Nyborg skole 15. april 2015

Ole Anders KrogstadTrondheim kommune

1. Kari er på butikken. Hun har med seg 85kroner og handler for kr. 98,70. Hvor mye får hun tilbake eller skylder hun?

2. Til aktivitetsdagen på skolen skal vi servere saft i pappbegre som hver tar 0,3 liter saft. Vi har 18 liter saft som skal fordeles i pappbegrene. Hvor mange elever vil vi da kunne gi saft til?

0,7 3 10

3 liter saft = 10 begre. 6 x 10 begre = 60

85 85,7 88,7 98,7

3 6 9 12 15 18 liter

10 20 30 40 50 60 begre

Hvorfor blir vi redd for å gjøre feil? Hvorfor prøver vi å huske det vi lærte? Hvorfor prøver vi å huske det læreren sa? Hvorfor klarer vi ikke å komme i gang med

gode strategier?

Har vi et bevisst forhold til hva vi tenker om læring?

Hva er læring? Når lærer elevene best?

Grunnleggjande ferdigheiter Grunnleggjande ferdigheiter er integrerte i

kompetansemåla, der dei medverkar til å utvikle fagkompetansen og er ein del av han. I matematikk forstår ein grunnleggjande ferdigheiter slik:

Munnlege ferdigheiter i matematikk inneber å skape meining gjennom å lytte, tale og samtale om matematikk. Det inneber å gjere seg opp ei meining, stille spørsmål og argumentere ved hjelp av både eit uformelt språk, presis fagterminologi og omgrepsbruk. Det vil seie å vere med i samtalar, kommunisere idear og drøfte matematiske problem, løysingar og strategiar med andre. Utvikling i munnlege ferdigheiter i matematikk går frå å delta i samtalar om matematikk til å presentere og drøfte komplekse faglege emne. Vidare går utviklinga frå å bruke eit enkelt matematisk språk til å bruke presis fagterminologi og uttrykksmåte og presise omgrep.

Å kunne skrive i matematikk inneber å beskrive og forklare ein tankegang og setje ord på oppdagingar og idear. Det inneber å bruke matematiske symbol og det formelle matematiske språket til å løyse problem og presentere løysingar. Vidare vil det seie å lage teikningar, skisser, figurar, grafar, tabellar og diagram som er tilpassa mottakaren og situasjonen. Skriving i matematikk er ein reiskap for å utvikle eigne tankar og eiga læring. Utvikling i å skrive i matematikk går frå å bruke enkle uttrykksformer til gradvis å ta i bruk eit formelt symbolspråk og ein presis fagterminologi. Vidare går utviklinga frå å beskrive og systematisere enkle situasjonar med matematikkfagleg innhald til å byggje opp ein heilskapleg argumentasjon omkring komplekse samanhengar.

Å kunne lese i matematikk inneber å forstå og bruke symbolspråk og uttrykksformer for å skape meining i tekstar frå daglegliv og yrkesliv så vel som matematikkfaglege tekstar. Matematikkfaget er prega av samansette tekstar som inneheld matematiske uttrykk, grafar, diagram, tabellar, symbol, formlar og logiske resonnement. Lesing i matematikk inneber å sortere informasjon, analysere og vurdere form og innhald og samanfatte informasjon frå ulike element i tekstar. Utvikling i å lese i matematikk går frå å finne og bruke informasjon i tekstar med enkelt symbolspråk til å finne meining og reflektere over komplekse fagtekstar med avansert symbolspråk og omgrepsbruk.

Å kunne rekne i matematikk inneber å bruke symbolspråk, matematiske omgrep, framgangsmåtar og varierte strategiar til problemløysing og utforsking som tek utgangspunkt både i praktiske, daglegdagse situasjonar og i matematiske problem. Dette inneber å kjenne att og beskrive situasjonar der matematikk inngår, og bruke matematiske metodar til å behandle problemstillingar. Eleven må òg kommunisere og vurdere kor gyldige løysingane er. Utvikling av å rekne i matematikk går frå grunnleggjande talforståing og å kjenne att og løyse problem ut frå enkle situasjonar til å analysere og løyse eit spekter av komplekse problem med eit variert utval av strategiar og metodar. Vidare inneber dette i aukande grad å bruke ulike hjelpemiddel i berekningar, modellering og kommunikasjon.

Digitale ferdigheiter i matematikk inneber å bruke digitale verktøy til læring gjennom spel, utforsking, visualisering og presentasjon. Det handlar òg om å kjenne til, bruke og vurdere digitale verktøy til berekningar, problemløysing, simulering og modellering. Vidare vil det seie å finne informasjon, analysere, behandle og presentere data med formålstenlege verktøy, og vere kritisk til kjelder, analysar og resultat. Utvikling i digitale ferdigheiter inneber å arbeide med samansette digitale tekstar med aukande grad av kompleksitet. Vidare inneber det å bli stadig meir merksam på den nytten digitale verktøy har for læring i matematikkfaget.

Hva er det? Bruker vi sirkelprinsippet? Hvorfor sier Geir Botten at vi har fått

sirkelprinsippet? Hvorfor har elevene så stort behov for

repetisjon?

• Det er undervisningen, ikke læreren, som er den kritiske faktoren

• Undervisning er en kulturaktivitet!!!• Ulike metoder for å forbedre undervisningen (i ulike land)

Video-studie: Sammenligning av undervisningen i USA, Tyskland og Japan.231 klasser: 100 i Tyskland, 50 i Japan, 81 i USA. Tilfeldig utvalgt (fra TIMSS-studiet).

Mens vi i Norge regner opptil 30 oppgaver på 1 time, har Japan 3-5 oppgaver.

De fleste oppgavene i Norge har lave kognitive krav.

Eksempler viser elevene hvordan de skal fylle ut riktige svar

Mange oppgaver som krever lite tenkning◦ Brøk er å legge sammen tellere. 2 + 3 = 5

Mange lærer å tolke boka, ikke matematikk. Lite oppfordring til refleksjon,

problemløsning, pararbeid, tegning, strukturering og bevisstgjøring av strategier.

Riktig svar er det samme som forståelse. Å arbeide alene gir et inntrykk av at ro er

viktigere enn læring. Å herme etter læreren. Å huske det læreren sa. Matematikk er en konkurranse i å regne

flest stykker.

Læren tenker og formidler sine tanker, øver regler og viser på mange ulike måter.

Lar elevene bevisstgjøre sine egne tanker og bruker fellesskapet til å se sammenhenger.

Effektiv læring Mindre å memorere Finner alltid frem til svaret med refleksjon Problemløsning i nye situasjoner Kognitiv bevissthet Trygghet Bedre selvbilde Eierforhold til faget Tilpasset undervisning Lærer seg til å se sammenhenger

Når det er ubalanse mellom skjema og ny erfaring, oppstår en kognitiv konflikt. Piaget mener at mennesket er konstruert slik at denne konflikten gir motivasjon for læring, og at mennesket er styrt av en indre drivkraft

Passer erfaringen bra med et skjema som allerede finnes i barnets hodet, kan det utvides. Dette kalles assimilasjon. Passer erfaringen dårlig med skjema, må man lage et nytt skjema. Dette kalles akkomodasjon.

Lev Vygotsky: Menneskets levekår påvirker dets tenkemåte, og at det er felles egenskaper i omgivelsene som gir mennesker måter å tenke og forstå hverandre på.

Begrepslæring Utviklings-sonen Stillasbygging

Skape gode læringsprosesser◦ Sette elevene inn i kontekst/problemstilling

Skape refleksjon◦ Individuelt og i par

Bevisstgjøring og stimulering av strategier Stimulere til å se matematiske

sammenhenger Gi elevene verktøy/modeller i

matematikkarbeidet Vurdere av elevens strategier

PROSEDYRER

Lærer i fokus Gjennomgang Læreren viser Øve En strategier Herme Deler Rom for passive elever Læreren modellerer og

bestemmer måter å arbeide på.

PROSESS

Eleven i fokus Problemstilling Eleven bruker seg selv Kunne Mange strategier Refleksjon Helhet Eleven må være aktiv Eleven utforsker

modeller som redskaper og verktøy for læring

Trygghet◦ Trygghet til å bruke◦ Trygghet til å tenke◦ Trygghet til å formidle

Bevissthet◦ Hva kan jeg?◦ Hva bruker jeg?◦ Hvilke utfordringer har jeg?

Kreativitet◦ Hvilke erfaringer kan jeg bruke?◦ Hvilken kunnskap kan jeg koble sammen?◦ Hvordan kan jeg eksperimentere frem nye erfaringer?

Trygghet◦ La elevene bruke egen kunnskap.◦ Få elevene til å stole på seg selv.◦ Få elevene til være trygg på hva de kan.◦ Få elevene til å være trygg til å utforske.

Bevissthet◦ Skape refleksjoner med beviste stimuli◦ Skap refleksjoner med felles fokus og diskusjon◦ Skap refleksjoner med et godt begrepsapparat

Kreativitet◦ La elevene oppdage sammenhenger og la elevene

koble sammen ulike erfaringer fra ulike tema og fag.

Skape prosesser

Rosie GriffithUniversity of Leicester

Strategier

Modeller

Big ideas

Big ideas /matematiske oppdagelser

Strategies / strategier Models / modeller

 Kardinalitet; forstå mengde, endelig antall.En-til-en korrespondanse.Hierarkisk innbefatning; 4 er en mer enn 3.Kompensasjon og likhet.Unitizing; gruppere enere i nye enheter.Kommutative egenskaper; addisjon: 3+4 =4+3.Mønstre kan lages av gjentatte enheter.

 Bruke synkronisering og en-til-en merking.Bruke ”prøve- og feile” vs. Systematisk utprøving.Bruke doble, nær doble(1 mer, eller 1 mindre enn nærmeste doble), og kompensasjon.Telle tre ganger vs. Å telle videre.Hoppetelling.

 Reknerek/kulerammeÅpen tallinje.Perlesnor.Hundrekart

LÆRINGSLANDSKAP ADDISJON

Å skape dybdelæring er å bygge solid. Stein for stein med læring av ulik størrelse.

Enhetstelling ◦ Kunne telle en enhet og se at det også er enkle.

Telle flere enn 1 i gangen. Hoppetelling

◦ Å telle 2-4-6-8-10 eller 3-6-9-12 osv. Dobling

◦ Doble og halvere for å komme frem til svaret◦ 3 x 6 = 18 og 6 x 6 = 36

Delvise produkt◦ 8 x 4= (5 x 4) + (3 x 4)= 20 + 12 =32

Den kommutative loven◦ 7 x 8 = 8 x 7

Den distributive loven◦ 7 x 8 = (5 x 8) + (2 x 8) = 40 + 16 = 56

Plassverdisystemet◦ 10 x 10 =

10+10+10+10+10+10+10+10+10+10◦ (ikke bare å sette på en null, men forstå hva det

vil si å fylle opp tiere, hundrere, tusen osv)

Snakk sammen: ◦ Hvor kan vi arbeide slik at elevene lærer disse

strategiene?

1. Inn i kontekst – konkrete problemstillinger fra ”virkeligheten”

2. Workshop-pararbeid3. Lage plakat- elevene viser sine strategier4. Gallerirunde-elevene deler sine strategier5. Matematikkonferanse-elevene drøfter og

bevisstgjør hverandre sine strategier6. Minilesson-læreren stimulerer til å bruke

andre strategier ved å stimulere til å oppdage spesielle sammenhenger og mønster.

Hvordan teller elevene frukta?

Hvem teller mange ganger?

Hvem teller 1 og 1?

Hvem teller 2 og 2?

Hvem teller i større grupper?

Hvem teller rader og rekker?

Blir de stimulert til dobling?

Pakke sjokoladebiter◦ Hvor mange esker trenger vi til 217 biter

sjokolade?

◦ Hvor mange biter blir til overs?◦ Hvilke andre størrelser kan eskene være?◦ Hvor stor mange biter sjokolade går i disse

eskene?◦ Hvordan kan vi måle med ruter antallet i eskene?◦ Hvordan kan vi bruke åpen areal-modell?

35 x 6

Hva med 35 x 12?

1. – 4. trinn◦ Multiplikasjon: Fruktbutikken/sjokoladefabrikken

5.-7. trinn◦ Brøk: Bagettoppgaven og ulike brøkoppgaver

Alle får en kontekst med problemstillinger som de skal arbeide med.

2 ulike oppgavesett.

Mattekonferanse.

Jobb med klassekulturen. Velg oppgaver med høye kognitive krav. Forutse strategier elevene kommer til å bruke og følg med

hvordan de løser oppgaven. La elevenes tenkning forme diskusjoner. Undersøk og planlegg diskusjoner. Vær strategisk når du «forteller» ny kunnskap. Utforsk feil svar. Velg bevisst de ideene du vil fremheve i diskusjon Bruk de strategiske valgene i diskusjonen til å bringe

utvikling av matematikkforståelsen fremover. Forsterk og stimuler elevene til å se sammenhenger ved å

oppsummere diskusjonen.

Gjenta: «Så du sier at…» Repetere: «Kan du gjenta hva han sa med dine egne ord?» Ressonere: «Er du enig eller ikke enig, og hvorfor? Hvorfor gir det

mening?» Tilføye: «Har du noe å tilføye til ….?» Vente: «Ta den tiden du trenger…vi venter» Innspill: Hva tenker dere andre? Gir det mening? Ser dere en

sammenheng? Hypotese: «Hva tror dere vil skje hvis…?» Representasjonsbevis: «Kan du forklare dette ved en tegning,

konkreter eller en modell?» Generalisering: «Vil dette alltid fungere?» Effektive strategier: «Hvilke strategier var effektive og hvorfor?» Forståelse: «Hvilke strategier gav god forståelse?» Formidling: «Hvilke plakater, tegninger og modeller gav god

forståelse?» Er det noe vi har diskutert som har gjort at dere har endret

tankegang?

På den ene siden har en barnas egne strategier, på den andre siden de formelle, effektive løsningene.

Lærerens mål er å hjelpe barna å effektivisere sine strategier. Dette er en balansekunst. En må dyrke elevens

løsningsmåter, men også få dem til å se nye muligheter og hjelpe dem å effektivisere sine løsningsstrategier.

Her er det lett at man «trekker» elevene for raskt framover mot de formelle løsningene. En balanserer på kanten.

Læring og utvikling er komplekst. «Strategier, big ideas og modeller er alle involvert, og påvirker hverandre.

De er steg, de er endring i tenkning og det mentale kartet på reisen.

De er komponenter i «the landscape of learning» (læringslandskap).

Hva var det du gjorde som hjalp deg til å forstå problemet? Var det noe i problemet som minte deg om et tidligere

problem du har arbeidet med? Fant du noen tall eller informasjon som du ikke trengte?

Hvordan visste du at denne informasjonen ikke var viktig? Hvordan bestemte du deg for hva du skulle gjøre? Hvordan fant du ut at svaret ditt var riktig? Prøvde du noe som ikke fungerte? Hvordan fant du ut at

det ikke ville fungere? Kan noe du gjorde med dette problemet hjelpe deg til å

løse andre problemer?

Beskriv det du ikke forstår Les oppgaven nøye Forklar for deg selv hvordan du forstår oppgaven Se om det er lignende oppgaver du tidligere har gjort Finnes det eksempler eller beskrivelser i læreboka Lag en tegning Bruk konkreter eller modeller Spør en annen elev Diskuter på gruppa di Prøv en strategi Spør en lærer

Spørsmålets nivå? Målet for kunnskapen? Mønstre i spørsmålene? Hvem tenker på svarene? Hvordan respondere på et svar?

THINK ◦ Talk about the problem◦ How can it be solved?◦ Identify a strategy to solve the problem◦ Notice how your strategy helped you solve the

problem.◦ Keep thinking about the problem. Does it make

sense? Is there another way to solve it?

Se på læringslandskapet. Hva skal elevene oppdage? Planlegg en god prosess. Sett fokus på strategier ikke svar. Bruk en felles oppgave med høye kognitive krav. Finn en relevant kontekst. Bruk trygge læringspar. Tilrettelegg for tegning og bruk av modeller. Registrer hvor elevene er i læringslandskapet. Bruk tid til formidling av strategier. Få frem gode modeller. Del strategier i fellesskap. La elevene argumentere og bevise svar. Stimuler til å se videre sammenhenger.

Mer kontekster Åpne felles oppgaver med arbeid i par. Mindre gjennomgang på tavla før elevene er

påkoblet og har brukt før-kunnskap. Mindre fokus på svar. Mer åpning for diskusjon og drøfting av

strategier og tenkemåter. Mer tegning og modeller. Bevisst bruk av tall og oppgaver for å se

sammenhenger.

Alle fag: Bruke forkunnskaper Refleksjon. Kognitiv bevissthet. Hvordan tenker og løser jeg

utfordringer? Hvordan lærer jeg? Hvordan kan jeg knytte kunnskapen til noe relevant eller virkelighetsnært?

Norsk: Lage bøker, samle ord, sortere ord, strukturere ord, finne sammenhenger selv.

Inn i kontekst: Storytelling Samfunn: Hva vet vi om historisk tid? Beskrive ut i fra

forutsetninger og påstander. Naturfag: Hypoteser. Hva tror vi vil skje? Kroppsøving: Løs en bevegelsesoppgave. Se på andres

løsning. Beskriv. Beste strategi?

«Elementary and Middle School Mathematics, Teaching Developmentally», Van De Walle/Karp/Bay Williams

«Context for Learning», Catherine Fosnot m.l. (grunnbøker og undervisningshefter)

«Thinking Mathematically», Carpenter/Franke/Levi

«Meningsfylt matematikk», Geir Botten National Council of Teachers of

Mathematics, www.nctm.org

1. Vær kritisk til læreboka. Skill mellom tenkeoppgaver og utfyllingsoppgaver og oppgaver som stimulerer til nye oppdagelser. Riktige svar betyr IKKE at elevene har lært matematikk! Lag heller oppgaver som viser matematiske sammenhenger.

2. Bruk tid til å sette sammen gode samarbeidspar i matematikk hvor begge elevene har utbytte av samarbeidet. Det er viktigere å prioritere samarbeidsevne framfor matematisk nivå, men begge må kunne bidra i arbeidet.

3. Bruk kontekster, bilder og reelle eksempler som grunnlag for diskusjoner og felles problemstillinger. Gode felles problemstillinger, skaper et felles utforskende læringsmiljø.

4. Sett strategiene til elevene i fokus, ikke svarene. La det blir interessant å se på hvordan de tenker. La alle få dele sine strategier og stimuler elevene til nye oppdagelser ved å bruke andre elever. Ikke bli fristet til å fortelle hvordan de skal tenke.

5. Oppfordre elevene til å tegne og diskuter tenkeoppgaver for å bevisstgjøre sine strategier. Ikke fokuser på svarene, men hvordan de tenker. Presenter og la elevene bruke modeller og tegninger som verktøy i prosessen gjennom formidling.

6. La elevene forklare hvilke strategier de brukte og la andre elever med andre strategier vise hvordan de har gjort det. Stimuler elevene ved å stille oppklarende spørsmål som stimulerer til viktige oppdagelser.

7. Gi elevene muligheter til å utforske, systematisere og diskutere tallmønster. Fortsetter mønstrene? Er det alltid slik?

8. La målene være å stimulere til at elevene gjør nye strategiske oppdagelser i matematikken. Åpne for mange ulike algoritmer.

9. Gi elevene nok tid til å tenke. La gjerne elevene få tid til å drøfte i par før de svarer. Ikke bruk traktkommunikasjon og la alle få delta i prosessen.

10. Ikke gå for fort frem. Vær tålmodig. Det finnes mye rikdom i enkle tall og sammenhenger. Finn tall som viser disse sammenhengene og stimuler disse ofte med korte sekvenser.