f

.::re

l>f

rap.

ma

•(

'-

J130METPJ1JE ,1J;HpeKTHe H HHp;HpeKTHe H30MeTpHje (234)

A )J;wpeKTHe H HH,n;wpeKTHe H30MeTpwje; ¢wKcHe TaqKe H30MeTpHje (234)

B OcHOBHe TeopeMe o H30MeTpwjaMa ca ,n;Be ¢wKcHe TaqKe (236)

OcHa CHMeTpHja (237)

A 01rnc OCHe CHMeTpHje H OCHOBHe oco5HHe; OCHa CHMeTpHqffOCT

¢wrype (237)

IJ;eHTpairna CHMeTpHja (240)

A Orrwc u;eHTpaiIHe CHMeTpwje H ocHOBHe oco5wHe; u;eHTpaJIHo CHMeTpwrne

¢wrype (240)

CHMeTpHje H npaBHJIHH MHoroyrJioBH (242)

A IlpaBHJIHH MHoroyrnoBH; KapaKTepwcTwqaH Tpoyrao rrpaBHJIHor

MHoroyrna (242)

PoTa~Hja (244)

A Orrwc poTau;wje H ornoBHe oco5wHe (244)

TpaHcJia~uja (246)

A Orrwc TpaHcnau;wje H ornoBHe oco5wHe (246)

KoMH03H~Hje H30MeTpHja paBHH (247)

B K0Mrro3wu;wje H30MeTpwja paBHH (247)

PaBaHcKa CHMeTpuja (249)

A Orrwc paBaHcKe rnMeTpwje H ocHOBHe oco5HHe (249)

~

A Aiocxowa Il4 (crpa.Ha 137}. Hen cy A, B H C rpH pa.3:IH1UITe ra'iKe H ·\ n B1 Ta'IKe npau p TaKBe :ia ·e • .\B :=.\B1.

Ta:ia y no;rypairnn Koja

j e o;wcl)eaa npa.BoM p nocroju je::omcrneHa Ta<nra c. Ta.ICBa ;::ia je

A.C:=.4..C1

uBC:=B1C

1•

rrpe

234

0 H30MeTpHj~ia nm rOBOpIDili Ha noqeTKY

IIOffiaB.iba II09y9apHodU. 0BOM npmnt:KOM neMO

;:i;era.Jbrutje IIpl1Ka3aTif HeKe cneqMjaJIHe BpcTe

U30Merpnja.

~ IlpBO ;:i;ecpHmrmeMO OCHOBifY nop;eJIY

.[{ecpmrnu;Hja H30MeTpHje. 113oMeTpHja I paBHH 7t je

<PYHI<u;Hja I: n-+n TaKBa ,n;a 3a CBaI<e ,n;se TaqKe A H B paBHH 7t

aI<O je I(A) =A' H I(B) =B', oH,n;a

H30MerpHja Ha TilK03BaHe W£PeKTHe J1

HH,JJ;HpeKTHe H30MeTpHje.

jeAB:A'B'.

)];a 8u fomo jaCHHje o Ka.KBoj nop;eJIB je peq, pa3MOTpHheMo jep;aH rrpHMep y Be311 ca

"J130Merpl1'Illml npeMeIIITaiheM TaqaKa paaHM", CJIWiaH OHJ1Ma Koje CMO HaBeJIJ1 Ha

crpaHa.Ma 139-141.

Ilp11Mep I.

TpH )KeTOHa cy nocTaBJbeHa Ha rnaxoBCKJ TaOJIY Kao Ha

CJJKI.µ1 rreBo, a 3aTHM cy p;aa (n;pBeHJ1 ca II03~Hje A 11

nnaBH ca II03~Hje B) npeMernTeHJ1 Ha p;pyry Ta8JIY (pep;oM

Ha II03~e A1

H B1) TaKO p;a je pacTOjalhe Mel)y IDJ1Ma

OCTaJIO HCTO (AB =A1B

1).

fp;e Tpe8a rrocTaBJ1TJ1 Tpen11 )KeTOH (3erreH11 ca rro311u;11je

C) TaKO p;a pacTOjaIDa l13Mel)y cBaKa p;sa )l(eToHa ocTaHy

HenpoMelbeHa (CA=C1A

111 CB=C1~1)?

HHje TeIIIKo yoq11T11 p;a Tpen11 )l(eToH MO)l(eMo rrocTaB11T11

Ha A.Be rro311n;11je. Ha crr11n;11 p;ecHo Te p;Be rro311n;11je cy

03HaqeHe Ca C1

J1 c;.

IIpeMa OCHOBHOj TeopeMH 0 J130MeTp11jaMa (cTpaHa 141), rpojKe (A, B, C) 11 (A

1, B

1, C

1) op;pel)yjy jep;HHCTBeHy

H30Merp11jy I Ta.KBY p;a je 'I(A) =A1, 'I(B) =B1 11 'I(C) = C

1•

TaKol)e, J1 TpojKe (A, B, C) H (Al, Bl, c;) op;pel)yjy

jep;JmCTBeHY H30MeTpHjy I' Ta.KBY p;a je I'(A) =A.1, I'(B) =Bl H'I'(C)=c;.

IIo qeMY ce pa3JIJ1K)'jy l130MeTpHje IHI'? 0CHOBHa TeopeMa 0 H30MeTpHjaMa. AKO cy

AKo IIa)l(JbHBHje norrrep;aMo CJIHKY, yo'Il1lieMo p;a

J130MerpHja I He Mel:ba opHjeHTaqMjy MBC, 3a

pa31IHKJ op; H30MeTpHje I'. TpoyrrroBH ABC 11

A1B1C1 cy HCTe opHjeHrnn;Hje, p;oK cy op11jeHTan;11je

TpoyrnoBa ABC H A IBI c; pa3IDf'D!Te . •

(A, B, C) H (A', B ', C) ,n;Be TpojKe HeKOJIHHeapHHX TaqaKa paBHH 7t

T'}KBe ,n;a je AB :A'B', BC:B'C'H CA:C'A',

OH,n;a IlOCTOjH je,n;HHCTBeHa

H30MeTpHja I paBHH n TaKBa ,n;a je I(A) =A', I(B) =B'H I(C) =C'.

3 3

;n1epaB

_:= Y OBOI

;n1 cpm1

Hje. . \

7tJe ,qa3a BHH 7t

',ott,qa

~ca

I Ha

B:

~ :, reHa llKBa ,qa

ic)=C'.

vfaoMeTpHja I paBHH 7t je .n;upeKTHa aKO qYBa opujeHTau;ajy paBHH, TO jecT aKO

CBaKH Tpoyrao oBe paBHH rrpecrrHKaBa y Tpoyrao HCTe opujeHTalµfje .

I

L

lifaoMeTpuja I paBHH n je HH.n;HpeKTHa aKo Melba opujeHTau;ujy paBHH, TO jecT

aKO CBaKH Tpoyrao OBe paBHH rrpeCJIHKaBa y Tpoyrao c~pOTHe opHjeHTau;Hje.

3a.n;aTaK

y Kaa,n;paTHOj Mpe)KH rrpHKa3aHoj Ha CJIHl.l;H

,n;ecHo, TaqKe A, B H C cy rrpecJIHKaHe

H30MeTpHjOM I y rnqKe A ', B' H C'. )J,a JIH je oBa

H30MeTpuja ,n;upeKTHa HJIH HH,ll;HpeKTHa? Hal)HTe

rnqKe y Koje ce OBOM H30MeTpHjOM rrpeCJIHKaBajy

rrpeocTaJie ,n;aTe rnqKe, rra yrrope,n;HTe

opujeHTau;Hjy MYZ ca opujeHTau;ujoM lbHXOBe

cJIHKe M'YZ '.

A , I 1B

c

x

z

y

C'

3aKJbyqaK ,n;o Kora cMo ,n;oIIIJIH y rrpeTxo,n;HoM rrpHMepy CYIIITHHa je Hape,n;He TeopeMe,

Kojy HeneMo CTporo ,n;oKa3HBaTH.

AKo cy AB HA 'B' ,n;Be rro,n;y,n;apHe ,ll;y)KH paBHH n, oH,n;a rrocrnje rnqHo ,n;Be

H30MeTpHje oBe paBHH Koje A H B rrpecJIHKaBajy y A ' H B', rrpu qeMy je je,n;tta

,n;upeKTHa, a ,n;pyra HH,n;MpeKTHa H30MeTpHja.

IlpHMep2.

IIpHJIHKOM ,,H30MeTpuqHJ1X rrpeMeIIITalba TaqaKa" He Mopajy cBe Ta'!Ke bHTH

rrpeMeIIITeHe.

I '

Ha CJIHl.l;H ,n;ecHo rrpeMeIIITeHH cy caMo :>KeTOHH ca II03Hu;Hja A H B Ha HOBe rro3uu;uje A

1 H B

1, ,n;oK )KeTOH ca II03Hu;Hje C HHje

rroMepaH. TpojKe (A, B, C) H (A1, B1, C) o,n;pel)yjy Hery H30MerpHjy

I. Y OBOM cnyqajy, rro3uu;uja :>KeToHa C rrpe,n;cTaBJba HeIIoKpeTHy

HJIH <PuKcHy~Mernje I. +

~~ B

~ . c '· • "

Bi

<l>HKCHa Ta'IKa H30MeTpHje I: n-+n je CBaKa Ta'!Ka X paBHH n TaKBa ,n;a je I (X) =X.

-

,ne4Jttmnm_ia

"'fo::.Ke ce :tmra3aTu ,qa aKO K30Merpzja

'l}'Ba opajeennmjy jeJJ,Hor TJ>O)fila, oa:;ra 'I)'Ba opujeBTannjy

H CBJiX OCTat"IHX

rpoyr;:mBa..

reopeMa

<l>JIKCHe Ta'l:Ke

1130ArerpHja

Jle¢~!HlfUJl°.1

235

B

TeOpeMa

KouHuuge11uuja je pe"I nanmcKor nopex..1Ia ll 3Ha'IH

iioK..:iaua1t1e,

'.JeiiWgo6Ho 36usa1be.

TeopeMa

IlpeMa OCHOBHOj Teope~m 0 ff30Merpl1ja.'da, aI<O HeKa H30MeTp11ja paBHH HMa

IpU qntKCHe HeKOillrneapHe Ta'll<e, OHAa cy l1 CBe OCTaJie TaqKe Te paBHH cpHKCHe (HenmcpeTHe). 0Ba Jt30MeipJrja w:.'da H noce8aH Ha3HB.

J1aoMeipnja paBHH Koja cBrucy rnqicy Te paBIDI rrpec1111KaBa y ce8e Ha3HBa ce

KO~e~ja Te paBIDL ,UaKJie, KOJ1Hl_\HAeHu;11ja paBHH 7t je rrpeCJIHKaBalbe

£: 7t~7t TaICBO Aa je £(X) =X, 3a CBaicy rnqKy x E 7t. -- ~

y HapeAHOM rrpruiepy paaMorpiffieMO jeAH)' l130MeTp11jy Koja HMa cpHKCHe TaqKe, a Koja

mrje KOifHI.V1,l.J,eHu;Mj a.

Ilp1D1ep 3.

HeKa cy AH B ABe rrpott3BOJbHe TaqKe paBHH rr. ITpeMa TeopeM11 ca rrpeTXOAHe CTpaHe,

rrocTOje Ta'IBO ABe 1.rnoMeTpttje I , H I2

, q11je cy cpHKCHe TaqKe A l1 B: I1(A) =A,

I1(B) =B l1 I

2 (A ) =A, I

2 (B) =B. JeAHa op; lbHX je p;11peKTHa H30MeTp11ja, HeKa je TO I

1,

AOK je APyra I 2 IDi,ll;HpeKTHa.

KoHHu;Hp;eHu;Hja paBHH rr je H30MeTp11ja Kojoj cy CBe rnqKe paBHH rr cp11KcHe, rra cy

crreu;HjaJIHo cp11KcHe 11 AH B, IIITO 3Haq11 p;a I 1, 8yp;ytrn p;a je p;11peKTHa H30MeTp11ja,

Mopa 0l1Tl1 KOl1Hll;l1)l;eHu;11ja.

Haje TeIIIKo 3aKJbyqHTH Aa H30MeTp11ja I 2 cBe TaqKe paBHH rr

Koje H11cy KomrneapHe ca A H B ,,rrpe8au;yje" ca Apyre cTpaHe

rrpaBe AB ,, qyBajyhK" pacTOjalba Te Ta'lKe op; A H B, Kao 11 p;a

cBe Ta'll<e Koje cy KOJIHHeapHe ca A H B ,,He rroMepa': BepyjeMo

Aa rrperro3HajeTe orny cJ.tMeTpHjy. •

IIpen:OAffJi rrpHMep HJiyCTpyje CJieAeha OIIIIITa TBpljelba.

n \1~I2(A)=A

15' <?"'-

c0://-·r --··----~.P I2

( C)

----l~--~2(B)=B i

,UHpeKTHa J130Merp.11ja Koja J1Ma ABe pa3JIJ1qJ1Te cpHKCHe TaqKe je KOl1Hll;l1,ll;eHu;.11ja.

A.Ko JmAHpeKTHa H30MeTp11ja HMa ABe pa3JIH'il1Te cp11KCHe TaqKe, OHp;a cy l1 CBe Ta'-!Ke KOJIJ1HeapHe ca OBHM TaqKaMa TaKol)e cp.11KCHe.

:-IeKa je l

::paBoj .s opM<L'II

3a Ta'!Ke

.:;rueTp

Ha orrm

0BaICB0

HeKa

sje

,l01W3. I

~,( Y) = :-aqaKa

C' •

OCH OBY

- c~, -npaBoj

:\a je S) p(Y, Y1 :i;ecpHHl

Cap;a u i

c11ep;11 ~

3. CJI] .I

(X$ S i

aHa11113

ce

e

:, a Koja

TpaHe,

OL1

,

;y ja,

A)=A

, 0 T2(C)

B)=B

~ja.

Be

OcHa c11MeTp11ja

HeKa je s qni:KrnpaHa npaBa paBHH re. AKo je X Tal.J:Ka paBHH re, Koja He npHna.u;a npaBoj S, HeKa je n HOpMarra Ha S, KOja ca.n;p:>KH Tal.J:KY x. 03HaqJ1Mo ca s IlO)l;HO:>Kje OBe HOpMarre. Ta.n;a nocTOjH je.u;HHCTBeHa Tal.J:Ka X' paBHH re TaKBa .n;a je X-S-X' H XS=SX. 3a Ta"IKe X H X' Ka:>KeMo .u;a cy cHMeTpwrne y op;Hocy Ha npaBy s. Ta"IKe npaBe s CHMeTpH"IHe cy caMe ce8H.

Ha OilHCaHH Hal.J:HH, CBaKoj Tal.J:KH paBHH re .n;o.n;eJbeHa je je.n;HHCTBeHa Tal.J:Ka HCTe paBHH. 0BaKBO npH.u;py:>KHBalbe Ha3HBaMO OCHOM CHMeTpHjOM.

HeKa je s <i>HKCHpaHa npaBa paBHH re. OcHa CHMeTpHja paBHH re y o.n;Hocy Ha npaBy s je npecrrHKaBalhe Ss : re_.re Koje cBaKoj Ta"IKH X paBHH re .n;o.n;eJbyje Ta"IKY X ' HCTe

paBHH Koja je CHMeTpH"IHa ca x y O,D;Hocy Has.

OcHa CHMeTpHja je H30MeTpHja paBHH.

on..~3. Tpe8a .n;oKa3aTH .n;a 3a bHrro Koje .n;Be Tal.J:Ke X H YpaBHH re, aKo je Ss(X) =X' H

Ss( Y) = Y', oH.n;a je XY =X'Y'. Pa3JIHKOBalieMo BHUie crryqajeBa y 3aBHCHOCTH o.u; o.u;Hoca Tal.J:aKa X H Y ca npaBOM s.

l c ./'-ta) AKO X, YE s, OH,D;a je Ss(X) =X H S,(Y) = Y, TO jecT X =X' H Y = Y', na Ha

oCHoBy pe<PrreKCHBHOCTH perraQHje = Ba:>KH XY =X'Y'.

2 c }- l IlpeTnocTaBHMO .n;a je.n;tta o.u; yoqeHmc Ta"IaKa npHna.u;a

npaBoj s, a .n;pyrn He; HeKa je XE s H Y ~ s. IlpHMernMo Hajnpe .n;a je S,(X) =X =X'. 03Hal.J:HMO ca 0 npeceK npaae p(Y, Y') H npaBe s. Ta.n;a je p(Y, Y') .l s H YO= OY' no

.n;e<l>HHHQHjH CHMeTpH"IHe Tal.J:Ke. y 0

s y

Ca.n;a H3 OX =XO, YO= OY' H dOY = < Y'OX, npHMeHOM CTaBa no;i;y.n;apHocrn CYC, crre.n;H .n;a je H XY =X'Y'.

" <.. ' IlpeTnocTaBHMO .n;a HHje.n;tta o.n; yoqeHHX Tal.J:aKa He npHna.u;a npaaoj s (X ~ s H y ~ s). 0Baj crryqaj npenyUITaMO BaMa, y3 HaIIOMetty .n;a j e IlOTpebHO aHaJIH3apHTH crryqajeBe Ka.n;a npaBa Kp03 X H Y ceqe ocy s IDIH joj j e naparre;rna.

\ ,.%~ I / "'\"'"' x X' x .. .: \ X' J I : I L : l

y Is Y' y Is Y' y I~ Y' I.

-

A s

xo

s

xo )(" I I X

xo x= 11 X ox·

A .

.23~

Teope 1a

s =s'

o L X=X'

Axo je Q aeKa paBBa <i>HIYPa u I moMerpuja OI!TOBapajyhe paBHH, ca

I ( Cl>) 03Ha'laBaMO Cl>.l'Il

c."TIIK<l raqaxa H3 Cl>, ro jeer CBJIX raqa.ira I(X),

XE Cl>.

x=I z 2,P)

1 2 3 x

238

HasoJ:piMO HeKOJrnKO OCHOBHHX oco5mrn OCHe c:~1MeTJ'Hje.

Oma CHMeTpHja je KH,n;HpeKTHa H30MeTpHjcKa TpaHc<PopMan;Hja.

OcHOM CKMerpHjoM ce cse Ta'IKe oce rrpernHKaBajy y ce5e. Ba>1<H H o5pHyTo,

axo ocHa CJrnerpHja npecmfKaBa Hery Ta'IKY y ce5e, oH,n;a Ta Ta'IKa rrpHrra,n;a OCH

Clll!eTpMje.

OcHoM cJL.~erpHjoM ce csaKa npasa HOpMaJIHa Ha ocy rrpecJIHKaBa y ce5e.

L AKo je S.(X) =X', mma je S,(X') =X. .>. AKo je S,( <l>) = <D ', oe.n;a je S.( <D ') = <D.

AKo je <D ' = S, ( <D ), Ka.>KeMo .n;a cy <l>Hrype <D H <D' OCHO CKMeTp:wrne y O)l;HOCY Ha rrpasy s.

Ha ornoBy oIIIIITe .n;e<Pmrn:u;Mje no.n;y,n;apHoCTM

J1 'IlflDeID1.ll;e .n;a je OCHa CJ1MeTpHja H30MeTpHja

3aKJbyqyjeMO .n;a cy OCHO CJ1MeTpK'iHe <l>Hrype no.n;y,n;apee.

1. AKo p E p n s Ji S,(p) =p', OH,n;a p E p'. 2. AKo je p II s H S,(p) =p', OH,n;a je Hp' II s.

J{oKaJ.

OmUTa ,n;eqni:mi:QHja no,n;y,n;apHOCTH.

)];Be qmrype Cl> H 'I' cy no,n;y,n;apae, y 03HaQH Cl> ~'I',

aKo nocrojH H30MerpHja I Koja npecJIHKaBa Cl> aa 'I', ro jeer aKo

je I( cI>) ='I'.

1 J.13 p Es CJie)l;H ,n;a je P=S,(P), ,ll;OK H3 p E p CJie,n;H ,n;a S,(P) E s.(p) =p'. )J;aKJie, p E p '.

.., HeKa rrpase pH s HeMajy 3aje)l;ID1tIKe TatIKe. ,1J;oKa3aneMo ,n;a Ta,n;a HH p' HeMa

3aje,n;HJ1'1Ke TatIKe ca s. AKo 5H IIOCTOjana TaqKa P' E p' n S, OH,n;a 5HCMO HMaJIH ,n;a je S,(P') =P'. Mel)yTHM,

KaKO je S,(p') = p, cne,n;H ,n;a P' E p, IUTO je HeMoryhe, jep p H s HeMajy 3aje,n;HH'IKe Ta'll<e.

ITpHMeTMTe ,n;a y cnyqajy .n;a je p =s, HMaMo ,n;a je Hp' =s. •

3 a;i;aTaK

- O.n;pe,n;H KOOp,n;HHaTe raqaxa KOje cy CHMeTpJf'IHe TaqKH P(x, y) y o,n;Hocy Ha

Koop,n;HHaTHe oce.

" O.n;pe,n;H Koop,n;HHaTe TaqaKa Koje cy CHMeTpH'IHe Ta'IKH P(x, y) y o,n;Hocy Ha rrpase

x =a Hy= b, r.n;e cy a H b HeKH <PHKcHpaHM 5pojeBH.

-- ---\

AKO

IIp ' H a CJIHKa

ThHXOB~

IIp

_ yttyTpa

an;HMa

JqHfJie,U,

:ro pernd

:::::ocTyrrlfi

J;oceTKa

:Ja3JIOr 3~

:::-eoMeTp

AKo Ha,n;o

npecJIHKa

o5HM Tpo

Mel)ylh~ cy rrpecell

:o, OCH

a

y :::'¥,

IKoja CTaKo

QYTHM,

'!Ke

1paBe

AKO IIOCTOjH OCHa CHMeTpHja (TO jecT oca) KOjOM ce HeKa qmrypa rrpecJI.HKaBa y

caMy ce8e, oHp;a KCl)f(eMo p;a je Ta cpttrypa ocuo C.HMeTpWIHa.

' IIp1iMep 1.

Ha cnHKaMa HCIIOp; rrpHKa3aHe cy HeKe Il03HaTe OCHO CHMeTp:wIHe cpttrype ca CBHM

lbHXOBHM ocaMa CHMeTpHje.

4&,+ 1

i$$ L.

I IlpHMep 2.

Y YHYTPaIIIlbOCTH KOHBeKCHor yrna aOb p;aTa je rnqKa C. Op;pep;HMO TaqKe A M B Ha

KpaQHMa Oa H Ob p;aTOr yrna TaKO p;a o8HM Tpoyrna ABC 8y;a;e Haj .MaH>H.

Oqttrnep;Ho ,,rroraJ)albeM" (cnyqajH.HM H38opoM) Tpa)KeHHX Ta':IaKa HeheMo .n;oh.H

p;o peIIIelba. YlrraK, cnyqajHH H38opH Ha.M Mory rroMohM .n;a ce p;oceT.HMO KaKO Tpe8a

rroCTyrrHTH.

,,,[J;oceTKa" Koja 8p30 p;OBOAH p;o peIIIelba, a y Be3H je ca OCHOM CKMeTpHjOM, rnamrn je

pa3nor 38or Kora je oBaj 3ap;aTaK rrocTao He3ao8ttna3aH rrpKMep y MHonw YJ,I8eHHWfMa

reoMeTpttje.

o~b b )~ . C"

AKo Hap;oBe)l(eMo cTpattHQe TpoyrnoBa (Koje cMo cnyqajHo 8ttpaJI.H) ca cmu<e mH~,

rrpecJIHKaBajyhtt TaqKy Cy o,11;Hocy Ha KpaKe Oa H Ob y Ta''lKe C ' H C ", yoqaB~10 p;a j e

o8HM Tpoyrna A~,C (i = 1,2) jep;HaK ,!l;y)l(J.fH.H H3JIOMJbeHe JIJ.fHJ.fje CA» C. Hajh.-paha

Me~y lbHMa je cBaKaKo ,!l;y)I( C'C". Cap;a je je,n;HoCTaBHO o.n;peAJ.iTH rpCl)f(eHe Ta<JKe: A H B cy rrpeceQH p;~M C'C" ca Oa H Ob.

CTpor p;oKa3 p;a cy oBaKo KOHCTPYHCaHe Ta':IKe 3aJ1CTa TpCl)f(eHe Ta'!Ke 3acmma ce aa

Hejep;HaKOCTH Tpoyrna. •

c

~

0

C"

239

A x

0

0

s

:~ ~

C' A '

y I I X(J,2) I

I I

-2 -1 1 2 3 x

240

HeKa je S <PuKc:ttpaHa Ta'!Ka paBID11!. YoqKMo rrpoH3BOJbH)' TaqI<y X paBHH n,

pa3IDflilIT)' o;i; s. TaAa IIOCTOjH je,1:vrncTBeHa TaqKa X' paBHH 1! TaKBa p;a je x -S -X' H

XS:=SX'.

Krut<e~o ;i;a cy Ta'!Ke X H X' cHMeTpJ111He y oµ;Hocy Ha yaqicy S. Oqttrnep;Ho, rrpH

OBaKBOj ornerpMjH TaqKa s je CHMeTpHqHa CaMOj ce8H.

Ha OBaj Haq}fff, CBa.KOj Ta~ paBHH 1! p;op;eJbeHa je jep;HHCTBeHa TaqKa Te HCTe paBHH.

0BaKBO IIpH,D;p)')KJ1BaJDe Ha3KBaMO ~eHTpaJIHOM CHMeTpHjOM.

HeKa je S cpMKcMpaHa Ta'!Ka paBHH n. IJ;eHTpa11Ha CHMeTpHja paBHH n y op;Hocy Ha

Taqey S je rrpecIDU<aBalbe S5: n~n, Koje csaKoj rnqKH X paBHH n p;op;elbyje rnqKy X' HCTe paBHH, Koja je CHMeTpHqHa ca X y op;Hocy Ha S. --

lleHTpaJIHa CHMeTpHja je H30MeTpttja.

:Io ·ru. Tpe8a p;oKaJarn: p;a 3a fomo Koje p;Be TaqKe X H YpaBHH n, aKo je S5(X) =X' H

SsCY) = Y', oH,U;a je XY =X'Y'. Pa3mncyjeMo p;Ba crryqaja.

~ c· q.:.; Ta'!Ka S HHje KomrneapHa ca X H Y. KaKo je SX =: SX' H SY= SY', ami: H <XSY =: <X'SY' (jep cy yHaKpcHH yrnoBH

rrop;yp;apirn) , rrpeMa CTaBY CYC, cnep;H p;a je XY =:X'Y', UITO je H

Tpe8ano p;oKa3aTH.

-· c:"1aj. Ta'll<a S je KommeapHa ca X H Y. ~oKa3 y OBOM crryqajy

3aBHCH op; pacrrope.a;a oma: rnqa.Ka. Ha rrpKMep, aKo je S - X - Y, KMaMO p;a je XY =:SY -SX, rra H3 SX =: SX' H SY=: SY' cnep;H p;a je

X'Y' =SY' - SX' =SY - SX =:XY. CJIHqffO ce rrocTyna rrpH ocTaJIHM pacrropep;HMa H Ta

pa3Marp<UDa OCTaBJbaMO BaMa . •

3a;:1.aTaK

Y'

Y' X'

Op;pe.a;H Koop.a;miaTe TaqKe Koja je cKMeTpffqHa TaqKH P(x, y) y op;Hocy Ha

Koopp;H.Hanrn rroqeTa.K.

3a;:1.aTaK

s x

y

Tpoyrao ABC rrpecJIHKaj ~eHTpaJIHoM CHMeTpHjOM y o,n;Hocy Ha lheroso Te)l(HUITe T. ~a JIM. je T Te)l(HUITe H Tpoyrna S/ MBC)?

-X'M '

paBHH.

cytta

1qKyX'

~-

r X'H

y

7 ~X'

"y \_

re T . .D:a

J1cn1qeMo tteKe ocHOBHe ocoforne QeHTpaJIHe cHMeTpHje.

UettTpantta CHMeTpHja je AHpeKTHa H30MeTpHjcKa Tpattc<t>opMaQHja.

- . JeAHHa TaqKa Koja ce QeHTpaJIHOM CHMeTpHjOM npeCJIHKaBa y CaMY ce8e je

QeHTap Te CHMeTpHje.

" IlpaBe Koje CaAp)f(e QeHTap CHMeTpHje cy jeAHHe npaBe Koje ce OBOM CHMeTpHjOM

npecJIHKaBajy y ce8e (norneAajTe CJIHKY AeCHo ).

I. AKo je S5(X) =X', OHAa je SiX') =X.

- AKo je Si<l>) =<1>', OHAa je Si<l>') =<1>.

AKo je <1>' = S5( <1> ), Ka)f(eMo Aa cy <l>Hrype <1> H <1>' QettTpaJIHo cHMeTpH~e y OAffocy

Ha TaqKy s. IlOIIITO je QeHTpaJIHa CHMeTpHja H30MeTpHja, CJieAlf p;a cy QeHTpaJIHO

CHMeTpHqHe <l>Hrype IIOAYAaptte.

AKo S ft.pH Sip) =p', OHAa je p II p'.

/1,.mcaJ. IlpeTIIOCTaBHMO Aa npaBe pH p' HMajy 3ajeAIDPIKe TaqKe. HeKa je p E p n p'. Ilo npernocTaBQH S ft_ p, na je P:t:S. HeKa je P' =S

5(P). TaAa je P:t:P' (jep je Qemap

rnMeTpHje jeAHHa TaqKa Koja ce CJIHKa y ce8e). J13 PE p CJieAJf Aa P'=Ss<P) E S5(p) =p'. TaKol)e, IIOIIITO je p =Ss(p'), npeMa OCObHHH (5), H3 p E p' CJieAlf Aa je

P' = Ss<P) E S5(p ') = p . .D:aKJie, npaBe p Hp' HMajy ABe 3aje)::IJIWIKe TaqKe, mm 3Ha'IJ1 .n;a cy

je.n;ttaKe. To .n;albe 3HaqJf, npeMa ocobHHH (3), .n;a SE p cynpoTHO npernocTaBQlf. •

AKO IIOCTOjH QeHTpaJIHa CHMeTpHja KOjOM ce HeKa <t>Hrypa npeCJilfKaBa y ca..'d)' ce8e,

L--~ ott.n;a Ka)f(eMo p;a je Ta <l>Hrypa ~eeTpaJIHo CHMeTpJ[llJla.

Ilp1111ep 1.

IlapanenorpaM je QeHTpanHo cHMeTp~a <t>Hrypa. HMje TeIIIKo yo'IlH.H .n;a je rrpeceK

p;Hjarottana napanenorpaMa QeHTap CHMeTpHje.

Ha CJIHQH HCIIOA npHKa3aHe cy jom HeKe QeHTpaJIHo cMMeTpH'IHe <t>irrype.

s 0

oco6m1e

a= a'

Teope!!.1

~eQllHKI{lli<l

241

A CHMeTp11je 11 npaBIDIHH MHoroyrrroBH

Ilpm1ep I.

Peq CUMeiilpuja je rp'Il<or nopeKJia H 3HaqH CKllagHociil, cJlaiaHJe. Ha cHMeTpHqHe

08ID1Ke HannaaJfMO cBy,na Ha rrpHMep, y OHJbHOM H )KJIBOTHlbCKOM cBeTy jep;HHKe

ce own1K}iY cnMerpwrnomhy, a Ha BHIIDlM cTyrrlheBHMa pa3soja, peq je rrpe CBera o

cm1erp:uju nese n p;eCHe crpatte, TaK03BaHoj fornaTepaJIHoj CHMeTpHjH. Bpno qeCTo ce

ori;crynalbe og )l(eJbeHe CJiMerpHje TJMaq:11 Kao HecnocoOHOCT jep;HHKe ,u;a ce npasmrno

pa3BJtje H rrpHRarO,lUi CBOM OKpf)l(elhy.

CHe)l(He naxyn,Kne Mory OHTH paaJIHqHTIDC oOJIHKa,

an:u cse noce~jy ,,BHCOK cTeneH" cHMeTpHje.

3am1MJhHBO je ,u;a y oOJIHQHMa naxyn,HQa Hajqemhe

3ana)l(aMo yrnose OJI, 120°, rnTo je nocnep;IDJ;a

q}flbeHKqe ,u;a y MOJieK)'JIY so,u;e aTOMH BO,UOHHKa ca aTOMOM KHCeOHHKa o8paayjy yrao op; 120°.

-· • BepoBaTHo noyqeHH HCKYCTBOM H3 rrpHpo,u;e, aJIH H rrop;cTaKHYTH c:11MeTp:11joM csor

Tena, JbYIUf Te)l(e ,na H OHO IIlTO CTBapajy 8y,u;e neno y CMHCJIY CHMeTpHqHOCTH . •

Cm1erp}fqHJf OOJJ~ He Ca.MO ,u;a neno H3rne,u;ajy, sen rroce,u;yjy J1 ,UOCTa ,,Jierrmc"

ocoOHHa Ta.Ko, Ha rrpHMep, Met)y CBHM TpoyrnoBHMa, je,u;HaKocTpaHJ1qHH Tpoyrnos:11

nocep;yjy HajBel'rn: 8poj oca CHMerp:11je (Tp:11), rra cy rnMe ,,HajrnMeTpHqHHjH

rpoyrnoBH': To je H rnasHH y3poK 8pojHmc crreQHqrnqHOCTH osmc TpoyrnoBa, Koje H11:cy

CBOjCTBeHe OCTaJH1M: TpoyrnosHMa.

TaKolje, IIOIIlTO qeTBopoyrao MO)Ke HMaTH Hajsmne qeTHpH oce CHMeTpHja, KBa,u;paTH

cy ,,HajCIDfeTpJiqHHjH qeTBpoyrnoBH':

3a,llaTa

,Ua ffif je jeAHaKOCTpaHH"'laH Tpoyrao qeHTpanHo c11MeTp:11qatt? 08pa3JIO)KH o,u;roBop.

CffifqHO ce H Met)y OCTaJJHM BpCTaMa MHOroyrnosa J13,IJ;Bajajy OHJ.1 KOjH rroce,u;yjy BHCOK

,,CTeneH CHMerpJiqHOCTJ.1".

L---no,u;yp;apHH Ha3HBa ca npaBHmm MHoroyrao. - --

IlpHMeTHMO ,n;a CaMO y CJI)"lajy Tpoyrnosa H3 je,n;HaKOCTH CTpaHHQa cne,n;H je,n;HaKOCT

yrnosa. PoM5 xojH HHje KBa,n;paT je npHMep qeTBopoyrna xojH HHje rrpasHnaH Haxo cy

CBe l:berose CTpaHHQe je,n;HaKe. Je,n;HOCTaBHO ce KOHCTpymrre rreTOyrao tfl1je cy cTpaHHQe

pa3JIJ1qJ1Te, aJIJ1 cy CBH H>erOBH yrnOBJ1 Mel)yco5Ho je,n;HaKH (no 108°).

CBe cm

::LHOfO

:.:eHrap !HOfO

. .. _"')Kl{

•ret)y

-CKOr

rm·u oa

• illorn

paKTi

ilOIIITO

OHCJP.

0 8jac

.:::(aTaK()

:rop:11c

.,meCT

peq rne

3a

KoHc

e '

f Ke

era o

ecTo ce

lBJ1JIHO

CB Or

ill03J1

oje Hl1CY

APaTJ1

DB Op.

r BHCOK

OBJ1

'-

Ba

FT 1ep

r:o ~e

.. .._,

CBe c11MeTpane cTpatt11n;a 11 cBe CHMeTpane yttyTpamlhHX yrnoBa rrpaBHJIHor

MHoroyrna ceKy ce y je,n;ttoj Ta'IKH Koja ce Ha3HBa u;euTap Tor Muoroyr11a. QettTap rrpaBHJIHor MHoroyrna je, ,n;aKJie, n;ettTap 11 on11catte 11 yrr11catte Kp)')KHHD;e Tor

MHoroyrna.

,[(y:arn Koje crrajajy n;eHTap rrpaBHJIHOr n-TOyrna ca IberoBHM TeMettHMa pa3llaYKY ra Ha

n Mel)yco8tto rro,n;y,n;apttHX je,n;ttaKoKpaKHX TpoyrnoBa. 3aTO ce rrpoyqaBalhe ocoforaa

tteKor rrpaBHJIHor Mttoroyrna yrnaBHOM CBO,n;H Ha rrpoyqaBalbe je,n;ttaKoKpaKor -rpoyrna

Koj11 o8pa3yjy n;ettTap Tor MHoroyrna 11 IheroBa ,n;Ba cyce,n;tta TeMetta.

KapaKTepHCTHqau Tpoyrao rrpaBHJIHor MHoroyrna je Tpoyrao Koj11 o8pa3yjy ,n;Ba

cyce,n;tta TeMeHa 11 n;ettTap MHoroyrna.

KapaKTep11cT11'1aH Tpoyrao rrpaBHJIHOr n-Toyrna je je,n;ttaKOKpaKH rpoyrao tUrja je

360° octtoB11n;a je,n;HaKa cTpatt11n;11 Tor MHoroyrna, a yrao ttacrrpa.'1 OCHOBHn;e je --.

n

Mttor11 eneMeHTH npaBHJIHOr MHoroyrna cy y ,n;11peKTHoj Be3H ca &eroBHM

KapaKTep11cTH'IHHM TpoyrnoM. Ha rrp11Mep, KpaK KapaxTep11cTWIHor Tpoyrna je

IIOJiyrrpe'IHJ1K OIIHCaHOr Kpyra rrpaBHJIHOr MHOroyrrra. BHCHHa KapaKTepHCTWIHOr

Tpoyrna Koja o,n;rOBapa IberoBoj octtoB11n;11 je nonyrrpe'IHHK y:rrHcattor Kpyra IIpaBHJIHor

Mttoroyrna. TaKol)e, ,n;a 811cMo KOHcTpYff CaJIH tteKH rrpaBHJiaH MHoroyrao, ,n;oBOJbHO je

KOHCTPJHCaT11 IberoB KapaKTepHCTWiaH Tpoyrao.

IlpHMep2.

IlmIITO ce rrpaBHJiaH mecToyrao caCToj11 113 meCT je,n;ttaKocTpamrnrn:x rpoyrnoBa,

KOHCTpy:Kn;11ja OBOr MHOroyrna je je,n;HOCTaBHa JKOJIHKO je Il03HaTa aeroBa CTprumn;a.

Ol5jacH11Te 315or qera je rnecTOyrao KOHCTPJHCaH Ha CJIHn;M ,n;eCHo IIpaBHJiaJI.

,[(am KOHcTpyKn;11ja npaBHJIHOr mecTOyrna je rro3HaTa o,n; ,n;aBinma. 3aBaTmrje cy j e

Kop11cT11Jie 3a rrpeMepaBalbe ,n;tta 3a 15ypa,n; (rroMony patIBacre rpaBe) 11 Ha3HBami j e

,,rnecrnpeibe" jep ce Kpyr ,n;eJIH Ha meCT je,n;ttaKKX ,n;enoBa. O,n; oBe pe'Ili BOAJi rropeKJio n peq rnecrnp. +

3a,n;aTaK

KottcTpJHilIH rrpaBHJiaH ocMoyrao cTpaHHD;e a.

~

Aetfmum.vra

T-eopeMa

A.Ko _ie s~ 38np YJ!YTP3IIIlbHX ymo.sa

n-rnyma. oa:ra ie S = (n -2)- I

243

- A

0

0

0

C'

244

--+ HeKa je 0 cp1iKCKpa.Ha Taqxa paBIDi TI H a opHjeHTHcairn yrao oBe paBHH. YoqHMO

IIpOH3BOThH)' Ta'!KY x paBHH TI pa3Jllf'IHTY o.n; 0. TiocTOjH je.n;HHCTBeHa TaqKa X' TaKBa -----+ --+

ga je OX= OX' H <rXOX' =a. Ka_)l(eMo .n;a je Taqxa X' .n;o8HjeHa poTa1v1joM TaqKe X oKo --+

raqxe 0 3a opajeHn1cairn yrao a. HapaBHO, Taqxa 0 ce poTa:u;HjoM OKO TaqKe 0 3a

8uno Koju opHjeHTHCa.HH yrao rrpecIDU<:aBa y CaAfY ce8e.

--+ HeKa je 0 cpHKCKpaHa Ta'!Ka paBHH TI H a opHjeHTHCaHH yrao oBe paBHH.

--+ Poran;Hja paBHH TI oKo TaqKe 0 3a opHjeHTHCaHH yrao a je rrpecnHKaBalhe

R.0 .... : n -n, Koje cBaKoj Ta'l.l<M X paBHH n .n;o.n;eJhyje TaqKy X' HCTe paBHH, Koja je ~ --+

.<lOfoijeaa poTa:u;HjOM OKO TaqKe 0 3a opHjeHTHCaHH yrao a. TaqKa 0 ce Ha3HBa . --+ •

:u;eHrap oBe poTa:u;HJe, a a yrao poTall;HJe.

PoTa:u;Hja je H30MeTpHja.

;:.o r·. AKo cy X H Y rrpoH3BOJhHe TaqKe paBHH n H aKo je 'R.0,-;;(X) =X' H 'R0,Q'(Y) = Y', lpe8a JJ;OKa3arn p;a je XY :=X'Y'. 11MajynH Ha YMY .n;ecpHHHll;Hjy poTa:u;Hje, 3aKJhyqyjeMo

Aa je OX= OX' H OY = OY'. )J;a 8HCMO .n;oKa3arr11 .n;a je 11 XY :=X'Y', rrpeMa CTaBY CYC,

)l;OBOJhHO je )l;OKa3aTH .n;a je <rXOY = <rX'OY'. Tio.n;y.n;apHOCT OBIDC yrrroBa .n;oKa3yjeMO

pa3nHKOBaibeM cnyqajeBa y 3aBHCHOCTH o.n; Mel)yco8Hor rrorro:lKaja rrorryrrpaBmc [OX), [OY), [OX') H [OY'). Ha Hape.n;HHM CJIHKaMa rrp11Ka3aHa cy .n;Ba KapaKTepHcrnqHa

cnyqaja.

y y

Y'

0

OcTaBJha.\io BaMa .n;a y CBaKoM o.n; oBa .n;Ba cnyqaja o8pa3JIO)KJ1Te 3alllTO je

<rXOY = <rX'OY'. •

Y'

-..

11

[MO

" TatCBa

~XOKO

!ha

e

=Y', tryjeMo ;Ye, jeMo [OX),

la

\,.

HaBop;11Mo ocHOBHe ococ511He poT~11je.

PoTaQ11ja je p;11peKTHa 1130MeTpajcKa TpaimpopMaQ11ja.

- Jep;11Ha TaqKa Koja ce poT~11joM rrpecn11KaBa y caMy cecSe je QeHTap Te poTaQHje.

PoTaQHja 3a orrpp1<eH yrao je QeHTpanHa rnMeTp11ja. PoTaQ11ja 3a rrytt yrao je K011HQH,IJ;eHQ11ja.

AKo je R 0 ,;(X) =X', oHp;a je R 0._;(X') =X.

IlpHMep I. 4

,[(aT11 cy TaqKa 0, op11jeHT11caH yrao a 11 rrpaBa p.

Jep;aH op; Haq11Ha p;a ce op;pep;11 R0,;(p) je p;a ce ponrpajy

p;Be rrpo113BOJbHe TaqKe oBe rrpaBe. ~ l ~x Mo)l(eMo rrocTyrr11T11 11 ,o;pyraqaje.

AKo je N rrop;HO)l(je Hop Mane 113 0 Hap 11 R0,;(N) = N',

oHp;a je Hop Mana Ha ON' y TaqKJ1 N' Tpa)l(eHa cn11Ka p' rrpaBe p p;aTOM pOTaQ11jOM.

Oc5jacH11Te 3alllTO je oBa rrornep;Iba KOHCTpYKQ11ja

KopeKTHa. (CernTe ce p;a 1130MeTp11je ,,qyaajy" yrnoBe.) +

3ap;aTaK

0 p

A_

0 p

AKo je R 0,60.(p) = p ', op;pep;11 yrao 113Mel)y rrpaBKX p Hp '. <l>opM}'1Il1IllJf oIIDITe TBpl)eH>e o yrny 113Mel)y rrpaBe 11 lbeHe CJI11Ke HaKOH HeKe pOTaQ11je.

fipHMep2.

KoHcTpYJ1llll1MO jep;HaK0KpaKo-rrpaBoyrn11 Tpoyrao ABC aKo je p;arn TeMe rrpaaor yrna C 11 rrpaBe a 11 b Koj11Ma rrp11rrap;ajy TeMeHa A H B.

HajBa)l(H11je je rrp11Mernrn p;a je R c,90

.(A) =B. Jib ycnoBa

p;aA E arnep;11p;aB=Re,90°(A) E R e,90°(a)=a'.)J,aKJie, BE a" n b.

KoHCTPYKJ..\l1ja Ha ocHoBy HaBep;eHe attam13e je rrp11Ka3aHa Ha CJI11Ql1 p;ecHo. (IlpHMenne p;a Kap;a a pornpaMo y cyrrpoTHOM cMepy, p;oc511jaMo jolll jep;Ho pelllelbe.)

,[(oKa3 11 p;11cKyc11jy rrpeIIYlllTaMO BaMa. +

c b\

ocofame

YoOH'lajeHo je n:a ce Mepe yrnoBa KOjJt

cy opHjeHTHcaHH y CMepy cynpoTHOM KpeTaJDY Ka3aJbKe

Ha caTy H3p<l)KaBajy Il03HTJtBHJfM OpojeBIDola,

a Mepe OHJ!X KOjH cy opnjeHrn:cam1 y

ot:epy Ka3alI>Ke Ha caT)·

HeranraHJ!M. 4

Axo je a opnjeHTUCIBll ~

yrao, ca -a 03HaqaBru.i:o

yrao cyIIpOTHe

opHjemau;nje.

245

- A -+

~

x~x·

B'

OCoOI!He

246

TpaHcrran;11j a -+

Hexa je v ;ram Benop Koj11 mrje H)11la-seKTop H 'llijH je rrpasa.Q rrapaneJiaH ca paBHH

n. Yo'IIDdo npmt3BOJbHY TatfK}' X pasHH n. T~a, npeMa TeopeMH ca CTpatte 216, ~-+

nocrnju jewmcTBeHa rnqxa X' TaKBa p;a je XX' = v . KCDKeMo p;a je TaqKa X' p;o8Hjetta . -+

TpaHCJiaqJ1JOM Taqxe x 3a BeKTOP v.

-+ Hexa je v .n;arn BeKTop qJijH je npaBau; rrapaneJiatt ca paBHH n. Tpa11c11an;uja pasm1

-+ JC 3a BeKTop v je npeCIDfKaBa!he T-. : n -+n, Koje csaKoj TaqKH X paBHH n p;op;eJbyje

• -+ TatfK}' X' HCTe paBHH, Koja je p;o811jeHa TpattcJiau;HjOM 3a BeKTOp v.

Tpattcnau;Hja je H30MeTpHja. ·.

OKa3. HeKa cy X H Y npoH3BOJbHe TaqKe paBHH n H HeKa je 'T-;(X) =X' H 'T-;(Y) = Y'. Ha

ornoBy TeopeMa ca CTpaHe 180, cnep;H p;a je XY=:X'Y'. •

Haso,!P{Mo OCHOBHe ocoforne TPaHCJiau;Hje.

l TpattCJiau;Hja je p;HpeKrna H30MeTpHjcKa TpattccpopMau;Hja.

2 He IIOCTOjH Taqxa Koja ce TpaHCJiau;HjOM rrpeCJIHKaBa y CaMY ce8e .

. CBaKa npasa napaneJIHa BeKTopy Tpattcnau;Hje rrpecJIHKaBa ce y caMy ce8e.

4 TpattCJia.QHjOM ce rrpaBa rrpernHKaBa y rrapanentty rrpaBy .

.:: AKo je 'T-;(X) =X', ottp;a je T_-;(X') =X.

IIpHMep 1.

,ll;aTe cy Taqxe A H B H npase c H d. KoHcTpYJiIIHIMO napanenorpaM ABCD TaKO p;a

CE CHD Ed.

0Baj KOHCTP}'KTHBHH 3ap;aTaK ce pemasa

aHaJiaraO npHMepy 2. Ha npeTXop;ttoj CTpaHH,

c THM IIITO OBora rryTa Tpe8a rrpHMeHHTH

TPaHCJia.QHjy.

IlpHMeTI1Mo p;a je TBA'( C) = D. :Vfa yrnoBa C E c

rnep;H Aa D =TBA'(C) E TM'(c) =c'.

,ll;aKJie, D E c' n d.

,ll;OKa3 Ji p;Hc:rycajy OCTaBJbaMO BaMa. •

3a~anlK

A

,ll;aTe cy Taqxe A H B H Kp)')KID11\e k1

H k2

• KottcTpYJiIIIH napanenorpaM ABCD TaKO p;a

CE kl HD E k2.

K0Mrro3

rrpecnm

AoB,T CJIHKY 'I1

.[fo1ca3.

paBHH.

p;oKa3a1

AKoca

XY=:XI IIpeMa

na KaKe

Haj3a

3

3~

Op;pe;"I

1 T--u

paBHH 1,

fjeHa

paBHH

elhyje

=Y'.Ha

~a

. y

~

x o,n;a

KoMn03HD;Hje H30MeTpHja paBHH

KoMIT03HQHja ,n;Be H30MeTpuje je 3arrpaBo KOMrro3~11ja ,n;Be cpyma~11je Koje

rrpernHKaBajy HeKy paBaH y ce8e. ITo,n;cehaMo ,n;a CJilfKY HeKe Ta'll<e X rrpu KOMIT03:i.~jn

A o B, TO jecT A o B(X) oi:1pel)yjeMo TaKO IIITO rrpBo o,n;pe,n;MMo B(X), a 3aTirn o,n;pe~m

CJIHKY Te raqKe rrpu A.

K0Mrro3~uja ,n;Be H30MeTpHje je H30MeTpuja.

,lloKaJ. HeKa cy AH B ):\Be H30MeTpuje paBHH. ,ll;OKa)KJ{MO ,n;a je H Ao B H30MerpHj a

paBHH. HeKa cy X H Y ):\Be rrpoH3BOJhHe Ta'll<e H X' =A o B(X) H Y' =A o B(Y). Tpe5a

):IOKa3arn i:1a je XY =X'Y'. AKO ca xi H YI 03HaqHMO B(X) H B(Y), OH,n;a, ITOIIITO je B H30MerpHja, CJie,ll;M ,n;a j e

XY=XX1· ITpeMa i:1ecp11H11Q11j11 KOMIT0311Q11je,

X'=A o B(X) =A(B(X)) =A(X1) 11

Y'=A o B(Y) =A(B(Y)) =A(Y1), rra KaKO je 11 A 1130MeTp11ja, CJie,n;11 ):la je x i YI =X'Y'. Haj3a):\, 113 XY =xi YI 11 xi YI =X'Y' CJiep;M ,n;a je XY =X'Y' . •

3aµ;aTaK

Koje 1130MeTp11je rrpe,n;cTaBJhajy cnei:1ehe KOMII0311QMje:

1) Ro,ft o Ro,C:• 2) T; o T,;?

A

A_

A

y "Z

3aµ;aTaK

O,n;pei:111 cne,n;ehe KOMIT0311QMje:

A "

R 0 ,r; o R 0 :; = R 0 ,--; .r;

T-. 0 T-. = T-. ..... V U Y +U

1) T_-;; o T,:; 2) R 0 ,--; o R 0 , _--;; 3 Ss o Ss; '"± S oS. p p

B

A '

A "

B"

B S oS o ~ o R

S s r o.~

(~ .. ABC)

c

~ r··-..... . / I \ .... ...,, . . . . , .

f .... ~B \ Q~:~:o A !

i ,..:·;·:L;Jl

~·. ~s ---:--:---- ! . .

.o. ••••• ::· ...

S -~>·····::o. ,~ ...... __. .. ¥#,; - ..

-~~.,

-+ -+ A.Ko cy ynmBH a H I'

ucTo opHjeHTHcaHH, mua -+ -+

ce 3bnp a +I' o;rpel)yje ObJf'IJIMM HaJ{OBe3JIBa.!LeM

H HMa ucry opuj emamtjy Kao u caOHpJ:Ut. YKoJIHKo

-+ -+ cy a H p cynporne opujeHT~je, oima o,IJ, Beher yrna Tpeoa '­

oey3eni: MaH>H H rrp11 TOM je ,IJ,OOHjeHa pa3JIHKa op11jeHTHCaHa Kao BehH

yrao.

Teope;a,u

2A~ "T l

-

:reopeMa

CBe poramrje (rra THM:e Jt ueHip<mHe CHMerpnje) n CBe Ipa.HuJ:auuje ce

ory npmra3arn Kao Kc 031nurje .J:Be ocHe

01.Me-IpUje.

3anaraK

Koje H30MeTpHje rrpeACT<IBJbajy crreAehe KOMII03Hn;Hje:

S oS aKOjepl l q; , s> s. aKO je p .l q J1 p n q = { O}; sq 0 s;: aKO ce p J1 q ceKy IIOA yrrroM OA 45° y rnqKH O?

I I I I

Ha oCHoBy rrperxm:µmr 3aAaTKa ttacrrynyjy ce crreAena orrIIITa rnpl)e1na.

KoMII03Jtn;Hja S o S ABe orne CHMeTpHje q11je cy oce rraparrerrtte je Tpattcrran;11ja 3a q p -+ ~

BeKTop v =2PQ, rAe je PE p, Q E q 11 PQ .l p.

Kol\m03IDJ;Hja S o S ABe orne c11MeTp11je q11je ce oce ceKy y TaqK11 0 je p0Tan;11ja q p

crnju je n;eHTap TaqKa 0, a yrao je ABa rryrn Ben11 OA yrrra Koje 3axBaTajy oce 11

op11jettT11caH je ,,OA Op Ka Oq':

HeheMO HaBOAlfTH AOKa3 rrpeTXOAHHX rnpljelba Ben neMO CaMO HaBeCTH ABe

cyrecTHBHe HJIYCTP~Hje.

p p q

q X'

x . XO

3a;i:araK

X"

,lJ;aTa je Taq}(a 0, rrpasa p Koja caAP)l(J{ 0 11 op11jettT11caH yrao a. KottcTpYJ1IIIH rrpaBy q TaKOAajeR

0 ..... =S oS . .a q p

3a;i:a-aK

L{aTa je Taq}(a 0 11 rrpasa p Koja caAP)l(J{ 0. Kojy H30MeTp11jcKy Tpattc<f>opMan;11jy

rrpeACTaBJba KOMIT03Hn;Hja S0 o S/

.~-

rrpe

Oco8Ml rrpoCT~

•A

• rrp

• yr

• rrp

•Ta

L Ko nm CHM el

- ---

r- t +-

~

Hja

bX"

~

'-

)aayq

;~; ... ".~~

PaBaHcKa CHMeTpHja

,[(o CaAa CMO ce 5aBH!U1 HCKJb)"IHBO H30MeTpHjaMa paBHH. nonrytto aHaJIOrHO ce )7BOAe

' H30MeTpHje npocTOpa. 03Ha'IHMO ca !El CKyn CBHJC Ta'!aKa (npocTOp).

J.13oMerpu:ja npocTopa je ¢YHKQHja I: IEl~IEI TaKBa Aa 3a cBaKe A13e Ta'!Ke AH B H3

!El, aKo je 'I(A) =A' 11 'I(B) =B ', OHAa je AB ~A 'B '.

vfaOMeTpHje npOCTOpa 3aMHllIJbaMO KaO ,,rrpeMell!TaH>a" Ta'!aKa npOCTOpa HaKOH qera

Ce pacTOjaH>e Mel)y OArOBapajytrnM Ta'IKaMa HHje rrpoMeHHJIO. ilocebHO HCTWieMO

paBaHCKY CHMeTp11jy.

HeKa je a ¢11KrnpaHa paaaH. AKo je X Ta'!Ka rrpocTOpa Koj a He np11naAa paaHH a, HeKa

je n (jeAHHCTBeHa) HOpMaJia Ha a Koja CaAp)l(Jll Ta'IKY x. 03Ha'IHMO ca s IlOAHO)l(j e OBe

HOpMane. TaAa nocTOjH jeAHHCTBeHa Ta'!Ka X' TaKBa Aa je X - S - X' H XS~ SX'. 3a Ta'!Ke

X H X ' Ka)l(eMo Aa cy CHMeTpH'IHe y OAHocy Ha paBaH a. Ta'!Ke paBHH a cy cHMeTPJ1qlie

caMe ce511. Ha orr11caHH Ha'IHH, cBaKoj Ta'IKH npocTopa AOAeJbeHa j e j eAJ1HCTBeHa

Ta'!Ka. OaaKBO rrpHApy)fmBaH>e Ha3HBaMO paaaHCKOM c11MeTp11joM.

HeKa je a ¢11KrnpaHa paaaH. PaBaHcKa cHMeTpu:ja y OAHocy Ha paBaH a je

npecn11KaBaH>e Sa: IEl~IEI, Koje cBaKoj Ta'IKH X npocTOpa AOAeJbyje Ta'IKY X', Koja je

c11MeTpH'IHa ca X y OAHocy Ha a.

Ococ511He paaaHCKe c11MeTp11je rrocTajy HHTYffTHBHO jaCHe YKOJIHKO oay H30MeTPHjy

rrpocTopa 3aMHllIJbaMO Kao rrpecm1KaBaH>e o5jeKaTa y orneAany. PaBaH orneAana j e TaAa

paBaH CHMeTpHje.

PaaaHCKOM c11MeTp11joM ce rrpecn11Kasajy:

AY)l(H y IIOAYAapHe AY)l(H (rra je paaaHcKa CHMeTp11ja H30MeTpHja rrpocrnpa);

• npaae y rrpaae;

c yrnoBH y IIOAYAapHe yrnoae; • rrpaae HOpMaJIHe Ha paaaH c11MeTp11je y caMe ce5e; • Ta'IKe CHMeTpanHe paBHH y ce5e HTA.

AKO IIOCTOjH paBaHCKa CHMeTpHja (TO jecT paaaH) KOjOM ce HeKa ¢urypa

rrpecJIHKaBa y CaM}' ce5e, OHAa Ka)l(eMo Aa je Ta ¢urypa

CHMeTpH'IHa y OAHocy Ha TY paBaH.

a](a

KonHKO HMa paBHH y OAHocy Ha Koje je

CHMeTpHqHa KOL\Ka?

-A

X .n

X '

eqntttH'-\1t ja

..1

249

A

E

250

3aµ;a~:u

Ocna CJL'1eTpHja

• _ Ha cmrro1 11crrop; rrpm<a.3aHe cy rp.11 CTaKJieHe ITJioqe A, B .11 C, rrp.11 qeM)' cy 8enoM

8ojoM 03HaqeHJt: ,,rrpOBMWflt:" rpoyrnoBH rnaKe op; IMDC. IlJioqe A .11 B, Kao .11 B u C cy crrojeHe JI)')I( rrop;ebJbaHHX IDfIDlja, rrp.11 qeM)' crroj H.11je qmKrnpaH. AKo

ce B rrpeKJIOII.11 UJioq~rn A .11 C lJ.Y)I( rrop;e8JbaHKX JIHH.11ja, KOJIMKO ,,rrpoB.11p;H.11X"

rpoyrJIOBa ne Ce BHp;eTH?

A B C "-..___-/'~

2. IlpecJIJfl(aj Tpoyrao ABC OCHOM c.11MeTp.11joM y op;Hocy Ha rrpaBy Koja cap;p:am

Te:>KJmIHY lJ.Y)I( H3 TeMeHa c. 3. IlpaBe p .11 q ce OCHOM c.11..~eTp.11joM y op;Hocy Ha rrpaBy s rrpecnMKaBajy y rrpaBe p' .11 q'.

Koje peqemrr~e cy Taqae?

' AKo je p II q, mrp;a je p' II q'. 2) AKo je p II s, OHp;a je p II p'. 3 AKo je p .l q, oHp;a je p' .l q'. 4 AKO je p .l s, OHp;a je p .l p'.

...,. Op;peWt: 8poj oca cMMeTp.11je qmrypa rrp.11Ka3aH.11x Ha cmu~.11.

.5. 1 Aa JI.11 je rronyrrpaBa ocHo cMMeTp11'IHa? 2) ,D;a JIJ1 je rronypaBaH ocHo rnMeTp.11qHa?

b KoHCTJJymII.11 KBap;paT ABCD aKo je p;arn TeMe A .11 rrpaBa p Kojoj rrp.11rrap;ajy TeMeHa B .11 D.

- _ )];an je rrpaBa t, Ta~a T Ha rrpaBoj t .11 TaqKa A Batt oBe rrpaBe. KoHCTPYJ1IIIM

Kp)')KIDilzy Koja cap;p)f(M Ta~y A .11 p;op;.11pyje rrpaBy t y TaqK.11 T.

)laT je KOHBeKcatt yrao aOb .11 Ha KpaKy Oa TaqKa P. KottcTpy.11III.11 Kpy)lrnmw Koja

cap;p:>KH Ta~ P .11 p;oWfpyje KpaKe p;arnr yrna.

S'. ;:J:aTe cy Kp)7)KIDU.\e k1

.11 k2

.11 rrpaBa p. KottcTpYJ1III.11 TaqKe A, M A2

TaKo p;a A1

E k, w A

2 E k

2 M p;a A

1 M A

2 8yp;y c.11MeTp11'IHe y op;Hocy Ha rrpaBy p.

10. ,D;a11

CHi

Yu) KOH

11. Ha

C'I'p

YuJ

12. Ha MJ11

13. ,D;a1

TpO

op;r

14. Km

A)')l

16. Tpc

17. Hai

18. ,D;a1 KO

20. ,D;a Kp;

23'. Ha

je~ )J;q qe

PM '

p'H q'.

rwrna?

H:eHa

\..

Dja

kl J1

10. )J;aTe cy rrpaBa s H p;Be Kpy:aarnu;e k1

H k2

• KoHcTpy1mm KBa,n;paT KOMe cy Te:c\.feHa A H

C Ha rrpaBoj s, a TeMeHa B H D Ha KPY)Iarnu;aMa k1

H k1

•

YuymcillBo. IlpHMeTH p;a je rrpaBa s oca cHMeTpHje KBa,n;paTa KojH Tpe8a

KOHCTPYJf CaTH.

11. Ha cTpaHHI.l;H AB Tpoyrna ABC p;aTa je raqKa P. KoHCTPYJfIIIH TaqKe Q H R Ha

cTpaHHu;aMa BC H CA TaKO p;a Tpoyrao PQR Byp;e HajMalher ofo1Ma.

YuymcillBo. Ilornep;aj rrpHMep 2. Ha cTpaHH 239.

12. Ha CTpaHHu;aMa Tpoyrna ABC op;pep;H raqKe P, Q HR TaKO p;a Tpoyrao PQR 8yp;e

MHHHManHor ObHMa.

13. )J;aTe cy p;Be rrpaBe b H c Koje ce ceKy H raqKa A BaH lhKX. KoHCTPYHIIIH

Tpoyrao ABC TaKo p;a rrpaBe b H c cap;p)l(e cHMeTpane yrnoBa ABC H BCA J.fIDl

op;roBapajynHX crroJbanilbHX yrnoBa.

14. KoHcTpYJflIIH qeTBopoyrao ABCD KOMe cy cTpaHHu;e AB, BC, CD H DA nop;yp;apHe

p;y)l(HMa a, b, c H d H qHja p;HjaroHana AC rronoBH yrao DAB.

IJ;eHTparrHa CHMeTpHja

l 5 )J;aTe cy TPH HeKonHHeapHe TaqKe A, B H T. Op;pep;H raqKy C TaKO p;a T Byp;e Te)l(HlIITe MBC.

16. Tpoyrao ABC rrpecnHKaj u;eHTpanHOM CHMeTpHjoM y op;ttocy Ha TeMe A.

17. Hau;pTaj 8ap qeTHpH u;eHTpanHo rnMeTpHqtte cpttrype.

18. )J;aTe cy p;Be Kpy)l(ttHu;e k1

H k2

Koje ce cery. Kpo3 jep;tty op; 3aje,n;:HWIKHX Taqaxa

KOHCTPYJflIIH rrpaBy p Koja Ha p;aTHM Kp~m.:i;aMa op;ceu;a nop;yp;apHe Tenme.

19 )J;aTe cy rrpaBe a H b H TaqKa S Koja HM He npm1ap;a. KoHCTPYHIIIH Taqry A Ha npaBoj

a H TaqKy B Ha rrpaBoj b TaKO p;a S Byp;e cpep;HlIITe A)')KM AB.

20. )J;aT je yrao aCb Hy lberoBoj YHYTPaIIIlbocrn Taqxa S. KoHCTPYHIIIH rnqry A Ha

KpaKy Ca H TaqKy B Ha Kpary Cb TaKO p;a je CS Te)l(J1IlIHa ,ll;y)l( rpoyrna ABC.

21. )J;aTe cy tteKonHHeaptte TaqKe 0, M H N. KoHcTpYJfmH KBa,n;paT ABCD TaKaB p,a 0 8yp;e u;ettrap oBor KBap;parn, a p;a raqKe M H N rrpHIIap;ajy IIpaBaMa Koje o,n;pel)yjy

HacrrpaMHe cTpattHu;e AB H CD.

B

A

E

R

22. )J;aT je rrpaBoyraottHK ABCD, rrpH qeMY je AB > BC. Ha crpaHJfl.J;M BC p;ara je TaqKa P. O,n;pep;H TaqKe Q, R H S Ha cTpattHu;aMa CD, DA H AB TaKO p;a qeTBopoyrao PQRS Byp;e npaBoyraoHHK.

Sq 6 'a

23. Hap; cBaKOM cTpamn.:i;oM rrapanenorpaMa ABCD KOHCTPYJfCaHH cy jep,HaKocTpattHqHH TpoyrnoBH ABP, BCQ, CDR H DAS ca cnoJba.IIIJDe crpane.

)J;oKa)l(J1 p;a u;eHTpH OBHX TpoyrnoBa obpa3yjy jep,aH napanenorpa.\f. )J;a Jrn: je n

qeTBopoyrao PQRS rrapanenorpaM?

p

Q

)' _.)

A

E

A E

252

P0Tan;11ja

24. Tpoyrao ABC poTiipaj oKo TeMeHa A 3a yrao ~ y II03JIITJIIBHOM cMepy.

25.0.a;pe):{Jt yrao mMeljy rrpaBe a J1I lheHe CJIJIIKe a' IIpJII poTan;J1IjJ11 Ra.a:·

26. Op;peAJII poTaqKje KOjKMa ce:

• , je;:1;mu<0crpamfqaH -rpoyrao; 3 rrpaBJIIJiaH IIIecToyrao;

rrpecilliKaBa y ce8e.

27. KoHcrpymmt KBap;paT ABCD qJl.(jJII je n;eHTap p;aTa TaqKa 0, a TeMeHa A J1I B rrpJmap;ajy ;J,BeMa p;aTJIIM rrpaBaMa a J1I b.

2 ,UaTe cy AEe Kp~e k1

J1I k1

J11 TaqKa B. KoHCTPJJIIIIIJII KBap;paT ABCD TaKaB p;a

A E k1

J1I CE k2

•

TpaHcrran;11ja

29. Tpoyrao ABC TpaHCJIJiIPaj 3a BeKTop BC. 3" ,IJ;aTa je )J;y)I( AB, rrpaBa p J1I Kp)')KHJIIn;a k. KoHcTpJJIIIIIJII TaqKy C Ha rrpaBoj p J1I TaqKy

D Ha Kp)T)KHJllI\JII k TaKO p;a ABCD 8me rrapanenorpaM.

31 ,[(are cy AEe Kp)7)KHJllD;e k1(0

1, r

1) J1I k

2(0

2, r

2) J1I rrpaBa p. KoHcTpJJIIIIIJll rrpaBy q

napanellHJ cap TaKO p;a je q n kl(Ol, rl) = {A,B}, q n k2(02, r2) ={C,D} Jll AB ~CD.

32 ,[(aTe cy AEe napaneJIHe rrpaBe a J11 b J1I TaqKe A, B J1I C TaKBe p;a A E a, B E b J1I

A-C-B. KoHCTpymrnt npaBy c TaKO p;a c EC, c n a ={X}, c n b ={Y} Jll

AX+ BY~d, me je d p;aTa )J;y)I(.

rre.m

Ilo

B H3TI

Paul

He

Jlmt

JlHB

B

Jbt:~

CH

E

E

E

JlHH

E