MATRIKS

Ol hOleh:Imam Awaluddin

1

Pengertian MatriksPengertian MatriksMatriks adalah kumpulan bilangan yang p g y gdisajikan secara teratur dalam baris dan kolom yang membentuk suatu persegi y g p gpanjang yang termuat dalam sepasang tanda kurung ( ) atau [ ].g ( ) [ ]Bilangan yang terkandung dalam suatu matriks dinamakan unsur matriksmatriks dinamakan unsur matriks.Jajaran horisontal unsur-unsur matriks dinamakan baris dan jajaran vertikal unsurdinamakan baris, dan jajaran vertikal unsur-unsur matriks dinamakan kolom. 2

Pen lisan MatriksPenulisan Matriks

11 12 13 1... na a a aa a a a⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥21 22 23 2

31 32 33 3

...

...n

n

a a a aa a a a⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥

A... ... ... ... ...a a a a

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦1 2 3 ...m m m mna a a a⎢ ⎥⎣ ⎦

3

Pen lisan MatriksPenulisan Matriks

11 12 13 1... na a a a⎛ ⎞⎜ ⎟

21 22 23 2

31 32 33 3

...

...n

n

a a a aa a a a

⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟

A 31 32 33 3

... ... ... ... ...n⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠1 2 3 ...m m m mna a a a⎜ ⎟⎝ ⎠

4

Uns r MatriksUnsur Matriks

Unsur-unsur suatu matriks secara umum dilambangkan notasi aij. i menunjukkan baris, sedangkan j menunjukkan kolom.Unsur a23 berarti unsur pada baris kedua dan 23kolom ketiga.

5

Orde (Dimensi) MatriksOrde (Dimensi) MatriksMatriks yang terdiri atas m baris dan nMatriks yang terdiri atas m baris dan nkolom dinamakan matriks berukuran m x natau matriks berorde m x natau matriks berorde m x n.Matriks yang jumlah baris sama dengan j l h k l ( ) di k t ikjumlah kolom (m = n) dinamakan matriks bujursangkar (square matrix)Matriks tidak mempunyai nilai numerik, meski mrp sekumpulan bilangan tapi ia sendiri bukan suatu bilangan.

6

Contoh ordo matriksContoh ordo matriks

⎡ ⎤6 4 71 12 5

− −⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥B

2 5 10 4 6

−⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

A0 4 8⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

0 4 6⎢ ⎥⎣ ⎦

9 1 6 07 5 0 5⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥C 7 5 0 52 2 4 7

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

C

7

VektorVektorVektor mrp matriks khusus yang hanyaVektor mrp matriks khusus yang hanya mempunyai satu baris atau satu kolom.Vektor baris adalah matriks yang hanyaVektor baris adalah matriks yang hanya terdiri dari satu baris (dengan ordo 1 x n). C t h ’ [ 2 3 4]Contoh : v’ = [ 2 3 4]Vektor kolom adalah vektor yang hanya terdiri dari satu kolom (dengan ordo m x 1)Contoh: 3⎡ ⎤

⎢ ⎥ 85u = ⎢ ⎥

⎣ ⎦

Operasi MatriksOperasi MatriksPenjumlahan dan Pengurangan MatriksPenjumlahan dan Pengurangan Matriks

syarat: dimensi matriks harus samaPerkalian Matriks dengan Skalar

menghasilkan matriks berdimensi yang g y gsama dengan matriks tsb.Perkalian antar MatriksPerkalian antar Matriks

syarat: jika jumlah kolom matriks pertama (lead matrix sama dengan jumlahpertama (lead matrix sama dengan jumlah baris matriks kedua (lag matrix). 9

Contoh Penambahan MatriksContoh Penambahan Matriks

2 5 10 4 6

−⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

A5 4 01 2 3⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

B0 4 6⎢ ⎥⎣ ⎦ 1 2 3⎢ ⎥

⎣ ⎦

7 1 11 6 9

−⎡ ⎤+ = ⎢ ⎥

⎣ ⎦A B

1 6 9⎢ ⎥⎣ ⎦

10

Perkalian Matriks dengan SkalarPerkalian Matriks dengan Skalar

6 3 6⎡ ⎤6 3 63 12 9

−⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

B13

k =3 12 9⎣ ⎦3

2 1 2⎡ ⎤2 1 21 4 3

k−⎡ ⎤

= ⎢ ⎥−⎣ ⎦B

⎣ ⎦

11

Contoh Perkalian Antar MatriksContoh Perkalian Antar Matriks4 6⎡ ⎤ 1 3 2⎡ ⎤

(2 2)

4 63 7×

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

A (2 3)

1 3 20 4 3×

−⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

B⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(2 3)

4( 1) 6(0) 4(3) 6(4) 4(2) 6( 3)3( 1) 7(0) 3(3) 7(4) 3(2) 7( 3)×

− + + + −⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

AB(2 3) 3( 1) 7(0) 3(3) 7(4) 3(2) 7( 3)× ⎢ ⎥− + + + −⎣ ⎦

4 36 10⎡ ⎤(2 3)

4 36 103 37 15×

− −⎡ ⎤= ⎢ ⎥− −⎣ ⎦

AB

12

⎣ ⎦

4 6⎡ ⎤ 1 3 2⎡ ⎤(2 2)

4 63 7×

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

A (2 3)

1 3 20 4 3×

−⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

B⎣ ⎦ ⎣ ⎦

13

Perkalian Vektor dg VektorPerkalian Vektor dg Vektor2⎡ ⎤

(2 1)

23

u ×

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

[ ](1 3)' 4 1 5v × =

(2 3)

2(4) 2(1) 2(5) 8 2 10'

3(4) 3(1) 3(5) 12 3 15uv ×

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦( ) ( ) ( )⎣ ⎦ ⎣ ⎦

[ ]' 1 38⎡ ⎤⎢ ⎥[ ](1 2)' 1 3u × = (2 1) 6

v × = ⎢ ⎥⎣ ⎦

[ ] [ ]' 1(8) 3(6) 26+14

[ ] [ ](1 1)' 1(8) 3(6) 26u v × = + =

Matriks IdentitasMatriks IdentitasIA = AI = AIA = AI = A

4 6⎡ ⎤= ⎢ ⎥A 1 0⎡ ⎤

= ⎢ ⎥I(2 2) 3 7× = ⎢ ⎥⎣ ⎦

A (2 2) 0 1× = ⎢ ⎥⎣ ⎦

I

1 0 4 6 4 6⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤(2 2)

1 0 4 6 4 60 1 3 7 3 7×

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

IA⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(2 2)

4 6 1 0 4 6⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥AI

15(2 2) 3 7 0 1 3 7× ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦AI

Transpose MatriksTranspose Matriks

(2 3)

2 5 10 4 6×

−⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

A( ) 0 4 6⎢ ⎥⎣ ⎦

2 0⎡ ⎤

(3 2)

2 0' 5 4×

⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥A (3 2)

1 6× ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦16

Sifat sifat TransposeSifat-sifat Transpose

[A’]’ = A[A + B]’ = A’ + B’[AB]’ = B’A’ atau [ABC]’ = C’B’A’

17

Determinan MatriksDeterminan Matriks

a a⎡ ⎤11 12(2 2)

21 22

a aa a×

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

A21 22⎣ ⎦

11 22 12 21a a a a= −A

4 6⎡ ⎤⎢ ⎥A

11 22 12 21

3 7⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

A

4(7) 6(3) 28 18 10A18

4(7) 6(3) 28 18 10= − = − =A

Determinan Orde Lebih TinggiDeterminan Orde Lebih Tinggi

⎡ ⎤A =

11 12 13

21 22 23

a a aa a a⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

32 31 33a a a⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

|A| =21 23 21 22

12 1331 33 31 3

22 2311

32 3 23

( 1)a a a a

aa a

a aa a a aa a

+ − +

|A| = a11(a22a33– a32a23) – a12(a21a33– a31a23)+ a (a a a a ) = sebuah skalar+ a13(a21a32 – a31a22) = sebuah skalar

19

Determinan Orde Lebih TinggiDeterminan Orde Lebih Tinggi

⎡ ⎤A = 21 23

11 12 13

22a aa

aa a⎡ ⎤

⎢ ⎥⎢ ⎥

31 332 3a a a⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

|A| =22 23 21 23

121 22

1331 3

1 1232 33 31 33 2

( 1)a a a a

a aa a a

a aa

a aa++ −

|A| = a11(a22a33– a32a23) – a12(a21a33– a31a23)+ a (a a a a ) = sebuah skalar+ a13(a21a32 – a31a22) = sebuah skalar

20

Determinan Orde Lebih TinggiDeterminan Orde Lebih Tinggi

⎡ ⎤A = 21 22

11 12 13

23a aa a a

a⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

31 3332a a a⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

|A| =22 23 21 23 21 22

11 12 1332 33 31 33 31 32

( 1)a a a a a a

a a aa a a a a a

+ − +

|A| = a11(a22a33– a32a23) – a12(a21a33– a31a23)+ a (a a a a ) = sebuah skalar+ a13(a21a32 – a31a22) = sebuah skalar

21

Determinan Orde Lebih TinggiDeterminan Orde Lebih Tinggi

⎡ ⎤A =

11 12 13

21 22 23

a a aa a a⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

31 32 33a a a⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

|A| =22 23 21 23 21 22

11 12 1332 33 31 33 31 32

( 1)a a a a a a

a a aa a a a a a

+ − +

|A| = a11(a22a33– a32a23) – a12(a21a33– a31a23)+ a (a a a a ) = sebuah skalar+ a13(a21a32 – a31a22) = sebuah skalar

22

MinorMinor

⎡ ⎤11 12 13

21 22 23

a a aA a a a

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥

31 32 33a a a⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

22 2311

32 33

a aM

a a= 21 23

1231 33

a aM

a a= 21 22

1331 32

a aM

a a=

|A| = a11|M11| + a12 (–1)|M12| + a13|M13| 11 11 12 12 13 1323

KofaktorKofaktori j|Cij| = (–1)i+j|Mij|

|C11| = (–1)1+1|M11| = 22 2311

a aM =| 11| ( ) | 11|

|C | ( 1)1+2|M |

1132 33a a

21 23a a|C12| = (–1)1+2|M12| = 21 23

1231 33

Ma a

− = −

a a|C13| = (–1)1+3|M13| = 21 22

1331 32

a aM

a a=

24

Ekspansi LaplaceEkspansi Laplace

Ekspansi Laplace untuk determinan orde ketiga|A| = a11|C11| + a12|C12| + a13|C13|

Ekspansi Laplace untuk determinan orde keempatkeempat|A| = a11|C11| + a12|C12| + a13|C13| + a14|C14|

25

Contoh: Ekspansi Laplace sepanjang baris pertama

12 7 0⎡ ⎤12 7 05 8 3A

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥

|A| = a |C | + a |C | + a |C |6 7 0

⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

|A| = a11|C11| + a12|C12| + a13|C13| 8 3 5 3 5 8

12 7 0A = − +12 7 07 0 6 0 6 7

12(0 21) 7(0 18) 0(35 48)

A +

= − − − + −252 126 0 126= − + + = − 26

⎡ ⎤12 7 0⎡ ⎤⎢ ⎥5 8 3A ⎢ ⎥= ⎢ ⎥

6 7 0⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

27

Contoh: Ekspansi Laplace sepanjang kolom ketiga

12 7 0⎡ ⎤12 7 05 8 3A

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥

|A| = a |C | + a |C | + a |C |6 7 0

⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

|A| = a31|C31| + a32|C32| + a33|C33| 12 7

35 8 12 7

0 0A = − +36 7

( ) 3(8

0 06

4 42) ( )7 5 8

0 35 48 0 96 35

A +

= − − −+−0 126 261= − = − 28

Matriks Kofaktor dan Matriks AdjointMatriks Kofaktor dan Matriks Adjoint

Matriks KofaktorMatriks Kofaktor

11 12 13C C CC C C C

⎡ ⎤⎢ ⎥

21 22 23

31 32 33

C C C CC C C

⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Matriks Adjoint⎣ ⎦

C C C⎡ ⎤11 21 31

12 22 32Adj 'C C C

A C C C C⎡ ⎤⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥

13 23 33C C C⎢ ⎥⎣ ⎦ 29

Contoh2 3 1⎡ ⎤⎢ ⎥Contoh 4 1 25 3 4

A ⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦5 3 4⎢ ⎥⎣ ⎦

1 2 4 2 4 1⎡ ⎤1 2 4 2 4 13 4 5 4 5 3

⎡ ⎤−⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥3 1 2 1 2 3

3 4 5 4 5 3C

⎢ ⎥⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎢ ⎥3 1 2 1 2 3

1 2 4 2 4 1

⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦1 2 4 2 4 1⎢ ⎥⎣ ⎦

30

1 2 4 2 4 1⎡ ⎤⎢ ⎥3 4 5 4 5 3

3 1 2 1 2 3

−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥3 1 2 1 2 3

3 4 5 4 5 3C

⎢ ⎥⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎢ ⎥3 1 2 1 2 3

1 2 4 2 4 1

⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

(4 6) (16 10) (12 5) 2 6 7− − − − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥(12 3) (8 5) (6 15) 9 3 9

(6 1) (4 4) (2 12) 5 0 10C ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − − − − − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦( ) ( ) ( )⎣ ⎦ ⎣ ⎦31

2 6 7⎡ ⎤2 6 79 3 9C− −⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥5 0 10⎢ ⎥−⎣ ⎦

⎡ ⎤2 9 5Adj ' 6 3 0A C

− −⎡ ⎤⎢ ⎥= = −⎢ ⎥

7 9 10⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

32

In erse MatriInverse Matrix

Syarat ada inverse matrix:Matriks bujursangkarj gMatriks non singular : A |A| ≠ 0.

AA-1 = I = A-1AAA = I = A A

1 1A AdjA−Rumus: 1A AdjAA

− =

33

Contoh matriks in erseContoh matriks inverse2 3 1⎡ ⎤ 1 12 3 14 1 2A⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥

1 1A AdjAA

− =

C i d k k h d t i ≠ 0

5 3 4⎢ ⎥⎣ ⎦ Adj A C'=

Cari dan cek apakah determinannya ≠ 0.|A| = 2[1(4)-3(2)] – 3[4(4)-5(2)] + 1[4(3)-5(1)]|A| = -4 – 18 + 7 = -15.|A| ≠ 0 ada inverse-nya.

34

1 2 4 2 4 1⎡ ⎤⎢ ⎥3 4 5 4 5 3

3 1 2 1 2 3

−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥3 1 2 1 2 3

3 4 5 4 5 3C

⎢ ⎥⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎢ ⎥3 1 2 1 2 3

1 2 4 2 4 1

⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

(4 6) (16 10) (12 5) 2 6 7− − − − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥(12 3) (8 5) (6 15) 9 3 9

(6 1) (4 4) (2 12) 5 0 10C ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − − − − − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦( ) ( ) ( )⎣ ⎦ ⎣ ⎦35

2 9 5− −⎡ ⎤2 9 5Adj ' 6 3 0

7 9 10A C

⎡ ⎤⎢ ⎥= = −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦7 9 10⎢ ⎥−⎣ ⎦

32 115 5 3

1 2 15 5

2 9 51 6 3 0 0A−

− − −⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= − = −⎢ ⎥⎢ ⎥ 5 5

7 3 215 5 3

6 3 0 015

7 9 10A ⎢ ⎥⎢ ⎥−

⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

0.1333 0.6 ‐0.30 4 ‐0 2 0

36

0.4 ‐0.2 0‐0.467 ‐0.6 0.67

Penyelesaian persamaan dengan matriks inverse

4 5 8x x x+1 2 3

1 2 3

4 5 82 3 12

x x xx x x+ − =

− + + =

1 2 33 4 5x x x− + =

Nyatakan dalam bentuk matriks: AX = KNyatakan dalam bentuk matriks: AX = K

14 1 5 8x−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

22 3 1 123 1 4 5

xx

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦33 1 4 5x⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

37

Rumus : X = A-1KRumus : X A K

1 1 dj dj1 1 AdjA AA

− = Adj 'A C=

1

2

4 1 5 82 3 1 12

xx

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥2

3

2 3 1 123 1 4 5

xx

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

|A| = 4[3(4)-(-1)(1)]–1[(-2)(4)-3(1)]+(-5)[(-2)(-1)-3(3)]|A| = 52 + 11 + 35 = 98|A| 52 + 11 + 35 98.

38

3 1 2 1 2 3⎡ ⎤3 1 2 1 2 31 4 3 4 3 1

13 11 7

⎡ − − ⎤−⎢ ⎥− −⎢ ⎥ −⎡ ⎤⎢ ⎥ 13 11 7

1 5 4 5 4 11 31 7

1 4 3 4 3 116 6 14

C⎡ ⎤⎢ ⎥− − ⎢ ⎥⎢ ⎥= − − = ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥ 16 6 14

1 5 4 5 4 13 12 2 1 2 3

⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥− −⎢ ⎥−⎢ ⎥− −⎣ ⎦3 12 2 1 2 3⎢ ⎥⎣ ⎦

39

13 1 16⎡ ⎤13 1 16Adj ' 11 31 6A C

⎡ ⎤⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥7 7 14⎢ ⎥−⎣ ⎦

13 16113 1 16 ⎡ ⎤⎡ ⎤ 13 16198 98 98

1 31 611

13 1 161 11 31 6A−

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥ 98 98 98

7 7 1498 98 98

11 31 698

7 7 14A

−

= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

40

Rumus : X = A-1KRumus : X A K

13 161 8⎡ ⎤ ⎡ ⎤98 98 9831 611

98 98 98

812X

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

7 7 1498 98 98 5−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

104 80 19612 2⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤104 80 1961298 98 98 9888 372 30 49098 98 98 98

25X

+ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= + + = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥98 98 98 98

56 84 70 9898 98 98 98 1−

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

x1 = 2, x2 = 5, x3 = 1. 41

Penyelesaian persamaan dengan Aturan Cramer

4 5 8x x x+1 2 3

1 2 3

4 5 82 3 12

x x xx x x+ − =

− + + =

1 2 33 4 5x x x− + =

Nyatakan dalam bentuk matriks: AX = KNyatakan dalam bentuk matriks: AX = K

14 1 5 8x−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

22 3 1 123 1 4 5

xx

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦33 1 4 5x⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

42

Rumus: ii

Ax = Cari Determinan A: |A| = 98.Rumus: ix

ACari Determinan A: |A| 98.

81 54⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤1

2

81

1 53 12 2

4 xx

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−AX = K

31 43 5x⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢

⎢ ⎥⎢⎥−⎣ ⎦ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎥

8 1 512 3 1A

−⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥1 12 3 1

5 1 4A = ⎢ ⎥

⎢ ⎥−⎣ ⎦43

8 1 5−

1 12 3 15 1 4

A =5 1 4−

3 1 12 1 12 38 1 ( 5)A +1 8 1 ( 5)

1 4 5 4 5 1A = − + −

− −

1 8(13) 1(43) 5( 27) 196A = − − − =

A11

196 298

Ax

A= = =

44

Rumus: ii

Ax =Rumus: ix

A

84 51⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤AX = K

1

2

81

4 52 1 2

13

xx

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− =⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

33 41 5x⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎦−

4 8 52 12 1A

−⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥2 2 12 1

3 5 4A = −⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦45

4 8 5−⎡ ⎤⎢ ⎥

2 2 12 13 5 4

A ⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

12 1 2 1 2 124 8 ( 5)A

− −+

3 5 4⎢ ⎥⎣ ⎦

2 4 8 ( 5)5 4 3 4 3 5

A = − + −

2 4(43) 8( 11) 5( 46) 490A = − − − − =

A22

490 598

Ax

A= = =

46

Rumus: ii

Ax =Rumus: ix

A

854 1⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤AX = K

1

2

81

51

4 12 3 2

xx

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− =⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

−

343 1 5x⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢

⎢ ⎥⎢⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎥

4 1 82 3 12A

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥3 2 3 12

3 1 5A = −⎢ ⎥

⎢ ⎥−⎣ ⎦47

4 1 8⎡ ⎤⎢ ⎥

3 2 3 123 1 5

A ⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

3 12 2 12 2 34 1 8A

− −+

3 1 5⎢ ⎥−⎣ ⎦

1 4 1 81 5 3 5 3 1

A = − +− −

1 4(27) 1( 46) 8( 7) 98A = − − + − =

A33

98 1.98

Ax

A= = =

48

Contoh Penerapan Ekonomi (1)Contoh Penerapan Ekonomi (1)Sebuah perusahaan dalam persaingan memproduksiSebuah perusahaan dalam persaingan memproduksidua barang, dan mempunyai fungsi penerimaan total dan fungsi biaya total sbb:g y

TR = 15Q1 + 18Q2

TC = 2Q12 + 2Q1Q2 + 3Q2

2.Q1 Q1Q2 Q2

Carilah besarnya masing-masing output yang akanmemaksimumkan laba dg cara CramergBerapa laba maksimumnyaUjilah apakah laba max dg determinan HessianUj a apa a aba a dg dete a ess a

49

TR = 15Q1 + 18Q2Q1 Q2TC = 2Q1

2 + 2Q1Q2 + 3Q22.

Π = TR TCΠ = TR – TCΠ = 15Q1 + 18Q2 – 2Q1

2 – 2Q1Q2 – 3Q22

T k i l f l b th Q d QTurunkan scr parsial fs laba th Q1 dan Q2:∂Π/ ∂Q1 = Π1 = 15 – 4Q1 – 2Q2 = 0∂Π/ ∂Q2 = Π2 = 18 – 2Q1 – 6Q2 = 0Kita susun ulang4Q1 + 2Q2 = 152Q1 + 6Q2 = 182Q1 6Q2 18

50

Dalam bentuk matriks:Dalam bentuk matriks:

4 2 15Q⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤1

2

4 2 152 6 18

QQ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤

=⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Penyelesaian dengan aturan CramerA|A| = 24 4 = 20

ii

AQ

A=

|A| = 24 – 4 = 20|A1| = 90 – 36 = 54|A2| = 72 – 30 = 42

54* 2 7Q42* 2 1Q = =

511* 2,7

20Q = = 2* 2,1

20Q = =

Π = 15Q1 + 18Q2 – 2Q12 – 2Q1Q2 – 3Q2

2

Dengan Q1 = 2,7 dan Q2= 2,1 makaΠ* = 15(2,7) + 18(2,1) – 2(2,7)2 – 2(2,7)(2,1) –3(2,1)2Π 15(2,7) 18(2,1) 2(2,7) 2(2,7)(2,1) 3(2,1)Π* = 40,5 + 37,8 – 14,58 – 11,34 – 13,23 = 19,15Dari:Π = 15 4Q 2Q = 0Dari:Π1 = 15 – 4Q1 – 2Q2 = 0

Π2 = 18 – 2Q1 – 6Q2 = 0Dengan menggunakan turunan parsial kedua:

11 12 4 2| H | 24 4 20

π π − −11 12

21 22| H | 24 4 20

2 6π π= = = − =

− −

52Karena |H1| < 0 dan |H2|=|H| > 0 mk laba maks.

Contoh Penerapan Ekonomi (2)Contoh Penerapan Ekonomi (2)Sebuah perusahaan monopolistik memproduksi duaSebuah perusahaan monopolistik memproduksi duabarang, dan mempunyai fungsi permintaan danfungsi biaya total sbb:g yP1 = 80 – 5Q1 – 2Q2 dan P2 = 50 – Q1 – 3Q2

TC = 3Q12 + 2Q1Q2 + 2Q2

2.Q1 Q1Q2 Q2

Carilah besarnya masing-masing output yang akanmemaksimumkan laba dg cara CramergBerapa laba maksimumnyaUjilah apakah laba max dg determinan Hessian

53

Uj a apa a aba a dg dete a ess a

TR = TR + TR = P Q + P QTR TR1 + TR2 P1Q1 + P2Q2

Π = TR TC = P Q + P Q TCΠ = TR – TC = P1Q1 + P2Q2 – TC Π = (80 – 5Q1 – 2Q2)Q1 + (50 – Q1 – 3Q2)Q2

3Q 2 2Q Q 2Q 2– 3Q12 – 2Q1Q2 – 2Q2

2.Π = 80Q1 + 50Q2 – 5Q1Q2 – 8Q1

2 – 5Q22

Turunkan scr parsial fs laba th Q1 dan Q2:∂Π/ ∂Q1 = Π1 = 80 – 16Q1 – 5Q2 = 0∂Π/ ∂Q2 = Π2 = 50 – 5Q1 – 10Q2 = 0

54

Kita susun ulang 4Q1 + 2Q2 = 151 2

2Q1 + 6Q2 =18

55

Soal LatihanSoal Latihan Perusahaan penerbangan “Gagak Hitam”Perusahaan penerbangan Gagak Hitam memisahkan tiga pasar untuk pelayanan penerbangannya. Permintaan masing-masing pasar p g y g g padalah sebagai berikut:

11 112Penerbangan siang : 12Q P= −1 112

12 210

1

g gPenerbangan malam : 11P b kh 13

QQ PQ P

= −1

3 38Penerbangan khusus : 13Q P= −240 10 0,5C Q Q= + +

1 2 3dimana Q Q Q Q= + +,Q Q

56

PERTANYAAN:PERTANYAAN:Bentuk fungsi penerimaannyaBentuk fungsi labanyaBentuk fungsi labanyaCarilah tingkat output dan harga di masing-masingpasar yang memaksimumkan laba dengan:pasar yang memaksimumkan laba dengan:

Metode inverse matriksMetode aturan CramerMetode aturan Cramer.

Uji apakah labanya maksimum (dg uji |H|)Berapa laba maksimumnyaBerapa laba maksimumnyaBerapa elastisitas permintaa masing2 pasar padatingkat output dan harga tersebuttingkat output dan harga tersebut.

57

Cara pen elesaianCara penyelesaian

Ingat rumus: π = R – C, dan R = PQKarena ada 3 pasar: R = R1 + R2 + R3.π = P1Q1 + P2Q2 + P3Q3 - C

11 1 1 11212 144 12Q P P Q= − ⇒ = −1 1 1 112

12 2 2 210

1

11 110 1013 104 8

Q QQ P P QQ P P Q

= − ⇒ = −

= ⇒ =

π = (144-12Q1)Q1+(110-10Q2)Q2+(104-8Q3)Q3– C

13 3 3 3813 104 8Q P P Q= − ⇒ = −

( 1) 1 ( 2) 2 ( 3) 3

58

C = 40 + 10Q + 0,5Q2

C = 40 + 10(Q1+Q2+Q3) + 0,5(Q1+Q2+Q3)2.C 40 10(Q1 Q2 Q3) 0,5(Q1 Q2 Q3) .C = 40 + 10Q1 + 10Q2 + 10Q3 + 0,5Q1

2

+ Q1Q2 + 0 5Q22 + Q2Q3 + 0 5Q3

2 + Q1Q3+ Q1Q2 + 0,5Q2 + Q2Q3 + 0,5Q3 + Q1Q3.

π = 144Q1 – 12Q12+110Q2 – 10Q2

2 +104Q3 – 8Q32

2– 40 – 10Q1 – 10Q2 – 10Q3 – 0,5Q12

– Q1Q2 – 0,5Q22 – Q2Q3 – 0,5Q3

2 – Q1Q3.

π = –12,5Q12 + 134Q1 – Q1Q2 – 10,5Q2

2 + 100Q2

– Q2Q3 – 8 5Q32 + 94Q3 – Q1Q3– 40

59

Q2Q3 8,5Q3 + 94Q3 Q1Q3 40.

π = –12,5Q12 + 134Q1 – Q1Q2 – 10,5Q2

2 + 100Q2π 12,5Q1 + 134Q1 Q1Q2 10,5Q2 + 100Q2

– Q2Q3 – 8,5Q32 + 94Q3 – Q1Q3– 40.

π1 = –25 Q1 + 134 – Q2 – Q3 = 0π1 25 Q1 134 Q2 Q3 0π2 = –21 Q2 + 100 – Q1 – Q3 = 0π3 = –17 Q3 + 94 – Q1 – Q2 = 03 Q3 Q1 Q2

25Q1 + Q2 + Q3 = 134Q + 21Q + Q = 100Q1 + 21Q2 + Q3 = 100Q1 + Q2 + 17Q3 = 94

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤1

2

25 1 1 1341 21 1 100

QQ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

6031 1 17 94Q⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

K nci ja abanKunci jawaban

Q1 = 4,99; P1 = 84,12.Q2 = 4,29; P2 = 67,10.2 2

Q1 = 4,98; P1 = 64,16.|H | = -25 |H | = 524 |H | = |A| = -8864|H1| = -25, |H2| = 524, |H1| = |A| = -8864.ε1 = -1,40, ε2 = -1,56, ε3 = -1,61.

61

S l t B l tihSelamat Berlatih

wassalam

62