1.1.3 b).3. S se descompun n factori:

    + + .Solu ie: + + = ++ + = +

    + = + = .

    1.1.4 Ordonarea numerelor realeIntroducem pe relaiile < astfel:

    a) <

    dac > 0;

    b) dac 0.

    a) Proprietatea de trihotomie. Oricare ar fi , esteadevrat unai numai una din relaiile < , = , > .

    b) Propriet ile rela iei : 1) , (reflexivitate);2)

    , = (antisimetrie);

    3) , (tranzitivitate).Relaia , este reflexiv, antisimetric i tranzitiv i deci esteo rela ie de ordine pe mulimeaR.

    Relaia < este tranzitiv, dar nu este reflexiv i antisimetric i deci nu este relaie de ordine pe mulimeaR.

    c) Relaia este orela ie de ordine total pe R, deoarece

    , avem

    sau

    .

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    8/125

    d) Propriet i de legtur ale relaiei cu operaiile deadunarei nmulire:1) , + + ; 2) , + + ; 3) , > 0 ; 4) , < 0 ; 5) , , > 0, > 0, > 0, > 0, implic .

    Aplicaii1. S se compare numerele: = 2 i = 9 . Solu ie: = 2 = 2 = 2048; = 9 = 3 > > 3 = 2187. Atunci = 2048 < 2187 = . Deci < . 2. Fiind dat , s se compare numerele:2 i + 1. Solu ie: 2 + 1 1 i 2 > + 1 > 1.

    Deci, dac 1, ordinea este2 , +1, iar dac > 1, ordineaeste + 1,2 .

    1.1.5 Modulul unui numr realDefiniie. Valoarea absolut sau modulul unui numr real

    se definete astfel: = , dac 0 ,dac < 0 .Propriet i:1)

    0, ;

    2) = 0 = 0; 3) = , ; 4) = , , ;5) = , , ,y 0;6) + +, , ;7) =

    = 0, dac

    = 0 , dac

    > 0 ;

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    9/125

    8) < , > 0 < < ;9) > , > 0

    < sau

    Aplicaii1. Rezolvai nR ecuaiile:a) +2 = 6 b) +1 = 1.Solu ie. a) +2 = 6 +2 = 6 = 4 s b) +1 = 1 +1 = 1 +1 = i +1 = +1

    .1) Dac

    1, ecuaiile devin:

    1 = i

    = +1 cu soluiile = 0 i = 1, corect fiind doar1. 2) Dac > 1, ecuaiile devin: +1 = i +1 +1. Prima ecuaie nu are soluie, iar a doua ecuaie are soluieorice > 1. 1.1.6. Aproximri, trunchieri, rotunjiri1) Fiind dat numrul real pozitiv

    = , atunci:

    a) aproximaia prin lips de ordinul a lui este: = , b) aproximaia prin adaos de ordinul a lui este:

    = , +10 .2) Fiind dat numrul real negativ = , atunci:a) aproximaia prin lips de ordinul a lui este:

    = , 10 b) aproximaia prin adaos de ordinul a lui este: = , .3) Fiind dat numrul real = , atuncitrunchierea de ordinul a lui este = , .4) Fiind dat numrul real = ,

    atuncirotunjirea lui la an-a zecimal se calculeaz astfel:

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    10/125

    a) Dac 0,1,2,3,4, atunci = , .b) Dac 5,6,7,8,9, atunci = , +10.Aplicaii1) Scriei pentru = 3

    i = 3 :a) aproximaiile zecimale de ordinul 2;b) trunchierile de ordinul 3;c) rotunjirile la a 4-a zecimal.

    Solu ie. 3 = 1,7320508 i 3 = 1,7.a) = 1,73,

    = 1,74 i

    = 1,74,

    = 1,73

    b)

    = 1,732 i

    = 1,732. c) = 1,7321 i = 1,7321. 1.1.7 Partea ntreag i partea frac ionar aunui numr real

    Axioma lui Arhimede.Pentru orice numr real , exist ieste unic numrul ntreg astfel nct

    , +1.

    Definiie. Fiind dat numrul real , numim partea ntreag alui i o notm cu , cel mai mare numr ntreg, care este maimic sau egal cu . Definiie. Fiind dat numrul real , numim partea fracionar a lui i o notm cu , diferena dintre numrul i partea lui ntreag (

    .

    Exemple.1,7 = 1,2,3 = 3;5,2 = 0,2,3,1 = 0 Aplicaii1. S se calculeze: +1 i +1 .Solu ie. Se arat c:

    +1 < +1 +1 = .

    +1 = +1 +1 = +1

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    11/125

    2. Fie , . S se demonstreze c: = . Solu ie: = +, =

    + =

    = +. Evident:

    =

    1.1.8 Operaii cu intervale de numere realeFiind date numerele , , < , definim urmtoarelesubmulimi ale lui pe care le numim intervale:

    1) , = | - interval nchis na i b2) , =

    |

    < < - interval deschis na i b

    3) , = | < - interval nchis n

    a,deschis n

    b 4) , = | < - interval deschis na, nchis nb 5) , = | - interval nchis la stnga na inemrginit la dreapta

    6) , = | > - interval deschis la stnga na inemrginit la dreapta8)

    , =

    |

    - interval nemrginit la stngai

    nchis la dreapta nb 9) , = | < - interval nemrginit la stngaideschis la dreapta nb.Operaiile cu intervale se definesc la fel ca operaiile cumulimi.

    Distan a euclidian dintre numerele reale i b se defineteca fiind numrul

    , = .

    Aplicaii1. Scriei sub form de intervale urmtoarele mulimi:

    a) | 3 b) | 1 <

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    12/125

    Solu ie. ,3 < 5 3 < 5 5 < 2 < < 8. Atunci: | ,3 < 5 = 2,8. 1.1.9 Inegalit i

    Pentru a demonstra inegalit i, ne bazm pe propriet ilerela iei de ordine pe mulimea . Se folosesc transformrileechivalentei se obine o sum de ptrate mai mare sau egal cuzero.

    a) Inegalit i ce pot fi folosite n cadrul demonstrrii altorinegalit i.

    1) Dac , , atunci avem: + 2 . Solu ie. + 2 0. 2) Dac , , atunci avem: + 2 . Solu ie. + 2 0. 3) Dac

    , , atunci avem:

    .

    Solu ie. + 4 0. 4) Dac , , atunci avem: + .Solu ie. + + 4 0.

    5) Dac , , atunci avem: .Solu ie. 22 + 2 + 2 0. 6) Dac , , atunci avem: + . Solu ie.

    +

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    13/125

    + 2 0. 7) Dac , , atunci avem: + 2.

    Solu ie. + 2 + 2 0 8) Dac , , , atunci avem: + + + Solu ie. + + + + 2 +2 +2 2 +2 +2 + + 0. 9) Dac

    , , , atunci avem:

    + + 3 .

    Solu ie. Se folosete identitatea8) de la1.1.3 b) : + + 3 = + + + + + + 3 0 + + 3 Se nlocuiete cu , cu i cu i se obine inegalitateadorit.

    10. Dac , , , , atunci avem: + + +. (Inegalitatea lui Cauchy-Buniakovski)Solu ie. Dup efectuarea calculelor se obine 0. 11. Dac , , , , atunci avem: + + + + + +

    .(Inegalitatea lui Minkovski)

    Solu ie. Dup ridicarea la ptrat se obine inegalitatea: + + + . a) Dac + 0, inegalitatea este evident adevrat.b) Dac + > 0, ridicnd la ptrat ambii membri aiinegalit ii obinem: 0.

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    14/125

    Aplicaii1. S se arate c oricare ar fi , , avem: + +

    .

    Solu ie. Se aplic inegalitatea3) i ob inem: , , . Se adun membru cumembru cele trei inegalit i.2. S se arate c oricare ar fi , , avem:

    + + + +.

    Solu ie. Se aplic inegalitatea8) pentru numerele reale, , i se obine: + + c+ab + + = + +. 3. S se arate c dac , > 0, +atunci suntadevrate urmtoarele inegalit i:a)

    b)

    2 + +.

    Solu ie. a)1 = + 2 .b) 2 + + 2+ 6 + + 2 26 12 .4. S se arate c dac , , , + +atunci suntadevrate urmtoarele inegalit i:

    a) 4 b) + + Solu ie. a) 4 4 + +2 4 0. b) + + 0 + + + + + + + + + 0 2 +2 +2 +2 +2 +2 + + + + + 0.

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    15/125

    1.2 Elemente de logic matematic 1.2.1 Propoziie, predicat, cuantificatori

    1) Numim propozi ie un enun care este fie adevrat fie fals.

    Notm propoziiile cu: , , , . Dac o propoziie este adevrat spunem c are valoarea deadevr 1 i notm = 1, iar dac propoziia este fals arevaloarea de adevr 0 i notm = 0. Exemple. a) ,,2+3=5 este o propoziie adevrat.b) ,,10 este numr impar este o propoziie fals.

    2) Fiind dat propoziia , numimnega ia propozi iei ,propoziia notat i care este adevrat atunci cnd este fals i fals atunci cnd este adevrat.Exemple. a) Fiind dat propoziia : ,,11 este avem c este adevrat i atunci propoziia este fals.b) Fiind dat propoziia

    : ,,3 divide avem c este fals

    i atunci propoziia este adevrat.

    3) Fiind date propoziiile i , numim conjunc ia propoziiilor i , propoziia notat , care este adevrat atunci cnd i sunt adevrate i fals cnd cel puin una dinpropoziii este fals.

    Exemple. a) Fiind date propoziiile:

    : ,,22 este i

    :,,8

    >5

    avem c i sunt adevrate i atunci propoziia esteadevrat.b) Fiind date propoziiile: :,,1+2+3 > i: ,,Medianele unu, avem c estefals i este adevrat i atunci propoziia este fals.

    4) Fiind date propoziiile i , numim disjunc ia propoziiilor i , propoziia notat , care este adevrat

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    16/125

    atunci cnd cel puin una din propoziiile i este adevrat ifals cnd propoziiile i sunt false.

    Exemple. a) Fiind date propoziiile:

    : ,,1 = 5i

    :,,12

    > 3 avem c

    este fals i este adevrat i atunci propoziia esteadevrat.b) Fiind date propoziiile: :,,1+2 = 5 i :,,12 divide pe 50avem c i sunt falsei atunci propoziia este fals.

    5) Fiind date propoziiile i , numim implicaiapropoziiilor i , propoziia notat ( impli, careeste fals atuncii numai atunci cnd este adevrat i estefals.Exemplu. Fiind date propoziiile: : ,,5 = 5i :,,15< 5avem c este adevrat i este fals i atunci propoziia este fals.

    6) Fiind date propoziiile i , numim echivalenapropoziiilor i , propoziia notat ( echiv,care este adevrat atuncii numai atunci cnd ambele propoziiisunt adevrate sau ambele propoziii sunt false.Exemplu. Fiind date propoziiile: : ,,3 > 5i :,,6 estenumr prim avem c i sunt falsei atunci propoziia este adevrat.

    7) Numim predicat un enun care depinde de una sau maimulte variabilei care pentru orice grup de valori admisibile datevariabilelor se transform n propoziie adevrat sau fals.

    Predicatele care depind de o variabil se numescpredicateunare, cele care depind de dou variabile se numescpredicatebinare, etc.

    Exemplu. ,, :3 6 = 0", unde este un predicatunar. Pentru = 2 se transform n propoziie adevrat, iarpentru 2 se transform n propoziie fals. 8) Fiind dat un predicat unar , unde ,

    atunci

    propoziia ,,exist cel puin o valoare pentru care este

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    17/125

    o propoziie adevrat se numete propozi ie existenial asociat predicatului i se noteaz . Exemplu. Propoziia:

    3 +2 =,unde

    este adevrat, deoarece

    = 1 verific ecuaia

    3 +

    9) Fiind dat un predicat unar , unde , atuncipropoziia ,,oricare ar fi , este o propoziie adevratse numete propozi ie universal asociat predicatului i senoteaz . Exemplu. Propoziia: +2 =,unde este fals, deoarece = 1

    nu verific ecuaia

    +

    1.2.2 Mulimi. Corelarea elementelor de logic matematic cu opera iilei rela iile cu mulimi

    a) Noiunea de mulime1. No iunea de mul ime nu se definete, fiind o noiune

    primar.Exemplu.

    = 1,2,3 este o mulime notat cu A.

    2. Dac este o mulimei un element al mulimii , atuncienunul ,, " este un predicat unar.Dac este un element dat al mulimii , atunci ,, " esteo propoziie i avem: .3. Fiind date dou mulimi i i dac orice element al lui

    estei element al lui , spunem c

    este inclus n i notm:

    .

    Exemplu. Dac = 1 i = 1,3, atunci . 4. Fiind date dou mulimi i , spunem c ele sunt egaleinotm = , dac au aceleai elemente.Exemplu. Dac = 1,2,3 i = 1,2,3, atunci = 5. Mulimea care nu are nici un element se numete mul imeavid i se noteaz .

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    18/125

    b) Opera ii cu mulimi1. Intersecia a dou mulimi i reprezint mulimeaelementelor care aparin att lui

    cti lui . Se noteaz

    i

    este definit de predicatul . Exemplu. Dac = 1,2,3 i = 1,2,3,4, atunci = 1,2,3. 2. Reuniunea a dou mulimi i reprezint mulimeaelementelor care aparin cel puin uneia dintre mulimile sau .Se noteaz i este definit de predicatul . Exemplu. Dac = 1,3

    i

    = 1,2,3,4,, atunci

    = 1,2,3,4,5,6. 3. Diferena a dou mulimi i reprezint mulimeaelementelor care aparin mulimii i nu aparin mulimii . Senoteaz i este definit de predicatul . Exemplu. Dac = 1,3,5,9,10 i = 1,2,3,4, atunci = 9,10. 4. Fiind dat mulimea i submulimea

    , numim

    complementara mulimii n raport cu E mulimea elementelorcare aparin mulimii i nu aparin mulimii A. Se noteaz se

    noteaz = i este definit de predicatul . Exemplu. Dac E = 1,3,5,7,9,11 i = 1,3,5, atunci = 7,9,11. 5. Fiind date mulimile i , numimprodus cartezian almulimilor

    i i notm cu

    mulimea tuturor perechilor

    ordonate

    , unde

    i

    .

    Exemplu. Dac = 0,1 i = 2,3, atunci: = 0,2,0,3,1,2,1,3. c) Propriet i ale mulimilor1) = - comutativitatea interseciei2) =

    - comutativitatea reuniunii3)

    = ) - asociativitatea interseciei

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    19/125

    4) = ) - asociativitatea reuniunii5) = ) distributivitateareuniunii fa de intersecie6)

    = ) - distributivitatea

    interseciei fa de reuniune7) = = - legile lui De Morgan.8. = = . Aplicaii

    1. Demonstrai egalit ile:a) = b) = Solu ie. a) i . b) i i i i . 2. Determinai ,

    astfel nct s aib loc egalitatea:

    ,2,3,7 = 1,2, +2,7.

    Solu ie. Trebuie ca = 1 i +2 = 3, adic = 1. 1.3 Condiii necesare, condiii suficienten matematic, teorema reprezint o propoziie adevrat care

    stabilete c un anume obiect matematic are o anume proprietate.Orice teorem trebuie demonstrat, folosind fie axiomele

    cunoscute, fie alte teoreme cunoscute.Exemplu. n orice triunghi medianele sunt concurente.Forma general a uneiteoremeeste: ,, , Q ,, ,, unde ,, ,, Q ,, , suntpredicate n-are. Predicatul ,, , se numete ipotezateoremei, iar predicatul Q

    ,, , se numete concluzia

    teoremei. Spunem c

    ,, , este ocondi ie suficient

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    20/125

    pentru Q ,, ,, iar Q ,, , este o condi ienecesar pentru ,, ,. Exemplu. Dac = ,

    atunci

    = , unde

    , .

    ,:,, = " este ipoteza teoremei, iar

    ,:,, = "

    este concluzia teoremei.Fiind dat teorema: ,, , Q ,, ,,dac propoziia Q ,, , ,, , esteadevrat, atunci ea se numete teorem reciproc, iar ,, , Q ,, , se numete teorem direct. n acest caz scriem

    ,, , Q

    ,, , i citim

    ,, , este echivalent cu Q

    ,, ,.

    Exemplu. = = , unde , . 1.4 Tipuri de raionamente logicea) Metoda reducerii la absurdFiind dat propoziia

    , numim contrara acestei

    propoziii, propoziia

    .

    Deoarece formula este o tautologie ( esteadevrat indiferent de valorile de adevr ale lui i , rezult c teorema direct este echivalent cu teorema contrar areciprocei . Metoda reducerii la absurd const n nlocuirea demonstrriiteoremei directe cu demonstrareacontrarei reciprocei.

    b) Metoda induciei matematiceInduc ia reprezint metoda de raionament prin care din

    propoziii particulare se obine o propoziie general.Exemplu. Din propoziiile particulare adevrate:2 = 12+4 = 2 3,2+4+6 formulmpropoziia general: ,,2+4+6+ +2, care sepoate demonstra c este adevrat.

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    21/125

    Dac propoziia general are o infinitate de cazuri particulare,atunci demonstraia se face prinmetoda induciei matematice,care are la baz urmtorul principiu, numitprincipiul inducieimatematice:

    Fie , unde o propoziie. Dac:

    a) 0 este adevrat ibpresupunnd c este adevrat pentru = , rezult c este adevrat i pentru = +1, atunci este adevrat pentru orice numr .Metoda induciei matematice.Pentru a demonstra c o propoziie

    este adevrat pentru

    orice , se parcurg dou etape:a) etapa verificrii: se verific, c este adevrat;b) etapa demonstraiei: se arat c dac , , esteadevrat, atuncii +1 este adevrat.Aplicaii1. S se demonstreze prin inducie matematic egalitatea:

    1 +3 +5 + +2 1 = 4 13 , . Solu ie. Notm::1 +3 +5 + +2 1 = 4 13 . a 1: 1 = 141 13 sau 1:1 = 1 a

    b) Vomdemonstra c +1. +1:1 +3 + +2 +1 = +1 4 +8 3 . Adunm la ambii membri ai lui expresia2 +1:

    1 +3 + +2 +1 = 4 1

    3 +2 +1.

    Ne rmne s demonstrm c:

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    22/125

    4 13 +2 +1 = +1 4 +8 +33 , Verificare se face prin calcul direct.2. S se verifice prin inducie matematic inegalitatea:2 1, 2. Solu ie.Notm : 2 1. a) 2: 2 2 1, care este evident adevrat.b) Vomdemonstra c +1. +1: 2 +1 1 sau +1: 2 +2 nmulim ambii membri ai lui cu 2i ob inem:

    22 2 1 2 2 2. Ne rmne s demonstrm c:2 2 +2 2 2 +2 2care este evident.3. S se arate c pentru orice 0 avem:

    5 2 +3 2 se divide cu 19.

    Solu ie. Notm

    = 5 2 +3 2 i

    : se divide cu 19.a) 1: se divide cu 19 sau 1: 1216 se ceeace este adevrat.b) Vomdemonstra c +1. = 5 2 +3 2 = 5 5 2 2 + +3 2 = 505 2+3 2 =

    = 505 2 +3 2 3 2+

    +3 2 = 50 3 2+3 2 = = 50 3 25032 = 50 3 2 38 care se divide cu 19, deoarece i 38 se divid cu 19.c) Probleme de numrareFiind dat mulimea finit, numimcardinalul mulimii inotm cu

    numrul de elemente al mulimii

    .

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    23/125

    Exemple. a) Dac = 1,2,3,4, atunci = 4. b) Dac

    = 6,12,20,30, ,7, atunci

    = 7.

    Propriet i. Dac i sunt mulimi finite, atunci:a) = ; b) = + ; c) = + + + + ; d)

    = ;

    e)

    = = 2.

    Aplicaii1. Fie mulimea: = 1,2, ,100. S se determine ctenumere din mulime sunt divizibile cu 3.Solu ie. Numerele divizibile cu 3 sunt 3, 6,, 99 i sunt ntotal =

    33.2. ntr-o sal sunt 5 bie i i 6 fete. Fiecare biat danseaz cu

    fiecare fat. Stabilii cte perechi biat-fat au dansat.Solu ie. Notm cu mulimea bie ilori cu mulimeafetelor. Atunci = = 5 6 = 3

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    24/125

    2. Func ii definite pe mulimea numerelornaturale(ir)

    2.1 iruriDefiniie. Fiind dat o mulime oarecare , numimir deelemente din mulimea o funcie : .Dac , atunciirul se numete ir de numere reale.Notm = , iar irul de numere reale cu .Definiie. irul de numere reale estestrict cresctor

    dac

    < , .

    Exemplu.Fie , = 3 +7. Atunci: = 3 +1+7 = 3 +10 >. Definiie. irul de numere reale este strict descres-ctor dac > , .Exemplu.Fie , = +1. Atunci:

    = +1+1 = < +.

    Definiie. irul de numere reale estemonoton cres-ctor dac , .Definiie. irul de numere reale estemonoton des-cresctor dac , .Definiie. irul de numere reale estemrginit dac exist un numr pozitiv , astfel nct , .Exemplu. Fie

    , = . Atunci

    =

    < 1.

    2.2 Progresii aritmetice2.2.1 Noiunea de progresie aritmetic

    Definiie. Un ir de numere reale se numeteprogresie aritmetic, dac exist un numr real , numit raie,astfel nct fiecare termen, ncepnd cu al doilea se obine dinprecedentul adunnd (

    = + ,, 2 .

    Folosind formula din definiie rezult relaia:

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    25/125

    = ,, 2. O progresie aritmetic este bine determinat de primul termenal su i ra ia .

    Exemple. a) irul

    , dat de

    = este progresie

    aritmetic deoarece = 1,, 2 .b) irul , dat de = nu este progresie aritmetic deoarece = 2 1, care nu este constant.2.2.2 Formula termenului general al progresiei aritmeticeTeorem. Termenul general al progresiei aritmetice

    este dat de formula:

    = + 1. Exemplu. a) Pentru progresia aritmetic , = 2 = 3, avem: = + 1 = 2+3 1 = 3 Aplicaii1. S se determine progresia aritmetic tiind c

    = 7 i

    = 15.

    Solu ie. = +3 = 7 i = +7 = 1. Rezolvndsistemul obinem = 1 i = 2. 2. Fie o progresie aritmetic. Dac = i = , s se calculeze , .Solu ie. Avem: = + 1 = i = +

    + 1 = . Rezolvnd sistemul format obinem

    = i

    = + 1. Atunci

    = + 1 = +

    +1 = + . 3. Se consider irul: 1, 5, 9, . Determinai rangul termenu-lui 401.Solu ie. Se observ c irul este o progresie aritmetic cu

    primul termen = 1 i ra ia = 4. Notm cu rangul termenu-lui 401i avem:401 = 1+ 14 = 101

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    26/125

    2.2.3 Suma primilor termeni ai unei progresii aritmeticeTeorem. Fie o progresie aritmetic i = +

    + + + suma primilorn termeni ai si. Atunci este

    adevrat formula: = +2 , 1. Exemple. a) Fiind dat progresia aritmetic , = = 3 1, avem = 2, = 29, iar suma primilor 10 termeniai si este egal cu: = 2+29102 = 155. b) Se consider irul1,3,5,7, . Acesta este progresie aritmetic cu primul termen =1 i ra ia = 2. Atunci termenul 1000 este = 1+999 2 = 19 Suma primilor 1000 de termeni aiirului este egal cu:

    = 1+1 999 1 000

    2 = 1 000

    Aplicaii1. S se determine progresia aritmetic tiind c + = 8 i = 22. Solu ie. + = 8 + +2 = 8 + = .

    = 22 +42 = 22 2 +3 = 11

    Rezolvnd sistemul format din cele dou ecuaii obinem: = 1 i = 3. 2. S se rezolve ecuaia:1+3+5+ + = Solu ie. Notm cun numrul termenilor progresiei aritmetice.Ra ia progresiei este

    = 2, primul termen

    = 1 i suma

    = 100. Atunci:

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    27/125

    = +2 = 2 + 12 = 100 = 1 3. Fie o progresie aritmetic i suma primilorktermeni ai si. S se demonstreze c dac =

    i = , , atunci = .Solu ie. = +2 = 2 + 1 = 2.

    = +2 = 2 + 1 = 2.

    Scznd membru cu membru cele dou relaii obinem: = 0 = 0 . Atunci = 1. = +2 = 1 +12 = . 2.2.4 Alte propriet i ale progresiilor aritmetice

    1. Fiind dat progresia aritmetic , are loc relaia:

    = +2 , 2.2. Dac un ir de numere reale are proprietatea: = +

    2 , 2, atunci acestir este o progresie aritmetic.

    3. Fiind date numerele, , , n progresie aritmetic,are loc relaia: + = + , 2.Aplicaii1. Dac numerele

    , , sunt n progresie

    aritmetic, atunci i numerele , , sunt n progresie aritmetic

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    28/125

    sau + + = 0. Solu ie. Deoarece numerele , , sunt nprogresie aritmetic, atunci are loc relaia: = + 2 + 2 + +2 = 0 + + + = 0 + + + + + = 0 + + 2 + = 0 + + = 0 sa +2 . 2. S se arate c dac

    > 0, > 0, sunt n progresie

    aritmetic, atuncii numerele:

    1 + , 1 + , 1 + sunt n progresie aritmetic.Solu ie. Fie ra ia progresiei. Notm:

    = 1 + =

    =

    .Analog

    = 1 + = 2 , = 1 + = . Evident 2 = + . 2.3 Progresii geometrice

    2.3.1 Noiunea de progresie geometric Definiie. Un ir de numere reale se numete

    progresie geometric, dac exist un numr real , numit raie,astfel nct fiecare termen, ncepnd cu al doilea se obine dinprecedentul nmulit cu ( = ,, 2 Folosind formula din definiie rezult relaia:

    = ,, 2.

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    29/125

    O progresie geometric este bine determinat de primultermen al su i ra ia .

    Exemplu. a) irul dat de 2, 6, 18, 54, 162 este progresiegeometric deoarece

    6 = 2 3,18 =

    = 543.Ra ia progresiei este 3.2.3.2 Formula termenului general al progresiei geometriceTeorem. Termenul general al progresiei aritmetice

    este dat de formula:

    = , 2.

    Exemplu. a) Pentru progresia geometric , = 2 = 2, avem: = = 2 2 = 2. Aplicaii1. S se determine progresia geometric tiind c

    = 6 i

    = 54.

    Solu ie.

    = = 6 i

    = = 54. mpr ind a doua

    ecuaie la prima obinem = 9 q=3 i apoi = 2 2. Fie o progresie geometric. Dac = i = , s se calculeze , .Solu ie. Avem: = = i = = . mpr ind membru cu membru cele dou relaii obinem: = = i = . 3. Se consider irul: 1, 3, 9, 27, 81,. Determinai rangultermenului 6561.

    Solu ie. Se observ c irul este o progresie geometric cuprimul termen = 1 i ra ia q= 3. Notm cu rangul termenu-lui 6561i avem:

    6561 = 13 3 = 3 = 9

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    30/125

    2.3.3 Suma primilor termeni ai unei progresii geometriceTeorem. Fie o progresie geometric cu raia 1 i = + + +

    suma primilorn termeni ai si. Atunci

    este adevrat formula: = 1 1 , 1. Exemplu. a) Fiind dat progresia geometric 1,2,4, avem = 1, = 2, iar suma primilor 9 termeni ai si este:

    = 1 121 2 = 511.

    Aplicaii1. S se determine progresia geometric tiind c = 4 i = 13. Solu ie. Avem:11 = 4 i

    1 1 = 13 1+ = 4 i1+ + = 13. Rezolvnd sistemul format obinem: = 1 i q= 3. 2. S se decid dac este progresie geometric un ir astfel nct pentru orice suma primilorn termeni ai si este dat de formula = 3 +1. Solu ie. Pentru 2,

    avem

    = = 3 +1

    3 11 = 3.

    = = 4. Evidentirul nu este progresie

    geometric.2.3.4 Alte propriet i ale progresiilor geometrice

    1. Fiind dat progresia geometric , are loc relaia:

    = , 2.2. Dac un ir de numere reale are proprietatea:

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    31/125

    = , 2atunci acestir este o progresie geometric.3. Fiind date numerele

    ,, , n progresie geometric

    are loc relaia: = , 2.Aplicaii1. Dac numerele , , sunt n progresie geometric, atunciare loc egalitatea:

    + + = + +. Solu ie. Deoarece , , sunt n progresie geometric, rezult c = . Atunci avem: + + = + + = + + = + + = + + = = + +. 2. S se determine ,

    astfel nct numerele

    +1,4

    8 +11 s fie n progresie geometric.

    Solu ie. Numerele +1,4 +1,8 sunt n progresiegeometric dac 4 +1 = +18 +11 16 +8 +1 = 8 +8 +11 + 8 11 10 = 0 = 2 sau

    .Soluia corect este

    = 2.

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    32/125

    3. Funcii, lecturi grafice3.1 Noiunea de funcie

    1) Definiia func ieiDefiniie. Fiind date dou mulimi nevide A i B, prinfunc ie

    definit pe A cu valori n B n elegem o lege f prin care fiecruielement i punem n coresponden un element unic y . Notm : , = . Mul imea A se numete domeniul de definiie al funciei.

    Mul imea B se numete codomeniulsau mul imea n carefunc ia ia valori.

    f estelegea de coresponden ntre cele dou mulimi. x se numete argumentul funciei. y se numete imaginea lui x prin funcia f .Exemplu. Corespondena , unde

    = 2,1,0,1,2, = 0,1,2,3,4, =

    este funcie deoarece

    2 = 4,1 = 1,0 = 0,1 = 1

    i 2 = 4. 2) Funcii egaleDefiniie. Fiind date funciile : i ,spunem c funciile f i g sunt egale dac: = , i = , .

    Exemplu. Funciile

    , 1 ,

    = 1 i

    = 1 1 sunt egale deo = 1 +1 +1 = = 1 = . 3) Imaginea unei funciiDefiniie. Fiind dat funcia

    : , numim imaginea

    funciei f , mulimea

    = |

    pe care o notm

    Im .

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    33/125

    Exemplu. Pentru funcia 1,0,1 , = + ,avem: 1 = 4,0 = 5,1 = 6 iIm = 4,5,6. 4) Restricia i prelungirea unei funciiDefiniie. Fiind date funciile :

    i , astfel nct i = , spunem c funcia f esterestric ia funciei g la A , iar funcia g esteprelungirea funciei f la C . Exemplu. :0,1 , = +1, :2,2 = +1.5) Graficul unei funciiDefiniie. Fiind dat funcia : , numim graficul funciei f , mulimea ,| , = pe care o notm .Exemplu. Pentru funcia :2,0,1 , = graficul su este: = 2,1, 0,3,1,4 .3.2 Funcii numericeDefiniie.Funcia : , se nume

    te funcie numeric,dac i .Exemplu. Funcia 0,1 0,+ este numeric.Fiind dat funcia numeric : reprezentm geometricgraficul funciei f reprezentnd n planul toate punctele, . Definiie. Fiind dat funcia numeric

    spunem c:a) f estecresctoare pe , dac pentru orice , , < . b) f este strict cresctoare pe , dac pentru orice , , < < . c) f este descresctoare pe , dac pentru orice , , . Exemplu. Funcia , = +2 este strict cres-ctoare deoarece:, , < < 0

    i atunci

    = +2 +2 = < 0.

    Observa ie. a) Fiind dat funcia numeric spunemc funcia f estemonoton dac i numai dac f este cresctoaresau descresctoare.b) Fiind dat funcia numeric , spunem c funcia f este strict monoton dac i numai dac f este strict cresctoare

    sau strict descresctoare.

    Definiie. Fiind dat funcia numeric spunem c ea este mrginit dac exist > 0, astfel nct s avem: , .Exemplu. Funcia , = este mrginit,

    deoarece = 22+1 1, .Definiie. Fiind dat funcia numeric

    spunem c ea este nemrginit dac oricare ar fi > 0, astfel nct s avem: > .Exemplu. Funcia 0,+ , = +3 este ne-mrginit, deoarece oricare ar fi > 0, 0,+ astfel nct s avem: > +1 > > Lum = 1+1.

    Definiie. Mulimea se numete simetric fa deorigine dac , rezult c . Definiie. Fiind dat funcia numeric unde estemulime simetric, spunem c ea este funcie par dac = = . Exemplu. Funcia , = +1 este funciepar, deoarece

    = +1 = +1 = .

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    35/125

    Definiie. Fiind dat funcia numeric unde estemulime simetric, spunem c ea este funcie impar dac = .

    Exemplu. Funcia

    , = este funcie

    impar, deoarece = + = + = . Definiie. Fiind dat funcia numeric spunem c ea este funcie periodic dac exist un numr 0,astfel nct + = . Exemplu. Funcia , = +1 este funcieperiodic de perioad 1, deoarece = +1 = +2 =

    = +1.

    3.3 Compunerea funciilorDefiniie. Fiind date funciile : , : , numim compunerea funciei g cu funcia f , funcia notat o : , unde o = . Exemple. a) Fie

    :1,2,3 4,5,6,1 = 4,2 = 3 = 6 i

    :4,5,6 7,8,9,4 = 7,5 = 8,6 =

    Atunci o :1,2,3 7,8,9 i o1 = 1 = 4 == 7, o2 = 2 = 5 = 8,3 = 6 = 9 b) Fie , : , = +1, = 1. Atunci:o : , o = = +1 = +11 i o : , og = = 1 = 1+1 =

    .

    Aplicaii1. Se consider funcia : 1 , = .a) S se rezolve ecuaia: o o = 2. b) S se rezolve ecuaia: o o o = 2. c) S se rezolve ecuaia: o o o o = 2. Solu ie.

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    36/125

    111 21( )( ) ( ( ))

    11 211

    x

    x x x f f x f f x f x x x

    x

    ++

    + = = = = =+

    .

    a)1

    ( )( ) ( )( ( )) ( )1

    x f f f x f f f x f x

    x

    += = =

    .

    Ecuaia devine:1

    2 1 2 2 3

    1

    x x x x

    x

    += + = =

    .

    b) ( )( ) ( )( ( )) ( )( ) f f f f x f f f f x f f x x= = = .Ecuaia devine: 2 x = .

    c)1

    ( )( ) ( )( ( )) ( )1

    x f f f f f x f f f f f x f x

    x

    += = =

    Ecuaia devine:1

    2 1 2 2 31

    x x x x

    x

    += + = = .

    2. Fie funcia , = +1. S se determinefuncia g astfel nct ( ) 2 3 f g x x= + .Solu ie. ( ) 2 3 ( ( )) 2 3 f g x x f g x x= + = + ( ) 1g x + = 2 3 ( ) 2 2 x g x x+ = + .

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    37/125

    4. Func ia de gradul I4.1 Ecuaia de gradul I

    Definiie. Ecuaia liniar + = 0, unde , , 0 se numete ecuaie de gradul nti.Soluia ecuaiei de gradul nti este = .Exemplu. Ecuaia2 3 = 0 are soluia = .

    Aplica ii1. S se rezolve ecuaia: +1 +2+18 = +3 +4.Solu ie. a) Prin desfacerea parantezelor obinem:

    2 22 2 18 3 4 12 4 8 2 x x x x x x x x+ + + + = + + + = = .2. S se rezolve ecuaia:

    3+21+2 + 4 27+16 +4 = 5 +27 +2 +1. Solu ie. a) Se aduce la acelai numitori se ine seama deegalitatea 27 16 4 (1 2 )(7 2 ) x x x x+ + = + + i se obine ecuaia:

    2 2(3 2 )(7 2 ) 4 2 (5 2 )(1 2 ) 7 16 4 x x x x x x x+ + + = + + + + +

    78 7 08

    x x = = .

    4.2 Funcia afin a) Definiia func iei afineFuncia

    , = + = 0 unde

    , se

    numete func ie afin.

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    38/125

    Funcia : , = + = 0, unde , , se numete func ie de gradul nti.Exemplu. a) Funcia

    : , = +4 este funcie

    afin i se numete func ie de gradul nti.b) Funcia , = 6 este funcie afin

    i se mainumete func ie constant.

    b) Monotonia funciei de gradul ntiFuncia de gradul nti , = + unde, , 0 este:1) strict cresctoare dac

    > 0;

    2) strict descresctoare dac < 0. Exemple. a) Funcia , = 2 +4 este cresc-toare, deoarece = 2 > 0.b) Funcia , = +2 este descresctoare,deoarece = 1 < 0.c) Semnul funciei de gradul ntiFuncia de gradul nti , = + unde, , 0 are semnul dat de tabelul: + = + semn conExemplu. Funcia

    , = +4 are semnul:

    4 + = +4 + 0 d) Inecua ii liniare cu o necunoscut Inecuaia care n urma unor transformri elementare succesive

    capt una din formele:

    + 0 sau

    + > 0 sau

    +

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    39/125

    0 sau + < 0, unde , se numete inecua ie liniar cu o necunoscut.Dac

    0, inecua ie liniar cu o necunoscut devine

    inecua ie de gradul nti cu o necunoscut.Exemplu. < 32 +3 < 25 +2 6 +9 < 10 +4 4 +5 < 0 e) Rezolvarea inecua iei de forma + unde, .Prezentm mai jos dou metode de rezolvare

    1) Dac > 0, + 0 ;Dac < 0, + 0 ;Dac = 0, + 0 ;Dac 0, atunci orice este soluie.Dac < 0, atunci nu exist soluie a inecuaiei.Exemplu.2 +3 0 32

    . 2) Se studiaz semnul funciei : , = + i sedetermin semnul funciei interpretnd tabelul.Exemplu. Pentru rezolvarea inecuaiei 2 facemtabelul:

    2 + 2 0 + Soluia este 2,+ . Pentru celelalte 3 cazuri: + > 0 sau + sau + < 0 se procedeaz analog.f) Poziia relativ a dou drepte. Sisteme de ecuaii de

    gradul ISistemul

    + = + = , , , , , , se rezolv

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    40/125

    folosind metoda reducerii sau metoda substituiei, nv ate nciclul gimnazial.

    Cele dou ecuaii ale sistemului reprezint ecuaiile a dou drepte n plan. Soluia sistemului

    , , reprezint punctul de

    intersecie al celor dou drepte din plan.Dou drepte n plan pot fi concurente, paralele sau confundate.Dac cele dou drepte sunt concurente, atunci sistemul are soluieunic i se numete compatibil determinat. Dac cele dou dreptesunt paralele, atunci sistemul nu are soluie i se numeteincompatibil. Dac cele dou drepte sunt confundate, atuncisistemul are o infinitate de soluii i se numete incompatibil.

    Exemplu. S se rezolve i s se interpreteze geometricsistemele de ecuaii:a) 2 + = 43 2 = 1 b) +2 = 32 +4 = 7 .Solu ie. a) Folosind metoda reducerii sau substituiei se obinesoluia = 1, = 2. Punctul1,2 reprezint punctul de intersec-ie al graficelor dreptelor

    2 + 4 = 0 i

    3 2 +

    b) nmulind prima ecuaie cu2 i adunnd la a doua ecuaie

    ob inem:0 = 1. Sistemul este incompatibili atunci cele dou drepte +2 3 = 0i 2 +4 7 =sunt paralele.

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    41/125

    5. Funcia de gradul al doilea5.1 Ecuaia de gradul al doilea

    a) Forma ecuaiei de gradul al doileaEcua ia de gradul al doilea are forma: + + = 0, , Discriminantul ecuaiei este:= 4 . Dac > 0, atunci ecuaia are dou soluii reale date de:

    , = 2 .

    Dac = 0, atunci ecuaia are o soluie real dat de:, =2. Dac < 0, atunci ecuaia nu are nici o soluie real.Exemple. a) Ecuaia 3 +2 = are= 1 i soluiile 1i 2.b) Ecuaia 4 +4 = 0 are= 0

    i soluia 2.c) Ecuaia +1 = 0 are= 3 i nu are soluii reale.b) Rela iile lui VieteFiind dat ecua ia de gradul al doilea: + + = 0, , rela iile lui Viete, sau relaiile ntre rdcinii coeficieni sunt:

    + = i = .Formule importante:1) + = + 2; 2) + = + 3 +;3) + = + 2 = ; 4)

    + = + 3 +.

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    42/125

    Exemple. Fr a rezolva ecuaia +2 =, s secalculeze:a)

    + b)

    + c)

    +.

    Solu ie. Avem:

    + = 1 i

    = 2.

    a) + = + 2 = 1 4 = 3 b) + = + 3 + = 1 6 c) + = + 2 = 3 24 c) Formarea ecuaiei de gradul al doilea cnd se cunoscrdcinile

    Dac se cunosc rdcinile

    , ale ecuaiei, notm

    + =

    = , = i atunci ecuaia de gradul al doilea care are ca

    rdcini pe i este: + = 0. Exemplu. Dac 1 i 2 sunt rdcini ale unei ecuaii, atunci = 1+2 = 3, = 1 iar ecuaia care are ca rdcini pe 1i 2 este: 3 +2 = 0. d) Descompunerea trinomului de gradul al doilea nfactori de gradul ntiFiind dat trinomul de gradul al doilea + +, , , 0, avnd rdcinile , , atunci avem: + + = . Exemplu. Fiind dat trinomul 5 +4, ecuaia asociat acestuia este

    5 +4 = 0 cu rdcinile 1i 4,i atunci:

    5 +4 = 1 1 4. e) Semnele rdcinilor ecuaiei de gradul al doileaFiind dat ecua ia de gradul al doilea: + + = 0, , , i + = , = , atunci avem:a) dac > 0, > 0,

    atunci ambele rdcini sunt pozitive.b) dac

    > 0, < 0, atunci ambele rdcini sunt negative

    .

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    43/125

    c) dac < 0, > 0, atunci o rdcin este pozitiv i una estenegativ, mai mare n valoare absolut fiind cea pozitiv.d) dac

    < 0, < 0, atunci o rdcin este pozitiv i una este

    negativ, mai mare n valoare absolut fiind cea negativ.e) dac < 0, = 0, atunci o r

    dcin este pozitiv i una estenegativ, ele fiind egale n valoare absolut.f) dac = 0, > 0, atunci o rdcin este 0 i cealalt estepozitiv.g) dac = 0, < 0, atunci o rdcin este 0 i cealalt estenegativ.h) dac

    = 0, = 0, atunci ambele rdcini sunt egale cu 0.

    Observa ie. Dac < 0, atunci rdcinile nu sunt realei nconsecin nu au semne.Exemple. a) Ecuaia 5 +1 = 0 are= 21 = 1. Atunci ambele rdcini sunt pozitive.b) Ecuaia2 7 1 = 0

    are

    = 57, = i

    = .

    Atunci o rdcin este pozitiv i una negativ, mai mare nvaloare absolut este cea pozitiv.

    5.2 Funcia de gradul al doileaa) Definiie. Se numete func ie de gradul al doilea funcia

    de forma , = + + , , ,.Exemplu. Funcia , = + +1

    este func-ie de gradul al doilea.

    b) Monotonia funciei de gradul al doilea1) Dac > 0, funcia este strict descresctoare pe intervalul, 2 i strict cresc2 , +.2) Dac

    < 0, funcia este strict cresctoare pe intervalul

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    44/125

    , 2 i strict descre2 , +.Exemplu. Funcia = 2 +7

    este strict descres-ctoare pe intervalul

    , 1 i cresctoare pe intervalul

    1,+.

    c) Forma canonic a func iei de gradul al doileaForma canonic a trinomului de gradul al doilea este:

    + + = + 2 44 . Exemple. a) Pentru funcia = 2 4 +5

    avem:

    = 2 1 +32 = 2 1 +3. b) Pentru funcia = +2 +1, avem: = 1 2 = 1 +2. d) Maximul sau minimul funciei de gradul al doilea1) Dac

    > 0,funcia de gradul al doilea are un minim egal cu

    4 i care se realize 2. 2) Dac < 0,funcia de gradul al doilea are un maxim egal cu 4 i care se realize 2. Exemple. a) Funcia = +2

    are un minim egal cu

    4 = 74 = 74,obinut pentr 2 = 12 = 12. b) Funcia = 2 + +1 are un maxim egal cu: 4 = 98 = 98,obinut pentr 2 = 14 = 14. e) Graficul funciei de gradul al doileaGraficul funciei de gradul al doilea este o parabol:

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    45/125

    1) cu vrful n jos dac > 0 y O x

    2) cu vrful n sus dac < 0 y O x

    f) Semnul funciei de gradul al doilea1) Dac

    < 0, semnul funciei este dat de tabelul:

    semnul lui 2) Dac = 0, semnul funciei este dat de tabelul:

    +

    semnul lui 0 semnul luia 3) Dac > 0,semnul funciei este dat de tabelul: + semnul lui 0 semn contrar luia 0 semnul luia Exemple. a) Pentru funcia = + +3avem:

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    46/125

    = 11 < 0 i atunci funcia pstreaz semnul lui = 1, adic este pozitiv peR.b) Pentru funcia

    = 3 +2avem:

    = 1, = 2

    i atunci semnul funciei este dat de tabelul:

    1 2 + + 0 0 +Aplica ii

    1. S se determine funcia de gradul al doilea

    , = + + , al crui grafic trece prin punctele 1,2,3,0, 1,1.Solu ie. Se pun condiiile: (1) 2, (3) 0, ( 1) 12 f f f = = = . Se obine sistemul: + + = 29 +3 + = 0

    + = 12

    cu soluiile: = 2, = 7, = Atunci = 2 7 + 2. S se studieze monotonia funciei : , = 2 , 2,+2 7, ,2. Solu ie. a) Pe[ )2, + , 2( ) 2 f x x x= este cresctoare,iar punctul de minim este(2,0) .Pe intervalul, 2 funcia ( ) 2 7 f x x

    = este cresctoareitoate punctele graficului se gsesc sub punctul(2, 3) . Deoarece3 < 0 rezult c funcia este cresctoare.3. S se arate c vrfurile parabolelor asociate funciei:

    : , = +1 + 3

    unde

    , se gsesc pe o parabol.

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    47/125

    Solu ie. Coordonatele vrfului sunt:21 2 13

    ,2 4

    a a a x yv v

    + + = = .

    Scoatem din prima ecuaie = 2 1, nlocuim n a douaecuaie i ob inem:4 = 2 1 +22 113 4 = 4 +4 1+4 2 y = x2 + 2 x 4, adic ecuaia unei parabole.4. S se arate c oricare ar fi , parabolele asociatefunciilor

    : , = + 4 +2trec prin

    cel puin un punct fix.Solu ie. Fie y = x2 + (a 4) x + 2 a a( x 1) + x2 4 x 2 0 y + = ( ) a R x 1 = 0i x2 4 x y + 2 = 0

    x = 1, y = 1.

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    48/125

    6. Mul imi de numere6.1 Numere reale

    6.1.1 Puteri cu exponent ntregDefiniie. Dac ,i , atunci definim = 1 i = . Dac n plus 0, atunci = .Observa ie. Operaiile0 i0 nu au sens.Propriet i. Pentru orice

    , i

    , care nu conduc

    la operaii f r sens, avem:1) = 2) = 3) = 4) = 5) = 6) = .

    Exemple. a) 22 = 2 = 2 = 8. b) 2 = 2 = 2. 6.1.2 RadicaliDefiniie. Fiind dat numrul real i pozitiv a i numrul

    naturaln, numim radical de ordinuln al numruluia , numrul realpozitiv x, astfel nct

    = .

    Radicalul de ordinn al luia se noteaz: .Definiie. Fiind dat numrul real i negativa i numrulnatural imparn, numim radical de ordinuln al numrului a ,numrul real negativ x, astfel nct = . Propriet i.1) Dac

    , atunci

    = .

    2) Dac n este impar, atunci = .

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    49/125

    3) Amplificarea radicalului: Dac > 0 i , , , atunci = . 4) Simplificarea radicalului: Dac

    > 0 i

    , , , atunci

    = .

    5) Radicalul unui produs a doi factori: a) Dac n este pari 0, 0 atunci = .b) Dac n este impar atunci = .c) Dac n este impari < 0, < 0 atunci =

    = .

    6) Produsul a doi radicali: Dac , , atunci = . 7) Radicalul ctului a dou numere: a) Dac n este pari 0, 0 atunci = . b) Dac n este impari

    , , 0 atunci

    =

    = . c) Dac n este impari < 0, < 0 atunci = =

    .

    8) Ctul a doi radicali:

    Dac , , 0 atunci = .9) Scoaterea unui factor de sub radical: a) Dac n este par atunci

    = .

    b) Dac n este impar atunci

    = .

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    50/125

    10) Introducerea unui factor sub radical: a) Dac n este pari

    0, atunci

    = .

    b) Dac n este pari < 0, atunci = .c) Dac n este impar atunci = . 11) Ridicarea la putere a unui radical: a) Dac n este pari 0, atunci = . b) Dac n este impari , atunci = . 12) Extragerea radicalului din radical:a) Dac m, n sunt imparei , atunci = . b) Dac m par saun pari 0, atunci = . Exemple. a) 64 = 2 = 2. b) 85 = 2 5 = 2 5. c) = . Compararea radicalilor:a) Dac n este pari > 0, > 0, atunci: < < .b) Dac n este impari , atunci: < < .Exemplu. 3 5 = 3 5 = 45 i5 3 = 5 3 =

    = 75. Atunci evident

    3 5 < 5 3.

    Ra ionalizarea numitorului unei fracii se face amplificndfrac ia cu conjugata numitorului.

    Exemple.

    a1 = = , 0; b1 = = ;

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    51/125

    c 1 +

    = +

    = , d 1 = + + = + , e 1 = + + + + =

    = + + , .

    Formulele radicalilor compui

    Dac > 0, > 0, , i = , atunci avem:

    a + = +2 +

    2 ;

    b = +2 2 .

    . 3 8 =

    3+12

    312 = 21

    Aplicaii1. S se ordoneze cresctor numerele:2 3,3 2, 15,6 2. Solu ie. 2 3 = 12,3 2 = 18,6 2 = 72. Evident ordinea este:

    2 3, 15,3

    2,6 2.

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    52/125

    2. S se verifice egalitatea:

    5 + 24+ 5 24 = 1 . 5+ 24+ 5 24 = 3+ = 2 3 = 12. 6.1.3 Puteri cu exponent raional

    Definiie. Fie > 0, , , 2. Atunci =

    , i = 1 , .Pentru = 0,av = 0.

    Propriet i. Pentru > 0, > 0 i , avem:1) = ; 2) : = ,unde 0; 3) = ; 4) = ;

    = ,unde 0. 6.1.4 Puteri cu exponent realPropriet i. Pentru > 0, > 0 i , avem:1) = ; 2) : = ,unde 0;

    3) = ; 4) = ; = ,unde 0.

    Exemple. a) 2 2 = 2 = 2 = 1. b)2 3 = 2 3 = 169 = 14

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    53/125

    Compararea puterilor cu exponent realDac > 1 i , , atunci < < . Dac

    0 < < 1 i

    , , atunci

    < > .

    Exemplu. 1 < 2 < 3 3 < 3 < 3 . 6.2 LogaritmiDefiniie. Logaritmul unui numr real pozitiv A este expo-nentul x la care trebuie s ridicm un numr real pozitivi diferitde 1, notata i numit baz, pentru a obine pe A.

    Scriem:

    log = , unde

    > 0, > 0

    Observa ie. log 1 = 0, > 0, Exemple. a) log8 = 3, deoarece2 = 8. b) log4 = 2,deoarece = 2 = 4. Propriet i.Dac

    > 0, > 0, > 0 atunci:

    1)

    log = log +log .

    log = log log . log 1 = log . log = log . log = .

    log = log . Exemple. a) log56 = log5+log6. b) log20 =log45 = log4 +log5 = 2+l5. c) log4 = 3log4 = 32 = 6. Formula de schimbare de baz a unui logaritmDac

    > 0, > 0, atunci:

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    54/125

    log = log log . Exemplu. a) Avnd logaritmullog20

    l schimbm n baza

    astfel:log20 = log20log4 = log4+log52 = 2 +log52 . Compararea logaritmilor care au aceeai baz Dac 0 < < 1, atunci0 < < log > log . Dac > 1, atunci0 < < log < log. Exemple. a) 0 < 0,5 < 1

    i atuncilog,5 > log,8. b) 3 > 1 i atuncilog8 < log10. Aplicaii1. S se aduc la forma cea mai simpl expresia:

    1 2 3 4 5 6 7lg lg lg lg lg lg lg .

    2 3 4 5 6 7 8+ + + + + +

    Solu ie.1 2 3 4 5 6 7

    lg lg lg lg lg lg lg2 3 4 5 6 7 8

    + + + + + + =

    1 2 3 4 5 6 7 1lg lg lg1 lg 8 lg 8

    2 3 4 5 6 7 8 8= = = = .

    2. S se aduc la forma cea mai simpl expresia:log 2 log 4 log 8 log 16 log 32.1 1 1 1 1

    2 4 8 16 32+ + + +

    Solu ie. log 2 log 4 log 8 log 16 log 321 1 1 1 1

    2 4 8 16 32+ + + + =

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    55/125

    1 1 1 11 1 1 1

    log log log log1 1 1 12 4 8 162 4 8 16

    = + + + +

    11log 1 1 1 1 1 51

    3232

    + = =

    .

    3. S se demonstreze inegalitatea:1 1 1

    2log 8 log 8 log 82 4 6

    + + < .

    Solu ie. Se trec logaritmii n baza 8i se obine:2log 2 log 4 log 6 2 log 48 2 48 88 8 8 8+ + < < <

    4. S se arate c dac , ,, atunci:2 2log log 2

    ab aba ba b a b+ + + .

    Solu ie.2 2 1

    log log log2

    ab abab ab aba a a

    a b a b = =

    + +

    ( )1

    1 log2 ba= + i ( )2 1 1

    log log log 12 2

    ab

    ab aab ba b = ++ . Atunci:

    ( ) ( )2 2 1 1log log 1 log 1 log2 2

    ab abb aa ab b

    a b a b+ + + + =

    + +

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    56/125

    ( )1 1 1 11 log log 1 log 1 2 22 2 log 2

    b a ba ab ba

    = + + = + + > + =

    6.3 Mulimea numerelor complexe6.3.1 Numere complexe sub form algebric

    Definiie. Mulimea numerelor complexe este: = +| , , = 1.Scrierea = +

    se numete forma algebric a numrului

    complex z. Numrul se numete partea real a lui zi senoteaz , iar numrul este coeficientulpr ii imagina-re a lui z i se noteaz .Exemplu. Pentru numrul complex2 +3 , 2 este partea real i 3 este coeficientul pr ii imaginare.

    Conjugatul unui numr complexFiind dat numrul complex

    = + , numrul

    = se

    numete conjugatul numrului complex z.Exemple. Conjugatul lui3+ este3 i conjugatul lui2 este2+ . Egalitatea a dou numere complexeDou numere complexe

    = + i

    = + sunt

    egale dac i numai dac

    = i

    = .

    Exemplu. Numerele complexe +1 + i2 +2 1 sunt egale dac +1 = 2 i = 2 1, adic = 1, Puterile numrului i Puterile numruluii sunt: = , = 1, = , = 1, = , = 1, = , = 1, .

    Pentru

    avem:

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    57/125

    = 1, = 4, = 4 +11, = 4 + , = 4 +

    . Exemple. = , = 1, = , = 1 Opera ii cu numere complexe1) Adunarea numerelor complexeFiind date numerele complexe = + i = +,definim: + = + + + = ++ +

    .

    Exemplu. 2+3+5 = 7 +2 . 2) Scderea numerelor complexeFiind date numerele complexe = + i = +,definim: = + + = + .Exemplu.523 5 = 53+2+5 =

    = 2+3 .

    3) nmul irea numerelor complexeFiind date numerele complexe = + i = +,definim: = + + = = + + .Exemplu.

    3 2+ = 6 +1+3 2 = 7+

    4) mpr irea numerelor complexeFiind date numerele complexe = + i = +,definim: = + + = + + =

    = + + + + .

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    58/125

    .1+2 = 1+2+22+ = 21+1+24+1 =

    = 1+35 =

    15+35.

    Propriet i ale numerelor complexe1) + = +. 2) = . 3) = .4)

    = .

    = . 6) = . 7) = . 8) = . Exemple. a) Fiind date = 1+

    i

    = 2 , atunci

    + = + = 1 +2+ =

    b) Fiind date = 2+ i = 1 , atunci = = 2 1 + = 3 + . Modulul unui numr complexModulul numrului complex = + este numrul pozitiv

    = +.

    Exemplu. Pentru = 3+4 , = 3 +4 = 5. Propriet i ale modulului unui numr complex1) = 0 = 0. 2) = . 3) = . = .

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    59/125

    5) = . 6) + +. zz = z caz particul = 1 =

    1 .

    Aplicaii1. S se arate c dac , astfel nct = = = 1, atunci:

    Im +

    1 + = 0,dac 1.

    . = = 1 = 1 i = 1. tim c Im = 0 = . Vom demonstra c +1+ = +1+. +1+ = +1+ = +1+ = +1+ = 1 + 11+ 1 1= = +1+. 6.3.2 Reprezentarea geometric a numerelor complexe1) Interpretarea geometric a unui numr complexFiind dat numrul complex = + , punctul , senumete imaginea geometric a numrului complex z. Numrul z

    se numete afixul punctului M .Exemplu. Pentru = 2+5 , punctul 2,5 este imagineageometric a lui z, iar z este afixul punctului M .

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    60/125

    Interpretarea geometric a modulului unui numrcomplex

    Fiind dat numrul complex

    = + , modulul lui z

    reprezint distan a dintre originei imaginea geometric a lui z.Exemplu. Pentru = 3+4 , imaginea geometric a lui z estepunctul 3,4, iar = = 3 +4 = 5. Interpretarea geometric a conjugatului unui numrcomplex

    Fiind dat numrul complex

    = + , conjugatul lui z este

    = . Imaginea geometric a lui este simetricul imaginiigeometrice a lui z fa de axa . Exemplu. Fiind dat = 2 , atunci = 2+ Imagineageometric a lui este punctul 2,1 care este simetricul fa deaxaOx a punctului 2,1. Interpretarea geometric a sumei a dou numere complexe

    Fiind date numerele complexe = + i = +, care au imaginile geometrice , i , , atunciimaginea geometric a sumei + este al patrulea vrf +, + al paralelogramului , unde O esteoriginea axelor de coordonate.

    Exemplu. Fiind date numerele complexe = 1+i = 2+3

    , imaginile geometrice ale acestora sunt punctele

    1,1 i 2,3. Imaginea geometric

    a lui + = = 3+4 este punctul 3,4 i evident esteparalelogram.Interpretarea geometric a diferen ei a dou numerecomplexe

    Fiind date numerele complexe

    = + i

    = +,

    care au imaginile geometrice , i , , atunci

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    61/125

    imaginea geometric a diferenei este imagineageometric a sumei + , adic al patrulea vrf ,

    al paralelogramului

    , undeO este

    originea axelor de coordonatei

    , este imaginea

    geometric a lui = . Interpretarea geometric a produsului dintre un numrreal i un numr complexFiind date numerele i = + , care areimaginea geometric

    ,, atunci imaginea geometric a

    numrului este punctul

    ,, care este coliniar cu

    puncteleO i M i n plus = . Aplicaii1. S se demonstreze c patrulaterul ABCD este paralelogramdac i numai dac + = +. Solu ie. Segmentele AC i BD au acelai mijlocO. Atunci +2 = +2 + = +.2. Fie numerele complexe = + i = +,avnd ca imagini geometrice punctele A i respectiv B. S se aratec s s Solu ie. Se proiecteaz punctele

    , , pe axele de coordo-

    nate. Proieciile lui M pe axe au coordonatele : i .6.3.3 Rezolvarea de ecuaii n C

    Ecua ia de gradul nti cu coeficieni compleci Forma ecua iei: + = 0, ,

    : = .Se nmul

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    62/125

    numitoruluii se aduce la forma cea mai simpl.Exemplu. Ecuaia 1+ = are soluia: = +1 =

    11 =

    1+2 =

    12+12.

    Ecua ia de gradul al doilea cu coeficieni reali rezolvat n C

    Ecua ia de gradul al doilea are forma: + + = 0, , , Discriminantul ecuaiei este:= 4 . Dac > 0,

    atunci ecuaia are dou soluii realei distincte.Dac = 0, atunci ecuaia are dou

    soluii realei egale. Dac < 0, atunci ecuaia are dou soluii complex conjugate:, = 2 . Exemplu. Ecuaia 2 +2 = 0, are= 4 i soluiile:, = 2 42 = 222 = 1 .

    Ecua ia de gradul al doilea cu coeficieni complecirezolvat n C

    Ecua ia de gradul al doilea are forma: + + = 0, , , Discriminantul ecuaiei este:= 4 = +,

    undem i n urmeaz s se determine.

    Soluiile ecuaiei, = 2 = +2 . Exemplu. Ecuaia 1 = are= + +41+ = +4 +4 = +2. Soluiile ecuaiei sunt:, = +2

    2 = +2

    2

    = +1, = 1

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    63/125

    7. Funcii i ecua ii7.1 Funcii

    7.1.1 Injectivitate, surjectivitate, bijectivitate. Funciiinversabile

    InjectivitateDefiniie. O funcie se numete injectiv dac oricare ar fi , , , rezult . Consecin. O funcie este injectiv dac oricarear fi , ,astfel nct = , rezult = . Exemplu. Funcia

    , = 3 +1 este injectiv

    deoarece = 3 +1 = 3 = . Observa ie. O funcie nu este injectiv dac exist , , , astfel nct = . Exemplu. Funcia , = 4 + nu esteinjectiv deoarece1 3 i 1 = 3 = 0. Modalitate grafic de a verifica dac o funcie numeric este sau nu injectiv

    O funcie numeric este injectiv dac oriceparalel la axaOx dus prin punctele codomeniului, intersecteaz

    graficul funciei n cel mult un punct.SurjectivitateDefiniie. O funcie se numete surjectiv dac oricare ar fi ,exist cel puin un element astfel nct

    = .

    Consecine.1) O funcie estesurjectiv dac Im = .2) O funcie estesurjectiv dac oricare ar fi , ecuaia n , = are cel puin o soluie n mulimea A.Exemplu. Funcia :1,2,3 ,,1 = 2 = , 3 = , este surjectiv deoareceIm = .Observa ie. O funcie

    nu este surjectiv dac exist cel puin un punct , astfel nct oricare ar fi ,

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    64/125

    . Exemplu. Funcia : , = nu este surjectiv deoarece ecuaia = 5 = 5

    nu are soluii n Z.

    Modalitate grafic de a verifica dac o funcie numeric este sau nu surjectiv O funcie numeric este surjectiv dac oriceparalel la axaOx dus prin punctele codomeniului, intersecteaz

    graficul funciei n cel puin un punct.BijectivitateDefiniie. O funcie

    se numete bijectiv dac este

    injectiv i surjectiv.Consecin. O funcie estebijectiv dac i numaidac oricare ar fi , exist un unic astfel nct = = . Exemplu. Funcia , = 4 3 este evidentatt injectiv cti surjectiv i atunci este bijectiv.Observa ie. O funcie

    nu este bijectiv dac nu

    este injectiv sau nu este surjectiv.Exemple. Funcia , = 4 +3 nu esteinjectiv, iar funcia : , = nu este surjectiv iatunci cele dou funcii nu sunt bijective.Modalitate grafic de a verifica dac o funcie numeric

    este sau nu bijectiv O funcie numeric

    este bijectiv dac orice

    paralel la axaOx dus prin punctele codomeniului, intersecteaz graficul funciei ntr-un singur punct.

    InversabilitateDefiniie. O funcie se numete inversabil dac exist o funcie astfel nct o = 1 i o = . Exemplu. Funcia

    , = 2 +1, este inversabil

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    65/125

    deoarece pentru f = 12 avem

    = = 12 = 2

    12 +1 =

    = = 2 +1 = 2 +112 = . Consecin. O funcie este inversabil dac inumai dac este bijectiv. Inversa funciei f se noteaz cu . Exemplu. Funcia , = +2 este bijectiv deoarece este injectiv i surjectiv.Interpretare geometric Graficele a dou funcii inverse f i sunt simetrice fa deprima bisectoare.7.1.2 Funcia putere cu exponent naturalDefiniie. Funcia , = , unde , se numete func ie putere de gradul n .Dac n este par graficul funciei este prezentat n fig. 1, iar

    dac n este impar graficul funciei este prezentat n fig. 2. y y

    O x O x

    fig. 1 fig. 2Observa ie. Reprezentarea grafic a unei astfel de funcii se

    face prin puncte.7.1.3 Funcia radical

    Definiie. Funcia

    :0, , = , par , = , impa

    se

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    66/125

    numete func ie radical de ordinul n .Dac n este par graficul funciei este prezentat n fig. 1, iar

    dac n este impar graficul funciei este prezentat n fig. 2. y y

    O x O x

    fig. 1 fig. 2

    Observa ie. Reprezentarea grafic a unei astfel de funcii seface prin puncte.7.1.4 Funcia exponenial

    Definiie. Dac > 0 i 1,unc ia : 0,, = se numete func ie exponenial.Observa ie. Funcia exponenial este bijectiv i inversabil.Monotonia funciei exponeniale 1) Dac 0 < < 1, funcia exponenial este strict descresctoarepe R.2) Dac > 1 funcia exponenial este strict cresctoare peR.Graficul funciei exponenialeDac 0 < < 1 graficul funciei este prezentat n fig. 1, iardac > 1

    graficul funciei este prezentat n fig. 2. y y

    O x O x

    fig. 1 fig. 2

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    67/125

    Observa ie. Reprezentarea grafic a unei astfel de funcii seface prin puncte.

    7.1.5 Funcia logaritmic

    Definiie. Dac > 0 i 1unc ia :0, = log se numete func ie logaritmic.Observa ie. Funcia logaritmic este bijectiv i deci inver-sabil, inversa ei fiind funcia exponenial cu aceeai baz cafuncia logaritmic.

    Monotonia funciei logaritmice 1) Dac

    0 < < 1, funcia logaritmic este strict descresctoare

    pe 0,.2) Dac > 1 funcia logaritmic este strict cresctoare pe0,.Graficul funciei logaritmiceDac 0 < < 1 graficul funciei este prezentat n fig. 1, iardac > 1

    graficul funciei este prezentat n fig. 2.

    y y

    O x O x

    fig. 1 fig. 2Observa ie. Reprezentarea grafic a unei astfel de funcii se

    face prin puncte.

    7.2 Ecuaii7.2.1 Ecuaii, inecuaii i sisteme de ecuaii ira ionale

    Ecua ii ira ionale

    Orice ecuaie n care necunoscuta se gsete sub unul sau mai

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    68/125

    muli radicali se numete ecua ie ira ional.nainte de rezolvarea unei ecuaii iraionale se pun condiiile:

    1) funciile de sub radicalii de ordin par s fie 0. 2) ambii membri ai ecuaiei trebuie s aib acelai semn.Pentru rezolvarea unei ecuaii iraionale nu exist o metod general. Prin diverse metode, ecuaia trebuie transformat

    succesiv ntr-o ecuaie care nu mai conine radicalii care poate firezolvat folosind cunotin ele acumulate.

    Printre metodele folosite amintim:a) ridicarea succesiv la putere;b) folosirea formulelor pentru radicalii compui;

    c) folosirea propriet ilor proporiilor;d) nmulirea ecuaiei cu expresii conjugate;e) amplificarea unor fracii cu conjugata numitorului;f) efectuarea unor substituii.

    Exemplu.S se rezolve n R ecuaia:

    +2 2 =

    Solu ie. Punem mai nti condiiile:

    +2 0

    care prin rezolvare ne dau 2,2. Trecem radicalul 2 n partea dreapt pentru a pozitiva ambii membrii ob inem: +2 = 2 + Ridicm la ptrat ambii membri ai ecuaiei i ob inem: +2 = 2 +4+4 2 2 4 = 4 2 = 2 2

    . Punem condiia suplimentar

    2

    2, . Condiia este acum 2,22, = 2 . Ridicnd la ptrat obinem 2 = 0 = 2, care estesoluie corect deoarece2 2. Inecua ii ira ionaleOrice inecuaie n care necunoscuta se gsete sub unul sau

    mai muli radicali se numete inecua ie ira ional.

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    69/125

    nainte de rezolvarea unei inecuaii iraionale se pun condiiileca funciile de sub radicalii de ordin par s fie 0. Pentru a ridica la putere par ambii membri ai inecuaiei,acetia trebuie s aib acelai semn.

    Pentru rezolvarea unei inecuaii iraionale nu exist o metod general. Prin diverse metode, inecuaia trebuie transformat succesiv ntr-o inecuaie care nu mai conine radicalii care poatefi rezolvat folosind cunotin ele acumulate.

    Printre metodele folosite amintim:a) ridicarea succesiv la putere;b) folosirea formulelor pentru radicalii compui;

    c) amplificarea unor fracii cu conjugata numitorului;d) efectuarea unor substituii.Exemplu. S se rezolve inecuaia +1 +1. Solu ie. Evident +1 0. Avem dou cazuri:a) +1 0 1 , 1, caz n care avem: +1 0 +1

    i atunci inecuaia este satisf cut de orice

    , 1.

    b) +1 > 0 > 1 1,+. Putem acum ridica laptrat ambii membri ai inecuaiei i ob inem: +2 +1 +1 0 , 0. Soluiainecuaiei este 1,+, 0= 1, 0. Soluia final este: , 11, 0 = ,0. Sisteme de ecuaii ira ionaleOrice sistem de ecuaii n care cel puin o necunoscut segsete sub unul sau mai muli radicali se numete sistem de

    ecua ii ira ionale.nainte de rezolvarea unui sistem de ecuaii iraionale se pun

    condiiile:1) funciile de sub radicalii de ordin par trebuie s fie 0. 2) ambii membri ai ecuaiei trebuie s aib acelai semn.

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    70/125

    Pentru rezolvarea unui sistem de ecuaii iraionale nu exist ometod general. Prin diverse metode, sistemul de ecuaii trebuietransformat succesiv ntr-un sistem n care mcar o ecuaie nu maicon ine radicalii care poate fi rezolvat folosind cunotin eleacumulate.Printre metodele folosite amintim:a) ridicarea succesiv la putere;b) folosirea formulelor pentru radicalii compui;c) amplificarea unor fracii cu conjugata numitorului;d) efectuarea unor substituii.

    Exemplu. S se rezolve sistemul: + = 25 + = 7. Solu ie. Notm = i = i obinem sistemul: + = 25 + = 7, care prin rezolvare ne d soluiile: = 3, i

    = 4, = 3. Atunci

    = 9, = 16 sau

    = 16, =

    7.2.2 Ecuaii, inecuaii i sisteme de ecuaii exponenialeEcua ii exponenialeOrice ecuaie n care necunoscuta sau o expresie care conine

    necunoscuta se gsete la exponent se numete ecua ie exponen-ial.

    n cadrul rezolvrii unei ecuaii exponeniale se folosete

    injectivitatea funciei exponeniale: = = . Exist ctevacategorii de ecuaii exponeniale:1) > 0, 1, > 0, = = log .Exemplu. Ecuaia3 = 2 = log2. 2) > 0, 1, = = .Exemplu. Ecuaia2 = 2 +1 = 2 = 1 3), > 0, 1, 1 =

    . Se logaritmeaz

    ecuaia ntr-o baz > 0 i 1.

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    71/125

    Exemplu. Ecuaia2 = 3 se logaritmeaz n baza 2ise obine: +1 = 2 log3 = . 4) Ecuaii n care se folosete o substituie.Exemplu. Pentru ecuaia

    2 +4 = 72 se folosete

    substituia2 = i ecuaia devine: + 72 Inecua ii exponenialeOrice inecuaie n care necunoscuta sau o expresie care

    con ine necunoscuta se gsete la exponent se numete inecua ieexponenial.

    Pentru rezolvarea unei inecuaii exponeniale nu exist ometod general. Prin diverse metode, inecuaia trebuietransformat succesiv n una sau mai multe inecuaii mai simplecare pot fi rezolvate folosind cunotin ele acumulate.

    n cadrul rezolvrii unei inecuaii exponeniale se foloseteproprietatea funciei exponeniale:a) dac 0 < < 1, atunci < > . b) dac

    > 1, atunci

    < < .

    Exemplu. Pentru a rezolva inecuaia 2 +4 < 2 se facesubstituia 2 = , se obine inecuaia + 2 care aresoluia 2,12 < < 1 2 < 2 < 1. 2 > 2 i 2 < 1 2 < 2 < 0. Soluiainecuaiei este: ,0 = ,0. Sisteme de ecuaii exponenialeOrice sistem de ecuaii n care necunoscuta sau o expresie carecon ine necunoscuta se gsete la exponent se numete sistem de

    ecua ii exponeniale.Pentru rezolvarea unui sistem de ecuaii exponeniale nu exist

    o metod general. Prin diverse metode, sistemul de ecuaiitrebuie transformat succesiv ntr-un sistem care poate fi rezolvafolosind cunotin ele acumulate.

    Printre metodele folosite amintim:

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    72/125

    a) mpr irea membru cu membru a celor dou ecuaii;b) nmulirea membru cu membru a celor dou ecuaii;c) logaritmarea uneia sau ambelor ecuaii;d) efectuarea unor substituii.

    Exemplu. Pentru a rezolva sistemul3 4 = 364 3 = 48 se nmulesc membru cu membru cele dou ecuaii i se obine:12 12 = 1212 = 12 + = 3 = 3 Se nlocuiete cu3 i se obine o ecuaie exponenial.3 4 = 36, cu soluia = 2. Rezult = 1. 7.2.3 Ecuaii, inecuaii i sisteme de ecuaii logaritmiceEcua ii logaritmiceOrice ecuaie n care necunoscuta sau o expresie care conine

    necunoscuta se gsete ca baz sau argument al unui logaritm senumete ecua ie logaritmic.

    nainte de rezolvarea unei ecuaii logaritmice se pun condi-

    iile:1) funciile de sub logaritmi s fie> 0. 2) funciile ce reprezint bazele logaritmilor s fie> 0 i diferitede 1.n cadrul rezolvrii unei ecuaii logaritmice se folosete

    injectivitatea funciei logaritmice:log = log = .

    Exist ctevacategorii de ecuaii logaritmice:

    1) log = , = . Exemplu. log 2 +4 = 2. Se pun mai nti condiiile: 2 +4 > 0 i > 0, Rezult 0,11,+. Ecuaia devine 2 +4, Cu soluia = 2, care este corect deoarece 2 0,11,+. 2) > 0, 1,log = log = .

    Exemplu. log + +1 = log +2 +2.

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    73/125

    Se pun mai nti condiiile: + +1 > 0 +2 + care dup rezolvare ne dau . log + +1 = log +2 +2 + +1 +

    +2 +2 = 1, soluie corect.

    3) log = log . Se folosete formula:log = 1log i se obin log = 1log log =1 =

    = .

    Exemplu.log +1 = log 1. Se pun condiiile: +1 > 0, 1 > 1 i 2. Se obine ecuaia +1 = 1. a) +1 = 1 1 = 1, fals.

    b +1 = 1 1 1 = 1 = 2 = 2

    Corect este soluia = 2. Inecua ii logaritmiceOrice inecuaie n care necunoscuta sau o expresie carecon ine necunoscuta se gsete ca baz sau argument al unuilogaritm se numete inecua ie logaritmic.

    nainte de rezolvarea unei inecuaii logaritmice se pun condi-

    iile:1) funciile de sub logaritmi s fie> 0. 2) funciile ce reprezint bazele logaritmilor s fie> 0 i diferitede 1.Pentru rezolvarea unei inecuaii logaritmice nu exist o

    metod general. Prin diverse metode, inecuaia trebuietransformat succesiv n una sau mai multe inecuaii mai simplecare pot fi rezolvate folosind cunotin ele acumulate.

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    74/125

    n cadrul rezolvrii unei inecuaii logaritmice se foloseteproprietatea funciei logaritmice:a) dac 0 < < 1, atuncilog < log > b) dac

    > 1, atunci

    log < log <

    Exemplu. log 1 > 3. Se pune condiia 1 > > 1 1,. log 1 > 3 log 1 > log9 1 > > 1 Soluia va fi 1,10, = 10,. Sisteme de ecuaii logaritmiceOrice sistem de ecuaii n care necunoscuta sau o expresie care

    con ine necunoscuta se gsete ca baz sau argument al unuilogaritm se numete sistem deecua ii logaritmice.Pentru rezolvarea unui sistem de ecuaii logaritmice nu exist

    o metod general. Prin diverse metode, sistemul de ecuaiitrebuie transformat succesiv ntr-un sistem care poate fi rezolvatfolosind cunotin ele acumulate.

    Exemplu.

    + = 5log +log = 2 . Se pun condiiile

    > 0 > 0. A doua ecuaie se scrie:log = 2 = 4. Rezolvnd sistemul + = 5 = 4ob inem = 1, = 4 sau

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    75/125

    8. Metode de numrare8.1 Mulimi finite ordonate

    Definiie.Mulimea A se numete mulime finit dac

    =

    ,caz n care mulimea A are 0 elemente, sau dac exist numrulnatural 1 i o funcie bijectiv 1,2, , . Numrul naturaln este numrul elementelor mulimii finiteise numete cardinalul mulimii A. Se noteaz = car , sau = . Exemplu. Mulimea = , , are cardinalul 3.Propriet i ale mulimilor finite

    1) Dac mulimile i sunt finitei exist o funcie bijectiv , atunci = . 2) Dac mulimile A i B sunt finitei = , atunci mul-imea este finit i = +. 3) Dac mulimea A este finit i este o submulime a sa,atunci

    este mulime finit i

    = .

    Definiie. O mulime finit A, mpreun cu o ordine dedispunere a elementelor sale bine determinat se numete mul imeordonat.

    Exemplu. Fiind dat mulimea = 1,2,3 se pot formamulimile ordonate1,2,3,1,3,2,2,1,3,2,3,1,3,1,, 3,2,1. Aceste mulimi au aceleai elemente, dar difer prinordinea elementelor.Probleme de numrare importante

    1) Fiind date mulimile A i B finite, = , = , atuncinumrul funciilor este egal cu . 2) Fiind dat mulimea A avndn elemente, atunci numrul desubmulimi ale mulimii A este egal cu2. 3) Fiind date mulimile A i B finite,

    = , = , atunci

    mulimea este finit i = .

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    76/125

    8.2 PermutriDefiniie. Fiind dat mulimea A finit, orice mulime ordona-

    t care se poate forma cu elementele mulimii A se numete per-mutare a mulimii A.

    Dac mulimea A aren elemente, atunci numrul permutrilormulimii A l notm cu = ! = 12 Convenim ca = 0! = 1. Rela ii de recuren. = ; = 1 . Remarc. Fiind date mulimile A i B avnd fiecare cten elemente, atunci numrul funciilor bijective

    este egal

    cu

    !.

    Exemple. a) 5! = 1 234 b ! 1! = 1 2 1 1 2 1 = . 8.3 AranjamenteDefiniie. Fiind dat mulimea A avndn elemente, atunci

    submulimile ordonate cum elemente,

    ale mulimii A se

    numesc aranjamente den luate ctem.Numrul aranjamentelor den luate ctem se noteaz i este egal cu! !. Observa ie. = 1, = !. Rela ii de recuren.

    = ; = .

    Remarc. Fiind dat mulimea A avnd m elemente imulimea B avnd n elemente, , atunci funcii injective sunt n numr de . . a = 5!52! = 5!3! = 54 3!3! = 20. b) Numere de 5 cifre distincte care s nceap cu cifra 1 sunt . 8.4 Combinri

    Definiie. Fiind dat mulimea A avndn elemente, atunci

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    77/125

    submulimile cum elemente, ale mulimii A se numesccombinri den luate ctem.Numrul combinrilor den luate ctem se noteaz i este

    egal cu! ! ! = 12 +1 23 = Observa ie. = 1, = 1. Formula combinrilor complementare. = . Rela ii de recuren.a =

    b = c) = +. Remarc. Fiind dat mulimea A avnd n elemente, atuncinumrul submulimilor mulimii A este egal cu2.

    .a = 5 431 23 = 10.

    b = 1212 3 11 2 = 23 .

    8.5 Binomul lui NewtonFormula binomului lui Newton

    + = + + + + +. Coeficienii binomiali sunt: , , , ,.Termenul general al binomului este: = . Sume cu coeficieni binomiali cunoscute:a) + + + + = 2; b) + +1 = 0; c)

    + + + = 2;

    d) + + + = 2.

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    78/125

    Exemple. a) +1 = + + + +1 = = +4 +6 +4 +1. b) Termenul la patrulea al dezvoltrii 2 + 3

    este:

    = = 23 = 564 23 Aplicaii1 S se calculeze suma urmtoare !1

    nk k

    k =

    Solu ie. [ ]! !( 1 1) !( 1) !1 1 1

    n n nk k k k k k k

    k k k = + = + == = =

    [ ] [ ]( 1)! ! (2! 1) ... ( 1)! ! ( 1)! 11

    nk k n n n

    k = + = + + + = + =

    .

    2. S se rezolve ecuaia = 42. Solu ie. 2 242 ( 1) 42 42 0 A x x x x x = = =

    6 x = sau 7 x = . Corespunde 7 x = . , , x y n N

    ( )n x y+ 240, 720, 10802 3 4T T T = = = .Solu ie.

    1 1 2 2 2 3 3 3240; 720; 1080n n nC x y C x y C x yn n n

    = = = mpr im membru cu membru prima relaie la a douai a doua

    la a treiai scoatem din fiecare relaie obinut raportul: ;

    1 2 4 1 2 4,

    6 9 6 9

    x n x n x n n

    y y y

    = = = =

    5; 2, 3n x y = = = .

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    79/125

    9. Elemente de probabilit i9.1 Evenimente. Operaii cu evenimente

    EvenimenteDefiniie. Numim eveniment orice situaie determinat de

    unul sau mai multe posibile rezultate ale unei experiene.Evenimentele se reprezint n matematic ca mulimi ce conin

    probele care le realizeaz.Evenimentele care pot fi realizate de o singur prob se

    numesc evenimente elementare, iar evenimentele care pot firealizate de cel puin dou probe se numescevenimente compuse.

    Exemplu. Considerm experiena aruncrii unui zar.Evenimentul apariiei feei cu numrul 3 este unevenimentelementar. Evenimentul apariiei unei fee cu numr par esteevenimentul apariiei unei fee cu unul din numerele: 2 sau 4 sau 6i este uneveniment compus.

    Definiie. Evenimentul care nu se realizeaz la nici o prob aexperienei se numete eveniment imposibil.

    Definiie. Evenimentul care se realizeaz la fiecare efectuare aunei experiene se numete eveniment sigur.

    Exemplu. Considerm experiena aruncrii unui singur zar.Evenimentul obinerii unui numr mai mic dect 12 esteevenimentul sigur, deoarece orice numr apare pe zar este maimic dect 12. Evenimentul obinerii numrului 12 esteevenimentul imposibil, deoarece 12 nu poate apare pe nici o fa a zarului.

    Definiie. Evenimentele i se numesccompatibile dac exist probe care le realizeaz simultan.Evenimentele i se numescincompatibile dac nu exist nici o prob care s le realizeze simultanExemplu. Considerm experiena aruncrii unui singur zar.

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    80/125

    a) Evenimentul A al obinerii pe o fa a unui numr multiplu de 3este = 3,6. Evenimentul B al obinerii pe o fa a unui numrmai mic dect 4 este

    = 1,2,3.

    Cele dou evenimente suntcompatibile deoarece 3 este proba care le realizeaz simultan.b) Evenimentul A al obinerii pe o fa a unui numr mai mic dect3 este = 1,2. Evenimentul B al obinerii pe o fa a unuinumr mai mare dect 4 este = 5,6. Cele dou evenimentesunt incompatibile deoarece nici o proba care le realizeaz simultan.

    Opera ii cu evenimente

    1) Reuniunea a dou evenimente A i B se noteaz cu ieste evenimentul care se realizeaz atunci cnd se realizeaz

    evenimentul A sau se realizeaz evenimentul B.2) Intersecia a dou evenimente A i B se noteaz cu ieste evenimentul care realizeaz simultan evenimentele A i B.3) Evenimentul contrar evenimentului A se noteaz esteevenimentul care se realizeaz atunci cnd nu se realizeaz evenimentul A.Exemple. Considerm experiena aruncrii unui singur zarievenimentele: evenimentul apariiei unui numr par, evenimentul apariiei unui numr mai mic dect 4 evenimentul apariiei unui numr mai mare dect 3.Atunci avem:

    = 2,4,6, = 1,2,3, = 4,5,6. Evident:

    = 1,2,3,4,6, = 2, iar evenimentul B este contrarevenimentuluiC .

    9.2 Probabilitatea unui evenimentDefiniie. Numim probabilitatea unui eveniment raportul

    dintre numrul cazurilor favorabile realizrii evenimentuluiinumrul cazurilor egal posibile.

    Probabilitatea evenimentului A se noteaz .

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    81/125

    Exemplu. Considerm o urn care conine 3 bile albei 5 bilenegre. Numrul cazurilor egal posibile este 8. Probabilitatea ca ex-trgnd o bil din urn aceasta s fie alb este

    , iar probabilitatea

    ca bila s fie neagr este

    .

    9.3 Propriet i ale probabilit ilor1) 0 1; = 1, = 0. 2) = 1 . 3) Dac A i B sunt evenimente compatibile atunci:

    = + . Exemple. a) Se arunc dou zaruri. Notm cu A evenimentulca 5 s nu apar i cu evenimentul contrar, adic evenimentulca 5 s apar cel puin o dat. = 56 = 1 = 1 56 = 1136. b) Aruncnd un zar, s calculm probabilitatea apariiei unui

    numr mai mic dect 4 sau a unui numr par. Notm: evenimentul apariiei unui numr mai mic dect 4; evenimentul apariiei unui numr par.Evident = 1,2,3 i = 2,4,6 i = 2. = + = + = . 9.4 Probabilit i condiionate

    Definiie. Fiind date dou evenimente A i B cu > ,probabilitatea evenimentului A condiionat de evenimentul B (tiind c s-a realizat B) este: = . Din formula de mai sus rezult = .

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    82/125

    Exemplu. O urn con ine 4 bile albei 3 bile negre. Se extragpe rnd din urn 2 bile i se pun pe mas. Determinmprobabilitatea s avem pe mas o bil alb i una neagr n aceast ordine.Notm: evenimentul de a obine o bil

    alb la prima extragere evenimentul de a obine o bil neagr la a doua extragere. = = = . 9.5 Evenimente independente

    Definiie. Dou evenimente A i B se numesc independente

    dac = . Exemplu. Doi vntori trag simultan asupra unui lup. Proba-bilitatea ca primul vntor s ating lupul este i probabilitateaca al doilea vntor s ating lupul este . Notnd cu A i B eve-nimentele ca primul vntor i respectiv al doilea vntor s ating lupul, constatm c acestea sunt independentei atunci:

    = = = .9.6 Schema lui PoissonSe consider n urne coninnd bile albei negre, urnai coni-

    nnd bile albei bile negre. Se extrage din fiecare urn cte obil. Notnd cu

    , = 1,2, , probabilitatea ca extrgnd din

    urna i o bil aceasta s fie alb i = 1 , atunci probabilita-tea obinerii ak bile albei bile negre este egal cu coefici-entul lui din dezvoltarea polinomului: + + +. Exemplu. Se consider 3 urne care conin: prima 2 bile albei3 bile roii, a doua 3 bile albei 4 bile roii, iar a treia 4 bile albei 5 bile roii. Din fiecare urn se extrage cte o bil. Avem:

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    83/125

    = 25, = 35, = 37, = 47, = 49, = 59.Polin 25 +

    3537 +

    4749 +

    59.

    Probabilitatea obinerii unei bile albei dou roii este egal cucoeficientul lui x al acestui polinom. Acest coeficient este egal cu:2547 59+353759 +35 4749. 9.7 Schema lui Bernoulli

    Schema lui Bernoulli este un caz particular al schemei luiPoisson n care urnele sunt identice. Atunci = = = == i = = = = = 1 . Atunci probabilitatea dea obinek bile albei bile negre este egal cu coeficientullui din dezvoltarea binomului +, adic . Exemplu.Se arunc de 5 ori o moned. Probabilitatea de aob ine stema este , iar probabilitatea de a obine banul este

    .

    Polinomul este:12 +12.Probabilitateabanul este egal cu coeficientul lui , adic .

    9.8 Variabile aleatoareDefiniie. Se numete variabil aleatoare o mrime care sub

    influena unor factori aleatori ia o mulime finit de valori.

    O variabil aleatoare X are distribuia ,unde , ,, , sunt valorile posibile, iar , , ,, ,

    sunt probabilit ile cu care variabila X ia aceste valori.

    Observa ie. + + + = 1.

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    84/125

    Exemplu. Variabila aleatoare care d numrul punctelor la

    aruncarea unui za1 2 3 4 5 16 16 16 16 16 16.

    Opera ii cu variabile aleatoare1) Fiind date i , atunci definimadunarea variabilei X cu numrul a : + + + + . 2) Fiind date

    i

    , atunci definim

    produsul variabilei X cu numrul a : . 3) Suma variabilelor independente i

    :

    + + + +

    .

    4) Produsul variabilelor independente i : .Valoarea medie a unei variabile aleatoare

    Valoarea medie a variabilei aleatoare

    este

    numrul = + + +. Propriet ile valorilor mediiDac i variabilele aleatoare sunt independente, atunci:1) + = + ; 2) = ; 3) + = + ;

    4) = .

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    85/125

    Dispersia unei variabile aleatoare

    Dispersia variabilei aleatoare

    este numrul

    = = + + +

    + , unde = . Este adevrat de asemenea formula = . Propriet ile dispersiei1) = ; 2)

    + = ;

    3)

    + = + .

    Abaterea medie ptratic a unei variabile aleatoareAbaterea medie ptratic a unei variabile aleatoare X este:

    = .

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    86/125

    10. Elemente de calcul matriceali sisteme deecua ii liniare10.1 Permutri

    Definiie. Numim permutare de graduln orice funciebijectiv :1,2, , 1,2, ,. Notm cu mulimea permutrilor de graduln.

    Numrul tuturor permutrilor de graduln este egal cun!Notm permutarea de graduln: = 1 2

    1 2 . Compunerea permutrilor

    Fiind date permutrile de graduln, i numim compunerealor ca fiind permutarea astfel nct = pentruorice 1,2, ,. Propriet ile compunerii permutrilor1) Asociativitate

    = , , , .

    2) Element neutru = 1 2 1 2 este elementul neutrupentru compunerea permutrilor: = . 3) Element invers , astfel nct s aib loc relaiile: = = . Observa ie. Compunerea permutrilor nu este comutativ.Transpozi ie

    Se numete transpozi ie funcia bijectiv:

    ,:1,2, , 1,2, ,, , = =, . Propriet ile transpoziiei1)

    , = , 2)

    , = , 3)

    , = .

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    87/125

    InversiuneFiind dat permutarea , perechea ,, < , 1,2, ,

    se numete inversiune a permutrii , dac

    > . Notm numrul inversiunilor permutrii . Numrul = 1 se numete semnul permutrii . Dac = 1, permutarea se numete par.Dac = 1, permutarea se numete impar.Dac , , atunci = . 10.2 MatriceDefiniie. Numim matrice de tipul (m, n) cu elemente numere

    complexe, o funcie :1,2, ,1,2, , . Notm , = ,, , 1,2, , 1,2, , i ele senumescelementele matricei.Notm , mulimea matricelor dem liniii n coloane cucoeficieni nC.Notm mulimea matricelor den linii i n coloane cucoeficieni nC.Exemple. a) Pentru = = 2 avem: = .

    b) Pentru = 3, = 1 ob inem matricea coloan = . c) Pentru = 1, = 2 ob inem matricea linie = . Definiie. Dou matrice , , sunt egale dac areloc egalitatea = , 1,2, , i 1,2,.Exemplu. Matricele = 1 +1 3 i = 12 3 suntegale dac:1 = , = 1, +1 = 1.

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    88/125

    Opera ii cu matrice1) Adunarea matricelor

    Definiie.Fiind date

    , , , numim suma matricelor

    A i B, matriceaC ale crei elemente sunt date de egalit ile = +, 1,2, , i 1,2, ,. Propriet i ale adunrii matricelora) Comutativitatea + = + , , .b) Asociativitatea ++ = + +